Αποτίµηση της Σεισµικής Συµπεριφοράς Υφιστάµενων Κατασκευών από Σκυρόδεµα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Επιστήµης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Εργαστήριο Κατασκευών Οπλισµένου Σκυροδέµατος και Φέρουσας Τοιχοποιίας Παναγιώτης Η. Μέργος ιπλωµατούχος Πολιτικός Μηχανικός, Μ Ε - ΑΠΘ MSc Earthquake Engineering, University of Pavia, Italy Αποτίµηση της Σεισµικής Συµπεριφοράς Υφιστάµενων Κατασκευών από Σκυρόδεµα ιδακτορική ιατριβή Θεσσαλονίκη 2010

Παναγιώτης Η. Μέργος ιπλωµατούχος Πολιτικός Μηχανικός, Μ Ε - ΑΠΘ MSc Earthquake Engineering, University of Pavia, Italy Αποτίµηση της Σεισµικής Συµπεριφοράς Υφιστάµενων Κατασκευών από Σκυρόδεµα ιδακτορική ιατριβή Υποβλήθηκε στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών ΑΠΘ Τοµέας Επιστήµης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Ηµεροµηνία Προφορικής Εξέτασης : 6 εκεµβρίου 2010 Εξεταστική Επιτροπή Α. Κάππος, Καθηγητής ΑΠΘ, Επιβλέπων Κ. Στυλιανίδης, Καθηγητής ΑΠΘ, Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής Α. Τσώνος, Καθηγητής ΑΠΘ, Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής Κ. Παπανικολάου, Αναπληρωτής Καθηγητής ΑΠΘ, Εξεταστής Φ. Περδικάρης, Καθηγητής ΠΘ, Εξεταστής Α. Σέξτος, Επίκουρος Καθηγητής ΑΠΘ, Εξεταστής Μ. Φαρδής, Καθηγητής ΠΠ, Εξεταστής

ii

Αφιερώνεται στους γονείς µου iii

iv

2010 Παναγιώτης Η. Μέργος ΑΠΘ Αποτίµηση της Σεισµικής Συµπεριφοράς Υφιστάµενων Κατασκευών από Σκυρόδεµα Η έγκριση της παρούσας ιδακτορικής ιατριβής από το Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωµών του συγγραφέα (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2) v

vi

Πρόλογος Η αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων κατασκευών από σκυρόδεµα µε τη χρήση ανελαστικών µεθόδων ανάλυσης αποτέλεσε για εµένα πρόκληση, ήδη από το προπτυχιακό επίπεδο των σπουδών µου. Η πολυπαραµετρική φύση του προβλήµατος καθώς και η πολυπλοκότητά των µηχανισµών απόκρισης καθιστούν το συγκεκριµένο γνωστικό πεδίο ιδιαίτερα απαιτητικό. Στη διαδροµή µου µέχρι αυτές εδώ τις γραµµές, διαπίστωσα ότι η συνεισφορά σε αυτόν τον ερευνητικό τοµέα δεν προέρχεται κατ ανάγκη από πολυδαίδαλους µαθηµατικούς υπολογισµούς. Εξίσου σηµαντική είναι η κατανόηση του πραγµατικού φαινοµένου και η δυνατότητα απόδοσης του µε απλό και σαφή τρόπο. Σε αυτό το πλαίσιο κινείται και το αναλυτικό µοντέλο της διατριβής, που καλείται να γεφυρώσει δύο βασικούς πυλώνες της σεισµικής αποτίµησης των κατασκευών. Την αξιοπιστία και ακρίβεια του τελικού αποτελέσµατος µε την αριθµητική ευστάθεια και τη δυνατότητα εφαρµογής σε σύνθετους φορείς οπλισµένου σκυροδέµατος. Στην παρούσα διατριβή δίνεται έµφαση στις κατασκευές από σκυρόδεµα που δεν σχεδιάστηκαν για να συµπεριφερθούν µε πλάστιµο τρόπο στο ενδεχόµενο ισχυρής σεισµικής διέγερσης. Η µελέτη της σεισµικής συµπεριφοράς τους αποκτά στις µέρες µας βαρύνουσα κοινωνική σηµασία, αφού το µεγαλύτερο τµήµα του υφιστάµενου δοµικού πλούτου δεν έχει κατασκευαστεί σύµφωνα µε τις σύγχρονες αντισεισµικές προδιαγραφές. Σε όλη τη διάρκεια αυτής της ερευνητικής προσπάθειας, µόνιµος και ενίοτε µόνος αρωγός υπήρξε ο επιβλέπων της διατριβής, καθηγητής Ανδρέας Κάππος. Τον ευχαριστώ θερµά για την επιστηµονική καθοδήγηση που µου παρείχε από το προπτυχιακό επίπεδο µέχρι και σήµερα. Είναι βέβαιο ότι έχει συµβάλει τα µέγιστα στη διαµόρφωση της επιστηµονικής και ηθικής µου οντότητας. Ιδιαίτερα θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε, όταν πήρα τη δύσκολη απόφαση να συνεχίσω την εκπόνηση της διατριβής παράλληλα µε την επαγγελµατική µου σταδιοδροµία. Ειδικές ευχαριστίες αρµόζουν και στα υπόλοιπα µέλη της Επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής, τους καθηγητές Κοσµά Στυλιανίδη, Μιχαήλ Φαρδή, Φίλιππο Περδικάρη και Αλέξανδρο Τσώνο, τον αναπληρωτή καθηγητή Κωνσταντίνο Παπανικολάου και vii

τον επίκουρο καθηγητή Αναστάσιο Σέξτο για τα ενθαρρυντικά τους σχόλια και τις πολύτιµες υποδείξεις τους για τη βελτίωση της διατριβής. Επιπρόσθετα, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά την καθηγήτρια Σταυρούλα Πανταζοπούλου, τον Dr Rui Pinho και τον Dr Kenneth Elwood, διότι µου παρείχαν χρήσιµες συµβουλές και πολύτιµο υλικό για την περάτωση της διατριβής. Οι δυσκολίες που συνάντησα µέχρι να φτάσω σε αυτές τις γραµµές δεν ήταν µόνο επιστηµονικού χαρακτήρα. Άλλωστε, η διατριβή αποτέλεσε για µακρύ χρονικό διάστηµα αναπόσπαστο κοµµάτι της προσωπικής µου ζωής. Για τον λόγο αυτόν, σε κάποιες περιπτώσεις, η στήριξη σε ανθρώπινο και προσωπικό επίπεδο υπήρξαν εξίσου σηµαντικές µε την καθοδήγηση στο επιστηµονικό πεδίο. Σε αυτό το κοµµάτι θα ήθελα να ευχαριστήσω από καρδιάς όλους όσους στάθηκαν δίπλα µου σε αυτή τη δύσβατη διαδροµή. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω ολόψυχα τους γονείς µου Ηλία και Ιωάννα και την αδερφή µου Όλγα, γιατί υπήρξαν σε όλη τη διάρκεια αυτής της ερευνητικής προσπάθειας άοκνοι συνοδοιπόροι. Η στάση τους και η συµπαράσταση τους αποτέλεσαν το στέρεο βάθρο πάνω στο οποίο εδράστηκε η παρούσα διατριβή. Θεσσαλονίκη, εκέµβριος 2010 Παναγιώτης Η. Μέργος viii

Πίνακας Περιεχοµένων Πρόλογος...vii Πίνακας Περιεχοµένων... ix Κατάλογος Σχηµάτων...xiii Κατάλογος Πινάκων...xxiii Περίληψη... xxv Summary...xxvii 1 Εισαγωγή..... 1 1.1 Θέση του Προβλήµατος... 2 1.2 Στόχοι της ιατριβής... 3 1.3 ιάρθρωση της ιατριβής... 5 2 Κριτική επισκόπηση προηγούµενων αναλυτικών µοντέλων... 9 2.1 Γενικά... 10 2.2 Εισαγωγή στα Προσοµοιώµατα Μελών Ο/Σ... 12 2.3 Μοντέλα Προσοµοίωσης Υστερητικής Συµπεριφοράς... 13 2.4 Μοντέλα Προσοµοίωσης Ανελαστικών Καµπτικών Παραµορφώσεων... 16 2.5 Μοντέλα Προσοµοίωσης Ανελαστικών ιατµητικών Παραµορφώσεων... 29 2.6 Μοντέλα Προσοµοίωσης Ανελαστικών Παραµορφώσεων από Ολίσθηση της... Αγκύρωσης... 44 2.7 Τοπικοί είκτες Σεισµικής Βλάβης... 55 3 Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης υστερητικής συµπεριφοράς σε κάµψη... 61 3.1 Εισαγωγή... 62 3.2 Περιβάλλουσα Μ-φ... 62 3.2.1 Αναλυτική Περιβάλλουσα Μ-φ... 62 3.2.2 Εξιδανικευµένη ιγραµµική Περιβάλλουσα Μ-φ... 65 3.3 Υστερητικό Μοντέλο Καµπτικής Συµπεριφοράς... 71 3.3.1 Βασικό Μοντέλο Υστερητικής Συµπεριφοράς (Β.Μ.Υ.Σ.)... 71 3.3.2 Προτεινόµενο Μοντέλο Καµπτικής Υστερητικής Συµπεριφοράς... 90 4 Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης υστερητικής συµπεριφοράς σε διάτµηση... 93 4.1 Εισαγωγή... 94 4.2 Περιβάλλουσα V-γ... 94 4.2.1 Εισαγωγή... 94 4.2.2 Προσδιορισµός της Αρχικής Περιβάλλουσας V-γ... 94 4.2.3 Προσδιορισµός της Περιβάλλουσας V-γ µε Αλληλεπίδραση Κάµψης- ιάτµησης... 117 4.3 Υστερητικό Μοντέλο ιατµητικής Συµπεριφοράς... 122 4.3.1 Εισαγωγή... 122 4.3.2 Προτεινόµενο Μοντέλο ιατµητικής Υστερητικής Συµπεριφοράς... 123 5 Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης υστερητικής συµπεριφοράς σε ολίσθηση... 131 5.1 Εισαγωγή... 132 5.2 Περιβάλλουσα Μ-θslip... 132 ix

5.2.1 Εισαγωγή... 132 5.2.2 Συνάφεια Χάλυβα-Σκυροδέµατος... 133 5.2.3 Ευθύγραµµες Ράβδοι Αγκυρούµενες σε Εξωτερικούς Κόµβους... 140 5.2.4 Ευθύγραµµες Ράβδοι Με Άγκιστρα σε Εξωτερικούς Κόµβους... 147 5.2.5 Ευθύγραµµες Ράβδοι ιερχόµενες µέσω Εσωτερικών Κόµβων... 153 5.2.6 ιγραµµικοποίηση Περιβάλλουσας Καµπύλης Μ-θslip... 159 5.3 Υστερητικό Μοντέλο Ολισθητικής Συµπεριφοράς... 162 5.3.1 Εισαγωγή... 162 5.3.2 Προτεινόµενο Μοντέλο Ολισθητικής Υστερητικής Συµπεριφοράς... 165 6 Πεπερασµένο στοιχείο προσοµοίωσης γραµµικών δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος... 169 6.1 Γενική Περιγραφή... 170 6.2 Καµπτικό Υποστοιχείο... 173 6.2.1 Εισαγωγή... 173 6.2.2 Μοντέλο Κατανεµηµένης Ευκαµψίας... 173 6.2.3 Μοντέλο ιείσδυσης της Καµπτικής ιαρροής... 178 6.2.4 Περιορισµοί-Παραδοχές Προτεινόµενου Καµπτικού Μοντέλου Κατανεµηµένης Ανελαστικότητας... 190 6.2.5 Μητρώο Ευκαµψίας Καµπτικού Υποστοιχείου... 193 6.3 ιατµητικό Υποστοιχείο... 195 6.3.1 Εισαγωγή... 195 6.3.2 Σταθερή ρώσα Τέµνουσα Κατά Μήκος του οµικού Στοιχείου... 196 6.3.3 Μεταβαλλόµενη ρώσα Τέµνουσα Κατά Μήκος του οµικού Στοιχείου. 199 6.4 Ολισθητικό Yποστοιχείο... 202 6.5 Μέθοδοι Ανελαστικής Ανάλυσης των Κατασκευών... 203 6.5.1 Εισαγωγή... 203 6.5.2 Ανελαστική Στατική Ανάλυση για τα Κατακόρυφα Φορτία... 203 6.5.3 Ανελαστική Στατική Επωθητική Ανάλυση (Pushover Analysis)... 203 6.5.4 Ανελαστική Στατική Ανάλυση υπό Ανακυκλιζόµενη Φόρτιση... 204 6.5.5 Ανελαστική υναµική Ανάλυση Χρονοϊστορίας... 205 6.5.6 Προβλήµατα µε τις υνάµεις Εκτός Ισορροπίας... 206 6.5.7 Μέθοδος των ιαδοχικών Συµβάντων (Event-to-Event method)... 209 6.5.8 Ενσωµάτωση Αλληλεπίδρασης Κάµψης- ιάτµησης στην Ανελαστική Ανάλυση των Κατασκευών... 212 7 Tοπικός δείκτης σεισµικής βλάβης... 217 7.1 Εισαγωγή... 218 7.2 Προτεινόµενος είκτης Βλάβης... 220 8 Τεκµηρίωση αναλυτικού µοντέλου µε πειραµατικά αποτελέσµατα από µεµονωµένα δοµικά στοιχεία Ο/Σ... 233 8.1 Εισαγωγή... 234 8.2 Πειραµατικό οκίµιο 415 (Lehman & Moehle 1998)... 234 8.2.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου... 234 8.2.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο... 236 8.3 Πειραµατικό οκίµιο U6 (Saatcioglu & Ozcebe 1989)... 246 8.3.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου... 246 8.3.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο... 247 8.4 Πειραµατικό οκίµιο 2CLD12 (Sezen & Moehle 2002)... 257 8.4.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου... 257 8.4.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο... 258 8.5 Πειραµατικό οκίµιο SC3 (Aboutaha et al. 1999)... 270 x

8.5.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου... 270 8.5.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο... 271 8.6 Πειραµατικό οκίµιο R5 (Ma et al. 1976)... 280 8.6.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου... 280 8.6.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο... 281 8.7 Πειραµατικό οκίµιο HS2 (Ranzo & Priestley 2001)... 292 8.7.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου... 292 8.7.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο... 294 9 Τεκµηρίωση αναλυτικού µοντέλου µε πειραµατικά αποτελέσµατα από πλαισιακούς φορείς Ο/Σ... 305 9.1 Εισαγωγή... 306 9.2 Πειραµατικό Πλαίσιο Duong et al. (2007)... 306 9.2.1 Περιγραφή Πλαισιακού Φορέα... 306 9.2.2 Ανάλυση πλαισιακού φορέα... 311 9.3 Πειραµατικό Πλαίσιο Specimen 1 (Elwood & Moehle, 2003)... 324 9.3.1 Περιγραφή πλαισίου... 324 9.3.2 Ανάλυση πλαισιακού φορέα... 328 9.4 Πειραµατικό Πλαίσιο El-Attar et al. (1991)... 348 9.4.1 Περιγραφή πλαισίου... 348 9.4.2 Ανάλυση πλαισιακού φορέα... 353 10 Συµπεράσµατα... 371 10.1 Σύνοψη Αναλυτικού Μοντέλου... 372 10.2 Συµπεράσµατα Τεκµηρίωσης Αναλυτικού Μοντέλου... 375 10.3 Συµπεράσµατα Προτεινόµενου είκτη Σεισµικής Βλάβης... 379 10.4 Προτάσεις για Μελλοντική Έρευνα Βελτιώσεις Αναλυτικού Μοντέλου... 380 Βιβλιογραφία... 383 Λίστα Συµβόλων... 393 ΠαράρτηµαΑ: Πρόγραµµα Ανάλυσης ιατοµών RCCOLA-FSB... Α1 Α.1 Εισαγωγή... Α2 Α.2 Οδηγίες Χρήσης... Α3 Α.3 Τυπικό Αρχείο εδοµένων... Α5 Α.4 Τυπικό Αρχείο Αποτελεσµάτων... Α6 Παράρτηµα B: Πρόγραµµα Ανελαστικής Στατικής και υναµικής Ανάλυσης των Κατασκευών IDARC-FSB... Β1 B.1 Εισαγωγή... Β2 B.2 Οδηγίες Χρήσης... Β3 B.3 Τυπικό Αρχείο εδοµένων IDARC-FSB...Β22 B.4 Τυπικό Αρχείο Αποτελεσµάτων IDARC-FSB...Β24 xi

xii

Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 2.1: Μηχανισµοί παραµόρφωσης δοµικού στοιχείου οπλισµένου σκυροδέµατος α) κάµψη, β) διάτµηση, γ) ολίσθηση της αγκύρωσης... 10 Σχήµα 2.2: Ψαθυρές µορφές αστοχίες δοµικών µελών που δε συµµορφώνονται µε τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς, α) ιατµητική αστοχία στο µέσο τοιχώµατος (Σεισµός Αθήνας 1999, Γιαννόπουλος Π.), β) Καµπτοδιατµητική αστοχία σε κεφαλή υποστυλώµατος (Σεισµός Αθήνας 1999, Γιαννόπουλος Π.), γ) ιάρρηξη σκυροδέµατος στην περιοχή της αγκύρωσης υποστυλώµατος σε εξωτερικό κόµβο (EERI, Moehle J.), δ) Εξόλκευση διαµήκους οπλισµού από τη βάση υποστυλώµατος (Σεισµός San Fernando 1971, U.S. Geological Survey)... 11 Σχήµα 2.3: Μοντέλο δύο συνιστωσών (Clough et al. 1965)... 16 Σχήµα 2.4: Μοντέλο µιας συνιστώσας (Giberson 1967)... 17 Σχήµα 2.5: Επιρροή της κατανοµής του διαγράµµατος ροπών στην ανελαστική στροφή ενός άκρου δοµικού στοιχείου Ο/Σ... 18 Σχήµα 2.6: Μοντέλο διακριτών, στροφικών ανελαστικών ελατηρίων (Wen & Janssen 1965).... 19 Σχήµα 2.7: Μοντέλο Soleimani et al. (1979): α) οµικό στοιχείο, β) Εξιδανικευµένο στοιχείο, γ) Μεταβολή διαγράµµατος ροπών, δ) Μεταβολή διαγράµµατος καµπυλοτήτων... 21 Σχήµα 2.8: Μοντέλα κατανεµηµένης δυσκαµψίας α) ιάγραµµα καµπτικών ροπών, β) Κατανοµή δυσκαµψίας κατά Valles et al. (1996), γ) Κατανοµή δυσκαµψίας κατά Park et al. (1987)... 22 Σχήµα 2.9: Μοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας των Filippou & Issa (1988)... 23 Σχήµα 2.10: Μοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας των Arede & Pinto (1998), α) διάγραµµα καµπτικών ροπών, β) διακριτές ζώνες συµπεριφοράς.... 24 Σχήµα 2.11: Μοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας των Kyakula & Wilkinson (2004)... 25 Σχήµα 2.12: α) ιακριτοποίηση δοµικού στοιχείου µε τα µοντέλα ινών β) Σύστηµα συντεταγµένων προσοµοιώµατος ινών... 27 Σχήµα 2.13: Αναλυτικό µοντέλο Takayanagi et al. (1979)... 32 Σχήµα 2.14: Αναλυτικό µοντέλο Thom (1983)... 33 Σχήµα 2.16: Προσοµοίωση ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων από τους Filippou et al. (1992).... 35 Σχήµα 2.17: Μοντέλο Ranzo & Petrangeli (1998) α) Προσοµοίωµα δικτυώµατος για την εξαγωγή της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ, β) Υποβάθµιση της περιβάλλουσας καµπύλης µε την µέγιστη αξονική παραµόρφωση.... 36 Σχήµα 2.18: ιατµητικό υποστοιχείο Xenos & Kappos (1998), α) ιάγραµµα τεµνουσών στοιχείου, β) Κατανοµή δυστµησίας... 38 Σχήµα 2.19: Μοντέλο προσοµοίωσης διατµητικής αστοχίας (Ricles et al. 1998).... 39 Σχήµα 2.20: Προσδιορισµός παραµορφώσεων διατοµής από τους Petrangeli et al. (1999)... 39 Σχήµα 2.21: Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης συµπεριφοράς µετά τη διατµητική αστοχία υποστυλωµάτων Ο/Σ (Elwood & Moehle 2003)... 41 Σχήµα 2.22: α) Περιβάλλουσα καµπύλη V-γ, β) Υστερητικός κανόνας V-γ από τους Marini & Spacone (2006)... 43 Σχήµα 2.23: Γενικός πολυγραµµικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης υπό µονότονη φόρτιση... 47 Σχήµα 2.24: Γενικός καταστατικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης από τους Eligehausen et al. (1983) και MC-90.... 48 Σχήµα 2.25: Προσοµοίωση επιρροής ολίσθησης της αγκύρωσης µε διακριτά, στροφικά ανελαστικά ελατήρια (Otani 1974).... 51 Σχήµα 2.26: Μοντέλο πολλαπλών ελατηρίων (Lai et al. 1984)... 52 Σχήµα 2.27: Προσοµοίωση ανελαστικών στροφών από ολίσθηση της αγκύρωσης από τους Filippou & Issa (1988).... 53 xiii

Σχήµα 2.28: Προτεινόµενοι υστερητικοί βρόχοι ροπής-στροφής λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης από τους Filippou & Issa (1988), α) για στοιχεία δοκού, β) για στοιχεία υποστυλώµατος.... 53 Σχήµα 2.29: α) Αναλυτικό µοντέλο Pincheira et al. (1999), β) Προσοµοίωση αγκυρούµενης ράβδου µε πεπερασµένα στοιχεία.... 54 Σχήµα 2.30: Αναλυτικό µοντέλο Spacone & Limkatanyu (2000) για την προσοµοίωση της ολίσθησης των ράβδων όπλισης σε σχέση µε το περιβάλλον σκυρόδεµα.... 55 Σχήµα 3.1: Μέθοδος λωρίδων για τον προσδιορισµό της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-φ απλά συµµετρικών διατοµών Ο/Σ... 62 Σχήµα 3.2: Καταστατικός νόµος Kappos (1991) για το περισφιγµένο σκυρόδεµα... 65 Σχήµα 3.3: Καταστατικός νόµος χάλυβα (Park & Sampson 1972)... 65 Σχήµα 3.4: ιγραµµικοποίηση αναλυτικής καµπύλης Μ-φ... 66 Σχήµα 3.5: ιάγραµµα ροής για τον καθορισµό της εξιδανικευµένης, διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ... 69 Σχήµα 3.6: Τύποι περιβάλλουσας καµπύλης α) ιγραµµική, β) Τριγραµµική Β.Μ.Υ.Σ... 71 Σχήµα 3.7: Τύποι υστερητικής συµπεριφοράς Β.Μ.Υ.Σ. α) Προσανατολισµένη προς το σηµείο διαρροής, β) Προσανατολισµένη προς το προηγούµενο σηµείο µέγιστης απόκρισης... 72 Σχήµα 3.8: Βασικό µοντέλο υστερητικής συµπεριφοράς (Β.Μ.Υ.Σ.)... 72 Σχήµα 3.9: Συνδεσµολογία των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ.... 79 Σχήµα 3.10: Συνδεσµολογία των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. (συνέχεια)... 80 Σχήµα 3.11: Συνδεσµολογία των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. (συνέχεια)... 81 Σχήµα 3.12: Μείωση της δυσκαµψίας µε τον κανόνα επιστροφής στο Β.Μ.Υ.Σ... 82 Σχήµα 3.13: Υποβάθµιση της αντοχής του Β.Μ.Υ.Σ... 83 Σχήµα 3.14: Στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων του Β.Μ.Υ.Σ.... 84 Σχήµα 3.15: Γενικό διάγραµµα ροής αλγορίθµου Β.Μ.Υ.Σ.... 86 Σχήµα 3.16: ιάγραµµα ροής υπορουτίνας CONTROL1... 87 Σχήµα 3.17: ιάγραµµα ροής υπορουτίνας CONTROL2... 88 Σχήµα 3.18: ιάγραµµα ροής υπορουτίνας CONTROL3... 89 Σχήµα 3.19: Μοντέλο καµπτικής υστερητικής συµπεριφοράς... 90 Σχήµα 4.1: Αρχική (µη-αποµειούµενη) περιβάλλουσα V-γ... 95 Σχήµα 4.2: Μοντέλο δικτυώµατος από τους Park & Paulay (1975)... 98 Σχήµα 4.3: ιατµητικές µετακινήσεις σε κάθε φάτνωµα του δικτυώµατος... 99 Σχήµα 4.4: Σχέση V-γ στην περιοχή πλαστικής άρθρωσης ενός στοιχείου Ο/Σ που διαρρέει αρχικά σε κάµψη και στη συνέχεια αστοχεί σε τέµνουσα.... 102 Σχήµα 4.5: Σύγκριση πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων του µοντέλου δικτυώµατος για τη γyw( ).... 106 Σχήµα 4.6: Σύγκριση πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης ηµιεµπειρικής εξίσωσης για τη γyw( )... 108 Σχήµα 4.7: Λόγοι πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης ηµιεµπειρικής εξίσωσης για την παραµόρφωση γyw( )... 108 Σχήµα 4.8: Σύγκριση πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης εµπειρικής εξίσωσης για τη γu( )... 112 Σχήµα 4.9: Λόγοι πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης εµπειρικής εξίσωσης για τη γu( )... 112 Σχήµα 4.10: Μεταβολή του συντελεστή k µε την µφ µε βάση το µοντέλο των Priestley et al. (1996) α) Υποστυλώµατα, β) οκοί... 115 Σχήµα 4.11: Συνεισφορά του θλιπτικού αξονικού φορτίου στη διατµητική αντοχή... 116 Σχήµα 4.12: Ενεργοποίηση εγκάρσιου οπλισµού από λοξή εφελκυστική ρωγµή.... 117 Σχήµα 4.13: Μεταβολή α) των µηχανισµών ανάπτυξης διατµητικής αντοχής, β) της διατµητικής παραµόρφωσης µετά τη διατµητική ρηγµάτωση στις περιοχές πλαστικών αρθρώσεων στοιχείων Ο/Σ µε την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µε βάση το µοντέλο των Priestley et al. (1993).... 119 Σχήµα 4.14: α) Περιβάλλουσα καµπύλη καµπτικής συµπεριφοράς στην κρίσιµη διατοµή της πλαστικής άρθρωσης σε όρους V-µφ, β) Αρχική και τροποποιηµένη (µε xiv

αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης) περιβάλλουσα V-γ στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης ισοδύναµου προβόλου Ο/Σ.... 121 Σχήµα 4.15: Προσδιορισµός της τρέχουσας εφαπτοµενικής κλίσης της τροποποιηµένης περιβάλλουσας καµπύλης V-γ.... 122 Σχήµα 4.16: Προτεινόµενο υστερητικό µοντέλο για τη σχέση τέµνουσας (V) διατµητικής παραµόρφωσης (γ).... 123 Σχήµα 4.17: Προτεινόµενος κανόνας αποφόρτισης στο διατµητικό βρόχο... 125 Σχήµα 4.18: Προτεινόµενη ελάχιστη κλίση αποφόρτισης διατµητικού βρόχου.... 126 Σχήµα 4.19: Κλάδοι επαναφόρτισης προτεινόµενου µοντέλου διατµητικής υστέρησης... 126 Σχήµα 4.20: Περιπτώσεις αριθµητικής αστάθειας κατά την επαναφόρτιση του υστερητικού µοντέλου των Ozcebe & Saatcioglu (1989): α) Αρνητική κλίση δεύτερου κλάδου επαναφόρτισης, β) αρνητική υστερητική ενέργεια.... 129 Σχήµα 5.1: Συνάφεια χάλυβα-σκυροδέµατος, α) Τάσεις χάλυβα και σκυροδέµατος, β) Μετακινήσεις και ολισθήσεις σε απειροστό στοιχείο Ο/Σ... 134 Σχήµα 5.2: Γενικός καταστατικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης από τον MC-90.... 135 Σχήµα 5.3: Προτεινόµενος προσδιορισµός δύναµης αντοχής Τ d ανεπαρκούς αγκύρωσης... 140 Σχήµα 5.4: Ευθύγραµµη ράβδος οπλισµού αγκυρούµενη σε εξωτερικό κόµβο, α) Κατανοµή τάσεων της ράβδου, β) Κατανοµή παραµορφώσεων της ράβδου, γ) Κατανοµή τάσεων συνάφειας.... 142 Σχήµα 5.5: Επιµήκυνση του ανελαστικού τµήµατος αγκύρωσης της ράβδου για γραµµική και µη-γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων.... 144 Σχήµα 5.6: Καταστατικός νόµος αγκίστρων 90ο από τους Soroushian et al. (1988)... 147 Σχήµα 5.7: Ευθύγραµµη ράβδος οπλισµού µε άγκιστρο σε εξωτερικό κόµβο, α) Κατανοµή τάσεων της ράβδου, β) Κατανοµή παραµορφώσεων της ράβδου, γ) Κατανοµή τάσεων συνάφειας.... 150 Σχήµα 5.8: Ράβδος οπλισµού διερχόµενη εσωτερικού κόµβου, α) Κατανοµή τάσεων της ράβδου, β) Κατανοµή παραµορφώσεων της ράβδου, γ) Κατανοµή τάσεων συνάφειας... 156 Σχήµα 5.9: Εξιδανικευµένη και αναλυτική περιβάλλουσα Μ-θ slip... 160 Σχήµα 5.10: Προσδιορισµός ανακτώµενης ολίσθησης κατά την αποφόρτιση αγκυρούµενης ράβδου α) κατανοµή τάσεων, β) κατανοµή παραµορφώσεων στο µήκος αγκύρωσης.... 163 Σχήµα 5.11: Προσδιορισµός κλίσης αποφόρτισης ολισθητικού βρόχου... 164 Σχήµα 5.12: Προτεινόµενο ολισθητικό υστερητικό µοντέλο... 165 Σχήµα 5.13: Πιθανό πρόβληµα αστάθειας κατά την επαναφόρτιση του ολισθητικού βρόχου... 167 Σχήµα 6.1: Προτεινόµενο γραµµικό πεπερασµένο στοιχείο: α) Γεωµετρία φυσικού µέλους, β) Γραµµικό πεπερασµένο στοιχείο µε άκαµπτους ακραίους βραχίονες, γ) Καµπτικό υποστοιχείο, δ) ιατµητικό υποστοιχείο, ε) Ολισθητικό υποστοιχείο... 172 Σχήµα 6.2: Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ κατά µήκος του στοιχείου: α) Κατανοµή ροπών κατά µήκος του στοιχείου, β) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ µε σταθερή τιµή και στα δύο άκρα του στοιχείου, γ) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ µε γραµµική µεταβολή και στα δύο άκρα του στοιχείου, δ) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ µε σταθερή τιµή στο άκρο Α του στοιχείου και γραµµική µεταβολή άκρο Β, ε) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας µε γραµµική µεταβολή στο άκρο Α και σταθερή τιµή στο άκρο Β... 174 Σχήµα 6.3: Υστερητική συµπεριφορά επιµέρους διατοµών της ανελαστικής ζώνης: α).κ.ρ. κατά µήκος του στοιχείου, β) πιθανή κατανοµή της δυσκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου, γ) υστερητική συµπεριφορά Μ-φ διατοµών ανελαστικής ζώνης... 176 Σχήµα 6.4: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές, χωρίς διαρροή στα άκρα του στοιχείου... 180 Σχήµα 6.5: Προσδιορισµός ισοδύναµης ελαστικής δυσκαµψίας του ενδιάµεσου τµήµατος του στοιχείου που δεν έχει διαρρεύσει... 181 Σχήµα 6.6: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο Α του στοιχείου.... 182 Σχήµα 6.7: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο B του στοιχείου.... 183 xv

Σχήµα 6.8: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές και διαρροή και στα δύο άκρα του στοιχείου... 184 Σχήµα 6.9: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή σε κανένα άκρο του στοιχείου.... 185 Σχήµα 6.10: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο Α του στοιχείου.... 185 Σχήµα 6.11: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο B του στοιχείου.... 187 Σχήµα 6.12: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή µόνο και στα δύο άκρα του στοιχείου... 188 Σχήµα 6.13: Επαναπροσδιορισµός των µηκών καµπτικής διαρροής στην περίπτωση όπου το άθροισµά τους υπερβαίνει το συνολικό µήκος του στοιχείου.... 189 Σχήµα 6.14: Σηµαντική µεταβολή της θέσης του σηµείου µηδενισµού των ροπών που προκαλεί φόρτιση και αποφόρτιση εντός του µήκους της ανελαστικής ζώνης: α) διαγράµµατα καµπτικών ροπών κατά µήκος του στοιχείου, β) µεταβολή της δυσκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου... 191 Σχήµα 6.15: ιαρροή σε εσωτερικό τµήµα του στοιχείου, χωρίς προγενέστερη διαρροή κάποιου άκρου του... 193 Σχήµα 6.16: Προσδιορισµός συντελεστών θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας στοιχείου, α).κ.ρ. λόγω µοναδιαίας ροπής στο αριστερό άκρο, β).κ.ρ. λόγω µοναδιαίας ροπής στο δεξιό άκρο... 195 Σχήµα 6.17: ιατµητικό υποστοιχείο για σταθερή δρώσα τέµνουσα στο στοιχείο: α) ιάγραµµα καµπτικών ροπών, β) ιάγραµµα τεµνουσών, γ) Καµπτικό υποστοιχείο, δ) ιατµητικό υποστοιχείο.... 198 Σχήµα 6.18: Κατανοµή της δυστµησίας κατά µήκος του στοιχείου: α) Κατανοµή τεµνουσών κατά µήκος του στοιχείου, β) Κατανοµή δυστµησίας µε σταθερή δυστµησία και στα δύο άκρα του στοιχείου, γ) Κατανοµή δυστµησίας µε γραµµική µεταβολή και στα δύο άκρα του στοιχείου, δ) Κατανοµή δυστµησίας µε σταθερή δυστµησία στο άκρο Α του στοιχείου και γραµµική µεταβολή άκρο Β, ε) Κατανοµή δυστµησίας µε γραµµική µεταβολή στο άκρο Α και σταθερή δυστµησία στο άκρο Β.... 201 Σχήµα 6.19: Προτεινόµενο ολισθητικό υποστοιχείο... 202 Σχήµα 6.20: Προσδιορισµός δυνάµεων εκτός ισορροπίας... 207 Σχήµα 6.21: υνάµεις εκτός ισορροπίας υποστοιχείων που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά... 208 Σχήµα 7.1: Προσδιορισµός συνολικού δείκτη βλάβης D tot για όλα τα ζεύγη τιµών των επιµέρους δεικτών βλάβης D 1 και D 2 και για τιµές του επιµέρους δείκτη D 3 : α) D 3 =0, β) D 3 =0.25, γ) D 3 =0.50, δ) D 3 =0.75 και ε) D 3 =1.00.... 223 Σχήµα 7.2: Μεταβολή του Dtot µε τον Dmax... 224 Σχήµα 7.3: Μεταβολή του Dtot,min µε τον D max για διάφορες τιµές του λ... 226 Σχήµα 7.4: Μεταβολή του Dtot,max µε τον D max για διάφορες τιµές του λ... 227 Σχήµα 7.5: Άνω και κάτω όρια µεταβολής του D tot µε τον λόγο zmax για λ=1/2... 227 Σχήµα 7.6: Εικόνες βλάβης πειραµατικού δοκιµίου HS2 (Ranzo & Priestley 2001) για α) πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 και β) πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =3.... 229 Σχήµα 7.7: Προσδιορισµός συνολικού δείκτη βλάβης D tot για όλα τα ζεύγη τιµών των λόγων παραµόρφωσης z 1 και z 2 και για τιµές του επιµέρους δείκτη z 3 α) z 3 =0, β) z 3 =0.25, γ) z 3 =0.50, δ) z 3 =0.75 και ε) z 3 =1.00.... 231 Σχήµα 8.2.1: Πειραµατικό δοκίµιο 415 των Lehman & Moehle (1998) α) Τοµή δοκιµίου, β) τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης... 235 Σχήµα 8.2.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου 415, β) Μορφή τελικής αστοχίας δοκιµίου, γ) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, δ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου.... 237 Σχήµα 8.2.3: Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου 415.... 238 xvi

Σχήµα 8.2.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων α) Στην ακραία διατοµή του δοκιµίου 415 από το αναλυτικό µοντέλο, β)στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή.... 238 Σχήµα 8.2.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) πειραµατικά καταγεγραµµένη κατανοµή των µέγιστων διατµητικών παραµορφώσεων καθ ύψος του στοιχείου, ε) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, στ) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη πειραµατικού δοκιµίου 415... 240 Σχήµα 8.2.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου 415... 241 Σχήµα 8.2.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου 415, α) Αναλυτικό µοντέλο, β) Πειραµατική καταγραφή... 242 Σχήµα 8.2.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης δοκιµίου 415.... 243 Σχήµα 8.2.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου 415, όπως α) µετρήθηκε πειραµατικά, β) προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο... 244 Σχήµα 8.2.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου 415... 245 Σχήµα 8.2.11: α) Σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο 415... 245 Σχήµα 8.3.1: Πειραµατικό δοκίµιο U6 των Saatcioglu & Ozcebe. (1989) α) Τοµή δοκιµίου, β) τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης... 247 Σχήµα 8.3.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου U6... 248 Σχήµα 8.3.3: Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου U6... 249 Σχήµα 8.3.4: Υστερητικοί βρόχοι α) τέµνουσας δύναµης-γωνίας στροφής χορδής εξαιτίας των καµπτικών παραµορφώσεων από το αναλυτικό µοντέλο, β) τέµνουσας δύναµηςγωνίας στροφής χορδής εξαιτίας των καµπτικών παραµορφώσεων από τις πειραµατικές καταγραφές του δοκιµίου U6... 250 Σχήµα 8.3.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V- shear εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, ε) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο U6... 251 Σχήµα 8.3.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου U6.... 252 Σχήµα 8.3.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου U6, α) Αναλυτικό µοντέλο, β) Πειραµατική καταγραφή... 253 Σχήµα 8.3.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης για το δοκίµιο U6... 254 Σχήµα 8.3.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη µετακίνηση του δοκιµίου U6 όπως α) προέκυψε από το προτεινόµενο µοντέλο και β) όπως καταγράφηκε πειραµατικά.... 255 xvii

Σχήµα 8.3.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου U6.... 256 Σχήµα 8.3.11: α)σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο U6.... 256 Σχήµα 8.4.1: Πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12 των Sezen & Moehle.(2002) α) Τοµή δοκιµίου, β) Τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης... 258 Σχήµα 8.4.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου 2CLD12... 259 Σχήµα 8.4.3: α) Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου, β) Εικόνα αστοχίας δοκιµίου 2CLD12.... 260 Σχήµα 8.4.4:α) Υστερητικοί βρόχοι ροπών-καµπυλοτήτων στη βάση του υποστυλώµατος, β) Πειραµατικά καταγεγραµµένη κατανοµή των καµπυλοτήτων κατά µήκος του δοκιµίου 2CLD12... 261 Σχήµα 8.4.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) Σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, δ) Σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12... 263 Σχήµα 8.4.6: α) Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου 2CLD12, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο, β) Κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων για απαίτηση πλαστιµότητας µετακινήσεων µ =2, όπως καταγράφηκε πειραµατικά.... 263 Σχήµα 8.4.7: α) Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου όπως προβλέφθηκαν από το αναλυτικό µοντέλο, β) Φωτογραφική αποτύπωση στροφής από ολίσθηση κατά τη διάρκεια του πειράµατος, γ) Πειραµατική καταγραφή της σχέσης ροπής-στροφής από ολίσθηση της αγκύρωσης στην κορυφή του δοκιµίου, (δ) Πειραµατική καταγραφή της σχέσης ροπής-στροφής από ολίσθηση της αγκύρωσης στη βάση του δοκιµίου 2CLD12... 264 Σχήµα 8.4.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) Καµπτικών παραµορφώσεων, β) ιατµητικών παραµορφώσεων, γ) Ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) ιατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης για το πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12... 266 Σχήµα 8.4.9: Πειραµατικά καταγεγραµµένοι υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) Καµπτικών παραµορφώσεων, β) ιατµητικών παραµορφώσεων, γ) Ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) Συνόλου των παραµορφώσεων για το δοκίµιο 2CLD12.... 266 Σχήµα 8.4.10: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου 2CLD12, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο.... 267 Σχήµα 8.4.11: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου 2CLD12, όπως καταγράφηκε πειραµατικά α) ως συνάρτηση της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων, β) ως συνάρτηση του βήµατος φόρτισης... 268 Σχήµα 8.4.12: Εξέλιξη του α) Καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού, β) Συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου 2CLD12.... 269 Σχήµα 8.4.13: α) Εξέλιξη του διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12... 269 Σχήµα 8.5.1: Πειραµατικό δοκίµιο SC3 των Aboutata et al. (1999) α) Τοµή δοκιµίου, β) τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης.... 271 Σχήµα 8.5.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου SC3... 272 xviii

Σχήµα 8.5.3: Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου α) µε προσοµοίωση των διατµητικών παραµορφώσεων, β) χωρίς προσοµοίωση των διατµητικών παραµορφώσεων, γ) Εικόνα αστοχίας πειραµατικού δοκιµίου SC3.... 275 Σχήµα 8.5.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων στην ακραία διατοµή του δοκιµίου SC3, όπως προέκυψαν από το αναλυτικό µοντέλο.... 275 Σχήµα 8.5.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ στο άκρο του πειραµατικού δοκιµίου, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ στο µέσο του πειραµατικού δοκιµίου SC3.... 276 Σχήµα 8.5.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου... 277 Σχήµα 8.5.7: Αναλυτική σχέση ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του δοκιµίου SC3 όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο... 277 Σχήµα 8.5.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων για το πειραµατικό δοκίµιο SC3.... 278 Σχήµα 8.5.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου SC3, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο... 278 Σχήµα 8.5.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου SC3.... 279 Σχήµα 8.5.11: Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης Park- Ang για το πειραµατικό δοκίµιο SC3... 279 Σχήµα 8.6.1: Πειραµατικό δοκίµιο R5 των Ma et al. (1976) α) Τοµή δοκιµίου, β) Τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης... 281 Σχήµα 8.6.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου R5... 282 Σχήµα 8.6.3: α) Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου, β) Εικόνα αστοχίας πειραµατικού δοκιµίου R5... 283 Σχήµα 8.6.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων α) Στην ακραία διατοµή του δοκιµίου R5 από το αναλυτικό µοντέλο, β) Στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή.... 284 Σχήµα 8.6.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, ε) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο R5... 286 Σχήµα 8.6.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου R5.... 288 Σχήµα 8.6.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου R5, όπως προέκυψαν από το αναλυτικό µοντέλο.... 288 Σχήµα 8.6.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής λόγω α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης για το δοκίµιο R5... 289 Σχήµα 8.6.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµόρφωσης στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου R5, όπως α) µετρήθηκε πειραµατικά, β) προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο... 290 Σχήµα 8.6.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου R5.... 290 Σχήµα 8.6.11: α) Σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο R5.... 291 Σχήµα 8.7.1: Πειραµατικό δοκίµιο HS2 των Ranzo & Priestley (2001) α) Τοµή δοκιµίου, β) Τυπική διατοµή, γ) Φωτογραφία όπλισης δοκιµίου, δ) Εικόνα δοκιµίου πριν την έναρξη της επιβαλλόµενης φόρτισης ε) Ιστορικό φόρτισης.... 294 xix

Σχήµα 8.7.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου HS2.... 295 Σχήµα 8.7.3: α) Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου, β) Εικόνα αστοχίας πειραµατικού δοκιµίου HS2.... 296 Σχήµα 8.7.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων α) Στην ακραία διατοµή του δοκιµίου HS2 από το αναλυτικό µοντέλο, β) Στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή.... 297 Σχήµα 8.7.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, ε) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, στ) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο HS2... 299 Σχήµα 8.7.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου HS2... 300 Σχήµα 8.7.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου HS2, όπως προέκυψαν από το αναλυτικό µοντέλο... 301 Σχήµα 8.7.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης δοκιµίου HS2.... 301 Σχήµα 8.7.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου HS2, όπως, α) καταγράφηκε πειραµατικά, β) προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο.... 302 Σχήµα 8.7.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου HS2... 303 Σχήµα 8.7.11: α) Σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο HS2... 304 Σχήµα 9.1: Εικόνες πειραµατικού πλαισίου Duong et al. (2007): α) Οπλιση και µέρος ξυλοτύπου, β) σκυροδετηµένο πριν από την ανασήκωση του, γ) πλήρης πειραµατική διάταξη.... 307 Σχήµα 9.2: α) Γεωµετρία, β) διάταξη όπλισης, γ) λεπτοµέρειες όπλισης χαρακτηριστικών διατοµών και δ) ιστορικό φόρτισης πλαισίου Duong et al. (2007).... 310 Σχήµα 9.3: α) Υπολογιστικό προσοµοίωµα και αρίθµηση πεπερασµένων στοιχείων, β) κατηγοριοποίηση ακραίων διατοµών µελών πλαισίου Duong et al. (2007).... 312 Σχήµα 9.4: Καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής από τη στατική ανελαστική, επωθητική ανάλυση του πλαισίου Duong et al. (2007) µε τα τέσσερα αναλυτικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα.... 315 Σχήµα 9.5: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική, επωθητική ανάλυση του πλαισίου Duong et al. (2007) µε τα µοντέλα α) F και FB, β) FS και FSB... 316 Σχήµα 9.6: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής πλαισίου Duong et al. (2007) υπό ανακυκλιζόµενη στατική φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα... 317 Σχήµα 9.7: Εικόνες βλάβης πλαισίου Duong et al. (2007), α) όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο FSB, β) όπως καταγράφηκε από την πειραµατική διαδικασία στο πέρας της φόρτισης στη θετική διεύθυνση, γ) όπως καταγράφηκε από την πειραµατική διαδικασία στο πέρας της φόρτισης στην αρνητική διεύθυνση.... 319 Σχήµα 9.8: α) Σχέση Μ-φ αριστερού άκρου, β) σχέση Μ-φ δεξιού άκρου, γ) σχέση V-γ αριστερού άκρου, δ) Σχέση V-γ ενδιάµεσου τµήµατος, ε) σχέση V-γ δεξιού άκρου δοκού 1ου ορόφου πλαισίου Duong et al. (2007).... 320 Σχήµα 9.9: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής υπό ανακυκλιζόµενη στατική φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων από τα αναλυτικά προσοµοίωµατα F, FΒ και FSB του πλαισίου Duong et al. (2007) και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα.. 321 xx

Σχήµα 9.10: Κατανοµή α) καµπτικού, β) διατµητικού, γ) ολισθητικού, δ) συνολικού, τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο των Duong et al. (2007)... 322 Σχήµα 9.11: Κατανοµή συνολικού τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο Duong et al. (2007), α) αγνοώντας την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης, β) όπως προτείνεται από τους Park-Ang (1987)... 323 Σχήµα 9.12: α) Εικόνα πριν την έναρξη της πειραµατικής διαδικασίας, β) όπλιση, γ) γεωµετρία πειραµατικού πλαισίου Elwood & Moehle (2003)... 325 Σχήµα 9.13: Όπλιση τυπικών διατοµών πλαισίου Elwood & Moehle (2003).... 325 Σχήµα 9.14: Καταγεγραµµένη σεισµική διέγερση που εφαρµόστηκε στο πειραµατικό πλαίσιο των Elwood & Moehle (2003): α) Πλήρης καταγραφή, β) Καταγραφή µεταξύ 10sec και 30sec.... 327 Σχήµα 9.15: α) Υπολογιστικό προσοµοίωµα και αρίθµηση πεπερασµένων στοιχείων, β) κατηγοριοποίηση ακραίων διατοµών µελών πλαισίου Elwood & Moehle (2003).... 328 Σχήµα 9.16: Καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου Elwood & Moehle (2003) µε τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα.... 331 Σχήµα 9.17: Εικόνα αστοχίας πλαισίου Elwood & Moehle (2003) µετά το πέρας της πειραµατικής διαδικασίας... 332 Σχήµα 9.18: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου Elwood & Moehle (2003) µε τα µοντέλα α) F και FB, β) FS και FSB.... 333 Σχήµα 9.19: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου Elwood & Moehle (2003) από το µοντέλο FSB α) αν αγνοηθεί η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης, β) αν ληφθεί εξαρχής η ελάχιστη διατµητική αντοχή του µεριδίου σκυροδέµατος... 333 Σχήµα 9.20: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων του FSB µοντέλου της παρούσας διατριβής και των πειραµατικών καταγραφών αναφορικά µε α) την οριζόντια µετακίνηση κορυφής, β) την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003).... 335 Σχήµα 9.21: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων του FSB µοντέλου και των πειραµατικών καταγραφών αναφορικά µε α) τη σχέση τέµνουσας βάσης-µετακίνησης κορυφής, β) τη σχέση τέµνουσας κεντρικού υποστυλώµατος-µετακίνησης κορυφής του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003).... 337 Σχήµα 9.22: Υστερητικές σχέσεις κεντρικού υποστυλώµατος πλαισίου Elwood & Moehle (2003), α) Μ-φ πόδα, β) Μ-φ κεφαλής, γ) Μ-θ slip πόδα, δ) Μ-θ slip κεφαλής, ε) V-γ πόδα, στ) V-γ κεφαλής, ζ) V-γ ενδιάµεσου τµήµατος.... 338 Σχήµα 9.23: Υστερητικές σχέσεις αριστερού ακραίου υποστυλώµατος πλαισίου Elwood & Moehle (2003), α) Μ-φ πόδα, β) Μ-φ κεφαλής, γ) Μ-θ slip πόδα, δ) Μ-θ slip κεφαλής, ε) V-γ πόδα, στ) V-γ κεφαλής, ζ) V-γ ενδιάµεσου τµήµατος... 339 Σχήµα 9.24: Κατάσταση βλάβης πλαισίου Elwood & Moehle (2003) α) από ανάλυση για t=16.7sec, β) από ανάλυση για t=24.9sec, γ) από ανάλυση για t=28.5sec, δ) κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος από πείραµα για t=16.7sec, ε) κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος από πείραµα για t=24.9sec, στ) κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος από πείραµα για t=29.8sec.... 341 Σχήµα 9.25: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων µοντέλου F και πειραµατικής καταγραφής α) για τη µετακίνηση κορυφής, β) για την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003)... 342 Σχήµα 9.26: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων µοντέλου FB και πειραµατικής καταγραφής α) για τη µετακίνηση κορυφής, β) για την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003).... 343 Σχήµα 9.27: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων µοντέλου FS και πειραµατικής καταγραφής α) για τη µετακίνηση κορυφής, β) για την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003).... 344 Σχήµα 9.28: Κατανοµή α) καµπτικού, β) διατµητικού, γ) ολισθητικού, δ) συνολικού, τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο των Elwood & Moehle (2003) από το FSB αναλυτικό µοντέλο.... 346 xxi

Σχήµα 9.29: Κατανοµή α) συνολικού δείκτη βλάβης β) διατµητικού δείκτη βλάβης, αγνοώντας την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης, γ) του δείκτη βλάβης Park-Ang στο πειραµατικό πλαίσιο των Elwood & Moehle (2003).... 347 Σχήµα 9.30: α) Εικόνα πλαισιακής κατασκευής υπό κλίµακα στη σεισµική τράπεζα, β) γενική κάτοψη, γ) τοµή Α-Α εξεταζόµενου πλαισίου της πειραµατικής κατασκευής των El-Attar et al. (1991).... 350 Σχήµα 9.31: α) Σχέση τάσης-παραµόρφωσης σκυροδέµατος πραγµατικής και υπό κλίµακα κατασκευής, β) σχέση τάσης-παραµόρφωσης χάλυβα οπλισµού πραγµατικής και υπό κλίµακα κατασκευής των El-Attar et al. (1991)... 350 Σχήµα 9.32: α) Όπλιση τυπικού κόµβου πρωτότυπης κατασκευής, β) τυπική διατοµή υποστυλώµατος πρωτότυπης και (υπό κλίµακα) κατασκευής, γ) τυπική διατοµή δοκού πρωτότυπης και (υπό κλίµακα) κατασκευής των El-Attar et al. (1991).... 352 Σχήµα 9.33: Φάσµα επιταχύνσεων σεισµικής διέγερσης Taft S69E 1952 πριν και µετά τη σύµπτυξη στο πεδίο του χρόνου για το πειραµατικό δοκίµιο των El-Attar et al. (1991)... 353 Σχήµα 9.34: α) Υπολογιστικό προσοµοίωµα και αρίθµηση πεπερασµένων στοιχείων, β) κατηγοριοποίηση ακραίων διατοµών µελών πλαισίου El-Attar et al. (1991).... 354 Σχήµα 9.35: Καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου El-Attar et al. (1991) µε τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα... 357 Σχήµα 9.36: Καµπύλες τέµνουσας δύναµης σχετικής µετακίνησης του 2 ου ορόφου από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου El-Attar et al. (1991) µε τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα.... 357 Σχήµα 9.37: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου El-Attar et al. (1991) µε τα µοντέλα α) FSB και FB, β) F και FS... 359 Σχήµα 9.38: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου από τη δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.45g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά... 360 Σχήµα 9.39: Σχέση τέµνουσας δύναµης σχετικής µετακίνησης του 2 ου ορόφου από τη δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.45g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά.... 360 Σχήµα 9.40: Σχέση Μ-φ στο αριστερό άκρο της δοκού του 1ου ορόφου από την ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.45g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB.... 361 Σχήµα 9.41: Σχέση Μ-θ slip στο αριστερό άκρο της δοκού του 1ου ορόφου από την ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.45g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB.... 362 Σχήµα 9.42: Εικόνα αστοχίας από τη δυναµική, ανελαστική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) από το αναλυτικό µοντέλο FSB για επιτάχυνση βάσης 0.45g... 362 Σχήµα 9.43: Χρονοϊστορία τέµνουσας βάσης του πλαισίου El-Attar et al. (1991) από το αναλυτικό µοντέλο FSB για επιτάχυνση βάσης 0.36g και σύγκριση µε την πειραµατική συµπεριφορά.... 363 Σχήµα 9.44: Χρονοϊστορία µετακίνησης 1 ου ορόφου του πλαισίου El-Attar et al. (1991) από το αναλυτικό µοντέλο FSB για επιτάχυνση βάσης 0.36g και σύγκριση µε την πειραµατική συµπεριφορά... 364 Σχήµα 9.45: Χρονοϊστορία συνολικής µετακίνησης 2 ου ορόφου πλαισίου El-Attar et al. (1991) από το αναλυτικό µοντέλο FSB για επιτάχυνση βάσης 0.36g και σύγκριση µε την πειραµατική συµπεριφορά.... 364 Σχήµα 9.46: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου από τη δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.36g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά... 365 xxii

Σχήµα 9.47: Σχέση τέµνουσας δύναµης σχετικής µετακίνησης του 2 ου ορόφου από τη δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.36g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά.... 365 Σχήµα 9.48: Χρονοϊστορία µετακίνησης 1 ου ορόφου του πλαισίου El-Attar et al. (1991) από το αναλυτικό µοντέλο FS για επιτάχυνση βάσης 0.36g και σύγκριση µε την πειραµατική συµπεριφορά... 366 Σχήµα 9.49: Χρονοϊστορία συνολικής µετακίνησης 2 ου ορόφου πλαισίου El-Attar et al. (1991) από το αναλυτικό µοντέλο FS για επιτάχυνση βάσης 0.36g και σύγκριση µε την πειραµατική συµπεριφορά... 366 Σχήµα 9.50: Κατανοµή α) καµπτικού, β) διατµητικού, γ) ολισθητικού, δ) συνολικού, τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο των El-Attar et al. (1991) από το FSB αναλυτικό µοντέλο για τη σεισµική διέγερση µε επιτάχυνση βάσης 0.45g.... 368 Σχήµα 9.51: Κατανοµή δείκτη βλάβης Park-Ang στο πλαίσιο των El-Attar et al. (1991) από το FSB αναλυτικό µοντέλο για τη σεισµική διέγερση µε επιτάχυνση βάσης 0.45g.... 369 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 3.1: Μεταβλητές Β.Μ.Υ.Σ.... 73 Πίνακας 3.2: Υπολογισµός σηµείων ελέγχου Β.Μ.Υ.Σ. (βλ. Σχ. 3.8)... 74 Πίνακας 3.3: Ακραία σηµεία κλάδων Β.Μ.Υ.Σ.... 76 Πίνακας 3.4: Κανόνες µετάβασης µεταξύ των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ... 77 Πίνακας 3.5: Χαρακτηριστικές τιµές των παραµέτρων αποµείωσης και επιρροή τους στο Β.Μ.Υ.Σ. (Sivaselvan & Reinhorn 1999)... 84 Πίνακας 3.6: Βασικές υπορουτίνες για την υπολογιστική υλοποίηση του Β.Μ.Υ.Σ.... 85 Πίνακας 3.7: Νέα ακραία σηµεία κλάδων καµπτικού υστερητικού µοντέλου... 90 Πίνακας 4.1: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων από τα οποία είναι δυνατός ο προσδιορισµός της γ yw από την πειραµατική περιβάλλουσα V-γ.... 104 Πίνακας 4.2: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων από τα οποία είναι δυνατός ο έµµεσος προσδιορισµός της γ yw... 105 Πίνακας 4.3: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων για τον ηµιεµπειρικό προσδιορισµό της γ yw... 106 Πίνακας 4.4: εδοµένα πρόσθετων πειραµατικών δοκιµίων που χρησιµοποιήθηκαν για τον εµπειρικό προσδιορισµό της γ u.... 110 Πίνακας 4.5: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων για τον εµπειρικό προσδιορισµό της γu.... 111 Πίνακας 5.1: Τιµές παραµέτρων καταστατικού νόµου τοπικής συνάφειας-ολίσθησης για νευροχάλυβες από τον CEB (1993) Model Code... 134 Πίνακας 5.2: Τιµές παραµέτρων καταστατικού νόµου τοπικής συνάφειας-ολίσθησης για λείες ράβδους από τον CEB (1993) Model Code... 136 Πίνακας 5.3: Τιµές παραµέτρων καταστατικού νόµου φορτίου ολίσθησης αγκίστρων 180 ο από τους Fabbrocino et al. (2004)... 148 Πίνακας 6.1: Προσδιορισµός παραµέτρων των συντελεστών του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας του καµπτικού υποστοιχείου... 194 Πίνακας 6.2: Προσδιορισµός συντελεστών του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου... 202 Πίνακας 9.1: Βασικά δεδοµένα όπλισης χαρακτηριστικών διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007).... 310 Πίνακας 9.2: Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα ανά κατηγορία διατοµής των ράβδων όπλισης... 310 Πίνακας 9.3: Χαρακτηριστικά σηµεία καµπτικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007)... 312 xxiii

Πίνακας 9.4: Χαρακτηριστικά σηµεία αρχικής διατµητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007).... 312 Πίνακας 9.5: Χαρακτηριστικά σηµεία ολισθητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007)... 313 Πίνακας 9.6: Ιδιοπερίοδος πλαισίου Duong et al. (2007) για τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα προσοµοίωσης... 313 Πίνακας 9.7: Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα ανά περιοχή όπλισης πλαισίου Elwood & Moehle (2003)... 326 Πίνακας 9.8: Χαρακτηριστικά σηµεία καµπτικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Elwood & Moehle (2003)... 329 Πίνακας 9.9: Χαρακτηριστικά σηµεία αρχικής διατµητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Elwood & Moehle (2003).... 329 Πίνακας 9.10: Χαρακτηριστικά σηµεία ολισθητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου (Elwood & Moehle 2003)... 329 Πίνακας 9.11: Ιδιοπερίοδος πλαισίου Elwood & Moehle (2003) από τα τέσσερα µοντέλα προσοµοίωσης... 330 Πίνακας 9.12: Χαρακτηριστικά σηµεία καµπτικής περιβάλλουσας για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου El-Attar et al. (1991).... 354 Πίνακας 9.13: Χαρακτηριστικά σηµεία αρχικής διατµητικής περιβάλλουσας για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου El-Attar et al. (1991).... 355 Πίνακας 9.14: Χαρακτηριστικά σηµεία ολισθητικής περιβάλλουσας για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου El-Attar et al. (1991).... 355 Πίνακας 9.15: Ιδιοπερίοδος πλαισίου El-Attar et al. (1991) από τα τέσσερα µοντέλα προσοµοίωσης... 356 xxiv

Περίληψη Αντικείµενο της παρούσας διατριβής είναι η προσοµοίωση της σεισµικής απόκρισης υφιστάµενων κατασκευών από Ο/Σ. Κίνητρο για τη συγκεκριµένη έρευνα αποτέλεσε η εµπειρία από προγενέστερους σεισµούς, όπου κατασκευές που µελετήθηκαν µε παλαιότερους κανονισµούς ή σχεδιάστηκαν και κατασκευάστηκαν πληµµελώς είτε κατέρρευσαν, είτε υπέστησαν ανεπανόρθωτες βλάβες και έπρεπε να κατεδαφιστούν, είτε κρίθηκε αναγκαία η αντισεισµική τους ενίσχυση. Το πρόβληµα της προσοµοίωσης της ανελαστικής συµπεριφοράς των κατασκευών από Ο/Σ είναι πολύπλοκο και απαιτεί τον συγκερασµό γνώσεων από διαφορετικά πεδία της επιστήµης. Ο βαθµός πολυπλοκότητας γίνεται ακόµη µεγαλύτερος στην περίπτωση των κατασκευών που δεν έχουν σχεδιαστεί για να συµπεριφερθούν µε τον τρόπο που υπαγορεύουν οι σύγχρονοι αντισεισµικοί κανονισµοί. Η έλλειψη ικανοτικού σχεδιασµού και η απουσία των απαιτούµενων κατασκευαστικών διατάξεων εγείρουν την υποχρέωση να εξεταστούν (αυτοτελώς αλλά και σε συνδυασµό) εκτός από την κάµψη και οι άλλοι δύο βασικοί µηχανισµοί παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων Ο/Σ, που είναι η διάτµηση και η ολίσθηση της αγκύρωσης. Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσεται ένα πεπερασµένο στοιχείο για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς γραµµικών δοµικών µελών Ο/Σ υπό µονότονη και ανακυκλιζόµενη ένταση. Το πεπερασµένο στοιχείο βασίζεται στη µέθοδο της ευκαµψίας και συντίθεται από τρία επιµέρους υποστοιχεία που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά και προσδιορίζουν αντίστοιχα την απόκριση του µέλους σε κάµψη, διάτµηση και ολίσθηση της αγκύρωσης. Το καµπτικό υποστοιχείο προσοµοιώνει την καµπτική συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου πριν και µετά τη διαρροή των άκρων του και είναι σε θέση να προσοµοιώσει τη σταδιακή εξάπλωση της καµπτικής διαρροής από το άκρα προς το εσωτερικό του δοµικού µέλους ακόµη και στην περίπτωση που το διάγραµµα των καµπτικών ροπών είναι µη-γραµµικό από την ύπαρξη κατανεµηµένων φορτίων στο εσωτερικό του µέλους. Το διατµητικό υποστοιχείο προσοµοιώνει τη διατµητική υστερητική συµπεριφορά του δοµικού µέλους πριν και µετά τη διατµητική ρηγµάτωση, την καµπτική διαρροή και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Με κατάλληλη διαδικασία διπλής αλληλεπίδρασής του µε το καµπτικό υποστοιχείο, που προτείνεται για πρώτη φορά στην παρούσα διατριβή, επιτυγχάνεται η ορθή προσοµοίωση αφενός της αύξησης των διατµητικών παραµορφώσεων στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων και αφετέρου της σταδιακής εξάπλωσης αυτών των παραµορφώσεων από τα άκρα προς το εσωτερικό του δοµικού µέλους. Ειδική µέριµνα λαµβάνεται επίσης για πρώτη φορά στην παρούσα έρευνα για τη µεταβολή της κατανοµής της δυστµησίας κατά τη διάρκεια της σεισµικής απόκρισης και στην περίπτωση που η δρώσα τέµνουσα µεταβάλλεται κατά µήκος του στοιχείου από την ύπαρξη κατανεµηµένων φορτίων. Το ολισθητικό υποστοιχείο προσοµοιώνει την ανάπτυξη των τοπικών στροφών που αναπτύσσονται στα άκρα των δοµικών στοιχείων από τη διείσδυση της διαρροής και την ολίσθηση της αγκύρωσης του οπλισµού στους γειτονικούς κόµβους. Καλύπτονται οι περιπτώσεις των ευθύγραµµων αγκυρώσεων, των αγκυρώσεων µε άγκιστρα και των αγκυρώσεων σε ενδιάµεσους κόµβους σε καλές και κακές συνθήκες συνάφειας µε λείες ράβδους και νευροχάλυβες. Ο τρόπος διαµόρφωσης του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου επιβάλλει την ανάπτυξη πρόσθετων τροποποιήσεων-βελτιώσεων στους αλγόριθµους µη-γραµµικής xxv

στατικής και δυναµικής ανάλυσης των κατασκευών. Πιο συγκεκριµένα, για την αντιµετώπιση των διαφορετικών δυνάµεων εκτός ισορροπίας που είναι δυνατόν να αναπτυχθούν στα επιµέρους υποστοιχεία του προτεινόµενου µοντέλου υιοθετείται η µέθοδος των διαδοχικών συµβάντων, η οποία επεκτείνεται στην παρούσα διατριβή, ώστε να καλύπτει και την περίπτωση των υποστοιχείων που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά, αλλά και των υποστοιχείων που προσοµοιώνουν τη σταδιακή εξάπλωση της σεισµικής βλάβης, όπως είναι το προτεινόµενο καµπτικό και διατµητικό υποστοιχείο. Επιπρόσθετα, σύµφωνα µε τη µεθοδολογία αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης που προτείνεται στην παρούσα διατριβή, η τρέχουσα εφαπτοµενική δυστµησία των ανελαστικών ζωνών του διατµητικού υποστοιχείου προκύπτει ως συνάρτηση της τρέχουσας προσαύξησης της διατµητικής δύναµης στο ίδιο υποστοιχείο. Για τον λόγο αυτόν προτείνεται η ανάπτυξη µιας επαναληπτικής διαδικασίας που εφαρµόζεται εντός του τρέχοντος βήµατος της ανελαστικής ανάλυσης, όταν αυτό απαιτείται, και συγκλίνει, όταν η προκύπτουσα τιµή της τρέχουσας εφαπτοµενικής δυστµησίας της ανελαστικής ζώνης είναι συµβατή µε την προσαύξηση της τέµνουσας δύναµης στο υποστοιχείο. Το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο ενσωµατώνεται στο γενικό πρόγραµµα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών IDARC που αναπτύχθηκε στο Πολιτειακό Πανεπιστήµιο της Νέας Υόρκης στο Buffalo. Με τον τρόπο αυτόν καθίσταται εφικτή η εφαρµογή του στην αποτίµηση της ανελαστικής συµπεριφοράς σύνθετων κατασκευών Ο/Σ µε ανεπαρκή κατασκευαστική διαµόρφωση. Η βαθµονόµηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου υλοποιείται µε τον έλεγχο της ανελαστικής συµπεριφοράς έξι πειραµατικών δοκιµίων υποστυλωµάτων και τριών πειραµατικών δοκιµίων πλαισιακών φορέων Ο/Σ. Τα πειραµατικά δοκίµια προέρχονται από διαφορετικές ερευνητικές οµάδες, γεγονός που συµβάλλει στην αντικειµενικότητα της διαδικασίας τεκµηρίωσης του αναλυτικού µοντέλου. Σε κάθε περίπτωση διαπιστώνεται ικανοποιητική σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Οι προβλέψεις του προτεινόµενου µοντέλου βρίσκονται σε πολύ καλή συµφωνία µε τις πειραµατικές καταγραφές τόσο σε όρους δυσκαµψίας και αντοχής όσο και σε όρους µετακινήσεων. Επιπλέον, προβλέπεται µε αξιοπιστία ο µηχανισµός αστοχίας των πειραµατικών δοκιµίων. Οποιαδήποτε συστηµατική προσπάθεια αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών Ο/Σ θα πρέπει να συνοδεύεται από µια κατάλληλη µεθοδολογία ποσοτικοποίησης της δοµικής βλάβης. Το πρόβληµα της ορθής ποσοτικοποίησης της σεισµικής βλάβης είναι πιο σύνθετο στα δοµικά στοιχεία µε ανεπαρκή κατασκευαστική διαµόρφωση, όπου δεν είναι δυνατόν να αποκλειστεί η ανάπτυξη σηµαντικής βλάβης από διάτµηση ή ολίσθηση της αγκύρωσης. Στη διατριβή προτείνεται για πρώτη φορά ένας τοπικός δείκτης βλάβης στον οποίο οι βλάβες από καµπτική, διατµητική και ολισθητική παραµόρφωση λαµβάνονται υπόψη µε διακριτό τρόπο. Την ίδια στιγµή, ο προτεινόµενος δείκτης βλάβης είναι ικανός να προσοµοιώσει µε επάρκεια τον αθροιστικό χαρακτήρα που έχουν οι επιµέρους συνιστώσες της σεισµικής βλάβης αλλά και τις πρόσθετες βλάβες που προκαλούνται από την αλληλεπίδραση µεταξύ των επιµέρους µηχανισµών παραµόρφωσης (κάµψη-διάτµηση). Ο δείκτης σεισµικής βλάβης εφαρµόζεται σε συνδυασµό µε το προτεινόµενο στοιχείο δοκού - υποστυλώµατος της παρούσας διατριβής στη µελέτη της σεισµικής συµπεριφοράς του συνόλου των προαναφερθέντων πειραµατικών δοκιµίων. ιαπιστώνεται ότι σε κάθε περίπτωση και ανεξάρτητα από την επικρατούσα µορφή αστοχίας αποδίδεται µε επάρκεια και σαφήνεια η πραγµατική εικόνα βλάβης του εξεταζόµενου πειραµατικού δοκιµίου. xxvi

Summary The goal of this study is to investigate the seismic response of existing RC structures. This research is motivated by the experience from previous strong earthquakes, where structures which were designed and constructed in accordance with standards that do not meet current seismic code requirements either collapsed, or suffered irreparable damage and had to be demolished, or they had to be retrofitted in order to become functional. The problem of modeling inelastic behaviour of RC structures is multiparametric and requires knowledge from different scientific areas. The level of complicacy increases in the case of structures with non-ductile detailing. The lack of capacity design principles and the absence of necessary structural detailing raise the obligation for the two others, apart from flexure, deformation mechanisms, which are shear and anchorage bond-slip, to be examined individually and in combination. In this thesis, a new 2D beam-column type finite element model is developed for the seismic analysis of RC structures. The finite element is formulated on the basis of flexibility method. It consists of three subelements which are connected in series and represent hysteretic flexural, shear and anchorage bond-slip response respectively. The flexural subelement is used for modelling the flexural response of the RC member in seismic loading before and after yielding of longitudinal reinforcement. It is able to capture variation of section flexibility along the member and gradual spread of inelastic deformations even when the bending moment diagram is nonlinear due to the existence of distributed loading. The shear subelement represents hysteretic shear behaviour of the RC member prior and subsequent to shear cracking, flexural yielding and yielding of the transverse reinforcement. Following a dual coupling procedure with the flexural subelement, proposed for first time in this thesis, the subelement is capable of modelling accession of shear deformations in the plastic hinge regions of RC beam-column elements as well as their propagation to the midspan. In addition, by adopting a new shear spread plasticity model, the proposed subelement accounts for shear flexibility variation along the member due to variation of the shear force caused by gravity loading. The bond-slip subelement accounts for the fixed-end rotations which arise at the interfaces of adjacent RC members due to bond deterioration and slippage of the reinforcement in the joint regions. Smooth and deformed, straight or hooked, bars anchored in exterior or interior joints in good or poor bond conditions are all considered in this study. The formulation of the proposed finite element model requires the development of additional modifications-improvements to the existing solution algorithms for nonlinear static and dynamic analysis of structures. To deal with the potential different unbalanced forces which may arise at the ends of the subelements, the event to event solution strategy is adopted in this research improved in order to be compatible with the gradual spread plasticity subelements which are connected in series. Furthermore, a new iterative solution scheme is applied during each time step of the nonlinear analysis, when required, which converges when the current tangent shear stiffness of the inelastic regions of the RC member, determined by the shear-flexure interaction procedure proposed in this study, are compatible with the shear force increment applied on the element. xxvii

The proposed finite element is implemented in the general nonlinear finite element code for seismic damage analysis of RC structures, IDARC, developed at the State University of New York at Buffalo. This implementation permits the application of the proposed analytical model on the seismic damage assessment of complex RC structures with substandard detailing. The derived numerical model is calibrated against experimental data coming from six experimental column specimens and three experimental plane frame structures. In all cases, satisfactory correlation is established between the model predictions and the experimental evidence. The analytical results are in accordance with the experimental values in terms of stiffness, strength and displacement demands. The failure mechanism is predicted accurately for all experimental specimens. Every systematic attempt to assess seismic response of RC structures should be accompanied by an appropriate methodology for the quantification of structural damage. The problem of rational quantification of seismic damage becomes more complicated in the case of structural elements with non-ductile detailing because serious damage due to shear related mechanisms and bond deteriorations cannot be precluded. In this thesis, an innovative local seismic damage index is proposed where for the first time flexural, shear and bond-slip damage are treated individually. At the same time, the proposed damage index is able to take into consideration the additive character of damage arising from the three deformation mechanisms as well as the increase of damage caused by their interaction. The seismic damage index is applied in conjunction with the developed finite element model of this study in order to predict the damage condition of the aforementioned experimental column and frame specimens. It is concluded that in any case and independently from the prevailing mode of failure, the proposed damage index describes well the damage state of the specimens. xxviii

Κεφάλαιο 1 ο 1 Εισαγωγή

1. Εισαγωγή 1.1 Θέση του Προβλήµατος Η εµπειρία από καταστρεπτικούς σεισµούς του πρόσφατου παρελθόντος έχει δείξει ότι οι κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος που εναρµονίζονται µε τις απαιτήσεις των σύγχρονων αντισεισµικών κανονισµών επιδεικνύουν κατά κανόνα ικανοποιητική συµπεριφορά, διασφαλίζοντας την προστασία, πρωτίστως, της ανθρώπινης ζωής. Παρόλο που, ακόµη και σήµερα, οι µέθοδοι ανάλυσης που εφαρµόζονται στον σχεδιασµό των νέων κατασκευών δεν αποτυπώνουν µε ακρίβεια την πραγµατική απόκρισή τους σε σεισµό, οι πρόσθετες δικλείδες ασφαλείας που υιοθετούνται από τα σύγχρονα κανονιστικά κείµενα, όπως είναι ο ικανοτικός σχεδιασµός και οι κανόνες κατασκευαστικής διαµόρφωσης, διασφαλίζουν την αξιόπιστη συµπεριφορά τους. Στον αντίποδα των παραπάνω, βρίσκονται οι κατασκευές που δεν πληρούν τις σύγχρονες αντισεισµικές προδιαγραφές, κατασκευές που είτε σχεδιάστηκαν και κατασκευάστηκαν πληµµελώς, είτε µελετήθηκαν µε βάση παλαιότερους κανονισµούς. Η εµπειρία σε αυτήν την περίπτωση από προγενέστερους σεισµούς είναι ενίοτε αποτρόπαια και αποκαρδιωτική. Κάποιες από αυτές τις κατασκευές κατέρρευσαν, κάποιες άλλες υπέστησαν ανεπανόρθωτες βλάβες και έπρεπε να καθαιρεθούν, ενώ πολλές είναι και οι περιπτώσεις όπου διαπιστώθηκαν εκτενείς βλάβες και κρίθηκε αναγκαία η µετασεισµική τους ενίσχυση. Είναι σαφές ότι το οικονοµικό κόστος που προκύπτει σε αυτές τις περιπτώσεις για το κοινωνικό σύνολο είναι δυσβάσταχτο. Ακόµη και αυτό, ωστόσο, µοιάζει αµελητέο, όταν διακυβεύεται το πολυτιµότερο αγαθό που είναι η ανθρώπινη ζωή. Προκύπτει αυτόµατα, λοιπόν, η ανάγκη να εξεταστεί το κατά πόσο οι µη-επαρκείς, µε βάση τα σύγχρονα δεδοµένα, κατασκευές είναι δυνατόν είτε να αναβαθµιστούν, ώστε να πληρούν τις πρόσθετες απαιτήσεις των σηµερινών κανονισµών, είτε να αντικατασταθούν από νέες. Εάν ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι µε βάση τις σύγχρονες αντισεισµικές αντιλήψεις, ως ανεπαρκή θα µπορούσαν να χαρακτηριστούν στη χώρα µας το σύνολο σχεδόν των κτιρίων που έχουν κατασκευαστεί προ του 1985, που αντιστοιχεί στο 80% περίπου του δοµηµένου περιβάλλοντος (αντίστοιχα ποσοστά ισχύουν και σε άλλες περιοχές υψηλής σεισµικής διακινδύνευσης), είναι προφανές ότι η λύση της αντικατάστασής τους αλλά και της πλήρους αναβάθµισής τους είναι ανέφικτη τόσο λειτουργικά όσο και οικονοµικά. Μπροστά σε αυτό το αδιέξοδο που θα µπορούσε να οδηγήσει την κοινωνία στην πλήρη αδράνεια και τη µοιρολατρία, µοναδική λύση φαίνεται να είναι η θεσµοθέτηση προτεραιοτήτων αντισεισµικής ενίσχυσης που να συνεκτιµά την σπουδαιότητα της κάθε υφιστάµενης κατασκευής, αλλά και την τρωτότητά της σε σεισµό. Σε αυτό ακριβώς το σηµείο υπεισέρχεται η αναγκαιότητα της αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφοράς των κατασκευών που δε συµµορφώνονται µε τις σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις. Αποτίµησης που θα προσδιορίζει µε αξιοπιστία τα πραγµατικά περιθώρια ασφάλειας µιας κατασκευής έναντι συγκεκριµένης σεισµικής διέγερσης και θα εντοπίζει τις ενδεχόµενες αδυναµίες της, ώστε αυτές να αποκατασταθούν και η κατασκευή να αναβαθµιστεί µε το ελάχιστο δυνατό κόστος. -2-

1. Εισαγωγή Η συντριπτική πλειονότητα των υπαρχουσών κατασκευών (νέων και παλαιών) που θα υποβληθούν σε ισχυρή σεισµική διέγερση αναµένεται να αναπτύξει κάποιου είδους ανελαστική συµπεριφορά. Συνεπώς, κάθε προσπάθεια ρεαλιστικής αποτίµησης τους που θα λαµβάνει υπόψη ακριβώς αυτήν τη µη-γραµµική απόκριση και µάλιστα σε συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης θα οδηγεί σε ιδιαίτερα χρήσιµα συµπεράσµατα αναφορικά µε την τρωτότητα της σε σεισµό. Το πρόβληµα της αποτίµησης της ανελαστικής συµπεριφοράς κατασκευών σκυροδέµατος είναι από ερευνητική άποψη πολύπλοκο, µη-γραµµικό, πολυπαραµετρικό και απαιτεί τον συγκερασµό γνώσεων από διαφορετικά ερευνητικά πεδία της επιστήµης, όπως είναι η Αντισεισµική Μηχανική, η Αντοχή των Υλικών, η Στατική και υναµική των Κατασκευών, η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων και φυσικά η Θεωρία του Οπλισµένου Σκυροδέµατος. Η δυσκολία αυτού του προβλήµατος αυξάνει ραγδαία στην περίπτωση των κατασκευών που δεν έχουν σχεδιαστεί για να συµπεριφερθούν µε τον τρόπο που υπαγορεύουν τα σύγχρονα αντισεισµικά κανονιστικά κείµενα. Η έλλειψη ικανοτικού σχεδιασµού και η απουσία των κατασκευαστικών διατάξεων που προαναφέρθηκαν εγείρουν την υποχρέωση να εξεταστούν (αυτοτελώς αλλά και σε συνδυασµό) εκτός από την κάµψη και οι άλλοι δύο βασικοί µηχανισµοί παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος, που είναι η διάτµηση και η ολίσθηση της αγκύρωσης. Απλοποιητικές παραδοχές αναφορικά µε αυτούς τους δύο µηχανισµούς είναι δυνατόν να οδηγήσουν στην καλή περίπτωση σε υπέρ το δέον συντηρητικά αποτελέσµατα της αποτίµησης και στην 'κακή' περίπτωση σε επικίνδυνα συµπεράσµατα λόγω του συνεπακόλουθου ψαθυρού τρόπου αστοχίας. Βασικό κίνητρο για την εκπόνηση της παρούσας διατριβής αποτέλεσε ακριβώς αυτή η ανάγκη να εξεταστεί σε βάθος η ανελαστική συµπεριφορά υφιστάµενων κατασκευών Ο/Σ που δεν έχουν σχεδιαστεί µε βάση τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς. 1.2 Στόχοι της ιατριβής Κύριος στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη ενός αναλυτικού µοντέλου που θα αποδίδει µε αξιοπιστία την ελαστική και ανελαστική απόκριση σε σεισµική διέγερση υφιστάµενων κατασκευών οπλισµένου σκυροδέµατος οι οποίες δεν έχουν σχεδιαστεί µε βάση τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς. Στο πλαίσιο του παραπάνω στόχου, διαµορφώνεται αρχικά ένα νέο πεπερασµένο στοιχείο δοκού-υποστυλώµατος το οποίο επιδιώκεται να προβλέπει µε επάρκεια την ανελαστική συµπεριφορά δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος που υποβάλλονται σε ανακυκλιζόµενη ένταση. Έµφαση δίνεται στην προσοµοίωση της ανελαστικής υστερητικής συµπεριφοράς σε διάτµηση και ολίσθηση της αγκύρωσης, που αφενός είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη στην σεισµική αποτίµηση των κατασκευών µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση και αφετέρου η µελέτη τους είναι σχετικώς περιορισµένη σε σχέση µε τους καµπτικούς µηχανισµούς. Η βασική στρατηγική που ακολουθείται στη µόρφωση του πεπερασµένου στοιχείου της παρούσας διατριβής είναι η διάσπαση της συµπεριφοράς των δοµικών µελών οπλισµένου σκυροδέµατος σε τρεις διακριτές συνιστώσες (κάµψη, διάτµηση και -3-

1. Εισαγωγή ολίσθηση της αγκύρωσης) και η µετέπειτα σύνθεσή τους, αφού πρώτα ληφθούν υπόψη και οι µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. Με τον τρόπο αυτόν πιστεύεται ότι επιτυγχάνεται αφενός η βέλτιστη δυνατή προσοµοίωση της σεισµικής συµπεριφοράς των δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος (παλαιών και νέων) σε όρους δύναµης-µετακίνησης και αφετέρου εξασφαλίζεται η πρόβλεψη όλων των δυνατών µορφών αστοχίας, στην γενική µάλιστα περίπτωση όπου η µορφή των διαγραµµάτων των εντατικών µεγεθών δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Ιδιαίτερη µέριµνα στο προτεινόµενο στοιχείο δοκού-υποστυλώµατος λαµβάνεται και στην ορθή προσοµοίωση του προοδευτικού χαρακτήρα της εξάπλωσης της σεισµικής βλάβης στα άκρα των στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος που εκφράζει καλύτερα το φυσικό φαινόµενο. Το προτεινόµενο πεπερασµένο στοιχείο ενσωµατώνεται στη συνέχεια σε ένα γενικό πρόγραµµα δυναµικής ανάλυσης των κατασκευών. Με τον τρόπο αυτόν, οι δυνατότητες προσοµοίωσης που διαθέτει αναβαθµίζονται από επίπεδο µέλους σε επίπεδο σύνθετου φορέα οπλισµένου σκυροδέµατος. Το αναλυτικό µοντέλο είναι πλέον σε θέση να εφαρµοστεί σε πραγµατικές κατασκευές και να οδηγήσει σε πολύτιµα συµπεράσµατα αναφορικά µε την αντισεισµική τους επάρκεια. Ταυτόχρονα µε τα παραπάνω, καταβλήθηκε προσπάθεια, ώστε το τελικό µοντέλο να είναι υπολογιστικά (κατά το δυνατόν) απλό, προκειµένου να µην καθίσταται η χρήση του απαγορευτική στην ανάλυση ρεαλιστικών κατασκευών και να µην οδηγεί σε στάθµη ακρίβειας των αποτελεσµάτων που δε συνάδει µε τη στάθµη αξιοπιστίας των δεδοµένων. Το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο σχεδιάζεται κατά βάση ως εργαλείο για την αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων φορέων οπλισµένου σκυροδέµατος µε ανεπαρκή κατασκευαστική διαµόρφωση. Είναι σαφές, όµως, ότι ο τρόπος που έχει διαµορφωθεί του εξασφαλίζει τη δυνατότητα να εφαρµοστεί και στον ανασχεδιασµό των υφιστάµενων κατασκευών ακόµη και στον σχεδιασµό νέων κατασκευών µε ανελαστικές µεθόδους ανάλυσης, όπως πλέον επιτρέπουν οι σύγχρονοι αντισεισµικοί κανονισµοί. Κάθε απόπειρα σεισµικής αποτίµησης µιας κατασκευής οπλισµένου σκυροδέµατος δεν είναι λυσιτελής, εάν δε συνοδεύεται από µια σαφή µεθοδολογία ποσοτικοποίησης της σεισµικής βλάβης. Το βήµα αυτό είναι απαραίτητο για την ποσοτική έκφραση της σεισµικής διακινδύνευσης. Στις κατασκευές µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση το συγκεκριµένο πρόβληµα γίνεται ακόµη πιο σύνθετο, αφού οι βλάβες που προκαλούνται από την τέµνουσα δύναµη και την ολίσθηση της αγκύρωσης δεν είναι αµελητέες, αλλά λειτουργούν αθροιστικά στις βλάβες που προέρχονται από καµπτική παραµόρφωση. Στην παρούσα διατριβή γίνεται µια προσπάθεια συνένωσης όλων των µηχανισµών βλάβης των δοµικών µελών από σκυρόδεµα σε έναν ενιαίο τοπικό δείκτη σεισµικής βλάβης, χωρίς να θυσιάζεται την ίδια στιγµή η γενικότητα του προβλήµατος λόγω της υιοθέτησης απλοποιητικών παραδοχών. Κλείνοντας, πρέπει να ειπωθεί ότι η παρούσα ερευνητική προσπάθεια είναι αναλυτικής κατεύθυνσης. Καλείται, ωστόσο, να αποδώσει µε επάρκεια τη συµπεριφορά δοµικών στοιχείων που συναντιούνται σε πραγµατικές κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος. Για τον λόγο αυτόν, έγινε συστηµατική προσπάθεια για τον εντοπισµό -4-

1. Εισαγωγή και τη συλλογή στοιχείων από αποτελέσµατα πειραµατικών εργασιών για τη βαθµονόµηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου που κρίνεται ως απαραίτητη προϋπόθεση για την υλοποίηση των στόχων της διατριβής. 1.3 ιάρθρωση της ιατριβής Η βασική λογική µε την οποία διαµορφώθηκε η παρούσα διατριβή είναι η εξής: αρχικά περιγράφεται ο τρόπος προσοµοίωσης της υστερητικής σχέσης δύναµης-εργικά ανταποκρινόµενης παραµόρφωσης ξεχωριστά σε κάµψη, διάτµηση και ολίσθηση της αγκύρωσης. Στη συνέχεια εξηγείται ο τρόπος µε τον οποίο αυτές οι επιµέρους υστερητικές συµπεριφορές εντάσσονται σε ένα ενιαίο αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης της ανελαστικής συµπεριφοράς δοµικών µελών οπλισµένου σκυροδέµατος και ποσοτικοποίησης της σεισµικής βλάβης. Στο τέλος παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από την εκτεταµένη βαθµονόµηση του αναλυτικού µοντέλου µε πειραµατικές καταγραφές από δοκιµές σε µεµονωµένα υποστυλώµατα και πλαισιακούς φορείς οπλισµένου σκυροδέµατος που υποβάλλονται σε στατική και δυναµική ανακυκλιζόµενη ένταση. Στη συνέχεια ακολουθεί µια πιο αναλυτική παρουσίαση του περιεχοµένου κάθε κεφαλαίου της διατριβής µε εξαίρεση την παρούσα εισαγωγή και το Κεφάλαιο 10, όπου συνοψίζονται τα τελικά συµπεράσµατα. Το Κεφάλαιο 2, µετά από µια σύντοµη εισαγωγή στους µηχανισµούς παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος, αφιερώνεται στην κριτική επισκόπηση των αναλυτικών µοντέλων δοκού-υποστυλώµατος που έχουν προταθεί µέχρι σήµερα στη διεθνή βιβλιογραφία. Έγινε προσπάθεια ταξινόµησης αυτών των µοντέλων ανάλογα µε τον τρόπο που προσοµοιώνουν τις ανελαστικές παραµορφώσεις από κάµψη, διάτµηση και ολίσθηση της αγκύρωσης. Επιπρόσθετα, παρέχεται µια σύντοµη περιγραφή των επικρατέστερων τοπικών δεικτών δοµικής βλάβης που χρησιµοποιούνται σήµερα στη σεισµική αποτίµηση των κατασκευών. Βασικός στόχος του συγκεκριµένου κεφαλαίου είναι η επισήµανση των αδυναµιών και των κενών που υπάρχουν στη σχετική βιβλιογραφία και οι οποίες αντιµετωπίστηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται παρουσίαση του αναλυτικού µοντέλου που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της ανελαστικής καµπτικής συµπεριφοράς σε όρους ροπών-καµπυλοτήτων, τόσο για µονότονη όσο και για ανακυκλιζόµενη ένταση. Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται και αναλυτική παρουσίαση του βασικού µοντέλου υστερητικής συµπεριφοράς, που αποτελεί την αφετηρία για όλους τους βρόχους υστέρησης, που χρησιµοποιούνται στο προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφεται η µεθοδολογία που υιοθετείται για την προσοµοίωση της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς σε όρους τέµνουσας δύναµης διατµητικής παραµόρφωσης. Αρχικά προσδιορίζεται η σχετική περιβάλλουσα, χωρίς να λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση και προτείνονται νέες εµπειρικές σχέσεις για τον προσδιορισµό των τιµών της διατµητικής παραµόρφωσης στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού και στη διατµητική αστοχία. Στη συνέχεια διατυπώνεται η µεθοδολογία που προτείνεται για την προσοµοίωση της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε -5-

1. Εισαγωγή τη διάτµηση στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων. Η µεθοδολογία αυτή αποτελεί κοµβικό σηµείο της παρούσας διατριβής. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζεται και το αναλυτικό µοντέλο που εφαρµόζεται για την προσοµοίωση των ιδιαιτεροτήτων της διατµητικής υστέρησης. Στο Κεφάλαιο 5 αναπτύσσεται η µεθοδολογία προσοµοίωσης της σχέσης ροπήςστροφής ολίσθησης της αγκύρωσης στα άκρα των δοµικών µελών οπλισµένου σκυροδέµατος. Εξετάζεται η περίπτωση των ευθύγραµµων αγκυρώσεων, των αγκυρώσεων µε άγκιστρα και των αγκυρώσεων σε εσωτερικούς κόµβους. Επιπλέον, γίνεται ειδική πρόβλεψη για τα ανεπαρκή µήκη αγκύρωσης και τις λείες ράβδους που απαντώνται κατεξοχήν στους φορείς οπλισµένου σκυροδέµατος που κατασκευάστηκαν πριν τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζεται η διαµόρφωση του προτεινόµενου πεπερασµένου στοιχείου δοκού-υποστυλώµατος. Το πεπερασµένο στοιχείο συντίθεται από τρία επιµέρους υποστοιχεία, που προσδιορίζουν την καµπτική, τη διατµητική και την ολισθητική συµπεριφορά του δοµικού µέλους. Τα υποστοιχεία είναι συνδεδεµένα µεταξύ τους σε σειρά και βασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι αλληλεπιδρούν. Το συγκεκριµένο µοντέλο είναι το πρώτο που έχει τη δυνατότητα της προσοµοίωσης της προοδευτικής επέκτασης της διατµητικής βλάβης στα στοιχεία οπλισµένου σκυροδέµατος. Επίσης, µε βάση και τη µεθοδολογία του Κεφαλαίου 4, λαµβάνει υπόψη του µε πρωτότυπο τρόπο την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων. Στο τέλος του κεφαλαίου περιγράφονται οι απαραίτητες τροποποιήσεις που απαιτούνται στους αλγόριθµους της ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών προκειµένου να επιτευχθεί η ενσωµάτωση του προτεινόµενου πεπερασµένου στοιχείου σε ένα γενικό πρόγραµµα µη-γραµµικής ανάλυσης φορέων οπλισµένου σκυροδέµατος. Στο Κεφάλαιο 7 αναπτύσσεται ένας νέος, τοπικός, δοµικός δείκτης σεισµικής βλάβης, η εφαρµογή του οποίου προτείνεται για την αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών οπλισµένου σκυροδέµατος, που δεν συµµορφώνονται µε τις σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις. Βασικό πλεονέκτηµα του συγκεκριµένου δείκτη είναι η ικανότητά του να λαµβάνει υπόψη τον αθροιστικό χαρακτήρα της βλάβης που συγκεντρώνεται από την κάµψη, τη διάτµηση και την ολίσθηση της αγκύρωσης στις κρίσιµες περιοχές των µελών οπλισµένου σκυροδέµατος και να προβλέπει ακόµη και τις ψαθυρές µορφές αστοχίας (διάτµηση, ολίσθηση της αγκύρωσης) που δεν είναι δυνατόν να αποκλειστούν εκ των προτέρων στα δοµικά στοιχεία µε ανεπαρκή κατασκευαστική διαµόρφωση. Το Κεφάλαιο 8 περιέχει µια εκτενή βαθµονόµηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου µε πειραµατικά αποτελέσµατα από µεµονωµένα υποστυλώµατα που υποβλήθηκαν σε στατική ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Είναι ίσως η πρώτη φορά που επιχειρείται µια τόσο συστηµατική σύγκριση των εξαγοµένων ενός µοντέλου τέτοιου τύπου µε τις πειραµατικές καταγραφές όχι µόνο σε όρους συνολικής δύναµης- µετακίνησης αλλά και στις επιµέρους συνιστώσες παραµόρφωσης. Στο Κεφάλαιο 9 περιλαµβάνεται η εφαρµογή του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς πλαισιακών φορέων οπλισµένου σκυροδέµατος. Επιλέγονται φορείς που εξετάστηκαν πειραµατικά, ώστε να είναι δυνατή η άµεση σύγκριση των αποτελεσµάτων. Εξετάζονται διαφορετικές µέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών, όπως είναι η ιδιοµορφική, η ανελαστική στατική -6-

1. Εισαγωγή επωθητική (pushover), η ανελαστική στατική ανακυκλιζόµενη και τελικά η ανελαστική δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας. Στο Παράρτηµα Α γίνεται µια σύντοµη περιγραφή του προγράµατος RCCOLA- FSB που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής για τον υπολογισµό των περιβαλλουσών καµπύλων της καµπτικής, διατµητικής και ολισθητικής υστερητικής συµπεριφοράς των κρίσιµων διατοµών των στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος. Επιπλέον, δίνεται ένα τυπικό αρχείο δεδοµένων και αποτελεσµάτων του. Τέλος, στο Παράρτηµα Β παρατίθεται µια συνοπτική παρουσίαση του προγράµµατος IDARC-FSB που αναπτύχθηκε στην παρούσα έρευνα για την εφαρµογή του πεπερασµένου στοιχείου και δείκτη σεισµικής βλάβης που προτείνονται στην διατριβή στην ανελαστική ανάλυση σύνθετων πλαισιακών κατασκευών από οπλισµένο σκυρόδεµα. -7-

