Μελέτη Ρυθμιζόμενης Διάταξης Φωτονικού Κρυστάλλου Μονοδιάστατης Περιοδικότητας Τεχνολογίας Πυριτίου πάνω σε Μονωτή

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μελέτη Ρυθμιζόμενης Διάταξης Φωτονικού Κρυστάλλου Μονοδιάστατης Περιοδικότητας Τεχνολογίας Πυριτίου πάνω σε Μονωτή Ηλίας Ι. Κουρίκος ΑΕΜ: 5074 Επιβλέπων: Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Επίκουρος καθηγητής ΑΠΘ Θεσσαλονίκη, Φεβρουάριος 2008

ii

iii Πρόλογος Οι εξελίξεις στις τεχνολογίες των υπολογιστών και τηλεπικοινωνιών, ωθούν την έρευνα στην αξιοποίηση της σύγχρονης οπτικής. Στην αναζήτηση υλικών για τον αποτελεσματικό έλεγχο του φωτός, εξαιρετική λύση αποτελούν οι φωτονικοί κρύσταλλοι. Ακόμα και η απλούστερη δομή, ο φωτονικός κρύσταλλος μονοδιάστατης περιοδικότητας, δεν παύει να αποτελεί βάση για πλήθος εφαρμογών. Εκτός από το σχεδιασμό παθητικών εξαρτημάτων, η έρευνα επεκτείνεται στην αξιοποίηση υλικών με μη γραμμικές ιδιότητες, για τη δημιουργία ενεργών διατάξεων. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν οι υγροί κρύσταλλοι, και εξωτικά υλικά, όπως το LiNbO 3. Η επιστράτευση της φωτονικής τεχνολογίας πυριτίου (Silicon Photonics) για την ολοκλήρωση οπτικών εξαρτημάτων σε κοινό υπόστρωμα, υπόσχεται τη μαζική παραγωγή σύνθετων διατάξεων χαμηλού κόστους. Η παραγωγή γίνεται με τις υπάρχουσες συμβατικές μεθόδους μεταχείρισης πυριτίου, επιτρέποντας, ταυτόχρονα, την ολοκλήρωση ηλεκτρονικών ελέγχου στο ίδιο σύστημα. Νέες προτάσεις ξεπερνούν σκοπέλους, όπως η υλοποίηση πηγών, και οδηγούν σε εμπορικά αξιοποιήσιμες συσκευές. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα μελετηθεί η δυνατότητα ελέγχου των νηματικών υγρών κρυστάλλων, για την ενσωμάτωση σε ενεργό οπτικό εξάρτημα. Στη συνέχεια θα αξιολογηθεί διάταξη 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου, κατασκευασμένη με τεχνολογία πυριτίου σε υπόστρωμα μονωτή (Silicon On Insulator). Θα δοθεί έμφαση στη δυνατότητα ρύθμισης, και θα προταθούν περαιτέρω εφαρμογές.

iv

v Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία είναι αποτέλεσμα συστηματικής έρευνας των τεχνολογιών της σύγχρονης οπτικής. Η ολοκλήρωσή της θα ήταν δύσκολη χωρίς τη βοήθεια κάποιων ανθρώπων, στους οποίους θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Εμμανουήλ Ε. Κριεζή, για τη συνεχή καθοδήγηση, τη μεθοδικότητα που επέβαλε στη διερεύνηση και την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων, αλλά και για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε, αναθέτοντάς μου ένα θέμα σύγχρονης έρευνας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους κ. Δημήτρη Αλμπανίδη, για την πολύτιμη βοήθεια στον προγραμματισμό στη γλώσσα C++, και την κα. Άννα Τασολάμπρου, για την παροχή αποτελεσμάτων, προς σύγκριση.

vi

vii Περιεχόμενα Πρόλογος Ευχαριστίες Περιεχόμενα iii v vii 1. Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 1 1.1. Φωτονικοί κρύσταλλοι 1 1.2. Φωτονική τεχνολογία πυριτίου (Silicon Photonics) 7 1.3. Ρύθμιση φωτονικών κρυστάλλων 10 1.4. Περιγραφή εξεταζόμενης διάταξης 11 2. Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 15 2.1. Ιδιότητες νηματικού υγρού κρυστάλλου 15 2.2. Γεωμετρία άπειρων παράλληλων πλακών 18 2.3. Γεωμετρία άπειρου τραπεζοειδούς υποστρώματος 21 3. Διάδοση Η/Μ κύματος σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο 31 3.1. Περιγραφή της προσομοίωσης 31 3.2. Μοντελοποίηση σε 2 διαστάσεις 32 3.3. Μοντελοποίηση σε 3 διαστάσεις 35 4. Συμπεράσματα 41 5. Βιβλιογραφία 45 Παράρτημα A. Προγράμματα πακέτου MEEP 49

viii

1 1. Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 1.1. Φωτονικοί κρύσταλλοι Η επιστήμη των υλικών διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τεχνολογίας. Η κατανόηση των μηχανικών και ηλεκτρικών ιδιοτήτων, επιτρέπει στους μηχανικούς να βελτιώσουν τη τεχνογνωσία σε όλους τους τομείς των εφαρμοσμένων επιστημών από την ανέγερση κτισμάτων, έως τη συρρίκνωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, και την ασφαλή συσκευασία των τροφίμων. Μόλις τις τελευταίες δεκαετίες, ξεκίνησε και η συστηματική εξερεύνηση των οπτικών ιδιοτήτων των υλικών, με φιλόδοξες προσδοκίες για πρόοδο σε σύγχρονα μέτωπα της τεχνολογίας -τηλεπικοινωνίες, υπολογιστές, βιοϊατρική. Στην προσπάθεια για τον πλήρη έλεγχο της διάδοσης του φωτός, οι αναλογίες ανάμεσα σε μηχανικές και ηλεκτρικές ιδιότητες υποδεικνύουν την ύπαρξη συγκεκριμένων οπτικών ιδιοτήτων. Ιδιαίτερα χρήσιμη θα ήταν η μεταφορά της ηλεκτρικής ιδιότητας της κρυσταλλικής δομής περιοδική διάταξη ατόμων ή μορίων στο χώρο: λόγω του περιοδικού δυναμικού, σχηματίζονται διάκενα στην ενεργειακή ζώνη του κρυστάλλου, που απαγορεύουν τη διάδοση ηλεκτρονίων συγκεκριμένης ενέργειας προς ορισμένες διευθύνσεις. Με το συνδυασμό της φυσικής στερεάς κατάστασης και του ηλεκτρομαγνητισμού, προκύπτει το οπτικό ανάλογο, ο φωτονικός κρύσταλλος. Σχήμα 1.1. Παράδειγμα 1-Δ, 2-Δ και 3-Δ φωτονικού κρυστάλλου. Ο έλεγχος των φωτονίων επιτυγχάνεται με το σχηματισμό μιας μακροσκοπικής περιοδικής δομής διηλεκτρικών μέσων αντί ατόμων, σε μία, δύο, ή τρεις διαστάσεις

2 Κεφάλαιο 1 (Σχήμα 1.1), και εκφράζεται μαθηματικά με μια περιοδική συνάρτηση διηλεκτρικής r r r σταθεράς ε ( x) = ε ( x + R i ), όπου R r i στοιχειώδες διάνυσμα της δομής, και i =1, 2,3 για περιοδικότητα στις 3 διαστάσεις. Η μελέτη των φωτονικών κρυστάλλων ξεκινά από το θεώρημα Bloch-Floquet, σύμφωνα με το οποίο, οι λύσεις των εξισώσεων Maxwell μπορούν να έχουν τη μορφή r r r r ik x r H x e u r x (1.1) ( ) ( ) όπου k r το κυματικό διάνυσμα. Το διαδιδόμενο κύμα, προκύπτει από ένα επίπεδο ik κύμα e r x r r, που διαμορφώνεται από μια περιοδική συνάρτηση r x, λόγω της ( ) παρουσίας της περιοδικής δομής. Οι καταστάσεις Bloch όπως ονομάζονται οι συναρτήσεις της μορφής (1.1)- είναι περιοδικές συναρτήσεις του κυματικού διανύσματος k r. Η λύση στο k r ταυτίζεται με r r τη λύση στο k + mg j, όπου το G r r r j ορίζεται από τον τύπο R i G j = 2πδ i, j. Έτσι, το εύρος κυματικών διανυσμάτων, στο οποίο πρέπει να υπολογιστούν οι λύσεις του προβλήματος, περιορίζεται στη ζώνη των σημαντικών τιμών k r : τη ζώνη Brillouin. Συνήθως παρουσιάζονται επιπλέον συμμετρίες στη διάταξη κατοπτρική, αξονικήπου περιορίζουν επιπλέον τη ζώνη στο ελάχιστο (μη-μειώσιμη ζώνη Brillouin) (Σχήμα 1.2). k u k Σχήμα 1.2. 2-Δ περιοδική δομή και μη-μειώσιμη ζώνη Brillouin. Παρουσιάζονται τα τυχαία διανύσματα χώρου r r και κύματος k. Η μη-μειώσιμη ζώνη Brillouin (πράσινο χρώμα) ορίζεται από τα σημεία ΓΜΧ, όπου Γ το κέντρο του βασικού πλέγματος της περιοδικής δομής. Η πλήρης ζώνη συχνοτήτων αποκοπής (photonic band gap), αναφέρεται στις συχνότητες ω στις οποίες δεν υπάρχουν διαδιδόμενες λύσεις των εξισώσεων Maxwell, για οποιοδήποτε k r. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας που βρίσκεται στο διάκενο, φθίνει εκθετικά στην κρυσταλλική δομή. Αν η αποκοπή δεν είναι πλήρης, δηλαδή δεν εκτείνεται στις 3 διαστάσεις, είναι δυνατή η διάδοση προς διευθύνσεις διαφορετικές του άξονα περιοδικότητας. Επίσης, εμφανίζονται επιφανειακοί ρυθμοί στα όρια του φωτονικού κρυστάλλου, και μπορεί να διαδίδονται στον κρύσταλλο, στον αέρα, ή και στα δύο μέσα.

Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 3 Για την κατανόηση του φαινομένου αποκοπής, εξετάζουμε την απλούστερη περίπτωση του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου. Από το θεώρημα μεταβολών (electromagnetic variational theorem), αναμένεται ότι ένας ρυθμός τείνει να συγκεντρώσει την ενέργεια μετατόπισης σε περιοχές υψηλής διηλεκτρικής σταθεράς, παραμένοντας ταυτόχρονα ορθογώνιος σε ρυθμούς χαμηλότερης συχνότητας. Για μικρή μεταβολή Δε, ο ρυθμός χαμηλής συχνότητας έχει μεγάλη συγκέντρωση στις περιοχές μεγάλου ε, ενώ ο ρυθμός υψηλής συχνότητας έχει μεγαλύτερη συγκέντρωση στην περιοχή χαμηλού ε. Η διαφορά στη συγκέντρωση της ενέργειας προκαλεί τη διαφορά συχνοτήτων ανάμεσα στους δύο ρυθμούς, και τη δημιουργία της ζώνης αποκοπής (Σχήμα 1.3.β). Για μεγάλη μεταβολή Δε, και οι δύο ρυθμοί έχουν μεγάλη συγκέντρωση στις περιοχές μεγάλου ε, αλλά η κατανομή παραμένει άνιση, με παρόμοια αποτελέσματα (Σχήμα 1.3.γ). (α) (β) (γ) Σχήμα 1.3. Διαδοχικοί ρυθμοί σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο. (α) Ημιαγωγός με διηλεκτρική σταθερά ε=13, απουσία περιοδικής δομής. (β) 1-Δ φωτονικός κρύσταλλος με διηλεκτρικές σταθερές ε 1 =13 και ε 2 =12. Το πάχος των στρωμάτων είναι 0.5α. Με κίτρινο χρώμα φαίνεται η ζώνη αποκοπής. (γ) 1-Δ φωτονικός κρύσταλλος με διηλεκτρικές σταθερές ε 1 =13 και ε 2 =1. Το πάχος των στρωμάτων είναι 0.5α. Η ζώνη αποκοπής είναι σημαντικά μεγαλύτερη. Στο 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο, παρουσιάζεται πάντοτε διάκενο ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ρυθμούς, εφόσον ε 1 ε 2. Στη 2-Δ και στη 3-Δ περίπτωση, για την εμφάνιση πλήρους διακένου προς όλες τις διευθύνσεις περιοδικότητας, απαιτούνται επιπλέον συνθήκες. Αν και δεν υπάρχουν αυστηρά κριτήρια, για να επικαλύπτονται τα διάκενα που σχηματίζονται στη διάδοση προς καθεμία διεύθυνση, πρέπει ο λόγος διηλεκτρικής σταθεράς να είναι αρκετά μεγάλος (τουλάχιστον 4:1). Η διατήρηση σταθερής περιόδου προς όλες τις διευθύνσεις είναι επιθυμητή, όπως και ο σχεδιασμός, ώστε -ανάλογα με την πολικότητα- η συγκέντρωση των ρυθμών να είναι στις περιοχές υψηλού ε. Τυπικά παραδείγματα 2-Δ φωτονικών κρυστάλλων με παρουσία ζώνης συχνοτήτων αποκοπής στις 2 διαστάσεις, είναι το τετραγωνικό πλέγμα κατακόρυφων διηλεκτρικών κυλίνδρων, το τετραγωνικό πλέγμα οριζόντιων διηλεκτρικών ράβδων,

4 Κεφάλαιο 1 και το τριγωνικό πλέγμα κατακόρυφων κυλινδρικών οπών (Σχήμα 1.4).Οι δύο πρώτες δομές παρουσιάζουν ζώνη αποκοπής για ρυθμούς ΤΜ ή ΤΕ αντίστοιχα. Η διάταξη τριγωνικού πλέγματος οπών μπορεί να θεωρηθεί ως ο συνδυασμός κατακόρυφων κυλίνδρων ανάμεσα σε τρεις οπές- και οριζόντιων ράβδων ανάμεσα σε δύο σειρές οπών, και παρουσιάζει πλήρες διάκενο και για τις δύο πολικότητες. (α) (β) (γ) Σχήμα 1.4. (α) Τετραγωνικό πλέγμα κατακόρυφων διηλεκτρικών κυλίνδρων, (β) τετραγωνικό πλέγμα οριζόντιων διηλεκτρικών ράβδων, (γ) τριγωνικό πλέγμα κατακόρυφων κυλινδρικών οπών. Επεκτείνοντας το σχεδιασμό στις 3 διαστάσεις, προκύπτουν δομές με πλήρη ζώνη αποκοπής, προς κάθε διεύθυνση. Τυπικά παραδείγματα είναι το τετραγωνικό ή τριγωνικό πλέγμα διηλεκτρικών σφαιρών, τρισδιάστατα πλέγματα διηλεκτρικών ράβδων, δομές οπών σε 3 άξονες, και συνδυασμοί στρωμάτων 2-Δ φωτονικών κρυστάλλων (Σχήμα 1.5). (α)

Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 5 (β) Σχήμα 1.5. (α) Τριγωνικό πλέγμα διηλεκτρικών σφαιρών, (β) πλέγμα οριζόντιων διηλεκτρικών ράβδων πυριτίου. Η πιο προφανής εφαρμογή των φωτονικών κρυστάλλων είναι το διηλεκτρικό κάτοπτρο, και μπορεί να αντικαταστήσει τα μεταλλικά, που παρουσιάζουν έντονες απώλειες στις οπτικές συχνότητες. Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα, με συχνότητα που βρίσκεται στη ζώνη αποκοπής, που προσπίπτει παράλληλα στον άξονα περιοδικότητας του φωτονικού κρυστάλλου, ανακλάται στην επιφάνεια της περιοδικής δομής. Έτσι, μια σημειακή ατέλεια σε φωτονικό κρύσταλλο μπορεί να λειτουργήσει ως κοιλότητα συντονισμού. Ουσιαστικά, ο χώρος γύρω της, αποτελείται από διηλεκτρικά κάτοπτρα (Σχήμα 1.6). Σχήμα 1.6. Κοιλότητα συντονισμού σε 2-Δ φωτονικό κρύσταλλο, ο οποίος σχηματίζεται από οπές σε στρώμα ημιαγωγού.

6 Κεφάλαιο 1 Με την εισαγωγή γραμμικών ατελειών σε 2-Δ και 3-Δ φωτονικούς κρυστάλλους, μπορούν να σχηματιστούν διηλεκτρικοί κυματοδηγοί χαμηλών απωλειών. Φως, με συχνότητα μέσα στη ζώνη αποκοπής, περιορίζεται στην ατέλεια, και οι επιφανειακοί ρυθμοί οδηγούνται ικανοποιητικά ακόμα και σε σύνθετες γεωμετρίες. Οι κυματοδηγοί φωτονικών κρυστάλλων αποτελούν βάση για την κατασκευή συνθετότερων διατάξεων, όπως διαχωριστές γραμμής (splitters) και διατάξεις συζευγμένων ρυθμών (couplers). (α) (β) (γ) Σχήμα 1.7. (α) Γραμμική ατέλεια σε 2-Δ φωτονικό κρύσταλλο, ο οποίος αποτελείται από οπές σε στρώμα ημιαγωγού. (β) Διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε στροφή 90º κυματοδηγού 2-Δ φωτονικού κρυστάλλου, ο οποίος αποτελείται από κατακόρυφες διηλεκτρικές ράβδους. (γ) Επέκταση του (β) σε διαχωριστή γραμμής. Μελετώντας τις βασικές αρχές των φωτονικών κρυστάλλων γίνεται φανερή η ευελιξία της νέας αυτής τεχνολογίας. Η συστηματική έρευνα διευρύνει συνεχώς τις δυνατότητες και τις εφαρμογές στη σύγχρονη οπτική. Όμως, το σημαντικότερο

Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 7 πλεονέκτημα είναι η δυνατότητα οπτικής ολοκλήρωσης, και αποτελεί την αφετηρία για τη σχεδίαση και την κατασκευή καινοτόμων οπτικών συστημάτων. 1.2. Φωτονική τεχνολογία πυριτίου (Silicon Photonics) Οι αυξανόμενες απαιτήσεις των σύγχρονων εφαρμογών της τεχνολογίας στις τηλεπικοινωνίες και τους υπολογιστές, δημιούργησαν την ανάγκη εκμετάλλευσης της οπτικής περιοχής του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. Τη σχεδίαση και υλοποίηση των νέων οπτικών εξαρτημάτων, ακολούθησε η προσπάθεια ενσωμάτωσης αυτών σε κοινό υπόστρωμα, σε αναλογία με τις ολοκληρωμένες διατάξεις μικροηλεκτρονικής και μικροκυμάτων. Καθώς ωριμάζει η τεχνολογία, προκύπτουν συμπαγή συστήματα, που μπορούν να επιτελέσουν σύνθετες λειτουργίες, και να αξιοποιηθούν εμπορικά, σε εφαρμογές που θα βελτιώσουν περαιτέρω το βιοτικό επίπεδο του ανθρώπου. Για την ολοκλήρωση οπτικών διατάξεων, χρησιμοποιούνται κυρίως δομές υλικών των ομάδων III και V του περιοδικού πίνακα, πολυμερή, ή δομές πυριτίου σε υπόστρωμα μονωτή (Silicon On Insulator, SOI). Σε αντίθεση με τα εξωτικά στοιχεία των ομάδων III και V, το πυρίτιο βρίσκεται άφθονο στη φύση. Επιπλέον, η τεχνογνωσία, που επιτεύχθηκε τις τελευταίες δεκαετίες, για τη μεταχείριση του πυριτίου και την κατασκευή ηλεκτρονικών συστημάτων, καθιστά τη λύση του πυριτίου ιδιαίτερα ελκυστική για εφαρμογή στην οπτική. Για την κατασκευή αποτελεσματικών διατάξεων, η τεχνολογία SOI πρέπει να παρέχει λύσεις στο σχηματισμό όλων των βασικών οπτικών εξαρτημάτων: πηγές, ανιχνευτές φωτός, διαμορφωτές, και διατάξεις που οδηγούν, χωρίζουν, και ελέγχουν το φως. Η υλοποίηση και η συσκευασία πρέπει να έχουν ικανοποιητική ακρίβεια και χαμηλό κόστος. Εξίσου απαραίτητη είναι η δυνατότητα ολοκλήρωσης μικροηλεκτρονικών εξαρτημάτων ελέγχου, και η ανεμπόδιστη συνύπαρξη των διαφορετικών φυσικών φαινομένων στα οποία στηρίζονται. (α)

8 Κεφάλαιο 1 (β) (γ) Σχήμα 1.8. (α) Ευθύγραμμος κυματοδηγός πυριτίου, πάνω σε υπόστρωμα διοξειδίου του πυριτίου. (β) Κυρτός κυματοδηγός πυριτίου με ακτίνα καμπυλότητας 5μm, (γ) Διαχωριστής γραμμής πυριτίου (splitter). Οι δυσκολίες ξεκινούν από την αδυναμία ικανοποιητικής εκπομπής φωτός από το πυρίτιο. Το πρόβλημα αυτό είναι θεμελιώδες για την επιβίωση της οπτικής τεχνολογίας SOI. Η υβριδοποίηση πηγών, η σύζευξη με οπτικές ίνες, και το laser φαινομένου ενίσχυσης Raman είναι μερικές από τις λύσεις που έχουν προταθεί. Επιπλέον, η δυσκολία ανίχνευσης φωτονίων στην περιοχή των 1550nm, ξεπερνιέται με υβριδοποίηση φωτοδιόδων, ή με χρήση γερμανίου για την ολοκλήρωση του ανιχνευτή. Ο σχεδιασμός ενεργών διατάξεων στηρίζεται σε ανισοτροπικά υλικά, με δυνατότητα ρύθμισης, λόγω της παρουσίας κάποιου φυσικού φαινομένου. Η ρύθμιση συνήθως επιτυγχάνεται με εφαρμογή εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, ή με τη θερμοκρασία. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι οι υγροί κρύσταλλοι, και εξωτικά υλικά, όπως το LiNbO 3, που εμφανίζουν το ηλεκτροπτικό φαινόμενο. Μερικές από τις εφαρμογές περιλαμβάνουν οπτικούς διακόπτες, διαμορφωτές φάσης ή πλάτους, και συντονιζόμενα φίλτρα κατευθυντικών ζευκτών.

Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 9 Το πυρίτιο είναι διάφανο σε μήκη κύματος μεγαλύτερα των 1.1μm, με δείκτη διάθλασης περίπου 3.5. Ο σχηματισμός κυματοδηγών επιτυγχάνεται με χάραξη με τεχνικές υπεριώδους λιθογραφίας ή δέσμης ηλεκτρονίων (Σχήμα 1.8). Αν και το πυρίτιο έχει μεγαλύτερες απώλειες από το διοξείδιο του πυριτίου, λόγω του σημαντικά μεγαλύτερου δείκτη διάθλασης συγκεντρώνει αποτελεσματικότερα το φως και μειώνονται οι απαιτούμενες διαστάσεις. Η συρρίκνωση οδηγεί σε συμπαγείς διατάξεις, όμως, αυξάνει ταυτόχρονα τις απαιτήσεις για εξάλειψη ατελειών. Οι κυματοδηγοί πυριτίου έχουν πλάτος μερικών εκατοντάδων nm και ανωμαλίες της τάξης των δεκάδων nm δεν είναι αποδεκτές. Περιορισμοί στη χάραξη με υπεριώδη λιθογραφία, ή δέσμη ηλεκτρονίων, έχουν συχνά ως αποτέλεσμα τραχιές επιφάνειες στα κάθετα τοιχώματα του κρυστάλλου. Αντίθετα, η ανισοτροπική υγρή χάραξη του πυριτίου, με χημικό τρόπο, δημιουργεί καλά ελεγχόμενη γεωμετρία κεκλιμένων επιπέδων με λεία τοιχώματα (Σχήμα 1.9). Σχήμα 1.9. Κεκλιμένα τοιχώματα από υγρή ανισοτροπική χάραξη πυριτίου. Στο πλήθος των εξαρτημάτων προστίθεται η τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων (Σχήμα 1.10). Η αύξηση της πολυπλοκότητας που απαιτούν, δικαιολογείται πλήρως, αν ληφθούν υπόψη τα πλεονεκτήματα που παρέχουν. Η διάδοση του φωτός μπορεί να ελεγχθεί ακόμα και σε 3 διαστάσεις. Επιτρέπεται ο σχηματισμός κυματοδηγών με σύνθετη γεωμετρία, ακόμα και με διασταύρωση χωρίς παρεμβολές. Είναι δυνατή η κατασκευή κατόπτρων χαμηλών απωλειών, οπτικών φίλτρων, κοιλοτήτων συντονισμού. Το εύρος εφαρμογών διευρύνεται ακόμα περισσότερο, με την εφαρμογή νέων ιδιοτήτων, όπως η ελάττωση της ταχύτητας του φωτός (slow light), ο σχηματισμός πρίσματος διασποράς (superprism), και μη γραμμικών ιδιοτήτων ανισοτροπικών υλικών.

10 Κεφάλαιο 1 Σχήμα 1.10. 2-Δ φωτονικός κρύσταλλος πυριτίου, επάνω σε υπόστρωμα SiO 2. 1.3. Ρύθμιση φωτονικών κρυστάλλων Οι λειτουργίες των παθητικών διατάξεων είναι σχετικά περιορισμένες. Αντίθετα, οι ενεργές διατάξεις, μέσω των διαφορετικών καταστάσεών τους, δίνουν τη δυνατότητα αποτελεσματικότερου ελέγχου του φωτός. Η σχεδίαση στην τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων περιλαμβάνει τη χρησιμοποίηση ανισοτροπικών υλικών, όπως αναφέρθηκε παραπάνω για την τεχνολογία SOI. Στην αναζήτηση πρακτικών λύσεων χαμηλού κόστους, η τεχνολογία υγρών κρυστάλλων υπερτερεί έναντι εξωτικών υλικών, όπως το LiNbO 3. Σχήμα 1.11. Ρυθμιζόμενοι κατευθυντικοί ζεύκτες 2-Δ φωτονικού κρυστάλλου πυριτίου. Οι κατευθυντικοί ζεύκτες αποτελούνται από οπές στη δομή του πυριτίου, στις οποίες εισάγεται υγρός κρύσταλλος. Το σημαντικότερο πλεονέκτημα των υγρών κρυστάλλων είναι η τεχνογνωσία που επιτεύχθηκε τις τελευταίες δεκαετίες, με τη σχεδίαση και την κατασκευή συστημάτων απεικόνισης. Η πλήρης συμβατότητα με τις τεχνικές μεταχείρισης του πυριτίου,

Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 11 εγγυάται την δυνατότητα κατασκευής ρυθμιζόμενων οπτικών εξαρτημάτων SOI, με ενσωμάτωση ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, για τον έλεγχο των οπτικών ιδιοτήτων των μορίων υγρού κρυστάλλου. Στις πρακτικές εφαρμογές περιλαμβάνονται ρυθμιζόμενα οπτικά φίλτρα, διακόπτες, κατευθυντικοί ζεύκτες, ρυθμιζόμενοι συντονιστές. Σχήμα 1.12. Ρυθμιζόμενη οπτική διάταξη 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου πυριτίου. Στο χώρο ανάμεσα στις περιοδικές δομές και επάνω από αυτές, εισάγεται νηματικός υγρός κρύσταλλος. 1.4. Περιγραφή εξεταζόμενης διάταξης Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία, θα μελετηθεί η σχεδίαση 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου για υλοποίηση σε δομή SOI. Οι ατέλειες στη χάραξη κάθετων τοιχωμάτων αντιμετωπίζονται με υγρή ανισοτροπική χάραξη του πυριτίου. Το αποτέλεσμα είναι γεωμετρία λείων κεκλιμένων επιπέδων (Σχήμα 1.13). (α) Σχήμα 1.13. 1-Δ φωτονικός κρύσταλλος τεχνολογίας SOI, με (α) κάθετα ή (β) κεκλιμένα τοιχώματα. (β)

12 Κεφάλαιο 1 Επιβάλλοντας έναν επιπλέον βαθμό ελευθερίας στη γεωμετρία 1.13.β, για τον έλεγχο των οπτικών ιδιοτήτων του φωτονικού κρυστάλλου, προκύπτει η γενικότερη διάταξη του σχήματος 1.14. Η περιοδική δομή έχει τραπεζοειδές σχήμα, με περίοδο w=420nm, ύψος h=220nm, και βάσεις πλάτους w 1 =50nm και w 2 =370nm. Ο 1-Δ φωτονικός κρύσταλλος τοποθετείται στην έξοδο κυματοδηγού πυριτίου με ύψος 220nm και πλάτος 450nm. Το υπόστρωμα αποτελείται από διοξείδιο του πυριτίου πάχους 1000nm, και δείκτη διάθλασης 1.45. Ο χώρος ανάμεσα στα ορύγματα και επάνω από αυτά μπορεί να πληρώνεται από αέρα, ή κάποιο ισοτροπικό διηλεκτρικό. Όμως, για την αποτελεσματική ρύθμιση της ζώνης αποκοπής, εισάγεται νηματικός υγρός κρύσταλλος. Η γεωμετρία της εξεταζόμενης διάταξης, στις τρεις διαστάσεις, απεικονίζεται στο σχήμα 1.15. Σχήμα 1.14. Δισδιάστατη απεικόνιση μελετώμενου 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου. Σχήμα 1.15. Τρισδιάστατη απεικόνιση της διάταξης. Στην έξοδο του φωτονικού κρυστάλλου, υπάρχει κατάλληλη δομή (taper), για την εισαγωγή του φωτός σε κυματοδηγό.

