ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μάθηµα Φυσική-ΙΙΙ (3 ο εξάµηνο ΣΕΜΦΕ) Ακαδηµαϊκό Έτος 1-11 Προβλήµατα και Απαντήσεις Β 1. Χορδή µε γραµµική πυκνότητα ρ είναι τεντωµένη µε δύναµη Τ. Οταν η χορδή εκτελεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µικρού πλάτους, υφίσταται (λόγω µη ιδανικότητάς της, ή λόγω περιβάλλοντος ρευστού), µία αντίσταση ανά µονάδα µήκους ίση µε υ, όπου υ η τοπική σωµατιδιακή ταχύτητα της χορδής. είξτε ότι η κυµατική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της χορδής είναι της µορφής ψ 1 ψ ψ x = c t + t. Λύση Έστω τµήµα της χορδής, που σε κατάσταση ηρεµίας έχει µήκος dx και αντίστοιχη µάζα d= ρdx. Υποθέτουµε ότι διαταράσσουµε την χορδή, έτσι ώστε να εκτελεί ταλαντώσεις µικρού πλάτους, (δηλ., οι γωνίες θ που διαγράφει η χορδή, ως προς την αρχική της διεύθυνση ηρεµίας, είναι µικρές ώστε να ισχύει: y θ siθ taθ = << 1). Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, το τµήµα που αναφέραµε x προηγουµένως, σε κατάσταση παραµόρφωσης, θα έχει µήκος y ( x) y ds= dx + dy = 1+ dx, που, λόγω του << 1, θα είναι ds dx, (δηλ. η x παραµόρφωση της χορδής είναι τέτοια που, η χορδή, δεν υφίσταται µεταβολή µήκους, κατά την διάρκεια της ταλάντωσής της, παραδοχή εύλογη για την ταλάντωση µία χορδής, π.χ., ενός εγχόρδου). Εποµένως, η διαφορική εξίσωση κίνησης του τµήµατος d γράφεται: y y y y Fτρ d F = ολ, y = dx, (αφού = υ y ), t x x x+ dx x x t x dx y y y Αλλά, d= ρdx, και = dx, οπότε η εξίσωση κίνησης x x+ dx x x x x y y y γίνεται : ρdx dx dx =, και τελικά : t x t x x x y ρ y y 1 ρ =, που είναι µορφής που δίδεται, όπου =. x t t c Ενδιαφέρον σχόλιο: Αν προσπαθήσουµε να «διαδώσουµε» σε αυτή την χορδή, ένα i( kx ωt) οδεύον κύµα της µορφής y= Ae, τότε η αντικατάσταση αυτής της µορφής στην τελευταία εξίσωση κύµατος θα µας δώσει την παρακάτω σχέση διασποράς: ω ω k = + iω k = iω c c Άρα, το κυµατάνυσµα k είναι µιγαδικό (αφού έχει µιγαδικό τετράγωνο), και θα είναι της µορφής ( ) k = k + ik k = k + ik = k k + ik k 1 1 1 1
ω 1, 1 k k = k k = ω c, απ όπου υπολογίζονται τα k1, k Εποµένως έχουµε διάδοση µε απόσβεση: ( ) ω k x [ ω ] ( ) i k + ik x t k x t y= Ae = Ae ei 1 1. Ιδανική ελαστική χορδή, µε γραµµική πυκνότητα d/dx=ρ, εκτείνεται από x= µέχρι x=+ µε τάση Τ. Το άκρο της χορδής που βρίσκεται στο x= είναι συνδεδεµένο σε µία διάταξη από την οποία υφίσταται εγκάρσια δύναµη F y =-bυ y, όπου b µία θετική σταθερά και υ y η εγκάρσια ταχύτητα της χορδής στο x=. Στην χορδή διαδίδεται, από το x=+ προς το x=, ένα αριστερά οδεύον αρµονικό κύµα y 1 =Acos(ωt + kx). (α) είξτε ότι η οριακή συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση αποµάκρυνσης της χορδής από την κατάσταση ισορροπίας y=y(x, t), στο σηµείο x=, είναι : Τ y x b y = t. (β) Αν το ανακλώµενο, στο x=, κύµα έχει τη µορφή y =Bcos(ωt-kx), να υπολογιστεί ο συντελεστής ανάκλασης Β/Α. (γ) υπολογίστε ένα κατάλληλο b (συναρτήσει των Τ και ρ) ώστε να µην υπάρχει καθόλου ανακλώµενο κύµα. c =/ρ=(ω/k). Λύση : y -bυ y x= α) Στο άκρο x= της χορδής ασκούνται, κατά την εγκάρσια διεύθυνση, η δύναµη τριβής F τρ =- bυ y, και η εγκάρσια συνιστώσα της τάσης, Τ y =Τsiθ. Επειδή στο ίδιο σηµείο δεν υπάρχει άλλο στοιχείο (αδράνεια ή ελαστικότητα), η συνθήκη ισορροπίας των δυνάµεων απαιτεί : ρ siθ-bυ y = siθ = bυ y y x y = b t x= x= β) Αν συνυπάρχουν στη χορδή δύο κύµατα, ένα αριστερά οδεύον (προσπίπτον στο τερµατικό σηµείο, x=), και ένα δεξιά οδεύον, (ανακλώµενο από το τερµατικό σηµείο, x=), τότε η συνολική αποµάκρυνση της χορδής από την κατάσταση ηρεµίας της οφείλεται στην επαλληλία των δύο κυµάτων και y x x = y t x= y= y 1 +y = Acos(ωt+kx) + Bcos(ωt-kx) = Ak si( ω t) + Bk si( ω t) = ( B A) k si( ωt) = Aωsi( ωt) Bωsi( ω t) = ( B+ A) ωsi( ωt)
