. Άπειη γαμμική κατανομή ϕοτίου λ Θεωούμε την γαμμική κατανομή ϕοτίου στον άξονα των x και ζητάμε το ηλεκτικό πεδίο στο σημείο A που απέχει από την κατανομή. Το στοιχειώδες τμήμα dx της κατανομής στη θέση x έχει στοιχειώδες ϕοτίο dq λdx. Στο σημείο A, το ηλεκτικό πεδίο παό αυτό το στοιχειώδες ϕοτίο είναι de λdx 2 + x 2 Η συμμετία του ποβλήματος οδηγεί στο ότι το συνολικό ηλεκτικό πεδίο θα πέπι να είναι στην διεύθυνση την κάθετη στην γαμμική κατανομή (έστω y). Είναι εύκολο να δει κανείς ότι οι x- συνιστώσες της συνεισϕοάς από όλα τα στοιχειώδη ϕοτία θα αλληλοαναιούνται και θα μένουν μόνο οι y-συνιστώσες. Οπότε Γάϕοντας και παίνουμε x cos ϕ de y tan ϕ dx λdx 2 + x 2 cos ϕ cos 2 ϕ dϕ 2 + x 2 2 + x 2 2 cos 2 ϕ E y λ π/2 π/2 cos 2 ϕ dϕ cos2 ϕ cos ϕ λ 2 π/2 π/2 cos ϕ dϕ λ 2πϵ Οπως αναϕέαμε, λόγω συμμετίας το πεδίο σε σημείο A θα πέπει να είναι κάθετο στην γαμμική κατανομή και να εξατάται μόνο από την απόσταση του A από την κατανομή. Επιλέγουμε ως επιϕάνεια Gauss την επιϕάνεια κυλίνδου με άξονα την κατανομή, ακτίνα βάσης ίση με την απόσταση του A από την κατανομή και ύψος L (με την απαίτηση το τελικό αποτέλεσμα να είναι ανεξάτητο από το L). Επομένως, το σημείο A θα είναι στην παάπλευη επιϕάνεια της επιϕάνειας Gauss. Η οή από τις βάσεις του κυλίνδου είναι μηδενική μιας και το πεδίο είναι παάλληλο με τις βάσεις. Η οή από τη παάπλευη επιϕάνεια είναι Φ E y 2πL μιας και το πεδίο είναι παντού κάθετο στην παάπλευη επιϕάνεια και ίδιου μέτου. Στο εσωτεικό αυτής της επιϕάνειας το ϕοτίο είναι Q λ L Οπότε, από τον νόμο του Gauss θα έχουμε E y 2πL λ L ϵ E y λ 2πϵ
2. Άπειο επίπεδο με σταθεή επιϕανειακή πυκνότητα ϕοτίου σ Το στοιχειώδες ϕοτίο μέσα στο δακτύλιο με ακτίνες r και r + dr είναι dq σ2πrdr Κάθε σημειακό ϕοτίο αυτού του δακτυλίου δημιουγεί στο σημείο A (που απέχει από το άπειο επίπεδο) ηλεκτικό πεδίο de i, που σχηματίζει γωνία ϕ με την κάθετη στο επίπεδο διεύθυνση (έστω την y). Οπότε, όλα τα σημειακά ϕοτία που αποτελούν τον απειοστο δακτύλιο θα δημιουγούν ηλεκτικό πεδίο de μόνο στον άξονα των y de σ2πrdr 2 + r cos ϕ 2 σ2πrdr 2 + r 2 2 + r 2 σ2πrdr ( 2 + r 2 ) έχοντας θεωήσει θετική πυκνότητα ϕοτίου. Οπότε, το συνολικό πεδίο θα είναι E σ2πrdr σ ( 2 + r 2 ) σ 2 ( 2) 2 + r 2 rdr σ ( 2 + r 2 ) 2 σ ( ) σ d(r 2 ) ( 2 + r 2 ) Λόγω συμμετίας πειμένουμε το πεδίο να είναι κάθετο στο επίπεδο, να εξατάται μόνο