Τεχνολογία φωτονικών κρυστάλλων 13 Για τη μελέτη του ρυθμιζόμενου 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου πυριτίου, αρχικά θα διερευνηθεί η συμπεριφορά του υγρού κρυστάλλου υπό την επίδραση ηλεκτροστατικού πεδίου. Ο στόχος είναι ο προσδιορισμός του προσανατολισμού των μορίων του νηματικού υγρού κρυστάλλου, για διαφορετική εφαρμοζόμενη τάση. Με αυτό τον τρόπο υπολογίζεται ο τανυστής της διηλεκτρικής σταθεράς σε κάθε σημείο του υλικού, που αποτελεί αφετηρία για την αξιολόγηση των οπτικών ιδιοτήτων της διάταξης και της δυνατότητας ρύθμισης. Στη συνέχεια, θα μελετηθεί η διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος στη διάταξη φωτονικού κρυστάλλου πυριτίου, παρουσία ισοτροπικού υπερστρώματος. Η προσομοίωση θα γίνει στις 2 και 3 διαστάσεις, για διάφορα πλάτη φωτονικού κρυστάλλου. Από τον κανονικοποιημένο συντελεστή μετάδοσης μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για τη δυνατότητα ρύθμισης, και να προταθούν περαιτέρω εφαρμογές.

14 Κεφάλαιο 1

15 2. Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 2.1. Ιδιότητες νηματικού υγρού κρυστάλλου Ο υγρός κρύσταλλος που χρησιμοποιείται στην προτεινόμενη διάταξη, βρίσκεται στη νηματική μεσόφαση. Η κατανομή της διεύθυνσης του διαμήκη άξονα των μορίων παρουσιάζει τάξη, αν και τα κέντρα βάρους είναι κατανεμημένα τυχαία (Σχήμα 2.1). Η μέση διεύθυνση των μορίων, στις τρεις διαστάσεις, περιγράφεται από το διάνυσμα r n = cosϑ cosϕ xˆ + sinϑ yˆ + cosϑ sinϕ zˆ (2.1) n r ϑ ϕ Σχήμα 2.1. Νηματική μεσόφαση και διάνυσμα μέσης διεύθυνσης στις 3 διαστάσεις. Οι ελαστικές ιδιότητες του υγρού κρυστάλλου οφείλονται στο συσχετισμό της διεύθυνσης γειτονικών μορίων. Η εισαγωγή διαταραχών αυξάνει την πυκνότητα ενέργειας ελαστικής παραμόρφωσης, που σχετίζεται με τις παραμορφώσεις που F d μπορεί να υποστεί ο νηματικός υγρός κρύσταλλος. Τα μόρια προσανατολίζονται, μέχρι να εξελιχθεί το σύστημα στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Η πυκνότητα ενέργειας, περιγράφεται από τη θεωρία Oseen-Frank και δίνεται από τον τύπο: F d F d 1 r 2 1 r r 2 1 r r 2 = K1( n) + K 2[ ( n n) + q] + K 3 ( n n) (2.2) 2 2 2

16 Κεφάλαιο 2 Οι σταθερές Κ 1, Κ 2, και Κ 3 αναφέρονται στους τύπους παραμόρφωσης η σταθερά Κ 1 στη διεύρυνση (splay), η σταθερά Κ 2 στη στρέψη (twist), και η σταθερά Κ 3 στην κάμψη (bend) της κρυσταλλικής δομής (Σχήμα 2.2). Η παράμετρος q αναφέρεται σε r r ελικοειδή δομή. Παρακάτω θεωρούμε ότι Κ 1 =Κ 2 =Κ 3 =Κ και q=0. Ισχύει n n = 0, αφού είναι το εσωτερικό γινόμενο δύο κάθετων διανυσμάτων. Επίσης, ισχύει r r 2 r 2 n n = n. Άρα, η εξίσωση (2.2) γίνεται: F d r 2 r 2 [( n) + ( n) ] 1 = K (2.3) 2 Σχήμα 2.2. Τύποι παραμόρφωσης, που μπορεί να υποστεί ο νηματικός υγρός κρύσταλλος. Στις επιφάνειες που περικλείουν τον υγρό κρύσταλλο, επιβάλλονται ισχυρές οριακές συνθήκες: τα εφαπτόμενα μόρια παραμένουν ακλόνητα, για κάθε ελαστική παραμόρφωση, ή εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Οι ανισοτροπικές ιδιότητες του υγρού κρυστάλλου οφείλονται στο διαμήκες σχήμα των μορίων. Θεωρώντας ότι ϑ =0º και ϕ =90º, δηλαδή ότι η διαμήκης διεύθυνση του υγρού κρυστάλλου ταυτίζεται με τον άξονα z, ο τανυστής της διηλεκτρικής σταθεράς είναι S ε 0 0 ~ S S ε = 0 ε 0 (2.4) S 0 0 ε Η διηλεκτρική σταθερά στη διαμήκη διεύθυνση συμβολίζεται ως ε και είναι διαφορετική από τη σταθερά ε στη διεύθυνση του άξονα x ή y.

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 17 Στη γενική περίπτωση ενός μορίου με γωνίες ϑ, και ϕ ως προς τους άξονες, ο S S S τανυστής της διηλεκτρικής σταθεράς δίνεται από τον τύπο ε ij = ε δ ij + Δε nin j, όπου Δε = ε ε, και n οι συνιστώσες του διανύσματος διεύθυνσης n r : i ~ ε S S S 2 2 ε + Δε cos ϑ cos ϕ S = Δε cosϑ sinϑ cosϕ S 2 Δε cos ϑ cosϕ sinϕ S Δε cosϑ sinϑ cosϕ ε S S + Δε sin ϑ S Δε sinϑ cosϑ sinϕ 2 S 2 Δε cos ϑ cosϕ sinϕ S Δε sinϑ cosϑ sinϕ S S 2 2 ε + Δ ε cos ϑ sin ϕ (2.5) O νηματικός υγρός κρύσταλλος που μελετάται στη συγκεκριμένη εργασία, S χαρακτηρίζεται από ε = 5. 1, Δε S = 4. 3, και Κ=10pN στις χαμηλές συχνότητες. Στις οπτικές συχνότητες οι δείκτες διάθλα σης είναι n = 1. 55 και n = 1. 93. Η εφαρμογή τάσης σε ηλεκτρόδια τοποθετημένα στις οριακές επιφάνειες, διαμορφώνει την κατανομή της διεύθυνσης του υγρού κρυστάλλου: τα μόρια τείνουν να ευθυγραμμιστούν με το ηλεκτρικό πεδίο, κατά τη διαμήκη διεύθυνση. Αντίστροφα, η αλλαγή στον προσανατολισμό των μορίων, μεταβάλλει τον τανυστή διηλεκτρικής σταθεράς και άρα την κατανομή του ηλεκτροστατικού πεδίου. Η αλληλεπίδραση συνεχίζεται, μέχρι να ελαχιστοποιηθεί η συνολική πυκνότητα ενέργειας του συστήματος -το άθροισμα της πυκνότητας ενέργειας ελαστικής παραμόρφωσης F d και της πυκνότητας ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ανά μονάδα όγκου F e, ώστε να φτάσει το σύστημα στην τελική κατάσταση ισορροπίας. Επειδή στη νηματική μεσόφαση, ο υγρός κρύσταλλος δεν παρουσιάζει αυθόρμητη πόλωση, για τη διηλεκτρική μετατόπιση ισχύει r r S D S = ~ ε E S (2.6) Επομένως, η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ανά μονάδα όγκου F e 1 r r = D E 2 S S F e είναι (2.7) Οι γωνίες ϑ και ϕ θα υπολογιστούν με την επίλυση της εξίσωσης Euler-Lagrange, που ελαχιστοποιεί τη συνολική ενέργεια F : F r F r ψ ( ψ ) = 0 (2.8) όπου ψ η γωνία ϑ ή η γωνία ϕ. Για την καλύτερη εποπτεία της συμπεριφοράς του υγρού κρυστάλλου, αρχικά θα εξεταστεί μια απλοποιημένη περίπτωση γεωμετρίας άπειρων παράλληλων πλακών.