Αρα : y y ω = b ( B A) k si( ω t) = b( A+ B) ωsi( ωt) ( A B) = ( A+ B) x t k x= x= B bc A B= bca+ bcb A( bc) = B( + bc) = A + bc γ) Ο µηδενισµός του ανακλώµενου κύµατος (Β=) επιτυγχάνεται όταν : Τ-bc = b = /c b= ρ = z Παρατηρούµε ότι ο µηδενισµός του ανακλώµενου κύµατος επιτυγχάνεται όταν η «αντίσταση εισόδου», b, του «δέκτη» είναι ίση µε την «χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση», z, του µέσου διάδοσης. Το αποτέλεσµα αυτό είναι άλλη µία περίπτωση προσαρµογής σύνθετης αντίστασης 3. Ιδανική µεµβράνη, η οποία, σε κατάσταση ισορροπίας εκτείνεται κατά µήκος του < x<+, < y<+, έχει οµοιογενή επιπέδου που ορίζεται από τους άξονες ( ) d d επιφανειακή πυκνότητα µάζας: σ = = σταθ., και τείνεται ισότροπα από ds dxdy F όλες τις κατευθύνσεις µε σταθερή δύναµη ανά µονάδα µήκους = = σταθ. Η l πλευρά της µεµβράνης που εκτείνεται κατά µήκος του άξονα x, στο y= έχει στερεωθεί έτσι ώστε όλα τα σηµεία της ( < x<+, y ) = να είναι ακλόνητα. Στην µεµβράνη, και µακριά από την ακλόνητη πλευρά της( < x<+, y= ), διεγείρεται εγκάρσιο οδεύον κύµα, κυκλικής συχνότητας ω, της µορφής i( k1x k y ω t) z= Ae, όπου, k1 = k 3>. (α) Να προσδιοριστούν οι τιµές των 1, σ,, ω. (β) Να σχεδιαστούν οι ισοφασικές γραµµές της µεµβράνης για ένα τυχαίο στιγµιότυπο, (πριν το κύµα φτάσει τον άξονα x ), και να προσδιοριστεί η γωνία που σχηµατίζουν µε τον άξονα x. (γ) Να σχεδιαστεί η µορφή, (κυµατάνυσµα και ισοφασικές επιφάνειες), του ανακλώµενου κύµατος από την ακλόνητη πλευρά της µεµβράνης. (δ) Να προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων την µεµβράνης που παραµένουν ακίνητα, όταν συνυπάρχουν σε όλη την έκτασή της το αρχικό και το ανακλώµενο κύµα. Λύση k k, συναρτήσει των: ( ) (α) Το κυµατάνυσµα k = xk ˆ 1+ yˆ( k) συνδέεται µε την ταχύτητα c µέσω της σχέση k = ω, οπότε ω ω ω σ = k c 1 + k = 3k + k = k k c = =, και c
y 3ω 3ω σ k1 = = c (β,γ) Το διπλανό σχήµα αποδίδει το προσπίπτον και το ανακλώµενο κύµα. Με τις µαύρες γραµµές αποδίδονται οι ισοφασικές επιφάνειες (κάθετα στα αντίστοιχα κυµατοδιανύσµατα). (δ) Όταν συνυπάρχουν, σε όλη την έκταση της µεµβράνης, προσπίπτον και ανακλώµενο κύµα, τότε η συνολική διαταραχή θα είναι y = y + ολ 1 y, δηλ., i( k1x k y ωt) i( k1x+ k y ωt) i( k1 x ωt) i( k y) i( k y) i( k1 x ωt) yολ = Ae + Ae = Ae e e + = Ae cos( ky) Το αποτέλεσµα είναι ένα οδεύον κύµα στην κατεύθυνση x και ένα στάσιµο κύµα στην κατεύθυνση y. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που ακινητούν προκύπτει από την σχέση : cos( k y ) =, οπότε π π π k y= ( 1) y= ( 1) y = ( 1) k ω σ Εποµένως, οι «δεσµικές καµπύλες» είναι ισαπέχουσες ευθείες, παράλληλες στον π άξονα των x, µε y -συντεταγµένες στα σηµεία y = ( 1). ω σ 4. Ιδανική µεµβράνη ορθογώνιου σχήµατος διαστάσεων ( a b), όπου a= b, είναι οµοιογενής (σταθερή επιφανειακή πυκνότητα µάζας σ ), και τεντωµένη ισότροπα (δύναµη ανά µονάδα µήκους, ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις). Οι τρεις πλευρές της µεµβράνης (µήκους: b, a, b, αντίστοιχα) είναι ακλόνητες ενώ η τέταρτη είναι ελεύθερη. Να προσδιορισθούν οι 6 χαµηλότερες συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης Λύση b y k 1 -k k 1 k Αναζητούµε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης της µορφής z( x, y, t) = X ( x) Y ( y) cos( ω t) Αντικαθιστώντας στην κυµατική εξίσωση x z z 1 z + = x y c t a και διαιρώντας κατά µέλη, µετά τις παραγωγίσεις, µε την ίδια την συνάρτηση z( x, y, t) = X ( x) Y ( y) cos( ω t), παίρνουµε την σχέση 1 d X 1 d Y ω + =, X dx Y dy c x