1. Εισαγωγή -8-

Κεφάλαιο 2 ο 2 Κριτική επισκόπηση προηγούµενων αναλυτικών µοντέλων -9-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 2.1 Γενικά Η απόκριση των δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος (Ο/Σ) καθορίζεται από τρεις βασικούς µηχανισµούς παραµόρφωσης. Την κάµψη, τη διάτµηση και την ολίσθηση της αγκύρωσης (Σχήµα 2.1). Συνεπώς, ένα ρεαλιστικό αναλυτικό µοντέλο δοµικού µέλους θα πρέπει να προσοµοιώνει επαρκώς αυτούς τους τρεις διακριτούς µηχανισµούς αλλά και τα φαινόµενα αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται µεταξύ τους. (α) (β) (γ) Σχήµα 2.1: Μηχανισµοί παραµόρφωσης δοµικού στοιχείου οπλισµένου σκυροδέµατος α) κάµψη, β) διάτµηση, γ) ολίσθηση της αγκύρωσης. Η ανάγκη για αξιόπιστη προσοµοίωση και των τριών µηχανισµών παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος είναι κατά πολύ µεγαλύτερη στις κατασκευές που δεν ικανοποιούν τις σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις. Η απουσία ικανοτικού σχεδιασµού και η ελλιπής κατασκευαστική διαµόρφωση καθιστά τις κατασκευές αυτές ευάλωτες σε ψαθυρές µορφές αστοχίας που διακυβεύουν άµεσα την ακεραιότητα τους και τη ζωή των χρηστών τους. Στο Σχήµα (2.2) παρουσιάζονται τυπικές περιπτώσεις µη-πλάστιµων µορφών αστοχίας δοµικών στοιχείων που δε συµµορφώνονται µε τις απαιτήσεις των σύγχρονων κανονιστικών κειµένων. Στη Φωτογραφία (2.2α) παρουσιάζεται µια αστοχία καθαρά διατµητικού χαρακτήρα στο µέσο ενός τοιχώµατος Ο/Σ. Στη Φωτογραφία (2.2β) δείχνεται µια αστοχία καµπτοδιατµητικού τύπου στην κεφαλή ενός υποστυλώµατος. Η ανελαστική καµπτική συµπεριφορά στην περιοχή της κεφαλής υποβαθµίζει τοπικά την αντοχή σε τέµνουσα συµβάλλοντας στην ανάπτυξη διατµητικής αστοχίας. Στη Φωτογραφία (2.2γ) φαίνεται η περίπτωση της εµφάνισης πρώιµης διάρρηξης του σκυροδέµατος στην περιοχή της αγκύρωσης λόγω της απουσίας συνδετήρων και της ανεπαρκούς επικάλυψης σε κόµβο. Τέλος, στη Φωτογραφία (2.2δ) παρουσιάζεται µια περίπτωση αστοχίας από εξόλκευση των διαµήκων ράβδων στη βάση ενός υποστυλώµατος εξαιτίας του ανεπαρκούς µήκους αγκύρωσης. -10-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.2: Ψαθυρές µορφές αστοχίες δοµικών µελών που δε συµµορφώνονται µε τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς, α) ιατµητική αστοχία στο µέσο τοιχώµατος (Σεισµός Αθήνας 1999, Γιαννόπουλος Π.), β) Καµπτοδιατµητική αστοχία σε κεφαλή υποστυλώµατος (Σεισµός Αθήνας 1999, Γιαννόπουλος Π.), γ) ιάρρηξη σκυροδέµατος στην περιοχή της αγκύρωσης υποστυλώµατος σε εξωτερικό κόµβο (EERI, Moehle J.), δ) Εξόλκευση διαµήκους οπλισµού από τη βάση υποστυλώµατος (Σεισµός San Fernando 1971, U.S. Geological Survey). Ένα αξιόπιστο αναλυτικό προσοµοίωµα δοµικού µέλους οπλισµένου σκυροδέµατος µε ελλιπή κατασκευαστική διαµόρφωση θα πρέπει πρώτα από όλα να προβλέπει µε ασφάλεια όλες τις µορφές αστοχίας που µπορεί να αναπτυχθούν σε αυτό κατά τη διάρκεια της σεισµικής του απόκρισης. Ταυτόχρονα θα πρέπει να προσδιορίζει µε επάρκεια τη µη-γραµµική συµπεριφορά του µέλους σε όρους δύναµης-µετακίνησης και µάλιστα σε συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης. Τέλος, θα πρέπει να είναι υπολογιστικά απλό και εύρωστο, ώστε να είναι δυνατή η αξιοποίησή του στην ανάλυση σύνθετων κατασκευών σκυροδέµατος, χωρίς την εµφάνιση φαινόµενων αριθµητικής αστάθειας. -11-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 2.2 Εισαγωγή στα Προσοµοιώµατα Μελών Ο/Σ Στη µη-γραµµική ανάλυση φορέων Ο/Σ υπό µονοτονικά αυξανόµενες µη-σεισµικές δράσεις χρησιµοποιείται συνήθως προσοµοίωση σε επίπεδο υλικού (χάλυβα και σκυροδέµατος) και σηµείο-προς-σηµείο (µικροσκοπική ανάλυση). Χρησιµοποιείται µεγάλος αριθµός πεπερασµένων στοιχείων για ανάλυση σε δύο ή τρεις διαστάσεις µε διαφορετικά στοιχεία για τα δύο υλικά και συχνά για την αλληλεπίδραση τους (συνάφεια). Με τα προσοµοιώµατα αυτά είναι δυνατόν να αναπαραχθεί η γεωµετρία σε πολύ µεγάλη λεπτοµέρεια και να παρακολουθηθεί η εξέλιξη των τάσεων και παραµορφώσεων σηµείο-προς-σηµείο. Οι υπολογιστικές απαιτήσεις τέτοιων αναλύσεων, όµως, περιορίζουν την εφαρµογή τους για σεισµικές δράσεις εισαγόµενες υπό τη µορφή επιταχυνσιογραφηµάτων σε µεµονωµένα µέλη (π.χ. ένα τοίχωµα) ή συνδυασµό λίγων µελών (π.χ. µια δοκός και ένα υποστύλωµα µε τον κόµβο τους). Είναι προς το παρόν απαγορευτική η εφαρµογή τους για φορείς της πράξης στο χώρο, όχι µόνο για λόγους οικονοµίας της ανάλυσης αλλά και λόγω της δυσκολίας ελέγχου των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από µικροσκοπικά προσοµοιώµατα όταν η φόρτιση είναι ανακυκλιζόµενη (σεισµική) (Φαρδής 2008). Η µη-γραµµική ανάλυση σύνθετων φορέων Ο/Σ γίνεται γενικώς µε πιο αδροµερή προσοµοιώµατα στα οποία το φυσικό µέλος (δοκός, υποστύλωµα, τµήµα τοιχώµατος µεταξύ διαδοχικών διαφραγµάτων, κ.α.) αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο του στατικού µοντέλου. Μια τέτοια προσοµοίωση είναι σε θέση να συλλάβει και να αναπαραγάγει τα βασικά στοιχεία της σεισµικής απόκρισης και συµπεριφοράς συµπεριλαµβανοµένης και της κατανοµής της ανελαστικότητας µεταξύ µελών αλλά και κατά µήκος του µέλους. Οι απαιτήσεις της σε χρόνο και µνήµη υπολογιστή, αλλά και για προετοιµασία δεδοµένων και ερµηνεία και αξιοποίηση των αποτελεσµάτων είναι τέτοιες ώστε επιτρέπουν τη χρήση της για την ανάλυση πραγµατικών φορέων στο επίπεδο ή στον χώρο µε εκατοντάδες µέλη περιλαµβανοµένης και της επανάληψης της ανάλυσης για µεγάλο αριθµό εδαφικών κινήσεων. Έτσι η προσοµοίωση φορέων Ο/Σ σε επίπεδο µέλους αποτελεί σήµερα το κύριο-αν όχι αποκλειστικό- εργαλείο για τη µη-γραµµική δυναµική ανάλυση στην πράξη και φαίνεται ότι θα διατηρήσει αυτόν τον ρόλο στο προβλέψιµο µέλλον (Φαρδής 2008). Για τον λόγο αυτόν η παρούσα ανασκόπηση της βιβλιογραφίας για τη προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς των στοιχείων Ο/Σ θα περιοριστεί µόνον σε αυτόν τον τρόπο προσοµοίωσης, που αποτελεί, άλλωστε, και την επιστηµονική περιοχή στην οποία εντάσσεται η παρούσα διατριβή. Τα µη-γραµµικά προσοµοιώµατα µέλους που ανασκοπούνται στη συνέχεια από τη διεθνή βιβλιογραφία διαχωρίζονται στα προσοµοιώµατα των ανελαστικών καµπτικών παραµορφώσεων ( 2.4), στα προσοµοιώµατα των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων ( 2.5) και σε αυτά που προσοµοιώνουν τις στροφές από την ολίσθηση των διαµήκων ράβδων στην περιοχή της αγκύρωσης ( 2.6). Σε πολλές περιπτώσεις, τα συνολικά µοντέλα µέλους που προτείνονται στις αντίστοιχες ερευνητικές εργασίες αποτελούνται από το συνδυασµό δύο ή σπανιότερα τριών µοντέλων κάθε κατηγορίας. Ο διαχωρισµός, όµως, που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή βοηθά στο να καλυφθεί το µεγαλύτερο δυνατό εύρος των προσοµοιωµάτων που προτάθηκαν µέχρι σήµερα για όλους τους τύπους παραµόρφωσης των µελών Ο/Σ. -12-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Σε αυτό το σηµείο θα πρέπει να τονιστεί ότι στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής δεν ήταν δυνατόν (ούτε και ιδιαίτερα σκόπιµο) να συγκεντρωθεί το σύνολο των µοντέλων µέλους που έχουν προταθεί ήδη από τη δεκαετία του 1960 µέχρι και σήµερα για την προσοµοίωση της σεισµικής συµπεριφοράς δοµικών στοιχείων Ο/Σ. Καταβλήθηκε, ωστόσο, προσπάθεια να συµπεριληφθούν τα πλέον χαρακτηριστικά από αυτά µε κύριο γνώµονα την καινοτοµία που εισήγαγαν τη χρονική στιγµή που προτάθηκαν αλλά και τη συνάφεια µε το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Κυρίαρχη θέση στα µη-γραµµικά προσοµοιώµατα µέλους διαδραµατίζουν τα µοντέλα προσοµοίωσης της υστερητικής συµπεριφοράς. Για τον λόγο αυτόν στην ενότητα 2.3 γίνεται µία σύντοµη εισαγωγή στα συγκεκριµένα µοντέλα και περιγράφονται τα βασικά πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα τους. Η αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων κατασκευών µε τα αναλυτικά προσοµοιώµατα που παρατίθενται στις επόµενες παραγράφους δεν οδηγεί σε επαρκή και ασφαλή συµπεράσµατα, εάν δε χρησιµοποιεί ένα σαφές µέγεθος ποσοτικοποίησης της δοµικής βλάβης. Για τον λόγο αυτόν, στην παράγραφο 2.7 περιγράφονται κάποιοι από τους δηµοφιλέστερους δοµικούς δείκτες βλάβης που προτάθηκαν µέχρι σήµερα στη διεθνή βιβλιογραφία και εξετάζεται η εφαρµοσιµότητα τους στην αποτίµηση κατασκευών οπλισµένου σκυροδέµατος µε ανεπαρκή κατασκευαστική διαµόρφωση. 2.3 Μοντέλα Προσοµοίωσης Υστερητικής Συµπεριφοράς Η υστέρηση είναι ένα εντόνως µη γραµµικό φαινόµενο που αναπτύσσεται σε συστήµατα που διαθέτουν µνήµη, όπως είναι η ανελαστικότητα (των δοµικών στοιχείων), αλλά και άλλα (εκτός του πεδίου του πολιτικού µηχανικού), όπως ο ηλεκτρισµός και ο µαγνητισµός. Οι κατασκευές που υπόκεινται σε ισχυρή εδαφική κίνηση συνήθως αναπτύσσουν υστερητική συµπεριφορά. Τα δοµικά στοιχεία ή και οι συνδέσεις στοιχείων σχεδιάζονται προκειµένου να αποσβένουν ενέργεια µέσω της υστέρησης, ώστε να αυξάνουν τη στάθµη ασφάλειας έναντι κατάρρευσης της κατασκευής από σεισµό. Παρ'όλα αυτά, υπό επαναλαµβανόµενη ή ανακυκλιζόµενη φόρτιση, κατά κανόνα λαµβάνει χώρα υποβάθµιση (degradation) των χαρακτηριστικών µεγεθών της υστερητικής συµπεριφοράς. Αυτή η υποβάθµιση πρέπει να ληφθεί υπόψη στον σχεδιασµό και την αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς των υφιστάµενων κατασκευών. Κατά καιρούς έχουν αναπτυχθεί διάφορα υστερητικά µοντέλα για την αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς στοιχείων Ο/Σ. Αυτά µπορούν να ταξινοµηθούν σε δυο µεγάλες κατηγορίες. Τα πολυγωνικά υστερητικά µοντέλα (Polygonal Hysteretic Models) και τα καµπυλόγραµµα ή λεία υστερητικά µοντέλα (Smooth Hysteretic Models). Τα πολυγωνικά υστερητικά µοντέλα είναι µοντέλα που έχουν τµηµατικώς γραµµική συµπεριφορά. Τα µοντέλα αυτά καθορίζονται από τους ευθύγραµµους κλάδους (branches) που ενώνουν χαρακτηριστικά σηµεία και τους κανόνες µετάβασης (transition rules) που προσδιορίζουν τις αλλαγές στα διάφορα στάδια της απόκρισης. ιάφορα -13-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας πολυγωνικά υστερητικά µοντέλα έχουν αναπτυχθεί προκειµένου να προσοµοιώσουν την υστερητική συµπεριφορά των στοιχείων Ο/Σ υπό σεισµική φόρτιση. Τα µοντέλα αυτά µπορούν να ταξινοµηθούν σε τέσσερις βασικές κατηγορίες: 1. ιγραµµικά µοντέλα σταθερού βρόχου: Το παλιότερο και απλούστερο µοντέλο βρόχου είναι το ελαστοπλαστικό µε και χωρίς κράτυνση. Ακριβώς λόγω της απλότητάς του χρησιµοποιήθηκε κατά κόρον στη δυναµική ανάλυση των κατασκευών, ιδιαίτερα στη διάρκεια της δεκαετίας 1960-1970. Είναι σαφές από τη σύγκριση µε πειραµατικά αποτελέσµατα ότι το µοντέλο αυτό αδυνατεί να περιγράψει µε ακρίβεια τη συµπεριφορά δοµικών στοιχείων από Ο/Σ υπό σεισµική διέγερση. Ειδικά το ελαστοπλαστικό µοντέλο χωρίς κράτυνση, όταν χρησιµοποιείται στη δυναµική ανάλυση παρουσιάζει το πρόβληµα ότι προκαλεί σηµαντικές µόνιµες µεταθέσεις του άξονα ταλάντωσης, γεγονός που γενικά δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατική σεισµική συµπεριφορά (Κάππος 1986). 2. Μοντέλα µε φθίνουσα δυσκαµψία: Τα µοντέλα αυτά προσοµοιώνουν τη µείωση της δυσκαµψίας που λαµβάνει χώρα κατά την αποφόρτιση και την επαναφόρτιση ενός στοιχείου Ο/Σ. Το πιο γνωστό και απλό µοντέλο αυτής της κατηγορίας είναι το µοντέλο Clough (1966). Στο µοντέλο αυτό η επαναφόρτιση γίνεται µε κλίση που ορίζεται από το σηµείο της µέγιστης µετακίνησης στη διεύθυνση της επαναφόρτισης ή το σηµείο που αντιστοιχεί στο σηµείο διαρροής, αν δεν έχει ήδη επέλθει διαρροή. Μειονέκτηµα του µοντέλου Clough αποτελεί το γεγονός ότι µετά τη µερική αποφόρτιση, η επαναφόρτιση γίνεται προς το σηµείο της µέγιστης µετακίνησης, πράγµα που προκαλεί εισαγωγή (κέρδος) ενέργειας και δεν επαληθεύεται πειραµατικά. Οι Takeda, Sozen & Nielsen (1970) βασιζόµενοι σε σειρά πειραµατικών δεδοµένων από υποστυλώµατα Ο/Σ υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση στατική και δυναµική φόρτιση πρότειναν ένα ακόµα λεπτοµερέστερο πολυγωνικό µοντέλο. Το µοντέλο Takeda περιλαµβάνει τα βασικά χαρακτηριστικά του µοντέλου Clough, αλλά: (α) έχει τριγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη (τα σηµεία καµπής αντιστοιχούν στη ρηγµάτωση και τη διαρροή των στοιχείων Ο/Σ), (β) η κλίση του κλάδου αποφόρτισης από τον κλάδο διαρροής µειώνεται σταδιακά µε τη µέγιστη παραµόρφωση, (γ) περιλαµβάνει σειρά κανόνων που καθορίζουν τους υστερητικούς κύκλους µικρού εύρους. Γενικά το µοντέλο Takeda παρουσιάζει καλή σύµπτωση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (για σχετικώς καλά διαστασιολογηµένα στοιχεία) αλλά είναι αρκετά πολύπλοκο και για τον λόγο αυτόν ο Otani (1974) πρότεινε µια απλούστερη µορφή του µοντέλου βασισµένη σε διγραµµική καµπύλη (σηµείο καµπής στη διαρροή). 3. Μοντέλα µε φθίνουσα αντοχή: Τα µοντέλα αυτά προσοµοιώνουν τη µείωση της ικανότητας παραλαβής φορτίου για τα στοιχεία Ο/Σ, που είναι τόσο µεγαλύτερη όσο υψηλότερη είναι και η στάθµη της ανελαστικοποίησης. Οι Küstü & Bowkamp (1973) εισήγαγαν έναν τρίτο κλάδο στη βασική καµπύλη του µοντέλου Clough, ο οποίος έχει αρνητική κλίση, οπότε πέρα από µια στάθµη παραµόρφωσης η µετακίνηση αυξάνει για µειούµενο φορτίο. Ο τρόπος αυτός µείωσης της αντοχής δεν είναι συνηθισµένος στα δοµικά στοιχεία από Ο/Σ και είναι χαρακτηριστικό ότι ελάχιστα από τα δοκίµια των πειραµάτων τους έδειξαν παρόµοια συµπεριφορά. Ακόµη, από την σκοπιά της ανάλυσης, πρέπει να παρατηρηθεί ότι οι αρνητικές τιµές -14-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας της δυσκαµψίας δηµιουργούν, κατά κανόνα, προβλήµατα αριθµητικής αστάθειας (Κάππος 1986). Πολύ κοντύτερα στις πειραµατικές εικόνες είναι το µοντέλο που πρότειναν οι Takayanagi & Schnobrich (1977). Το µοντέλο αυτό έχει τα βασικά χαρακτηριστικά του µοντέλου Clough, περιλαµβάνει όµως δυο ευθείες οδηγούς για την µείωση της αντοχής. Εάν η στάθµη της φόρτισης ξεπεράσει τους οδηγούς αυτούς, η βασική καµπύλη χαµηλώνει στο επίπεδο όπου η κατακόρυφη από το σηµείο της µέγιστης µετακίνησης τέµνει την ευθεία οδηγό. Με βάση το µοντέλο αυτό οι διαδοχικές ανακυκλίσεις της φόρτισης προκαλούν µείωση του αναλαµβανόµενου φορτίου, αλλά ο κλάδος επαναφόρτισης διατηρεί µια ήπια θετική κλίση, πράγµα που αφενός συµφωνεί µε τα αντίστοιχα πειραµατικά αποτελέσµατα, αφετέρου δεν δηµιουργεί αριθµητικά προβλήµατα. Θα πρέπει όµως να σηµειωθεί εδώ ότι για διαδοχικές ανακυκλίσεις µε την ίδια µέγιστη µετακίνηση, ο βρόχος που προκύπτει µε βάση το προηγούµενο µοντέλο είναι σταθερός, σε αντίθεση µε τους αντίστοιχους πειραµατικούς βρόχους που χαρακτηρίζονται από µείωση της δυσκαµψίας και της αντοχής, όσο αυξάνει ο αριθµός των κύκλων φόρτισης (Κάππος 1986). 4. Μοντέλα µε στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων: Στα µοντέλα αυτά κατά τη διάρκεια της επαναφόρτισης προς την κατεύθυνση όπου έχει ήδη επέλθει διαρροή, η αρχική κλίση του κλάδου είναι χαµηλή, ενώ µετά από ένα σηµείο η κλίση αυξάνει. Τέτοια µοντέλα πρότειναν οι Küstü & Bowkamp (1973), Ma et al. (1976), Takayanagi & Schnobrich (1977), Thom (1983), Park et al. (1987) και Sivaselvan & Reinhorn (1999). Τα µοντέλα αυτά είναι ιδανικά για την προσοµοίωση της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς, όπου κατά την επαναφόρτιση η δυστµησία αυξάνεται σηµαντικά µετά το κλείσιµο των διατµητικών ρωγµών. Στα καµπυλόγραµµα υστερητικά µοντέλα η δυσκαµψία (ή και η δυστµησία) είναι µια συνεχής συνάρτηση που η τιµή της µεταβάλλεται σε κάθε βήµα. Τα πιο γνωστά καµπυλόγραµµα µοντέλα είναι τα µοντέλα Ramberg-Osgood και Bouc-Wen (1967) τα οποία έχουν τροποποιηθεί από διάφορους ερευνητές κατά καιρούς προκειµένου να προσοµοιώνουν µε καλύτερο τρόπο την υστερητική συµπεριφορά στοιχείων Ο/Σ. Πέρα από το γεγονός ότι τα καµπυλόγραµµα µοντέλα υστέρησης ορίζονται, κατά κανόνα, από εµπειρικούς συντελεστές που είναι δύσκολο να προσδιοριστούν, εγγενή αδυναµία τους αποτελεί το ότι η δυσκαµψία ενός τέτοιου µοντέλου µεταβάλλεται συνεχώς. Αυτό σηµαίνει ότι σε µια ανελαστική δυναµική ανάλυση το µητρώο ευκαµψίας ή δυσκαµψίας πρέπει να ανανεώνεται συνεχώς, γεγονός που επιβαρύνει σηµαντικά το κόστος της ανάλυσης. Λόγω των προηγούµενων µειονεκτηµάτων, η εφαρµογή των καµπυλόγραµµων µοντέλων περιορίστηκε στον υπολογισµό θεωρητικών βρόχων που να προσεγγίζουν αντίστοιχα πειραµατικά αποτελέσµατα, καθώς και στη µελέτη πολύ απλών (κατά κανόνα µονοβάθµιων) συστηµάτων (Κάππος 1986), ιδιαίτερα σε εργασίες όπου η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος απαιτεί η συνάρτηση που περιγράφει την υστερητική συµπεριφορά ενός συστήµατος να µην παρουσιάζει ασυνέχειες (δηλ. να είναι παραγωγίσιµη). -15-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 2.4 Μοντέλα Προσοµοίωσης Ανελαστικών Καµπτικών Παραµορφώσεων Η προσοµοίωση των ανελαστικών, καµπτικών παραµορφώσεων στα στοιχεία Ο/Σ βρέθηκε στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος ήδη από τη δεκαετία του 1960. Κατά καιρούς έχουν προταθεί διάφορα αναλυτικά µοντέλα τα οποία ποικίλουν σηµαντικά στο βαθµό πολυπλοκότητας αλλά και ακρίβειας που µπορούν να προσφέρουν στις µηγραµµικές αναλύσεις κατασκευών Ο/Σ. Τα πιο σηµαντικά από αυτά τα µοντέλα περιγράφονται, εν συντοµία, στη συνέχεια. Οι Clough et al. (1965) πρότειναν το µοντέλο των δύο συνιστωσών (two component model), στο οποίο το δοµικό στοιχείο θεωρείται ότι συντίθεται από δύο επιµέρους ιδεατά στοιχεία σε παράλληλη σύνδεση. Η συνθήκη συµβιβαστού εξασφαλίζεται µόνον στα δύο άκρα των επιµέρους στοιχείων, ενώ η συνολική δυσκαµψία του συστήµατος είναι το άθροισµα των δυσκαµψιών των δύο συνιστωσών (Σχήµα 2.3). Το πρώτο στοιχείο είναι το ελαστικό το οποίο εκφράζει την κράτυνση των ακραίων διατοµών σε όρους Μ-θ και το δεύτερο στοιχείο είναι το ελαστοπλαστικό (χωρίς κράτυνση) το οποίο καθορίζει την καµπτική διαρροή. Όταν ένα άκρο του ελαστοπλαστικού στοιχείου διαρρέει, τότε εισάγεται σε αυτό µια άρθρωση. Κατά την αποφόρτιση η άρθρωση αυτή αφαιρείται. Το µοντέλο των δύο συνιστωσών ήταν το πρώτο που χρησιµοποιήθηκε για µηγραµµικές αναλύσεις πλαισίων Ο/Σ, ενώ έχει και το πλεονέκτηµα ότι η στροφή του ενός άκρου εξαρτάται και από τη ροπή του απέναντι άκρου. Βασικό µειονέκτηµα του αποτελεί το γεγονός ότι µπορεί να αντιµετωπίσει µόνο δοµικά στοιχεία µε ελαστοπλαστική συµπεριφορά και µάλιστα µε κοινό λόγο κράτυνσης στα δύο άκρα. Επιπλέον, η δυσκαµψία των επιµέρους συνιστωσών του προσδιορίζεται βάσει µιας προκαθορισµένης κατανοµής των ροπών κατά µήκος του στοιχείου και συνεπώς µπορεί να οδηγήσει σε σηµαντικά σφάλµατα, όταν η πραγµατική κατανοµή των ροπών διαφοροποιηθεί δραστικά από αυτήν που έχει θεωρηθεί αρχικά. Ελαστοπλαστικό στοιχείο (1-g) k Μ Ελαστικό στοιχείο g k M y (1-p) M y k g k Τελικό στοιχείο Μ Ελαστοπλαστικό στοιχείο (1-g) k g k p M y Ελαστικό στοιχείο Μ θ Σχήµα 2.3: Μοντέλο δύο συνιστωσών (Clough et al. 1965) -16-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Οι Aoyama & Sugano (1968) βελτίωσαν το παραπάνω µοντέλο αναπτύσσοντας ένα αντίστοιχο ιδεατό στοιχείο τεσσάρων συνιστωσών το οποίο µπορούσε να λάβει υπόψη και την καµπτική ρηγµάτωση αλλά και διαφορετικές ροπές διαρροής και λόγους κράτυνσης στα δύο άκρα του στοιχείου. Και σε αυτήν την περίπτωση, ωστόσο, δεν είναι δυνατόν να προσοµοιωθεί η υποβάθµιση της δυσκαµψίας των στοιχείων Ο/Σ στην υστερητική τους συµπεριφορά, ενώ παραµένει και το πρόβληµα του ορθού προσδιορισµού της δυσκαµψίας των επιµέρους συνιστωσών. O Giberson (1967) πρότεινε το µοντέλο δοκού µιας συνιστώσας (one component model) το οποίο συντίθεται από µια ελαστική δοκό που στα άκρα της έχει σηµειακά στροφικά ελατήρια συνδεδεµένα σε σειρά µε τη δοκό (Σχήµα 2.4). Εφόσον η σύνδεση γίνεται σε σειρά, η συνολική ευκαµψία [F] του στοιχείου είναι ίση µε το άθροισµα των επιµέρους συνιστωσών, όπως φαίνεται και στην Εξίσωση (2.2.1), όπου ΕΙ ο είναι η ελαστική δυσκαµψία του ενδιάµεσου τµήµατος του στοιχείου, k A και k B είναι οι εφαπτοµενικές δυσκαµψίες των ανελαστικών στροφικών ελατηρίων στα άκρα του στοιχείου και L το µήκος του στοιχείου. Πριν από την καµπτική διαρροή σε κάποιο άκρο του στοιχείου θεωρείται ότι η δυσκαµψία του αντίστοιχου ελατηρίου έχει άπειρη τιµή, δηλαδή ότι δε συνεισφέρει καθόλου στη συνολική ευκαµψία του στοιχείου. Οι επιµέρους δυσκαµψίες ΕΙ ο, k A και k B προσδιορίζονται βάσει κάποιας υποτεθείσας κατανοµής των ροπών κατά µήκος του δοµικού στοιχείου. L 1 L + 3EI ka 6EI fl F = (2.2.1) L L 1 + 6EI 3EI k B ΕΙ Σχήµα 2.4: Μοντέλο µιας συνιστώσας (Giberson 1967) Βασικά πλεονεκτήµατα του µοντέλου µιας συνιστώσας αποτελούν η απλότητα του και το µειωµένο υπολογιστικό κόστος, καθώς και το γεγονός ότι είναι δυνατό να εισαχθεί οποιοσδήποτε υστερητικός νόµος Μ-θ στα στροφικά ελατήρια του στοιχείου. Κύριο µειονέκτηµά του είναι η αδυναµία του να προσοµοιώσει την επιρροή της ροπής του ενός άκρου (και γενικότερα της κατανοµής των ροπών και κατ' επέκταση των καµπυλοτήτων κατά µήκος του στοιχείου) στην στροφή του απέναντι άκρου (Otani, 1980). Στo Σχήµα (2.5) δίνεται η κατανοµή των καµπυλοτήτων κατά µήκος ενός στοιχείου Ο/Σ για δύο διαφορετικές περιπτώσεις κατανοµής του διαγράµµατος των καµπτικών -17-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας ροπών (Περίπτωση I και Περίπτωση II). Η ακραία καµπυλότητα στο άκρο Α (φ A ) είναι η ίδια και για τα δύο διαγράµµατα καµπυλοτήτων, καθώς καθορίζεται από την ακραία ροπή Μ Α. Η ανελαστική στροφή στο άκρο Α του στοιχείου καθορίζεται από το εµβαδόν των γραµµοσκιασµένων επιφανειών των δύο διαγραµµάτων. Είναι σαφές ότι για την ίδια µέγιστη ροπή στο άκρο Α, η ανελαστική στροφή που προκύπτει σε αυτό το άκρο για την Περίπτωση I είναι σηµαντικά µικρότερη από την ανελαστική στροφή για την Περίπτωση II. Συνεπώς, η σχέση Μ-θ που δίνει το µοντέλο της µίας συνιστώσας µπορεί να διαφέρει σηµαντικά από την πραγµατική ανάλογα µε την πραγµατική κατανοµή των ροπών σε σχέση πάντα µε την υποτεθείσα. Επιπρόσθετα, βασικό µειονέκτηµα του µοντέλου µιας συνιστώσας αποτελεί το γεγονός ότι το µοντέλο συγκεντρωµένης πλαστικότητας δεν είναι σε θέση να λάβει υπόψη τη σταδιακή εξάπλωση των ανελαστικών παραµορφώσεων, οδηγώντας σε σηµαντική υποτίµηση της δυσκαµψίας στα πρώτα στάδια της ανελαστικής απόκρισης (Otani, 1980). Παρά τον εύλογο σκεπτικισµό που έχει αναπτυχθεί για τον συγκεκριµένο τύπο στοιχείου, το µοντέλο αυτό εξακολουθεί να χρησιµοποιείται κατά κόρον στις ανελαστικές αναλύσεις πλαισίων Ο/Σ εξαιτίας της απλότητάς του και του µικρού σχετικά υπολογιστικού φόρτου που συνεπάγεται, αλλά και της ακρίβειας που µπορεί να προσφέρει σε κατασκευές, όπου η κατανοµή των ροπών µπορεί να προβλεφθεί εξαρχής και δεν µεταβάλλεται ουσιωδώς στη διάρκεια της ανελαστικής ανάλυσης. MB Περίπτωση I My ιάγραµµα ροπών My MA Περίπτωση II φb φy Κατανοµή καµπυλοτήτων Περίπτωση Ι φy φα Ανελαστική στροφή Ακρου Α Κατανοµή καµπυλοτήτων Περίπτωση ΙI φy φα Ανελαστική στροφή Ακρου Α Σχήµα 2.5: Επιρροή της κατανοµής του διαγράµµατος ροπών στην ανελαστική στροφή ενός άκρου δοµικού στοιχείου Ο/Σ. -18-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Στα µοντέλα συγκεντρωµένης ανελαστικότητας µπορεί να υπαχθεί και το µοντέλο του Σχήµατος (2.6), το οποίο προτάθηκε αρχικά από τους Wen & Janssen (1965) για ελαστοπλαστικά συστήµατα, ενώ βελτιώθηκε στη συνέχεια και από τον Powell (1975) µε τη χρήση υστερητικών κανόνων φθίνουσας δυσκαµψίας για τα διακριτά, ανελαστικά ελατήρια. Ο τελευταίος µάλιστα πρότεινε και την πύκνωση των ελατηρίων στις περιοχές µέγιστης καµπτικής έντασης. Στο µοντέλο αυτό η µάζα και η ευκαµψία του δοµικού στοιχείου κατανέµονται στις θέσεις των διακριτών ελατηρίων. Εάν η ευκαµψία του ελατηρίου i που βρίσκεται σε απόσταση x i από την αρχή του πεπερασµένου στοιχείου είναι ίση µε f i, τότε εύκολα προκύπτει ότι οι συντελεστές του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας δίνονται από την Εξίσωση (2.2.2). 2 xi xi xi 1 fi 1 fi fl i L i L L F = (2.2.2) 2 xi xi x i 1 fi f i i L L i L Στροφικό ελατήριο Άκαµπτο στοιχείο Ελατήριο i Σχήµα 2.6: Μοντέλο διακριτών, στροφικών ανελαστικών ελατηρίων (Wen & Janssen 1965). Πέρα από τα µοντέλα συγκεντρωµένης ανελαστικότητας που περιγράφηκαν παραπάνω, ήδη από τη δεκαετία του 1960, έχουν αναπτυχθεί και µοντέλα κατανεµηµένης ανελαστικότητας για τα δοµικά στοιχεία Ο/Σ. Τα µοντέλα αυτά αίρουν σε µεγάλο βαθµό τις αδυναµίες των µοντέλων συγκεντρωµένης ανελαστικότητας και θεωρούνται από τον γράφοντα, ως ο καλύτερος δυνατός συµβιβασµός µεταξύ υπολογιστικής απλότητας και ακρίβειας των αναλύσεων για τις πλαισιακές κατασκευές Ο/Σ. Επειδή το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή στηρίζεται κατά κύριο λόγο στη θεωρία των στοιχείων κατανεµηµένης ανελαστικότητας, θα γίνει στη συνέχεια πιο εκτενής περιγραφή των διαφόρων µοντέλων αυτής της κατηγορίας που αναπτύχθηκαν µέχρι και σήµερα στη διεθνή βιβλιογραφία. Το πρώτο µοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας προτάθηκε από τον Spencer (1969) ο οποίος θεώρησε ότι κάθε δοκός αποτελείται από τρεις περιοχές και η ανελαστική συµπεριφορά της περιορίζεται στις δύο ακραίες από αυτές, ενώ η µεσαία περιοχή παραµένει ελαστική σε όλη τη διάρκεια της απόκρισης. Η ανελαστική -19-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας συµπεριφορά των ακραίων περιοχών καθοριζόταν µε βάση ένα διγραµµικό διάγραµµα Μ-θ για τα στοιχεία Ο/Σ και ένα τροποποιηµένο διγραµµικό µοντέλο µε µικρό πάχος βρόχου για τα στοιχεία από προεντεταµένο σκυρόδεµα. Βασικά µειονεκτήµατα του µοντέλου αυτού ήταν η θεώρηση σταθερού µήκους των ανελαστικών περιοχών και σταθερής τιµής της δυσκαµψίας τους που βασιζόταν στην τιµή της ροπής στο µέσο της περιοχής, ενώ προβληµατική ήταν η εφαρµογή του µοντέλου σε περιπτώσεις όπου η φόρτιση διέφερε σηµαντικά από την αντισυµµετρική (Κάππος 1986). Πολλές από τις προηγούµενες αδυναµίες αίρονται στο µεταγενέστερο µοντέλο που προτάθηκε από τους Soleimani et al. (1979) και φαίνεται στο Σχήµα (2.7). Η ανελαστική συµπεριφορά των ακραίων ζωνών, µήκους α Α L και α Β L, καθορίζεται από το διάγραµµα ροπών-καµπυλοτήτων των ακραίων διατοµών τους, το οποίο υπολογίζεται µε βάση το γνωστό υστερητικό µοντέλο Clough (1966). Στην περίπτωση όπου η ακραία διατοµή (διεπιφάνεια δοκού-υποστυλώµατος) βρίσκεται στον κλάδο διαρροής, η τιµή της δυσκαµψίας της αντίστοιχης ζώνης ισούται µε p EI o (όπου ΕΙ o η ελαστική δυσκαµψία και p ο λόγος κράτυνσης του διαγράµµατος Μ-φ), ενώ στην περίπτωση της επαναφόρτισης, οπότε και η δυσκαµψία στο µήκος της ζώνης δεν παραµένει σταθερή, η δυσκαµψία προσδιορίζεται από την αντιστροφή της ευκαµψίας που αντιστοιχεί στον µέσο όρο των τιµών των ευκαµψιών στην ακραία διατοµή και στο όριο της ανελαστικής ζώνης µε το ενδιάµεσο ελαστικό τµήµα. Το µήκος των ακραίων ζωνών είναι µεταβλητό (προσοµοιώνοντας µε αυτόν τον τρόπο τη βαθµιαία εξάπλωση των καµπτικών ανελαστικών παραµορφώσεων από το άκρα προς το εσωτερικό του στοιχείου) και καθορίζεται από τη γεωµετρία του διαγράµµατος ροπών, µε βάση την Εξίσωση (2.2.3), όπου Μ i είναι η ροπή στην ακραία διατοµή και V η αντίστοιχη τέµνουσα και i=a,b είναι τα δύο άκρα του στοιχείου. M i M y αi = (2.2.3) V Το µοντέλο των Soleimani et al. (1979) βασίζεται στις εξής παραδοχές: 1) Η φορτιστική κατάσταση κάθε διατοµής της ανελαστικής ζώνης (φόρτιση, αποφόρτιση, επαναφόρτιση) καθορίζεται από την φορτιστική κατάσταση της αντίστοιχης ακραίας διατοµής του στοιχείου. 2) Ολόκληρη η ανελαστική ζώνη έχει οµοιόµορφη δυσκαµψία (ΕΙ Α και ΕΙ Β ) που καθορίζεται από την δυσκαµψία και τη φορτιστική κατάσταση της ακραίας διατοµής. 3) Η τέµνουσα δύναµη εντός του εύρους των ανελαστικών περιοχών παραµένει σταθερή. 4) Οι καµπτικές ροπές σε όρους απόλυτων τιµών µειώνονται κατά τη µετάβαση από τις ακραίες στηρίξεις προς το άνοιγµα της δοκού. Η πρώτη και η δεύτερη παραδοχή είναι ικανοποιητικές µόνον στη περίπτωση όπου το εύρος της ανελαστικής ζώνης είναι µικρό σε σχέση µε το συνολικό µήκος του στοιχείου. Για το λόγο αυτόν οι συγκεκριµένοι ερευνητές ορίζουν ως µέγιστη τιµή του µήκους των ανελαστικών ζωνών το µήκος L/4, όπου L είναι το µήκος του στοιχείου. Η θέση αυτή άλλωστε συµπίπτει σε αρκετές περιπτώσεις µε την αλλαγή της κατανοµής του διαµήκους οπλισµού κατά µήκος του στοιχείου. Η τρίτη παραδοχή ισχύει είτε για αφόρτιστη στο εσωτερικό της δοκό, είτε για δοκό φορτισµένη µε ενδιάµεσα φορτία που ασκούνται έξω από τη ζώνη, οπότε και η V παραµένει σταθερή εντός της ανελαστικής περιοχής. εν ισχύει όµως στη γενική -20-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας περίπτωση των στοιχείων δοκού που επιβαρύνονται από κατανεµηµένα φορτία στο εσωτερικό τους. Η απόκλιση από την πραγµατικότητα είναι ανάλογη του µεγέθους του κατανεµηµένου κατακόρυφου φορτίου. Τέλος, και η τέταρτη παραδοχή είναι αξιόπιστη µόνο στην περίπτωση όπου τα σεισµικά φορτία κυριαρχούν στην απόκριση του δοµικού στοιχείου, ενώ τα κατακόρυφα φορτία δεν επηρεάζουν σηµαντικά το διάγραµµα των καµπτικών ροπών. Παρόµοια µε το προηγούµενο µοντέλα προτάθηκαν από τους Arzoumanidis (1982) και Meyer et al. (1983), οι οποίοι χρησιµοποίησαν το διγραµµικό µοντέλο Takeda (τροποποιηµένο στη δεύτερη εργασία), αλλά µε υπολογισµό του µήκους των ακραίων ζωνών µε βάση τριγωνικό διάγραµµα ροπών, παραδοχή που δεν επιτρέπει καθόλου τη θεώρηση της επιρροής των κατανεµηµένων κατακόρυφων φορτίων της δοκού. Μ Α α) γ) Ανελαστικές ζώνες Μ Α /(ΕΙ Α ) Μ Β β) ΕΙ Α k=ei o ΕΙ Β Ελαστικό τµήµα Ανελαστικά στροφικά ελατήρια για ολίσθηση της αγκύρωσης α Α L α Β L Μ Α /k δ) Μ Β /k Μ Β /(ΕΙ Β ) L Σχήµα 2.7: Μοντέλο Soleimani et al. (1979): α) οµικό στοιχείο, β) Εξιδανικευµένο στοιχείο, γ) Μεταβολή διαγράµµατος ροπών, δ) Μεταβολή διαγράµµατος καµπυλοτήτων. Οι Park et al. (1987) ανέπτυξαν ένα µοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας το οποίο και εισήγαγαν στην αρχική έκδοση του προγράµµατος IDARC2D. Το µοντέλο αυτό εξελίχθηκε στη συνέχεια από τους Valles et al. (1996). Η νέα έκδοση περιλάµβανε βελτιωµένο υπολογισµό των συντελεστών του µητρώου ευκαµψίας, ώστε να αποφεύγονται φαινόµενα αριθµητικής αστάθειας στην περίπτωση καµπτικών αστοχιών των επιµέρους στοιχείων της κατασκευής (Valles et al. 1996). Επιπλέον, προσδιορίστηκαν νέοι βελτιωµένοι κανόνες για τον προσδιορισµό της ευκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου. Στο Σχήµα (2.8) φαίνονται οι παραδοχές για την κατανοµή της δυσκαµψίας του µοντέλου των Park et al. (1987) και του µοντέλου των Valles et al. (1996). Στο Σχήµα (2.8) ΕΙ Α, ΕΙ Β είναι οι τρέχουσες τιµές των εφαπτοµενικών δυσκαµψιών στα δύο άκρα του στοιχείου και EI o είναι η τιµή της οιονεί ελαστικής δυσκαµψίας στο ενδιάµεσο τµήµα. Τα µήκη των ανελαστικών ζωνών (α Α L και α Β L) στο µοντέλο των Valles et al. (1996) επικαιροποιούνται σε κάθε βήµα της ανάλυσης ανάλογα µε το τρέχον διάγραµµα ροπών κατά µήκος του στοιχείου, αλλά τα µήκη αυτά δεν επιτρέπεται σε καµία -21-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας περίπτωση να γίνουν µικρότερα από τις προηγούµενες µέγιστες τιµές τους (µοντέλο µε µνήµη). Και στα δύο µοντέλα η ανελαστική συµπεριφορά των ακραίων διατοµών καθορίζεται από το υστερητικό µοντέλο των Park et al. (1987). Τα συγκεκριµένα µοντέλα διαφοροποιούνται σε σχέση µε τα προηγούµενα µοντέλα κατανεµηµένης πλαστικότητας στο γεγονός ότι οι ανελαστικές ζώνες καθορίζονται από τις ροπές ρηγµάτωσης των ακραίων διατοµών του στοιχείου (Μ cr,a και M cr,b ). Η παραδοχή αυτή δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική στην πλειοψηφία των υφιστάµενων κατασκευών από Ο/Σ, όπου κατά κανόνα τα δοµικά τους στοιχεία είναι ήδη ρηγµατωµένα από τα κατακόρυφα φορτία ή και προγενέστερες σεισµικές δράσεις. Επιπλέον, τα συγκεκριµένα µοντέλα υιοθετούν παραδοχή γραµµικής κατανοµής των ροπών κατά µήκος του στοιχείου, οπότε δεν είναι σε θέση να προσοµοιώσουν την επιρροή των κατανεµηµένων κατακόρυφων φορτίων στον υπολογισµό των µηκών των ανελαστικών περιοχών. Τέλος, βασικό χαρακτηριστικό των µοντέλων των Park et al. (1987) και Valles et al. (1996) είναι η παραδοχή ότι σε κάθε περίπτωση η δυσκαµψία µεταβάλλεται γραµµικά κατά µήκος των ανελαστικών ζωνών. Η παραδοχή αυτή µπορεί να θεωρηθεί προς τη σωστή κατεύθυνση στην περίπτωση όπου η ακραία διατοµή του δοµικού στοιχείου βρίσκεται σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης. εν προσοµοιώνει, όµως, επαρκώς την κατανοµή της δυσκαµψίας στην περιοχή του στοιχείου που έχει διαρρεύσει καµπτικά, όταν η ακραία διατοµή βρίσκεται σε κατάσταση φόρτισης. Μ crα Α) Α Β Μ crb Μ Β EI A EI o EI B Β) α A L (1-α A - α Β )L α Β L L EI o EI A EI B Γ) α Α L (1- α Α ) L L Σχήµα 2.8: Μοντέλα κατανεµηµένης δυσκαµψίας α) ιάγραµµα καµπτικών ροπών, β) Κατανοµή δυσκαµψίας κατά Valles et al. (1996), γ) Κατανοµή δυσκαµψίας κατά Park et al. (1987) Οι Filippou & Issa (1988) ανέπτυξαν ένα µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας το οποίο βασίζεται σε µεγάλο βαθµό στο αντίστοιχο των Soleimani et -22-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας al. (1979). Μοναδική διαφοροποίηση του µοντέλου των Filippou & Issa (1988) αποτελεί το γεγονός ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις του στοιχείου λαµβάνονται υπόψη σε ένα ξεχωριστό υποστοιχείο (linear subelement) και συνεπώς το µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας προσοµοιώνει µόνον τις ανελαστικές παραµορφώσεις του στοιχείου που λαµβάνουν χώρα όταν οι ροπές στα άκρα του στοιχείου υπερβούν τις αντίστοιχες ροπές διαρροής. Συνεπώς, το συγκεκριµένο µοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας αποτελείται από δύο µεταβαλλόµενες ζώνες (µήκους α Α L και α Β L και δυσκαµψίας t A EI o και t B EI o αντίστοιχα) που συνδέονται µεταξύ τους µε µία άκαµπτη ράβδο (Σχήµα 2.9). Σε αναλογία µε τα ανελαστικά ελατήρια του µοντέλου µιας συνιστώσας (Giberson) γίνεται η παραδοχή ότι οι δυσκαµψίες των ακραίων διατοµών πριν την καµπτική διαρροή έχουν άπειρη τιµή. Οι παραδοχές που υιοθετούν οι ίδιοι ερευνητές αναφορικά µε την κατανοµή της δυσκαµψίας των ανελαστικών ζωνών είναι οι ίδιες µε αυτές των Soleimani et al. (1979) τόσο για την κατάσταση της φόρτισης, όσο και για την αποφόρτιση και επαναφόρτιση. Με όµοιο τρόπο, επίσης, λαµβάνεται υπόψη η επιρροή των κατακόρυφων φορτίων. Είναι σαφές ότι ο συνδυασµός του ελαστικού υποστοιχείου και του στοιχείου κατανεµηµένης πλαστικότητας οδηγεί σε ταυτόσηµα αποτελέσµατα µε το µοντέλο των Soleimani et al. (1979), ενώ έχει και το µειονέκτηµα ότι δεν είναι δυνατόν να θεωρηθεί διαφορετική ελαστική δυσκαµψία στα δύο άκρα της δοκού. Βασική συνεισφορά του µοντέλου των Filippou & Issa είναι η ανάπτυξη συγκεκριµένου αλγορίθµου που στηρίζεται στην επαναληπτική µέθοδο Newton-Raphson για την ελαχιστοποίηση των δυνάµεων εκτός ισορροπίας που προκύπτουν στα άκρα των µοντέλων κατανεµηµένης ανελαστικότητας αλλά και πρόσθετων υποστοιχείων που είναι δυνατόν να συνδεθούν µε αυτά σε σειρά. t A EI o t B EI o Άκρο Α α Α L Άκαµπτη ράβδος α B L Άκρο Β Σχήµα 2.9: Μοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας των Filippou & Issa (1988) Οι Arede & Pinto (1998) ανέπτυξαν ένα νέο µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας το οποίο προσοµοιώνει τη σταδιακή εξάπλωση τόσο της διαρροής όσο και της καµπτικής ρηγµάτωσης. Το αναλυτικό µοντέλο χρησιµοποιεί τριγραµµικό νόµο Μ-φ για τις διατοµές ελέγχου, ενώ η υστερητική συµπεριφορά καθορίζεται από το µοντέλο των Park et al. (1987). Για λόγους απλοποίησης, οι συγκεκριµένοι ερευνητές χρησιµοποιούν την τρέχουσα επιβατική δυσκαµψία για τα στάδια της απόκρισης πριν την καµπτική διαρροή. Σε κάθε βήµα το στοιχείο διαιρείται στις ζώνες που είναι αρηγµάτωτες και σε αυτές που έχουν ρηγµατωθεί ή διαρρεύσει (Σχήµα 2.10). Για τον σκοπό αυτόν απαιτούνται διατοµές ελέγχου που διακρίνονται σε πάγιες (άκρα Ε 1 και Ε 2 και ενδιάµεσο σηµείο Η όπου ασκείται το συγκεντρωµένο φορτίο) και µεταβλητές (C 1 C 4 και Y 1 Y 2 ). Από τις µεταβλητές, οι C1 C4 καθορίζουν τις ρηγµατωµένες περιοχές, ενώ οι Υ 1 Υ 2 προσδιορίζουν τις ζώνες διαρροής. Οι θέσεις των µεταβλητών διατοµών τροποποιούνται µε λογική µονότονα αύξουσας φόρτισης (Σχήµα 2.10), -23-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας δηλαδή θεωρείται ότι αν µια διατοµή εισέλθει στην περιοχή της ρηγµάτωσης ή της διαρροής δεν µπορεί να επανέλθει στην προγενέστερη της κατάσταση. Αφού οριστούν οι επιµέρους ζώνες, στη συνέχεια καθορίζεται η κατανοµή της ευκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου. Πιο συγκεκριµένα, η ευκαµψία θεωρείται ότι είναι οµοιόµορφη στις αρηγµάτωτες ζώνες, στις ρηγµατωµένες ζώνες, και στις ζώνες διαρροής, όταν οι τελευταίες βρίσκονται στην κατάσταση της φόρτισης. Αντίθετα, θεωρείται ότι µεταβάλλεται γραµµικά, όταν οι διατοµές ελέγχου στις ζώνες διαρροής βρίσκονται σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης. εν γίνεται ειδική πρόβλεψη για την περίπτωση όπου οι διατοµές ελέγχου που καθορίζουν τις ζώνες διαρροής βρίσκονται σε διαφορετική φορτιστική κατάσταση (φόρτιση, αποφόρτιση, επαναφόρτιση) µεταξύ τους. Αφού προσδιοριστεί η κατανοµή της ευκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου, τότε προσδιορίζεται και η συνολική ευκαµψία του στοιχείου µε κατάλληλη ολοκλήρωση των ευκαµψιών των επιµέρους ζωνών του. εν έχουν προσδιοριστεί κλειστές σχέσεις για τον προσδιορισµό των συντελεστών ευκαµψίας του στοιχείου. α) Μ y1 Μ cr Μ y2 Μ cr Μ cr Μ cr β) E 1 Y 1 C 1 C 2 Η C 3 C 4 Y 2 E 2 Σχήµα 2.10: Μοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας των Arede & Pinto (1998), α) διάγραµµα καµπτικών ροπών, β) διακριτές ζώνες συµπεριφοράς. Το µοντέλο των Arede & Pinto (1998) απαιτεί έναν σηµαντικό αριθµό διατοµών ελέγχου που αυξάνει το υπολογιστικό κόστος δυσανάλογα µε τη σηµασία του φαινοµένου της σταδιακής εξάπλωσης της καµπτικής ρηγµάτωσης ειδικά για τις υφιστάµενες κατασκευές που κατά κανόνα έχουν ήδη ρηγµατωθεί από τα υπάρχοντα κατακόρυφα και περιβαλλοντικά φορτία και προηγούµενες σεισµικές δράσεις. Το µοντέλο δεν έχει αναπτυχθεί για την περίπτωση των κατανεµηµένων φορτίων, ενώ δεν γίνεται και πρόβλεψη για την εµφάνιση καµπτικής διαρροής σε κάποιο ενδιάµεσο τµήµα της δοκού. Οι Kyakula & Wilkinson (2004) ανέπτυξαν ένα νέο µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας το οποίο προσδιορίζει τη διαρροή σε οποιοδήποτε τµήµα του στοιχείου (και ενδιάµεσο τµήµα του φατνώµατος). Το µοντέλο αυτό βασίζεται κατά κύριο λόγο στο αντίστοιχο µοντέλο των Filippou & Issa (1988). Αποτελείται από µία ή δύο ανελαστικές ζώνες, που µπορούν να σχηµατιστούν είτε στα άκρα, είτε στο εσωτερικό του στοιχείου και οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µε άκαµπτες ράβδους. -24-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας (Σχήµα 2.11). Για τον προσδιορισµό του µήκους (α Α L και α Β L) και της θέσης των ανελαστικών ζωνών, υπολογίζεται αρχικά η διαφορά ανάµεσα στη συνολική δρώσα ροπή (από τα κατακόρυφα και σεισµικά φορτία) και της ροπής διαρροής σε διάφορες προκαθορισµένες θέσεις ελέγχου του στοιχείου. Η αλλαγή στο πρόσηµο της διαφοράς οδηγεί στον εντοπισµό των σηµείων διαρροής. Στη συνέχεια ακολουθεί γραµµική παρεµβολή για την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος που προέρχεται από την προκαθορισµένη επιλογή των θέσεων ελέγχου της διαφοράς των ροπών. Το βασικό µειονέκτηµα αυτού του µοντέλου είναι ότι στην περίπτωση όπου αναπτύσσεται ανελαστική περιοχή σε κάποιο ενδιάµεσο τµήµα του στοιχείου, τότε δεν είναι δυνατόν να γίνει αξιόπιστος προσδιορισµός της δυσκαµψίας αυτής της ζώνης µε βάση την υστερητική συµπεριφορά των άκρων του στοιχείου, όπως προτείνεται στο συγκεκριµένο µοντέλο. Ο ακριβής προσδιορισµός της δυσκαµψίας αυτής της ζώνης θα απαιτούσε την καταγραφή της υστερητικής συµπεριφοράς τουλάχιστον στα δύο άκρα της ζώνης, η θέση των οποίων, όµως, µεταβάλλεται συνέχεια κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Επιπρόσθετα, η ακρίβεια του µοντέλου για τον προσδιορισµό του µήκους των ανελαστικών ζωνών αυξάνει όσο αυξάνει και ο αριθµός των διατοµών στις οποίες γίνεται η σύγκριση των ροπών µε τις ροπές διαρροής κατά µήκος του στοιχείου. Ο καθορισµός του µήκους των ανελαστικών ζωνών µε τη διαδικασία που προτείνεται θα είναι πάντα προσεγγιστικός, καθώς η γραµµική παρεµβολή δεν µπορεί να προσοµοιώσει επακριβώς τη µη-γραµµική κατανοµή των ροπών κατά µήκος ενός στοιχείου δοκού. Τέλος, όπως επισηµαίνουν και οι Filippou & Issa (1988), ο προσδιορισµός του σχηµατισµού ανελαστικής ζώνης σε κάποιο ενδιάµεσο τµήµα ενός στοιχείου δοκού µε βάση τις ροπές διαρροής των άκρων του δεν έχει ιδιαίτερη αξία, αφού κατά κανόνα ο διαµήκης οπλισµός αυτών των στοιχείων µεταβάλλεται από τις στηρίξεις στα ανοίγµατα. Στις περιπτώσεις όπου είναι πιθανός ο σχηµατισµός πλαστικής άρθρωσης στο εσωτερικό του στοιχείου, είναι προτιµότερη η υποδιαίρεση του στοιχείου δοκού σε περισσότερα πεπερασµένα στοιχεία. Άκρο Α Άκαµπτο EI A Άκαµπτο EI B Άκρο Β α Α L α B L Σχήµα 2.11: Μοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας των Kyakula & Wilkinson (2004) Τα πλέον σύνθετα στοιχεία προσοµοίωσης των ανελαστικών καµπτικών παραµορφώσεων είναι τα µοντέλα ινών (fibre element models). Σε αυτά τα στοιχεία, το µέλος διακριτοποιείται σε τµήµατα κατά µήκος, που αντιπροσωπεύονται από διακριτές διατοµές αλλά και σε επίπεδο διατοµής διαιρείται σε τµήµατα συγκεκριµένης επιφάνειας. Εάν η κάµψη είναι µονοαξονική, η διατοµή χωρίζεται σε λωρίδες ή «ίνες» κάθετα στο επίπεδο της κάµψης. Εάν είναι διαξονική, η διακριτοποίηση της διατοµής γίνεται σε ορθογωνικά κελιά (Σχήµα 2.12α). Στο κέντρο κάθε ίνας ή κελιού θεωρείται συγκεντρωµένο το σκυρόδεµα ή/και ο χάλυβας. Έτσι το προσοµοίωµα ινών χρησιµοποιεί τους µονοαξονικούς καταστατικούς νόµους τάσεων - παραµορφώσεων (σ- -25-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας ε) των συγκεκριµένων υλικών, υπό ανακυκλιζόµενη ένταση. Ο νόµος σ-ε για το σκυρόδεµα µπορεί να λάβει υπόψη την επιρροή της περίσφιξης και της ρηγµάτωσης, τη φαινόµενη αύξηση της δυσκαµψίας λόγω των εφελκυστικών τάσεων που αναπτύσσονται στο σκυρόδεµα µεταξύ των ρωγµών κ.ά. Για το χάλυβα µπορεί να λάβει υπόψη την επιρροή του λυγισµού των διαµήκων ράβδων (Φαρδής 2008). Η ορθή παραµόρφωση στο σηµείο (y,z) στη διατοµή του µέλους στη θέση x (Σχήµα 2.12β) κατά µήκος του άξονά του συνδέεται µε το µητρώο-στήλη των παραµορφώσεων της διατοµής ε s (x)=[φ y (x) φ z (x) ε ο (x)] Τ µέσω της υπόθεσης επιπεδότητας των διατοµών από την Εξίσωση (2.2.4), όπου το µητρώο B s (y,z) καθορίζεται από την Εξίσωση (2.2.5). Οι φ y (x) και φ z (x) είναι οι καµπυλότητες της διατοµής στη θέση x περί τον άξονα y-y και z-z αντίστοιχα και ε ο (x) είναι η αξονική παραµόρφωση του κέντρου βάρους της διατοµής στην ίδια θέση. ε(x,y,z)=b s (y,z) ε s (x) (2.2.4) B s (y,z)=[z, -y, 1] (2.2.5) Tο µητρώο στήλη των εντατικών µεγεθών της διατοµής S s (x)=[m y (x) M z (x) N(x)] Τ προκύπτει από την κατανοµή των ορθών τάσεων σ(y,z) στην επιφάνεια της διατοµής από την Εξίσωση (2.2.6). S s (x)= Α B sτ σ(x,y,z)da (2.2.6) Η µεταβολή του S s (x) σε ένα βήµα της ανάλυσης συνδέεται µε αυτήν του ε s (x) από την κλασική Εξίσωση (2.2.7), όπου το τρέχον εφαπτοµενικό µητρώο δυσκαµψίας της διατοµής Κ t s (x) δίνεται από την Εξίσωση (2.2.8). ds s (x)= K t s (x)dε s (x) (2.2.7) K t s (x)= Α E t (x,y,z) B sτ B s da (2.2.8) Το εφαπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας E t (x,y,z)=dσ/dε εξαρτάται από το είδος του υλικού στη θέση (y,z) και προκύπτει από τον νόµο σ-ε σε ανακυκλιζόµενη ένταση ανάλογα και µε την πρότερη ιστορία των τάσεων σ και παραµορφώσεων ε. Κατά τα γνωστά, το µητρώο δυσκαµψίας του µέλους Κ t m συνδέει το µητρώο στήλη στα άκρα Α και Β του µέλους S m =[M A y M A z M B y M B z N T] µε αυτό των παραµορφώσεων του v m =[θ A y θ A z θ B y θ B z u θ t ] T µέσω της Εξίσωσης (2.2.9), όπου θ y, θ z είναι οι γωνίες στροφής των Α και Β ως προς την χορδή ΑΒ και u t, θ t η σχετική µετακίνηση και στροφή των ακραίων διατοµών κατά µήκος ή περί τον άξονα x-x αντίστοιχα ds m = K t m dv m (2.2.9) Τα πρώτα προσοµοιώµατα ινών (Mari & Scordelis 1984) που αναπτύχθηκαν χρησιµοποίησαν τη µέθοδο της δυσκαµψίας (displacement-based) για την κατάστρωση του Κ t m χρησιµοποιώντας σταθερό µητρώο παρεµβολής Β m (x) για τον υπολογισµό των παραµορφώσεων σε οποιαδήποτε θέση κατά µήκος του µέλους από την Εξίσωση (2.2.10). dε s (x)= Β m (x) T dv m (2.2.10) Στη συνέχεια υπολογίζουν το Κ t m από την Εξίσωση (2.2.11) και τη µεταβολή του µητρώου των εντατικών µεγεθών από την Εξίσωση (2.2.12). Κ t m = L B Τ m (x) K t s (x) B m (x)dx (2.2.11) ds t m = L B Τ m (x) ds s (x)dx (2.2.12) Η ολοκλήρωση ως προς x στο µήκος L του µέλους γίνεται γενικώς αριθµητικά, είτε µε τον κανόνα του τραπεζίου και πολλές ισαπέχουσες διατοµές, είτε µε πιο αποδοτικές µεθόδους και λιγότερες διατοµές σε µη-κανονικές αποστάσεις. Τέτοιες µέθοδοι είναι η -26-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας κλασική ολοκλήρωση µε τη µέθοδο Gauss ή η µεταγενέστερη µέθοδος Gauss-Lobatto, η οποία έχει το πλεονέκτηµα ότι βασίζεται στις ακραίες διατοµές και σε (συνήθως) τρία έως επτά ενδιάµεσα σηµεία. Ωστόσο, η αριθµητική ολοκλήρωση µπορεί να οδηγήσει σε σηµαντικά προβλήµατα: µόλις το ένα έστω άκρο εισέλθει στην ανελαστική περιοχή, η µεταβολή του ε s (x) δεν είναι πλέον αυτή που προκύπτει από σταθερό B m (x) κατά µήκος του µέλους. Όπως έχει διατυπωθεί και προηγουµένως, οι καµπτικές ανελαστικές παραµορφώσεις συγκεντρώνονται στις πλαστικές αρθρώσεις και εξαπλώνονται σταδιακά κατά µήκος του µέλους καθώς αυξάνεται η ένταση. Το γεγονός αυτό µπορεί να οδηγήσει σε σηµαντικό σφάλµα στον υπολογισµό του εφαπτοµενικού µητρώου δυσκαµψίας του στοιχείου που καθορίζεται από την Εξίσωση (2.2.11) (Fardis 1997). α) ιατοµή Gauss B Κόµβος Β Κόµβος A ιατοµή Gauss A β) Τελική ιατοµή Απερίσφικτη ιατοµή Περισφιγµένη ιατοµή Οπλισµός Σχήµα 2.12: α) ιακριτοποίηση δοµικού στοιχείου µε τα µοντέλα ινών β) Σύστηµα συντεταγµένων προσοµοιώµατος ινών Επιπρόσθετα, είναι δυνατόν µε την παραπάνω διαµόρφωση, η τιµή της αξονικής δύναµης που ορίζεται ως Ν(x)= Α σ(x,y,z)da να µεταβάλλεται κατά µήκος του στοιχείου, χωρίς να µπορεί να γίνει διόρθωση αυτής της µεταβολής µέσω επαναλήψεων που αποσκοπούν στην επαναφορά της ισορροπίας (Φαρδής 2008). Ένα σοβαρότερο πρόβληµα εµφανίζεται εάν σε ακραία διατοµή αναπτυχθεί η οριακή (µέγιστη) ροπή αντοχής. Εάν οι παραµορφώσεις της διατοµής αυτής συνεχίζουν να αυξάνονται και στον κατιόντα κλάδο, τότε λαµβάνει χώρα αποφόρτιση σε όλες τις -27-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας υπόλοιπες διατοµές πλην της ακραίας. Σταθερό µητρώο B m (x) δεν ανταποκρίνεται σε αυτή τη συµπεριφορά και προκαλεί αριθµητικά προβλήµατα (Φαρδής 2008). Για την αντιµετώπιση κάποιων από τα ανωτέρω προβλήµατα χρησιµοποιούνται σήµερα προσοµοιώµατα ινών που βασίζονται στη µέθοδο της ευκαµψίας (force-based) (Kaba & Mahin 1984, Ciampi & Carlesimo 1986, Zeris & Mahin 1988, Taucer et al. 1991, Spacone et al. 1996). Σε αυτά τα µοντέλα, το εφαπτοµενικό µητρώο ευκαµψίας της διατοµής F s t (x) υπολογίζεται αρχικά µε αντιστροφή του K s t (x) και ολοκληρώνεται στη συνέχεια κατά µήκος του µέλους για να δώσει το εφαπτοµενικό µητρώο ευκαµψίας του στοιχείου F m t ως εξής: F m t = L e(x) T F s t (x) e(x)dx (2.2.13) Το µητρώο ισορροπίας e(x) που συνδέει το S s (x) µε το S m ως S s (x)= e(x) S m είναι ανεξάρτητο της κατανοµής των ανελαστικών παραµορφώσεων κατά µήκος του µέλους, αφού προσδιορίζεται πλήρως από τη συνθήκη ισορροπίας του στοιχείου. εδοµένου ότι ισχύει η κατωτέρω Εξίσωση (2.2.14), η µεταβολή του διανύσµατος των επικόµβιων εσωτερικών δυνάµεων ds m = L Β m (x) T ds s (x)dx µπορεί να βασισθεί σε µεταβλητό µητρώο Β m (x), το οποίο και αναθεωρείται συνεχώς κατά τη διάρκεια της ανάλυσης, καθώς εξελίσσεται η ανελαστικότητα στο εσωτερικό του µέλους. dε s (x)= F s t (x)ds s (x)= F s t (x) e(x) ds m = F s t (x) e(x) K m t dv m (2.2.14) Παρόλ' αυτά, παραµένει η ασυµβατότητα µεταξύ εντατικών µεγεθών-διατοµής και επικοµβίων δυνάµεων, εν προκειµένω µεταξύ των Εξισώσεων (2.2.15) και (2.2.16). S s (x)= Α B sτ σ(x,y,z)da (2.2.15) S s (x)= e(x) S m (2.2.16) Τα προσοµοιώµατα ινών που βασίζονται στη µέθοδο της ευκαµψίας έχουν το πλεονέκτηµα ότι είναι σε θέση να αποδώσουν µε επάρκεια την πραγµατική εξέλιξη της δυσκαµψίας των στοιχείων Ο/Σ. Για την αύξηση της ακρίβειας των αποτελεσµάτων αρκεί να αυξηθεί το πλήθος των σηµείων αριθµητικής ολοκλήρωσης. Αντίθετα, στα προσοµοιώµατα που στηρίζονται στη µέθοδο της δυσκαµψίας µπορεί να αυξηθεί η ακρίβειά τους µόνο µέσω της εισαγωγής ενδιάµεσων κόµβων κατά µήκος του στοιχείου κάτι που αυξάνει τους βαθµούς ελευθερίας του στατικού µοντέλου και είναι γενικά πιο ακριβό υπολογιστικά από την αύξηση των σηµείων αριθµητικής ολοκλήρωσης. Έτσι, ενώ φαινοµενικά µε τα προσοµοιώµατα της µεθόδου ευκαµψίας αυξάνεται το υπολογιστικό κόστος, αφού απαιτείται επαναληπτική διαδικασία για την εξασφάλιση της ισορροπίας σε επίπεδο στοιχείου (Spacone et al. 1996), για την διασφάλιση του ίδιου βαθµού αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων αποδεικνύεται ότι τα µοντέλα της µεθόδου δυσκαµψίας είναι περισσότερο δαπανηρά (Neuenhofer & Filippou 1997). Το βασικό πλεονέκτηµα των µοντέλων ινών είναι η δυνατότητα τους να προσοµοιώνουν µε ακριβή τρόπο τη σύζευξη των δύο διευθύνσεων της κάµψης µεταξύ τους αλλά και µε την αξονική δύναµη σε κάθε βήµα της σεισµικής φόρτισης. Επιπλέον, τα στοιχεία που βασίζονται στη µέθοδο της ευκαµψίας είναι σε θέση να αποδώσουν τη επέκταση των ανελαστικών παραµορφώσεων κατά µήκος ενός µέλους Ο/Σ, αλλά µε τµηµατικό τρόπο (ανάλογα και τον αριθµό των σηµείων Gauss) και όχι βαθµιαία, όπως συµβαίνει στην πραγµατικότητα. Το σηµαντικότερο µειονέκτηµα των προσοµοιωµάτων ινών είναι η απαίτηση µεγάλου όγκου αριθµητικών υπολογισµών σε κάθε βήµα της ανάλυσης και η ταυτόχρονη ανάγκη για παρακολούθηση της ιστορίας σ-ε κάθε ίνας ή κελιού κάθε διακριτής διατοµής κάθε στοιχείου του προσοµοιώµατος της κατασκευής. -28-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Το υπολογιστικό κόστος αυξάνεται µάλιστα σηµαντικά από την ανάγκη που προκύπτει για την χρήση σηµαντικού αριθµού πεπερασµένων στοιχείων για τα µοντέλα που στηρίζονται στη µέθοδο της δυσκαµψίας ή σηµείων Gauss για τα µοντέλα που βασίζονται στη µέθοδο των δυνάµεων κοντά στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων των στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος. Υπολογιστικό κόστος που αυξάνεται ακόµη περισσότερο από την ανάγκη προσοµοίωσης των διατµητικών παραµορφώσεων και της ολίσθησης της αγκύρωσης, όπως θα αναφερθεί στη συνέχεια. Τέλος, πρέπει να σηµειωθεί ότι τα συγκεκριµένα αναλυτικά µοντέλα εµφανίζουν αρκετά συχνά φαινόµενα αριθµητικής αστάθειας (Zeris & Mahin 1988, Φαρδής 2008). Λαµβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω, προκύπτει ότι η γενικότητα και η επιστηµονική ορθότητα που χαρακτηρίζουν τα προσοµοιώµατα ινών δεν µπορεί να αξιοποιηθεί προς το παρόν µε τη γενικευµένη εφαρµογή τους σε πρακτικές περιπτώσεις αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφοράς σύνθετων κατασκευών Ο/Σ (Φαρδής 2008). 2.5 Μοντέλα Προσοµοίωσης Ανελαστικών ιατµητικών Παραµορφώσεων Στις κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση, η επιρροή της διάτµησης είναι δυνατόν να αποβεί εξίσου σηµαντική ή και περισσότερο σηµαντική από την επίδραση της κάµψης. Η επιρροή της διάτµησης γίνεται περισσότερη κρίσιµη καθώς η κατασκευή εισέρχεται στην ανελαστική περιοχή εξαιτίας της σηµαντικής υποβάθµισης της δυσκαµψίας και της αντοχής που χαρακτηρίζει την ανελαστική διατµητική συµπεριφορά. Είναι ευρέως γνωστό (π.χ. Penelis-Kappos 1997) ότι στοιχεία Ο/Σ που η συµπεριφορά τους αρχικά καθορίζεται από την κάµψη είναι δυνατόν να αστοχήσουν στη συνέχεια σε τέµνουσα, λόγω της σταδιακής υποβάθµισης της διατµητικής αντοχής µε την ανακύκλιση. Παρά την εξαιρετική σπουδαιότητα της ορθής προσοµοίωσης των διατµητικών παραµορφώσεων στις κατασκευές µε µη πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση, η σύγχρονη έρευνα απέχει σηµαντικά από το να είναι σε θέση να προσοµοιώσει επαρκώς τη διατµητική συµπεριφορά των στοιχείων Ο/Σ υπό ισχυρή ανακυκλιζόµενη ένταση και την αλληλεπίδρασή της µε την κάµψη. Μέχρι και σήµερα, δύο είναι οι βασικές µεθοδολογίες που χρησιµοποιούνται για την ενσωµάτωση της επιρροής της ανακυκλιζόµενης τέµνουσας στην προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς στοιχείων Ο/Σ. Στην πρώτη µεθοδολογία, οι διατµητικές παραµορφώσεις ενσωµατώνονται µε έµµεσο τρόπο στις καµπτικές παραµορφώσεις. Η περιβάλλουσα καµπύλη τροποποιείται µε κατάλληλο τρόπο, ώστε να ληφθεί υπόψη η πρόσθετη ευκαµψία που προέρχεται από τις διατµητικές παραµορφώσεις, ενώ τα υστερητικά µοντέλα που έχουν αναπτυχθεί για την προσοµοίωση της κάµψης τροποποιούνται κατάλληλα µε βάση µία εµπειρική-φαινοµενολογική προσέγγιση προκειµένου να ενσωµατώσουν και την επιρροή της διάτµησης. Τυπικό δείγµα της πρώτης προσέγγισης είναι το στοιχείο των Roufaiel & Meyer (1987). Το µοντέλο αυτό ανήκει στην κατηγορία των µοντέλων κατανεµηµένης πλαστικότητας, όπως το µοντέλο των Soleimani et al. (1979). Το κύριο χαρακτηριστικό του συγκεκριµένου µοντέλου είναι η υιοθέτηση µιας υστερητικής σχέσης ροπών- -29-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας καµπυλοτήτων που βασίζεται στο τροποποιηµένο µοντέλο Takeda και οι κλάδοι επαναφόρτισής της είναι συνάρτηση του λόγου διάτµησης του στοιχείου. Όσο µειώνεται ο λόγος αυτός τόσο µειώνεται και η κλίση του κλάδου επαναφόρτισης. Με τον τρόπο αυτόν προσοµοιώνεται η επιρροή της στένωσης γύρω από την αρχή των αξόνων που χαρακτηρίζει την ανακυκλική διατµητική συµπεριφορά στη συνολική σχέση δύναµης-µετακίνησης των στοιχείων Ο/Σ. Παρόλο που η συγκεκριµένη µεθοδολογία είναι περισσότερη απλή και είναι σε θέση να προσοµοιώσει επαρκώς σε κάποιες περιπτώσεις την αλληλεπίδραση του φαινοµένου της κάµψης µε τη διάτµηση, κατά την άποψη του γράφοντα δεν µπορεί να καλύψει τη γενική περίπτωση της απόκρισης των στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος εξαιτίας του µεγάλου αριθµού των παραµέτρων που υπεισέρχονται και του σύνθετου ρόλου που είναι δυνατόν αυτές να διαδραµατίσουν στο συγκεκριµένο πρόβληµα. Στη δεύτερη προσέγγιση, οι ανελαστικές διατµητικές παραµορφώσεις προσοµοιώνονται χωριστά και στη συνέχεια προστίθενται µε κατάλληλο τρόπο στις αντίστοιχες καµπτικές. Για την προσέγγιση αυτήν απαιτείται ο υπολογισµός της περιβάλλουσας καµπύλης τέµνουσας-διατµητικής παραµόρφωσης (σε επίπεδο διατοµής) ή τέµνουσας-διατµητικής µετακίνησης (σε επίπεδο στοιχείου) και η υιοθέτηση ενός αξιόπιστου φαινοµενολογικού µοντέλου για την προσοµοίωση της διατµητικής, υστερητικής συµπεριφοράς. Για τον προσδιορισµό της περιβάλλουσας καµπύλης τέµνουσας δύναµης διατµητικής παραµόρφωσης υπό µονότονη φόρτιση έχουν προταθεί µέχρι σήµερα διάφορες σύνθετες αναλυτικές µεθοδολογίες, όπως είναι η Compression Field Theory (θεωρία θλιπτικού πεδίου) (Collins 1978), η Modified Compression Field Theory (Vecchio & Collins 1986) και η Softened Truss Theory (θεωρία χαλαρούµενου δικτυώµατος) (Hsu 1988). Τα µοντέλα αυτά, πέρα από την πολυπλοκότητά τους που τα καθιστά δυσεφάρµοστα για ανελαστικές αναλύσεις πραγµατικών κατασκευών, έχει διαπιστωθεί ότι δεν παρέχουν πάντοτε ικανοποιητικές προβλέψεις στην κρίσιµη περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων (Priestley et al. 1996). Εναλλακτικά, πολλοί ερευνητές (Fardis 1991, Ricles et al. 1998, Elwood & Moehle 2003, Marini & Spacone 2006) για τον σχεδιασµό της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ, προτείνουν την ένωση µε ευθύγραµµα τµήµατα (multi-linear curve) σηµείων (γ, V) τα οποία αντιστοιχούν σε χαρακτηριστικές φάσεις της διατµητικής συµπεριφοράς και τα οποία προσδιορίζονται µε εµπειρικό ή ηµιεµπειρικό τρόπο. Είναι σαφές ότι η αξιοπιστία της συγκεκριµένη µεθοδολογίας εξαρτάται καθοριστικά από την ακρίβεια του υπολογισµού των συγκεκριµένων χαρακτηριστικών σηµείων. Σε αντίθεση µε την καµπτική συµπεριφορά, η διατµητική συµπεριφορά χαρακτηρίζεται από έντονη αποµείωση των χαρακτηριστικών των βρόχων υστέρησης υπό ανακυκλιζόµενη ένταση. Βασικό γνώρισµα των διατµητικών βρόχων υστέρησης αποτελεί η στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων, η σταδιακή αποµείωση της κλίσης των κλάδων αποφόρτισης και η αποµείωση της διατµητικής αντοχής. Ήδη από τη δεκαετία του 1970 (Küstü & Bouwkamp 1973, Ma et al. 1976, Takayanagi & Schnobrich 1977, Thom 1983) έγιναν οι πρώτες προσπάθειες ανάπτυξης µοντέλων που θα προσοµοιώνουν µε επάρκεια τη διατµητική υστέρηση. Η πλέον ολοκληρωµένη προσπάθεια να διαµορφωθεί ένα υστερητικό µοντέλο για την απόκριση σε τέµνουσα έγινε από τους Ozcebe & Saatcioglu (1989). Σε αυτό το µοντέλο οι κλίσεις των κλάδων αποφόρτισης και επαναφόρτισης προσδιορίστηκαν µετά -30-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας από στατιστική ανάλυση πειραµατικών αποτελεσµάτων. Οι διάφοροι κλάδοι ορίζονται µε τη βοήθεια παραµέτρων των οποίων η συµβολή στην απόκριση παρατηρήθηκε ότι είναι σηµαντική από τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Αυτές οι παράµετροι περιλαµβάνουν το δείκτη πλαστιµότητας διατµητικών µετακινήσεων, τον αριθµό των κύκλων φόρτισης σε µία ορισµένη στάθµη παραµόρφωσης, και τη στάθµη του αξονικού φορτίου. Παρά το γεγονός ότι το αναλυτικό µοντέλο των Ozcebe & Saatcioglu (1989) είναι το πλέον λεπτοµερές µοντέλο για τη διατµητική υστέρηση, πάσχει από κάποιες εγγενείς αδυναµίες που περιορίζουν την εφαρµογή του στην ανελαστική ανάλυση κατασκευών Ο/Σ. Οι αδυναµίες αυτές είναι οι εξής: Τα δοκίµια από τα πειράµατα που χρησιµοποιήθηκαν για την ανάπτυξη του υστερητικού µοντέλου είχαν κατά βάση σχεδιαστεί για να διαρρέουν σε κάµψη πριν την αστοχία σε τέµνουσα (shear-flexure critical elements). Ήταν δηλαδή σχεδιασµένα να αναπτύξουν περιορισµένης κλίµακας πλάστιµη συµπεριφορά. εν έχει ληφθεί ειδική µέριµνα για τα στοιχεία εκείνα που αναπτύσσουν πλήρως τη διατµητική αντοχή τους, χωρίς πρώτα να διαρρεύσουν σε κάµψη (shear critical elements). Το αναλυτικό µοντέλο περιορίζεται µόνο στο εύρος των παραµορφώσεων, όπου η πτώση αντοχής της διατοµής σε µονότονη φόρτιση δεν είναι σηµαντική. Αυτό σηµαίνει ότι δεν έχει γίνει ειδική πρόβλεψη για τη συµπεριφορά µετά τη διατµητική αστοχία. Το µοντέλο έχει αναπτυχθεί µε βάση έναν σχετικά µικρό αριθµό πειραµατικών δεδοµένων. Οι προτεινόµενες εµπειρικές σχέσεις έχουν προκύψει µε βάση πειράµατα στα οποία εφαρµόστηκαν µόνο δύο στάθµες ανηγµένης αξονικής θλιπτικής δύναµης (ν=0.0 και ν=0.11) και στα οποία οι πλαστιµότητες σε όρους διατµητικής παραµόρφωσης που αναπτύχθηκαν ήταν µικρότερες του 9. Εκτός αυτού του εύρους τιµών η αξιοπιστία του µοντέλου είναι αµφίβολη. Το µοντέλο είναι ιδιαίτερα πολύπλοκο, καθώς περιλαµβάνει ένα µεγάλο αριθµό κανόνων για τους κλάδους αποφόρτισης και επαναφόρτισης. Ο βαθµός πολυπλοκότητάς του µάλιστα σε πολλές περιπτώσεις δεν µπορεί να δικαιολογηθεί από το µέγεθος της ακρίβειας που είναι δυνατόν να επιτευχθεί κατά την ανελαστική ανάλυση πλαισιακών κατασκευών, ιδιαίτερα εκείνων µε µη πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση. Για την αντιµετώπιση των συγκεκριµένων προβληµάτων προτάθηκαν στη µεταγενέστερη βιβλιογραφία µια σειρά µοντέλων υστέρησης (Fardis 1991, Filippou et al. 1992, Lee & Elnashai 2001) που αποτελούν απλουστευµένες εκδοχές ή και προεκτάσεις του αρχικού µοντέλου µετά από κατάλληλες τροποποιήσεις. Η προσέγγιση του διαχωρισµού των καµπτικών και διατµητικών παραµορφώσεων και της µετέπειτα σύνθεσης είναι περισσότερη εύλογη και για αυτόν τον λόγο εφαρµόστηκε σε περισσότερα αναλυτικά µοντέλα στη διεθνή βιβλιογραφία. Οι Takayanagi et al. (1979) χρησιµοποίησαν µία τροποποιηµένη µορφή του µοντέλου Takeda (µε στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων) την οποία ενσωµάτωσαν σε ένα ανελαστικό διατµητικό υποστοιχείο οµοιόµορφης δυστµησίας σε ολόκληρο το µήκος του στοιχείου (Σχήµα 2.13). Το υποστοιχείο αυτό συνδεόταν σε σειρά µε ένα καµπτικό -31-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας υποστοιχείο µίας συνιστώσας (Giberson, 1967). Το µοντέλο χρησιµοποιήθηκε για την προσοµοίωση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων σε τοιχώµατα Ο/Σ. Ελαστικό στοιχείο Στροφικό ελατήριο Στροφικό ελατήριο ιατµητικό ελατήριο Σχήµα 2.13: Αναλυτικό µοντέλο Takayanagi et al. (1979) Το µητρώο ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου δίνεται σε αυτήν την περίπτωση από την Εξίσωση (2.3.1), όπου GA M είναι η τρέχουσα, εφαπτοµενική τιµή της δυστµησίας στο µέσο και L το µήκος του στοιχείου. sh 1 1 1 F = GAM L 1 1 (2.3.1) Βασική πρωτοτυπία του συγκεκριµένου µοντέλου είναι η σύζευξη καµπτικής και διατµητικής διαρροής την οποία είχαν παρατηρήσει οι συγκεκριµένοι ερευνητές σε πειράµατα µεµονωµένων τοιχωµάτων υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Η σύζευξη αυτή επιτεύχθηκε µε την παραδοχή ότι η τέµνουσα διαρροής της περιβάλλουσας καµπύλης τέµνουσας-διατµητικής παραµόρφωσης (V-γ) αντιστοιχεί στην τέµνουσα που αναπτύσσεται κατά τη καµπτική διαρροή του στοιχείου. Η κλίση του κλάδου της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ µετά τη διαρροή βασίστηκε σε ηµι-εµπειρικές σχέσεις, ενώ δεν έγιναν σαφείς προτάσεις σχετικά µε την στένωση του διατµητικού βρόχου και τη σταδιακή υποβάθµιση της διατµητικής αντοχής µε την ανακύκλιση. Επίσης, δεν λήφθηκε υπόψη η µείωση της διατµητικής αντοχής από την αλληλεπίδραση µε την κάµψη και δεν έγινε διαφοροποίηση της διατµητικής υστέρησης εντός και εκτός των πλαστικών αρθρώσεων. Ο Thom (1983) πρότεινε ένα µοντέλο που αποτελεί επέκταση του γνωστού µοντέλου µιας συνιστώσας (Giberson 1967) στο οποίο οι διατµητικές παραµορφώσεις προσοµοιώνονται µε τη χρήση ανελαστικών µεταφορικών διατµητικών ελατηρίων που συνδέονται σε σειρά µε τα καµπτικά στροφικά ελατήρια και στα δύο άκρα του στοιχείου (Σχήµα 2.14). Τα διατµητικά ελατήρια συσχετίζουν την τέµνουσα στο άκρο του στοιχείου µε την αντίστοιχη διατµητική µετακίνηση. Το µητρώο ευκαµψίας που εκφράζει τις διατµητικές παραµορφώσεις δίνεται σε αυτήν την περίπτωση από την Εξίσωση (2.3.2), όπου η δυστµησία K v,sh προσδιορίζεται από την Εξίσωση (2.3.3) και στην οποία K Αv,sh και K Βv,sh είναι οι τρέχουσες, εφαπτοµενικές δυστµησίες των διατµητικών ελατηρίων στα άκρα Α και Β, αντίστοιχα, του στοιχείου. -32-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας sh 1 1 1 F = 2 KV, sh L 1 1 (2.3.2) Κ V,sh =(Κ ΑV,sh Κ BV,sh )/( Κ ΑV,sh +Κ BV,sh ) (2.3.3) Η περιβάλλουσα των ελατηρίων είναι διγραµµική, ενώ για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς προτείνεται ένας σύνθετος υστερητικός νόµος ο οποίος µε τη διαφοροποίηση κατάλληλων παραµέτρων που καθορίζουν τους κανόνες αποφόρτισης και επαναφόρτισης µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο για τα καµπτικά όσο και για τα διατµητικά ελατήρια. Ωστόσο, σε αυτό το µοντέλο δεν γίνονται συγκεκριµένες προτάσεις για τον τρόπο προσδιορισµού της περιβάλλουσας καµπύλης των διατµητικών ελατηρίων, ώστε να λαµβάνεται υπόψη και η αλληλεπίδραση της κάµψης µε την τέµνουσα. Επιπλέον, µε τη χρήση των µεταφορικών ελατηρίων στα άκρα του στοιχείου δεν είναι εφικτό να προσοµοιωθεί η βαθµιαία εξάπλωση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων στο µέλος οπλισµένου σκυροδέµατος. Τέλος, δε γίνεται βαθµονόµηση των επιµέρους παραµέτρων του διατµητικού υστερητικού µοντέλου για την αξιόπιστη προσοµοίωση της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς. Άκαµπτη rigid zone ζώνη Καµπτικό flexural ελατήριο spring ιατµητικό shear spring ελατήριο A B B Σχήµα 2.14: Αναλυτικό µοντέλο Thom (1983) Ο Fardis (1991) πρότεινε ένα διατµητικό υποστοιχείο οµοιόµορφης δυστµησίας για την ανάλυση κατασκευών Ο/Σ στις τρεις διαστάσεις (3D model), το οποίο µπορεί να τοποθετηθεί σε σειρά µε οποιοδήποτε µοντέλο κατανεµηµένης ή συγκεντρωµένης πλαστικότητας σε κάµψη. Η υστερητική συµπεριφορά του διατµητικού υποστοιχείου καθορίζεται από το προτεινόµενο µοντέλο των Ozcebe & Saatcioglu (1989) µετά από κατάλληλες βελτιώσεις και απλοποιήσεις. Οι βελτιώσεις αφορούν την εισαγωγή ενός πρόσθετου πτωτικού κλάδου και ενός κλάδου παραµένουσας αντοχής µετά τη διατµητική αστοχία, καθώς και τη διαφοροποίηση του υστερητικού νόµου µείωσης της διατµητικής αντοχής, ώστε η περιβάλλουσα καµπύλη να υποβαθµίζεται βαθµαία µε τη µέγιστη διατµητική παραµόρφωση (Σχήµα 2.15). Οι απλοποιήσεις αναφέρονται κατά κύριο λόγο στους υστερητικούς κανόνες αποφόρτισης και επαναφόρτισης και κρίνεται ότι επηρεάζουν σε µικρό βαθµό την ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Η περιβάλλουσα καµπύλη της διατµητικής συµπεριφοράς προκύπτει µε τη βοήθεια εµπειρικών σχέσεων που προέκυψαν από πειραµατικά αποτελέσµατα τοιχωµάτων Ο/Σ και αποτελείται από τέσσερις κλάδους. Οι τεταγµένες των σηµείων διαρροής και παραµένουσας αντοχής (τ y και τ r ) προσδιορίζονται ως ποσοστά της µέγιστης διατµητικής αντοχής τ u. -33-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Στο συγκεκριµένο αναλυτικό µοντέλο δεν έχει γίνει ειδική πρόβλεψη για την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων των στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος. τ Περιβάλλουσα τ-γ σε µονότονη φόρτιση τ u τ y Περιβάλλουσα τ-γ σε ανακυκλιζόµενη φόρτιση τ r γ γ y γ u γ r Σχήµα 2.15: Περιβάλλουσα καµπύλη τ-γ σε µονότονη και ανακυκλιζόµενη φόρτιση διατµητικού υποστοιχείου των Fardis et al. (1991). Οι Filippou et al. (1992) προσοµοίωσαν τις διατµητικές ανελαστικές παραµορφώσεις µε τη χρήση δύο συγκεντρωµένων στροφικών ελατηρίων µηδενικού µήκους τα οποία τοποθετήθηκαν στα δύο άκρα του στοιχείου. Τα δύο στροφικά ελατήρια συνδέονται µεταξύ τους µέσω µιας άκαµπτης ράβδου προκειµένου να µορφωθεί το διατµητικό υποστοιχείο (shear subelement) που φαίνεται στο Σχήµα (2.16). Το συγκεκριµένο υποστοιχείο συνδέθηκε σε σειρά µε το µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας που είχε αναπτυχθεί πρωτύτερα από τους Filippou & Issa (1988) για την προσοµοίωση των καµπτικών παραµορφώσεων. Το µητρώο ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου δίνεται από την Εξίσωση (2.3.4), όπου Κ ΑΘ,sh και Κ ΒΘ,sh είναι οι τρέχουσες εφαπτοµενικές δυστµησίες των στροφικών ελατηρίων στα δύο άκρα του στοιχείου. Από τη µορφή του µητρώου ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου είναι εµφανές ότι δεν αποφεύγεται η αποσύζευξη της διατµητικής υστέρησης που αναπτύσσουν τα δύο άκρα του στοιχείου. Για την εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης ροπής- στροφής λόγω διατµητικής παραµόρφωσης των ακραίων ελατηρίων έγινε η απλοποιητική παραδοχή ότι το διάγραµµα των ροπών παραµένει αντισυµµετρικό σε όλη τη διάρκεια της απόκρισης του µέλους. Στη συνέχεια µε την αρωγή της θεωρίας του τροποποιηµένου θλιπτικού πεδίου (Modified Compression Field Theory, MCFT) (Vecchio & Collins, 1986), προσδιορίζεται η σχέση της ροπής στο άκρο του στοιχείου µε την αντίστοιχη συνολική διατµητική µετακίνηση και κατ' επέκταση τη στροφή από διατµητικές παραµόρφωσεις µετά από διαίρεση µε το µήκος του ισοδύναµου προβόλου. Για την προσοµοίωση της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο των Ozcebe & Saatcioglu (1989) κατάλληλα τροποποιηµένο για διγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη. Το σηµείο διαρροής της διατµητικής περιβάλλουσας θεωρείται ότι ταυτίζεται µε το σηµείο που αντιστοιχεί στην έναρξη της καµπτικής διαρροής. -34-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας F sh 1 0 K AΘ, sh = 1 0 KBΘ, sh (2.3.4) ιατµητικό στροφικό ελατήριο A Άκαµπτη ράβδος ιατµητικό στροφικό ελατήριο B L Σχήµα 2.16: Προσοµοίωση ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων από τους Filippou et al. (1992). Οι Ranzo & Petrangeli (1998) ανέπτυξαν ένα δισδιάστατο προσοµοίωµα ινών (fibre model) βασισµένο στη µέθοδο της ευκαµψίας, όπου η αξονική και καµπτική συµπεριφορά είναι συνάρτηση της αξονικής παραµόρφωσης ε ο (x) και καµπυλότητας φ(x) στη θέση x του στοιχείου, όπως στα κλασικά προσοµοιώµατα ινών, ενώ η διατµητική συµπεριφορά καθορίζεται µέσω ενός µη-γραµµικού µοντέλου δικτυώµατος. Στο συγκεκριµένο µοντέλο, το διάνυσµα των εντατικών µεγεθών S s (x)=[ν(x) V(x) M(x)] Τ και το µητρώο παραµορφώσεων της διατοµής ε s (x)=[ε ο (x) γ(x) φ(x)] Τ συνδέονται µέσω του τοπικού µητρώου δυσκαµψίας της διατοµής K t s (x) που δίνεται στην Εξίσωση (2.3.5), όπου n h είναι ο αριθµός λωρίδων της διατοµής. nh n h t t Ei Ai 0 Ei yi Ai i i t [ V ( γ, ε max )] Ks ( x) = 0 0 (2.3.5) γ nh nh t t 2 Ei yi Ai 0 Ei yi Ai i i Όπως φαίνεται στο µητρώο δυσκαµψίας της διατοµής, δεν υπάρχει άµεση σύζευξη µεταξύ των ανελαστικών καµπτικών ή αξονικών παραµορφώσεων µε τις διατµητικές παραµορφώσεις σε επίπεδο διατοµής, ωστόσο οι τελευταίες επηρεάζονται από τις πρώτες µέσω της µέγιστης αξονικής παραµόρφωσης ε max που επηρεάζει τη διατµητική αντοχή, όπως εξηγείται στη συνέχεια. Η εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ γίνεται µε τη βοήθεια µη-γραµµικού µοντέλου δικτυώµατος (Σχήµα 2.17α), κάνοντας συγκεκριµένη παραδοχή για την κλίση της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής. Η τέµνουσα δύναµη προσαυξάνεται σταδιακά και καθορίζεται στη συνέχεια η αντίστοιχη διατµητική παραµόρφωση. Μετά τον προσδιορισµό των επιµέρους ζευγών V-γ, γίνεται ένωσή τους µε κατάλληλη καµπύλη συναρµογής και προσδιορίζεται µε αυτόν τον τρόπο η περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης, χωρίς την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Στη συνέχεια, µέσω εµπειρικής σχέσης συσχέτισης της µείωσης της συνολικής διατµητικής αντοχής (και όχι µόνον του µεριδίου σκυροδέµατος, όπως προτείνουν οι -35-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Priestley et al. 1994) µε την ε max, γίνεται σταδιακή υποβάθµιση της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ, κατά τέτοιο τρόπο, ώστε σε κάθε περίπτωση να διέρχεται αυτή από το σηµείο που έχει τετµηµένη τη διατµητική παραµόρφωση αστοχίας και τεταγµένη την τρέχουσα (υποβαθµισµένη) διατµητική αντοχή (Σχήµα 2.17β). Σκυρόδεµα σε εφελκυσµό Σκυρόδεµα σε θλίψη Εγκάρσιος οπλισµός (α) (β) Σχήµα 2.17: Μοντέλο Ranzo & Petrangeli (1998) α) Προσοµοίωµα δικτυώµατος για την εξαγωγή της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ, β) Υποβάθµιση της περιβάλλουσας καµπύλης µε την µέγιστη αξονική παραµόρφωση. Το µοντέλο των Ranzo & Petrangeli (1998) παρόλο που εισάγει µε τον πλέον απλό τρόπο την επίδραση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων σε ένα προσοµοίωµα ινών εξακολουθεί να έχει σηµαντικό υπολογιστικό κόστος. Συνεπώς, δεν ενδείκνυται για εφαρµογή σε σύνθετες κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος. Το πρόβληµα αυτό εντείνεται από το γεγονός ότι για την αξιόπιστη προσοµοίωση της βαθµιαίας εξάπλωσης των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων είναι δυνατόν να απαιτηθεί ένας σηµαντικός αριθµός σηµείων αριθµητικής ολοκλήρωσης (Gauss points) που αυξάνουν σηµαντικά το υπολογιστικό βάρος. Το µη-γραµµικό µοντέλο δικτυώµατος για την εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ δεν έχει βαθµονοµηθεί επαρκώς εµπειρικά, ούτε διατίθεται στη σύγχρονη βιβλιογραφία διαθέσιµη σχέση για τη συσχέτιση της ε max µε την υποβάθµιση της διατµητικής αντοχής. Τέλος, σηµειώνεται ότι η προσοµοίωση της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση µέσω υστερητικού κανόνα υποβάθµισης της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ, -36-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας ώστε η τεταγµένη του σηµείου αστοχίας να συµπίπτει µε την τρέχουσα διατµητική αντοχή (Σχήµα 2.17β), παρόλο που αποδίδει σε κάποιο βαθµό τη σταδιακή µείωση της δυστµησίας λόγω των ανελαστικών καµπτικών παραµορφώσεων, δεν αποδίδει µε ικανοποιητικό τρόπο το πραγµατικό φαινόµενο. Έτσι, ενώ έχει διαπιστωθεί πειραµατικά η απότοµη αύξηση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων σχεδόν αµέσως µετά την καµπτική διαρροή (π.χ. Saatcioglu & Ozcebe 1989), µε τη συγκεκριµένη µεθοδολογία επιτυγχάνεται µια µικρή αύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων στα πρώτα στάδια µετά την καµπτική διαρροή, ενώ η αύξηση αυτή γίνεται ραγδαία, καθώς η δρώσα τέµνουσα πλησιάζει την τρέχουσα διατµητική αντοχή. Με αυτόν τον τρόπο, για τα στοιχεία που δεν πρόκειται να αστοχήσουν διατµητικά, κατά κανόνα υποτιµώνται σηµαντικά οι αναπτυσσόµενες διατµητικές παραµορφώσεις. Γενικά, µπορεί να λεχθεί ότι η συγκεκριµένη µεθοδολογία αποσκοπεί κατά κύριο λόγο στην πρόβλεψη της διατµητικής αστοχίας, χωρίς να αποδίδει µε τεκµηριωµένο και σαφή τρόπο τη διατµητική συµπεριφορά µέχρι και τη διατµητική αστοχία. Οι Xenos & Kappos (1998) συνέδεσαν σε σειρά ένα διατµητικό υποστοιχείο (Σχήµα 2.18) κατανεµηµένης ευτµησίας στο καµπτικό υποστοιχείο των Park et al. (1987). Βασική πρωτοτυπία του συγκεκριµένου µοντέλου υπήρξε η σύλληψη της παρακολούθησης της µεταβολής της κατανοµής της δυστµησίας στα στοιχεία δοκού, όπου λόγω των κατακόρυφων κατανεµηµένων φορτίων η τέµνουσα µεταβάλλεται κατά µήκος του στοιχείου, µε τον ίδιο τρόπο που ακολουθείται για την κατανοµή της δυσκαµψίας από το µοντέλο των Park et al. (1987). Η κατανοµή της δυστµησίας καθορίζεται στο συγκεκριµένο µοντέλο από την τρέχουσα δυστµησία στα δύο άκρα του στοιχείου (GA A και GA B ) και το σηµείο µηδενισµού της δρώσας τέµνουσας, όπου η δυστµησία θεωρείται ότι λαµβάνει την αρηγµάτωτη τιµή της GA o (Σχήµα 2.18). Για τη δυστµησία στα άκρα του στοιχείου θεωρείται τριγραµµική περιβάλλουσα V-γ (διατµητική ρηγµάτωση, καµπτική διαρροή, µέγιστη διατµητική αντοχή) και χρησιµοποιείται το υστερητικό µοντέλο των Ozcebe & Saatcioglu (1989). Η κατανοµή της δυστµησίας που προτείνεται στο συγκεκριµένο µοντέλο δεν προσοµοιώνει µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο τις αρηγµάτωτες ζώνες στα στοιχεία δοκού, όπως γίνεται π.χ. από το µοντέλο Valles et al. (1996) για την περίπτωση της καµπτικής συµπεριφοράς. Επιπλέον, το συγκεκριµένο µοντέλο δε λαµβάνει υπόψη τη διαφοροποίηση της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς εντός και εκτός των πλαστικών αρθρώσεων που λαµβάνει χώρα ακόµη και στην περίπτωση όπου η τέµνουσα δύναµη παραµένει σταθερή κατά µήκος του στοιχείου (π.χ. στοιχεία υποστυλωµάτων και τοιχωµάτων) εξαιτίας της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. -37-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας V A Α) Α Β V Β GA o GA A GA B Β) α Α L L (1- α Α ) L Σχήµα 2.18: ιατµητικό υποστοιχείο Xenos & Kappos (1998), α) ιάγραµµα τεµνουσών στοιχείου, β) Κατανοµή δυστµησίας. Οι Ricles et al. (1998) πρότειναν ένα πεπερασµένο στοιχείο που αναπτύσσεται και στις τρεις διαστάσεις, η ανάπτυξη του οποίου βασίζεται στο κλασικό µοντέλο µίας συνιστώσας (Giberson 1967). Κάθε άρθρωση του συγκεκριµένου µοντέλου είναι µηδενικού µήκους και αποτελείται από τέσσερις 'υπο-αρθρώσεις' (3 καµπτικές και µία διατµητική), όπως φαίνεται και στο Σχήµα (2.19). Κάθε υπο-άρθρωση είναι αρχικά άκαµπτη µέχρι και τη διαρροή της, ενώ στη συνέχεια συνεισφέρει στη ευκαµψία της συνολικής άρθρωσης σε κάθε άκρο του στοιχείου. Ο συνδυασµός των τριών καµπτικών υπο-αρθρώσεων σε συνεργασία και µε την ελαστική δοκό δηµιουργεί µια πολυγραµµική (τετραγραµµική) περιβάλλουσα για την κάµψη σε κάθε άκρο του στοιχείου. Η διατµητική υπο-άρθρωση διέπεται από τη διατµητική επιφάνεια αστοχίας. Με αυτόν τον τρόπο το συγκεκριµένο µοντέλο υιοθετεί ουσιαστικά την παραδοχή γραµµικά ελαστικής συµπεριφοράς σε διάτµηση µέχρι και την επίτευξη της διατµητικής αντοχής, αφού η όποια ευτµησία µέχρι και τη διατµητική αστοχία προέρχεται µόνο από την ελαστική δοκό. Το µοντέλο των Ricles et al. (1998) λαµβάνει υπόψη τη µείωση της διατµητικής αντοχής λόγω της ανελαστικής κάµψης, συρρικνώνοντας, µε βάση τη σχέση των Priestley et al. (1994) και την τρέχουσα απαίτηση πλαστιµότητας µετακινήσεων, την επιφάνεια αστοχίας της διατµητικής υποάρθρωσης. Μέσω ισοτροπικής συρρίκνωσης της επιφάνειας αστοχίας γίνεται επίσης και η προσοµοίωση της πτωτικής συµπεριφοράς των διατµητικών υπο-αρθρώσεων. Η κλίση του πτωτικού κλάδου προτείνεται να λαµβάνεται στην περίπτωση των στοιχείων που αστοχούν καθαρά διατµητικά ίση µε την ελαστική δυστµησία, ενώ για στοιχεία Ο/Σ που αναµένεται να διαρρεύσουν καµπτικά και στη συνέχεια να αστοχήσουν σε τέµνουσα προτείνεται η κλίση του πτωτικού κλάδου να λαµβάνεται ίση µε το 25-50% της ελαστικής δυστµησίας. Ο πτωτικός κλάδος προτείνεται να συνεχίζεται µέχρι και την παραµένουσα διατµητική αντοχή, η οποία στη σχετική εργασία λαµβάνεται ίση µε την τέµνουσα δύναµη που δύναται να αναλάβει ο διατµητικός οπλισµός. Από εκεί και έπειτα παύει και η συρρίκνωση της επιφάνειας αστοχίας. -38-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Το µοντέλο των Ricles et al. (1998), παρόλο που δύναται να προβλέψει µε ακρίβεια την ανάπτυξη της διατµητικής αστοχίας, δεν είναι σε θέση να λάβει υπόψη τη σύζευξη ανελαστικών καµπτικών και διατµητικών παραµορφώσεων (Saatcioglu & Ozcebe 1989), αφού θεωρεί ελαστική συµπεριφορά για την τέµνουσα µέχρι και τη διατµητική αστοχία. Αρθρωση Ελαστική δοκός Εσωτερικός κόµβος Εξωτερικός κόµβος Άρθρωση άκρου I Καµπτικές Υποαρθρώσεις ιατµητική υποάρθρωση Εξωτερικός κόµβος Εσωτερικός κόµβος Σχήµα 2.19: Μοντέλο προσοµοίωσης διατµητικής αστοχίας (Ricles et al. 1998). Οι Petrangeli et al. (1999) ανέπτυξαν ένα δισδιάστατο µοντέλο ινών µε βάση τη µέθοδο της ευκαµψίας το οποίο είναι σε θέση να λάβει υπόψη µε ακριβή τρόπο και τη συνεισφορά των διατµητικών παραµορφώσεων και την αλληλεπίδρασή τους µε τις αξονικές παραµορφώσεις. Στο µοντέλο αυτό οι αξονικές παραµορφώσεις ε x προσδιορίζονται κατά τα γνωστά µε την παραδοχή της επιπεδότητας των διατοµών. Οι διατµητικές παραµορφώσεις γ xy θεωρείται ότι έχουν µια προκαθορισµένη κατανοµή κατά ύψος της διατοµής (ορθογωνική ή παραβολική) για λόγους απλοποίησης των υπολογισµών (Σχήµα 2.20). Οι εγκάρσιες παραµορφώσεις ε y προσδιορίζονται στη συνέχεια από εφαρµογή της ισορροπίας σε κάθε ίνα µετά από κατάλληλη επαναληπτική διαδικασία. συνδετήρες σκυρόδεµα ε y ε x γ xy ε y γ xy ε x συνδετήρας ε y ίνες σκυροδέµατος Σχήµα 2.20: Προσδιορισµός παραµορφώσεων διατοµής από τους Petrangeli et al. (1999) Αφού προσδιοριστεί το πλήρες διάνυσµα των παραµορφώσεων για κάθε ίνα της διατοµής [ε x ε y γ yx ], τότε είναι δυνατόν να προσδιοριστεί το αντίστοιχο διάνυσµα των τάσεων µέσω κατάλληλου καταστατικού, διαξονικού, µοντέλου για το σκυρόδεµα [σ x σ y τ yx ]. Για τον σκοπό αυτόν, οι συγκεκριµένοι ερευνητές χρησιµοποίησαν την προσέγγιση των µικροεπιπέδων (microplane approach, Bazant et al, 1996) µετά από -39-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας κατάλληλες τροποποιήσεις και σε συνδυασµό µε την αρχή των δυνατών έργων. Τα εντατικά µεγέθη της διατοµής S s (x)=[ν(x) V(x) M(x)] Τ προσδιορίζονται µετά από ολοκλήρωση των τάσεων στο σύνολο της διατοµής. Μοναδική διαπιστωµένη αδυναµία του µοντέλου των Petrangeli et al. (1999) είναι ότι δεν µπορεί να λάβει υπόψη την επιρροή της δράσης βλήτρου του διαµήκους οπλισµού στη διατµητική αντοχή και τη δυστµησία της διατοµής. Βασικό µειονέκτηµα του συγκεκριµένου µοντέλου αποτελεί επίσης η πολυπλοκότητα και το ιδιαίτερα αυξηµένο υπολογιστικό κόστος που συνεπάγεται, καθώς απαιτεί επαναληπτική διαδικασία για κάθε ίνα της διατοµής, ενώ στη συνέχεια απαιτείται και επαναληπτική διαδικασία για την εξασφάλιση της ισορροπίας σε επίπεδο στοιχείου, αφού στηρίζεται στη µέθοδο της ευκαµψίας. Η εφαρµογή του συγκεκριµένου προσοµοιώµατος έχει περιοριστεί µέχρι σήµερα στην ανάλυση µεµονωµένων στοιχείων Ο/Σ από τους εν λόγω ερευνητές. Οι Pincheira et al. (1999) χρησιµοποίησαν για την προσοµοίωση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων ένα διατµητικό υποστοιχείο οµοιόµορφης δυστµησίας το οποίο συνέδεσαν σε σειρά µε ένα καµπτικό στοιχείο συγκεντρωµένης πλαστικότητας (Giberson, 1967). Για την περιβάλλουσα του διατµητικού ελατηρίου υιοθετήθηκε κατάλληλη πολυγραµµική σχέση µε τα άκρα των επιµέρους κλάδων να καθορίζονται από το σηµείο έναρξης της διατµητικής ρηγµάτωσης, το σηµείο µέγιστης διατµητικής αντοχής και το σηµείο παραµένουσας διατµητικής αντοχής (πτωτικός κλάδος). Η συγκεκριµένη πολυγραµµική καµπύλη προκύπτει µετά από µια διαδικασία προσέγγισης της αντίστοιχης αναλυτικής καµπύλης σε επίπεδο διατοµής που δίνει η MCFT. εδοµένου ότι η σχέση V-γ διαφοροποιείται από διατοµή σε διατοµή του στοιχείου, καθώς επηρεάζεται από την δρώσα ροπή στην εκάστοτε διατοµή, οι συγκεκριµένοι ερευνητές έκαναν τη συντηρητική παραδοχή ότι η σχέση V-γ της ακραίας διατοµής ισχύει για ολόκληρο το µήκος του στοιχείου. Για την παραµένουσα διατµητική αντοχή έγινε η θεώρηση ότι αυτή ταυτίζεται µε τη διατµητική αντοχή του εγκάρσιου οπλισµού, παραδοχή που ενγένει δεν έδωσε καλή σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Στο υστερητικό µοντέλο που χρησιµοποιούν οι συγκεκριµένοι ερευνητές υπάρχει η δυνατότητα της προσοµοίωσης της στένωσης γύρω από την αρχή των αξόνων και της πτώσης της διατµητικής αντοχής µε την ανακύκλιση, ωστόσο δεν γίνονται συγκεκριµένες προτάσεις για τις υστερητικές παραµέτρους που καθορίζουν αυτά τα φαινόµενα. Οι Lee & Elnashai (2001) χρησιµοποίησαν ένα µεταφορικό ελατήριο σε κάθε πέρας του εξεταζόµενου δοµικού στοιχείου για την προσοµοίωση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων. Η περιβάλλουσα του διατµητικού ελατηρίου είναι τετραγραµµική µε χαρακτηριστικά σηµεία των επιµέρους κλάδων τη διατµητική ρηγµάτωση, την καµπτική διαρροή και τη µέγιστη διατµητική αντοχή. Τα επιµέρους σηµεία καθορίζονται µε βάση τη MCFT για δεδοµένη κατανοµή των καµπτικών ροπών κατά µήκος του δοµικού στοιχείου. Οι υστερητικοί κανόνες του διατµητικού ελατηρίου προσδιορίζονται µε βάση το µοντέλο των Ozcebe & Saatcioglu (1989) µετά από κατάλληλες τροποποιήσεις που εξασφαλίζουν κατά κύριο λόγο την αποφυγή αριθµητικών προβληµάτων κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Οι Elwood & Moehle (2003) ανέπτυξαν ένα πεπερασµένο στοιχείο για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς υποστυλωµάτων Ο/Σ µετά τη διατµητική αστοχία. Το αναλυτικό µοντέλο αποτελείται από ένα καµπτικό στοιχείο ινών, δύο -40-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας στροφικά ελαστικά ελατήρια στα άκρα του υποστυλώµατος για την προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης και από ένα διατµητικό και αξονικό ελατήριο συνδεδεµένα όλα σε σειρά, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (2.21). Πριν την έναρξη της διατµητικής αστοχίας θεωρείται ότι η συµπεριφορά του στοιχείου κυριαρχείται από την κάµψη και την ολίσθηση και ότι η συµπεριφορά σε διάτµηση είναι ελαστική και οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου. Συνεπώς, η διατµητική ρηγµάτωση και η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση δε λαµβάνονται υπόψη. Η διατµητική αστοχία προσδιορίζεται µε τη βοήθεια κατάλληλης επιφάνειας αστοχίας. Βασική διαφοροποίηση του συγκεκριµένου µοντέλου σε σχέση µε τα προηγούµενα είναι ότι η επιφάνεια αστοχίας προσδιορίζεται µε τη βοήθεια εµπειρικής σχέσης για τη µετακίνηση που αντιστοιχεί στη διατµητική αστοχία και όχι από την τρέχουσα διατµητική αντοχή. Με τον τρόπο αυτόν µειώνεται, κατά τους συγκεκριµένους ερευνητές, η διασπορά στον προσδιορισµό της µετακίνησης που αντιστοιχεί στη διατµητική αστοχία. Ωστόσο, είναι αµφίβολο το κατά πόσο είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ικανοποιητικά, µέσω εµπειρικής σχέσης, η µετακίνηση στη διατµητική αστοχία για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς καµπτικής και διατµητικής αντοχής. Σχέση δύναµης-µετακίνησης στοιχείου δοκού-υποστυλώµατος Σχέση δύναµης-µετακίνησης διατµητικού ελατηρίου Καµπύλη αστοχίας σε τέµνουσα Μετά τη διατµητική αστοχία Μετακινήσεις από κάµψη και ολίσθηση της αγκύρωσης στοιχείου δοκού-υποστυλώµατος Πριν τη διατµητική αστοχία Μετακίνηση στην αστοχία σε κατακόρυφο φορτίο Σχήµα 2.21: Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης συµπεριφοράς µετά τη διατµητική αστοχία υποστυλωµάτων Ο/Σ (Elwood & Moehle 2003). Όταν γίνεται η πρώτη υπέρβαση της επιφάνειας αστοχίας, τότε η δυστµησία του διατµητικού ελατηρίου επαναορίζεται και γίνεται ίση µε την Κ deg του Σχήµατος (2.21). Η Κ deg προσδιορίζεται από το σηµείο έναρξης της διατµητικής αστοχίας και τη συνολική µετακίνηση στο σηµείο που αντιστοιχεί στην αστοχία του στοιχείου σε αξονικό φορτίο και το οποίο θεωρείται ότι συµπίπτει µε το σηµείο µηδενισµού της διατµητικής αντοχής. Με τον τρόπο αυτόν γίνεται η παραδοχή ότι το σύνολο των µετακινήσεων µετά τη διατµητική αστοχία είναι διατµητικού χαρακτήρα. εν δίνονται συγκεκριµένες προτάσεις, ωστόσο, για τη συµπεριφορά του διατµητικού ελατηρίου κατά την αποφόρτιση και επαναφόρτιση µετά την ανάπτυξη της διατµητικής αστοχίας. Το αξονικό ελατήριο ενεργοποιείται µε τη σειρά του µετά την υπέρβαση της επιφάνειας -41-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας αστοχίας σε αξονικό φορτίο επιτρέποντας µε αυτόν τον τρόπο να ληφθεί υπόψη η σταδιακή πτώση της αντοχής σε αξονική επιπόνηση και η ταυτόχρονη απότοµη αύξηση των αξονικών παραµορφώσεων µετά την πλήρη απώλεια της διατµητικής αντοχής. Οι Marini & Spacone (2006) πρότειναν ένα προσοµοίωµα ινών στις δύο διαστάσεις βασισµένο στη µέθοδο της ευκαµψίας (force based) και στην κλασική θεωρία δοκών τύπου Timoshenko σύµφωνα µε την οποία οι διατοµές παραµένουν επίπεδες αλλά όχι κάθετες στον διαµήκη άξονα του στοιχείου και επιπλέον οι διατµητικές παραµορφώσεις είναι οµοιόµορφες καθ' ύψος της διατοµής. Ένας απλός φαινοµενολογικός µηγραµµικός καταστατικός νόµος V-γ ορίζεται σε επίπεδο διατοµής σε συνδυασµό µε το κλασικό προσοµοίωµα ινών για την προσοµοίωση των καµπτικών και αξονικών παραµορφώσεων των επιµέρους διατοµών. Με αυτόν τον τρόπο, οι αξονικές και καµπτικές παραµορφώσεις είναι ασύζευκτες µε τις διατµητικές σε επίπεδο διατοµής (όπως και στο µοντέλο των Ranzo & Pentrangeli 1998), ωστόσο η τέµνουσα συσχετίζεται µε την καµπτική ροπή µέσα από την ισορροπία σε επίπεδο στοιχείου. Ο καταστατικός νόµος για την τέµνουσα που χρησιµοποιείται από τους συγκεκριµένους ερευνητές φαίνεται στο Σχήµα (2.22). Η περιβάλλουσα καµπύλη είναι µη-γραµµική ελαστική µέχρι και το σηµείο µέγιστης διατµητικής αντοχής (γ y, V Rd ), ενώ στη συνέχεια γίνεται γραµµική µέχρι και το σηµείο ανάπτυξης της παραµένουσας αντοχής (γ u, V u ). Μετά το τελευταίο σηµείο η διατµητική αντοχή παραµένει σταθερή. Η περιβάλλουσα καµπύλη είναι σε θέση να λάβει υπόψη την επιρροή της µεταβολής της αξονικής δύναµης στη διατµητική αντοχή (καµπύλες (a) και (b)) αλλά και τη µείωση της διατµητικής αντοχής µε τις ανελαστικές αξονικές παραµορφώσεις (καµπύλη (c)). Η µείωση λαµβάνεται υπόψη µέσω του πολλαπλασιασµού της συνολικής διατµητικής αντοχής µε την παράµετρο c dam που είναι συνάρτηση της µέγιστης αξονικής παραµόρφωσης στην ακραία ίνα ε max και δύο οριακών τιµών ε 1 και ε 2. Μετά τη διατµητική αστοχία, η αποφόρτιση γίνεται µε την ελαστική δυστµησία της διατοµής, ενώ κατά την επαναφόρτιση στοχεύεται το σηµείο της αντίθετης κατεύθυνσης µε τη µέγιστη αναπτυχθείσα παραµόρφωση. Το συγκεκριµένο µοντέλο χαρακτηρίζεται από τα βασικά µειονεκτήµατα των προσοµοιωµάτων ινών, όπως αυτά αναλύθηκαν π.χ. στο αντίστοιχο µοντέλο των Ranzo & Petrangeli (1998). Επιπλέον, η υιοθέτηση ελαστικού, µη-γραµµικού νόµου V-γ για τη συµπεριφορά πριν τη διατµητική αστοχία προφανώς δεν είναι ικανοποιητική για εκείνα τα δοµικά στοιχεία, όπου οι διατµητικές παραµορφώσεις διαδραµατίζουν σηµαντικό ρόλο και πριν την επίτευξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής. Οι προτεινόµενοι υστερητικοί κανόνες δεν αποδίδουν επαρκώς την υποβάθµιση της δυσκαµψίας κατά την αποφόρτιση και τη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων κατά την επαναφόρτιση που αποτελούν κύρια γνωρίσµατα της διατµητικής συµπεριφοράς. Τέλος, η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση γίνεται µε τρόπο παρόµοιο µε αυτόν που προτείνουν οι Ranzo & Petrangeli (1998), οπότε ισχύουν τα σχετικά σχόλια που έγιναν για το µοντέλο αυτών των ερευνητών. Γενικά µπορεί να λεχθεί, όπως επισηµαίνεται και από τους ίδιους τους ενλόγω ερευνητές, ότι στο συγκεκριµένο µοντέλο δόθηκε έµφαση στην προσοµοίωση της συµπεριφοράς µετά τη διατµητική αστοχία και θεωρήθηκε ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις ελάχιστα επηρεάζουν την απόκριση πριν την επίτευξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής. -42-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Τέµνουσα Τέµνουσα (V max, γ max ) (V min, γ min ) ιατµητική παραµόρφωση ιατµητική παραµόρφωση (α) (β) Σχήµα 2.22: α) Περιβάλλουσα καµπύλη V-γ, β) Υστερητικός κανόνας V-γ από τους Marini & Spacone (2006). Οι Ceresa et al. (2009) ανέπτυξαν ένα διδιάστατο προσοµοίωµα ινών το οποίο είναι ικανό να προσοµοιώσει και τις ανελαστικές διατµητικές παραµορφώσεις στο πλαίσιο της κλασικής θεωρίας Timoshenko. Το στοιχείο δοκού των Ceresa et al. (2009) στηρίχτηκε στη µέθοδο της δυσκαµψίας (displacement based). Η προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς του σκυροδέµατος στηρίχτηκε στις αντίστοιχες προτάσεις των Palermo & Vecchio (2003) που επέκτειναν την MCFT για την περίπτωση της ανακυκλιζόµενης φόρτισης. Οι αξονικές παραµορφώσεις προκύπτουν από την κλασική παραδοχή επιπεδότητας των διατοµών. Για τις διατµητικές παραµορφώσεις σε επίπεδο διατοµής γίνεται η παραδοχή οµοιόµορφης κατανοµής σε συµφωνία µε τη θεωρία Timoshenko. Οι εγκάρσιες παραµορφώσεις προσδιορίζονται από την εφαρµογή της ισορροπίας σε κάθε ίνα στην εγκάρσια διεύθυνση του στοιχείου µετά από κατάλληλη επαναληπτική διαδικασία. Με τον τρόπο αυτόν επιτυγχάνεται η πλήρης σύζευξη αξονικών και διατµητικών παραµορφώσεων σε επίπεδο διατοµής, όπως και στο αντίστοιχο µοντέλο των Petrangeli et al. (1999). Το αριθµητικό µοντέλο των Ceresa et al. (2009) εφαρµόστηκε στην ανάλυση µεµονωµένων υποστυλωµάτων και τοιχωµάτων υπό ανακυκλιζόµενη ένταση. Βασικό πλεονέκτηµα του συγκεκριµένου µοντέλου είναι η σύζευξη των διατµητικών και αξονικών παραµορφώσεων σε επίπεδο διατοµής. Ωστόσο, το υπολογιστικό κόστος που συνεπάγεται το συγκεκριµένο µοντέλο είναι εξαιρετικά επαχθές, αφού απαιτείται επαναληπτική διαδικασία σε κάθε ίνα των διατοµών ελέγχου. Επιπλέον, αφού στηρίζεται στη µέθοδο της δυσκαµψίας, απαιτείται ένας σηµαντικός αριθµός πεπερασµένων στοιχείων ανά δοµικό στοιχείο, για την προσοµοίωση της βαθµιαίας εξάπλωσης της σεισµικής βλάβης. Με τον τρόπο αυτόν το υπολογιστικό βάρος αυξάνεται ακόµη περισσότερο, καθιστώντας εξαιρετικά δυσχερή την εφαρµογή του συγκεκριµένου µοντέλου στην ανάλυση σύνθετων πλαισιακών κατασκευών Ο/Σ. Κλείνοντας αυτήν την ενότητα, οι Guner & Vecchio (2010) διαµόρφωσαν ένα διδιάστατο προσοµοίωµα ινών για την ανελαστική στατική ανάλυση πλαισιακών φορέων που είναι κρίσιµοι σε διατµητικές αστοχίες. Το αναλυτικό µοντέλο στηρίζεται στη µέθοδο της δυσκαµψίας και συνεπώς απαιτείται σηµαντική πύκνωση του καννάβου των πεπερασµένων στοιχείων στις κρίσιµες περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων. Αρχικά σε κάθε βήµα της ανάλυσης εφαρµόζεται µια γραµµική ελαστική ανάλυση του πλαισιακού φορέα για τον προσδιορισµό των µετακινήσεων των κόµβων και των -43-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας εντατικών µεγεθών στα άκρα των στοιχείων. Στη συνέχεια εφαρµόζονται ακριβείς µηγραµµικές αναλύσεις των διατοµών του φορέα που βασίζονται στο µοντέλο του διαταραγµένου πεδίου των τάσεων (Disturbed Stress Field Model, DSFT) (Vecchio 2000). Οι δυνάµεις εκτός ισορροπίας που ορίζονται από τη διαφορά των εντατικών µεγεθών που προκύπτουν από τη γραµµική ελαστική ανάλυση του φορέα και τις ακριβείς µη-γραµµικές αναλύσεις των επιµέρους διατοµών εφαρµόζονται στη συνέχεια ως εξωτερικά φορτία της κατασκευής µε επαναληπτικό τρόπο µέχρι να ελαχιστοποιηθούν. Στις µη γραµµικές αναλύσεις των επιµέρους διατοµών γίνεται η παραδοχή ότι οι διατοµές παραµένουν επίπεδες. Επιπλέον, θεωρείται παραβολική µεταβολή των διατµητικών παραµορφώσεων καθ ύψος της διατοµής. Για τον προσδιορισµό των τάσεων και παραµορφώσεων σε κάθε λωρίδα εφαρµόζεται επαναληπτική διαδικασία µε τη χρήση της παραδοχής ότι οι εγκάρσιες τάσεις σ y παραµένουν αµελητέες. Το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο εφαρµόστηκε στη στατική ανελαστική επωθητική (pushover) ανάλυση µεγάλου αριθµού σχετικά απλών πειραµατικών δοκιµίων και έδωσε κατά βάση ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση το υπολογιστικό κόστος που συνεπάγεται είναι απαγορευτικό για την υιοθέτηση του στην ανελαστική ανάλυση σύνθετων κατασκευών Ο/Σ, αφού αφενός στηρίζεται στη µέθοδο της δυσκαµψίας και αφετέρου απαιτεί επαναληπτική διαδικασία σε κάθε λωρίδα κάθε διατοµής για την εξασφάλιση της ισορροπίας. Τέλος, δεν έχει επεκταθεί ακόµη σε συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης. 2.6 Μοντέλα Προσοµοίωσης Ανελαστικών Παραµορφώσεων από Ολίσθηση της Αγκύρωσης Είναι γνωστό ότι η λειτουργία του οπλισµένου σκυροδέµατος ως σύνθετου υλικού στηρίζεται στη συνάφεια µεταξύ των δύο υλικών που το συνθέτουν, η εξασφάλιση της οποίας αποτελεί βασικό στόχο της διαστασιολόγησης και κατασκευαστικής διαµόρφωσης των δοµικών στοιχείων. Από την επάρκεια της συνάφειας εξαρτάται η ικανοποιητική συµπεριφορά των στοιχείων από Ο/Σ αναφορικά µε τις αγκυρώσεις, τα µατίσµατα, τη ρηγµάτωση και τις παραµορφώσεις (Penelis & Kappos 1996). Η συνάφεια ανάµεσα στον χαλύβδινο οπλισµό και το περιβάλλον σκυρόδεµα είναι ένα ιδιαίτερα σύνθετο φαινόµενο που εξαρτάται από πολυάριθµους παράγοντες. Οι βασικότεροι από αυτούς τους παράγοντες αναλύονται στη συνέχεια µε βάση και την αντίστοιχη έκθεση της ACI Committee 408 (2003): -44-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Επικάλυψη σκυροδέµατος και αποστάσεις διαµήκων ράβδων: Η αντοχή συνάφειας αυξάνει όσο αυξάνει η επικάλυψη του σκυροδέµατος και η απόσταση µεταξύ των διαµήκων ράβδων. Η µορφή της αστοχίας επίσης εξαρτάται από την επικάλυψη και την απόσταση των ράβδων. Όταν η επικάλυψη του σκυροδέµατος και οι αποστάσεις των ράβδων είναι µεγάλες, τότε η αστοχία από εξόλκευση είναι η πλέον πιθανή. Σε µικρότερες επικαλύψεις και αποστάσεις ράβδων αστοχίες από διάρρηξη είναι εξίσου δυνατές, που συνεπάγονται µικρότερες αντοχές συνάφειας. Η διάµετρος της ράβδου: Όταν η αντοχή σε συνάφεια εκφράζεται σε όρους τάσεων, τότε οι µικρότερες ράβδοι πλεονεκτούν έναντι των ράβδων µε µεγαλύτερες διαµέτρους. Σε γενικές γραµµές, δηλαδή, προτιµάται η τοποθέτηση µεγάλου αριθµού ράβδων µε µικρή διάµετρο από την τοποθέτηση µικρότερου αριθµού ράβδων µε µεγαλύτερη διάµετρο, αρκεί βέβαια οι αποστάσεις µεταξύ των ράβδων να µην γίνονται τόσο µικρές, ώστε να υπονοµεύουν την αντοχή σε συνάφεια. Εγκάρσιος οπλισµός: Ο εγκάρσιος οπλισµός ασκεί περίσφιξη στις αγκυρούµενες ράβδους και περιορίζει την εξάπλωση των ρηγµάτων διάρρηξης αυξάνοντας µε αυτόν τον τρόπο την τάση συνάφειας που απαιτείται για να προκαλέσει αστοχία. Η ύπαρξη ικανού εγκάρσιου οπλισµού είναι σε θέση να αποτρέψει την αστοχία από διάρρηξη της αγκύρωσης η οποία θα αστοχήσει τελικά από εξόλκευση. Πρόσθετος εγκάρσιος οπλισµός, ωστόσο, από αυτόν που απαιτείται να µετατρέψει την αστοχία από διάρρηξη σε αστοχία από εξόλκευση γίνεται προοδευτικά λιγότερο αποδοτικός, έως ότου δεν παρέχει καµία προσαύξηση στην αντοχή συνάφειας. Γεωµετρία της ράβδου: Στη σύγχρονη βιβλιογραφία κυριαρχεί το συµπέρασµα ότι η αντοχή συνάφειας είναι ανεξάρτητη της γεωµετρίας της ράβδου εάν η ράβδος βρίσκεται υπό σχετικά χαµηλή περίσφιξη (µικρή επικάλυψη σκυροδέµατος, ανεπαρκής εγκάρσιος οπλισµός) και η επικρατούσα µορφή αστοχίας είναι η αστοχία από διάρρηξη. Αντίθετα, αν πρόσθετη περίσφιξη ασκηθεί από την ύπαρξη εγκάρσιου οπλισµού, τότε η αντοχή συνάφειας αυξάνει µε την αύξηση της ανηγµένης επιφάνειας προβολής των νευρώσεων α R (Κ.Τ.Χ. 2008). Θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος: Παραδοσιακά η επιρροή της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος στις εξισώσεις για το απαιτούµενο µήκος αγκύρωσης εκφράζεται µε τη χρήση της τετραγωνικής ρίζας της θλιπτικής αντοχής f c 1/2. Ωστόσο, οι Zuo & Darwin (2000) συγκεντρώνοντας µία µεγάλη βάση δεδοµένων διαπίστωσαν ότι η καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά δεδοµένα επιτυγχάνεται, όταν χρησιµοποιείται ο όρος f c 1/4 για να εκφράσει την επιρροή του σκυροδέµατος στη µέση αντοχή συνάφειας της ράβδου στην ελαστική περιοχή. Επιπλέον, οι συγκεκριµένοι ερευνητές διαπίστωσαν ότι η επιρροή της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος στην πρόσθετη αντοχή συνάφειας που προέρχεται από τον εγκάρσιο οπλισµό εκφράζεται καλύτερα µε τον όρο f c 3/4. Θέση της ράβδου: Ήδη από το 1913, ο Abrams διαπίστωσε ότι η θέση της ράβδου κατά τη διάρκεια της σκυροδέτησης διαδραµατίζει σηµαντικό ρόλο στην αντοχή συνάφειας ανάµεσα στην χαλύβδινη ράβδο και το περιβάλλον σκυρόδεµα. Οι ράβδοι της άνω παρειάς των δοκών έχουν χαµηλότερη αντοχή συνάφειας σε σχέση µε τις ράβδους της κάτω παρειάς ή τις κατακόρυφες ράβδους των υποστυλωµάτων. Το γεγονός αυτό αναγνωρίζεται σε όλους τους σύγχρονους κανονισµούς σκυροδέµατος, όπου γίνεται διαχωρισµός ανάµεσα σε δυσµενείς και ευνοϊκές συνθήκες συνάφειας αντίστοιχα. -45-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Εκτός από τους προαναφερθέντες, πολλοί είναι οι πρόσθετοι παράγοντες που επηρεάζουν την αντοχή συνάφειας ανάµεσα στο χάλυβα και το σκυρόδεµα. Το µεγάλο πλήθος παραγόντων που επηρεάζουν την αντοχή σε συνάφεια είναι ο κύριος λόγος για τις µεγάλες αποκλίσεις που παρατηρούνται στα πειραµατικά αποτελέσµατα. Στην πραγµατικότητα, η κατανοµή των τοπικών τάσεων συνάφειας κατά την έννοια του µήκους αγκύρωσης είναι ανοµοιόµορφη, είτε λόγω της ανάπτυξης ρηγµατώσεων του σκυροδέµατος, είτε λόγω της φύσης των τάσεων συνάφειας, που τείνουν να είναι περισσότερο ενεργές στο άκρο της ράβδου που φορτίζεται σε σχέση µε το πέρας της αγκύρωσης. Ωστόσο, για την ρεαλιστική αντιµετώπιση όλων των αβεβαιοτήτων που υπεισέρχονται στον προσδιορισµό της αντοχής συνάφειας, αποτελεί κοινή πρακτική να χρησιµοποιείται µια µέση τιµή της αντοχής συνάφειας στο µήκος της αγκυρούµενης ράβδου. Κατά καιρούς έχουν προταθεί διάφορες σχέσεις για τη µέση τάση αντοχής συνάφειας τ be για αγκυρούµενες ράβδους που υποβάλλονται σε εφελκυσµό µέχρι και το όριο διαρροής τους. Ανάµεσα τους είναι αυτές των Orangun et al. (1977), CEB (1993) Model Code, Esfahani & Rangan (1996), Zuo & Darwin (2000), ACI Committee 408 (2003). Ιδιαίτερα καθοριστικός είναι ο ρόλος της ολίσθησης ανάµεσα στις ράβδους όπλισης και το περιβάλλον σκυρόδεµα στη σεισµική συµπεριφορά των κατασκευών από Ο/Σ, δεδοµένου ότι µπορεί να επηρεάσει σε µεγάλο βαθµό τη δυσκαµψία και την ικανότητα απόσβεσης της σεισµικής ενέργειας. Ένα τυπικό διάγραµµα τοπικής συνάφειας-ολίσθησης τ b -s b µπορεί να εξιδανικευτεί, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (2.23). Μέχρι µια χαµηλή στάθµη τάσης τ bo η συνάφεια οφείλεται στη φυσικοχηµική πρόσφυση του τσιµεντοπολτού µε την επιφάνεια της ράβδου και οι αντίστοιχες ολισθήσεις είναι αµελητέες. Για τ b >τ bo η πρόσφυση καταστρέφεται και η συνάφεια εξασφαλίζεται µε µηχανική εµπλοκή του τσιµεντοπολτού µε τις µικροσκοπικές ανωµαλίες στην επιφάνεια της ράβδου και στην περίπτωση των ράβδων από νευροχάλυβα, µε µηχανική εµπλοκή των νευρώσεων µε το περιβάλλον σκυρόδεµα. Λόγω αυτών των δυνάµεων εµπλοκής δηµιουργούνται, για στάθµη τάσης τ b =τ b1 (που είναι συνάρτηση της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος) οι πρώτες ρωγµές συνάφειας. Παράλληλα επέρχεται αποκόλληση του σκυροδέµατος από τη ράβδο στην περιοχή των κύριων καµπτικών ρωγµών. Η αποκόλληση αυτή προκαλεί αύξηση της περιµέτρου της επιφάνειας του σκυροδέµατος που προηγουµένως βρισκόταν σε επαφή µε τη ράβδο, µε αποτέλεσµα να αναπτυχθούν περιφερειακές εφελκυστικές τάσεις. Οι τάσεις αυτές σε συνδυασµό µε την ακτινική συνιστώσα της δύναµης που ασκούν οι νευρώσεις προκαλούν τις ρωγµές διάρρηξης. Όταν, για µια στάθµη τάσης τ b =τ b2, οι ρωγµές αυτές φτάσουν στην επιφάνεια του στοιχείου και παράλληλα δεν υπάρχει επαρκής περίσφιξη, επέρχεται καταστροφή της συνάφειας (αστοχία από διάρρηξη, Σχήµα 2.23). Εάν, αντίθετα, η παρουσία επαρκούς οπλισµού περίσφιξης παρεµποδίσει την εξάπλωση των ρωγµών διάρρηξης, η τάση συνάφειας µπορεί να φτάσει σε υψηλότερες τιµές (τ bmax στο Σχήµα 2.23). Σηµειώνεται ότι η κλίση των διαδοχικών κλάδων του διαγράµµατος τ b -s b µειώνεται διαρκώς, αυξάνει δηλαδή η τιµή της ολίσθησης που αντιστοιχεί σε δεδοµένη αύξηση της τάσης συνάφειας. Κατά µήκος του κλάδου που ορίζεται από τις τάσεις τ b2 και τ bmax επέρχεται σταδιακή αποδιοργάνωση των δοντιών -46-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας του σκυροδέµατος µεταξύ δύο διαδοχικών νευρώσεων, µέχρις ότου για τ b =τ bmax τα δόντια αυτά αστοχήσουν από διάτµηση. τ b τ bmax τ b2 τ b1 τ bo Αστοχία από διάρρηξη τ bf s b s τbo s τbmax s τbf s τb1 s τb2 Σχήµα 2.23: Γενικός πολυγραµµικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης υπό µονότονη φόρτιση. Για s b >s bτmax (φθίνων κλάδος του διαγράµµατος τ b -s b ) το σκυρόδεµα ανάµεσα στις νευρώσεις αποδιοργανώνεται εντελώς και για s b >s τbf η χαµηλή τιµή της τάσης συνάφειας οφείλεται αποκλειστικά σε τριβές στη διεπιφάνεια που ορίζεται από τα άκρα των νευρώσεων. Η τάση τ bf παραµένει περίπου σταθερή για σχετικά µεγάλες τιµές της ολίσθησης. Η τιµή της ολίσθησης s τbf ισούται περίπου µε την απόσταση των νευρώσεων, όταν δηλαδή µια νεύρωση µετακινηθεί στη θέση που καταλάµβανε η γειτονική της, πριν την έναρξη της φόρτισης. Η επιρροή της πλευρικής πίεσης, που µπορεί να οφείλεται είτε σε θλιπτικά αξονικά φορτία (όπως αυτά που δρουν στους κόµβους δοκών-υποστυλωµάτων, όπου αγκυρώνονται ή διέρχονται οι ράβδοι των δοκών) είτε σε δυνάµεις περίσφιξης, είναι σηµαντική. Τόσο η µέγιστη τάση συνάφειας τ bmax, όσο και η παραµένουσα αντοχή λόγω τριβής τ bf αυξάνονται µε την εγκάρσια πίεση, όχι όµως µε γραµµικό τρόπο. Η ύπαρξη του οπλισµού περίσφιξης αφενός αποτρέπει πρόωρες, ψαθυρού τύπου, αστοχίες της συνάφειας λόγω διάρρηξης, αφετέρου αυξάνει τις τιµές της αντοχής συνάφειας. Ήδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1970 και τις αρχές του 1980 έχουν προταθεί διάφοροι καταστατικοί νόµοι για την περιγραφή της τοπικής συνάφειας-ολίσθησης χάλυβα-σκυροδέµατος. Ο Tassios (1979) πρότεινε έναν πολυγραµµικό νόµο, όπως αυτόν του Σχήµατος (2.23), χωρίς την προσοµοίωση της φυσικοχηµικής συνάφειας. Τα άκρα των επιµέρους κλάδων προσδιορίζονται εµπειρικά, ενώ ο ίδιος οµολογεί τη µεγάλη διασπορά των πειραµατικών αποτελεσµάτων, ιδιαίτερα όσον αφορά τις σχετικές ολισθήσεις. Οι Eligehausen et al. (1983) πρότειναν τον γενικό καταστατικό νόµο που φαίνεται στο Σχήµα (2.24). Προτείνεται για τον ανιόντα κλάδο, µέχρι µια µέγιστη τάση αστοχίας τ bu, η µη γραµµική σχέση που φαίνεται στο Σχήµα (2.24). Ακολουθεί ένας οριζόντιος κλάδος (τ b =τ bu ) µέχρι µια τιµή της ολίσθησης s b2 και κατόπιν η τάση συνάφειας µειώνεται γραµµικά µέχρι την τιµή τ bf που αντιστοιχεί σε αντοχή λόγω τριβής, η οποία παραµένει σταθερή για s b >s b3. Η διασπορά στις τιµές των παραµέτρων επισηµαίνεται και από τους ερευνητές αυτούς, οι οποίοι αρκούνται να προτείνουν εµπειρικούς συντελεστές µε τους οποίους πρέπει να διορθώνονται τα αποτελέσµατά τους, όταν οι -47-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας επικρατούσες συνθήκες διαφέρουν από εκείνες που χρησιµοποίησαν στα σχετικά πειράµατα. Ο ίδιος καταστατικός νόµος προτείνεται και από τον CEB (1993) Model Code µε κάποιες βελτιωµένες σχέσεις για τις επιµέρους παραµέτρους. Τοπική συνάφεια τ bu τ b = τ bu (s b /s b1 ) α sl τ bf s b1 s b2 s b3 Ολίσθηση Σχήµα 2.24: Γενικός καταστατικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης από τους Eligehausen et al. (1983) και MC-90. Έχει διαπιστωθεί πειραµατικά (Ma et al. 1976, Saatcioglu & Ozcebe 1989, Lehman & Moehle 1998) ότι οι τοπικές στροφές που αναπτύσσονται στις διεπιφάνειες των άκρων των δοµικών στοιχείων µε τους κόµβους οπλισµένου σκυροδέµατος και οι οποίες οφείλονται στην ολίσθηση των αγκυρούµενων ράβδων συµβάλλουν σε σηµαντικό βαθµό στη συνολική µετακίνηση ενός δοµικού στοιχείου και κατ' επέκταση στη µείωση της δυσκαµψίας του. Γενικά µπορεί να ειπωθεί ότι η σχετική σηµασία των στροφών λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης στη συνολική µετακίνηση ενός δοµικού µέλους αυξάνεται όσο µειώνεται ο λόγος διάτµησης του στοιχείου, αφού µε τον τρόπο αυτόν µειώνονται οι µετακινήσεις που οφείλονται στις καµπτικές παραµορφώσεις. Η σηµασία της ολίσθησης της αγκύρωσης αυξάνει στην περίπτωση των στοιχείων µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση, αφού στην περίπτωση των ανεπαρκών αγκυρώσεων µπορεί να καθορίσει τη φέρουσα ικανότητα του δοµικού στοιχείου. Επίσης, στα στοιχεία αυτά η απουσία περίσφιξης στην περιοχή της αγκύρωσης συνεπάγεται µειωµένες δυνάµεις συνάφειας που οδηγούν σε περαιτέρω αύξηση της ολίσθησης των χαλύβδινων ράβδων µε το περιβάλλον σκυρόδεµα. Το πρόβληµα αυτό γίνεται πιο έντονο στην περίπτωση όπου έχουν χρησιµοποιηθεί λείες ράβδοι για την όπλιση του δοµικού στοιχείου. Ήδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1970 και τις αρχές της δεκαετίας του 1980 αναπτύχθηκαν σύνθετα µαθηµατικά µοντέλα για την προσοµοίωση της ολίσθησης ράβδων που αγκυρώνονται σε κόµβους οπλισµένου σκυροδέµατος. Τα µοντέλα αυτά είτε κάνουν χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών (Viwathanatepa et al. 1979, Ciampi et al. 1982), είτε της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (Filippou et al. 1983), είτε θεωρούν πολυγραµµικές προσεγγίσεις της κατανοµής της συνάφειας κατά µήκος της αγκυρούµενης ράβδου (Filippou 1985). Σε όλα τα προηγούµενα -48-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας µοντέλα, η επίλυση των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος της συνάφειας γίνεται µε τη διαίρεση της ράβδου σε επαρκή αριθµό ευθύγραµµων τµηµάτων και την ικανοποίηση µέσω επαναληπτικής διαδικασίας των απαιτήσεων ισορροπίας και συµβιβαστού των παραµορφώσεων σε κάθε σηµείο διακριτοποίησης. Οι Soroushian et al. (1991) πρότειναν έναν αλγόριθµο που δεν απαιτεί την επαναληπτική διαδικασία των προηγούµενων µοντέλων µειώνοντας σηµαντικά το υπολογιστικό κόστος. Τέλος, οι Russo et al. (1990) έλυσαν αναλυτικά το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος της συνάφειας-ολίσθησης αγκυρούµενης ράβδου σε σκυρόδεµα για την περίπτωση διγραµµικού µοντέλου συµπεριφοράς για την αγκυρούµενη ράβδο και τον καταστατικό νόµο τοπικής συνάφειας-ολίσθησης που προτάθηκε από τον Filippou (1985). Παρά τη µαθηµατική επάρκεια των προαναφερθέντων αναλυτικών µοντέλων, η πολυπλοκότητα που εισάγουν τα καθιστά δύσχρηστα στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών Ο/Σ. Σε αρκετές περιπτώσεις, µάλιστα, ο βαθµός πολυπλοκότητάς τους δεν είναι συµβατός µε την αξιοπιστία των δεδοµένων που χρησιµοποιούν, όπως είναι π.χ. ο καταστατικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Χαµηλώνοντας ελαφρώς τον πήχη του βαθµού αξιοπιστίας, προτάθηκαν µια σειρά από αναλυτικά µοντέλα (Morita & Kaku 1984, Alsiwat & Saatcioglu 1992, Lehman & Moehle 1998, Lowes & Altoontash 2003, Sezen & Setzler 2008) τα οποία βρέθηκε ότι παρέχουν ικανοποιητική σύγκλιση µε τα διαθέσιµα πειραµατικά αποτελέσµατα. Κοινό χαρακτηριστικό των συγκεκριµένων µοντέλων είναι η θεώρηση δεδοµένης και σταθερής κατανοµής της συνάφειας κατά µήκος της ράβδου. Η αγκυρούµενη ράβδος διαχωρίζεται στο ελαστικό και το ανελαστικό τµήµα της, όπου για λόγους ευκολίας θεωρείται σταθερή και οµοιόµορφη κατανοµή της συνάφειας, διαφορετική για κάθε τµήµα. Ελάχιστα µοντέλα υστερητικής συµπεριφοράς έχουν προταθεί µέχρι σήµερα στη διεθνή βιβλιογραφία αναφορικά µε τη σχέση ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Οι Filippou & Issa (1988) πρότειναν δύο διαφορετικά µοντέλα υστέρησης για την περίπτωση των δοκών και για την περίπτωση των υποστυλωµάτων Ο/Σ. Ωστόσο, κάποιες βασικές παράµετροι των συγκεκριµένων υστερητικών µοντέλων προκύπτουν µετά από την ανάλυση της αγκύρωσης µε το αρκετά σύνθετο µοντέλο του Filippou (1985) και κατ επέκταση ο προσδιορισµός τους δεν είναι εύκολoς. Οι Saatcioglu & Alsiwat (1992) πρότειναν ένα αναλυτικό υστερητικό µοντέλο το οποίο µπορεί να εφαρµοστεί τόσο για την περίπτωση των υποστυλωµάτων όσο και για την περίπτωση των δοκών Ο/Σ. Το συγκεκριµένο µοντέλο βασίζεται σε πειραµατικά αποτελέσµατα που παρουσιάζονται στην ίδια εργασία αλλά και στα προγενέστερα πειράµατα των Viwathanatepa et al. (1979). Στον καθορισµό των υστερητικών κανόνων ελήφθησαν υπόψη και οι αντίστοιχες προτάσεις των αναλυτικών µοντέλων των Takeda et al. (1970) και Filippou & Issa (1988). Η ολίσθηση της αγκύρωσης προσοµοιώνεται στην ανελαστική ανάλυση των κατασκευών είτε µέσω κάποιου στοιχείου κόµβου (joint models), είτε ενσωµατώνεται σε µακροστοιχεία δοκού-υποστυλώµατος (beam-column macroelements), όπως είναι και το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Τα προτεινόµενα στοιχεία κόµβου αποτελούνται από ένα στροφικό, ανελαστικό ελατήριο (Pampanin et -49-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας al. 2003, Favvata et al. 2009) έως και από αρκετά πολύπλοκους συνδυασµούς αξονικών, διατµητικών και στροφικών ελατηρίων (Youssef & Ghobarah 2001, Lowes & Altoontash 2003). Τα µοντέλα αυτά έχουν το πλεονέκτηµα ότι είναι σε θέση να προβλέψουν και ενδεχόµενη διατµητική αστοχία του εξεταζόµενου κόµβου που δεν είναι δυνατόν να αποκλειστεί στις κατασκευές που δεν έχουν διαµορφωθεί µε βάση τις σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις (Tsonos & Papanikolaou 2003). Στη συνέχεια ακολουθεί µια περισσότερο διεξοδική περιγραφή των αναλυτικών µοντέλων που προτάθηκαν στη διεθνή βιβλιογραφία για την ενσωµάτωση των στροφών από την ολίσθηση της αγκύρωσης σε µακροστοιχεία δοκού-υποστυλώµατος, καθώς η προσέγγιση αυτή συµβαδίζει και µε το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή ( 6.4). Η πλέον συνήθης πρακτική για την προσοµοίωση των στροφών από ολίσθηση της αγκύρωσης στη διεπιφάνεια στοιχείων Ο/Σ (συνήθως δοκών-υποστυλωµάτων) είναι η ενσωµάτωσή τους στο ανελαστικό στροφικό ελατήριο του µοντέλου µιας συνιστώσας (Giberson 1967) µε κατάλληλη µείωση της κλίσης του κλάδου φόρτισης. Η προσέγγιση αυτή έχει δύο βασικά µειονεκτήµατα. Αφενός αγνοεί τη διαφοροποίηση της υστερητικής συµπεριφοράς της ολίσθησης της αγκύρωσης σε σχέση µε την κάµψη όσον αφορά τους κλάδους αποφόρτισης και επαναφόρτισης και αφετέρου προϋποθέτει τη γνώση της µορφής του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών κατά µήκος του στοιχείου (και θεωρεί ότι αυτή παραµένει πρακτικώς σταθερή). Η ανελαστική στροφή που προκαλείται από τις καµπτικές παραµορφώσεις στο άκρο του στοιχείου εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από τη µορφή του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών (Σχήµα 2.5). Αντίθετα, η στροφή από την ολίσθηση της αγκύρωσης εξαρτάται κατά βάση µόνο από τη τρέχουσα ροπή στο ίδιο άκρο του στοιχείου. Συνεπώς, δύο διαφορετικά διαγράµµατα καµπτικών ροπών µε την ίδια ροπή στο άκρο του στοιχείου θα έχουν διαφορετικές στροφές από κάµψη, αλλά ίδιες στροφές από ολίσθηση της αγκύρωσης. Τα παραπάνω συνεπάγονται ότι δεν είναι δυνατή η σύνθεση του διαγράµµατος συνολικών στροφών από κάµψη και ολίσθηση της αγκύρωσης σε κάποιο άκρο του δοµικού στοιχείου και ακόµη περισσότερο η πρόβλεψη της συνολικής στροφής που αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία ή στην αστοχία από εξόλκευση της αγκύρωσης στη γενική περίπτωση, όπου το διάγραµµα των καµπτικών ροπών µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Για τους λόγους αυτούς, ο Otani (1974) πρότεινε την εισαγωγή ενός πρόσθετου, ανελαστικού, στροφικού ελατηρίου (συνδεδεµένου εν σειρά) σε κάθε άκρο του µοντέλου Giberson (1967) για την προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης (Σχήµα 2.25). Για τον σκοπό αυτόν αρκεί η πρόσθεση στους διαγώνιους όρους του µητρώου ευκαµψίας του στοιχείου των ευκαµψιών των δυο ελατηρίων. Με τον τρόπο αυτόν η συνολική στροφή στο άκρο του στοιχείου δίνεται από την Εξίσωση (2.4.1), όπου θ el είναι η στροφή του ελαστικού τµήµατος, θ fl,inel είναι η στροφή από την ανελαστική καµπτική συµπεριφορά και θ slip είναι η στροφή από ολίσθηση της αγκύρωσης. θ=θ el +θ fl,inel +θ slip (2.4.1) Για τον υπολογισµό της περιβάλλουσας καµπύλης των στροφικών ελατηρίων έγινε η παραδοχή ότι η τάση συνάφειας είναι σταθερή σε ολόκληρο το µήκος αγκύρωσης της ράβδου. Η συγκεκριµένη παραδοχή όχι µόνο δεν είναι ακριβής αλλά και σε αρκετές περιπτώσεις δε βρίσκεται προς την πλευρά της ασφάλειας (Κάππος 1986). Η -50-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας υστερητική συµπεριφορά του ελατηρίου προσοµοιώθηκε µε τη χρήση του διγραµµικού µοντέλου Takeda. Καµπτικό στροφικό ελατήριο Ελαστικό στοιχείο Καµπτικό στροφικό ελατήριο Ολισθητικό στροφικό ελατήριο A L B Ολισθητικό στροφικό ελατήριο Σχήµα 2.25: Προσοµοίωση επιρροής ολίσθησης της αγκύρωσης µε διακριτά, στροφικά ανελαστικά ελατήρια (Otani 1974). Οι Soleimani et al. (1979) πρόσθεσαν στο καµπτικό µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας της 2.2 δύο ανελαστικά, στροφικά ελατήρια στα άκρα του στοιχείου για την προσοµοίωση των στροφών από ολίσθηση της αγκύρωσης που αναπτύσσονται στις διεπιφάνειες δοκών-υποστυλωµάτων (Σχήµα 2.7). Για τον προσδιορισµό της περιβάλλουσας Μ-θ slip έκαναν την παραδοχή ότι η καµπυλότητα στο άκρο του στοιχείου παραµένει σταθερή µέσα στον κόµβο για ένα µήκος ίσο µε το µισό στατικό ύψος του στοιχείου. Είναι φανερό ότι η προηγούµενη παραδοχή είναι περιορισµένης ισχύος, δεδοµένου µάλιστα ότι δεν ελέγχθηκε παρά µόνο για τα πειραµατικά δεδοµένα των συγκεκριµένων ερευνητών. Η υστέρηση των ολισθητικών ελατηρίων προσοµοιώθηκε µε το µοντέλο Clough (1966). Οι Lai et al. (1984) πρότειναν το µοντέλο των πολλαπλών ελατηρίων (multi-spring model) για την προσοµοίωση της καµπτικής και ολισθητικής συµπεριφοράς υποστυλωµάτων Ο/Σ σε διαξονική κάµψη και µεταβαλλόµενο αξονικό φορτίο. Το µοντέλο αυτό αποτελείται από ένα ελαστικό στοιχείο µε µήκος ίσο µε το καθαρό ύψος του υποστυλώµατος και δύο ανελαστικά υποστοιχεία πολλαπλών ελατηρίων στα άκρα, όπου και συγκεντρώνεται ολόκληρη η ανελαστική συµπεριφορά του στοιχείου. ηλαδή, όπως και στο µοντέλο µιας συνιστώσας, αγνοείται η επιρροή της βαθµιαίας εξάπλωσης των καµπτικών παραµορφώσεων κατά µήκος του στοιχείου. Στο µοντέλο αυτό, η ακραία διατοµή του στοιχείου χωρίζεται σε τέσσερις γωνιακές ζώνες και µια κεντρική. Σε κάθε γωνιακή ζώνη τοποθετείται ένα ελατήριο για τις ράβδους όπλισης και ένα ελατήριο για το σκυρόδεµα, ενώ στην κεντρική ζώνη τοποθετείται µόνον ένα ελατήριο για το σκυρόδεµα (Σχήµα 2.26). Τα ελατήρια του σκυροδέµατος αντιστέκονται µόνο σε θλίψη. Τα ελατήρια των ράβδων όπλισης προσοµοιώνουν αφενός την ανελαστική συµπεριφορά του χάλυβα και αφετέρου την διείσδυση της διαρροής στην περιοχή των κόµβων. Για τον προσδιορισµό της ολίσθησης της αγκύρωσης γίνεται η απλοποιητική παραδοχή, όπως και στο µοντέλο Otani (1979), ότι η ράβδος συµπεριφέρεται ελαστικά εντός του µήκους αγκύρωσης και ότι η τάση συνάφειας παραµένει οµοιόµορφη σε αυτό. Οι ακριβείς θέσεις και οι αντοχές των ελατηρίων καθορίζονται κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να εξισορροπείται το αξονικό φορτίο και η ροπή αντοχής της διατοµής στο σηµείο ισορροπίας του διαγράµµατος αλληλεπίδρασης Μ-Ν. Με τον τρόπο αυτόν, το συγκεκριµένο µοντέλο δεν είναι πάντοτε σε θέση να προσοµοιώσει επαρκώς τα διαγράµµατα αλληλεπίδρασης των διατοµών Ο/Σ, αφού η θέση των ανελαστικών ελατηρίων έχει καθοριστεί µόνο για το σηµείο ισορροπίας. -51-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Οι Youssef & Ghobarah (1999) επεκτείνανε το συγκεκριµένο µοντέλο, ώστε να µπορεί να προσοµοιώσει τη συµπεριφορά και µετά την καµπτική αστοχία ή την αστοχία από ολίσθηση της αγκύρωσης. Επιπλέον, τροποποίησαν κατάλληλα τον τρόπο υπολογισµού της περιβάλλουσας των ελατηρίων των ράβδων όπλισης, ώστε να λαµβάνεται υπόψη και η ανελαστική συµπεριφορά της ράβδου εντός του µήκους αγκύρωσης. Ανελαστικό τµήµα Ελαστικό τµήµα Ανελαστικό τµήµα Ελατήριο σκυροδέµατος Ελατήριο σκυροδέµατος+χάλυβα Μοντέλο πολλαπλών ελατηρίων Ανελαστικό τµήµα Σχήµα 2.26: Μοντέλο πολλαπλών ελατηρίων (Lai et al. 1984) Οι Filippou & Issa (1988) χρησιµοποίησαν για την προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης το ολισθητικό υποστοιχείο του Σχήµατος (2.27) που αποτελείται από δύο ανελαστικά στροφικά ελατήρια στα άκρα του στοιχείου τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µε µια άκαµπτη ράβδο. Το υποστοιχείο αυτό συνδέεται σε σειρά µε το καµπτικό µοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας που ανέπτυξαν οι ίδιοι ερευνητές και περιγράφηκε ήδη στην 2.4. Η περιβάλλουσα καµπύλη των στροφικών ελατηρίων είναι διγραµµική προσέγγιση της περιβάλλουσας σχέσης Μ-θ slip που προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο των Filippou et al. (1983) και το οποίο κάνει χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων στην αγκυρούµενη ράβδο. Ειδικά για την περίπτωση των εσωτερικών κόµβων αγνοείται η επίδραση του ιστορικού της φόρτισης η οποία, σύµφωνα µε τους ίδιους ερευνητές, µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα για τους κόµβους που έχουν κατασκευαστεί µε πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση. Οι συγκεκριµένοι ερευνητές ήταν και οι πρώτοι που πρότειναν την χρήση δύο ειδικών φαινοµενολογικών µοντέλων για την υστερητική συµπεριφορά των ολισθητικών ελατηρίων. Το πρώτο αναφέρεται στα στοιχεία δοκού (Σχήµα 2.28α) και το δεύτερο στα στοιχεία υποστυλώµατος (Σχήµα 2.28β). Όπως φαίνεται στα συγκεκριµένα σχήµατα, η στένωση του βρόχου στα στοιχεία δοκού καθορίζεται από το σηµείο µέγιστης απόκρισης της ασθενούς διεύθυνσης (θετική ροπή), ενώ στα στοιχεία υποστυλώµατος µε συµµετρικό οπλισµό καθορίζεται από δύο παραµέτρους c 1 και c 2 που προκύπτουν από το αναλυτικό µοντέλο των Filippou et al. (1983). Σύµφωνα µε τους ενλόγω ερευνητές, η στένωση των βρόχων ολίσθησης στα στοιχεία υποστυλώµατος αυξάνει µε το επιβαλλόµενο θλιπτικό φορτίο. -52-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Ολισθητικό στροφικό ελατήριο A Άκαµπτη ράβδος Ολισθητικό στροφικό ελατήριο B L Σχήµα 2.27: Προσοµοίωση ανελαστικών στροφών από ολίσθηση της αγκύρωσης από τους Filippou & Issa (1988). (α) Σχήµα 2.28: Προτεινόµενοι υστερητικοί βρόχοι ροπής-στροφής λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης από τους Filippou & Issa (1988), α) για στοιχεία δοκού, β) για στοιχεία υποστυλώµατος. Βασικό µειονέκτηµα του µοντέλου των Filippou & Issa (1988) είναι το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για την εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης M- θ slip και των παραµέτρων στένωσης των υστερητικών βρόχων. Είναι σαφές ότι η προσέγγιση που προτείνουν δεν είναι δυνατόν να εφαρµοστεί εκτεταµένα στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς σύνθετων κατασκευών οπλισµένου σκυροδέµατος. Οι Pincheira et al. (1999) για την προσοµοίωση του φαινοµένου της ολίσθησης της αγκύρωσης εισήγαγαν δύο ανελαστικά στροφικά ελατήρια στα άκρα του αναλυτικού µοντέλου που περιγράφηκε στην 2.5. Η περιβάλλουσα των στροφικών ελατηρίων είναι τριγραµµική µέχρι και τη µέγιστη αντοχή, ενώ στη συνέχεια ακολουθεί ένας γραµµικός, πτωτικός κλάδος για την προσοµοίωση της αστοχίας από εξόλκευση στις ράβδους µε ανεπαρκή αγκύρωση. Ο υπολογισµός της σχέσης Μ-θ slip γίνεται µε τη βοήθεια του σύνθετου αναλυτικού µοντέλου που φαίνεται στο Σχήµα (2.29). Στο µοντέλο αυτό, η ράβδος διακριτοποιείται σε έναν σηµαντικό αριθµό στοιχείων ράβδου µικρού µήκους και στους κόµβους κάθε στοιχείου εισάγεται ένα µη-γραµµικό ελατήριο που προσοµοιώνει την επίδραση της τοπικής συνάφειας χάλυβα-σκυροδέµατος στη συγκεκριµένη περιοχή. Το υστερητικό µοντέλο που χρησιµοποιείται είναι σε θέση να προσοµοίωσει τη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων και την υποβάθµιση της δυσκαµψίας κατά την αποφόρτιση, ωστόσο δεν γίνεται καµία προσπάθεια βαθµονόµησης των παραµέτρων του µε βάση πειραµατικά αποτελέσµατα. (β) -53-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας ιατµητικό ελατήριο Ελαστικό στοιχείο Καµπτικό ελατήριο Ολισθητικό ελατήριο Σκυρόδεµα Ράβδος Μηδενικό µήκος Ακαµπτο τµήµα (α) (β) Σχήµα 2.29: α) Αναλυτικό µοντέλο Pincheira et al. (1999), β) Προσοµοίωση αγκυρούµενης ράβδου µε πεπερασµένα στοιχεία. Οι Spacone & Limkatanyu (2000) ανέπτυξαν ένα διδιάστατο προσοµοίωµα ινών που στηρίζεται στη µέθοδο της δυσκαµψίας (displacement based) και το οποίο υιοθετεί το σκεπτικό του διαχωρισµού των πεδίων µετακινήσεων για τις ράβδους όπλισης και το περιβάλλον σκυρόδεµα. Το συγκεκριµένο πεπερασµένο στοιχείο συντίθεται από ένα στοιχείο δοκού και από n στοιχεία ράβδου, όπου n είναι ο αριθµός των ράβδων όπλισης. Οι βαθµοί ελευθερίας του στοιχείου δοκού είναι ενγένει διαφορετικοί από τους βαθµούς ελευθερίας των στοιχείων ράβδου, ώστε να επιτρέπεται η ολίσθηση σε σχέση µε το περιβάλλον σκυρόδεµα. Το στοιχείο δοκού βασίζεται στη θεωρία Euler-Bernoulli (δηλ. διατηρείται η επιπεδότητα των διατοµών) και οι µετακινήσεις στο εσωτερικό του προσδιορίζονται µε τις κλασικές συναρτήσεις παρεµβολής. Για τις ράβδους όπλισης θεωρείται γραµµική µεταβολή των µετακινήσεων κατά µήκος του στοιχείου. Η ολίσθηση των ράβδων όπλισης σε σχέση µε το περιβάλλον σκυρόδεµα προκύπτει από τη διαφορά της µετακίνησης που προκύπτει από το στοιχείο δοκού και το στοιχείο ράβδου στη θέση της ράβδου όπλισης. Οι τάσεις συνάφειας προκύπτουν από τις σχετικές ολισθήσεις µε τον καταστατικό νόµο των Eligehausen et al. (1983). Το µοντέλο των Spacone & Limkatanyu (2000) αυξάνει ακόµη περισσότερο την πολυπλοκότητα των προσοµοιωµάτων ινών (Σχήµα 2.30). Με την εισαγωγή πρόσθετων βαθµών ελευθερίας για κάθε ράβδο όπλισης αυξάνει σε µεγάλο βαθµό το υπολογιστικό κόστος. Τέλος, επειδή στηρίζεται στη µέθοδο της δυσκαµψίας, απαιτείται ένας σηµαντικός αριθµός τέτοιων πεπερασµένων στοιχείων για την προσοµοίωση της κατανοµής της ανελαστικότητας στα στοιχεία Ο/Σ. Αξίζει να σηµειωθεί ότι για την προσοµοίωση ενός υποστυλώµατος σε ανακυκλιζόµενη φόρτιση οι συγκεκριµένοι ερευνητές χρησιµοποίησαν 22 πεπερασµένα στοιχεία, 7 εκ των οποίων χρησιµοποιήθηκαν εντός του πεδίλου έδρασης για την προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης. Οι Monti & Spacone (2000) παρουσίασαν ένα διδιάστατο προσοµοίωµα ινών στο οποίο αίρεται η βασική παραδοχή της πλήρους συνάφειας µεταξύ των ράβδων όπλισης και του περιβάλλοντος σκυροδέµατος. Το συγκεκριµένο αναλυτικό µοντέλο συνδυάζει το κλασικό προσοµοίωµα ινών που στηρίζεται στη µέθοδο της ευκαµψίας (force based), όπως αυτό αναπτύχθηκε από τους Spacone et al. (1996), και το αναλυτικό µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων της αγκυρούµενης ράβδου όπλισης µε ολίσθηση των Monti et -54-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας al. (1997). Στο προσοµοίωµα αυτό διατηρείται η παραδοχή της επιπεδότητας των διατοµών, αλλά οι παραµορφώσεις των ινών των ράβδων όπλισης προσδιορίζονται από το άθροισµα των παραµορφώσεων από την επιµήκυνση της ράβδου και της ανηγµένης ολίσθησής της σε σχέση µε το περιβάλλον σκυρόδεµα. Η ανηγµένη ολίσθηση της ράβδου προκύπτει από το µοντέλο των Monti et al. (1997) για µήκος αγκύρωσης που αντιστοιχεί στο µήκος που αντιστοιχεί στην εξεταζόµενη διατοµή από τη µέθοδο ολοκλήρωσης Gauss-Lobatto. Ειδικά για τις ακραίες διατοµές, στο µήκος αυτό προστίθεται και το µήκος αγκύρωσης της ράβδου στην περιοχή του κόµβου. οκός σκυροδέµατος Ράβδοι µε ολίσθηση οκός µε ολίσθηση των ράβδων Σχήµα 2.30: Αναλυτικό µοντέλο Spacone & Limkatanyu (2000) για την προσοµοίωση της ολίσθησης των ράβδων όπλισης σε σχέση µε το περιβάλλον σκυρόδεµα. Το αναλυτικό µοντέλο απαιτεί επαναληπτική διαδικασία σε επίπεδο στοιχείου προκειµένου να προσδιοριστούν οι παραµορφώσεις των διατοµών που αντιστοιχούν στις εκάστοτε επικόµβιες µετακινήσεις, αφού στηρίζεται στη µέθοδο της ευκαµψίας. Επιπλέον, στο αναλυτικό µοντέλο των Monti et al. (1997) απαιτείται επίσης επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της ολίσθησης της αγκυρούµενης ράβδου, αφού και αυτό έχει προκύψει µε τη χρήση της µεθόδου των συναρτήσεων παρεµβολής για τις εσωτερικές δυνάµεις. Συνεπώς, το υπολογιστικό κόστος που συνεπάγεται είναι ιδιαίτερα αυξηµένο. Βασικό πλεονέκτηµα του είναι ότι δεν απαιτείται η εισαγωγή νέων βαθµών ελευθερίας για την προσοµοίωση της ολίσθησης και επιπρόσθετα αρκεί η χρήση ενός πεπερασµένου στοιχείου ανά δοµικό µέλος. Τέλος, αξίζει να σηµειωθεί ότι το αναλυτικό µοντέλο των Monti & Spacone (2000) είναι σε θέση να προσοµοιώσει την απόκριση και µετά την αστοχία από εξόλκευση που είναι δυνατόν να αναπτυχθεί στην περίπτωση των ανεπαρκών αγκυρώσεων. 2.7 Τοπικοί είκτες Σεισµικής Βλάβης Παρόλο που η αναλυτική και πειραµατική έρευνα στη σεισµική συµπεριφορά των κατασκευών Ο/Σ έχει ανθίσει τα τελευταία περίπου 50 χρόνια, συστηµατική -55-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας προσπάθεια ποσοτικοποίησης του βαθµού δοµικής βλάβης τον οποίο έχει υποστεί µια κατασκευή έχει λάβει χώρα µόνο µετά τη δεκαετία του 1980 (Kappos 1997, Fardis 1994). Φυσικά, η χρήση των διαφόρων δεικτών πλαστιµότητας, ως παραµέτρων βλάβης, έχει προταθεί ήδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1950. Παρόλ'αυτά, η ενσωµάτωση αυτών των παραµέτρων βλάβης σε πραγµατικούς δείκτες βλάβης και ακόµη περισσότερο η προσπάθεια βαθµονόµησης αυτών των δεικτών µε βάση τα πειραµατικά αποτελέσµατα έχει διάρκεια ζωής µόνον 25-30 χρόνια. Στη συνέχεια ακολουθεί µια σύντοµη επισκόπηση ορισµένων από τους πλέον διαδεδοµένους τοπικούς δείκτες σεισµικής βλάβης, που εφαρµόστηκαν στη σύγχρονη βιβλιογραφία για την αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων δοµικών στοιχείων. Σκοπός της παρούσας ανασκόπησης δεν είναι η πλήρης κάλυψη όλων των προτάσεων που έχουν γίνει κατά καιρούς για την ποσοτικοποίηση της δοµικής βλάβης, αλλά η παρουσίαση των βασικότερων τάσεων που παρουσιάστηκαν αναφορικά µε τον ορισµό των δεικτών βλάβης και των ενδεχοµένων µειονεκτηµάτων-πλεονεκτηµάτων που τις χαρακτηρίζουν. Ο πλέον παραδοσιακός και απλός δείκτης βλάβης είναι µε βάση την πλαστιµότητα που για την περίπτωση των συνολικών µετακινήσεων ορίζεται ως ο λόγος της µέγιστης µετακίνησης που αναπτύχθηκε προς τη µετακίνηση διαρροής. ηλαδή: max µ = (2.5.1) y Βασικό µειονέκτηµα του δείκτη πλαστιµότητας για την ποσοτικοποίηση της δοµικής βλάβης αποτελεί το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να λάβει υπόψη τη σταδιακή µείωση της αντοχής µε την ανακύκλιση καθώς και τη σταδιακή αποµείωση της δυσκαµψίας των στοιχείων Ο/Σ. Μέτρα της σταδιακής αποµείωσης της δυσκαµψίας έχουν επίσης προταθεί για τον ορισµό των δεικτών βλάβης. Παράδειγµα τέτοιου δείκτη βλάβης αποτελεί η πρόταση των Roufaiel & Meyer (1987) που δίνεται στην Εξίσωση (2.5.2). Στην εξίσωση αυτή Κ f και Κ m είναι αντίστοιχα η επιβατική δυσκαµψία στην αστοχία και στη µέγιστη µετακίνηση που επιτεύχθηκε από τα ασκούµενα φορτία και Κ ο είναι η ελαστική δυσκαµψία του δοµικού στοιχείου. Μειονέκτηµα αυτού του δείκτη βλάβης αποτελεί η αδυναµία να λάβει υπόψη την πρόσθετη βλάβη που προκαλείται στο δοµικό στοιχείο από την ανακύκλιση και επιπλέον το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να συµπεριλάβει το φαινόµενο της στένωσης γύρω από την αρχή των αξόνων K f ( Km Ko) D= (2.5.2) K K K ( ) m f o Στην προσπάθειά τους να λάβουν υπόψη την πρόσθετη βλάβη που προκαλείται στα δοµικά στοιχεία από την ανακύκλιση οι Krätzig et al. (1989) πρότειναν έναν δείκτη βλάβης που βασίζεται στην υστερητική ενέργεια που απορροφάται από ένα δοµικό στοιχείο. Ο πρώτος κύκλος σε µια δεδοµένη µετακίνηση καλείται κύριος, ενώ οι υπόλοιποι στην ίδια ή χαµηλότερη στάθµη µετακίνησης χαρακτηρίζονται ως δευτερεύοντες. Ο δείκτης βλάβης για τους θετικούς κύκλους φόρτισης δίνεται από την Εξίσωση (2.5.3). -56-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας D + E + E i = E + + p, i i i + + f + Ei i (2.5.3) Σε αυτήν την εξίσωση, Ε + p,i είναι η ενέργεια που απορροφάται στον κύριο κύκλο φόρτισης, Ε + i είναι η ενέργεια που απορροφάται στους δευτερεύοντες κύκλους φόρτισης και Ε + f είναι η ενέργεια που απορροφάται µέχρι την αστοχία υπό µονότονη φόρτιση. Αντίστοιχα ορίζεται και ο δείκτης βλάβης για τους αρνητικούς κύκλους φόρτισης, ενώ ο συνολικός δείκτης βλάβης ορίζεται τελικά από την Εξίσωση (2.5.4). + + D= D + D D D (2.5.4) Οι ενεργειακοί δείκτες βλάβης έχουν το µειονέκτηµα της δυσκολίας πειραµατικού προσδιορισµού της διαθέσιµης ικανότητας απόσβεσης ενέργειας καθώς και το ό,τι δεν κάνουν διάκριση ανάλογα µε το εύρος της µέγιστης µετακίνησης του κύκλου φόρτισης στον οποίο απορροφάται η σεισµική ενέργεια (Cosenza & Manfredi 2000). Μια άλλη προσέγγιση για την προσοµοίωση του αθροιστικού χαρακτήρα της βλάβης από την ανακύκλιση είναι η εφαρµογή συγκεκριµένων νόµων κοπώσεως, όπως είναι οι κανόνες του Miner (1945). D i y = i= 1, n u y b dam (2.5.5) Στην Εξίσωση (2.5.5), i είναι η µέγιστη µετακίνηση του κύκλου i και y και u είναι η µετακίνηση διαρροής και αστοχίας αντίστοιχα του δοµικού στοιχείου. Οι Banon et al. (1981) πρότειναν να λαµβάνεται b dam =1.5. Ο νόµος αυτός για b dam =1 δίνει το ίδιο βάρος σε όλες τις πλαστικές µετακινήσεις (άσχετα µε το εύρος τους) και συνεπώς τιµές ανάλογες των ενεργειακών δεικτών βλάβης, ενώ για πολύ µεγάλες τιµές του b dam δίνει τιµές αντίστοιχες του δείκτη πλαστιµότητας. Πλεονέκτηµα των δεικτών βλάβης αυτής της µορφής είναι ότι µπορούν να λάβουν υπόψη την κατανοµή του εύρους των πλαστικών παραµορφώσεων και το γεγονός ότι βασίζονται σε δεδοµένα που µπορούν να εξαχθούν εύκολα από τις πειραµατικές καταγραφές. Πολύ διαδεδοµένος δείκτης σεισµικής βλάβης είναι ο δείκτης των Park-Ang (1987). Ο δείκτης αυτός έχει τη γενική µορφή της Εξίσωσης (2.5.6). θ Md max θ D= + βdam (2.5.6) θ M θ u y u Ο πρώτος όρος στην Εξίσωση (2.5.6) είναι ο λόγος της µέγιστης στροφής που αναπτύχθηκε προς την αντίστοιχη στροφική ικανότητα του στοιχείου υπό µονότονη φόρτιση θ u, ενώ ο δεύτερος όρος εκφράζει τον λόγο της ενέργειας που απορροφήθηκε προς το γινόµενο της ροπής διαρροής επί τη στροφική ικανότητα θ u. Ο δεύτερος όρος πολλαπλασιάζεται µε έναν εµπειρικό συντελεστή β dam ο οποίος προσδιορίστηκε από την στατιστική επεξεργασία ενός σηµαντικού αριθµού πειραµατικών δοκιµίων. Για δοµικά στοιχεία µε πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση συνίσταται να λαµβάνεται β dam =0.05. Για δοµικά στοιχεία χωρίς πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση προτείνεται ενγένει να λαµβάνεται µια τιµή του β dam =0.25. Επισηµαίνεται, ωστόσο, ότι η τιµή αυτή έχει βαθµονοµηθεί µε έναν πολύ µικρό αριθµό πειραµατικών δοκιµίων (Kappos 1997). -57-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Είναι σαφές ότι ο δείκτης βλάβης των Park-Ang λαµβάνει υπόψη τόσο τη µέγιστη στροφή που αναπτύχθηκε στο δοµικό στοιχείο όσο και την πρόσθετη βλάβη που προκαλείται από την ανακύκλιση. Ένα πρόσθετο πλεονέκτηµα του συγκεκριµένου δείκτη είναι ότι έχει βαθµονοµηθεί µε έναν ικανοποιητικό αριθµό πειραµατικών δοκιµίων αλλά και µε καταγραφές πεδίου σε κατασκευές που υπέστησαν βλάβες από προηγούµενους σεισµούς (Cosenza & Manfredi 2000). Μειονέκτηµα αποτελεί το γεγονός ότι ο πειραµατικός προσδιορισµός του συντελεστή β dam είναι δύσκολος και επιπλέον η συγκεκριµένη µεθοδολογία δεν είναι επαρκώς τεκµηριωµένη. Την ίδια στιγµή ο γραµµικός συνδυασµός της πλαστιµότητας και της υστερητικής ενέργειας σε ένα τόσο σύνθετο και µη-γραµµικό πρόβληµα είναι πολύ πιθανό να µην είναι ο ιδανικός. Τέλος, ο συγκεκριµένος δείκτης δε λαµβάνει υπόψη την κατανοµή και το µέγεθος των πλαστικών παραµόρφωσεων αλλά το σύνολο της υστερητικής ενέργειας που καταναλώθηκε από το δοµικό στοιχείο (Cosenza & Manfredi 2000). Καθίσταται σαφές από τα παραπάνω ότι η λογική των δεικτών βλάβης που αναπτύχθηκαν µέχρι σήµερα στηρίζεται σχεδόν εξ ολοκλήρου στην καµπτική συµπεριφορά των δοµικών στοιχείων. Ωστόσο, στις κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος όπου δεν έχουν εφαρµοστεί οι σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις δεν είναι δυνατόν να αποκλειστεί η εµφάνιση σηµαντικής δοµικής βλάβης από ανελαστική διατµητική συµπεριφορά ή από την ολίσθηση της αγκύρωσης. Με βάση τις µέχρι σήµερα προταθείσες σχέσεις από τη βιβλιογραφία, η πρόσθετη δοµική βλάβη ενός στοιχείου οπλισµένου σκυροδέµατος από ανελαστική διατµητική συµπεριφορά και από ολίσθηση της αγκύρωσης θα µπορούσε να ληφθεί υπόψη µόνον έµµεσα µέσω της συνολικής στροφής-µετακίνησης του στοιχείου. Ο συµψηφισµός όλων των µορφών βλάβης, ωστόσο, στη συνολική στροφή του δοµικού στοιχείου δεν είναι δυνατόν να οδηγήσει σε κάθε περίπτωση σε ρεαλιστικά αποτελέσµατα. Για παράδειγµα, στην πλειονότητα των γραµµικών στοιχείων Ο/Σ (υποστυλώµαταδοκοί) οι διατµητικές παραµορφώσεις συµµετέχουν σε µικρό ποσοστό στη συνολική στροφή των άκρων του στοιχείου. Συνεπώς, στους δείκτες βλάβης που στηρίζονται στη συνολική στροφή του άκρου του στοιχείου, µια σηµαντική αύξηση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων, που συνοδεύεται και από σηµαντική αύξηση της βλάβης διατµητικού χαρακτήρα, θα οδηγούσε σε µικρή αύξηση της συνολικής στροφής του δοµικού στοιχείου και κατ επέκταση σε σχετικά µικρή αύξηση της τιµής του δείκτη βλάβης. ηλαδή, παρόλο που η αύξηση µιας συγκεκριµένης µορφής βλάβης (καµπτικήδιατµητική-ολισθητική) µπορεί να είναι σηµαντική, η τελική αύξηση που θα προκύψει στο δείκτη βλάβης θα είναι συνάρτηση της συµµετοχής αυτής της µορφής παραµόρφωσης στη συνολική στροφή του στοιχείου. Ακόµη περισσότερο, ο προσδιορισµός της διαθέσιµης θ u δεν µπορεί να είναι στη γενική περίπτωση ακριβής, ακόµη και αν γίνει προσπάθεια να ληφθούν υπόψη οι διατµητικές και ολισθητικές µορφές αστοχίας. Αυτό συµβαίνει, διότι ο προσδιορισµός του θ u απαιτεί εκ των προτέρων τη γνώση της κατανοµής των καµπτικών ροπών κατά µήκος του δοµικού στοιχείου. Αυτή η προϋπόθεση προφανώς δεν είναι εφικτή στη γενική περίπτωση σύνθετων πλαισιακών κατασκευών που υποβάλλονται σε ισχυρή σεισµική διέγερση. Οι Williams et al. (1997) βαθµονόµησαν οκτώ από τους πλέον διαδεδοµένους σεισµικούς δείκτες βλάβης µετά από σύγκριση µε µια σειρά από πειραµατικά δοκίµια µεµονωµένου υποστυλώµατος µε διαφορετικούς λόγους διάτµησης και ποσοστό -58-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας διατµητικού οπλισµού. Οδηγήθηκαν στο συµπέρασµα ότι κανένας από τους εξεταζόµενους δείκτες βλάβης δεν ήταν σε θέση να παρακολουθήσει µε συνέπεια την αύξηση της τρωτότητας σε τέµνουσα των πειραµατικών δοκιµίων Επίσης, διαπίστωσαν ότι η βλάβη που αναπτύχθηκε στα µεµονωµένα υποστυλώµατα ήταν κατά κύριο λόγο συνάρτηση της µέγιστης αναπτυσσόµενης παραµόρφωσης, µε την ανακυκλιζόµενη φόρτιση να διαδραµατίζει µόνο µικρό ρόλο στη συνολική βλάβη των στοιχείων. Αυτό είχε ως αποτέλεσµα οι απλοί δείκτες βλάβης που καθορίζονται κατά κύριο λόγο από τις µέγιστες αναπτυσσόµενες παραµορφώσεις (όπως π.χ. η απαίτηση πλαστιµότητας) να δίνουν πιο σαφείς και συνεπείς ενδείξεις για τη δοµική βλάβη που αναπτύχθηκε στα στοιχεία Ο/Σ σε σχέση µε τους περισσότερο σύνθετους δείκτες βλάβης που λαµβάνουν υπόψη και την ανακύκλιση. Με βάση και τα παραπάνω κρίνεται σκόπιµη η διακριτή πλέον συνεκτίµηση της διάτµησης και της ολίσθησης της αγκύρωσης σε έναν σεισµικό δείκτη που αποσκοπεί να βαθµονοµήσει τη δοµική βλάβη των στοιχείων Ο/Σ. Οι µόνοι που ακολούθησαν (ως έναν βαθµό) µέχρι σήµερα αυτήν την κατεύθυνση ήταν οι Garstka et al. (1993). Οι συγκεκριµένοι ερευνητές πρότειναν την Εξίσωση (2.5.7) για τον προσδιορισµό του συνολικού δείκτη βλάβης D tot. ξ fl ( ) ( ) D D D ξ sh tot = fl + sh (2.5.7) Στην Εξίσωση (2.5.7), D fl και D sh είναι ο καµπτικός και ο διατµητικός δείκτης βλάβης που καθορίζονται µε βάση την προσέγγιση των Krätzig et al. (1989) για τις υστερητικές ενέργειες όµως που προκύπτουν αντίστοιχα για καθαρή καµπτική και διατµητική συµπεριφορά. Οι ξ fl και ξ sh είναι εµπειρικοί συντελεστές που καθορίστηκαν µε βάση τη στατιστική επεξεργασία εννέα πειραµατικών δοκιµίων και βρέθηκαν ίσοι µε 1.75. Είναι σαφές ότι το κριτήριο αστοχίας των Garstka et al. (1993) προσπαθεί να ενσωµατώσει στην Εξίσωση (2.5.7) όλα τα σύνθετα φαινόµενα της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, όπως είναι η µείωση της διατµητικής αντοχής και η αύξηση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων µετά την καµπτική διαρροή γεγονός που εξετάζεται κατά πόσο είναι εφικτό. Το κριτήριο αστοχίας των συγκεκριµένων ερευνητών είναι βαθµονοµηµένο µε έναν πολύ µικρό αριθµό πειραµατικών δοκιµίων, ενώ περαιτέρω βαθµονόµησή του καθίσταται εξαιρετικά δυσχερής, καθώς προ-απαιτεί τον καθορισµό των πειραµατικών υστερητικών ενεργειών που απορροφούνται ξεχωριστά από τους µηχανισµούς κάµψης και διάτµησης, τόσο σε µονότονη όσο και ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Τέλος, οι συγκεκριµένοι ερευνητές δεν θεώρησαν την ολίσθηση της αγκύρωσης ως ξεχωριστό µηχανισµό βλάβης, αλλά την ενσωµάτωσαν για λόγους απλοποίησης στον καµπτικό δείκτη βλάβης D fl. -59-