18 Κεφάλαιο 2 Στη συνέχεια θα μελετηθεί η διεύθυνση στην εξεταζόμενη διάταξη, με πλήρη σύζευξη των ηλεκτρικών και ελαστικών ιδιοτήτων του νηματικού υγρού κρυστάλλου. 2.2. Γεωμετρία άπειρων παράλληλων πλακών Ο νηματικός υγρός κρύσταλλος τοποθετείται ανάμεσα σε δύο άπειρες παράλληλες γυάλινες πλάκες, οι οποίες βρίσκονται στα επίπεδα y=0 και y=d (Σχήμα 2.3). Όταν εφαρμόζεται τάση σε ηλεκτρόδια στις οριακές επιφάνειες, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στον ενδιάμεσο χώρο είναι ομοιόμορφη: r E = E yˆ (2.9) Η ανάλυση θα γίνει με την παραδοχή, πως η παρουσία του υγρού κρυστάλλου δεν επηρεάζει την ομοιομορφία του ηλεκτρικού πεδίου. Έτσι, λόγω συμμετρίας, το πρόβλημα εκφυλίζεται σε μονοδιάστατο. Η διεύθυνση των μορίων προσδιορίζεται r από το απλοποιημένο διάνυσμα n = cosϑ xˆ + sinϑ yˆ, και η γωνία ϑ είναι συνάρτηση της θέσης y (Σχήμα 2.3). 0 n r ϑ Σχήμα 2.3. Γεωμετρία άπειρων παράλληλων πλακών και διάνυσμα μέσης διεύθυνσης n r. Με αντικατάσταση του απλοποιημένου διανύσματος διεύθυνσης στον τύπο (2.3), π ροκύπτει η πυκνότητα ενέργειας ελαστικής παραμόρφωσης F : d S S Ομοίως, με εφαρμογή του τύπου ε = ε δ διηλεκτρικής σταθεράς του υγρού κρυστάλλου: 2 1 dϑ F = K 2 dy (2.10) d ij S ij + Δε nin j, προκύπτει ο τανυστής της

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 19 ~ ε S S S 2 ε + Δε cos ϑ S Δε cosϑ sinϑ 0 S = ε S Δε cosϑ sinϑ S 2 + Δε sin ϑ 0 0 0 S ε (2.11) Με εφαρμογή των (2.6), (2.9), και (2.11) στην εξίσωση της πυκνότητας ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου (2.7), προκύπτει: F e 1 ε 2 S S 2 2 ( ε Δε sin ϑ) E = 0 0 + (2.12) Η εξίσωση Euler-Lagrange θα λυθεί στη μία διάσταση, μόνο για τη γωνία ϑ : F d F = 0 ( ) ϑ dy dϑ dy Με αντικατάσταση των (2.10) και (2.12) στην (2.13), που πρέπει να λυθεί, για την εύρεση της γωνίας ϑ ενέργειας: (2.13) προκύπτει η τελική εξίσωση στην κατάσταση ελάχιστης 2 d ϑ S 2 K + ε 0Δε sinϑ cosϑ E0 = 0 (2.14) 2 dy S S Η εξίσωση (2.14) λύνεται αριθμητικά για τυπικές τιμές ε = 5.1, Δε = 4. 3, και Κ=10pN, οριακή συνθήκη ϑ =1º, και για πάχος διάταξης d=100nm. Προκύπτουν τα ακόλουθα διαγράμματα της γωνίας ϑ του διανύσματος διεύθυνσης, για διάφορες τιμές διαφοράς δυναμικού ανάμεσα στα δύο ηλεκτρόδια (Σχήμα 2.4). (α) 2.5 Volt

20 Κεφάλαιο 2 (β) 5 Volt (γ) 15 Volt

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 21 (δ) 25 Volt Σχήμα 2.4. Γωνία ϑ των μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου, για εφαρμοζόμενη τάση 2.5, 5, 15, και 25 Volt. Είναι εμφανές ότι τα μόρια τείνουν να ευθυγραμμιστούν με το ηλεκτρικό πεδίο. Οι ισχυρές οριακές συνθήκες περιορίζουν τη μεταβολή στη διεύθυνση, και τα μόρια αποκλίνουν ευκολότερα στο κέντρο της γεωμετρίας. Καθώς αυξάνεται η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στις δύο πλάκες, αυξάνεται και η μέση τιμή της γωνίας ϑ του διανύσματος κατεύθυνσης, μέχρι τις 90º. Όπως αναμένεται, μετά από κάποια τιμή, επέρχεται κορεσμός και το μεγαλύτερο πλήθος των μορίων χαρακτηρίζεται από κλίση 90º. 2.3. Γεωμετρία άπειρου τραπεζοειδούς υποστρώματος Ο νηματικός υγρός κρύσταλλος τοποθετείται στα ορύγματα ανάμεσα στην περιοδική δομή του φωτονικού κρυστάλλου πυριτίου και επάνω από αυτόν (Σχήμα 2.5.α). Το υπέρστρωμα υγρού κρυστάλλου, πάχους περίπου 200nm, επιβάλλεται για να περιγράψει την πιο ρεαλιστική περίπτωση, με ανομοιομορφίες στο τελικό γυάλινο υπέρστρωμα. Στο άνω ηλεκτρόδιο εφαρμόζεται σταθερή τάση και το πυρίτιο θεωρείται γειωμένο, αφού είναι πολύ πιο αγώγιμο από το SiO 2 ή τον υγρό κρύσταλλο. Το πρόβλημα είναι δύο διαστάσεων και η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου έχει την εξής μορφή:

22 Κεφάλαιο 2 r E = E x ( x, y) xˆ + E ( x, y) yˆ y (2.15) Το ηλεκτρικό πεδίο θα προκύψει από το βαθμωτό δυναμικό, μέσω του τύπου: E r = φ (2.16) (α) n r ϑ ϕ (β) Σχήμα 2.5. (α) Γεωμετρία άπειρου τραπεζοειδούς υποστρώματος. (β) διάνυσμα μέσης διεύθυνσης των μορίων του νηματικού υγρού κρυστάλλου. Από τις εξισώσεις Maxwell, για το ηλεκτροστατικό πεδίο σε διηλεκτρικό μέσο χωρίς αυθόρμητη πόλωση, απουσία πηγών ισχύει: D r = 0 (2.17)

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 23 και το βαθμωτό δυναμικό φ, προκύπτει από την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης ε ~ S (2.18) ( ε φ) 0 0 = όπου ~ ε S, ο τανυστής διηλεκτρικής σταθεράς της εξίσωσης (2.5). Η μορφή του δυναμικού φ και του ηλεκτρικού πεδίου, καθώς και η παραμόρφωση του ηλεκτρικού πεδίου στις ακμές της γεωμετρίας, παρουσιάζονται στο σχήμα 2.6. (α) (β)

24 Κεφάλαιο 2 (γ) Σχήμα 2.6. (α) Διάγραμμα δυναμικού φ και ηλεκτρικού πεδίου. (β) Παραμόρφωση συνιστώσας x του ηλεκτρικού πεδίου (E x ). (γ) Παραμόρφωση συνιστώσας y του ηλεκτρικού πεδίου (E y ). Το ηλεκτρικό πεδίο δεν είναι ομοιόμορφο, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, αλλά καμπυλώνεται λόγω της παρουσίας του πυριτίου και της υψηλής αγωγιμότητας που παρουσιάζει. Όπως φαίνεται στο σχήμα 2.6.α, το ηλεκτρικό πεδίο τέμνει κάθετα τα τοιχώματα του φωτονικού κρυστάλλου, και το υπόστρωμα πυριτίου της διάταξης. Η μεγαλύτερη παραμόρφωση εμφανίζεται στις ασυνέχειες της περιοδικής δομής. Με εφαρμογή των (2.5), (2.6) και (2.15) στην εξίσωση (2.7) η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου προκύπτει: F e 1 = ε 0 2 S S 2 2 [( ε + Δε cos ϑ cos ϕ ) S S 2 2 + ( ε + Δε sin ϑ ) E ] y E 2 x S + 2Δε cos ϑ sin ϑ cos ϕ E y E x + (2.19) Με εφαρμογή της (2.1) στην εξίσωση (2.3) της πυκνότητας ενέργειας, προκύπτει: ελαστικής F d = K 2 2 2 2 ϑ ϕ ϑ ϕ ( ϑ) + cos ϑ ( ϕ) + 2 cos ϑ sinϕ 1 2 x y y x (2.20)

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 25 Το διάνυσμα της μέσης διεύθυνσης των μορίων περιγράφεται από την εξίσωση (2.1). Οι γωνίες ϑ, και ϕ είναι συναρτήσεις των x και y και ο προσδιορισμός τους θα γίνει από την ελαχιστοποίηση της συνολικής πυκνότητας ενέργειας. Η συνθήκη που απαιτείται για να γίνει ελάχιστη είναι η εξίσωση Euler-Lagrange (2.8). Η αριθμητική ανάλυση θα γίνει για το πεπλεγμένο ηλεκτροστατικό και ελαστικό πρόβλημα. Θα υπολογιστεί το βαθμωτό δυναμικό μέσω της εξίσωσης (2.17), για τις κατάλληλες οριακές συνθήκες, και μέσω της εξίσωσης (2.16) θα προσδιοριστεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Στη συνέχεια θα ελαχιστοποιηθεί η συνολική ενέργεια για τον υπολογισμό των γωνιών ϑ, και ϕ. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι την τελική κατάσταση ισορροπίας. S Για τυπικές τιμές ε = 5.1, Δε S = 4. 3, και Κ=10pN, οριακές συνθήκες σε όλες τις επιφάνειες ϑ =1º και ϕ =90º, και περιοδικές συνθήκες στη γεωμετρία του σχήματος 2.5.α, προκύπ τουν τα ακόλουθα διαγράμματα των γωνιών ϑ και ϕ του διανύσματος κατεύθυνσης για διάφορες τιμές εφαρμοζόμενης τάσης (Σχήματα 2.7-10). (α) Γωνία ϑ, για τάση 2.5 Volt