στο αριστερό µέρος της οποίας, κάθε προσθετέος είναι συνάρτηση άλλης µεταβλητής, άρα δεν µπορεί παρά, ο καθένας, να είναι µία σταθερή ποσότητα. 1 d X 1 d Y Θέτουµε: = k x, k y X dx Y dy =, µε kx + k y = ω c Οι λύσεις είναι της µορφής: X = Acos( k x+ θ ), Y = B cos( k y+ φ) Από τις συνοριακές συνθήκες, παίρνουµε X ( x= ) = θ =, Y ( y= ) = φ = π Y π X ( x= a) = kx =, ( y = b ) = k y = ( 1) a y b x cπ ω= c kx + k y ω = + ( 1) a cπ Οπότε, το φάσµα συχνοτήτων ω, (σε µονάδες ), αναπτύσσεται ως εξής: a ω 11=, ω 1= 5, ω1 = ω31= 1, ω = 13, ω 41= 17, ω13 = ω51= 6,... Παρατηρούµε, ήδη, την εµφάνιση διπλών εκφυλισµών, στους συνδυασµούς δεικτών 1-31, και 13-51, που είναι αποτέλεσµα της σχέσης διαστάσεων a= b. y 5. Σε ένα πείραµα δύο σχισµών που απέχουν µεταξύ τους 1 και φωτίζονται από µονοχρωµατική ακτινοβολία λ=5, καλύπτουµε τη µία από τις δύο σχισµές µε πλακίδιο δείκτη διάθλασης =1.5. Υπολογίστε το πάχος του πλακιδίου έτσι ώστε το κεντρικό µέγιστο (στο επίπεδο παρατήρησης) να µετατοπιστεί στη θέση που βρισκόταν το επόµενο µέγιστο όταν και οι δύο τρύπες ήταν ακάλυπτες. Λύση D θ 1 L x Για την µετακίνηση του κεντρικού µεγίστου, στη θέση του εποµένου µεγίστου, πρέπει να δηµιουργηθεί επιπλέον διαφορά φάσης, ανάµεσα στις δύο δέσµες, ίση µε π. Αν d είναι το πάχος του πλακιδίου και ο d δείκτης διάθλασης, τότε ϕ = π. λ λ 5 Εποµένως : d = = 333,3 δ 1.5 6. έκτης ραδιοφωνικών κυµάτων λαµβάνει ταυτοχρόνως δύο σήµατα. Το ένα σήµα προέρχεται κατ ευθείαν από έναν ποµπό ο οποίος απέχει 5 k. Το δεύτερο σήµα προέρχεται από το ίδιο ποµπό µέσω ανάκλασής του σε τµήµα της ιονόσφαιρας το οποίο ευρίσκεται σε ύψος k, από την επιφάνεια της γης. Όταν η συχνότητα του εκπεµπόµενου σήµατος είναι 1 MHz, στον δέκτη παρατηρείται µία αργή αυξοµείωση της έντασης µε ρυθµό 6 πλήρεις αυξοµειώσεις σε ένα λεπτό. Υπολογίστε
την κατακόρυφη συνιστώσα κίνησης της ιονόσφαιρας. εχθείτε ότι η επιφάνεια της Γης είναι επίπεδη και ότι η ιονόσφαιρα λειτουργεί, για το εκπεµπόµενο σήµα, ως ιδανικός ανακλαστήρας παράλληλος στην επιφάνειας της Γης. Λύση L H Η συνθήκη ενισχυτικής συµβολής είναι ( ) 1 H L L + = λ + και, παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο 1 d dh d H + λ λ ( L ) ( L ) 1 H + H = = dt dt dt H ( L ) H + όπου H dh οπότε, =, 4 dt s =,8, 8 c 3 1 / s λ= = = 3, και ν 7 1 1 s d 6 ταλ. = = 1 dt 6 s s 1 1 7. Μία οπτική ίνα (ΟΙ) από γυαλί τετραγωνικής διατοµής πλευράς a, συµπεριφέρεται ως κυµατοδηγός στην ορατή περιοχή του Η-Μ φάσµατος. Στις δύο δευθύνσεις x και y, κάθετα στον άξονα z της ΟΙ, δηµιουργούνται στάσιµα Η-Μ κύµατα και οι οριακές συνθήκες επιβάλουν περιορισµούς στους (εγκάρσιους) κυµατικούς αριθµούς k x και k y που δίδονται από τις σχέσεις: k x =π/a, και k y =π/a όπου,=1,,3,... οι τάξεις των εγκάρσιων (στασίµων) τρόπων ταλάντωσης του Η-Μ πεδίου στο εσωτερικό του κυµατοδηγού. (α) Θεωρείστε ότι η σχέση διαποράς του Η-Μ κύµατος στο γυαλί δίδεται από τη σχέση ω =(c / )k, όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό και =1.5 ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού, και υπολογίστε τη συχνότητα αποκοπής κάτω από την οποία δεν έχουµε διάδοση οδεύοντος κύµατος κατά µήκος του άξονα z. (β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιµή της διάστασης a ώστε να έχουµε διάδοση δέσµης lase ερυθρού χρώµατος (λ=8 ). (γ) Υπολογίστε τη φασική ταχύτητα υ φ και την οµαδική ταχύτητα υ g ως και δείξτε ότι υ g υ φ =(c/). Λύση π π (α) Από την συνθήκη στασίµων κυµάτων έχουµε: kx =, k y =, a a και από τη δεδοµένη σχέση διασποράς: c η c π ω = ( kx + k y + kz) kz = ω ( + ) η c η a Οπότε, προκειµένου να έχουµε οδεύον κύµα κατά την κατεύθυνση- z θα πρέπει να έχουµε πραγµατικό κυµατάνυσµα k z, δηλαδή, θετικό k z, άρα θα πρέπει να ισχύει:
cπ ω> ωcit = + ηa cπ cπ (β) Από την προηγούµενη σχέση: ω> + a> +. η a ηω cπ Εποµένως, η µικρότερη τιµή του a που εξασφαλίζει οδεύον κύµα είναι a>. ηω λ ή, a>.93 (γ) υ ph Άρα, τελικά: ω cω = = kz η ω ω cit. Επίσης, ισχύει ( cη) 1 kz c dω kz c c c goup c k z k z ω= ω υ = = ω = η dk η η ω υ υ g ph c = η 8. Ένα οπτικό φράγµα διάδοσης, έχει ένα ελάχιστο αριθµό χαραγών ώστε να µπορεί να διακρίνει τη διπλή γραµµή του νατρίου που έχει µήκη κύµατος λ 1 =589. και λ =589.6 (α) Να βρείτε τον ελάχιστο αυτό αριθµό γραµµών ώστε να διαχωρίζονται αυτές οι γραµµές στην 3 η φασµατική τάξη. (β) Μια κόκκινη γραµµή µε µήκος κύµατος, λ=6.5x1-5 βρίσκεται ότι αποτελείται από δύο γειτονικές γραµµές. Αν οι δύο αυτές γραµµές µόλις διαχωρίζονται από ένα περιθλαστικό φράγµα µε 9x1 