2. Κριτική Επισκόπηση Βιβλιογραφίας -60-

Κεφάλαιο 3 ο 3 Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης υστερητικής συµπεριφοράς σε κάµψη -61-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 3.1 Εισαγωγή Στη συνέχεια αναπτύσσεται το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της καµπτικής, υστερητικής συµπεριφοράς. Η καµπτική συµπεριφορά εξετάζεται σε όρους ροπών (Μ) καµπυλοτήτων (φ) µιας τυπικής διατοµής ενός στοιχείου οπλισµένου σκυροδέµατος. Αρχικά γίνεται ανάλυση της εξεταζόµενης διατοµής για την εξαγωγή της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-φ. Στη συνέχεια, για λόγους υπολογιστικής απλότητας, ακολουθεί διγραµµικοποίηση της περιβάλλουσας Μ-φ. Με βάση την εξιδανικευµένη, διγραµµική περιβάλλουσα Μ-φ, αναπτύσσεται ακολούθως ένα πλήρες σύνολο φαινοµενολογικών κανόνων υστερητικής συµπεριφοράς που περιγράφουν την καµπτική απόκριση στην περίπτωση της ανακυκλιζόµενης φόρτισης. 3.2 Περιβάλλουσα Μ-φ 3.2.1 Αναλυτική Περιβάλλουσα Μ-φ Για τον αναλυτικό προσδιορισµό της σχέσης Μ-φ µιας διατοµής Ο/Σ υπό µονοαξονική κάµψη και σταθερό αξονικό φορτίο, η διατοµή διαιρείται αρχικά σε κατάλληλο αριθµό λωρίδων (Mahin & Bertero 1977, Kappos 2002). Βασική προϋπόθεση για την ακρίβεια της µεθοδολογίας που αναπτύσσεται στη συνέχεια αποτελεί η ύπαρξη ενός άξονα συµµετρίας, κάθετου προς τον ουδέτερο άξονα της διατοµής. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα (3.1), η διατοµή ύψους h, χωρίζεται σε n h λωρίδες (ύψους h/n). Οι επιµέρους λωρίδες σκυροδέµατος καθώς και οι λωρίδες των οπλισµών ορίζονται πλήρως από τις αποστάσεις, y ci και y si αντίστοιχα, των κέντρων βάρους τους από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατοµής, και από τα εµβαδά τους. Σχήµα 3.1: Μέθοδος λωρίδων για τον προσδιορισµό της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-φ απλά συµµετρικών διατοµών Ο/Σ Για µια δεδοµένη τιµή του αξονικού φορτίου και της παραµόρφωσης στην ακραία θλιβόµενη ίνα της διατοµής, ε c, η καµπτική ροπή και η αντίστοιχη καµπυλότητα της διατοµής είναι δυνατό να προσδιοριστούν. Η διαδικασία περιλαµβάνει µια πρώτη -62-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά εκτίµηση του ύψους του ουδέτερου άξονα, x, ώστε να είναι δυνατός ο προσδιορισµός της κατανοµής των παραµορφώσεων κατά το ύψος της διατοµής. Για µια δεδοµένη παραµόρφωση, ε ci, στο κέντρο της λωρίδας σκυροδέµατος i, εµβαδού A ci, η αναπτυσσόµενη τάση, σ ci, είναι δυνατό να προσδιοριστεί από τον κατάλληλο καταστατικό νόµο σ c -ε c. Οι τάσεις, σ si, των διαφόρων στρώσεων του οπλισµού, εµβαδού A si, προσδιορίζονται οµοίως από τις αντίστοιχες παραµορφώσεις, ε si, και τους καταστατικούς νόµους σ s -ε s. Εάν m h είναι ο αριθµός των στρώσεων του οπλισµού, τότε πρέπει να ισχύει η εξίσωση ισορροπίας: N = nh m h i= 1 σ A + σ A (3.2.1) ci ci i= 1 si si Εφόσον η Σχέση (3.2.1) δεν ικανοποιείται, το ύψος του ουδέτερου άξονα αναπροσαρµόζεται και η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου προσδιοριστεί το ύψος, x, για το οποίο πληρούται η συνθήκη ισορροπίας (µε την επιδιωκόµενη ακρίβεια). Τότε η ροπή που αναλαµβάνει η διατοµή µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση. M = nh i= 1 ci ci ci mh σ A y + σ A y (3.2.2) Η αντίστοιχη καµπυλότητα προσδιορίζεται στη συνέχεια από τη σχέση ε x i= 1 si si si c ϕ = (3.2.3) Είναι σαφές ότι πραγµατοποιώντας την παραπάνω ανάλυση για διάφορες τιµές της ε c µέχρι και την αστοχία είναι δυνατόν να εξαχθεί το πλήρες διάγραµµα Μ-φ της διατοµής. Οι παραδοχές που γίνονται στο πλαίσιο της παραπάνω ανάλυσης είναι οι εξής: Ισχύει η αρχή της επιπεδότητας των διατοµών (Bernoulli). Αγνοείται η ολίσθηση των ράβδων του οπλισµού σε σχέση µε το σκυρόδεµα. Η επίλυση της διατοµής γίνεται για δεδοµένη αξονική δύναµη. Επιπρόσθετα, εφόσον γίνουν οι παραπάνω υπολογισµοί για διάφορες στάθµες αξονικής φόρτισης είναι δυνατόν να εξαχθούν και τα αντίστοιχα διαγράµµατα αλληλεπίδρασης Μ-Ν της διατοµής. Ιδιαίτερα κρίσιµο σηµείο στην προαναφερθείσα διαδικασία είναι ο ορισµός της αστοχίας σε κάµψη της υπό ανάλυση διατοµής. Τα κριτήρια που χρησιµοποιούνται στην παρούσα διατριβή για τον καθορισµό της καµπτικής αστοχίας διατοµής Ο/Σ είναι τα εξής: I. Αστοχία συνδετήρα από εξάντληση της διαθέσιµης επιµήκυνσής του λόγω εγκάρσιων παραµορφώσεων του σκυροδέµατος που αναπτύσσονται κατά τη διόγκωση του πυρήνα. Το κριτήριο αυτό βασίζεται σε εµπειρική σχέση των Mander et al. (1986). II. Πτώση της τάσης του σκυροδέµατος στο 0.85f c (όπου f c η αντοχή του απερίσφικτου σκυροδέµατος) στον φθίνοντα κλάδο του καταστατικού νόµου σ c - ε c. Το κριτήριο αυτό (Kappos et al. 1991), το οποίο κατά κανόνα είναι πιο συντηρητικό από το προηγούµενο, χρησιµοποιείται κυρίως για αναλύσεις συµβατές µε τους ισχύοντες κανονισµούς (στους οποίους το 0.85f c εκφράζει την -63-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά αντοχή σχεδιασµού του σκυροδέµατος υπό µακροχρόνια φόρτιση, πριν την εισαγωγή του συντελεστή ασφαλείας υλικού). III. Θραύση του διαµήκους οπλισµού στην εφελκυόµενη ζώνη µετά από υπέρβαση της µέγιστης παραµόρφωσης αστοχίας του χάλυβα, ε su, η οποία θεωρείται συντηρητικά ότι συµπίπτει µε την επίτευξη της µέγιστης εφελκυστικής αντοχής. IV. Λυγισµός των θλιβόµενων ράβδων. Το κριτήριο αυτό είναι ιδιαίτερα κρίσιµο στα στοιχεία µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση που αναλύονται στην παρούσα διατριβή και κατά κανόνα δεν έχουν πυκνούς συνδετήρες. Εδώ υιοθετείται η µεθοδολογία των Papia et al. (1989) για τον υπολογισµό της θλιπτικής παραµόρφωσης, ε cu, στην ακραία ίνα σκυροδέµατος για την οποία επέρχεται λυγισµός των διαµήκων ράβδων. Το κριτήριο που προτείνεται από τους Νεοζηλανδικούς κανονισµούς (βλ. Paulay & Priestley 1992) και σύµφωνα µε το οποίο πρώιµος λυγισµός των διαµήκων ράβδων αναµένεται, όταν η αντοχή διαρροής του συνδετήρα είναι µικρότερη από το 1/16 της αντοχής διαρροής του διαµήκους οπλισµού που συγκρατείται από τον συνδετήρα λαµβάνεται επίσης υπόψη V. Πτώση της καµπτικής αντοχής της διατοµής στο 80% της µέγιστης τιµής της. Το επίσης συµβατικό αυτό κριτήριο έχει υιοθετηθεί από πολλούς σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς (π.χ. ΚΑΝ.ΕΠΕ. 2009). Στο πρώτο, δεύτερο, τέταρτο και πέµπτο από τα παραπάνω κριτήρια η καµπυλότητα αστοχίας, φ u, προσδιορίζεται από τη Σχέση (3.2.4), ενώ για το τρίτο κριτήριο αστοχίας χρησιµοποιείται η Σχέση (3.2.5). ε cu ϕ u = (3.2.4) x u ε su ϕ u = (3.2.5) d x u Στις εξισώσεις αυτές, x u, είναι το ύψος του ουδέτερου άξονα τη στιγµή που επιτυγχάνεται, είτε η παραµόρφωση αστοχίας του σκυροδέµατος, ε cu, είτε η παραµόρφωση αστοχίας του χάλυβα, ε su, και d είναι το στατικό ύψος της διατοµής. Σηµαντικό ρόλο στην ποιότητα των εξαγοµένων της ανάλυσης Μ-φ µιας διατοµής Ο/Σ διαδραµατίζει η ορθή επιλογή των καταστατικών νόµων τάσης-παραµόρφωσης για το περισφιγµένο σκυρόδεµα, αλλά και για το χάλυβα. Στην παρούσα διατριβή υιοθετείται το µοντέλο Kappos (1991) για το περισφιγµένο σκυρόδεµα. Ο καταστατικός αυτός νόµος, που φαίνεται και στο Σχήµα (3.2), σχετίζεται άµεσα µε την παρούσα έρευνα, καθώς έχει βαθµονοµηθεί και για διατοµές µε ανεπαρκή εγκάρσιο οπλισµό και γενικά µε µη πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση. Επίσης, έχει βρεθεί ότι βρίσκεται σε επαρκή σύµπτωση µε τα διαθέσιµα πειραµατικά αποτελέσµατα (Kappos et al. 1999). Επιπρόσθετα, γίνεται η απλοποιητική παραδοχή ότι το σκυρόδεµα δεν συνεισφέρει στην αντοχή της διατοµής σε εφελκυσµό. -64-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Σχήµα 3.2: Καταστατικός νόµος Kappos (1991) για το περισφιγµένο σκυρόδεµα Για τον καταστατικό νόµο του χάλυβα χρησιµοποιείται το µοντέλο των Park & Sampson (1972), που έχει παραβολικό κλάδο κράτυνσης, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (3.3). Επιπλέον, γίνεται η παραδοχή ότι ο χάλυβας συµπεριφέρεται µε τον ίδιο τρόπο τόσο σε θλίψη όσο και σε εφελκυσµό. Στο Σχήµα (3.3), ε y είναι η παραµόρφωση του χάλυβα στη διαρροή, ε sh είναι η παραµόρφωση του χάλυβα κατά την έναρξη της ζώνης κράτυνσης, Ε s είναι το µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα και f y και f u είναι η αντοχή διαρροής και αστοχίας, αντίστοιχα, του χάλυβα. Σχήµα 3.3: Καταστατικός νόµος χάλυβα (Park & Sampson 1972) 3.2.2 Εξιδανικευµένη ιγραµµική Περιβάλλουσα Μ-φ Με τη διαδικασία που περιγράφηκε στην 3.2.1 εξάγεται η καµπύλη Μ-φ µιας διατοµής Ο/Σ. Ωστόσο, για λόγους απλοποίησης και υπολογιστικής ευκολίας, στην αποτίµηση της ανελαστικής συµπεριφοράς κατασκευών Ο/Σ χρησιµοποιούνται κατά -65-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά κανόνα εξιδανικευµένα διγραµµικά ή και τριγραµµικά διαγράµµατα Μ-φ για την προσοµοίωση της περιβάλλουσας καµπύλης της καµπτικής υστερητικής συµπεριφοράς. Τα διαγράµµατα αυτά θα πρέπει να προσοµοιώνουν µε τον βέλτιστο δυνατό τρόπο την αναλυτική καµπύλη Μ-φ σε µονότονη φόρτιση. Στην παρούσα διατριβή επιλέγεται η υιοθέτηση διγραµµικής περιβάλλουσας για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς Μ-φ. Ο κύριος λόγος που επιλέχθηκε διγραµµική περιβάλλουσα και όχι τριγραµµική (στην οποία συνυπολογίζεται και η αρηγµάτωτη κατάσταση της διατοµής) είναι ότι ο τελικός σκοπός του αναλυτικού µοντέλου που θα αναπτυχθεί στη διατριβή είναι η προσοµοίωση της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων στοιχείων Ο/Σ σε πραγµατικές κατασκευές και όχι η προσοµοίωση της συµπεριφοράς παρθένων εργαστηριακών δοκιµίων. Στα υφιστάµενα στοιχεία Ο/Σ έχουν κατά κανόνα αναπτυχθεί σηµαντικές ρηγµατώσεις από προηγούµενες σεισµικές διεγέρσεις, τα κατακόρυφα φορτία της κατασκευής, και τις περιβαλλοντικές δράσεις. Συνεπώς, η υιοθέτηση ενός αρηγµάτωτου αρχικού κλάδου στην περιβάλλουσα καµπύλη θα ήταν ενγένει µη-ρεαλιστική. Την ίδια στιγµή, η διγραµµική περιβάλλουσα πλεονεκτεί έναντι της τριγραµµικής σε όρους υπολογιστικής απλότητας, που θα πρέπει να αποτελεί πρωταρχική µέριµνα στην ανελαστική ανάλυση των κατασκευών. M Εξιδανικευµένη M u M y Αναλυτική ΕΙ 1 ΕΙ ο φ φ y φ u Σχήµα 3.4: ιγραµµικοποίηση αναλυτικής καµπύλης Μ-φ Για τη διγραµµικοποίηση µιας καµπύλης Μ-φ έχουν προταθεί διάφορες µέθοδοι στη σύγχρονη βιβλιογραφία (π.χ. Priestley 2003, KAN.ΕΠΕ. 2009). Στη συνέχεια παρατίθενται τα στάδια της µεθοδολογίας που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή για τον προσδιορισµό της εξιδανικευµένης διγραµµικής καµπύλης Μ-φ (που θεωρείται ότι ορίζει την περιβάλλουσα της ανακυκλιζόµενης φόρτισης) µιας διατοµής Ο/Σ, όταν είναι γνωστή ήδη η αντίστοιχη «ακριβής» (από την ανάλυση) καµπύλη Μ-φ αυτής. Προσδιορίζεται η ελάχιστη ε cu που αντιστοιχεί στα κριτήρια αστοχίας Ι, ΙΙ και ΙV της 3.2.1. Εντοπίζεται η κατάσταση αστοχίας της διατοµής. Στην κατάσταση αυτή, είτε η παραµόρφωση στην θλιβόµενη ακραία ίνα γίνεται ίση µε την οριακή ε cu, είτε η παραµόρφωση στον ακραίο εφελκυόµενο οπλισµό γίνεται ίση µε ε su, είτε η αντοχή της διατοµής πέφτει στο 80% της µέγιστης τιµής της (όποιο από τα τρία συµβεί πρώτο). -66-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Με βάση την ανάλυση της διατοµής µε τη µέθοδο των λωρίδων προσδιορίζεται το ζεύγος (φ u, M u ) που αντιστοιχεί στην κατάσταση αστοχίας της διατοµής (Εξ. 3.2.4 ή 3.2.5). Οµοίως, µε βάση την ανάλυση της διατοµής µε τη µέθοδο των λωρίδων προσδιορίζεται το ζεύγος (φ y1, Μ y1 ) που αντιστοιχεί στην πρώτη διαρροή εφελκυόµενου οπλισµού. Με την παραδοχή ότι ο ελαστικός κλάδος της εξιδανικευµένης διγραµµικής περιβάλλουσας διέρχεται από το σηµείο πρώτης διαρροής εφελκυόµενου οπλισµού υπολογίζεται η κλίση του οιονεί ελαστικού κλάδου, ΕΙ ο, ως εξής: EI o M y1 = (3.2.6) ϕ y1 Στο σηµείο αυτό σηµειώνεται ότι για ισχυρά θλιπτικά αξονικά φορτία είναι δυνατόν η διατοµή να αναπτύξει από την αρχή έντονα µη γραµµική συµπεριφορά και να µη λάβει καθόλου χώρα διαρροή του εφελκυόµενου οπλισµού ή αυτή να λάβει χώρα µετά τη διαρροή του θλιβόµενου οπλισµού της διατοµής. Σε αυτήν την περίπτωση, και µε βάση την αντίστοιχη πρόταση του ΚΑΝ.ΕΠΕ. (2009), η κλίση του αρχικού κλάδου της διγραµµικής εξιδανικευµένης καµπύλης Μ-φ καθορίζεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ο κλάδος αυτός να διέρχεται από την αναλυτική καµπύλη σε ροπή που αντιστοιχεί στο 60% της ροπής διαρροής της εξιδανικευµένης διγραµµικής καµπύλης. Είναι σαφές ότι στην περίπτωση αυτή απαιτείται επαναληπτική διαδικασία για τον υπολογισµό της κλίσης του αρχικού κλάδου της εξιδανικευµένης διγραµµικής Μ-φ. Στη συνέχεια προσδιορίζεται το εµβαδόν, W, που βρίσκεται κάτω από την αναλυτική καµπύλη Μ-φ µέχρι το σηµείο αστοχίας της διατοµής, από την Εξίσωση (3.2.7) (k=αριθµός βηµάτων ανάλυσης µέχρι και την αστοχία) και το οποίο αντιστοιχεί στην ενέργεια που απορροφήθηκε από τη συγκεκριµένη διατοµή µέχρι και την αστοχία. Με την παρατήρηση ότι οι ενέργειες που περιβάλλονται από τα δυο διαφορετικά διαγράµµατα Μ-φ θα πρέπει να είναι ίσες µεταξύ τους προκύπτει η Εξίσωση (3.2.8). k 1 W = M + M 2 ( φi φi 1) ( i i 1) (3.2.7) i= 1 1 2 M ϕ ( M u + M y) ( ) W ϕ ϕ y y + u y = 2 (3.2.8) -67-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Από τις Εξισώσεις (3.2.6), (3.2.7) και (3.2.8) προκύπτει το ισοδύναµο σηµείο διαρροής της διατοµής: W ϕ M ϕ y = ϕ EI M M Ελέγχεται εάν ισχύει η ανίσωση M u u 2 u u u o u y EI o M ϕ ϕ y (3.2.9) = ϕ (3.2.10) y y r min EI o (3.2.11) Όπου r min >0 είναι ο ελάχιστος επιτρεπόµενος λόγος κράτυνσης του µετελαστικού κλάδου της διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ. Εάν επαληθεύεται η συγκεκριµένη σχέση, τότε το ισοδύναµο σηµείο διαρροής καθορίζεται από τις Σχέσεις (3.2.9) και (3.2.10) και έχει ολοκληρωθεί ο υπολογισµός της εξιδανικευµένης διγραµµικής καµπύλης. ιαφορετικά ακολουθείται το επόµενο βήµα. Εάν δεν ικανοποιείται η ανίσωση (3.2.11), τίθεται η κλίση του µετελαστικού κλάδου ίση µε την ελάχιστη επιτρεπτή κλίση. Με τον τρόπο αυτόν ισχύουν τα εξής: EI1= rmin EIo (3.2.12) ( ) M = M + r EI ϕ ϕ (3.2.13) u y min o u y ιατηρώντας την παραδοχή ότι ο ελαστικός κλάδος διέρχεται από το σηµείο της πρώτης διαρροής και µε βάση την αρχή της εξίσωσης των δύο ενεργειών προκύπτει µετά από αντικατάσταση των Εξισώσεων (3.2.10) και (3.2.13) στην (3.2.8) η εξής δευτεροβάθµια εξίσωση: ( ) ( ) EI 1 r ϕ 2EI ϕ 1 r ϕ + 2W r EI ϕ = 0 (3.2.14) 2 2 o min y o u min y min o u Η Εξίσωση (3.2.14) δίνει τις εξής ρίζες: Όπου: ϕ y= ϕu± (3.2.15) 2 ΕΙ 1 ο ( r ) 2 ( min) ( min) ( min ϕ ) = 4EI ϕ 1 r 4EI 1 r 2W r EI (3.2.16) 2 2 2 o u o o u Είναι σαφές ότι µόνο η ρίζα µε το αρνητικό πρόσηµο της Σχέσης (3.2.15) γίνεται δεκτή, αφού πρέπει φ y φ u. Η διαδικασία που περιγράφτηκε παραπάνω φαίνεται περισσότερο εποπτικά στο διάγραµµα ροής του Σχήµατος (3.5). min -68-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Προσδιορισµός της κρίσιµης κατάστασης αστοχίας Προσδιορισµός από την αναλυτική καµπύλη του ζεύγους (φ u, M u) που αντιστοιχεί στην κρίσιµη κατάσταση αστοχίας Υπολογισµός εµβαδού W κάτω από αναλυτική καµπύλη από Εξ. (3.2.7) Υπάρχει διαρροή του εφελκυόµενου οπλισµού και αν ναι προηγείται της διαρροής του θλιβόµενου οπλισµού? ΟΧΙ ΝΑΙ Εκτίµηση για ΕΙ ο ΕΙ ο από Εξ. (3.2.6) φ y από Εξ. (3.2.9) φ y από Εξ. (3.2.9) Μ y από Εξ. (3.2.10) Μ y από Εξ. (3.2.10) Υπολογισµός της καµπυλότητας φ 60 της αναλυτικής καµπύλης που αντιστοιχεί σε ροπη 0.60Μ y EI o=0.60m y/φ 60 ΝΑΙ φ 60 0.60φ y? ΟΧΙ ΝΑΙ (Μ u-m y)/(φ u-φ y) r min EI o? ΟΧΙ EI 1 από Εξ. (3.2.12) φ y από Εξ. (3.2.15) Μ y από Εξ. (3.2.10) Μ u από Εξ. (3.2.13) ΤΕΛΟΣ Σχήµα 3.5: ιάγραµµα ροής για τον καθορισµό της εξιδανικευµένης, διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ -69-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Παρόλο που η προαναφερθείσα µεθοδολογία για τη διγραµµικοποίηση της περιβάλλουσας καµπύλης Μ-φ δίνει την αίσθηση της γενικότητας και είναι σε γενικές γραµµές αυτή που έχει επικρατήσει στη σύγχρονη διεθνή βιβλιογραφία, κατά την άποψη του γράφοντα, σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι επαρκής και µπορεί να οδηγήσει σε λανθασµένα αποτελέσµατα, ειδικά όταν εφαρµόζεται στα µοντέλα βαθµιαίας εξάπλωσης της ανελαστικότητας, που υιοθετούνται στην παρούσα διατριβή. Ένα πρώτο κρίσιµο ζήτηµα είναι η παραδοχή σε κάθε περίπτωση θετικής δυσκαµψίας για τον µετελαστικό κλάδο. Η παραδοχή αυτή είναι απαραίτητη στα µοντέλα βαθµιαίας εξάπλωσης της ανελαστικότητας, αφενός για να αποφευχθούν αρνητικές δυσκαµψίες που οδηγούν σε αριθµητική αστάθεια και αφετέρου για να είναι δυνατός ο προσδιορισµός του µήκους της ανελαστικής περιοχής του στοιχείου, όπως θα εξηγηθεί διεξοδικότερα στο Κεφάλαιο 6 της παρούσας διατριβής. Ωστόσο, στα στοιχεία Ο/Σ η αναλυτική καµπύλη Μ-φ είναι πολύ πιθανόν να αναπτύξει αρνητική δυσκαµψία πριν την παραµόρφωση αστοχίας της διατοµής. Είναι σαφές ότι σε αυτές τις περιπτώσεις, η υιοθέτηση θετικής δυσκαµψίας του κλάδου µετά την καµπτική διαρροή για ένα στοιχείο Ο/Σ µπορεί να οδηγήσει σε εσφαλµένο υπολογισµό του συνολικού µητρώου δυσκαµψίας της κατασκευής αλλά και των πιθανών ανακατανοµών της έντασης που θα λάβουν χώρα µεταξύ των στοιχείων του φορέα. Η συντηρητική θεώρηση καµπτικής αστοχίας σε µείωση της καµπτικής αντοχής στο 80% της µέγιστης αναπτυσσόµενης, όπως προτείνεται από πολλούς σύγχρονους κανονισµούς, µετριάζει σηµαντικά το συγκεκριµένο πρόβληµα. Το δεύτερο κρίσιµο θέµα µε τη συγκεκριµένη µεθοδολογία έχει να κάνει µε τη θεώρηση της αρχής των ίσων εµβαδών-ενεργειών, ως βασικού κριτηρίου για την εξαγωγή της διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ. Το κριτήριο αυτό παραµένει στο τοπικό επίπεδο της εξεταζόµενης διατοµής και παραβλέπει τη συνολική συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου, που θα πρέπει να είναι και ο κυρίαρχος στόχος ενός µακροστοιχείου (macro-element). Για παράδειγµα, στο πεπερασµένο στοιχείο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή, η κράτυνση της διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ της ακραίας διατοµής του δοµικού στοιχείου καθορίζει τόσο τη δυσκαµψία όσο και το µήκος της ανελαστικής περιοχής του καµπτικού υποστοιχείου. Και οι δύο αυτοί παράγοντες επηρεάζουν σηµαντικά το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου. Ένα ορθότερο κριτήριο για τη διγραµµικοποίηση της περιβάλλουσας Μ-φ θα µπορούσε να είναι η µετακίνηση στην κορυφή ενός ισοδύναµου προβόλου. Κάτι τέτοιο, ωστόσο, θα ήταν αρκετά πολύπλοκο και επιπλέον προϋποθέτει την εκ των προτέρων γνώση της κατανοµής του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών, που θα πρέπει να παραµένει αµετάβλητη κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Κλείνοντας, αναφέρεται ότι η γενική διαδικασία του Σχήµατος (3.5) µπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική µόνον όταν εξασφαλίζει ικανοποιητική σύγκλιση ανάµεσα στη διγραµµική και την αναλυτική καµπύλη Μ-φ. Στις άλλες περιπτώσεις, ελλείψει προς το παρόν κάποιας καλύτερης µεθοδολογίας, θα πρέπει να παρεµβαίνει η κρίση του µηχανικού για την εξαγωγή της βέλτιστης διγραµµικής καµπύλης. -70-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 3.3 Υστερητικό Μοντέλο Καµπτικής Συµπεριφοράς 3.3.1 Βασικό Μοντέλο Υστερητικής Συµπεριφοράς (Β.Μ.Υ.Σ.) Το υστερητικό µοντέλο που παρουσιάζεται στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τους Sivaselvan & Reinhorn (1999) και κατατάσσεται στα πολυγωνικά υστερητικά µοντέλα. Αποτελεί µια επέκταση του τριπαραµετρικού µοντέλου των Park et al. (1987). Περιλαµβάνει ένα ευρύ σύστηµα σηµείων και κλάδων και είναι σε θέση να προσοµοιώσει όλες τις µορφές υποβάθµισης των βρόχων υστέρησης, δηλαδή τη σταδιακή πτώση αντοχής (strength deterioration), τη µείωση της δυσκαµψίας (stiffness degradation), και τη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων (pinching effect). Το µοντέλο αυτό είναι ήδη ενσωµατωµένο στο γενικό πρόγραµµα ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών IDARC2D. Στη παρούσα διατριβή θα ονοµάζεται εφεξής, ως το βασικό µοντέλο υστερητικής συµπεριφοράς (Β.Μ.Υ.Σ.), καθώς τα υστερητικά µοντέλα που θα χρησιµοποιηθούν αργότερα για να περιγράψουν τους επιµέρους βασικούς µηχανισµούς της συµπεριφοράς των στοιχείων Ο/Σ προκύπτουν µετά από κατάλληλες τροποποιήσεις αυτού του µοντέλου. Στη συνέχεια ακολουθεί µια αναλυτική περιγραφή του συγκεκριµένου µοντέλου. 3.3.1.1 Περιβάλλουσα Καµπύλη και Τύποι Υστερητικής Συµπεριφοράς Το συγκεκριµένο πολυγωνικό µοντέλο έχει υλοποιηθεί µε τη χρήση δυο τύπων περιβάλλουσας καµπύλης, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (3.6). ιγραµµική και τριγραµµική. Η τελευταία προσοµοιώνει και τη φάση πριν τη ρηγµάτωση ενός στοιχείου Ο/Σ. Μ Μ M u M u Μ y Μ y M cr φ y (α) φ u φ φ cr φ y (β) φ u φ Σχήµα 3.6: Τύποι περιβάλλουσας καµπύλης α) ιγραµµική, β) Τριγραµµική Β.Μ.Υ.Σ. -71-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Μ Μ φ φ (α) Σχήµα 3.7: Τύποι υστερητικής συµπεριφοράς Β.Μ.Υ.Σ. α) Προσανατολισµένη προς το σηµείο διαρροής, β) Προσανατολισµένη προς το προηγούµενο σηµείο µέγιστης απόκρισης Με την τριγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη το µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την προσοµοίωση δυο τύπων υστερητικής συµπεριφοράς. Η πρώτη είναι η «προσανατολισµένη προς το σηµείο διαρροής µε ολίσθηση» (yield oriented with slip) και η δεύτερη η «προσανατολισµένη προς το προηγούµενο σηµείο µέγιστης απόκρισης» (vertex oriented) (Σχήµα 3.7). (β) Σχήµα 3.8: Βασικό µοντέλο υστερητικής συµπεριφοράς (Β.Μ.Υ.Σ.) Στο Σχήµα (3.8) αποτυπώνονται τα σηµεία και οι κλάδοι του Β.Μ.Υ.Σ.. Τα σηµεία που είναι απλά τονισµένα αντιστοιχούν στη διγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη και τα -72-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά σηµεία που είναι διπλά τονισµένα στην «προσανατολισµένη προς το σηµείο µέγιστης απόκρισης» υστερητική συµπεριφορά. Η «προσανατολισµένη προς το σηµείο διαρροής µε ολίσθηση» συµπεριφορά καθορίζεται από τα µη τονισµένα σηµεία. Το µοντέλο είναι δοµηµένο κατά τέτοιον τρόπο, ώστε όλες οι παραπάνω συµπεριφορές να έχουν τους ίδιους κανόνες µετάβασης (transition rules) µεταξύ των διαφόρων κλάδων (branches). 3.3.1.2 Σηµεία, Κλάδοι και Κανόνες Μετάβασης Για την περιγραφή του βασικού µοντέλου υστερητικής συµπεριφοράς είναι απαραίτητη µια πλειάδα µεταβλητών. Οι µεταβλητές αυτές παρατίθενται στον Πίνακα (3.1). Οι συγκεκριµένες µεταβλητές είναι εκφρασµένες σε όρους ροπώνκαµπυλοτήτων. Αντίστοιχες µεταβλητές θα ισχύουν για οποιαδήποτε σχέση δύναµης και εργικά αποκρινόµενης παραµόρφωσης (π.χ. τέµνουσα-διατµητική παραµόρφωση). Πίνακας 3.1: Μεταβλητές Β.Μ.Υ.Σ. Συµβολισµός Σηµασία Μ cur Τρέχουσα ροπή της διατοµής φ cur Τρέχουσα καµπυλότητα της διατοµής Μ Αύξηση ροπής ΕΙ Κλίση του τρέχοντα κλάδου Μ + max Μέγιστη θετική ροπή που επιτεύχθηκε ποτέ από τη διατοµή φ + max Μέγιστη θετική καµπυλότητα που επιτεύχθηκε ποτέ από τη διατοµή Μ - max Μέγιστη αρνητική ροπή που επιτεύχθηκε ποτέ από τη διατοµή φ - max Μέγιστη αρνητική καµπυλότητα που επιτεύχθηκε ποτέ από τη διατοµή Μ + y Τρέχουσα (υποβαθµισµένη) τιµή της θετικής ροπής διαρροής Μ - y Τρέχουσα (υποβαθµισµένη) τιµή της αρνητικής ροπής διαρροής Μ + vertex Ροπή στο τρέχον σηµείο κορυφής στην θετική πλευρά Μ - vertex Ροπή στο τρέχον σηµείο κορυφής στην αρνητική πλευρά φ + vertex Καµπυλότητα στο τρέχον σηµείο κορυφής στην θετική πλευρά φ - vertex Καµπυλότητα στο τρέχον σηµείο κορυφής στην αρνητική πλευρά Μ + cr Θετική ροπή ρηγµάτωσης Μ - cr Αρνητική ροπή ρηγµάτωσης Κο Αρχική ελαστική δυσκαµψία Μ + yo Πάγια θετική ροπή διαρροής Μ - yo Πάγια αρνητική ροπή διαρροής φ + yo Θετική καµπυλότητα διαρροής φ - yo Αρνητική καµπυλότητα διαρροής φ + u Θετική καµπυλότητα αστοχίας φ - u Αρνητική καµπυλότητα αστοχίας α + Κλίση του κλάδου µετά τη διαρροή στη θετική κατεύθυνση, ως ποσοστό της ελαστικής. α - Κλίση του κλάδου µετά τη διαρροή στην αρνητική κατεύθυνση, ως ποσοστό της ελαστικής. α Παράµετρος µείωσης της δυσκαµψίας Παράµετρος µείωσης της αντοχής µε την πλαστιµότητα β 1-73-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά β 2 Παράµετρος µείωσης της αντοχής µε την υστερητική ενέργεια γ 1 Παράµετρος εισαγωγής της στένωσης * Οι µεταβλητές µε πλάγια γραφή είναι πάγιες τιµές του βρόχου Ένας αριθµός από σηµεία ελέγχου (control points) του υστερητικού βρόχου καθορίζονται πλήρως από τις µεταβλητές του Πίνακα (3.1). Εάν οι τιµές από τις παραπάνω µεταβλητές είναι γνωστές εκ των προτέρων, τότε τα σηµεία ελέγχου µπορούν να προσδιοριστούν χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις που φαίνονται στον Πίνακα. (3.2). Πίνακας 3.2: Υπολογισµός σηµείων ελέγχου Β.Μ.Υ.Σ. (βλ. Σχ. 3.8) Σηµείο Συντεταγµένες Λοιποί όροι φ Μ 1 M + cr/ko M + cr - 2 M - cr/ko M - cr - 3 φ + yo M + y - 4 φ - yo M - y - 5 φ + max M + max - 6 φ - max M - max - 7 φ + u M + y+k + sh (φ + u- φ + yo) k + sh=α + Κο 8 φ - u M - y+k - sh (φ - u- φ - yo) k - sh=α - Κο Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 4 και 8 + + 9 9 M ιερχόµενη από (Μ + vertex,φ + + vertex+ am y vertex) µε κλίση R R + K = + K Ko Ko φ vertex+ am 9 φ + vertex-m + vertex/( R + K Ko) 0 Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 3 και 7 10 10 ιερχόµενη από (Μ - vertex,φ - vertex) µε κλίση M vertex+ am y R R - K = K Ko K + 10 φ - vertex-m - vertex/( R - o φ vertex am K Ko) 0 Σηµείο τοµής των γραµµών: 11 Συνδέουσα τα σηµεία 13 και 9 - Κλάδος 1 Σηµείο τοµής των γραµµών: 12 Συνδέουσα τα σηµεία 10 και 14 - Κλάδος 1 γ 1 φ - - γy +(1-γ) φ γu - γ 1 Μ y 13 13 Εάν M - max >M y - και γ 1 Μ - y<μ cr - τότε M cr - /Ko M cr - 13 13 Σηµείο τοµής των γραµµών Συνδέουσα τα σηµεία 8 και 4 Κλάδος 1 Εάν φ - vertex>m y - /Ko τότε είναι το σηµείο 2 ιαφορετικά είναι το σηµείο τοµής των γραµµών Συνδέουσα σηµεία 9 και (φ - vertex, Μ - vertex) Κλάδος 1 R K,max φ = φ γu y γy + y y M max + am y = K φ max + am max φ = M y o M / K φ = γ φ 1 y o γ M max 1 RK,maxKo y y 14 14 γ 1 φ γy + +(1-γ) φ γu + γ 1 Μ y + -74-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 14 14 Εάν Μ max + <M y + και γ 1 Μ + y>μ cr + M cr + /Ko M cr + Σηµείο τοµής των γραµµών Συνδέουσα τα σηµεία 7 και 3 Κλάδος 1 Εάν φ + vertex<m y + /Ko τότε είναι το σηµείο 1 ιαφορετικά είναι το σηµείο τοµής των γραµµών Συνδέουσα σηµεία 10 και (φ + vertex, Μ + vertex) Κλάδος 1 15 φ + max M + max - 16 φ - max M - max - Σηµείο τοµής των γραµµών: 17A Συνδέουσα σηµεία 1 και 3 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R + KKo Σηµείο τοµής των γραµµών: 17B Συνδέουσα σηµεία 3 και 5 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R + KKo Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 10 και 14 17Γ ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R + KKo R + K,max φ = φ + γu + y + γy + + M max + am y = + K φ max + am + max φ = M + y φ = γ φ R + K 1 o M / K + y M cur = K φ o cur o γ M + y + + max 1 y RK,maxKo + am + am + y + y 17 18A Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 14 και 15 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R + KKo Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 2 και 4 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R - KKo 18B 18Γ 18 19 Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 4 και 6 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R - KKo Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 9 και 13 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R - KKo Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 13 και 16 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R - KKo Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 9 και 13 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R + KKo R R K + K = = M o cur K φ M o cur cur K φ cur + am + am + am + am y y + y + y -75-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Σηµείο τοµής των γραµµών: Συνδέουσα σηµεία 10 και 14 20 ιερχόµενη από το τρέχον σηµείο µε κλίση R - KKo 21 φ cur M cur - R K = M o cur K φ cur + am + am y y Κάθε ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ δύο σηµείων του Πίνακα (3.2) καλείται κλάδος. Στον Πίνακα (3.3) που ακολουθεί παρατίθενται τα άκρα του κάθε κλάδου του βασικού υστερητικού µοντέλου. Πίνακας 3.3: Ακραία σηµεία κλάδων Β.Μ.Υ.Σ. Κλάδος Αρχή Πέρας 1 1 2 2 1 3 3 2 4 4 3 7 5 4 8 6 5 9 7 6 10 8 9 5 9 10 6 10 9 11 11 10 12 12 11 13 13 12 14 14 21 17 15 21 18 16 13 16 17 14 15 - - - - - - 20 21 20 21 21 19 22 21 18 23 21 17 24 21 19 25 21 20 Τέλος, στον Πίνακα (3.4) περιγράφονται αναλυτικά οι κανόνες µετάβασης µεταξύ των κλάδων του βασικού υστερητικού µοντέλου. Επιπλέον, για λόγους καλύτερης εποπτείας, στα Σχήµατα (3.9-11) δίδεται γραφικά ο χάρτης της συνδεσµολογίας των επιµέρους κλάδων του µοντέλου. -76-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Πίνακας 3.4: Κανόνες µετάβασης µεταξύ των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. Τρέχον κλάδος 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Επόµενος Συνθήκη µετάβασης κλάδος Η αρχή (φ 1 start, M 1 1 start) βρίσκεται πάντοτε στον αρνητικό κλάδο και το πέρας (φ 1 end, M 1 end) στον θετικό. Πρέπει Μ 1 start<m cur + Μ<Μ 1 end 2 Όχι επί του κλάδου 1 και επιπλέον Μ>0 3 Όχι επί του κλάδου 1 και επιπλέον Μ<0 4 Μ>0 6 Μ<0 & Μ cur >M + max 21 Μ<0 & Μ cur <M + max 5 Μ<0 7 Μ>0 & Μ cur <M - max 20 Μ>0 & Μ cur >M - max 6 Μ cur >M + max 21 Μ cur <M + max 7 Μ cur <M - max 20 Μ cur >M - max 8 Μ>0 10 Μ<0 9 Μ<0 11 Μ>0 Όταν το πέρας του κλάδου 8 βρίσκεται στον κλάδο 2. ηλαδή 2 όταν ισχύει Μ 2 start<m 8 end<m 2 end 4 Στις λοιπές περιπτώσεις 6 Μ<0 Όταν το πέρας του κλάδου 9 βρίσκεται στον κλάδο 3. ηλαδή 3 όταν ισχύει Μ 3 start<m 9 end<m 3 end 5 Στις λοιπές περιπτώσεις 7 Μ>0 Όταν η διατοµή δεν έχει διαρρεύσει στην αρνητική περιοχή. 1 ηλαδή, όταν: Μ - max>m - y & Μ<0 12 Μ - max<m - y & Μ<0 14 Μ>0 Όταν η διατοµή δεν έχει διαρρεύσει στην θετική περιοχή. ηλαδή, 1 όταν: Μ + max<m + y & Μ>0 13 Μ + max>m + y & Μ>0 15 Μ<0 16 Μ<0 20 Μ>0 17 Μ>0 21 Μ<0 14 2 1. Μ>0 & Μ - max<m - y & Μ + max<m + y (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός κλάδος, αλλά δεν έχει διαρρεύσει ο θετικός) 2. Μ>0 & Μ - max>m - y & Μ 2 start<m 14 end<m 2 end (δεν έχει διαρρεύσει ο αρνητικός κλάδος και το πέρας του κλάδου 14 βρίσκεται στον κλάδο 2) -77-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 15 16 17 20 21 22 Μ>0 & Μ - max>m - y & M 14 end>m 2 end 4 ( εν έχει διαρρεύσει ο αρνητικός κλάδος και το πέρας του 14 βρίσκεται εντός του 4) Μ>0 & Μ - max<m - y & Μ + max>m + y & Μ 13 start<m 14 end<m 13 end 13 (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός και ο θετικός κλάδος και το πέρας του 14 βρίσκεται εντός του 13) Μ>0 & Μ - max<m - y & Μ + max>m + y & M 14 end>m 13 end 17 (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός και ο θετικός κλάδος και το πέρας του 14 βρίσκεται εντός του 17) 24 Μ<0 1. Μ<0 & Μ + max>m + y & Μ - max>m - y (έχει διαρρεύσει ο θετικός κλάδος, αλλά δεν έχει διαρρεύσει ο αρνητικός) 3 2. Μ<0 & Μ + max<m - y & Μ 3 start>m 15 end>m 3 end (δεν έχει διαρρεύσει ο θετικός κλάδος και το πέρας του κλάδου 15 βρίσκεται στον κλάδο 3) Μ<0 & Μ + max<m + y & M 15 end<m 3 end 5 ( εν έχει διαρρεύσει ο θετικός κλάδος και το πέρας του 15 βρίσκεται εντός του 5) Μ<0 & Μ + max>m + y & Μ - max<m - y & Μ 12 start >M 15 end>m 12 end 12 (έχει διαρρεύσει ο θετικός και ο αρνητικός κλάδος και το πέρας του 15 βρίσκεται εντός του 12) Μ<0 & Μ + max>m + y & Μ - max<m - y & M 15 end<m 12 end 16 (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός και ο θετικός κλάδος και το πέρας του 15 βρίσκεται εντός του 16) 25 Μ>0 5 Μ<0 20 Μ>0 4 Μ>0 21 Μ<0 11 Μ>0 22 Μ<0 10 Μ<0 23 Μ>0 1. Μ<0 & Μ + max>m + y & Μ - max>m - y (έχει διαρρεύσει ο θετικός κλάδος, αλλά δεν έχει διαρρεύσει ο αρνητικός) 3 2. Μ<0 & Μ + max<m - y & Μ 3 start>m 22 end>m 3 end (δεν έχει διαρρεύσει ο θετικός κλάδος και το πέρας του κλάδου 22 βρίσκεται στον κλάδο 3) Μ<0 & Μ + max<m + y & M 22 end<m 3 end 5 ( εν έχει διαρρεύσει ο θετικός κλάδος και το πέρας του 22 βρίσκεται εντός του 5) Μ<0 & Μ + max>m + y & Μ - max<m - y & Μ 12 start >M 22 12 end>m 12 end (έχει διαρρεύσει ο θετικός και ο αρνητικός κλάδος και το πέρας του 22 βρίσκεται εντός του 12) Μ<0 & Μ + max>m + y & Μ - max<m - y & M 22 end<m 12 end 16 (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός και ο θετικός κλάδος και το πέρας του 22 βρίσκεται εντός του 16) 20 Μ>0-78-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 23 24 25 1. Μ>0 & Μ - max<m - y & Μ + max<m + y (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός κλάδος, αλλά δεν έχει διαρρεύσει ο θετικός) 2 2. Μ>0 & Μ - max>m - y & Μ 2 start<m 23 end<m 2 end (δεν έχει διαρρεύσει ο αρνητικός κλάδος και το πέρας του κλάδου 23 βρίσκεται στον κλάδο 2) Μ>0 & Μ - max>m - y & M 23 end>m 2 end 4 ( εν έχει διαρρεύσει ο αρνητικός κλάδος και το πέρας του 23 βρίσκεται εντός του 4) Μ>0 & Μ - max<m - y & Μ + max>m + y & Μ 13 start<m 23 end<m 13 end 13 (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός και ο θετικός κλάδος και το πέρας του 23 βρίσκεται εντός του 13) Μ>0 & Μ - max<m - y & Μ + max>m + y & M 23 end>m 13 end 17 (έχει διαρρεύσει ο αρνητικός και ο θετικός κλάδος και το πέρας του 23 βρίσκεται εντός του 17) 21 Μ<0 10 Μ<0 14 Μ>0 11 Μ>0 15 Μ<0 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 1 4 1 5 8 2 6 9 3 7 14 21 15 20 Κλάδος 2 Κλάδος 3 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 2 3 8 4 6 9 5 7 14 21 15 20 Κλάδος 4 Κλάδος 5 Σχήµα 3.9: Συνδεσµολογία των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. -79-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 2 8 3 9 6 7 4 10 5 11 Κλάδος 6 Κλάδος 7 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 6 8 2 7 9 3 4 5 Κλάδος 8 Κλάδος 9 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 6 1 7 1 21 10 12 20 11 13 24 14 25 15 Κλάδος 10 Κλάδος 11 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 10 11 15 12 16 14 13 17 22 20 23 21 Κλάδος 12 Κλάδος 13 Σχήµα 3.10: Συνδεσµολογία των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. (συνέχεια) -80-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 2 3 10 24 11 25 14 4 15 5 24 13 25 12 17 16 Κλάδος 14 Κλάδος 15 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 12 13 15 16 4 14 17 5 22 20 23 21 Κλάδος 16 Κλάδος 17 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 3 2 22 11 23 10 5 20 4 21 12 22 13 23 16 17 Κλάδος 20 Κλάδος 21 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 3 2 20 20 21 21 22 5 23 4 12 13 16 17 Κλάδος 22 Κλάδος 23 έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: έχεται από: Μεταβιβάζει πρός: 14 24 10 15 25 11 14 15 Κλάδος 24 Κλάδος 25 Σχήµα 3.11: Συνδεσµολογία των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. (συνέχεια) -81-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 3.3.1.3 Υποβάθµιση των Χαρακτηριστικών του Β.Μ.Υ.Σ. Υποβάθµιση της δυσκαµψίας Έχει διαπιστωθεί πειραµατικά ότι η κλίση των κλάδων αποφόρτισης σε στοιχεία Ο/Σ µειώνεται καθώς αυξάνεται η απαίτηση σε πλαστιµότητα. Το φαινόµενο αυτό µπορεί να αναπαρασταθεί ικανοποιητικά υιοθετώντας τον κανόνα της επιστροφής (pivot rule, Park et al. 1987). Με βάση αυτόν τον κανόνα, οι κλάδοι αποφόρτισης υποτίθεται ότι στοχεύουν ένα κοινό σηµείο (pivot point) στον ελαστικό κλάδο και σε απόσταση ίση µε αμ y στο αντίθετο τεταρτηµόριο, όπου α είναι η παράµετρος της υποβάθµισης της δυσκαµψίας του Πίνακα (3.1). Η µέθοδος αυτή φαίνεται στο Σχήµα (3.12). Από τη γεωµετρία του Σχήµατος (3.12) µπορεί να προσδιοριστεί η δυσκαµψία του κλάδου αποφόρτισης, ως εξής: Όπου R K Kcur = RK Ko (3.3.1) M cur + a M y = K ϕ + a M o cur y (3.3.2) Η σηµασία κάθε µεταβλητής περιγράφεται στον Πίνακα (3.1). Όταν η αποφόρτιση ξεκινάει από το πρώτο τεταρτηµόριο χρησιµοποιούνται οι µεταβλητές µε τα θετικά πρόσηµα, ενώ όταν αρχίζει από το τρίτο τεταρτηµόριο χρησιµοποιούνται οι µεταβλητές µε τα αρνητικά πρόσηµα. Μ vertex Μ y + Μ φ vertex φ Pivot Point α Μ y + Σχήµα 3.12: Μείωση της δυσκαµψίας µε τον κανόνα επιστροφής στο Β.Μ.Υ.Σ. Υποβάθµιση της αντοχής Η µείωση της αντοχής προσοµοιώνεται µε τη µείωση της ικανότητας της περιβάλλουσας καµπύλης, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (3.13). Αποδεικνύεται ότι για τοv σκοπό αυτόν αρκεί να µειωθεί κατάλληλα η αντίστοιχη ροπή διαρροής (Sivaselvan & Reinhorn, 2000). -82-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Μ r Κ ο r Κ ο r Κ ο Μ y M yo Μ y Κ ο φ Σχήµα 3.13: Υποβάθµιση της αντοχής του Β.Μ.Υ.Σ. Στο Σχήµα (3.13), r είναι ο λόγος κράτυνσης του διαγράµµατος Μ-φ ίσος µε α + ή α - (Πίνακας 3.1) ανάλογα µε το πρόσηµο της εξεταζόµενης ροπής διαρροής. Στο βασικό µοντέλο υστέρησης, ο κανόνας µείωσης της αντοχής δίνεται από τη γενική Εξίσωση M φ y + φ 1 + φu / + / + / max y = M yo / 1 β1 β H 2 1 1 β 2 H hys ult (3.3.3) Όπου Η hys = υστερητική ενέργεια που αποσβέστηκε. Η ult =υστερητική ενέργεια που αποσβένεται µέχρι και την καµπυλότητα αστοχίας, υπό µονότονη φόρτιση και χωρίς καµία υποβάθµιση. O δεύτερος όρος στην Εξίσωση (3.3.3) περιγράφει τη µείωση της αντοχής λόγω αυξανόµενης ανελαστικής παραµόρφωσης και ο τρίτος όρος τη µείωση της αντοχής λόγω της αυξανόµενης απόσβεσης ενέργειας. Η προσαύξηση της υστερητικής ενέργειας δίδεται σε κάθε βήµα της ανελαστικής ανάλυσης από την Εξίσωση (3.3.4). H hys = M + M + Μ Μ φ 2 RK Κ ο (3.3.4) Στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων Η στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων στο Β.Μ.Υ.Σ. προσοµοιώνεται µε τη διαίρεση της επαναφόρτισης σε δύο χωριστούς κλάδους και τον κατάλληλο προσδιορισµό του σηµείου πέρατος (στόχου) του πρώτου κλάδου. Η τεταγµένη του συγκεκριµένου σηµείου ορίζεται ως υποπολλαπλάσιο της αντίστοιχης ροπής διαρροής: M arg = γ 1 M (3.3.5) t et Όπου γ 1 είναι η παράµετρος στένωσης γύρω από την αρχή των αξόνων (Πίνακας 3.1). Η παραµόρφωση του στοχευόµενου σηµείου λαµβάνεται ως ενδιάµεση τιµή µεταξύ της παραµόρφωσης διαρροής και της παραµόρφωσης αστοχίας, όπως φαίνεται στο Σχήµα (3.14) και προσδιορίζεται από την Εξίσωση: y -83-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά ( 1 ) φ = γ φ + γ φ (3.3.6) t arg et 1 γ y 1 γ u Μ M target R K K o φ φ γy φ y φ target φ γu φ u Σχήµα 3.14: Στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων του Β.Μ.Υ.Σ. Στον Πίνακα (3.5) δίδονται µερικές ενδεικτικές τιµές των παραπάνω παραµέτρων αποµείωσης και το αντίστοιχο αποτέλεσµά τους στη µορφή του Β.Μ.Υ.Σ.. Σε γενικές γραµµές µπορεί να λεχθεί το εξής για τις παραµέτρους αποµείωσης: Αύξηση της παραµέτρου α επιβραδύνει τη µείωση της δυσκαµψίας. Αύξηση των παραµέτρων β 1 και β 2 επιταχύνει την µείωση της αντοχής. Αύξηση της παραµέτρου γ 1 µειώνει τη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων. Πίνακας 3.5: Χαρακτηριστικές τιµές των παραµέτρων αποµείωσης και επιρροή τους στο Β.Μ.Υ.Σ. (Sivaselvan & Reinhorn 1999). Παράµετρος Σηµασία Τιµή Επιρροή 4.0 Σηµαντική αποµείωση 10.0 Μέτρια αποµείωση α β 1 β 2 γ 1 Μείωση της δυσκαµψίας Μείωση της αντοχής µε βάση την πλαστιµότητα Μείωση της αντοχής µε βάση την υστερητική ενέργεια Στένωση στην περιοχή της αρχής των αξόνων 15.0 Ήπια αποµείωση 200.0 Καθόλου αποµείωση 0.60 Σηµαντική αποµείωση 0.30 Μέτρια αποµείωση 0.15 Ήπια αποµείωση 0.01 Καθόλου αποµείωση 0.60 Σηµαντική αποµείωση 0.15 Μέτρια αποµείωση 0.08 Ήπια αποµείωση 0.01 Καθόλου αποµείωση 0.05 Σηµαντική αποµείωση 0.25 Μέτρια αποµείωση 0.40 Ήπια αποµείωση 1.00 Καθόλου αποµείωση -84-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 3.3.1.4 Υπολογιστική Υλοποίηση Β.Μ.Υ.Σ. Για την υπολογιστική υλοποίηση του βασικού µοντέλου υστερητικής συµπεριφοράς απαιτείται ένας αριθµός από υπορουτίνες. Οι βασικές υπορουτίνες και η λειτουργία τους παρουσιάζονται στον Πίνακα (3.6). Επιπλέον, στα Σχήµατα (3.15-18) που ακολουθούν παρουσιάζεται υπό µορφή διαγράµµατος ροής ο αλγόριθµος κάθε υπορουτίνας. Πίνακας 3.6: Βασικές υπορουτίνες για την υπολογιστική υλοποίηση του Β.Μ.Υ.Σ. Υπορουτίνα HYSCONTROL CONTROL1 CONTROL2 CONTROL3 POINTS NEXT_BRANCH Λειτουργία Κύρια υπορουτίνα Αυτή η ρουτίνα κάνει τη µετάβαση σε ένα κλάδο αποφόρτισης, όταν υπάρχει αλλαγή στην φορά της φόρτισης. Όταν το στοχευόµενο σηµείο δεν βρίσκεται στον τρέχοντα κλάδο, αυτή η υπορουτίνα αλλάζει διαρκώς κλάδους έως ότου το σηµείο πέσει πάνω στον τρέχοντα κλάδο, τοποθετώντας κάθε φορά το τρέχον σηµείο ως το πέρας του τρέχοντος κλάδου και αναβαθµίζοντας κάθε φορά την υστερητική ενέργεια. Όταν καλείται αυτή η υπορουτίνα, το στοχευόµενο σηµείο βρίσκεται πάντοτε στον τρέχοντα κλάδο. Το στοχευόµενο σηµείο προσδιορίζεται κάνοντας γραµµική παρεµβολή ανάµεσα στα άκρα του κλάδου. Επιπλέον, υποβαθµίζει την αντοχή προκαλώντας µια πτώση στην περιβάλλουσα καµπύλη Προσδιορίζει τις συντεταγµένες καθενός από τα σηµεία ελέγχου µε βάση τις αντίστοιχες µεταβλητές του Πίνακα (3.1). Χρησιµοποιεί τους κανόνες µετάβασης (transition rules) για να καθορίσει τον αριθµό του επόµενου κλάδου δεδοµένης της αύξησης του φορτίου και των αντίστοιχων δεδοµένων µεταβλητών του Πίνακα (3.1). -85-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Κύριο πρόγραµµα Εισαγωγή Μ ή φ και δεδοµένων µεταβλητών HYSCONTROL CONTROL1 Μετάβαση στους κλάδους αποφόρτισης, εάν υπάρχει αντιστροφή του φορτίου CONTROL2 Αλλεπάλληλη αλλαγή κλάδων έως ότου το στοχευόµενο σηµείο πέσει στον τρέχοντα κλάδο. Αναβάθµιση της υστερητικής ενέργειας CONTROL3 Προσδιορισµός στοχευόµενου σηµείου Υποβάθµιση αντοχής εάν απαιτείται Αναβάθµιση των δεδοµένων µεταβλητών Προσδιορισµός δυσκαµψίας τρέχοντος κλάδου Επιστροφή στο κύριο πρόγραµµα Σχήµα 3.15: Γενικό διάγραµµα ροής αλγορίθµου Β.Μ.Υ.Σ. -86-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Έναρξη Αλλαγή πρόσηµου φόρτισης? ΟΧΙ ΝΑΙ Κλήση NEXT_BRANCH και προσδιορισµός αντίστοιχου κλάδου αποφόρτισης Αποφόρτιση στο 1 ο ή 3 ο τεταρτηµόριο? ΟΧΙ ΝΑΙ Αποφόρτιση απο τους κλάδους 2,4,13,17? ΝΑΙ Τίθεται το τρέχον σηµείο ως θετικό σηµείο κορυφής ΟΧΙ Αποφόρτιση απο τους κλάδους 3,5,12,16? ΝΑΙ Τίθεται το τρέχον σηµείο ως αρνητικό σηµείο κορυφής ΟΧΙ Επιστροφή Σχήµα 3.16: ιάγραµµα ροής υπορουτίνας CONTROL1-87-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Έναρξη Αναβάθµιση υστερητικής ενέργειας και µετάβαση στον επόµενο κλάδο Προσδιορισµός άκρων του κλάδου Το πέρας του τρέχοντος κλάδου τίθεται σαν τρέχον σηµείο ΟΧΙ Σηµείο στόχος εντός των ορίων του κλάδου? ΟΧΙ φ>φ u? ΝΑΙ Υπολογισµός των Μ και φ του σηµείου στόχου ΝΑΙ Επιστροφή Σχήµα 3.17: ιάγραµµα ροής υπορουτίνας CONTROL2-88-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Έναρξη Υπολογισµός τελικών Μ,φ Αναβάθµιση υστερητικής ενέργειας φ>φ + max ΝΑΙ Βρισκόµαστε δεξιά του ελαστικού κλάδου? OXI ΝΑΙ Βρισκόµαστε αριστερά του ελαστικού κλάδου? ΝΑΙ φ<φ - max Αναβάθµιση µέγιστου θετικού σηµείου ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ Αναβάθµιση µέγιστου αρνητικού σηµείου Υποβάθµιση της αντοχής του θετικού κλάδου Υποβάθµιση της αντοχής του αρνητικού κλάδου Επιστροφή Σχήµα 3.18: ιάγραµµα ροής υπορουτίνας CONTROL3-89-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά 3.3.2 Προτεινόµενο Μοντέλο Καµπτικής Υστερητικής Συµπεριφοράς Πειραµατικά αποτελέσµατα (Saatcioglu & Ozcebe 1989, Lehman & Moehle 1998) δείχνουν ότι η καµπτική συµπεριφορά, µέχρι και την έναρξη σηµαντικής αποµείωσης της καµπτικής αντοχής, είναι κατά κανόνα σταθερή και χαρακτηρίζεται από ήπια έως µηδενική υποβάθµιση των χαρακτηριστικών των βρόχων υστέρησης. Με βάση αυτήν την παρατήρηση αναπτύσσεται στη συνέχεια το µοντέλο καµπτικής, υστερητικής συµπεριφοράς (Σχήµα 3.19) που προτείνεται στην παρούσα διατριβή και το οποίο προκύπτει από κατάλληλη τροποποίηση του Β.Μ.Υ.Σ.. M y + M Α Σ Β,Η Ν Μ,Ξ Θ,Ο,Τ Υ Ζ Λ Ρ Γ Ι,Π φ Κ Ε M y - Σχήµα 3.19: Μοντέλο καµπτικής υστερητικής συµπεριφοράς Όπως αναφέρθηκε και στα προηγούµενα, στις υφιστάµενες κατασκευές τα στοιχεία Ο/Σ έχουν κατά κανόνα ήδη ρηγµατωθεί από προγενέστερες εντατικές καταστάσεις. Αυτός είναι ο βασικός λόγος για τον οποίον επιλέχθηκε στην παρούσα διατριβή η υιοθέτηση διγραµµικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-φ. Ο βασικός βρόχος υστέρησης, όµως, της 3.3.1 στηρίζεται σε τριγραµµική περιβάλλουσα. Για την προσαρµογή του βασικού βρόχου υστέρησης σε διγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη τροποποιήθηκαν από τον γράφοντα τα ακραία σηµεία των τριών πρώτων κλάδων του βασικού µοντέλου υστέρησης, όπως φαίνεται στον Πίνακα (3.7). Με αυτήν την τροποποίηση, ο ορισµός των επιµέρους ακραίων σηµείων, καθώς και οι κανόνες µετάβασης µεταξύ των κλάδων του Β.Μ.Υ.Σ. δε χρειάζονται περαιτέρω τροποποίηση. Πίνακας 3.7: Νέα ακραία σηµεία κλάδων καµπτικού υστερητικού µοντέλου Κλάδος Αρχή Πέρας 1 3 4 2 3 3 3 4 4-90-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά Αναφορικά µε την επαναφόρτιση του καµπτικού υστερητικού βρόχου, γίνεται η παραδοχή ότι αυτή στοχεύει πάντοτε προς το σηµείο µε τη µέγιστη αναπτυσσόµενη καµπυλότητα της απέναντι πλευράς (φ max, M max ). Η παραδοχή αυτή έχει εφαρµοστεί και σε προηγούµενα υστερητικά µοντέλα που χρησιµοποιήθηκαν για την προσοµοίωση της καµπτικής υστερητικής συµπεριφοράς (Clough 1966, Filippou & Issa 1988) και έδωσαν καλή σύµπτωση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Για την υλοποίηση αυτής της αλλαγής στο Β.Μ.Υ.Σ. έγινε τροποποίηση του τρόπου ορισµού των ακραίων σηµείων 13 και 14 του βρόχου, ως εξής: Εάν δεν έχει παρατηρηθεί διαρροή στον αρνητικό κλάδο (M - max>m y - ), τότε το σηµείο 13 ταυτίζεται µε το αρνητικό σηµείο διαρροής (φ - yo, M - y). ιαφορετικά, το σηµείο 13 συµπίπτει µε το σηµείο µέγιστης αρνητικής καµπυλότητας (φ - max, M - max). Εάν δεν έχει παρατηρηθεί διαρροή στον θετικό κλάδο (M + max<m y + ), τότε το σηµείο 14 ταυτίζεται µε το θετικό σηµείο διαρροής (φ + yo, M + y). ιαφορετικά, το σηµείο 14 συµπίπτει µε το σηµείο µέγιστης θετικής καµπυλότητας (φ + max, M + max). Έχει επικρατήσει επίσης για την καµπτική υστερητική συµπεριφορά (Clough 1966, Filippou & Issa 1988) να θεωρείται για λόγους απλοποίησης ότι η αποφόρτιση λαµβάνει χώρα χωρίς αποµείωση της δυσκαµψίας, δηλαδή ότι η κλίση των κλάδων αποφόρτισης ταυτίζεται µε αυτήν του ελαστικού κλάδου. Από την εφαρµογή του συνολικού αναλυτικού µοντέλου που προτείνεται στην παρούσα διατριβή σε έναν σηµαντικό αριθµό πειραµατικών δοκιµίων προέκυψε το συµπέρασµα ότι η σύγκλιση µε τις πειραµατικές καταγραφές βελτιώθηκε, όταν εφαρµόστηκε ο κανόνας επιστροφής (pivot rule) του Β.Μ.Υ.Σ. µε τιµές της παραµέτρου µείωσης της δυσκαµψίας, α, που αντιστοιχούν σε ήπια αποµείωση της δυσκαµψίας (α 15). Η τιµή αυτή προτείνεται στην παρούσα διατριβή για τον προσδιορισµό της ανηγµένης δυσκαµψίας των κλάδων αποφόρτισης του καµπτικού υστερητικού µοντέλου, που θα δίνεται πλέον από την εξίσωση R K = M o cur K φ cur + 15 M y + 15 M y (3.3.7) Τέλος, σε καλή συµφωνία µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα, αλλά και για λόγους απλοποίησης των υπολογισµών θεωρείται ότι η πτώση αντοχής του καµπτικού υστερητικού βρόχου είναι µηδενική. Είναι σαφές ότι αυτή η παραδοχή είναι ανεκτή µόνον για την απόκριση µέχρι και το σηµείο µετά το οποίο η πτώση της καµπτικής αντοχής γίνεται ραγδαία. Η υστερητική συµπεριφορά µετά το συγκεκριµένο σηµείο εκφεύγει από τους στόχους της παρούσας διατριβής. Για την εξασφάλιση µηδενικής πτώσης αντοχής του καµπτικού βρόχου αρκεί να γίνει η παραδοχή ότι σε κάθε βήµα της ανάλυσης θα ισχύει: M = M (3.3.8) + / + / y yo -91-

