Θ.Ε. Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήµες Θέµατα* Τελικών Εξετάσεων στις «Εισαγωγικές Έννοιες Μαθηµατικών» Ιούλιος Θέµα ον α) ίνεται το σύστηµα των εξισώσεων: ( λ) λy= µε λ R λ+ ( λ ) y= λ - 4 Να βρείτε τις τιµές του λ, για τις οποίες το σύστηµα έχει µία µοναδική λύση (, y ), για την οποία ισχύει η σχέση: ( + y ) >. 3 β) ίνεται o πίνακας: A =. είξτε ότι Α = 7Ι (όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακς ) και υπολογίστε τον Α. Θέµα ον α)θ εωρείστε τα σηµεία Α, Β και Γ µε συντεταγµένες {λ,µ}, {µ,-λ} και {-µ,λ} αντίστοιχα. Εάν Ο είναι η αρχή του ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων να δείξετε ότι : Ι. τα διανύσµατα OB και OΓ είναι αντίθετα ΙΙ. τα διανύσµατα AB και AΓ είναι κάθετα µεταξύ τους και έχουν τα µέτρα τους ίσα. r r r β) Έστω τα διανύσµατα α{,3}, β{, }. Να βρεθούν τα διανύσµατα γ, δ r ώστε να ισχύουν οι τρεις r r r r r r r ακόλουθες σχέσεις: α= γ δ, γ//β, δ α Θέµα 3 ον α) ίνετα ι η συνάρτηση f µε τύπο: f() = µε λ R. Να βρεθούν οι τιµές της παραµέτρου λ + λ + για τις οποίες το πεδίο ορισµού της f είναι όλο το R. β) ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f() = 3+ 4. Να βρεθούν τα πεδία ορισµού και τιµών της f, η αντίστροφη συνάρτηση της f (εάν υπάρχει) καθώς και τα πεδία ορισµού και τιµών της. Θέµα 4 ον α)να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: + 4 cos sin I. lim, II. lim, III. lim εάν lim = 3 4 3 5 + β) Να βρεθούν οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης: f() = ln( 3 ) γ) Το διάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου δίνεται συναρτήσει της µεταβλητής t από την διανυσµατική r r s συνάρτηση: r(t) = ( cost ) i + ( sint+ ) j r r (όπου τα σύµβολα i, j παριστούν τα µοναδιαία διανύσµατα του ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων) r r r dr(t) r d r(t) Να βρεθούν τα µέτρα των διανυσµατικών συναρτήσεων, V(t) = και a(t) =, για t=5π/6 και t=5π/3. Πότε το µέτρο της V r (t) γίνεται µέγιστο και πότε ελάχιστο και ποια η µέγιστη και ελάχιστη τιµή του; Θέµα 5 ον Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα:, β) α) 3 d π π d sind, γ) 3 4 Καλή Επιτυχία * Τα θέµατα είναι βαθµολογικά ισοδύναµα. Επίσης, τα υπο-ερωτήµατα κάθε θέµατος είναι βαθµολογικά ισοδύναµα µεταξύ τους
Λύσεις Θεµάτων ΦΥΕ (Φυσική) Ιούλιος Θέµα ον Ένα όχηµα αρχίζει να κινείται από την ηρεµία µε ταχύτητα V(t) = (5m/s ) t. Την χρονική στιγµή t=s ο οδηγός εκτινάσσει από το πάτωµα του οχήµατος, κατακόρυφα προς τα επάνω, σφαίρα. Η ταχύτητα εκτίναξης έχει µέτρο V = m/s, ως προς το σύστηµα αναφοράς του οχήµατος. (α) Βρείτε την αρχική στιγµιαία ταχύτητα της σφαίρας και την στιγµιαία ταχύτητα µε την οποία προσκρούει στο πάτωµα του οχήµατος, ως προς ακίνητο παρατηρητή επί του εδάφους. (β) Βρείτε το µέτρο της ταχύτητας της σφαίρας µε την οποία προσκρούει στο πάτωµα, ως προς το σύστηµα αναφοράς του