4 γραµµές, να δείξετε ότι η διαφορά µηκών κύµατος στο ζεύγος γραµµών είναι x1-1 =.. (γ) είξετε ότι, ανεξάρτητα από την απόσταση των γραµµών του φράγµατος, το ιώδες του φάσµατος τρίτης τάξης καλύπτει το κόκκινο του φάσµατος δεύτερης τάξης, υποθέτοντας κάθετη πρόσπτωση. Λύση Η διακριτική ικανότητα ενός συστήµατος περίθλασης, ορίζεται ως ο λόγος λ λ, όπου λ η ελάχιστη διαφορά δύο µηκών κύµατος, που είναι διακρίσηµα από το σύστηµα (σύµφωνα µε το κριτήριο του Rayleigh), και λ, ο µέσος όρος τους. Αποδεικνύεται ότι για την -στης τάξης περίθλαση ενός φράγµατος µε λ συνολικό αριθµό γραµµών Ν, η διακριτική ικανότητα είναι λ =, οπότε: (α) λ 589,3 = = 3 = 946 λ,6 γραµµές. (β) Σε πρώτη τάξη περίθλασης ( = 1), ισχύει 5 λ λ 6,5 1 9 = λ= = =,9 1 =,9 4 λ 9 1 1
(γ) Η συνθήκη ενισχυτικής περίθλασης τάξης, από ένα φράγµα µε απόσταση σχισµών d, σε γεωµετρία κάθετης πρόσπτωσης, είναι η εξής: d siθ = λ Οπότε, για το 3 ης τάξης ιώδες και για το ης τάξης ερυθρό, έχουµε, αντίστοιχα: d siθιωδ = 3λιωδ siθιωδ 3λιωδ 3, 4 = = = 1 d siθερυθ = λερυθ siθερυθ λερυθ, 6 Εποµένως οι γωνιακή εκτροπή είναι ίδια και υπάρχει αλληλεπικάλυψη. 9. Σε ένα σύστηµα τριών σχισµών (επί ευθείας), η µεταξύ τους απόσταση (ανά δύο) είναι D= µ. Ένα αρµονικό D ηλεκτροµαγνητικό κύµα, µε µήκος θ κύµατος λ=5 προσπίπτει κάθετα D προς τη γραµµή που συνδέει τις σχισµές. (α) Aν το πλάτος που εξέρχεται από κάθε σχισµή είναι ίσο µε ψ, να υπολογίσετε το συνολικό πλάτος του κύµατος στο σηµείο Σ, σε απόσταση = 1 c, συναρτήσει της γωνίας θ, ως προς την κάθετο στη γραµµή που συνδέει τις σχισµές. (β) Βρείτε τις γωνιακές θέσεις θ για τις οποίες η ένταση του κύµατος ισούται µε µηδέν. (γ) Σχολιάστε την ορατότητα των κροσσών συµβολής από ένα σύστηµα δύο µονοχρωµατικών κυµάτων µε λ 1 =53.7 και λ =53.71, τα οποία προσπίπτουν κάθετα σε δύο σχισµές. Ορίστε την ορατότητα των κροσσών, και βρείτε σε ποια γωνία θ, ως προς την µεσοκάθετο δύο σχισµών αυτή µηδενίζεται. Λύση iδ iδ i3δ (α) ολ ( ) ( 3δ ) ( δ ) si π y = y e + e + e =... = y, µε δ = Dsiθ si λ si( 1π siθ) yολ = y si 4π siθ ( ) (β) Τα σηµεία µηδενισµού αντιστοιχούν σε 1π si θ = π, π, 3π 1 3 si θ =,, 1 1 1 (γ) Η ορατότητα (visibility) των κροσσών συµβολής ορίζεται µε βάση την Iax Ii µέγιστη και την ελάχιστη ένταση της εικόνας περίθλασης, ως : V = Iax + Ii Τα µέγιστα παρατηρούνται στις γωνίες λ1 siθ ax = d Τα ελάχιστα παρατηρούνται στις γωνίες ( + 1 ) λ siθi = d Όταν τα µέγιστα του ενός µήκους κύµατος συµπίπτουν µε τα ελάχιστα του άλλου, τότε έχουµε περίπου σταθερή ένταση παντού και η ορατότητα µηδενίζεται. Υποθέτοντας γωνιακή σύµπτωση και εξισώνοντας τα ηµίτονα:
λ λ λ 53,7 λ1 = λ+ λ= = = = 1685 λ, 1 λ1 1685, 537 Οπότε: siθax = = >> 1. Άρα, η επικάλυψη ελαχίστων d µεγίστων δεν συµβαίνει στις παρατηρήσιµες γωνίες. 1. Eνα lase κατασκευάζεται τοποθετώντας ένα σωλήνα πλάσµατος σε µία οπτική κοιλότητα συντονισµού που σχηµατίζεται από δύο καθρέπτες υψηλής ανακλαστικής ικανότητας, που δρούνε σαν ακλόνητα τοιχώµατα (σε ένα αντίστοιχο µηχανικό σύστηµα χορδής µε ακλόνητα τα δύο άκρα) για τα οπτικά κύµατα. Ο σκοπός του σωλήνα πλάσµατος είναι να παράγει φώς µε διέγερση που προκαλεί τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης της κοιλότητας (το φώς π.χ. είναι µία µεγάλη συλλογή από φωτόνια που προκύπτουν µέσω επαγόµενων ατοµικών µεταπτώσεων από µία διεγερµένη κατάσταση Ε +1 σε µία άλλη χαµηλότερης ενέργειας, Ε ). (α) Ποιες είναι οι συχνότητες κανονικών τρόπων της κοιλότητας συντονισµού συναρτήσει του L και c (ταχύτητα φωτός στο κενό); (β) Υποθέστε πως ο σωλήνας πλάσµατος Ένταση (αυθ. µονάδες) εκπέµπει φως µε επίκεντρο στη συχνότητα ν = 5x1 14 Hz µε φασµατικό εύρος (λόγω κυρίως της διαπλάτυνσης Dopple), όπως φαίνεται στο Σχήµα. Η τιµή του ν είναι τέτοια ώστε όλοι οι κανονικοί τρόποι της κοιλότητας των οποίων η συχνότητα κείται σε ±1x1 9 Hz απόσταση από την ν να διεγείρονται στο σωλήνα πλάσµατος. (1) Πόσοι τρόποι διεγείρονται αν L=1.5 ; () Ποια είναι η µεγαλύτερη τιµή του L έτσι ώστε µόνο ένας κανονικός τρόπος ταλάντωσης να διεγείρεται (έτσι ώστε το lase να έχει µόνο µία συχνότητα εξόδου.) Λύση 1 1 8 6 4 L 1 Συχνότητα (5X1 11 ) Hz (α) Συνθήκη κανονικών τρόπων ταλάντωσης: π c c k = ν = ν = L L L (β1) Ο αριθµός Ν των τρόπων ταλάντωσης που διεγείρονται: ν ν = = L=... = 1 ν c ν ν (β) Για να επιτρέπεται η διέγερση ενός µόνο τρόπου ταλάντωσης, Ν=1, πρέπει: ν c L= 1 L= =.. = 15 c ν
Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση, (µάζα=, σταθερά ελατηρίου= s, συντελεστής τριβής= ) διεγείρεται µε αρχικές συνθήκες, ψ ψ ( t= ) = και = υ. t t=, s,, διεγερθεί µε εξωτερική δύναµη της µορφής (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( ) F( t) = F cos( ω t), και θεωρήσουµε ότι το, να υπολογίστε το πλάτος αποµάκρυνσης της µόνιµης λύσης και να το σχεδιάσετε συναρτήσει του ω. (β) είξτε ότι η συνάρτηση αποµάκρυνσης από την κατάσταση ισορροπίας γράφεται: t ψ ( t) = ( υ ω a) e γ si( ωat), και προσδιορίστε τα ωa, γ, συναρτήσει των (, s, ). (γ) Αν a είναι η περίοδος του ταλαντωτή µε ασθενή απόσβεση, και ρ είναι ο λόγος µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων της ψ ( t), υπολογίστε την παράµετρο γ, συναρτήσει των a και ρ. Απάντηση A(ω) σχήµα. Α(ω) Α(ω) - ω/ω 4 φ(ω) -π (α) Αν, η διαφορική εξίσωση κίνησης γίνεται s ɺɺ ψ + F cos( t ψ = ω ), άρα η λύση θα είναι της µορφής ψ = Acos( ω t), οπότε, παραγωγίζοντας φορές και αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση έχουµε, µετά την απαλοιφή των cos( ω t), την σχέση Fo Aω ( ) =, που αποδίδεται από το διπλανό ω ω o t (β) Θα δείξουµε πρώτα ότι η συνάρτηση ψ ( t) A e γ = si( ωat+ ϕ), A= υ ω a (1) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης: s ɺɺ ψ + ψ ɺ + ψ = () Αντικαθιστούµε στην () τις ψ, ψɺ, ɺɺ ψ, όπως προκύπτουν από την (1), και οµαδοποιούµε τους συντελεστές του si( ω t a ) και cos( ω t a ), που ο καθένας πρέπει να είναι συνολικά ίσος µε µηδέν: s γ γ t γ t ɺɺ ψ + ψɺ + ψ = A ωa e si( ωat) Aγω ae cos( ωat) 4 Aγ γ t γ t s γ t + e si( ωat) + Aω ae cos( ωat) + Ae si( ωat) =
Μηδενίζοντας τον συντελεστή του si( ω t a ) : γ Aγ s A ωa + A= 4 (3) Μηδενίζοντας τον συντελεστή του cos( ω t a ) : Aγω a = A ωa γ = (4) s γ γ και αντικαθιστώντας στην (3): ωa = = ω γ t γ ( t+ ) (γ) ψ ( t) = A e a si( ωat) και ψ ( t+ a ) = A e si ( ωa ( t+ a )) si ω t = si ω ( t+ ) = 1, οπότε Επειδή έχουµε διαδοχικά µέγιστα ( ) ( ) λ ψ ( t) a lλ e γ ψ ( t+ ) γ = = a a a a a X 1 X X 3 k k 1 3 Θέµα. Σε ένα γραµµικό τριατοµικό µόριο, κάθε άτοµο, στην κλασική θεώρηση, αλληλεπιδρά µόνο µε τον πλησιέστερο γείτονά του, µε ένα ελατήριο σταθεράς k. (α) Γράψτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης των τριών ατόµων. (β) Αν οι µάζες των ατόµων είναι 1 = 3 = =, θεωρήστε λύσεις µε τη µορφή κανονικών τρόπων ταλάντωσης και υπολογίστε τις αντίστοιχες συχνότητες, k συναρτήσει του ω =. x (γ) Υπολογίστε τους λόγους των πλατών ταλάντωσης, x, x 1 x, και x1 3 x, για 3 κάθε κανονικό τρόπο ταλάντωσης. Απάντηση X 1 X X 3 k k 1 3 (α) ɺɺ x + k( x x ) = 1 1 1 ɺɺ x + k( x x ) + k( x x ) = 1 3 ɺɺ x + k( x x ) = 3 3 3 (β) Αντικαθιστούµε: 1 = 3 = A =, κιαι = B = Υποθέτοουµε x1 =Α cos( ω t), x =Β cos( ω t), x3 =Γ cos( ω t) Παραγωγίζουµε και αντικαθιστούµε στο αρχικό σύστηµα, που µετατρέπεται σε οµογενές γραµµικό σύστηµα 3x3 για τα πλάτη, Α, Β, Γ,
( ω ω ) Α ω Β+ Γ= (1) ω Α+ ( ω ω ) Β ω Γ= () Α ω Β+ ( ω ω ) Γ= (3) που, για να είναι επιλύσιµο πρέπει να έχει µηδενική ορίζουσα : ( ω ω ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ( ω ω ) ( ) = ( 4 )( ) = Εποµένως: ω 1= ισοταχής κίνησης του κέντρου µάζας του συστήµατος ω = ω συµµετρική ταλάντωση µε το Β: ακίνητο ω = ω αντισυµµετρική ταλάντωση µε το Β να κινείται αντίθετα από τα Α 3 (γ) Αντικαθιστώντας ω 1= στις (1) και (3), παίρνουµε: Α = Β = Γ Αντικαθιστώντας ω = ω στις (1) και (), παίρνουµε: Α = Γ, Β = Αντικαθιστώντας ω3 = ω στην (), παίρνουµε: Α = Β = Γ