3. Καµπτική Υστερητική Συµπεριφορά -92-

Κεφάλαιο 4 ο 4 Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης υστερητικής συµπεριφοράς σε διάτµηση -93-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσεται το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της διατµητικής, ανελαστικής, υστερητικής συµπεριφοράς. Η διατµητική συµπεριφορά εξετάζεται σε όρους τέµνουσας δύναµης (V) διατµητικής παραµόρφωσης (γ). Αρχικά περιγράφεται ο τρόπος προσδιορισµού της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ µε συνεκτίµηση ή όχι του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση (shear-flexure interaction). Με βάση την περιβάλλουσα καµπύλη V-γ αναπτύσσεται στη συνέχεια ένα πλήρες σύνολο φαινοµενολογικών κανόνων υστερητικής συµπεριφοράς που περιγράφουν τη διατµητική απόκριση στην περίπτωση της ανακυκλιζόµενης φόρτισης. Στο σηµείο αυτό πρέπει να ειπωθεί ότι σε αντίθεση µε την καµπτική υστερητική συµπεριφορά που µπορεί να προσδιοριστεί µε επαρκή ακρίβεια, ο καθορισµός της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς εµπεριέχει µεγάλο βαθµό αβεβαιότητας. Ο υπολογισµός της διατµητικής αντοχής αποτελεί µέχρι και σήµερα αµφιλεγόµενο ζήτηµα, ενώ η αβεβαιότητα µεγαλώνει κατά τη µετάβαση από όρους δυνάµεων σε όρους παραµορφώσεων, καθώς και από συνθήκες µονότονης φόρτισης σε συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης. 4.2 Περιβάλλουσα V-γ 4.2.1 Εισαγωγή Στην παρούσα διατριβή, ο σχεδιασµός της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ βασίζεται στην ένωση µε ευθύγραµµα τµήµατα (multi-linear curve) σηµείων (γ, V) τα οποία αντιστοιχούν σε χαρακτηριστικές φάσεις της διατµητικής συµπεριφοράς. Σε πρώτο στάδιο προσδιορίζεται η αρχική ή µη- αποµειούµενη (non-degrading) περιβάλλουσα καµπύλη V-γ στην οποία δεν λαµβάνεται υπόψη το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. Στη συνέχεια, µέσω κατάλληλης µεθοδολογίας που προτείνεται στην παρούσα διατριβή, καθορίζεται η τροποποιηµένη ή αποµειωµένη (degraded) περιβάλλουσα V-γ, στην οποία συνυπολογίζεται η µείωση της διατµητικής αντοχής και η αύξηση των ανελαστικών διατµητικών παραµορφώσεων στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων στοιχείων Ο/Σ εξαιτίας των συγχρόνως αναπτυσσόµενων ανελαστικών καµπτικών παραµορφώσεων. 4.2.2 Προσδιορισµός της Αρχικής Περιβάλλουσας V-γ Στη συνέχεια ακολουθεί η περιγραφή της µεθοδολογίας που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή για τον προσδιορισµό της περιβάλλουσας V-γ, χωρίς τον συνυπολογισµό του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. Η καµπύλη αυτή είναι επαρκής για τον καθορισµό της διατµητικής υστερητικής -94-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά συµπεριφοράς εκτός των περιοχών πλαστικής άρθρωσης για στοιχεία Ο/Σ που έχουν διαρρεύσει σε κάµψη και για το σύνολο του στοιχείου σε µέλη Ο/Σ που δεν έχουν διαρρεύσει καµπτικά. Η αρχική περιβάλλουσα V-γ αποτελείται από τέσσερις κλάδους (Σχήµα 4.1) µε τρεις όµως διαφορετικές κλίσεις, όπως θα εξηγηθεί στη συνέχεια. Ο πρώτος κλάδος συνδέει την αρχή των αξόνων µε το σηµείο έναρξης της διατµητικής ρηγµάτωσης (γ cr, V cr ). Ο δεύτερος και ο τρίτος κλάδος έχουν την ίδια κλίση και συνδέουν το σηµείο έναρξης της διατµητικής ρηγµάτωσης µε το σηµείο έναρξης της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού (γ yw, V uο ). Τέλος, ο τέταρτος κλάδος έχει σχεδόν µηδενική κλίση και συνδέει το σηµείο έναρξης διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού µε το σηµείο έναρξης της διατµητικής αστοχίας (γ u, V uο ), που συντηρητικά στην παρούσα διατριβή λαµβάνεται ως το σηµείο που αντιστοιχεί στην έναρξη σηµαντικής αποµείωσης της διατµητικής αντοχής. Ο δεύτερος και ο τρίτος κλάδος διαχωρίζονται στο σηµείο που αντιστοιχεί στην έναρξη της καµπτικής διαρροής (γ y, V y ). Η συγκεκριµένη διάκριση γίνεται κυρίως για λόγους ευκολίας προγραµµατισµού του διατµητικού υστερητικού βρόχου (Ozcebe & Saatcioglu 1989) που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή και µε βάση τον οποίο η διατµητική υστερητική συµπεριφορά διαφοροποιείται πριν και µετά την καµπτική διαρροή. V uo V V y V cr GA 1 GA sh γ γ cr γ y γ yw γ u Σχήµα 4.1: Αρχική (µη-αποµειούµενη) περιβάλλουσα V-γ 4.2.2.1 υστµησία Αρχικού Κλάδου Η δυστµησία του αρχικού κλάδου λαµβάνεται ίση µε την αρηγµάτωτη δυστµησία της διατοµής. Η αρηγµάτωτη δυστµησία GA sh µιας διατοµής Ο/Σ, από την µηχανική των ελαστικών παραµορφώσιµων σωµάτων, είναι ίση µε G A sh, όπου G είναι το ελαστικό µέτρο διάτµησης (µέτρο ολίσθησης) και Α sh είναι η ενεργός, τεκµαρτή, διατµητική επιφάνεια. Το ελαστικό µέτρο διάτµησης δίδεται από την γνωστή Εξίσωση Ec G= 0.42Ec (4.2.2.1) 2 (1 + ν ) p όπου Ε c είναι το µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος και ν p 0.2 ο συντελεστής Poisson. Η τεκµαρτή διατµητική επιφάνεια Α sh δίνεται από τη Σχέση (4.2.2.2), όπου Α g είναι το γεωµετρικό εµβαδόν της διατοµής και χ shear είναι ο συντελεστής σχήµατος για -95-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά τέµνουσα δύναµη που ασκείται κατά τον τοπικό άξονα y-y της διατοµής και δίνεται από τη γενική Εξίσωση (4.2.2.3). Στη συγκεκριµένη εξίσωση, Ι zz και S zz είναι η ροπή αδράνειας και η στατική ροπή γύρω από τον τοπικό άξονα z-z της διατοµής σκυροδέµατος. Ειδικά για τις ορθογωνικές διατοµές ο συντελεστής σχήµατος ισούται µε 5/6, ενώ για τις κυκλικές διατοµές είναι ίσος µε 0.90. A =χ A (4.2.2.2) sh shear g 2 I zz 1 χ shear = (4.2.2.3) 2 Ag S zz dydz 2 b A g Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να σηµειωθεί ότι εξαιτίας της υφιστάµενης εφελκυστικής ρηγµάτωσης, η πραγµατική δυστµησία αναµένεται να είναι σηµαντικά µικρότερη της αρηγµάτωτης τιµής της ακόµη και πριν την έναρξη της διαγώνιας εφελκυστικής ρηγµάτωσης (Perdikaris & Wight 1985). Ωστόσο, η συγκεκριµένη τιµή κατά κανόνα δεν είναι κρίσιµη στην απόκριση υποστυλωµάτων και δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος τα οποία και πραγµατεύεται η παρούσα διατριβή. Οι διατµητικές παραµορφώσεις αναµένεται να διαδραµατίσουν σηµαντικό ρόλο στη συνολική απόκριση µετά το σηµείο έναρξης διαγώνιας εφελκυστικής ρηγµάτωσης, ο προσδιορισµός του οποίου γίνεται στην παράγραφο που ακολουθεί. 4.2.2.2 Τέµνουσα και διατµητική παραµόρφωση ρηγµάτωσης Ως τέµνουσα διατµητικής ρηγµάτωσης στην παρούσα διατριβή ορίζεται η τέµνουσα δύναµη, που αντιστοιχεί στην έναρξη διαγώνιας εφελκυστικής ρηγµάτωσης. Η διαγώνια εφελκυστική ρηγµάτωση µπορεί να θεωρηθεί ότι συµπίπτει µε την ανάπτυξη κύριας εφελκυστικής τάσης ίσης µε την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος. Υποθέτοντας φόρτιση εντός ενός επιπέδου x-y η κύρια εφελκυστική τάση σ 1 µπορεί να προσδιοριστεί από ισορροπία, ως εξής: σ x + σ y σ x σ y 2 σ 1 = + + τ 2 2 (4.2.2.4) Στην παραπάνω σχέση σ x, σ y είναι οι ορθές εφελκυστικές τάσεις στις x και y διευθύνσεις και τ είναι η αντίστοιχη διατµητική τάση. Σε ένα υποστύλωµα οπλισµένου σκυροδέµατος υποτίθεται ότι η σ y αντιστοιχεί στην ορθή τάση στην διεύθυνση της τέµνουσας δύναµης και συνεπώς λαµβάνεται ίση µε το µηδέν. Η παραδοχή αυτή στηρίζεται στη διαπίστωση ότι η επίδραση της περίσφιξης για στοιχεία µε µη πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση (µε τα οποία κατά κύριο λόγο ασχολείται η παρούσα διατριβή) επί της σ y είναι σχεδόν αµελητέα (Sezen & Moehle 2004). Η σ x αντιστοιχεί στην ορθή τάση που είναι παράλληλη στον διαµήκη άξονα του στοιχείου και συνεπώς µπορεί να ληφθεί ίση µε Ν/Α g, όπου Ν είναι το επιβαλλόµενο θλιπτικό φορτίο του υποστυλώµατος. Θεωρώντας ότι η εφελκυστική ρηγµάτωση συµβαίνει όταν η σ 1 φτάνει την εφελκυστική αντοχή f ct και λύνοντας ως προς τ την Εξίσωση (4.2.2.4) µπορεί να προσδιοριστεί η διατµητική τάση που αντιστοιχεί στην έναρξη της διαγώνιας εφελκυστικής ρηγµάτωσης. 2-96-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά P τ = f ct 1+ (4.2.2.5) f A ct Αναφορικά µε την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος f ct οι Sezen & Moehle (2004) προτείνουν να λαµβάνεται ίση µε 0.5 f c. Στην περίπτωση όπου είναι γνωστή εκ των προτέρων η χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος f ck, τότε η µέση εφελκυστική αντοχή f ctm είναι δυνατόν να προσδιοριστεί από την Εξίσωση (4.2.2.6) που προτείνεται στον ΕΚΩΣ (2000). f ctm 2 / 3 0.30 f ck g = (4.2.2.6) Η εντατική κατάσταση στο εσωτερικό ενός στοιχείου οπλισµένου σκυροδέµατος υπό αξονική και εγκάρσια φόρτιση είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη λόγω της ανοµοιογενούς συµπεριφοράς του Ο/Σ και γίνεται ακόµη πιο σύνθετη από την παρουσία των καµπτικών ρωγµών και των ρωγµών συνάφειας. Για τον λόγο αυτόν η Εξίσωση (4.2.2.5) δε δίνει κατά κανόνα ένα ακριβές µέτρο της έναρξης της κεκλιµένης ρηγµάτωσης, αλλά συνήθως υπερεκτιµά το φορτίο έναρξης αυτής. Η παρατήρηση αυτή έρχεται σε συµφωνία µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα που δείχνουν ότι η διατµητική αντοχή αυξάνεται όσο µειώνεται ο λόγος διάτµησης L s /d, όπου L s είναι το µήκος διάτµησης. Οι Sezen & Moehle (2004), στο σχετικό µοντέλο διατµητικής αντοχής που ανέπτυξαν, διαπίστωσαν ικανοποιητική σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα, όταν η διατµητική αντοχή του µεριδίου του σκυροδέµατος µεταβάλλεται γραµµικά και αντιστρόφως ανάλογα µε τον λόγο διάτµησης. Η συγκεκριµένη πρόταση, που είχε υιοθετηθεί αρχικά από την Επιτροπή ASCE-ACI 426 (1973), υιοθετείται και στην παρούσα διατριβή. Θεωρώντας, τέλος, ότι η ενεργός επιφάνεια της διατοµής του σκυροδέµατος είναι ίση µε 0.80A g (όπως ισχύει στις ορθογωνικές διατοµές) η τέµνουσα δύναµη που αντιστοιχεί στην έναρξη της διατµητικής ρηγµάτωσης δίνεται από την Εξίσωση (4.2.2.7). V cr fct N = 1+ 0.80A L / d f A s ct g g (4.2.2.7) Με τη θεώρηση-παραδοχή ότι η συµπεριφορά µέχρι και τη διατµητική ρηγµάτωση παραµένει γραµµική ελαστική προκύπτει και η διατµητική παραµόρφωση στην έναρξη της λοξής ρηγµάτωσης γ cr από τη Σχέση (4.2.2.8). Vcr γ cr = (4.2.2.8) GA sh 4.2.2.3 ιατµητική παραµόρφωση στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού Οι Park & Paulay (1975) πρότειναν µια µέθοδο που βασίζεται στο κλασικό δικτύωµα του Mörsch (truss analogy approach) για τον υπολογισµό των διατµητικών παραµορφώσεων µετά την έναρξη της διαγώνιας εφελκυστικής ρηγµάτωσης. Το θεµελιώδες σκεπτικό πίσω από την πρόταση των Park & Paulay είναι ότι σε ένα ρηγµατωµένο στοιχείο Ο/Σ, η διατµητική παραµόρφωση θα προκύψει από την -97-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά επιµήκυνση του διατµητικού οπλισµού και τη βράχυνση των θλιβόµενων ράβδων του σκυροδέµατος. Οι Kowalsky & Priestley (1995), πρότειναν µια βελτίωση του συγκεκριµένου µοντέλου στην οποία λαµβάνεται υπόψη και η επιρροή της θέσης του ουδέτερου άξονα της διατοµής. Στην παρούσα διατριβή θα υιοθετηθεί το αρχικό µοντέλο των Park & Paulay (1975), καθώς θεωρείται ότι η πρόσθετη πολυπλοκότητα που υπεισέρχεται στους υπολογισµούς από την επιρροή της θέσης του ουδέτερου άξονα δεν δικαιολογείται από το επίπεδο της ακρίβειας που παρέχει το συγκεκριµένο αναλυτικό µοντέλο. Επιπλέον, η θέση του ουδέτερου άξονα στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού είναι ένα µέγεθος που δύσκολα µπορεί να προσδιοριστεί, πολύ περισσότερο, όταν εξετάζονται συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης. Στο Σχήµα (4.2) φαίνεται το µοντέλο δικτυώµατος για στοιχείο υποστυλώµατος µήκους L και ύψους περισφιγµένου πυρήνα ίσου µε d-d, που πρότειναν οι Park & Paulay για τον υπολογισµό των διατµητικών παραµορφώσεων. Στο δικτύωµα του Σχήµατος (4.2), τα οριζόντια στοιχεία αποτελούν τις εφελκυόµενες ράβδους και είναι κατ ουσία οι διατµητικοί οπλισµοί. Τα κεκλιµένα στοιχεία προσοµοιώνουν τις διαγώνιες θλιβόµενες ράβδους του σκυροδέµατος, που µορφώνουν γωνία θ µε τον άξονα του στοιχείου. Στο δεξιό τµήµα του σχήµατος φαίνεται σε µεγαλύτερη λεπτοµέρεια ένα τυπικό φάτνωµα του συγκεκριµένου δικτυώµατος. Το ύψος του είναι ίσο µε (d-d ) cotθ. θ V st θ (d-d )cosθ L θ (d-d )cotθ (d-d )/sinθ C d (d-d )cotθ (d-d ) Σχήµα 4.2: Μοντέλο δικτυώµατος από τους Park & Paulay (1975) Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί η διατµητική µετακίνηση σε ένα τέτοιο τυπικό φάτνωµα του δικτυώµατος. Αφού προσδιοριστεί η διατµητική µετακίνηση σε αυτό το φάτνωµα, τότε η συνολική διατµητική µετακίνηση του στοιχείου θα είναι ίση µε τη διατµητική µετακίνηση του φατνώµατος επί τον αριθµό των φατνωµάτων που υπάρχουν σε κάθε στοιχείο. -98-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά δ R δ shear =δ st +δ R δ c Θλιβόµενη ράβδος θ δ st ιατµητικός οπλισµός Σχήµα 4.3: ιατµητικές µετακινήσεις σε κάθε φάτνωµα του δικτυώµατος Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, η διατµητική µετακίνηση ενός τυπικού φατνώµατος, δ shear, λαµβάνεται ίση µε το άθροισµα της διατµητικής µετακίνησης λόγω της επιµήκυνσης του διατµητικού οπλισµού, δ st, και της διατµητικής µετακίνησης λόγω της βράχυνσης της θλιβόµενης ράβδου του σκυροδέµατος δ R. Με βάση και το Σχήµα (4.3) θα ισχύει ότι: δ shear =δ st +δ R (4.2.2.9) όπου: δ R =δ c /sinθ (4.2.2.10) Από τις Εξισώσεις (4.2.2.9) και (4.2.2.10) προκύπτει ότι: δ shear =δ st + δ c /sinθ (4.2.2.11) Εάν ε st είναι η παραµόρφωση του εγκάρσιου οπλισµού, τότε η διατµητική µετακίνηση δ st δίνεται από την Εξίσωση (4.2.2.12). δ st =ε st (d-d ) (4.2.2.12) Η Εξίσωση (4.2.2.12) γράφεται και µε την παρακάτω µορφή. δ st =σ st (d-d )/E s,sec (4.2.2.13) Στην Εξίσωση (4.2.2.13), σ st είναι η τάση που αναπτύσσεται στους συνδετήρες και Ε s,sec είναι το επιβατικό (secant) µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα των συνδετήρων (για ελαστική συµπεριφορά είναι Ε s,sec =E s ). Εάν V st είναι η διατµητική δύναµη που αναλαµβάνεται από τους συνδετήρες του φατνώµατος, τότε η τάση που αναπτύσσεται σε κάθε µια από τις εφελκυόµενες ράβδους του δικτυώµατος δίνεται από την Εξίσωση (4.2.2.14), όπου A sw είναι το εµβαδόν του εγκάρσιου οπλισµού στη διεύθυνση της φόρτισης. Vst s σ st = (4.2.2.14) A d d' cot sw ( ) θ Για τον υπολογισµό της δ c πρέπει πρώτα να προσδιοριστεί η θλιπτική δύναµη C d που αναλαµβάνει η θλιβόµενη ράβδος του φατνώµατος. Από το Σχήµα (4.2) προκύπτει ότι η δύναµη C d µπορεί να προκύψει από τη δύναµη V st µε βάση την Εξίσωση (4.2.2.15). C d =V st /sinθ (4.2.2.15) Η τάση σ cdiag που αναπτύσσεται στη θλιβόµενη διαγώνιο προκύπτει στη συνέχεια από την Εξίσωση (4.2.2.16). Στη συγκεκριµένη εξίσωση, Α strut είναι το εµβαδόν της -99-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά θλιβόµενης ράβδου το οποίο µε βάση και το Σχήµα (4.2), δίνεται από την Εξίσωση (4.2.2.17). σ cdiag =C d /A strut (4.2.2.16) A strut =b (d-d ) cosθ (4.2.2.17) Από τις Εξισώσεις (4.2.2.15), (4.2.2.16) και (4.2.2.17) προκύπτει τελικά ότι: V st σ cdiag = (4.2.2.18) b ( d d' ) cosθ sinθ Με την παραδοχή ότι η βράχυνση στη θλιβόµενη διαγώνιο, ε cdiag, κυµαίνεται κάτω από το επίπεδο του 1 η συγκεκριµένη βράχυνση µπορεί να προσδιοριστεί µε την παραδοχή ελαστικής συµπεριφοράς από την Εξίσωση (4.2.2.19). σ cdiag Vst ε cdiag = = (4.2.2.19) E E b d d' cosθ sin c c ( ) θ Η συνολική µετακίνηση στη διαγώνιο θα είναι ίση µε τη βράχυνση επί το µήκος της διαγωνίου το οποίο µε βάση το Σχήµα (4.2) είναι ίσο µε (d-d )/sinθ. Είναι δηλαδή: Vst δc = (4.2.2.20) 2 E b sin θ cosθ c Από τις Εξισώσεις (4.2.2.9-20) προκύπτει ότι: Vst s Vst δ shear = + (4.2.2.21) 3 Es,sec Asw cotθ Ec b sin θ cosθ Η δ shear αποτελεί τη διατµητική µετακίνηση έκαστου φατνώµατος του δικτυώµατος που έχει µήκος (d-d ) cotθ. Συνεπώς, η µέση διατµητική παραµόρφωση στο συγκεκριµένο φάτνωµα θα δίνεται από την Εξίσωση V st = s 1 s + (4.2.2.22) γ 2 ( ) 2 2 d d' Es, sec Asw cot θ Ec b sin θ cos θ Στην Εξίσωση (4.2.2.22), για τον προσδιορισµό της διατµητικής παραµόρφωσης γ yw που αντιστοιχεί στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού αρκεί να τεθεί η δύναµη που αναλαµβάνουν οι συνδετήρες V st ίση µε την αντίστοιχη διατµητική αντοχή V w και να προστεθεί η παραµόρφωση κατά την έναρξη της διατµητικής ρηγµάτωσης. ηλαδή: V w = γ + s 1 yw cr + (4.2.2.23) γ 2 ( ) 2 2 d d' Es, sec Asw cot θ Ec b sin θ cos θ Η δυστµησία του κλάδου µετά τη διατµητική ρηγµάτωση, GA 1, θα είναι ο λόγος της πρόσθετης διατµητικής δύναµης, V st, που αναλαµβάνουν οι συνδετήρες προς τη διατµητική παραµόρφωση που προκύπτει από την Εξίσωση (4.2.2.22). Μετά από κατάλληλες τροποποιήσεις προκύπτει η Εξίσωση (4.2.2.24), όπου ρ w είναι το ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού (ρ w =A sw /b s) και n Ε =E s /E c ο λόγος των µέτρων ελαστικότητας χάλυβα και σκυροδέµατος (Park & Pauley 1975). 4 2 Vst Es b ( d d' ) ρ w sin θ cot θ GA1 = = (4.2.2.24) 4 γ sin θ + n ρ s Κρίσιµο συµπέρασµα που προκύπτει από την Εξίσωση (4.2.2.24) είναι ότι η δυστµησία µετά τη διατµητική ρηγµάτωση ενός στοιχείου Ο/Σ εξαρτάται από το E w -100-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού ρ w, όπως ακριβώς συµβαίνει και µε τη δυσκαµψία και τον διαµήκη οπλισµό στα στοιχεία Ο/Σ µετά την καµπτική ρηγµάτωση. Το συµπέρασµα αυτό είναι κρίσιµο, διότι συνεπάγεται ότι στα στοιχεία µε ανεπαρκή εγκάρσιο οπλισµό η µείωση της δυστµησίας µετά τη λοξή ρηγµάτωση θα είναι ιδιαίτερα σηµαντική. Επιπλέον, από τη συγκεκριµένη εξίσωση διαπιστώνεται ότι η GA 1, στην περίπτωση όπου δεν έχει προηγηθεί διαρροή του καµπτικού οπλισµού, προκύπτει σταθερή µέχρι και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Για την εξαγωγή της Εξίσωσης (4.2.2.23), έγινε η υπόθεση ότι η βράχυνση της θλιβόµενης διαγωνίου µπορεί να προσδιοριστεί επαρκώς µε την παραδοχή ελαστικής συµπεριφοράς. Αυτή η παραδοχή είναι κατά κανόνα επαρκής. Ωστόσο, σε κάποια στοιχεία Ο/Σ µε ισχυρό εγκάρσιο οπλισµό και µικρό πάχος κορµού η συγκεκριµένη παραδοχή παύει να είναι ικανοποιητική για στάθµες της τέµνουσας δύναµης κοντά στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Στην παρούσα διατριβή γίνεται επέκταση της µεθόδου για την κάλυψη και αυτών των περιπτώσεων. Με βάση και τα προαναφερθέντα, η διατµητική παραµόρφωση γ µπορεί να προσδιοριστεί, ως το άθροισµα των τριών όρων της Εξίσωσης (4.2.2.25), όπου γ st είναι η διατµητική παραµόρφωση λόγω της επιµήκυνσης του εγκάρσιου οπλισµού και γ cdiag είναι η διατµητική παραµόρφωση λόγω της βράχυνσης της θλιβόµενης διαγωνίου. γ = γ + γ = γ + γ + γ (4.2.2.25) cr s cr Η γ st µπορεί να προσδιοριστεί από την Εξίσωση (4.2.2.26) και η γ cdiag από την Εξίσωση (4.2.2.27). δ ε ( ) ε γ = st st d d' st st = = d d' cotθ d d' cotθ cot (4.2.2.26) ( ) st cdiag ( ) θ ε cdiag ( d d' ) ε cdiag = ( d d' ) cosθ sinθ cosθ sinθ δ c γ cdiag = = (4.2.2.27) ( d d' ) cotθ sinθ Συνεπώς, θα ισχύει: ε ε st cdiag γ = γ cr + + (4.2.2.28) cotθ cosθ sinθ Υπενθυµίζεται ότι στην Εξίσωση (4.2.2.28), ε cdiag είναι η βράχυνση της θλιβόµενης διαγωνίου που αντιστοιχεί στη θλιπτική τάση σ cdiag που προσδιορίζεται από την Εξίσωση (4.2.2.18). Υιοθετώντας την παραβολή Hognestad (Penelis & Kappos 1996) για την περιγραφή του καταστατικού νόµου του σκυροδέµατος, η παραµόρφωση ε cdiag µπορεί να προσδιοριστεί από την σ cdiag µε βάση την Εξίσωση (4.2.2.29), όπου Ε co είναι το αρχικό µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος. 2 f σ c ε = cdiag 1 1 E co f cdiag c (4.2.2.29) Για τον υπολογισµό της γ yw αρκεί να τεθεί στην Εξίσωση (4.2.2.28) ε st =ε yw όπου ε yw είναι η παραµόρφωση διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού και στην Εξίσωση (4.2.2.18) V st =V w. Η µέση δυστµησία του κλάδου µετά τη διατµητική διαρροή GA 1 µέχρι και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού προκύπτει σε αυτήν την περίπτωση από την Εξίσωση (4.2.2.30). Σηµειώνεται ότι µε τη νέα διαµόρφωση η GA 1 µειώνεται σταδιακά µε τη δύναµη V st λόγω της µη-γραµµικής Εξίσωσης (4.2.2.29). Υπενθυµίζεται, ωστόσο, ότι στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων ο προσδιορισµός της γ yw από την -101-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Εξίσωση (4.2.2.23) είναι επαρκής και η GA 1 παραµένει πρακτικά σταθερή µε τη στάθµη της V st. yw V w GA1 = (4.2.2.30) γ γ Είναι σαφές ότι οι Εξισώσεις (4.2.2.25-27) µπορούν να χρησιµοποιηθούν και µετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Ωστόσο, η έλλειψη επαρκών στοιχείων αναφορικά µε την παραµόρφωση των συνδετήρων που αντιστοιχεί στην έναρξη της διατµητικής αστοχίας καθιστά ανούσια την εφαρµογή των συγκεκριµένων σχέσεων. Η µέθοδος που παρουσιάστηκε παραπάνω για τον υπολογισµό της γ yw είναι καθαρά αναλυτικού χαρακτήρα. Στη σύγχρονη βιβλιογραφία ελάχιστη έρευνα έχει πραγµατοποιηθεί για τον εµπειρικό προσδιορισµό της διατµητικής παραµόρφωσης κατά την έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού. Το γεγονός αυτό οφείλεται κατά κύριο λόγο στην έλλειψη επαρκών σχετικών πειραµατικών αποτελεσµάτων. Η έλλειψη τέτοιων στοιχείων µπορεί να αποδοθεί αφενός στη δυσκολία µέτρησης των διατµητικών παραµορφώσεων κατά τη διάρκεια της πειραµατικής διαδικασίας και αφετέρου στο σχετικά µικρό αριθµό δοκιµίων που εξετάστηκαν µέχρι και την πλήρη ανάπτυξη της διατµητικής τους αντοχής ιδιαίτερα υπό συνθήκες ανακυκλιζόµενης φόρτισης. Ακόµη και στην περίπτωση, όµως, πειραµατικών δοκιµίων κρίσιµων σε διάτµηση, µε καταγεγραµµένες τις διατµητικές τους παραµορφώσεις, ο προσδιορισµός της γ yw δεν είναι πάντοτε εφικτός. Στο Σχήµα (4.4) παρουσιάζεται η πειραµατική καµπύλη V-γ υπό µονότονη φόρτιση εντός της περιοχής πλαστικής άρθρωσης ενός δοκιµίου στο οποίο επήλθε αρχικά διαρροή σε κάµψη και στη συνέχεια ο εγκάρσιος οπλισµός του ανέπτυξε πλήρως τη διατµητική αντοχή του. Γίνεται η παραδοχή ότι η συµπεριφορά του δοκιµίου µετά την καµπτική διαρροή είναι ελαστοπλαστική, που ισοδυναµεί µε την παραδοχή ότι η κράτυνση της σχέσης Μ-φ της κρίσιµης διατοµής είναι αµελητέα. Με βάση αυτήν την παραδοχή, η δρώσα τέµνουσα δύναµη µετά την καµπτική διαρροή θα παραµείνει σταθερή και ίση µε V y. V cr V y A B C V cr γ γ cr γ y γ yw γ u Σχήµα 4.4: Σχέση V-γ στην περιοχή πλαστικής άρθρωσης ενός στοιχείου Ο/Σ που διαρρέει αρχικά σε κάµψη και στη συνέχεια αστοχεί σε τέµνουσα. -102-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Το σηµείο καµπτικής διαρροής (γ y,v y ) είναι το σηµείο Α του Σχήµατος (4.4). Παρόλο που η δρώσα τέµνουσα δύναµη παραµένει σταθερή µετά την καµπτική διαρροή, οι διατµητικές παραµορφώσεις συνεχίζουν να αυξάνονται εξαιτίας της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση, όπως θα εξηγηθεί και στις επόµενες παραγράφους του παρόντος κεφαλαίου. Στο σηµείο Β λαµβάνει χώρα διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού και κατ επέκταση γίνεται γ=γ yw. Από εκεί και έπειτα οι διατµητικές παραµορφώσεις εξακολουθούν να αυξάνονται ακολουθώντας την είσοδο των συνδετήρων στην ανελαστική περιοχή. Ανάλογα και µε το ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού, οι διατµητικές παραµορφώσεις είναι δυνατόν να αυξηθούν σηµαντικά, χωρίς παράλληλη αποµείωση της διατµητικής αντοχής. Το σηµείο C αντιστοιχεί στο σηµείο έναρξης σηµαντικής αποµείωσης της διατµητικής αντοχής και ορίζεται ως το σηµείο έναρξης της διατµητικής αστοχίας στην παρούσα διατριβή. Από το Σχήµα (4.4) είναι σαφές ότι το σηµείο Β που αντιστοιχεί στην έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού σε ένα πειραµατικό δοκίµιο που διέρρευσε καµπτικά και στη συνέχεια αστόχησε διατµητικά (shear-flexure critical element) µπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε επάνω στο πλατό της περιβάλλουσας πειραµατικής καµπύλης (Α-C) και κατ επέκταση δεν είναι δυνατός ο άµεσος προσδιορισµός του. Η παραµόρφωση γ yw µπορεί να προσδιοριστεί από την πειραµατική περιβάλλουσα καµπύλη V-γ µόνο στα στοιχεία που αναπτύσσουν πλήρως τη διατµητική αντοχή τους, χωρίς προηγουµένως να έχουν διαρρεύσει σε κάµψη. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το σηµείο Β µπορεί να θεωρηθεί ότι συµπίπτει µε την αρχή του πλατό της καµπύλης, δηλαδή το σηµείο Α. Κατ εξαίρεση, µπορεί να προσδιοριστεί και σε στοιχεία που έχουν διαρρεύσει πρώτα καµπτικά, αλλά µόνον όταν ο εγκάρσιος οπλισµός διαρρέει σχεδόν ταυτόχρονα µε τον καµπτικό, ενώ ακολουθεί σχεδόν αµέσως και σηµαντική υποβάθµιση της αντοχής σε τέµνουσα του στοιχείου. Σε αυτές τις περιπτώσεις τα σηµεία Α και C σχεδόν ταυτίζονται µεταξύ τους και συνεπώς η θέση του σηµείου Β µπορεί να θεωρηθεί ως σαφώς ορισµένη. Από σχετική έρευνα που έγινε στη σύγχρονη βιβλιογραφία, βρέθηκαν µόνον 10 πειραµατικά δοκίµια τα οποία να ικανοποιούν πλήρως τις παραπάνω προϋποθέσεις. Τα δοκίµια αυτά και τα βασικά χαρακτηριστικά τους παρατίθενται στον Πίνακα (4.1) µαζί µε τις αντίστοιχες πειραµατικές τιµές της γ yw,exp. Τα δοκίµια 9 και 10 είναι κυκλικής διατοµής και ιδιαίτερα το 10 έχει κατασκευαστεί από ελαφροσκυρόδεµα υψηλής αντοχής. Είναι σαφές ότι ο αριθµός των πειραµάτων που παρατίθενται στον Πίνακα (4.1) δεν είναι επαρκής για τον αξιόπιστο εµπειρικό προσδιορισµό της γ yw. Για το λόγο αυτόν αναπτύχθηκε µια µεθοδολογία στην παρούσα διατριβή για τον έµµεσο προσδιορισµό της γ yw, χωρίς την προϋπόθεση διαθεσιµότητας πειραµατικής καταγραφής της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ. Η διαδικασία αυτή µπορεί να εφαρµοστεί µε ικανοποιητική ακρίβεια µόνον για στοιχεία που αστόχησαν διατµητικά πριν την ανάπτυξη της πρώτης καµπτικής διαρροής. Για τα στοιχεία αυτά γίνεται η παραδοχή ότι η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη σε ολόκληρο το µήκος διάτµησης L s -103-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Πίνακας 4.1: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων από τα οποία είναι δυνατός ο προσδιορισµός της γ yw από την πειραµατική περιβάλλουσα V-γ. Α/Α Αναφορά Όνοµα b h L s f c Ν f yw s A sw γ yw,exp mm mm mm MPa kn MPa mm cm 2 1 Priestley et al. (1993) R3A 406 610 1220 34.5 507 324 127 0.63 3.3 2 Lam et al. (2003) X2 267 267 400 31.9 909.6 273 164 0.25 2.7 3 Sezen 2002 2CLD12 457.2 457.2 1473 21.1 667 476 304.8 2.43 2.7 4 Sezen 2002 2CHD12 457.2 457.2 1473 21.1 2669 476 304.8 2.43 1.0 5 Sezen 2002 2CLD12M 457.2 457.2 1473 21.1 667 476 304.8 2.43 3.3 6 Yoshimura et al. (2003) No. 1 300 300 600 30.7 553 392 100 0.57 2.9 7 Yoshimura et al. (2003) No. 3 300 300 600 30.7 829 392 200 0.57 3.3 8 Yoshimura et al. (2003) No. 4 300 300 600 30.7 967 392 100 0.57 2.5 9 Priestley et al. (1993) C5A 610 610 1220 35.9 592 324 127 0.63 5.4 10 Kowalsky & Priestley (1995) SL1 610 610 1220 47.6 607 275 127 0.63 3.7 Κατά την πλήρη ανάπτυξη της διατµητικής αντοχής ενός στοιχείου Ο/Σ, η συνολική µετακίνηση κορυφής του στοιχείου θα είναι ίση µε το άθροισµα της καµπτικής µετακίνησης, της διατµητικής µετακίνησης και της µετακίνησης λόγω διείσδυσης της διαρροής του διαµήκους οπλισµού του στοιχείου στο άκρο του (yield penetration). Η παρατήρηση αυτή εκφράζεται στην Εξίσωση (4.2.2.30), όπου flex yw, shear yw, slip tot yw και yw είναι η καµπτική, διατµητική, ολισθητική και συνολική µετακίνηση, αντίστοιχα, τη στιγµή της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού. tot yw = flex yw + shear slip yw + yw (4.2.2.30) Από την παραδοχή οµοιόµορφης διατµητικής παραµόρφωσης κατά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού στο µήκος διάτµησης του στοιχείου προκύπτει η Εξίσωση γ yw =( tot yw - flex yw - slip yw )/L s (4.2.2.31) Εάν Μ yw είναι η ροπή που αναπτύχθηκε στην κρίσιµη διατοµή του στοιχείου κατά την ανάπτυξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής και ισχύει ότι Μ yw <M y1, όπου Μ y1 είναι η ροπή που αντιστοιχεί στην πρώτη διαρροή του διαµήκους οπλισµού, τότε (µε την παραδοχή γραµµικής συµπεριφοράς µέχρι και την πρώτη καµπτική διαρροή) η καµπτική µετακίνηση που αντιστοιχεί στη µέγιστη διατµητική αντοχή δίνεται από την Εξίσωση (4.2.2.32), όπου, φ y1 είναι η καµπυλότητα τη στιγµή της πρώτης διαρροής του διαµήκους οπλισµού και µπορεί να προσδιοριστεί εύκολα από µία ανάλυση ροπώνκαµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής. flex yw M = M yw y1 ϕ y1 L 3 2 s (4.2.2.32) Με την ίδια λογική και µε βάση τη σχέση που προτείνει ο ΚΑΝ.ΕΠΕ. (2008) για τη µετακίνηση λόγω ολίσθησης στο άκρο ενός στοιχείου κατά την εµφάνιση της καµπτικής διαρροής θα ισχύει ότι: -104-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά slip yw M = M yw y1 0.13 ϕ y1 d f c b f y L s (4.2.2.33) Από τις Εξισώσεις (4.2.2.30-33) καθίσταται σαφές ότι εφόσον προσδιοριστεί η συνολική µετακίνηση του στοιχείου τη στιγµή της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού yw tot, τότε είναι εφικτός ο προσδιορισµός της αντίστοιχης γ yw τηρουµένων και των προϋποθέσεων που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Από έρευνα που έγινε στη σύγχρονη βιβλιογραφία εντοπίστηκαν 6 πειραµατικά δοκίµια που ικανοποιούν τις συγκεκριµένες προϋποθέσεις. Τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών των δοκιµίων µαζί µε τις αντίστοιχες τιµές της γ yw,exp, που προέκυψαν από την προηγούµενη αναλυτική διαδικασία, παρουσιάζονται στον Πίνακα (4.2). Στα στοιχεία αυτά λήφθηκε µέριµνα, ώστε το άθροισµα της καµπτικής και της ολισθητικής µετακίνησης να µην ξεπερνάει το 50% της µέγιστης συνολικής µετακίνησης. Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίστηκε ότι τα όποια σφάλµατα στον υπολογισµό αυτών των µετακινήσεων δε θα επηρεάσουν σηµαντικά την υπολογιζόµενη γ yw. Πίνακας 4.2: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων από τα οποία είναι δυνατός ο έµµεσος προσδιορισµός της γ yw. Α/Α Αναφορά Όνοµα b h L s f c Ν f yw s A sw γ yw,exp mm mm mm MPa kn MPa mm cm 2 11 Arakawa et al. (1982) OA2 180 180 225 31.8 190 249 64.3 0.63 4.6 12 Umehara & Jirsa (1982) CUS 230 410 455 34.9 534 414 89 0.25 9.0 13 Umehara & Jirsa (1982) 2CUS 230 410 455 42 1068 414 89 2.43 7.1 14 Bett et al. (1985) No 1-1 305 305 457 29.9 288 414 210 2.43 5.1 15 Aboutaha et al. SC9 457 914.4 1219 16 0 400 406.4 2.43 5.5 (1999) 16 Aboutaha et al. (1999) SC3 914.4 457 1219 21.9 0 400 406.4 0.57 3.4 Τα 16 πειραµατικά δοκίµια των Πινάκων (4.1-2) συγκεντρώνονται στον Πίνακα (4.3), όπου παρουσιάζεται και ο λόγος διάτµησής τους L s /h, το ανηγµένο αξονικό φορτίο ν=p/(a g f c ) και η διατµητική παραµόρφωση γ tr που προκύπτει από το µοντέλο δικτυώµατος των Park & Paulay (1975). Στον υπολογισµό της γ tr η γωνία θ θεωρήθηκε ίση µε 35 ο εκτός εάν δεν το επέτρεπαν οι γεωµετρικές διαστάσεις του δοκιµίου, οπότε καθορίστηκε από την Εξίσωση (4.2.2.34). 1 L θ min = arctan s (4.2.2.34) h Στο Σχήµα (4.5) γίνεται σύγκριση ανάµεσα στα πειραµατικά αποτελέσµατα γ yw,exp και τις αντίστοιχες προβλέψεις του µοντέλου δικτυώµατος (Εξισώσεις 4.2.2.9-29). Είναι σαφές από το συγκεκριµένο σχήµα ότι το µοντέλο δικτυώµατος υποεκτιµά σε µεγάλο βαθµό τα πειραµατικά αποτελέσµατα µε µοναδική εξαίρεση το δοκίµιο 2CHD12 του Sezen (2002) στο οποίο επιβλήθηκε πολύ ισχυρό θλιπτικό αξονικό φορτίο. -105-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Πίνακας 4.3: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων για τον ηµιεµπειρικό προσδιορισµό της γ yw. Α/Α Αναφορά Όνοµα L s /h ν γ yw,exp γ tr γ yw,cal (-) (-) [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] 1 Priestley et al. (1993) R3A 2.00 0.06 3.3 1.3 3.9 2 Lam et al. (2003) X2 1.50 0.40 2.7 1.3 2.6 3 Sezen 2002 2CLD12 3.22 0.15 2.7 1.9 2.7 4 Sezen 2002 2CHD12 3.22 0.61 1.0 2.0 1.0 5 Sezen 2002 2CLD12M 3.22 0.15 3.3 1.9 2.7 6 Yoshimura et al. (2003) No. 1 2.00 0.20 2.9 1.7 4.1 7 Yoshimura et al. (2003) No. 3 2.00 0.30 3.3 1.7 3.4 8 Yoshimura et al. (2003) No. 4 2.00 0.35 2.5 1.7 3.2 9 Priestley et al. (1993) C5A 2.00 0.06 5.4 1.3 3.8 10 Kowalsky & Priestley (1995) SL1 2.00 0.04 3.7 1.2 3.4 11 Arakawa et al. (1982) OA2 1.25 0.18 4.6 1.4 4.3 12 Umehara & Jirsa (1982) CUS 1.11 0.16 9.0 2.3 7.9 13 Umehara & Jirsa (1982) 2CUS 1.11 0.27 7.1 2.5 7.0 14 Bett et al. (1985) No 1-1 1.50 0.10 5.1 1.8 5.7 15 Aboutaha et al. (1999) SC9 1.33 0.00 5.5 1.7 6.4 16 Aboutaha et al. (1999) SC3 2.67 0.00 3.4 1.5 3.6 10 8 Πειραµατικές EXPERIMENTS µετρήσεις 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 Αναλυτικές PREDICTIONS προβλέψεις Σχήµα 4.5: Σύγκριση πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων του µοντέλου δικτυώµατος για τη γ yw ( ). Από τη µελέτη των πειραµατικών αποτελεσµάτων διαπιστώνεται ότι η τιµή της γ yw,exp τείνει να αυξάνεται καθώς µειώνεται ο λόγος διάτµησης του στοιχείου και το ανηγµένο θλιπτικό αξονικό του φορτίο. Λαµβάνοντας υπόψη και τις µεγάλες αποκλίσεις της µεθόδου δικτυώµατος στον υπολογισµό της γ yw,exp προτείνεται στην παρούσα διατριβή η χρήση δύο εµπειρικών συντελεστών τροποποίησης της βασικής Εξίσωσης (4.2.2.23). Ο πρώτος συντελεστής (κ 1 ) θα είναι συνάρτηση του λόγου διάτµησης και ο δεύτερος συντελεστής (κ 2 ) θα εξαρτάται από το ανηγµένο αξονικό -106-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά φορτίο. Έτσι, η διατµητική παραµόρφωση κατά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού θα δίνεται πλέον από τη γενική ηµιεµπειρική Εξίσωση (4.2.2.35). γ = κ1 κ 2 (4.2.2.35) yw γ tr Για τον προσδιορισµό των συντελεστών κ 1 και κ 2 πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις πολυδιάστατης γραµµικής παλινδρόµησης (multi-parameter linear regression analyses) µε δύο ανεξάρτητες παραµέτρους (L s /h, v) µε τη βοήθεια του στατιστικού πακέτου λογισµικού SPSS (ver. 7.0). Στο πρόγραµµα δίνεται η γενική εξίσωση των επιµέρους συναρτήσεων τροποποίησης και αυτό καθορίζει τους συντελεστές που δίνουν τη βέλτιστη συσχέτιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Οι βέλτιστες εξισώσεις των συντελεστών τροποποίησης που προέκυψαν είναι οι εξής: κ 1 = 5.43 1. 15 (4.2.2.36) h κ2 = 1.0 1.16 ν (4.2.2.37) Είναι σαφές ότι οι συγκεκριµένες εξισώσεις θα πρέπει να εφαρµόζονται µόνο µέσα στα όρια των διαθέσιµων πειραµατικών δεδοµένων του Πίνακα (4.3). Τα όρια αυτά είναι για τον λόγο διάτµησης 1.11 L s /h 3.22 και για το ανηγµένο θλιπτικό αξονικό 0 ν 0.61. Στο Σχήµα (4.6) φαίνεται η συσχέτιση των προβλέψεων των Εξισώσεων (4.2.2.35-37) µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα, ενώ στο Σχήµα (4.7) παρουσιάζονται οι λόγοι των πειραµατικών αποτελεσµάτων προς τις αντίστοιχες αναλυτικές προβλέψεις για κάθε ένα από τα δοκίµια του Πίνακα (4.3). Ο συντελεστής προσδιορισµού (coefficient of determination) R 2 της προτεινόµενης εξίσωσης προέκυψε ίσος µε 0.87. Ο µέσος όρος (mean) των λόγων των πειραµατικών αποτελεσµάτων προς τις αναλυτικές προβλέψεις βρέθηκε ίσος µε 1.00, όπως επίσης και ο διάµεσος (median). Ο συντελεστής µεταβλητότητας προσδιορίστηκε ίσος µε 0.17. εδοµένων των αβεβαιοτήτων του προβλήµατος, µπορεί να εξαχθεί το συµπέρασµα ότι η σύγκλιση της προτεινόµενης ηµιεµπειρικής εξίσωσης µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα είναι ικανοποιητική. Θα πρέπει, ωστόσο, να επισηµανθεί ότι η συγκεκριµένη εξίσωση έχει προκύψει από έναν µικρό αριθµό δειγµάτων (µόλις 16) και συνεπώς θα πρέπει να χρησιµοποιείται µε επιφύλαξη. Υπενθυµίζεται ότι οι συντελεστές κ 1, κ 2 έχουν προκύψει για συγκεκριµένη τιµή της γωνίας θ (θ=35 ο και θ θ min ), καθώς αυτή η τιµή έδωσε την καλύτερη σύγκλιση µε το σύνολο των πειραµατικών δοκιµίων του Πίνακα (4.3). Σε κάποια πειραµατικά δοκίµια, ωστόσο, είναι δυνατόν να προκύψει καλύτερη σύγκλιση µε τους ίδιους συντελεστές κ 1, κ 2 για διαφορετική τιµή της γωνίας θ, όπως θα φανεί και στο Κεφάλαιο 8 της παρούσας διατριβής. Τέλος, όπως είναι φανερό από τις τιµές των Πινάκων (4.1) και (4.2), η Εξίσωση (4.2.2.35) έχει προκύψει από πειραµατικά δοκίµια µε κατά κανόνα ανεπαρκή εγκάρσιο οπλισµό τα οποία αναµένεται να αστοχήσουν διατµητικά. Από µετρήσεις των επιµέρους παραµορφώσεων στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων στοιχείων µε πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση (Saatcioglu & Ozcebe 1989, Lehman 1998) προκύπτει το συµπέρασµα ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις σε αυτές τις ζώνες είναι δυνατόν να αναπτύξουν σηµαντικά µεγαλύτερες τιµές από αυτές που προκύπτουν από την Εξίσωση (4.2.2.35), χωρίς καν το στοιχείο να αναπτύξει πλήρως τη διατµητική αντοχή που προέρχεται από τον εγκάρσιο οπλισµό του V w. Οι µεγάλες αυτές τιµές οφείλονται στη σηµαντική αποµείωση που λαµβάνει χώρα στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων L s -107-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά υπό ανακυκλιζόµενη ένταση και στην αλληλεπίδραση του καµπτικού και διατµητικού µηχανισµού αντίστασης. εδοµένου ότι τα συγκεκριµένα δοµικά στοιχεία δεν αναπτύσσουν πλήρως τη V w δεν είναι δυνατός και ο προσδιορισµός της γ yw. 10 Πειραµατικές EXPERIMENTS µετρήσεις 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 Αναλυτικές PREDICTIONS προβλέψεις Σχήµα 4.6: Σύγκριση πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης ηµιεµπειρικής εξίσωσης για τη γ yw ( ). 2.0 Λόγος πειραµατικής µέτρησης προς EXPERIMENT αναλυτική πρόβλεψη / PREDICTION 1.0 0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Αριθµός SPECIMEN πειραµατικού δοκιµίου Σχήµα 4.7: Λόγοι πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης ηµιεµπειρικής εξίσωσης για την παραµόρφωση γ yw ( ). Από την εφαρµογή του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου της παρούσας διατριβής σε στοιχεία µε πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση προκύπτει ότι η σύγκλιση των εξαγοµένων του µοντέλου µε τις πειραµατικές καταγραφές βελτιώνεται αισθητά, όταν χρησιµοποιηθεί και ένας τρίτος συντελεστής τροποποίησης κ 3 που -108-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά εξαρτάται από τον τοποθετούµενο εγκάρσιο οπλισµό και καθορίζεται από τις Εξισώσεις (4.2.2.38) και (4.2.2.39). Ο συντελεστής αυτός παραµένει ίσος µε την µονάδα, όταν είναι ω κ 5 (περίπτωση όλων των δοκιµίων του Πίνακα 4.3) και µπορεί να φτάσει την τιµή 10.05, όταν ω κ =9.5. εδοµένου ότι δεν έχει λάβει ακόµη χώρα συστηµατική στατιστική επεξεργασία για τον συγκεκριµένο συντελεστή δεν προτείνεται η γενικευµένη χρήση του στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων κατασκευών. 2 κ max 1,10 0.05ω κ + 0.95ω 3.41 (4.2.2.38) ( ( ) 3 = κ 100 Asw f yw ω κ = 9.5 (4.2.2.39) h s f c 4.2.2.4 ιατµητική παραµόρφωση αστοχίας Συνηθίζεται για λόγους ασφάλειας στην αποτίµηση των υφιστάµενων κατασκευών από Ο/Σ να γίνεται η θεώρηση ότι η διατµητική αστοχία λαµβάνει χώρα ταυτόχρονα µε τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Αρκετά πειραµατικά δοκίµια, ωστόσο, (π.χ. το δοκίµιο SC3 των Aboutaha et al. 1999) διατήρησαν τη διατµητική αντοχή τους ακόµη και όταν οι συνδετήρες εισχώρησαν σηµαντικά στην ανελαστική περιοχή. εδοµένου ότι τα δοµικά στοιχεία που είναι κρίσιµα σε διάτµηση έχουν κατά κανόνα µικρή ικανότητα µετακίνησης µέχρι και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού, κρίνεται σκόπιµο να εξεταστεί στην παρούσα διατριβή η δυνατότητα αυτών των στοιχείων για περαιτέρω µετακίνηση, χωρίς σηµαντική αποµείωση της διατµητικής αντοχής τους. Η διατµητική παραµόρφωση µετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού µπορεί να προκύψει από τη γενική Εξίσωση (4.2.2.28) αν ληφθεί υπόψη η πραγµατική µηγραµµική συµπεριφορά του χάλυβα των συνδετήρων µετά τη διαρροή. Το πρόβληµα µε τη συγκεκριµένη εξίσωση είναι ότι δεν είναι σε θέση να προβλέψει τη διατµητική παραµόρφωση στην οποία θα λάβει χώρα σηµαντική αποµείωση της διατµητικής αντοχής, καθώς δεν υπάρχουν επαρκή πειραµατικά δεδοµένα που να συσχετίζουν την έναρξη της διατµητικής αστοχίας µε το µέγεθος της ανελαστικής παραµόρφωσης του εγκάρσιου οπλισµού. Για τον λόγο αυτόν προτείνεται στην παρούσα διατριβή ο προσδιορισµός της γ u µε αµιγώς εµπειρική µέθοδο. Το σηµείο έναρξης της διατµητικής αστοχίας µπορεί να θεωρηθεί ότι συµπίπτει µε το σηµείο C της περιβάλλουσας καµπύλης V-γ του Σχήµατος (4.4). Σε στοιχεία που αστόχησαν διατµητικά, χωρίς να έχουν διαρρεύσει πρώτα σε κάµψη, η γ u µπορεί να προσδιοριστεί όταν είναι γνωστή η πειραµατική καµπύλη V- shear, όπου shear είναι η διατµητική µετακίνηση κορυφής (tip displacement), εάν γίνει η παραδοχή οµοιόµορφης κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του στοιχείου. Στα ίδια στοιχεία και στην περίπτωση όπου διατίθεται µόνον η σχέση τέµνουσας δύναµης συνολικής µετακίνησης κορυφής, τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί και η έµµεση µεθοδολογία της προηγούµενης παραγράφου. Για στοιχεία που αστόχησαν διατµητικά µετά την καµπτική διαρροή, η γ u µπορεί να προσδιοριστεί µόνο εάν παρέχεται η σχέση τέµνουσας δύναµης - µέσης διατµητικής παραµόρφωσης στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης µέχρι και την έναρξη της διατµητικής αστοχίας του στοιχείου. -109-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Μαζί µε τα στοιχεία του Πίνακα (4.3), βρέθηκαν συνολικά 28 πειραµατικά δοκίµια από τα οποία είναι δυνατός ο προσδιορισµός της γ u µε βάση και τους περιορισµούς της προηγούµενης παραγράφου. Στον Πίνακα (4.4) παρατίθενται τα βασικά χαρακτηριστικά των πρόσθετων πειραµατικών δοκιµίων που σε συνδυασµό µε αυτά του Πίνακα (4.3) χρησιµοποιήθηκαν για την εξαγωγή της εµπειρικής σχέσης για τη γ u. Στον Πίνακα (4.5) συγκεντρώνονται και τα 28 δοκίµια µαζί µε τα αντίστοιχα πειραµατικά τους δεδοµένα (L s /h, ν, ω κ ), τη διατµητική παραµόρφωση γ yw όπως αυτή υπολογίστηκε µε βάση την παράγραφο 4.2.2.3 και την πειραµατικά προσδιορισµένη τιµή γ u,exp. Πίνακας 4.4: εδοµένα πρόσθετων πειραµατικών δοκιµίων που χρησιµοποιήθηκαν για τον εµπειρικό προσδιορισµό της γ u. Α/Α Αναφορά Όνοµα b h L s f c Ν f yw s A sw mm mm mm MPa kn MPa mm cm 2 17 Ma et al. (1976) R5 228.6 406.4 978 31.6 0 414 89 1.25 18 Ma et al. (1976) R6 228.6 406.4 1587.5 31.2 0 414 89 1.25 19 Ranzo & Priestley (2001) HS2 1524 1524 3810 40 634.8 635 70 0.57 20 Ranzo & Priestley (2001) HS3 1524 1524 3810 35 1666.4 635 70 0.57 21 Garstka (1993) SBV1 300 300 500 39.4 0 514 80 0.57 22 Garstka (1993) SBV2 300 300 660 39.4 0 514 80 0.57 23 Garstka (1993) SBV3 300 300 750 39.4 0 514 80 0.57 24 Ozcebe & Saatcioglu U1 350 350 1000 43.6 0 470 150 1.57 (1989) 25 Thom (1983) 1B 200 500 1500 34.6 0 340 100 1.88 26 Thom (1983) FTT2A 200 500 1500 37.6 0 300 100 1.90 27 Thom (1983) 1A 200 500 1500 34.6 0 375 100 1.13 28 Kowalsky & Priestley (1995) SL2 610 610 1220 50.6 582 414 76 1.42 Από την µελέτη των πειραµατικών αποτελεσµάτων διαπιστώθηκε ότι ο λόγος γ u /γ yw (διαθέσιµη πλαστιµότητα διατµητικών παραµορφώσεων) αυξάνεται όσο µειώνεται το ανηγµένο θλιπτικό αξονικό φορτίο, όσο αυξάνεται ο λόγος διάτµησης του στοιχείου, και τέλος όσο αυξάνεται ο τοποθετούµενος εγκάρσιος οπλισµός, όπως αυτός εκφράζεται από την παράµετρο ω κ. Με βάση τις προαναφερθείσες παρατηρήσεις, προτείνεται η διατµητική παραµόρφωση αστοχίας να δίνεται από την γενική Εξίσωση (4.2.2.40), όπου λ 1, λ 2 και λ 3 συντελεστές που καθορίζονται από το ανηγµένο θλιπτικό αξονικό φορτίο, τον λόγο διάτµησης και το ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού. Οι Εξισώσεις (4.2.2.41-43) προσδιορίστηκαν µε τη βοήθεια µη-γραµµικών πολυδιάστατων αναλύσεων παλινδρόµησης µε τρεις ανεξάρτητες παραµέτρους (L s /h, ν, ω κ ) που έγιναν στο στατιστικό πακέτο SPSS (ver. 7.0). -110-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Πίνακας 4.5: εδοµένα πειραµατικών δοκιµίων για τον εµπειρικό προσδιορισµό της γ u. Α/Α Αναφορά Όνοµα L s /h ν ω κ γ yw γ u,exp. γ u,cal (-) (-) (-) [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 1 Priestley et al. (1993) R3A 2.00 0.06 0.77 3.9 3.3 4.6 2 Lam et al. (2003) X2 1.50 0.40 0.49 2.6 2.7 2.6 3 Sezen 2002 2CLD12 3.22 0.15 3.93 2.8 10.0 9.1 4 Sezen 2002 2CHD12 3.22 0.61 3.93 1.0 3.0 2.5 5 Sezen 2002 2CLD12M 3.22 0.15 3.93 2.8 9.0 9.1 6 Yoshimura et al. (2003) No. 1 2.00 0.20 2.41 4.1 2.9 5.2 7 Yoshimura et al. (2003) No. 3 2.00 0.30 1.20 3.4 3.3 3.4 8 Yoshimura et al. (2003) No. 4 2.00 0.35 2.41 3.2 2.5 4.1 9 Priestley et al. (1993) C5A 2.00 0.06 0.74 3.8 5.4 4.4 10 Kowalsky & Priestley (1995) SL1 2.00 0.04 0.47 3.4 3.7 3.4 11 Arakawa et al. (1982) OA2 1.25 0.18 1.70 4.2 4.6 4.2 12 Umehara & Jirsa (1982) CUS 1.11 0.16 1.84 7.9 9.0 7.9 13 Umehara & Jirsa (1982) 2CUS 1.11 0.27 1.53 7.0 7.1 7.0 14 Bett et al. (1985) No 1-1 1.50 0.10 2.08 5.7 5.1 9.2 15 Aboutaha et al. (1999) SC9 1.33 0.00 0.96 6.4 5.5 8.2 16 Aboutaha et al. (1999) SC3 2.67 0.00 3.51 3.6 12.9 17.5 17 Ma et al. (1976) R5 2.41 0.00 4.51 5.5 35.0 27.5 18 Ma et al. (1976) R6 3.91 0.00 4.57 3.6 38.0 27.2 19 Ranzo & Priestley (2001) HS2 2.50 0.05 0.84 5.7 12.0 9.1 20 Ranzo & Priestley (2001) HS3 2.50 0.15 0.96 5.0 5.0 5.8 21 Garstka (1993) SBV1 1.67 0.00 3.07 7.6 18.0 23.7 22 Garstka (1993) SBV2 2.20 0.00 3.07 6.2 22.0 24.1 23 Garstka (1993) SBV3 2.50 0.00 3.07 5.5 26.0 23.4 24 Ozcebe & Saatcioglu (1989) U1 2.86 0.00 3.22 4.3 21.1 21.3 25 Thom (1983) 1B 3.00 0.00 3.70 3.9 13.6 21.2 26 Thom (1983) FTT2A 3.00 0.00 3.03 3.5 14.4 17.2 27 Thom (1983) 1A 3.00 0.00 2.45 3.6 18.4 16.3 28 Kowalsky & Priestley (1995) SL2 2.00 0.04 2.50 5.6 17.0 15.9 γ u = 3 λ1 λ2 λ γ γ (4.2.2.40) yw yw ( ν) ( Ls h) 0.185 ( min( 46,10 ω )) 1. 17 λ1 = 1.0 3.0 min 0.20, (4.2.2.41) λ 2 = 1.0+ 2.0 min 3.9, / (4.2.2.42) 3 = κ λ (4.2.2.43) Τα εξαγόµενα των Σχέσεων (4.2.2.40-43) παρουσιάζονται στη στήλη [9] του Πίνακα (4.5). Στο Σχήµα (4.8) φαίνεται η συσχέτιση των προβλέψεων των Εξισώσεων (4.2.2.40-43) µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα και στο Σχήµα (4.9) παρουσιάζονται οι λόγοι των πειραµατικών αποτελεσµάτων προς τις αντίστοιχες αναλυτικές προβλέψεις για κάθε ένα από τα δοκίµια του Πίνακα (4.5). Ο συντελεστής προσδιορισµού (coefficient of determination) R 2 της προτεινόµενης εξίσωσης προέκυψε ίσος µε 0.86. Ο µέσος όρος (mean) των λόγων των πειραµατικών αποτελεσµάτων προς τις αναλυτικές προβλέψεις βρέθηκε ίσος µε 0.97, ενώ ο διάµεσος (median) ίσος µε 1.00. Ο συντελεστής µεταβλητότητας προσδιορίστηκε ίσος µε 0.25. εδοµένων των αβεβαιοτήτων του προβλήµατος, µπορεί να εξαχθεί το συµπέρασµα ότι η σύγκλιση της προτεινόµενης εµπειρικής εξίσωσης µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα είναι ικανοποιητική. Θα πρέπει, ωστόσο, να επισηµανθεί ότι η συγκεκριµένη εξίσωση -111-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά έχει προκύψει από έναν σχετικά µικρό αριθµό δειγµάτων (28) και συνεπώς θα πρέπει να χρησιµοποιείται και αυτή µε επιφύλαξη. 28 24 Πειραµατικές µετρήσεις EXPERIMENTS 20 16 12 8 4 0 0 4 8 12 16 20 24 28 Αναλυτικές PREDICTIONS προβλέψεις Σχήµα 4.8: Σύγκριση πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης εµπειρικής εξίσωσης για τη γ u ( ). 2.0 Λόγος πειραµατικής µέτρησης EXPERIMENT προς αναλυτική / PREDICTION πρόβλεψη 1.5 1.0 0.5 0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Αριθµός πειραµατικού SPECIMEN δοκιµίου Σχήµα 4.9: Λόγοι πειραµατικών αποτελεσµάτων και αναλυτικών προβλέψεων της προτεινόµενης εµπειρικής εξίσωσης για τη γ u ( ). Τέλος, είναι ιδιαίτερα κρίσιµο να επισηµανθεί ότι οι συγκεκριµένες εξισώσεις θα πρέπει να εφαρµόζονται µόνο µέσα στα όρια των διαθέσιµων πειραµατικών δεδοµένων -112-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά του Πίνακα (4.5). Τα όρια αυτά είναι για τον λόγο διάτµησης 1.11 L s /h 3.91, για το ανηγµένο θλιπτικό αξονικό 0 ν 0.61 και για τον εγκάρσιο οπλισµό 0.50 ω κ 4.57. 4.2.2.5 ιατµητική Αντοχή Η διατµητική αστοχία για τα στοιχεία οπλισµένου σκυροδέµατος µπορεί να ταξινοµηθεί µε αδροµερή τρόπο, είτε ως διαγώνια εφελκυστική αστοχία, είτε ως διαγώνια θλιπτική αστοχία. Η διαγώνια εφελκυστική αστοχία ακολουθεί το σχηµατισµό ρωγµών κεκλιµένων ως προς τον διαµήκη άξονα του στοιχείου. Καθώς η επιβαλλόµενη τέµνουσα αυξάνεται, το εύρος των ρωγµών είναι δυνατόν να ανακόψει τον µηχανισµό µεταφοράς της τέµνουσας και να οδηγήσει κατ' επέκταση στην αστοχία του δοµικού στοιχείου. Η διαγώνια θλιπτική αστοχία µπορεί να συµβεί πριν ή µετά την ανάπτυξη κεκλιµένων ρωγµών και εµφανίζεται ως συντριβή του σκυροδέµατος κατά µήκος µιας διαγώνιας θλιβόµενης ράβδου. ιαγώνια θλιπτική αστοχία συµβαίνει κατά κανόνα για µεγάλα θλιπτικά αξονικά φορτία, υψηλά ποσοστά εγκάρσιου διατµητικού οπλισµού ή, τέλος, για στοιχεία µε χαµηλούς λόγους διάτµησης (L s /h 2). Σε στοιχεία µε µη πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση οποιαδήποτε µορφή διατµητικής αστοχίας είναι πιθανή. Παρόλ' αυτά, για τα συνήθη στοιχεία µε λόγο διάτµησης µεγαλύτερο ή ίσο του 2 και θλιπτικό αξονικό φορτίο µικρότερο ή ίσο του φορτίου που αντιστοιχεί στο σηµείο ισόρροπης αστοχίας της διατοµής, η αστοχία από διαγώνιο εφελκυσµό είναι η πλέον πιθανή µορφή. Για τον λόγο αυτόν, το προτεινόµενο µοντέλο διατµητικής αντοχής της παρούσας διατριβής επικεντρώνεται στην αντοχή σε διαγώνιο εφελκυσµό. Ο προσδιορισµός της διατµητικής αντοχής στοιχείων Ο/Σ παραµένει ακόµη στο επίκεντρο της επιστηµονικής έρευνας. Ένας σηµαντικός αριθµός ηµιεµπειρικών µοντέλων προερχόµενος από διαφορετικές ερευνητικές οµάδες είναι διαθέσιµος σήµερα για τον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής. Παρόλ' αυτά, οι αποκλίσεις από τα πειραµατικά αποτελέσµατα ακόµη και από τα πιο βαθµονοµηµένα ηµιεµπειρικά µοντέλα δείχνουν ότι υπάρχει ακόµη χώρος για σηµαντική βελτίωση. Από τα ηµιεµπειρικά µοντέλα που έχουν επικρατήσει στη σύγχρονη βιβλιογραφία αναφέρονται τα µοντέλα του ΕΚΩΣ (2000), του ACI-318 (2002), της FEMA-273 (1997), η οικογένεια των µοντέλων των Moehle et al. (1992, 1996, 2004) και των Priestley et al. (1993, 1996, 2000), καθώς και το µοντέλο των Biskinis et al. (2004). Στην παρούσα διατριβή υιοθετείται για τον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής το µοντέλο των Priestley et al. (1993, 1996). Το συγκεκριµένο µοντέλο είναι το µοναδικό στο οποίο εκφράζεται η µείωση της διατµητικής αντοχής µε τις ανελαστικές καµπτικές παραµορφώσεις σε όρους πλαστιµότητας καµπυλοτήτων και καθιστά άµεσα εφικτή την συνεκτίµηση της αλληλεπίδρασης ανάµεσα στο προτεινόµενο καµπτικό και διατµητικό υποστοιχείο, όπως θα αναλυθεί διεξοδικά στο Κεφάλαιο 6 της παρούσας διατριβής. Σηµειώνεται ότι το µεταγενέστερο από την ίδια ερευνητική οµάδα προτεινόµενο µοντέλο (Kowalsky & Priestley 2000) έχει βαθµονοµηθεί µόνον για κυκλικής διατοµής υποστυλώµατα, µε αποτέλεσµα οι προβλέψεις του να µην είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικές στην περίπτωση των ορθογωνικών υποστυλωµάτων (Biskinis et al. 2004). -113-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Στο σηµείο αυτό είναι κρίσιµο να αναφερθεί ότι το µοντέλο διατµητικής αντοχής των Priestley et al. (1993) δεν είναι το πλέον βαθµονοµηµένο και µεταγενέστερες µελέτες που περιλαµβάνουν στατιστική επεξεργασία µεγάλου αριθµού δοκιµίων (Biskinis et al. 2004) έχουν δείξει σηµαντικές αποκλίσεις του µοντέλου Priestley et al. (1993) από τα πειραµατικά αποτελέσµατα σε ορισµένες περιπτώσεις. Το συµπέρασµα αυτό επιβεβαιώθηκε και σε αρκετές περιπτώσεις εφαρµογής του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου της παρούσας διατριβής σε συγκεκριµένα πειραµατικά δοκίµια, όπου διαπιστώθηκε υπερτίµηση της διατµητικής αντοχής. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το µοντέλο των Sezen & Moehle (2004) που έχει βαθµονοµηθεί ειδικά για στοιχεία µε µηπλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση και το µοντέλο των Biskinis et al. (2004) που έχει βαθµονοµηθεί µε τον µεγαλύτερο αριθµό πειραµατικών δοκιµίων ενδέχεται να δίνουν καλύτερες εκτιµήσεις της διατµητικής αντοχής. Καθίσταται σαφές από τα παραπάνω ότι η ανάπτυξη ενός βελτιωµένου µοντέλου µείωσης της διατµητικής αντοχής µε την απαιτούµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων θα οδηγήσει και στην περαιτέρω αύξηση της αξιοπιστίας των προβλέψεων του αναλυτικού µοντέλου της παρούσας διατριβής. Βασικό χαρακτηριστικό του µοντέλου των Priestley et al. (1993, 1996) αποτελεί ο διαχωρισµός της συνεισφοράς της αξονικής θλίψης V p στη διατµητική αντοχή ενός στοιχείου Ο/Σ από το µερίδιο του σκυροδέµατος V c. Με αυτόν τον τρόπο η διατµητική αντοχή δίνεται από την γενική εξίσωση V u = V c +V p +V w (4.2.2.44) Η διατµητική αντοχή που οφείλεται στη συνεισφορά του σκυροδέµατος προσδιορίζεται από την Εξίσωση (4.2.2.45), όπου Α e είναι η ενεργός διατοµή του σκυροδέµατος για τη διατµητική αντοχή και λαµβάνεται ίση µε 0.80A g και ο k είναι µειωτικός συντελεστής που λαµβάνει υπόψη τη µείωση της διατµητικής αντοχής µε την απαιτούµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων µ φ ή και την απαιτούµενη πλαστιµότητα µετακινήσεων µ. V c =k f c A e (4.2.2.45) Η µεταβολή του k µε την πλαστιµότητα καµπυλοτήτων δίνεται στην Εξίσωση (4.2.2.46) για την περίπτωση των υποστυλωµάτων. Σηµειώνεται ότι η συγκεκριµένη εξίσωση είναι αυτή που προτείνουν οι ερευνητές για µονοαξονική φόρτιση και για σκοπούς αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφοράς υφιστάµενων κατασκευών και όχι σχεδιασµού νέων, όπου θα πρέπει να ληφθούν υπόψη υψηλότερα περιθώρια ασφάλειας. µ φ 3 k = 0.29 3< µ φ 7 k = 0.4325 0.0475µ φ (4.2.2.46) 7< µ φ 15 k = 0.1435 0.00625µ φ µ φ > 15 k = 0.25 Όπως, επισηµαίνουν οι Priestley et al. (1996), στα στοιχεία δοκών η διατµητική αντοχή που σχετίζεται µε τους µηχανισµούς του σκυροδέµατος είναι κατά κανόνα µικρότερη από αυτή των υποστυλωµάτων λόγω του ό,τι στα υποστυλώµατα η οµοιόµορφη κατανοµή των διαµήκων οπλισµών εντός της διατοµής επιτρέπει την αύξηση της δράσης βλήτρου και της περίσφιξης. Για τον λόγο αυτόν προτείνουν η συνεισφορά του σκυροδέµατος στα στοιχεία δοκού να λαµβάνεται πάλι από την Εξίσωση (4.2.2.45), αλλά µε διαφορετική έκφραση του συντελεστή k. -114-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Ο συντελεστής k για τα στοιχεία δοκού εξαρτάται τόσο από την αναπτυσσόµενη πλαστιµότητα όσο και από την κατανοµή του διαµήκους οπλισµού. Όπως επισηµαίνεται από τους συγκεκριµένους ερευνητές, όταν ο εφελκυόµενος και ο θλιβόµενος οπλισµός έχουν περίπου ίσα εµβαδά ή ο θλιβόµενος οπλισµός έχει µεγαλύτερο εµβαδόν από τον εφελκυόµενο, τότε µεγάλου εύρους καµπτικές ρωγµές είναι δυνατόν να αναπτυχθούν σε όλο το ύψος της κρίσιµης διατοµής του στοιχείου και συνεπώς η V c είναι δυνατόν να µηδενισθεί για πλαστιµότητες καµπυλοτήτων µεγαλύτερες ή ίσες του 8. Απεναντίας, όταν ο εφελκυόµενος οπλισµός είναι αρκετά µεγαλύτερος του θλιβόµενου (π.χ. Α s >1.2A s ), τότε πάντοτε θα υπάρχει στην κρίσιµη περιοχή µια θλιβόµενη ζώνη του σκυροδέµατος και κατ επέκταση είναι δυνατόν να αναπτυχθεί µια παραµένουσα αντοχή. Οι συγκεκριµένες παρατηρήσεις συνοψίζονται στις Εξισώσεις (4.2.2.47-48). Στο Σχήµα (4.10) φαίνεται η µεταβολή του k µε την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων τόσο για στοιχεία δοκού όσο και για στοιχεία υποστυλώµατος. Τονίζεται ότι για την αρχική περιβάλλουσα καµπύλη V-γ που εξετάζεται στην παρούσα παράγραφο θα πρέπει να χρησιµοποιείται η τιµή του συντελεστή k πριν την αποµείωση, δηλαδή για τιµές της µ φ 3. Περισσότερα στοιχεία για τον k θα παρατεθούν στην 4.2.3 που αναφέρεται στην αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης. 0.29 k 0.10 0.05 1.00 3 7 15 k/(0.066+10ρ t ) (α) Υποστυλώµατα µ φ Α s >1.2A s 0.25 Α s <1.2A s 8 (β) οκοί Σχήµα 4.10: Μεταβολή του συντελεστή k µε την µ φ µε βάση το µοντέλο των Priestley et al. (1996) α) Υποστυλώµατα, β) οκοί. µ φ -115-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Εάν Α s >1.2A s τότε: µ φ 3 k = (0.066+ 10ρt ) 3 µ φ 8 k = (1.45 0.15µ φ ) (0.066+ 10ρt ) (4.2.2.47) µ φ 8 k = 0.25 (0.066+ 10ρt ) Εάν Α s <1.2A s τότε: µ φ 3 k = (0.066+ 10ρt ) 3 µ φ 8 k = (1.60 0.20µ φ ) (0.066+ 10ρt ) (4.2.2.48) µ φ 8 k = 0 Με βάση τους Priestley et al. (1993), το θλιπτικό αξονικό φορτίο δηµιουργεί ένα θλιπτήρα κεκλιµένο ως προς τον άξονα του στοιχείου, καθώς πρέπει να ακολουθεί τη θλιβόµενη ζώνη του καµπτόµενου στοιχείου. Η παράλληλη προς την τέµνουσα συνιστώσα της δύναµης του θλιπτήρα αυξάνει την διατµητική αντοχή. Η προσαύξηση της διατµητικής αντοχής λόγω του θλιπτικού αξονικού φορτίου V p δίνεται από την Εξίσωση (4.2.2.49). V p =Ν tan(θ α ) (4.2.2.49) Η γωνία θ α για στοιχεία µορφής προβόλου καθορίζεται από τον άξονα του στοιχείου και την ευθεία που συνδέει το σηµείο εφαρµογής του αξονικού φορτίου µε το κέντρο της θλιβόµενης ζώνης στην κρίσιµη διατοµή (Σχήµα 4.11). Είναι δηλαδή: tan(θ α )=(D-x)/(2L s ) (4.2.2.50) Στην Εξίσωση (4.2.2.50), x είναι το ύψος της θλιβόµενης ζώνης στην κρίσιµη διατοµή του προβόλου τη στιγµή της µέγιστης απόκρισης. εδοµένου ότι ο προσδιορισµός του x είναι δύσκολος τη στιγµή της διατµητικής αστοχίας, ιδιαίτερα σε συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης, προτείνεται για λόγους απλοποίησης να λαµβάνεται η τιµή του x τη στιγµή της καµπτικής διαρροής. Ν V p L s θ α V p P x/2 Σχήµα 4.11: Συνεισφορά του θλιπτικού αξονικού φορτίου στη διατµητική αντοχή -116-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Στο συγκεκριµένο µοντέλο για τον προσδιορισµό της διατµητικής αντοχής που µπορεί να αναληφθεί από τον εγκάρσιο οπλισµό γίνεται η παραδοχή ότι µία λοξή ρωγµή είναι ικανή να ενεργοποιήσει τον εγκάρσιο οπλισµό σε µήκος που αντιστοιχεί σε ολόκληρο το ύψος της περισφιγµένης διατοµής του σκυροδέµατος (Σχήµα 4.12). Με βάση αυτήν την παραδοχή προκύπτει η Εξίσωση (4.2.2.51) για τον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής που σχετίζεται µε τον εγκάρσιο οπλισµό. Στο µεταγενέστερο µοντέλο των Kowalsky & Priestley (2000) προτείνεται να λαµβάνεται υπόψη η ενεργοποίηση µόνον εκείνου του εγκάρσιου οπλισµού που βρίσκεται εκτός της θλιβόµενης ζώνης c του σκυροδέµατος. Στην Εξίσωση (4.2.2.51), Α sw είναι η συνολική επιφάνεια του εγκάρσιου οπλισµού που τέµνεται από τον άξονα δράσης της τέµνουσας δύναµης εντός µήκους s. Ειδικά για τα κυκλικά υποστυλώµατα προτείνεται το A sw να λαµβάνεται ίσο µε π A sp /2, όπου Α sp είναι το εµβαδόν ενός σκέλους της σπείρας. V w =A sw f yw (d-d ) cotθ/s (4.2.2.51) Για τη γωνία θ οι Priestley et al. (1994) προτείνουν να λαµβάνεται για σκοπούς αποτίµησης θ=30 ο και για σκοπούς σχεδιασµού θ=35 ο, βασιζόµενοι σε πειραµατικά δοκίµια στα οποία αναπτύχθηκαν διαγώνιες ρωγµές µε γωνίες κλίσης πολύ µικρότερες των 45 ο που υιοθετούν οι σύγχρονοι κανονισµοί. Πρέπει να σηµειωθεί, ωστόσο, ότι από την εφαρµογή του συγκεκριµένου µοντέλου διατµητικής αντοχής στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής σε ορισµένα δοκίµια µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση διαπιστώθηκε καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα, όταν η γωνία θ λαµβάνει τιµές µεγαλύτερες των 30-35 ο. θ s (d-d ) cotθ #συνδετήρων= (d-d ) cotθ/s d-d d Σχήµα 4.12: Ενεργοποίηση εγκάρσιου οπλισµού από λοξή εφελκυστική ρωγµή. 4.2.3 Προσδιορισµός της Περιβάλλουσας V-γ µε Αλληλεπίδραση Κάµψης- ιάτµησης Ήδη από το Κεφάλαιο 4.2.2.5, έχει σηµειωθεί το γεγονός ότι η διατµητική αντοχή στις κρίσιµες περιοχές στοιχείων Ο/Σ µειώνεται µε την αύξηση της απαιτούµενης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων ή και γενικότερα µετακινήσεων. Η µείωση της διατµητικής αντοχής µπορεί να αποδοθεί σύµφωνα µε τους Biskinis et al. (2004) στα εξής φαινόµενα: -117-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Τη λειοτρίβηση των επιφανειών των ρωγµών και την εξασθένηση του µηχανισµού αλληλεµπλοκής των αδρανών. Την εξασθένηση της δράσης βλήτρου από την ανακύκλιση της έντασης και την ανάπτυξη πλαστικών παραµορφώσεων στον διαµήκη οπλισµό. Την ανάπτυξη διαµπερών καµπτικών ρωγµών µε την ανακύκλιση και την αποµείωση της αντίστασης σε τέµνουσα της θλιβόµενης ζώνης. Τη διεύρυνση των καµπτικών ρωγµών µε τη συσσώρευση ανελαστικών παραµορφώσεων (µήκυνσης) στους συνδετήρες και τη µείωση των τάσεων συνάφειας κατά µήκος τους λόγω της ανακύκλισης, καθώς και την επακόλουθη πρόσθετη εξασθένηση του µηχανισµού αλληλεµπλοκής των αδρανών. Τη µείωση της αντοχής και δυστένειας των λοξών θλιπτήρων του σκυροδέµατος λόγω της µήκυνσης που συνοδεύει το εφελκυστικό πεδίο τάσεων στην εγκάρσια διεύθυνση. Οι τέσσερις πρώτοι µηχανισµοί αφορούν τη συνεισφορά του σκυροδέµατος στη διατµητική αντοχή V c. Οι δύο τελευταίοι µηχανισµοί εµπλέκουν και τη συνεισφορά του εγκάρσιου οπλισµού στη διατµητική αντοχή του δοµικού στοιχείου V w. Η τελευταία παρατήρηση οδήγησε τους Sezen & Moehle (2004) και τους Biskinis et al. (2004) να θεωρήσουν ότι η συνεισφορά του σκυροδέµατος V c και του εγκάρσιου οπλισµού V w µειώνονται ταυτόχρονα µε τον ίδιο συντελεστή k. Η άποψη του γράφοντα είναι ότι ναι µεν και η V w µειώνεται µε τη µ φ ή και την µ, ωστόσο η µείωση αυτή λαµβάνει χώρα µε σαφώς πιο ήπιο ρυθµό σε σχέση µε τη µείωση της V c µε τη µ φ. Συνεπώς, στη συνολική µείωση της V u µε την αναπτυσσόµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων κυρίαρχο ρόλο διαδραµατίζει η σταδιακή υποβάθµιση της V c. Η άποψη αυτή ενισχύεται και από τα αποτελέσµατα αριθµού πειραµατικών δοκιµίων (Wight & Sozen 1975, Priestley et al. 1993) στα οποία έγινε καταγραφή της εξέλιξης των επιµέρους µηχανισµών ανάπτυξης της διατµητικής αντοχής µε την πρόοδο της ανελαστικοποίησης. Μια βελτίωση που προτείνεται από την παρούσα έρευνα είναι η ανάπτυξη ενός νέου µοντέλου διατµητικής αντοχής στο οποίο οι επιµέρους συνεισφορές V c και V w θα αποµειώνονται µε δύο ανεξάρτητους συντελεστές k c και k w που θα αποτελούν διαφορετικές συναρτήσεις της απαιτούµενης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων ή µετακινήσεων. Παράλληλα µε την πτώση της διατµητικής αντοχής στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων των στοιχείων Ο/Σ µε τις αναπτυσσόµενες ανελαστικές καµπτικές παραµορφώσεις, έχει διαπιστωθεί πειραµατικά (Ma et al. 1976, Oesterle et al. 1980, Saatcioglu & Ozcebe 1989, Lehman & Moehle 1998) ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις στις ανελαστικές ζώνες αυξάνονται ραγδαία µετά τη διαρροή του διαµήκους οπλισµού, παρά το γεγονός ότι η αναπτυσσόµενη τέµνουσα παραµένει σχεδόν σταθερή, αφού καθορίζεται πλέον από την καµπτική διαρροή. Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσµα οι διατµητικές παραµορφώσεις (και η ευτµησία) εντός των περιοχών των πλαστικών αρθρώσεων να είναι σηµαντικά µεγαλύτερες από εκείνες στον υπόλοιπο κορµό του µέλους ακόµη και στα στοιχεία όπου δεν ασκούνται ενδιάµεσα κατανεµηµένα φορτία (υποστυλώµατα - τοιχεία) και η δρώσα τέµνουσα δύναµη είναι σταθερή σε ολόκληρο το µήκος τους. Αυτή η σύζευξη ανάµεσα στις ανελαστικές καµπτικές και διατµητικές παραµορφώσεις θα αναφέρεται εφεξής στην διατριβή ως -118-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά καµπτοδιατµητική διαρροή (flexural-shear yielding) και θα πρέπει να διαχωρίζεται από την διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού ή αλλιώς τη διατµητική διαρροή (shear yielding). Στην παρούσα έρευνα προτείνεται η ενιαία προσοµοίωση της σταδιακής πτώσης της διατµητικής αντοχής και της αύξησης των διατµητικών παραµορφώσεων στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων των στοιχείων Ο/Σ µε την ταυτόχρονη αύξηση των ανελαστικών καµπτικών παραµορφώσεων µέσω της σύζευξης του µοντέλου διατµητικής αντοχής των Priestley et al. (1993) της 4.2.2.5 και του µοντέλου δικτυώµατος της 4.2.2.3. Στο Σχήµα (4.13α) παρουσιάζεται η βαθµιαία εξέλιξη των µηχανισµών ανάπτυξης διατµητικής αντοχής στην πλαστική άρθρωση ενός υποστυλώµατος Ο/Σ µε βάση το µοντέλο των Priestley et al. (1993). Μετά τη διατµητική ρηγµάτωση, η συνεισφορά του εγκάρσιου οπλισµού V st αρχίζει να ενεργοποιείται προκειµένου να εξισορροπήσει την περαιτέρω αύξηση της τέµνουσας δύναµης. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται ακόµη και µετά την καµπτική διαρροή µέχρι η απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων να γίνει µ φ =3. Από εκεί και έπειτα η V st αυξάνεται για να αντισταθµίσει τόσο την προσαύξηση της δρώσας τέµνουσας δύναµης V, όσο και την πρόσθετη υποβάθµιση της συνεισφοράς στη διατµητική αντοχή της διατοµής του σκυροδέµατος degv c. Αυτό σηµαίνει ότι για την ίδια προσαύξηση V, η V st αυξάνεται πιο έντονα, όταν µ φ 3. Μάλιστα η αύξηση είναι περισσότερο έντονη, όταν ισχύει 3 µ φ <7 και λιγότερο έντονη όταν 7 µ φ <15. Όταν γίνει µ φ 15, τότε το µερίδιο του σκυροδέµατος φτάνει την παραµένουσα αντοχή του και συνεπώς η V st αυξάνεται µόνο για να καλύψει την ενδεχόµενη αύξηση της δρώσας τέµνουσας V. Shear Force Τέµνουσα Vy Vcr Vs V st VVc+Vn c P Shear Strain Πλαστιµότητα Curvature Ductility καµπυλοτήτων ιατµητική παραµόρφωση γs γ s 1 3 7 15 Πλαστιµότητα Curvature Ductility καµπυλοτήτων Σχήµα 4.13: Μεταβολή α) των µηχανισµών ανάπτυξης διατµητικής αντοχής, β) της διατµητικής παραµόρφωσης µετά τη διατµητική ρηγµάτωση στις περιοχές πλαστικών αρθρώσεων στοιχείων Ο/Σ µε την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µε βάση το µοντέλο των Priestley et al. (1993). -119-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά εδοµένου ότι η V st συνδέεται βάσει του µοντέλου δικτυώµατος µε τις διατµητικές παραµορφώσεις µετά τη ρηγµάτωση γ s µέσω της Εξίσωσης (4.2.2.24), η µεταβολή της γ s µε την πλαστιµότητα καµπυλοτήτων µπορεί να προκύψει µε ευκολία (Σχήµα 4.13β). Από το συγκεκριµένο σχήµα διαπιστώνεται ότι η γ s µετά την καµπτική διαρροή αυξάνει αρχικά µε έναν πολύ αργό ρυθµό. Όταν γίνει µ φ 3 ο ρυθµός αύξησης της γ s µε την µ φ επιταχύνεται. Μετά την τιµή µ φ =7, η γ s εξακολουθεί να αυξάνει πιο γρήγορα σε σχέση µε την αύξηση για µ φ <3, αλλά και πιο ήπια σε σχέση µε την αύξηση για 3 µ φ <7. Αφού γίνει µ φ 15 και η V c σταθεροποιηθεί, τότε η γ s αυξάνει µε το ρυθµό που ίσχυε για µ φ <3. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, προτείνεται η τροποποιηµένη (µε αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης) περιβάλλουσα καµπύλη V-γ του Σχήµατος (4.14) που αναφέρεται στην περίπτωση ενός προβόλου που υποβάλλεται σε µονότονη, πλευρική φόρτιση, µέχρι και τη διαρροή του διατµητικού οπλισµού του, αφού πρώτα η αναπτυσσόµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων υπερβεί την τιµή µ φ =15. Η τροποποιηµένη περιβάλλουσα V-γ ακολουθεί την αρχική περιβάλλουσα µέχρι και την µ φ =3, εωσότου και η κλίση (GA 1 ) δίνεται από το κλασικό µοντέλο δικτυώµατος. Όταν γίνει 3 µ φ <7 και λόγω της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση, η κλίση της τροποποιηµένης περιβάλλουσας V-γ αποκτά την ελάχιστη τιµή της GA 2. Για τιµές 7 µ φ <15 η κλίση GA 3 αυξάνει σε σχέση µε την GA 2 αλλά εξακολουθεί να είναι µικρότερη της GA 1. Τέλος, όταν η µ φ γίνει µεγαλύτερη του 15, τότε η κλίση της τροποποιηµένης περιβάλλουσας επανέρχεται στην τιµή GA 1 που ίσχυε και πριν την καµπτική διαρροή. Είναι σαφές ότι µετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού (γ yw, V u ) ο κλάδος της τροποποιηµένης περιβάλλουσας θα είναι πρακτικώς οριζόντιος και παράλληλος µε αυτόν την αρχικής περιβάλλουσας V-γ. Στη συνέχεια αναπτύσσεται µια γενική µεθοδολογία για την εξαγωγή της τροποποιηµένης περιβάλλουσας V-γ, η οποία βασίζεται στο µοντέλο δικτυώµατος της 4.2.2.3 και στο µοντέλο διατµητικής αντοχής των Priestley et al. (1993) και επιπρόσθετα µπορεί να εφαρµοσθεί για οποιαδήποτε κατανοµή του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών κατά µήκος του στοιχείου Ο/Σ, χωρίς δηλαδή την προϋπόθεση σταθερού σηµείου µηδενισµού των ροπών του Σχήµατος (4.14). Η µεθοδολογία αυτή ικανοποιεί πάντοτε τη βασική συνοριακή συνθήκη του προβλήµατος της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, δηλαδή τη στιγµή όπου η δρώσα τέµνουσα δύναµη γίνει ίση µε την τρέχουσα διατµητική αντοχή V u για δεδοµένη τιµή της µ φ, τότε η συνολική διατµητική παραµόρφωση γ θα πρέπει να γίνεται ίση µε αυτήν που αντιστοιχεί στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού γ yw. Μετά τη διατµητική ρηγµάτωση, η προσαύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων γ s για δεδοµένη προσαύξηση της δρώσας τέµνουσας V µπορεί να προσδιοριστεί από την Εξίσωση (4.2.3.1), όπου V st είναι η προσαύξηση της τέµνουσας δύναµης που αναλαµβάνεται από τον εγκάρσιο οπλισµό. V γ st s = (4.2.3.1) GA 1 Η προσαύξηση V st µπορεί να θεωρηθεί ίση µε το άθροισµα της προσαύξησης της δρώσας τέµνουσας δύναµης V και της προσαύξησης της πτώσης της διατµητικής αντοχής του µεριδίου σκυροδέµατος degv c. Η προσαύξηση degv c πρέπει να λαµβάνεται θετική όταν V>0 και αρνητική όταν V<0. V = V + deg (4.2.3.2) st V c -120-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά V V Vuo Σηµείο έναρξης της διατµητικής αστοχίας Αρχική περιβάλλουσα καµπύλη GA1 Vu GA1 GA3 GA2 Vy Vcr GA1 Τροποποιηµένη περιβάλλουσα καµπύλη GAsh GA2 GA3 GA1 1 3 7 15 α) β) µφ γcr γyw γ Σχήµα 4.14: α) Περιβάλλουσα καµπύλη καµπτικής συµπεριφοράς στην κρίσιµη διατοµή της πλαστικής άρθρωσης σε όρους V-µφ, β) Αρχική και τροποποιηµένη (µε αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης) περιβάλλουσα V-γ στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης ισοδύναµου προβόλου Ο/Σ. -121-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Εάν ως GA eff οριστεί η τρέχουσα εφαπτοµενική (tangent) κλίση της τροποποιηµένης περιβάλλουσας καµπύλης, τότε αυτή θα πρέπει να δίνει την ίδια προσαύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων γ s µόνο για την προσαύξηση της δρώσας τέµνουσας V (Σχήµα 4.15). Συνεπώς, θα πρέπει να ισχύει: V γ s = (4.2.3.3) GA Συνδυάζοντας τις Εξισώσεις (4.2.3.1-3) προκύπτει η Εξίσωση (4.2.3.4) για τον προσδιορισµό της GA eff. V GAeff = GA1 (4.2.3.4) V + degv eff c γ s V/GA 1 degv c /GA 1 V GA 1 GA eff Σχήµα 4.15: Προσδιορισµός της τρέχουσας εφαπτοµενικής κλίσης της τροποποιηµένης περιβάλλουσας καµπύλης V-γ. Από την Εξίσωση (4.2.3.4) γίνεται φανερό ότι η GA eff µπορεί µόνον να είναι ίση ή µικρότερη της GA 1. Η ισότητα ισχύει όταν η πρόσθετη αποµείωση του µηχανισµού ανάληψης διατµητικής αντοχής από το σκυρόδεµα degv c είναι αµελητέα. Προκύπτει, όµως, και το εξής πρόβληµα: Η εφαπτοµενική τιµή της δυσκαµψίας GA eff εξαρτάται από την προσαύξηση της δρώσας τέµνουσας του στοιχείου V. Στην µη-γραµµική ανάλυση της κατασκευής, ωστόσο, η προσαύξηση της δρώσας τέµνουσας V σε κάθε βήµα θα εξαρτάται µε τη σειρά της από την τρέχουσα δυσκαµψία του στοιχείου, άρα και από την τιµή της GA eff. Για την αντιµετώπιση του συγκεκριµένου προβλήµατος αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής επαναληπτικός αλγόριθµος που περιγράφεται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 6. 4.3 Υστερητικό Μοντέλο ιατµητικής Συµπεριφοράς 4.3.1 Εισαγωγή Το υστερητικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της διατµητικής ανακυκλιζόµενης συµπεριφοράς έχει ως αφετηρία τις προτάσεις των Ozcebe & Saatcioglu (1989). Ωστόσο, περιέχει κατάλληλες -122-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά τροποποιήσεις που µειώνουν την πολυπλοκότητα του µοντέλου, χωρίς ουσιώδη µείωση στην αξιοπιστία του και επιπλέον το καθιστούν ευσταθές υπολογιστικά εκτός του εύρους τιµών για το οποίο αναπτύχθηκε το αρχικό µοντέλο. Στις επόµενες παραγράφους ακολουθεί µια αναλυτική περιγραφή του προτεινόµενου υστερητικού µοντέλου της σχέσης V-γ. 4.3.2 Προτεινόµενο Μοντέλο ιατµητικής Υστερητικής Συµπεριφοράς Το διατµητικό υστερητικό µοντέλο που αναπτύσσεται στην παρούσα ενότητα είναι διατυπωµένο σε όρους τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης (V-γ). Στο αρχικό αναλυτικό µοντέλο των Ozcebe & Saatcioglu (1989), η περιβάλλουσα καµπύλη προέκυπτε από την ανάλυση του εξεταζόµενου στοιχείου µε την MCFT (Modified Compression Field Theory). Εδώ, ως περιβάλλουσα καµπύλη θα χρησιµοποιείται είτε η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη της 4.2.2, είτε η τροποποιηµένη περιβάλλουσα της 4.2.3, ανάλογα µε το αν θα πρέπει να ληφθεί ή όχι υπόψη το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης ανάµεσα στην κάµψη και τη διάτµηση. Η περιβάλλουσα στο αρχικό µοντέλο ήταν τριγραµµική µε τον πρώτο κλάδο να τερµατίζεται στη διατµητική ρηγµάτωση, τον δεύτερο κλάδο να τερµατίζεται στη διαρροή (που θεωρείται ότι συµπίπτει µε την καµπτική διαρροή) και τον τρίτο κλάδο να καταλήγει στη διατµητική αστοχία. Η ίδια λογική ακριβώς υιοθετείται και στην παρούσα διατριβή µε µόνη διαφοροποίηση ότι µετά τη καµπτο-διατµητική διαρροή η κλίση της περιβάλλουσας καµπύλης µπορεί να µεταβάλλεται λόγω της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού µέχρι και τη διατµητική αστοχία. Στη συνέχεια ακολουθεί αναλυτική περιγραφή του υστερητικού µοντέλου που προτείνεται για τη σχέση V-γ. V m V y V F G,I J V V m W C,E H S,U O V cr Α Β D P,R T Q K γ m V p γ L V cr N M V y Σχήµα 4.16: Προτεινόµενο υστερητικό µοντέλο για τη σχέση τέµνουσας (V) διατµητικής παραµόρφωσης (γ). -123-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Μελετώντας µια σειρά πειραµατικών αποτελεσµάτων, οι Ozcebe & Saatcioglu (1989) διαπίστωσαν ότι όταν η διατµητική δύναµη κατά την έναρξη της αποφόρτισης είναι µικρότερη της δύναµης που αντιστοιχεί στη διατµητική ρηγµάτωση και ταυτόχρονα δεν έχει γίνει υπέρβαση της τέµνουσας ρηγµάτωσης στη συγκεκριµένη διεύθυνση, τότε η αποφόρτιση ακολουθεί την περιβάλλουσα. Όταν έχει γίνει υπέρβαση, ωστόσο, της τέµνουσας ρηγµάτωσης στη συγκεκριµένη διεύθυνση, η κλίση του κλάδου αποφόρτισης εξαρτάται τόσο από τη στάθµη της ανελαστικής διατµητικής µετακίνησης όσο και από τη στάθµη της δύναµης από την οποία ξεκίνησε η αποφόρτιση. Πιο συγκεκριµένα παρατήρησαν ότι όσο αυξάνει η πλαστιµότητα µετακινήσεων τόσο µειώνεται η κλίση του κλάδου αποφόρτισης καθώς και ότι η κλίση του κλάδου αποφόρτισης αλλάζει κάτω από τη στάθµη της διατµητικής ρηγµάτωσης. Παρατηρήθηκε ότι το µέρος του κλάδου αποφόρτισης κάτω από τη στάθµη της δύναµης που αντιστοιχεί στη διατµητική ρηγµάτωση έχει µικρότερη κλίση από το αντίστοιχο τµήµα πάνω από τη στάθµη της δύναµης όπου ξεκινούσε η ρηγµάτωση. Βάσει των προηγούµενων παρατηρήσεων, οι συγκεκριµένοι ερευνητές πρότειναν τους εξής υστερητικούς κανόνες: Εάν η V cr έχει ξεπεραστεί τουλάχιστον µια φορά σε µια διεύθυνση και η δύναµη που αντιστοιχεί στο σηµείο καµπτο-διατµητικής διαρροής V y δεν έχει ξεπεραστεί ούτε µια φορά στο τεταρτηµόριο από το οποίο ξεκινάει η αποφόρτιση, τότε η αποφόρτιση ακολουθεί µια ευθεία γραµµή µέχρι τον άξονα των µετακινήσεων. Η κλίση αυτής της ευθείας δίδεται από τη Εξίσωση (4.3.2.1). k s =k s 1-(k s 1-k s 2) (γ-γ cr )/(γ y -γ cr ) (4.3.2.1) Εάν το V y έχει ξεπεραστεί έστω και µια φορά στο τεταρτηµόριο όπου ξεκινάει η αποφόρτιση, τότε η κλίση του κλάδου πάνω από τη στάθµη της V cr δίνεται από την Εξίσωση (4.3.2.2), ενώ η αντίστοιχη δυστµησία κάτω από τη στάθµη της V cr από την Εξίσωση (4.3.2.3). Στις εξισώσεις αυτές, γ είναι η διατµητική παραµόρφωση του σηµείου έναρξης της αποφόρτισης (σηµείο κορυφής), k s 1 είναι η κλίση του αρηγµάτωτου κλάδου (GA sh ) και k s 2 είναι η κλίση της ευθείας που συνδέει το σηµείο διαρροής του τεταρτηµορίου στο οποίο γίνεται η αποφόρτιση (1 ο ή 4 ο ) µε το σηµείο ρηγµάτωσης του αντισυµµετρικού του τεταρτηµορίου (4 ο ή 1 ο ). Το k s 2 δίδεται από την Εξίσωση (4.3.2.4). k s =k s 2 (1-0.05γ/γ y ) (4.3.2.2) k s =0.6k s 2 (1-0.07γ/γ y ) (4.3.2.3) Vy + V s cr k 2 = (4.3.2.4) Vcr γ y + s k Για την απλοποίηση των προηγούµενων υστερητικών κανόνων αλλά και τη δυνατότητα ενσωµάτωσής τους στον βασικό βρόχο υστέρησης του Κεφαλαίου 3, προτείνεται στην παρούσα διατριβή η κλίση των κλάδων του διατµητικού υστερητικού µοντέλου να λαµβάνεται µε βάση τους κανόνες που ακολουθούν. Εάν το V cr έχει ξεπεραστεί τουλάχιστον µια φορά σε µια διεύθυνση και η δύναµη που αντιστοιχεί στο σηµείο καµπτο-διατµητικής διαρροής V y δεν έχει ξεπεραστεί ούτε µια φορά στο τεταρτηµόριο από το οποίο ξεκινάει η αποφόρτιση, τότε η κλίση 1-124-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά του κλάδου αποφόρτισης θα δίδεται από την Εξίσωση (4.3.2.1) (π.χ. C-D στο Σχήµα 4.16). Όταν έχει επέλθει διαρροή και η στάθµη της δύναµης από την οποία αρχίζει η αποφόρτιση είναι µικρότερη της V cr, τότε η κλίση του κλάδου αποφόρτισης, k s, εξαρτάται αποκλειστικά και µόνο από τη στάθµη της ανελαστικής µετακίνησης και δίδεται από την Εξίσωση (4.3.2.3) που προτείνουν και οι Ozcebe & Saatcioglu (π.χ. κλάδος P-Q). Όταν έχει επέλθει διαρροή και η στάθµη της δύναµης από την οποία αρχίζει η αποφόρτιση είναι µεγαλύτερη της V cr, τότε η κλίση του κλάδου αποφόρτισης, k s, εξαρτάται τόσο από τη στάθµη της ανελαστικής µετακίνησης όσο και από τη στάθµη της δύναµης από την οποία ξεκίνησε η αποφόρτιση. Πιο συγκεκριµένα υιοθετείται µια µέση τιµή των κλίσεων που πρότειναν οι Ozcebe & Saatcioglu µε βάση τη Σχέση (4.3.2.5) (π.χ. G-H, S-T) στην οποία V είναι η τεταγµένη του σηµείου κορυφής (vertex point). s s Vcr k γ ( V Vcr) k γ 0.6 2 1 0.07 + 2 1 0.05 y y k γ γ s = (4.3.2.5) V Όπως φαίνεται και στο Σχήµα (4.17), µε την Εξίσωση (4.3.2.5) τα σηµεία τοµής των κλάδων αποφόρτισης του µοντέλου των Ozcebe & Saatcioglu και του µοντέλου της παρούσας διατριβής µε τον άξονα των διατµητικών παραµορφώσεων ταυτίζονται. Μειονέκτηµα της συγκεκριµένης προσέγγισης αποτελεί το γεγονός ότι υποεκτιµάται ελαφρώς η ικανότητα του δοµικού στοιχείου για κατανάλωση υστερητικής ενέργειας. V Σηµείο κορυφής Αποφόρτιση µε το προτεινόµενο µοντέλο V cr Αποφόρτιση κατά Ozcebe & Saatcioglu γ Σχήµα 4.17: Προτεινόµενος κανόνας αποφόρτισης στο διατµητικό βρόχο. Από τη µελέτη των Εξισώσεων (4.3.2.3-4) προκύπτει ότι για τιµές της πλαστιµότητας διατµητικών παραµορφώσεων µεγαλύτερες ή ίσες του 15 η δυσκαµψία του αντίστοιχου κλάδου αποφόρτισης αποκτά αρνητικές τιµές. Επιπλέον, για τιµές της πλαστιµότητας διατµητικών παραµορφώσεων µικρότερες του 15 είναι δυνατόν να λαµβάνει χώρα η µη-κανονική συµπεριφορά που φαίνεται στο Σχήµα (4.18). Στο συγκεκριµένο σχήµα η κλίση του κλάδου αποφόρτισης γίνεται µικρότερη της κλίσης του ακόλουθου πρώτου κλάδου επαναφόρτισης στην αντίθετη διεύθυνση. Με τον τρόπο αυτόν δηµιουργείται µη κυρτή γωνία στο εσωτερικό του διατµητικού βρόχου και κατ επέκταση αριθµητική αστάθεια. Προκειµένου να αποφευχθεί η συγκεκριµένη αριθµητική αστάθεια προτείνεται εδώ η κλίση του κλάδου αποφόρτισης να µην γίνεται ποτέ µικρότερη της κλίσης της ευθείας που συνδέει το -125-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά τρέχον σηµείο κορυφής µε το σηµείο διατµητικής ρηγµάτωσης του απέναντι τεταρτηµορίου (Σχήµα 4.18). V Ενδεχόµενη αποφόρτιση κατά Ozcebe & Saatcioglu Σηµείο Κορυφής γ (γ cr, V cr ) Προτεινόµενη ελάχιστη κλίση αποφόρτισης. Σχήµα 4.18: Προτεινόµενη ελάχιστη κλίση αποφόρτισης διατµητικού βρόχου. Για την υπολογιστική υλοποίηση των κλάδων αποφόρτισης του διατµητικού βρόχου αρκεί στον βασικό βρόχο υστέρησης του Κεφ. 3 ο υπολογισµός της δυσκαµψίας τους να γίνεται πλέον από τις Εξισώσεις (4.3.2.1-5) και όχι µε τη λογική του 'pivot point' και της παραµέτρου α που εφαρµόζει το µοντέλο των Sivaselvan & Reinhorn (1999). Ένα πρόσθετο χαρακτηριστικό συρρίκνωσης των διατµητικών βρόχων είναι η στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων. Κατά τους Ozcebe & Saatcioglu (1989), το φαινόµενο της στένωσης οφείλεται στην ολίσθηση δυο ρηγµατωµένων επιφανειών µορφωµένων από προηγούµενους κύκλους φόρτισης το οποίο συνοδεύεται από µείωση της αντίστασης κατά την επαναφόρτιση. Μετά το κλείσιµο των ρωγµών, ωστόσο, το µέλος επιδεικνύει πιο δύσκαµπτη συµπεριφορά και η κλίση του κλάδου επαναφόρτισης αυξάνει. Για τον λόγο αυτόν οι ίδιοι ερευνητές προτείνουν η επαναφόρτιση να ορίζεται από δυο διαφορετικούς κλάδους, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (4.19). V y V Κύκλος 1 V m, V p1 V m Κύκλος 2 V p2 P V p1 V cr V p2 Κύκλος 3 γ γ p2 γ m, γ p1 Σχήµα 4.19: Κλάδοι επαναφόρτισης προτεινόµενου µοντέλου διατµητικής υστέρησης. -126-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά Από τη µελέτη πειραµατικά καταγεγραµµένων βρόχων, οι Ozcebe & Saatcioglu διαπίστωσαν ότι η πρώτη φόρτιση στην αντίθετη διεύθυνση στοχεύει προς το σηµείο ρηγµάτωσης της αντίθετης διεύθυνσης. Μετά την υπέρβαση της τέµνουσας ρηγµάτωσης στην αντίθετη διεύθυνση, παρατήρησαν ότι όσο αυξάνει ο αριθµός των κύκλων φόρτισης ή το µέγεθος των ανελαστικών παραµορφώσεων, τόσο το στοιχείο γίνεται ασθενέστερο κατά την επαναφόρτιση. Επιπρόσθετα, διαπιστώθηκε ότι η αξονική δύναµη είναι άλλη µια παράµετρος µε σηµαντική επιρροή στην κλίση των κλάδων επαναφόρτισης, ειδικά κάτω από τη στάθµη ρηγµάτωσης της διατοµής. Αυξηµένη θλιπτική αξονική δύναµη βοηθά στο να κλείσουν ταχύτερα οι ρωγµές και συνεπώς περιορίζει το φαινόµενο της στένωσης. Για τους παραπάνω λόγους οι συγκεκριµένοι ερευνητές πρότειναν τους εξής κανόνες υστερητικής συµπεριφοράς: Εάν το στοιχείο δεν έχει φορτιστεί πάνω από το σηµείο ρηγµάτωσης σε µια διεύθυνση, τότε ο κλάδος επαναφόρτισης στοχεύει προς αυτό το σηµείο ανεξάρτητα του αν το στοιχείο έχει αναπτύξει ανελαστικές παραµορφώσεις στην άλλη διεύθυνση (π.χ. κλάδος K-L). Εάν έχει γίνει υπέρβαση της V cr στη στοχευόµενη διεύθυνση τότε (i) ο κλάδος επαναφόρτισης µέχρι το V cr θα ακολουθεί µια ευθεία γραµµή που θα διέρχεται από το σηµείο ( p, V p ) (π.χ. O-P) (ii) µετά τη στάθµη της V cr ακολουθείται µια ευθεία γραµµή µέχρι την περιβάλλουσα και η οποία διέρχεται από το σηµείο ( m, V m) (π.χ. R-S-V) και (iii) µετά την τοµή µε την περιβάλλουσα ο κλάδος ακολουθεί την περιβάλλουσα καµπύλη (π.χ. V-W). Εάν η αποφόρτιση ολοκληρωθεί πριν την τοµή µε τον άξονα των παραµορφώσεων, τότε η επαναφόρτιση ακολουθεί µια ευθεία γραµµή που στοχεύει το αµέσως προηγούµενο µέγιστο σηµείο κορυφής (π.χ. D-E, H-I, Q-R, T-U). Τα βοηθητικά σηµεία του Σχήµατος (4.19) ορίζονται µε τη βοήθεια των Εξισώσεων (4.3.2.6-10), όπου γ p είναι η προηγούµενη µετακίνηση κορυφής, V P είναι η τέµνουσα του προηγούµενου σηµείου κορυφής, γ m η µέγιστη παραµόρφωση, V m είναι η τέµνουσα επί της περιβάλλουσας που αντιστοιχεί στην γ m και ν το ανηγµένο θλιπτικό αξονικό φορτίο. V ' p a n ( γ p / γ y ) = V e (4.3.2.6) p a = 0.82 ν 0.14 0 (4.3.2.7) V n ' m [ α γ +α ( γ / γ )] n cyc c m y = V e (4.3.2.8) m α γ 0. 014 γ γ m = (4.3.2.9) y α c = 0.01 n cyc (4.3.2.10) Η παράµετρος n cyc είναι ένας µετρητής ο οποίος λαµβάνει υπόψη τον αριθµό των διαδοχικών κύκλων φόρτισης σε µια κατεύθυνση µέχρι την τρέχουσα µέγιστη παραµόρφωση γ m. Μέχρι την πρώτη αποφόρτιση από το τρέχον µέγιστο σηµείο ο n cyc ισούται µε 1. Ο n cyc αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά που η επαναφόρτιση φτάνει µέχρι το εύρος µετακινήσεων [γ m -γ cr, γ m ]. Όταν η τρέχουσα µετακίνηση υπερβαίνει αυτό το εύρος, τότε ορίζεται εκ νέου η γ m και ο n cyc τίθεται πάλι ίσος µε τη µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι οι µικροί κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης επαναφόρτισης δεν -127-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά επηρεάζουν την τιµή του n cyc. Σηµειώνεται, τέλος, ότι ο n cyc λαµβάνει 2 διαφορετικές τιµές ανάλογα µε την διεύθυνση της φόρτισης. Οι προηγούµενοι κανόνες υστερητικής συµπεριφοράς έχουν ενσωµατωθεί και στον προτεινόµενο διατµητικό βρόχο µε τις ακόλουθες τροποποιήσεις: Ο πρώτος κλάδος της επαναφόρτισης θα τείνει σε εκείνο το σηµείο του ελαστικού κλάδου που έχει τεταγµένη ±V cr, όταν δεν έχει γίνει υπέρβαση της τέµνουσας που αντιστοιχεί στο σηµείο καµπτο-διατµητικής διαρροής στο ίδιο τεταρτηµόριο και όχι µόνο όταν δεν έχει γίνει υπέρβαση της αντίστοιχης τέµνουσας ρηγµάτωσης, όπως προτείνουν οι Ozcebe & Saatcioglu. Η διαφοροποίηση αυτή γίνεται κυρίως για να αποφευχθούν φαινόµενα αριθµητικής αστάθειας κατά την ενσωµάτωση του διατµητικού βρόχου στον βασικό βρόχο υστέρησης. Η πρόταση αυτή βρίσκεται σε συµφωνία µε το µοντέλο Fardis (1991). Το µοντέλο Ozcebe και Saatcioglu (1989), αν και πολύ λεπτοµερές, βασίστηκε σε σχετικά µικρό αριθµό πειραµάτων. Έτσι, οι αντίστοιχες εµπειρικές σχέσεις έχουν προκύψει, όπως προαναφέρθηκε, για δύο µόνο στάθµες αξονικής δύναµης (ν=0.0 και ν=0.11) και για πλαστιµότητες διατµητικών παραµορφώσεων µικρότερες του 9. Εκτός αυτού του εύρους τιµών η µείωση του V p σε σχέση µε το V p µπορεί να είναι πολύ µεγάλη και το πρώτο να βρεθεί κάτω από τη στάθµη της τέµνουσας ρηγµάτωσης. Με βάση τους κανόνες που έχουν αναφερθεί µέχρι τώρα, σε αυτήν την περίπτωση αναπτύσσεται αρνητική κλίση στον δεύτερο κλάδο της επαναφόρτισης (Σχήµα 4.20α). Αλλά και στην περίπτωση που δεν αναπτύσσεται αρνητική κλίση στον δεύτερο κλάδο της επαναφόρτισης, είναι δυνατόν η κλίση του κλάδου αυτού να είναι µεγαλύτερη από την κλίση του επόµενου κλάδου αποφόρτισης (Σχήµα 4.20β). Με τον τρόπο αυτόν προκύπτει αρνητική υστερητική ενέργεια (βλ. και Thom 1983) που δεν έχει φυσικό νόηµα. Για τον εξορθολογισµό των φαινοµένων που φαίνονται στο Σχήµα (4.20) θα πρέπει η κλίση του δεύτερου κλάδου επαναφόρτισης να είναι αφενός θετική και αφετέρου µικρότερη ή το πολύ ίση µε την κλίση του αντίστοιχου κλάδου αποφόρτισης. Επειδή, όπως φαίνεται και από την Εξίσωση (4.3.2.5), η κλίση του κλάδου αποφόρτισης πάνω από τη στάθµη της τέµνουσας ρηγµάτωσης εξαρτάται από τη στάθµη της δύναµης που αντιστοιχεί στο σηµείο κορυφής, και µάλιστα όσο µειώνεται αυτή η δύναµη τόσο µειώνεται και η κλίση του κλάδου αποφόρτισης, και επειδή σε ενδεχόµενο πρόωρης αποφόρτισης η στάθµη της τέµνουσας του σηµείου κορυφής V P θα είναι χαµηλότερη από τη µέγιστη αναπτυσσόµενη τέµνουσα V m, προτείνεται στο παρόν µοντέλο η µέγιστη επιτρεπόµενη παραµόρφωση του πέρατος του πρώτου κλάδου επαναφόρτισης να ορίζεται από τις Εξισώσεις (4.3.2.11-12). γ=γ m -k s un,min (V m -V cr ) (4.3.2.11) k s un,min =0.6k s 2 (1-0.07γ m /γ y ) (4.3.2.12) Χρησιµοποιείται δηλαδή η Εξίσωση (4.3.2.3) για γ=γ m που δίνει και τη µικρότερη δυνατή τιµή της δυστµησίας όλων των κλάδων αποφόρτισης για δεδοµένη µέγιστη παραµόρφωση γ m. -128-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά V V m V V m V y V y P V cr P V cr γ γ γ m γ m Σχήµα 4.20: Περιπτώσεις αριθµητικής αστάθειας κατά την επαναφόρτιση του υστερητικού µοντέλου των Ozcebe & Saatcioglu (1989): α) Αρνητική κλίση δεύτερου κλάδου επαναφόρτισης, β) αρνητική υστερητική ενέργεια. Για την υπολογιστική υλοποίηση των προτεινόµενων κανόνων αναφορικά µε τη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων του διατµητικού βρόχου στον βασικό βρόχο υστέρησης, ορίζονται αρχικά δύο νέα σηµεία (22 και 23) στο πρώτο και τέταρτο τεταρτηµόριο αντίστοιχα, τα οποία έχουν τις συντεταγµένες του βοηθητικού σηµείου P για τις δύο διευθύνσεις επαναφόρτισης. Στη συνέχεια, τα σηµεία ελέγχου 13 και 14 που αποτελούν το πέρας των πρώτων κλάδων επαναφόρτισης του βασικού βρόχου υστέρησης ορίζονται µε νέο τρόπο, ως τα σηµεία τοµής των ευθειών που ενώνουν τα σηµεία 9 µε 23 και 10 µε 22 µε εκείνες τις ευθείες που είναι παράλληλες προς τον άξονα των παραµορφώσεων και έχουν τεταγµένες +V cr και V cr αντίστοιχα. Η τετµηµένη των σηµείων τοµής δεν θα πρέπει να υπερβαίνει την τιµή που δίνεται από τις Εξισώσεις (4.3.2.11-12). -129-

