Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr

Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης και ειδικότερα των γεωμετρικών εννοιών στον χρόνο από μια μακροσκοπική σκοπιά. Ποια ήταν τα κρίσιμα σημεία όταν άλλαζαν η σκέψη, οι παραδοχές και τα εργαλεία στη μελέτη της γεωμετρίας; Θα φωτισθούν κύρια σημεία στην ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης και επιρροές στην τέχνη και την αρχιτεκτονική.

Οι 4 μεγάλες περίοδοι (a) H πρώτη περίοδος, η οποία είναι η περίοδος των Ελληνικών Μαθηματικών αρχίζει τον 6 ο π.χ. αιώνα με τους Θαλή και Πυθαγόρα κορυφώνεται τον 4 ο και 3 ο π.χ. αιώνα με την Αθηναϊκή Σχολή και τη Σχολή της Αλεξάνδρειας με κύριους εκφραστές τους Πλάτωνα, Αριστοτέλη, Μέναιχμο και Ευκλείδη, Αρχιμήδη (Συρακούσες), Ερατοσθένη κ.ά. και τελειώνει τον 6 ο μ.χ. με τις ιδέες των Ήρωνα, Θέωνα, Υπατίας και Βοηθίου, τελευταίων μεγάλων μαθηματικών της Αρχαιότητας. Η δεύτερη περίοδος, 9 ος - 15 ος μ.χ. αιώνας, είναι η περίοδος της ανάπτυξης των Μαθηματικών του Αραβικού κόσμου με κέντρο την Βαγδάτη, την πρωτεύουσα του Ισλάμ. Κύρια συμβολή τους παρατηρήθηκε στην Άλγεβρα, την Τριγωνομετρία και την Συνδυαστική.

Οι 4 μεγάλες περίοδοι (b) Η τρίτη περίοδος 16 ος - 19 ος μ.χ. αιώνας, είναι η περίοδος ανάπτυξης των Κλασικών Μαθηματικών στη Δύση. Αρχίζει με την ανάπτυξη της Στοιχειώδους Άλγεβρας (Ιταλική Σχολή της Bologna Tartaglia Ferrari κ.λ.π.), της Άλγεβρας, της Αναλυτικής Γεωμετρίας, του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton, Leibnitz, Bernoulli, κ.ά.), των Διαφορικών Εξισώσεων, των Πιθανοτήτων, της Μηχανικής, του Λογισμού των Μεταβολών (Euler, D Alambert, Clairault, Monge, Laplace) Συνεχίζεται με την ανάπτυξη της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων, της Σύγχρονης Άλγεβρας, των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών, της Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας, της θεωρίας Πινάκων, της Τοπολογίας και θεωρίας Συνόλων με εκφραστές πολλούς και σημαντικούς Μαθηματικούς, κυριότεροι των οποίων ήταν οι: Cauchy, Weierstrass, Poincare, Abel, Galois, Jacobi, Poncelet, Von Staudt, Gauss, Bolyai, Lobashevski, Boole, Cantor, Dadekind, Euler, κ.ά. Η τέταρτη περίοδος αναφέρεται στα Μαθηματικά του 20 ου αιώνα μέχρι σήμερα. Κατά την περίοδο αυτή ανακαλύπτεται η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων και καμπυλών, η θεωρία Δακτυλίων και Σωμάτων, η Αριθμητική Ανάλυση, η Λογική, η Διαφορική Τοπολογία, η Πληροφορική, η Γεωμετρία Riemann, οι ομάδες Lie, κ.λ.π.

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία Περίοδος των Ελληνικών Μαθηματικών: θα αναφερθούμε σε δυο σταθμούς: Εισαγωγή και υπολογισμός της έννοιας της Χρυσής Τομής από τον Πυθαγόρα. Ανάπτυξη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που βασίζεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη

Χρυσή τομή Διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ σε δυο άνισα μέρη από ένα σημείο Μ, έτσι ώστε το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του ΑΒ δια του μήκους του μεγαλύτερου τμήματος να ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του μεγαλύτερου προς το μήκος του μικρότερου. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε φ, προς χάριν του Φειδία, και χρυσός αριθμός καθώς δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας των αναλογιών.

