Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ Οι συντεταγμένες ενός σημείου Απόλυτη τιμή...14

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ Οι συντεταγμένες ενός σημείου Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ Οι συντεταγμένες ενός σημείου Ο τύπος της απόστασης Οι τύποι του μέσου...23 Κεφάλαιο 3 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Κεφάλαιο 4 ΕΥΘΕΙΕΣ Κλίση Οι εξισώσεις της ευθείας Παράλληλες ευθείες Κάθετες ευθείες...42 Κεφάλαιο 5 ΤΟΜΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Κεφάλαιο 6 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Συμμετρία ως προς μια ευθεία Συμμετρία ως προς ένα σημείο...54 Κεφάλαιο 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης Διαστήματα Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Επανάληψη στην άλγεβρα: ρίζες πολυώνυμων...63

4 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ [ΚΕΦ. 3 Κεφάλαιο 8 ΟΡΙΑ Εισαγωγή Ιδιότητες των ορίων Η ύπαρξη ή όχι ενός ορίου...73 Κεφάλαιο 9 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ Πλευρικά όρια Συναρτήσεις με όριο το άπειρο: κατακόρυφες ασύμπτωτες Όρια στο άπειρο: οριζόντιες ασύμπτωτες...82 Κεφάλαιο 10 ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός και ιδιότητες Πλευρική συνέχεια Συνέχεια σε ένα κλειστό διάστημα...92 Κεφάλαιο 11 ΚΛΙΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Κεφάλαιο 12 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Κεφάλαιο 13 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ Παραγωγισιμότητα και συνέχεια Περισσότεροι κανόνες των παραγώγων Κεφάλαιο 14 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Τοπικά ακρότατα Ολικά ακρότατα Κεφάλαιο 15 Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Σύνθετες συναρτήσεις Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων Κεφάλαιο 16 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Κεφάλαιο 17 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Τo θεώρημα του Rolle και τo θεώρημα της μέσης τιμής Το πρόσημο της παραγώγου...144

5 ΚΕΦ. 3] ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Κεφάλαιο 18 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Κεφάλαιο 19 ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Κεφάλαιο 20 ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΕΝΟΙ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Κεφάλαιο 21 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ NEWTON Υπολογισμός της τιμής μιας συνάρτησης Το διαφορικό Η μέθοδος του Newton Κεφάλαιο 22 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 23 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Κυρτότητα Έλεγχος για τοπικά ακρότατα Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων Κεφάλαιο 24 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 25 ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ Μήκος τόξου και ακτίνιο Προσανατολισμένες γωνίες Κεφάλαιο 26 ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικός ορισμός Ιδιότητες Κεφάλαιο 27 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γραφικές παραστάσεις Παράγωγοι...222

6 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ [ΚΕΦ. 3 Κεφάλαιο 28 Η ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 29 ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός και συμβολισμός Οι κανόνες των αντιπαραγώγων Κεφάλαιο 30 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Συμβολισμός σίγμα Το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος Κεφάλαιο 31 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος Μέση τιμή συνάρτησης Αλλαγή μεταβλητής ορισμένου ολοκληρώματος Κεφάλαιο 32 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι: ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ Εμβαδόν μεταξύ καμπύλης και του άξονα των y Εμβαδόν μεταξύ δυο καμπυλών Μήκος τόξου Κεφάλαιο 33 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ II: ΌΓΚΟΣ Στερεά εκ περιστροφής Υπολογισμός του όγκου με τη μέθοδο των διατμήσεων Κεφάλαιο 34 Ο ΦΥΣΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ Ορισμός Ιδιότητες Κεφάλαιο 35 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι ιδιότητες του x Η συνάρτηση e x Κεφάλαιο 36 ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ L' HOPITAL ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΙΩΣΗ Κανόνας του L' Hopitl Εκθετική αύξηση και μείωση...305

7 ΚΕΦ. 3] ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 Κεφάλαιο 37 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις Αντιστροφές περιορισμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων Κεφάλαιο 38 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Κεφάλαιο 39 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις Κεφάλαιο 40 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Παράρτημα Α ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ Παράρτημα Β ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Παράρτημα Γ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ Παράρτημα Δ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παράρτημα Ε ΦΥΣΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Παράρτημα ΣΤ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