4. ιατµητική Υστερητική Συµπεριφορά -130-

Κεφάλαιο 5 ο 5 Αναλυτικό µοντέλο προσοµοίωσης υστερητικής συµπεριφοράς σε ολίσθηση -131-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά 5.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο αναπτύσσεται το αναλυτικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς από ολίσθηση της αγκύρωσης. Η ολισθητική συµπεριφορά εξετάζεται σε όρους ροπής (Μ) στροφής λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης (θ slip ). Αρχικά περιγράφεται ο τρόπος προσδιορισµού της περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip για την περίπτωση των ευθύγραµµων αγκυρώσεων σε εξωτερικούς κόµβους, των αγκυρώσεων µε άγκιστρα σε εξωτερικούς κόµβους και τις ευθύγραµµες αγκυρώσεις σε εσωτερικούς κόµβους. Με βάση την περιβάλλουσα καµπύλη Μ-θ slip αναπτύσσεται στη συνέχεια ένα πλήρες σύνολο φαινοµενολογικών κανόνων υστερητικής συµπεριφοράς που περιγράφουν την απόκριση από ολίσθηση της αγκύρωσης στην περίπτωση της ανακυκλιζόµενης φόρτισης. 5.2 Περιβάλλουσα Μ-θ slip 5.2.1 Εισαγωγή Το µοντέλο που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή για την εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip ανήκει στην κατηγορία των µοντέλων που κάνουν την παραδοχή σταθερής και δεδοµένης κατανοµής της συνάφειας κατά µήκος της αγκυρούµενης ράβδου (Morita & Kaku 1984, Alsiwat & Saatcioglu 1992, Lehman & Moehle 1998, Lowes & Altoontash 2003, Sezen & Setzler 2008). Τα µοντέλα αυτά συνδυάζουν την αξιόπιστη πρόβλεψη της περιβάλλουσας σχέσης Μ-θ slip µε την υπολογιστική απλότητα που τα καθιστά πολύτιµα εργαλεία στην αποτίµηση σύνθετων υφιστάµενων κατασκευών. Ως αφετηρία χρησιµοποιείται το αναλυτικό µοντέλο των Alsiwat & Saatcioglu (1992), ωστόσο, προτείνεται µια σειρά αλλαγών και βελτιώσεων που στοχεύουν στην αύξηση της αξιοπιστίας της µεθόδου µε µικρό αντίκτυπο στην αύξηση του υπολογιστικού κόστους. Επιπρόσθετα, δίνεται έµφαση στο ζήτηµα των ανεπαρκών αγκυρώσεων και στην αστοχία από ολίσθηση της αγκύρωσης που δεν µπορούν να αποκλειστούν στην περίπτωση των κατασκευών µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση. Τέλος, γίνεται επέκταση της µεθόδου και στην περίπτωση των λείων ράβδων που χρησιµοποιήθηκαν στις περισσότερες κατασκευές Ο/Σ πριν την εισαγωγή των σύγχρονων αντισεισµικών κανονισµών. Στις επόµενες παραγράφους παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισµού της περιβάλλουσας Μ-θ slip για την περίπτωση των ευθύγραµµων ράβδων που αγκυρώνονται σε εξωτερικούς κόµβους, τις ράβδους µε άγκιστρα που αγκυρώνονται σε εξωτερικούς κόµβους και τις ευθύγραµµες ράβδους που διέρχονται από εσωτερικούς κόµβους. Πριν από αυτό, όµως, κρίνεται απαραίτητο να τεθούν οι βάσεις του προβλήµατος της συνάφειας ράβδων χάλυβα-σκυροδέµατος σε συνθήκες µονότονης φόρτισης. -132-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά 5.2.2 Συνάφεια Χάλυβα-Σκυροδέµατος 5.2.2.1 Καταστατικές Εξισώσεις της Συνεργασίας Χάλυβα-Σκυροδέµατος Στη συνέχεια γίνεται µια σύντοµη περιγραφή των καταστατικών εξισώσεων της συνεργασίας χάλυβα-σκυροδέµατος. Στο Σχήµα (5.1α) φαίνονται οι δυνάµεις που ασκούνται σε ένα απειροστό στοιχείο ράβδου από χάλυβα, η οποία περιβάλλεται από σκυρόδεµα (Penelis & Kappos 1996). Από τη συνθήκη ισορροπίας των δυνάµεων προκύπτει η Εξίσωση (5.2.2.1), όπου A sb και u είναι το εµβαδόν και η περίµετρος της ράβδου όπλισης και τ b είναι η αναπτυσσόµενη τάση συνάφειας. Α dσ = u τ dx (5.2.2.1) sb s b Για την τυπική περίπτωση της κυκλικής ράβδου, διαµέτρου d b, η προηγούµενη εξίσωση µετατρέπεται στην dσ s 4 = τ b (5.2.2.2) dx d b Από τη Σχέση (5.2.2.2) γίνεται φανερό ότι η τάση συνάφειας είναι µηδενική στις περιοχές όπου δεν υπάρχει µεταβολή της τάσης του οπλισµού, ενώ παρουσιάζει τις µέγιστες τιµές της στα σηµεία απότοµης µεταβολής της τάσης σ s. Στο Σχήµα (5.1β) φαίνονται οι µετακινήσεις της ράβδου bs και του περιβάλλοντος σκυροδέµατος cs στο απειροστό στοιχείο, καθώς και η αντίστοιχη σχετική ολίσθηση των δύο υλικών s b. Από τη γεωµετρία του σχήµατος είναι προφανές ότι s b = bs - cs και ds b =d bs -d cs, οπότε προκύπτει η Εξίσωση (5.2.2.3). dsb d bs d cs = (5.2.2.3) dx dx dx Αλλά οι όροι στο δεύτερο µέλος της Εξίσωσης (5.2.2.3) είναι, εξ ορισµού, οι ανηγµένες αξονικές παραµορφώσεις του χάλυβα ε s και του σκυροδέµατος ε c. Εποµένως, η συγκεκριµένη σχέση γίνεται: dsb = ε s ε c (5.2.2.4) dx Η τάση συνάφειας εξαρτάται από την τιµή της σχετικής ολίσθησης s b. Ισχύει, δηλαδή, η γενική Εξίσωση (5.2.2.5). Οµοίως, η τάση σ s καθορίζεται από την παραµόρφωση ε s µε βάση τον καταστατικό νόµο του χάλυβα της γενικής Εξίσωσης (5.2.2.6). τ b = τ b (s b ) (5.2.2.5) σ s =σ s (ε s ) (5.2.2.6) Οι Σχέσεις (5.2.2.1-6) αποτελούν τις καταστατικές εξισώσεις του προβλήµατος της συνάφειας. Κατά κανόνα αγνοείται η παραµόρφωση του σκυροδέµατος στην Εξίσωση (5.2.2.4), ως αµελητέα. Στην επόµενη παράγραφο θα εξεταστεί η µορφή της βασικής Σχέσης (5.2.2.5) ανάµεσα στην τοπική συνάφεια τ b, δηλαδή την τάση συνάφειας σε απειροστό στοιχείο (στην πράξη εκείνο που µπορεί να µετρηθεί είναι η µέση τάση συνάφειας σε ένα µικρό µήκος της τάξης των 3d b ως 5d b ) και τη σχετική ολίσθηση s b. -133-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά τ b cs cs +d cs σ s σ s +dσ s bs bs +d bs τ b dx s b s b +ds b dx (α) (β) Σχήµα 5.1: Συνάφεια χάλυβα-σκυροδέµατος, α) Τάσεις χάλυβα και σκυροδέµατος, β) Μετακινήσεις και ολισθήσεις σε απειροστό στοιχείο Ο/Σ. 5.2.2.2 Καταστατικός Νόµος Τοπικής Συνάφειας-Ολίσθησης Στη παρούσα διατριβή υιοθετείται ο καταστατικός νόµος τοπικής συνάφειαςολίσθησης που προτείνεται από τον CEB (1993) Model Code. Ο νόµος αυτός έχει τη γενική µορφή που προτείνουν οι Eligehausen et al. (1983). Ωστόσο, προτείνονται βελτιωµένες εµπειρικές σχέσεις για τις επιµέρους παραµέτρους του, που προέκυψαν από βαθµονόµηση µε µεγαλύτερο αριθµό πειραµατικών αποτελεσµάτων. Η γενική µορφή του καταστατικού νόµου φαίνεται στο Σχήµα (5.2). Οι σχέσεις που προτείνονται για τον προσδιορισµό των επιµέρους παραµέτρων του καταστατικού νόµου δίνονται συνοπτικά στον Πίνακα (5.1) για την περίπτωση των ράβδων µε νευρώσεις. Ως ράβδοι µε νευρώσεις ορίζονται στον συγκεκριµένο κανονισµό οι χάλυβες µε ανηγµένη επιφάνεια προβολής των νευρώσεων α R την ελάχιστη που ορίζουν οι σύγχρονοι αντισεισµικοί κανονισµοί. Αναγνωρίζεται ότι για µεγαλύτερες τιµές της α R η τιµή της τ bu θα είναι µεγαλύτερη από αυτή που προκύπτει από τον συγκεκριµένο πίνακα και της αντίστοιχης ολίσθησης s b1 µικρότερη, ωστόσο η επίδραση αυτή αγνοείται. Πίνακας 5.1: Τιµές παραµέτρων καταστατικού νόµου τοπικής συνάφειας-ολίσθησης για νευροχάλυβες από τον CEB (1993) Model Code. Σκυρόδεµα Παράµετρος Απερίσφικτο Περισφιγµένο Συνθήκες Συνάφειας Καλές Κακές Καλές Κακές s b1 0.6mm 0.6mm 1.0mm s b2 0.6mm 0.6mm 3.0mm s b3 1.0mm 2.5mm Απόσταση νευρώσεων α sl 0.4 0.4 τ bu 2.0 f ck 1.0 f ck 2.5 f ck 1.25 f ck τ bf 0.15τ bu 0.40τ bu -134-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Τοπική συνάφεια τ bu τ b = τ bu (s b /s b1 ) α sl τ bf Ολίσθηση s b1 s b2 s b3 Σχήµα 5.2: Γενικός καταστατικός νόµος τοπικής συνάφειας-ολίσθησης από τον MC-90. Οι παράµετροι για το περισφιγµένο σκυρόδεµα ισχύουν, όταν η επικάλυψη του σκυροδέµατος είναι µεγαλύτερη του 5d b και η απόσταση µεταξύ των διαµήκων ράβδων είναι µεγαλύτερη από 10d b και όταν ασκείται εγκάρσια πίεση p t 7.5MPa (θλίψη) ή όταν υπάρχει ισχυρός εγκάρσιος οπλισµός κατά την έννοια του µήκους αγκύρωσης που ικανοποιεί τη συνθήκη ΣΑ sw n b A sb, όπου ΣΑ sw είναι το συνολικό εµβαδόν των συνδετήρων στο µήκος αγκύρωσης, n b είναι ο αριθµός των ράβδων που περικλείονται απο τους συνδετήρες και Α sb είναι η επιφάνεια της µίας ράβδου. Οι παράµετροι για το απερίσφικτο σκυρόδεµα ισχύουν, όταν η επικάλυψη του σκυροδέµατος είναι τουλάχιστον ίση µε 1d b και για εγκάρσιο διαθέσιµο οπλισµό ΣΑ sw =0.25 n b A sb. Όταν ισχύει 0.25 ΣΑ sw /(n b A sb ) 1.0 ή όταν είναι 0 p t 7.5MPa, τότε επιτρέπεται η γραµµική παρεµβολή µεταξύ των αντίστοιχων τιµών του πίνακα. Επιπλέον, επιτρέπεται η άθροιση της ευνοϊκής επίδρασης του εγκάρσιου οπλισµού και της εγκάρσιας θλιπτικής πίεσης. Αξίζει, τέλος, να σηµειωθεί ότι στα σχόλια του ίδιου κανονισµού αναγνωρίζεται το γεγονός ότι η διασπορά στα πειράµατα συνάφειας και σε αυτό το µοντέλο είναι σηµαντική και ο συντελεστής τυπικής απόκλισης µπορεί να φτάσει το 30%. Ένα µεγάλο µέρος των υφιστάµενων κατασκευών, της περιόδου πριν από τη δεκαετία του 1970, είναι οπλισµένες µε λείες διαµήκεις ράβδους. εδοµένου ότι οι λείες ράβδοι δεν εφαρµόζονται κατά κανόνα στις σύγχρονες αντισεισµικές κατασκευές, τα διαθέσιµα πειραµατικά δεδοµένα για τη συµπεριφορά τους σε όρους συνάφειαςολίσθησης είναι λιγοστά (Verderame et al. 2008a,b). Οι λείες ράβδοι δεν διαθέτουν νευρώσεις και συνεπώς δεν είναι ικανές να µεταφέρουν δυνάµεις συνάφειας µέσω της εµπλοκής των αδρανών. Στις λείες ράβδους, οι αναπτυσσόµενες δυνάµεις συνάφειας οφείλονται στη φυσικοχηµική πρόσφυση µεταξύ του σκυροδέµατος και της αγκυρούµενης ράβδου και κατά κύριο λόγο στο µηχανισµό τριβής που αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια της ράβδου µε το περιβάλλον σκυρόδεµα. Βασιζόµενος κατά κύριο λόγο στην εργασία του Rehm (1961), ο MC-90 προτείνει τις σχέσεις του Πίνακα (5.2) για τον καταστατικό νόµο τοπικής συνάφειας ολίσθησης -135-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά στην περίπτωση των λείων ράβδων. Η γενική µορφή του νόµου είναι όµοια µε τις ράβδους µε νευρώσεις (Σχήµα 5.2). Πίνακας 5.2: Τιµές παραµέτρων καταστατικού νόµου τοπικής συνάφειας-ολίσθησης για λείες ράβδους από τον CEB (1993) Model Code. Παράµετρος Συνθήκες Συνάφειας Καλές Κακές s b1 = s b2 = s b3 0.1mm α sl 0.5 τ bu= τ bf 0.3 f ck 0.15 f ck Είναι σαφές ότι ο MC-90 αναγνωρίζει µόνον τον µηχανισµό τριβής στην ανάπτυξη δυνάµεων συνάφειας µεταξύ λείων ράβδων και περιβάλλοντος σκυροδέµατος. Παρόλαυτα, πιο σύγχρονες πειραµατικές εργασίες (Feldman & Barlett 2005, Fabbrocino et al. 2005) δείχνουν ότι για πολύ µικρές τιµές της τοπικής ολίσθησης, η αναπτυσσόµενη συνάφεια µπορεί να είναι σηµαντικά µεγαλύτερη της συνάφειας από τριβή. Η πρόσθετη συνάφεια οφείλεται στη φυσικοχηµική πρόσφυση µεταξύ των ράβδων και του σκυροδέµατος. εδοµένου όµως ότι η πρόσθετη αυτή συνάφεια καταστρέφεται για πολύ µικρές της τοπικής ολίσθησης, είναι εξαιρετικά αµφίβολο κατά πόσο είναι δυνατόν να αναπτυχθεί σε υφιστάµενες, ήδη ρηγµατωµένες, κατασκευές από οπλισµένο σκυρόδεµα. Για τον λόγο αυτόν υιοθετείται και στην παρούσα διατριβή η πρόταση του MC-90 σχετικά µε τον καταστατικό νόµο τοπικής συνάφειας-ολίσθησης λείων ράβδων οπλισµένου σκυροδέµατος. 5.2.2.3 Μέση Αντοχή Συνάφειας Χάλυβα-Σκυροδέµατος στην Ελαστική Περιοχή Για την µέση αντοχή συνάφειας χάλυβα-σκυροδέµατος στην ελαστική περιοχή στην παρούσα διατριβή θα υιοθετηθεί ως αφετηρία η σχέση που προτείνεται από την ACI Committee 408 (2003), καθώς αυτή εφαρµόστηκε σε µια µεγάλη βάση δεδοµένων και έδωσε τα καλύτερα αποτελέσµατα σε σχέση µε τις υπόλοιπες. Επίσης, λαµβάνει υπόψη όλες τις παραµέτρους που επηρεάζουν τη µέση αντοχή συνάφειας χάλυβασκυροδέµατος, όπως αυτές αναλύθηκαν στην 2.6 της παρούσας διατριβής. Σηµειώνεται ότι θα εφαρµοστεί η σχέση που αναφέρεται στην µέση τιµή της συνάφειας αντοχής και όχι αυτή που αναφέρεται στην αντοχή συνάφειας σχεδιασµού. Η σχέση που προτείνεται από τη συγκεκριµένη επιτροπή βασίζεται στις αντίστοιχες παρατηρήσεις των Zuo & Darwin (2000), αλλά στηρίζεται σε µεγαλύτερη βάση δεδοµένων. Με βάση την προτεινόµενη µεθοδολογία, η τ be καθορίζεται από τη γενική Εξίσωση (5.2.2.7), όπου το απαιτούµενο µήκος αγκύρωσης l d, δίνεται από την εµπειρική Εξίσωση (5.2.2.8). τ = f y 1 be 4 l / d (5.2.2.7) ( ) d b -136-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά f y 57.6 1/4 ωc ψ t l f d c = db cb ωc+ K tr 1.83 db (5.2.2.8) Στην Εξίσωση (5.2.2.8) είναι: c = c + d (5.2.2.9) b min 0.5 min b cmax ω c = 0.1 + 0.9 1.25 (5.2.2.10) c Τα c min, c max ορίζονται αντίστοιχα, ως εξής: cmin = min ( cbb, cs) (5.2.2.11) ( bb s) ( ) cmax = max c, c (5.2.2.12) c = min c, c + 6.35mm (5.2.2.13) s so si Όπου, c bb είναι η καθαρή επικάλυψη του αγκυρούµενου οπλισµού από την εφελκυόµενη παρειά της διατοµής, c so είναι η επικάλυψη των πλευρικών παρειών της διατοµής και c si είναι το µισό της καθαρής απόστασης µεταξύ των αγκυρούµενων ράβδων. Για λόγους απλότητας µπορεί να θεωρείται ότι ω c =1.0 (Zuo & Darwin 2000), οπότε η Εξίσωση (5.2.2.8) απλουστεύεται στην Εξίσωση (5.2.2.14). f y 57.6 1/4 ψ t l f d c = (5.2.2.14) db cb + K tr 1.83 db Η παράµετρος Κ tr προσδιορίζεται από την Εξίσωση 6.35 t r t d A K tr tr = fc (5.2.2.15) nc s όπου A tr είναι η συνολική διατοµή του εγκάρσιου οπλισµού που βρίσκεται εντός του µήκους απόστασης των συνδετήρων s και διασχίζει το πιθανό επίπεδο διάρρηξης του αγκυρούµενου οπλισµού και n c είναι ο αριθµός των αγκυρούµενων ράβδων κατά µήκος του πιθανού επίπεδου διάρρηξης, ενώ t = 9.6 a + 0.28 1.72 (5.2.2.16) r t d R = 0.031 d + 0.22 (5.2.2.17) b Τέλος, ο συντελεστής ψ t εξαρτάται από τη θέση της αγκυρούµενης ράβδου και ισούται µε 1.3 για ράβδους οπλισµού τοποθετηµένες κατά τέτοιον τρόπο, ώστε πάνω από 300mm σκυροδέµατος να έχουν σκυροδετηθεί κάτω από το µήκος αγκύρωσης τους και µε 1.0 για όλες τις άλλες περιπτώσεις. Στην Εξίσωση (5.2.2.15) τίθεται άνω όριο στην ευνοϊκή επιρροή της περίσφιξης στην αντοχή συνάφειας από την ανίσωση cb + Ktr 4.0 (5.2.2.18) d b Ο περιορισµός αυτός εκφράζει το γεγονός ότι για καλά περισφιγµένες ράβδους, η αστοχία της αγκύρωσης θα προέλθει τελικά από εξόλκευση και όχι από διάρρηξη. -137-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Παρόλο που στη σχέση που προτείνεται από την ACI 408 (2003) Committee γίνεται ειδική πρόβλεψη για τη γεωµετρία της ράβδου µέσω της παραµέτρου α R, δεν γίνεται ειδική αναφορά για τον υπολογισµό της µέσης αντοχής συνάφειας των λείων ράβδων όπλισης. Σε αυτήν την περίπτωση είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η αντίστοιχη σχέση που ορίζει ο CEB (1993) Model Code, χωρίς τον συντελεστή ασφαλείας γ c =1.5 που εισάγεται για τους σκοπούς του σχεδιασµού νέων κατασκευών. Με βάση τον συγκεκριµένο κανονισµό, η µέση αντοχή συνάφειας των λείων ράβδων όπλισης θα ορίζεται από την Εξίσωση: 2/3 2/3 τ = η η f 0.7 0.3 η η f = 0.21 η η f (5.2.2.19) be 2 3 ctk,0.05 2 3 ck 2 3 ck Στην Εξίσωση (5.2.2.19), η 2 είναι ο συντελεστής θέσης της ράβδου (=0.7 για ράβδους οπλισµού τοποθετηµένες κατά τέτοιο τρόπο, ώστε πάνω από 300mm σκυροδέµατος να έχουν σκυροδετηθεί κάτω από το µήκος αγκύρωσής τους, =1.0 για όλες τις άλλες περιπτώσεις) και η 3 είναι ο συντελεστής διαµέτρου της ράβδου, ο οποίος στη συνήθη περίπτωση όπου ισχύει d b 32mm λαµβάνεται ίσος µε 1.0. Στον ίδιο κανονισµό γίνεται πρόβλεψη για την ευνοϊκή επιρροή της περίσφιξης στη µέση αντοχή συνάφειας µε τον πολλαπλασιασµό του απαιτούµενου µήκους αγκύρωσης µε τους µειωτικούς συντελεστές α 3, α 4 και α 5, όπου: α 3 είναι συντελεστής που λαµβάνει υπόψη την επιρροή της περίσφιξης από την επικάλυψη του σκυροδέµατος και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.2.20), όπου c d είναι η ελάχιστη τιµή της καθαρής πλευρικής επικάλυψης, της επικάλυψης στην εφελκυόµενη πλευρά της διατοµής και του µισού της καθαρής απόστασης µεταξύ των αγκυρούµενων ράβδων, που βρίσκονται στο ίδιο πιθανό επίπεδο διάρρηξης. c 0.7 d db α3 = 1 0.15 (5.2.2.20) db 1.0 α 4 είναι συντελεστής που λαµβάνει υπόψη την επιρροή της περίσφιξης από τον εγκάρσιο οπλισµό και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.2.21), όπου t sw είναι παράµετρος που εξαρτάται από τον εγκάρσιο οπλισµό στην αγκύρωση και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.2.22) και Κ loc είναι συντελεστής που λαµβάνει τις τιµές 0, 0.05 και 0.10 ανάλογα τη θέση της αγκυρούµενης ράβδου. 0.7 α4 = 1 Kloc tsw (5.2.2.21) 1.0 t = ΣA 0.25 A / A (5.2.2.22) ( ) sw w sb sb α 5 είναι συντελεστής που λαµβάνει υπόψη την επιρροή της περίσφιξης λόγω εγκάρσιας πίεσης p t που ασκείται κατά την έννοια του µήκους αγκύρωσης και κάθετα στο επίπεδο διάρρηξης και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.2.23). 0.7 α5 = 1 0.04 p t (5.2.2.23) 1.0 Σε κάθε περίπτωση, για την ευνοϊκή επιρροή της περίσφιξης, θα πρέπει να ισχύει και η Ανίσωση (5.2.2.24): α3 α4 α5 0.7 (5.2.2.24) Λαµβάνοντας υπόψη την ευνοϊκή δράση της περίσφιξης, όπως αυτή καθορίζεται από τις Εξισώσεις (5.2.2.20-24), η µέση αντοχή συνάφειας τ be µπορεί να θεωρηθεί ότι δίνεται πλέον από την Εξίσωση (5.2.2.25): -138-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά τ be 0.21 η2 η3 fck = α α α 3 4 5 2/3 (5.2.2.25) Μια βασική κατασκευαστική αδυναµία των υφιστάµενων κτιρίων που κατασκευάστηκαν πριν από την εφαρµογή των σύγχρονων αντισεισµικών διατάξεων είναι οι ανεπαρκείς αγκυρώσεις των διαµήκων ράβδων στην περιοχή των κόµβων (Καλογερόπουλος & Τσώνος 2008). Η αδυναµία αυτή παρατηρείται κατά κύριο λόγο στις αγκυρώσεις του θετικού οπλισµού των δοκών στις περιοχές των στηρίξεων, καθώς από την ανάλυση της κατασκευής υπό τα κατακόρυφα φορτία και µόνον δεν προέκυπτε τέτοιου είδους απαίτηση. Ως ανεπαρκές µήκος αγκύρωσης ορίζεται στην παρούσα διατριβή το µήκος αγκύρωσης το οποίο δεν επαρκεί για την ανάπτυξη της τάσης διαρροής της αγκυρούµενης ράβδου. ηλαδή, ισχύει η Ανίσωση (5.2.2.26), όπου L avail είναι το διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης της ράβδου. f y db Lavail ld = (5.2.2.26) 4 τ Για τις ανεπαρκείς αγκυρώσεις, συνηθίζεται στην αποτίµηση των κατασκευών (ΚΑΝ.ΕΠΕ. 2009) να θεωρείται ότι υπάρχει αναλογική σχέση εξάρτησης ανάµεσα στο διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης και τη µέγιστη τάση που µπορεί να αναπτυχθεί στην αγκυρούµενη ράβδο σ su,sl. ηλαδή, γίνεται η παραδοχή ότι: 4 Lavail τ be σ su, sl = f y (5.2.2.27) d b Η παραδοχή αυτή έχει αποδειχτεί (ACI 408, Cho & Pincheira 2006) ότι είναι υπερβολικά συντηρητική. Το φαινόµενο αυτό οφείλεται στη φύση των τάσεων συνάφειας που είναι ανοµοιόµορφες κατά την έννοια του µήκους αγκύρωσης και ενεργοποιούνται περισσότερο στο φορτιζόµενο άκρο. Με αυτόν τον τρόπο, η µέση αντοχή συνάφειας προκύπτει µεγαλύτερη στα µικρά-ανεπαρκή µήκη αγκύρωσης. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα (ACI 408) δείχνουν ότι για τα ανεπαρκή µήκη αγκύρωσης, η συνολική δύναµη αντοχής της αγκύρωσης Τ d αυξάνεται γραµµικά µεν µε το διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης, αλλά δεν είναι αµιγώς ανάλογη αυτού. Έτσι, για την αποφυγή συντηρητικών αποτελεσµάτων, που µπορεί να οδηγήσουν σε δαπανηρές λύσεις ενίσχυσης των υφιστάµενων κατασκευών, προτείνεται στην παρούσα διατριβή η ακόλουθη διαδικασία για τον προσδιορισµό της δύναµης αντοχής των ανεπαρκών αγκυρώσεων. Όταν το διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης είναι ίσο µε 5d b (µήκος αγκύρωσης των κλασσικών δοκιµών εξόλκευσης), τότε η Τ d θα καθορίζεται από την Εξίσωση (5.2.2.28) που κάνει την παραδοχή οµοιόµορφης και σταθερής συνάφειας τ bu σε ολόκληρη την περίµετρο της ράβδου. Στη συγκεκριµένης εξίσωση, η τοπική αντοχή συνάφειας τ bu θα προσδιορίζεται από τους Πίνακες (5.1) και (5.2) της 5.2.2.2. Όταν το διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης γίνεται ίσο µε το l d, όπως αυτό καθορίζεται στην Εξίσωση (5.2.2.26), τότε η µέση αντοχή συνάφειας στο µήκος αγκύρωσης µπορεί να θεωρηθεί ίση µε τ be και ισχύει η Εξίσωση (5.2.2.29). Για τα ενδιάµεσα µήκη αγκύρωσης, για τον προσδιορισµό της αντοχής Τ d θα πρέπει να γίνεται γραµµική παρεµβολή ανάµεσα στις T d1 και Τ d2, όπως φαίνεται στο Σχήµα (5.3). Σε κάθε περίπτωση, η Τ d συνδέεται µε τη µέγιστη τάση σ su,sl που µπορεί να αναπτυχθεί στο φορτιζόµενο άκρο µέσω της Εξίσωσης (5.2.2.30). be -139-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά T = d u τ (5.2.2.28) d1 5 b bu T = l u τ (5.2.2.29) d 2 d be T d σ su, sl = (5.2.2.30) Asb T d Τ d2 T d Τ d1 Προτεινόµενη µέθοδος Γραµµική παραδοχή L avail 5d b L avail l d Σχήµα 5.3: Προτεινόµενος προσδιορισµός δύναµης αντοχής Τ d ανεπαρκούς αγκύρωσης 5.2.3 Ευθύγραµµες Ράβδοι Αγκυρούµενες σε Εξωτερικούς Κόµβους Σε αυτήν την παράγραφο παρατίθεται ο τρόπος εξαγωγής της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή για την περίπτωση των ράβδων που αγκυρώνονται ευθύγραµµα σε εξωτερικούς κόµβους οπλισµένου σκυροδέµατος. Όπως αναφέρθηκε και στην 5.2.1, η µεθοδολογία που ακολουθείται έχει ως αφετηρία της το αναλυτικό µοντέλο των Alsiwat & Saatcioglu (1992), ενώ προτείνονται και µια σειρά τροποποιήσεων-βελτιώσεων του συγκεκριµένου µοντέλου. Μια χαλύβδινη ράβδος υπό εφελκυσµό που αγκυρώνεται ευθύγραµµα σε έναν εξωτερικό κόµβο µπορεί να βρίσκεται εν µέρει στην ελαστική και εν µέρει στην ανελαστική περιοχή, όπως έχει καταγραφεί και πειραµατικά (Viwathanatepa et al. 1979). Η ανελαστική ζώνη της ράβδου µπορεί να θεωρηθεί µε τη σειρά της ότι διαιρείται σε τρεις υποπεριοχές. Αυτές είναι ο κώνος εξόλκευσης, η υποπεριοχή του οριζόντιου κλάδου ( πλατό ) διαρροής και η ζώνη της κράτυνσης του χάλυβα. Οι επιµέρους ζώνες της ράβδου φαίνονται στο Σχήµα (5.4). Στη συνέχεια ακολουθεί αναλυτική περιγραφή της κάθε περιοχής ξεχωριστά. Ελαστική περιοχή: Αυτό είναι το τµήµα της ράβδου, όπου η τάση της παραµένει µικρότερη της τάσης διαρροής. Εντός της ελαστικής περιοχής γίνεται η παραδοχή στην παρούσα διατριβή ότι η τάση συνάφειας που αναπτύσσεται είναι οµοιόµορφη και ίση µε την µέση αντοχή συνάφειας τ be της 5.2.2.3. Αντίστοιχη παραδοχή έχει γίνει και στο αναλυτικό µοντέλο των Alsiwat & Saatcioglu (1992). Αφού η τάση συνάφειας της ελαστικής περιοχής είναι γνωστή, τότε µε ευκολία προσδιορίζεται το µήκος της ελαστικής ζώνης L e από την Εξίσωση (5.2.3.1). f y db Le = (5.2.3.1) 4τ be -140-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Περιοχή του πλατό διαρροής: Η περιοχή αυτή αποτελεί το τµήµα εκείνο της ράβδου στο οποίο η τάση του χάλυβα είναι περίπου σταθερή και ίση µε την τάση διαρροής. Επειδή η διαρροή του οπλισµού είναι ένα έντονα τοπικό φαινόµενο, το µήκος αυτής της περιοχής µορφώνει µόνο ένα πολύ µικρό κοµµάτι του συνόλου της αγκυρούµενης ράβδου. Στην πραγµατικότητα η περιοχή του πλατό διαρροής είναι πολύ δύσκολο να διατηρηθεί κατά τη διάρκεια πειραµάτων που ελέγχονται απο τις δυνάµεις (force controlled). Μια µικρή αύξηση στην τάση του χάλυβα είναι αρκετή για να φέρει τον οπλισµό στην περιοχή της κράτυνσης. Παρόλαυτα, σε πειράµατα που ελέγχονται από τις µετακινήσεις (displacement-controlled) η παραµόρφωση στην περιοχή του πλατό διαρροής είναι δυνατόν να επιτευχθεί. Το µήκος της ζώνης του πλατό διαρροής καθορίζεται από το µοντέλο του χάλυβα που υιοθετείται στην ανάλυση. Στην παρούσα διατριβή υιοθετείται το µοντέλο των Park & Sampson (1972), όπως έχει αναφερθεί και στο Κεφάλαιο 3 της παρούσας διατριβής. Στο µοντέλο αυτό, η τάση του χάλυβα στην αρχή και το πέρας της περιοχής του πλατό διαρροής είναι σταθερή και ίση µε την τάση διαρροής. Εφαρµόζοντας την ισορροπία των δυνάµεων προκύπτει ότι το µήκος της συγκεκριµένης περιοχής είναι ίσο µε το µηδέν. Η παραδοχή αυτή συνεπάγεται ένα απότοµο άλµα στο διάγραµµα των παραµορφώσεων στο µήκος αγκύρωσης της ράβδου, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (5.4). Περιοχή κράτυνσης: Αυτή είναι η περιοχή όπου η ράβδος εντείνεται στη ζώνη κράτυνσης του χάλυβα. Η ράβδος σε αυτήν την περιοχή έχει κατά πολύ ξεπεράσει την παραµόρφωση διαρροής και αναµένονται µεγάλες τοπικές µετακινήσεις που θα οδηγήσουν στη διαρροή των δοντιών του σκυροδέµατος µεταξύ των νευρώσεων της ράβδου. Συνεπώς, είναι λογικό να χρησιµοποιηθεί σε αυτήν την περιοχή η (παραµένουσα) τάση συνάφειας λόγω τριβής, τ bf, ανάµεσα στη ράβδο και το σκυρόδεµα. Η παραδοχή αυτή βρίσκεται σε συµφωνία µε το µοντέλο των Alsiwat & Saatcioglu (1992). Από την εφαρµογή της ισορροπίας των δυνάµεων κατά µήκος της ράβδου προκύπτει το µήκος της συγκεκριµένης ζώνης L sh από την Εξίσωση (5.2.3.2), όπου σ s είναι η διαφορά της τάσης της ράβδου στο φορτιζόµενο άκρο σ s και της τάσης διαρροής f y. Ο προσδιορισµός της τ bf γίνεται κατά τα γνωστά από την 5.2.2.2. σ s db Lsh = (5.2.3.2) 4τ b f Περιοχή κώνου εξόλκευσης: Ο κώνος εξόλκευσης δηµιουργείται, όταν η επικάλυψη του σκυροδέµατος στο φορτιζόµενο άκρο της αγκυρούµενης ράβδου αστοχεί σε εφελκυσµό, προκαλώντας µια ζώνη σταθερής τάσης και παραµόρφωσης κατά µήκος της ράβδου. Αυτή η περιοχή εκτείνεται σε µήκος ίσο µε την επικάλυψη του στοιχείου Ο/Σ στο οποίο υλοποιείται η αγκύρωση της ράβδου L pc. Ο κώνος εξόλκευσης λαµβάνει χώρα κατά κανόνα κατά τη διαρροή του αγκυρούµενου οπλισµού. Είναι, επίσης, δυνατόν να αναπτυχθεί, όταν η τάση συνάφειας φτάσει µια κρίσιµη τιµή πριν τη διαρροή της ράβδου. Παρόλ αυτά, στις περισσότερες των περιπτώσεων, η δηµιουργία του κώνου εξόλκευσης πριν τη διαρροή της ράβδου δεν οδηγεί σε σηµαντικές ανακρίβειες στον υπολογισµό της συνολικής επιµήκυνσης της ράβδου (Alsiwat & Saatcioglu 1992). Ο κώνος εξόλκευσης δεν σχηµατίζεται όταν η εν δυνάµει περιοχή ανάπτυξής του είναι οπλισµένη µε επαρκή εγκάρσιο οπλισµό. Αυτό µπορεί να συµβεί στην περίπτωση -141-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά της αγκύρωσης των υποστυλωµάτων, όπου ο εγκάρσιος οπλισµός είναι δυνατόν να συνεχίζεται εντός του κόµβου και να ενισχύει την πιθανή περιοχή ανάπτυξης του κώνου εξόλκευσης. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο κώνος εξόλκευσης του Σχήµατος (5.4) δεν θα πρέπει να συµπεριλαµβάνεται στους υπολογισµούς (Alsiwat & Saatcioglu 1992). Το µήκος της κάθε περιοχής που προσδιορίστηκε παραπάνω είναι απαραίτητο για την εξαγωγή του διαγράµµατος των παραµορφώσεων κατά µήκος της ράβδου. Στη συνέχεια, η ολίσθηση στο άκρο της ράβδου µπορεί να προκύψει από ολοκλήρωση του διαγράµµατος των παραµορφώσεων στο µήκος αγκύρωσης. Υπενθυµίζεται ότι αγνοείται, ως αµελητέα, η ανηγµένη παραµόρφωση του σκυροδέµατος ε c της Εξίσωσης (5.2.2.4). α) F s σ s f y β) ε s ε sh ε y γ) δ) τ be τ bf L e L sh L pc L e Σχήµα 5.4: Ευθύγραµµη ράβδος οπλισµού αγκυρούµενη σε εξωτερικό κόµβο, α) Κατανοµή τάσεων της ράβδου, β) Κατανοµή παραµορφώσεων της ράβδου, γ) Κατανοµή τάσεων συνάφειας. -142-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Σε όλα τα αντίστοιχα µοντέλα που έχουν αναπτυχθεί ως τώρα για την εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip (Alsiwat & Saatcioglu 1992, Lehman & Moehle 1998, Lowes & Altoontash 2003, Sezen & Setzler 2008) γίνεται η παραδοχή ότι οι παραµορφώσεις µεταβάλλονται γραµµικά στην περιοχή κράτυνσης της ράβδου (διακεκοµµένη γραµµή στο Σχήµα 5.4). Με βάση αυτή την παραδοχή προκύπτει ότι η συνολική επιµήκυνση της ράβδου (εµβαδόν διαγράµµατος παραµορφώσεων) δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.3). s = ε L + 0.5 ε + ε L + 0.5 ε L (5.2.3.3) ( ) slip s pc s sh sh y e Η παραδοχή γραµµικής κατανοµής των παραµορφώσεων στην περιοχή της κράτυνσης της ράβδου είναι ισοδύναµη µε την παραδοχή γραµµικού νόµου κράτυνσης του χάλυβα εξαιτίας της παραδοχής σταθερής και οµοιόµορφης τάσης συνάφειας στη συγκεκριµένη ζώνη. Στην πραγµατικότητα, ωστόσο, ο νόµος κράτυνσης του χάλυβα όπλισης είναι µη-γραµµικός. Στην παρούσα διατριβή λαµβάνεται υπόψη η µηγραµµικότητα του νόµου κράτυνσης του χάλυβα στην ολίσθηση της αγκύρωσης µε βάση το µοντέλο των Park & Sampson (1972). Η µεθοδολογία που εφαρµόζεται για αυτόν τον σκοπό είναι η εξής: Αρχικά, διαιρείται το µήκος της ζώνης κράτυνσης σε n sh ίσα τµήµατα. Η θέση του πέρατος x k κάθε τµήµατος k θα δίνεται από την σχέση Lsh xk = xk 1+ (5.2.3.4) n Η τάση της ράβδου σ s (x k ) που αντιστοιχεί στη θέση x k προκύπτει εύκολα από την Εξίσωση (5.2.3.5) από την παραδοχή οµοιόµορφης συνάφειας στη συγκεκριµένη ζώνη. 4τ b f σ s ( xk ) = σ s xk (5.2.3.5) d Από την τάση σ s (x k ) και τον καταστατικό νόµο των Park & Sampson (1972) προκύπτει η αντίστοιχη τιµή της παραµόρφωσης της ράβδου στην ίδια θέση ε s (x k ). Στην οριακή κατάσταση, όπου x k =L sh θα είναι ε s (x k )=ε sh. Τέλος, η επιµήκυνση που αντιστοιχεί στη περιοχή κράτυνσης της ράβδου s sh slip µπορεί να προκύψει από την αριθµητική ολοκλήρωση των παραµορφώσεων ε s (x k ) στο µήκος από 0 µέχρι L sh µε βάση την σχέση n sh sh L ( ε s ( xk ) + ε s ( xk 1) sh ) sslip = (5.2.3.6) n 2 sh k= 1 Η µεθοδολογία που αναπτύχθηκε παραπάνω ελέγχεται στη συνέχεια για τις εξής χαρακτηριστικές τιµές των εµπλεκοµένων µεγεθών που ακολουθούν. f y =550MPa, f u =660MPa, d b =25mm, ε sh =0.01, ε su =0.15, u f =4MPa Στο Σχήµα (5.5) γίνεται σύγκριση των επιµηκύνσεων της ράβδου στη ζώνη κράτυνσης για όλες τις τιµές της µέγιστης ανελαστικής τάσης σ s στο άκρο της ράβδου (µεταξύ f y και f u ) για γραµµική και µη γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων στο ανελαστικό τµήµα της L sh. Από το συγκεκριµένο σχήµα προκύπτει ότι µέχρι κάποια τιµή της σ s οι επιµηκύνσεις που προκύπτουν από τις δύο κατανοµές είναι περίπου οι ίδιες. Καθώς αυξάνει όµως η σ s, οι αντίστοιχες τιµές των επιµηκύνσεων αρχίζουν να διαφέρουν σηµαντικά. Στην ακραία περίπτωση, όπου σ s =f u, η επιµήκυνση που προκύπτει από τη µη-γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων είναι περίπου ίση µε το sh b -143-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά 45% της αντίστοιχης που προκύπτει από τη γραµµική κατανοµή. εδοµένου ότι η επιµήκυνση του ανελαστικού τµήµατος s sh slip είναι πολύ πιθανόν να αποτελέσει το µέγιστο κοµµάτι της συνολικής ολίσθησης της ράβδου, καθίσταται σαφές το γεγονός ότι στις αναλύσεις θα πρέπει να λαµβάνεται υπόψη η µη γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων κατά µήκος του ανελαστικού τµήµατος της ράβδου. Με βάση την προτεινόµενη µεθοδολογία, ο υπολογισµός της ολίσθησης της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.7), όπου η s sh slip ορίζεται από την Εξίσωση (5.2.3.6). sh s = ε L + s + 0.5 ε L (5.2.3.7) slip s pc slip y e Αφού προσδιοριστεί η συνολική ολίσθηση της αγκύρωσης, η αντίστοιχη στροφή θ slip µπορεί να υπολογιστεί µε τη διαίρεση της συνολικής µετακίνησης s slip µε την απόσταση ανάµεσα στη ράβδο και τη θέση του ουδέτερου άξονα (d-x). θ = sslip slip d x (5.2.3.8) 14 12 Elongation (mm) sslip sh (mm) 10 8 6 4 2 Παραβολική Γραµµική Parabolic Linear 0 540 560 580 600 620 640 660 σfs s (MPa) Σχήµα 5.5: Επιµήκυνση του ανελαστικού τµήµατος αγκύρωσης της ράβδου για γραµµική και µη-γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων. Οι προηγούµενες παρατηρήσεις και διαπιστώσεις οργανώνονται στη συνέχεια µε συστηµατικό τρόπο προκειµένου να χρησιµοποιηθούν για την εξαγωγή της περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip. Αρχικά για τον προσδιορισµό της σχέσης Μ-θ slip απαιτούνται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης ροπών καµπυλοτήτων Μ-φ της κρίσιµης-ακραίας διατοµής του στοιχείου Ο/Σ. Με βάση τα αποτελέσµατα αυτής της ανάλυσης προκύπτουν τα αντίστοιχα µητρώα τάσεων και παραµορφώσεων της ακραίας εφελκυόµενης ράβδου της διατοµής σ s και ε s αντίστοιχα, το µητρώο ροπής M και το µητρώο θέσης του ουδέτερου άξονα της κρίσιµης διατοµής x. Για κάθε ζεύγος τιµών της ανάλυσης ροπών-καµπυλοτήτων (Μ i,φ i ) της ακραίας διατοµής του δοµικού στοιχείου είναι δυνατόν να προσδιοριστεί και το αντίστοιχο ζεύγος τιµών (Μ i,θ i slip), αφού πρώτα προσδιοριστεί η ολίσθηση της ακραίας εφελκυόµενης ράβδου της διατοµής. Με βάση τα προηγούµενα και ανάλογα µε την περιοχή στο διάγραµµα τάσεων-παραµορφώσεων, όπου βρίσκεται η ακραία -144-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή του στοιχείου, διακρίνονται οι κάτωθι περιπτώσεις για τον υπολογισµό της ολίσθησης της αγκύρωσης: Η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στην ελαστική περιοχή (ε s i ε y ). Σε αυτήν την περίπτωση, το απαιτούµενο και το διαθέσιµο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e και L e αντίστοιχα δίνονται από τις Εξισώσεις (5.2.3.9) και (5.2.3.10), όπου L avail είναι το διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης της ράβδου. L e i σ s d = 4 τ be b (5.2.3.9) L e =L avail (5.2.3.10) Ανάλογα µε τη σχέση των L e και L e διακρίνονται στη συνέχεια οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L e L e Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει επέλθει αστοχία της εφελκυόµενης ράβδου από ολίσθηση. Η επιµήκυνση της ράβδου προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.3.11). i i ε s Le sslip = (5.2.3.11) 2 β) Περίπτωση όπου L e >L e Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της εφελκυόµενης ράβδου από ολίσθηση και θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας. Ο προσδιορισµός της τάσης αστοχίας σ su,sl θα πρέπει να γίνει σύµφωνα µε αυτά που αναφέρονται στην 5.2.2.3 (περίπτωση ανεπαρκούς µήκους αγκύρωσης). Η ολίσθηση της ράβδου στην αστοχία θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.12). ( σ E ) su, sl / s Le ' u sslip = (5.2.3.12) 2 Η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στην περιοχή του πλατό διαρροής (ε y ε i s ε sh ). Το απαιτούµενο και το διαθέσιµο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e και L e αντίστοιχα δίνονται σε αυτήν την περίπτωση από τις Εξισώσεις (5.2.3.13) και (5.2.3.14). L e f y db = (5.2.3.13) 4 τ be L e =L avail -L pc (5.2.3.14) Ανάλογα µε τη σχέση των L e και L e διακρίνονται στη συνέχεια οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L e L e Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει επέλθει αστοχία της εφελκυόµενης ράβδου από ολίσθηση. Η επιµήκυνση της ράβδου προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.3.15). ε y L i e i sslip = + ε s Lpc (5.2.3.15) 2 β) Περίπτωση όπου L e >L e Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της εφελκυόµενης ράβδου από ολίσθηση και θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας (L e =L e ). Στη συγκεκριµένη περίπτωση θα πρέπει να προσδιοριστεί το µειωµένο µήκος του κώνου εξόλκευσης L pc για το οποίο λαµβάνει χώρα η αστοχία εξόλκευσης. -145-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Τη στιγµή της αστοχίας θα ισχύει: f y db Lpc ' = Lavail (5.2.3.16) 4 τ Η αντίστοιχη ολίσθηση στην αστοχία της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.17). ( L L ') ε y u avail pc i sslip = + ε s Lpc ' (5.2.3.17) 2 Η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στη ζώνη κράτυνσης (ε i s >ε sh ). Το απαιτούµενο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e δίνεται και σε αυτήν την περίπτωση από την Εξίσωση (5.2.3.13). Το διαθέσιµο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.18), όπου το ανελαστικό τµήµα της ράβδου L sh προκύπτει από την Εξίσωση (5.2.3.19). L e =L avail -L pc -L sh (5.2.3.18) L sh = i ( σ f ) 4 τ be d s y b b f (5.2.3.19) Ανάλογα µε τη σχέση των L e και L e διακρίνονται στη συνέχεια οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L e L e Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει επέλθει αστοχία της εφελκυόµενης ράβδου από ολίσθηση. Η επιµήκυνση της ράβδου προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.3.20), όπου η ολίσθηση του ανελαστικού τµήµατος s sh,i slip δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.6). ε y L i e i sh, i sslip = + ε s Lpc+ sslip (5.2.3.20) 2 β) Περίπτωση όπου L e >L e Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της εφελκυόµενης ράβδου από ολίσθηση και θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας (L e =L e ). Ο προσδιορισµός της τάσης του χάλυβα σ su,sl που αντιστοιχεί στο σηµείο αστοχίας γίνεται, ως εξής: ( σ, f ) f y d su sl b y db Lsh = Lavail Lpc = 4 u 4 τ e bf (5.2.3.21) 4 τ bf f y db σ su, sl = fy+ Lavail Lpc db 4 τ be Η αντίστοιχη ολίσθηση στην αστοχία της αγκύρωσης δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.22), όπου η παραµόρφωση ε su,sl και η ολίσθηση του ανελαστικού τµήµατος s sh,u slip είναι αυτή που αντιστοιχεί στην τάση αστοχίας του χάλυβα σ su,sl της Εξίσωσης (5.2.3.21). ε y L u e sh, u s = + ε L + s (5.2.3.22) slip su, sl pc slip 2 Σε κάθε περίπτωση, η στροφή από ολίσθηση της αγκύρωσης θ i slip στο βήµα i της ανάλυσης προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.3.23), ενώ η στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης στην αστοχία θ ub,sl θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.24), όπου το ύψος του ουδέτερου άξονα χ u,sl αντιστοιχεί στην τάση αστοχίας σ su,sl. -146-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά i i sslip slip i d x (5.2.3.23) u sslip ub, sl d x (5.2.3.24) u, sl 5.2.4 Ευθύγραµµες Ράβδοι Με Άγκιστρα σε Εξωτερικούς Κόµβους Σε αυτήν την παράγραφο παρατίθεται ο τρόπος εξαγωγής της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή για την περίπτωση των ράβδων που αγκυρώνονται µε άγκιστρα σε εξωτερικούς κόµβους οπλισµένου σκυροδέµατος. Σε γενικές γραµµές, τα άγκιστρα στα οποία καταλήγουν οι αγκυρούµενες ράβδοι µπορούν να προσοµοιωθούν επαρκώς µέσω µη-γραµµικών µεταφορικών ελατηρίων. Ωστόσο, ελάχιστα πειραµατικά δεδοµένα υπάρχουν διαθέσιµα µέχρι σήµερα για τη συµπεριφορά των αγκίστρων σε όρους εφαρµοζόµενης δύναµης προκύπτουσας ολίσθησης. Οι Soroushian et al. (1988) µελέτησαν τη συµπεριφορά ράβδων Ο/Σ που αγκυρώνονται σε εξωτερικούς κόµβους µε άγκιστρα 90 ο. Οι συγκεκριµένοι ερευνητές πρότειναν τον καταστατικό νόµο του Σχήµατος (5.6) για τον προσδιορισµό της σχέσης εφαρµοζόµενου φορτίου P h στο άκρο του αγκίστρου και συνολικής ολίσθησης s h. Ο ανιών κλάδος του συγκεκριµένου καταστατικού νόµου αποδίδεται από την Εξίσωση (5.2.4.1), όπου η παράµετρος α hook λαµβάνεται ίση µε 0.2. Η αντοχή του αγκίστρου σε εξόλκευση P hu και η παραµένουσα αντοχή του αγκίστρου µετά την εξόλκευση P hf προσδιορίζονται από τις Εξισώσεις (5.2.4.2) και (5.2.4.3). Όλες οι εξισώσεις είναι εκφρασµένες σε µονάδες (kn-mm). Η ολίσθηση του αγκίστρου που αντιστοιχεί στην ανάπτυξη της µέγιστης αντοχής του s h1 είναι ίση µε 2.54mm. ύναµη P hu P h =P hu (s h /s h1 ) α hook P hf Μετακίνηση s h1 s h2 s h3 Σχήµα 5.6: Καταστατικός νόµος αγκίστρων 90 ο από τους Soroushian et al. (1988). -147-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά P P s a hook h h = hu sh 1 hu = b ( 0.05d 0.25) (5.2.4.1) P 271 (5.2.4.2) P = 0. 54 (5.2.4.3) hf P hu Οι Fabroccino et al. (2004) µελέτησαν τη συµπεριφορά αγκίστρων 180 ο µε τύµπανο 5 φορές τη διάµετρο της ράβδου, που χρησιµοποιήθηκαν σε µεγάλη έκταση τις δεκαετίες πριν το 1980 σε χώρες όπως η Ελλάδα και η Ιταλία για την αγκύρωση λείων ράβδων σε εξωτερικούς κόµβους. Οι συγκεκριµένοι ερευνητές διαπίστωσαν ότι, µεταξύ άλλων, η συµπεριφορά αυτού του τύπου των αγκίστρων εξαρτάται σηµαντικά και από τη θέση, όπου αυτά εφαρµόζονται στις κατασκευές Ο/Σ. Ο καταστατικός νόµος P h -s h που προτείνουν έχει την ίδια µορφή µε την Εξίσωση (5.2.4.1), αλλά οι τιµές των επιµέρους παραµέτρων καθορίζονται από τη θέση του αγκίστρου στο δοµικό στοιχείο µε βάση και τον Πίνακα (5.3). Η P hu ορίζεται στη συγκεκριµένη περίπτωση ίση µε την τάση αστοχίας της ράβδου Α sb f u. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τη µικρότερη ολίσθηση αναπτύσσουν τα άγκιστρα που βρίσκονται στην άνω παρειά των δοκών και τη µεγαλύτερη τα άγκιστρα της κάτω παρειάς. Τα άγκιστρα των υποστυλωµάτων παρουσιάζουν µια ενδιάµεση συµπεριφορά. Στην τελευταία σειρά του πίνακα παρατίθενται οι τιµές των παραµέτρων που δίνουν την καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα ανεξάρτητα της θέσης της αγκυρούµενης ράβδου. Πίνακας 5.3: Τιµές παραµέτρων καταστατικού νόµου φορτίου ολίσθησης αγκίστρων 180 ο από τους Fabbrocino et al. (2004). Θέση ράβδου α hook s h1 (mm) Υποστυλώµατα 0.30 4.1 Άνω παρειά δοκών 0.25 3.1 Κάτω παρειά δοκών 0.37 4.0 Παντού 0.30 3.9 Σηµειώνεται ότι σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να λαµβάνεται υπόψη στην αποτίµηση και η περίπτωση αστοχίας του σκυροδέµατος στο εσωτερικό του αγκίστρου. Έτσι, µε βάση και το Σχέδιο-3 του ΚΑΝ.ΕΠΕ. (2009), η πρόσθετη δύναµη που µπορεί να παραλάβει ένα άγκιστρο µε τύµπανο D b περιορίζεται από τη δύναµη P huc που δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.4). Db Phuc = 2 fc Asb (5.2.4.4) d b Το άγκιστρο συνεισφέρει στην ολίσθηση της αγκύρωσης µόνο όταν το ευθύγραµµο τµήµα της ράβδου δεν είναι επαρκές, ώστε να παραλάβει πλήρως µέσω της συνάφειας την τάση σ s στο φορτιζόµενο άκρο της. Όταν αυτό συµβαίνει, τότε µέρος της συνολικής δύναµης της ράβδου παραλαµβάνεται από το άγκιστρο, όπως γίνεται φανερό και στο Σχήµα (5.7). Κατά τους Alsiwat & Saatcioglu (1992), η δύναµη που παραλαµβάνει το άγκιστρο προσδιορίζεται από την αφαίρεση της δύναµης που µπορεί να παραλάβει το ελαστικό κοµµάτι της ράβδου από την συνολική ελαστική δύναµη που αυτό καλείται να -148-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά παραλάβει. Ισχύει, δηλαδή, η Εξίσωση (5.2.4.5), όπου σ s είναι η µέγιστη τάση της ράβδου που αναπτύσσεται στην ελαστική περιοχή. P = A σ π d L ' τ (5.2.4.5) h sb s b e be Η προσέγγιση αυτή δεν καλύπτει τις περιπτώσεις όπου το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης L straight είναι εξαιρετικά µικρό και δεν υπάρχει καθόλου ελαστική ζώνη σε αυτό. Η περίπτωση αυτή µπορεί να προκύψει, όταν το L straight είναι µικρότερο της τιµής που εξάγεται από την Εξίσωση (5.2.4.6) για σ s >f y. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η δύναµη που αναλαµβάνει το άγκιστρο δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.7). σ s f y Lstraight db Lpc (5.2.4.6) 4τ bf ( ) P = A σ π d L L τ (5.2.4.7) h sb s b straight pc bf Μετά τον προσδιορισµό της δύναµης που παραλαµβάνει το άγκιστρο µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο καταστατικός νόµος της Εξίσωσης (5.2.4.1) για τον προσδιορισµό της αντίστοιχης µετακίνησης-ολίσθησης του αγκίστρου s h. Η ολίσθηση αυτή προστίθεται στη συνέχεια στην επιµήκυνση του ευθύγραµµου τµήµατος της ράβδου προκειµένου να προσδιοριστεί η συνολική ολίσθηση της αγκύρωσης. Οι προηγούµενες παρατηρήσεις και διαπιστώσεις οργανώνονται στη συνέχεια µε συστηµατικό τρόπο προκειµένου να χρησιµοποιηθούν για την εξαγωγή της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip. Όπως και στην περίπτωση των ευθύγραµµων αγκυρώσεων, για κάθε ζεύγος τιµών από την ανάλυση ροπών-καµπυλοτήτων (Μ i,φ i ) της ακραίας διατοµής του δοµικού στοιχείου είναι δυνατόν να προσδιοριστεί και το αντίστοιχο ζεύγος τιµών (Μ i,θ i slip). Ανάλογα µε την περιοχή όπου βρίσκεται η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή του στοιχείου, στο διάγραµµα τάσεωνπαραµορφώσεων διακρίνονται οι κάτωθι περιπτώσεις για τον υπολογισµό της ολίσθησης της αγκύρωσης: Η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στην ελαστική περιοχή (ε s i ε y ). Σε αυτήν την περίπτωση, το απαιτούµενο και το διαθέσιµο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e και L e αντίστοιχα δίνονται από τις Εξισώσεις (5.2.4.8) και (5.2.4.9). L e i σ s d = 4 τ be b (5.2.4.8) L e =L straight (5.2.4.9) Ανάλογα τη σχέση των L e και L e διακρίνονται στη συνέχεια οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L e L e Σε αυτήν την περίπτωση το άγκιστρο δεν παραλαµβάνει καθόλου δύναµη. Η επιµήκυνση της ράβδου προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.4.10). s i ε L = (5.2.4.10) 2 i s e slip -149-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά F s σ s f y α) σ h ε s ε sh ε y β) ε h γ) τ bf τ be L e Lsh L pc L straight Σχήµα 5.7: Ευθύγραµµη ράβδος οπλισµού µε άγκιστρο σε εξωτερικό κόµβο, α) Κατανοµή τάσεων της ράβδου, β) Κατανοµή παραµορφώσεων της ράβδου, γ) Κατανοµή τάσεων συνάφειας. β) Περίπτωση όπου L e >L e Σε αυτήν την περίπτωση η δύναµη που παραλαµβάνει το άγκιστρο είναι µη µηδενική και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.11). i i P = σ A π d τ L ' (5.2.4.11) h s sb b be e ιακρίνονται πάλι δύο υποπεριπτώσεις: β 1 ) Περίπτωση όπου P h i <P hu Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει λάβει χώρα αστοχία της αγκύρωσης. Η ολίσθηση της ράβδου s i slip και του αγκίστρου s i h δίνονται αντίστοιχα από τις Εξισώσεις (5.2.4.12) και (5.2.4.13), όπου ε i h είναι η παραµόρφωση στο πέρας του ευθύγραµµου τµήµατος (αρχή του αγκίστρου) και µπορεί να προσδιοριστεί από την Εξίσωση (5.2.4.14). s i slip i i ( ε s+ ε h) Le ' = (5.2.4.12) 2-150-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά s i h 1/ a i hook P h = sh 1 Phu i i Ph ε h = E A s sb (5.2.4.13) (5.2.4.14) β 2 ) Περίπτωση όπου P i h P hu Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της αγκύρωσης. Θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας (P h =P hu ). Ή τάση της ράβδου στην κρίσιµη διατοµή που αναπτύχθηκε κατά την αστοχία του αγκίστρου δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.15). Η ολίσθηση του αγκίστρου s h θα είναι ίση µε s h1. Η ολίσθηση του ευθύγραµµου τµήµατος της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.16). Phu + π db τ be Lstraight σ su, sl = (5.2.4.15) A sb σ su, sl P hu + Lstraight u Es Es Asb sslip = (5.2.4.16) 2 Η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στην περιοχή του πλατό διαρροής (ε y <ε i s ε sh ). Σε αυτήν την περίπτωση, το απαιτούµενο και το διαθέσιµο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e και L e αντίστοιχα δίνονται από τις Εξισώσεις (5.2.4.17) και (5.2.4.18). f y db Le = (5.2.4.17) 4 u e L e =L straight -L pc (5.2.4.18) Ανάλογα µε τη σχέση των L e και L e διακρίνονται στη συνέχεια οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L e L e Σε αυτήν την περίπτωση το άγκιστρο δεν παραλαµβάνει καθόλου δύναµη. Η επιµήκυνση της ράβδου προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.4.19). ε y L i e i sslip = + ε s Lpc (5.2.4.19) 2 β) Περίπτωση όπου L e >L e Σε αυτήν την περίπτωση η δύναµη που παραλαµβάνει το άγκιστρο είναι µη µηδενική και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.20). i P = f A π d τ L ' (5.2.4.20) h y sb b be e ιακρίνονται πάλι δύο υποπεριπτώσεις: β 1 ) Περίπτωση όπου P h i <P hu Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει λάβει χώρα αστοχία της αγκύρωσης. Η ολίσθηση της ράβδου s i slip δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.21), όπου η ε i h προσδιορίζεται πάλι από την Εξίσωση (5.2.4.14). Η ολίσθηση του αγκίστρου δίνεται ξανά από την Εξίσωση (5.2.4.13). s i ( ε y+ ε h) Le ' i = + ε L (5.2.4.21) 2 i slip s pc -151-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά β 2 ) Περίπτωση όπου P i h P hu Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της αγκύρωσης. Θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας (P h =P hu ). Στη συγκεκριµένη περίπτωση θα πρέπει να προσδιοριστεί το µειωµένο µήκος του κώνου εξόλκευσης L pc για το οποίο λαµβάνει χώρα η αστοχία εξόλκευσης. Τη στιγµή της αστοχίας θα ισχύει η Εξίσωση (5.2.4.22). Η ολίσθηση του αγκίστρου s h θα είναι ίση µε s h1. Η ολίσθηση του ευθύγραµµου τµήµατος της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.23). Phu f y Asb Ph = Phu = f y Asb π db τ be Le ' Lpc ' = Lstraight (5.2.4.22) π d τ P hu ε y+ ( Lstraight Lpc ') u Es Asb i sslip = + ε s Lpc ' (5.2.4.23) 2 Η ακραία εφελκυόµενη ράβδος στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στη ζώνη κράτυνσης (ε i s >ε sh ). Σε αυτήν την περίπτωση, το απαιτούµενο και το διαθέσιµο ελαστικό τµήµα της αγκύρωσης L e και L e αντίστοιχα δίνονται από τις Εξισώσεις (5.2.4.24) και (5.2.4.25). Το ανελαστικό τµήµα της αγκύρωσης δίνεται από την Εξίσωση (5.2.3.19). f y db Le = (5.2.4.24) 4 τ be L e =L straight -L pc -L sh (5.2.4.25) Ανάλογα µε τη σχέση των L e και L e διακρίνονται στη συνέχεια οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L e L e Σε αυτήν την περίπτωση το άγκιστρο δεν παραλαµβάνει καθόλου δύναµη. Η επιµήκυνση της ράβδου προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.4.26). Η ολίσθηση του ανελαστικού τµήµατος της ράβδου s sh,i slip προσδιορίζεται µε τον ίδιο τρόπο που περιγράφηκε στην 5.2.3. ε y L i e i sh, i sslip = + ε s Lpc+ sslip (5.2.4.26) 2 β) Περίπτωση όπου L e >L e Σε αυτήν την περίπτωση η δύναµη που παραλαµβάνει το άγκιστρο είναι µη µηδενική και δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.27), όταν είναι L e >0 και από την Εξίσωση (5.2.4.28), όταν είναι L e <0. i ' P = f A π d τ L (5.2.4.27) h y sb b be e ( ) P = A σ π d τ L L (5.2.4.28) i i h sb s b bf straight pc ιακρίνονται πάλι δύο υποπεριπτώσεις: β 1 ) Περίπτωση όπου P h i <P hu Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει λάβει χώρα αστοχία της αγκύρωσης. Η ολίσθηση της ράβδου s i slip δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.29), όταν είναι L e >0 και από την Εξίσωση (5.2.4.30), όταν είναι L e <0. H ε i h προσδιορίζεται πάλι από την Εξίσωση (5.2.4.14). Η ολίσθηση του αγκίστρου δίνεται ξανά από την Εξίσωση (5.2.4.13). i ( ε y+ ε h) Le ', i i sh i sslip = + ε s Lpc+ sslip (5.2.4.29) 2 b be -152-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά s = ε L + s (5.2.4.30) i i sh, i slip s pc slip β 2 ) Περίπτωση όπου P h i P hu Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της αγκύρωσης. Θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας (P h =P hu ). Η τάση της ράβδου στην κρίσιµη διατοµή που αναπτύχθηκε κατά την αστοχία του αγκίστρου δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.31), όταν L e >0 και από την Εξίσωση (5.2.4.32), όταν L e <0. ( ) ( σ, ) Asb fy Phu su sl fy db Lsh = Lstraight Lpc = π d τ 4 τ σ 4 τ = f + L L b be bf ( Asb f y Phu ) bf su, sl y straight pc d b π db τ be σ su, sl sb ( ) (5.2.4.31) Phu + π db τ bf Lavail Lpc = (5.2.4.32) A Η ολίσθηση του ευθύγραµµου τµήµατος της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.33), όταν L e >0 και από την Εξίσωση (5.2.4.34), όταν L e <0, όπου η παραµόρφωση ε su,sl αντιστοιχεί στην τάση σ su,sl που προσδιορίζεται από τις αντίστοιχες Εξισώσεις (5.2.4.31) και (5.2.4.32). Η ολίσθηση του αγκίστρου s h θα είναι ίση µε s h1. P ε + L hu y e u Es Ab sh, u slip εsu, sl pc slip ' s = + L + s (5.2.4.33) 2 u sh, u s = ε L + s (5.2.4.34) slip su, sl pc slip Σε όλες τις περιπτώσεις η συνολική ολίσθηση της αγκυρούµενης µε άγκιστρο ράβδου s tot,i slip στο βήµα i της ανάλυσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.35) και η ολίσθηση της ράβδου s tot,u slip στην αστοχία της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.36). Αντίστοιχα, η στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης θ i slip στο βήµα i της ανάλυσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.37), ενώ η στροφή ολίσθησης στην αστοχία της αγκύρωσης θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.4.38). tot, i i i s = s + s (5.2.4.35) slip slip h s = s + s (5.2.4.36) tot, u u slip slip h1 tot, i i sslip slip i d x (5.2.4.37) tot, u sslip ub, sl d x (5.2.4.38) u, sl 5.2.5 Ευθύγραµµες Ράβδοι ιερχόµενες µέσω Εσωτερικών Κόµβων Είναι γνωστό ότι οι δοκοί που συντρέχουν σε εσωτερικούς κόµβους πλαισιακών κατασκευών Ο/Σ υπόκεινται σε ροπές αντιθέτου πρόσηµου στα δύο άκρα του κόµβου. Αυτό συνεπάγεται ότι οι ράβδοι που διέρχονται µέσα από εσωτερικούς κόµβους πλαισίων υποβάλλονται ταυτόχρονα σε εφελκυσµό στη µία πλευρά και θλίψη στην -153-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά απέναντι πλευρά του κόµβου. ηλαδή, εντός του εσωτερικού κόµβου, ένα τµήµα της διερχόµενης ράβδου θα βρίσκεται σε εφελκυσµό και ένα άλλο σε θλίψη. Οι Alsiwat & Saatcioglu (1992) προσδιορίζουν την καµπύλη Μ-θ slip για την περίπτωση των συγκεκριµένων ράβδων κάνοντας την απλοποιητική παραδοχή ότι η µέση αντοχή συνάφειας στην εφελκυόµενη και θλιβόµενη ελαστική περιοχή της ράβδου είναι ίσες µεταξύ τους. Η συγκεκριµένη παραδοχή, όµως, δεν είναι πάντα ρεαλιστική, καθώς τα πειραµατικά αποτελέσµατα (Eligehausen et al. 1983) δείχνουν ότι η µέση αντοχή συνάφειας στην εφελκυστική ελαστική ζώνη τ bet µπορεί να διαφέρει ουσιωδώς από την αντίστοιχη συνάφεια στη θλιβόµενη ελαστική ζώνη τ bec. Οµοίως, οι Alsiwat & Saatcioglu θεωρούν ως αµελητέα τη διείσδυση της διαρροής στo θλιβόµενο τµήµα της ράβδου που αποκρίνεται ανελαστικά. Η θεώρηση αυτή ισοδυναµεί µε την παραδοχή ότι η µέση τάση συνάφειας στο ανελαστικό τµήµα της θλιβόµενης πλευράς της ράβδου τ bfc έχει πρακτικά µια πάρα πολύ µεγάλη τιµή, όπως γίνεται φανερό από την Εξίσωση (5.2.5.9) που παρατίθεται στη συνέχεια. Στην παρούσα διατριβή για τον έλεγχο αστοχίας σε ολίσθηση στους εσωτερικούς κόµβους Ο/Σ λαµβάνεται υπόψη η διαφοροποίηση της αντοχής συνάφειας στο εφελκυόµενο και το θλιβόµενο τµήµα της ράβδου. Οι τιµές της µέσης αντοχής συνάφειας στην ελαστική και την ανελαστική θλιβόµενη πλευρά της ράβδου λαµβάνονται από τις Εξισώσεις (5.2.5.1) και (5.2.5.2) µε βάση τις αντίστοιχες προτάσεις των Lowes & Altoontash (2003). τ = 2.2 (5.2.5.1) bec fc τ = 3.6 (5.2.5.2) bfc fc Στο Σχήµα (5.8) παρουσιάζεται η κατανοµή των τάσεων και των παραµορφώσεων µιας ράβδου διερχόµενης µέσω εσωτερικού κόµβου, η οποία βρίσκεται εν µέρει σε θλίψη και εν µέρει σε εφελκυσµό. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η κατανοµή των τάσεων συνάφειας κατά µήκος της ράβδου µε βάση το µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Η ράβδος παρουσιάζεται στην οριακή κατάσταση, όπου το άθροισµα των απαιτούµενων µηκών συνάφειας της εφελκυόµενης και της θλιβόµενης πλευράς του κόµβου γίνονται ίσα µε το διαθέσιµο µήκος αγκύρωσης L avail, δηλαδή το µήκος του εσωτερικού κόµβου. Η κατάσταση αυτή θεωρείται, συντηρητικά στην παρούσα διατριβή, ως η κατάσταση αστοχίας του εσωτερικού κόµβου. Μετά από αυτό το στάδιο, ο θλιβόµενος οπλισµός της κρίσιµης διατοµής της δοκού που βρίσκεται στη θλιβόµενη πλευρά της ράβδου δεν είναι σε θέση να αναπτύξει πλήρως τη θλιπτική τάση που προκύπτει από την αρχή της επιπεδότητας (Bernoulli) της διατοµής µε αποτέλεσµα τη µείωση της αντοχής και της ικανότητας παραµόρφωσης στη συγκεκριµένη διατοµή (Hakuto et al. 1999, Calvi et al. 2002, Fabbrocino et al. 2004). Η θλιπτική τάση στο άκρο της ράβδου σ cs για δεδοµένη τάση εφελκυσµού σ ts στο απέναντι άκρο ενός εσωτερικού κόµβου δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων, καθώς εξαρτάται τόσο από το ιστορικό της φόρτισης όσο και από τα χαρακτηριστικά της υπό εξέταση διατοµής Ο/Σ. Η ράβδος µπορεί να διαρρεύσει ή να µη διαρρεύσει στη θλιβόµενη πλευρά, ενώ έχει προχωρήσει σηµαντικά στην ανελαστική περιοχή στην εφελκυόµενη πλευρά. Είναι σαφές ότι, για να βρίσκονται τα αποτελέσµατα του µοντέλου προς την πλευρά της ασφάλειας, θα πρέπει να λαµβάνεται κάθε στιγµή η µέγιστη αναµενόµενη σ cs στο -154-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά θλιβόµενο άκρο της ράβδου για δεδοµένη τιµή της σ ts. Με τον τρόπο αυτόν προσδιορίζεται ανά πάσα στιγµή η µέγιστη δυνατή απαίτηση συνάφειας και κατ επέκταση εντοπίζεται πιθανή αστοχία από την υποβάθµιση της συνάφειας (bond deterioration) του κόµβου. Ωστόσο, µια τέτοια θεώρηση θα οδηγούσε σε υπερβολικά συντηρητικά αποτελέσµατα στην αποτίµηση των υφιστάµενων κατασκευών. Οι Paulay & Priestley (1992) στο πλαίσιο της προσπάθειάς τους να προσδιορίσουν τη µέγιστη δυνατή διάµετρο που δύναται να διέλθει από εσωτερικό κόµβο, χωρίς σηµαντική απώλεια της συνάφειας στην περιοχή του κόµβου, προτείνουν συγκεκριµένες σχέσεις ανάµεσα στη µέγιστη αναµενόµενη θλιπτική τάση στο ένα άκρο της ράβδου που διέρχεται από εσωτερικό κόµβο για δεδοµένη εφελκυστική τάση στο άλλο άκρο. Οι σχέσεις που προτείνονται, ανάλογα µε τη θέση της εξεταζόµενης ράβδου στη κατασκευή, είναι οι εξής: Η εξεταζόµενη ράβδος βρίσκεται στην άνω παρειά δοκού που συντρέχει σε εσωτερικό κόµβο. Σε αυτήν την περίπτωση, προτείνεται από τους Pauley & Priestley (1992) η σ cs να προκύπτει από την σ ts µε βάση την Εξίσωση (5.2.5.3), όπου β s =A s,bot /A s,top και Α s,bot και Α s,top είναι ο κάτω και ο άνω οπλισµός της δοκού. σ cs = β s σ ts 0.7f y (5.2.5.3) Η εξεταζόµενη ράβδος βρίσκεται στην κάτω παρειά δοκού που συντρέχει σε εσωτερικό κόµβο. Σε αυτήν την περίπτωση, προτείνεται η σ cs να προκύπτει από την σ ts µε βάση την Εξίσωση (5.2.5.4), όπου η παράµετρος ξ m δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.5). σ cs =(ξ m -1) σ ts (5.2.5.4) ξ m =2.55-β s 1.8 (5.2.5.5) Η εξεταζόµενη ράβδος βρίσκεται σε υποστύλωµα που συντρέχει σε εσωτερικό κόµβο. Σε αυτήν την περίπτωση, ελλείψει ακριβέστερων στοιχείων, µπορεί να ληφθεί σ cs =σ ts (5.2.5.6) Οι προηγούµενες παρατηρήσεις και διαπιστώσεις οργανώνονται στη συνέχεια µε συστηµατικό τρόπο προκειµένου να χρησιµοποιηθούν για την εξαγωγή της αναλυτικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip. Για κάθε ζεύγος τιµών της ανάλυσης ροπών-καµπυλοτήτων (Μ i,φ i ) της ακραίας διατοµής του δοµικού στοιχείου είναι δυνατόν να προσδιοριστεί και το αντίστοιχο ζεύγος τιµών (Μ i,θ i slip). Ανάλογα µε την περιοχή του διαγράµµατος τάσεωνπαραµορφώσεων όπου βρίσκεται η εφελκυόµενη πλευρά της ράβδου, διακρίνονται οι κάτωθι περιπτώσεις για τον υπολογισµό της ολίσθησης της αγκύρωσης: Η εφελκυόµενη πλευρά της ράβδου στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στην ελαστική περιοχή (ε i s ε y ). Το απαιτούµενο ελαστικό τµήµα της ράβδου σε εφελκυσµό L et δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.7). L et i σ ts db = (5.2.5.7) 4 τ bet -155-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά F c F t σ ts f y α) f y σ cs ε ts ε sh ε y β) ε y ε sh ε cs γ) τ bft τ bec τ bet τ bfc L comp L et L sht L pc L avail Σχήµα 5.8: Ράβδος οπλισµού διερχόµενη εσωτερικού κόµβου, α) Κατανοµή τάσεων της ράβδου, β) Κατανοµή παραµορφώσεων της ράβδου, γ) Κατανοµή τάσεων συνάφειας. Ανάλογα µε το αν η σ i cs (η απόλυτη τιµή της αντίστοιχης θλιπτικής τάσης της ράβδου στο θλιβόµενο άκρο) είναι στην ελαστική περιοχή ή στη ζώνη κράτυνσης, το απαιτούµενο µήκος αγκύρωσης σε θλίψη L comp δίνεται από τις Εξισώσεις (5.2.5.8) και (5.2.5.9). i σ d σ < f L = (5.2.5.8) 4 τ i cs b cs y comp bec i ( σ ) cs f y d i b f y db σ cs > f y Lcomp = + 4 τ 4 τ bfc bec (5.2.5.9) Εάν L avail είναι το µήκος του εσωτερικού κόµβου κατά την έννοια της αγκύρωσης του στοιχείου, τότε διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L et +L comp <L avail. -156-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει επέλθει αστοχία της ράβδου από ολίσθηση. Η ολίσθηση της ράβδου δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.10). s i ε L = (5.2.5.10) 2 i ts et slip β) Περίπτωση όπου L et +L comp >L avail Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της ράβδου από ολίσθηση (µε τη συντηρητική έννοια που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή). Θα πρέπει να προσδιοριστεί το ακριβές σηµείο αστοχίας (L et +L comp =L avail ). ιακρίνονται δύο περιπτώσεις: β 1 ) Περίπτωση όπου το θλιβόµενο άκρο της ράβδου δεν έχει διαρρεύσει. Εάν λ su είναι ο λόγος της θλιπτικής σ csu,sl προς την εφελκυστική τάση αστοχίας της αγκύρωσης σ tsu,sl τάση της ράβδου, τότε η εφελκυστική τάση της χαλύβδινης ράβδου που αναπτύχθηκε κατά την αστοχία προσδιορίζεται, ως εξής: σtsu, sl db σcsu, sl db 4 Lavail 1 + = Lavail σtsu, sl = (5.2.5.11) 4 τ 4 su 1 bet τ bec d λ b + τ τ β 2 ) Περίπτωση όπου το θλιβόµενο άκρο της ράβδου έχει διαρρεύσει. Οµοίως, από τη συνθήκη L et +L comp =L avail, προκύπτει ότι η εφελκυστική τάση που αντιστοιχεί στην έναρξη της ολισθητικής αστοχίας δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.12). tsu, sl ( σ, f ) σtsu, sl db f y db csu sl y db + + = Lavail 4 τ 4 τ 4 τ σ bet bec bfc L 4 = d b avail f d f d + 4 τ 4 τ 1 τ bet y b y b bfc λsu + τ bfc bec bec bet (5.2.5.12) Αφού προσδιοριστεί η εφελκυστική τάση που αντιστοιχεί στην έναρξη της αστοχίας από ολίσθηση, τότε είναι δυνατός και ο προσδιορισµός της επιµήκυνσης που αντιστοιχεί σε αυτήν την τάση από την Εξίσωση (5.2.5.13), όπου L et είναι το απαιτούµενο ελαστικό εφελκυστικό τµήµα της ράβδου για την παραµόρφωση αστοχίας σ tsu,sl. σ tsu, sl Let u Es sslip = (5.2.5.13) 2 Η εφελκυόµενη πλευρά της ράβδου στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στην περιοχή του πλατό διαρροής (ε y ε i s ε sh ). Το απαιτούµενο ελαστικό τµήµα της ράβδου σε εφελκυσµό L et δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.14). f y db Let = (5.2.5.14) 4 τ bet Ανάλογα µε το αν η αντίστοιχη σ i cs είναι στην ελαστική περιοχή ή στη ζώνη κράτυνσης, το απαιτούµενο µήκος αγκύρωσης σε θλίψη L comp δίνεται πάλι από τις Εξισώσεις (5.2.5.8) και (5.2.5.9). -157-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Εάν L avail είναι το µήκος του εσωτερικού κόµβου κατά την έννοια της αγκύρωσης του στοιχείου, τότε διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L et +L comp +L pc <L avail. Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει επέλθει αστοχία της ράβδου από ολίσθηση. Η ολίσθηση της ράβδου δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.15). ε y L i et i sslip = + εts Lpc (5.2.5.15) 2 β) Περίπτωση όπου L et +L comp +L pc L avail. Σε αυτήν την περίπτωση έχει επέλθει αστοχία της ράβδου από ολίσθηση. Θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας της ράβδου. Στην συγκεκριµένη περίπτωση θα πρέπει να προσδιοριστεί το µειωµένο µήκος του κώνου εξόλκευσης L pc για το οποίο γίνεται L et +L comp +L pc =L avail. Θα είναι δηλαδή: L pc = L avail - L et -L comp (5.2.5.16) Η ολίσθηση στην εφελκυόµενη πλευρά της ράβδου θα δίνεται τώρα από την Εξίσωση (5.2.5.17). ε y L u et sslip = + εtsu, sl Lpc ' (5.2.5.17) 2 Η εφελκυόµενη πλευρά της ράβδου στην κρίσιµη διατοµή βρίσκεται στη ζώνη κράτυνσης (ε i s>ε sh ). Το απαιτούµενο ελαστικό τµήµα της ράβδου σε εφελκυσµό L et δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.14). Το απαιτούµενο ανελαστικό τµήµα σε εφελκυσµό L sht δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.18). Το απαιτούµενο µήκος αγκύρωσης σε θλίψη L comp δίνεται πάλι από τις Εξισώσεις (5.2.5.8) και (5.2.5.9). L sht = i ( σ f ) d ts y b 4 τ bft (5.2.5.18) Εάν L avail είναι το µήκος του εσωτερικού κόµβου κατά την έννοια της αγκύρωσης του στοιχείου, τότε διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: α) Περίπτωση όπου L et +L comp +L pc +L sht <L avail. Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει επέλθει αστοχία της ράβδου από ολίσθηση. Η ολίσθηση της ράβδου δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.19). Η s sh,i slip προσδιορίζεται µε την ίδια λογική της 5.2.3. ε y L i et i sh, i sslip = + εts Lpc+ sslip (5.2.5.19) 2 β) Περίπτωση όπου L et +L comp +L pc +L sht L avail. Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να προσδιοριστεί η ακριβής κατάσταση αστοχίας της ράβδου. ιακρίνονται δύο περιπτώσεις ανάλογα µε το εάν και σε ποιόν βαθµό έχει διαρρεύσει το θλιβόµενο άκρο της ράβδου. β 1 ) Περίπτωση όπου δεν έχει διαρρεύσει το θλιβόµενο άκρο της ράβδου Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση του απαιτούµενου µήκους αγκύρωσης µε το διαθέσιµο δίνει την Εξίσωση (5.2.5.20) για την τάση του εφελκυόµενου χάλυβα. ( σ, f ) fy db σcsu, sl db tsu sl y db + + Lpc+ = Lavail 4 τ 4 τ 4 τ bet bec bft -158-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά f y d b 1 1 4 Lavail Lpc 4 τ bft τ bet σ tsu, sl = (5.2.5.20) λsu 1 db + τ bec τ bft β 2 ) Περίπτωση όπου έχει διαρρεύσει το θλιβόµενο άκρο της ράβδου Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση του απαιτούµενου µήκους αγκύρωσης µε το διαθέσιµο δίνει την Εξίσωση (5.2.5.21). ( σ, ) ( σ, ) f y db f y d tsu sl fy d b b csu sl fy db + + Lpc+ + = Lavail 4 τ 4 τ 4 τ 4 τ bet bec bft bfc f y d b 1 1 1 1 4 Lavail Lpc + 4 τ bec τ bet τ bfc τ bft σ tsu, sl = (5.2.5.21) λsu 1 db + τ bfc τ bft Η ολίσθηση της ράβδου στην εφελκυόµενη πλευρά της δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.22), όπου η παραµόρφωση ε tsu,sl αντιστοιχεί στην τάση σ tsu,sl της Εξίσωσης (5.2.5.21). ε y L u et sh, u s = + ε L + s (5.2.5.22) slip tsu, sl pc slip 2 Σε κάθε περίπτωση, η στροφή από ολίσθηση της αγκύρωσης θ i slip στο βήµα i της ανάλυσης προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.5.23), ενώ η στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης στην αστοχία θ ub,sl θα δίνεται από την Εξίσωση (5.2.5.24), όπου το ύψος του ουδέτερου άξονα χ u,sl αντιστοιχεί στην τάση αστοχίας σ tsu,sl. i i sslip slip i d x (5.2.5.23) u sslip ub, sl d x (5.2.5.24) u, sl 5.2.6 ιγραµµικοποίηση Περιβάλλουσας Καµπύλης Μ-θ slip Για την απλοποίηση των υπολογισµών σε ένα πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων είναι σκόπιµη η προσέγγιση της ακριβούς καµπύλης Μ-θ slip, όπως αυτή υπολογίζεται στις 5.2.3 έως 5.2.5, µέσω κατάλληλης πολυγραµµικής (κατά κανόνα διγραµµικής ή τριγραµµικής) περιβάλλουσας. Στην παρούσα διατριβή, για λόγους συµβατότητας µε την προσοµοίωση της καµπτικής υστερητικής συµπεριφοράς, επιλέγεται η υιοθέτηση διγραµµικής περιβάλλουσας και για την ολισθητική συµπεριφορά. Κατά την εξαγωγή της περιβάλλουσας Μ-θ slip θα πρέπει να λαµβάνεται µέριµνα ούτως ώστε, αφενός να προσεγγίζεται µε τον βέλτιστο δυνατό τρόπο η ακριβής σχέση Μ-θ slip και αφετέρου να µην αλλοιώνεται η πραγµατική ενδεχόµενη µορφή αστοχίας της εξεταζόµενης διατοµής. Το τελευταίο είναι ιδιαίτερα κρίσιµο σε πεπερασµένα στοιχεία, όπως αυτό που προτείνεται στην παρούσα διατριβή, όπου η καµπτική και η ολισθητική -159-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά συµπεριφορά εκφράζονται µέσω µη-γραµµικών ελατηρίων που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά. M M u,sl Εξιδανικευµένη M y,sl M y1 Αναλυτική Κ 1,sl Κ ο,sl θ slip θ y1,sl θ y,sl θ u,sl Σχήµα 5.9: Εξιδανικευµένη και αναλυτική περιβάλλουσα Μ-θ slip Βασικό χαρακτηριστικό της ακριβούς σχέσης Μ-θ slip υπό µονότονη φόρτιση είναι το γεγονός ότι είναι έντονα µη-γραµµική ακόµη και πριν τη διαρροή της αγκυρούµενης ράβδου. Το φαινόµενο αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όσο αυξάνει η τάση της ράβδου στην ελαστική περιοχή σ s, αυξάνονται αναλογικά τόσο η παραµόρφωση στο φορτιζόµενο άκρο ε s, όσο και το απαιτούµενο ελαστικό µήκος αγκύρωσης L e. Συνεπώς, η ολίσθηση s slip αυξάνεται παραβολικά µε την σ s, ενώ η αντίστοιχη καµπτική αντοχή της διατοµής Μ αυξάνεται σχεδόν γραµµικά. Κυρίως για λόγους συµβατότητας µε την καµπτική περιβάλλουσα, επιλέγεται στην παρούσα διατριβή, ο ελαστικός κλάδος της περιβάλλουσας Μ-θ slip να διέρχεται από το σηµείο πρώτης διαρροής της αγκυρούµενης ράβδου (της πλέον αποµακρυσµένης από τον ουδέτερο άξονα της διατοµής). Με βάση όλα τα προηγούµενα, αλλά και την αρχή της ίσης απορρόφησης ενέργειας, που υιοθετείται και στην περίπτωση του ολισθητικού ελατηρίου, προτείνεται η παρακάτω διαδικασία για τον προσδιορισµό του ισοδύναµου σηµείου διαρροής (θ y,sl, M y,sl ) και αστοχίας (θ u,sl, M u,sl ) της εξιδανικευµένης, διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-θ slip (Σχήµα 5.9) ανάλογα και µε τον αναµενόµενο τύπο αστοχίας της κρίσιµης διατοµής του δοµικού στοιχείου. Η κλίση του οιονεί ελαστικού κλάδου της διγραµµικής καµπύλης Κ ο,sl προσδιορίζεται από την Εξίσωση (5.2.6.1), όπου η στροφή θ y1,sl αντιστοιχεί στην ολίσθηση της ακραίας εφελκυόµενης ράβδου τη στιγµή της πρώτης διαρροής. M y1 K o, sl = (5.2.6.1) θ y1, sl Από την αναλογία θα ισχύει και η Εξίσωση (5.2.6.2). = K (5.2.6.2) M y, sl o, sl θ y, sl Στη συνέχεια διακρίνονται δύο περιπτώσεις ανάλογα µε την επικρατούσα µορφή αστοχίας της κρίσιµης διατοµής και της αγκύρωσης. Περίπτωση όπου κρίσιµη είναι η καµπτική αστοχία. -160-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Σε αυτήν την περίπτωση, η θ u,sl είναι η στροφή από ολίσθηση της αγκύρωσης που αντιστοιχεί στο σηµείο καµπτικής αστοχίας της κρίσιµης διατοµής (θ uf,sl ). Επιπρόσθετα, η ροπή αστοχίας της διγραµµικής ολισθητικής περιβάλλουσας M u,sl τίθεται ίση µε τη ροπή αστοχίας Μ u της διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ. Με τον τρόπο αυτόν εξασφαλίζεται ότι δε θα προηγηθεί αστοχία ολισθητικού τύπου στο συγκεκριµένο άκρο του δοµικού στοιχείου κατά τη διάρκεια της ανάλυσης της κατασκευής. Περίπτωση όπου κρίσιµη είναι η αστοχία από ολίσθηση της αγκύρωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, η θ u,sl λαµβάνεται ίση µε την θ ub,sl που προσδιορίζεται µε βάση αυτά που ειπώθηκαν στις παραγράφους 5.2.3-5.2.5. Οµοίως, η Μ u,sl θα πρέπει να είναι αυτή που αντιστοιχεί, από την ανάλυση της κρίσιµης διατοµής, στην τάση και παραµόρφωση αστοχίας από ολίσθηση των συγκεκριµένων παραγράφων. Θα πρέπει να ελέγχεται, ωστόσο, ότι η Μ u,sl που προκύπτει µε αυτήν τη µέθοδο είναι µικρότερη ή ίση της ροπής αστοχίας Μ u της περιβάλλουσας Μ-φ. Το αντίθετο µπορεί να συµβεί όταν, λόγω της αποφλοίωσης ή λόγω σηµαντικής παραµόρφωσης, η ικανότητα ροπής της διατοµής µειώνεται µε την αύξηση της παραµόρφωσης της ακραίας εφελκυόµενης ράβδου. Σε αυτές τις περιπτώσεις προτείνεται να λαµβάνεται η Μ u,sl ελάχιστα µικρότερη της Μ u (π.χ. Μ u,sl 0.99M u ), ώστε να εξασφαλίζεται η επικράτηση της αστοχίας ολισθητικού τύπου κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Αφού προσδιοριστεί το σηµείο αστοχίας της διγραµµικής περιβάλλουσας του ολισθητικού ελατηρίου, τότε ο προσδιορισµός της στροφής από ολίσθηση του ισοδύναµου σηµείου διαρροής προκύπτει από την αρχή των ίσων εµβαδών και την Εξίσωση (5.2.6.3), όπου W sl είναι το εµβαδόν του διαγράµµατος Μ-θ slip µέχρι και το σηµείο αστοχίας. Η ροπή του ισοδυνάµου σηµείου διαρροής Μ y,sl δίνεται από την Εξίσωση (5.2.6.2). ( 2 Wsl M u, sl θ u, sl) θ y, sl = (5.2.6.3) K θ M ( ) o, sl u, sl Σε περίπτωση όπου από την προαναφερθείσα µεθοδολογία προκύψει αρνητικός µετελαστικός κλάδος στη διγραµµική Μ-θ slip, τότε η κράτυνση του µετελαστικού κλάδου τίθεται ίση µε µια ελάχιστη θετική τιµή r min,sl και οι συντεταγµένες των χαρακτηριστικών σηµείων της διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-θ slip προσδιορίζονται από τις Εξισώσεις (5.2.6.4) έως (5.2.6.7) κατά αναλογία µε τη διγραµµική περιβάλλουσα Μ- φ. Η δυσκαµψία του οιονεί ελαστικού κλάδου Κ ο,sl και η στροφή ολίσθησης αστοχίας θ u,sl προσδιορίζονται κατά τα προηγούµενα. = r K (5.2.6.4) K 1, sl min, sl o, sl u, sl θ =θ (5.2.6.5) y, sl u, sl 2 K o, sl ( 1 rmin, sl) 2 2 ( 1 rmin, sl) 4K o, sl ( 1 rmin, sl) ( Wsl K1, sl θu, ) M + K ( θ ) = θ (5.2.6.6) 2 2 4K o, sl u, sl 2 sl M u, sl y, sl 1, sl u, sl θ y, sl = (5.2.6.7) -161-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά 5.3 Υστερητικό Μοντέλο Ολισθητικής Συµπεριφοράς 5.3.1 Εισαγωγή Το υστερητικό µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση βασίζεται κατά κύριο λόγο στο αντίστοιχο µοντέλο των Saatcioglu & Alsiwat (1992). Το συγκεκριµένο υστερητικό µοντέλο έχει βαθµονοµηθεί µε έναν σηµαντικό αριθµό πειραµατικών αποτελεσµάτων, ενώ η εξαγωγή των επιµέρους παραµέτρων του είναι σχετικά απλή και µπορεί να ενσωµατωθεί εύκολα στην ανελαστική ανάλυση ρεαλιστικών κατασκευών. Ταυτόχρονα, προτείνονται κατάλληλες τροποποιήσεις που αφενός καθιστούν το αναλυτικό µοντέλο απλούστερο και υπολογιστικά αποδοτικό, χωρίς σηµαντική υποβάθµιση της αξιοπιστίας του, και αφετέρου αποκλείουν την ανάπτυξη αριθµητικών ασταθειών που µπορεί να προκύψουν από την εφαρµογή του στην ανελαστική ανάλυση των κατασκευών. Το µοντέλο των Saatcioglu & Alsiwat (1992) µπορεί να εφαρµοστεί σε στοιχεία Ο/Σ µε συµµετρική ή µη συµµετρική διατοµή µε ή χωρίς αξονικό φορτίο. Tα στοιχεία µε µη συµµετρική διατοµή έχουν διαφορετική ικανότητα ροπής στη θετική και αρνητική κατεύθυνση. Στα στοιχεία αυτά η φόρτιση προς την ισχυρή κατεύθυνση οδηγεί σε κλείσιµο των ρωγµών για ροπή που αντιστοιχεί περίπου στην αντοχή της διατοµής στην ασθενή κατεύθυνση. Η συµπεριφορά αυτή παρουσιάζεται σαν στένωση των βρόχων υστέρησης στην ισχυρή κατεύθυνση. Για τον λόγο αυτόν στο υστερητικό µοντέλο των Saatcioglu & Alsiwat (1992) η περιβάλλουσα της ασθενούς κατεύθυνσης χρησιµοποιείται εντός της περιβάλλουσας της ισχυρής κατεύθυνσης ως οδηγός για τον προσδιορισµό των κλάδων επαναφόρτισης. Οι περιβάλλουσες αυτές θα ονοµάζονται εφεξής ως εσωτερική και εξωτερική περιβάλλουσα. Στην ασθενή κατεύθυνση, η εσωτερική και η εξωτερική περιβάλλουσα προφανώς συµπίπτουν. Ένα βασικό χαρακτηριστικό των ολισθητικών βρόχων είναι η σταδιακή αποµείωση της κλίσης των κλάδων αποφόρτισης, καθώς αυξάνεται η τιµή της µέγιστης αναπτυχθείσας στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης. Κατά τους Alsiwat & Saatcioglu (1992), η κλίση του κλάδου αποφόρτισης µπορεί να προσδιοριστεί και αυτή από το διάγραµµα των παραµορφώσεων κατά µήκος της αγκύρωσης της ράβδου όπλισης. Κατά την αποφόρτιση ανακτάται, ως γνωστό, η ελαστική παραµόρφωση της ράβδου (Σχήµα 5.10). Αυτό συνεπάγεται ότι εάν δεν έχει προηγηθεί εξόλκευση, τότε η παραµένουσα στροφή ολίσθησης προέρχεται αποκλειστικά από την πλαστική παραµόρφωση της ράβδου. Η ανακτώµενη ολίσθηση s r,slip µπορεί να προσδιοριστεί από την ολοκλήρωση του ελαστικού µέρους της κατανοµής των παραµορφώσεων (γραµµοσκιασµένο τµήµα Σχήµατος 5.10β). Το εµβαδόν αυτόν προκύπτει εύκολα από την Εξίσωση (5.3.1.1). Le sr, slip = ε y Lpc+ Lsh + (5.3.1.1) 2-162-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Στις αγκυρώσεις µε άγκιστρα, η Εξίσωση (5.3.1.1) µπορεί να εφαρµοστεί µόνον εάν και εφόσον το άγκιστρο παραµένει ανενεργό. Στην αντίθετη περίπτωση, αν P h είναι η δύναµη που παραλαµβάνει το άγκιστρο και s h η αντίστοιχη ολίσθηση, τότε η µετακίνηση που ανακτάται κατά την αποφόρτιση δίνεται από τις Εξισώσεις (5.3.1.2) και (5.3.1.3). Στις εξισώσεις αυτές έχει γίνει η παραδοχή ότι η συµπεριφορά του αγκίστρου µέχρι και τη µέγιστη αντοχή του είναι µη γραµµική-ελαστική. Ph Εάν ε y τότε A E Εάν sb s Ph ε y+ Asb E s s = ε ( L + L ) + ( L L L ) + s 2 Ph >ε y τότε A E r, slip y sh pc straight sh pc h sb s r, slip y straight h (5.3.1.2) s = ε L + s (5.3.1.3) Αφού προσδιοριστεί η ανακτώµενη µετακίνηση s r, slip, η αντίστοιχη ανακτώµενη γωνία στροφής oλίσθησης της αγκύρωσης υπολογίζεται από την Εξίσωση (5.3.1.4). θ = sr, slip r, sl d x (5.3.1.4) F s σ s f y α) ε s Ανακτώµενο τµήµα ε sh ε y β) L e L sh L pc L e Σχήµα 5.10: Προσδιορισµός ανακτώµενης ολίσθησης κατά την αποφόρτιση αγκυρούµενης ράβδου α) κατανοµή τάσεων, β) κατανοµή παραµορφώσεων στο µήκος αγκύρωσης. -163-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Από το Σχήµα (5.11), η κλίση του κλάδου αποφόρτισης του ολισθητικού βρόχου Κ un,sl µπορεί να προσδιοριστεί από τις συντεταγµένες των σηµείων της εξιδανικευµένης διγραµµικής περιβάλλουσας καµπύλης Μ-θ slip, ως εξής: M max M y, sl M M y, sl y sl = = = M θ max max, K un, sl K o, sl (5.3.1.5) θ θ r, sl r, sl M y, sl θ r, sl θ y, sl θ y, sl Είναι σαφές από το Σχήµα (5.10) ότι όσο αυξάνει η µέγιστη παραµόρφωση ε s τόσο αυξάνεται και η ανακτώµενη ολίσθηση s r,slip. Συνεπώς, η συγκεκριµένη µεθοδολογία είναι ικανή να προσοµοιώσει το φαινόµενο που παρατηρείται στα πειραµατικά αποτελέσµατα ότι δηλαδή καθώς αυξάνει η µέγιστη αναπτυχθείσα στροφή ολίσθησης θ slip η κλίση του κλάδου αποφόρτισης τείνει να µειώνεται. Η κλίση του κλάδου αποφόρτισης, όπως προκύπτει από την Εξίσωση (5.3.1.5), µεταβάλλεται έντονα µη-γραµµικά µε τη µέγιστη αναπτυχθείσα στροφή ολίσθησης εξαιτίας της ανακτώµενης στροφής θ r,sl. Σε αρκετές περιπτώσεις, ωστόσο, είναι επαρκές να προσδιορίζεται η θ r,sl στην στροφή αστοχίας θ u,sl και η κλίση των ενδιάµεσων κλάδων αποφόρτισης να προσδιορίζεται µε γραµµική παρεµβολή. M Μ max Μ y,sl K o,sl K un,sl K o,sl θ y,sl θ y,sl Μ max / Μ y,sl θ slip θ r,sl Σχήµα 5.11: Προσδιορισµός κλίσης αποφόρτισης ολισθητικού βρόχου Υπό την παρουσία αξονικής θλίψης, η ελαστική παραµόρφωση της χαλύβδινης ράβδου ανακτάται πριν την πλήρη αποφόρτιση της καµπτικής ροπής. Σε αυτήν την περίπτωση η ανακτώµενη παραµόρφωση αντιστοιχεί στη ροπή που προκύπτει για µηδενική τάση του εφελκυόµενου χάλυβα. Αυτή η ροπή, που στη συνέχεια θα συµβολίζεται ως Μ ο,sl, επηρεάζει την κλίση του κλάδου αποφόρτισης και χρησιµοποιείται στη συνέχεια στους κανόνες υστερητικής συµπεριφοράς του ολισθητικού ελατηρίου. Είναι σαφές ότι, στα στοιχεία δοκού µε µηδενική Ν, η ροπή Μ ο,sl είναι ίση µε το µηδέν. Αντίθετα, στα στοιχεία υποστυλώµατος η Μ ο,sl µπορεί να είναι µεγαλύτερη του µηδενός, λόγω της ύπαρξης θλιπτικού αξονικού φορτίου. Η Μ ο,sl µπορεί να προσδιοριστεί από την ανάλυση M-φ της κρίσιµης διατοµής µετά από γραµµική -164-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά παρεµβολή στην ροπή που αντιστοιχεί σε µηδενική παραµόρφωση της ακραίας ράβδου όπλισης. Απλοποιητικά, µπορεί να γίνει και γραµµική παρεµβολή ανάµεσα στην κατάσταση κεντρικής θλίψης (αξονική παραµόρφωση ράβδου ε so και Μ=0) και στην κατάσταση που επικρατεί στην πρώτη διαρροή της ράβδου (αξονική παραµόρφωση ράβδου ε y και Μ=M y1 ). Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει η Εξίσωση (5.3.1.6). ε so M o, sl = M y1 (5.3.1.6) ( ε ε ) y 5.3.2 Προτεινόµενο Μοντέλο Ολισθητικής Υστερητικής Συµπεριφοράς so Στην παρούσα ενότητα περιγράφονται οι αναλυτικοί κανόνες που προτείνονται για τον καθορισµό της ολισθητικής υστερητικής συµπεριφοράς. Το προτεινόµενο υστερητικό µοντέλο βασίζεται στην εξιδανικευµένη διγραµµική περιβάλλουσα Μ-θ slip της 5.2.6. Η µορφή του ολισθητικού βρόχου παρουσιάζεται στο Σχήµα (5.12). M M y,sl weak B C,I R,T J,N,U V Q S H M M o,sl A P D K,O θ slip Εσωτερική περιβάλλουσα L E M y,sl weak G F M y,sl strong Σχήµα 5.12: Προτεινόµενο ολισθητικό υστερητικό µοντέλο. Στη συνέχεια, γίνεται αναλυτική περιγραφή των κανόνων συµπεριφοράς σε αποφόρτιση και επαναφόρτιση του ολισθητικού υστερητικού βρόχου, που υιοθετούνται στην παρούσα διατριβή. Η αρχική φόρτιση πριν τη διαρροή ακολουθεί τον ελαστικό κλάδο της περιβάλλουσας καµπύλης (π.χ. A-B). Αποφόρτιση-επαναφόρτιση πριν τη διαρροή σε οποιαδήποτε κατεύθυνση ακολουθεί τον ίδιο κλάδο. Φόρτιση µετά τη διαρροή σε µια κατεύθυνση ακολουθεί τον δεύτερο κλάδο της εξιδανικευµένης περιβάλλουσας καµπύλης του στροφικού ελατηρίου της ίδιας κατεύθυνσης (π.χ. B-C). Αποφόρτιση µετά τη διαρροή από την περιβάλλουσα καµπύλη θα γίνεται µε κλίση που αντιστοιχεί στη µέγιστη αναπτυχθείσα στροφή ολίσθησης µε βάση τη µεθοδολογία -165-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά που αναπτύχθηκε στην 5.3.1 (π.χ. C-D). Η αποφόρτιση θα γίνεται µέχρι και τη ροπή Μ ο,sl που προσδιορίστηκε στην 5.3.1. Περαιτέρω αποφόρτιση από τη ροπή Μ ο, sl αλλά και η επαναφόρτιση στην αντίθετη κατεύθυνση στοχεύουν στο µέγιστο σηµείο της εσωτερικής περιβάλλουσας της αντίθετης κατεύθυνσης (εάν και εφόσον αυτή υπάρχει). Από εκεί και πέρα η φόρτιση στοχεύει στο µέγιστο σηµείο της εξωτερικής περιβάλλουσας της ίδιας κατεύθυνσης. Εάν δεν έχει γίνει υπέρβαση του σηµείου διαρροής στη αντίθετη κατεύθυνση, τότε οι συγκεκριµένοι κλάδοι κατευθύνονται προς το σηµείο διαρροής της εσωτερικής περιβάλλουσας στην ίδια κατεύθυνση (π.χ. D-E-F-G και H-I). Αποφόρτιση πριν την ανάπτυξη της µέγιστης στροφής σε µια κατεύθυνση γίνεται µε κλίση αποφόρτισης που αντιστοιχεί στη µέγιστη στροφή της ίδιας κατεύθυνσης. Σε κάθε περίπτωση γίνεται έλεγχος ότι η κλίση του συγκεκριµένου κλάδου αποφόρτισης δεν είναι µικρότερη του αµέσως επόµενου κλάδου επαναφόρτισης. Για την αποφυγή της συγκεκριµένης αριθµητικής αστάθειας προτείνεται στην παρούσα διατριβή να προσδιορίζεται σε κάθε αποφόρτιση η κλίση της ευθείας που συνδέει το σηµείο κορυφής (σηµείο έναρξης της αποφόρτισης) µε το µέγιστο σηµείο της εσωτερικής περιβάλλουσας της αντίθετης κατεύθυνσης. Η κλίση του κλάδου αποφόρτισης δε θα πρέπει να είναι ποτέ µικρότερη της κλίσης της συγκεκριµένης ευθείας. Η περαιτέρω αποφόρτιση από τη Μ ο,sl και η επαναφόρτιση προς την απέναντι κατεύθυνση στοχεύει και πάλι στο µέγιστο σηµείο της εσωτερικής περιβάλλουσας της απέναντι κατεύθυνσης (π.χ. L-M-N). Αποφόρτιση µετά από επαναφόρτιση προς την άλλη κατεύθυνση και όταν δεν έχει ξεπεραστεί ο ελαστικός κλάδος της άλλης κατεύθυνσης γίνεται πάλι µε κλίση που αντιστοιχεί στη µέγιστη στροφή του τεταρτηµορίου από το οποίο άρχεται η επαναφόρτιση (π.χ. Ο-P-Q). Θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να γίνεται έλεγχος ότι ο κλάδος της επαναφόρτισης δεν τέµνει τον ελαστικό κλάδο του τεταρτηµορίου από το οποίο άρχισε η επαναφόρτιση. Για την αποφυγή της συγκεκριµένης αριθµητικής αστάθειας θα πρέπει να προσδιοριζέται κατά την αποφόρτιση το σηµείο τοµής του κλάδου αποφόρτισης και της ευθείας που συνδέει το σηµείο αρχής των αξόνων µε το σηµείο µέγιστης παραµόρφωσης της εσωτερικής περιβάλλουσας της αντίθετης κατεύθυνσης. Στην περίπτωση όπου η τεταγµένη του συγκεκριµένου σηµείου είναι µικρότερη της Μ ο,sl, τότε θα πρέπει ο κλάδος αποφόρτισης να συνεχίζεται µέχρι το συγκεκριµένο σηµείο (Σχήµα 5.13). -166-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά M Κλάδος αποφόρτισης M o,sl Αρχικό πέρας αποφόρτισης Τελικό πέρας αποφόρτισης θ slip M max Σχήµα 5.13: Πιθανό πρόβληµα αστάθειας κατά την επαναφόρτιση του ολισθητικού βρόχου. Εάν το σηµείο κορυφής της αποφόρτισης έχει τεταγµένη µικρότερη της Μ ο,sl, τότε η αποφόρτιση γίνεται µέχρι και τον άξονα των στροφών θ slip. Φόρτιση µετά από µερική αποφόρτιση γίνεται µε την ίδια κλίση της µερικής αποφόρτισης (π.χ. R-S-T). Για την προσοµοίωση των υστερητικών κανόνων του ολισθητικού βρόχου απαιτείται µια σειρά τροποποιήσεων του Β.Μ.Υ.Σ. της 3.3.1. Οι κυριότερες από αυτές περιγράφονται στη συνέχεια. Η κλίση των κλάδων αποφόρτισης δεν προσδιορίζεται από τον κανόνα επιστροφής (pivot rule) και την παράµετρο υποβάθµισης α ( 3.3.1.3), αλλά µε βάση αυτά που αναφέρθηκαν στην 5.3.1. Επίσης, γίνεται έλεγχος ώστε η κλίση του κλάδου αποφόρτισης να µην είναι µικρότερη της κλίσης της ευθείας που ενώνει το σηµείο κορυφής µε το µέγιστο σηµείο της εσωτερικής περιβάλλουσας της αντίθετης κατεύθυνσης. Ο προσδιορισµός των σηµείων 9 και 10 του Β.Μ.Υ.Σ. (Σχήµα 3.8) γίνεται πλέον από τις Εξισώσεις (5.3.2.1), εάν η αποφόρτιση ξεκίνησε από σηµείο µε ροπή µικρότερη κατά απόλυτη τιµή από τη Μ o,sl και από τις Εξισώσεις (5.3.2.2), εάν η αποφόρτιση ξεκίνησε από σηµείο µε ροπή µεγαλύτερη κατά απόλυτη τιµή από τη Μ o,sl. Στις εξισώσεις αυτές (θ vertex,μ vertex ) είναι οι συντεταγµένες του σηµείου κορυφής από το οποίο άρχεται η αποφόρτιση και (θ point, Μ point ) είναι οι συνταγµένες των σηµείων 9 και 10 ανάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο γίνεται η αποφόρτιση. Επιπλέον, σε κάθε περίπτωση θα προσδιορίζεται το σηµείο τοµής (θ inter, Μ inter ) του κλάδου αποφόρτισης και της ευθείας που ενώνει την αρχή των αξόνων και το στοχευόµενο σηµείο του ακόλουθου κλάδου επαναφόρτισης. Εάν προκύψει ότι Μ inter < Μ o,sl, τότε τα σηµεία 9 και 10 ταυτίζονται µε τα σηµεία τοµής (θ inter, Μ inter ). M vertex M po int = 0, θ po int = θ vertex (5.3.2.1) K M po int o, sl, un, sl M vertex M o, sl = M θ po int = θ vertex (5.3.2.2) K un, sl -167-

5. Ολισθητική Υστερητική Συµπεριφορά Για τον προσδιορισµό των σηµείων 13 και 14 του Β.Μ.Υ.Σ. (Σχήµα 3.8) γίνεται αρχικά έλεγχος κατά πόσον στη στοχευόµενη κατεύθυνση της επαναφόρτισης έχει προηγηθεί διαρροή ή όχι και επίσης εξετάζεται εάν η συγκεκριµένη κατεύθυνση είναι η ασθενής ή η ισχυρή της εξεταζόµενης διατοµής. Εάν δεν έχει προηγηθεί διαρροή στην ακολουθούµενη κατεύθυνση, τότε οι συντεταγµένες των σηµείων 13 και 14 είναι οι (θ y,sl weak, M y,sl weak ) µε τα αντίστοιχα πρόσηµα της εξεταζόµενης κατεύθυνσης, όπου θ y,sl weak και M y,sl weak είναι η στροφή ολίσθησης και η ροπή διαρροής της ασθενούς κατεύθυνσης της διατοµής. Εάν έχει προηγηθεί διαρροή στην ακολουθούµενη κατεύθυνση και η συγκεκριµένη κατεύθυνση είναι η ασθενής της διατοµής, τότε τα σηµεία 13 και 14 θα έχουν τις συντεταγµένες του µέγιστου σηµείου (θ max, M max ) της ίδιας κατεύθυνσης. Εάν η κατεύθυνση είναι η ισχυρή της εξεταζόµενης διατοµής, τότε τα σηµεία 13 και 14 θα καθορίζονται ως τα σηµεία τοµής της εσωτερικής περιβάλλουσας της συγκεκριµένης κατεύθυνσης µε τον κλάδο αποφόρτισης της ίδιας κατεύθυνσης, που άρχεται από το αντίστοιχο µέγιστο σηµείο απόκρισης της εξωτερικής περιβάλλουσας. -168-