οχήµατος. Η ταχύτητα του οχήµατος για t=s είναι V(t=s)=5m/s ενώ η επιτάχυνση του είναι σταθερή ίση µε α=5m/s. Επιλέγουµε τους άξονες Χ και Υ όπως δείχνει το Σχήµα. (α) Ο ακίνητος παρατηρητής βλέπει την σφαίρα, την χρονική στιγµή t=s, να έχει αρχική ταχύτητα V κατά τον κατακόρυφο άξονα και V(t=s) κατά τον οριζόντιο άξονα. Συνεπώς η αρχική στιγµιαία ταχύτητα είναι: r r r = (5m/s) i + (m/s) j V a Η σφαίρα, υπό την επίδραση του γήινου βαρυτικού πεδίου, έχει κατακόρυφη επιτάχυνση g, την επιτάχυνση βαρύτητας, και εκτελεί βολή. Η κατακόρυφη συνιστώσα της κίνησης αντιστοιχεί σε επιβραδυνόµενη άνοδο κατά h, µέχρις ότου η ταχύτητα µηδενιστεί στο υψηλότερο σηµείο της τροχιάς σε χρόνο t, και ακολούθως επιταχυνόµενη κάθοδο κατά h. Οι εξισώσεις κίνησης είναι: Άνοδος: =V -gt, h= V t -(/)gt Κάθοδος: V y =-gt, h= -(/)gt () Επιλύοντας το σύστηµα των εξισώσεων () καταλήγουµε ότι: t =t =s και V y =-V. Κατά τον οριζόντιο άξονα η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή, συνεπώς V χ =V(t=s). Τέλος η τελική ταχύτητα ως r r r προς τον ακίνητο παρατηρητή είναι: = (5m/s) i (m/s) j V τ (β) Ο κινούµενος παρατηρητής είναι µη αδρανειακός. Για να εφαρµόσει τους νόµους του Νεύτωνα υποθέτει ότι στο σώµα δρά δύναµη, µε ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά µε την επιτάχυνση του οχήµατος, µέτρου ma. Ως προς αυτόν τον παρατηρητή η σφαίρα εκτελεί δύο σύγχρονες κινήσεις: Μία κατακόρυφο, µε αρχική ταχύτητα V και επιτάχυνση g και µία οριζόντια µε µηδενική αρχική ταχύτητα και επιτάχυνση α (αντίθετης φοράς από εκείνη του οχήµατος). Ο συνολικός χρόνος κίνησης είναι t και οι συνιστώσες της τελικής ταχύτητας είναι V y =-V και r r r V y =(/)a(t ). Μετά από αριθµητική αντικατάσταση: = (-m/s) i (m/s) j V τ V V V y α V y V V(t=s) Υ V V y Χ
Θέµα ον Ένα σώµα αµελητέων διαστάσεων, µάζας m=g και ταχύτητας υ =m/s, συγκρούεται εφαπτοµενικά και κολλά στην εξωτερική επιφάνεια µιας οµογενούς συµπαγούς σφαίρας, µάζας Μ=kg και ακτίνας R=cm. Αν η σφαίρα αρχικά περιστρέφεται µε την φορά των δεικτών του ωρολογίου (χωρίς τριβές) µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω =rad/s γύρω από ένα ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του διπλανού Σχήµατος, να βρεθούν (α) Η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος µετά την κρούση (β) Η απώλεια µηχανικής ενέργειας κατά την κρούση. Ζ R Ο υ r r r r r Πριν από την κρούση η συνολική στροφορµή του συστήµατος είναι L a = L+ L, όπου L = I ω k και r r L = m υ R k είναι η στροφορµή της σφαίρας και του βλήµατος και Ι είναι η ροπή αδρανείας της σφαίρας. r r Μετά την κρούση η συνολική στροφορµή είναι: = Ι' ω k όπου Ι η ροπή αδρανείας σφαίρας και σώµατος L τ (Ι =Ι+mR ) και ω είναι η τελική γωνιακή ταχύτητα (υποθέτοντας ότι θα συνεχίσει να περιστρέφεται µε την ίδια r r φορά). Επειδή δεν δρουν εξωτερικές ροπές: L a = L. Μετά από αντικατάσταση: ω=8.536rad/s. H αρχική και τελική κινητική ενέργεια του συστήµατος είναι: Με αντικατάσταση καταλήγουµε ότι Ε=Ε τ -Ε α =-.73 J τ = Ιω και E a mυ + E τ (Ι+ mr )ω =. Θέµα 3 ον (α) ύο κιβώτια, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και µάζας m =3kg και m =kg, τοποθετούνται, το ένα πάνω στο άλλο επί κεκλιµένου επιπέδου όπως δείχνει το Σχήµα. Η γωνία κλίσης του κεκλιµένου επιπέδου είναι 3 ο και οι συντελεστές τριβής ολίσθησης µεταξύ επιπέδου και m είναι.5 ενώ µεταξύ των δύο σωµάτων είναι.3.να βρεθούν οι επιταχύνεις µε τις οποίες ολισθαίνουν τα δύο κιβώτια ως προς ακίνητο παρατηρητή. Υ T N N T m m Χ T B N B Οι δυνάµεις που δρουν στη µάζα m είναι: α) Ν, από την µάζα m στη µάζα m, β) το βάρος Β =m g, και γ) η δύναµη τριβής Τ από τη επιφάνεια του m στην επιφάνεια του m, µε φορά που αντίκειται στην ολίσθηση του m.
Οι δυνάµεις που δρουν στη µάζα m είναι: α) Ν, από την µάζα m στη µάζα m, β) το βάρος Β =m g, και γ) η δύναµη τριβής Τ από τη επιφάνεια του m στην επιφάνεια του m, δ) η αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου Ν και ε) η δ ύναµη τριβής Τ µε το κεκλιµένο επίπεδο µε φορά που αντίκειται στην ολίσθηση του m Λόγω δράσης και αντίδρασης τα µέτρα των ακολούθων δυνάµεων είναι ίσα: Ν =Ν =Ν και Τ =Τ =Τ. Εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για την περίπτωση των δύο σωµάτων, κατά τους Χ και Υ άξονες, καταλήγουµε στις ακόλουθες εκφράσεις: Ν =m gcosθ και m gsinθ-t =m α N =N +m gcosθ και T +m gsinθ-t =m α Επίσης Τ =µ Ν και Τ =µ Ν Επιλύοντας τις παραπάνω εξισώσεις και µετά από αριθµητική αντικατάσταση καταλήγουµε ότι: α =.4m/s α =.99m/s και (β) Σηµειώσετε στο διπλανό διάγραµµα δυναµικής ενέργειας - θέσης (U()-) τα σηµεία ισορροπίας του σώµατος και να χαρακτηρίσετε το είδος της ισορροπίας. ικαιολογήσετε τις επιλογές και χαρακτηρισµούς. U() Βλέπε Κεφάλαιο 3 παράγραφο 6.8 Θέµα 4 ον (α)η σφαίρα Α, µάζας m, κινείται µε ταχύτητα V, πάνω στην ευθεία που συνδέει τα κέντρα των σφαιρών Β και Γ, µαζών m και M= 6 m αντίστοιχα. είξτε ότι συµβαίνουν τρεις κρούσεις και βρείτε τις τελικές ταχύτητες (µέτρο, διεύθυνση και φορά) των σφαιρών. Γ Α V Β Η πρώτη ελαστική κρούση είναι µεταξύ Α και Β. Επειδή τα σώµατα έχουν την ίδια µάζα ανταλλάσσουν ταχύτητες. ηλαδή, µετά την κρούση η Α ακινητεί και η Β κινείται µε ταχύτητα V. Η δεύτερη ελαστική κρούση είναι µεταξύ της Β και της Γ. Επειδή η Γ έχει πολύ µεγαλύτερη µάζα η σφαίρα Β αντιστρέφει την φορά κίνησης της αλλά πρακτικά διατηρεί το µέτρο της ταχύτητας της (εφαρµογή της διατήρησης της κινητικής ενέργειας και ορµής καταλήγει ότι το µέτρο της ταχύτητας θα είναι.99998v ) ενώ η Γ παραµένει πρακτικά ακίνητη. H τρίτη ελαστική κρούση συµβαίνει µεταξύ της Β (που κινείται προς τα αριστερά) και της Α που είναι ακίνητη. Επειδή τα σώµατα έχουν την ίδια µάζα η σφαίρα Β θα σταµατήσει και η Α θα κινηθεί µε ταχύτητα µέτρου.999998v προς τα αριστερά.