Θέµα 3. Ιδανική χορδή µήκους L, που εκτείνεται κατά µήκος του άξονα x, έχει ρ( x) = ρ 1+ x L και τείνεται µε τάση. (α) Να µεταβλητή πυκνότητα, ( ) παραχθεί η διαφορική εξίσωση κύµατος που ικανοποιεί µία διαταραχή, y= y( x, t), της χορδής, στην προσέγγιση των µικρών γωνιών, ( siθ taθ θ). (β) Στην περίπτωση που διεγείρουµε, στο άκρο x=, αρµονική ταλάντωση, y( x=, t) = Acos( ω t), σε µόνιµη κατάσταση, να υπολογίσετε το µήκος κύµατος της διαταραχής που διαδίδεται στη χορδή, ως συνάρτηση της θέσης x, λ= λ( x), και να σχεδιάσετε ένα στιγµιότυπο αυτής της κίνησης. (γ) Στην περίπτωση που η γραµµική πυκνότητα είναι ίδια σε όλο το µήκος της χορδής, και στο ένα άκρο της συνδέεται µε µία χορδή αµελητέας γραµµικής πυκνότητας, να υπολογισθεί το συνολικό πλάτος αποµάκρυνσης του σηµείου σύνδεσης, όταν σε αυτό φτάνει παλµός ύψους Α. Απάντηση (α) Από το νόµο του Νεύτωνα για στοιχείο µάζας d= ρdx, έχουµε y y y y y d = F y, ολ ( ρ( x) dx) = dx = t t x x+ dx x x x Τελικά, η κυµατική εξίσωση γράφεται: y y ρ( x) = t x F1 (β) Από το (α) έχουµε ότι η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι 1, Y Axis itle 1,,8,6,4,, -, -,4 -,6 c( x) = = ρ + ( x) ρ(1 x / L ) Και, για το µήκος κύµατος : -,8-1, -1, 1 X Axis itle ω π ρ(1 + x / L ) π k = = ω λ = c λ ω ρ + x L (1 / ) Το στιγµιότυπο φαίνεται στο διπλανό σχήµα, το οποίο αποδίδει την µείωση του µήκους κύµατος µε την απόσταση. (γ) Ο συντελεστής ανάκλασης πλάτους, σε µία ασυνέχεια, δίνεται από τη σχέση z1 z =, z + z 1 =, =, οι σύνθετες αντιστάσεις των αντίστοιχων µέσων όπου z1 ρ1 z ρ διάδοσης. Στη συγκεκριµένη περίπτωση : z 1, εποµένως: A = Ai και A = A + ολ A = A i
ηλαδή, το συνολικό πλάτος είναι το διπλάσιο του προσπίπτοντος πλάτους.
R θ K Π Θέµα 4. Κολοβός γυάλινος κώνος (Κ), µε µικρή γωνία siθ taθ θ, ακουµπάει, ανάστροφα, σε βάσης, θ, ( ) γυάλινο πλακίδιο (Π), έτσι ώστε, ανάµεσά στις παράλληλες επιφάνειες, να παρεµβάλλεται ένα στρώµα αέρος µε µικρό πάχος, (π.χ.,,1 ). Το σύστηµα φωτίζεται κατακόρυφα, από πάνω, µε σύµφωνο µονοχρωµατικό φως µήκους κύµατος λ= 5. Θεωρήστε ότι ο αέρας έχει δείκτη διάθλασης περίπου 1, και ότι η ανακλώµενη ακτινοβολία από όλες τις επιφάνειες κατευθύνεται επίσης κατακόρυφα. (α) Εξηγείστε αναλυτικά γιατί, όταν παρατηρεί κανείς την ανακλώµενη ακτινοβολία, βλέπει κυκλικούς φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς. (β) Εξηγείστε αν ο κεντρικός κροσσός είναι σκοτεινός ή φωτεινός και πόση είναι η ακτίνα του. (γ) ώστε από µία σχέση υπολογισµού για τις ακτίνες των διαδοχικών φωτεινών ( ϕ ) και σκοτεινών ( σ ) κροσσών, αντίστοιχα, αν η επιφάνεια επαφής είναι κύκλος ακτίνας R. Απάντηση (α) Ανάµεσα στις ανακλώµενες ακτίνες από τις επικλινείς πλευρές του κώνου και K από την πάνω πλευρά της επίπεδης πλάκας h υπάρχει διαφορά οπτικού δρόµου: x Ο = h. Επιπλέον, η ανακλώµενη στη οριζόντια λ πλευρά του κάτω πλακιδίου έχει διαφορά φάσης ϕ = π Ο =, Άρα, στην κεντρική περιοχή, όπου λόγω αµελητέου πάχους στο στρώµα του αέρα, υπάρχει µόνο η διαφορά φάσης από την ανάκλαση, έχουµε καταστρεπτική συµβολή, άρα σκοτεινό κροσσό. Για = R+ x> R, έχουµε 1 Για φωτεινούς κροσσούς : hϕ = + λ Για σκοτεινούς κροσσούς : h = λ σ h h σ ϕ Αλλά: taθ = =, εποµένως οι αντίστοιχες ακτίνες των φωτεινών και x x σκοτεινών κροσσών είναι σ ϕ ( 1/ ) + λ ϕ = R+ xϕ = R+ = R+ x taθ λ σ = R+ xσ = R+ taθ
Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση, (µάζα=, σταθερά ελατηρίου= s, συντελεστής τριβής= ) διεγείρεται µε εξωτερική δύναµη που η i t µιγαδική της αναπαράσταση είναι F( t) = F e ω. (α) Γράψτε την διαφορική εξίσωση κίνησης, για την αποµάκρυνση x από την κατάσταση ισορροπίας. Υποθέστε ότι έχετε µόνιµη κατάσταση κίνησης, (τα µεταβατικά φαινόµενα έχουν µηδενιστεί), και αναζητείστε λύση της µορφής iωt x= xe. Υπολογίστε το µιγαδικό πλάτος x της αποµάκρυνσης, συναρτήσει των F,,, s και ω, στη µόνιµη κατάσταση. φ (β) Γράψτε το µιγαδικό πλάτος µε τη µορφή x = Ae i, και προσδιορίστε τα πραγµατικά µεγέθη A και ta φ, καθώς και τις τιµές της φάσης φ, όταν ω και ω (γ) ώστε τις αντίστοιχες εκφράσεις για τις µιγαδικές παραστάσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) ιαφορική εξίσωση κίνησης: iωt x ɺɺ= sx xɺ + F e x ɺɺ+ sx+ xɺ = F e Μόνιµη λύση: iωt x= x e xɺ = iωx e ɺɺ x= ω x e i ω t i ω t i ω t Για τον υπολογισµό του µιγαδικού πλάτους, αντικαθιστούµε τις εκφράσεις για τα x, xɺ, ɺɺ, x στη διαφορική εξίσωση, οπότε: ( ω ω ) + + = = ω + s + iω iωt iωt F s i xe F e x F Τελικά : s x =, όπου ω ω ω + iω = : η φυσική συχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος, αν δεν υπήρχε τριβή ( = ) και εξωτερική µόνιµη δύναµη ( F = ). (β) Για να γράψουµε το µιγαδικό πλάτος µε τη µορφή x Ae i µιγαδικό παρανοµαστή µε τη µορφή: ɺ (µετρο) e i(φαση) ɺ ( ) ( ), δηλαδή, ω acta ω ω φ =, γράφουµε τον ω ω + iω = ω ω + ω e, οπότε F F F x = = = ω ω + iω iacta ω ω ω ω ω ω ω ω + + e ω i ( ) ( ) ( ) ( ) e iφ Εποµένως: F ω A=, ta φ= ( ) ( ) ω ω ω ω ω +
F Ισοδύναµα:, ta φ A= = ( s ω ) + ω s ω ω Οι οριακές συµπεριφορές της φάσης, εποµένως είναι : φ ω φ ω π (γ) Έχουµε : ( ), ( ) iωt φ x= xe και x = Ae i, άρα (ω φ) x iωae i t = i(ωt φ) x= Ae i(ωt φ) ɺ, και επιτάχυνση: Και, εποµένως, ταχύτητα: ɺɺ x= ω Ae Θέµα. Ν-τον-αριθµό σηµειακές µάζες, είναι στερεωµένες σε ίσες αποστάσεις a, σε ιδανική χορδή (χωρίς µάζα) που είναι τεντωµένη µε τάση Τ, και έχει ακλόνητα άκρα, (επίσης σε απόσταση a, από τις τερµατικές µάζες). Οι µάζες διαταράσσονται ώστε να εκτελούν ταλάντωση εγκάρσια ως προς την χορδή (κινούµενες όλες στο ίδιο επίπεδο) µε µικρά πλάτη (έτσι ώστε για τις γωνίες που σχηµατίζει η χορδή, ως προς την αρχική της θέση, να ισχύει η προσέγγιση si θ ta θ θ και, επίσης, η τάση Τ να διατηρεί το µέτρο της). (α) Γράψτε την διαφορική εξίσωση κίνησης που ισχύει για την αποµάκρυνση y της οστής µάζας, από την θέση ισορροπίας της. (β) είξτε ότι, σε κανονικό τρόπο ταλάντωσης (ΚΤΤ) µε συχνότητα ω, τα πλάτη ταλάντωσης τριών διαδοχικών µαζών ικανοποιούν τη σχέση (εξίσωση διαφορών) ca A+ 1 A 1=, και προσδιορίστε την τιµή της σταθεράς c, συναρτήσει των, ω, a,. (γ) Αν τα πλάτη είναι της µορφής A = C si( δ), βρείτε τη σχέση που πρέπει να ικανοποιεί το δ, µε βάση τις οριακές συνθήκες. Από την σχέση που ικανοποιεί το δ και απαιτώντας να ικανοποιούν τα A 1, A, A+ 1, την συνθήκη του ερωτήµατος (β), προσδιορίστε τις επιτρεπτές τιµές του ω. (δ) Για την περίπτωση Ν=3, σχεδιάστε τους τρεις ΚΤΤ, είτε µε βάση τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (γ), είτε µε βάση επιχειρήµατα συµµετρίας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ θ 1 θ y -1 y y +1 (α) Η διαφορική εξίσωση του -στού σωµατιδίου (βλ. σχήµα), γράφεται a a a y ɺɺ = si θ1 si θ Με τις προσεγγίσεις y y 1 y y+ 1 si θ θ ta θ, έχουµε y ɺɺ = a a (β) Για κανονικούς τρόπους ταλάντωσης (ΚΤΤ) έχουµε y = A cos(ω t) και αντίστοιχα: y cos(ω ) 1= A 1 t, y cos(ω ) 1= A 1 t + + Αντικαθιστώντας στην διαφορική εξίσωση κίνησης, έχουµε
a a ω A cos(ω t) = ( A+ 1+ A 1 A ) cos(ω t) ω A = ( A+ 1+ A 1 A ) a A A A A =, ή, ισοδύναµα ca A+ 1 A 1=, όπου a c= ω ω + 1 1 (γ) Αν A = C si( δ), και έχουµε Ν-σωµατίδια, η απαίτηση να έχουµε ακίνητα άκρα στην χορδή σηµαίνει A =, που ικανοποιείται αυτόµατα και A + 1=, που σηµαίνει sπ si[( + 1)δ] = δ =, + 1 s= 1,,..., Γράφοντας τις αντίστοιχες εκφράσεις για τις δύο γειτονικές µετατοπίσεις sπ A+ 1= C si[( + 1)δ] = C si ( + 1) + 1, και sπ A 1= C si[( 1)δ] = C si ( 1) + 1, έχουµε A 1+ A+ 1 C si[( 1)δ] + C si[( + 1)δ] = = cos(δ) A C si[ δ] και συνδυάζοντας µε το αποτέλεσµα του ερωτήµατος (β) όπου ω έχουµε: =, a ω ω sπ ω ω cos(δ) = = cos ω + 1 ω A + A ω ω =, 1 + 1 A ω Άρα, οι επιτρεπτές τιµές του ω είναι: sπ ω ω sπ cos = ω = ω 1 cos, s= 1,,..., + 1 ω + 1 (δ) Για Ν=3 έχουµε, αντίστοιχα π για s=1, A = C si[ δ] = C si 4, A1 = C, A = C, A3 π s=, A = C si[ δ] = C si 4, A1 = C, A =, A3 s=3, = C 3π A = C si[ δ] = C si 4, A1 = C, A = C, A3 = C = C s=1 s= s=3