8 Κεφάλαιο 31 Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού 31.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Θα αναπτύξουμε μια απλή μέθοδο για τον υπολογισμό του b f ( x) dx μια μέθοδο η οποία βασίζεται σε μια σημαντική και θεμελιώδη σχέση μεταξύ της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης. Η σχέση αυτή η οποία ανακαλύφτηκε από τον Isc Newton και τον Gottfried von Leibniz, τους θεμελιωτές του απειροστικού λογισμού, εκφράζεται ως εξής: Θεώρημα 31.1: Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [, b]. Τότε, για x στο [, b], η είναι συνάρτηση του x τέτοια ώστε x f ( t) dt x D f () t dt x = f ( x) Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος συμπεριλαμβάνεται στο Πρόβλημα Τώρα, για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, ας υποθέσουμε ότι η F ( x) = f ( x) dx συμβολίζει κάποια γνωστή αντιπαράγωγο της f(x) (για x στο [, b]). Σύμφωνα με το Θεώρημα 31.1, η συνάρτηση x f ( t) dt είναι επίσης αντιπαράγωγος της f(x). Άρα, σύμφωνα με το Συμπέρασμα 29.2, για κάποια σταθερά C. Όταν x =, Επομένως, όταν x = b, x f ( t) dt = F( x) + C 0 = f ( t) dt = F( ) + C ή C = F() b f ( t) dt = F( b) F( ) και έχουμε αποδείξει το: Θεώρημα 31.2 (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού): Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [, b] και F ( x) = f ( x) dx. Τότε,

9 ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 257 b f ( x) dx = F( b) F( ) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Η διαφορά F(b) F() συχνά θα συμβολίζεται με ] b F ( x) ενώ το θεμελιώδες θεώρημα b f ( x) dx = f ( x) dx ] b ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (α) 1 x 3 2 Θυμηθείτε τον πολύπλοκο υπολογισμό του dx = 1 του Προβλήματος Εναλλακτικά, αν επιλέγαμε την αντιπαράγωγο x 3 /3 και εφαρμόζαμε το θεμελιώδες θεώρημα, 0 (β) Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν Α κάτω από ένα τόξο της καμπύλης y = sin x. έστω το τόξο από x = 0 μέχρι x = π. Με sin xdx = cos x + 5 το θεμελιώδες θεώρημα μας δίνει Παρατηρήστε ότι κατά τον υπολογισμό του Α οι όροι 5 απαλείφονται. Συνήθως επιλέγουμε την "απλούστερη" αντιπαράγωγο (στην προκειμένη περίπτωση, το cos x) για να τη χρησιμοποιήσουμε στο θεμελιώδες θεώρημα ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο μέσος όρος ή μέσος δύο αριθμών 1 και 2 είναι ο Για n αριθμούς, 1, 2,, n Ο μέσος όρος είναι n n Εξετάστε τώρα τη συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο διάστημα [, b]. Καθώς η f μπορεί να πάρει άπειρες τιμές, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απευθείας τον παραπάνω ορισμό για να υπολογίσουμε το μέσο όρο όλων των τιμών της f. Ας διαμερίσουμε όμως το διάστημα [, b] σε n ίσα υποδιαστήματα, μήκους b Δ x = n Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο x στο i υποδιάστημα. Τότε ο μέσος όρος των n τιμών f( x ), f( x ),, f( x ) είναι * i * 1 * 2 * n Αν το n είναι μεγάλο, η τιμή αυτή θα πρέπει να αποτελεί μια καλή προσέγγιση της "μέσης τιμής της f όπως την αντιλαμβανόμαστε πρακτικά στο [, b]." Αλλά,

10 258 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 b Καθώς το n προσεγγίζει το άπειρο, το άθροισμα του δεξιού σκέλους πλησιάζει το ρισμό του ορισμένου ολοκληρώματος) και οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Η μέση τιμή της f στο [, b] είναι 1 b b f ( x) dx. f ( x) dx (σύμφωνα με τον ο- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (α) Η μέση τιμή V του sin x στο [0, π] είναι (β) Η μέση τιμή V του x 3 στο [0, 1] είναι 3 4 Τώρα x dx = x / 4. Επομένως, σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα Έχοντας ορίσει τη μέση τιμή μιας συνάρτησης με αυτόν τον τρόπο, καταλήγουμε στο παρακάτω χρήσιμο θεώρημα. Θεώρημα 31.3 (Θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα): Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, b], λαμβάνει τη μέση τιμή της στο [, b]. δηλαδή, για κάποιο c τέτοιο ώστε c b. Για την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος, δείτε το πρόβλημα Παρατηρήστε ότι, σε γενικές γραμμές, η μέση τιμή ενός πεπερασμένου συνόλου αριθμών 1, 2,.. n δεν συμπίπτει με κανένα από τα i ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα, απαιτείται μια αντιπαράγωγος f ( x) dx. Είδαμε στο Κεφάλαιο 29 ότι η αντικατάσταση μιας νέας μεταβλητής u μπορεί να είναι χρήσιμη στον προσδιορισμό του f ( x) dx. Όταν η αντικατάσταση γίνεται και στο ορισμένο ολοκλήρωμα, τα όρια ολοκλήρωσης και b θα πρέπει να αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες τιμές του u. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ας υπολογίσουμε το 1 5x + 4dx Έστω u = 5x + 4. τότε du = 5 dx. Όσον αφορά τα όρια ολοκλήρωσης: όταν x = 0, u = 4. όταν x = 1, u = 9. Συνεπώς, 0