(β) Μία σφαίρα, µάζας 5g κινείται µε αρχική οριζόντια ταχύτητα µέτρου 4m/s και χτυπά σώµα µάζας kg το οποίο και διαπερνά, όπως φαίνεται στο Σχήµα. Το σώµα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια και συνδέεται µε ελατήριο σταθεράς 9N/m. Αν το σώµα µετακινείται κατά 5cm προς τα δεξιά µετά την κρούση, βρείτε την ταχύτητα µε την οποία εξέρχεται η σφαίρα από το σώµα και την ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση. Έστω m και Μ η µάζα της σφαίρας και του σώµατος και υ η αρχική ταχύτητα της σφαίρας. Επειδή κατά την κρούση δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις διατηρείται η ορµή: mυ +=mυ+μv, όπου υ και V οι ταχύτητες της σφαίρας και του σώµατος µετά την κρούση. Το σώµα κινείται και συµπιέζει το ελατήριο µέχρις ότου σταµατήσει. Επειδή δεν υπάρχει απώλεια µηχανικής ενέργειας: (/)ΜV =(/)k Από τις δύο προηγούµενες σχέσεις, µετά από αριθµητική αντικατάσταση βρίσκουµε: V=.5m/s και υ=m/s H µεταβολή της ενέργειας ε ίναι: Ε=.5mυ -(.5MV +.5mυ )=-373.88J Θέµα 5 ον (α) Σφαίρα µάζας Μ και ακτίνας R, βρίσκεται επί οριζοντίου δαπέδου µπροστά από ένα ελατήριο το οποίο έχει συµπιεσθεί κατά. Το ελατήριο έχει µηδενική µάζα, σταθερά k και όταν αφήνεται ελεύθερο να αποσυµπιεσθεί παρασύρει και την σφαίρα η οποία συνεχίζει να ολισθαίνει χωρίς τριβές. Στο σηµείο Ρ της διαδροµής της, η υφή του δαπέδου αλλάζει και στην σφαίρα ασκείται τριβή ολίσθησης. Υπό την επίδραση της τριβής ολίσθησης η σφαίρα αρχίζει να κυλίεται ενώ συγχρόνως ολισθαίνει. Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σφαίρας και δαπέδου είναι µ, να βρείτε την απόσταση που θα διανύσει το κέντρο µάζας της σφαίρας, από το σηµείο Ρ µέχρις του σηµείου εκείνου που θα αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. P Τ Κατά την εκτόνωση του ελατηρίου η σφαίρα αποκτά ταχύτητα ολίσθησης V. Από την διατήρηση της κινητικής ενέργειας έχουµε:.5 k =.5 M V ή V =(k/m) / Μετά το σηµείο Ρ, στη σφαίρα ασκείται τριβή ολίσθησης, Τ=µΝ=µΜg, που αντίκειται στην ολίσθηση και επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση. H µεταφορική ταχύτητα του κέντρου µάζας µετά από χρόνο t, από τότε που έφτασε στο σηµείο Ρ, είναι: V=V -(T/M)t. Η δύναµη τριβής ασκεί ροπή ως προς τον άξονα κύλισης και το σώµα αρχίζει να κυλίεται µε γωνιακή επιτάχυνση a, ενώ συγχρ όνως ολισθαίνει: ΤR=Ιa Η γωνιακή ταχύτητα,ω, µεταβάλλεται µε τον χρόνο ως: ω=at. Κύλιση χωρίς ολίσθηση επιτυγχάνεται όταν: V=ωR. Αντικαθιστώντας από τις προηγούµενες σχέσεις καταλήγουµε ότι: t=(v )/(7µg). Επιπλέον, το διάστηµα που µεταφέρεται το κέντρο µάζας είναι: S=V t-.5(t/m)t ή S=(/49)V /(µg)
(β) Απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήµατα: Ι. Γιατί η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος µπορεί να είναι αρνητική ενώ η κινητική ενέργεια είναι πάντα θετική; ΙΙ. Γιατί όταν αυγό πέφτει από ύψος ενός µέτρου σε παχύ αφρολέξ δεν σπάει ενώ σπάει εάν πέσει από το ίδιο ύψος στο πάτωµα; ΙΙΙ. Σε ένα σώµα ασκείται µία, µη µηδενική, εξωτερική δύναµη. Ποία από τα ακόλουθα µεγέθη είναι δυνατόν να διατηρούνται σταθερά: ) η κινητική του ενέργεια, ) η ορµή του. ικαιολογήσετε την απάντησή σας. Θεωρία από το βιβλίο
.. µ µ «µ» µ µ : cos y sin cos µ R sin y cos sin ) µ. ) {,y } µ, : y ) µ D=cos + sin =. µ. : = D /D = cos y = D y /D = sin. ) + y = cos + sin = cos + cos(/ ) = cos(/4)cos( /4) = cos( - /4) µ y cos( /4) µ ) µ µ µ i j j k, µ i, j k µ µ µ µ. ) µ (,,), (,,) (,-,3). µ. ) µ µ i j j k, µ µ µ, µ µ., µ: i j j k i - j k, µ µ µ 3. 3 i - j k 3 i - j k., µ µ ) (,,), (,,) (,-,3). : OA i j k i j k OB i j 3 k j 3k. µ µ: i j k OA OB i j k j 3k 5i 3j k 5 3 3 38 µ 3 ) f µ : f() µ R. µ µ µ f R. ) µ µ: 3 3 3 3 6 4 5 6 3 6 3 6 33 36 3 6 7 8 7 8 6
) f R, ++, µ. µ µ µ R,,,. : < 4 < - < <. ) µ: µ µµ µ 4 µµ. µ: µ µµ µ 7 3 µµ. 3 µ: µ. : 3 3 6 3 3 3 6 3 6 6 6 3 6 6 6 4 µ: µ. : 3 6 3 6 6 33 36 3 6 µ 4 ) : 4 3 4 sin sin I. lim, II. lim, III. lim lim 4 3 6 3 ) S n ()= n (.. S 5 ()= 5 k d Sn () n! nk ) k n, : k d (n k)! ) µ µ µ t µ r(t). µ V(t) F(t) : dr(t) d r(t) d V(t) F(t) m µ m R. : m r(t) V(t) r(t) F(t) 4 3 3 4 4 lim lim 3 4 ) I. lim lim 4 3 6 3 4 3 3 6 3 6 6 lim lim 3 3 II. lim 4 lim 4 4 4 4 lim lim 4 4 4 4 sin III. lim lim sin lim sin lim lim sin dsn () n d Sn () n ) k=: n, k=: nn, d d 3 d Sn () n3 k=3: nn n... 3 d k d Sn () n! nk : (). µ., µ: k d (n k)! dsn () n! n n k=: n,. d (n )!