Χρυσά ορθογώνια στον Παρθενώνα

Το σύστημα της Χρυσής Τομής αξιοποίησε πολύ αργότερα και ο Le Corbusier για να δημιουργήσει το δικό του σύστημα αναλογιών, γνωστό ως Modulor

Ευκλείδης: Τα στοιχεία Η Ευκλείδεια γεωμετρία βασίζεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Τον όρο «Στοιχεία» οι Αρχαίοι Έλληνες τον απέδιδαν σε κάθε σύστημα μαθηματικών Προτάσεων και Θεωρημάτων που βασιζόταν σε αξιώματα. Ο Ευκλείδης κατάφερε με 5 αιτήματα να θεμελιώσει λογικά το σύνολο των μέχρι τότε γεωμετρικών γνώσεων και να δημιουργήσει 465 Προτάσεις και Θεωρήματα, πολλές από τις οποίες είναι πολύπλοκες και καθόλου διαισθητικά φανερές. Τα «Στοιχεία» αποτελούνται από 13 βιβλία. Τα πρώτα 6 πραγματεύονται την γνωστή μας Επιπεδομετρία τα επόμενα 3 αναφέρονται στη Θεωρία Αριθμών το δέκατο βιβλίο αναφέρεται στη θεωρία των Ασύμμετρων λόγων τα τελευταία 3 αναφέρονται στην Στερεομετρία

Ευκλείδης: Τα 5 αιτήματα Δυο διαφορετικά σημεία ορίζουν μοναδική ευθεία γραμμή, στην οποία τα σημεία αυτά ανήκουν. Κάθε πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται κατά τρόπο συνεχή σε άπειρη ευθεία γραμμή. Με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα, γράφεται κύκλος. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο ευθείες γραμμές, έτσι ώστε το άθροισμα των δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών να είναι μικρότερο από 180 ο, τότε οι δυο ευθείες αν επεκταθούν απεριόριστα θα συναντηθούν προς το μέρος που είναι οι γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι μικρότερο των 180 ο.

Σχόλιο Τα πρώτα 3 αιτήματα αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ευθυγράμμου τμήματος, προέκτασης ευθείας και κατασκευής κύκλου. Εισάγεται έτσι έμμεσα πλην σαφώς, η αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη. Ο περιορισμός αυτός οδήγησε στην ανακάλυψη πολλών καμπυλών στην προσπάθεια των Μαθηματικών να επιλύσουν τα τρία περίφημα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας, που αναφέρονται στον τετραγωνισμό του κύκλου στο διπλασιασμό του κύβου στην τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας.

Το 5 ο αίτημα Το 5 Ο αίτημα καθορίζει τη φύση σχεδόν ολόκληρης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η άρνηση της ισχύος του, αποτέλεσε την αφετηρία για την ανακάλυψη των λεγομένων σήμερα μη-ευκλειδείων Γεωμετριών. Ο Ευκλείδης, εκτός από τα αιτήματα χρησιμοποίησε και 5 κοινές έννοιες. Τις θεμελιώδεις έννοιες Σημείο, Ευθεία και Επίπεδο δεν τις όρισε, απλώς τις περιέγραψε με τις ουσιώδεις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα έγραψε: Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος. Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος. Επίπεδο είναι ότι έχει μήκος και πλάτος, κλπ. Οι κοινές έννοιες (αξιώματα) διατυπώθηκαν ως ακολούθως: Αυτά που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα. Αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν πάλι ίσα. Αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, προκύπτουν πάλι ίσα. Αυτά που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι μεταξύ τους ίσα. Το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος.

Η αξία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Η Ευκλείδεια Γεωμετρία για πολλούς αιώνες υπήρξε η βάση, πάνω στη οποία στηρίχθηκε η ανάπτυξη πολλών άλλων κλάδων των Μαθηματικών και άλλων επιστημών. Η λογική συνέπεια που απαιτούν οι αποδείξεις των Θεωρημάτων της, σε συνδυασμό με την άμεση εποπτεία των σχημάτων, ανέδειξαν την Ευκλείδεια Γεωμετρία ως το κατ εξοχήν μάθημα που οξύνει το πνεύμα και την καλαισθησία του ανθρώπου και αποτελεί μέχρι σήμερα, σε όλα τα μήκη και τα πλάτη της γης, ένα από τα πιο βασικά διδακτικά εργαλεία.

Αμφισβήτηση του Αξιωματικού Συστήματος του Ευκλείδη Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες Ένα σύστημα αξιωμάτων γίνεται αποδεκτό αν είναι: Επαρκές: Να εξασφαλίζει, δηλαδή, την Λογική συνέπεια οποιασδήποτε γεωμετρικής ιδιότητας του χώρου Απαλλαγμένο αντιφάσεων: Να μην υπάρχουν αντιφάσεις μεταξύ των αξιωμάτων, αλλά και να μην προκύπτουν αντιφάσεις από τον συνδυασμό τους. Λογικά καθεαυτό ανεξάρτητο: Δηλαδή, κανένα, από τα αξιώματα να μην προκύπτει εν μέρει ή εν όλω, ως Λογική συνέπεια των άλλων