11 ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 259 Για την επαλήθευση αυτής της διαδικασίας, δείτε το Πρόβλημα Λυμένα προβλήματα 31.1 Υπολογίστε το εμβαδόν Α κάτω από την παραβολή y = x 2 + 2x και πάνω από τον άξονα των x, μεταξύ x = 0 και x = 1. Καθώς x 2 + 2x 0 για x 0, γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της y = x 2 + 2x βρίσκεται στον άξονα των x ή πάνω από αυτόν, μεταξύ των x = 0 και x = 1. Άρα, το εμβαδόν Α δίνεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα για τον υπολογισμό, 31.2 Υπολογίστε το + 2 sin π x dx. (Συγκρίνετε το παράδειγμα που ακολουθεί το Θεώρημα 30.4, όπου = 0.) α Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα διότι η συνάρτηση του συνημίτονου έχει περίοδο 2π Υπολογίστε τη μέση τιμή V του x στο [0, 4]. Για ποια τιμή του x στο [0, 4] προκύπτει αυτή η τιμή (όπως προβλέπει το Θεώρημα 31.3); Η μέση τιμή είναι η τιμή του x όταν x = () 2 3 = Σημειώστε ότι 0 < 16 9 < Αποδείξτε το θεώρημα της μέσης τιμής για ολοκληρώματα (Θεώρημα 31.3). Παίρνουμε Έστω m και M η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της f στο [, b] αντίστοιχα. (Η ύπαρξη των m και M προβλέπεται από το Θεώρημα 14.2.) Άρα, m f(x) M για κάθε x στο [, b], και σύμφωνα με το Πρόβλημα 30.3(γ) Αλλά τότε, σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής (Θεώρημα 17.4), η f λαμβάνει την τιμή V κάπου στο [, b].

12 260 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ Αποδείξτε το Θεώρημα Παίρνουμε Τότε, Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής για ολοκληρώματα, το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με hf ( x * ) για κάποιο x* μεταξύ των x και x + h. Επομένως, και Καθώς το h 0, το x + h x και άρα x* x (καθώς το x* βρίσκεται μεταξύ των x και x + h). Εφόσον η f είναι συνεχής, Και η απόδειξη ολοκληρώθηκε (Αλλαγή μεταβλητών) Έστω το b f ( x) dx. Θέτουμε x = g(u), όπου, καθώς το x μεταβάλλεται από το στο b, το u αυξάνεται ή μειώνεται από το c στο d. [Δείτε το Σχήμα πρακτικά, αποκλείουμε το ενδεχόμενο g (u) = 0 στο [c, d]. Δείξτε ότι [Το δεξί σκέλος προκύπτει αντικαθιστώντας όπου x το g(u), όπου dx το g (u)du, και αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσης από και b σε c και d αντίστοιχα.] Σχήμα 31-1 Έστω Ο κανόνας της αλυσίδας δίνει

13 ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 261 Άρα, Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα, 31.7 Υπολογίστε το Θα επιχειρήσουμε να βρούμε την αντιπαράγωγο του x 2 + 1x αντικαθιστώντας u = x Τότε, du = 2xdx και Άρα, σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα, ΑΛΓΕΒΡΑ ( 2) = ( 2). 2 = 2 2 και ( 1) = 1 = 1. Εναλλακτική Μέθοδος: Κάντε την ίδια αντικατάσταση όπως και παραπάνω, αλλά απευθείας στο ορισμένο ολοκλήρωμα, αλλάζοντας κατάλληλα τα όρια ολοκλήρωσης. Όταν x = 0, u = = 1. όταν x = 1, u = = 2. Τότε, ο παραπάνω υπολογισμός μας δίνει 31.8 (α) Αν η f είναι μια άρτια συνάρτηση (Ενότητα 7.3), δείξτε ότι, για κάθε > 0, (β) Αν η f είναι περιττή συνάρτηση (Ενότητα 7.3), δείξτε ότι, για κάθε > 0, Αν u = x, τότε du = dx. Άρα, για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση f(x),