26 Κεφάλαιο 2 (β) Γωνία ϕ, για τάση 2.5 Volt Σχήμα 2.7. Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου, για εφαρμοζόμενη τάση 2.5 Volt. (α) Γωνία ϑ, για τάση 5 Volt

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 27 (β) Γωνία ϕ, για τάση 5 Volt Σχήμα 2.8. Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου, για εφαρμοζόμενη τάση 5 Volt. (α) Γωνία ϑ, για τάση 15 Volt

28 Κεφάλαιο 2 (β) Γωνία ϕ, για τάση 15 Volt Σχήμα 2.9. Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου, για εφαρμοζόμενη τάση 15 Volt. (α) Γωνία ϑ, για τάση 25 Volt

Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου 29 (β) Γωνία ϕ, για τάση 25 Volt Σχήμα 2.10. Προσανατολισμός μορίων νηματικού υγρού κρυστάλλου, για εφαρμοζόμενη τάση 25 Volt. Αν και η συμπεριφορά του υγρού κρυστάλλου δεν διαφέρει από την απλούστερη περίπτωση, η περίπλοκη γεωμετρία και οι ισχυρές οριακές συνθήκες επηρεάζουν σημαντικά τον τελικό προσανατολισμό των μορίων. Στην περιοχή επάνω από τον φωτονικό κρύσταλλο, οι οριακές συνθήκες δεν είναι τόσο καθοριστικές. Τα μόρια αποκλίνουν ευκολότερα και τείνουν να ευθυγραμμιστούν με το ηλεκτρικό πεδίο: καθώς αυξάνεται η τάση, η γωνία ϑ τείνει στις 90º, και η γωνία φ στις 180º. Ωστόσο, η περιοχή με τη μεγαλύτερη επίδραση στη διάδοση του φωτός, είναι ανάμεσα στον φωτονικό κρύσταλλο. Εκεί, οι ισχυρές οριακές συνθήκες και η παραμόρφωση του ηλεκτρικού πεδίου περιορίζουν σημαντικά τη μεταβολή του προσανατολισμού των μορίων. Παρατηρείται η ύπαρξη τάσης κατωφλίου, περίπου 2.5 Volt, μέχρι την οποία η γωνία ϑ της διεύθυνσης των μορίων είναι μικρότερη των 25º και η γωνία ϕ είναι περίπου 90º. Καθώς αυξάνεται η διαφορά δυναμικού στα ηλεκτρόδια, τα μόρια αποκλίνουν και ανάμεσα στην περιοδική δομή. Η γωνία ϑ αυξάνει μέχρι τις 90º, και η γωνία ϕ τείνει να πάρει την τιμή 0º (ή 180º), ευθυγραμμίζοντας τα μόρια στο επίπεδο της σελίδας. Η μεταβολή των οπτικών ιδιοτήτων του νηματικού υγρού κρυστάλλου είναι ιδιαίτερα σημαντική. Με την εφαρμογή κατάλληλης τάσης στα ηλεκτρόδια της

30 Κεφάλαιο 2 διάταξης, ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται από n = 1. 55 έως n = 1.93. Όπως θα δούμε παρακάτω, στην προσομοίωση της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικού κύματος, το εύρος αυτό είναι αρκετό για το σχεδιασμό διάταξης ρυθμιζόμενου φωτονικού κρυστάλλου.

31 3. Διάδοση Η/Μ κύματος σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο 3.1. Περιγραφή της προσομοίωσης Η διερεύνηση των οπτικών ιδιοτήτων του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου του σχήματος 1.14, θα γίνει με αριθμητική ανάλυση με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων στο πεδίο του χρόνου (FDTD), με χρήση του πακέτου λογισμικού MEEP. Στην αρχή του φωτονικού κρυστάλλου εισάγεται παλμός μικρής διάρκειας, με ευρύ φασματικό περιεχόμενο. Στην έξοδο, στο επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (επίπεδο y-z), υπολογίζεται ο μετασχηματισμός Fourier της ροής της ενέργειας. Η προσομοίωση γίνεται δύο φορές, παρουσία και απουσία του φωτονικού κρυστάλλου (Σχήμα 3.1). Ο κανονικοποιημένος συντελεστής μετάδοσης προκύπτει από το πηλίκο του μετασχηματισμού Fourier της ροής παρουσία φωτονικού κρυστάλλου, προς το μετασχηματισμό Fourier της ροής απουσία της περιοδικής δομής. Σχήμα 3.1. Πλάγια όψη και κάτοψη της γεωμετρίας της διάταξης παρουσία/απουσία φωτονικού κρυστάλλου. Το υπόστρωμα αποτελείται από διοξείδιο του πυριτίου (SiO 2 ) και στις οπτικές συχνότητες έχει δείκτη διάθλασης 1.45. Για την απομόνωση του φωτός από το βασικό υπόστρωμα πυριτίου, το πάχος του SiO 2 αρκεί να είναι 1000nm. Το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου, όπως θα δούμε παρακάτω, πρέπει να είναι μεγαλύτερο από αυτό του κυματοδηγού. Η συλλογή του φωτός σε κυματοδηγό, στην έξοδο της

32 Κεφάλαιο 3 περιοδικής δομής, θα γίνει με αργή μεταβολή του πλάτους του κυματοδηγού πυριτίου (taper) (Σχήμα 1.15). Γύρω από τη διάταξη τοποθετούνται απορροφητικά στρώματα (perfectly matched layers), που αποτρέπουν ανεπιθύμητες ανακλάσεις, οι οποίες μπορούν να αλλοιώσουν τα αποτελέσματα. Ο χώρος ανάμεσα στην περιοδική δομή και επάνω από αυτή, αποτελείται από ομογενές ισοτροπικό διηλεκτρικό, με συνολικό πάχος 720nm. Περαιτέρω αύξηση του πάχους του διηλεκτρικού δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, καθώς το φως συγκεντρώνεται κυρίως στον κυματοδηγό. Για τη ρύθμιση του εύρους ζώνης αποκοπής, το διηλεκτρικό μπορεί να αντικατασταθεί από το νηματικό υγρό κρύσταλλο, που μελετήθηκε παραπάνω, και ένα γυάλινο υπέρστρωμα. Ο κυματοδηγός πυριτίου είναι μονόρυθμος, με ύψος 220nm, πλάτος 450nm και δείκτη διάθλασης στις οπτικές συχνότητες ίσο με 3.5. Για τη διέγερση του βασικού ΤΕ ρυθμού, η πηγή τοποθετείται μέσα στον κυματοδηγό, σε απόσταση 1650nm από τον φωτονικό κρύσταλλο, και το προφίλ του παλμού που εκπέμπει (συνιστώσα Ε z, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος 1.14), εξελίσσεται σε αυτό του βασικού ρυθμού. Επομένως, η μορφή της πηγής δεν είναι ιδιαίτερα σημαντική. Το φασματικό περιεχόμενο περιλαμβάνει το εύρος μηκών κύματος 1300nm-2300nm, που μας ενδιαφέρει. Η διερεύνηση αρχικά θα γίνει στις 2 και θα γενικευτεί στις 3 διαστάσεις. Ο συντελεστής μετάδοσης θα υπολογιστεί σε διάταξη με 5 περιόδους φωτονικού κρυστάλλου. Η ζώνη αποκοπής δε μεταβάλλεται σημαντικά για μεγαλύτερο αριθμό περιόδων, ωστόσο, μειώνεται η μεταδιδόμενη ισχύς λόγω απωλειών σκέδασης. 3.2. Μοντελοποίηση σε 2 διαστάσεις Θεωρώντας διάταξη άπειρου πλάτους, η ανάλυση μπορεί να γίνει στις 2 διαστάσεις. Η γεωμετρία φαίνεται στο σχήμα 3.2. Η πηγή είναι γραμμική, βρίσκεται σε όλο το ύψος του κυματοδηγού, και εκπέμπει ΤΕ κύμα πολωμένο κατά E z (κάθετο στο επίπεδο του σχήματος 3.2). Το επίπεδο υπολογισμού της ροής της ενέργειας εκφυλίζεται σε γραμμή παράλληλη στον άξονα y, με ύψος 1250nm. Σχήμα 3.2. Γεωμετρία διάταξης στις 2 διαστάσεις.

Διάδοση Η/Μ κύματος σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο 33 Η ανάλυση θα γίνει με παράμετρο τη διηλεκτρική σταθερά του υπερστρώματος. Η μεταβολή της ζώνης αποκοπής για διαφορετικό διηλεκτρικό, παρέχει σημαντικές πληροφορίες για τη δυνατότητα ρύθμισης της διάταξης. Θεωρούμε ομογενές, ισοτροπικό υλικό με ύψος 500nm πάνω από τον κυματοδηγό πυριτίου. Ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται από 1.00, έως και 1.90. Σχήμα 3.3. Συντελεστής μετάδοσης στις 2 διαστάσεις, για υπέρστρωμα αέρα. Στο σχήμα 3.3 φαίνεται ο συντελεστής μετάδοσης, όταν το υπέρστρωμα αποτελείται από αέρα. Το εύρος -περίπου 400nm- της ζώνης αποκοπής είναι μέγιστο, αφού η διαφορά των δεικτών διάθλασης του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου και του υπερστρώματος είναι μέγιστη. Στο σχήμα 3.4 φαίνεται ο συντελεστής μετάδοσης, όταν το υπέρστρωμα αποτελείται από διηλεκτρικό με δείκτη διάθλασης 1.40 έως 1.90. Η δυνατότητα ρύθμισης είναι εμφανής. Καθώς μειώνεται η διαφορά των δεικτών διάθλασης του πυριτίου και του υπερστρώματος, μειώνεται και το εύρος της ζώνης αποκοπής, επιτρέποντας τη διέλευση φωτός. Στην περιοχή των 1550nm, η μεταβολή είναι σημαντική (Σχήμα 3.5). Ακόμα και για μικρό εύρος Δn=0.3 -για υπερστρώματα με δείκτη διάθλασης 1.50 και 1.80, η αποκοπή αγγίζει τα 12dB.