Προσπάθειες για την απόδειξη του 5 ου αιτήματος Διάσημοι μαθηματικοί και για πολλούς αιώνες, από τον Ποσειδώνιο (135-51 π.χ.) μέχρι τον G.S. Klügel το 1763 μ.χ. δεν κατάφεραν να αποδείξουν το 5 ο αίτημα. Ο Klügel στη Διδακτορική του διατριβή με την επίβλεψη του Καθηγητή A.G. Kästner στο Πανεπιστήμιο του Göttingen με τίτλο «Μελέτη των πιο διάσημων προσπαθειών για την απόδειξη της θεωρίας των παραλλήλων» συμπέρανε ότι το 5 ο αίτημα δεν μπορεί να αποδειχθεί Έτσι, η μαθηματική σκέψη στράφηκε προς την ιδέα της αντικατάστασής του, διατηρώντας ακέραια τα 4 άλλα αξιώματα.

Νέα ιδέα Μια νέα Γεωμετρία αντίθετη της Ευκλείδειας ήταν λογικό να οικοδομηθεί. Η ιδέα που επικράτησε ήταν να αντικατασταθεί το 5 ο αίτημα από την άρνησή του και έτσι δημιουργήθηκε το σχήμα: Απόλυτη Γεωμετρία (τα 4 αξιώματα) + (5 ου Αιτήματος) Η άρνηση του 5 ου αιτήματος σημαίνει ότι: Από σημείο εκτός ευθείας άγονται είτε τουλάχιστον δυο παράλληλες προς αυτή, είτε καμία.

Δυο νέες Γεωμετρίες Η πρώτη περίπτωση οδήγησε στη δημιουργία της Υπερβολικής Γεωμετρίας με θεμελιωτές τους Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), Farkas Bolyai (1775-1856) και Karl Freidrich Gauss (1777-1856) Κύριο χαρακτηριστικό της υπερβολικής Γεωμετρίας είναι ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 180 ο Η δεύτερη οδήγησε στην Ελλειπτική Γεωμετρία με θεμελιωτές τους Gauss και Felix Klein. Κύριο χαρακτηριστικό της ελλειπτικής το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 ο Ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτών των γεωμετριών είναι ότι η ομοιότητα σχημάτων οδηγεί στην ισότητα αυτών, δηλαδή δεν υφίστανται μη-ίσα όμοια σχήματα.

Υπερβολική γεωμετρία και τέχνη Το γνωστό έργο του ζωγράφου M. C. Escher, Circle Limit I (1958) με τα ψάρια που πετούν κατασκευάστηκε σε μοντέλο υπερβολικής γεωμετρίας του Poincaré, ύστερα από συζητήσεις που είχε ο δημιουργός με τον H.S.M Coxeter Καθηγητή του Πανεπιστημίου του Τορόντο. Όλα τα ψάρια του ιδίου χρώματος υποτίθεται ότι είναι του ιδίου μεγέθους και σχήματος. Τα όρια του κύκλου είναι στο άπειρο. Το μοντέλο παραμορφώνει και μέγεθος και σχήμα. Όλες οι γραμμές είναι ευθείες (γεωδαισιακές) και τέμνουν τα όρια του κύκλου σε ορθές γωνίες.

Υπερβολική γεωμετρία και Αρχιτεκτονική Ένα παράδειγμα μιας υπερβολοειδούς κατασκευής, ύψους 37 μέτρων του 1896, είναι αυτό που κοσμεί το σταθμό μετρό της ρωσικής πόλης Novgorod του Vlamidir Grigorjevič Šuhov

Αξιωματική θεμελίωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας κατά Hilbert David Hilbert διατυπώνει το 1899 νέο αξιωματικό σύστημα στην περίφημη εργασία του Grundlagen der Geometrie. Θεώρησε τον Ευκλείδειο 3-διάστατο χώρο αποτελούμενο από τρία είδη θεμελιωδών στοιχείων : Σημεία, Ευθείες, Επίπεδα δέχθηκε ότι οι σχέσεις μεταξύ αυτών είναι απόρροιες πέντε θεμελιωδών εννοιών: ανήκειν, κείσθαι μεταξύ, ισότης, παραλληλία, συνέχεια. Για κάθε μια από αυτές όρισε αξιώματα, έτσι δημιούργησε τις ακόλουθες πέντε ομάδες αξιωμάτων: Τα αξιώματα θέσης (ανήκειν) Τα αξιώματα διάταξης (κείσθαι μεταξύ). Τα μετρικά αξιώματα (ισότης) Το αξίωμα της παραλληλίας (παραλληλία) Τα αξιώματα της Συνέχειας (συνέχεια)