14 262 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 Η μετονομασία της μεταβλητής ενός ορισμένου ολοκληρώματος δεν επηρεάζει την τιμή του ολο- ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ κληρώματος: Άρα, αλλάζοντας το u σε x, και επομένως (α) Για μια άρτια συνάρτηση, f(x) + f( x) = 2f(x), από όπου, (β) Για μια περιττή συνάρτηση, f(x) + f( x) = 0, από όπου, ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Συνήθως γράφουμε 31.9 (α) Έστω f(x) 0 στο [, b] και ότι το [, b] μπορεί να διαμεριστεί σε n ίσα μέρη, πλάτους Δx = (b ) /n, χρησιμοποιώντας τα σημεία x 1, x 2,, x n 1 [δείτε το Σχήμα 31-2(α)]. Δείξτε ότι (β) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του τραπεζίου, για n = 10, για να προσεγγίσετε (α) Το εμβαδόν της λωρίδας που ορίζει το διάστημα [x i 1, x i ] ισούται κατά προσέγγιση με το εμβαδόν του τραπεζίου ABCD του Σχήματος 31-2(β), το οποίο είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ύψους h και βάσεων b 1 και b 2 είναι 1 h ( b 1 + b 2 ) 2 όπου αντιλαμβανόμαστε ότι x 0 =, x n = b. Στη συνέχεια υπολογίζουμε κατά προσέγγιση το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη χρησιμοποιώντας το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους τραπεζίων,

15 ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 263 Σχήμα 31-2 (β) Σύμφωνα με τον κανόνα του τραπεζίου, για n = 10, = 0, b = 1, Δx = 1/10, x i = i/10, από όπου προκύπτει ότι η ακριβής τιμή είναι Περισσότερα προβλήματα Χρησιμοποιήστε το θεμελιώδες θεώρημα για να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα: Υπολογίστε τα εμβαδά των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τις καμπύλες των παρακάτω συναρτήσεων, πάνω από τον άξονα των x και μεταξύ των δύο υποδεικνυόμενων τιμών και b του x. [Στο ερώτημα (ζ), το εμβαδόν κάτω από τον άξονα των x θεωρείται αρνητικό.] 1 Όταν η f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο, μπορεί να αποδειχτεί ότι το μέγιστο σφάλμα στον κατά προσέγγιση υπολογισμό του b f ( x) dx βάσει του κανόνα του τραπεζίου είναι ((b )/12n 2 )M, όπου M είναι η μέγιστη τιμή της f (x) στο [, b] και n είναι ο αριθμός των υποδιαστημάτων

16 264 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ Υπολογίστε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα: [Υπόδειξη: Στο ερώτημα (ι) εφαρμόστε το Θεώρημα 30.4.] Υπολογίστε τη μέση τιμή κάθε μίας από τις παρακάτω συναρτήσεις στο διάστημα που δίνεται: Επαληθεύστε το θεώρημα της μέσης τιμής για τα παρακάτω ολοκληρώματα: Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής: Υπολογίστε χρησιμοποιώντας αποκλειστικά γεωμετρική συλλογιστική, τη μέση τιμή της [Υπόδειξη: Αν y = f(x), τότε (x 1) 2 + y 2 = 1. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση.] f ( x) x 2 = 2x στο [0, 2] Αν κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου Τ, ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος του άξονα των x, από το x 1 στο x 2, υπολογίστε τη μέση ανυσματική του ταχύτητα. [Υπόδειξη: υ dt = x.] Προσδιορίστε τα: [Υπόδειξη: Στο ερώτημα (γ) χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 31.8(α).] Υπολογίστε το x 2 sin xdx (α) Υπολογίστε την [Υπόδειξη: Για u = 3x 2, ο κανόνας της αλυσίδας δίνει ενώ για το δεξιό σκέλος ισχύει το Θεώρημα 31.1.] (β) Βρείτε έναν τύπο για την (γ) Υπολογίστε τις