από την απόσταση από το επίπεδο και να είναι συμμετικό σε κάθε πλευά του επιπέδου. Επιλέγουμε μια επιϕάνεια Gauss σε σχήμα κυλίνδου, κάθετου στο επίπεδο, με εμβαδόν βάσης S, συμμετικά τοποθετημένο ως πος το επίπεδο και η μια βάση του να πειέχει το σημείο A. Η οή του πεδίου από αυήν την επιϕάνεια θα είναι μόνο στις βάσεις, μιας και το πεδίο είναι παάλληλο στην κυλινδική επιϕάνεια Φ E S + E S 2ES μιας και E E και S S. Ποσέξτε ότι το διάνυσμα της επιϕάνειας κατευθύνεται πάντοτε πος το έξω της κλειστής επιϕάνειας. Από τον Νόμο του Gauss γνωίζουμε ότι η οή από μια κλειστή επιϕάνεια είναι ίση με το ϕοτίο που πειέχεται σ αυτή (δια τον παάγοντα ϵ ). Επομένως 2ES σs ϵ E σ 2
3.. Επιϕάνεια σϕαίας ακτίνας με σταθεή πυκνότητα ϕοτίου σ Για σημείο A σε απόσταση >. Το στοιχειώδες ϕοτίο dq που βίσκεται ανάμεσα σε δύο πααλλήλουσ που αντιστοιχούν σε γωνίες phi και ϕ + dϕ είναι dq σ(2π sin ϕ)(dϕ) Λόγω της συμμετίας πειμένουμε ότι τα σημειακά ϕοτία που αποτελούν αυτό το στοιχειώδες ϕοτίο θα δίνουν ένταση στο A στην ακτινική διεύθυνση, αϕού οι συνιστώσες που είναι κάθετες σ αυτήν την διεύθυνση αλληλοαναιούνται. Η απόσταση κάθε τέτοιου σημειακού ϕοτίου από το A είναι ( sin ϕ) 2 + ( cos ϕ) 2 Και το πεδίο θα είναι de dq ( sin ϕ) 2 + ( cos ϕ) cos θ 2 σ(2π sin ϕ)(dϕ) cos ϕ ( sin ϕ) 2 + ( cos ϕ) 2 sin ϕ)2 + ( cos ϕ) 2 σ2π 2 ( cos ϕ) sin ϕdϕ (( sin ϕ) 2 + ( cos ϕ)) σ(2π sin ϕ)(dϕ) ( sin ϕ) 2 + ( cos ϕ) 2 cos θ Γάϕοντας sin ϕdϕ d cos ϕ, και αλλάζοντας μεταβλητή y cos ϕ, θα πάουμε de σ2 ( y) ( 2 + 2 2y) Τα όια της ϕ είναι π. Τα όια του y είναι. Εχουμε λοιπόν δύο ειδών ολοκληώματα ( 2 + 2 2y) και Το πώτο ολοκλήωμα ( 2 + 2 2y) 2 ( 2) 2 + 2 2y 2 2 2 3 y ( 2 + 2 2y) ( + )
Το δεύτεο ολοκλήωμα 2 y ( 2 + 2 2y) 2 2 + 2 2y + 2 (2 + 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 + 2 2y ( 2 + 2 2y ( 2 + 2 )) ( 2 + 2 2y) + 2 (2 + 2 ) 2 (( + ) ( )) 2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 + 2 2y) ( 2 ) 2 2 όπου, στην τίτη σειά,για τον δεύτεο όο χησιμοποίησαμε το αποτέλεσμα του πώτου ολοκληώματος. Ποσέξτε ότι > οπότε 2 + 2 2. Οπότε το πεδίο θα δίνεται από τη σχέση E σ2 [ ( ( y) σ 2 ( 2 + 2 2y) ) + 2 2 ] 2 2 σϵ 2 2 2 2 Λόγω σϕαιικής συμμετίας, το E θα είναι παντού ακτινικό και θα εξατάται μόνο από την απόσταση από το κλεντο του σϕαιικού ϕλοιού. Επιλέγω σϕαική επιϕάνεια Gauss, ομόκεντη με τον ϕλοιό και που πενά πό