Κεφάλαιο 6 ο 6 Πεπερασµένο στοιχείο προσοµοίωσης γραµµικών δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος -169-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο 6.1 Γενική Περιγραφή Το στοιχείο που προτείνεται στο παρόν κεφάλαιο για την προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς γραµµικών (ραβδόµορφων) δοµικών στοιχείων οπλισµένου σκυροδέµατος υπό µονότονη και ανακυκλιζόµενη φόρτιση ανήκει στην κατηγορία των φαινοµενολογικών µοντέλων. Το πεπερασµένο στοιχείο έχει αναπτυχθεί στην παρούσα φάση για την ανάλυση επίπεδων πλαισιακών κατασκευών (φορείς δύο διαστάσεων). Το προτεινόµενο µοντέλο βασίζεται στη µέθοδο της ευκαµψίας (flexibility or force-based model) για τον προσδιορισµό του µητρώου δυσκαµψίας του. Η προσοµοίωση γίνεται σε επίπεδο µέλους. ηλαδή το φυσικό µέλος (δοκός, υποστύλωµα) αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο του στατικού µοντέλου. Το πεπερασµένο στοιχείο συντίθεται από τρία επιµέρους υποστοιχεία (subelements) που προσδιορίζουν την καµπτική, τη διατµητική και την ολισθητική συµπεριφορά του δοµικού µέλους και είναι συνδεδεµένα µεταξύ τους σε σειρά (Σχήµα 6.1). Το καµπτικό υποστοιχείο (flexural sub-element) προσοµοιώνει την καµπτική συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου πριν και µετά τη διαρροή των άκρων του. Το διατµητικό υποστοιχείο (shear sub-element) προσοµοιώνει τη διατµητική συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου πριν και µετά τη διατµητική ρηγµάτωση και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Το καµπτικό και το διατµητικό υποστοιχείο αλληλεπιδρούν σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης, ώστε να προσοµοιώσουν το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση (shear-flexure interaction) στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων. Το ολισθητικό υποστοιχείο (bond-slip sub-element) προσοµοιώνει την ανάπτυξη των τοπικών στροφών που αναπτύσσονται στα άκρα των δοµικών στοιχείων από τη διείσδυση της διαρροής και την ολίσθηση της αγκύρωσης του οπλισµού στους γειτονικούς κόµβους. Για τον προσδιορισµό του τοπικού εφαπτοµενικού µητρώου δυσκαµψίας (ευκαµψίας) Κ e (F e ) του στοιχείου, υπολογίζεται αρχικά το θεµελιώδες µητρώο δυσκαµψίας (ευκαµψίας) του Κ (F) που αντιστοιχεί στην αµφιέρειστη (ισοστατικά εδραζόµενη) δοκό του Σχήµατος (6.1β). Το θεµελιώδες µητρώο δυσκαµψίας, στο µηγραµµικό πρόβληµα, συνδέει την προσαύξηση του µητρώου των ροπών Μ=[ Μ Α Μ Β ] Τ µε το µητρώο προσαύξησης των στροφών θ=[ θ Α θ Β ] Τ στα άκρα του εύκαµπτου τµήµατος του στοιχείου µέσω της σχέσης Μ=Κ θ (6.1.1) Επειδή τα τρία υποστοιχεία του προτεινόµενου µοντέλου πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά, προκύπτουν οι Εξισώσεις (6.1.2) και (6.1.3), όπου Μ fl, Μ sh, Μ sl είναι τα µητρώα προσαυξήσεων των ροπών και θ fl, θ sh, θ sl τα µητρώα προσαυξήσεων των στροφών αντίστοιχα στα άκρα του καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού υποστοιχείου. Από τις Εξισώσεις (6.1.1) έως (6.1.3) προκύπτει εύκολα η βασική Σχέση (6.1.4), όπου F fl, F sh, F sl είναι τα θεµελιώδη µητρώα ευκαµψίας του καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού υποστοιχείου αντίστοιχα. Μ= Μ fl = Μ sh = Μ sl (6.1.2) θ= θ fl + θ sh + θ sl (6.1.3) F=F fl + F sh + F sl (6.1.4) -170-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Σύµφωνα µε την Εξίσωση (6.1.4), το συνολικό θεµελιώδες µητρώο ευκαµψίας του στοιχείου προκύπτει από την άθροιση των µητρώων ευκαµψίας των υποστοιχείων του. Το συνολικό θεµελιώδες µητρώο δυσκαµψίας Κ προκύπτει στη συνέχεια από την αντιστροφή του F. K=F -1 (6.1.5) Ο τρόπος υπολογισµού των F fl, F sh, F sl, όπως προτείνεται στην παρούσα διατριβή, παρουσιάζεται αναλυτικά στις ενότητες 6.2, 6.3 και 6.4. Στην περίπτωση όπου στα άκρα του στοιχείου περιλαµβάνονται και άκαµπτοι βραχίονες (Σχήµα 6.1β) θα πρέπει να γίνει µεταφορά των ροπών και στροφών από τα άκρα του εύκαµπτου τµήµατος του στοιχείου (Α,Β) στους ακραίους κόµβους του στοιχείου (Α,Β ). Έτσι, εάν λ Α L και λ Β L είναι τα µήκη που έχουν οι άκαµπτοι βραχίονες στα άκρα του στοιχείου, όπου L είναι το συνολικό µήκος του στοιχείου µαζί µε τους άκαµπτους βραχίονες, τότε θα ισχύουν οι Εξισώσεις (6.1.6), (6.1.7) και (6.1.8) όπου Μ Α και Μ Β είναι οι ροπές στους κόµβους Α και Β και θ Α και θ Β οι αντίστοιχες στροφές. M A' M A = [ L] (6.1.6) M B' M B θ A = θ B θ Τ A' [ L ] θ B' (6.1.7) 1 1 λβ λα [ L ] = (6.1.8) 1 λα λβ λβ 1 λα Συνδυάζοντας τις Εξισώσεις (6.1.6)-(6.1.8) προκύπτει η Εξίσωση (6.1.9) που προσδιορίζει πλέον το θεµελιώδες µητρώο δυσκαµψίας Κ το οποίο συνδέει τις ροπές µε τις στροφές στα άκρα της ισοστατικά εδραζόµενης δοκού µε άκαµπτους βραχίονες του Σχήµατος (6.1β) µέσα από την Εξίσωση (6.1.10). K =L K L T (6.1.9) M A' θ A' = [ K' ] (6.1.10) M B' θ B' Από τη συνθήκη ισορροπίας των δυνάµεων που ασκούνται κάθετα στον άξονα του στοιχείου προκύπτει η Εξίσωση (6.1.11), όπου το µητρώο συσχέτισης R δίνεται από την Εξίσωση (6.1.12). YA' M A' M A' = [ R] (6.1.11) YB' M B' M B' [ R] 1/ L ' 1/ L ' 1 0 = 1/ L ' 1/ L ' 0 1 (6.1.12) -171-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο v A, Y A v B, Y B θ A, Μ A (α) θβ, Μ Β λ Α L L L λ Β L θ Β A A θ A (β) B θ Β B θ A ΕΙ Α ΕΙ ο ΕΙ Β (γ) GA Α GA M GA B Ανελαστικό στροφικό ελατήριο Άκαµπτη ράβδος (δ) Ανελαστικό στροφικό ελατήριο (ε) Σχήµα 6.1: Προτεινόµενο γραµµικό πεπερασµένο στοιχείο: α) Γεωµετρία φυσικού µέλους, β) Γραµµικό πεπερασµένο στοιχείο µε άκαµπτους ακραίους βραχίονες, γ) Καµπτικό υποστοιχείο, δ) ιατµητικό υποστοιχείο, ε) Ολισθητικό υποστοιχείο. Λαµβάνοντας υπόψη και τις συνθήκες συµβιβαστού των παραµορφώσεων για την αµφιέρειστη δοκό προκύπτει η Εξίσωση (6.1.13) για το 4x4 τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου του Σχήµατος (6.1) το οποίο συνδέει τα κάθετα προς τον άξονα εντατικά µεγέθη στα άκρα του στοιχείου µε τα εργικώς ανταποκρινόµενα µεγέθη παραµόρφωσης µέσα από την Εξίσωση (6.1.14). K e = R K R T (6.1.13) -172-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο YA' v A' M A' = [ ] θ A' K e (6.1.14) Y B' vb' M B' θ B' Όσον αφορά τα στοιχεία υποστυλωµάτων, λαµβάνονται υπόψη και οι αξονικές παραµορφώσεις τους στην παρούσα διατριβή κατά τρόπο απλουστευτικό. ηλαδή, γίνεται η (συνήθης στη σχετική βιβλιογραφία) θεώρηση ότι οι αξονικές παραµορφώσεις είναι ασύζευκτες µε τις υπόλοιπες παραµορφώσεις και επιπλέον γίνεται η παραδοχή γραµµικά ελαστικής συµπεριφοράς. Συνεπώς, εάν Χ Α και Χ Β είναι οι αξονικές δυνάµεις στα άκρα Α και Β του στοιχείου και u Α, u B είναι οι αξονικές µετακινήσεις στα άκρα Α και Β του στοιχείου αντίστοιχα, τότε προκύπτει η Εξίσωση (6.1.15), όπου ΕΑ/L η ελαστική δυστένεια του υποστυλώµατος. X X A' B' = EA L 1 1 1 1 u u A' B' (6.1.15) 6.2 Καµπτικό Υποστοιχείο 6.2.1 Εισαγωγή Το καµπτικό υποστοιχείο χρησιµοποιείται στην παρούσα διατριβή για την προσοµοίωση της ανελαστικής καµπτικής συµπεριφοράς των στοιχείων Ο/Σ που υποβάλλονται σε σεισµική φόρτιση, πριν και µετά την καµπτική διαρροή. Αποτελείται από έναν αριθµό κανόνων που καθορίζουν την υστερητική Μ-φ συµπεριφορά των ακραίων διατοµών του, από το µοντέλο κατανεµηµένης ευκαµψίας (flexural distributed plasticity model) που καθορίζει τον τρόπο που µεταβάλλεται η δυσκαµψία κατά µήκος του στοιχείου και από το µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής διαρροής (flexural yield penetration model) που καθορίζει το εύρος διείσδυσης της καµπτικής διαρροής από τα άκρα προς το εσωτερικό του δοµικού στοιχείου. Στη συνέχεια ακολουθεί αναλυτική περιγραφή για το καθένα από τα δύο µοντέλα ξεχωριστά. 6.2.2 Μοντέλο Κατανεµηµένης Ευκαµψίας Είναι γνωστό ότι υπό σεισµική φόρτιση που επιβάλλει ανελαστική συµπεριφορά, οι διατοµές κατά µήκος ενός στοιχείου Ο/Σ αναπτύσσουν διαφορετική δυσκαµψία ανάλογα και µε το επίπεδο της ανελαστικοποίησης που αναπτύχθηκε. Συνεπώς, για την ορθή προσοµοίωση της ανελαστικής σεισµικής συµπεριφοράς των στοιχείων Ο/Σ είναι απαραίτητη η µόρφωση ενός µοντέλου κατανεµηµένης ευκαµψίας για τον προσδιορισµό της µεταβολής της δυσκαµψίας κατά µήκος τους. -173-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Μ Α Μ yα α) Α Β Μ yb Μ Β β) EI A EI o EI B α A L (1-α A - α Β )L α Β L L EI o γ) EI A EI B α A L (1-α A - α Β )L α Β L L EI o δ) EI A EI B α A L (1-α A - α Β )L α Β L L EI o EI B ε) EI A α A L (1-α A - α Β )L α Β L L Σχήµα 6.2: Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ κατά µήκος του στοιχείου: α) Κατανοµή ροπών κατά µήκος του στοιχείου, β) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ µε σταθερή τιµή και στα δύο άκρα του στοιχείου, γ) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ µε γραµµική µεταβολή και στα δύο άκρα του στοιχείου, δ) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ µε σταθερή τιµή στο άκρο Α του στοιχείου και γραµµική µεταβολή άκρο Β, ε) Κατανοµή παράγοντα δυσκαµψίας µε γραµµική µεταβολή στο άκρο Α και σταθερή τιµή στο άκρο Β. -174-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Το µοντέλο κατανεµηµένης ευκαµψίας της παρούσας διατριβής αποτελείται από έναν αριθµό κανόνων που καθορίζουν την υστερητική συµπεριφορά σε όρους Μ-φ (ροπών-καµπυλοτήτων) των ακραίων διατοµών του δοµικού στοιχείου και από µία σειρά παραδοχών για τον τρόπο µεταβολής της δυσκαµψίας στο εσωτερικό του δοµικού στοιχείου. Η υστερητική (Μ-φ) συµπεριφορά των ακραίων διατοµών του στοιχείου καθορίζεται µε βάση τους κανόνες που περιγράφονται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 4 της παρούσας διατριβής. Σχετικά µε την κατανοµή της ευκαµψίας, το δοµικό στοιχείο διακριτοποιείται ως εξής: i) µια ελαστική ενδιάµεση ζώνη µε σταθερή ελαστική τιµή του παράγοντα δυσκαµψίας EI o και ii) τις ακραίες ανελαστικές ζώνες όπου η ΕΙ µεταβάλλεται ανάλογα µε την τρέχουσα (στιγµιαία) δυσκαµψία και φορτιστική κατάσταση των ακραίων διατοµών (Σχήµα 6.2). Στο Σχήµα (6.2), ΕΙ Α και ΕΙ Β είναι οι παράγοντες δυσκαµψίας των ακραίων διατοµών Α και Β αντίστοιχα και ΕΙ ο είναι ο παράγοντας δυσκαµψίας στο τµήµα του στοιχείου που δεν έχει διαρρεύσει. Επιπλέον, α Α και α Β είναι τα ανηγµένα µήκη διείσδυσης της καµπτικής ανελαστικοποίησης από τα άκρα και L είναι το µήκος του στοιχείου. Οι παράγοντες δυσκαµψίας ΕΙ Α και ΕΙ Β προσδιορίζονται από το αντίστοιχο υστερητικό µοντέλο Μ-φ της ακραίας διατοµής. Η τιµή του παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ ο και οι συντελεστές α Α και α Β καθορίζονται από το µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής ανελαστικοποίησης που περιγράφεται στην 6.2.3 ανάλογα µε την κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου και το προηγούµενο ιστορικό της φόρτισης. Κατά τη διάρκεια ενός βήµατος φόρτισης είναι δυνατόν οι επιµέρους διατοµές µιας ανελαστικής ζώνης να αναπτύξουν διαφορετική υστερητική συµπεριφορά ανάλογα µε το µέγεθος και τη φορά της προσαύξησης της καµπτικής ροπής που αναπτύσσεται στην κάθε διατοµή. Για την προσοµοίωση αυτού του φαινοµένου απαιτείται κανονικά η παρακολούθηση της υστερητικής συµπεριφοράς της κάθε διατοµής ξεχωριστά. Αυτή η λύση όµως οδηγεί σε σηµαντική αύξηση του υπολογιστικού κόστους και παράλληλα σε ανυπέρβλητες δυσκολίες στον υπολογισµό του µητρώου δυσκαµψίας του στοιχείου (Soleimani et al. 1979). Η βασική παραδοχή που υιοθετείται και στην παρούσα διατριβή για λόγους απλοποίησης της υπολογιστικής διαδικασίας είναι ότι ολόκληρη η ανελαστική ζώνη θα βρίσκεται πάντα στη ίδια φορτιστική κατάσταση (φόρτιση, αποφόρτιση, επαναφόρτιση) µε την ακραία διατοµή της. Η παραδοχή αυτή δεν ανταποκρίνεται πάντοτε στην πραγµατικότητα, όπως επεξηγείται και στην παράγραφο 6.2.4, ωστόσο αποτελεί βασική προϋπόθεση για την ουσιαστική µείωση των υπολογισµών. Στο Σχήµα (6.3) παρουσιάζεται η υστερητική συµπεριφορά τεσσάρων διατοµών της αριστερής ανελαστικής ζώνης ενός στοιχείου Ο/Σ που φορτίζεται αρχικά, αποφορτίζεται στη συνέχεια και στο τέλος επαναφορτίζεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Παρακολουθώντας την υστερητική συµπεριφορά αυτών των επιµέρους διατοµών της ανελαστικής ζώνης µπορούν να εξαχθούν τα εξής συµπεράσµατα: -175-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Μ Α Μ yα α) Α Β Μ yb Μ Β 1 2 3 4 EI A EI o EI B β) α A L (1-α A - α Β )L L α Β L γ) Μ EI o 4 r EI o 1 2 3 0<r,r 1,r 2 <1 r 1 EI o 4 3 1 2 φ r 2 EI o Σχήµα 6.3: Υστερητική συµπεριφορά επιµέρους διατοµών της ανελαστικής ζώνης: α).κ.ρ. κατά µήκος του στοιχείου, β) πιθανή κατανοµή της δυσκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου, γ) υστερητική συµπεριφορά Μ-φ διατοµών ανελαστικής ζώνης. Όταν η ακραία διατοµή βρίσκεται στην κατάσταση της φόρτισης, τότε ολόκληρη η ανελαστική ζώνη έχει σταθερή δυσκαµψία ίση µε r EI o όπου r είναι ο λόγος κράτυνσης του διαγράµµατος Μ-φ της ακραίας διατοµής. Συνεπώς, είναι εύλογη σε αυτήν την περίπτωση η παραδοχή οµοιόµορφης κατανοµής της δυσκαµψίας στην ανελαστική ζώνη, ίσης µε την τρέχουσα δυσκαµψίας της ακραίας διατοµής. Αντίστοιχη παραδοχή κάνουν και οι (Soleimani et al. 1979, Filippou & Issa 1988 και Arede & Pinto 1998). Όταν η ανελαστική ζώνη βρίσκεται σε κατάσταση αποφόρτισης, τότε η δυσκαµψία των επιµέρους διατοµών δεν είναι η ίδια αλλά συνεχώς αυξανόµενη από την ακραία διατοµή του στοιχείου, όπου είναι ίση µε r i EI o, έως το πέρας της ανελαστικής ζώνης όπου και γίνεται ίση µε την ελαστική δυσκαµψία του στοιχείου ΕΙ ο. Στην πραγµατικότητα η µεταβολή του παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ κατά µήκος της ανελαστικής ζώνης σε αυτήν την περίπτωση είναι µη γραµµική, όπως υποδηλώνεται άλλωστε και από τα διάφορα υστερητικά µοντέλα που αναπτύχθηκαν για την περιγραφή της υστερητικής συµπεριφοράς διατοµών Ο/Σ (Takeda et al. 1970, Sivaselvan & Reinhorn 1999) και στα οποία η κλίση του κλάδου αποφόρτισης µειώνεται µη-γραµµικά µε την καµπυλότητα του σηµείου έναρξης του κλάδου αποφόρτισης. Οι Soleimani et al. (1979) και Filippou & Issa (1988) θεωρούν και σε -176-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο αυτήν την περίπτωση σταθερή δυσκαµψία κατά µήκος της ανελαστικής ζώνης, αφού υιοθετούν το µοντέλο Clough για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς των ακραίων διατοµών το οποίο βασίζεται στην παραδοχή ελαστικής δυσκαµψίας κατά την αποφόρτιση. Οι Arede & Pinto (1998) υιοθετούν την παραδοχή γραµµικής µεταβολής της δυσκαµψίας κατά µήκος της ανελαστικής ζώνης κατά την αποφόρτιση της ακραίας διατοµής. Η παραδοχή αυτή προτείνεται και στην παρούσα διατριβή, ως η βέλτιστη λύση που αφενός προσοµοιώνει καλύτερα το φυσικό φαινόµενο (µεταβαλλόµενη δυσκαµψία κατά µήκος της ανελαστικής ζώνης) και αφετέρου προσεγγίζει επαρκώς την πραγµατική κατανοµή της δυσκαµψίας στην ανελαστική περιοχή. Αντίστοιχα συµπεράσµατα µε τους κλάδους αποφόρτισης ισχύουν και στην περίπτωση των κλάδων επαναφόρτισης. Και σε αυτήν την περίπτωση η µεταβολή του παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ είναι µη γραµµική και µάλιστα συνεχώς αυξανόµενη από την ακραία διατοµή του στοιχείου πού είναι ίση µε r 2 EI o έως το πέρας της ανελαστικής ζώνης όπου και γίνεται ίση µε την ελαστική τιµή του παράγοντα δυσκαµψίας του στοιχείου ΕΙ ο. Οι Soleimani et al. (1979) και οι Filippou & Issa (1988) θεωρούν σε αυτήν την περίπτωση µια µέση ευκαµψία κατά µήκος της ανελαστικής ζώνης (µέσος όρος της ελαστικής ευκαµψίας και της τρέχουσας ευκαµψίας της ακραίας διατοµής). Με τον τρόπο αυτόν λαµβάνουν εµµέσως υπόψη τη µεταβολή της δυσκαµψίας κατά µήκος της ανελαστικής περιοχής εξασφαλίζοντας παράλληλα τη µέγιστη δυνατή απλοποίηση των υπολογισµών, καθώς οι γενικές εξισώσεις που προσδιορίζουν τους όρους του µητρώου ευκαµψίας ισχύουν και σε αυτήν την περίπτωση. Από την άλλη µεριά, ωστόσο, µε τον τρόπο αυτόν δεν αποδίδεται αρκετά ρεαλιστικά το πραγµατικό φαινόµενο. Οι Arede & Pinto (1998) προτείνουν και σε αυτήν την περίπτωση να θεωρείται γραµµική µεταβολή της δυσκαµψίας στις ζώνες διαρροής του στοιχείου. Η παραδοχή αυτή προτείνεται και στην παρούσα διατριβή, ως η καλύτερη δυνατή λύση που αφενός προσοµοιώνει καλύτερα το φυσικό φαινόµενο (µεταβαλλόµενη δυσκαµψία κατά µήκος της ανελαστικής ζώνης) και αφετέρου προσεγγίζει επαρκώς την πραγµατική κατανοµή της δυσκαµψίας στην ανελαστική περιοχή. Σε αυτό το σηµείο σηµειώνεται ότι βασική διαφοροποίηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου σε σχέση µε αυτό που προτείνεται από τους Arede & Pinto (1998) αποτελεί το γεγονός ότι στο παρόν µοντέλο επιλέχθηκε να µην προσοµοιώνεται η σταδιακή εξάπλωση της καµπτικής ρηγµάτωσης στα στοιχεία Ο/Σ. Η επιλογή αυτή έγινε, γιατί στις υφιστάµενες κατασκευές τα δοµικά στοιχεία Ο/Σ έχουν κατά κανόνα ήδη ρηγµατωθεί από τα υπάρχοντα κατακόρυφα και περιβαλλοντικά φορτία και προηγούµενες σεισµικές δράσεις. Συνεπώς, η προσοµοίωση της εξάπλωσης της καµπτικής ρηγµάτωσης στα συγκεκριµένα δοµικά στοιχεία θεωρείται ότι αυξάνει δυσανάλογα το υπολογιστικό κόστος σε σχέση µε την αύξηση της ακρίβειας των αποτελεσµάτων που είναι δυνατόν να επιφέρει. Συνοψίζοντας τις προαναφερθείσες παρατηρήσεις, προτείνονται στη συνέχεια οι εξής κατανοµές της δυσκαµψίας κατά µήκος ενός στοιχείου Ο/Σ ανάλογα µε τις φορτιστικές καταστάσεις (φόρτιση, αποφόρτιση, επαναφόρτιση) των ακραίων διατοµών του. Οι ακραίες διατοµές Α και Β του στοιχείου βρίσκονται και οι δύο στην κατάσταση φόρτισης. Σε αυτήν την περίπτωση γίνεται η παραδοχή ότι η δυσκαµψία κατά µήκος -177-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο του µέλους Ο/Σ έχει τη µορφή του Σχήµατος (6.2β), όπου και οι δύο ανελαστικές ζώνες έχουν σταθερή δυσκαµψία σε ολόκληρο το εύρος τους. Οι ακραίες διατοµές Α και Β του στοιχείου βρίσκονται και οι δύο σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης. Σε αυτήν την περίπτωση γίνεται η παραδοχή ότι η δυσκαµψία κατά µήκος του µέλους Ο/Σ έχει τη µορφή του Σχήµατος (6.2γ), όπου και οι δύο ανελαστικές ζώνες έχουν γραµµικά µεταβαλλόµενη δυσκαµψία στο µήκος τους. Η ακραία διατοµή Α βρίσκεται σε κατάσταση φόρτισης, ενώ η ακραία διατοµή Β βρίσκεται σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης. Σε αυτήν την περίπτωση γίνεται η παραδοχή ότι η δυσκαµψία κατά µήκος του µέλους Ο/Σ έχει τη µορφή του Σχήµατος (6.2δ), όπου η ανελαστική ζώνη του άκρου Α έχει παντού οµοιόµορφη δυσκαµψία, ενώ στην ανελαστική περιοχή του άκρου Β η δυσκαµψία µεταβάλλεται γραµµικά. Η ακραία διατοµή Α βρίσκεται σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης, ενώ η ακραία διατοµή Β βρίσκεται σε κατάσταση φόρτισης. Σε αυτήν την περίπτωση γίνεται η παραδοχή στην παρούσα εργασία ότι η δυσκαµψία κατά µήκος του µέλους Ο/Σ έχει τη µορφή του Σχήµατος (6.2ε), όπου η ανελαστική ζώνη του άκρου Α έχει γραµµικά µεταβαλλόµενη δυσκαµψία, ενώ στην ανελαστική περιοχή του άκρου Β η δυσκαµψία παραµένει σταθερή σε ολόκληρο το µήκος της. 6.2.3 Μοντέλο ιείσδυσης της Καµπτικής ιαρροής Το µοντέλο κατανεµηµένης ευκαµψίας της παραγράφου 6.2.2 στηρίζεται στο µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής ανελαστικοποίησης αυτής της παραγράφου για τον προσδιορισµό της µεταβολής της δυσκαµψίας κατά µήκος των στοιχείων Ο/Σ στα επιµέρους βήµατα της ανελαστικής ανάλυσης της κατασκευής. Το µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής διαρροής είναι απαραίτητο για τον προσδιορισµό των παραµέτρων α Α, α Β και ΕΙ ο του µοντέλου κατανεµηµένης ευκαµψίας σε κάθε επιµέρους βήµα της ανάλυσης. Το µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής ανελαστικοποίησης που προτείνεται στην παρούσα εργασία αποτελεί µια σύζευξη των αντίστοιχων µοντέλων που προτάθηκαν από τους Soleimani et al. (1979) και Valles et al. (1996). Ο τρόπος προσδιορισµού των µηκών καµπτικής ανελαστικοποίησης ακολουθεί τη γενική µεθοδολογία που προτείνεται από τους Valles et al. (1996). Ωστόσο, τα µήκη αυτά προσδιορίζονται πλέον από τις ροπές διαρροής στα δύο άκρα του στοιχείου όπως προτείνουν οι Soleimani et al. (1979), καθώς στις υφιστάµενες κατασκευές Ο/Σ, τις οποίες πραγµατεύεται η παρούσα εργασία τα δοµικά στοιχεία θεωρούνται ότι είναι ήδη ρηγµατωµένα. Πρωτότυπο χαρακτηριστικό του προτεινόµενου µοντέλου διείσδυσης της καµπτικής διαρροής αποτελεί το γεγονός ότι στον προσδιορισµό του µήκους των ανελαστικών ζωνών λαµβάνεται υπόψη µε ακρίβεια η µη-γραµµική µεταβολή του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών εξαιτίας της ύπαρξης των οµοιόµορφα κατανεµηµένων φορτίων για τα στοιχεία δοκού. Τα µήκη ανελαστικοποίησης παίζουν καθοριστικό ρόλο στον υπολογισµό του µητρώου δυσκαµψίας του στοιχείου και συνεπώς ο ρεαλιστικός υπολογισµός τους είναι απαραίτητος για την ακρίβεια των -178-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο αποτελεσµάτων. Αποδεικνύεται ότι, ανάλογα µε το πρόσηµο της αναπτυσσόµενης ροπής στο άκρο του στοιχείου και το µέγεθος του κατανεµηµένου φορτίου, το µήκος διείσδυσης της καµπτικής διαρροής από το εξεταζόµενο άκρο µπορεί να διαφέρει σηµαντικά από αυτό που προκύπτει µε την παραδοχή γραµµικής κατανοµής των ροπών. Οι Soleimani et al. (1979) και οι Filippou & Issa (1988) για τον υπολογισµό του µήκους διείσδυσης της διαρροής στα στοιχεία δοκού υιοθέτησαν την παραδοχή σταθερής τέµνουσας δύναµης εντός της ανελαστικής ζώνης. Η παραδοχή αυτή δεν είναι πάντοτε ακριβής και ενίοτε µπορεί να οδηγήσει στην ανάπτυξη φαινόµενων αριθµητικής αστάθειας. Οι Kyakula & Wilkinson (2004) πρότειναν µια προσεγγιστική µεθοδολογία για τον υπολογισµό των µηκών διαρροής σε στοιχεία µε µη-γραµµική κατανοµή του διαγράµµατος των ροπών. Το µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα εργασία εφαρµόζει σχέσεις κλειστού τύπου για τον υπολογισµό του µήκους των ζωνών ανελαστικοποίησης σε στοιχεία δοκού που υποβάλλονται σε οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο. Με τον τρόπο αυτόν επιτυγχάνεται η απόλυτη ακρίβεια των αποτελεσµάτων, ενώ και το υπολογιστικό κόστος γίνεται ταυτόσηµο µε αυτό που έχουν τα µοντέλα που θεωρούν γραµµική κατανοµή των ροπών κατά µήκος του δοµικού στοιχείου. Είναι σαφές ότι η µεθοδολογία που προτείνεται στην παρούσα εργασία µπορεί να επεκταθεί στο µέλλον και στις περιπτώσεις µη-οµοιόµορφα κατανεµηµένων γραµµικών φορτίων. Επιπλέον, στο µοντέλο της παρούσας εργασίας προτείνεται µια βελτιωµένη διαδικασία για τον υπολογισµό του παράγοντα δυσκαµψίας ΕΙ ο του τµήµατος εκείνου του στοιχείου το οποίο δεν έχει διαρρεύσει σε κάµψη. Στη συντριπτική πλειονότητα των υφιστάµενων µοντέλων κατανεµηµένης πλαστικότητας η τιµή της ΕΙ ο θεωρείται σταθερή και δεν εξετάζεται η περίπτωση διαφορετικής τιµής της ΕΙ ο στα δύο άκρα του στοιχείου. Οι Valles et al. (1996) ήταν οι µόνοι που θεώρησαν µια µέση τιµή της ΕΙ ο στο ενδιάµεσο τµήµα του στοιχείου. Στην παρούσα εργασία υιοθετείται η προσέγγιση των Valles et al. (1996) η οποία και επεκτείνεται για την περίπτωση όπου τα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής είναι διαφορετικά στα δύο άκρα του στοιχείου. Τέλος, στην περίπτωση όπου οι ροπές στα δύο άκρα του στοιχείου είναι οµόσηµες και οι ροπές διαρροής στα δύο άκρα είναι διαφορετικές µεταξύ τους, προτείνεται στην παρούσα εργασία να προσδιορίζονται τα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής µε βάση την παραδοχή γραµµικής µεταβολής της ροπής διαρροής κατά µήκος του στοιχείου. Στη συνέχεια ακολουθεί αναλυτική περιγραφή του προτεινόµενου µοντέλου διείσδυσης της καµπτικής ανελαστικοποίησης. Στο µοντέλο της παρούσας έρευνας, τα ανηγµένα µήκη διείσδυσης της διαρροής α Α και α Β καθορίζουν εκείνο το τµήµα στο οποίο η δρώσα ροπή είναι µεγαλύτερη της ροπής διαρροής Μ yα και Μ yb αντίστοιχα στα δύο άκρα του στοιχείου. Στους υπολογισµούς που ακολουθούν, οι ροπές Μ yα και Μ yb θα λαµβάνουν το πρόσηµο της ακραίας ροπής του αντίστοιχου άκρου του δοµικού στοιχείου. Τα µήκη διείσδυσης υπολογίζονται πρώτα από την τρέχουσα κατανοµή της δρώσας ροπής και στη συνέχεια συγκρίνονται µε τα µέγιστα µέχρι τότε µήκη διείσδυσης της διαρροής από τα δυο άκρα του στοιχείου α Α,max και α Β,max. Τα α Α και α Β δεν µπορεί να είναι µικρότερα από τις προηγούµενες αντίστοιχες µέγιστες τιµές τους ανεξάρτητα από την τρέχουσα κατανοµή της ροπής (µοντέλο 'µε µνήµη'). ιακρίνονται δυο βασικές περιπτώσεις: Η περίπτωση όπου οι ροπές στα δυο άκρα του στοιχείου είναι ετερόσηµες (double bending) και η περίπτωση όπου οι ροπές στα -179-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο δυο άκρα του στοιχείου είναι οµόσηµες (single bending). Συγκεκριµένοι κανόνες ορίζονται για κάθε µια από τις δυο περιπτώσεις κατανοµής της ροπής κατά µήκος του στοιχείου. a) Περίπτωση µε ετερόσηµες ροπές στα δύο άκρα του στοιχείου (Μ Α Μ Β 0) Για τη συγκεκριµένη περίπτωση ορίζονται οι παρακάτω υποπεριπτώσεις 1) Ακραίες ροπές µικρότερες από τις αντίστοιχες ροπές διαρροής ( M A M ya και M B M. yb Μ yβ Μ yα Γραµµική Μ Β Μ Α Γραµµική Μ Α Παραβολική Παραβολική Μ yα Μ Β L L Μ yβ Σχήµα 6.4: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές, χωρίς διαρροή στα άκρα του στοιχείου. Σε αυτήν την περίπτωση τα τρέχοντα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής είναι ίσα µε το µηδέν και στα δύο άκρα του στοιχείου. Σε κάθε περίπτωση τα µήκη αυτά θα πρέπει να είναι µεγαλύτερα ή ίσα από τις προηγούµενες, αντίστοιχες µέγιστες τιµές. Είναι δηλαδή: a = 0, αλλά και α Α α Α,max (6.2.3.1) A a = 0, αλλά και α B α B,max (6.2.3.2) B Η δυσκαµψία στο µεσαίο τµήµα του στοιχείου, που στην προκειµένη περίπτωση ταυτίζεται µε ολόκληρο το στοιχείο, δίνεται µε βάση το µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής διαρροής των Valles et al. (1996) από την Εξίσωση (6.2.3.3), όπου ΕΙ οα και ΕΙ οβ είναι οι οιονεί ελαστικές δυσκαµψίες του διαγράµµατος Μ-φ των δύο ακραίων διατοµών του στοιχείου. 2EIoAEIoB EIo = (6.2.3.3) EI + EI oa Η Εξίσωση (6.2.3.3) έχει προκύψει από την παραδοχή ότι η ευκαµψία στο ενδιάµεσο τµήµα του στοιχείου που δεν έχει διαρρεύσει είναι ίση µε το µέσο όρο των ελαστικών ευκαµψιών των άκρων του στοιχείου. Εάν γίνει η παραδοχή ότι η ελαστική ob -180-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο ευκαµψία έχει γραµµική κατανοµή κατά µήκος του στοιχείου, τότε η παραδοχή των Valles et al. (1996) συνεπάγεται ότι η ευκαµψία του ελαστικού τµήµατος θα πρέπει να ταυτίζεται µε την ελαστική ευκαµψία στο µέσο του στοιχείου. Στην παρούσα εργασία υιοθετείται η παραδοχή γραµµικής µεταβολής της ελαστικής ευκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου. Ωστόσο, συνιστάται η ελαστική ευκαµψία στο ενδιάµεσο τµήµα του στοιχείου να λαµβάνεται ίση µε την ελαστική ευκαµψία στο µέσο του ενδιάµεσου τµήµατος (Σχήµα 6.5) και όχι πάντα στο µέσο του στοιχείου, όπως προτείνουν οι Valles et al. (1996). Οι δύο παραδοχές ταυτίζονται µόνο στην περίπτωση όπου τα µήκη διείσδυσης της διαρροής στα δύο άκρα του στοιχείου είναι ίσα µεταξύ τους. Στη γενική περίπτωση, µε βάση το Σχήµα (6.5) και την παραδοχή της παρούσας διατριβής, η δυσκαµψία στο ενδιάµεσο τµήµα του στοιχείου θα δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.4). Η Εξίσωση (6.2.3.4) εκφυλίζεται στην Εξίσωση (6.2.3.3), όταν γίνει α Α =α Β. EI oaei ob EI = 2 o (1 a + a ) EI + (1 a + a ) EI (6.2.3.4) B A oa A B ob f o f ob f oα Α α Α (1+α Α -α Β )/2 1-α Α -α Β α Β Β ΕΙ οα=1/f oa ΕΙ οb =1/f ob EI o =1/f o Σχήµα 6.5: Προσδιορισµός ισοδύναµης ελαστικής δυσκαµψίας του ενδιάµεσου τµήµατος του στοιχείου που δεν έχει διαρρεύσει. 2) Μόνο η ακραία ροπή στο άκρο Α είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης ροπής διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Σε αυτήν την περίπτωση, το τρέχον µήκος α Α θα είναι µεγαλύτερο του µηδενός και το µήκος α Β θα είναι ίσο µε το µηδέν. Για τον προσδιορισµό του µήκους α Α διακρίνονται δύο περιπτώσεις: α) Γραµµική κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου (α Αl ) που ισχύει όταν το επιβαλλόµενο οµοιόµορφο φορτίο είναι ίσο µε το µηδέν και β) Παραβολική κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου (α Αp ) που ισχύει όταν το επιβαλλόµενο οµοιόµορφο φορτίο κατά µήκος του στοιχείου είναι µεγαλύτερο του µηδενός. Στην περίπτωση της γραµµικής κατανοµής ο προσδιορισµός του µήκους α Αl γίνεται εύκολα από την Εξίσωση (6.2.3.5). M A M ya α Al = 1, αλλά και α Αl α Α,max (6.2.3.5) M M A B Στην περίπτωση της παραβολικής κατανοµής των ροπών, από ισορροπία στο αριστερό άκρο του στοιχείου και εφαρµόζοντας τα πρόσηµα της κλασικής στατικής, προκύπτει ότι η ροπή Μ(x) σε απόσταση x από το άκρο Α του στοιχείου δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.6). 2 x M ( x) = M A+ VA x q (6.2.3.6) 2-181-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Όταν α Αp L=x, τότε θα ισχύει ότι M(x)=M ya. Με αντικατάσταση στην Εξίσωση (6.2.3.6) και επίλυση ως προς x/l, προκύπτει η Εξίσωση (6.2.3.7), όπου V A είναι η τέµνουσα δύναµη στο αριστερό άκρο του στοιχείου η οποία προκύπτει από ισορροπία στο σύνολο του στοιχείου από την Εξίσωση (6.2.3.8). ( M M ) 2 VA ± VA 2q ya A α Ap = 1, αλλά και α Αp α Α,max (6.2.3.7) q L q L M B M A VA = + (6.2.3.8) 2 L Από τη σύγκριση των Εξισώσεων (6.2.3.5) και (6.2.3.7), και µε τη βοήθεια του Σχήµατος (6.6), προκύπτει ότι το α Αp είναι µεγαλύτερο του α Αl, όταν η Μ Α είναι θετική, ενώ το αντίστροφο συµβαίνει όταν η Μ Α είναι αρνητική. Επισηµαίνεται ότι η Εξίσωση (6.2.3.7) έχει πάντα µία και µοναδική ρίζα εντός του διαστήµατος [0 1] στη συγκεκριµένη περίπτωση που εξετάζεται. Επίσης, αξίζει να αναφερθεί ότι δεν προκύπτει ποτέ πρόβληµα αριθµητικής αστάθειας στον υπολογισµό του α Αp από την Εξίσωση (6.2.3.7), αφού ο παρονοµαστής δεν µηδενίζεται για q>0. Στην περίπτωση που εξετάζεται οι παράµετροι α Β και ΕΙ ο εξακολουθούν να δίνονται από τις Εξισώσεις (6.2.3.2) και (6.2.3.4) αντίστοιχα. Μ yβ Μ Β Μ Α Γραµµική Γραµµική Μ yα Μ yα Μ Α α Αl L α Αp L Παραβολική α Αp L α Αl L Παραβολική Μ Β Μ yβ L L Σχήµα 6.6: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο Α του στοιχείου. 3) Μόνο η ακραία ροπή στο άκρο Β είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης ροπής διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Σε αυτήν την περίπτωση, το τρέχον µήκος α Β θα είναι µεγαλύτερο του µηδενός και το µήκος α Α θα είναι ίσο µε το µηδέν. Για τον προσδιορισµό του µήκους α Β σε αντιστοιχία µε το µήκος α Α της περίπτωσης (2) και ανάλογα την κατανοµή του διαγράµµατος των ροπών ισχύουν τα εξής: Στην περίπτωση της γραµµικής κατανοµής ο προσδιορισµός του µήκους α Βl γίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.9). -182-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο M B M yb α Bl = 1 αλλά και α Βl α Β,max (6.2.3.9) M M B A Στην περίπτωση της παραβολικής κατανοµής των ροπών, που έχει τη µορφή της Εξίσωσης (6.2.3.10), ο προσδιορισµός του µήκους α Βp γίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.11), όπου V Β είναι η τέµνουσα δύναµη στο δεξιό άκρο του στοιχείου η οποία προκύπτει από ισορροπία στο σύνολο του στοιχείου και δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.12). 2 x M ( x) = M B VB x q (6.2.3.10) 2 ( M M ) 2 VB ± VB 2q yb B α Bp = 1 αλλά και α Βp α B,max (6.2.3.11) q L q L M B M A VB = + (6.2.3.12) 2 L Στην περίπτωση που εξετάζεται οι παράµετροι α Α και ΕΙ ο δίνονται από τις Εξισώσεις (6.2.3.1) και (6.2.3.4) αντίστοιχα. Μ yα Γραµµική Μ Β Μ yβ Μ Α Γραµµική α Bp L Μ Α Παραβολική α Bl L Παραβολική Μ yβ Μ Β α Bl L L L α Bp L Σχήµα 6.7: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο B του στοιχείου. 4) Ροπές και στα δύο άκρα του στοιχείου µεγαλύτερες των ροπών διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Σε αυτήν την περίπτωση τα τρέχοντα µήκη α Α και α Β θα είναι µεγαλύτερα του µηδενός. Για τον προσδιορισµό των µηκών α Α και α Β διακρίνονται δύο περιπτώσεις: α) Γραµµική κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου (α Αl και α Βl ) που εφαρµόζεται όταν το επιβαλλόµενο οµοιόµορφο φορτίο είναι ίσο µε το µηδέν και β) Παραβολική κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου (α Αp και α Βp ) που -183-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο εφαρµόζεται όταν το επιβαλλόµενο οµοιόµορφο φορτίο κατά µήκος του στοιχείου είναι µεγαλύτερο του µηδενός. Στην περίπτωση όπου η κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου µπορεί να θεωρηθεί ως γραµµική, τότε τα µήκη α Αl και α Βl µπορούν να προσδιοριστούν από τις Εξισώσεις (6.2.3.5) και (6.2.3.9) αντίστοιχα. Στην περίπτωση όπου λαµβάνεται υπόψη η παραβολική κατανοµή των ροπών κατά µήκος του στοιχείου, τότε τα µήκη α Αp και α Βp προσδιορίζονται από τις Εξισώσεις (6.2.3.7) και (6.2.3.11) αντίστοιχα. Σηµειώνεται ότι και στην εξεταζόµενη περίπτωση οι Εξισώσεις (6.2.3.7) και (6.2.3.11) έχουν µία και µοναδική ρίζα στο διάστηµα τιµών [0 1]. Η δυσκαµψία, τέλος, ΕΙ ο δίνεται και σε αυτήν την περίπτωση από την Εξίσωση (6.2.3.4). Μ Β Μ Α Γραµµική Γραµµική Μ yβ Μ yα Παραβολική α Bp L Μ yα Μ Α α Al L α Ap L Παραβολική α Bl L α Al L α Ap L Μ yβ Μ Β α Bl L α Bp L L L Σχήµα 6.8: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: ετερόσηµες ροπές και διαρροή και στα δύο άκρα του στοιχείου. b) Περίπτωση µε οµόσηµες ροπές στα δύο άκρα του στοιχείου (Μ Α Μ Β > 0) Για τη συγκεκριµένη περίπτωση προτείνεται στην παρούσα εργασία τα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής να ορίζονται από τα σηµεία τοµής του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών µε την ευθεία που ενώνει τις ροπές διαρροής των κρίσιµων διατοµών στα άκρα του στοιχείου. Εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: 1) Ακραίες ροπές και στα δύο άκρα του στοιχείου µικρότερες από τις αντίστοιχες ροπές διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Στην περίπτωση αυτή, όπως και στην περίπτωση (1) των ετερόσηµων ροπών, µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι Εξισώσεις (6.2.3.1), (6.2.3.2) και (6.2.3.4). Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση των αρνητικών ροπών δεν υπάρχει κανένα ενδεχόµενο το διάγραµµα των καµπτικών ροπών να τέµνει την ευθεία που ενώνει τις ροπές διαρροής (Σχήµα 6.9). Ωστόσο, στην περίπτωση των θετικών ροπών και όταν το οµοιόµορφο φορτίο είναι σηµαντικό, υπάρχει το ενδεχόµενο το παραβολικό διάγραµµα των καµπτικών ροπών να τέµνει την ευθεία που συνδέει τις ροπές διαρροής στα άκρα -184-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο του στοιχείου (Σχήµα 6.9). Όπως θα αναλυθεί και στην 6.2.4, η περίπτωση αυτή δεν είναι δυνατόν να καλυφτεί από το µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Μ yα Γραµµική Μ yβ Μ Β Μ Α Παραβολική Γραµµική Μ Α Μ Β Μ yα Παραβολική L Εσωτερική διαρροή L Μ yβ Σχήµα 6.9: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή σε κανένα άκρο του στοιχείου. 2) Μόνο η ακραία ροπή στο άκρο Α είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης ροπής διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Γραµµική Μ yβ Μ Α Μ yα Μ Β α Αp L Παραβολική α Αl L α Αp L Παραβολική α Αl L Γραµµική Μ Β Μ yα L Μ Α L Μ yβ Σχήµα 6.10: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο Α του στοιχείου. Εάν x είναι η απόσταση από το άκρο Α του στοιχείου, τότε η ευθεία που συνδέει τις ροπές διαρροής των δύο άκρων του στοιχείου δίνεται από την Εξίσωση -185-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο M yb M ya y( x) = M ya+ x (6.2.3.13) l Στην περίπτωση γραµµικού διαγράµµατος καµπτικών ροπών, η ευθεία που συνδέει τις ροπές στα άκρα του στοιχείου δίνεται από την Εξίσωση M B M A y1( x) = M A+ x (6.2.3.14) l Σε αυτήν την περίπτωση, το µήκος διείσδυσης της καµπτικής διαρροής καθορίζεται από το σηµείο τοµής των ευθειών y και y 1. Θέτοντας y=y 1 προκύπτει ότι: M A M ya α Al = 1, αλλά και α Αl α Α,max (6.2.3.15) M M + M M A ya yb B Στην περίπτωση του παραβολικού διαγράµµατος ροπών, η συνάρτηση του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών έχει ήδη προσδιοριστεί από την Εξίσωση (6.2.3.6). Τα σηµεία τοµής αυτού του διαγράµµατος µε την ευθεία που ενώνει τις ροπές διαρροής στα άκρα του στοιχείου δίνονται από τις λύσεις της Εξίσωσης (6.2.3.16). 2 M yb M ya ( q / 2) x + VA x M A+ M ya = 0 (6.2.3.16) l Θέτοντας, για λόγους απλοποίησης των εξισώσεων: M yb M ya VA = VA (6.2.3.17) l Προκύπτει τελικά ότι το µήκος διείσδυσης της καµπτικής διαρροής από το άκρο Α του στοιχείου δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.18). ( M M ) 2 VA ± VA 2q ya A α Ap = 1, αλλά και α Αp α Α,max (6.2.3.18) q L Από τη σύγκριση των Εξισώσεων (6.2.3.15) και (6.2.3.18), και µε τη βοήθεια του Σχήµατος (6.10), προκύπτει ότι το α Αp είναι µεγαλύτερο του α Αl, όταν η Μ Α είναι θετική, ενώ το αντίστροφο συµβαίνει όταν η Μ Α είναι αρνητική. Επισηµαίνεται ότι η Εξίσωση (6.2.3.18) έχει πάντα µία και µοναδική ρίζα εντός του διαστήµατος [0 1] στη συγκεκριµένη περίπτωση που εξετάζεται. Οι παράµετροι α Β και ΕΙ ο εξακολουθούν να δίνονται από τις Εξισώσεις (6.2.3.2) και (6.2.3.4) αντίστοιχα. 3) Μόνο η ακραία ροπή στο άκρο Β είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης ροπής διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Σε αυτήν την περίπτωση, το µήκος διείσδυσης της καµπτικής διαρροής στο άκρο Β για την περίπτωση του καµπτικού διαγράµµατος των ροπών καθορίζεται σε αναλογία µε το µήκος α Αl της περίπτωσης (2) από την Εξίσωση (6.2.3.19): M B M yb α Bl = 1 αλλά και α Bl α B,max (6.2.3.19) M M + M M B yb ya A -186-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Μ yα Γραµµική Μ Α Μ Β α Bp L Παραβολική Μ yβ α Bl L α Bp L Γραµµική Παραβολική α Bl L Μ Α Μ yβ L Μ yα L Μ Β Σχήµα 6.11: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή µόνο στο άκρο B του στοιχείου. Στην περίπτωση του παραβολικού διαγράµµατος ροπών, προκύπτει τελικά ότι το µήκος διείσδυσης της καµπτικής διαρροής από το άκρο Β του στοιχείου δίνεται από τις Εξισώσεις (6.2.3.20-21), M ya M yb VB = VB + (6.2.3.20) l ( M M ) 2 VB ± VB 2q yb B α Bp = 1 αλλά και α Bp α B,max (6.2.3.21) q L Οι παράµετροι α A και ΕΙ ο εξακολουθούν να δίνονται από τις Εξισώσεις (6.2.3.1) και (6.2.3.4) αντίστοιχα. 4) Ροπές και στα δύο άκρα του στοιχείου µεγαλύτερες των αντίστοιχων ροπών διαρροής ( M A M ya και M B M yb ). Στην περίπτωση γραµµικού διαγράµµατος καµπτικών ροπών κατά µήκος του στοιχείου, όταν έχουν διαρρεύσει και τα δύο άκρα του στοιχείου, τότε όλο το διάγραµµα των καµπτικών ροπών περιβάλλει την ευθεία που ενώνει τις ροπές διαρροής στα άκρα του στοιχείου, τόσο για τις θετικές όσο και για τις αρνητικές ροπές του στοιχείου (Σχήµα 6.12). Σε αυτήν την περίπτωση θεωρείται ότι ολόκληρο το µήκος του στοιχείου έχει διαρρεύσει και λαµβάνεται για λόγους συµµετρίας ότι: α = 0.5, αλλά και α Αl α Α,max (6.2.3.22) Al α = 0.5, αλλά και α Βl α Β,max (6.2.3.23) Bl Επιπλέον, από τη στιγµή που έχει διαρρεύσει ολόκληρο το µήκος του στοιχείου, η δυσκαµψία του ενδιάµεσου τµήµατος δεν θα καθορίζεται πλέον από τις ελαστικές δυσκαµψίες των άκρων του στοιχείου, αλλά από τις αντίστοιχες τρέχουσες δυσκαµψίες. Επειδή µάλιστα είναι α Αl =α Βl θα λαµβάνεται ότι: -187-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο EI o = 2EI AEI B EI A + EI B (6.2.3.24) Γραµµική Μ Α Μ Β α Ap L=L/2 α Bp L=L/2 Μ yα Μ yβ α Al L=L/2 α Bl L=L/2 Παραβολική α Ap L α Al L=L/2 α Bl L=L/2 α Bp L Μ yα Μ Α Γραµµική Μ yβ Μ Β L L Παραβολική Σχήµα 6.12: Προσδιορισµός µηκών διείσδυσης καµπτικής διαρροής: οµόσηµες ροπές και διαρροή µόνο και στα δύο άκρα του στοιχείου. Η περίπτωση παραβολικού διαγράµµατος ροπών είναι περισσότερο σύνθετη. Με τη βοήθεια του Σχήµατος (6.12) διαπιστώνεται ότι στην περίπτωση των θετικών ροπών το διάγραµµα των καµπτικών ροπών θα περιβάλλει σε κάθε περίπτωση την ευθεία που ενώνει τις ροπές διαρροής στα άκρα του στοιχείου. Σε αυτήν την περίπτωση, όπως και όταν το διάγραµµα των ροπών είναι γραµµικό, µπορεί να θεωρηθεί ότι τα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής δίνονται από τις Εξισώσεις (6.2.3.25) και (6.2.3.26). α = 0.5, αλλά και α Αp α Α,max (6.2.3.25) Ap α = 0.5, αλλά και α Βp α Β,max (6.2.3.26) Bp Η δυσκαµψία ΕΙ ο µπορεί να δοθεί και σε αυτήν την περίπτωση από την Εξίσωση (6.2.3.24). Στην περίπτωση αρνητικών ροπών στα άκρα του στοιχείου υπάρχουν δύο ενδεχόµενα. Το πρώτο ενδεχόµενο είναι το διάγραµµα των ροπών να µην τέµνει την ευθεία που ορίζεται από τις ροπές διαρροής στα άκρα του στοιχείου. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ό,τι αναφέρθηκε προηγουµένως για την περίπτωση του θετικού, παραβολικού διαγράµµατος ροπών. Το δεύτερο ενδεχόµενο είναι το διάγραµµα των ροπών να τέµνει σε δύο σηµεία (Σχήµα 6.12) την ευθεία που ενώνει τις ροπές διαρροής. Το ποιό ενδεχόµενο θα επικρατήσει µπορεί να προκύψει από την επίλυση της Εξίσωσης (6.2.3.16). Πράγµατι, στην περίπτωση όπου η διακρίνουσα της Εξίσωσης (6.2.3.16) προκύψει αρνητική, τότε το διάγραµµα των ροπών δεν τέµνει σε κανένα σηµείο την ευθεία που ορίζεται από τις ροπές διαρροής στα άκρα του στοιχείου. Αντίθετα, όταν η διακρίνουσα της συγκεκριµένης εξίσωσης προκύψει θετική, τότε το διάγραµµα των ροπών τέµνει σε δύο σηµεία την ευθεία ένωσης των ροπών διαρροής. -188-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση που εξετάζεται (οµόσηµες ροπές-διαρροή και στα δύο άκρα του στοιχείου) οι ρίζες της Εξίσωσης (6.2.3.16), όταν η διακρίνουσα είναι θετική, βρίσκονται και οι δύο εντός του διαστήµατος [0 1]. Έτσι, αν είναι x 1 και x 2 (x 1 <x 2 ) οι ρίζες της συγκεκριµένης εξίσωσης, τότε τα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής µπορούν να προσδιοριστούν από τις Εξισώσεις (6.2.3.27) και (6.2.3.28). x1 α Ap =, αλλά και α Αp α Α,max (6.2.3.27) L x2 α Bp = 1, αλλά και α Βp α Β,max (6.2.3.28) L εδοµένου ότι σε αυτήν την περίπτωση δεν διαρρέει ολόκληρο το µήκος του στοιχείου, η δυσκαµψία ΕΙ ο θα δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.4). Τέλος, για λόγους πληρότητας αναφέρεται ότι στην περίπτωση του θετικού, παραβολικού διαγράµµατος ροπών η Εξίσωση (6.2.3.16) µπορεί να έχει δύο ρίζες (διακρίνουσα θετική), αλλά οι ρίζες αυτές βρίσκονται εκτός του πεδίου τιµών [0 1]. Επιπρόσθετα στα παραπάνω, επισηµαίνεται ότι ειδική µέριµνα λαµβάνεται για την περίπτωση όπου από τις προηγούµενες εξισώσεις προκύψει ότι έχει επέλθει διαρροή σε µήκος µεγαλύτερο από το συνολικό µήκος του στοιχείου. Κάτι τέτοιο είναι πιθανό διότι, όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, κάθε φορά λαµβάνεται ως µήκος διαρροής στο κάθε άκρο του στοιχείου το µέγιστο µήκος διαρροής που έλαβε χώρα µέχρι και τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή. Σε αυτήν την περίπτωση, όπως προτείνουν και οι Valles et al. (1996), λαµβάνει χώρα αναµόρφωση της κατανοµής της ευκαµψίας, ώστε να προκύψουν νέοι συντελεστές διείσδυσης της διαρροής για τους οποίους ισχύει η Εξίσωση (6.2.3.29). α Α +α Β =1 (6.2.3.29) Πιο συγκεκριµένα διακρίνονται πάλι οι εξής περιπτώσεις: Περίπτωση µε ετερόσηµες ροπές στα δύο άκρα του στοιχείου (Μ Α Μ Β 0) f A y 1 (x) α Α +α Β >1 α Α+α Β=1 y 2 (x) f B f o x f o A α Α L α B L B α ΑL α BL Σχήµα 6.13: Επαναπροσδιορισµός των µηκών καµπτικής διαρροής στην περίπτωση όπου το άθροισµά τους υπερβαίνει το συνολικό µήκος του στοιχείου. Με τη µέθοδο που προτείνεται στη συγκεκριµένη περίπτωση (Σχήµα 6.13), η ευκαµψία του κεντρικού τµήµατος που δεν έχει διαρρεύσει (f o =1/EI o ) αυξάνεται στην τιµή f o κατά τέτοιον τρόπο, ώστε το άθροισµα των νέων τροποποιηµένων µηκών -189-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο διαρροής α Α και α Β να προκύπτει ίσο µε µονάδα. Υπενθυµίζεται ότι η δυσκαµψία ΕΙ ο του κεντρικού τµήµατος, όταν οι ροπές στα δυο άκρα είναι ετερόσηµες, δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.4). Οι εξισώσεις των δυο ευθειών του σχήµατος είναι οι εξής: f o f A y1( x) = x+ f A a AL (6.2.3.30) f B f o f o f B (1 ab ) y2 ( x) = x+ a L a B Με βάση και τα προηγούµενα, ζητείται κατάλληλο f o ώστε για x=α Α L να ισχύει η Εξίσωση y 1 (x)=y 2 (x) =f o (6.2.3.31) Μετά από την επίλυση του συστήµατος των Εξισώσεων (6.2.3.30) και (6.2.3.31) προκύπτει ότι το τροποποιηµένο µήκος α Α θα δίνεται από την Εξίσωση (6.2.3.32), η οποία για την αποφυγή φαινόµενων αριθµητικής αστάθειας µπορεί να γραφεί µε τη µορφή της Εξίσωσης (6.2.3.33). a a A B f A ab + f B (1 ab ) f o ' = a A (6.2.3.32) f a + f a f ( a + a ) a EI A EI B B + (1 a A ) EI o B B o B A o A B A ' = a A (6.2.3.33) ab EI B EI o + a AEI AEI o ( a A + ab ) EI AEI B EI A B EI Με αντικατάσταση της Εξίσωσης (6.2.3.33) στην (6.2.3.30) για x=α Α L προκύπτει η ζητούµενη τιµή για το f o και από την αντιστροφή η τροποποιηµένη ελαστική δυσκαµψία του κεντρικού τµήµατος ΕΙ ο. Το µήκος α Β προκύπτει εύκολα από την Εξίσωση (6.2.3.29). Περίπτωση µε οµόσηµες ροπές στα δύο άκρα του στοιχείου (Μ Α Μ Β >0) Χρησιµοποιούνται οι Εξισώσεις (6.2.3.22), (6.2.3.23) και (6.2.3.24) που ισχύουν για την περίπτωση όπου οι ροπές και στα δύο άκρα του στοιχείου είναι µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες ροπές διαρροής των ακραίων διατοµών. EI 6.2.4 Περιορισµοί-Παραδοχές Προτεινόµενου Καµπτικού Μοντέλου Κατανεµηµένης Ανελαστικότητας Το προτεινόµενο καµπτικό µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας, παρόλο που είναι σε θέση να προσοµοιώσει κατά κανόνα επαρκώς την κατανοµή της δυσκαµψίας κατά µήκος ενός στοιχείου Ο/Σ στα διάφορα στάδια ανελαστικής απόκρισης µε το ελάχιστο δυνατό υπολογιστικό κόστος, βασίζεται σε κάποιες παραδοχές που αναγκαστικά περιορίζουν σε έναν βαθµό το εύρος εφαρµογής και αξιοπιστίας του. Οι παραδοχές αυτές πηγάζουν από το γεγονός ότι το προτεινόµενο µοντέλο χρησιµοποιεί µόνον τις ακραίες διατοµές του δοµικού στοιχείου προκειµένου να προσδιορίσει την κατανοµή της δυσκαµψίας στο συνολικό µήκος του στοιχείου. Με τον τρόπο αυτόν αποφεύγεται η παρακολούθηση της µη γραµµικής συµπεριφοράς (Μ-φ) µεγάλου πλήθους επιµέρους διατοµών του δοµικού στοιχείου που θα αύξανε σηµαντικά το υπολογιστικό κόστος στις ανελαστικές αναλύσεις σύνθετων κατασκευών Ο/Σ. -190-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Η θεµελιώδης παραδοχή του µοντέλου κατανεµηµένης πλαστικότητας έγκειται στην αποδοχή κοινής φορτιστικής κατάστασης του συνόλου της ανελαστικής ζώνης µε τη φορτιστική κατάσταση της αντίστοιχης ακραίας διατοµής. Στο Σχήµα (6.14) αυτό συνεπάγεται ότι ολόκληρη η ανελαστική ζώνη βρίσκεται στην κατάσταση της φόρτισης. Εξαιτίας, όµως, της έντονης µεταβολής της θέσης του σηµείου µηδενισµού των ροπών αυτή η παραδοχή δεν ευσταθεί και στην ανελαστική ζώνη αναπτύσσεται µια περιοχή φόρτισης και µια περιοχή αποφόρτισης. Αποτέλεσµα αυτής της αναντιστοιχίας είναι το πραγµατικό διάγραµµα των καµπυλοτήτων κατά µήκος του στοιχείου να διαφέρει από αυτό που προβλέπει το µοντέλο κατανεµηµένης πλαστικότητας. Συνεπώς, το προτεινόµενο µοντέλο θα πρέπει να χρησιµοποιείται µε προσοχή στις περιπτώσεις όπου αναµένονται σηµαντικές µεταβολές της θέσης του σηµείου µηδενισµού των ροπών κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Το συγκεκριµένο πρόβληµα µπορεί να αµβλυνθεί µερικώς εάν χρησιµοποιηθεί επαρκώς µικρό βήµα κατά τη διάρκεια της ανάλυσης (Filippou & Issa 1988). Περιοχή φόρτισης α) Μ A Μ yα Περιοχή αποφόρτισης.κ.ρ. στο βήµα i Α Β EI A.Κ.Ρ. στο βήµα i+1 EI o EI B Μ yb Μ Β β) α A L (1-α A - α Β )L L α Β L Σχήµα 6.14: Σηµαντική µεταβολή της θέσης του σηµείου µηδενισµού των ροπών που προκαλεί φόρτιση και αποφόρτιση εντός του µήκους της ανελαστικής ζώνης: α) διαγράµµατα καµπτικών ροπών κατά µήκος του στοιχείου, β) µεταβολή της δυσκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου. Στο Σχήµα (6.3) παρουσιάστηκε η υστερητική Μ-φ συµπεριφορά τεσσάρων διατοµών της ανελαστικής ζώνης ενός στοιχείου κατανεµηµένης πλαστικότητας που βρίσκονται όλες στην ίδια φορτιστική κατάσταση. Είναι σαφές ότι όταν η ανελαστική ζώνη βρίσκεται σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης, τότε οι συγκεκριµένες διατοµές αναπτύσσουν διαφορετική τρέχουσα δυσκαµψία ΕΙ. Το µοντέλο που προτείνεται στην παρούσα εργασία προτείνει γραµµική µεταβολή της ΕΙ εντός της ανελαστικής ζώνης για αυτές τις περιπτώσεις. Ωστόσο, είναι σαφές ότι η µεταβολή της EI είναι µη-γραµµική ακόµη και στον πρώτο κύκλο φόρτισης της ακραίας διατοµής. Το ζήτηµα καθίσταται ακόµη πιο πολύπλοκο στους επόµενους κύκλους µερικής αποφόρτισης ή επαναφόρτισης. Συνεπώς, η παραδοχή γραµµικής µεταβολής της EI -191-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο είναι µια εύλογη παραδοχή, αλλά σίγουρα δεν αποτελεί την ακριβή λύση του προβλήµατος. Στον υπολογισµό του µήκους διείσδυσης της καµπτικής διαρροής γίνεται η παραδοχή ότι η ροπή διαρροής παραµένει σταθερή εντός του συγκεκριµένου µήκους. Η παραδοχή αυτή συνεπάγεται και ότι ο διαµήκης οπλισµός του στοιχείου θα παραµένει σταθερός εντός της ακραίας ανελαστικής ζώνης του στοιχείου. Η παραδοχή αυτή είναι επαρκής κατά κανόνα στα υποστυλώµατα και τα τοιχώµατα Ο/Σ. Στις δοκούς Ο/Σ, όµως, είναι σύνηθες ο οπλισµός του ανοίγµατος να διαφοροποιείται από αυτόν που τοποθετείται στις περιοχές των στηρίξεων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι εξισώσεις της 6.2.3 για τον υπολογισµό του µήκους καµπτικής διαρροής έχουν νόηµα µόνο µέχρι εκείνο το τµήµα του στοιχείου, όπου ο διαµήκης οπλισµός της στήριξης συνεχίζεται σταθερός προς το εσωτερικό του στοιχείου. Όπως αναπτύχθηκε στην 6.2.3, το προτεινόµενο µοντέλο διείσδυσης της καµπτικής διαρροής είναι σε θέση να λάβει υπόψη επακριβώς τη µη-γραµµική µορφή του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών στον υπολογισµό του µήκους των ανελαστικών ζωνών. Ωστόσο, για να υπολογιστεί το µήκος της ανελαστικής ζώνης, απαραίτητη προϋπόθεση είναι να έχει διαρρεύσει πρώτα η αντίστοιχη ακραία διατοµή. Η προϋπόθεση αυτή ικανοποιείται πάντοτε στις περιπτώσεις των τοιχωµάτων και των υποστυλωµάτων Ο/Σ, όπου η καµπτική ροπή µεταβάλλεται γραµµικά κατά µήκος του στοιχείου. Ωστόσο, στην περίπτωση µη-γραµµικού διαγράµµατος των καµπτικών ροπών, είναι δυνατόν να λάβει χώρα υπέρβαση της ροπής διαρροής σε εσωτερικό τµήµα του στοιχείου, χωρίς να έχει προηγηθεί διαρροή σε κάποιο άκρο του (Σχήµα 6.15). Η συγκεκριµένη περίπτωση είναι δυνατόν να αναπτυχθεί σε δοκούς που υποβάλλονται σε ισχυρά κατακόρυφα φορτία. Οι δοκοί αυτές κατά κανόνα έχουν διαφορετικό θετικό οπλισµό στο άνοιγµα σε σχέση µε τις στηρίξεις τους γεγονός που δυσχεραίνει ακόµη περισσότερο τον εντοπισµό της διαρροής στο εσωτερικό τους, όταν ελέγχονται µόνον οι ακραίες διατοµές του στοιχείου. Η παρούσα διαµόρφωση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου δεν επιτρέπει τον εντοπισµό των συγκεκριµένων ανελαστικών ζωνών στο εσωτερικο τµήµα του δοµικού στοιχείου.. Στην παρούσα έρευνα προτείνεται στις περιπτώσεις όπου αναµένεται σχηµατισµός πλαστικής άρθρωσης στο εσωτερικό του στοιχείου από ισχυρά κατακόρυφα φορτία να χρησιµοποιείται η συµβατική µέθοδος της υποδιαίρεσης του στοιχείου δοκού σε κατάλληλο αριθµό επιµέρους στοιχείων, ώστε να προβλεφθεί µε σαφήνεια και µε βάση τα πραγµατικά δεδοµένα ο σχηµατισµός τυχούσης εσωτερικής πλαστικής άρθρωσης. Αξίζει, πάντως, να σηµειωθεί ότι οι συγκεκριµένες ανελαστικές ζώνες είναι κατά κανόνα λιγότερο κρίσιµες, γιατί αφενός δεν συνυπάρχουν µε σηµαντικές τιµές της τέµνουσας δύναµης και αφετέρου το µήκος τους είναι σηµαντικά µεγαλύτερο από τις αντίστοιχες ζώνες που αναπτύσσονται στα άκρα του δοµικού στοιχείου. -192-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Μ yβ Μ Β Μ Α Μ yα Τµήµα που έχει διαρρεύσει Σχήµα 6.15: ιαρροή σε εσωτερικό τµήµα του στοιχείου, χωρίς προγενέστερη διαρροή κάποιου άκρου του. L 6.2.5 Μητρώο Ευκαµψίας Καµπτικού Υποστοιχείου Για το τρέχον εφαπτοµενικό µητρώο ευκαµψίας του καµπτικού υποστοιχείου F fl fl ισχύει η γενική Εξίσωση (6.2.5.1), όπου f ij οι συντελεστές του µητρώου ευκαµψίας του καµπτικού υποστοιχείου (i,j=a,b), Μ Α και Μ Β είναι οι µικροαυξήσεις της καµπτικής ροπής στα άκρα Α και Β του ελεύθερου τµήµατος του υποστοιχείου και θ fl fl Α, θ Β είναι οι µικροαυξήσεις των στροφών στα άκρα Α και Β του ελεύθερου τµήµατος του στοιχείου εξαιτίας των καµπτικών παραµορφώσεων (καµπυλότητες) σε ολόκληρο το µήκος του στοιχείου. fl fl fl θ Α f AA f AB MΑ = fl (6.2.5.1) fl fl θ B f BA f BB M B Οι συντελεστές του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας του καµπτικού υποστοιχείου δίνονται στην γενική περίπτωση από την Εξίσωση (6.2.5.2), όπου m Α (x) και m Β (x) είναι οι κατανοµές της ροπής εξαιτίας µιας µοναδιαίας ροπής στα άκρα Α και Β αντίστοιχα (Σχήµα 6.16). Είναι σαφές από την Εξίσωση (6.2.5.2) ότι οι συντελεστές του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας είναι άµεσα εξαρτώµενοι από την κατανοµή της δυσκαµψίας ΕΙ(x) κατά µήκος του στοιχείου (Σχήµα 6.2). f fl ij = m ( x) m EI( x L A B ) 0 ( x) dx (6.2.5.2) Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος της Εξίσωσης (6.2.5.2) µπορεί να γίνει διάσπαση στις τρεις διακριτές ζώνες του στοιχείου, χρησιµοποιώντας τη βασική ιδιότητα των ολοκληρωµάτων της εξίσωσης: L aal (1 a A ) L L ma ( x) mb ( x) ma ( x) mb ( x) ma ( x) mb ( x) ma ( x) mb dx= dx dx EI x + EI x + ( ) ( ) EI( x) EI( x) 0 0 aal (1 a A ) L ( x) dx -193-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Για τον προσδιορισµό των επιµέρους ολοκληρωµάτων του δεύτερου σκέλους της εξίσωσης υπάρχουν στη βιβλιογραφία (Beton Kalender 1974, Βαλιάσης 1997) σχέσεις κλειστού τύπου που εξασφαλίζουν την ευκολία των υπολογισµών. Από την άθροιση των επιµέρους ολοκληρωµάτων της Εξίσωσης (6.2.5.3) προκύπτει η γενική Εξίσωση (6.5.2.4) για τους συντελεστές του µητρώου ευκαµψίας του καµπτικού υποστοιχείου ανάλογα και µε την κατανοµή της δυσκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου από το Σχήµα (6.2). Στην Εξίσωση (6.2.5.4) οι συντελεστές γ Α και γ Β εξαρτώνται από την δυσκαµψία των ακραίων διατοµών Α και Β, αντίστοιχα, και προσδιορίζονται από τις Εξισώσεις (6.2.5.5) και (6.2.5.6), ενώ οι συντελεστές c o, c A και c B καθορίζονται από τα µήκη διείσδυσης της ανελαστικοποίησης α Α και α Β ανάλογα µε την κατανοµή της δυσκαµψίας κατά µήκος του στοιχείου. Οι τιµές των συντελεστών αυτών συνοψίζονται στον Πίνακα (6.1). L fij = ( co+ ca γ A+ cb γ B) (6.2.5.4) 12EI o EIo γ A = 1 (6.2.5.5) EI A EIo γ B = 1 (6.2.5.6) EI B Πίνακας 6.1: Προσδιορισµός παραµέτρων των συντελεστών του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας του καµπτικού υποστοιχείου. Συντελεστής Ευκαµψίας Καµπτικού Υποστοιχείου Κατανοµή υσκαµψίας c o c A c B f AA Σχήµα (6.2β) 4 12α Α -12α 2 3 Α +4α Α f BB Σχήµα (6.2β) 4 3 4α Α f AB =f BA Σχήµα (6.2β) -2 4α 3 2 Α -6α Α f AA Σχήµα (6.2γ) 4 6α Α -4α 2 3 Α +α Α f BB Σχήµα (6.2γ) 4 3 α Α f AB =f BA Σχήµα (6.2γ) -2 α 3 2 Α -2α Α f AA Σχήµα (6.2δ) 4 12α Α -12α 2 3 Α +4α Α f BB Σχήµα (6.2δ) 4 3 4α Α f AB =f BA Σχήµα (6.2δ) -2 4α 3 2 Α -6α Α f AA Σχήµα (6.2ε) 4 6α Α -4α 2 3 Α +α Α f BB Σχήµα (6.2ε) 4 3 α Α f AB =f BA Σχήµα (6.2ε) -2 α 3 2 Α -2α Α 4α Β 3 12α Β -12α Β 2 +4α Β 3 4α Β 3-6α Β 2 α Β 3 6α Β -4α Β 2 +α Β 3 α Β 3-2α Β 2 α Β 3 6α Β -4α Β 2 +α Β 3 α Β 3-2α Β 2 4α Β 3 12α Β -12α Β 2 +4α Β 3 4α Β 3-6α Β 2 Αξίζει να σηµειωθεί ότι στις περιπτώσεις της κατανοµής της δυσκαµψίας των Σχηµάτων (6.2β) και (6.2γ) οι συντελεστές του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας ταυτίζονται αντίστοιχα µε αυτούς των καµπτικών υποστοιχείων των Soleimani et al. (1979) και Valles et al. (1996). -194-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο α) Α (+) α Β Β m Α (x) β) 1 Α 1-α Α α Α (-) 1-α B 1 Β m Β (x) α A L (1-α A - α Β )L α Β L L Σχήµα 6.16: Προσδιορισµός συντελεστών θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας στοιχείου, α).κ.ρ. λόγω µοναδιαίας ροπής στο αριστερό άκρο, β).κ.ρ. λόγω µοναδιαίας ροπής στο δεξιό άκρο. 6.3 ιατµητικό Υποστοιχείο 6.3.1 Εισαγωγή Η προσοµοίωση των διατµητικών παραµορφώσεων στα στοιχεία Ο/Σ γίνεται, κατά κανόνα, είτε µε τη θεώρηση ενός διατµητικού υποστοιχείου µε οµοιόµορφη δυστµησία κατά µήκος του δοµικού στοιχείου (Takayanagi et al. 1979), είτε µε τη χρήση στροφικών ή µεταφορικών ελατηρίων στα άκρα του στοιχείου (Thom 1983, Filippou et al. 1992). Η πρώτη θεώρηση δεν λαµβάνει υπόψη τη µεταβολή της δυστµησίας κατά µήκος ενός δοµικού στοιχείου που µπορεί να οφείλεται είτε στην αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων, είτε στη µεταβολή της τέµνουσας δύναµης στα στοιχεία δοκού από την ύπαρξη εγκάρσιας φόρτισης. Η δεύτερη θεώρηση, παρόλο που µπορεί να λάβει υπόψη την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση, δεν είναι σε θέση να προσοµοιώσει τη µεταβολή του διαγράµµατος των καµπτικών ροπών και του σηµείου µηδενισµού των ροπών κατά τη διάρκεια της ανελαστικής ανάλυσης. Επίσης δεν είναι σε θέση να προσοµοιώσει τη µεταβολή της τέµνουσας δύναµης κατά µήκος του στοιχείου. Στη σύγχρονη βιβλιογραφία έχουν αναπτυχθεί και µοντέλα κατανεµηµένης ευτµησίας (Ranzo & Petrangeli 1998, Marini & Spacone 2006) που είναι σε θέση να προσοµοιώσουν τη µεταβολή της ευτµησίας κατά µήκος ενός δοµικού στοιχείου, αλλά και την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Στα µοντέλα αυτά, όµως, ο έλεγχος της υστερητικής συµπεριφοράς λαµβάνει χώρα σε συγκεκριµένεςπροκαθορισµένες διατοµές (Gauss ή Gauss-Lobbato points) και ο υπολογισµός του µητρώου ευκαµψίας γίνεται µε αριθµητική ολοκλήρωση. Στα στοιχεία Ο/Σ υπό σεισµική φόρτιση, η ανελαστική συµπεριφορά συγκεντρώνεται κατά κανόνα σε µικρού µήκους περιοχές, οι οποίες έχουν αφετηρία τα άκρα του στοιχείου και εξαπλώνονται σταδιακά προς το εσωτερικό του. Προκειµένου τα συγκεκριµένα µοντέλα να -195-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο αποτυπώσουν ικανοποιητικά το πραγµατικό φαινόµενο απαιτείται ένας σηµαντικός αριθµός σηµείων αριθµητικής ολοκλήρωσης που αυξάνει δραστικά το απαιτούµενο υπολογιστικό κόστος στην ανελαστική ανάλυση σύνθετων κατασκευών Ο/Σ. Με βάση και τα προηγούµενα, προκύπτει το συµπέρασµα ότι απαιτείται ένα νέο µοντέλο προσοµοίωσης των διατµητικών παραµορφώσεων το οποίο θα είναι σε θέση να λάβει υπόψη του τα σύνθετα φαινόµενα της διατµητικής απόκρισης µε µια εύλογη αύξηση του υπολογιστικού κόστους. Το διατµητικό υποστοιχείο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή προσοµοιώνει τη διατµητική ανελαστική συµπεριφορά των στοιχείων Ο/Σ που υποβάλλονται σε σεισµική φόρτιση πριν και µετά τη διατµητική ρηγµάτωση και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού αλλά και µετά την αλληλεπίδραση των ανελαστικών καµπτικών και διατµητικών παραµορφώσεων στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων. Αποτελείται από έναν αριθµό κανόνων που καθορίζουν την υστερητική συµπεριφορά (σε όρους V-γ) των ακραίων διατοµών του και της διατοµής του µέσου του στοιχείου, από το µοντέλο κατανεµηµένης ευτµησίας (shear distributed inelasticity model) που καθορίζει τον τρόπο που µεταβάλλεται η δυστµησία κατά µήκος του στοιχείου και από το µοντέλο διείσδυσης της διατµητικής ρηγµάτωσης (shear cracking penetration model) που καθορίζει το εύρος διείσδυσης της διατµητικής ρηγµάτωσης από τα άκρα προς το εσωτερικό του δοµικού στοιχείου. Το διατµητικό υποστοιχείο συνεργάζεται σε κάθε βήµα της ανελαστικής ανάλυσης µε το καµπτικό υποστοιχείο για την προσοµοίωση του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. Η περιγραφή του διατµητικού υποστοιχείου θα διαχωριστεί στη συνέχεια για την περίπτωση όπου η δρώσα τέµνουσα δύναµη παραµένει σταθερή και για την περίπτωση όπου µεταβάλλεται κατά µήκος του γραµµικού δοµικού στοιχείου. Η πρώτη περίπτωση µπορεί να θεωρηθεί ότι καλύπτει πλήρως την περίπτωση των υποστυλωµάτων (και των τοιχωµάτων), ενώ η δεύτερη καλύπτει και την περίπτωση των δοκών που µπορεί να φέρουν και κατανεµηµένο φορτίο στο εσωτερικό τους. 6.3.2 Σταθερή ρώσα Τέµνουσα Κατά Μήκος του οµικού Στοιχείου Όπως αναφέρθηκε και στο Κεφάλαιο 4 της παρούσας έρευνας, έχει διαπιστωθεί πειραµατικά (Ma et al. 1976, Oesterle et al. 1980, Saatcioglu & Ozcebe 1989, Lehman & Moehle 1998) ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις (και κατ επέκταση η ευτµησία) εντός των περιοχών των πλαστικών αρθρώσεων είναι σηµαντικά µεγαλύτερες από εκείνες στο υπόλοιπο τµήµα του στοιχείου ακόµη και στην περίπτωση που η τέµνουσα δύναµη δε µεταβάλλεται κατά µήκος του δοµικού µέλους. Το φαινόµενο αυτό οφείλεται στην αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση µετά την ανάπτυξη της καµπτικής διαρροής και η ερµηνεία του δίνεται αναλυτικά στην 4.2.3 της παρούσας διατριβής. Με βάση τη συγκεκριµένη παρατήρηση, προτείνεται το µοντέλο κατανεµηµένης ευτµησίας του διατµητικού υποστοιχείου να έχει τη µορφή του Σχήµατος (6.17) στην περίπτωση που η δρώσα τέµνουσα δύναµη παραµένει σταθερή κατά µήκος του δοµικού στοιχείου. Με βάση το συγκεκριµένο σχήµα, το διατµητικό υποστοιχείο χωρίζεται σε τρεις διακριτές ζώνες µεταβλητού µήκους µε σταθερή δυστµησία. Οι δύο -196-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο ακραίες ζώνες, µε δυστµησίες GA A και GA B και ανηγµένα µήκη α Αs και α Bs για το άκρο Α και Β αντίστοιχα, οριοθετούν τις περιοχές όπου έχει διεισδύσει η καµπτική διαρροή στο δοµικό στοιχείο, ενώ η ενδιάµεση ζώνη µε δυστµησία GA M ορίζει το τµήµα του στοιχείου που δεν έχει διαρρεύσει καµπτικά. Στο Σχήµα (6.17), GA A και GA B είναι οι τρέχουσες εφαπτοµενικές δυστµησίες στα άκρα Α και Β αντίστοιχα του στοιχείου και GA M είναι η τρέχουσα εφαπτοµενική δυστµησία στο µέσον του στοιχείου. Οι δυστµησίες GA A και GA B προσδιορίζονται από τους υστερητικούς βρόχους V-γ στα άκρα Α και Β του στοιχείου µε βάση αυτά που αναφέρονται στην 4.3 της παρούσας διατριβής και µε περιβάλλουσα καµπύλη στην οποία συνυπολογίζεται η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση λαµβάνοντας υπόψη τη µέγιστη απαιτούµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων στο αντίστοιχο άκρο του καµπτικού υποστοιχείου µε βάση και αυτά που αναγράφονται στην 4.2.3 της παρούσας έρευνας. Η δυστµησία GA M προσδιορίζεται και πάλι µε βάση τους κανόνες της 4.3, αλλά εφαρµόζοντας την αρχική περιβάλλουσα καµπύλη στην οποία δε λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση, όπως αυτή προσδιορίζεται αναλυτικά στην 4.2.2 της παρούσας διατριβής. Επειδή, στην περίπτωση που εξετάζεται στην παρούσα παράγραφο, η δρώσα τέµνουσα δύναµη είναι σταθερή κατά µήκος του στοιχείου, η φορτιστική κατάσταση (φόρτιση, αποφόρτιση, επαναφόρτιση) είναι κοινή για όλες τις διατοµές κάθε ζώνης του υποστοιχείου. Με βάση και αυτήν την παρατήρηση, γίνεται η παραδοχή στην παρούσα διατριβή ότι η δυστµησία παραµένει σταθερή στις επιµέρους ζώνες του δοµικού στοιχείου. Η παραδοχή αυτή µετά τη διατµητκή ρηγµάτωση είναι ακριβής µόνο στην περίπτωση που ο εγκάρσιος οπλισµός του στοιχείου δεν µεταβάλλεται εντός της κάθε ζώνης. Επιπρόσθετα, η παραδοχή ότι µετά την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση η δυστµησία κατά µήκος των ανελαστικών ζωνών είναι σταθερή και ίση µε την τιµή του άκρου του δοµικού στοιχείου δεν είναι πάντοτε ακριβής, διότι εντός των ανελαστικών ζωνών µεταβάλλεται η απαίτηση σε όρους πλαστιµότητας καµπυλοτήτων. Παρολ αυτά, η συγκεκριµένη παραδοχή κρίνεται επαρκής στο πλαίσιο των αβεβαιοτήτων που διέπουν την ανελαστική διατµητική συµπεριφορά στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων και υιοθετείται στην παρούσα διατριβή, καθώς συµβάλλει καθοριστικά στη µείωση του απαιτούµενου υπολογιστικού κόστους, χωρίς σηµαντική µείωση στην ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Τα µήκη διείσδυσης της καµπτικής διαρροής στο διατµητικό υποστοιχείο α As και α Βs µπορούν µε βάση και τα προηγούµενα να ληφθούν από το καµπτικό υποστοιχείο µε βάση και τις Εξισώσεις (6.3.2.1) και (6.3.2.2). α As = α A (6.3.2.1) α Βs = α Β (6.3.2.2) Συνοψίζοντας τα παραπάνω, το διατµητικό και το καµπτικό υποστοιχείο αλληλεπιδρούν µεταξύ τους κατά έναν διπλό τρόπο. Η περιβάλλουσα καµπύλη στις ανελαστικές ζώνες του διατµητικού υποστοιχείου καθορίζεται από την αντίστοιχη απαίτηση της πλαστιµότητας καµπυλοτήτων του καµπτικού υποστοιχείου και επιπρόσθετα τα µήκη των ανελαστικών ζωνών του διατµητικού υποστοιχείου καθορίζονται από τα αντίστοιχα µήκη του καµπτικού υποστοιχείου. Με τον τρόπο αυτόν εξασφαλίζεται η συνεχής προσοµοίωση της σταδιακής εξάπλωσης των -197-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο ανελαστικών διατµητικών παραµόρφώσεων από τα άκρα προς το εσωτερικό του δοµικού στοιχείου. M Α M ya [Μ] A [V] (α) (β) Β M yb M B ΕΙ Α ΕΙ ο ΕΙ Β (γ) α Α L (1- α Α -α Β )L L α Β L GA Α GA M GA B α Αs L (δ) (1- α Αs -α Βs )L α Βs L Σχήµα 6.17: ιατµητικό υποστοιχείο για σταθερή δρώσα τέµνουσα στο στοιχείο: α) ιάγραµµα καµπτικών ροπών, β) ιάγραµµα τεµνουσών, γ) Καµπτικό υποστοιχείο, δ) ιατµητικό υποστοιχείο. Μετά τον προσδιορισµό της κατανοµής της δυστµησίας GA(x) κατά µήκος του δοµικού στοιχείου είναι δυνατός ο υπολογισµός του τρέχοντος εφαπτοµενικού µητρώου ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου F sh από την Εξίσωση (6.3.2.3), όπου f ij sh (i,j=a,b) είναι οι συντελεστές του F sh και v A (x) και v B (x) είναι οι κατανοµές της τέµνουσας δύναµης εξαιτίας µιας µοναδιαίας καµπτικής ροπής στο άκρο Α και Β του στοιχείου, αντίστοιχα. Οι v A (x) και v B (x) είναι σταθερές και έχουν την τιµή -1/L. Επιπλέον, επειδή σε κάθε διακριτή ζώνη γίνεται η θεώρηση οµοιόµορφης δυστµησίας, το ολοκλήρωµα της Εξίσωσης (6.3.2.3) προκύπτει εύκολα από την Εξίσωση (6.3.2.4). -198-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο L 0 v A f sh ij = L v A ( x) vb ( x) dx GA( x 0 ) ( x) vb ( x) α As 1 α dx= + GA( x) GA L GA A As M α L Bs α Bs + GA L B (6.3.2.3) (6.3.2.4) 6.3.3 Μεταβαλλόµενη ρώσα Τέµνουσα Κατά Μήκος του οµικού Στοιχείου Στα στοιχεία δοκού η δρώσα τέµνουσα δύναµη µπορεί να µεταβάλλεται κατά µήκος του δοµικού στοιχείου από την ύπαρξη επιρράβδιων γραµµικών φορτίων. Στην παρούσα παράγραφο, για λόγους απλότητας, θα εξεταστεί µόνον η περίπτωση του οµοιόµορφου κατανεµηµένου φορτίου που ασκείται κάθετα στον άξονα του δοµικού στοιχείου. Αντίστοιχα συµπεράσµατα ισχύουν προφανώς για την περίπτωση πιο σύνθετων φορτίσεων. Η µεταβολή της τέµνουσας δύναµης συνεπάγεται και τη διαφοροποίηση της κατανοµής της δυστµησίας στο διατµητικό υποστοιχείο σε σχέση µε αυτήν που παρουσιάζεται στο Σχήµα (6.17). Είναι δυνατόν σε κάποιο τµήµα του στοιχείου, όπου η δρώσα τέµνουσα είναι µικρότερη της τέµνουσας που αντιστοιχεί στη διατµητική ρηγµάτωση, η δυστµησία να είναι ίση µε την αρχική-αρηγµάτωτη δυστµησία της διατοµής του στοιχείου, ενώ στο υπόλοιπο τµήµα η δυστµησία να έχει µειωθεί στη ρηγµατωµένη τιµή της. Ακόµη περισσότερο, τα µήκη αυτών των τµηµάτων θα µεταβάλλονται κατά τη διάρκεια της ανελαστικής ανάλυσης ανάλογα και µε την τρέχουσα κατανοµή του διαγράµµατος των τεµνουσών. Το φαινόµενο αυτό δεν µπορεί να προσοµοιωθεί από τα µοντέλα που θεωρούν οµοιόµορφη κατανοµή της δυστµησίας κατά µήκος του στοιχείου, ούτε από τα µοντέλα που χρησιµοποιούν συγκεντρωµένα στροφικά ή µεταφορικά ελατήρια στα άκρα του στοιχείου για την προσοµοίωση των διατµητικών παραµορφώσεων. Επιπρόσθετα, τα µοντέλα κατανεµηµένης ευτµησίας που έχουν προταθεί µέχρι και σήµερα δεν είναι σε θέση να προσοµοιώσουν τη βαθµιαία εξάπλωση της διατµητικής ρηγµάτωσης. Στην καλύτερη περίπτωση µπορεί να επιτύχουν µια ικανοποιητική προσέγγιση αυτής, εάν χρησιµοποιηθεί ένας επαρκής αριθµός σηµείων αριθµητικής ολοκλήρωσης (Gauss points). Στην παρούσα διατριβή προτείνεται για την περίπτωση όπου η δρώσα τέµνουσα δύναµη µεταβάλλεται κατά µήκος του δοµικού στοιχείου και επιπλέον δεν έχει ρηγµατωθεί διατµητικά ολόκληρο το δοµικό στοιχείο, το µοντέλο κατανεµηµένης ευτµησίας να έχει µια από τις τέσσερις µορφές του Σχήµατος (6.17). Με βάση το συγκεκριµένο σχήµα, το διατµητικό υποστοιχείο χωρίζεται σε τρεις διακριτές ζώνες µεταβλητού µήκους µε σταθερή ή γραµµικά µεταβαλλόµενη δυστµησία. Οι δύο ακραίες ζώνες µε µήκη α Αs,cr και α Βs,cr οριοθετούν το τµήµα του δοµικού στοιχείου που έχει ρηγµατωθεί διατµητικά. Το ενδιάµεσο τµήµα του στοιχείου είναι το τµήµα εκείνο στο οποίο η τέµνουσα δύναµη είναι µικρότερη από την τέµνουσα διατµητικής ρηγµάτωσης και συνεπώς µπορεί να θεωρηθεί ότι η δυστµησία του είναι σταθερή και ίση µε την αρχική αρηγµάτωτη τιµή της GA o. Η παραδοχή σταθερής αρηγµάτωτης δυστµησίας GA o στο εσωτερικό τους είναι ακριβής για τα πρισµατικά στοιχεία δοκού. Για τον προσδιορισµό του τµήµατος που δεν έχει ρηγµατωθεί, γίνεται η παραδοχή ότι η -199-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο τέµνουσα ρηγµάτωσης δε µεταβάλλεται από το άκρο προς το εσωτερικό του στοιχείου. Η παραδοχή αυτή είναι επαρκής για τα στοιχεία δοκού που έχουν µηδενική και άρα σταθερή τιµή της αξονικής δύναµης στο εσωτερικό τους. Κάποιες διαφοροποιήσεις είναι δυνατόν να προκύψουν από τη µεταβολή του διαµήκους οπλισµού κατά µήκος του δοµικού στοιχείου. Οι διαφοροποιήσεις αυτές, όµως, κρίνεται ότι δεν θα επηρεάσουν σηµαντικά την ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Σηµειώνεται, άλλωστε, ότι στη σχέση που υιοθετείται στην παράγραφο 4.2.2.2 της παρούσας διατριβής για τον προσδιορισµό της τέµνουσας δύναµης που αντιστοιχεί στην έναρξη της διαγώνιας εφελκυστικής ρηγµάτωσης δεν λαµβάνεται υπόψη η επιρροή της δράσης βλήτρου του διαµήκους οπλισµού. Οι δυστµησίες GA A και GA B ορίζονται στην παρούσα παράγραφο µε τον ίδιο τρόπο που ορίζονται και στην 6.3.2. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα (6.18), η δυστµησία στα τµήµατα εκείνα του δοµικού στοιχείου που έχουν ρηγµατωθεί διατµητικά µπορεί να είναι οµοιόµορφη ή να µεταβάλλεται γραµµικά. Η πρώτη περίπτωση θα λαµβάνεται στην παρούσα διατριβή, όταν η ακραία διατοµή του δοµικού στοιχείου βρίσκεται σε κατάσταση φόρτισης, στους κλάδους της περιβάλλουσας V-γ µετά τη διατµητική ρηγµάτωση και πριν τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού µε την προϋπόθεση ότι η τιµή της εφαπτοµενικής δυστµησίας δεν έχει επηρεαστεί από την αλληλεπίδραση µε την κάµψη. Σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι διατοµές του τµήµατος που έχει ρηγµατωθεί διατµητικά θα βρίσκονται στον ίδιο κλάδο της περιβάλλουσας V-γ και συνεπώς η παραδοχή οµοιόµορφης δυστµησίας είναι ρεαλιστική. Αντίθετα, εάν η ακραία διατοµή βρίσκεται στον κλάδο της περιβάλλουσας µετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού ή στον κλάδο της περιβάλλουσας µετά τη διατµητική ρηγµάτωση, αλλά η δυστµησία έχει µειωθεί από την αλληλεπίδραση µε την κάµψη ή τέλος αν βρίσκεται σε κατάσταση αποφόρτισης ή επαναφόρτισης, τότε η πραγµατική κατανοµή της δυστµησίας κατά µήκος του ρηγµατωµένου τµήµατος δεν είναι δυνατόν να εκτιµηθεί αξιόπιστα. Σε αυτήν την περίπτωση, προτείνεται στην παρούσα διατριβή να λαµβάνεται προσεγγιστικά γραµµική αύξηση της δυστµησίας από την τιµή GA A ή GA B στα άκρα του στοιχείου στην τιµή GA o στο πέρας του ρηγµατωµένου τµήµατος. Ο προσδιορισµός των µηκών διείσδυσης της διατµητικής ρηγµάτωσης α Αs,cr και α Βs,cr από τα άκρα Α και Β του διατµητικού στοιχείου γίνεται µε βάση την τρέχουσα κατανοµή του διαγράµµατος των τεµνουσών από τις Εξισώσεις (6.3.3.1) και (6.3.3.2). Εάν είναι V A > V A,cr τότε το µήκος α Αs,cr δίνεται από την Εξίσωση VA VA, cr α As, cr = 1 (6.3.3.1) V V A Εάν είναι V Β > V Β,cr τότε το µήκος α Βs,cr δίνεται από την Εξίσωση VB VB, cr α Bs, cr = 1 (6.3.3.2) V V B Οι τιµές που προκύπτουν δεν θα πρέπει να είναι µικρότερες των µέγιστων τιµών α Αs,cr και α Βs,cr που έχουν ήδη αναπτυχθεί, όπως φαίνεται και στις Εξισώσεις (6.3.3.3) και (6.3.3.4). α α (6.3.3.3) α B A As, cr As, cr max α (6.3.3.4) Bs, cr Bs, cr max -200-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο V Α V crα α) Α Β V crb V Β β) GA A GA o GA B α As,cr L (1-α As,cr - α Βs,cr )L α Βs,cr L L GA o γ) GA A GA B α As,cr L (1-α As,cr - α Βs,cr )L L α Βs,cr L GA o δ) GA A GA B α As,cr L (1-α As,cr - α Βs,cr )L α Βs,cr L L GA o GA B ε) GA A α As,cr L (1-α As,cr - α Βs,cr )L α Βs,cr L L Σχήµα 6.18: Κατανοµή της δυστµησίας κατά µήκος του στοιχείου: α) Κατανοµή τεµνουσών κατά µήκος του στοιχείου, β) Κατανοµή δυστµησίας µε σταθερή δυστµησία και στα δύο άκρα του στοιχείου, γ) Κατανοµή δυστµησίας µε γραµµική µεταβολή και στα δύο άκρα του στοιχείου, δ) Κατανοµή δυστµησίας µε σταθερή δυστµησία στο άκρο Α του στοιχείου και γραµµική µεταβολή άκρο Β, ε) Κατανοµή δυστµησίας µε γραµµική µεταβολή στο άκρο Α και σταθερή δυστµησία στο άκρο Β. -201-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Αφού προσδιοριστεί η κατανοµή της δυστµησίας κατά µήκος του δοµικού στοιχείου, τότε ο προσδιορισµός των συντελεστών του µητρώου ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου γίνεται εύκολα από τις εξισώσεις του Πίνακα (6.2), οι οποίες έχουν προκύψει από την γενική Εξίσωση (6.3.2.3). Πίνακας 6.2: Προσδιορισµός συντελεστών του θεµελιώδους µητρώου ευκαµψίας του διατµητικού υποστοιχείου. Κατανοµή υστµησίας Σχήµα (6.18β) Σχήµα (6.18γ) Σχήµα (6.18δ) Σχήµα (6.18ε) Συντελεστές Μητρώου Ευκαµψίας ιατµητικού Υποστοιχείου f sh ij (i,j=a,b) a a a a sh As, cr 1 As, cr Bs, cr Bs, cr f ij = + + GA L GA L GA L f sh ij a = f f As, cr 2 GA sh ij sh ij A O ( GA + GA ) 1 a a a ( GA + GA ) o a = GA a = o GA As, cr A + L 2 GA A L + a GA As, cr GA a L o L Bs, cr a + + 1 As, cr Bs, cr Bs, cr A O As, cr ( GAo + GAA) 1 o GA A L + a As, cr GA o 2 GA a L B Bs, cr 2 GA o o GA ( GA + GA ) o Bs, cr o GA B a + GA B L Bs, cr B L B B L 6.4 Ολισθητικό Yποστοιχείο Το ολισθητικό υποστοιχείο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή προσοµοιώνει την ανάπτυξη τοπικών στροφών στα άκρα των δοµικών στοιχείων Ο/Σ λόγω της εξόλκευσης του διαµήκους οπλισµού που αγκυρώνεται στην περιοχή των κόµβων ή της θεµελίωσης. Το προτεινόµενο στοιχείο αποτελείται από δύο ανελαστικά στροφικά ελατήρια που τοποθετούνται στα άκρα του δοµικού στοιχείου και συνδέονται µεταξύ τους µέσω µιας άκαµπτης ράβδου (Σχήµα 6.19). Με βάση αυτή τη διαµόρφωση, οι συντελεστές του ολισθητικού µητρώου ευκαµψίας F sl θα δίνονται από τις Εξισώσεις (6.4.1) έως (6.4.3), όπου Κ Α,sl και Κ Β,sl είναι οι τρέχουσες εφαπτοµενικές δυσκαµψίες των ανελαστικών ολισθητικών στροφικών ελατηρίων στα άκρα Α και Β αντίστοιχα. Οι δυσκαµψίες αυτές καθορίζονται µε βάση τους υστερητικούς κανόνες και τη διγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη Μ-θ slip που περιγράφονται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 5 της παρούσας διατριβής. Ανελαστικό στροφικό ελατήριο Άκαµπτη ράβδος Ανελαστικό στροφικό ελατήριο Κ Α,sl Α Β Κ B,sl Σχήµα 6.19: Προτεινόµενο ολισθητικό υποστοιχείο -202-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο f f sl AA sl BB 1 = (6.4.1) K A, sl 1 = (6.4.2) K B, sl sl f = f sl = 0 (6.4.3) AB BA 6.5 Μέθοδοι Ανελαστικής Ανάλυσης των Κατασκευών 6.5.1 Εισαγωγή Στην περίπτωση της ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών, το σύστηµα των εξισώσεων που πρόκειται να επιλυθεί µικροαυξητικά έχει τη γενική µορφή της Εξίσωσης (6.5.1.1). Στη συγκεκριµένη εξίσωση, [Κ] είναι το καθολικό (στατικό ή δυναµικό) εφαπτοµενικό µητρώο του φορέα, [ U] είναι το διάνυσµα µεταβολής των επικόµβιων µετακινήσεων του φορέα και [ F] είναι το διάνυσµα µεταβολής της εξωτερικά επιβαλλόµενης φόρτισης (στατικής ή δυναµικής). [Κ] [ U]=[ F] (6.5.1.1) Τα µητρώα δυσκαµψίας K e υπολογίζονται αρχικά στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων των επιµέρους στοιχείων, στη συνέχεια ανάγονται στο καθολικό σύστηµα των αξόνων και στη συνέχεια ενσωµατώνονται στο γενικό µητρώο δυσκαµψίας της κατασκευής [Κ]. Το µητρώο δυσκαµψίας τροποποιείται περαιτέρω στη συνέχεια προκειµένου να συµπεριληφθούν τα φαινόµενα Ρ-δ, όποτε αυτό απαιτείται. Το µητρώο µικροαύξησης της εξωτερικής φόρτισης εξαρτάται από τον τύπο της ανάλυσης που θα υλοποιηθεί. Στη συνέχεια παρατίθενται, εν συντοµία, οι µέθοδοι µη-γραµµικής ανάλυσης των κατασκευών που έχουν ενσωµατωθεί στο γενικό πρόγραµµα ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών IDARC (Valles et al., 1996) που χρησιµοποιείται στην παρούσα έρευνα. 6.5.2 Ανελαστική Στατική Ανάλυση για τα Κατακόρυφα Φορτία Η µη-γραµµική ανάλυση της κατασκευής ξεκινάει µε τον προσδιορισµό της αρχικής εντατικής κατάστασης των επιµέρους µελών της από τα µόνιµα και κινητά φορτία που υπάρχουν πριν από την εφαρµογή της σεισµικής φόρτισης. Ο συγκεκριµένος τύπος ανάλυσης είναι δυνατόν να εφαρµοστεί µικροαυξητικά προκειµένου να ληφθεί υπόψη ενδεχόµενη µη-γραµµική συµπεριφορά του φορέα υπό την επιρροή των κατακορύφων φορτίων. 6.5.3 Ανελαστική Στατική Επωθητική Ανάλυση (Pushover Analysis) Η ανελαστική στατική 'επωθητική' ανάλυση (pushover analysis) είναι µια απλή και εύχρηστη µέθοδος για τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς ενός φορέα υπό οριζόντια -203-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο (στατική) φόρτιση µέχρι και την κατάρρευση. Η συγκεκριµένη µέθοδος µπορεί να δώσει χρήσιµες πληροφορίες για την προοδευτική εµφάνιση σεισµικής βλάβης και τον τελικό µηχανισµό κατάρρευσης του εξεταζόµενου φορέα, τη διαθέσιµη πλαστιµότητα µετακινήσεων, καθώς και την διαθέσιµη αντοχή της κατασκευής. Ωστόσο, βασίζεται σε µια σειρά απλοποιητικών παραδοχών που µπορεί να οδηγήσουν σε εσφαλµένα συµπεράσµατα αναφορικά µε την πραγµατική απόκριση της κατασκευής υπό οριζόντια φόρτιση. Η συζήτηση για τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα της µεθόδου αυτής ξεφεύγει από τους σκοπούς της παρούσας διατριβής. Κατά τη διάρκεια της ανάλυσης, ο εξεταζόµενος φορέας υποβάλλεται σταδιακά σε ένα σύστηµα οριζόντιων φορτίων το οποίο αυξάνεται µονότονα µέχρι και την αστοχία της κατασκευής. Σε κάθε βήµα της ανάλυσης επιλύεται το σύστηµα εξισώσεων της Σχέσης (6.5.3.1), όπου [K S ] είναι το τρέχον εφαπτοµενικό στατικό µητρώο της κατασκευής που προσδιορίζεται από την άµεση µέθοδο δυσκαµψίας (direct stiffness method). [K S ] [ U]= [ F S ] (6.5.3.1) Η ανελαστική επωθητική ανάλυση µπορεί να υλοποιηθεί είτε µε βάση τις δυνάµεις, είτε µε βάση τις µετακινήσεις. Στην πρώτη περίπτωση, η κατασκευή υποβάλλεται σε ένα σύστηµα οριζόντιων φορτίων και υπολογίζονται οι αναπτυσσόµενες µετακινήσεις της. Στη δεύτερη περίπτωση, η κατασκευή υποβάλλεται σε ένα συγκεκριµένο προφίλ πλευρικών µετακινήσεων και υπολογίζονται οι δυνάµεις που απαιτούνται για την ανάπτυξη των συγκεκριµένων µετακινήσεων. Συνήθως, επειδή το προφίλ των µετακινήσεων δεν µπορεί να είναι γνωστό επαρκώς εκ των προτέρων, χρησιµοποιείται η µέθοδος µε βάση τις δυνάµεις (force controlled). Σε αυτήν την περίπτωση είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθούν διάφορες κατανοµές της εξωτερικής φόρτισης οι πιο συνήθεις από τις οποίες είναι η τριγωνική κατανοµή, η οµοιόµορφη κατανοµή, η ελαστική ιδιοµορφική κατανοµή και η ιδιοµορφική αναπροσαρµοζόµενη κατανοµή (modal adaptive) η οποία είναι και η πλέον ακριβής, καθώς λαµβάνει υπόψη τις µεταβολές του µητρώου δυσκαµψίας κατά την ανελαστική απόκριση της κατασκευής. Σε κάθε περίπτωση συνιστάται (και επιβάλλεται από τους σχετικούς κανονισµούς) η χρήση δύο τουλάχιστον κατανοµών, ώστε η ανάλυση να περιβάλλει την πραγµατική συµπεριφορά. 6.5.4 Ανελαστική Στατική Ανάλυση υπό Ανακυκλιζόµενη Φόρτιση Η ανάλυση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για την προσοµοίωση της συµπεριφοράς πειραµατικών δοκιµίων που υποβάλλονται σε στατική ανακυκλιζόµενη ένταση (cyclic loading). Η ανάλυση µπορεί να γίνει είτε µε βάση τις µετακινήσεις, είτε µε βάση τις δυνάµεις. Η ανελαστική ανάλυση υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση διαφοροποιείται από την στατική επωθητική ανάλυση στο γεγονός ότι τα εξωτερικά επιβαλλόµενα φορτία ή µετακινήσεις δεν ασκούνται µονότονα στην κατασκευή, αλλά µπορούν να αλλάζουν φορά και πρόσηµο. Με τον τρόπο αυτόν προσοµοιώνεται καλύτερα η συµπεριφορά της κατασκευής σε σεισµό, αφού εξετάζεται και το ενδεχόµενο της αποφόρτισης και της επαναφόρτισης. Το σύστηµα των εξισώσεων που επιλύεται είναι πανοµοιότυπο µε αυτό της 6.5.3. -204-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο 6.5.5 Ανελαστική υναµική Ανάλυση Χρονοϊστορίας Το σύστηµα των εξισώσεων που πρέπει να επιλυθεί σε κάθε βήµα της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης χρονοϊστορίας δίνεται από τη γενική Εξίσωση (6.5.5.1), όπου [Μ] είναι το µητρώο µάζας της κατασκευής, [ ü g ] είναι οι µεταβολές της σεισµικής επιτάχυνσης βάσης, [ U], [ U ɺ ], [ U ɺ ] είναι τα διανύσµατα µεταβολής των µετακινήσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων αντίστοιχα της κατασκευής και [C] και [Κ S ] είναι αντίστοιχα τα εφαπτοµενικά µητρώα απόσβεσης και δυσκαµψίας της κατασκευής. [ M] [ Uɺ ] + [ C] [ Uɺ ] + [ K ] [ U] = [ M] [ ɺ ] (6.5.5.1) S u g Η επίλυση της Εξίσωσης (6.5.5.1) µπορεί να υλοποιηθεί µε διάφορους αλγορίθµους οι πιο γνωστοί εκ των οποίων είναι η οικογένεια µεθόδων Newmark (1959), η µέθοδος θ του Wilson (1973) και η οικογένεια µεθόδων Hilber-Hughes- Taylor (1977). Στην παρούσα διατριβή χρησιµοποιείται ο αλγόριθµος Newmark (1959) (Newmark-Beta method) o οποίος θεωρεί στη γενική περίπτωση γραµµική µεταβολή της επιτάχυνσης σε κάθε βήµα της ανάλυσης. Με βάση αυτήν την παραδοχή ισχύουν οι Εξισώσεις (6.5.5.2) και (6.5.5.3), όπου β Ν και γ Ν είναι οι παράµετροι της µεθόδου και t είναι το χρονικό βήµα της αριθµητικής ολοκλήρωσης. Εάν τεθεί β Ν =1/4 και γ Ν =1/2, τότε προκύπτει η µέθοδος της µέσης, σταθερής επιτύχυνσης (constant acceleration method) που είναι ευσταθής χωρίς προϋποθέσεις (unconditionally stable) για γραµµικά προβλήµατα. Uɺ = Uɺ + t 1 γ Uɺɺ + γ Uɺ (6.5.5.2) [ t+ t] [ t] {( N)[ t] N [ t+ t] } [ U ] = [ U ] + t [ Uɺ 2 ] + ( t) { ( 1/ 2 β )[ Uɺɺ ] + β [ Uɺ ]} t+ t t t N t N t+ t (6.5.5.3) Οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να γραφούν και µε την ακόλουθη µορφή: [ Uɺ γ Ν ] = t [ Uɺɺ γ Ν Ν ] [ Uɺ γ ] + [ U ] 1 t t (6.5.5.4) 2 βν βν t βν [ Uɺɺ 1 ] [ Uɺ 1 = ] [ Uɺ t ] (6.5.5.5) γ t γ Ν Από την αντικατάσταση των Εξισώσεων (6.5.5.4) και (6.5.5.5) στην Εξίσωση (6.5.5.1) προκύπτει η γενική Εξίσωση (6.5.5.6), όπου τα µητρώα [Κ D ] και [ F D ] είναι γνωστά ως τα ισοδύναµα δυναµικά µητρώα εφαπτοµενικής δυσκαµψίας και φόρτισης αντίστοιχα της κατασκευής και δίνονται από τις Εξισώσεις (6.5.5.7) και (6.5.5.8). K U = (6.5.5.6) [ ] [ ] [ ] [ ] D F D K 1 γ D = β t + 2 ( t) N [ M] + [ C] [ K ] Ν β Ν [ Uɺɺ ] [ Uɺ ] Ν S (6.5.5.7) t t γ [ ] [ ] [ ] [ ] N N F [ ] [ ] + D = M u g + + C t Uɺɺ γ ɺɺ 1 t + Uɺ (6.5.5.8) t 2β N β N t 2β N β N Η Εξίσωση (6.5.5.6) είναι η βάση της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης των κατασκευών, αλλά για να εφαρµοστεί στην πράξη χρειάζεται να οριστεί το εφαπτοµενικό µητρώο απόσβεσης [C] που γενικά δεν µπορεί να υπολογιστεί άµεσα, -205-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο όπως γίνεται µε τα µητρώα [Μ] και [Κ S ]. Στη µεγάλη πλειονότητα των αναλύσεων µέχρι και σήµερα η γενική µορφή του [C] δίνεται από έναν γραµµικό συνδυασµό (Εξίσωση 6.5.5.9) των [Μ] και [Κ S ] ή [Κ Sο ] που είναι το µητρώο δυσκαµψίας της κατασκευής στην αρχική-ελαστική της κατάσταση (Rayleigh damping). C = α M + α K (6.5.5.9) [ ] [ ] [ ] M Μια ορθολογική επιλογή των α Μ, α Κ µπορεί να γίνει µε βάση τις Εξισώσεις (6.5.5.10) και (6.5.5.11) που προκύπτουν από την ορθογωνική ιδιότητα των ιδιοµορφών στην ελαστική φάση του συστήµατος, όπου Τ i (i=1,2) είναι οι ιδιοπερίοδοι του συστήµατος και ξ i είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές απόσβεσης. 4π ( ξ1 T1 ξ 2 T2) α M = (6.5.5.10) 2 2 T T T T = 1 K 2 ( ξ T ξ T ) S 1 2 2 1 1 2 α K (6.5.5.11) 2 2 π ( T1 T2 ) Μετά και τον καθορισµό του µητρώου απόσβεσης, τα µητρώα [Κ D ] και [ F D ] είναι πλήρως καθορισµένα και συνεπώς είναι δυνατός ο υπολογισµός του µητρώου µεταβολής (µε απαλοιφή Gauss ή Cholesky) των µετακινήσεων της κατασκευής [ U]. Τα µητρώα µεταβολής [ U ɺ ] (6.5.5.4) και (6.5.5.5)., [ U ɺ ] υπολογίζονται στη συνέχεια από τις Εξισώσεις 6.5.6 Προβλήµατα µε τις υνάµεις Εκτός Ισορροπίας Η µεθοδολογία που αναπτύχθηκε στις προηγούµενες παραγράφους δίνει ακριβή αποτελέσµατα µόνο εφόσον το µητρώο [Κ S ] και το µητρώο [C] παραµείνουν αµετάβλητα στη διάρκεια ενός βήµατος της ανάλυσης, οπότε και ισχύει απόλυτα η παραδοχή της γραµµικής συµπεριφοράς. Στη γενική περίπτωση, ωστόσο, το προηγούµενο δεν ισχύει, αφού σε οποιοδήποτε βήµα της ανάλυσης είναι δυνατόν να έχουµε ανελαστικοποίηση ή γενικότερα µεταβολή της δυσκαµψίας από την αλλαγή κλάδου στο υστερητικό µοντέλο ενός στοιχείου του εξεταζόµενου φορέα. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη ισορροπίας δεν ισχύει, διότι οι δυνάµεις [Κ] [ U] έχουν µεταβληθεί κατά τη διάρκεια του βήµατος της ανάλυσης από τη µεταβολή ενός ή περισσότερων όρων του [Κ]. Οι εκτός ισορροπίας δυνάµεις που προκύπτουν µπορούν να προσδιοριστούν εύκολα µε τη βοήθεια του Σχήµατος (6.20). Έστω ότι κατά το χρονικό διάστηµα από t έως t+ t η µη-γραµµική υστερητική συµπεριφορά έντασης (S) παραµόρφωσης (v) ενός στοιχείου (π.χ. η σχέση Μ-φ ή V-γ ή Μ-θ slip σε κάποιο άκρο του) µεταβαίνει από τον πρώτο κλάδο (π.χ. τον ελαστικό) µε δυσκαµψία k T στον δεύτερο κλάδο (π.χ. τον κλάδο διαρροής) µε δυσκαµψία r k T. Εάν οι µεταβολές των µετακινήσεων [ U] που υπολογίστηκαν µε βάση τις προηγούµενες παραγράφους οδηγούν σε µεταβολές της παραµόρφωσης v, η αντίστοιχη δύναµη που προκύπτει από την παραδοχή γραµµικής συµπεριφοράς θα δίνεται από την Εξίσωση (6.5.6.1). S ln =k T v= k T ( v 1 + v 2 ) (6.5.6.1) Ωστόσο, λόγω του µη-γραµµικού καταστατικού νόµου, η µέγιστη αύξηση δύναµης για µετακίνηση v θα είναι (Σχήµα 6.20): -206-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο S nl =k T v 1 +r k T v 2 = k T ( v 1 + r v 2 ) (6.5.6.2) Παραµένει, δηλαδή, ένα µη-ισορροπούµενο τµήµα της δύναµης S ln που δίνεται από την Εξίσωση (6.5.6.3). S ub = S ln - S nl = k T (1-r) v 2 (6.5.6.3) Τα µεγέθη έντασης S ub αντιστοιχούν σε κάποια επικόµβια φορτία [ F ub ], οπότε η γενική συνθήκη ισορροπίας της Εξίσωσης (6.5.1.1) λαµβάνει τη µορφή: K U F = F (6.5.6.4) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ub F ub Η διόρθωση στο αριστερό σκέλος της εξίσωσης γίνεται στο χρονικό διάστηµα t στον καταστατικό νόµο έντασης παραµόρφωσης κάθε στοιχείου. Η διόρθωση στο δεξιό σκέλος της εξίσωσης µπορεί να γίνει µε προσαγωγή διορθωτικών επικόµβιων φορτίων -[ F ub ] που ασκούνται µόνο στο επόµενο χρονικό βήµα t+ t. Αυτός είναι και λόγος που η συγκεκριµένη τεχνική είναι γνωστή και ως µέθοδος διόρθωσης ενός βήµατος (one step correction method). S Sln Sub Snl t r k T t+ t k T v 1 v 2 v v Σχήµα 6.20: Προσδιορισµός δυνάµεων εκτός ισορροπίας Βασική αδυναµία του τρόπου αυτού αποκατάστασης της δυναµικής ισορροπίας για την περίπτωση της δυναµικής ανάλυσης είναι ότι τα φορτία [ F ub ] υπόκεινται και αυτά στις δυνάµεις απόσβεσης του συστήµατος, άρα για µη-µηδενικό µητρώο απόσβεσης, η αποκατάσταση δεν είναι πλήρης. Επιπρόσθετα, δηµιουργείται πρόβληµα, όταν το µητρώο απόσβεσης είναι ανάλογο του [Κ S ], γιατί κάθε αλλαγή στο µητρώο [K S ] προκαλεί και µεταβολή στην απόσβεση α Κ [K S ] και χρειάζεται να προστεθούν επιπλέον διορθωτικά φορτία στον χρόνο t+ t (Κάππος 1986). Την ίδια στιγµή, η συγκεκριµένη τεχνική δεν ανταποκρίνεται στη φύση του προβλήµατος, καθώς η επιβολή των [ F ub ] στο επόµενο χρονικό βήµα τροποποιεί τα πραγµατικά εξωτερικά φορτία του φορέα. Ωστόσο, στην πράξη έχει διαπιστωθεί ότι η συγκεκριµένη µέθοδος εξασφαλίζει ικανοποιητική ακρίβεια αποτελεσµάτων και µάλιστα µε πολύ µικρότερο υπολογιστικό κόστος από την ακριβέστερη επίλυση µε τη µέθοδο Newton-Raphson. Αυτός είναι και ο λόγος που έχει ενσωµατωθεί σε ευρέως διαδεδοµένα προγράµµατα ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών, όπως είναι το DRAIN (Kanaan & Powel 1973) και το IDARC (Valles et al. 1996). Πρόβληµα προκύπτει µόνο όταν τα φορτία εκτός ισορροπίας είναι µεγάλα, οπότε και ο µοναδικός τρόπος αντιµετώπισης είναι η µείωση του βήµατος της ανάλυσης. -207-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο Παρά την ευρεία εφαρµογή της στην ανελαστική ανάλυση των κατασκευών, η µέθοδος της διόρθωσης ενός βήµατος δεν ενδείκνυται για την περίπτωση πεπερασµένων στοιχείων που αποτελούνται από περισσότερα από ένα υποστοιχεία που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά, όπως αυτό που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Στο Σχήµα (6.21) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση δύναµης (S) - εργικώς αποκρινόµενης παραµόρφωσης (v 1 και v 2 ) στο ίδιο άκρο του πεπερασµένου στοιχείου για δύο διαφορετικά υποστοιχεία του, που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά. Τέτοιες σχέσεις µπορεί να είναι π.χ. η σχέση Μ-φ του καµπτικού υποστοιχείου και η σχέση Μ- θ slip του ολισθητικού υποστοιχείου στο ίδιο άκρο (Α ή Β στο Σχήµα 6.1) του στοιχείου που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. S S Sln1 Sub1 Snl1 t r 1 k T1 t+ t Sln2 Sub2 Snl2 t r 2 k T2 t+ t k T1 k T2 v 1 v 2 v 1 v 2 Σχήµα 6.21: υνάµεις εκτός ισορροπίας υποστοιχείων που συνδέονται µεταξύ τους σε σειρά Από το Σχήµα (6.21) είναι εµφανές ότι για την ίδια µικροαύξηση της έντασης S ln1 = S ln2 οι δυνάµεις εκτός ισορροπίας, όπως δίνονται από την Εξίσωση (6.5.6.3), προκύπτουν διαφορετικές ( S ub1 S ub2 ), αφού διαφέρουν µεταξύ τους οι κλίσεις των διαδοχικών κλάδων των υστερητικών µοντέλων (k T1 k T2 και r 1 k T1 r 2 k T2 ). Ακραίο παράδειγµα αυτής της περίπτωσης είναι η ανάπτυξη δυνάµεων εκτός ισορροπίας µόνο στη µία σχέση υστέρησης, ενώ στην άλλη δεν θα υπάρχουν καθόλου δυνάµεις εκτός ισορροπίας. Αυτό µπορεί να συµβεί όταν στην πρώτη σχέση υστέρησης λάβει χώρα αλλαγή του κλάδου στο υστερητικό µοντέλο εντός του εξεταζόµενου βήµατος φόρτισης, ενώ στη δεύτερη σχέση διατηρείται ο ίδιος κλάδος στο αντίστοιχο υστερητικό µοντέλο. Το πρώτο πρόβληµα που προκύπτει σε αυτήν την περίπτωση είναι ο προσδιορισµός της ισοδύναµης φόρτισης εκτός ισορροπίας που θα πρέπει να εφαρµοστεί στο επόµενο βήµα της ανάλυσης, αφού αυτή αναφέρεται στο συνολικό πεπερασµένο στοιχείο και όχι σε κάθε επιµέρους υποστοιχείο του. Μια λύση, όπου η ισοδύναµη ένταση εκτός ισορροπίας [ F ub ] θα προκύπτει από τις δυνάµεις εκτός ισορροπίας κάθε πεπερασµένου υποστοιχείου ανάλογα µε το τρέχον µητρώο ευκαµψίας του θα µπορούσε να εξεταστεί σε αυτήν την περίπτωση. Το δεύτερο και πιο σηµαντικό πρόβληµα προκύπτει από το γεγονός ότι κατά τη διόρθωση των δυνάµεων S ln1 και S ln2 µε τις δυνάµεις S ub1 και S ub2 αντίστοιχα, προκύπτουν στους µη-γραµµικούς καταστατικούς νόµους διαφορετικές τιµές των -208-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο τελικών προσαυξήσεων S nl1 και S nl2 ( S nl1 S nl2 ). Το γεγονός αυτό συνεπάγεται κατάργηση της ισορροπίας στο άκρο του στοιχείου και της σύνδεσης των επιµέρους υποστοιχείων σε σειρά, όπως αυτή ορίζεται από την Εξίσωση (6.1.2). Τέλος, ένα πρόσθετο πρόβληµα που προκύπτει µε τη µέθοδο της διόρθωσης ενός βήµατος για το πεπερασµένο στοιχείο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή είναι το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να λάβει υπόψη τη µη-γραµµικότητα που προκύπτει στη σχέση γωνιών στροφής χορδής και µικροαυξήσεων των ροπών στα άκρα του καµπτικού και διατµητικού υποστοιχείου που οφείλεται στη σταδιακή µεταβολή αντίστοιχα των µητρώων ευκαµψίας και ευτµησίας από τη σταδιακή αύξηση του µήκους των ανελαστικών ζωνών. Σε αυτήν την περίπτωση η µέθοδος της διόρθωσης ενός βήµατος δεν προβλέπει καµία ενέργεια, αφού δεν προκύπτουν δυνάµεις εκτός ισορροπίας στους µη-γραµµικούς καταστατικούς νόµους. Στη διεθνή βιβλιογραφία (Filippou & Issa 1988, Filippou et al. 1992) έχουν αναπτυχθεί αναλυτικοί αλγόριθµοι που στηρίζονται στην επαναληπτική µέθοδο Newton-Raphson για την ανελαστική ανάλυση κατασκευών µε πεπερασµένα στοιχεία που αποτελούνται από επιµέρους υποστοιχεία σε σειρά, όπως αυτό που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Ωστόσο, οι µέθοδοι αυτές, πέραν του ότι είναι αρκετά πολύπλοκες, καταλήγουν για την περίπτωση των στοιχείων κατανεµηµένης ανελαστικότητας να κάνουν χρήση της τεχνικής των διαδοχικών συµβάντων (eventto- event method) για την εξακρίβωση της πραγµατικής συµπεριφοράς της κατασκευής. Στην παρούσα διατριβή υιοθετείται εξαρχής η µέθοδος των διαδοχικών συµβάντων για την ανελαστική ανάλυση των κατασκευών Ο/Σ. Για αυτόν τον σκοπό, η συγκεκριµένη µέθοδος επεκτείνεται και για την περίπτωση των πεπερασµένων στοιχείων που απαρτίζονται από περισσότερα από ένα υποστοιχεία σε σειρά τα οποία µάλιστα έχουν τη δυνατότητα να προσοµοιώσουν τη σταδιακή εξέλιξη της σεισµικής βλάβης (gradual spread plasticity models). Η περιγραφή της συγκεκριµένης τεχνικής γίνεται αναλυτικά στην ενότητα που ακολουθεί. 6.5.7 Μέθοδος των ιαδοχικών Συµβάντων (Event-to-Event method) Στη µέθοδο των διαδοχικών συµβάντων (Golafshani 1981) η απόκριση της κατασκευής διακριτοποιείται σε επιµέρους συµβάντα που αντιστοιχούν στη µεταβολή της δυσκαµψίας ενός στοιχείου και κατά επέκταση του συνόλου της κατασκευής. Σκοπός της µεθόδου είναι να παρακολουθήσει όσο πιο στενά γίνεται τα στάδια της απόκρισης του φορέα επικαιροποιώντας το µητρώο δυσκαµψίας και τη φορτιστική κατάσταση σε όλα τα στοιχεία κάθε φορά που λαµβάνει χώρα ένα συµβάν (διαρροή, ρηγµάτωση, κλπ.) σε κάποιο στοιχείο της κατασκευής. Αυτό επιτυγχάνεται µε την πρόβλεψη του αµέσως επόµενου συµβάντος που θα λάβει χώρα εντός του βήµατος της ανάλυσης και στη συνέχεια τη διαίρεση της εξωτερικής φόρτισης µε κατάλληλο συντελεστή, ώστε κάθε φορά η ανάλυση να φτάνει µέχρι το αµέσως επόµενο συµβάν. Η µέθοδος των διαδοχικών συµβάντων συνοδεύεται από κάποια σχετική αύξηση του υπολογιστικού κόστους και για αυτόν τον λόγο δεν έχει εφαρµοστεί ευρέως µέχρι και σήµερα. Ωστόσο, είναι σαφώς πιο ακριβής από την τεχνική της διόρθωσης ενός βήµατος, ιδιαίτερα για τις περιπτώσεις όπου αναµένονται µεγάλα φορτία εκτός -209-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο ισορροπίας. Επιπρόσθετα, δεν πάσχει από τα προβλήµατα της µεθόδου διόρθωσης ενός βήµατος για την περίπτωση των πεπερασµένων στοιχείων που απαρτίζονται από περισσότερα από ένα υποστοιχεία σε σειρά, ενώ είναι και σε θέση να λάβει υπόψη τη µη-γραµµικότητα που προκύπτει από την αύξηση των µηκών ανελαστικοποίησης. Στη συνέχεια ακολουθεί η επέκταση της µεθόδου των διαδοχικών συµβάντων για την περίπτωση του πεπερασµένου στοιχείου που εξετάζεται στην παρούσα διατριβή. Είναι σαφές ότι στην περίπτωση του πεπερασµένου στοιχείου που εξετάζεται εδώ, η έννοια του συµβάντος περιλαµβάνει οποιαδήποτε µεταβολή της δυσκαµψίας σε όλους τους µη-γραµµικούς νόµους των επιµέρους υποστοιχείων του. Παράλληλα, προκειµένου να ληφθεί υπόψη η µη-γραµµικότητα που προκαλείται από τη σταδιακή µεταβολή των µητρώων F fl και F sh όταν µεταβάλλεται το ανηγµένο µήκος των ανελαστικών ζωνών (α Α, α Β, α Αs, α Βs, α Αs,cr, α Βs,cr ) ορίζονται και ως συµβάντα κάποιες σταθερές, προκαθορισµένες τιµές για τα συγκεκριµένα µήκη (π.χ. 0.01, 0.02, 0.03 κ.ο.κ.). Κατά κανόνα, εξαιτίας της µικρής κλίσης των κλάδων µετά τη διαρροή, οι τιµές των µηκών των ανελαστικών ζωνών αυξάνονται ανεπαίσθητα σε κάθε βήµα της φόρτισης. Σε αυτές τις περιπτώσεις η θεώρηση ως συµβάντων κάποιων χαρακτηριστικών τιµών για τα µήκη ανελαστικοποίησης είναι περιττή. Η θεώρηση, ωστόσο, των συγκεκριµένων συµβάντων είναι απαραίτητη, όταν αναµένονται σηµαντικές αυξήσεις των ανελαστικών περιοχών από π.χ. µεγάλες µεταβολές των ακραίων ροπών του στοιχείου ή την απότοµη µεταβολή του σηµείου µηδενισµού των ροπών σε κάποιο βήµα της φόρτισης. Όσο πιο πυκνές λαµβάνονται οι συγκεκριµένες προκαθορισµένες τιµές τόσο αυξάνει η ακρίβεια της ανάλυσης αλλά και το συνεπακόλουθο υπολογιστικό κόστος. Εάν v mne είναι εκείνα τα χαρακτηριστικά µεγέθη n (δηλαδή οι καµπυλότητες, διατµητικές παραµορφώσεις, στροφές ολίσθησης της αγκύρωσης των µη-γραµµικών καταστατικών νόµων του πεπερασµένου στοιχείου της παρούσας διατριβής, αλλά και οι τιµές των µηκών ανελαστικοποίησης του καµπτικού και διατµητικού υποστοιχείου) του στοιχείου m της κατασκευής που σηµατοδοτούν κάποιο νέο συµβάν e (τέτοιο συµβάν µπορεί να είναι η π.χ. η ρηγµάτωση, η διαρροή και γενικότερα οποιαδήποτε αλλαγή της δυσκαµψίας στους πολυγραµµικούς καταστατικούς νόµους του στοιχείου αλλά και η εµφάνιση των σταθερών-προκαθορισµένων τιµών για τα µήκη ανελαστικοποίησης που προαναφέρθηκαν) και v mn είναι οι τιµές των ίδιων µεγεθών στην αρχή του βήµατος φόρτισης [ F], τότε ο συντελεστής λ mn µε τον οποίο θα πρέπει να διορθωθεί η εξωτερική φόρτιση προκειµένου να οδηγήσει το στοιχείο ακριβώς στο συµβάν v mne θα δίνεται από την Εξίσωση (6.5.7.1), όπου v mn είναι η µικροαύξηση του εξεταζόµενου µεγέθους v mn λόγω της εξωτερικής φόρτισης [ F]. vmne vmn λ = mn min 1, (6.5.7.1) vmn Στην περίπτωση, όπου στο ίδιο βήµα της φόρτισης αναµένεται η εµφάνιση πολλών συµβάντων στο σύνολο της κατασκευής, τότε θα πρέπει η εξωτερική φόρτιση να κατατµηθεί σε περισσότερα βήµατα και σε κάθε περίπτωση να λαµβάνεται η ελάχιστη τιµή λ min των λ mn. Η ανάλυση θα πρέπει να κατατµηθεί επαρκώς, ώστε στην τελευταία διαίρεση του βήµατος της φόρτισης να µην προκύψει κανένα νέο συµβάν. Στη συνέχεια παρατίθεται ο αλγόριθµος που εφαρµόστηκε για την εφαρµογή της µεθόδου -210-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο των διαδοχικών συµβάντων στην ανελαστική ανάλυση των κατασκευών µε το πεπερασµένο στοιχείο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Για κάθε βήµα της φόρτισης και δεδοµένο αρχικό µητρώο µεταβολής της εξωτερικής φόρτισης [ F o ] ακολουθούνται τα εξής βήµατα. 1. Ορίζεται η αρχική τιµή του µετρητή i=0 2. Σχηµατίζονται τα εφαπτοµενικά µητρώα ευκαµψίας των υποστοιχείων για κάθε στοιχείο m, F fl m,i, F sh m,i, F sl m,i. 3. Για κάθε στοιχείο αθροίζονται ευκαµψίες των επιµέρους υποστοιχείων του και δηµιουργείται το συνολικό µητρώο ευκαµψίας από την Εξίσωση F m,i =F fl m,i + F sh m,i + F sl m,i (6.5.7.2) 4. Για κάθε στοιχείο προσδιορίζεται το θεµελιώδες, τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του i στοιχείου Κ m µε αντιστροφή του αντίστοιχου µητρώου ευκαµψίας. Στη συνέχεια υπολογίζεται το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου Κ j em. 5. Για κάθε στοιχείο µετατρέπεται το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας στο καθολικό σύστηµα συντεταγµένων και ενσωµατώνεται στο καθολικό εφαπτοµενικό µητρώο της κατασκευής [K i ] µε την άµεση µέθοδο της δυσκαµψίας (direct stiffness method). 6. Από τη γενική Εξίσωση (6.5.7.3) προσδιορίζεται το διάνυσµα µεταβολής των µετακινήσεων [ U i ] της κατασκευής. [K i ] [ U i ]=[ F i ] (6.5.7.3) 7. Από το διάνυσµα [ U i ] προσδιορίζεται το διάνυσµα των µεταβολών των γωνιών στροφής χορδής θ i m στα άκρα κάθε στοιχείου m. i 8. Για αυτό το διάνυσµα θ m υπολογίζονται οι µεταβολές στις ακραίες ροπές του i στοιχείου Μ m από την Εξίσωση (6.5.7.4). Oι µεταβολές αυτές θα πρέπει να είναι όµοιες για όλα τα υποστοιχεία του, αφού είναι συνδεδεµένα σε σειρά. Μ i i m =Κ mi θ m (6.5.7.4) 9. Για τις προσαυξήσεις των ροπών Μ i m υπολογίζονται οι µεταβολές των µεγεθών i v mn για κάθε χαρακτηριστικό µέγεθος n σε κάθε στοιχείο m από τα αντίστοιχα υστερητικά µοντέλα (καµπυλότητες, στροφές ολίσθησης, διατµητικές παραµορφώσεις) και από τα µοντέλα διείσδυσης της καµπτικής και της διατµητικής ανελαστικοποίησης (µήκη ανελαστικών ζωνών). 10. Αναβαθµίζονται οι συνολικές µετακινήσεις της κατασκευής, οι υστερητικές σχέσεις σε κάθε υποστοιχείο και τα µήκη ανελαστικοποίησης του καµπτικού και διατµητικού υποστοιχείου για κάθε µέλος της κατασκευής από την Εξίσωση v i+1 mn = v i i mn +v mn (6.5.7.5) 11. Υπολογίζονται οι συντελεστές συµβάντος λ i mn για κάθε χαρακτηριστικό µέγεθος n κάθε στοιχείου m χωριστά από την Εξίσωση i i v min mne vmn λ = 1, mn 0 (6.5.7.6) i vmn 12. Προσδιορίζεται ο ελάχιστος συντελεστής συµβάντος λ i min της κατασκευής για όλα τα ενδεχόµενα συµβάντα. 13. Εάν είναι λ i min <1, τότε ακυρώνονται τα βήµατα 6-10 και προσδιορίζεται το µειωµένο µητρώο µεταβολής της φόρτισης [ F i red ] που δίνεται από την Εξίσωση (6.5.7.7). Εάν είναι λ i min =1, τότε γίνεται µετάβαση απευθείας στο βήµα 22. -211-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο [ F i red]=λ mini [ F i ] (6.5.7.7) 14. Από τη γενική Εξίσωση (6.5.7.8) προσδιορίζεται το µειωµένο διάνυσµα µεταβολής των µετακινήσεων [ U i red] της κατασκευής. [K i ] [ U i red]=[ F i red] (6.5.7.8) 15. Από το διάνυσµα [ U i red] προσδιορίζεται το µειωµένο διάνυσµα των µεταβολών i των γωνιών στροφής χορδής θ m red στα άκρα κάθε στοιχείου m. i 16. Για αυτό το διάνυσµα θ m red υπολογίζονται οι µειωµένες µεταβολές στις ακραίες i ροπές του στοιχείου Μ m red από την Εξίσωση (6.5.7.9). Oι µεταβολές αυτές θα πρέπει να είναι όµοιες για όλα τα υποστοιχεία του, αφού είναι συνδεδεµένα σε σειρά. i i Μ m red =Κ mi θ m red (6.5.7.9) i 17. Για τις µεταβολές των ροπών Μ m red υπολογίζονται οι µεταβολές των µεγεθών i v mn red για κάθε χαρακτηριστικό µέγεθος n σε κάθε στοιχείο m από τα αντίστοιχα υστερητικά µοντέλα (καµπυλότητες, στροφές ολίσθησης, διατµητικές παραµορφώσεις) και από τα µοντέλα διείσδυσης της καµπτικής και της διατµητικής ανελαστικοποίησης (µήκη ανελαστικών ζωνών). 18. Αναβαθµίζονται οι συνολικές µετακινήσεις της κατασκευής, οι υστερητικές σχέσεις σε κάθε υποστοιχείο και τα µήκη ανελαστικοποίησης του καµπτικού και διατµητικού υποστοιχείου για κάθε µέλος της κατασκευής από την Εξίσωση (6.5.7.10). v i+1 i i mn = v mn red +v mn (6.5.7.10) 19. Ορίζεται το µητρώο φόρτισης για την επόµενη επανάληψη από την Εξίσωση (6.5.7.11). [ F i+1 ]= (1-λ i min ) [ F i ] (6.5.7.11) 20. Αναβαθµίζεται η τιµή του µετρητή i=i+1 21. Γίνεται επιστροφή στο βήµα 2. 22. Η ανάλυση συνεχίζεται στο επόµενο βήµα φόρτισης. Aξίζει να σηµειωθεί ότι η µέθοδος των διαδοχικών συµβάντων, όπως αυτή περιγράφηκε παραπάνω και εφαρµόστηκε πιλοτικά σε ανελαστικές αναλύσεις υφιστάµενων κατασκευών Ο/Σ στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής, οδήγησε σε ανεπαίσθητη αύξηση του απαιτούµενου χρόνου των αναλύσεων. Την ίδια στιγµή εξασφαλίζει την ακρίβεια των αποτελεσµάτων στο πλαίσιο των ευαίσθητων µηγραµµικών αναλύσεων και αποτρέπει την εµφάνιση φαινόµενων αριθµητικής αστάθειας που προκαλούνται από τις δυνάµεις εκτός ισορροπίας. Οι παρατηρήσεις αυτές συντείνουν στην περαιτέρω αξιοποίηση της µεθόδου. 6.5.8 Ενσωµάτωση Αλληλεπίδρασης Κάµψης- ιάτµησης στην Ανελαστική Ανάλυση των Κατασκευών Όπως αναφέρθηκε και στην 6.3.2, η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση λαµβάνεται υπόψη στην παρούσα διατριβή µε έναν διπλό τρόπο. Αφενός το µήκος των ανελαστικών ζωνών του διατµητικού υποστοιχείου καθορίζεται από το αντίστοιχο µήκος του καµπτικού υποστοιχείου και αφετέρου η δυστµησία της ανελαστικής ζώνης -212-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο του διατµητικού υποστοιχείου προσδιορίζεται από την υστερητική σχέση V-γ της οποίας η περιβάλλουσα προκύπτει µε τη µέθοδο που περιγράφηκε στην 4.2.3. Με βάση την εν λόγω ενότητα, η τρέχουσα εφαπτοµενική δυστµησία της περιβάλλουσας V-γ µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη προκύπτει από τη γενική Εξίσωση (4.2.3.4) που παρατίθεται ξανά εδώ V GAeff = GA1 (6.5.8.1) V + degv Στην Εξίσωση (6.5.8.1), V είναι η µεταβολή της τέµνουσας δύναµης στο τρέχον βήµα της ανάλυσης, GA 1 είναι η δυστµησία µετά τη διατµητική ρηγµάτωση και χωρίς την αλληλεπίδραση µε την κάµψη, degv c η µικροµεταβολή της πτώσης της διατµητικής αντοχής του µεριδίου του σκυροδέµατος που καθορίζεται από τη µέγιστη αναπτυσσόµενη καµπυλότητα στο αντίστοιχο άκρο του καµπτικού υποστοιχείου, και GA eff η τρέχουσα τιµή της εφαπτοµενικής δυστµησίας. Το πρόβληµα που προκύπτει από την Εξίσωση (6.5.8.1) είναι ότι η τιµή της δυστµησίας GA eff ορίζεται ως συνάρτηση της µεταβολής V. Ωστόσο, στην αναλυτική διαδικασία, η τιµή της V επηρεάζεται και αυτή µε τη σειρά της από την GA eff, αφού η δεύτερη καθορίζει το τρέχον µητρώο δυσκαµψίας του εξεταζόµενου στοιχείου. Για την αντιµετώπιση του συγκεκριµένου ζητήµατος, προτείνεται στην παρούσα διατριβή µια επαναληπτική διαδικασία που θα πρέπει να εφαρµόζεται σε κάθε βήµα της µεθόδου των διαδοχικών συµβάντων που αναπτύχθηκε στην 6.5.7. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται στη συνέχεια: Για κάθε βήµα της φόρτισης: 1. Σχηµατίζεται το µητρώο µεταβολής της εξωτερικής φόρτισης [ F] για το συγκεκριµένο βήµα φόρτισης. 2. Ορίζεται η αρχική τιµή του µετρητή j=0. 3. Σχηµατίζονται τα εφαπτοµενικά µητρώα ευκαµψίας των υποστοιχείων για κάθε στοιχείο m, F fl m,j, F sh m,j, F sl m,j. Το διατµητικό εφαπτοµενικό µητρώο, όταν κάποια ακραία διατοµή βρίσκεται στον συγκεκριµένο κλάδο, θα υπολογίζεται µε βάση την τιµή της τρέχουσας δυστµησίας GA eff j,m,k όπου k=a,b τα άκρα του εξεταζόµενου στοιχείου. 4. Για κάθε στοιχείο αθροίζονται οι ευκαµψίες των επιµέρους υποστοιχείων του και δηµιουργείται το συνολικό µητρώο ευκαµψίας από την Εξίσωση F m j =F fl m,j + F sh m,j + F sl m,j (6.5.8.2) 5. Για κάθε στοιχείο προσδιορίζεται το θεµελιώδες τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου Κ m j µε αντιστροφή του αντίστοιχου µητρώου ευκαµψίας. Στη συνέχεια υπολογίζεται το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου Κ em j. 6. Για κάθε στοιχείο µετατρέπεται το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας στο καθολικό σύστηµα συντεταγµένων και ενσωµατώνεται στο καθολικό εφαπτοµενικό µητρώο της κατασκευής [K j ] µε την άµεση µέθοδο της δυσκαµψίας (direct stiffness method). 7. Από τη γενική Εξίσωση (6.5.8.3) προσδιορίζεται το διάνυσµα µεταβολής των µετακινήσεων [ U j ] της κατασκευής. [K j ] [ U j ]=[ F] (6.5.8.3) 8. Από το διάνυσµα [ U j ] προσδιορίζεται το διάνυσµα των µεταβολών των γωνιών στροφής χορδής θ m j στα άκρα κάθε στοιχείου m. c -213-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο 9. Για αυτό το διάνυσµα θ j m προσδιορίζονται οι µικροµεταβολές στις ακραίες j ροπές του στοιχείου Μ m από την Εξίσωση (6.5.8.4). Μ j j m =Κ mj θ m (6.5.8.4) Στη συνέχεια και για κάθε στοιχείο ακολουθούνται τα βήµατα 10-17. Αφού ολοκληρωθούν τα συγκεκριµένα βήµατα για όλα τα στοιχεία γίνεται µετάβαση στο βήµα 18. 10. Από τις υστερητικές σχέσεις Μ-φ στα άκρα του καµπτικού υποστοιχείου και τις προσαυξήσεις των ροπών Μ j m,k προσδιορίζονται αρχικά οι προσαυξήσεις των καµπυλοτήτων φ j m,k και στη συνέχεια οι συνολικές καµπυλότητες από τη Σχέση (6.5.8.5), όπου φ o m,k είναι η τιµή της καµπυλότητας από το τέλος του προηγούµενου βήµατος φόρτισης. φ j m,k= φ o m,k+ φ j m,k (6.5.8.5) 11. Συγκρίνεται η νέα τιµή φ j m,k µε την µέχρι τώρα µέγιστη αναπτυχθείσα καµπυλότητα φ j m,k,max και αναβαθµίζεται η τελευταία, εάν απαιτείται. 12. Προσδιορίζεται η τρέχουσα µέγιστη πτώση διατµητικής αντοχής του µεριδίου o σκυροδέµατος από την Εξίσωση (6.5.8.6), όπου V c,m,k είναι η αρχική, µη j αποµειωµένη διατµητική αντοχή του µεριδίου σκυροδέµατος και V c m,k είναι η τρέχουσα διατµητική αντοχή, όπως αυτή καθορίζεται από το µοντέλο των Priestley et al. (1994) της 4.2.2.5 για την µέγιστη καµπυλότητα φ j m,k,max. j o j degv c, m,k =V c,m,k -V c m,k (6.5.8.6) 13. Προσδιορίζεται η µικροµεταβολή της τέµνουσας δύναµης V j m του στοιχείου m από την ισορροπία του στοιχείου. V j m =( M j m,a + M j m,b )/L (6.5.8.7) 14. Ελέγχονται οι ακόλουθες προϋποθέσεις. Εάν κάποια από αυτές δεν ισχύει, τότε γίνεται µετάβαση στο βήµα 10 για το επόµενο στοιχείο. Εάν ισχύουν και οι τρεις συνεχίζεται η διαδικασία στο βήµα 15. a) Το προηγούµενο σηµείο της υστερητικής σχέσης V-γ της εξεταζόµενης ακραίας διατοµής βρίσκεται στον κλάδο της περιβάλλουσας καµπύλης µετά την καµπτική διαρροή. b) Η µεταβολή της τέµνουσας V j m οδηγεί σε κατάσταση περαιτέρω φόρτισης την υστερητική σχέση V-γ της εξεταζόµενης διατοµής. j j j c) Ισχύει degv c, m,k > degv c, m,k,max όπου degv c, m,k,max είναι η µέγιστη πτώση της διατµητικής αντοχής που ίσχυε µέχρι και το συγκεκριµένο βήµα. 15. Προσδιορίζεται η πρόσθετη πτώση της διατµητικής αντοχής του σκυροδέµατος j j j από τη σχέση degv c, m,k = degv c, m,k -degv c, m,k,max. j+1 16. Προσδιορίζεται η νέα τιµή της τρέχουσας εφαπτοµενικής δυστµησία GA eff,m,k από την Εξίσωση (6.5.8.8). GA j+ 1 eff m, k = V j m V j m + degv j c m, k (6.5.8.8) 17. Ελέγχεται η σύγκλιση της προκύπτουσας GA eff µε την προηγούµενη τιµή της από το κριτήριο της Ανίσωσης (6.5.8.9), όπου tol είναι µια προκαθορισµένη τιµή της επιτρεπόµενης ανοχής. GA eff j+1 m,k - GA eff j m,k <tol (6.5.8.9) -214-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο 18. Εάν για όλα τα άκρα των στοιχείων της κατασκευής, είτε δεν ισχύει κάποια από τις προϋποθέσεις του βήµατος 14, είτε ικανοποιείται η απαίτηση του βήµατος 17, τότε γίνεται µετάβαση στο βήµα 21. 19. Αναβαθµίζεται η τιµή του µετρητή j=j+1 20. Γίνεται επιστροφή στο βήµα 3. 21. Επικαιροποιούνται οι συνολικές µετακινήσεις της κατασκευής, οι καταστατικοί νόµοι όλων των στοιχείων του φορέα, καθώς και τα µοντέλα διείσδυσης της καµπτικής και διατµητικής ανελαστικοποίησης. 22. Συνεχίζεται η ανάλυση στο επόµενο βήµα φόρτισης. Από την εφαρµογή της προαναφερθείσας µεθοδολογίας στην ανελαστική ανάλυση υφιστάµενων κατασκευών οπλισµένου σκυροδέµατος διαπιστώθηκε ότι η σύγκλιση είναι ταχύτατη και συνεπώς δεν προκύπτει σηµαντική περαιτέρω επιβάρυνση στο υπολογιστικό κόστος της αναλυτικής διαδικασίας. Η σύγκλιση είναι πιο γρήγορη όταν η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι µικρή στη συνολική ευκαµψία του στοιχείου, οπότε και η επιρροή της GA eff στο τοπικό µητρώο δυσκαµψίας του στοιχείου δεν είναι σηµαντική. Όταν η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι σηµαντική, τότε είναι δυνατόν να απαιτηθεί κάποιος πρόσθετος αριθµός επαναλήψεων. Η απαίτηση αυτή όµως κρίνεται δικαιολογηµένη, καθώς συµβάλλει σηµαντικά πλέον στην ακρίβεια των αποτελεσµάτων. -215-

6. Πεπερασµένο Στοιχείο -216-

Κεφάλαιο 7 ο 7 Tοπικός δείκτης σεισµικής βλάβης -217-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης 7.1 Εισαγωγή Η φιλοσοφία πάνω στην οποία βασίζονται όλοι οι σύγχρονοι αντισεισµικοί κανονισµοί είναι η εξής: Απαίτηση Άµεσης Χρήσης Τα έργα πρέπει να ανθίστανται σε σεισµούς µικρής έντασης χωρίς βλάβες, δηλαδή για µικρές και συχνά επαναλαµβανόµενες δονήσεις στη διάρκεια ζωής του έργου να βρίσκονται όλα τα στοιχεία της κατασκευής κάτω από το όριο ελαστικότητας (µε τη σηµείωση ότι για τα στοιχεία Ο/Σ επιτρέπεται ενγένει η εµφάνιση ρηγµάτωσης, εφόσον το αναµενόµενο εύρος ρωγµών δεν ξεπερνά τις αποδεκτές τιµές που εξαρτώνται κυρίως από τις συνθήκες περιβάλλοντος). Απαίτηση Προστασίας Ζωής Τα έργα για σεισµούς µέσης έντασης (για συνήθη έργα, σεισµός σχεδιασµού µε περίοδο επανάληψης της τάξης των 500 ετών) πρέπει να ανθίστανται µε ήσσονος σηµασίας βλάβες στον φέροντα σκελετό και στα στοιχεία πλήρωσης και δη επισκευάσιµες. Απαίτηση Αποφυγής Κατάρρευσης Σε ισχυρούς, καταστροφικούς σεισµούς µε περίοδο επανάληψης πολύ µεγαλύτερη από την διάρκεια ζωής του έργου (της τάξεως των 2500 ετών) τα έργα πρέπει να ανθίστανται σε κατάρρευση. Είναι σαφές ότι η έννοια της δοµικής βλάβης ενυπάρχει τόσο στην απαίτηση επιτελεστικότητας Άµεση Χρήση όσο και στην απαίτηση Προστασία Ζωής. Συνεπώς, αν απαιτηθεί η ποσοτικοποίηση των συγκεκριµένων κριτηρίων επιτελεστικότητας, τότε είναι απαραίτητη και η έκφραση της δοµικής βλάβης σε ποσοτικούς όρους, µε την αστοχία να αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή της βλάβης που µπορεί να γίνει ανεκτή για µια κατασκευή. Για τον ορισµό των δεικτών βλάβης κατά κανόνα χρησιµοποιούνται δύο µεθοδολογίες στη σύγχρονη βιβλιογραφία (Kappos 1997). Στην πρώτη προσέγγιση, η απαίτηση που εισάγεται από µια σεισµική διέγερση σε συγκεκριµένους όρους αποκρίσεως (π.χ. παραµόρφωση ή ενέργεια) συσχετίζεται µε την ικανότητα του δοµικού στοιχείου ή της κατασκευής ως σύνολο. Βασική δυσκολία αυτής της προσέγγισης αποτελεί η εκτίµηση της αντίστοιχης ικανότητας, ειδικά όταν εµπλέκονται και παράµετροι σωρευτικής βλάβης (cumulative damage). Στη δεύτερη προσέγγιση, η υποβάθµιση µιας συγκεκριµένης δοµικής παραµέτρου (π.χ. αντοχής, δυσκαµψίας, ικανότητας απορρόφησης ενέργειας) συγκρίνεται µε µια προκαθορισµένη κρίσιµη τιµή που συνήθως ορίζεται ως ποσοστό της αρχικής τιµής της παραµέτρου στην κατάσταση πριν από τη βλάβη. Μειονέκτηµα αυτής της µεθόδου αποτελεί ακριβώς η δυσκολία προσδιορισµού της προκαθορισµένης κρίσιµης τιµής που θα ορίσει και την αστοχία του δοµικού στοιχείου ή της κατασκευής. Γενικά, η βλάβη των στοιχείων Ο/Σ συσχετίζεται µε τις παραµένουσες (ανελαστικές) παραµορφώσεις. Κατά συνέπεια, οι παράµετροι βλάβης θα πρέπει κατά προτίµηση να αναφέρονται σε όρους παραµορφώσεων. Η ενέργεια που απορροφάται από ένα δοµικό στοιχείο (ή κατασκευή) αποτελεί και αυτή µε τη σειρά της µια χρήσιµη παράµετρο για τη βαθµονόµηση της δοµικής βλάβης. Αντίθετα, η χρήση εντατικών -218-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης µεγεθών (ροπές και τέµνουσες) δεν ενδείκνυται για την ποσοτικοποίηση της σεισµικής βλάβης και θα πρέπει να γίνεται µε εξαιρετική προσοχή. Ανάλογα µε το αν αναφέρονται σε ένα συγκεκριµένο δοµικό στοιχείο, σε ένα υποσύνολο της κατασκευής (π.χ. όροφος) ή στο σύνολο της κατασκευής, οι δείκτες βλάβης διακρίνονται σε τοπικούς, ενδιάµεσους και καθολικούς. Είναι αυτονόητο ότι όσο γίνεται η µετάβαση από τους τοπικούς στους καθολικούς δείκτες βλάβης τόσο µειώνεται και η στάθµη αξιοπιστίας προσδιορισµού της σεισµικής βλάβης. Οι τοπικοί δείκτες βλάβης χρησιµοποιούν τοπικές παραµέτρους απόκρισης, όπως είναι π.χ. η αξονική παραµόρφωση, η καµπυλότητα και η στροφή στο άκρο ενός δοµικού στοιχείου. Οι καθολικοί δείκτες βλάβης αναφέρονται σε καθολικές παραµέτρους, όπως είναι η συνολική πλαστιµότητα µετακινήσεων του κτιρίου µε βάση την µετακίνηση κορυφής ή και η αύξηση της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου του κτιρίου µετά την επιβαλλόµενη σεισµική διέγερση σε σχέση µε την αρχική. Οι ενδιάµεσοι και οι συνολικοί δείκτες βλάβης µπορούν να προσδιοριστούν ως οι κεντροβαρικοί µέσοι όροι των δεικτών βλάβης των επιµέρους δοµικών στοιχείων. Ως συντελεστές βάρους σε αυτόν τον υπολογισµό έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία η υστερητική ενέργεια που καταναλώθηκε από το δοµικό στοιχείο ή το κατακόρυφο φορτίο που του αναλογεί. Και οι δύο µέθοδοι τείνουν να δίνουν µεγαλύτερο βάρος στα στοιχεία των χαµηλότερων ορόφων, το οποίο είναι κατά κανόνα ορθό, αλλά αδυνατούν να αναγνωρίσουν το γεγονός ότι η αστοχία ενός π.χ. µαλακού ορόφου σηµαίνει ουσιαστικά και την αστοχία του συνόλου της κατασκευής (Kappos 1997). Οι πιθανές εφαρµογές των δεικτών βλάβης στην αντισεισµική τεχνολογία είναι πράγµατι πολλές. Ενδεικτικά αναφέρονται οι παρακάτω: Αποτίµηση των βλαβών που υπέστησαν κατασκευές µετά από συγκεκριµένη πραγµατική σεισµική διέγερση. Η εφαρµογή των δεικτών βλάβης θα µπορούσε σε αυτήν την περίπτωση να λειτουργήσει επικουρικά στην επιλογή των κατασκευαστικών µέτρων ενίσχυσης ή επισκευής που ενδεχοµένως να απαιτηθούν (µετασεισµική ενίσχυση). Μελέτες αξιοπιστίας των υφιστάµενων κατασκευών για δεδοµένα σενάρια σεισµικών διεγέρσεων, όπου θα πρέπει να ληφθούν κατάλληλες αποφάσεις για το κατά πόσο θα πρέπει να υλοποιηθούν µέτρα ενίσχυσης ή όχι (προσεισµική ενίσχυση). Προβλέψεις της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών, ιδιαίτερα εκείνων µεγάλης σπουδαιότητας, που θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν σαν πρόσθετο εργαλείο για τον αντισεισµικό σχεδιασµό αυτών των κατασκευών. Καθίσταται σαφές από τα παραπάνω ότι η ανάπτυξη και η χρήση αξιόπιστων δεικτών βλάβης αποτελεί απαραίτητο εργαλείο για την ορθολογική αποτίµηση της σεισµικής ικανότητας των υφιστάµενων κατασκευών αλλά και στη διαδικασία λήψης αποφάσεων για την υλοποίηση δοµικών ενισχύσεων και επεµβάσεων πριν και µετά από ισχυρά σεισµικά γεγονότα. Παρόλ αυτά, η εφαρµοσιµότητα των µέχρι σήµερα προτεινόµενων δεικτών δοµικών δεικτών βλάβης περιορίζεται από δύο βασικά µειονεκτήµατα: Μέχρι και σήµερα έχει λάβει χώρα µόνον περιορισµένη βαθµονόµηση των προτεινόµενων δεικτών βλάβης µε πραγµατικά δεδοµένα από πειραµατικές καταγραφές ή από επιθεωρήσεις πεδίου µετά από ισχυρά σεισµικά γεγονότα. -219-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης Οι προτεινόµενοι δείκτες βλάβης, σχεδόν στην ολότητα τους, βασίζονται στην παραδοχή καµπτικής αστοχίας των δοµικών στοιχείων. Παρόλ αυτά, οι φορείς Ο/Σ που δεν έχουν κατασκευαστεί µε τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς είναι πολύ πιθανόν να αναπτύξουν και µη πλάστιµες µορφές αστοχίας, όπως είναι οι διατµητικές µορφές αστοχίας και οι αστοχίες από ολίσθηση της αγκύρωσης. Στην καλύτερη περίπτωση, οι τελευταίες αυτές µορφές αστοχίες γίνεται προσπάθεια να ληφθούν έµµεσα υπόψη µέσω µεγεθών, όπως είναι η στροφή χορδής των ακραίων διατοµών που ενσωµατώνει τις καµπτικές και διατµητικές παραµόρφωσεις αλλά και τις στροφές από ολίσθηση της αγκύρωσης. Οι απαραίτητες παραδοχές που γίνονται όµως σε αυτήν την περίπτωση µειώνουν αναγκαστικά την αξιοπιστία αυτών των δεικτών βλάβης σε κατασκευές ή δοµικά στοιχεία, όπου η συµπεριφορά τους δεν µπορεί να προσεγγιστεί µε αρκετή ακρίβεια εκ των προτέρων. Κλείνοντας αυτήν τη εισαγωγή στους δείκτες βλάβης, επισηµαίνεται ότι όσα σηµειώθηκαν παραπάνω αναφέρονται σε συγκεκριµένες δοµικές παραµέτρους. Παρόλ αυτά, είναι ιδιαίτερα χρήσιµη από πρακτικής σκοπιάς η έκφραση της βλάβης σε όρους οικονοµικών µεγεθών, όπως π.χ. είναι ο λόγος του κόστους που απαιτείται για την επισκευή ή την ενίσχυση του δοµικού στοιχείου ή της κατασκευής προς το κόστος που χρειάζεται για την επανακατασκευή (ενός πανοµοιότυπου στοιχείου ή, συνηθέστερα, κατασκευής). Τέτοιοι οικονοµικοί δείκτες βλάβης είναι απαραίτητοι στους τοµείς της αντισεισµικής ασφάλισης αλλά και σε πολλά άλλα ζητήµατα που σχετίζονται µε την αποτίµηση της σεισµικής τρωτότητας. Οι οικονοµικές προεκτάσεις των δεικτών βλάβης ξεφεύγουν από τα όρια της παρούσας διατριβής και δεν πρόκειται να αναπτυχθούν περαιτέρω στη συνέχεια. Στην ενότητα που ακολουθεί αναπτύσσεται διεξοδικά ο τοπικός δείκτης βλάβης που προτείνεται εδώ για τη σεισµική αποτίµηση υφιστάµενων κατασκευών Ο/Σ. Βασικό πλεονέκτηµα του συγκεκριµένου δείκτη είναι η ικανότητά του να λαµβάνει υπόψη και τις µη-πλάστιµες µορφές αστοχίας των δοµικών στοιχείων Ο/Σ, οι οποίες δεν είναι δυνατόν να αποκλειστούν στις κατασκευές που δεν έχουν δοµηθεί µε τις σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις. 7.2 Προτεινόµενος είκτης Βλάβης Από τον ορισµό του, ο σεισµικός δείκτης βλάβης είναι µια ποσότητα µε µηδενική τιµή, όταν δεν έχει αναπτυχθεί δοµική βλάβη και µε τιµή ίση της µονάδας (100%), όταν λαµβάνει χώρα αστοχία του δοµικού στοιχείου. Ωστόσο, ένα δοµικό στοιχείο Ο/Σ που δεν έχει κατασκευαστεί µε πλάστιµο τρόπο µπορεί να αστοχήσει σε κάποιο άκρο του από κάµψη, από διάτµηση (µετά και από την αλληλεπίδραση µε την κάµψη) αλλά και από ολίσθηση της αγκύρωσής του. Συνεπώς, ένας κατάλληλος, συνδυαστικός, τοπικός δείκτης βλάβης, D tot, ενός στοιχείου Ο/Σ θα πρέπει να γίνεται ίσος µε τη µονάδα, όταν το αντίστοιχο άκρο του δοµικού στοιχείου εξαντλήσει την αντοχή του, είτε σε κάµψη, είτε σε διάτµηση, είτε σε ολίσθηση της αγκύρωσής του. Μια γενική σχέση που ικανοποιεί όλες τις προαναφερθείσες απαιτήσεις δίνεται στην Εξίσωση (7.2.1), όπου ο D tot είναι ο συνολικός, τοπικός δείκτης βλάβης του δοµικού στοιχείου (0 D tot 1) και αντικατροπτίζει τη συνολική βλάβη του άκρου του στοιχείου, -220-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης D fl είναι ο καµπτικός δείκτης βλάβης (0 D fl 1), που εκφράζει τη βλάβη καµπτικού χαρακτήρα του άκρου του στοιχείου, D sh είναι ο διατµητικός δείκτης βλάβης (0 D sh 1) που εκφράζει τη βλάβη διατµητικού τύπου του άκρου του στοιχείου, D sl είναι ο ολισθητικός δείκτης βλάβης (0 D sl 1) που εκφράζει τη βλάβη του άκρου του στοιχείου από την ολίσθηση της αγκύρωσης, ξ fl είναι ένας εκθέτης που συµβολίζει την επιρροή της καµπτικής βλάβης D fl στη συνολική βλάβη του στοιχείου D tot, ξ sh είναι ένας εκθέτης που εκφράζει την επιρροή της βλάβης διατµητικού χαρακτήρα D sh στη συνολική βλάβη και ξ sl είναι ένας εκθέτης που εκφράζει την επιρροή της βλάβης από ολίσθηση της αγκύρωσης D sl στη συνολική βλάβη του άκρου του δοµικού στοιχείου. ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ fl sh sl D = 1 1 D 1 D 1 D (7.2.1) tot fl sh sl Στην Εξίσωση (7.2.1), όταν οι βλάβες κάθε µορφής είναι ίσες µε το µηδέν (D fl =D sh =D sl =0), τότε και ο συνολικός δείκτης βλάβης του στοιχείου D tot παραµένει ίσος µε το µηδέν. Αυτό είναι και το αναµενόµενο, αφού συνολικά το δοµικό στοιχείο δεν έχει αναπτύξει καµία µορφή βλάβης. Επιπρόσθετα, όταν αναπτυχθεί καµπτική αστοχία (D fl =1), τότε ο D tot γίνεται ίσος µε τη µονάδα ανεξάρτητα από την τιµή του αντίστοιχου διατµητικού και του ολισθητικού δείκτη βλάβης. Το ίδιο συµβαίνει και για την περίπτωση της διατµητικής και της ολισθητικής αστοχίας, οπότε και γίνεται D tot =1, όταν γίνεται αντίστοιχα D sh =1 και D sl =1. Η συγκεκριµένη παρατήρηση εκφράζει µαθηµατικά το γεγονός ότι όταν ένα δοµικό στοιχείο αναπτύξει µια οποιαδήποτε µορφή αστοχίας (καµπτική, διατµητική, ολισθητική), τότε µπορεί να θεωρηθεί ότι έχει αστοχήσει συνολικά, αφού δεν είναι σε θέση πλέον να διατηρήσει την αντοχή του ανεξάρτητα από την απόκριση του στους άλλους µηχανισµούς αστοχίας. Από την Εξίσωση (7.2.1) καθίσταται σαφές ότι οι τιµές των εκθετών ξ fl, ξ sh και ξ sl, µπορούν να διαδραµατίσουν καθοριστικό ρόλο στον υπολογισµό του D tot. Ωστόσο, όπως θα αναλυθεί και στη συνέχεια, οι τιµές των συγκεκριµένων συντελεστών µπορούν να καθοριστούν µονοσήµαντα από την υιοθέτηση παρατηρήσεων ποιοτικού χαρακτήρα που σχετίζονται µε τη βλάβη δοµικών στοιχείων Ο/Σ. Η συνολική δοµική βλάβη σε ένα στοιχείο Ο/Σ µπορεί να θεωρηθεί ως ο συνδυασµός της βλάβης εξαιτίας των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών ανελαστικών παραµορφώσεων. Συνεπώς, είναι εύλογο ο D tot να λαµβάνει τιµές µεγαλύτερες από εκείνες των επιµέρους δεικτών βλάβης. Η Εξίσωση (7.2.1) ικανοποιεί το συγκεκριµένο περιορισµό µόνον, όταν ισχύει ταυτόχρονα (ξ fl 1, ξ sh 1 και ξ sl 1). Επιπλέον, είναι φυσικά ορθό να υποτεθεί ότι όταν δύο από τις τρεις µορφές βλάβης είναι αµελητέες, τότε η συνολική δοµική βλάβη του στοιχείου είναι ίση µε την τρίτη µορφή βλάβης. Για παράδειγµα, όταν είναι D fl =D sl =0 είναι εύλογο να θεωρηθεί ότι D tot =D sh. Η απαίτηση αυτή ικανοποιείται σε κάθε περίπτωση µόνο όταν γίνει ξ fl =ξ sh =ξ sl =1. Με βάση και τη συγκεκριµένη διαπίστωση προτείνεται στην παρούσα διατριβή η Εξίσωση (7.2.2) για τον προσδιορισµό του συνολικού δείκτη D tot από τους επιµέρους δείκτες βλάβης. ( ) ( ) ( ) D = 1 1 D 1 D 1 D (7.2.2) tot fl sh sl Στο Σχήµα (7.1) παρατίθεται η µεταβολή του D tot για όλα τα δυνατά ζεύγη τιµών επιµέρους δεικτών βλάβης D 1 και D 2 και για διάφορες (διακριτές) τιµές του τρίτου επιµέρους δείκτη βλάβης D 3. Οι επιµέρους δείκτες D i (i=1,2,3) αντιστοιχούν σε κάποιον από τους δείκτες D fl, D sh και D sl. -221-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης Από τα συγκεκριµένα σχήµατα είναι προφανές ότι ο συνολικός δείκτης βλάβης D tot παραµένει µηδενικός µόνον όταν ισχύει ταυτόχρονα D 1 =D 2 =D 3 =0. ηλαδή η συνολική βλάβη του στοιχείου παραµένει µηδενική µόνον όταν όλες οι µορφές βλάβης παραµένουν αµελητέες. Επιπρόσθετα, από τα ίδια σχήµατα µπορεί να διαπιστωθεί ότι όταν ένας από τους επιµέρους δείκτες βλάβης D i γίνεται ίσος µε τη µονάδα (καµπτική, διατµητική ή ολισθητική αστοχία), τότε ο D tot γίνεται και αυτός ίσος µε µονάδα, ανεξάρτητα από την τιµή των άλλων δύο δεικτών βλάβης. ηλαδή το δοµικό στοιχείο θεωρείται ότι έχει αστοχήσει συνολικά είτε αστοχήσει σε κάµψη, είτε σε τέµνουσα, είτε σε ολίσθηση της αγκύρωσης. D 3 =0 1 0.9 0.8 1 0.7 0.8 0.6 D tot 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 D 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 D 1 (α) D 3 =0.25 1 0.9 1 0.8 0.8 0.7 D tot 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 D 1 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 1 0.8 0.6 0.4 D 2 0.6 0.5 0.4 0.3 (β) -222-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης D 3 =0.50 1 0.9 1 0.8 0.8 D tot 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 D1 0.6 0.8 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 D 2 0.7 0.6 0.5 (γ) D 3 =0.75 1 0.95 1 0.8 0.9 D tot 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 D 2 0.85 0.8 0.75 D 1 (δ) D tot 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 D 3 =1.0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 D 1 D 2 (ε) Σχήµα 7.1: Προσδιορισµός συνολικού δείκτη βλάβης D tot για όλα τα ζεύγη τιµών των επιµέρους δεικτών βλάβης D 1 και D 2 και για τιµές του επιµέρους δείκτη D 3 : α) D 3 =0, β) D 3 =0.25, γ) D 3 =0.50, δ) D 3 =0.75 και ε) D 3 =1.00. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Το Σχήµα (7.2) παρουσιάζει τη µεταβολή του D tot µε τον δείκτη D max για τις δύο ακραίες τιµές των δεικτών D int και D min, όπου D max, D int και D min είναι η µέγιστη, η ενδιάµεση και η ελάχιστη τιµή, αντίστοιχα, των επιµέρους δεικτών βλάβης D i (i=1,2,3). Από την Εξίσωση (7.2.2) γίνεται φανερό ότι όταν είναι D int =D min =0, τότε ισχύει D tot =D tot,min =D max, όπου D tot,min είναι η ελάχιστη δυνατή τιµή του D tot για δεδοµένη τιµή του D max. Όταν γίνεται D min =D int =D max, τότε ο D tot αποκτά τις µέγιστες του τιµές, -223-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης D tot,max οι οποίες µπορεί να είναι σηµαντικά µεγαλύτερες του D max όπως φαίνεται χαρακτηριστικά στο Σχήµα (7.2). D tot,max ορίζεται η µέγιστη δυνατή τιµή του D tot για δεδοµένη τιµή του D max. 1 0,8 Dtot,max Dtot 0,6 0,4 Dtot,min 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Dmax Σχήµα 7.2: Μεταβολή του D tot µε τον D max Για όλες τις ενδιάµεσες τιµές των δεικτών D int και D min (0<D min D int <D max ), ο D tot βρίσκεται µεταξύ της συνεχούς και διακεκοµµένης γραµµής του Σχήµατος (7.2) που µπορούν να θεωρηθούν ως το άνω και κάτω όριο των τιµών του D tot συναρτήσει του D max. Αφού µε το σκεπτικό που αναπτύχθηκε παραπάνω ορίσθηκε µια εύλογη και µε φυσική σηµασία µορφή του συνδυασµένου δείκτη βλάβης, για τον υπολογισµό του D tot είναι απαραίτητος ο προσδιορισµός των επιµέρους δεικτών D fl, D sh και D sl. Εξ ορισµού, ο D fl θα πρέπει να αναφέρεται σε µια τοπική, καθαρά καµπτική παράµετρο παραµόρφωσης. Η καλύτερη επιλογή σε αυτήν την περίπτωση είναι η καµπυλότητα, φ, που αναπτύσσεται στο άκρο του δοµικού στοιχείου. Με την ίδια λογική, ο δείκτης βλάβης D sh θα πρέπει να καθορίζεται από τη διατµητική παραµόρφωση γ που αναπτύσσεται στην αντίστοιχη ακραία περιοχή του δοµικού στοιχείου. Τέλος, ο D sl θα προσδιορίζεται µε τον βέλτιστο δυνατό τρόπο από την στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης θ slip στον κόµβο του αντίστοιχου άκρου του στοιχείου. Ακολουθώντας τον γενικό ορισµό των δεικτών βλάβης, οι δείκτες D fl, D sh και D sl θα πρέπει να έχουν µηδενικές τιµές, όταν η καµπτική, ή διατµητική και η ολισθητική αντίστοιχα βλάβη είναι αµελητέες και θα πρέπει να γίνονται ίσοι µε τη µονάδα, όταν αναπτύσσεται αντίστοιχα καµπτική, διατµητική και ολισθητική αστοχία. Καµπτική βλάβη σε ένα στοιχείο Ο/Σ λαµβάνει χώρα όταν η αναπτυσσόµενη µέγιστη καµπυλότητα φ max στο άκρο του στοιχείου υπερβαίνει µια συγκεκριµένη τιµή φ ο, κάτω από την οποία το στοιχείο συµπεριφέρεται ουσιαστικά ελαστικά, µε την έννοια ότι δεν αναπτύσσονται εµφανείς µόνιµες παραµορφώσεις και συνεπώς η όποια βλάβη µπορεί να θεωρηθεί ως αµελητέα. Με ανάλογο τρόπο, διατµητική βλάβη σε ένα στοιχείο Ο/Σ λαµβάνει χώρα, όταν η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση γ max γίνεται µεγαλύτερη µιας αντίστοιχης τιµής γ ο. Τέλος, βλάβη στην αγκύρωση του δοµικού στοιχείου αναπτύσσεται, όταν η αντίστοιχη µέγιστη στροφή ολίσθησης θ sl,max υπερβεί µια συγκεκριµένη τιµή θ sl,o κάτω από την οποία µπορεί να θεωρηθεί ότι δεν αναπτύσσονται παραµένουσες παραµορφώσεις από την ολίσθηση της αγκύρωσης. -224-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης Καµπτική αστοχία σε ένα στοιχείο Ο/Σ αναπτύσσεται, όταν η απαιτούµενη καµπυλότητα στο άκρο του στοιχείου φ max γίνει ίση µε την αντίστοιχη διαθέσιµη καµπυλότητα φ u. Ο τρόπος προσδιορισµού της καµπυλότητας φ u έχει αναπτυχθεί στο Κεφάλαιο 3 της παρούσας διατριβής. Παροµοίως, διατµητική αστοχία σε ένα στοιχείο Ο/Σ λαµβάνει χώρα, όταν η µέγιστη απαιτούµενη διατµητική παραµόρφωση στο άκρο του στοιχείου γίνει ίση µε την αντίστοιχη διαθέσιµη διατµητική παραµόρφωση αστοχίας, γ u όπως αυτή ορίστηκε στο Κεφάλαιο 4 της παρούσας διατριβής. Τέλος, αστοχία από ολίσθηση της αγκύρωσης αναπτύσσεται, όταν η µέγιστη στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης θ sl,max γίνει ίση µε τη στροφή ολίσθησης αστοχίας της αγκύρωσης θ ub,sl. Σηµειώνεται ότι η στροφή θ ub,sl αντιστοιχεί στην αστοχία της αγκύρωσης και όχι στην καµπτική αστοχία που µπορεί να προηγείται. Τρεις γενικές µαθηµατικές σχέσεις που ικανοποιούν τα παραπάνω κριτήρια για τον καµπτικό, διατµητικό και ολισθητικό δείκτη βλάβης παρουσιάζονται στις Εξισώσεις (7.2.3) έως και (7.2.5). D D fl sh ϕmax ϕ o = 1 1 ϕu ϕo γ max γ o = 1 1 γu γo λ λ fl sh λ (7.2.3) (7.2.4) sl θsl,max θ sl, o Dsl = 1 1 (7.2.5) θubsl, θ sl, o Είναι προφανές ότι στις Εξισώσεις (7.2.3) έως και (7.2.5), όταν είναι φ max <φ ο, γ max <γ ο και θ sl,max <θ sl,o, τότε θα πρέπει να τίθεται φ max =φ ο, γ max =γ ο και θ sl,max =θ sl,o αντίστοιχα προκειµένου να αποφευχθούν οι αρνητικές τιµές στους επιµέρους δείκτες βλάβης. Στις Εξισώσεις (7.2.3) έως και (7.2.5), λ fl, λ sh και λ sl είναι εκθέτες που καθορίζουν τον ρυθµό µε τον οποίο η καµπτική, η διατµητική και η ολισθητική βλάβη αυξάνεται αντίστοιχα µε τους ανηγµένους λόγους (φ max -φ o )/(φ u -φ o ), (γ max -γ o ) /(γ u -γ o ) και (θ sl,max - θ sl,o )/(θ ub,sl -θ sl,o ). Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι συγκεκριµένοι λόγοι αποτελούν ειδικές περιπτώσεις των Εξισώσεων (7.2.3) έως και (7.2.5) θέτοντας λ fl =λ sh =λ sl =1. Καθαρά, οι εκθέτες λ fl, λ sh και λ sl θα πρέπει να καθοριστούν µε βάση κατάλληλες πειραµατικές παρατηρήσεις και καταγραφές. Παρόλ αυτά, µέχρι και σήµερα, µόνον περιορισµένη βαθµονόµηση των δεικτών βλάβης έχει πραγµατοποιηθεί µε βάση τις καταγραφείσες βλάβες σε πειραµατικά δοκίµια ή πραγµατικές κατασκευές µετά από σεισµό (Williams et al. 1997). Καθώς τα πειραµατικά δεδοµένα είναι ανεπαρκή είναι προτιµότερο να αποδοθούν τιµές στους εκθέτες λ fl, λ sh και λ sl οι οποίες θα εξασφαλίζουν τις καλύτερες δυνατές και ρεαλιστικές τιµές στο συνολικό δείκτη βλάβης D tot για όλο το εύρος των πιθανών συνδυασµών των ανηγµένων λόγων (φ max -φ o )/(φ u - φ o ), (γ max -γ o ) /(γ u -γ o ) και (θ sl,max -θ sl,o ) /( θ ub,sl -θ sl,o ). Με αντικατάσταση των Εξισώσεων (7.2.3) έως και (7.2.5) στην Εξίσωση (7.2.2) προκύπτει η Εξίσωση (7.2.6). D tot λfl λ λ sh sl ϕmax ϕ o γ max γ θ o sl,max θ sl, o 1 1 1 1 ϕu ϕo γ u γ o θub, sl θ sl, o = (7.2.6) -225-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης Στα επόµενα, για λόγους απλότητας και έλλειψης επαρκών πειραµατικών δεδοµένων, θεωρείται ότι ισχύει λ=λ fl =λ sh =λ sl. Εάν z max, z int, z min είναι αντίστοιχα η µέγιστη, η ενδιάµεση και η ελάχιστη τιµή των ανηγµένων λόγων (φ max -φ o )/(φ u -φ o ), (γ max -γ o ) /(γ u -γ o ) και (θ sl,max -θ sl,o ) /(θ ub,sl -θ sl,o ), τότε η Εξίσωση (7.2.6) µπορεί να γραφεί και στη µορφή της Εξίσωσης (7.2.7). ( ) ( ) ( ) D = 1 1 z 1 z 1 z (7.2.7) tot λ λ λ max int min Από την Εξίσωση (7.2.7) προκύπτει ότι ο D tot λαµβάνει τις ελάχιστες τιµές D tot,min ως συνάρτηση του z max, όταν γίνεται z int =z min =0 και ότι ο D tot λαµβάνει τις µέγιστες του τιµές D tot,max ως συνάρτηση του z max, όταν γίνεται z max =z int =z min. Για όλες τις άλλες τιµές των z int και z min (0<z min z int <z max ), ο D tot παραµένει µεταξύ των D tot,min και D tot,max. Το Σχήµα (7.3) παρουσιάζει τη µεταβολή του D tot,min µε τον λόγο z max για τρεις διακριτές τιµές του λ (λ=1/4, 1/2, 3/4, 1.0). Καθίσταται εµφανές ότι για λ=1/4, ο D tot αυξάνει από 0.52 σε 1.0 καθώς ο z max αυξάνει από 0.95 σε 1.0. Αυτή η απότοµη συµπεριφορά αντίκειται στα διαθέσιµα πειραµατικά αποτελέσµατα και την κρίση του µηχανικού. Συνεπώς, η τιµή λ=1/4 δεν αποτελεί ιδανική λύση για τον προσδιορισµό του D tot. Για όλες τις άλλες τιµές του λ, ο D tot,min µεταβάλλεται µε έναν σχετικά οµαλό τρόπο ως συνάρτηση πάντα του z max. Το Σχήµα (7.4) παρουσιάζει τη µεταβολή του D tot,max µε το λόγο z max για τις τέσσερις ίδιες τιµές του λ. Από το συγκεκριµένο σχήµα φαίνεται ότι για λ=1.0, ο D tot γίνεται ίσος µε 0.90 για z max =0.55. ηλαδή, καθώς ο z max αυξάνεται από 0.55 σε 1 η πρόσθετη βλάβη που λαµβάνει χώρα µέχρι την αστοχία είναι αµελητέα. Αυτό είναι επίσης αντίθετο µε τις παρατηρήσεις από τις πειραµατικές και επιτόπου καταγραφές. Το αντίστοιχο περίπου συµβαίνει για λ=3/4 όπου ο D tot γίνεται ίσος µε 0.90 για τιµή του z max =0.65. Συνοψίζοντας τα προηγούµενα, η περίπτωση που δίνει τα πλέον εύλογα αποτελέσµατα τόσο στις ελάχιστες τιµές D tot,min όσο και στις µέγιστες τιµές D tot,max είναι η τιµή λ=1/2. 1 0,8 λ=1 Dtot,min 0,6 0,4 λ=3/4 λ=1/2 0,2 λ=1/4 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 zmax Σχήµα 7.3: Μεταβολή του D tot,min µε τον D max για διάφορες τιµές του λ -226-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης 1 λ=1 0,8 λ=3/4 Dtot,max 0,6 0,4 λ=1/2 λ=1/4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 zmax Σχήµα 7.4: Μεταβολή του D tot,max µε τον D max για διάφορες τιµές του λ Στο Σχήµα (7.5) παρουσιάζεται ταυτόχρονα η µεταβολή των D tot,min και D tot,max µε το λόγο z max για τιµή του λ=1/2. Φαίνεται ότι οι καµπύλες των D tot,min και D tot,max είναι σχεδόν συµµετρικές ως προς την ευθεία των 45 ο. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο η οµαλή µεταβολή του D tot µε το λόγο z max παρέχοντας έτσι τη σαφέστερη δυνατή διάκριση µεταξύ των διαφόρων σταθµών βλάβης του δοµικού στοιχείου. 1 0,8 Dtot,max 0,6 Dtot 0,4 0,2 Dtot,min 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 zmax Σχήµα 7.5: Άνω και κάτω όρια µεταβολής του D tot µε τον λόγο z max για λ=1/2 Σε κάθε περίπτωση, οι τιµές του D tot βρίσκονται µεταξύ των καµπυλών D tot,min και D tot,max του Σχήµατος (7.5). Παραδείγµατος χάριν, για z max =0.5, ο D tot παίρνει τιµές από 0.29 (z int =z min =0) έως και 0.65 (z max =z int =z min =0.5). Αυτό σηµαίνει µια αύξηση ίση µε 125% στη τιµή του συνολικού δείκτη βλάβης. Προκειµένου να επιτευχθεί αυτή η αύξηση στην περίπτωση όπου οι z min και z int παραµένουν ίσοι µε το µηδέν, ο z max θα πρέπει να γίνει ίσος µε 0.88, δηλαδή να αυξηθεί κατά 76%. Τα προηγούµενα δείχνουν -227-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης ότι η σχέση που προτείνεται για τον συνολικό δείκτη βλάβης D tot είναι ικανή να προσοµοιώσει τη συνδυαστική βλάβη που προκύπτει στα στοιχεία Ο/Σ από την αλληλεπίδραση των ανελαστικών καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων. Οι διαφορετικές τιµές του συντελεστή λ ελέγχονται στη συνέχεια στο πειραµατικό δοκίµιο HS2 των Ranzo & Priestley (2001). Η ανάλυση του συγκεκριµένου δοκιµίου γίνεται διεξοδικά στο Κεφάλαιο 8 της παρούσας διατριβής. Ελέγχονται δύο διαφορετικές καταστάσεις βλάβης. Η πρώτη κατάσταση (Σχήµα 7.6α) αναφέρεται στην έναρξη της καµπτικής διαρροής στο πειραµατικό δοκίµιο (µ =1) και η δεύτερη κατάσταση (Σχήµα 7.6β) αναφέρεται σε απαίτηση πλαστιµότητας µετακινήσεων µ =3. Σηµειώνεται ότι το συγκεκριµένο δοκίµιο αστόχησε τελικά σε διάτµηση για απαίτηση πλαστιµότητας µετακινήσεων περίπου ίσης µε µ =3.5. Στην πρώτη κατάσταση, η τιµή του συνολικού δείκτη βλάβης D tot για τιµές του συντελεστή λ ίσες µε 1, 1/2 και 1/4 προκύπτει 0.39, 0.22 και 0.12 αντίστοιχα. Από το Σχήµα (7.6α) είναι εµφανές ότι η εικόνα του πειραµατικού δοκιµίου είναι αρκετά καλή και έχουν αναπτυχθεί µόνο µικρού εύρους (της τάξης του 0.6mm) καµπτοδιατµητικές ρηγµατώσεις. Συνεπώς, η τιµή του D tot =0.39 που προκύπτει για λ=1 κρίνεται υπερβολική και ότι δεν αντικατροπτίζει την πραγµατική εικόνα βλάβης του πειραµατικού δοκιµίου. Στην δεύτερη κατάσταση, η τιµή του συνολικού δείκτη βλάβης για τιµές του συντελεστή λ ίσες µε 1, 1/2 και 1/4 προκύπτει αντίστοιχα 0.87, 0.70 και 0.43. Από το Σχήµα (7.6β) είναι φανερό ότι το πειραµατικό δοκίµιο έχει αναπτύξει στη βάση του σηµαντική βλάβη. Πιο συγκεκριµένα, στην συγκεκριµένη περιοχή έχει συµβεί αποφλοίωση και συντριβή του σκυροδέµατος στη θλιβόµενη ζώνη και λυγισµός µιας διαµήκους ράβδου. Η κατάσταση αυτή, αν και δεν οδήγησε στην τελική αστοχία του πειραµατικού δοκιµίου που ήταν διατµητικού χαρακτήρα, κρίνεται ως ιδιαίτερα κρίσιµη. Συνεπώς, η τιµή του D tot =0.43 που προκύπτει για λ=1/4 θεωρείται ότι υποεκτιµά σηµαντικά την πραγµατική εικόνα βλάβης του πειραµατικού δοκιµίου. Και στις δύο περιπτώσεις που εξετάστηκαν διαπιστώνεται ότι οι τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης D tot που προκύπτουν για τιµή του συντελεστή λ=1/2 αποδίδουν µε ικανοποιητικό τρόπο την πραγµατική εικόνα βλάβης του πειραµατικού δοκιµίου. Σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, σηµειώνεται ότι η τελική βαθµονόµηση του συντελεστή λ θα πρέπει να γίνει µε συστηµατικό τρόπο και µε την εξέταση ενός σηµαντικού πλήθους πειραµατικών δοκιµίων. Ένα πρόσθετο κρίσιµο θέµα στον καθορισµό του D tot αποτελεί ο κατάλληλος ορισµός των οριακών τιµών φ ο, γ ο και θ sl,o κάτω από τις οποίες µπορεί να υποτεθεί ότι δεν αναπτύσσεται βλάβη στο δοµικό στοιχείο. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν τιµές που αντιστοιχούν στην καµπτική και διατµητική ρηγµάτωση ή στην καµπτική και διατµητική διαρροή. Παρόλ αυτά, εξαιτίας της µη-γραµµικής, ανελαστικής συµπεριφοράς του σκυροδέµατος από τα πρώτα στάδια της απόκρισης, ο καθορισµός των φ ο, γ ο και θ sl,o δεν είναι πάντα µονοσήµαντος. Επιπλέον, για ένα µεγάλο ποσοστό των δοµικών στοιχείων Ο/Σ οι συγκεκριµένες οριακές τιµές αποτελούν µόνον ένα πολύ µικρό κλάσµα των φ u και γ u και συνεπώς η ενσωµάτωσή τους στη γενική σχέση του D tot έχει ελάχιστη επιρροή στα αποτελέσµατα. Επισηµαίνεται, ωστόσο, ότι αυτό δεν ισχύει σε κάθε περίπτωση και απαιτείται περαιτέρω έρευνα και σε αυτόν τον τοµέα για την εξαγωγή οριστικών συµπερασµάτων. Στην παρούσα διατριβή για λόγους απλότητας, -228-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης υιοθετείται η παραδοχή ότι φ ο =γ ο =θ sl,o =0 η οποία βρίσκεται και προς την πλευρά της ασφάλειας (υπερεκτίµηση βλάβης). (α) (β) Σχήµα 7.6: Εικόνες βλάβης πειραµατικού δοκιµίου HS2 (Ranzo & Priestley 2001) για α) πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 και β) πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =3. Με βάση και τις τελευταίες παρατηρήσεις, η Εξίσωση (7.2.6) για τον ορισµό του D tot γράφεται, ως εξής: D tot 1/2 1/2 ϕ γ θ = max max sl,max 1 1 1 1 ϕu γ u θ ub, sl 1/2 (7.2.8) -229-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης Με βάση την Εξίσωση (7.2.8), στο Σχήµα (7.7) παρουσιάζεται η µεταβολή του D tot για όλα τα δυνατά ζεύγη τιµών των λόγων z 1 και z 2 και για διάφορες (διακριτές) τιµές του τρίτου λόγου z 3. Οι λόγοι z i (i=1,2,3) αντιστοιχούν έκαστος σε κάποιον από τους λόγους φ max /φ u, γ max /γ u και θ sl,max /θ ub,sl. Σε αυτό το σχήµα γίνεται φανερό ότι ο D tot παραµένει µηδενικός µόνον όταν η µέγιστη αναπτυσσόµενη καµπυλότητα, διατµητική παραµόρφωση και στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης είναι και αυτές µηδενικές. Επιπλέον, φαίνεται ότι όταν το δοµικό στοιχείο εξαντλήσει την ικανότητα παραµόρφωσής του σε κάµψη (φ max =φ u ), τότε γίνεται και ο D tot ίσος µε τη µονάδα ανεξάρτητα από το εύρος της διατµητικής παραµόρφωσης και της στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης. Το αντίστοιχο γίνεται στην περίπτωση όπου το στοιχείο εξαντλήσει την ικανότητα παραµόρφωσής του σε διάτµηση (γ max =γ u ) και σε ολίσθηση της αγκύρωσης (θ sl,max =θ ub,sl ). Βασικό πλεονέκτηµα της Εξίσωσης (7.2.8) αποτελεί το γεγονός ότι µπορεί να ενσωµατωθεί πολύ εύκολα σε ένα πεπερασµένο στοιχείο, όπως αυτό που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια της παρούσας διατριβής, που χρησιµοποιεί την καµπυλότητα, τη διατµητική παραµόρφωση και τη στροφή ολίσθησης της αγκύρωσης για τον προσδιορισµό της απόκρισης των δοµικών στοιχείων. Παρόλα αυτά, πρέπει να επισηµανθεί ότι η συγκεκριµένη εξίσωση µπορεί να οδηγήσει σε πλήρως λανθασµένα αποτελέσµατα αν εφαρµοστεί στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών Ο/Σ, όταν αγνοούνται σύνθετα φαινόµενα αλληλεπίδρασης µεταξύ των επιµέρους µηχανισµών απόκρισης, όπως είναι π.χ. η αύξηση των διατµητικών ανελαστικών παραµορφώσεων µετά την καµπτική διαρροή. z 3 =0 1 0.9 0.8 1 0.7 0.8 0.6 D tot 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 z 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 z 1 (α) z 3 =0.25 1 0.9 0.8 D tot 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 z 1 0.6 0.8 (β) 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 z 2 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2-230-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης z 3 =0.50 1 0.9 1 0.8 0.8 0.7 D tot 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 z 2 0.6 0.5 0.4 0.3 z 1 (γ) z 3 =0.75 1 0.9 1 0.8 0.8 D tot 0.6 0.4 0.7 0.2 0 0 0.2 0.4 z1 0.6 0.8 1 0 0.2 0.6 0.4 z 2 0.8 1 0.6 0.5 (δ) z 3 =1 1 0.9 0.8 1 0.7 0.8 0.6 D tot 0.6 0.4 0.5 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 1 0.3 0.8 0.2 0.6 0.4 0.1 0.6 0.2 0.8 z 1 0 1 z 2 0 (ε) Σχήµα 7.7: Προσδιορισµός συνολικού δείκτη βλάβης D tot για όλα τα ζεύγη τιµών των λόγων παραµόρφωσης z 1 και z 2 και για τιµές του επιµέρους δείκτη z 3 α) z 3 =0, β) z 3 =0.25, γ) z 3 =0.50, δ) z 3 =0.75 και ε) z 3 =1.00. Μειονέκτηµα της προτεινόµενης εξίσωσης για τον συνολικό δείκτη βλάβης αποτελεί το γεγονός ότι δεν συµπεριλαµβάνει την σωρευτική καταπόνηση που αναπτύσσεται στα δοµικά στοιχεία εξαιτίας της ανακύκλισης. Οι Kappos & Xenos (1996) αποτίµησαν την επιρροή του ενεργειακού όρου του δείκτη βλάβης των Park et al. (1987) θεωρώντας ρεαλιστικές κατασκευές και πραγµατικά επιταχυνσιογραφήµατα µε τη βοήθεια µη-γραµµικών, δυναµικών αναλύσεων. Βρέθηκε ότι η επιρροή του -231-