34 Κεφάλαιο 3 Σχήμα 3.4. Συντελεστής μετάδοσης στις 2 διαστάσεις, για 5 περιόδους φωτονικού κρυστάλλου. Σχήμα 3.5. Συντελεστής μετάδοσης στα 1550nm, σε εύρος δεικτών διάθλασης 1.40 έως 1.90.

Διάδοση Η/Μ κύματος σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο 35 3.3. Μοντελοποίηση σε 3 διαστάσεις Στην πιο ρεαλιστική περίπτωση των 3 διαστάσεων, ο κυματοδηγός έχει ύψος 220nm και πλάτος 450nm. Στην έξοδό του βρίσκονται 5 περίοδοι φωτονικού κρυστάλλου, με γεωμετρία τραπεζίου, ύψος 220nm και πεπερασμένο πλάτος (Σχήμα 3.6). Η πηγή καλύπτει όλη τη διατομή του κυματοδηγού πυριτίου και εκπέμπει ΤΕ κύμα πολωμένο κατά E z. Το επίπεδο υπολογισμού της ροής βρίσκεται στην έξοδο του φωτονικού κρυστάλλου, έχει ύψος 1250nm, πλάτος 1650nm και είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης, δηλαδή τον άξονα x της περιοδικότητας. Σχήμα 3.6. Γεωμετρία διάταξης στις 3 διαστάσεις παρουσία/απουσία φωτονικού κρυστάλλου, για τον υπολογισμό του συντελεστή μετάδοσης. Πλάγια όψη και κάτοψη για πλάτος ΦΚ ίσο με 450nm, 750nm, 1000nm, 1250nm, ή 1500nm. Η ανάλυση θα γίνει με δύο παραμέτρους: το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου και το δείκτη διάθλασης του διηλεκτρικού υπερστρώματος. Η μεταβολή της ζώνης αποκοπής για διαφορετικό διηλεκτρικό, παρέχει σημαντικές πληροφορίες για τη δυνατότητα ρύθμισης της διάταξης. Θεωρούμε ομογενές, ισοτροπικό υλικό με ύψος 500nm πάνω από τον κυματοδηγό πυριτίου. Ο δείκτης διάθλασης λαμβάνει τις τιμές 1.00, 1.45, 1.60, 1.75, και 1.90.

36 Κεφάλαιο 3 Σχήμα 3.7. Συντελεστής μετάδοσης στις 3 διαστάσεις, για υπέρστρωμα με n=1.00. Στο σχήμα 3.7 φαίνεται ο συντελεστής μετάδοσης, όταν το υπέρστρωμα αποτελείται από αέρα. Για το σχηματισμό της ζώνης αποκοπής photonic band gap, το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από αυτό του κυματοδηγού. Η αποκοπή εμφανίζεται στο πλάτος 750nm. Το εύρος της ζώνης αποκοπής αυξάνεται, μέχρι το πλάτος να γίνει 3000nm, οπότε και φτάνει σε κορεσμό. Όπως στη 2-Δ περίπτωση, η ζώνη αποκοπής είναι μέγιστη όταν το υπέρστρωμα αποτελείται από αέρα (n=1.00), και μειώνεται, καθώς μικραίνει η διαφορά των δεικτών διάθλασης του πυριτίου και του υπερστρώματος. Στα σχήματα 3.8.α~ε φαίνεται ο συντελεστής μετάδοσης, όταν το υπέρστρωμα αποτελείται από ισοτροπικό διηλεκτρικό με δείκτη διάθλασης από 1.45 έως 1.90, και το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου μεταβάλλεται από 450nm έως 1500nm. Η δυνατότητα ρύθμισης είναι εμφανής, για πλάτη μεγαλύτερα των 750nm. Καθώς μειώνεται η διαφορά των δεικτών διάθλασης του πυριτίου και του υπερστρώματος, μειώνεται και το εύρος της ζώνης αποκοπής, επιτρέποντας τη διέλευση φωτός. Οι φωτονικοί κρύσταλλοι πλάτους 1000nm και 1250nm παρουσιάζουν την καλύτερη συμπεριφορά, αφού η αποκοπή παραμένει ικανοποιητική σε όλο το εύρος δεικτών διάθλασης που εξετάζονται. Η περαιτέρω αύξηση του πλάτους, διευρύνει τη ζώνη αποκοπής προς τις χαμηλές συχνότητες, αλλά επιτρέπει τη διέλευση φωτός στην κοντινή υπέρυθρη περιοχή.

Διάδοση Η/Μ κύματος σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο 37 (α) Πλάτος φωτονικού κρυστάλλου 450nm. (β) Πλάτος φωτονικού κρυστάλλου 750nm.

38 Κεφάλαιο 3 (γ) Πλάτος φωτονικού κρυστάλλου 1000nm. (δ) Πλάτος φωτονικού κρυστάλλου 1250nm.

Διάδοση Η/Μ κύματος σε 1-Δ φωτονικό κρύσταλλο 39 (ε) Πλάτος φωτονικού κρυστάλλου 1500nm. Σχήμα 3.8. Αποτελέσματα της προσομοίωσης στις 3 διαστάσεις, για πλάτος φωτονικού κρυστάλλου ίσο με (α) 450nm, (β) 750nm, (γ) 1000nm, (δ) 1250nm, ή (ε) 1500nm. Σχήμα 3.9. Συντελεστής μετάδοσης στα 1550nm, σε εύρος δεικτών διάθλασης 1.45 έως 1.90.

40 Κεφάλαιο 3 Ιδιαίτερα στην περιοχή των 1550nm, η καλύτερη συμπεριφορά παρουσιάζεται όταν το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου είναι 1000nm. Η αποκοπή αγγίζει τα 12dB όταν το εύρος δεικτών διάθλασης είναι Δn=0.45 -για υπερστρώματα με δείκτη διάθλασης 1.45 και 1.90. Για μεγαλύτερα πλάτη, παρατηρείται ανύψωση της καμπύλης του συντελεστή μετάδοσης στα μικρότερα μήκη κύματος, και η ρύθμιση δεν είναι τόσο αποτελεσματική σε εύρος δεικτών διάθλασης, όπως αυτό του νηματικού υγρού κρυστάλλου του κεφαλαίου 2.

41 4. Συμπεράσματα Η τεχνολογία των φωτονικών κρυστάλλων υπόσχεται πλήρη έλεγχο του φωτός. Ακόμα και η απλούστερη περίπτωση, της περιοδικής δομής σε μια διάσταση, αποτελεί βάση για το σχεδιασμό διατάξεων με πολύτιμες ιδιότητες. Αν και η διάδοση των φωτονίων ελέγχεται προς μια διεύθυνση, και δεν είναι δυνατός ο σχηματισμός σύνθετων κυματοδηγών, επιτρέπεται η δημιουργία παθητικών οπτικών φίλτρων, κατόπτρων, και κοιλοτήτων συντονισμού. Σχήμα 4.1. Δισδιάστατη απεικόνιση μελετώμενου 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου. Σημαντική είναι η δυνατότητα ολοκλήρωσης των φωτονικών κρυστάλλων σε κοινό υπόστρωμα με άλλα εξαρτήματα, με επιστράτευση της τεχνολογίας επεξεργασίας πυριτίου, SOI. Η τεχνογνωσία που επιτεύχθηκε τις τελευταίες δεκαετίες, για τη μεταχείριση του πυριτίου και την κατασκευή ηλεκτρονικών συστημάτων, καθιστά τη λύση του πυριτίου ιδιαίτερα ελκυστική για εφαρμογή στην οπτική. Η έρευνα εστιάζεται στο σχηματισμό βασικών οπτικών εξαρτημάτων: πηγές, ανιχνευτές φωτός, διαμορφωτές, και διατάξεις που οδηγούν, χωρίζουν, και ελέγχουν το φως. Η υλοποίηση και η συσκευασία πρέπει να έχουν ικανοποιητική ακρίβεια και χαμηλό κόστος. Εξίσου απαραίτητη είναι η δυνατότητα ολοκλήρωσης μικροηλεκτρονικών εξαρτημάτων ελέγχου. Για το σχηματισμό ενεργών διατάξεων, επιβάλλεται η χρησιμοποίηση ανισοτροπικών υλικών. Οι υγροί κρύσταλλοι αποτελούν πρακτική λύση χαμηλού κόστους. Σημαντικά πλεονεκτήματα είναι η υπάρχουσα τεχνογνωσία για την ενσωμάτωση σε δομές SOI, και η δυνατότητα ελέγχου με εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο.