3 () k. µ k+, : k d Sn () n! n(k) k d (n (k ))! µ : k k d Sn () d d Sn () () n! (nk)- n! (nk)- n! n(k (n k) k k d d d (n k)! (n k )! (n (k ))! () k, µ k n. ) d dr(t) dv(t) d r(t) m r(t) V(t) m V(t) r(t) m V(t) V(t) r(t) d r(t) d r(t) m r(t) r(t) m r(t) F(t) ) µ: ) µ 5 d d, ) cosd, ) 9 ) d d d d ln ln ) cosd sin d sin sind sin sin cos d sin cos cosd sind sin cos cosd sin cos sin 4 d d ) 9 3 3 µ µ µ, µ: A B A 3 B 3 A, B. 3 3 3 3 6 6, µ : d d d 3 ln 3 ln 3 C ln C 3 3 6 3 6 3 6 6 3
h=km µ V=6km/h,. µ µ : () ( µ ) µ. () µ h/, 3 µµ, µ µ µ µ µ. µ µ µ µ, µ,.. () µ µ µ µ µ µµ. ( µ g=m/s µ) H V y y O H/ V V () () Vt t, m () 6 y V t gt 5,m y H gt 5t, m () gt, m s t V t,m s (3) 6 V y t gt t,m s (4) () µ, V,, µ t y = h/: V V V (5) y
H H ( ) H gt t t s g V y gt V y m s µ (5) µ Vy V ~ 43 m s tan ~. 85 V µ, µ, µ., µ µ: P P P P P3 V V V V3 (6) (6) V, V V,, 3 V V 3 µ, µ. () µ µ µ µ µ µ V, µ (). µ µ, µ., () µ H gt H t t s g
µ, µ µ m, µ µ µ µ µ. µ F, µ. () µ µ µ. µ. () µ µ F µ µ, µ µ, (µ g). µ µ µ µ. () ; F F () µ µ, µ µ d. µ T B T d. µ µ: F m F 3B 3m F 3B 3m () B µ: : F B T m () T F 3 3 T B : T T B m 3: T B m T F 3 () = g. µ. µ 3: T B m T B mg T µ =. () µ. 395 46-47.
3 µ µ µ M=3kg m=kg,, µ µ. µ µ µ, µ µ µ,4. () µ, µ (). µ. () µ ( µ ()). µ. µ µ µ. () µ µ µ (), µ µ,5m µ µ. ( µ 3 g=m/s ) () () 3kg 3kg kg kg () F y N mg cos3 T 3 3 N T F ma F B T B mg sin 3 T 4 3 a a N ~ m s 3.3 / ~ m s.5 /. a a µ () µ µ µ. µ µ: F F M m a B B T T B Mg sin 3 B g sin 3 a ~.6 m / s F a a. F
µ: B B F T F T Ma ma F F ~. N () W N W F WF W B Mg sin 3 S W B mg sin 3 S W T T S W T T S S µ µ. W ~ 6.4 Joule
4 () µ, µ,, µ µ. µµ µ /. µ µ. () µ µ µ µ (3,m ) µ µ µ. 5, 6 N/m µ µ 54 kg, µ. ( g=m/s µ) 3,m () µ, µ, µ µ. µ S µ µ. µ, ) ). () P P P P P P P ( µ). P µ P, P, P µ, µµµ. µ P, P. () h () µ ( µ) µ: µ() = µ() () Mgh K ~. 8 m
() () = gsin () µ µ I MR a g cm sin [ µ. 386-388]. µ > µ < µ. µ µ.
5 () µ µ,5m, µ kg µ. µ 5 /min. µ 6 s µ µ, µ µ F µ, µ 7. µ µ. F () µ µ : r(t) cos(t) i sin(t) j t k. (t) µ, µ µ µ µ µ i, j k,. i) µ µ, ; ii) µ µ. iii) µ, µ µµ µ. () µ µ : i) µ µµ µ ii) µ µµ µ. T () µ : T F () F µ µ. µ: TR ai () µ: MR I [,,. 347-348]. () () amr T (3) µ µ t = 6 s µ µ: at at
a t (), (3) (4) µ MR µ =.3 t (4). () X a cos t, Y asin t Z t. () s -, a m, m/s () dx dy dz a sin t, a cos t d X d Y d Z a cos t, a sin t () µ µ µ µ, a (. µ): = t µ X asin t Y a cos t. r t X i Y j dz. () (),. 55 () µ µ µ. µ,.