ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα 10 cm. Επειδή υπάρχουν άπειρες τριάδες αριθμών με άθροισμα 10, έχουμε άπειρες λύσεις στο πρόβλημα. Μια λύση είναι ΒΓ = 4 cm, ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 3 cm. Κατασκευάζουμε τμήμα ΒΓ με μήκος 4 cm. Με κέντρο το Β και ακτίνα 3 cm γράφουμε κύκλο. Επίσης με κέντρο το Γ και ακτίνα 3 cm γράφουμε κύκλο. Οι δυο κύκλοι τέμνονται σε δυο σημεία Α και Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ (αλλά και το τρίγωνο Α Β Γ ) είναι το ζητούμενο. 2. Να σχεδιάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με περίμετρο 18 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Εφόσον η περίμετρος είναι 18 cm σε ισόπλευρο τρίγωνο, η κάθε πλευρά του είναι 6 cm. Κατασκευάζουμε τμήμα ΒΓ με μήκος 6 cm. Με κέντρο το Β και ακτίνα 6 cm γράφουμε κύκλο. Επίσης με κέντρο το Γ και ακτίνα 6 cm γράφουμε κύκλο. Οι δυο κύκλοι τέμνονται σε δυο σημεία Α και Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ (αλλά και το τρίγωνο Α Β Γ ) είναι το ζητούμενο. 1
3. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές μήκους 5 cm, 7 cm και 8 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Κατασκευάζουμε τμήμα ΒΓ με μήκος 8 cm. Με κέντρο το Β και ακτίνα 7 cm γράφουμε κύκλο. Επίσης με κέντρο το Γ και ακτίνα 5 cm γράφουμε κύκλο. Οι δυο κύκλοι τέμνονται σε δυο σημεία Α και Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ (αλλά και το τρίγωνο Α Β Γ ) είναι το ζητούμενο. Το πρόβλημα θεωρούμε ότι έχει μια λύση διότι και δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α ΒΓ είναι ίσα, δηλαδή με κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. 4. Να συγκρίνετε κάθε πλευρά ενός τριγώνου με το άθροισμα των άλλων δυο πλευρών του. Να κάνετε το ίδιο και για άλλο ένα τρίγωνο. Τι παρατηρείτε; Στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: ΒΓ = 8 cm και ΑΒ + ΑΓ = 7 cm + 5 cm = 12 cm, άρα ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ ΑΒ = 7 cm και ΒΓ + ΑΓ = 8 cm + 5 cm = 13 cm, άρα ΑΒ < ΒΓ + ΑΓ ΑΓ = 5 cm και ΒΓ + ΑΒ = 8 cm + 7 cm = 15 cm, άρα ΑΓ < ΒΓ + ΑΒ Στο τρίγωνο ΓΔΕ, έχουμε: ΔΕ = 8 cm και ΓΔ + ΓΕ = 6 cm + 3 cm = 9 cm, άρα ΔΕ < ΓΔ + ΓΕ ΓΔ = 6 cm και ΔΕ + ΓΕ = 8 cm + 3 cm = 11 cm, άρα ΓΔ < ΔΕ + ΓΕ ΓΕ = 3 cm και ΓΔ + ΔΕ = 6 cm + 8 cm = 14 cm, άρα ΓΕ < ΓΔ + ΔΕ Παρατηρούμε και στις δυο περιπτώσεις ότι κάθε πλευρά του τριγώνου είναι μικρότερη 2
από το άθροισμα των άλλων δυο πλευρών του. 5. Στο παρακάτω σχήμα να εκφράσετε το τμήμα ΓΖ ως άθροισμα δυο τμημάτων. Επίσης να εκφράσετε το ίδιο τμήμα ως διαφορά δυο τμημάτων. ΓΖ = ΓΗ +ΗΖ ΓΖ = ΓΒ ΖΒ 6. Να συγκρίνετε τις γωνίες και τις πλευρές του παρακάτω τριγώνου. Τι παρατηρείτε; Μετρώντας συμπεραίνουμε ότι ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ και. Δηλαδή απέναντι από τη μικρότερη γωνία βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά και αντιστρόφως απέναντι από τη μικρότερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία. (Βέβαια πολλά άλλα πράγματα μπορεί να παρατηρήσει κανείς και δεν είσαστε υποχρεωμένοι/ες να παρατηρήσετε αυτό που ήθελα εγώ να παρατηρήσετε!) 7. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να πάρετε στο εσωτερικό του ένα σημείο D. Να βρείτε τις αποστάσεις του Ρ από τις τρεις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και στη συνέχεια το άθροισμα αυτών των αποστάσεων. Να κάνετε το ίδιο με δυο ακόμη εσωτερικά σημεία του τριγώνου. Τι παρατηρείτε; DΔ + DΖ + DE = 0,82 cm + 0,8 cm + 2,18 cm = 3,80 cm DE + DG + DF = 1,08 cm + 1,04 cm + 1,4 cm = 3,52 cm 3
Και πάλι πολλά άλλα πράγματα μπορεί να παρατηρήσει κανείς και δεν είσαστε υποχρεωμένοι/ες να παρατηρήσετε αυτό που ήθελα εγώ να παρατηρήσετε! Εδώ με ενδιαφέρει το εξής: Καθώς αλλάξαμε τη θέση του D, το άθροισμα των αποστάσεών του από τις τρεις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ μίκρυνε. Σε ποια θέση άραγε αυτό το άθροισμα είναι ελάχιστο, δηλαδή το μικρότερο δυνατό; Το ερώτημα αυτό απηύθυνε ο μεγάλος ερασιτέχνης μαθηματικός Pierre Fermat (1601-1665) στον Evangelista Torricelli (1608-1647). Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί με τα εργαλεία που έχουμε στη διάθεσή μας προς το παρόν. Αν όμως θα θέλαμε να πειραματιστούμε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα πρόγραμμα δυναμική γεωμετρίας όπως το geogebra (ελεύθερο λογισμικό) ή το sketchpad. 8. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να πάρετε τα μέσα Κ, Λ και Μ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντιστοίχως. Να φέρετε την ΚΛ. Να εξετάσετε αν η ΒΓ είναι διπλάσια της ΚΛ. Ομοίως την ΛΜ με την ΑΒ και την ΚΜ με την ΑΓ. Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευρών ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς του. Βέβαια στην περίπτωση της ΚΜ και της ΑΓ δεν είναι ακριβώς έτσι καθότι 2 1,83 3,66 3,67. Αυτό συμβαίνει διότι έχουμε στρογγυλοποιήσει στο ακριβέστερο εκατοστό. Όπως καταλαβαίνουμε ποτέ δεν μπορεί να είμαστε σίγουροι/ες ότι κάτι ισχύει με απλή μέτρηση εφόσον αδυνατούμε να μετρήσουμε κάτι με απόλυτη ακρίβεια. Γι αυτό χρειάζεται να αποδεικνύουμε ότι κάτι ισχύει με τη βοήθεια της λογικής. Έχουμε όμως χρόνο για να μπούμε σε αυτή τη διαδικασία, αργότερα στο γυμνάσιο και κυρίως στο λύκειο. 9. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30 και 60 μοιρών αντιστοίχως. Να εξετάστε αν η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30 μοιρών είναι η μισή της υποτείνουσας του τριγώνου. 4
Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30 είναι η ΑΒ και είναι ΑΒ = 2 cm. Η υποτείνουσα είναι ΒΓ = 2 cm, άρα η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30 είναι η μισή της υποτείνουσας του τριγώνου. 10. Να βρείτε και να συγκρίνετε τις αποστάσεις του σημείου Ε από τις ευθείες ε και ζ στο παρακάτω σχήμα. Να βρείτε σημεία που απέχουν ίση απόσταση από τις ευθείες ε και ζ. Φέρνω από το Ε κάθετο τμήμα ΕΑ προς την ευθεία ε και κάθετο τμήμα ΕΒ προς την ευθεία η. Επειδή ΕΑ = 1,25cm και ΕΝ = 2 cm ισχύει ΕΑ < ΕΒ. (Σημείωση: εσείς στο φωτοαντίγραφο σας μάλλον θα έχετε άλλους αριθμούς). Για το δεύτερο ερώτημα χρειάζεται να μας έλθει η έμπνευση να προεκτείνουμε τις δυο ευθείες ε και ζ εωσότου τμηθούν, έστω στο σημείο Κ. Τότε τα πράγματα είναι εύκολα αν θυμόμαστε από μια άσκηση που είχαμε κάνει ότι τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές τις γωνίας. Άρα το ζητούμενο σύνολο σημείων είναι η διχοτόμος ΚΧ της οξείας γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ζ. 11. Δίνεται γωνία xoy. Να βρείτε σημεία Α και Β στις πλευρές Ox και Oy ώστε ΑΒ = 5cm. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ να εξετάσετε αν η ημιευθεία ΟΜ είναι διχοτόμος της γωνίας xoy. Παίρνω ένα τυχόν σημείο Α πάνω στην ΟΧ και με κέντρο το Α και ακτίνα 5cm γράφω κύκλο ο οποίος τέμνει την ΟΥ στο σημείο Β (βλέπε σχήμα 1). Τότε ΑΒ = 5cm. Έστω Μ το μέσο το ΑΒ. Φέρνω την ημιευθεία ΟΜ η οποία χωρίζει την ΧΟΥ σε δύο γωνίες με μέτρα 9 και 22. Επομένως η ΟΜ δεν είναι διχοτόμος της γωνίας ΧΟΥ. 5
12. Δίνεται γωνία xoy. Να βρείτε σημεία Α και Β στις πλευρές Ox και Oy ώστε αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, η ημιευθεία ΟΜ να είναι διχοτόμος της γωνίας xoy. Σε ποια περίπτωση θα ήταν η ΟΜ διχοτόμος της γωνίας ΧΟΥ ; Δύσκολο να το βρείτε αυτή την στιγμή πριν προχωρήσουμε στα ισοσκελή τρίγωνα και τις ιδιότητές τους. Αν παίζατε με ένα πρόγραμμα δυναμικής γεωμετρίας (geogebra ή sketchpad) ίσως θα το βρίσκατε. Θα είναι διχοτόμος αν ΟΑ = ΟΒ (σχήμα 2). 6
13. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε (α) την απόσταση του μέσου Μ της ΒΓ από την κορυφή Α (β) την απόσταση του μέσου Μ της ΒΓ από την πλευρά ΑΒ. Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΒΓ με τη γνωστή κατασκευή με κανόνα και διαβήτη. Ενώνουμε το μέσο Μ με την κορυφή. Η απόσταση απόσtαση του μέσου Μ της ΒΓ από την κορυφή Α είναι ΑΜ = 4,27 cm. Επίσης για να βρούμε την απόσταση του Μ από την πλευρά ΑΒ φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΜΔ από το Μ προς την ΑΒ. Έχουμε ΜΔ = 1,77 cm. 14. Στο παρακάτω σχήμα ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου η κάθε πλευρά είναι 1 cm. Στη συνέχεια χωρίζουμε κάθε πλευρά του τριγώνου σε τρία ίσα κομμάτια και με βάση το μεσαίο κομμάτι σε κάθε πλευρά του αρχικού τριγώνου σχεδιάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο εξωτερικά του αρχικού τριγώνου. Στη συνέχεια απαλείφουμε το μεσαίο κομμάτι από κάθε πλευρά. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε το μεσαίο σχήμα. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με κάθε πλευρά του μεσαίου σχήματος διαιρώντας την σε τρία ίσα μέρη και ούτω καθεξής, οπότε προκύπτει το τρίτο σχήμα. Να βρείτε την περίμετρο του τέταρτου σχήματος. Στο πρώτο σχήμα έχουμε 3 πλευρές και η περίμετρος του πρώτου σχήματος είναι 3 1 cm = 3 cm. Στο δεύτερο σχήμα κάθε πλευρά είναι cm και έχουμε 4 3 πλευρές διότι από κάθε πλευρά του προηγούμενου τριγώνου προκύπτουν 4 πλευρές (την χωρίζουμε στα τρία, αφαιρούμε το ένα από τα τρία ίσα κομμάτια και προσθέτουμε δυο στη θέση του). Άρα η περίμετρος του δεύτερου τριγώνου είναι 4 3 cm. Το τρίτο 7
πολύγωνο έχει 4 4 3 πλευρές και το μήκος της κάθε μιας είναι το ένα τρίτο του μήκους της πλευράς του προηγούμενου πολυγώνου δηλαδή. Άρα η περίμετρος του τρίτου τριγώνου είναι 4 4 3 cm. Το τέταρτο πολύγωνο έχει 4 4 4 3 πλευρές και το μήκος της κάθε μιας είναι το ένα τρίτο του μήκους της πλευράς του προηγούμενου πολυγώνου δηλαδή. Άρα η περίμετρος του τρίτου τριγώνου είναι 4 4 4 3 cm. Ξαναγράφουμε τις περιμέτρους των πολυγώνων που προκύπτουν με τη συγκεκριμένη διαδικασία για να δούμε να μπορούμε να παρατηρήσουμε κάποιο μοτίβο. ΠΟΛΥΓΩΝΟ 2 ο σχήμα 3 ο σχήμα 4 ο σχήμα 4 ο σχήμα 5 ο σχήμα. ν ο σχήμα ΜΗΚΟΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΣΕ cm 4 3 1 3 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 4 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 4 4 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 Ο παραπάνω πίνακας δείχνει το μοτίβο. Παρατηρώντας πώς εξελίσσονται οι δυνάμεις μπορούσε να γενικεύσουμε και χρησιμοποιώντας μεταβλητή (το ν) να βρούμε την περίμετρο ενός ν-γώνου, δηλαδή ενός πολυγώνου με ν πλευρές. 15. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες και να φέρετε τις διχοτόμους τους. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να δικαιολογήσετε το αποτέλεσμα; Σχεδιάζουμε τις εφεξής γωνίες και και τις διχοτόμους τους και αντιστοίχως. Παρατηρούμε ότι η γωνία είναι ορθή. Ισχύει γενικά ότι οι διχοτόμοι δυο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία, δηλαδή τέμνονται κάθετα; 8
Στη γενική περίπτωση έχουμε = και =. Και οι τέσσερις γωνίες μαζί μας κάνουν 180. Έχουμε λοιπόν + 180 οπότε 2 2 180, επομένως 90, δηλαδή η γωνία είναι ορθή. 16. Στα Οπτικά ο Ευκλείδης (300 π. Χ) γράφει: (όποια βλέπουμε υπό μεγαλύτερη γωνία φαίνονται μεγαλύτερα, όποια βλέπουμε υπό μικρότερη γωνία φαίνονται μικρότερα και όποια βλέπουμε υπό ίση γωνία είναι ίσα). Να επαληθεύσετε τον ισχυρισμό του Ευκλείδη στο παρακάτω σχήμα στο οποίο εικονίζονται δυο μάτια που βλέπουν μια σοκολάτα από διαφορετική απόσταση. Από το σημείο Κ το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ φαίνεται υπό γωνία 70 0 ενώ από το σημείο Ε, που είναι πιο κοντά στο ΑΒ, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ φαίνεται υπό γωνία 109 0 δηλαδή υπό μεγαλύτερη γωνία, οπότε από το σημείο Ε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ φαίνεται μεγαλύτερο. 9