17 ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Λύστε ως προς b: 5 b x 1 dx =. n 2 n Αν f ( x k) dx = 1, υπολογίστε το 3 [Υπόδειξη: Έστω x = u k.] 5 k 3 k f ( x) dx Γνωρίζοντας ότι βρείτε: (α) έναν τύπο για την f(x). (β) την τιμή του Ορίστε H ( x) dt t x 1 (α) Υπολογίστε την H(1) (β) Υπολογίστε την H (1) (γ) Δείξτε ότι Η(4) Η(2) < Αν η μέση τιμή της f(x) = x 3 + bx 2 στο [0, 2] είναι 4, υπολογίστε το b Υπολογίστε το Αν η g είναι συνεχής, ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι ίσα; Η περιοχή πάνω από τον άξονα των x και κάτω από την καμπύλη y = sin x, μεταξύ των x = 0 και x = π, διαιρείται σε δύο μέρη από την ευθεία x = c. Το εμβαδόν του αριστερού τμήματος ισούται με το 1 3 του εμβαδού του δεξιού. Υπολογίστε το c Υπολογίστε την τιμή (τιμές) του k για την οποία (οποίες) Η ανυσματική ταχύτητα υ ενός αντικειμένου το οποίο κινείται στον άξονα των x ισούται με cos 3t. Τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. (α) Βρείτε έναν τύπο για τη θέση του x κάθε χρονική στιγμή t. (β) Υπολογίστε τη μέση τιμή της θέσης του x στο διάστημα 0 t π/3. (γ) Για ποιες τιμές του t στο [0, π/3] το αντικείμενο κινείται προς τα δεξιά; (δ) Ποια η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της τετμημένης x του αντικειμένου; Ένα αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα με ανυσματική ταχύτητα υ = 3t 1, όπου το υ μετράται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Ποια η απόσταση που καλύπτει το αντικείμενο στη χρονική περίοδο 0 t 2 δευτερόλεπτα; [Υπόδειξη: Εφαρμόστε το θεμελιώδες θεώρημα.] Υπολογίστε τα:

18 266 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ (Κανόνας του μέσου σημείου) Αν στο άθροισμα του Riemnn (30.1),, θεωρήσουμε το x * i ως το μέσο σημείο του i υποδιαστήματος, τότε το άθροισμα λέμε ότι υπολογίζεται βάσει του κανόνα του μέσου σημείου. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του μέσου σημείου για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το, πραγαμτοποιώντας διαμέριση σε πέντε ίσα υποδιαστήματα και συγκρίνετέ το με το ακριβές αποτέλεσμα που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα (Κανόνας του Simpson) Αν διαμερίσουμε το [, b] σε n ίσα υποδιαστήματα χρησιμοποιώντας τα σημεία = x 0, x 1, x 2,, x n = b και ο n είναι άρτιος, τότε ο κατά προσέγγιση υπολογισμός του ο οποίος δίνεται από τον τύπο ονομάζεται προσέγγιση βάσει του κανόνα του Simpson. Εκτός από τον πρώτο και τελευταίο όρο, οι συντελεστές αποτελούνται από εναλλαγές του 4 και του 2. (Η βασική ιδέα εδώ είναι η χρήση παραβολών για την προσέγγιση των τόξων αντί ευθύγραμμων τμημάτων όπως στον κανόνα του τραπεζίου.) 2 Εφαρμόστε τον κανόνα του Simpson για να υ- πολογίστε κατά προσέγγιση το με n = 4 και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την ακριβή τιμή που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα Έστω το ολοκλήρωμα x 3 dx. 0 (α) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του τραπεζίου [Πρόβλημα 31.9(α)], με n = 10, για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το ολοκλήρωμα και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την ακριβή τιμή που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα. [Υπόδειξη: Μπορείτε να υποθέσετε ότι ισχύει ο τύπος n 3 = (n (n + 1)/2) 2.] (β) GC Υπολογίστε κατά προσέγγιση το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του μέσου σημείου, για n = 10. (γ) GC Υπολογίστε κατά προσέγγιση το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Simpson, για n = Συνήθως ο κανόνας του Simpson είναι πολύ πιο ακριβής από τον κανόνα του μέσου σημείου ή του τραπεζίου. Αν η f έχει μια συνεχή τέταρτη παράγωγο στο [, b], τότε το μέγιστο σφάλμα στον κατά προσέγγιση υπολογισμό του f ( x) dx με τον κανόνα του Simp- b 5 4 (4) son είναι (( b ) /180n ) M 4, όπου το M 4 είναι το μέγιστο της f ( x) στο [, b] και n είναι ο αριθμός των υποδιαστημάτων.

19

20