42 Κεφάλαιο 4 Η εφαρμογή τάσης σε ηλεκτρόδια τοποθετημένα στις οριακές επιφάνειες, διαμορφώνει την κατανομή της διεύθυνσης του υγρού κρυστάλλου: τα μόρια τείνουν να ευθυγραμμιστούν με το ηλεκτρικό πεδίο, κατά τη διαμήκη διεύθυνση, μέχρι να φτάσει το σύστημα στην τελική κατάσταση ισορροπίας. Μελετήθηκε η ενσωμάτωση νηματικού υγρού κρυστάλλου στη γεωμετρία του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου του σχήματος 4.1. Η περιοχή ανάμεσα στον φωτονικό κρύσταλλο έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διάδοση του φωτός. Εκεί, οι ισχυρές οριακές συνθήκες και η παραμόρφωση του ηλεκτρικού πεδίου περιορίζουν σημαντικά τη μεταβολή του προσανατολισμού των μορίων. Έτσι, παρατηρείται η ύπαρξη τάσης κατωφλίου, περίπου 2.5 Volt, μέχρι την οποία η γωνία ϑ της διεύθυνσης των μορίων είναι μικρότερη των 25º και η γωνία ϕ είναι περίπου 90º. Ο υγρός κρύσταλλος χαρακτηρίζεται από σημαντικό εύρος δείκτη διάθλασης Δn=0.38, και δεν απαιτεί ισχυρή ένταση ηλεκτρικού πεδίου για να αλλάξει ο μοριακός προσανατολισμός -και άρα ο τανυστής του δείκτη διάθλασης. Η μεταβολή των οπτικών ιδιοτήτων του νηματικού υγρού κρυστάλλου είναι αρκετή για το σχεδιασμό διάταξης ρυθμιζόμενου 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου. Με αναφορά σε δημοσιευμένα αποτελέσματα και στη μελέτη της διάδοσης για ισοτροπικό και ομογενές υπέρστρωμα, αναμένεται παρόμοια συμπεριφορά της διάταξης για ανισοτροπικό διηλεκτρικό υπέρστρωμα. Σχήμα 4.2. Αισθητήρας δείκτη διάθλασης ισοτροπικού υγρού. Η διερεύνηση των οπτικών ιδιοτήτων του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου του σχήματος 4.1, έγινε με αριθμητική ανάλυση με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων στο πεδίο του χρόνου (FDTD), με χρήση του πακέτου λογισμικού MEEP. Η διάδοση προσομοιώθηκε μετά από κατάλληλο ορισμό γεωμετρίας 5 περιόδων φωτονικού κρυστάλλου και ενσωμάτωση πηγής ΤΕ, πολωμένης κατά E z (κάθετα στο επίπεδο του σχήματος 4.1). Η διερεύνηση έγινε στις 2 και στις 3 διαστάσεις, με παραμέτρους το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου και τη διηλεκτρική σταθερά του υπερστρώματος,

Συμπεράσματα 43 και υπολογίστηκε ο κανονικοποιημένος συντελεστής μετάδοσης, μέσω του μετασχηματισμού Fourier της ροής της ενέργειας. Το εύρος της ζώνης αποκοπής είναι μέγιστο, όταν το υπέρστρωμα αποτελείται από αέρα, και η διαφορά των δεικτών διάθλασης του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου και του υπερστρώματος είναι μέγιστη. Καθώς μειώνεται η διαφορά των δεικτών, μειώνεται και το εύρος της ζώνης αποκοπής, επιτρέποντας τη διέλευση φωτός. Στις 2 διαστάσεις, στην περιοχή των 1550nm, η μεταβολή είναι σημαντική (Σχήμα 3.5). Ακόμα και για μικρό εύρος Δn=0.3 -για υπερστρώματα με δείκτη διάθλασης 1.50 και 1.80, η αποκοπή αγγίζει τα 12dB. Στις 3 διαστάσεις, για το σχηματισμό της ζώνης αποκοπής photonic band gap, το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από αυτό του κυματοδηγού. Η αποκοπή εμφανίζεται στο πλάτος 750nm. Μεταβάλλοντας το δείκτη διάθλασης του ισοτροπικού διηλεκτρικού από 1.45 έως 1.90, παρατηρείται η δυνατότητα ρύθμισης, για πλάτη μεγαλύτερα των 750nm. Ιδιαίτερα στην περιοχή των 1550nm, η καλύτερη συμπεριφορά παρουσιάζεται όταν το πλάτος του φωτονικού κρυστάλλου είναι 1000nm. Η αποκοπή αγγίζει τα 12dB όταν το εύρος δεικτών διάθλασης είναι Δn=0.45 -για υπερστρώματα με δείκτη διάθλασης 1.45 και 1.90. Για μεγαλύτερα πλάτη, παρατηρείται ανύψωση της καμπύλης του συντελεστή μετάδοσης στα μικρότερα μήκη κύματος, και η ρύθμιση δεν είναι τόσο αποτελεσματική σε εύρος δεικτών διάθλασης, όπως αυτό του νηματικού υγρού κρυστάλλου του κεφαλαίου 2. Προφανείς εφαρμογές στις οπτικές επικοινωνίες περιλαμβάνουν ρυθμιζόμενα φίλτρα και οπτικούς διακόπτες. Το εύρος ζώνης αποκοπής μεταβάλλεται αποτελεσματικά, καθώς προσανατολίζονται τα μόρια του υγρού κρυστάλλου, ανάλογα με την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, επιτρέποντας ή απαγορεύοντας τη διέλευση φωτός ορισμένης συχνότητας. Ο σχεδιασμός για τη διακοπτική λειτουργία, γίνεται με παράμετρο την εφαρμοζόμενη τάση, λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία του φαινομένου κατωφλίου. Η προτεινόμενη διάταξη μπορεί να χρησιμοποιηθεί και αντίστροφα, ως αισθητήρας για τον υπολογισμό της μέσης διεύθυνσης των μορίων του υγρού κρυστάλλου, ή ακόμα και του δείκτη διάθλασης κάποιου ισοτροπικού υγρού που διεισδύει στην περιοδική δομή (Σχήμα 4.2). Ο υπολογισμός γίνεται μέσω της διαδιδόμενης οπτικής ισχύος, με βάση τη μελέτη της διάδοσης για ομογενές, ισοτροπικό υπέρστρωμα. Η ευκολία υλοποίησης, το πλήθος εφαρμογών σε ενεργές ή παθητικές διατάξεις, η ευελιξία στο σχεδιασμό, και η δυνατότητα οπτικής ολοκλήρωσης, είναι μερικά από τα πλεονεκτήματα του 1-Δ φωτονικού κρυστάλλου. Νέες ιδιότητες υλικών και τεχνολογίες προστίθενται στα διαθέσιμα εργαλεία, αποτελούν βάση για τη μελέτη και δημιουργία νέων συστημάτων, και τελικά διευρύνουν το μέτωπο της φωτονικής τεχνολογίας.

44 Κεφάλαιο 4

45 5. Βιβλιογραφία Ξενόγλωσση βιβλιογραφία [1] Zografopoulos D. C., Kriezis Em. E., Bellini B., and Becherelli R., Tunable onedimensional photonic crystal slabs based on preferential etching of silicon, Optics Express, Vol. 15, pp. 1832-1844, 2007. [2] Joannopoulos J. D., Meade R. D., Winn J. N., Photonic Crystals, Molding the Flow of Light, Princeton University Press, 1995. [3] Brown. C. V., Kriezis Em. E., and Elston S. J., Optical diffraction from a liquid crystal phase grating, Journal of Applied Physics, Vol. 91, pp. 3495-3500, 2002. [4] Bellini B., Geday M. A., Bennis N., Spadlo A., Quintana X., Oton J. M., Dabrowski R., Design and simulation of single-electrode liquid crystal phased arrays, Optoelectronics Review, 14, no.4, 2006. [5] Beeckman J., Lateral Light Propagation and Spatial Optical Solitons in Liquid Crystal Devices, PhD Thesis at Universiteit Gent, 2006. [6] Dessaud N., Physics of Polymer Networks, PhD Thesis at the University of Oxford, 2003. [7] Johnson S. G., Photonic Crystals: From Theory to Practice, PhD Thesis at the Massachusetts Institute of Technology, 2001. [8] Jackson J. D., Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Inc., 1962. [9] Kenichi Iga, Yasuo Kokubun, Encyclopedic Handbook of Integrated Optics, CRC Press, 2006. [10] Hecht E., Optics, 4 th edition, Addison Wesley, 2002.

46 Κεφάλαιο 5 [11] Keigo Iizuka, Elements of Photonics, Volumes I-II, John Wiley & Sons, Inc., 2002. [12] Steiner, T., editor, Semiconductor Nanostructures for Optoelectronic Applications, Artech House, Inc., 2004. [13] Waynant, R. W., editor, Ediger, M. N., editor, Electro-Optics Handbook, McGraw-Hill, Inc., 2000. [14] Bahaa, E. A. S., Teich, M. C., Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc., 1991. [15] Kosmidou E. P., Kriezis Em. E., and Tsiboukis T. D., Analysis of tunable photonic crystal devices comprising liquid crystal materials as defects, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 41, pp. 657-665, 2005. [16] Kosmidou E. P., Kriezis Em. E., and Tsiboukis T. D., Analysis of tunable photonic crystal directional couplers, Journal of Applied Physics, Vol. 100, 043118, 2006. Ελληνική βιβλιογραφία [17] Εμμανουήλ Ε. Κριεζής, Ηλεκτρομαγνητική Οπτική, Υπηρεσία Δημοσιευμάτων ΑΠΘ, 2004. [18] Εμμανουήλ Ε. Κριεζής, Οπτικές Επικοινωνίες, Υπηρεσία Δημοσιευμάτων ΑΠΘ, 2003 [19] Θ. Δ. Τσιμπούκης, Εισαγωγή στη Βασική Θεωρία του Ηλεκτρομαγνητικού Πεδίου, University Studio Press, 1991. Διαδικτυακοί τόποι [20] Ιστοσελίδα πακέτου λογισμικού MEEP (MIT Electromagnetic Equation Propagation): http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/meep