το σημείο A (επομένως με ακτίνα ). Η οή του πεδίου από αυτήν την επιϕάνεια είναι Φ E 4π 2 Το ϕοτίο μέσα σ αυτήν την επιϕάνεια είναι όλο το ϕοτίο του ϕλοιού: σ 4π 2. Επομένως E 4π 2 σ 4π2 ϵ E σ ϵ 2 2 Για σημείο A σε απόσταση >. Ουσιαστικά είναι τα ίδια ολοκληώματα με την διαϕοά όπου πίν είχαμε cos ϕ τώα θα έχουμε + cos ϕ. Οπότε Ομοια λοιπόν de σ2π 2 ( + cos ϕ) sin ϕdϕ (( sin ϕ) 2 σ2 + ( + cos ϕ)) ( + y) ( 2 + 2 + 2y) 4
και Και τελικά ( 2 + 2 + 2y) ( ) + y ( 2 + 2 + 2y) + 2 + 2 2 2 P E σ [ 2 2 + 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Αν επιλέξουμε την σϕαιική επιϕάνεια Gauss να πενά και πάλι από το σημείο A που είναι τώα μέσα στον ϕλοιό, η οή θα είναι και πάλι Φ E 4π 2, αλλά το πεικλειόμενο ϕοτίο είναι μηδέν. Άα, E. 3.2. Σϕαία ακτίνας με σταθεή χωική πυκνότητα ϕοτίου Για σημείο A σε απόσταση >. Λόγω συμμετίας πειμένω παντού το πεδίο να είναι ακτινικό και να εξατάται από την απόσταση του συγκεκιμένου σημείου από το κέντο της κατανομής. Το στοιχειώδες ϕοτίο που βίσκεται ανάμεσα στις ακτίνες r και r + dr (με r < ) θα είναι και αντιστοιχεί σε μια επιϕανειακή πυκνότητα dq 4πr 2 dr dσ dq 4πr 2 dr Με βάση την ποηγούμενη παάγαϕο, το στοιχειώδες πεδίο στο σημείο A, που απέχει από το κέντο της κατανομής, από αυτό το ϕοτίο θα είναι de dr ϵ r 2 2 και οπλοκληώνοντας E 2 ϵ r 2 dr 3ϵ 3 2 Επιλέγουμε επιϕάνεια Gauss την επιϕάνεια σϕαίας με ίδιο κέντο με την κατανομή και ακτίνας. Λόγω την σϕαιικής συμμετίας η οή από αυτήν την επιϕάνεια θα είναι Φ E4π 2 μιας και το πεδίο είναι παντού κάθετο στην επιϕάνεια Gauss και με σταθεό μέτο. Το ϕοτίο που πειέχεται σ αυτήν τη επιϕάνεια είναι το συνολικό ϕοτίο της κατανομής : 4 3 π3. Επομένως, από τον νόμο του Gauss E4π 2 4 ϵ 3 π3 E 3 3ϵ 2 Ποσέξτε, αν ξαναγάψω την πααπάνω σχέση ως E (4/3)π 3 2 5 Q 2
όπου Q το συνολικό ϕοτίο της κατανομής μας. Δηλαδή, αν είμαστε εκτός της σϕαιικά συμμετικής κατανομής, το πεδίο είναι το ίδιο με σημειακό ϕοτίο στο κέντο της κατανομής. Για σημείο A σε απόσταση <. Από την παάγαϕο με τους ϕλοιούς γνωίζουμε ότι αν είμαστε μέσα σε σϕαιικό ϕλοιό με σταθεή πυκνότητα το πεδίο είναι μηδέν. Επομένως, αν το σημείο μας είναι μέσα στην σϕαιική κατανομή, μόνο το ϕοτίο που βίσκεται σε απόσταση από το κέντο μικότεης του συνεισϕέει στο πεδίο. Οπότε, βάσει του ποηγούμενου, θέτοντας παίνουμε E 3ϵ Ανάλογα, βάζοντας θα έχουμε E4π 2 ϵ 4 3 π3 E 3ϵ 6