Σημείο καμπής για τη γεωμετρική σκέψη Με τον Hilbert αρχίζει να ανεξαρτητοποιείται η Γεωμετρία από τα αισθητά πράγματα και τον φυσικό κόσμο. Mε την επίδραση του Διαφορικού Λογισμού αναπτύσσεται και θεμελιώνεται η Κλασσική, σήμερα, λεγόμενη, Διαφορική Γεωμετρία. Μια από τις βασικές έννοιες αυτής είναι η καμπυλότητα Κ των επιφανειών. Ο Gauss απέδειξε ότι υπάρχουν στον χώρο τρία είδη επιφανειών με σταθερή καμπυλότητα Gauss, αυτές για τις οποίες είναι: Κ = 0 ή Κ > 0 ή Κ < 0 απέδειξε πως αν Α 1 Α 2 Α 3 είναι ένα τρίγωνο πάνω σε τυχαία επιφάνεια, τότε ισχύει πάντοτε Â 1 + Â 2 + Â 3 180 ο = Κ ds όπου ds είναι το στοιχειώδες εμβαδό.

Το τρίγωνο στα τρία είδη γεωμετριών Οπότε, αν το τρίγωνο κείται σε επιφάνειες με Κ = 0, τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα είναι 180 ο και αναφερόμαστε στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αν Κ > 0, τότε το άθροισμα των γωνιών γίνεται μεγαλύτερο από 180 ο και έχουμε την Ελλειπτική Γεωμετρία, με μοντέλο τη σφαίρα (αφού για τη σφαίρα Κ= 1/R 2 > 0) Αν Κ < 0, τότε το άθροισμα των γωνιών γίνεται μικρότερο από 180 ο και έχουμε την υπερβολική γεωμετρία με μοντέλο την ψευδοσφαίρα (αφού για την ψευδοσφαίρα έχουμε Κ= - 1/R 2 < 0).

Γεωμετρία Riemann Η ιδέα τέλος της δημιουργίας γεωμετρίας σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης και με την παράλληλη ανάπτυξη της Τανυστικής Ανάλυσης και της Τοπολογίας οδήγησε τον Riemann στη γενίκευση της γεωμετρίας των επιφανειών, που είχαν μελετηθεί από Gauss, Βonnet κ.α. και η οποία κατέληξε στον ακριβή ορισμό της σύγχρονης έννοιας της αφηρημένης πολλαπλότητας Riemann (Gudmundsson, 2012). Το 1854, ο Riemann δημιουργεί και διατυπώνει τα περί Διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων και της Γεωμετρίας Riemann, που αποτελούν τον βασικό κορμό της Σύγχρονης Γεωμετρίας. Η βασική ιδέα του ήταν η εισαγωγή ενός τανυστικού πεδίου (τανυστικό πεδίο Riemann) δια μέσου ενός μετρικού τανυστικού πεδίου. Αυτή η όμορφη θεωρία της Γεωμετρίας Riemann εξακολουθεί να είναι μια πολύ ενεργή περιοχή της μαθηματικής έρευνας (Gudmundsson, 2012),

Εφαρμογές της Γεωμετρίας Riemann Η Γεωμετρίας Riemann είναι η γλώσσα που η γενική θεωρία της Σχετικότητας του Einstein έχει εκφρασθεί Χρησιμοποιείται στη μελέτη του ηλεκτρομαγνητισμού, καθώς και της Langrangian και Hamiltonian Μηχανικής. Οι πολλαπλότητες Riemann αξιοποιούνται στα πεδία της Γεωμετρικής μοντελοποίησης, της επεξεργασίας ψηφιακού σήματος, επεξεργασίας εικόνας, αλλά και στην οικονομετρία, στη διαμορφωτική γεωλογία, στη στατιστική και στη θεωρία της πληροφορίας

Εφαρμογή της Γεωμετρίας Riemann στο σχεδιασμό και κατασκευή αντικειμένου Το αντικείμενο προέκυψε από μελέτες για την παραγωγή μιας οικογένειας ιδεών σχετικής με το λογότυπο μιας εταιρείας (το γράμμα G) με αντικείμενο την Επιστήμη και την Τεχνολογία. Δόθηκε ως πρώτο βραβείο Γεωμετρίας του Simon Stevin Institute of Geometry στον Καθηγητή Bang-Yen Chen, το 2008 κατά τη διάρκεια του διεθνούς Συνεδρίου Riemannian Geometry and Applications, που οργανώθηκε στο Brasov της Ρουμανίας.

Επίλογος Μέσα από την εξέλιξη των Μαθηματικών και των άλλων επιστημών μπορεί κάποιος να διαπιστώσει πως η ανάπτυξη άλλων γνωστικών περιοχών και εργαλείων στηρίζουν μια τέτοια εξέλιξη και πως αυτή η εξέλιξη επηρεάζει και υποστηρίζει με τη σειρά της άλλα επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία και τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τον χώρο και τις εκφράσεις του.