Θέµα 3. Οµοιόµορφη χορδή µεγάλου µήκους µε σταθερή γραµµική πυκνότητα, d = ρ, εκτείνεται κατά µήκος του άξονα x, µε τάση, και ευρίσκεται µέσα σε ένα dx ελαστικό περιβάλλον το οποίο ασκεί πάνω της µία δύναµη ανά µονάδα µήκους Fελ,περ ανάλογη της αποµάκρυνσής της, y, από την κατάσταση ισορροπίας, = η y, dx όπου η : θετική σταθερά. (α) Να γράψετε την εξίσωση κίνησης της χορδής και να συνάγετε την εξίσωση κύµατος που ικανοποιεί. (β) Να υπολογίσετε τη σχέση διασποράς, ω= ω( k) για την διάδοση µονοχρωµατικού κύµατος (γ) Να υπολογίσετε την φασική και την οµαδική ταχύτητα, συναρτήσει του µήκους κύµατος λ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Για στοιχειώδες τµήµα της χορδής, µήκους dx και µάζας d= ρdx, ισχύει: y y y (ρ dx) = ηydx t x x+ dx x x Εκφράζοντας την διαφορά παραγώγων µέσω της δεύτερης παραγώγου, έχουµε: y y (ρ dx) = dx ηydx, και απλοποιώντας τον παράγοντα dx, έχουµε t x y y ρ = ηy, που είναι η εξίσωση κύµατος για την περίπτωση t x αυτή. (β) Για τον υπολογισµό της σχέσης διασποράς, αντικαθιστούµε στην εξίσωση κύµατος του ερωτήµατος (α) ένα οδεύον µονοχρωµατικό κύµα της µορφής i( kx ωt) y= Ae, και τις παραγώγους του, οπότε: y y ρ = ηy ω ρy= k y ηy t x Απλοποιώντας τον κοινό παράγοντα y παίρνουµε την σχέση διασποράς η ω ρ= k + η ω= + k ρ ρ (γ) Για τον υπολογισµό φασικής και οµαδικής ταχύτητας, έχουµε: ω 1 η η ηλ υ ph = = + k υ ph = + υ ph = + k k ρ ρ ρk ρ 4πρ ρ 1 1 dω d η 1 η k υg = = + k υg = + k k = dk dk ρ ρ ρ ρ ρ η ρ + k ρ ρ
υ g k = = = η ηρ ηρ ρ + k + ρ λ ρ + ρ ρ k 4π ρ / ρ υg = = = υ υ ph g = = c ηρ ρ ηλ υ ph λ + ρ + 4π 4πρ ρ b Z 1 Z Z 3 a (,, ) 1 3 Θέµα 4. εξιά οδεύον µονοχρωµατικό κύµα i( ωt k1x) ya = ae διαδίδεται σε ιδανικό ( ω= ck ) µονοδιάστατο ελαστικό µέσο κατά µήκος της διεύθυνσης x. Το µέσον διάδοσης έχει τρεις περιοχές µε διαφορετική χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση Z η κάθε µία: Z( < x< ) = Z1, Z( < x< L) = Z, Z( L< x< ) = Z, και αντίστοιχες ταχύτητες c c c. Λόγω των ασυνεχειών της σύνθετης αντίστασης στα σηµεία x= και x= L, έχουµε διαδοχικές ανακλάσεις στα ίδια σηµεία. Υποθέτουµε ότι ευρισκόµαστε στο όριο της ασθενούς ανάκλασης, σύµφωνα µε το οποίο, από < x<, µόνο οι τις συνιστώσες που επιστρέφουν στην αρχική περιοχή ( ) δύο πρώτες συνιστώσες µε πλάτη b και f, είναι σηµαντικές, ενώ οι υπόλοιπες είναι αµελητέες, και, θεωρώντας ως δεδοµένες τις τιµές των Z 1 και Z 3, αναζητούµε κατάλληλες τιµές για το πάχος L και την σύνθετη αντίσταση Z της ενδιάµεσης περιοχής ( < x< L) ώστε να µηδενίσουµε το αποτέλεσµα της συµβολής των δύο ανακλώµενων δεσµών a και b, («προσαρµογή αντιστάσεων», µε παρεµβολή κατάλληλης ενδιάµεσης αντίστασης). (α) Γράψτε τις µορφές των µονοχρωµατικών κυµάτων yb και y f, (β) Γράψτε τις συνθήκες για τα πλάτη και τις φάσεις των yb και y f, προκειµένου να έχουµε πάντοτε πλήρη αναιρετική συµβολή των δύο αυτών ανακλώµενων. (γ) Γράψτε τα πλάτη των yb και y f συναρτήσει των Z1, Z, Z 3. (δ) Συνδυάζοντας τα ερωτήµατα (β) και (γ), υπολογίστε το Z συναρτήσει των Z1, Z 3 και το L, συναρτήσει των ω, c1, c, έτσι ώστε να έχουµε µηδενική ανάκλαση, στο πλαίσιο των παραπάνω προσεγγίσεων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ f c d x= x=l e 3 (α) ya i( ωt k1x) = ae, yb i( ωt+ k1x) = be, y f = fe ( ω + ) i t k x k L 1 (β) Συνθήκες αναιρετικής συµβολής: b= f και kl= π Z1 Z (γ) b= a1 = a Z + Z 1 3, f = at13t 1= a3t1t 1= a t1t1 Z Z3 Z Z
Στην προσέγγιση της ασθενούς ανάκλασης, ( ), λαµβάνοντας, επίσης υπόψη ότι =, έχουµε: 1 1 1 t t = (1 + )(1 + ) = (1 + )(1 ) = 1+ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z1 Z Z Z3 Οπότε, τα δύο πλάτη είναι b= a, f = a Z 1+ Z Z Z 3 (δ) Με βάση την πρώτη συνθήκη αναιρετικής συµβολής: Z1 Z Z Z3 b= f = Z1+ Z Z+ Z3 Z1 Z Z Z3 = Z1Z3 = Z Z = Z1Z3 Z1+ Z Z+ Z3 Όσον αφορά στο µήκος L, από την σχέση π πλ λ π c kl= π L= = L= = k π 4 ω