7. είκτης Σεισµικής Βλάβης ενεργειακού όρου στην τελική τιµή του δείκτη βλάβης ήταν πολύ µικρή για τη περίπτωση των δοµικών στοιχείων µε πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση. Ωστόσο, για δοµικά στοιχεία που δεν έχουν κατασκευαστεί µε τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς τα µέχρι σήµερα δεδοµένα δεν οδηγούν σε ασφαλή συµπεράσµατα, καθώς η βαθµονόµηση µε τις αντίστοιχες πειραµατικές καταγραφές είναι πραγµατικά περιορισµένη. Μια σχετικά εύκολη λύση για τον συνυπολογισµό της ανακύκλισης στον δείκτη συνολικής βλάβης D tot θα µπορούσε να είναι η κατάλληλη µείωση των παραµορφώσεων αστοχίας (φ u, γ u, θ ub,sl ), ώστε να αντιστοιχούν πλέον σε συνθήκες ανακυκλιζόµενης έντασης. Ωστόσο, τα διαθέσιµα πειραµατικά αποτελέσµατα αλλά και τα προτεινόµενα αναλυτικά µοντέλα δεν παρέχουν µέχρι και σήµερα αξιόπιστα εργαλεία για τον υπολογισµό των συγκεκριµένων παραµέτρων σε συνθήκες ανακύκλισης. -232-

Κεφάλαιο 8 ο 8 Τεκµηρίωση αναλυτικού µοντέλου µε πειραµατικά αποτελέσµατα από µεµονωµένα δοµικά στοιχεία Ο/Σ --233-

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο επιχειρείται η βαθµονόµηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και δείκτη σεισµικής βλάβης µε πειραµατικά αποτελέσµατα από µεµονωµένα υποστυλώµατα που υποβλήθηκαν σε στατική ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Στόχος είναι η σύγκριση των εξαγοµένων του αναλυτικού µοντέλου µε τις πειραµατικές µετρήσεις όχι µόνο σε όρους συνολικής δύναµης-µετακίνησης αλλά και για τις επιµέρους συνιστώσες παραµόρφωσης (κάµψη, διάτµηση και ολίσθηση της αγκύρωσης). Για τον σκοπό αυτόν επιλέχθηκαν από τη βιβλιογραφία κατά βάση πειραµατικά δοκίµια στα οποία έχουν καταγραφεί οι επιµέρους µορφές παραµόρφωσης. Ο υπολογισµός των περιβαλλουσών καµπυλών της καµπτικής, διατµητικής και ολισθητικής συµπεριφοράς γίνεται µε το πρόγραµµα RCCOLA-FSB που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας έρευνας. Αναλυτική περιγραφή του συγκεκριµένου προγράµµατος γίνεται στο Παράρτηµα-Α της διατριβής. Οι ανελαστικές στατικές αναλύσεις γίνονται µε το πρόγραµµα IDARC-FSB που αναπτύχθηκε επίσης στο πλαίσιο της παρούσας έρευνας για την υπολογιστική υλοποίηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και δείκτη σεισµικής βλάβης. Η αναλυτική περιγραφή του συγκεκριµένου προγράµµατος παρατίθεται στο Παράρτηµα- Β της διατριβής. 8.2 Πειραµατικό οκίµιο 415 (Lehman & Moehle 1998) 8.2.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου Οι Lehman & Moehle (1998) υπέβαλαν 5 κυκλικά βάθρα γεφυρών σε µονοαξονική ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων. Τα πειραµατικά δοκίµια κατασκευάστηκαν σε κλίµακα 1:3 και σχεδιάστηκαν µε βάση τις σύγχρονες αντισεισµικές διατάξεις σχεδιασµού γεφυρών προκειµένου να εξασφαλιστεί η πλάστιµη συµπεριφορά τους. Βασικές παράµετροι της συγκεκριµένης σειράς πειραµάτων ήσαν ο λόγος διάτµησης και το ποσοστό του διαµήκους οπλισµού των δοκιµίων. Βασικό χαρακτηριστικό της συγκεκριµένης οµάδας πειραµάτων, που τα καθιστά χρήσιµα για την τεκµηρίωση του αναλυτικού µοντέλου που προτείνεται στην παρούσα διατριβή, αποτελεί το γεγονός ότι έλαβε χώρα αναλυτική καταγραφή όλων των τύπων παραµόρφωσης (καµπτικών-διατµητικών-ολισθητικών) σε ολόκληρο το ύψος των εξεταζόµενων βάθρων. Εδώ εξετάζεται το δοκίµιο µε την κωδική ονοµασία 415, που είχε διάµετρο 610mm και λόγο διάτµησης 4. Ο διαµήκης οπλισµός αποτελούνταν από ράβδους διαµέτρου 15.9mm (5/8in.) ισοκατανεµηµένες στην περίµετρο του δοκιµίου. Το ποσοστό του διαµήκους οπλισµού ήταν 1.5%. Ο εγκάρσιος οπλισµός είχε τη µορφή κυκλικής σπείρας διαµέτρου 6.4mm (1/4in.) σε αποστάσεις 31.75mm. Το ογκοµετρικό ποσοστό του ήταν 0.7%. Η αντοχή του σκυροδέµατος ήταν ίση µε 31MPa, ενώ η τάση διαρροής ---0-----===---- ---234--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ του διαµήκους και εγκάρσιου οπλισµού ήταν αντίστοιχα 510MPa και 607MPa. Στα Σχήµατα (8.2.1α) και (8.2.1β) δίνονται τοµή και τυπική διατοµή του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου. Ο διαµήκης οπλισµός αγκυρώθηκε σε µπλόκ σκυροδέµατος µε τη χρήση κατάλληλου άγκιστρου 90 ο. Το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης ήταν ίσο µε 35 φορές τη διάµετρο του διαµήκους οπλισµού. Το δοκίµιο υποβλήθηκε σε σταθερό, αξονικό θλιπτικό φορτίο 654kN (ανηγµένο αξονικό ν=0.07 µε βάση τη µετρηθείσα θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος). Η εισαγόµενη ιστορία πλευρικών µετακινήσεων περιελάµβανε τρεις κύκλους φόρτισης ανά στάθµη µετακίνησης και στη συνέχεια έναν µικρότερο κύκλο φόρτισης (στο ένα τρίτο της µετακίνησης των προηγούµενων κύκλων). Το ιστορικό της ανακυκλιζόµενης φόρτισης παρουσιάζεται στο Σχήµα (8.2.1γ). 712 457,4 22D15.9 610 2440 D6.4/31.7 6.4mm/31.7mm 15.9mm 610mm 610 2440 200 (α) (β) 150 Displacement Μετακίνηση (mm) (mm) 100 50 0-50 -100-150 -200 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Loading Βήµα φόρτισης Step (γ) Σχήµα 8.2.1: Πειραµατικό δοκίµιο 415 των Lehman & Moehle (1998) α) Τοµή δοκιµίου, β) τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης. ---0-----===---- ---235--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.2.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο. Στο Σχήµα (8.2.2α) παρουσιάζεται η αναλυτική περιβάλλουσα που προέκυψε από την ανάλυση ροπών-καµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής του δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης και η οποία προσεγγίζει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πραγµατική. Το συγκεκριµένο δοκίµιο είναι σε θέση να αναπτύξει σηµαντική πλαστιµότητα καµπυλοτήτων (µ φ 23) εξαιτίας της πλάστιµης κατασκευαστικής του διαµόρφωσης. Κρίσιµο στη συγκεκριµένη ανάλυση αποδείχτηκε το κριτήριο καµπτικής αστοχίας που αναφέρεται στη θραύση των συνδετήρων (Mander et al. 1986), ενώ ακολούθησε οριακά το κριτήριο λυγισµού των διαµήκων ράβδων (Papia & Russo 1989). Οι διαπιστώσεις αυτές συµβαδίζουν µε τις πειραµατικές καταγραφές, µε βάση τις οποίες το δοκίµιο αστόχησε από σχεδόν ταυτόχρονο λυγισµό των διαµήκων ράβδων και θραύση του εγκάρσιου οπλισµού, όπως είναι φανερό και στο Σχήµα (8.2.2β). Στο Σχήµα (8.2.2γ) παρουσιάζεται η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης του δοκιµίου. Η περιβάλλουσα αυτή προέκυψε για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής µε τον άξονα του στοιχείου θ=45 ο, καθώς αυτή η παραδοχή έδωσε τη καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Η διατµητική αντοχή προέκυψε περίπου ίση µε 1075kN και η διατµητική παραµόρφωση στη διαρροή των συνδετήρων και τη διατµητική αστοχία προέκυψε αντίστοιχα ίση µε 3.2% και 4.0% µε βάση τις αντίστοιχες προτάσεις του Κεφαλαίου 5 της παρούσας διατριβής. Στο Σχήµα (8.2.2δ) παρουσιάζεται η περιβάλλουσα ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του εξεταζόµενου δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης και η οποία προσεγγίζει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πραγµατική. Η στροφή εξαιτίας της ολίσθησης προκύπτει ίση µε 0.0015rad στη διαρροή και 0.027rad στην καµπτική αστοχία. Σηµειώνεται ότι η τελευταία τιµή αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία και όχι στην αστοχία της αγκύρωσης. Η µέγιστη ικανότητα παραµόρφωσης της αγκύρωσης, που θα χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό του ολισθητικού δείκτη βλάβης, προέκυψε για την παραµόρφωση αστοχίας του διαµήκους οπλισµού ίση µε 0.062rad. Η µέση συνάφεια στην ελαστική περιοχή που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή της καµπύλης Μ-θ slip προέκυψε περίπου ίση µε 5.9MPa, ενώ η µέση συνάφεια στην ανελαστικη περιοχή υπολογίστηκε ίση µε 3.0MPa. Και οι δύο τιµές βρίσκονται σε καλή συµφωνία µε τις πειραµατικές παρατηρήσεις των Lehman & Moehle (1998). ---0-----===---- ---236--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Moment Ροπή (knm) 700 600 500 400 300 200 100 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) (α) (β) 1200 1000 700 600 Τέµνουσα Shear (kn) 800 600 400 200 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 ιατµητική Distortion παραµόρφωση Moment Ροπή (knm) 500 400 300 200 100 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) (γ) (δ) Σχήµα 8.2.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου 415, β) Μορφή τελικής αστοχίας δοκιµίου, γ) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, δ) Περιβάλλουσα Μ-θ slip αγκύρωσης του δοκιµίου. Στο Σχήµα (8.2.3) παρουσιάζεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης κορυφής (V- ) του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και της πειραµατικής καταγραφής. Είναι σαφές ότι το αναλυτικό µοντέλο προσοµοιώνει ικανοποιητικά την πειραµατική συµπεριφορά τόσο πριν όσο και µετά την καµπτική διαρροή. Παρατηρείται µικρή υποεκτίµηση της καµπτικής αντοχής η οποία µπορεί να αποδοθεί µερικώς στη διασπορά των µηχανικών ιδιοτήτων των υλικών του δοκιµίου. Το αναλυτικό µοντέλο αδυνατεί να προσοµοιώσει ικανοποιητικά τη συµπεριφορά του δοκιµίου µετά τη έναρξη απώλειας της καµπτικής αντοχής που λαµβάνει χώρα στους τελευταίους κύκλους φόρτισης του δοκιµίου. Αξίζει να σηµειωθεί, ωστόσο, ότι η αναλυτική καµπύλη Μ-φ του Σχήµατος (8.2.2α) προέβλεψε την πτώση της καµπτικής αντοχής στη συγκεκριµένη στάθµη απαίτησης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων. ---0-----===---- ---237--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 300 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 -200 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment -300-200 -100 0 100 200 Displacement Μετακίνηση (mm) Σχήµα 8.2.3: Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου-µετακίνησης κορυφής δοκιµίου 415. Στο Σχήµα (8.2.4α) δίνονται οι βρόχοι υστέρησης σε όρους ροπών-καµπυλοτήτων της ακραίας διατοµής του εξεταζόµενου δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο, ενώ στο Σχήµα (8.2.4β) δίνονται οι ίδιοι βρόχοι όπως καταγράφηκαν πειραµατικά στην περιοχή της αναπτυσσόµενης πλαστικής άρθρωσης. Για την άµεση σύγκριση των δύο σχηµάτων θα πρέπει να γίνει αναγωγή στο ίδιο σύστηµα µονάδων. Από τη σύγκριση των δύο σχηµάτων προκύπτει ότι οι δύο υστερητικές συµπεριφορές παρουσιάζουν ικανοποιητική οµοιότητα, ενώ και οι µέγιστες αναπτυσσόµενες καµπυλότητες προκύπτουν περίπου ίσες µεταξύ τους. Από την άλλη πλευρά, είναι εµφανής η αδυναµία του αναλυτικού µοντέλου να προσοµοιώσει ικανοποιητικά τη συµπεριφορά µετά την έναρξη απώλειας της καµπτικής αντοχής. 800 600 400 Moment Ροπή (knm) 200 0-200 -400-600 Ροπή (k-in.) -800-0.2-0.1 0 0.1 0.2 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) Καµπυλότητα (rad/in) (α) (β) Σχήµα 8.2.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων α) Στην ακραία διατοµή του δοκιµίου 415 από το αναλυτικό µοντέλο, β)στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή. Στο Σχήµα (8.2.5α) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση τέµνουσας δύναµηςδιατµητικής παραµόρφωσης, όπως προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης, ενώ στο Σχήµα (8.2.5β) παρουσιάζεται η ίδια σχέση ---0-----===---- ---238--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ εκτός της πλαστικής άρθρωσης. ιαπιστώνεται ότι το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, όπως αυτό προσοµοιώθηκε στην παρούσα διατριβή, οδήγησε σε πολύ σηµαντική αύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης (από 2.8 µέγιστη διατµητική παραµόρφωση εκτός της πλαστικής άρθρωσης σε 1.42% εντός της ανελαστικής ζώνης). Κύριο χαρακτηριστικό των υστερητικών βρόχων V-γ αποτελεί η (γνωστή από τη βιβλιογραφία) στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων. Στο Σχήµα (8.2.5γ) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση V-γ όπως αυτή µετρήθηκε πειραµατικά εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης. Από τη σύγκριση µε τα αποτελέσµατα του αναλυτικού µοντέλου προκύπτει ότι το αναλυτικό µοντέλο υποτιµά ελαφρώς τις διατµητικές παραµορφώσεις εντός της πλαστικής άρθρωσης. Αξίζει να σηµειωθεί, ωστόσο, ότι η µεγάλη αύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων της πειραµατικής καταγραφής λαµβάνει χώρα στα τελευταία στάδια της φόρτισης του δοκιµίου, όπου η απόκριση στην πλαστική άρθρωση έχει αποµειωθεί σε µεγάλο βαθµό από την καµπτική δράση. Η διαφοροποίηση ανάµεσα στην πειραµατική καταγραφή και την αναλυτική πρόβλεψη µπορεί να αποδοθεί αφενός στην εµπειρική σχέση που προτείνεται στην παρούσα διατριβή για τον προσδιορισµό της διατµητικής παραµόρφωσης στην επίτευξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής και αφετέρου στην ακρίβεια της πειραµατικής καταγραφής, γιατί όπως αναφέρουν και οι ίδιοι οι Lehman & Moehle (1998), οι καταγραφές των διατµητικών παραµορφώσεων µπορεί να έχουν επηρεαστεί ελαφρώς από την ολίσθηση της αγκύρωσης. Οι προβλέψεις του αναλυτικού µοντέλου βρίσκονται πιο κοντά στην αρνητική πλευρά φόρτισης της πειραµατικής καταγραφής. Αξίζει σε αυτό το σηµείο να σηµειωθεί ότι και οι πειραµατικοί βρόχοι εµφανίζουν τη χαρακτηριστική στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων. Στο Σχήµα (8.2.5δ) παρουσιάζονται οι µέγιστες τιµές των διατµητικών παραµορφώσεων όπως αυτές µετρήθηκαν πειραµατικά καθ ύψος του συγκεκριµένου δοκιµίου. ιαπιστώνεται και από τα πειραµατικά αποτελέσµατα η µεγάλη διαφοροποίηση ανάµεσα στις µέγιστες διατµητικές παραµορφώσεις εκτός και εντός της πλαστικής άρθρωσης, εξαιτίας του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. Στο Σχήµα (8.2.5ε) δίνεται η σύγκριση της απαιτούµενης και της διαθέσιµης αντοχής σε τέµνουσα ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας στην κρίσιµη διατοµή του κυκλικού βάθρου, όπως αυτή προσδιορίζεται από το µοντέλο των Priestley et al. (1996). Από το σχήµα αυτό επιβεβαιώνεται η σωστή πρόβλεψη του µοντέλου της διατµητικής αντοχής, ότι δηλαδή το συγκεκριµένο υποστύλωµα δεν αστοχεί σε διάτµηση. Τέλος, στο Σχήµα (8.2.5στ), παρουσιάζεται η υστερητική διατµητική συµπεριφορά της ακραίας διατοµής ταυτόχρονα µε την αρχική µη-υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη V-γ. Λόγω της προσοµοίωσης του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, η προκύπτουσα υστερητική συµπεριφορά διαχωρίζεται από την αρχική περιβάλλουσα καµπύλη µετά την καµπτική διαρροή και πιο συγκεκριµένα µετά την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µ φ =3. Παρατηρείται επιπλέον ότι το συγκεκριµένο δοκίµιο δεν εξαντλεί τη διατµητική του αντοχή, αφού η µέγιστη παραµόρφωση που αναπτύσσεται τελικά είναι σηµαντικά µικρότερη αυτής που αντιστοιχεί στην επίτευξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής (γ=3.2%). ---0-----===---- ---239--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 300 200 100 0-100 -200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 300 200 100 0-100 -200-300 -0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (α) -300-0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) Ανηγµένη διατµητική τάση % ύψους υποστυλώµατος ιατµητική παραµόρφωση (γ) ιατµητική παραµόρφωση (δ) 1500 1500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1000 500 0-500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1000 500 0-500 -1000-1500 Απαίτηση Demand Ικανότητα Capacity -0.2-0.1 0 0.1 0.2 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) (1/m) -1000 Αρχική Undegraded περιβάλλουσα Envelope ιατµητικός Shear Hysteresis βρόχος -1500-0.05 0 0.05 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (ε) (στ) Σχήµα 8.2.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) πειραµατικά καταγεγραµµένη κατανοµή των µέγιστων διατµητικών παραµορφώσεων καθ ύψος του στοιχείου, ε) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, στ) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη πειραµατικού δοκιµίου 415. Στη συνέχεια, στο Σχήµα (8.2.6) δίνεται η εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του δοκιµίου για διάφορες τιµές της επιβαλλόµενης ---0-----===---- ---240--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ πλαστιµότητας µετακινήσεων, όπως προβλέπεται από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Για πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου. Καθώς η πλαστιµότητα αυξάνεται από µ =1 σε µ =5 και λόγω της αλλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της ανελαστικής ζώνης αυξάνονται πολύ πιο έντονα από ό,τι αυξάνονται εκτός (µε αποτέλεσµα το χαρακτηριστικό άλµα του σχήµατος), ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται και το εύρος αυτής της ανελαστικής περιοχής. Καθώς η πλαστιµότητα αυξάνεται από µ =5 σε µ =7 οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της ανελαστικής ζώνης δεν αυξάνονται σηµαντικά, αφού σύµφωνα µε το µοντέλο των Priestley et al. (1996), η διατµητική αντοχή που αντιστοιχεί στο µερίδιο του σκυροδέµατος παράµενει σταθερή (παραµένουσα αντοχή). Η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων που προκύπτει από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο κατά µήκος του δοκιµίου βρίσκεται σε σχετικά καλή συµφωνία µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα του Σχήµατος (8.2.5δ) µέχρι και απαίτηση πλαστιµότητας µετακινήσεων µ =4. 40 % ύψους % Column υποστυλώµατος Height 35 30 25 20 15 10 5 µ µ =7 =1 µ µ =2 µ µ =3 µ µ =5 µ µ =7 0 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (%) (%) Σχήµα 8.2.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου 415. Στο Σχήµα (8.2.7α) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Παρατηρείται ότι οι βρόχοι αυτοί χαρακτηρίζονται από αρκετά σταθερή συµπεριφορά, χωρίς δηλαδή σηµαντική αποµείωση της δυσκαµψίας µε την ανακύκλιση. Σηµειώνεται εδώ ότι η κλίση του κλάδου αποφόρτισης προσδιορίστηκε στη µέγιστη στροφή ολίσθησης, µε βάση την αντίστοιχη πρόταση των Alsiwat & Saatcioglu (1992), ίση µε το 60% της κλίσης του ελαστικού κλάδου. Η µέγιστη αναπτυσσόµενη στροφή στη βάση του δοκιµίου από την ολίσθηση της αγκύρωσης προέκυψε ίση µε 0.027rad. Στο Σχήµα (8.2.7β) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου, όπως αυτοί µετρήθηκαν πειραµατικά. Παρατηρείται ότι µέχρι και ---0-----===---- ---241--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ την έναρξη της πτώσης της πλευρικής αντοχής οι βρόχοι αυτοί βρίσκονται σε ικανοποιητική συµφωνία µε τους βρόχους του αναλυτικού µοντέλου. Στο ίδιο εύρος της απόκρισης, η µέγιστη στροφή από ολίσθηση του δοκιµίου µετρήθηκε περίπου ίση µε 0.03rad, τιµή που βρίσκεται σε ικανοποιητική σύγκλιση µε το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. 800 600 400 Moment Ροπή (knm) 200 0-200 -400-600 Ροπή (k-in.) -800-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) Στροφή ολίσθησης (rad) (α) (β) Σχήµα 8.2.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου 415, α) Αναλυτικό µοντέλο, β) Πειραµατική καταγραφή. Στα Σχήµατα (8.2.8α-γ) παρουσιάζονται οι υστερητικές σχέσεις τέµνουσας δύναµης- πλευρικής µετακίνησης που προέκυψε στην κορυφή του δοκιµίου εξαιτίας αντίστοιχα των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων που αναπτύχθηκαν σε ολόκληρο το ύψος του δοκιµίου. Οι µέγιστες τιµές αυτών των µετακινήσεων είναι αντίστοιχα 111.6mm, 9.3mm και 60mm (όχι στην ίδια διεύθυνση φόρτισης). Στο Σχήµα (8.2.8δ) παρουσιάζεται η σχέση δύναµης-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των διατµητικών παραµορφώσεων, όταν δεν λαµβάνεται υπόψη στο προτεινόµενο µοντέλο η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Η µέγιστη µετακίνηση σε αυτήν την περίπτωση είναι 6.6mm. Συνεπώς, η προσοµοίωση του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης οδήγησε σε 40% αύξηση των προβλεπόµενων διατµητικών µετακινήσεων στην κορυφή του δοκιµίου. Στα Σχήµατα (8.2.9α) και (8.2.9β) δίνεται η συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµόρφωσης, όπως µετρήθηκε κατά την πειραµατική διαδικασία και όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο στη συνολική πλευρική µετακίνηση του εξεταζόµενου δοκιµίου. Από το πρώτο σχήµα διαπιστώνεται ότι οι καµπτικές παραµορφώσεις διαµορφώνουν το 50-60% της µετακίνησης του δοκιµίου, οι ολισθητικές περίπου το 40% και οι διατµητικές το 3-4%. Αξίζει, βέβαια, να σηµειωθεί και το σηµαντικό ποσοστό του σφάλµατος που σηµειώνεται από τους συγκεκριµένους ερευνητές. Αντίστοιχες είναι και οι προβλέψεις από το αναλυτικό µοντέλο. Οι καµπτικές µετακινήσεις συµµετέχουν κατά 50-60%, οι ολισθητικές 35-45% και οι διατµητικές 5-6% στη συνολική µετακίνηση. ---0-----===---- ---242--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 300 300 200 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 -200-200 -300-150 -100-50 0 50 100 150 Καµπτική Flexural Displacement µετακίνηση (mm) 300 200 (α) -300-10 -5 0 5 10 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) 300 200 (β) Τέµνουσα Shear (kn) 100 0-100 -200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 -200-300 -100-50 0 50 100 Μετακίνηση Bond-Slip Displacement ολίσθησης (mm) -300-10 -5 0 5 10 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (mm) (γ) (δ) Σχήµα 8.2.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης δοκιµίου 415. Στο Σχήµα (8.2.10) παρουσιάζεται η εξέλιξη των επιµέρους (καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού) καθώς και του συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη διάρκεια της φόρτισης του κυκλικού δοκιµίου. Παρατηρείται ότι ο καµπτικός δείκτης επικρατεί στη συνολική βλάβη του δοκιµίου γεγονός που συµπίπτει και µε τις πειραµατικές παρατηρήσεις. Στο πέρας του πειράµατος, ο καµπτικός δείκτης είναι περίπου ίσος τη µονάδα (D flex =0.95), ενώ ο διατµητικός και ο ολισθητικός αποκτούν πολύ µικρότερες τιµές (D shear =0.19 και D slip =0.25). Ο συνολικός δείκτης βλάβης καθορίζεται από τον καµπτικό δείκτη και προκύπτει ίσος µε D tot =0.97, πολύ κοντά δηλαδή στην πλήρη αστοχία του δοκιµίου. ---0-----===---- ---243--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Σφάλµα µέτρησης Λόγος συνολικής µετακίνησης ιάτµηση Ολίσθηση Κάµψη Displacement Μετακίνηση (mm) (mm) 200 150 100 50 0-50 -100-150 Shear ιάτµηση Slip Ολίσθηση Flexure Κάµψη Πλαστιµότητα µετακίνησης (α) -200 0 500 1000 1500 2000 2500 Βήµα φόρτισης Step (β) Σχήµα 8.2.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου 415, όπως α) µετρήθηκε πειραµατικά, β) προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο. Στο Σχήµα (8.2.11α) γίνεται σύγκριση των τιµών του διατµητικού δείκτη βλάβης, όταν λαµβάνεται και όταν δεν λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης (D shear και D shear2 αντίστοιχα) και οι αντίστοιχες τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης (D tot και D tot2 αντίστοιχα). Παρατηρείται ότι η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης οδηγεί σε πολύ σηµαντική υποεκτίµηση του διατµητικού δείκτη βλάβης (0.04 αντί για 0.19), αλλά επειδή αυτός ο δείκτης δεν επηρεάζει ουσιωδώς τον συνολικό δείκτη, η διαφοροποίηση του τελευταίου είναι σχεδόν αµελητέα (0.96 αντί για 0.97). Στο Σχήµα (8.2.11β) γίνεται σύγκριση των τιµών του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang. ιαπιστώνεται ότι η τελική τιµή του δείκτη των Park-Ang προκύπτει ίση µε 0.77, αρκετά πιο µικρή της µονάδας που αντιστοιχεί στην αστοχία. Η διαφοροποίηση αυτή µπορεί να αποδοθεί στην εµπειρική ---0-----===---- ---244--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ σχέση που χρησιµοποιήθηκε για τον προσδιορισµό του ισοδύναµου µήκους πλαστικής άρθρωσης για τον υπολογισµό της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας του δοκιµίου (Priestley et al. 1996). Damage είκτης Index Βλάβης 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Καµπτικός Flexural ιατµητικός Shear Ολισθητικός Slip Συνολικός Total 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Βήµα Step φόρτισης Σχήµα 8.2.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου 415. 1 0.8 D shear D shear2 1 0.8 Προτεινόµενος Proposed D.I. Park-Ang D.I. Damage είκτης Βλάβης Index 0.6 0.4 D tot D tot2 Damage είκτης Βλάβης Index 0.6 0.4 0.2 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Βήµα Step φόρτισης 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Βήµα Step φόρτισης (α) (β) Σχήµα 8.2.11: α) Σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο 415. ---0-----===---- ---245--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.3 Πειραµατικό οκίµιο U6 (Saatcioglu & Ozcebe 1989) 8.3.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου Οι Saatcioglu και Ozcebe δοκίµασαν 14 πλήρους κλίµακας υποστυλώµατα σε µονοαξονική και διαξονική ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων. Η διατοµή των δοκιµίων ήταν τετραγωνική µε µήκος πλευράς 350mm και ο λόγος διάτµησης σταθερός και ίσος µε 2.85. Οι παράµετροι του πειράµατος περιλάµβαναν το αξονικό φορτίο, την εγκάρσια όπλιση και το ιστορικό φόρτισης. Κύριο πλεονέκτηµα της συγκεκριµένης πειραµατικής εργασίας αποτελεί το γεγονός ότι µετρήθηκαν και οι τρεις µορφές παραµόρφωσης των υποστυλωµάτων (καµπτικής, διατµητικής και ολίσθησης στη βάση). Εδώ εξετάζεται το δοκίµιο µε την ονοµασία U6, η γεωµετρία του οποίου παρουσιάζεται στο Σχήµα (8.3.1α). Ο διαµήκης οπλισµός του υποστυλώµατος αποτελούνταν από 8 ράβδους των 25mm. Το ογκοµετρικό ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού ήταν ίσο µε 1.95% µε διάταξη που φαίνεται στο Σχήµα (8.3.1β). Η αντοχή του σκυροδέµατος ήταν ίση µε 37.3MPa, ενώ η τάση διαρροής του διαµήκους και εγκάρσιου οπλισµού ήταν αντίστοιχα 437MPa και 425MPa. Ο διαµήκης οπλισµός αγκυρώθηκε σε µπλοκ σκυροδέµατος µε τη χρήση άγκιστρου 90 ο. Το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης προέκυψε περίπου ίσο µε 450mm. Το δοκίµιο υποβλήθηκε αρχικά σε κατακόρυφη φόρτιση µε σταθερό αξονικό φορτίο 600kN. Στη συνέχεια εφαρµόστηκε η ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων του Σχήµατος (8.3.1γ) µε τη στάθµη κάθε ακραίας µετακίνησης της φόρτισης να ορίζεται ως ακέραιο πολλαπλάσιο της µετακίνησης στη διαρροή του δοκιµίου. ---0-----===---- ---246--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 350 100 D6.4/65 ιπλή double στρώση layer 8D25 900 350 25mm 6.4mm/65mm ιπλή (double στρώση layer) 500 1250 350 (α) (β) 100 Displacement Μετακίνηση (mm) 50 0-50 -100 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Loading φόρτισης Step (γ) Σχήµα 8.3.1: Πειραµατικό δοκίµιο U6 των Saatcioglu & Ozcebe. (1989) α) Τοµή δοκιµίου, β) τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης. 8.3.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο. Στο Σχήµα (8.3.2α) παρουσιάζεται η αναλυτική περιβάλλουσα που προέκυψε από την ανάλυση ροπών-καµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής του δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης και η οποία προσεγγίζει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πραγµατική. Το συγκεκριµένο δοκίµιο είναι σε θέση να αναπτύξει σηµαντική πλαστιµότητα καµπυλοτήτων (µ φ 30) εξαιτίας της πλάστιµης κατασκευαστικής του διαµόρφωσης. Η ανάλυση έλαβε χώρα µέχρι τη στιγµή όπου η παραµόρφωση της ακραίας θλιβόµενης ίνας του σκυροδέµατος έγινε ίση µε 0.054 που αντιστοιχεί στο κριτήριο της θραύσης του εγκάρσιου οπλισµού (Mander et al. 1986). Παρόλο που τα άλλα δύο κριτήρια καµπτικής αστοχίας (λυγισµός διαµήκων ράβδων και ---0-----===---- ---247--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ πτώση της τάσης του σκυροδέµατος στο 85% της αντοχής) έδωσαν µικρότερες τιµές, χρησιµοποιήθηκε τελικά το συγκεκριµένο κριτήριο καθώς έδωσε καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Αξίζει να σηµειωθεί ότι το δοκίµιο προς το τέλος της ανάλυσης Μ-φ αρχίζει να χάνει µέρος της καµπτικής αντοχής του, γεγονός που συµβαδίζει µε τα αποτελέσµατα του πειράµατος. Στο Σχήµα (8.3.2β) παρουσιάζεται η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης του δοκιµίου. Η περιβάλλουσα αυτή προέκυψε για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής µε τον άξονα του στοιχείου θ=35 ο. Η διατµητική αντοχή προέκυψε περίπου ίση µε 848kN και η διατµητική παραµόρφωση στη διαρροή των συνδετήρων ίση µε 4.55%. Καθώς αυτή η τιµή υπερέβηκε το 4.0% θεωρήθηκε ότι και η διατµητική παραµόρφωση στη διατµητική αστοχία είναι και αυτή ίση µε 4.55%. Οι συγκεκριµένες τιµές που προέκυψαν οφείλονται κατά κύριο λόγο στον τροποποιητικό συντελεστή που ορίστηκε στην παρούσα διατριβή αναφορικά µε την επιρροή της ποσότητας του εγκάρσιου οπλισµού στον υπολογισµό της διατµητικής παραµόρφωσης κατά την έναρξη της διαρροής του. Οι τιµές αυτές δεν πρόκειται να αναπτυχθούν, καθώς το συγκεκριµένο δοκίµιο δεν εξάντλησε τη διατµητική αντοχή του. 350 1000 Moment Ροπή (knm) Moment Ροπή (knm) 300 250 200 150 100 50 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) (α) 350 300 250 200 150 100 50 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 800 600 400 200 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) (γ) Σχήµα 8.3.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θslip αγκύρωσης του δοκιµίου U6. Στο Σχήµα (8.3.2γ) παρουσιάζεται η περιβάλλουσα ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του εξεταζόµενου δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ---0-----===---- ---248--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ ανάλυσης και η οποία προσεγγίζει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πραγµατική. Η στροφή εξαιτίας της ολίσθησης προκύπτει ίση µε 0.0026rad στη διαρροή και 0.044rad στην καµπτική αστοχία. Σηµειώνεται ότι η τελευταία τιµή αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία και όχι στην αστοχία της αγκύρωσης. Η µέγιστη ικανότητα παραµόρφωσης της αγκύρωσης, που θα χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό του ολισθητικού δείκτη βλάβης, προέκυψε για την παραµόρφωση αστοχίας του διαµήκους οπλισµού ίση µε 0.089rad. Η µέση συνάφεια στην ελαστική περιοχή του διαµήκους οπλισµού που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή της καµπύλης Μ-θ slip προέκυψε περίπου ίση µε 6.7MPa, ενώ η µέση συνάφεια στην ανελαστική περιοχή υπολογίστηκε ίση µε 5.5MPa. Η σχετικά µεγάλη τιµή της συνάφειας τριβής θα πρέπει να αποδοθεί για το συγκεκριµένο δοκίµιο στην καλή ποιότητα του σκυροδέµατος και την ύπαρξη ισχυρού εγκάρσιου οπλισµού στην περιοχή της αγκύρωσης. Στο Σχήµα (8.3.3) παρουσιάζεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης κορυφής (V- ) του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και της πειραµατικής καταγραφής. Είναι σαφές ότι το αναλυτικό µοντέλο προσοµοιώνει πολύ ικανοποιητικά την πειραµατική συµπεριφορά τόσο πριν όσο και µετά την καµπτική διαρροή. Παρατηρείται ελαφριά υποεκτίµηση της πλευρικής αντοχής από το αναλυτικό µοντέλο στη θετική πλευρά της φόρτισης. Η αποφόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου προσδιορίζεται ικανοποιητικά από το αναλυτικό µοντέλο σε όλες τις στάθµες επιβαλλόµενης µετακίνησης. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει στον ίδιο βαθµό για τους κλάδους επαναφόρτισης στις υψηλές στάθµες µετακίνησης. 400 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment -400-100 -50 0 50 100 Displacement Μετακίνηση (mm) Σχήµα 8.3.3: Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου-µετακίνησης κορυφής δοκιµίου U6. Στο Σχήµα (8.3.4α) δίνονται οι βρόχοι υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµηςγωνίας στροφής χορδής εξαιτίας των καµπτικών παραµορφώσεων όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Είναι σαφές ότι οι βρόχοι αυτοί χαρακτηρίζονται από σηµαντική ικανότητα απόσβεσης υστερητικής ενέργειας και ήπια αποµείωση της δυσκαµψίας στους κλάδους αποφόρτισης. Η επαναφόρτιση γίνεται πάντοτε προς το µέγιστο σηµείο των προηγούµενων κύκλων φόρτισης. Στο Σχήµα (8.3.4β) φαίνονται οι ίδιοι βρόχοι όπως δίνονται από τους Saatcioglu & Ozcebe (1989). Η µέγιστη γωνία είναι περίπου ίση µε 0.045rad όπως και στο προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Οι βρόχοι είναι σταθεροί µε µικρή, σταδιακή υποβάθµιση όπως και στο προτεινόµενο µοντέλο. ---0-----===---- ---249--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Τέµνουσα (kn) Τέµνουσα (kn) Shear (kn) 400 200 0 Στροφή (rad) -200-400 -0.05 0 Rotation Στροφή(rad) (rad) 0.05 (α) (β) Σχήµα 8.3.4: Υστερητικοί βρόχοι α) τέµνουσας δύναµης-γωνίας στροφής χορδής εξαιτίας των καµπτικών παραµορφώσεων από το αναλυτικό µοντέλο, β) τέµνουσας δύναµης-γωνίας στροφής χορδής εξαιτίας των καµπτικών παραµορφώσεων από τις πειραµατικές καταγραφές του δοκιµίου U6. Στο Σχήµα (8.3.5α) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση τέµνουσας δύναµηςδιατµητικής παραµόρφωσης όπως προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης, ενώ στο Σχήµα (8.3.5β) παρουσιάζεται η ίδια σχέση εκτός της πλαστικής άρθρωσης. ιαπιστώνεται ότι το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, όπως αυτό προσοµοιώθηκε στην παρούσα διατριβή, οδήγησε σε σηµαντική αύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης (από 1.1% µέγιστη διατµητική παραµόρφωση εκτός της πλαστικής άρθρωσης σε 2.2% εντός της ανελαστικής ζώνης). Στο Σχήµα (8.3.5γ) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση V- shear όπως αυτή καταγράφηκε πειραµατικά από τους Saatcioglu & Ozcebe (1989) εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης. Η µέγιστη διατµητική µετακίνηση εντός της πλαστικής άρθρωσης είναι περίπου ίση µε 5.8mm. εδοµένου ότι η µέτρηση έγινε σε ύψος 250mm από τη βάση του δοκιµίου, η προηγούµενη µετακίνηση αντιστοιχεί σε µέση διατµητική παραµόρφωση 5.8/250=2.3% που βρίσκεται σε πολύ καλή συµφωνία µε την πρόβλεψη του αναλυτικού µοντέλου. Από την άλλη πλευρά σηµειώνεται ότι το αναλυτικό µοντέλο αδυνατεί να προσοµοιώσει επαρκώς τη στένωση του διατµητικού βρόχου γύρω από την αρχή των αξόνων. Η διαφοροποίηση αυτή µπορεί να αποδοθεί µερικώς στην υπερεκτίµηση της τέµνουσας δύναµης που αντιστοιχεί στη διατµητική ρηγµάτωση. Στο Σχήµα (8.3.5δ) δίνεται η σύγκριση της απαιτούµενης και της διαθέσιµης αντοχής σε τέµνουσα δύναµη ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας στην κρίσιµη διατοµή του πειραµατικού δοκιµίου, όπως αυτή προσδιορίζεται από το µοντέλο των Priestley et al. (1996). Από το σχήµα αυτό επιβεβαιώνεται η σωστή πρόβλεψη του µοντέλου της διατµητικής αντοχής, ότι δηλαδή το συγκεκριµένο υποστύλωµα δεν αστοχεί σε διάτµηση ---0-----===---- ---250--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 400 400 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 -400-0.02-0.01 0 0.01 0.02 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (α) -400-0.02-0.01 0 0.01 0.02 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) Τέµνουσα (kn) 1000 (γ) Μετακίνηση (mm) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 500 0-500 Απαίτηση Demand Ικανότητα Capacity -1000-0.4-0.2 0 0.2 0.4 Καµπυλότητα Curvature (1/m) (rad/m) (δ) 1000 Τέµνουσα Shear (kn) 500 0-500 Αρχική Undegraded περιβάλλουσα Envelope Undegraded Envelope Shear ιατµητικός Hysteresis βρόχος -1000-0.05 0 0.05 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (ε) Σχήµα 8.3.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V- shear εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, ε) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο U6. Στο Σχήµα (8.3.5ε), παρουσιάζεται η υστερητική διατµητική συµπεριφορά της ακραίας διατοµής ταυτόχρονα µε την αρχική µη-υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη V-γ. Λόγω της προσοµοίωσης του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης ---0-----===---- ---251--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ και διάτµησης, η πραγµατική υστερητική συµπεριφορά διαχωρίζεται από την αρχική περιβάλλουσα καµπύλη µετά την καµπτική διαρροή και πιο συγκεκριµένα µετά την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µ φ =3. Παρατηρείται επιπλέον ότι το ενλόγω δοκίµιο δεν εξαντλεί τη διατµητική του αντοχή, αφού η µέγιστη παραµόρφωση που αναπτύσσεται τελικά είναι σηµαντικά µικρότερη αυτής που αντιστοιχεί στην επίτευξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής (γ=4.5%). Στη συνέχεια, στο Σχήµα (8.3.6) δίνεται η εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του δοκιµίου για διάφορες τιµές της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων, όπως προβλέπεται από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Για πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου. Καθώς η πλαστιµότητα αυξάνεται από µ =1 σε µ =3 και λόγω της αλλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της ανελαστικής ζώνης αυξάνονται πολύ πιο έντονα από ότι αυξάνονται εκτός (µε αποτέλεσµα το χαρακτηριστικό άλµα του σχήµατος), ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται και το εύρος αυτής της ανελαστικής περιοχής. Καθώς η πλαστιµότητα αυξάνεται από µ =3 σε µ =4 οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της ανελαστικής ζώνης δεν αυξάνονται σηµαντικά, αφού σε αυτή τη στάθµη επιβαλλόµενης µετακίνησης η απαιτούµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων στην ακραία ζώνη του δοκιµίου έχει υπερβεί την τιµή µ φ =15 και δε λαµβάνει χώρα περαιτέρω µείωση της τέµνουσας που δύναται να παραλάβει η διατοµή του σκυροδέµατος. 40 µ µ =1 35 % Column ύψους υποστυλώµατος Height 30 25 20 15 10 5 0 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (%) (%) µ µ =2 µ µ =3 µ µ =4 Σχήµα 8.3.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου U6. Στο Σχήµα (8.3.7α) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης της αγκύρωσης του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Παρατηρείται ότι οι βρόχοι αυτοί χαρακτηρίζονται από αρκετά σταθερή συµπεριφορά, χωρίς δηλαδή σηµαντική αποµείωση της δυσκαµψίας µε την ανακύκλιση. Σηµειώνεται εδώ ότι η κλίση του κλάδου αποφόρτισης προσδιορίστηκε στη µέγιστη στροφή ολίσθησης, µε βάση την αντίστοιχη πρόταση των Alsiwat & Saatcioglu (1992), ίση µε το 63% της κλίσης του ελαστικού κλάδου. Η ---0-----===---- ---252--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ µέγιστη αναπτυσσόµενη στροφή από την ολίσθηση της αγκύρωσης προέκυψε ίση µε 0.042rad στη θετική πλευρά και 0.03rad στην αρνητική πλευρά φόρτισης του δοκιµίου. Στο Σχήµα (8.3.7β) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του δοκιµίου, όπως αυτοί µετρήθηκαν πειραµατικά. Η µέγιστη στροφή που µετρήθηκε για θετική φόρτιση είναι περίπου ίση µε 0.03rad και για αρνητική περίπου ίση µε 0.034rad τιµές που βρίσκονται σε ικανοποιητική συµφωνία µε το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Αξίζει επίσης να σηµειωθεί ότι οι πειραµατικοί βρόχοι είναι ιδιαίτερα σταθεροί και χαρακτηρίζονται από σηµαντική ικανότητα απόσβεσης ενέργειας και πολύ ήπια φαινόµενα αποµείωσης, όπως άλλωστε και οι βρόχοι του αναλυτικού µοντέλου. 400 Τέµνουσα (kn) Moment Ροπή (knm) 200 0-200 Στροφή (rad) -400-0.04-0.02 0 0.02 0.04 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) (α) (β) Σχήµα 8.3.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου U6, α) Αναλυτικό µοντέλο, β) Πειραµατική καταγραφή. Στα Σχήµατα (8.3.8α), (8.3.8β) και (8.3.8γ) παρουσιάζονται οι υστερητικές σχέσεις τέµνουσας δύναµης-µετακίνησης που αναπτύχθηκε στην κορυφή του δοκιµίου εξαιτίας αντίστοιχα των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων που αναπτύχθηκαν σε ολόκληρο το ύψος του δοκιµίου. Οι µέγιστες τιµές αυτών των µετακινήσεων είναι αντίστοιχα 46mm, 12.3mm και 42.6mm (όχι στην ίδια διεύθυνση φόρτισης). Στο Σχήµα (8.3.8δ) παρουσιάζεται η σχέση δύναµης-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των διατµητικών παραµορφώσεων, όταν δεν λαµβάνεται υπόψη στο προτεινόµενο µοντέλο η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Η µέγιστη µετακίνηση σε αυτήν την περίπτωση είναι 10.5mm. Συνεπώς, η προσοµοίωση του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης οδήγησε σε 17% αύξηση των προβλεπόµενων διατµητικών µετακινήσεων στην κορυφή του δοκιµίου. Στο Σχήµα (8.3.9α) δίνεται η συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων, όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Από το συγκεκριµένο σχήµα διαπιστώνεται ότι προς το πέρας της ανάλυσης οι καµπτικές παραµορφώσεις διαµορφώνουν κατά µέσο όρο το 48% της µετακίνησης του δοκιµίου, οι ολισθητικές περίπου το 40% και οι διατµητικές το 12%. Αξίζει επίσης να σηµειωθεί ότι η επιρροή των επιµέρους τύπων παραµόρφωσης διαφοροποιείται κατά την εξέλιξη της ανάλυσης του δοκιµίου. Στα πρώτα στάδια της ανάλυσης και µετά τη διατµητική ρηγµάτωση, οι διατµητικές παραµορφώσεις αποτελούν περίπου το 30% της συνολικής µετακίνησης. Το ποσοστό αυτό όµως µειώνεται σηµαντικά µετά τη καµπτική διαρροή παρόλο που οι ---0-----===---- ---253--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ διατµητικές παραµορφώσεις εξακολουθούν να αυξάνονται εξαιτίας της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης. 400 400 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 -400-50 0 50 Flexural Καµπτική Displacement µετακίνηση (mm) 400 (α) -400-15 -10-5 0 5 10 15 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (mm) 400 (β) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 -400-50 0 50 Μετακίνηση Bond-Slip Displacement ολίσθησης (mm) -400-15 -10-5 0 5 10 15 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (mm) (γ) (δ) Σχήµα 8.3.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης για το δοκίµιο U6. Στο Σχήµα (8.3.9β) δίνεται η συµµετοχή των επιµέρους µηχανισµών παραµόρφωσης στη συνολική µετακίνηση του δοµικού στοιχείου, όπως καταγράφηκαν πειραµατικά. Για πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =4, οι µετακινήσεις λόγω διατµητικών παραµορφώσεων αποτελούν περίπου το 20% της συνολικής µετακίνησης, ενώ οι ολισθητικές και οι καµπτικές περίπου το 40% έκαστη. Οι παρατηρήσεις αυτές βρίσκονται σε σχετικά καλή συµφωνία µε τις προβλέψεις του αναλυτικού µοντέλου. Στο Σχήµα (8.3.10) παρουσιάζεται η εξέλιξη των επιµέρους (καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού) καθώς και του συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη διάρκεια της φόρτισης του εξεταζόµενου δοκιµίου. Παρατηρείται ότι ο καµπτικός δείκτης επικρατεί στη συνολική βλάβη του δοκιµίου γεγονός που συµπίπτει και µε τις πειραµατικές παρατηρήσεις. Στο πέρας του πειράµατος ο καµπτικός δείκτης είναι περίπου ίσος τη µονάδα (D flex =0.93), ενώ ο διατµητικός και ολισθητικός αποκτούν πολύ µικρότερες τιµές (D shear =0.25 και D slip =0.29). Ο συνολικός δείκτης βλάβης καθορίζεται από τον καµπτικό δείκτη και προκύπτει ίσος µε D tot =0.96, πολύ κοντά δηλαδή στην πλήρη αστοχία του δοκιµίου. ---0-----===---- ---254--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Displacement Μετακίνηση (mm) 100 50 0-50 Shear ιάτµηση Slip Ολίσθηση Flexure Κάµψη -100 0 500 1000 1500 Βήµα φόρτισης Step (α) ΟΚΙΜΙΟ U6 Μετακίνηση (mm) Κάµψη Ολίσθηση αγκύρωσης ιάτµηση (β) Σχήµα 8.3.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη µετακίνηση του δοκιµίου U6 όπως α) προέκυψε από το προτεινόµενο µοντέλο και β) όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Στο Σχήµα (8.3.11α) γίνεται σύγκριση των τιµών του διατµητικού δείκτη βλάβης, όταν λαµβάνεται και όταν δε λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης (D shear και D shear2 αντίστοιχα) και οι αντίστοιχες τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης (D tot και D tot2 αντίστοιχα). Παρατηρείται ότι η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης οδηγεί σε πολύ σηµαντική υποεκτίµηση του διατµητικού δείκτη βλάβης (0.11 αντί για 0.25) στο πέρας της ανάλυσης. Η διαφοροποίηση του διατµητικού δείκτη βλάβης οδηγεί σε αξιοσηµείωτη υποεκτίµηση του συνολικού δείκτη βλάβης στα µεσαία βήµατα της ανάλυσης (0.40 αντί για 0.48), αλλά στο πέρας της ανάλυσης οι τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης προκύπτουν περίπου οι ίδιες (0.95 αντί για 0.96), αφού ο καµπτικός δείκτης καθορίζει τη συνολική βλάβη του δοκιµίου. Στο Σχήµα (8.3.11β) γίνεται σύγκριση των τιµών του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang. ιαπιστώνεται ότι η τελική τιµή του δείκτη των Park-Ang προκύπτει ίση µε 0.63, αρκετά πιο µικρή της µονάδας που ---0-----===---- ---255--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ αντιστοιχεί στην αστοχία. Η διαφοροποίηση αυτή µπορεί να αποδοθεί στην εµπειρική σχέση που χρησιµοποιήθηκε για τον προσδιορισµό του ισοδύναµου µήκους πλαστικής άρθρωσης (Priestley et al. 1996) για τον υπολογισµό της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας του δοκιµίου. Damage είκτης Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 Flexural Καµπτικός Shear ιατµητικός Slip Ολισθητικός Total Συνολικός 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Step φόρτισης Σχήµα 8.3.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου U6. Damage είκτης Index Βλάβης 1 0.8 0.6 0.4 D shear D shear2 D tot D tot2 Damage είκτης Index Βλάβης 1 0.8 0.6 0.4 Proposed Προτεινόµενος D.I. Park-Ang D.I. 0.2 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Step φόρτισης 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Step φόρτισης (α) (β) Σχήµα 8.3.11: α)σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο U6. ---0-----===---- ---256--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.4 Πειραµατικό οκίµιο 2CLD12 (Sezen & Moehle 2002) 8.4.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου Οι Sezen & Moehle (2002) υπέβαλαν 4 ορθογωνικά υποστυλώµατα σε µονοαξονική ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων. Τα υποστυλώµατα αυτά χαρακτηρίζονταν από µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση, αφού διέθεταν αραιούς συνδετήρες µε άγκιστρα 90 ο. Τα δοκίµια κατασκευάσθηκαν ως αµφίπακτα προκειµένου να προσοµοιώσουν τη συνήθη συµπεριφορά εσωτερικών υποστυλωµάτων σε πλαίσια Ο/Σ τα οποία έχουν σχεδιαστεί µόνο για κατακόρυφες δράσεις. Η διαστασιολόγηση τους έγινε κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να διαρρέουν πρώτα καµπτικά για τέµνουσα δύναµη που προσεγγίζει τη διατµητική τους αντοχή. Βασικός στόχος των πειραµάτων ήταν να εξεταστεί η επιρροή της καµπτικής διαρροής στη διατµητική αστοχία. Εδώ εξετάζεται το δοκίµιο µε την κωδική ονοµασία 2CLD12. Το δοκίµιο αυτό είχε τετραγωνική διατοµή µε διάσταση 457mm. Το καθαρό ύψος των υποστυλωµάτων ήταν 2946.4mm (Σχήµα 8.4.1α). Ο διαµήκης οπλισµός αποτελούνταν από 8 ράβδους διαµέτρου 28.7mm ισοκατανεµηµένες στην περίµετρο του δοκιµίου. Το ποσοστό του διαµήκους οπλισµού ήταν ίσο µε 2.5%. Ο εγκάρσιος οπλισµός αποτελούνταν από συνδετήρες διαµέτρου 9.5mm σε σταθερές αποστάσεις των 304.8mm µε τη διάταξη του Σχήµατος (8.4.1β). Η αντοχή του σκυροδέµατος ήταν ίση µε 21.1MPa, ενώ η τάση διαρροής του διαµήκους και εγκάρσιου οπλισµού ήταν αντίστοιχα 434MPa και 476MPa. Ο διαµήκης οπλισµός αγκυρώθηκε στις άκαµπτες δοκούς του πόδα και της κεφαλής µε τη χρήση κατάλληλου άγκιστρου 90 ο. Το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης ήταν ελαφρώς µικρότερο από το απαιτούµενο που ορίζει ο ACI 318-02 (ACI, 2002). Σηµειώνεται ότι ο εγκάρσιος οπλισµός στην περιοχή της αγκύρωσης διαφοροποιήθηκε από αυτόν του κανονικού υποστυλώµατος. Πιο συγκεκριµένα, στο µήκος αγκύρωσης των διαµήκων ράβδων τοποθετήθηκαν δίτµητοι συνδετήρες διαµέτρου 9.5mm ανά 102mm. Το δοκίµιο υποβλήθηκε σε σταθερό, αξονικό θλιπτικό φορτίο 667kN (ανηγµένο αξονικό ν=0.15). Το επιβαλλόµενο ιστορικό οριζόντιων µετακινήσεων περιλάµβανε τρεις κύκλους φόρτισης ανά στάθµη µετακίνησης. Κάθε στάθµη µετακίνησης ορίστηκε ως ακέραιο πολλαπλάσιο της µετακίνησης στη διαρροή του δοκιµίου. Το ιστορικό της επιβαλλόµενης φόρτισης παρουσιάζεται στο Σχήµα (8.4.1γ). Σηµειώνεται ότι το συγκεκριµένο ιστορικό αναφέρεται στη φόρτιση ισοδύναµου προβόλου που αντιστοιχεί στο µισό ύψος του δοκιµίου. Οι µετακινήσεις, που πραγµατικά επιβλήθηκαν στο δοκίµιο, ήταν οι διπλάσιες από αυτές του συγκεκριµένου σχήµατος. ---0-----===---- ---257--

457 8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 2946,4 762 762 D9.5/304.8 8D28.7 28.7mm D11.3/127 D9.5/101.6 457 9.5mm/304.8mm 2438,4 (α) 457 (β) 50 Μετακίνηση (mm) Displacement (mm) 0-50 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Loading φόρτισης Step (γ) Σχήµα 8.4.1: Πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12 των Sezen & Moehle.(2002) α) Τοµή δοκιµίου, β) Τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης. 8.4.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο. Στο Σχήµα (8.4.2α) παρουσιάζεται η αναλυτική περιβάλλουσα που προέκυψε από την ανάλυση ροπών-καµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής του δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης. Το συγκεκριµένο δοκίµιο δεν είναι σε θέση να αναπτύξει σηµαντική πλαστιµότητα καµπυλοτήτων (µ φ 9) εξαιτίας της µηπλάστιµης κατασκευαστικής του διαµόρφωσης. Σηµειώνεται σε αυτό το σηµείο ότι στην ανάλυση Μ-φ εισήχθη ως δεδοµένο το ογκοµετρικό ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού µειωµένο στο µισό εξαιτίας της ανεπαρκούς του αγκύρωσης (άγκιστρα 90 ο ). ---0-----===---- ---258--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στη συγκεκριµένη ανάλυση ως κριτήριο καµπτικής αστοχίας χρησιµοποιήθηκε αυτό των Mander et al. (1986). Το κριτήριο λυγισµού των διαµήκων ράβδων και πτώσης της τάσης του σκυροδέµατος στο 85% της αντοχής έδωσαν πιο συντηρητικές τιµές. Η υιοθέτηση των τιµών των δύο τελευταίων κριτηρίων οδήγησε την ανάλυση του δοκιµίου στο συµπέρασµα ότι το υποστύλωµα αστοχούσε σε κάµψη και όχι σε διάτµηση. Το συµπέρασµα αυτό δε συµβαδίζει µε την πειραµατική συµπεριφορά του δοκιµίου. Επισηµαίνεται, τέλος, ότι στο πέρας της ανάλυσης Μ-φ το δοκίµιο έχει χάσει περίπου το 20% της πλευρικής αντοχής του, όριο που θεωρείται από πολλούς κανονισµούς ως το χαρακτηριστικό σηµείο αστοχίας σε πλευρική φόρτιση., 500 500 400 400 Moment Ροπή (knm) 300 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 300 200 100 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) 500 (α) 100 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) 400 Moment Ροπή (knm) 300 200 100 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) (γ) Σχήµα 8.4.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θslip αγκύρωσης του δοκιµίου 2CLD12. Στο Σχήµα (8.4.2β) παρουσιάζεται η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης του δοκιµίου. Η περιβάλλουσα αυτή προέκυψε για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής µε τον άξονα του στοιχείου θ=45 ο, καθώς αυτή η παραδοχή έδωσε την καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Σηµειώνεται ότι την ίδια παραδοχή (θ=45 ο ) κάνουν και οι συγκεκριµένοι ερευνητές (Sezen & Moehle 2004) στο µοντέλο που ανέπτυξαν για τον προσδιορισµό της διατµητικής αντοχής της συγκεκριµένης οµάδας δοκιµίων. Επιπλέον, θεωρήθηκε ότι µόνο το 50% του εγκάρσιου οπλισµού συµµετέχει στην ανάπτυξη της διατµητικής αντοχής εξαιτίας της ανεπαρκούς αγκύρωσης των συνδετήρων (άγκιστρα 90 ο ). Αντίστοιχη πρόταση έχουν κάνει και οι Biskinis et al. (2003). Στον υπολογισµό της παραµόρφωσης στη διατµητική αστοχία, ωστόσο λήφθηκε ολόκληρο το ποσοστό του ---0-----===---- ---259--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ εγκάρσιου οπλισµού, καθώς αυτό έδινε καλύτερη σύµπτωση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Στη βαθµονόµηση της συγκεκριµένης εµπειρικής σχέσης δεν έχει γίνει µείωση του ποσοστού του εγκάρσιου οπλισµού, λόγω ανεπαρκούς αγκύρωσης. Η διατµητική αντοχή προέκυψε περίπου ίση µε 416kN και η διατµητική παραµόρφωση στη διαρροή των συνδετήρων ίση µε 3.6. Η παραµόρφωση στη διατµητική αστοχία υπολογίστηκε ίση µε 11.7. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η αρχική διατµητική αντοχή του δοκιµίου είναι µεγαλύτερη από την τέµνουσα που αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία. Συνεπώς, αν δεν προσοµοιωνόταν στην παρούσα διατριβή το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, τότε θα προέκυπτε από την ανάλυση ότι το δοκίµιο θα αστοχούσε καµπτικά. Στο Σχήµα (8.4.2γ) παρουσιάζεται η περιβάλλουσα ροπής-στροφής λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του εξεταζόµενου δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης. Η στροφή εξαιτίας της ολίσθησης προκύπτει ίση µε 0.0027rad στη διαρροή και 0.012rad στην καµπτική αστοχία. Η µέγιστη ικανότητα παραµόρφωσης της αγκύρωσης, που θα χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό του ολισθητικού δείκτη βλάβης, προέκυψε για την παραµόρφωση αστοχίας του διαµήκους οπλισµού ίση µε 0.38rad. Η µέση συνάφεια στην ελαστική περιοχή που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή της καµπύλης Μ-θ slip προέκυψε περίπου ίση µε 5.5MPa, ενώ η µέση συνάφεια στην ανελαστικη περιοχή υπολογίστηκε ίση µε 1.4MPa. Η µικρή τιµή της µέσης συνάφειας στην ανελαστική περιοχή θα πρέπει να αποδοθεί στην ανεπάρκεια και την κακή αγκύρωση του εγκάρσιου οπλισµού στην περιοχή της αγκύρωσης του δοκιµίου 400 Τέµνουσα (kn) Shear (kn) 200 0-200 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment -400-50 0 50 Μετακίνηση Displacement (mm) (α) (β) Σχήµα 8.4.3: α) Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου, β) Εικόνα αστοχίας δοκιµίου 2CLD12. ---0-----===---- ---260--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.4.3) παρουσιάζεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης κορυφής (V- ) ισοδύναµου προβόλου του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και της πειραµατικής καταγραφής. Παρατηρείται ότι το αναλυτικό µοντέλο προσοµοιώνει ικανοποιητικά τα βασικά χαρακτηριστικά της υστερητικής συµπεριφοράς του δοκιµίου µέχρι και την έναρξη της διατµητικής αστοχίας. Αρχικά το προτεινόµενο µοντέλο προβλέπει µε καλή ακρίβεια την αρχικήελαστική δυσκαµψία της πειραµατικής καταγραφής. Η πειραµατική αντοχή που καθορίζεται από την καµπτική διαρροή του δοκιµίου προσδιορίζεται και αυτή µε καλή προσέγγιση. Μικρή διαφοροποίηση παρατηρείται στους κλάδους αποφόρτισης και επαναφόρτισης η οποία οδηγεί σε µικρή υπερεκτίµηση της ικανότητας του υποστυλώµατος για έκλυση υστερητικής ενέργειας. Ενθαρρυντικό στοιχείο αποτελεί το γεγονός ότι το αναλυτικό µοντέλο είναι σε θέση να προβλέψει τον τύπο της πλευρικής αστοχίας (διατµητικός, βλέπε Σχήµα 8.4.3β) και µε ικανοποιητική προσέγγιση τη µετακίνηση στην οποία θα λάβει χώρα αυτή. Η διατµητική αστοχία, όπως φαίνεται στην πειραµατική καταγραφή, συνοδεύεται από ραγδαία πτώση της ικανότητας ανάληψης πλευρικού φορτίου από το συγκεκριµένο δοκίµιο. Το αναλυτικό µοντέλο δεν έχει επεκταθεί (στο πλαίσιο της παρούσας έρευνας) για την προσοµοίωση της υστερητικής συµπεριφοράς µετά τη διατµητική αστοχία. Στο Σχήµα (8.4.4α) δίνονται οι βρόχοι υστέρησης σε όρους ροπών-καµπυλοτήτων της ακραίας διατοµής (βάση) του εξεταζόµενου δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Στο Σχήµα (8.4.4β) δίνεται η κατανοµή των καµπυλοτήτων κατά µήκος του δοκιµίου, όπως αυτή µετρήθηκε πειραµατικά. Μετά την αναγωγή στο ίδιο σύστηµα µονάδων, διαπιστώνεται η ικανοποιητική πρόβλεψη των αναπτυσσόµενων καµπυλοτήτων στα δύο άκρα του δοκιµίου και για τις δύο φορές φόρτισης. Επιπλέον, στο κεντρικό τµήµα του δοκιµίου οι καµπυλότητες µεταβάλλονται γραµµικά µεταξύ των τιµών (+/-) 0.01(rad/m) που αντιστοιχεί στην καµπυλότητα διαρροής του αναλυτικού µοντέλου. Συνεπώς, το προτεινόµενο καµπτικό υποστοιχείο προσοµοιώνει µε επαρκή ακρίβεια ολόκληρη την κατανοµή των καµπυλοτήτων καθύψος του δοκιµίου. 500 Moment Ροπή (knm) 0 % ύψους υποστυλώµατος -500-0.05 0 0.05 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) Καµπυλότητα (1/in) 10-3 (α) (β) Σχήµα 8.4.4:α) Υστερητικοί βρόχοι ροπών-καµπυλοτήτων στη βάση του υποστυλώµατος, β) Πειραµατικά καταγεγραµµένη κατανοµή των καµπυλοτήτων κατά µήκος του δοκιµίου 2CLD12. ---0-----===---- ---261--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.4.5α) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση τέµνουσας δύναµηςδιατµητικής παραµόρφωσης όπως προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης, ενώ στο Σχήµα (8.4.5β) παρουσιάζεται η ίδια σχέση εκτός της πλαστικής άρθρωσης. ιαπιστώνεται ότι το δοκίµιο εντός της πλαστικής άρθρωσης αναπτύσσει διατµητικές παραµορφώσεις σηµαντικά µεγαλύτερες από αυτές εκτός του µήκους της ανελαστικής ζώνης. Η αύξηση αυτή οφείλεται αρχικά στο φαινόµενο της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, όπου λόγω της µείωσης της διατµητικής αντοχής και της δύναµης που δύναται να παραλάβει το µερίδιο του σκυροδέµατος, οι διατµητικές παραµορφώσεις αυξάνονται µέχρι και την τιµή που αντιστοιχεί στην έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού (3.6 ). Μετά την έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού, οι διατµητικές παραµορφώσεις αυξάνουν ραγδαία µέχρι και την τιµή που αντιστοιχεί στην έναρξη της διατµητικής αστοχίας (11.7 ). Στο Σχήµα (8.4.5γ) δίνεται η σύγκριση της απαιτούµενης και της διαθέσιµης αντοχής σε τέµνουσα ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας στην κρίσιµη διατοµή του πειραµατικού δοκιµίου, όπως αυτή προσδιορίζεται από το µοντέλο των Priestley et al. (1996). Από το σχήµα αυτό επιβεβαιώνεται η σωστή πρόβλεψη του µοντέλου της διατµητικής αντοχής, ότι δηλαδή το συγκεκριµένο υποστύλωµα αστοχεί διατµητικά τη στιγµή που η δρώσα τέµνουσα δύναµη γίνεται ίση µε τη σταδιακά αποµειούµενη διατµητική αντοχή. Στο Σχήµα (8.4.5δ), παρουσιάζεται η υστερητική διατµητική συµπεριφορά της ακραίας διατοµής ταυτόχρονα µε την αρχική µη-υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη V-γ. Λόγω της προσοµοίωσης του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, η πραγµατική υστερητική συµπεριφορά διαχωρίζεται από την αρχική περιβάλλουσα καµπύλη µετά την καµπτική διαρροή και πιο συγκεκριµένα µετά την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µ φ =3. Ο διαχωρισµός αυτός αυξάνεται µέχρι και τη στιγµή της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού (γ=3.6 ). Στη συνέχεια, η αρχική µη-υποβαθµισµένη καµπύλη και η τελική υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη συνεχίζουν παράλληλες, αφού δεν λαµβάνει χώρα περαιτέρω µείωση της διατµητικής αντοχής λόγω της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, µέχρι και τη διατµητική αστοχία. 400 400 200 200 Τέµνουσα Shear (kn) 0-200 Τέµνουσα Shear (kn) 0-200 -400-0.01-0.005 0 0.005 0.01 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (α) -400-0.01-0.005 0 0.005 0.01 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) ---0-----===---- ---262--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 500 500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0-500 Απαίτηση Demand Ικανότητα Capacity -0.05 0 0.05 Καµπυλότητα Curvature (1/m) (rad/m) -500 --- Αρχική Undegraded περιβάλλουσα Envelope ιατµητικός Undegraded βρόχος Envelope Shear Hysteresis -0.01 0 0.01 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (γ) (δ) Σχήµα 8.4.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) Σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, δ) Σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12. Στο Σχήµα (8.4.6α) δίνεται η εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του δοκιµίου για διάφορες τιµές της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων, όπως προβλέπεται από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Για πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου. Καθώς η πλαστιµότητα αυξάνεται από µ =1 σε µ =2 και λόγω της αλλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης, οι διατµητικές παραµορφώσεις και στα δύο άκρα του δοκιµίου προκύπτουν αυξηµένες σε σχέση µε αυτές που βρίσκονται εκτός των ανελαστικών ζωνών του δοκιµίου. 100 % ύψους % Column υποστυλώµατος Height 80 60 40 20 µ =1 µ =1 µ =2 µ =2 % ύψους υποστυλώµατος 0 0.000 0.005 0.010 0.015 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain ιατµητική παραµόρφωση (α) (β) Σχήµα 8.4.6: α) Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου 2CLD12, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο, β) Κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων για απαίτηση πλαστιµότητας µετακινήσεων µ =2, όπως καταγράφηκε πειραµατικά. ---0-----===---- ---263--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.4.6β) παρουσιάζεται η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του υποστυλώµατος, όπως καταγράφηκε πειραµατικά για επιβαλλόµενη πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =2. Η κατανοµή αυτή επιβεβαιώνει σε µεγάλο βαθµό την πρόβλεψη του αναλυτικού µοντέλου για την ίδια στάθµη απαίτησης πλαστιµότητας. Στο Σχήµα (8.4.7α) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης της αγκύρωσης του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Παρατηρείται ότι οι βρόχοι αυτοί χαρακτηρίζονται από αρκετά σταθερή συµπεριφορά, χωρίς δηλαδή σηµαντική αποµείωση της δυσκαµψίας µε την ανακύκλιση. Οι κλάδοι επαναφόρτισης αρχίζουν όχι από τη θέση µηδενισµού της ροπής στους κλάδους αποφόρτισης αλλά από ροπή ίση µε Μ ο,sl = 31kNm. Η µέγιστη αναπτυσσόµενη στροφή στη βάση του δοκιµίου από την ολίσθηση της αγκύρωσης προέκυψε ίση µε 0.0093rad Στο Σχήµα (8.4.7β) δίνεται φωτογραφική τεκµηρίωση της στροφής από ολίσθηση στη βάση του δοκιµίου από τους συγκεκριµένους ερευνητές κατά τη διάρκεια της πειραµατικής διαδικασίας 500 Moment Ροπή (knm) 0-500 -0.01-0.005 0 0.005 0.01 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) (α) (β) Καταγραφή Μοντέλο Ροπή (k-in) Ροπή (k-in) Κορυφή υποστυλώµατος Βάση υποστυλώµατος Στροφή ολίσθησης (rad) Στροφή ολίσθησης (rad) (γ) (δ) Σχήµα 8.4.7: α) Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου όπως προβλέφθηκαν από το αναλυτικό µοντέλο, β) Φωτογραφική αποτύπωση στροφής από ολίσθηση κατά τη διάρκεια του πειράµατος, γ) Πειραµατική καταγραφή της σχέσης ροπής-στροφής από ολίσθηση της αγκύρωσης στην κορυφή του δοκιµίου, (δ) Πειραµατική καταγραφή της σχέσης ροπής-στροφής από ολίσθηση της αγκύρωσης στη βάση του δοκιµίου 2CLD12. ---0-----===---- ---264--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στα Σχήµατα (8.4.7γ) και (8.4.7δ) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση και την κορυφή του δοκιµίου, όπως αυτοί µετρήθηκαν πειραµατικά. Παρατηρείται ότι µέχρι και την έναρξη της πτώσης της πλευρικής αντοχής οι βρόχοι αυτοί βρίσκονται σε ικανοποιητική συµφωνία µε τους βρόχους του αναλυτικού µοντέλου. Σε αυτό το εύρος µετακίνησης, η µέγιστη στροφή από ολίσθηση του δοκιµίου µετρήθηκε περίπου ίση µε 0.007-0.008rad γεγονός που βρίσκεται σε καλή σύγκλιση µε το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Μικρή διαφοροποίηση παρατηρείται στους κλάδους επαναφόρτισης της βάσης του δοκιµίου (Σχήµα 8.4.7δ) που φαίνεται να εµφανίζουν περιορισµένη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων. Στα Σχήµατα (8.4.8α), (8.4.8β) και (8.4.8γ) παρουσιάζονται οι υστερητικές σχέσεις τέµνουσας δύναµης-µετακίνησης που αναπτύχθηκε στην κορυφή του δοκιµίου εξαιτίας αντίστοιχα των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων που αναπτύχθηκαν σε ολόκληρο το ύψος του δοκιµίου. Οι µετακινήσεις αυτές αναφέρονται στην κορυφή του δοκιµίου, δηλαδή είναι διπλάσιες από τις µετακινήσεις του ισοδύναµου προβόλου. Οι µέγιστες τιµές της καµπτικής µετακίνησης είναι 25.2mm και 30.3mm στη θετική και την αρνητική φορά της φόρτισης αντίστοιχα. Οι µέγιστες τιµές της διατµητικής µετακίνησης είναι 8.9mm και 6.7mm, ενώ της µετακίνησης ολίσθησης 27.5mm και 19.0mm. Στο Σχήµα (8.4.8δ) παρουσιάζεται η σχέση δύναµης-µετακίνησης κορυφής λόγω διατµητικών παραµορφώσεων, όταν δεν λαµβάνεται υπόψη στο προτεινόµενο µοντέλο η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Η µέγιστη µετακίνηση σε αυτήν την περίπτωση είναι 6.8mm. Συνεπώς, η προσοµοίωση του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης οδήγησε σε 31% αύξηση των προβλεπόµενων διατµητικών µετακινήσεων στην κορυφή του δοκιµίου. Στο Σχήµα (8.4.9) δίνονται οι πειραµατικά καταγεγραµµένοι υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας δύναµης-καµπτικής, διατµητικής, ολισθητικής και συνολικής µετακίνησης στην κορυφή του δοκιµίου. Η µέγιστη καµπτική µετακίνηση σε συνολική µετακίνηση 2 y είναι περίπου ίση µε 24mm. Η µέγιστη διατµητική περίπου 7mm. Η µέγιστη ολισθητική περίπου 23mm. Και οι τρεις τιµές βρίσκονται σε σχετικά καλή συµφωνία µε τις προβλέψεις του αναλυτικού µοντέλου. 400 400 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 -400-40 -20 0 20 40 Καµπτική Flexural Displacement µετακίνηση (mm) (α) -400-10 -5 0 5 10 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (mm) (β) ---0-----===---- ---265--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 400 400 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 200 0-200 -400-30 -20-10 0 10 20 30 Μετακίνηση Bond-Slip Displacement ολίσθησης (mm) -400-10 -5 0 5 10 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (mm) (γ) (δ) Σχήµα 8.4.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) Καµπτικών παραµορφώσεων, β) ιατµητικών παραµορφώσεων, γ) Ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) ιατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης για το πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12. Καταγραφή Μοντέλο Sezen Τέµνουσα (kips) Τέµνουσα (kips) Καµπτική µετακίνηση (in) ιατµητική µετακίνηση (in) Τέµνουσα (kips) Τέµνουσα (kips) Μετακίνηση ολίσθησης (in) Συνολική µετακίνηση (in) Σχήµα 8.4.9: Πειραµατικά καταγεγραµµένοι υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) Καµπτικών παραµορφώσεων, β) ιατµητικών παραµορφώσεων, γ) Ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) Συνόλου των παραµορφώσεων για το δοκίµιο 2CLD12. ---0-----===---- ---266--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.4.10) παρουσιάζεται η συµµετοχή των επιµέρους συνιστωσών µετακίνησης στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο. Στα πρώτα βήµατα της ανάλυσης η µετακίνηση του δοκιµίου οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά στην καµπτική και ολισθητική µετακίνηση. Στη συνέχεια, ωστόσο, η συνεισφορά της διατµητικής µετακίνησης αυξάνεται σταδιακά και τη στιγµή της διατµητικής αστοχίας, οι διατµητικές µετακινήσεις αποτελούν περίπου το 15% της συνολικής µετακίνησης. Οι καµπτικές µετακινήσεις αποτελούν το 45-50% και οι ολισθητικές το 35-40% της συνολικής µετακίνησης. Displacements Profile 80 Shear ιάτµηση 60 Slip Ολίσθηση Flexure Κάµψη 40 Displacement Μετακίνηση (mm) (mm) 20 0-20 -40-60 0 500 1000 1500 Βήµα φόρτισης Step Σχήµα 8.4.10: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου 2CLD12, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο. Στο Σχήµα (8.4.11) δίνεται η πειραµατικά καταγεγραµµένη συνεισφορά των επιµέρους µετακινήσεων. Σε επιβαλλόµενη πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =2, οι καµπτικές µετακινήσεις αποτελούν το 45%, οι διατµητικές το 15% και οι ολισθητικές το 40%. Οι παρατηρήσεις αυτές συµφωνούν µε το αναλυτικό µοντέλο Στο Σχήµα (8.4.12α) παρουσιάζεται η εξέλιξη των επιµέρους δεικτών βλάβης (καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού) κατά τη διάρκεια της φόρτισης του πειραµατικού δοκιµίου. Αρχικά, ο καµπτικός και ο διατµητικός δείκτης έχουν παρόµοιες τιµές, ενώ στη συνέχεια (µεταξύ των βηµάτων 1200 και 1700) ο καµπτικός δείκτης γίνεται περισσότερο κρίσιµος από τον καµπτικό. Ωστόσο, εξαιτίας της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης και της µετέπειτα διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού, εντός πολύ µικρού αριθµού βηµάτων, ο διατµητικός δείκτης βλάβης αυξάνεται τάχιστα και στο πέρας της ανάλυσης γίνεται ίσος µε τη µονάδα (διατµητική αστοχία). Ο ολισθητικός δείκτης παραµένει αµελητέος για όλο το διάστηµα της ανάλυσης. Στο Σχήµα (8.4.12β) παρουσιάζεται η εξέλιξη του συνολικού δείκτη βλάβης. Παρατηρείται ότι στο πέρας της ανάλυσης η τιµή του δείκτη γίνεται ίση µε τη µονάδα (αστοχία), αφού στο στάδιο αυτό καθορίζεται πλήρως από τον διατµητικό δείκτη βλάβης. Σε όλη την ανάλυση ο συνολικός δείκτης αποκτά τιµές µεγαλύτερες από τους επιµέρους δείκτες. ---0-----===---- ---267--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ %Συνολικής µετακίνησης Σφάλµα καταγραφής Κάµψη ιάτµηση Ολίσθηση Μετακίνηση (in) slip slip+shear slip+shear+flexure Πλαστιµότητα Μετακινήσεων Πλαστιµότητα Μετακινήσεων (α) Μετακίνηση (in) Συνολική µετακίνηση ιατµητική µετακίνηση Ολισθητική µετακίνηση Κάµπτική µετακίνηση (β) Σχήµα 8.4.11: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου 2CLD12, όπως καταγράφηκε πειραµατικά α) ως συνάρτηση της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων, β) ως συνάρτηση του βήµατος φόρτισης. Στο Σχήµα (8.4.13α) παρουσιάζεται η εξέλιξη των τιµών του διατµητικού και του συνολικού δείκτη βλάβης όταν δεν λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης (D shear2 και D tot2 αντίστοιχα). Παρατηρείται ότι η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης οδηγεί σε δραµατική υποεκτίµηση του διατµητικού δείκτη βλάβης (0.12 αντί για 1.00). Η υποεκτίµηση αυτή οδηγεί και σε σηµαντική υποεκτίµηση του συνολικού δείκτη βλάβης, αφού στην περίπτωση όπου αγνοείται η αλληλεπίδραση, η τελική τιµή του συνολικού δείκτη είναι µόλις 0.58 (αντί για 1.0). Τέλος, στο Σχήµα (8.4.13β) γίνεται σύγκριση των τιµών του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang. ιαπιστώνεται ότι η τελική τιµή του δείκτη των Park-Ang (0.45) είναι κατά πολύ µικρότερη της µονάδας. Αυτό σηµαίνει ότι ο συγκεκριµένος δείκτης δεν είναι σε θέση να αποδώσει την πραγµατική εικόνα του δοκιµίου στην έναρξη της διατµητικής αστοχίας. Το συµπέρασµα αυτό θα πρέπει να αποδοθεί στο γεγονός ότι η διαθέσιµη γωνία στροφής χορδής που εισάγεται στη σχέση του δείκτη των Park-Ang έχει υπολογιστεί µε βάση το ισοδύναµο µήκος πλαστικής άρθρωσης των Priestley et al. (1996). Το µήκος αυτό έχει ---0-----===---- ---268--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ βαθµονοµηθεί µόνο για πειραµατικά δοκίµια που είναι κρίσιµα σε καµπτικές µορφές αστοχίας µε αποτέλεσµα να υπερτιµάται η διαθέσιµη γωνία στροφής χορδής των στοιχείων που είναι κρίσιµα σε διατµητική αστοχία. είκτης Damage Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Καµπτικός Flexural ιατµητικός Shear Ολισθητικός Slip είκτης Damage Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Step φόρτισης 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Step φόρτισης (α) (β) Σχήµα 8.4.12: Εξέλιξη του α) Καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού, β) Συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου 2CLD12. 1 0.8 D shear2 D tot2 1 0.8 Proposed Προτεινόµενος D.I. Park-Ang D.I. είκτης Damage Βλάβης Index 0.6 0.4 0.2 είκτης Damage Βλάβης Index 0.6 0.4 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα Step φόρτισης 0 0 500 1000 1500 2000 Βήµα φόρτισης Step (α) (β) Σχήµα 8.4.13: α) Εξέλιξη του διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο 2CLD12. ---0-----===---- ---269--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.5 Πειραµατικό οκίµιο SC3 (Aboutaha et al. 1999) 8.5.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου Οι Aboutaha et al. (1999) υπέβαλαν 11 ορθογωνικά δοκίµια µορφής προβόλου σε µονοαξονική ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων στην κορυφή τους. Η όπλιση των δοκιµίων έγινε µε βάση τις κατασκευαστικές διατάξεις που επικρατούσαν στις Η.Π.Α. τη δεκαετία του 1960 και 1970. Όλα τα δοκίµια σχεδιάστηκαν κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να αστοχούν σε τέµνουσα, χωρίς να διαρρέουν σε κάµψη. Βασικός στόχος της πειραµατικής έρευνας ήταν η διερεύνηση της αποδοτικότητας της µεθόδου ενίσχυσης στοιχείων Ο/Σ µε την τεχνική των µεταλλικών µανδυών. Στην παρούσα παράγραφο εξετάζεται το δοκίµιο µε την κωδική ονοµασία SC3. Το δοκίµιο αυτό δεν ενισχύθηκε µε µεταλλικούς µανδύες προκειµένου να χρησιµοποιηθεί ως βάση αναφοράς για τα υπόλοιπα στοιχεία. Το συγκεκριµένο δοκίµιο είχε διαστάσεις 914.4mm 457.2mm και λόγο διάτµησης ίσο µε 2.67. Η φόρτιση επιβλήθηκε στην ασθενή του πλευρά (Σχήµα 8.5.1α). Ο διαµήκης οπλισµός αποτελούνταν από ράβδους διαµέτρου 25mm µε διάταξη που φαίνεται στο Σχήµα (8.5.1.β). Το ποσοστό του διαµήκους οπλισµού ήταν ίσο µε 1.88%. Εγκάρσια το δοκίµιο οπλίστηκε µε πεντάτµητους συνδετήρες διαµέτρου 9.5mm σε αποστάσεις των 406.4mm. Η αντοχή του σκυροδέµατος ήταν ίση µε 21.9MPa, ενώ η τάση διαρροής του διαµήκους και εγκάρσιου οπλισµού ήταν αντίστοιχα 434MPa και 400MPa. Ο διαµήκης οπλισµός αγκυρώθηκε σε µπλοκ σκυροδέµατος µε τη χρήση κατάλληλου άγκιστρου 90 ο. Το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης προέκυψε ίσο µε 0.5m. Ο εγκάρσιος οπλισµός αγκυρώθηκε και αυτός µε άγκιστρα 90 ο. Μέχρι να εµφανιστούν τα πρώτα σηµάδια ανελαστικής συµπεριφοράς, το δοκίµιο φορτίστηκε πλευρικά µε σταθερές προσαυξήσεις του οριζόντιου φορτίου (force controlled loading). Στη συνέχεια, η φόρτιση ασκήθηκε µέσω κατάλληλης ιστορίας επιβαλλόµενων µετακινήσεων οι οποίες και αυξάνονταν σταδιακά κάθε φορά κατά 0.5% του ύψους του δοκιµίου. Σε κάθε στάθµη επιβαλλόµενης πλευρικής µετακίνησης υλοποιήθηκαν δύο πλήρεις κύκλοι φόρτισης. Το ιστορικό της ανακυκλιζόµενης φόρτισης που εξετάζεται εδώ παρουσιάζεται στο Σχήµα (8.5.1γ). Επισηµαίνεται ότι για το συγκεκριµένο δοκίµιο η φόρτιση επεκτάθηκε και σε επίπεδα µετακίνησης µετά τη διατµητική αστοχία µέχρι και την πλήρη απώλεια της πλευρικής του αντοχής. Η ανάλυση, όµως, µετά τη διατµητική αστοχία είναι εκτός του πλαισίου της παρούσας εργασίας και συνεπώς δεν πρόκειται να εξεταστεί στο συγκεκριµένο παράδειγµα. ---0-----===---- ---270--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 9.5mm/406.4mm 25mm 914,4 610 406.4 406.4 431,8 16D25 D9.5/406.4 1219,2 2286 457,2 (α) (β) 30 20 Μετακίνηση (mm) Displacement (mm) 10 0-10 -20-30 0 200 400 600 800 Βήµα Loading φόρτισης Step (γ) Σχήµα 8.5.1: Πειραµατικό δοκίµιο SC3 των Aboutata et al. (1999) α) Τοµή δοκιµίου, β) τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης. 8.5.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο. Στο Σχήµα (8.5.2α) παρουσιάζεται η αναλυτική περιβάλλουσα που προέκυψε από την ανάλυση ροπών-καµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής του δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης και η οποία προσεγγίζει µε πάρα πολύ καλή ακρίβεια την πραγµατική. Ως κριτήριο καµπτικής αστοχίας εφαρµόστηκε το κριτήριο των Mander et al. (1986) µε µειωµένο το ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού στο 50% για τα άγκιστρα 90 ο. Όπως θα αναλυθεί και στη συνέχεια, ο µετελαστικός κλάδος του διαγράµµατος Μ-φ δεν επηρεάζει καθόλου τα αποτελέσµατα της ανάλυσης, αφού το συγκεκριµένο δοκίµιο δε έφτασε ποτέ µέχρι και την καµπτική διαρροή. Στο Σχήµα (8.5.2β) παρουσιάζεται η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης του δοκιµίου. Για το συγκεκριµένο πειραµατικό δοκίµιο διαπιστώθηκε ότι η διατµητική αντοχή που υπολογίζεται από τη σχέση των ---0-----===---- ---271--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Priestley et al. (1996) υπερβαίνει σηµαντικά τη διατµητική αντοχή που ανέπτυξε κατά την πειραµατική διαδικασία. ιασαφηνίζεται σε αυτό το σηµείο ότι, όπως αναφέρουν οι Aboutaha et al. (1999), το εξεταζόµενο πειραµατικό δοκίµιο αστόχησε σε διάτµηση πριν την ανάπτυξη της καµπτικής διαρροής. Συνεπώς, η διατµητική αντοχή που ανέπτυξε το στοιχείο είναι η αρχική του, χωρίς δηλαδή την αποµείωση λόγω της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης. 800 500 Moment Ροπή (knm) 600 400 200 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) Τέµνουσα Shear (kn) 400 300 200 100 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 ιατµητική Distortion παραµόρφωση 800 (α) (β) Moment Ροπή (knm) 600 400 200 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) (γ) Σχήµα 8.5.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θslip αγκύρωσης του δοκιµίου SC3. Η διατµητική αντοχή που προκύπτει από το µοντέλο των Priestley et al. (1996) είναι ίση µε 630kN. Για την καλύτερη σύµπτωση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα, η διατµητική αντοχή πολλαπλασιάστηκε µε το µειωτικό συντελεστή 0.64. Η µεγάλη απόκλιση ανάµεσα στην υπολογιζόµενη και την πραγµατική διατµητική αντοχή του δοκιµίου οφείλεται κατά βάση στο ότι το συγκεκριµένο µοντέλο διατµητικής αντοχής δεν έχει βαθµονοµηθεί επαρκώς για στοιχεία Ο/Σ µε ανεπαρκή κατασκευαστική διαµόρφωση του εγκάρσιου οπλισµού (αραιοί συνδετήρες µε άγκιστρα 90 ο ). Επιπλέον, στο µοντέλο των Priestley et al. (1996) δεν λαµβάνεται υπόψη η επιρροή του λόγου διάτµησης στη διατµητική αντοχή του µεριδίου σκυροδέµατος. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η διατµητική αντοχή που προκύπτει για το συγκεκριµένο δοκίµιο από τα αντίστοιχα µοντέλα των Sezen & Moehle (2004) και Biskinis et al. (2004) είναι ίση µε 433kN και 217kN αντίστοιχα, γεγονός που επισηµαίνει τις σηµαντικές αβεβαιότητες που υπεισέρχονται στον προσδιορισµό της διατµητικής αντοχής των στοιχείων Ο/Σ ---0-----===---- ---272--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Μετά από τα παραπάνω, η διατµητική αντοχή λαµβάνεται ίση µε 403kN. Η διατµητική παραµόρφωση στη διαρροή των συνδετήρων και τη διατµητική αστοχία προέκυψε αντίστοιχα ίση µε 0.49% και 1.8%. Στο Σχήµα (8.5.2γ) παρουσιάζεται η καµπύλη ροπής-στροφής λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του εξεταζόµενου δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης. Η στροφή εξαιτίας της ολίσθησης προκύπτει ίση µε 0.0019rad στη διαρροή και 0.045rad στην καµπτική αστοχία. Σηµειώνεται ότι η τελευταία τιµή αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία και όχι στην αστοχία της αγκύρωσης. Η µέγιστη ικανότητα παραµόρφωσης της αγκύρωσης, που θα χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό του ολισθητικού δείκτη βλάβης, προέκυψε για την παραµόρφωση αστοχίας του διαµήκους οπλισµού ίση µε 0.154rad. Η µέση συνάφεια στην ελαστική περιοχή που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή της καµπύλης Μ-θ slip προέκυψε περίπου ίση µε 5.5MPa, ενώ η µέση συνάφεια στην ανελαστική περιοχή υπολογίστηκε ίση µε 1.4MPa. Οι µεγάλες τιµές των στροφών λόγω ολίσθησης της αγκύρωσης στην καµπτική αστοχία και στην αστοχία της αγκύρωσης θα πρέπει να αποδοθούν αφενός στην υψηλή κράτυνση του διαµήκους οπλισµού του συγκεκριµένου δοκιµίου και αφετέρου στη χαµηλή τιµή της συνάφειας στην ανελαστική περιοχή της αγκύρωσης εξαιτίας του ανεπαρκούς εγκάρσιου οπλισµού στην περιοχή της αγκύρωσης. Στο Σχήµα (8.5.3α) παρουσιάζεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης κορυφής (V- ) του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και της πειραµατικής καταγραφής. Το αναλυτικό µοντέλο προσδιορίζει ικανοποιητικά τόσο την µέγιστη αναπτυσσόµενη πλευρική αντοχή του δοκιµίου όσο και τη µετακίνηση στην οποία αυτή λαµβάνει χώρα για πρώτη φορά. Το γεγονός αυτό θα πρέπει να αποδοθεί στην ικανοποιητική πρόβλεψη της διατµητικής παραµόρφωσης που αντιστοιχεί στην έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού από την εµπειρική σχέση που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Επίσης, ικανοποιητικά προσοµοιώνεται και η συνολική υστερητική συµπεριφορά του δοκιµίου στα πρώτα στάδια απόκρισης µετά την ανάπτυξη της µέγιστης πλευρικής αντοχής. Λίγο πριν τη διατµητική αστοχία, ωστόσο, παρατηρείται ότι το αναλυτικό µοντέλο δεν αποτυπώνει σε ικανοποιητικό βαθµό τη στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων. Το γεγονός αυτό µπορεί να αποδοθεί σε κάποιο βαθµό στον εµπειρικό χαρακτήρα του διατµητικού υστερητικού µοντέλου που υιοθετήθηκε στην παρούσα διατριβή. Επιπρόσθετα, σηµαντικό είναι το γεγονός ότι το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει µε σχετικά καλή ακρίβεια το σηµείο της έναρξης της πτώσης της διατµητικής αντοχής. Πιο συγκεκριµένα, το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει την έναρξη της πτώσης της διατµητικής αντοχής σε µετακίνηση ίση µε 27.3mm, ενώ στην πραγµατικότητα έλαβε χώρα σε µετακίνηση 23.7mm. Το µικρό σφάλµα είναι σαφώς αναµενόµενο δεδοµένων των ασαφειών που υπεισέρχονται στο συγκεκριµένο πρόβληµα. Στη Σχήµα (8.5.3β) γίνεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους πλευρικού φορτίου-συνολικής µετακίνησης κορυφής µεταξύ της πειραµατικής καταγραφής και της πρόβλεψης του αναλυτικού µοντέλου, όπως θα προέκυπτε εάν δεν γινόταν η προσοµοίωση και των διατµητικών παραµορφώσεων. Μάλιστα, στο συγκεκριµένο µοντέλο εισήχθη ολόκληρη η ιστορία επιβαλλόµενων µετακινήσεων του δοκιµίου για λόγους πλήρους εποπτείας των αποτελεσµάτων. ---0-----===---- ---273--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Είναι εµφανές ότι η αγνόηση των διατµητικών παραµορφώσεων οδηγεί σε τελείως εσφαλµένη πρόβλεψη της υστερητικής συµπεριφοράς του δοκιµίου. Η αρχική δυσκαµψία υπερτιµάται, όπως και η αντοχή σε οριζόντια φόρτιση. Η στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων και η σηµαντική αποµείωση της δυσκαµψίας κατά την αποφόρτιση δεν προσοµοιώνονται µε αποτέλεσµα το αναλυτικό µοντέλο να οδηγείται σε σηµαντική υπερεκτίµηση της ικανότητας του δοκιµίου για έκλυση σεισµικής ενέργειας. Τέλος, δεν προβλέπεται η έναρξη της πλευρικής αστοχίας µε αποτέλεσµα στα τελευταία βήµατα να προκύπτει τελείως λανθασµένη εικόνα για την ικανότητα ανάληψης πλευρικού φορτίου από το συγκεκριµένο δοκίµιο. Στο Σχήµα (8.5.3β) δίνεται η εικόνα της αστοχίας του δοκιµίου. Είναι σαφές ότι η αστοχία προήλθε από την ανάπτυξη διατµητικής ρωγµής επεκτάθηκε σε ολόκληρο το µήκος του δοκιµίου. Η εικόνα αυτή συµβαδίζει µε τις προβλέψεις του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου. 500 Τέµνουσα Shear (kn) 0 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment -500-30 -20-10 0 10 20 30 Displacement Μετακίνηση (mm) (α) 600 400 200 0-200 -400 Ανάλυση Analysis -600-40 Πείραµα Experiment -20 0 20 40 Displacement Μετακίνηση (mm) (β) ---0-----===---- ---274--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ (γ) Σχήµα 8.5.3: Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου-µετακίνησης κορυφής δοκιµίου α) µε προσοµοίωση των διατµητικών παραµορφώσεων, β) χωρίς προσοµοίωση των διατµητικών παραµορφώσεων, γ) Εικόνα αστοχίας πειραµατικού δοκιµίου SC3. Στο Σχήµα (8.5.4) δίνονται οι βρόχοι υστέρησης σε όρους ροπών-καµπυλοτήτων της ακραίας διατοµής του εξεταζόµενου δοκιµίου, όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Είναι σαφές ότι η καµπτική συµπεριφορά παραµένει ελαστική, αφού η ροπή που αναπτύχθηκε στην ακραία διατοµή δεν υπερβαίνει ποτέ την αντοχή σε καµπτική διαρροή. Η πρόβλεψη αυτή συµβαδίζει µε τις πειραµατικές παρατηρήσεις των Aboutaha et al. (1999) οι οποίοι διαπίστωσαν ότι οι παραµορφώσεις των διαµήκων οπλισµών δεν υπερέβησαν το 75% της παραµόρφωσης διαρροής. Στο αναλυτικό µοντέλο οι διαµήκεις οπλισµοί ανέπτυξαν το 83% της αντοχής διαρροής τους. Ροπή (knm) Moment (knm) 500 0-500 -0.01-0.005 0 0.005 Καµπυλότητα (rad/m) Curvature (rad/m) 0.01 Σχήµα 8.5.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων στην ακραία διατοµή του δοκιµίου SC3, όπως προέκυψαν από το αναλυτικό µοντέλο. ---0-----===---- ---275--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.5.5α) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση τέµνουσας δύναµηςδιατµητικής παραµόρφωσης, όπως προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο στο άκρο του δοµικού στοιχείου, ενώ στο Σχήµα (8.5.5β) παρουσιάζεται η ίδια σχέση στο µέσο του. Παρατηρείται ότι οι δύο συµπεριφορές είναι πανοµοιότυπες. Αυτό είναι και το αναµενόµενο, αφού δεν λαµβάνει χώρα αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης από τη στιγµή που δεν διαρρέει ο καµπτικός οπλισµός. Στους βρόχους αυτούς παρατηρείται ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις µετά τη διατµητική ρηγµάτωση αυξάνονται µε πολύ ταχύτερο ρυθµό µέχρι και τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού (γ=0.49%). Μετά τη διαρροή των συνδετήρων η δυστµησία γίνεται σχεδόν µηδενική, αλλά το στοιχείο διατηρεί την πλευρική αντοχή του µέχρι και τη διατµητική παραµόρφωση που αντιστοιχεί στην έναρξη της διατµητικής αστοχίας (γ=1.8%). 500 500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0-500 -0.02-0.01 0 0.01 0.02 ιατµητική Distortion παραµόρφωση -500-0.02-0.01 0 0.01 0.02 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (α) (β) Σχήµα 8.5.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ στο άκρο του πειραµατικού δοκιµίου, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ στο µέσο του πειραµατικού δοκιµίου SC3. Στη συνέχεια, στο Σχήµα (8.5.6) δίνεται η εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του δοκιµίου για συγκεκριµένες τιµές της επιβαλλόµενης µετακίνησης στην κορυφή του δοκιµίου, όπως προκύπτει από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Είναι σαφές ότι η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη κατά µήκος του δοκιµίου σε ολόκληρο το εύρος της ανάλυσης. Στο Σχήµα (8.5.7) δίνεται η σχέση ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου, όπως προέκυψε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Σε συµφωνία και µε την κάµψη, η ολισθητική συµπεριφορά παρέµεινε ελαστική σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης. Η µέγιστη αναπτυσσόµενη στροφή στη βάση του δοκιµίου από την ολίσθηση της αγκύρωσης προέκυψε ίση µε 0.0016rad. ---0-----===---- ---276--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ % ύψους % Column υποστυλώµατος Height 100 80 60 40 20 =6.0mm =9.7mm =15.7mm =29.7mm 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (%) (%) Σχήµα 8.5.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου. 500 Moment Ροπή (knm) 0-500 -2-1 0 1 2 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) x 10-3 Σχήµα 8.5.7: Αναλυτική σχέση ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του δοκιµίου SC3 όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Στα Σχήµατα (8.5.8α), (8.5.8β) και (8.5.8γ) παρουσιάζονται οι υστερητικές σχέσεις τέµνουσας δύναµης-µετακίνησης που αναπτύχθηκε στην κορυφή του δοκιµίου εξαιτίας αντίστοιχα των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων που αναπτύχθηκαν σε ολόκληρο το ύψος του δοκιµίου. Οι µέγιστες τιµές αυτών των µετακινήσεων είναι αντίστοιχα 3.5mm, 21.1mm και 2mm (όχι στην ίδια φορά φόρτισης). Είναι σαφές ότι η καµπτική και η ολισθητική σχέση παραµένουν ελαστικές, ενώ η διατµητική είναι τελείως ανάλογη της σχέσης τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης κατά µήκος του δοκιµίου. Στo Σχήµα (8.5.9) δίνεται η συµµετοχή των τριών µηχανισµών παραµόρφωσης στην συνολική µετακίνηση του δοµικού στοιχείου όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Από το συγκεκριµένο σχήµα διαπιστώνεται ότι λίγο πριν την διατµητική αστοχία οι καµπτικές παραµορφώσεις διαµορφώνουν µόνο το 13% της µετακίνησης του δοκιµίου, οι ολισθητικές περίπου το 7% και οι διατµητικές το 80%. Είναι σαφές ότι οι διατµητικές µετακινήσεις κυριαρχούν στη συµπεριφορά του εξεταζόµενου δοκιµίου. ---0-----===---- ---277--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 500 500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0-500 -4-2 0 2 4 Καµπτική Flexural Displacement µετακίνηση (mm) 500 (α) -500-20 -10 0 10 20 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (β) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 0-500 -2-1 0 1 2 Μετακίνηση Bond-Slip Displacement ολίσθησης (mm) (γ) Σχήµα 8.5.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων για το πειραµατικό δοκίµιο SC3. Displacement Μετακίνηση (mm) 30 20 10 0-10 -20 Shear ιάτµηση Slip Ολίσθηση Flexure Κάµψη -30 0 100 200 300 400 500 600 Βήµα φόρτισης Step Σχήµα 8.5.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου SC3, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο. ---0-----===---- ---278--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.5.10) παρουσιάζεται η εξέλιξη των επιµέρους (καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού) καθώς και του συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του δοκιµίου. Παρατηρείται ότι ο διατµητικός δείκτης επικρατεί πλήρως στη συνολική βλάβη του δοκιµίου, γεγονός που συµπίπτει µε τις πειραµατικές παρατηρήσεις. Στο πέρας του πειράµατος, ο διατµητικός και ο συνολικός δείκτης γίνονται ίσοι µε τη µονάδα (D shear =D tot =1) γεγονός που αποδεικνύει την διατµητική αστοχία του δοκιµίου. Ο καµπτικός και ο ολισθητικός δείκτης παραµένουν αµελητέοι (2.3% και 0.5%), αφού το δοκίµιο δεν διέρρευσε καµπτικά. Στο Σχήµα (8.5.11) γίνεται σύγκριση των τιµών του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης Park-Ang. ιαπιστώνεται ότι η τελική τιµή του δείκτη Park-Ang προκύπτει ίση µε 0.40. Η τιµή αυτή είναι σηµαντικά µικρότερη της µονάδας που αντιστοιχεί στην αστοχία. Συνεπώς, ο προτεινόµενος δείκτης βλάβης περιγράφει µε καλύτερο τρόπο την κατάσταση βλάβης του εξεταζόµενου στοιχείου. Damage είκτης Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 Καµπτικός Flexural ιατµητικός Shear Ολισθητικός Slip Συνολικός Total 0.2 0 0 100 200 300 400 500 600 700 Βήµα Step φόρτισης Σχήµα 8.5.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου SC3. 1 0.8 Proposed Προτεινόµενος D.I. Park-Ang D.I. Damage είκτης Βλάβης Index 0.6 0.4 0.2 0 0 100 200 300 400 500 600 700 Βήµα Step φόρτισης Σχήµα 8.5.11: Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο SC3. ---0-----===---- ---279--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.6 Πειραµατικό οκίµιο R5 (Ma et al. 1976) 8.6.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου Οι Ma et al. (1976) εξέτασαν 9 στοιχεία Ο/Σ, αντιπροσωπευτικά των δοκών χαµηλών ορόφων ενός εικοσαώροφου πλαισιακού φορέα, σε µονοαξονική ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων προκειµένου να µελετήσουν τη συµπεριφορά αυτών των στοιχείων στις κρίσιµες περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων. Μεταξύ των άλλων παραµέτρων, εξετάστηκε και η επιρροή της στάθµης της επιβαλλόµενης διατµητικής τάσης στην υστερητική συµπεριφορά των δοκιµίων. Εδώ εξετάζεται το δοκίµιο µε την κωδική ονοµασία R5. Το δοκίµιο αυτό ήταν πρόβολος ορθογωνικής διατοµής µήκους 978mm, πλάτους 228mm και ύψους 406mm (Σχήµα 8.6.1α). Ο διαµήκης οπλισµός αποτελούνταν από 4 άνω και 4 κάτω ράβδους διαµέτρου 19mm. Ο εγκάρσιος οπλισµός αποτελούνταν από συνδετήρες διαµέτρου 6.3mm σε αποστάσεις των 89mm µε τη διάταξη του Σχήµατος (8.6.1β). Το ογκοµετρικό ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού ήταν 3.1. Η αντοχή του σκυροδέµατος ήταν ίση µε 31.5MPa, ενώ η τάση διαρροής του διαµήκους και εγκάρσιου οπλισµού ήταν αντίστοιχα 452MPa και 413MPa. Ο διαµήκης οπλισµός αγκυρώθηκε σε µπλοκ σκυροδέµατος µε τη χρήση κατάλληλου άγκιστρου 180 ο. Το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης ήταν περίπου ίσο µε 600mm. Ο εγκάρσιος οπλισµός στην περιοχή της αγκύρωσης τοποθετήθηκε αρχικά ανά 101mm και στη συνέχεια ανά 127mm (Σχήµα 8.6.1α). Η φόρτιση περιλάµβανε κάποιους αρχικούς κύκλους µε βάση τις δυνάµεις (force-controlled loading) µέχρι και τη µετακίνηση διαρροής, ενώ στη συνέχεια περιλάµβανε κύκλους επιβαλλόµενων µετακινήσεων (displacement-controlled loading) για σταδιακά αυξανόµενες τιµές της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων µέχρι και την τιµή µ =4. Το ιστορικό της επιβαλλόµενης φόρτισης/µετακίνησης παρουσιάζεται στο Σχήµα (8.6.1γ). Σηµειώνεται σε αυτό το σηµείο ότι επειδή για το συγκεκριµένο δοκίµιο δε βρέθηκε το εισαγόµενο ιστορικό φόρτισης σε ψηφιακή µορφή, χρησιµοποιήθηκε κατάλληλο πρόγραµµα επεξεργασίας και ψηφιοποίησης εικόνας. Σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, µικρές διαφοροποιήσεις από την πραγµατική ιστορία των επιβαλλόµενων µετακινήσεων είναι αναπόφευκτες. ---0-----===---- ---280--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ D6.3/127mm D6.3/89mm 19mm 406 406 6.3mm/89mm D6.3/101mm 8D19 978 228 (α) (β) 50 Displacement Μετακίνηση (mm) (mm) 0 0 100 200 300 400 500 600 700-50 Βήµα Loading φόρτισης Step (γ) Σχήµα 8.6.1: Πειραµατικό δοκίµιο R5 των Ma et al. (1976) α) Τοµή δοκιµίου, β) Τυπική διατοµή, γ) Ιστορικό φόρτισης. 8.6.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο. Στο Σχήµα (8.6.2α) παρουσιάζεται η αναλυτική καµπύλη που προέκυψε από την ανάλυση ροπών-καµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής του δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης. Η διγραµµική καµπύλη που επιλέχθηκε δεν προσοµοιώνει µε το βέλτιστο τρόπο την αναλυτική. Ωστόσο µε αυτήν την καµπύλη προέκυψε καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα σε σχέση µε τη διγραµµική καµπύλη που στηρίζεται στην παραδοχή της εξίσωσης των εµβαδών, όπως περιγράφεται στο Κεφάλαιο 3 της διατριβής. Επιπλέον, παρόλο που το ισοδύναµο σηµείο διαρροής της διγραµµικής καµπύλης δεν ταυτίζεται µε το σηµείο της πρώτης διαρροής του διαµήκους οπλισµού, θεωρήθηκε στην ανάλυση του παρόντος δοκιµίου ότι το µήκος των ανελαστικών καµπτικών ζωνών ---0-----===---- ---281--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ καθορίζεται από το σηµείο της πρώτης διαρροής του διαµήκους οπλισµού µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται ένα µικρό άλµα στον υπολογισµό του συγκεκριµένου µήκους µετά την ισοδύναµη καµπτική διαρροή της ακραίας διατοµής του δοκιµίου. Τα προηγούµενα επαναφέρουν το κρίσιµο ζήτηµα της βέλτιστης διγραµµικοποίησης της καµπύλης Μ-φ των ακραίων διατοµών των στοιχείων Ο/Σ στο πλαίσιο των αναλύσεων µε πεπερασµένα στοιχεία κατανεµηµένης ευκαµψίας. Στην εξαγωγή της αναλυτικής καµπύλης χρησιµοποιήθηκε ως κρίσιµο κριτήριο καµπτικής αστοχίας η πτώση της αντοχής της ακραίας ίνας του σκυροδέµατος στο 85% της µέγιστης τιµής. Το κριτήριο αυτό, αν και κατά κανόνα συντηρητικό, χρησιµοποιήθηκε γιατί ήταν το πλησιέστερο στη µέγιστη καµπτική απαίτηση που αναπτύχθηκε στο πειραµατικό δοκίµιο. Συνεπώς, µε αυτόν τον τρόπο προσοµοιώνεται µε καλύτερο τρόπο η συµπεριφορά του δοκιµίου µέχρι και την ανάπτυξη της µέγιστης καµπτικής αντοχής του. Moment Ροπή (knm) 250 200 150 100 50 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) 250 (α) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 300 250 200 150 100 50 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) 200 Moment Ροπή (knm) 150 100 50 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) (γ) Σχήµα 8.6.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θslip αγκύρωσης του δοκιµίου R5. Στο Σχήµα (8.6.2β) παρουσιάζεται η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης του δοκιµίου. Η περιβάλλουσα αυτή προέκυψε για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής µε τον άξονα του στοιχείου θ=45 ο, καθώς αυτή η παραδοχή έδωσε τη καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα και επιπλέον βρίσκεται σε ικανοποιητική συµφωνία µε την πειραµατική εικόνα αστοχίας του συγκεκριµένου δοκιµίου. Επιπρόσθετα, για καλύτερη σύγκλιση µε την πειραµατική συµπεριφορά, χρησιµοποιήθηκε για τη διατµητική αντοχή ο µειωτικός συντελεστής ---0-----===---- ---282--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 0.85 που προτείνεται από τους Priestley et al. (1996) για την περίπτωση του σχεδιασµού νέων δοµικών στοιχείων έναντι τέµνουσας και ο οποίος θεωρείται ότι προσδιορίζει το κάτω όριο ασφαλούς πρόβλεψης της διατµητικής αντοχής από το συγκεκριµένο µοντέλο. Με τον τρόπο αυτόν η διατµητική αντοχή του δοκιµίου πριν την αποµείωση για την καµπτική διαρροή προέκυψε ίση µε 276kN. Η τιµή της, χωρίς τον µειωτικό συντελεστή είναι ίση µε 322kN. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η διατµητική αντοχή που προκύπτει για το συγκεκριµένο δοκίµιο από τα αντίστοιχα µοντέλα των Sezen & Moehle (2004) και Biskinis et al. (2004) είναι ίση µε 301kN και 214kN αντίστοιχα Η διατµητική παραµόρφωση στην έναρξη διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού και στην έναρξη της διατµητικής αστοχίας προέκυψε ίση µε 0.7% και 3.5% αντίστοιχα. Οι τιµές αυτές προέκυψαν, οµοίως, για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής θ=45 ο. 230 115 Τέµνουσα Shear (kn) 0-40 -30-20 -10 0 10 20 30 40-115 Ανάλυση Πείραµα -230 Displacement Μετακίνηση (mm) (α) (β) Σχήµα 8.6.3: α) Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου, β) Εικόνα αστοχίας πειραµατικού δοκιµίου R5. Στο Σχήµα (8.6.2γ) παρουσιάζεται η περιβάλλουσα καµπύλη ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης στη βάση του παρόντος δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης και η οποία προσεγγίζει µε ικανοποιητική ακρίβεια την ---0-----===---- ---283--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ πραγµατική. Η στροφή εξαιτίας της ολίσθησης προκύπτει ίση µε 0.0018rad στη διαρροή και 0.027rad στην καµπτική αστοχία. Σηµειώνεται ότι η τελευταία τιµή αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία και όχι στην αστοχία της αγκύρωσης. Η µέγιστη ικανότητα παραµόρφωσης της αγκύρωσης, που θα χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό του ολισθητικού δείκτη βλάβης, προέκυψε για την παραµόρφωση αστοχίας του διαµήκους οπλισµού ίση µε 0.054rad. Η µέση συνάφεια στην ελαστική περιοχή που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή της καµπύλης Μ-θ slip προέκυψε περίπου ίση µε 6.2MPa, ενώ η µέση συνάφεια στην ανελαστική περιοχή λήφθηκε ίση µε 3.8MPa. Στο Σχήµα (8.6.3α) παρουσιάζεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης κορυφής (V- ) του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και της πειραµατικής καταγραφής. Το αναλυτικό µοντέλο προσοµοιώνει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πειραµατική συµπεριφορά. Επιπρόσθετα, το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει τη διατµητική αστοχία (Σχήµα 8.6.3β) του πειραµατικού δοκιµίου η οποία λαµβάνει χώρα για απαίτηση πλαστιµότητας του δοκιµίου ίση µε µ =4. Παρατηρείται µικρή υπερεκτίµηση της καµπτικής αντοχής στη µετακίνηση διαρροής στη θετική πλευρά φόρτισης του δοκιµίου η οποία οφείλεται εν µέρει και στη διγραµµικοποίηση της καµπύλης Μ-φ της ακραίας διατοµής του δοκιµίου. Η σηµαντικότερη διαφοροποίηση σε σχέση µε την πειραµατική συµπεριφορά, ωστόσο, παρατηρείται στους κλάδους επαναφόρτισης του δοκιµίου. Η διαφοροποίηση αυτή οφείλεται στην υποεκτίµηση της στένωσης των βρόχων υστέρησης της διατµητικής αλλά και καµπτικής και ολισθητικής συµπεριφοράς, όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια. Αποτέλεσµα της διαφοροποίησης αυτής στους κλάδους επαναφόρτισης είναι το αναλυτικό µοντέλο να υπερεκτιµά αξιοσηµείωτα την ικανότητα του στοιχείου για έκλυση υστερητικής ενέργειας. Στο Σχήµα (8.6.4α) δίνονται οι βρόχοι υστέρησης σε όρους ροπών-καµπυλοτήτων της ακραίας διατοµής του εξεταζόµενου δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο, ενώ στο Σχήµα (8.6.4β) δίνονται οι ίδιοι βρόχοι όπως καταγράφηκαν πειραµατικά στην περιοχή της αναπτυσσόµενης πλαστικής άρθρωσης. Moment Ροπή (knm) 200 100 0-100 Ροπή (kip-in) Ροπή (kips) Καµπυλότητα (1/in) 10-3 -200-0.1-0.05 0 0.05 0.1 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) (α) (β) Σχήµα 8.6.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων α) Στην ακραία διατοµή του δοκιµίου R5 από το αναλυτικό µοντέλο, β) Στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή. ---0-----===---- ---284--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Η µέγιστη καµπυλότητα του αναλυτικού µοντέλου είναι ίση µε 0.085rad/m και στις δύο διευθύνσεις. Η αντίστοιχη µέση τιµή στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή είναι ίση µε 0.115rad/m (µετά από αναγωγή στο ίδιο σύστηµα µονάδων). Η σύγκλιση των δύο τιµών µπορεί να θεωρηθεί ως ικανοποιητική, αν ληφθεί υπόψη η µεγάλη διασπορά που χαρακτηρίζει το συγκεκριµένο παραµορφωσιακό µέγεθος. Σηµειώνεται, επιπλέον, ότι οι συγκεκριµένοι βρόχοι Μ-φ της πειραµατικής καταγραφής παρουσιάζουν ένα βαθµό στένωσης γύρω από την αρχή των αξόνων που σίγουρα επηρεάζει και τη στένωση των βρόχων τέµνουσας δύναµηςσυνολικής µετακίνησης. Η στένωση αυτή δε χαρακτηρίζει κατά κανόνα τη συµπεριφορά των βρόχων Μ-φ και δεν έχει ενταχθεί στο προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Στο Σχήµα (8.6.5α) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση τέµνουσας δύναµηςδιατµητικής παραµόρφωσης όπως προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης, ενώ στο Σχήµα (8.6.5β) παρουσιάζεται η ίδια σχέση εκτός της πλαστικής άρθρωσης. ιαπιστώνεται ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης είναι κατά πολύ µεγαλύτερες σε σχέση µε αυτές που αναπτύσσονται εκτός της ανελαστικής ζώνης. Η διαφοροποίηση αυτή οφείλεται στο φαινόµενο της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης εντός της ανελαστικής περιοχής που αρχικά συνέβαλε στη σταδιακή µείωση της δυστµησίας σε αυτήν την περιοχή και στη συνέχεια οδήγησε στη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού που ακολουθήθηκε µε τη σειρά της από ραγδαία αύξηση των διατµητικών παραµορφώσεων. Η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση στην ανελαστική ζώνη προέκυψε ίση µε 3.5% που αντιστοιχεί στην παραµόρφωση τη στιγµή της έναρξης της διατµητικής αστοχίας. Η διατµητική υστερητική συµπεριφορά εντός της πλαστικής άρθρωσης χαρακτηρίζεται από σηµαντική στένωση γύρω από την περιοχή της αρχής των αξόνων. Αντίθετα η διατµητική υστερητική συµπεριφορά εκτός της ανελαστικής ζώνης προσεγγίζει αρκετά τη γραµµική ελαστική συµπεριφορά. Στο Σχήµα (8.6.5γ) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση V-γ όπως αυτή καταγράφηκε πειραµατικά εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης. Από τη σύγκριση µε τα αποτελέσµατα του αναλυτικού µοντέλου προκύπτει ότι η διατµητική παραµόρφωση που αναπτύχθηκε πειραµατικά εντός της ανελαστικής περιοχής κατά την έναρξη της διατµητικής αστοχίας ( 38 ) είναι πολύ κοντά σε αυτήν που προέβλεψε το αναλυτικό µοντέλο. Υπενθυµίζεται ότι στην παρούσα διατριβή το σηµείο έναρξης της διατµητικής αστοχίας θεωρείται ότι συµπίπτει µε την έναρξη σηµαντικής απώλειας της πλευρικής αντοχής. Οι πειραµατικοί διατµητικοί βρόχοι του συγκεκριµένου δοκιµίου χαρακτηρίζονται από πολύ έντονη στένωση γύρω από την περιοχή των αξόνων (οι κλάδοι στα πρώτα στάδια της επαναφόρτισης έχουν σχεδόν µηδενική δυστµησία). Το αναλυτικό µοντέλο δεν εκτίµησε ικανοποιητικά τη στένωση των πειραµατικών διατµητικών βρόχων γεγονός που συνέβαλε σηµαντικά και στη διαφοροποίηση στους κλάδους επαναφόρτισης της πρόβλεψης του αναλυτικού µοντέλου και της µετρηθείσας πειραµατικής συµπεριφοράς σε όρους πλέον τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης. Η συγκεκριµένη διαφοροποίηση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα θα µπορούσε ενδεχοµένως να ελαχιστοποιηθεί αν στον κανόνα που καθορίζει την επαναφόρτιση του υστερητικού διατµητικού µοντέλου λαµβανόταν υπόψη το γεγονός ότι και η V cr µειώνεται σταδιακά µε την επιβαλλόµενη, ανελαστική καµπτική παραµόρφωση στην περιοχή των πλαστικών αρθρώσεων. ---0-----===---- ---285--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 300 300 200 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 Τέµνουσα Shear (kn) 100 0-100 -200-200 -300-0.04-0.02 0 0.02 0.04 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (α) -300-0.04-0.02 0 0.02 0.04 ιατµητική Distortion παραµόρφωση ιατµητική µετακίνηση δ sh (in) (β) Τέµνουσα (kips) ιατµητική παραµόρφωση 10-3 ιατµητική µετακίνηση δ sh (in) (γ) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 300 200 100 0-100 -200 Απαίτηση Demand Ικανότητα Capacity -300-0.1-0.05 0 0.05 0.1 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) (1/m) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 300 200 100 0-100 -200 Aρχική Undegraded περιβάλλουσα Envelope Undegraded Envelope -300 Shear ιατµητικός Hysteresis βρόχος -0.04-0.02 0 0.02 0.04 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (δ) (ε) Σχήµα 8.6.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, ε) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο R5. ---0-----===---- ---286--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.6.5δ) δίνεται η σύγκριση της απαιτούµενης και της διαθέσιµης αντοχής σε τέµνουσα δύναµη ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας στην κρίσιµη διατοµή του πειραµατικού δοκιµίου, όπως αυτή προσδιορίζεται από το µοντέλο των Priestley et al. (1996). Από το σχήµα αυτό επιβεβαιώνεται το γεγονός ότι το εφαρµοζόµενο µοντέλο διατµητικής αντοχής προβλέπει την έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού (επίτευξη µέγιστης διατµητικής αντοχής) που οδήγησε στη συνέχεια και στην ανάπτυξη της διατµητικής αστοχίας. Στο Σχήµα (8.6.5ε), παρουσιάζεται η υστερητική διατµητική συµπεριφορά της ακραίας διατοµής ταυτόχρονα µε την αρχική µη-υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη V-γ. Λόγω της προσοµοίωσης του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, η πραγµατική υστερητική συµπεριφορά διαχωρίζεται από την αρχική περιβάλλουσα καµπύλη µετά την καµπτική διαρροή και πιο συγκεκριµένα µετά την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µ φ =3. Μετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού η περιβάλλουσα καµπύλη της υστερητικής συµπεριφοράς και η αρχική µηυποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη συνεχίζουν σχεδόν παράλληλες µεταξύ τους. Στη συνέχεια, στο Σχήµα (8.6.6) δίνεται η εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του δοκιµίου για διάφορες τιµές της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων, όπως προβλέπεται από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Για πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου. Καθώς η πλαστιµότητα αυξάνεται από µ =1 σε µ =3 οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της ανελαστικής ζώνης αυξάνονται πολύ πιο έντονα από ό,τι αυξάνονται εκτός (µε αποτέλεσµα το χαρακτηριστικό άλµα του σχήµατος), ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται και το εύρος αυτής της ανελαστικής περιοχής. Από πλαστιµότητα µ =3 σε απαίτηση πλαστιµότητας µ =4 οι διατµητικές παραµορφώσεις εξακολουθούν να αυξάνονται, ωστόσο, το µήκος της ανελαστικής ζώνης παραµένει σχεδόν σταθερό, αφού η µέγιστη αναπτυσσόµενη καµπτική ροπή στο άκρο της δοκού περιορίζεται πλέον από τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού (σχεδόν οριζόντιος κλάδος V-γ). Στο Σχήµα (8.6.7) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης της αγκύρωσης του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου, όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Η µέγιστη αναπτυσσόµενη στροφή στη βάση του δοκιµίου από την ολίσθηση της αγκύρωσης προέκυψε ίση µε 1.1%. Για το εξεταζόµενο πειραµατικό δοκίµιο δεν διατίθενται οι πειραµατικοί υστερητικοί βρόχοι ροπήςστροφής ολίσθησης της αγκύρωσης. Ωστόσο, από άλλα δοκίµια της ίδιας σειράς πειραµάτων (Ma et al., 1976) διαπιστώνεται ότι και οι βρόχοι Μ-θ slip αναπτύσσουν στένωση γύρω από την αρχή των αξόνων, κάτι που δεν προβλέπεται στο παρόν αναλυτικό µοντέλο, γεγονός που σε κάποιο βαθµό συνέβαλε και αυτό στη στένωση της υστερητικής συµπεριφοράς τέµνουσας-συνολικής µετακίνησης του εξεταζόµενου στοιχείου. Στα Σχήµατα (8.6.8α), (8.6.8β) και (8.6.8γ) παρουσιάζονται οι υστερητικές σχέσεις τέµνουσας δύναµης-µετακίνησης που αναπτύχθηκε στην κορυφή του δοκιµίου εξαιτίας αντίστοιχα των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων που αναπτύχθηκαν σε ολόκληρο το ύψος του δοκιµίου. Οι µέγιστες τιµές αυτών των µετακινήσεων είναι αντίστοιχα 16.2mm, 11.4mm και 10.7mm (όχι στην ίδια φορά φόρτισης). Στο Σχήµα (8.6.8δ) παρουσιάζεται η σχέση δύναµης-µετακίνησης κορυφής ---0-----===---- ---287--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ εξαιτίας των διατµητικών παραµορφώσεων, όταν δεν λαµβάνεται υπόψη στο προτεινόµενο µοντέλο η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Η µέγιστη µετακίνηση σε αυτήν την περίπτωση είναι 4.4mm. Συνεπώς, η προσοµοίωση του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης οδήγησε σε 160% αύξηση των προβλεπόµενων διατµητικών µετακινήσεων στην κορυφή του δοκιµίου. % ύψους % Column υποστυλώµατος Height 100 80 60 40 20 µ =1 µ µ =2 µ µ =3 µ µ =4 µ =4 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (%) (%) Σχήµα 8.6.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου R5. 200 Moment Ροπή (knm) 100 0-100 -200-0.01 0 0.01 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) Σχήµα 8.6.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου R5, όπως προέκυψαν από το αναλυτικό µοντέλο. Στα Σχήµατα (8.6.9α) και (8.6.9β) δίνεται η συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων, όπως µετρήθηκε κατά την πειραµατική διαδικασία και όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Στο Σχήµα (8.6.9α) δ v, δ s, δ Μin και δ Μel είναι αντίστοιχα οι διατµητικές, ολισθητικές, καµπτικές ανελαστικές και καµπτικές ελαστικές µετακινήσεις. Στο συγκεκριµένο σχήµα διαπιστώνεται ότι οι καµπτικές παραµορφώσεις διαµορφώνουν το 40% της µετακίνησης του δοκιµίου στην αστοχία, οι ολισθητικές περίπου το 24% και οι διατµητικές το 36%. ---0-----===---- ---288--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Αξίζει, βέβαια, να σηµειωθεί το σηµαντικό ποσοστό του σφάλµατος που σηµειώνεται από τους συγκεκριµένους ερευνητές. 200 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 -200-20 -10 0 10 20 Καµπτική Flexural Displacement µετακίνηση (mm) (α) -200-20 -10 0 10 20 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (β) 200 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-100 -200-20 -10 0 10 20 Μετακίνηση Bond-Slip Displacement ολίσθησης (mm) -200-20 -10 0 10 20 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (γ) (δ) Σχήµα 8.6.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής λόγω α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης για το δοκίµιο R5. Αρκετά κοντά βρίσκονται και οι προβλέψεις από το αναλυτικό µοντέλο. Οι καµπτικές µετακινήσεις συµµετέχουν κατά 40%, οι διατµητικές 31% και οι ολισθητικές 29% στη συνολική µετακίνηση αστοχίας. Αξίζει, επίσης, να σηµειωθεί ότι το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει και την απότοµη αύξηση των διατµητικών µετακινήσεων που λαµβάνει χώρα καθώς η επιβαλλόµενη απαίτηση πλαστιµότητας αυξάνεται από 3 σε 4 και σχετίζεται µε τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Στις πειραµατικές καταγραφές οι διατµητικές µετακινήσεις αυξάνονται από 6.5mm σε 13mm. Στο αναλυτικό µοντέλο η αύξηση µεταξύ των κύκλων φόρτισης 50 και 62 είναι από 7.3mm σε 11.4mm. Στο Σχήµα (8.6.10) παρουσιάζεται η εξέλιξη των επιµέρους (καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού) καθώς και του συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη διάρκεια της φόρτισης του εξεταζόµενου δοκιµίου. Παρατηρείται ότι ο καµπτικός και ο ολισθητικός δείκτης βλάβης συµµετέχουν σε µικρό βαθµό στη συνολική βλάβη του στοιχείου. Αντίθετα, ο διατµητικός δείκτης βλάβης αυξάνεται σηµαντικά µετά τον 52 ο κύκλο φόρτισης συµπαρασύροντας µαζί του και τον συνολικό δείκτη βλάβης. Στο πέρας της ανάλυσης, τόσο ο διατµητικός όσο και ο συνολικός δείκτης βλάβης γίνονται ίσοι µε τη µονάδα ---0-----===---- ---289--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Σφάλµα µέτρησης Μετακίνηση (mm) (Κάµψη) (Ολίσθηση) ( ιάτµηση) Displacement Μετακίνηση (mm) 40 20 0-20 Shear ιάτµηση Slip Ολίσθηση Flexure Κάµψη (α) -40 0 200 400 600 Βήµα φόρτισης Step (β) Σχήµα 8.6.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµόρφωσης στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου R5, όπως α) µετρήθηκε πειραµατικά, β) προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο. είκτης Damage Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 Flexural Καµπτικός ιατµητικός Shear Ολισθητικός Slip Συνολικός Total 0.2 0 0 200 400 600 800 Βήµα Step φόρτισης Σχήµα 8.6.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου R5. ---0-----===---- ---290--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.6.11α) γίνεται σύγκριση των τιµών του διατµητικού δείκτη βλάβης, όταν λαµβάνεται και όταν δεν λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης (D shear και D shear2 αντίστοιχα) και οι αντίστοιχες τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης (D tot και D tot2 αντίστοιχα). Παρατηρείται ότι η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης οδηγεί σε σηµαντικότατη υποεκτίµηση του διατµητικού δείκτη βλάβης (0.07 αντί για 1.00) και επειδή αυτός ο δείκτης καθορίζει τον συνολικό δείκτη, η διαφοροποίηση του τελευταίου είναι εξίσου σηµαντική (0.35 αντί για 1.00). Στο Σχήµα (8.6.11β) γίνεται σύγκριση των τιµών του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang. ιαπιστώνεται ότι η τελική τιµή του δείκτη των Park-Ang προκύπτει ίση µε 0.61, αρκετά πιο µικρή της µονάδας που αντιστοιχεί στην αστοχία, δίνοντας µε αυτόν τον τρόπο εσφαλµένη εντύπωση για την πραγµατική κατάσταση βλάβης του δοκιµίου στο πέρας της ανακυκλιζόµενης φόρτισης. Σηµειώνεται ότι και σε αυτήν την περίπτωση η γωνία στροφής χορδής στην αστοχία προσδιορίστηκε µε βάση το ισοδύναµο µήκος πλαστικής άρθρωσης των Priestley et al. (1996). 1 0.8 D shear D shear2 1 0.8 Proposed Προτεινόµενος D.I. Park-Ang D.I. είκτης Damage Βλάβης Index 0.6 0.4 0.2 D tot D tot2 είκτης Damage Βλάβης Index 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 Βήµα φόρτισης Step 0 0 200 400 600 800 Βήµα φόρτισης Step (α) (β) Σχήµα 8.6.11: α) Σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο R5. ---0-----===---- ---291--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 8.7 Πειραµατικό οκίµιο HS2 (Ranzo & Priestley 2001) 8.7.1 Περιγραφή Πειραµατικού οκιµίου Οι Ranzo and Priestley (2001) εξέτασαν τη συµπεριφορά τριών κοίλων κυκλικών βάθρων Ο/Σ σε µονοαξονική ανακυκλιζόµενη φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων προκειµένου να µελετήσουν τη συµπεριφορά αυτών των στοιχείων σε διάφορες στάθµες επιβαλλόµενης διατµητικής τάσης. Στην παρούσα παράγραφο εξετάζεται το δοκίµιο µε την κωδική ονοµασία HS2. Το δοκίµιο αυτό σχεδιάστηκε, ώστε να αστοχήσει σε τέµνουσα µετά την ανάπτυξη της καµπτικής διαρροής. Το δοκίµιο ήταν πρόβολος κοίλης κυκλικής διατοµής διαµέτρου 1524mm, ύψους 3810mm (λόγος διάτµησης 2.54) και πάχους τοιχώµατος 140mm (Σχήµατα 8.7.1α,β). Ο διαµήκης οπλισµός αποτελούνταν από 68 ράβδους διαµέτρου 16mm τοποθετηµένες σε 34 δυάδες οµοιόµορφα κατανεµηµένες στην εξωτερική πλευρά του δοκιµίου. Το ογκοµετρικό ποσοστό του διαµήκους οπλισµού ήταν 2.3%. Ο εγκάρσιος οπλισµός αποτελούνταν από µονή κυκλική σπείρα διαµέτρου 6mm σε αποστάσεις των 70mm, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (8.7.1β). Το ογκοµετρικό ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού ήταν 3.5. Η αντοχή του σκυροδέµατος µετρήθηκε ίση µε 40MPa, ενώ η τάση διαρροής του διαµήκους και εγκάρσιου οπλισµού ήταν αντίστοιχα 450MPa και 635MPa. Στα Σχήµατα (8.7.1γ) και (8.7.1δ) παρουσιάζονται φωτογραφίες από την όπλιση του συγκεκριµένου δοκιµίου καθώς και από τη γεωµετρία του και την ενοργάνωσή του λίγο πριν την έναρξη της επιβαλλόµενης φόρτισης. Ο διαµήκης οπλισµός του κυκλικού βάθρου αγκυρώθηκε σε µπλοκ σκυροδέµατος µε τη χρήση κατάλληλου άγκιστρου 90 ο. Το ευθύγραµµο µήκος της αγκύρωσης ήταν περίπου ίσο µε 600mm. Ο εγκάρσιος οπλισµός του δοκιµίου συνεχίστηκε µε την ίδια διαµόρφωση και στην περιοχή της αγκύρωσης του διαµήκους οπλισµού. Η φόρτιση περιλάµβανε κάποιους αρχικούς κύκλους µε βάση τις δυνάµεις (forcecontrolled loading) µέχρι και τη µετακίνηση διαρροής, ενώ στη συνέχεια αποτελούνταν από κύκλους επιβαλλόµενης µετακίνησης (displacement-controlled loading) για βαθµιαία αυξανόµενες τιµές της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων. Το ιστορικό της επιβαλλόµενης φόρτισης/µετακίνησης παρουσιάζεται στο Σχήµα (8.7.1ε). Σηµειώνεται σε αυτό το σηµείο ότι επειδή για το συγκεκριµένο δοκίµιο δε βρέθηκε το εισαγόµενο ιστορικό φόρτισης σε ψηφιακή µορφή, χρησιµοποιήθηκε κατάλληλο πρόγραµµα επεξεργασίας και ψηφιοποίησης εικόνας σε συνδυασµό µε τις πληροφορίες που δίνονται από τους συγκεκριµένους ερευνητές. Σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, µικρές διαφοροποιήσεις από την πραγµατική ιστορία των επιβαλλόµενων µετακινήσεων είναι αναπόφευκτες. Σε όλη τη διάρκεια της φόρτισης ασκήθηκε σταθερή, αξονική θλιπτική δύναµη ίση µε 1216kN (ανηγµένο αξονικό φορτίο v=0.05). ---0-----===---- ---292--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 68D16 1524 3880 1244 3580 D6/90mm (α) (β) (γ) (δ) ---0-----===---- ---293--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ 150 100 Μετακίνηση (mm) Displacement (mm) 50 0-50 -100 0 100 200 300 400-150 Βήµα Loading φόρτισης Step (ε) Σχήµα 8.7.1: Πειραµατικό δοκίµιο HS2 των Ranzo & Priestley (2001) α) Τοµή δοκιµίου, β) Τυπική διατοµή, γ) Φωτογραφία όπλισης δοκιµίου, δ) Εικόνα δοκιµίου πριν την έναρξη της επιβαλλόµενης φόρτισης ε) Ιστορικό φόρτισης. 8.7.2 Αποτελέσµατα Τεκµηρίωσης µε το Προτεινόµενο Αναλυτικό Μοντέλο. Η ανάλυση Μ-φ του συγκεκριµένου δοκιµίου έγινε µε τη βοήθεια του προγράµµατος Response-2000 (Bentz, 2000), καθώς το πρόγραµµα RCCOLA δε διαθέτει τη δυνατότητα ανάλυσης βάθρων κοίλης-κυκλικής διατοµής. Στο Σχήµα (8.7.2α) παρουσιάζεται η αναλυτική καµπύλη που προέκυψε από την ανάλυση ροπώνκαµπυλοτήτων της κρίσιµης διατοµής του δοκιµίου. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη που θα χρησιµοποιηθεί για τους σκοπούς της ανάλυσης. Η καµπτική αστοχία θεωρήθηκε ότι συµπίπτει µε την πτώση της καµπτικής αντοχής περίπου στο 80% της µέγιστης αναπτυσσόµενης. Στο Σχήµα (8.7.2β) παρουσιάζεται η αρχική περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης-διατµητικής παραµόρφωσης του δοκιµίου. Η περιβάλλουσα αυτή προέκυψε για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής µε τον άξονα του στοιχείου θ=45 ο. Η συγκεκριµένη τιµή της γωνίας θ βρίσκεται σε καλή συµφωνία µε την πειραµατική εικόνα αστοχίας του συγκεκριµένου δοκιµίου. Επιπλέον, στον υπολογισµό της αρηγµάτωτης δυστµησίας GA, του µεριδίου σκυροδέµατος στη διατµητική αντοχή V c αλλά και στη τέµνουσα που αντιστοιχεί στη διατµητική ρηγµάτωση V cr ο όρος 0.80Α g αντικαταστάθηκε από τον όρο χ shear Α g, όπου ο συντελεστής σχήµατος χ shear υπολογίζεται από την Εξίσωση (8.7.1) για τις κοίλες κυκλικές διατοµές (Ranzo & Priestley 2001), όπου α k είναι ο λόγος της εσωτερικής προς την εξωτερική διάµετρο της κοίλης διατοµής. 2 ( 1+ α k) ( 1 α k) χ shear = 0.8 0.53 (8.7.1) 3 1 α ( ) Η διατµητική παραµόρφωση στην έναρξη διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού και στην έναρξη της διατµητικής αστοχίας προέκυψε ίση µε 0.8% και 1.3%, αντίστοιχα. Οι k ---0-----===---- ---294--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ συγκεκριµένες τιµές προέκυψαν και αυτές για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής θ=45 ο. Στο Σχήµα (8.7.2γ) παρουσιάζεται η εξιδανικευµένη διγραµµική καµπύλη ροπήςστροφής ολίσθησης της αγκύρωσης του δοκιµίου. Η στροφή εξαιτίας της ολίσθησης προκύπτει ίση µε 0.0003rad στη διαρροή και 0.0032rad στην καµπτική αστοχία. Σηµειώνεται ότι η τελευταία τιµή αντιστοιχεί στην καµπτική αστοχία και όχι στην αστοχία της αγκύρωσης. Η µέγιστη ικανότητα παραµόρφωσης της αγκύρωσης, που θα χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό του ολισθητικού δείκτη βλάβης, προέκυψε για την παραµόρφωση αστοχίας του διαµήκους οπλισµού ίση µε 0.011rad. Οι σχετικά µικρές τιµές των ροπών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου οφείλονται αφενός στην καλή ποιότητα του σκυροδέµατος και την επαρκή περίσφιξη στην περιοχή της αγκύρωσης και αφετέρου στο µεγάλο σχετικά στατικό ύψος της διατοµής του εξεταζόµενου δοκιµίου. Η µέση συνάφεια στην ελαστική περιοχή που χρησιµοποιήθηκε για την εξαγωγή της καµπύλης Μ-θ slip προέκυψε περίπου ίση µε 6.8MPa, ενώ η µέση συνάφεια στην ανελαστική περιοχή υπολογίστηκε 1.9MPa. 6000 2000 MOMENT Ροπή (knm) (MNm) 5000 4000 3000 2000 1000 Αναλυτική Exact ιγραµµική Bilinear 0 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Καµπυλότητα CURVATURE (rad/m) (rad/m) 6000 5000 (α) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1500 1000 500 0 0 0.005 0.01 0.015 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) Moment Ροπή (knm) 4000 3000 2000 1000 ιγραµµική Bilinear 0 0 1 2 3 4 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) x 10-3 (γ) Σχήµα 8.7.2: α) Περιβάλλουσα Μ-φ κρίσιµης διατοµής δοκιµίου, β) Αρχική περιβάλλουσα V-γ, γ) Περιβάλλουσα Μ-θslip αγκύρωσης του δοκιµίου HS2. Στο Σχήµα (8.7.3α) παρουσιάζεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης σε όρους τέµνουσας δύναµης-συνολικής µετακίνησης κορυφής (V- ) του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και της πειραµατικής καταγραφής. Το αναλυτικό µοντέλο ---0-----===---- ---295--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ προσοµοιώνει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πειραµατική συµπεριφορά. Επιπρόσθετα, το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει τη διατµητική αστοχία (Σχήµα 8.7.3β) του πειραµατικού δοκιµίου η οποία λαµβάνει χώρα για απαίτηση πλαστιµότητας του δοκιµίου λίγο µεγαλύτερη από 3. Τέµνουσα (kn) Shear (kn) 1600 1200 800 400 0-120 -80-40 0 40 80 120-400 -800-1200 -1600 Displacement Μετακίνηση (mm) (α) Ανάλυση Analysis Experiment Πείραµα (β) Σχήµα 8.7.3: α) Σύγκριση πειραµατικής και αναλυτικής σχέσης πλευρικού φορτίου- µετακίνησης κορυφής δοκιµίου, β) Εικόνα αστοχίας πειραµατικού δοκιµίου HS2. ---0-----===---- ---296--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Παρατηρείται ότι το αναλυτικό µοντέλο προσδιορίζει µε καλή ακρίβεια την ελαστική δυσκαµψία του πειραµατικού δοκιµίου, καθώς και την αντοχή του ειδικά στην αρνητική διεύθυνση της φόρτισης. Ικανοποιητικά επίσης προσοµοιώνονται οι κλάδοι επαναφόρτισης. Σηµαντική απόκλιση, ωστόσο, παρατηρείται στους κλάδους αποφόρτισης. Το αναλυτικό µοντέλο υπερτιµά τη δυσκαµψία των συγκεκριµένων κλάδων οδηγώντας αρχικά σε υπερεκτίµηση της παραµένουσας µετακίνησης µετά από την πλήρη αποφόρτιση του δοκιµίου και κατ επέκταση στην υπερεκτίµηση της ικανότητας του δοκιµίου για έκλυση υστερητικής ενέργειας. Στο Σχήµα (8.7.4α) δίνονται οι βρόχοι υστέρησης σε όρους ροπώνκαµπυλοτήτων της ακραίας διατοµής του εξεταζόµενου δοκιµίου όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο, ενώ στο Σχήµα (8.7.4β) δίνονται οι ίδιοι βρόχοι όπως καταγράφηκαν πειραµατικά στην περιοχή της αναπτυσσόµενης πλαστικής άρθρωσης.. 6000 4000 Moment Ροπή (knm) 2000 0-2000 -4000 Ροπή (knm) -6000-0.04-0.02 0 0.02 0.04 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) Καµπυλότητα (rad/km) (α) (β) Σχήµα 8.7.4: Υστερητικοί βρόχοι ροπών καµπυλοτήτων α) Στην ακραία διατοµή του δοκιµίου HS2 από το αναλυτικό µοντέλο, β) Στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης από την πειραµατική καταγραφή. Η µορφή του πειραµατικού και του αναλυτικού βρόχου βρίσκονται σε καλή σύµπτωση µέχρι και την έναρξη απώλειας πλευρικής αντοχής του εξεταζόµενου δοκιµίου. Η µέγιστη πειραµατικά καταγεγραµµένη καµπυλότητα για επιβαλλόµενη πλαστιµότητα µετακινήσεων βρίσκεται µεταξύ 0.017-0.02rad/m και στις δύο διευθύνσεις της φόρτισης. Η ίδια καµπυλότητα για το αναλυτικό µοντέλο προκύπτει ίση µε 0.018rad/m στην αρνητική φορά της φόρτισης και 0.013rad/m στη θετική. Η ασυµµετρία του αναλυτικού µοντέλου οφείλεται στη σηµαντική κράτυνση της περιβάλλουσας Μ-φ που υπολογίστηκε για το συγκεκριµένο δοκίµιο. Κατά τη φόρτιση προς τη µία πλευρά το µήκος ανελαστικοποίησης µπορεί να αυξηθεί σηµαντικά εντός ενός κύκλου φόρτισης εξαιτίας της σηµαντικής κράτυνσης. Στην αντίθετη φορά το καµπτικό υποστοιχείο διατηρεί το µέγιστο µήκος ανελαστικοποίησης σε όλα τα στάδια της φόρτισης (αποφόρτιση-επαναφόρτιση-φόρτιση) µε αποτέλεσµα να επιτυγχάνει την ίδια µέγιστη συνολική µετακίνηση στην αντίθετη φορά για µικρότερη τιµή της απαιτούµενης καµπυλότητας στην ακραία διατοµή. Στο Σχήµα (8.7.5α) παρουσιάζεται η υστερητική σχέση τέµνουσας δύναµηςδιατµητικής παραµόρφωσης όπως προκύπτει από το αναλυτικό µοντέλο εντός της ---0-----===---- ---297--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ περιοχής της πλαστικής άρθρωσης, ενώ στο Σχήµα (8.7.5β) παρουσιάζεται η ίδια σχέση εκτός της πλαστικής άρθρωσης. ιαπιστώνεται ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις εντός της περιοχής της πλαστικής άρθρωσης είναι σηµαντικά µεγαλύτερες σε σχέση µε αυτές που αναπτύσσονται εκτός της ανελαστικής ζώνης. Η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση στην ανελαστική ζώνη προέκυψε ίση µε 1.3% που αντιστοιχεί στην παραµόρφωση τη στιγµή της έναρξης της διατµητικής αστοχίας. Η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση στην περιοχή εκτός της ανελαστικής ζώνης είναι ίση µε 0.6%. Ειδικά στην αρνητική πλευρά της φόρτισης, στο βρόχο εντός της ανελαστικής ζώνης, είναι εµφανής η σύνθετη συµπεριφορά του δοκιµίου, η περιβάλλουσα καµπύλη του οποίου χαρακτηρίζεται από τέσσερις διαφορετικές κλίσεις. Την κλίση πριν τη διατµητική ρηγµάτωση, την κλίση µετά τη διατµητική ρηγµάτωση και πριν την καµπτική διαρροή, την κλίση µετά την καµπτική διαρροή και πριν τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού και τέλος την κλίση (σχεδόν µηδενική) µετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού. Αξίζει να σηµειωθεί επίσης η µη-συµµετρική συµπεριφορά του αναλυτικού µοντέλου στις δύο διευθύνσεις της φόρτισης εντός της πλαστικής άρθρωσης. Ενώ στην αρνητική πλευρά της φόρτισης η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση είναι ίση µε 1.3%, στη θετική πλευρά είναι µόλις 0.7%. Η διαφοροποίηση αυτή οφείλεται στις διαφορετικές απαιτήσεις πλαστιµότητας καµπυλοτήτων στις δύο διευθύνσεις της φόρτισης για τους λόγους που εξηγήθηκαν προηγουµένως. Σε περισσότερο συµµετρική συµπεριφορά θα οδηγούσε η παραδοχή ότι η πτώση της διατµητικής αντοχής που αναλαµβάνει το µερίδιο του σκυροδέµατος είναι κοινή και για τις δύο φορές της φόρτισης και καθορίζεται από τη µέγιστη απαιτούµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων που αναπτύχθηκε και στις δύο φορές. Στα Σχήµατα (8.7.5γ) και (8.7.5δ) παρουσιάζεται η διατµητική υστερητική συµπεριφορά εντός και εκτός της ανελαστικής περιοχής, όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Παρατηρείται η επίσης σηµαντική διαφοροποίηση εντός και εκτός της ανελαστικής ζώνης. Η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση εντός της ανελαστικής περιοχής στην αρνητική διεύθυνση της φόρτισης για επιβαλλόµενη πλαστιµότητα µετακινήσεων ίση µε 3 είναι ίση περίπου µε 1.2% που βρίσκεται πολύ κοντά στην πρόβλεψη του αναλυτικού µοντέλου. Στη θετική διεύθυνση η ίδια παραµόρφωση είναι περίπου ίση µε 0.9%. Παρατηρείται δηλαδή και πειραµατικά µία σχετική ασυµµετρία στη συµπεριφορά, σε µικρότερο βαθµό, ωστόσο, από την πρόβλεψη του αναλυτικού µοντέλου. Η µέγιστη διατµητική παραµόρφωση εκτός της πλαστικής περιοχής µετρήθηκε πειραµατικά περίπου ίση µε 0.4% που είναι λίγο µικρότερη από την πρόβλεψη του αναλυτικού µοντέλου. Στο Σχήµα (8.7.5ε) δίνεται η σύγκριση της απαιτούµενης και της διαθέσιµης αντοχής σε τέµνουσα δύναµη ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας στην κρίσιµη διατοµή του κυκλικού βάθρου, όπως αυτή προσδιορίζεται από το µοντέλο των Priestley et al. (1996). Από το σχήµα αυτό επιβεβαιώνεται το γεγονός ότι το εφαρµοζόµενο µοντέλο διατµητικής αντοχής προβλέπει την έναρξη της διαρροής του εγκάρσιου οπλισµού (επίτευξη µέγιστης διατµητικής αντοχής) που οδήγησε στη συνέχεια και στην ανάπτυξη της διατµητικής αστοχίας. ---0-----===---- ---298--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1500 1000 500 0-500 -1000-1500 -0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (α) Τέµνουσα Shear (kn) 1500 1000 500 0-500 -1000-1500 -0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 ιατµητική Distortion παραµόρφωση (β) Τέµνουσα (kn) αρνητική διεύθυνση θετική διεύθυνση Τέµνουσα (kn) αρνητική διεύθυνση θετική διεύθυνση ιατµητική παραµόρφωση (γ) ιατµητική παραµόρφωση (δ) 2000 2000 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1000 0-1000 Απαίτηση Demand Ικανότητα Capacity -2000-0.02-0.01 0 0.01 0.02 Καµπυλότητα Curvature (1/m) (rad/m) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1000 0-1000 Αρχική Undegraded περιβάλλουσα Envelope Undegraded Envelope ιατµητικός βρόχος Shear Hysteresis -2000-0.02-0.01 0 0.01 0.02 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (ε) (στ) Σχήµα 8.7.5: α) Αναλυτικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, β) αναλυτικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, γ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εντός της πλαστικής άρθρωσης, δ) πειραµατικοί βρόχοι V-γ εκτός της πλαστικής άρθρωσης, ε) σύγκριση απαιτούµενης και διαθέσιµης διατµητικής αντοχής ως συνάρτηση της αναπτυσσόµενης καµπυλότητας της ακραίας διατοµής, στ) σύγκριση της αρχικής περιβάλλουσας καµπύλης V-γ και της διατµητικής υστερητικής συµπεριφοράς µετά την αλληλεπίδραση µε την κάµψη για το πειραµατικό δοκίµιο HS2. Στο Σχήµα (8.7.5στ), παρουσιάζεται η υστερητική διατµητική συµπεριφορά της ακραίας διατοµής ταυτόχρονα µε την αρχική µη-υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη V-γ. Λόγω της προσοµοίωσης του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης και διάτµησης, η πραγµατική υστερητική συµπεριφορά διαχωρίζεται από την αρχική ---0-----===---- ---299--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ περιβάλλουσα καµπύλη µετά την καµπτική διαρροή και πιο συγκεκριµένα µετά την απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων µ φ =3. Μετά τη διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού, στην αρνητική πλευρά της φόρτισης, η περιβάλλουσα καµπύλη της υστερητικής συµπεριφοράς και η αρχική µη-υποβαθµισµένη περιβάλλουσα καµπύλη συνεχίζουν παράλληλες µεταξύ τους. Στη συνέχεια, στο Σχήµα (8.7.6) δίνεται η εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του δοκιµίου για διάφορες τιµές της επιβαλλόµενης πλαστιµότητας µετακινήσεων, όπως προβλέπεται από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Για πλαστιµότητα µετακινήσεων µ =1 η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων είναι οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου. Οµοίως, για µ =1.5 η κατανοµή των διατµητικών παραµορφώσεων παραµένει οµοιόµορφη κατά µήκος του στοιχείου, καθώς η απαίτηση πλαστιµότητας καµπυλοτήτων στην ακραία διατοµή του στοιχείου δεν υπερβαίνει το 3. Για πλαστιµότητα µ =2 αρχίζει η πρώτη διαφοροποίηση της µέγιστης διατµητικής παραµόρφωσης εντός και εκτός της πλαστικής άρθρωσης. Η διαφοροποίηση αυτή γίνεται πολύ πιο έντονη για µ =3, ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται σηµαντικά και το µήκος της ανελαστικής ζώνης. Στο Σχήµα (8.7.7) δίνονται οι υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης της αγκύρωσης του συγκεκριµένου πειραµατικού δοκιµίου, όπως προέκυψαν από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Η µέγιστη αναπτυσσόµενη στροφή στη βάση του δοκιµίου από την ολίσθηση της αγκύρωσης προέκυψε ίση µε 0.003rad. Για το εξεταζόµενο πειραµατικό δοκίµιο δεν έγινε καταγραφή της ροπής-στροφής ολίσθησης της αγκύρωσης από τους συγκεκριµένους ερευνητές, οπότε δεν είναι δυνατή και η σύγκριση της πρόβλεψης του αναλυτικού µοντέλου µε τον αντίστοιχο πειραµατικό βρόχο. 100 % ύψους % Column υποστυλώµατος Height 80 60 40 20 µ µ =1 µ µ =1.5 µ =2µ µ =3 µ =3 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ιατµητική Shear παραµόρφωση Strain (%) (%) Σχήµα 8.7.6: Εξέλιξη της κατανοµής των διατµητικών παραµορφώσεων κατά µήκος του πειραµατικού δοκιµίου HS2. Στα Σχήµατα (8.7.8α), (8.7.8β) και (8.7.8γ) παρουσιάζονται οι υστερητικές σχέσεις τέµνουσας δύναµης-µετακίνησης που αναπτύχθηκε στην κορυφή του δοκιµίου λόγω αντίστοιχα των καµπτικών, διατµητικών και ολισθητικών παραµορφώσεων που ---0-----===---- ---300--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ αναπτύχθηκαν σε ολόκληρο το ύψος του δοκιµίου. Οι µέγιστες τιµές αυτών των µετακινήσεων είναι αντίστοιχα 46.6mm, 29.4mm και 11.6mm (όχι στην ίδια διεύθυνση φόρτισης). Στο Σχήµα (8.7.8δ) παρουσιάζεται η σχέση δύναµης-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των διατµητικών παραµορφώσεων, όταν δεν λαµβάνεται υπόψη στο προτεινόµενο µοντέλο η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση. Η µέγιστη µετακίνηση σε αυτήν την περίπτωση είναι 22.5mm. Συνεπώς, η προσοµοίωση του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης οδήγησε σε 31% αύξηση των προβλεπόµενων διατµητικών µετακινήσεων στην κορυφή του δοκιµίου. 6000 4000 Moment Ροπή (knm) 2000 0-2000 -4000-6000 -4-2 0 2 4 Στροφή Rotation ολίσθησης (rad) (rad) x 10-3 Σχήµα 8.7.7: Υστερητικοί βρόχοι ροπών-στροφών ολίσθησης στη βάση του δοκιµίου HS2, όπως προέκυψαν από το αναλυτικό µοντέλο 1500 1500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1000 500 0-500 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 1000 500 0-500 -1000-1500 -60-40 -20 0 20 40 60 Καµπτική Flexural Displacement µετακίνηση (mm) 1500 1000 (α) -1000-1500 -40-20 0 20 40 ιατµητική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (mm) 1500 1000 (β) Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 500 0-500 -1000 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 500 0-500 -1000-1500 -15-10 -5 0 5 10 15 Μετακίνηση Bond-Slip Displacement ολίσθησης (mm) -1500-40 -20 0 20 40 Συνολική Shear Displacement µετακίνηση (mm) (γ) (δ) Σχήµα 8.7.8: Υστερητικοί βρόχοι τέµνουσας-µετακίνησης κορυφής εξαιτίας των α) καµπτικών παραµορφώσεων, β) διατµητικών παραµορφώσεων, γ) ολισθητικών παραµορφώσεων, δ) διατµητικών παραµορφώσεων, χωρίς την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης δοκιµίου HS2. ---0-----===---- ---301--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.7.9α) παρουσιάζεται η περιβάλλουσα καµπύλη τέµνουσας δύναµης και των επιµέρους συνιστωσών και της συνολικής µετακίνησης, όπως καταγράφηκαν πειραµατικά από τους συγκεκριµένους ερευνητές. ιαπιστώνεται ότι η µέγιστη διατµητική µετακίνηση είναι περίπου ίση µε 26mm, τιµή που βρίσκεται αρκετά κοντά στην πρόβλεψη του αναλυτικού µοντέλου. Η ολισθητική µετακίνηση δεν καταγράφηκε ξεχωριστά κατά την πειραµατική διαδικασία, αλλά συµπεριλήφθηκε έµµεσα στην καµπτική µετακίνηση του στοιχείου. Στο Σχήµα (8.7.9β) δίνεται η συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων, όπως αυτή προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Από το συγκεκριµένο σχήµα διαπιστώνεται ότι οι καµπτικές παραµορφώσεις διαµορφώνουν το 48% της µετακίνησης του δοκιµίου στην αστοχία, οι ολισθητικές περίπου το 13% και οι διατµητικές το 39%. Κάµψη + ιάτµηση ιάτµηση Κάµψη Μετακίνηση (mm) Αρνητική διεύθυνση Θετική διεύθυνση Πλευρική µετακίνηση (mm) (α) Displacement Μετακίνηση (mm) (mm) 100 50 0-50 Shear ιάτµηση Slip Ολίσθηση Flexure Κάµψη -100 0 100 200 300 Βήµα φόρτισης Step (β) Σχήµα 8.7.9: Συµµετοχή των επιµέρους τύπων παραµορφώσεων στη συνολική µετακίνηση του δοκιµίου HS2, όπως, α) καταγράφηκε πειραµατικά, β) προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο. ---0-----===---- ---302--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ Στο Σχήµα (8.7.10) παρουσιάζεται η εξέλιξη των επιµέρους (καµπτικού, διατµητικού και ολισθητικού) καθώς και του συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη διάρκεια της φόρτισης του κυκλικού δοκιµίου. Παρατηρείται ότι ο καµπτικός και ο διατµητικός δείκτης βλάβης αναπτύσσουν παραπλήσιες τιµές και λίγο πριν την έναρξη της διατµητικής αστοχίας η τιµή του καµπτικού δείκτη είναι ίση µε 0.79, ενώ του διατµητικού 0.82. Ωστόσο, η διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού οδήγησε στη συνέχεια στην απότοµη αύξηση του διατµητικού δείκτη βλάβης ο οποίος και τελικά γίνεται ίσος µε τη µονάδα σηµατοδοτώντας µε αυτόν τον τρόπο και την έναρξη της διατµητικής αστοχίας. Ο ολισθητικός δείκτης παραµένει σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης χαµηλός µε τη µέγιστη τιµή του να φτάνει µόλις το 0.15 αποδεικνύοντας ότι η αγκύρωση δεν είναι κρίσιµη για την αστοχία του συγκεκριµένου δοκιµίου. Damage είκτης Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 Καµπτικός Flexural ιατµητικός Shear Ολισθητικός Slip Συνολικός Total 0.2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Βήµα Step φόρτισης Σχήµα 8.7.10: Εξέλιξη του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης κατά τη φόρτιση του πειραµατικού δοκιµίου HS2. Στο Σχήµα (8.7.11α) γίνεται σύγκριση των τιµών του διατµητικού δείκτη βλάβης όταν λαµβάνεται και όταν δε λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης (D shear και D shear2 αντίστοιχα) και οι αντίστοιχες τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης (D tot και D tot2 αντίστοιχα). Παρατηρείται ότι η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης οδηγεί σε σηµαντικότατη υποεκτίµηση του διατµητικού δείκτη βλάβης (0.26 αντί για 1.00). Ωστόσο, επειδή η τελική τιµή του καµπτικού δείκτη βλάβης είναι αρκετά υψηλή (0.79), η διαφοροποίηση αυτή του διατµητικού δείκτη βλάβης δεν είναι αισθητή στον ίδιο βαθµό στο συνολικό δείκτη βλάβης. Οι τελικές τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης είναι 1.00 και 0.87 µε και χωρίς την προσοµοίωση της αλληλεπίδρασης κάµψηςδιάτµησης. Στο Σχήµα (8.7.11β) γίνεται σύγκριση των τιµών του προτεινόµενου συνολικού δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang. ιαπιστώνεται ότι η τελική τιµή του δείκτη των Park-Ang προκύπτει ίση µε 1.19. Η τιµή αυτή δεν έχει φυσικό νόηµα και µπορεί να θεωρηθεί ότι µε βάση τον δείκτη Park-Ang το δοκίµιο έχει αστοχήσει στο βήµα φόρτισης 271, όπου η τιµή του δείκτη αυξάνεται από 0.79 σε 1.19. Ο συγκεκριµένος δείκτης, δηλαδή, υποεκτιµά ελαφρώς την ικανότητα πλευρικής µετακίνησης του δοκιµίου µέχρι και την αστοχία. ---0-----===---- ---303--

8. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Μεµονωµένα Στοιχεία Ο/Σ είκτης Damage Βλάβης Index 1 0.8 0.6 0.4 0.2 D shear D shear2 D tot D tot2 είκτης Damage Βλάβης Index 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Proposed Προτεινόµενος D.I. Park-Ang D.I. 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Βήµα Step φόρτισης 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Βήµα Step φόρτισης (α) (β) Σχήµα 8.7.11: α) Σύγκριση διατµητικού και συνολικού δείκτη βλάβης µε και χωρίς την επιρροή της αλληλεπίδρασης κάµψης-διάτµησης, β) Σύγκριση του προτεινόµενου δείκτη βλάβης και του δείκτη βλάβης των Park-Ang για το πειραµατικό δοκίµιο HS2. ---0-----===---- ---304--

Κεφάλαιο 9 ο 9 Τεκµηρίωση αναλυτικού µοντέλου µε πειραµατικά αποτελέσµατα από πλαισιακούς φορείς Ο/Σ -305-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 9.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο περιλαµβάνεται η εφαρµογή του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς πλαισιακών φορέων οπλισµένου σκυροδέµατος µε µη-πλάστιµη κατασκευαστική διαµόρφωση. Επιλέγονται φορείς που εξετάστηκαν πειραµατικά, ώστε να είναι δυνατή η άµεση σύγκριση των αποτελεσµάτων. Εξετάζονται διαφορετικές µέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών, όπως είναι η ιδιοµορφική, η ανελαστική στατική επωθητική (pushover), η ανελαστική στατική ανακυκλιζόµενη και τελικά η ανελαστική δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας. Επιπρόσθετα, µε την εφαρµογή παραµετρικών αναλύσεων εξετάζεται η επιρροή κάθε συνιστώσας παραµόρφωσης (κάµψη, διάτµηση, ολίσθηση της αγκύρωσης) στην απόκριση των εξεταζόµενων πλαισιακών φορέων. Ο υπολογισµός των περιβαλλουσών καµπυλών της καµπτικής, διατµητικής και ολισθητικής συµπεριφοράς των κρίσιµων διατοµών των δοµικών στοιχείων γίνεται µε το πρόγραµµα RCCOLA-FSB που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας έρευνας. Αναλυτική περιγραφή του συγκεκριµένου προγράµµατος γίνεται στο Παράρτηµα-Α της διατριβής. Οι αναλύσεις γίνονται µε το πρόγραµµα IDARC-FSB που αναπτύχθηκε επίσης στο πλαίσιο της παρούσας έρευνας για την υπολογιστική υλοποίηση του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου και δείκτη σεισµικής βλάβης. Η αναλυτική περιγραφή του συγκεκριµένου προγράµµατος παρατίθεται στο Παράρτηµα-Β της διατριβής. 9.2 Πειραµατικό Πλαίσιο Duong et al. (2007) 9.2.1 Περιγραφή Πλαισιακού Φορέα Οι Duong et al. (2007) εξέτασαν τη συµπεριφορά ενός διώροφου πλαισίου ενός φατνώµατος από οπλισµένο σκυρόδεµα (Εικόνες 9.1α,β και γ). Το πλαίσιο κατασκευάστηκε κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να αστοχούν οι δοκοί του σε τέµνουσα. Το δοκίµιο κατασκευάστηκε σε κλίµακα 2:3 και είχε συνολικό ύψος περίπου 4.6m και πλάτος 2.3m. Στο πλαίσιο εφαρµόστηκε οριζόντια ανακυκλιζόµενη φόρτιση στην κορυφή του µέσω κατάλληλου τοίχου αντίδρασης (reaction wall) ύψους 4.62m. Οι δοκοί και τα υποστυλώµατα είχαν διαστάσεις (300 400)mm. Για την εξασφάλιση της πάκτωσης στη βάση χρησιµοποιήθηκε κατάλληλο µπλοκ σκυροδέµατος διαστάσεων (800 400 4100)mm το οποίο κατασκευάστηκε µονολιθικά µε το σώµα του πλαισίου και στη συνέχεια υποβλήθηκε σε προένταση. Το καθαρό άνοιγµα των δοκών ήταν ίσο µε 1500mm και το καθαρό ύψος των ορόφων 1700mm (Σχήµα 9.2α). Η όπλιση του πλαισίου έγινε µε νευροχάλυβες ονοµαστικών διατοµών Νο. 10, Νο. 20 και US #3 (3/8in.) διαµέτρων αντίστοιχα 10mm, 20mm και 9.5mm. Η τυπική όπλιση των δοκών και των υποστυλωµάτων περιελάµβανε 4 ράβδους Ø20 στην -306-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ άνω και κάτω παρειά µε κλειστούς, δίτµητους συνδετήρες Ø9.5 ανά 300mm για τις δοκούς και τετράτµητους συνδετήρες Ø10 ανά 130mm για τα υποστυλώµατα (Σχήµα 9.2β). α) γ) β) Σχήµα 9.1: Εικόνες πειραµατικού πλαισίου Duong et al. (2007): α) Οπλιση και µέρος ξυλοτύπου, β) σκυροδετηµένο πριν από την ανασήκωση του, γ) πλήρης πειραµατική διάταξη. Οι λεπτοµέρειες όπλισης των χαρακτηριστικών διατοµών του πλαισίου (Σχήµα 9.2β) παρουσιάζονται στο Σχήµα (9.2γ). Οι καθαρές επικαλύψεις που χρησιµοποιήθηκαν ήταν 30mm και 20mm για τις δοκούς και τα υποστυλώµατα αντίστοιχα. Επειδή η φόρτιση που εφαρµόστηκε στην κορυφή του πλαισίου οδηγεί σε σηµαντική ένταση στη βάση των υποστυλωµάτων τοποθετήθηκε σε αυτές τις περιοχές µια πρόσθετη στρώση από τέσσερις ράβδους Ø20 και στις δύο παρειές για την αύξηση της καµπτικής αντοχής και την αποφυγή πρώιµης καµπτικής αστοχίας. Ματίσεις των διαµήκων ράβδων των υποστυλωµάτων έγιναν στο µέσο του δευτέρου ορόφου του πλαισίου, όπου η στάθµη της αναπτυσσόµενης έντασης (λόγω πλευρικής φόρτισης στην κορυφή) αναµενόταν να είναι χαµηλή. -307-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ α) Πρόσοψη Πλάγια όψη ιαστάσεις σε mm Τοµή A-A β) Τοµή C-C Τοµή C-C Θέση µατίσµατος Τοµή A-A Τοµή B-B Τοµή B-B Τοµή E-E Τοµή D-D Τοµή D-D ιαστάσεις σε mm -308-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ γ) Τοµή A-A Τοµή B-B Τοµή C-C Τοµή D-D Τοµή E-E ιαστάσεις σε mm -309-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ δ) 400 300 200 Φορτίο (kn) 100 0-50 -40-30 -20-10 0 10 20 30 40 50-100 -200-300 -400 Μετακίνηση (mm) Σχήµα 9.2: α) Γεωµετρία, β) διάταξη όπλισης, γ) λεπτοµέρειες όπλισης χαρακτηριστικών διατοµών και δ) ιστορικό φόρτισης πλαισίου Duong et al. (2007). Ο Πίνακας (9.1) συγκεντρώνει τα βασικά δεδοµένα όπλισης των χαρακτηριστικών διατοµών (Σχήµα 9.2β) του εξεταζόµενου πλαισίου. Πίνακας 9.1: Βασικά δεδοµένα όπλισης χαρακτηριστικών διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007). ιατοµή Πλάτος (mm) Υψος (mm) Κάτω οπλισµός Άνω οπλισµός Εγκάρσιος οπλισµός οκός 300 400 4Ø20 4Ø20 2Ø9.5/300 Υποστύλωµα 300 400 4Ø20 4Ø20 4Ø10/130 Υποστύλωµα στη κορυφή 300 400 8Ø20 4Ø20 4Ø10/130 δευτέρου ορόφου Υποστύλωµα στη βάση του πλαισίου 300 400 8Ø20 8Ø20 4Ø10/130 Η µέση αντοχή 28 ηµερών του σκυροδέµατος, που χρησιµοποιήθηκε, µετρήθηκε ίση µε 34.4MPa. Επιπρόσθετα, στον Πίνακα (9.2) παρουσιάζονται οι µέσες ιδιότητες του χάλυβα που τοποθετήθηκε ανάλογα µε τη διατοµή της κάθε ράβδου όπλισης. Πίνακας 9.2: Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα ανά κατηγορία διατοµής των ράβδων όπλισης. ιάµετρος f y (MPa) ε sh ( ) E s (MPa) ε su (%) f u (MPa) Ø10 455 22.8 192400 19 583 Ø 20 447 17.1 198400 20 603 Ø9.5 506 28.3 210000 17 615-310-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Η φόρτιση του πλαισίου περιελάµβανε αρχικά σταθερά κατακόρυφα αξονικά φορτία 420kN στην κορυφή κάθε υποστυλώµατος στον δεύτερο όροφο του πλαισίου. Η οριζόντια φόρτιση ασκήθηκε µε τη µορφή επιβαλλόµενων µετακινήσεων, µόνο στη δοκό του δεύτερου ορόφου, µέσω κατάλληλης φορτιστικής διάταξης. Αρχικά το πλαίσιο φορτίστηκε προς τη µία διεύθυνση µέχρι να παρατηρηθεί σηµαντική διατµητική βλάβη στις δοκούς του πλαισίου. Στη συνέχεια το πλαίσιο αποφορτίστηκε πλήρως και φορτίστηκε προς την αντίθετη διεύθυνση µέχρι η µετακίνηση κορυφής να γίνει περίπου ίση µε τη µέγιστη µετακίνηση που αναπτύχθηκε στην αρχική διεύθυνση της φόρτισης. Τέλος, το πλαίσιο αποφορτίστηκε πλήρως και σε αυτήν την διεύθυνση φόρτισης. Το ιστορικό της φόρτισης του δεύτερου ορόφου του πλαισίου παρουσιάζεται στο Σχήµα (9.2δ). 9.2.2 Ανάλυση πλαισιακού φορέα 9.2.2.1 Περιγραφή αναλυτικού προσοµοιώµατος Το πλαίσιο αναλύθηκε µε τη βοήθεια του υπολογιστικού προσοµοιώµατος του Σχήµατος (9.3α). Όπως φαίνεται στο συγκεκριµένο σχήµα, χρησιµοποιήθηκαν 4 πεπερασµένα στοιχεία για τα υποστυλώµατα και δύο πεπερασµένα στοιχεία για τις δοκούς του πλαισίου. Στις περιοχές των κόµβων τοποθετήθηκαν άκαµπτοι βραχίονες. Με βάση και τις λεπτοµέρειες όπλισης της προηγούµενης παραγράφου, θεωρήθηκαν τέσσερις κατηγορίες διατοµών στα πέρατα των µελών του πλαισίου, οι οποίες και φαίνονται στο Σχήµα (9.3β). Επισηµαίνεται σε αυτό το σηµείο ότι ο προσδιορισµός των διαφορετικών κατηγοριών διατοµών του πλαισίου δεν θα πρέπει να γίνεται µόνο µε βάση την όπλιση της εκάστοτε διατοµής αλλά και τον τρόπο αγκύρωσης του διαµήκους οπλισµού της στον αντίστοιχο κόµβο του πλαισίου. Στους Πίνακες (9.3), (9.4) και (9.5) παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα του υπολογισµού των χαρακτηριστικών σηµείων της καµπτικής, της αρχικής διατµητικής και της ολισθητικής περιβάλλουσας καµπύλης για κάθε µία από τις 4 χαρακτηριστικές κατηγορίες διατοµών του πλαισίου. Για την καµπτική και την ολισθητική περιβάλλουσα καµπύλη οι τιµές των πινάκων αναφέρονται στις εξιδανικευµένες διγραµµικές περιβάλλουσες καµπύλες. Η µέγιστη διατµητική αντοχή για την κατηγορία διατοµής 1 (δοκοί) προσδιορίστηκε για γωνία της κρίσιµης διατµητικής ρωγµής θ=40 ο, καθώς έτσι προέκυψε η καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις οι προκύπτουσες περιβάλλουσες καµπύλες είναι συµµετρικές ως προς την αρχή των αξόνων και για αυτόν το λόγο δίνονται µόνον οι συντεταγµένες των ακραίων σηµείων των θετικών κλάδων. Εξαίρεση αποτελεί η ολισθητική περιβάλλουσα καµπύλη της ακραίας διατοµής των δοκών του πλαισίου. Η συγκεκριµένη διατοµή, παρόλο που είναι ορθογωνική µε συµµετρικό οπλισµό, έχει διαφορετικές τιµές για τις στροφές ολίσθησης για θετική και αρνητική ροπή, αφού διαφοροποιούνται οι συνθήκες συνάφειας για τον κάτω και άνω διαµήκη οπλισµό της στην περιοχή του κόµβου (καλή και κακή συνάφεια αντίστοιχα). Ειδικά, όµως, για τον ελαστικό κλάδο λαµβάνεται µια µέση τιµή της στροφής ολίσθησης διαρροής της διατοµής σε αρνητική και θετική ροπή, καθώς έχει υιοθετηθεί -311-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ στην παρούσα διατριβή απλοποιηµένη, διγραµµική περιβάλλουσα καµπύλη (κοινή ελαστική δυσκαµψία για θετική και αρνητική ροπή) για την προσοµοίωση της υστερητικής, ολισθητικής συµπεριφοράς. BEM 2 1 1 BEM 1 COL 1 COL 2 COL 3 COL 4 1 4 4 2 2 3 3 1 2 2 (α) (β) Σχήµα 9.3: α) Υπολογιστικό προσοµοίωµα και αρίθµηση πεπερασµένων στοιχείων, β) κατηγοριοποίηση ακραίων διατοµών µελών πλαισίου Duong et al. (2007). Πίνακας 9.3: Χαρακτηριστικά σηµεία καµπτικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007). ιατοµή φ y M y φ u M u (mrad/m) (knm) (mrad/m) (knm) 1 9.4 173.0 336.3 210.9 2 10.7 231.6 404.5 250.5 3 10.7 231.6 404.5 250.5 4 12.9 360.7 362.0 380.3 Πίνακας 9.4: Χαρακτηριστικά σηµεία αρχικής διατµητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007). ιατοµή γ cr V cr γ yw V uo γ u (%) (kn) (%) (kn) (%) 1 0.01 136.3 0.77 252.2 1.93 2 0.02 183.0 0.71 825.1 2.32 3 0.02 183.0 0.71 825.1 2.32 4 0.02 183.0 0.71 817.5 2.32-312-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Πίνακας 9.5: Χαρακτηριστικά σηµεία ολισθητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Duong et al. (2007). ιατοµή θ y,sl M y,sl θ uf,sl M u θ ub,sl (mrad) (knm) (mrad) (knm) (mrad) 1_κάτω 1.7 178.0 37.0 210.9 74.0 1_πάνω 1.7 178.0 57.9 210.9 106.0 2 0.4 181.3 0.5 190.8 0.5 3 1.7 231.6 42.8 250.5 93.0 4 1.8 360.7 46.5 380.3 148.0 9.2.2.2 Αποτελέσµατα ιδιοµορφικής ανάλυσης πλαισίου Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ιδιοµορφικής ανάλυσης του εξεταζόµενου πειραµατικού πλαισίου. Για τον συγκεκριµένο τύπο ανάλυσης αλλά και για τις αναλύσεις που παρουσιάζονται στις επόµενες παραγράφους εξετάστηκαν τέσσερις διαφορετικές προσεγγίσεις-µοντέλα αναφορικά πάντα µε το προσοµοίωµα του Σχήµατος (9.3α). Οι παραδοχές που υιοθετούνται σε κάθε τύπο µοντέλου είναι οι εξής: Μοντέλο F (Flexure): Λαµβάνονται υπόψη µόνο οι καµπτικές παραµορφώσεις. Αγνοείται δηλαδή η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων και της ολίσθησης της αγκύρωσης. Μοντέλο FB (Flexure-Bond): Λαµβάνονται υπόψη µόνο οι καµπτικές παραµορφώσεις και η ολίσθηση της αγκύρωσης. Αγνοείται δηλαδή η συµµετοχή των διατµητικών παραµορφώσεων. Μοντέλο FS (Flexure-Shear): Λαµβάνονται υπόψη οι καµπτικές και οι διατµητικές παραµορφώσεις. Αγνοείται δηλαδή η συµµετοχή της ολίσθησης της αγκύρωσης. Μοντέλο FSB (Flexure-Shear-Bond): Λαµβάνονται υπόψη οι καµπτικές και διατµητικές παραµορφώσεις καθώς και η ολίσθηση της αγκύρωσης. Αναφορικά µε την ιδιοµορφική ανάλυση του πλαισίου, επειδή σχεδόν το σύνολο της µάζας εφαρµόζεται στην κορυφή του πλαισίου, µπορεί να θεωρηθεί ότι το εξεταζόµενο πλαίσιο έχει µία µόνο ιδιοµορφή που είναι αυτή που αντιστοιχεί στον βαθµό ελευθερίας του δευτέρου ορόφου. Η ιδιοπερίοδος αυτής της ιδιοµορφής για κάθε εξεταζόµενο µοντέλο παρουσιάζεται στον Πίνακα (9.6). Πίνακας 9.6: Ιδιοπερίοδος πλαισίου Duong et al. (2007) για τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα προσοµοίωσης. Μοντέλο F FB FS FSB Τ(sec) 0.363 0.447 0.377 0.458 Στον Πίνακα (9.6) φαίνεται ότι το πλέον δύσκαµπτο µοντέλο είναι το F µε ιδιοπερίοδο 0.363sec. Η επιρροή της ολίσθησης της αγκύρωσης οδηγεί σε σηµαντική αύξηση της ιδιοπεριόδου από 0.363sec σε 0.447sec γεγονός που επισηµαίνει τη σηµασία αυτού του φαινοµένου στην αρχική-ελαστική δυσκαµψία του πλαισίου. Η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων οδηγεί σε πολύ µικρή αύξηση της -313-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ ιδιοπεριόδου από 0.363sec σε 0.377sec στο FS µοντέλο και από 0.447sec σε 0.458sec στο FSB µοντέλο. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην µεγάλη τιµή της αρχικήςαρηγµάτωτης δυστµησίας GA sh, που επηρεάζει ελάχιστα την ελαστική ευκαµψία των στοιχείων του πλαισίου. 9.2.2.3 Αποτελέσµατα ανελαστικής επωθητικής ανάλυσης (pushover analysis) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανελαστικής επωθητικής (pushover) ανάλυσης του πλαισίου για τους τέσσερις διαφορετικούς τρόπους προσοµοίωσης. Στο Σχήµα (9.4) παρατίθενται οι καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής (V base - top ) του πλαισίου, όπως αυτές προέκυψαν και για τα τέσσερα αναλυτικά µοντέλα Στο ίδιο σχήµα παρατίθεται η ίδια σχέση, όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Σηµειώνεται ότι κατά την πειραµατική διαδικασία το εξεταζόµενο πλαίσιο υποβλήθηκε σε τόση µετακίνηση κορυφής κατά τη θετική φορά της φόρτισης, ώστε οποιαδήποτε πρόσθετη επιβαλλόµενη µετακίνηση θα οδηγούσε σε µη-αναστρέψιµη βλάβη λόγω της διατµητικής αστοχίας της δοκού του πρώτου ορόφου. Συνεπώς, η µέγιστη πειραµατική µετακίνηση που καταγράφηκε στη θετική διεύθυνση µπορεί να θεωρηθεί, ελαφρώς συντηρητικά, ως η µετακίνηση αστοχίας του πλαισίου. Από το Σχήµα (9.4) γίνεται φανερό ότι οι καµπύλες V base - top διαφέρουν σηµαντικά µεταξύ τους ανάλογα µε το υιοθετούµενο µοντέλο προσοµοίωσης της κατασκευής. Το F µοντέλο οδηγεί σε σοβαρή υπερεκτίµηση της δυσκαµψίας και αντοχής της κατασκευής αλλά και σε υπερεκτίµηση της ικανότητας για µετακίνηση, αφού δε γίνεται πρόβλεψη της διατµητικής αστοχίας για τη δοκό του πρώτου ορόφου. Η προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης οδηγεί σε σηµαντική µείωση της αρχικής δυσκαµψίας σε σχέση µε το F µοντέλο. Η δυσκαµψία αυτή είναι ελαφρώς µικρότερη από την πειραµατική, διαφοροποίηση που µπορεί να αποδοθεί στο γεγονός ότι δε γίνεται προσοµοίωση της αρχικής-αρηγµάτωτης δυσκαµψίας για την κάµψη και την ολίσθηση της αγκύρωσης στο προτεινόµενο µοντέλο της παρούσας διατριβής. Στα επόµενα στάδια της ανάλυσης όµως το συγκεκριµένο µοντέλο δε προσοµοιώνει επαρκώς τη σταδιακή µείωση της δυσκαµψίας του πλαισίου που καταγράφεται πειραµατικά µε αποτέλεσµα για τη µετακίνηση αστοχίας του πλαισίου (44.7mm) να προβλέπει αντοχή ίση µε 399kN αντί για 327kN. Το ίδιο µοντέλο οδηγεί σε σοβαρότατη υπερεκτίµηση της ικανότητας µετακίνησης κατασκευής. Συγκεκριµένα, ενώ η αστοχία του πλαισίου καταγράφηκε για ανηγµένη µετακίνηση της κορυφής ίση µε 1.12%, το F µοντέλο προβλέπει αστοχία στα 1.7% και το FB µοντέλο στα 4.9%. Η διαφοροποίηση αυτή οφείλεται στο ό,τι τα δύο συγκεκριµένα µοντέλα δεν είναι ικανά να προβλέψουν τη διατµητική αστοχία των δοκών του πλαισίου. Στο Σχήµα (9.5α) φαίνεται ο µηχανισµός αστοχίας που προβλέπουν τα F και FB αναλυτικά µοντέλα. Το µοντέλο FS, όπως και το µοντέλο F, υπερεκτιµά σηµαντικά τη δυσκαµψία της κατασκευής στα πρώτα στάδια της απόκρισης. Ωστόσο, στη συνέχεια το µοντέλο προβλέπει σωστά τη σηµαντική µείωση της δυσκαµψίας που προκύπτει από τη διατµητική ρηγµάτωση των δοκών του 1 ου και 2 ου ορόφου και την αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση µε αποτέλεσµα η προσοµοίωση της συµπεριφοράς του πλαισίου να είναι ικανοποιητική µέχρι και τη µετακίνηση των 35mm, όπου το συγκεκριµένο -314-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ µοντέλο προβλέπει την εµφάνιση διατµητικής αστοχίας στη δοκό του 1 ου ορόφου. εδοµένου ότι η πραγµατική µετακίνηση αστοχίας του πλαισίου είναι περίπου ίση µε 44.7mm, προκύπτει το συµπέρασµα ότι το FS µοντέλο υποεκτιµά σηµαντικά την ικανότητα µετακίνησης του φορέα. Η αρχική δυσκαµψία του FSB αναλυτικού µοντέλου είναι σχεδόν ταυτόσηµη µε αυτή του FB. Στη συνέχεια, όµως, η δυσκαµψία του FSB προσοµοιώµατος µειώνεται σταδιακά σε σχέση µε αυτήν του FB λόγω της διατµητικής ρηγµάτωσης που λαµβάνει χώρα στην πρώτη και δεύτερη δοκό του πλαισίου και στη συνέχεια στα υποστυλώµατα του δευτέρου ορόφου και της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση στη δοκό του 1 ου ορόφου. Τελικά στην πειραµατική µετακίνηση αστοχίας του πλαισίου (44.7mm) η τέµνουσα βάσης που προκύπτει είναι ίση µε 358kN, δηλαδή 10% µεγαλύτερη αυτής που καταγράφηκε πειραµατικά. Η διαφορά αυτή είναι σηµαντικά µικρότερη απ ό,τι στα µοντέλα F και FB. Η µετακίνηση αστοχίας του FSB προσοµοιώµατος είναι ίση µε 45.1mm και σχεδόν ταυτίζεται µε την αντίστοιχη πειραµατική. Στο Σχήµα (9.5β) παρουσιάζεται η εικόνα αστοχίας του πειραµατικού πλαισίου, όπως προέκυψε από τα προσοµοιώµατα FS και FSB. Όπως φαίνεται σε αυτό το σχήµα, η αστοχία προήλθε από σχεδόν ταυτόχρονη διατµητική αστοχία των δύο άκρων της δοκού του πρώτου ορόφου, που αναπτύχθηκε µετά την καµπτική τους διαρροή (καµπτοδιατµητική αστοχία). Στο σηµείο αυτό πρέπει να ειπωθεί ότι το µοντέλο διατµητικής αντοχής και το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση έχει καθοριστική σηµασία στην ορθή πρόβλεψη της µετακίνησης αστοχίας από το αναλυτικό προσοµοίωµα FSB. Πιο συγκεκριµένα, όταν στην ανάλυση µε το συγκεκριµένο προσοµοίωµα αγνοηθεί η µείωση της διατµητικής αντοχής µε την πλαστιµότητα καµπυλοτήτων, τότε η µετακίνηση αστοχίας του πλαισίου προκύπτει ίση µε 158.8mm. Συνεπώς, ακόµη και στην περίπτωση όπου προσοµοιώνεται η διατµητική συµπεριφορά, εάν δεν ληφθεί υπόψη η µείωση της διατµητικής αντοχής µε την ανελαστική απόκριση σε κάµψη, τότε υπερεκτιµάται δραµατικά η ικανότητα µετακίνησης του εξεταζόµενου φορέα. 500 Τέµνουσα Base Βάσης Shear (kn) 300 100-100 -50 0 50 100 150 200 250-100 -300-500 Μετακίνηση (mm) Experiment Πείραµα Μοντέλο MODEL F MODEL Μοντέλο FB MODEL Μοντέλο FS MODEL Μοντέλο FSB Σχήµα 9.4: Καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής από τη στατική ανελαστική, επωθητική ανάλυση του πλαισίου Duong et al. (2007) µε τα τέσσερα αναλυτικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. -315-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ α) β) Καµπτική διαρροή Καµπτική αστοχία ιατµητική ρηγµάτωση ιατµητική διαρροή ιατµητική αστοχία Σχήµα 9.5: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική, επωθητική ανάλυση του πλαισίου Duong et al. (2007) µε τα µοντέλα α) F και FB, β) FS και FSB. Αντίθετα, όταν γίνει η συντηρητική θεώρηση ότι το µερίδιο σκυροδέµατος στη διατµητική αντοχή είναι εξαρχής µειωµένο στην ελάχιστη τιµή του, που προκύπτει στο µοντέλο των Priestley et al. (1994) για µ φ >15, τότε η µετακίνηση αστοχίας που προκύπτει πάλι από το µοντέλο FSB είναι ίση µε 9.6mm. Συνεπώς, η συγκεκριµένη προσέγγιση, που συµβαδίζει µε τη λογική των σύγχρονων αντισεισµικών κανονισµών, υποεκτιµά σε µεγάλο βαθµό την ικανότητα µετακίνησης του εξεταζόµενου πλαισίου. 9.2.2.4 Αποτελέσµατα στατικής, ανακυκλιζόµενης ανάλυσης επιβαλλόµενων µετακίνησεων (displacement controlled cyclic analysis). Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης του πλαισιακού φορέα µε βάση το επιβαλλόµενο ιστορικό µετακινήσεων που εφαρµόστηκε πειραµατικά στην κορυφή του πλαισίου και παρουσιάζεται στο Σχήµα (9.2δ). Στο Σχήµα (9.6) γίνεται σύγκριση της πειραµατικής και της αναλυτικής σχέσης V base - top, όπως προέκυψε η δεύτερη από το αναλυτικό προσοµοίωµα FSB του φορέα. Σε γενικές γραµµές η σύγκλιση των δύο σχέσεων είναι ικανοποιητική και στις δύο κατευθύνσεις φόρτισης. Όπως προαναφέρθηκε, παρατηρείται µικρή υποεκτίµηση της αρχικής δυσκαµψίας του πλαισίου, διότι δεν λαµβάνεται υπόψη η αρηγµάτωτη κατάσταση σε κάµψη στο προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Επιπλέον, διαπιστώνεται µικρή υπερεκτίµηση ( 10%) της τελικής αντοχής του δοκιµίου και στις δύο κατευθύνσεις φόρτισης. Πιο συγκεκριµένα στη θετική διεύθυνση της φόρτισης η µέγιστη τέµνουσα βάσης που αναπτύχθηκε πειραµατικά ήταν ίση µε 327kN στα 44.7mm, ενώ η τέµνουσα βάσης που προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο για την ίδια µετακίνηση είναι ίση µε 358kN. Οµοίως, στην αρνητική διεύθυνση της φόρτισης η -316-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ µέγιστη τέµνουσα βάσης που αναπτύχθηκε πειραµατικά ήταν ίση µε 304kN στα 39.5mm, ενώ η τέµνουσα βάσης που προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο για την ίδια µετακίνηση είναι ίση µε 333kN Κατά τη φάση αποφόρτισης παρατηρείται σηµαντική απόκλιση της αναπτυσσόµενης τέµνουσας βάσης για την ίδια επιβαλλόµενη µετακίνηση. Η απόκλιση αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι στην πειραµατική καµπύλη η αποφόρτιση γίνεται αρχικά µε µεγάλη κλίση-δυσκαµψία, ενώ στη συνέχεια η δυσκαµψία µειώνεται σηµαντικά. Το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει µια περίπου σταθερή κλίση αποφόρτισης η οποία είναι πολύ κοντά στην µέση κλίση αποφόρτισης της πειραµατικής καταγραφής. Αποτέλεσµα αυτού είναι οι παραµένουσες παραµορφώσεις του πειράµατος και του αναλυτικού µοντέλου (µηδενική τέµνουσα βάσης) να βρίσκονται σχετικά κοντά µεταξύ τους. Πιο συγκεκριµένα, στη θετική διεύθυνση της φόρτισης η παραµένουσα παραµόρφωση της πειραµατικής καταγραφής είναι ίση µε 11mm, ενώ από το αναλυτικό µοντέλο 13.9mm. Οι αντίστοιχες τιµές στην αρνητική διεύθυνση της φόρτισης είναι 7mm και 11mm. Οριζόντια ύναµη (kn) Horizontal Force (kn) 400 300 200 100 0-60 -40-20 0 20 40 60-100 -200-300 -400 Displacement Μετακίνηση (mm) (mm) Πείραµα Experiment Μοντέλο MODEL FSB Σχήµα 9.6: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής πλαισίου Duong et al. (2007) υπό ανακυκλιζόµενη στατική φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα Στη συνέχεια ακολουθεί µια αναλυτική περιγραφή της ακολουθίας βλάβης, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό προσοµοίωµα FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Οι τιµές εκτός των παρενθέσεων αναφέρονται στις προβλέψεις του αναλυτικού µοντέλου, ενώ οι τιµές εντός των παρενθέσεων στις πειραµατικές µετρήσεις. Η πρώτη διατµητική ρηγµάτωση έλαβε χώρα στα δύο άκρα της δοκού του πρώτου ορόφου για συνολική τέµνουσα βάσης 149kN (148kN). Το πρώτο διατµητικό ρήγµα στη δοκό του δεύτερου ορόφου έλαβε χώρα για επιβαλλόµενη τέµνουσα 213.2kN (197kN). Για τέµνουσα βάσης ίση µε 321.6kN (295kN) διαρρέουν τα δύο άκρα της δοκού του πρώτου ορόφου σε κάµψη, ενώ όταν η ίδια τέµνουσα αυξάνεται στα 330kN -317-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ (320kN) διαρρέει και ο εγκάρσιος οπλισµός και στα δύο άκρα της ίδιας δοκού. Κατά τη φόρτιση στην αντίθετη διεύθυνση, η δοκός του πρώτου ορόφου προβλέπεται ότι διαρρέει καµπτικά, αλλά επειδή η αναπτυσσόµενη πλαστιµότητα καµπυλοτήτων είναι µικρότερη του 3, η καµπτική διαρροή δεν οδήγησε τελικά σε διατµητική διαρροή. Αντίθετα, στο πείραµα, διαπιστώθηκε ότι οι συνδετήρες της δοκού του πρώτου ορόφου διέρρευσαν, χωρίς να έχει προηγηθεί καµπτική διαρροή (η µέγιστη τάση του διαµήκους οπλισµού έφτασε το 95% της διαρροής). Τόσο στο αναλυτικό µοντέλο όσο και στην πειραµατική διαδικασία διαπιστώθηκε ότι οι εφελκυστικές τάσεις των διαµήκων ράβδων όπλισης στη βάση των υποστυλωµάτων παρέµειναν σε όλη τη διάρκεια της φόρτισης µικρότερες από το µισό της τάσης διαρροής. Από τα προηγούµενα γίνεται σαφές ότι οι προβλέψεις του αναλυτικού µοντέλου είναι σε ικανοποιητική συµφωνία µε τις πειραµατικές διαπιστώσεις µε µικρή διαφοροποίηση στην τέµνουσα όπου αναπτύσσεται η καµπτική διαρροή της δοκού και στο γεγονός ότι δεν προβλέπεται η διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού που λαµβάνει χώρα κατά τη φόρτιση στην αρνητική διεύθυνση, χωρίς να προηγηθεί καµπτική διαρροή. Η πρώτη διαφοροποίηση οφείλεται εν µέρει στο γεγονός ότι το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει τη διαρροή της ισοδύναµης διγραµµικής περιβάλλουσας Μ-φ και όχι την πρώτη καµπτική διαρροή του διαµήκους οπλισµού της δοκού. Η δεύτερη διαφοροποίηση οφείλεται σύµφωνα και µε τους πειραµατικούς ερευνητές στην προϋπάρχουσα διατµητική ρηγµάτωση της δοκού που αναπτύχθηκε κατά τη φόρτιση στη θετική διεύθυνση και επηρέασε την οµαλή ανάπτυξη των διατµητικών ρηγµάτων κατά την αντιστροφή της φόρτισης. Καµπτική διαρροή Καµπτική αστοχία ιατµητική ρηγµάτωση ιατµητική διαρροή ιατµητική αστοχία (α) ( οκός δεύτερου ορόφου) -318-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ ( οκός πρώτου ορόφου) (β) ( οκός δευτέρου ορόφου) ( οκός πρώτου ορόφου) (γ) Σχήµα 9.7: Εικόνες βλάβης πλαισίου Duong et al. (2007), α) όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο FSB, β) όπως καταγράφηκε από την πειραµατική διαδικασία στο πέρας της φόρτισης στη θετική διεύθυνση, γ) όπως καταγράφηκε από την πειραµατική διαδικασία στο πέρας της φόρτισης στην αρνητική διεύθυνση. Στο Σχήµα (9.7α) δίνεται η εικόνα βλάβης, που προέβλεψε το αναλυτικό µοντέλο FSB για το ιστορικό των µετακινήσεων που επιβλήθηκε στη διάρκεια του πειράµατος, ενώ στα Σχήµατα (9.7β) και (9.7γ) δίνεται η πραγµατική εικόνα βλάβης του δοκιµίου στο πέρας της φόρτισης κατά τη θετική και αρνητική διεύθυνση αντίστοιχα. Στα Σχήµατα (9.8α-ε) δίνεται η καµπτική και διατµητική υστερητική συµπεριφορά των άκρων και του ενδιάµεσου τµήµατος της δοκού του πρώτου ορόφου, όπως προέκυψε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο FSB. Στα Σχήµατα (9.8α-β) παρουσιάζεται η καµπτική υστερητική συµπεριφορά των δύο άκρων της δοκού. Φαίνεται ότι τα δύο διαγράµµατα Μ-φ είναι αντισυµµετρικά και ότι η δοκός διαρρέει σε κάµψη και στα δύο άκρα της. -319-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Λόγω της ανελαστικής συµπεριφοράς σε κάµψη των δύο άκρων της δοκού και του φαινοµένου της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση προκύπτει η διαφοροποίηση της διατµητικής συµπεριφοράς των δύο άκρων και του ενδιάµεσου τµήµατος της συγκεκριµένης δοκού. Έτσι, ενώ η δρώσα τέµνουσα παραµένει σταθερή σε ολόκληρο το µήκος της, τα δύο άκρα της δοκού αναπτύσσουν σηµαντικά µεγαλύτερες διατµητικές παραµορφώσεις σε σχέση µε το ενδιάµεσο τµήµα της. Ροπή Moment (knm) 200 a) α) 150 β) b) 100 50 0-0.04-0.02 0.00-50 0.02 0.04 0.06 0.08-100 -150-200 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) (rad/m) Ροπή Moment (knm) 200 150 100 0-0.08-0.06-0.04-0.02 0.00-50 0.02 0.04 50-100 -150-200 Καµπυλότητα Curvature (rad/m) γ) c) 300 200 δ) d) 300 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-0.020-0.010 0.000 0.010 0.020-100 -200-300 ιατµητική Shear Strain παραµόρφωση Τέµνουσα Shear (kn) 100 0-0.020-0.010 0.000 0.010 0.020-100 -200-300 ιατµητική Shear Strain παραµόρφωση ε) e) 300 200 Τέµνουσα Shear (kn) (kn) 100 0-0.020-0.010 0.000 0.010 0.020-100 -200-300 ιατµητική Shear Strain παραµόρφωση Σχήµα 9.8: α) Σχέση Μ-φ αριστερού άκρου, β) σχέση Μ-φ δεξιού άκρου, γ) σχέση V-γ αριστερού άκρου, δ) Σχέση V-γ ενδιάµεσου τµήµατος, ε) σχέση V-γ δεξιού άκρου δοκού 1 ου ορόφου πλαισίου Duong et al. (2007). Στο Σχήµα (9.9) γίνεται σύγκριση των σχέσεων V base - top, όπως προκύπτουν από τα αναλυτικά προσοµοίωµατα F, FB και FSB του πλαισίου για τη στατική ανακυκλιζόµενη φόρτιση της παρούσας ενότητας. Το µοντέλο FS δεν παρουσιάζεται, καθώς αναπτύσσει διατµητική αστοχία πριν τη µέγιστη µετακίνηση της θετικής διεύθυνσης και συνεπώς η απόκριση που προκύπτει είναι όµοια µε την καµπύλη της µονότονης φόρτισης της 9.2.2.3. Καθίσταται σαφές από το συγκεκριµένο σχήµα ότι η αγνόηση των ολισθητικών και των διατµητικών παραµορφώσεων οδηγεί σε σηµαντική υπερεκτίµηση της αρχικής δυσκαµψίας του πλαισίου αλλά και της συνολικής αντοχής του σε όρους -320-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ τέµνουσας βάσης για την ίδια στάθµη επιβαλλόµενης πλευρικής µετακίνησης. Η παρατήρηση αυτή ισχύει και για τις δύο διευθύνσεις της φόρτισης. Το γεγονός αυτό έχει σαν αποτέλεσµα, η ικανότητα απορρόφησης σεισµικής ενέργειας του πλαισίου να υπερεκτιµάται σηµαντικά, όταν αγνοείται η ολίσθηση και η διάτµηση στην ανάλυση του φορέα. Horizontal ύναµη Force (kn) (kn) 500 400 300 200 100 0-60 -40-20 0 20 40 60-100 -200-300 -400 Πείραµα Experiment Μοντέλο MODEL FSB Μοντέλο MODEL FB Μοντέλο MODEL F -500 Μετακίνηση (mm) Displacement (mm). Σχήµα 9.9: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής υπό ανακυκλιζόµενη στατική φόρτιση επιβαλλόµενων µετακινήσεων από τα αναλυτικά προσοµοίωµατα F, FΒ και FSB του πλαισίου Duong et al. (2007) και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. 9.2.2.5 Ανάλυση σεισµικής βλάβης πλαισίου Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης σεισµικής βλάβης του εξεταζόµενου πλαισίου για την ανακυκλιζόµενη στατική επιβολή µετακινήσεων της προηγούµενης παραγράφου. Στα Σχήµατα (9.10α-δ) παρουσιάζεται η κατανοµή του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης (µέγιστες τιµές), όπως προέκυψαν στο πέρας της ανάλυσης της προηγούµενης παραγράφου από το αναλυτικό προσοµοίωµα FSB. Από τα σχήµατα αυτά φαίνεται ότι οι τιµές του καµπτικού δείκτη είναι παντού µικρές, γεγονός που φανερώνει ότι το πλαίσιο δεν είναι κρίσιµο καµπτικά. Η µεγαλύτερη τιµή παρουσιάζεται στη δοκό του πρώτου ορόφου η οποία και διαρρέει σε κάµψη. Οι τιµές του διατµητικού δείκτη βλάβης είναι σηµαντικές µόνο για τις δοκούς του πλαισίου. Ειδικά η υψηλή τιµή του δείκτη στη δοκό του πρώτου ορόφου (0.859) φανερώνει ότι η συγκεκριµένη δοκός πλησίασε αρκετά κοντά στη διατµητική αστοχία. Ο ολισθητικός δείκτης βλάβης έχει πολύ µικρές τιµές στα στοιχεία του πλαισίου µε εξαίρεση τα άκρα των υποστυλωµάτων που συντρέχουν στους ενδιάµεσους κόµβους του πρώτου ορόφου του πλαισίου. Ο συνολικός δείκτης βλάβης αποκτά τη µέγιστη τιµή του (0.875) στη δοκό του πρώτου ορόφου απεικονίζοντας τη δυσµενή κατάσταση αυτού του στοιχείου. Σηµαντική τιµή (0.409) αποκτά επίσης στη βάση των υποστυλωµάτων του δευτέρου -321-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ ορόφου λόγω της σηµαντικής απαίτησης συνάφειας που αναπτύσσεται στην περιοχή του συγκεκριµένου κόµβου. 0.014 0.014 0.162 0.162 0.096 0.014 0.014 0.007 0.007 0.01 0.01 0.093 0.859 0.003 0.003 0.183 0.183 0.875 0.022 0.022 0.409 0.409 0.101 0.101 0.875 0.111 0.111 0.004 0.004 0.085 0.085 0.085 0.085 0.859 0.004 0.004 (α) (β) 0.011 0.010 0.020 0.005 0.005 0.349 0.349 0.007 0.007 0.014 0.104 0.104 (γ) (δ) Σχήµα 9.10: Κατανοµή α) καµπτικού, β) διατµητικού, γ) ολισθητικού, δ) συνολικού, τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο των Duong et al. (2007). Στο Σχήµα (9.11α) παρουσιάζεται η κατανοµή των τοπικών, συνολικών δεικτών βλάβης του πλαισίου (δηλ. αυτών που συνεκτιµούν κάµψη, διάτµηση και ολίσθηση), όταν λαµβάνονται υπόψη οι διατµητικές παραµορφώσεις, αλλά αγνοείται η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης µε βάση αυτά που προβλέπονται στην παρούσα διατριβή. Φαίνεται ότι, ενώ για τα υπόλοιπα στοιχεία οι τιµές των δεικτών βλάβης παραµένουν οι ίδιες, για τη δοκό του πρώτου ορόφου οι τιµές του συνολικού δείκτη βλάβης προκύπτουν κατά πολύ µικρότερες, όταν αγνοείται η αλληλεπίδραση. Με αυτόν τον τρόπο δίνεται εσφαλµένη εντύπωση για την πραγµατική κατάσταση του συγκεκριµένου στοιχείου στο πέρας της επιβαλλόµενης φόρτισης. Στο Σχήµα (9.11β) παρουσιάζεται η κατανοµή του δείκτη βλάβης των Park-Ang στα επιµέρους στοιχεία του πλαισίου. Για τον υπολογισµό του συγκεκριµένου δείκτη η διαθέσιµη γωνία στροφής χορδής προσδιορίστηκε από το ισοδύναµο µήκος πλαστικής άρθρωσης που προτείνουν οι Priestley et al. (1996). Είναι σαφές ότι ο συγκεκριµένος δείκτης βλάβης αδυνατεί να απεικονίσει την πραγµατική κατάσταση βλάβης του εξεταζόµενου πλαισίου. Η πολύ χαµηλή τιµή του (0.111) στη δοκό του πρώτου ορόφου οφείλεται στο γεγονός ότι δεν λαµβάνεται υπόψη στον προσδιορισµό της διαθέσιµης -322-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ γωνίας στροφής χορδής των δύο άκρων της δοκού το ενδεχόµενο της πρόωρης διατµητικής αστοχίας. 0.183 0.183 0.082 0.082 0.291 0.022 0.022 0.416 0.416 0.103 0.103 0.283 0.111 0.078 0.078 0.112 0.113 0.029 0.029 0.058 0.058 0.111 0.030 0.030 (α) (β) Σχήµα 9.11: Κατανοµή συνολικού τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο Duong et al. (2007), α) αγνοώντας την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης, β) όπως προτείνεται από τους Park-Ang (1987). -323-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 9.3 Πειραµατικό Πλαίσιο Specimen 1 (Elwood & Moehle, 2003) 9.3.1 Περιγραφή πλαισίου Οι Elwood & Moehle (2003, 2008) εξέτασαν τη συµπεριφορά ενός µονώροφου τρίστυλου πλαισίου από οπλισµένο σκυρόδεµα (Σχήµα 9.12). Κύριος στόχος της συγκεκριµένης πειραµατικής εργασίας ήταν η µελέτη της συµπεριφοράς υποστυλωµάτων που διαρρέουν αρχικά σε κάµψη, στη συνέχεια αστοχούν διατµητικά, ενώ στο τέλος χάνουν και την ικανότητα τους για µεταφορά αξονικού φορτίου. Το κεντρικό υποστύλωµα του πλαισίου σχεδιάστηκε κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να είναι κρίσιµο σε διατµητική αστοχία µετά την καµπτική διαρροή. Ουσιαστικά αποτελεί µεταφορά σε κλίµακα 1:2 του αντίστοιχου πειραµατικού δοκιµίου των Sezen & Moehle (2002) που µελετήθηκε στο Κεφάλαιο 8 της παρούσας διατριβής. Η γεωµετρία και η όπλιση του συγκεκριµένου υποστυλώµατος παρουσιάζονται στην τοµή Α-Α του Σχήµατος (9.13). Οι δύο ακραίοι στύλοι του πλαισίου κατασκευάστηκαν µε πλάστιµη διαµόρφωση, ώστε να διαρρέουν σε κάµψη πριν από τη διατµητική αστοχία του µεσαίου στύλου και επιπλέον να είναι σε θέση να αναλάβουν το πρόσθετο αξονικό φορτίο που θα τους µεταβιβαστεί µετά την απώλεια της ικανότητας του µεσαίου υποστυλώµατος για µεταφορά κατακόρυφων φορτίων. Η γεωµετρία και η όπλιση των εξωτερικών υποστυλωµάτων παρουσιάζονται στην τοµή Β-Β του Σχήµατος (9.13). Η δοκός κατασκευάστηκε ιδιαίτερα ισχυρή µε βάση τη λογική των παλαιοτέρων κανονισµών και εξασφαλίστηκε ότι δεν θα διαρρεύσει σε κάµψη, ούτε θα ρηγµατωθεί διατµητικά. Η γεωµετρία και η όπλιση της συγκεκριµένης δοκού παρουσιάζονται στο Σχήµα (9.13). α) -324-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ β) 520,9 1537 610 343,3 γ) 1588,8 317,7 401,1 401,1 1474 254 228 1270,6 1269,8 368,5 FRONT Πρόσοψη VIEW Πλάγια SIDE VIEW όψη Σχήµα 9.12: α) Εικόνα πριν την έναρξη της πειραµατικής διαδικασίας, β) όπλιση, γ) γεωµετρία πειραµατικού πλαισίου Elwood & Moehle (2003). Σχήµα 9.13: Όπλιση τυπικών διατοµών πλαισίου Elwood & Moehle (2003). -325-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Η µέση θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος στα επιµέρους στοιχεία του πλαισίου µετρήθηκε ίση µε 24.6MPa. Η επικάλυψη που χρησιµοποιήθηκε σε όλα τα δοµικά στοιχεία ήταν 2.5cm. Η αγκύρωση της σπείρας των εξωτερικών υποστυλωµάτων έγινε µε άγκιστρα 135 ο, ενώ των συνδετήρων του κεντρικού υποστυλώµατος µε άγκιστρο 90 ο. Η σπείρα των εξωτερικών υποστυλωµάτων συνεχίζει µε το ίδιο βήµα και κατά µήκος της αγκύρωσης του διαµήκους οπλισµού. Αντίθετα, στο κεντρικό υποστύλωµα γίνεται ισχυροποίηση των συνδετήρων στην περιοχή των κόµβων και τοποθετούνται τρίτµητοι συνδετήρες διαµέτρου 9.5mm σε αποστάσεις 51mm. Οµοίως, στην περιοχή της αγκύρωσης του διαµήκους οπλισµού της δοκού στους εξωτερικούς κόµβους γίνεται πύκνωση του εγκάρσιου οπλισµού σε αποστάσεις 51mm. Στον Πίνακα (9.7) παρατίθενται οι κύριες µηχανικές ιδιότητες του χάλυβα ανά περιοχή όπλισης του πειραµατικού πλαισίου, όπως προέκυψαν από τις µέσες τιµές των δοκιµών εφελκυσµού που υλοποιήθηκαν από τους συγκεκριµένους ερευνητές. Επί των δοκών του υπό εξέταση πλαισίου τοποθετήθηκαν κατάλληλα έρµατα (Σχήµα 9.12) συνολικού βάρους ίσου µε 298.2kN τα οποία αποσκοπούσαν στο να προκαλέσουν ανηγµένο αξονικό φορτίο στο κεντρικό υποστύλωµα περίπου ίσο µε 10%. Στη συνέχεια το πειραµατικό πλαίσιο τοποθετήθηκε στη σεισµική τράπεζα και υποβλήθηκε σε οριζόντια, µονοαξονική σεισµική διέγερση που προέκυψε από κατάλληλη τροποποίηση σεισµικής διέγερσης που καταγράφηκε στο σεισµό της Χιλής το 1985. Η συγκεκριµένη σεισµική διέγερση επιλέχθηκε γιατί διαπιστώθηκε ότι είναι ικανή να προκαλέσει την επιθυµητή σεισµική απόκριση του πλαισίου, ενώ ταυτόχρονα µετά από κατάλληλες τροποποιήσεις βρέθηκε ότι δεν υπερβαίνει τις ικανότητες της σεισµικής τράπεζας που χρησιµοποιήθηκε. Πίνακας 9.7: Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα ανά περιοχή όπλισης πλαισίου Elwood & Moehle (2003). Θέση Είδος οπλισµού f y (MPa) f u (MPa) ε sh (%) ε su (%) Κεντρικός ιαµήκης 480 690 2.0 20.2 στύλος Εγκάρσιος 690 718 3.6 Εξωτερικοί ιαµήκης 424 656 1.8 20.4 στύλοι Εγκάρσιος 548 725 1.0 13.8 οκοί ιαµήκης 548 725 1.0 13.8 Εγκάρσιος 548 725 1.0 13.8 Οι τροποποιήσεις που εφαρµόστηκαν στην πραγµατική σεισµική διέγερση περιλάµβαναν κατάλληλους καθολικούς µειωτικούς συντελεστές τόσο στις τιµές των επιταχύνσεων όσο και στην κλίµακα του χρόνου, ενώ έγινε χρήση και κατάλληλων φίλτρων συχνοτήτων. Σηµειώνεται ότι διαπιστώθηκε µικρή απόκλιση ανάµεσα στην εισαχθείσα τροποποιηµένη σεισµική διέγερση και στην πραγµατική που καταγράφηκε στη σεισµική τράπεζα λόγω της παρεµβολής των δυναµικών χαρακτηριστικών της τελευταίας. Στο Σχήµα (9.14α) παρουσιάζεται ολόκληρη η καταγεγραµµένη σεισµική διέγερση που εφαρµόστηκε στον πλαισιακό φορέα, ενώ στο Σχήµα (9.14β) παρουσιάζεται η ίδια διέγερση µεταξύ των 10sec και 30sec που αφορούν κατά κύριο -326-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ λόγο την παρούσα διατριβή. Η σεισµική διέγερση που τελικά καταγράφηκε στη σεισµική τράπεζα είχε φασµατική επιτάχυνση PGA=0.79g, φασµατική ταχύτητα PGV=0.39m/sec και µετακίνηση PGD=40.9mm. Το συνολικό πρόγραµµα της φορτιστικής ακολουθίας περιλάµβανε αρχικές δοκιµές ελεύθερης ταλάντωσης για τον προσδιορισµό των δυναµικών χαρακτηριστικών της αρηγµάτωτης κατασκευής. Στη συνέχεια επιβλήθηκε η παραπάνω σεισµική διέγερση σε µικρή ένταση για την έναρξη ρηγµάτωσης της κατασκευής και ακολούθησαν νέες δοκιµές ελεύθερης ταλάντωσης για τον προσδιορισµό των δυναµικών χαρακτηριστικών της ρηγµατωµένης κατασκευής. Τέλος, εφαρµόστηκε η προαναφερθείσα σεισµική διέγερση σε πλήρη ένταση. 1.00 0.75 0.50 Acceleration (g) Επιτάχυνση (g) 0.25 0.00-0.25-0.50-0.75-1.00 1.00 0.75 0.50 0 10 20 30 40 50 60 70 0.79g Χρόνος Time (sec) (α) Acceleration (g) Επιτάχυνση (g) 0.25 0.00 10-0.25 15 20 25 30-0.50-0.75-1.00 Χρόνος (sec) Time (sec) 0.79g (β) Σχήµα 9.14: Καταγεγραµµένη σεισµική διέγερση που εφαρµόστηκε στο πειραµατικό πλαίσιο των Elwood & Moehle (2003): α) Πλήρης καταγραφή, β) Καταγραφή µεταξύ 10sec και 30sec. -327-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 9.3.2 Ανάλυση πλαισιακού φορέα 9.3.2.1 Περιγραφή αναλυτικού προσοµοιώµατος Το πλαίσιο αναλύθηκε µε τη βοήθεια του υπολογιστικού προσοµοιώµατος του Σχήµατος (9.15α). Όπως φαίνεται στο συγκεκριµένο σχήµα, χρησιµοποιήθηκαν τρία πεπερασµένα στοιχεία για τα υποστυλώµατα και δύο πεπερασµένα στοιχεία για τις δοκούς του πλαισίου. Στις περιοχές των κόµβων τοποθετήθηκαν άκαµπτοι βραχίονες. Με βάση και τις λεπτοµέρειες όπλισης της προηγούµενης παραγράφου, θεωρήθηκαν τέσσερις κατηγορίες διατοµών στα πέρατα των µελών του πλαισίου, οι οποίες και φαίνονται στο Σχήµα (9.15β). Στους Πίνακες (9.8), (9.9) και (9.10) παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά σηµεία της καµπτικής, της αρχικής διατµητικής και της ολισθητικής περιβάλλουσας καµπύλης για κάθε µία από τις 4 χαρακτηριστικές κατηγορίες διατοµών του πλαισίου. Για την καµπτική και την ολισθητική περιβάλλουσα καµπύλη οι τιµές των πινάκων αναφέρονται στις εξιδανικευµένες διγραµµικές περιβάλλουσες καµπύλες. Σηµειώνεται ότι, λόγω του µικρού ύψους διατοµής, θεωρήθηκαν καλές συνθήκες συνάφειας για τις δοκούς του πλαισίου, τόσο σε θετική όσο και σε αρνητική κάµψη. BEM 1 BEM 2 COL 1 COL 2 COL3 (α) 3 4 4 3 1 1 2 2 1 1 (β) Σχήµα 9.15: α) Υπολογιστικό προσοµοίωµα και αρίθµηση πεπερασµένων στοιχείων, β) κατηγοριοποίηση ακραίων διατοµών µελών πλαισίου Elwood & Moehle (2003). -328-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Για την αρχική διατµητική περιβάλλουσα και για καλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα, στον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής µε βάση το µοντέλο των Priestley et al. (1994) θεωρήθηκε η γωνία της κρίσιµης ρωγµής ίση µε 45 ο και το µερίδιο αντοχής από τον εγκάρσιο οπλισµό µειωµένο στο 50%. Αντίστοιχη παραδοχή έχει γίνει και για το πειραµατικό δοκίµιο των Sezen & Moehle (2002). Σε κάθε περίπτωση, οι προκύπτουσες περιβάλλουσες είναι συµµετρικές ως προς την αρχή των αξόνων και για αυτόν το λόγο δίνονται µόνον τα σηµεία των θετικών κλάδων. Πίνακας 9.8: Χαρακτηριστικά σηµεία καµπτικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Elwood & Moehle (2003). ιατοµή φ y M y φ u M u (mrad/m) (knm) (mrad/m) (knm) 1 35.5 40.4 707.6 44.7 2 34.8 62.8 242.3 67.0 3 12.0 392.5 260.1 489.2 4 12.0 392.5 260.1 489.2 Πίνακας 9.9: Χαρακτηριστικά σηµεία αρχικής διατµητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου Elwood & Moehle (2003). ιατοµή γ cr V cr γ yw V uo γ u (%) (kn) (%) (kn) (%) 1 0.008 37.3 0.93 469.4 4.00 2 0.008 38.2 0.57 111.1 2.63 3 0.007 356.0 0.86 1499.6 4.00 4 0.007 356.0 0.86 1499.6 4.00 Πίνακας 9.10: Χαρακτηριστικά σηµεία ολισθητικής περιβάλλουσας καµπύλης για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου (Elwood & Moehle 2003). ιατοµή θ y,sl M y,sl θ uf,sl M u θ ub,sl (mrad) (knm) (mrad) (knm) (mrad) 1 3.0 40.4 57.9 44.7 116.4 2 3.8 62.8 9.7 67.0 180.9 3 2.0 392.5 22.3 489.2 38.2 4 0.5 165.5 0.6 174.2 0.6 9.3.2.2 Αποτελέσµατα ιδιοµορφικής ανάλυσης πλαισίου Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ιδιοµορφικής ανάλυσης του εξεταζόµενου πειραµατικού πλαισίου. Για τον συγκεκριµένο τύπο ανάλυσης, αλλά και για τις αναλύσεις που παρουσιάζονται στις επόµενες παραγράφους εφαρµόστηκαν και πάλι τα τέσσερα διαφορετικά αναλυτικά µοντέλα που περιγράφονται στην 9.2.2.2 της παρούσας διατριβής. Για την ιδιοµορφική ανάλυση µπορεί να θεωρηθεί ότι το εξεταζόµενο πλαίσιο έχει µία µόνο ιδιοµορφή, η οποία είναι αυτή που αντιστοιχεί στον οριζόντιο βαθµό -329-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ ελευθερίας της οροφής του πλαισίου. Η ιδιοπερίοδος αυτής της ιδιοµορφής για κάθε εξεταζόµενο µοντέλο παρουσιάζεται στον Πίνακα (9.11). Πίνακας 9.11: Ιδιοπερίοδος πλαισίου Elwood & Moehle (2003) από τα τέσσερα µοντέλα προσοµοίωσης. Μοντέλο F FB FS FSB Τ(sec) 0.283 0.333 0.285 0.335 Στο συγκεκριµένο πίνακα φαίνεται ότι το πλέον δύσκαµπτο µοντέλο είναι (όπως αναµενόταν) το F µε ιδιοπερίοδο 0.283sec. Η επιρροή της ολίσθησης της αγκύρωσης οδηγεί σε αξιοσηµείωτη αύξηση της ιδιοπεριόδου από 0.283sec σε 0.333sec γεγονός που τονίζει τη σηµασία αυτού του µηχανισµού στην αρχική-ελαστική δυσκαµψία του πλαισίου. Η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων οδηγεί σε σχεδόν αµελητέα αύξηση της ιδιοπεριόδου από 0.283sec σε 0.285sec στο FS µοντέλο και από 0.333sec σε 0.335sec στο FSB αναλυτικό µοντέλο. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην µεγάλη τιµή της αρχικής-αρηγµάτωτης δυστµησίας GA sh που επηρεάζει µε αµελητέο τρόπο την οιονεί ελαστική ευκαµψία των στοιχείων του πλαισίου. Από το πρώτο τεστ ελεύθερης ταλάντωσης του πλαισίου (πλήρως αρηγµάτωτες διατοµές) η ιδιοπερίοδος καταγράφηκε πειραµατικά ίση µε 0.22sec. Από τη δεύτερη δοκιµή ελεύθερης ταλάντωσης, µετά την εφαρµογή της σεισµικής διέγερσης σε µικρή κλίµακα και την εµφάνιση των πρώτων ρηγµατώσεων, η ιδιοπερίοδος καταγράφηκε ίση µε 0.30sec. Τέλος, µετά τα πρώτα 10sec της επιβαλλόµενης διέγερσης και την επέκταση των υφιστάµενων ρηγµατώσεων, η ιδιοπερίοδος του πλαισίου µετακινήθηκε στα 0.35sec που βρίσκεται πιο κοντά στις αναλυτικές προβλέψεις των µοντέλων 3 και 4 της παρούσας διατριβής. 9.3.2.3 Αποτελέσµατα ανελαστικής επωθητικής ανάλυσης (pushover analysis) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανελαστικής επωθητικής (pushover) ανάλυσης του πλαισίου για τους τέσσερις διαφορετικούς τρόπους προσοµοίωσης. Στο Σχήµα (9.16) παρατίθενται οι καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής (V base - top ) του πλαισίου, όπως αυτές προέκυψαν για τα διαφορετικά µοντέλα προσοµοίωσης. Στο ίδιο σχήµα παρατίθεται η ίδια σχέση, όπως καταγράφηκε πειραµατικά στο 1 ο τεταρτηµόριο της απόκρισης. Από το Σχήµα (9.16) γίνεται φανερό ότι οι καµπύλες V base - top είναι δυνατόν να διαφέρουν σηµαντικά µεταξύ τους ανάλογα µε το υιοθετούµενο µοντέλο προσοµοίωσης της κατασκευής. Το µοντέλο F οδηγεί σε σηµαντική υπερεκτίµηση της οιονεί ελαστικής δυσκαµψίας της κατασκευής αλλά και σε σηµαντική υποεκτίµηση της µετακίνησης αστοχίας. Η προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης οδηγεί σε σηµαντική µείωση της αρχικής δυσκαµψίας του αναλυτικού µοντέλου FB σε σχέση µε το F. Η δυσκαµψία αυτή είναι πολύ κοντά στην αρχική πειραµατική. ιαφοροποίηση ανάµεσα στην αναλυτική πρόβλεψη και την πειραµατική καταγραφή παρατηρείται µετά από τιµή της τέµνουσας βάσης περίπου ίσης µε 150kN, όπου το αναλυτικό µοντέλο αδυνατεί να -330-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ προσοµοιώσει τη σταδιακή µείωση της δυσκαµψίας που έλαβε χώρα πειραµατικά. Η αναλυτική πρόβλεψη της µετακίνησης αστοχίας του FB είναι 38.8mm που υπολείπεται αρκετά από την µετακίνηση των 50mm περίπου, όπου αρχίζει να λαµβάνει χώρα η σταδιακή αποµείωση της πλευρικής αντοχής του πειραµατικού δοκιµίου. 200 Πείραµα EXPERIMENT Μοντέλο MODEL F Μοντέλο MODEL FB Μοντέλο MODEL FS Μοντέλο MODEL FSB Τέµνουσα SHEAR Βάσης (kn) 100 0 0 20 40 60 80 100 Μετακίνηση DISPLACEMENT (mm) (mm) Σχήµα 9.16: Καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου Elwood & Moehle (2003) µε τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Η αρχική δυσκαµψία του αναλυτικού µοντέλου FS είναι σχεδόν ταυτόσηµη µε αυτήν του F. Ωστόσο, όταν η τέµνουσα βάσης υπερβεί τα 100kN, τότε το αναλυτικό µοντέλο FS προβλέπει µια πιο έντονη αποµείωση της πλευρικής δυσκαµψίας προσεγγίζοντας καλύτερα την πειραµατική συµπεριφορά. Σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, η πρόβλεψή του βρίσκεται αρκετά µακριά από την πραγµατική απόκριση, ενώ και η µετακίνηση αστοχίας που προκύπτει (29.4mm) υποεκτιµά σε σηµαντικό βαθµό την πειραµατική. Η αρχική δυσκαµψία του αναλυτικού µοντέλου FSB είναι σχεδόν ταυτόσηµη µε αυτή του προσοµοιώµατος FB. Το συγκεκριµένο µοντέλο, όµως, προβλέπει ικανοποιητικά τη δυσκαµψία του πλαισίου και µετά την τέµνουσα βάσης των 150kN, καθώς είναι σε θέση να λάβει υπόψη του το φαινόµενο της διατµητικής ρηγµάτωσης και της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. Η µετακίνηση αστοχίας του προσοµοιώµατος FSB προέκυψε ίση µε 45.5mm και βρίσκεται αρκετά κοντά στην πειραµατική µετακίνηση µετά την οποία αρχίζει η σταδιακή µείωση της πλευρικής αντοχής (50mm). Παρατηρείται µικρή υπερεκτίµηση της συνολικής πλευρικής αντοχής του πλαισίου από το µοντέλο FSB, που πρέπει να αποδοθεί στην υπερεκτίµηση της ροπής διαρροής του κεντρικού υποστυλώµατος (Elwood & Moehle 2003). Στο Σχήµα (9.17) παρουσιάζεται η εικόνα αστοχίας του πλαισίου µετά το πέρας της πειραµατικής δοκιµής, ενώ στο Σχήµα (9.18) παρουσιάζονται οι εικόνες αστοχίας του πειραµατικού πλαισίου, όπως προέκυψαν από τα τέσσερα αναλυτικά προσοµοιώµατα. Είναι σαφές ότι τα αναλυτικά προσοµοιώµατα FS και FSB προβλέπουν την πραγµατική -331-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ κατάσταση βλάβης του πλαισίου, δηλαδή την ανάπτυξη διατµητικής αστοχίας στην κεφαλή του κεντρικού υποστυλώµατος σε συνδυασµό µε την εµφάνιση καµπτικών πλαστικών αρθρώσεων στις κεφαλές και τους πόδες των ακραίων υποστυλωµάτων. Αντίθετα, τα αναλυτικά µοντέλα F και FB προβλέπουν ότι το πλαίσιο θα αστοχήσει καµπτικά στον πόδα του κεντρικού υποστυλώµατος. Αξίζει να εξεταστεί η συµπεριφορά του αναλυτικού µοντέλου FSB, όταν δε ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης µε βάση τη µεθοδολογία που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Όταν αγνοείται πλήρως η αλληλεπίδραση της κάµψης µε τη διάτµηση, τότε το µοντέλο FSB προβλέπει την ανάπτυξη αστοχίας καµπτικού τύπου σε πλευρική µετακίνηση 45.7mm στη βάση του κεντρικού υποστυλώµατος, όπως φαίνεται και στο Σχήµα (9.19α). Υπενθυµίζεται ότι αντίστοιχη πρόβλεψη κάνουν τα µοντέλα F και FB. Αντίθετα, όταν γίνει η συντηρητική θεώρηση ότι η διατµητική αντοχή του σκυροδέµατος είναι εξαρχής µειωµένη στην ελάχιστη τιµή της, που προκύπτει στο µοντέλο των Priestley et al. (1994) για µ φ >15, τότε η µετακίνηση αστοχίας που προκύπτει πάλι από το µοντέλο FSB είναι ίση µόλις µε 16.9mm. Συνεπώς, η συγκεκριµένη προσέγγιση, που συµβαδίζει µε τη φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισµικών κανονισµών, υποεκτιµά σε πολύ µεγάλο βαθµό την ικανότητα µετακίνησης του εξεταζόµενου πλαισίου. Η µορφή αστοχίας που προκύπτει από τη συγκεκριµένη προσέγγιση είναι η ταυτόχρονη διατµητική αστοχία στην κεφαλή και τον πόδα του κεντρικού υποστυλώµατος, χωρίς να προηγηθεί καµπτική διαρροή σε αυτό ή στους ακραίους στύλους. Η µορφή αυτή δε συµπίπτει µε τις πειραµατικές διαπιστώσεις (Elwood & Moehle 2003). Σχήµα 9.17: Εικόνα αστοχίας πλαισίου Elwood & Moehle (2003) µετά το πέρας της πειραµατικής διαδικασίας -332-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Flexural Καµπτική Yielding διαρροή Flexural Καµπτική Failure αστοχία (α) Shear ιατµητική Cracking ρηγµάτωση Shear ιατµητική Yielding διαρροή Shear ιατµητική Failure αστοχία (β) Σχήµα 9.18: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου Elwood & Moehle (2003) µε τα µοντέλα α) F και FB, β) FS και FSB. Flexural Καµπτική Yielding διαρροή Flexural Καµπτική Failure αστοχία Shear ιατµητική Cracking ρηγµάτωση (α) Shear ιατµητική Yielding διαρροή Shear ιατµητική Failureαστοχία (β) Σχήµα 9.19: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου Elwood & Moehle (2003) από το µοντέλο FSB α) αν αγνοηθεί η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης, β) αν ληφθεί εξαρχής η ελάχιστη διατµητική αντοχή του µεριδίου σκυροδέµατος. -333-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 9.3.2.4 Αποτελέσµατα ανελαστικής, δυναµικής ανάλυσης χρονοϊστορίας (inelastic time history analysis) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης του πλαισιακού φορέα µε βάση την οριζόντια σεισµική διέγερση που εφαρµόστηκε κατά την πειραµατική διαδικασία και η οποία περιγράφεται στην παράγραφο 9.3.1. Τα αποτελέσµατα της αποτίµησης του πλαισιακού φορέα που παρατίθενται στη συνέχεια προέκυψαν µε βήµα ανάλυσης ίσο µε 0.005sec, ενώ η ιξώδης απόσβεση ορίστηκε στο 1% της κρίσιµης τιµής της. Αν και το ποσοστό της κρίσιµης απόσβεσης που εφαρµόστηκε είναι µικρότερο από αυτό που µετρήθηκε από τους Elwood & Moehle (2003) στις δοκιµές ελεύθερης ταλάντωσης και το οποίο κυµαινόταν από 2%- 4%, η συγκεκριµένη τιµή επιλέχθηκε, διότι έδωσε την καλύτερη σύγκλιση µε πειραµατικά αποτελέσµατα. Για τον ίδιο λόγο, το µητρώο της ιξώδους απόσβεσης θεωρήθηκε ότι είναι ανάλογο του εφαπτοµενικού µητρώου δυσκαµψίας της κατασκευής (stiffness proportional damping) και δεν λήφθηκε από το κλασσικό µοντέλο Rayleigh. Σηµειώνεται, ωστόσο, ότι οι συγκεκριµένες επιλογές για την ιξώδη απόσβεση δεν επηρέασαν σε σηµαντικό βαθµό τα αποτελέσµατα της ανάλυσης. Στα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται στη συνέχεια δεν περιλαµβάνονται τα πρώτα 5sec της σεισµικής διέγερσης, καθώς η απόκριση του πλαισίου σε αυτό το χρονικό διάστηµα ήταν σχεδόν µηδενική. Στο Σχήµα (9.20α) γίνεται σύγκριση της χρονοϊστορίας µετακίνησης κορυφής του πλαισίου, όπως προβλέφθηκε από το αναλυτικό µοντέλο FSB της παρούσας διατριβής και όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Είναι σαφές ότι το αναλυτικό µοντέλο ακολουθεί πολύ ικανοποιητικά την απόκριση του πλαισίου µέχρι και τα πρώτα περίπου 17.5sec της σεισµικής διέγερσης. Σε αυτό το χρονικό σηµείο το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού στην κεφαλή και τον πόδα του κεντρικού υποστυλώµατος. Η διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού όµως στο αναλυτικό µοντέλο δεν συνοδεύεται από πτώση της διατµητικής αντοχής του κεντρικού υποστυλώµατος, όπως διαπιστώθηκε στην πειραµατική καταγραφή. Η διαφοροποίηση αυτή πιθανότατα οδήγησε και στην απόκλιση ανάµεσα στην αναλυτική πρόβλεψη και την πειραµατική καταγραφή που παρατηρείται στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 18.6sec και 23.1sec. Μετά από αυτό το στάδιο, το αναλυτικό µοντέλο αρχίζει να ακολουθεί πάλι ικανοποιητικά την πειραµατική καταγραφή µέχρι περίπου τα 25.6sec, οπότε και προκύπτει διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού του κεντρικού υποστυλώµατος στην άλλη διεύθυνση φόρτισης. Καθώς το αναλυτικό µοντέλο δεν προσοµοιώνει τη πτώση της διατµητικής αντοχής που καταγράφεται πειραµατικά αυτήν τη χρονική στιγµή παρατηρείται απόκλιση στη συνέχεια ανάµεσα στην αναλυτική πρόβλεψη και την πραγµατική απόκριση του πλαισίου. Τέλος, το αναλυτικό µοντέλο προβλέπει διατµητική αστοχία της κεφαλής του κεντρικού υποστυλώµατος στα 28.5sec και η ανάλυση τερµατίζεται, αφού δεν έχει γίνει πρόβλεψη για τη συµπεριφορά µετά τη διατµητική αστοχία. -334-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 90 60 30 0-30 -60-90 Analysis Ανάλυση Experiment Πείραµα 5 10 15 20 25 30 Μετακίνηση (mm) DISPLACEMENT (mm) 250 150 50-50 α) Analysis Ανάλυση Πείραµα Experiment Χρόνος TIME (sec) ιατµητική Shear failure αστοχία ιατµητική Shear failure αστοχία 5 10 15 20 25 30 SHEAR Τέµνουσα (mm) (kn) -150 β) -250 Χρόνος TIME (sec) Σχήµα 9.20: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων του FSB µοντέλου της παρούσας διατριβής και των πειραµατικών καταγραφών αναφορικά µε α) την οριζόντια µετακίνηση κορυφής, β) την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003). -335-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Στο Σχήµα (9.20β) γίνεται η σύγκριση της χρονοϊστορίας της τέµνουσας βάσης του πλαισίου, όπως προβλέπεται από το αναλυτικό µοντέλο και όπως µετρήθηκε κατά τη διάρκεια του πειράµατος. Η σύγκλιση είναι πολύ ικανοποιητική στο σύνολο σχεδόν της απόκρισης του πλαισίου µε εξαίρεση ίσως εκείνα τα διαστήµατα αµέσως µετά την εµφάνιση της πτώσης της διατµητικής αντοχής του κεντρικού υποστυλώµατος, που περιγράφηκαν στις προηγούµενες παραγράφους Στο Σχήµα (9.21α) γίνεται σύγκριση της αναλυτικής και πειραµατικής σχέσης συνολικής τέµνουσας βάσης - µετακίνησης κορυφής του εξεταζόµενου πλαισίου. Η σύγκλιση σε γενικές γραµµές είναι πολύ ικανοποιητική µέχρι και το σηµείο έναρξης της αποµείωσης της πλευρικής αντοχής το οποίο βρίσκεται και πολύ κοντά στο σηµείο αστοχίας του αναλυτικού µοντέλου. Ικανοποιητικά προβλέπεται, επίσης, η αρχική (ελαστική) πλευρική δυσκαµψία του πλαισίου, καθώς και οι κλάδοι αποφόρτισης και επαναφόρτισης. Στο Σχήµα (9.21β) γίνεται σύγκριση της αναλυτικής και πειραµατικής σχέσης της τέµνουσας του κεντρικού υποστυλώµατος και της µετακίνησης κορυφής του εξεταζόµενου πλαισίου. Η αρχική πλευρική δυσκαµψία του κεντρικού υποστυλώµατος προβλέπεται επαρκώς, ωστόσο παρατηρείται υπερεκτίµηση της διατµητικής αντοχής, που οφείλεται στην υπερεκτίµηση της ροπής διαρροής του συγκεκριµένου υποστυλώµατος. Αντίστοιχη υπερεκτίµηση της πλευρικής αντοχής παρατήρησαν στις αναλυτικές τους µελέτες και οι Elwood & Moehle (2003). εδοµένης της ικανοποιητικής πρόβλεψης της συνολικής πλευρικής αντοχής του εξεταζόµενου πλαισίου, εξάγεται το συµπέρασµα ότι έλαβε χώρα και µικρή υποεκτίµηση της πλευρικής αντοχής των ακραίων υποστυλωµάτων από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. α) 250 150 Τέµνουσα SHEAR (kn) 50-100 -50 0-50 50 100 Πείραµα Experiment -150 Ανάλυση Analysis -250 Μετακίνηση DISPLACEMENT (mm) (mm) -336-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ β) 125 75 Τέµνουσα SHEAR (kn) 25-100 -50 0-25 50 100 Πείραµα Experiment -75 Ανάλυση Analysis -125 Μετακίνηση (mm) DISPLACEMENT (mm) Σχήµα 9.21: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων του FSB µοντέλου και των πειραµατικών καταγραφών αναφορικά µε α) τη σχέση τέµνουσας βάσης-µετακίνησης κορυφής, β) τη σχέση τέµνουσας κεντρικού υποστυλώµατος-µετακίνησης κορυφής του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003). Στο Σχήµα (9.22) παρατίθενται οι βρόχοι υστέρησης του κεντρικού υποστυλώµατος, όπως προέκυψαν στο πέρας της αναλυτικής διαδικασίας. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τόσο η κεφαλή όσο και ο πόδας του συγκεκριµένου υποστυλώµατος έχουν διαρρεύσει αρχικά σε κάµψη (και κατά επέκταση σε ολίσθηση). Η διατµητική συµπεριφορά τόσο της κεφαλής όσο και του πόδα διαφοροποιούνται σηµαντικά σε σχέση µε αυτήν του ενδιάµεσου τµήµατος λόγω του µηχανισµού της αλληλεπίδρασης της κάµψης µε τη διάτµηση. Τόσο στην κεφαλή όσο και στον πόδα του συγκεκριµένου υποστυλώµατος λαµβάνει χώρα διαρροή του εγκάρσιου οπλισµού, ωστόσο µόνον η κεφαλή αστοχεί διατµητικά. Στο Σχήµα (9.23) παρατίθενται οι σχέσεις υστέρησης του ακραίου αριστερά υποστυλώµατος, όπως προέκυψαν στο πέρας της αναλυτικής διαδικασίας. Ανάλογες είναι και οι σχέσεις του δεξιού υποστυλώµατος. Παρατηρείται ότι και τα δύο αυτά υποστυλώµατα διαρρέουν σε κάµψη, ωστόσο δεν αστοχούν διατµητικά. Παρόλ' αυτά, οι διατµητικές παραµορφώσεις στις περιοχές των πλαστικών αρθρώσεων είναι σηµαντικά µεγαλύτερες από αυτές του ενδιάµεσου τµήµατος. -337-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 80.0 α) β) 80.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 40.0 0.0-0.30-0.20-0.10 0.00 0.10 0.20 0.30-40.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 40.0 0.0-0.30-0.20-0.10 0.00 0.10 0.20 0.30-40.0-80.0 Καµπυλότητα CURVATURE (1/m) (rad/m) 80.0 γ) δ) -80.0 CURVATURE Καµπυλότητα (1/m) (rad/m) 80.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 40.0 0.0-0.02-0.01 0.01 0.02-40.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 40.0 0.0-0.02-0.01 0.00 0.01 0.02-40.0-80.0 Στροφή ROTATION (rad) (rad) -80.0 Στροφή ROTATION (rad) (rad) ε) 100.0 στ) 100.0 Τέµνουσα SHEAR (kn) (kn) 50.0 0.0-0.030-0.020-0.010 0.000 0.010 0.020 0.030-50.0 Τέµνουσα SHEAR (kn) 50.0 0.0-0.030-0.020-0.010 0.000 0.010 0.020 0.030-50.0-100.0 ιατµητική DISTORTION παραµόρφωση (rad) -100.0 ιατµητική DISTORTION παραµόρφωση (rad) ζ) 100.0 Τέµνουσα SHEAR (kn) 50.0 0.0-0.030-0.020-0.010 0.000 0.010 0.020 0.030-50.0-100.0 ιατµητική DISTORTION παραµόρφωση (rad) Σχήµα 9.22: Υστερητικές σχέσεις κεντρικού υποστυλώµατος πλαισίου Elwood & Moehle (2003), α) Μ-φ πόδα, β) Μ-φ κεφαλής, γ) Μ-θ slip πόδα, δ) Μ-θ slip κεφαλής, ε) V-γ πόδα, στ) V-γ κεφαλής, ζ) V-γ ενδιάµεσου τµήµατος. -338-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 60.0 α) β) 60.0 MOMENT Ροπή (knm) (knm) 20.0-0.30-0.10 0.10 0.30-20.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 20.0-0.30-0.10 0.10 0.30-20.0-60.0 Καµπυλότητα CURVATURE (rad/m) (1/m) -60.0 Καµπυλότητα CURVATURE (1/m) (rad/m) 60.0 γ) δ) 60.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 20.0-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03-20.0 Ροπή MOMENT (knm) (knm) 20.0-0.03-0.02-0.01 0.01 0.02 0.03-20.0-60.0 Στροφή ROTATION (rad) (rad) -60.0 ROTATION Στροφή (rad) (rad) ε) 80.0 στ) 80.0 Τέµνουσα SHEAR (kn) 40.0 0.0-0.002-0.001 0.000 0.001 0.002-40.0 Τέµνουσα SHEAR (kn) 40.0 0.0-0.002-0.001 0.000 0.001 0.002-40.0-80.0 ιατµητική DISTORTION παραµόρφωση (rad) -80.0 ιατµητική DISTORTION παραµόρφωση (rad) ζ) 80.0 40.0 Τέµνουσα SHEAR (kn) 0.0-0.002-0.001 0.000 0.001 0.002-40.0-80.0 ιατµητική DISTORTION παραµόρφωση (rad) Σχήµα 9.23: Υστερητικές σχέσεις αριστερού ακραίου υποστυλώµατος πλαισίου Elwood & Moehle (2003), α) Μ-φ πόδα, β) Μ-φ κεφαλής, γ) Μ-θ slip πόδα, δ) Μ-θ slip κεφαλής, ε) V-γ πόδα, στ) V-γ κεφαλής, ζ) V-γ ενδιάµεσου τµήµατος. -339-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Στη συνέχεια περιγράφεται, εν συντοµία, η ακολουθία ανάπτυξης της σεισµικής βλάβης, όπως προβλέφθηκε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο. Μέχρι και τη χρονική στιγµή t=14.2sec έχουν ρηγµατωθεί διατµητικά και τα τρία υποστυλώµατα του εξεταζόµενου πλαισίου. Από εκείνη τη στιγµή µέχρι και τη στιγµή t=15.9sec διαρρέουν σταδιακά οι κεφαλές και οι πόδες των δύο ακραίων υποστυλωµάτων. Τη στιγµή t=16.1sec διαρρέει η βάση του κεντρικού υποστυλώµατος, ενώ για t=16.3sec η κεφαλή του. Λόγω της αλληλεπίδρασης της κάµψης και της διάτµησης, τη στιγµή t=17.5sec διαρρέει ο εγκάρσιος οπλισµός στην κεφαλή και τον πόδα του κεντρικού υποστυλώµατος. Τέλος, τη στιγµή t=28.5sec η κεφαλή του κεντρικού υποστυλώµατος αστοχεί διατµητικά. Η πρόβλεψη της ακολουθίας ανάπτυξης της δοµικής βλάβης του πλαισίου βρίσκεται σε καλή συµφωνία µε τις πειραµατικές καταγραφές. Στα Σχήµατα (9.24α-γ) δίνεται η κατάσταση βλάβης του πλαισίου, όπως προβλέπεται από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο τις χρονικές στιγµές t=16.7sec, t=24.9sec και στο πέρας της ανάλυσης (t=28.5sec). Στα Σχήµατα (9.24δ-στ) δίνεται η πειραµατική εικόνα της βλάβης της κεφαλής του κεντρικού υποστυλώµατος τις στιγµές t=16.7sec, t=24.9sec και t=29.8sec. Είναι σαφές ότι το αναλυτικό µοντέλο ακολουθεί ικανοποιητικά την εξέλιξη της σεισµικής βλάβης στην κεφαλή του συγκεκριµένου υποστυλώµατος. Στα Σχήµατα (9.25-9.27) δίνονται οι συγκρίσεις των αναλυτικών προβλέψεων των µοντέλων F, FB και FS µε τις πειραµατικές καταγραφές αναφορικά µε τη χρονοϊστορία της µετακίνησης κορυφής και της τέµνουσας βάσης του πλαισιακού φορέα. Είναι σαφές ότι η πρόβλεψη των αναλυτικών µοντέλων F και FS είναι φτωχή σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης τόσο για την µετακίνηση όσο και για την τέµνουσα βάσης. Το µοντέλο F προβλέπει καµπτική αστοχία στον πόδα του κεντρικού υποστυλώµατος, που δεν ανταποκρίνεται στην τελική εικόνα βλάβης του πλαισίου. Το µοντέλο FS προβλέπει αστοχία διατµητικού τύπου στην κεφαλή του κεντρικού υποστυλώµατος, όπως και το µοντέλο FSB. Το µοντέλο FB προσδιορίζει µε ικανοποιητική ακρίβεια το ιστορικό µετακίνησης της κορυφής του πλαισίου. Ωστόσο, προβλέπει εσφαλµένα ότι αναπτύσσεται αστοχία καµπτικής µορφής στον πόδα του κεντρικού υποστυλώµατος την χρονική στιγµή t=17.5sec. Επίσης, στo χρονικό διάστηµα από t=14sec έως t=17.5sec οι αποκλίσεις που παρατηρούνται αναφορικά µε την τέµνουσα βάσης της πειραµατικής καταγραφής είναι σηµαντικά µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες προβλέψεις του µοντέλου FSB. -340-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ δ) α) ε) β) στ) γ) Σχήµα 9.24: Κατάσταση βλάβης πλαισίου Elwood & Moehle (2003) α) από ανάλυση για t=16.7sec, β) από ανάλυση για t=24.9sec, γ) από ανάλυση για t=28.5sec, δ) κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος από πείραµα για t=16.7sec, ε) κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος από πείραµα για t=24.9sec, στ) κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος από πείραµα για t=29.8sec. -341-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 90 60 30 0-30 -60-90 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment 5 10 15 20 25 30 DISPLACEMENT Μετακίνηση (mm) (mm) 250 150 50-50 α) Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment Χρόνος TIME (sec) (sec) Καµπτική Flexural αστοχία failure Καµπτική Flexural αστοχία failure 5 10 15 20 25 30 Shear Τέµνουσα (kn) (kn) -150-250 β) Χρόνος TIME (sec) (sec) Σχήµα 9.25: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων µοντέλου F και πειραµατικής καταγραφής α) για τη µετακίνηση κορυφής, β) για την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003). -342-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 90 60 30 0-30 -60 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment 5 10 15 20 25 30 Καµπτική Flexural αστοχία failure DISPLACEMENT Μετακίνηση (mm) (mm) -90 250 150 50-50 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment Χρόνος TIME (sec) (sec) 5 10 15 20 25 30 SHEAR Τέµνουσα (kn) (kn) -150-250 Καµπτική Flexural αστοχία failure Χρόνος TIME (sec) (sec) Σχήµα 9.26: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων µοντέλου FB και πειραµατικής καταγραφής α) για τη µετακίνηση κορυφής, β) για την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003). -343-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 90 60 30 0-30 -60 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment ιατµητική Shear failure αστοχία 5 10 15 20 25 30 DISPLACEMENT Μετακίνηση (mm) (mm) -90 250 150 50-50 Ανάλυση Analysis Πείραµα Experiment Χρόνος TIME (sec) (sec) ιατµητική Shear αστοχία failure 5 10 15 20 25 30 SHEAR Τέµνουσα (kn) (kn) -150-250 Χρόνος TIME (sec) (sec) Σχήµα 9.27: Σύγκριση αναλυτικών προβλέψεων µοντέλου FS και πειραµατικής καταγραφής α) για τη µετακίνηση κορυφής, β) για την τέµνουσα βάσης του πλαισίου των Elwood & Moehle (2003). -344-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 9.3.2.5 Ανάλυση σεισµικής βλάβης πλαισίου Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης σεισµικής βλάβης του εξεταζόµενου πλαισίου για την επιβαλλόµενη σεισµική διέγερση της προηγούµενης παραγράφου. Στo Σχήµα (9.28) παρουσιάζεται η κατανοµή του καµπτικού, διατµητικού, ολισθητικού και συνολικού δείκτη βλάβης (µέγιστες τιµές) στο εξεταζόµενο πλαίσιο, όπως προέκυψαν στο πέρας της ανάλυσης της προηγούµενης παραγράφου (διατµητική αστοχία κεφαλής κεντρικού υποστυλώµατος) από το αναλυτικό προσοµοίωµα FSB. Από το Σχήµα (9.28α) φαίνεται ότι οι τιµές του καµπτικού δείκτη είναι σχετικά µικρές στα ακραία υποστυλώµατα (της τάξης του 0.20), ενώ γίνονται µεγαλύτερες στο κεντρικό υποστύλωµα. Η διαφοροποίηση αυτή οφείλεται στην ανεπαρκή περίσφιξη του µεσαίου υποστυλώµατος, που συνεπάγεται µειωµένη διαθέσιµη καµπυλότητα των ακραίων διατοµών του. Ο διατµητικός δείκτης βλάβης γίνεται ίσος µε τη µονάδα στην κεφαλή του κεντρικού υποστυλώµατος (διατµητική αστοχία) και είναι επίσης σηµαντικός στην περιοχή του πόδα του ίδιου στύλου. Αντίθετα, αποκτά µικρές τιµές (της τάξης του 0.10) στα ακραία υποστυλώµατα, γεγονός που επιβεβαιώνει την πλάστιµη κατασκευαστική τους διαµόρφωση. Ο ολισθητικός δείκτης βλάβης παραµένει µικρός σε όλες τις κρίσιµες διατοµές του πλαισίου γεγονός που οφείλεται στην καλή αγκύρωση και περίσφιξη της αγκύρωσης που έλαβε χώρα στους κόµβους του συγκεκριµένου πλαισίου. Ο συνολικός δείκτης βλάβης γίνεται ίσος µε τη µονάδα (αστοχία) στην κεφαλή του κεντρικού υποστυλώµατος, ενώ βρίσκεται και κοντά στη µονάδα για τον πόδα του ίδιου στύλου λόγω του συνδυασµού της καµπτικής και διατµητικής του καταπόνησης. Η συνολική βλάβη στα ακραία υποστυλώµατα παραµένει σχετικά µικρή (δείκτης βλάβης της τάξης του 0.30). Η βλάβη στις δοκούς είναι σχεδόν αµελητέα µε εξαίρεση τον ενδιάµεσο κόµβο (δείκτης βλάβης ίσος µε 0.18), όπου οι απαιτήσεις συνάφειας προκύπτουν σχετικά αυξηµένες. 0.221 0.205 α) 0.003 0.004 0.004 0.003 0.746 0.785 0.205 0.245-345-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 0.003 0.000 0.000 0.003 0.018 0.018 β) 0.769 1.000 0.018 0.018 0.003 0.177 0.177 0.003 0.104 0.096 γ) 0.031 0.031 0.097 0.113 0.314 0.294 0.006 0.180 0.180 0.007 δ) 0.943 1.000 0.295 0.343 Σχήµα 9.28: Κατανοµή α) καµπτικού, β) διατµητικού, γ) ολισθητικού, δ) συνολικού, τοπικού δείκτη βλάβης στο πλαίσιο των Elwood & Moehle (2003) από το FSB αναλυτικό µοντέλο. Στα Σχήµατα (9.29α-β) παρουσιάζεται η κατανοµή του συνολικού και του διατµητικού δείκτη βλάβης του πλαισίου από το αναλυτικό µοντέλο FSB, όταν αγνοείται η αλληλεπίδραση κάµψης και διάτµησης µε βάση αυτά που προβλέπονται στην παρούσα διατριβή. Και σε αυτήν την περίπτωση, ο δείκτης βλάβης στην κεφαλή του κεντρικού υποστυλώµατος γίνεται ίσος µε τη µονάδα. Το γεγονός αυτό οφείλεται, όµως, στο ό,τι µε το νέο αναλυτικό προσοµοίωµα προβλέπεται αστοχία από κάµψη (και όχι από διάτµηση) στη συγκεκριµένη περιοχή. Αυτό γίνεται φανερό από το Σχήµα (9.29β), όπου δείχνεται ότι ο διατµητικός δείκτης βλάβης στα άκρα του κεντρικού υποστυλώµατος είναι σχεδόν αµελητέος (µικρότερος του 0.10) παρουσιάζοντας µε αυτόν τον τρόπο µια τελείως εσφαλµένη εικόνα για την πραγµατική απόκριση του συγκεκριµένου δοµικού στοιχείου. Στο Σχήµα (9.29γ) παρουσιάζεται η κατανοµή του δείκτη βλάβης των Park-Ang στα επιµέρους στοιχεία του πλαισίου. Για τον υπολογισµό του συγκεκριµένου δείκτη η διαθέσιµη γωνία στροφής χορδής προσδιορίστηκε από το ισοδύναµο µήκος πλαστικής άρθρωσης που προτείνουν οι Priestley et al. (1996). Ο συγκεκριµένος δείκτης βλάβης αδυνατεί να προβλέψει την αστοχία του κεντρικού υποστυλώµατος δίνοντας τιµές αρκετά µικρότερες της µονάδας (της τάξης του 0.50). Το γεγονός αυτό οφείλεται στην αδυναµία του να λάβει υπόψη τη διατµητική αστοχία, αλλά και στο ό,τι το µήκος -346-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ πλαστικής άρθρωσης των Priestley et al. δεν έχει βαθµονοµηθεί επαρκώς για µηπλάστιµα δοµικά στοιχεία. Αντίθετα, ο δείκτης βλάβης των Park-Ang δίνει παραπλήσιες τιµές µε τον προτεινόµενο συνολικό δείκτη βλάβης της παρούσας διατριβής (0.23 αντί για 0.31) για τα πλάστιµα ακραία υποστυλώµατα. 0.006 0.176 0.180 0.006 0.271 0.281 α) 0.808 1.000 0.275 0.241 0.000 0.000 0.000 0.000 0.006 0.006 β) 0.085 0.085 0.006 0.006 0.015 0.004 0.004 0.015 0.234 0.227 γ) 0.506 0.502 0.234 0.232 Σχήµα 9.29: Κατανοµή α) συνολικού δείκτη βλάβης β) διατµητικού δείκτη βλάβης, αγνοώντας την αλληλεπίδραση κάµψης-διάτµησης, γ) του δείκτη βλάβης Park-Ang στο πειραµατικό πλαίσιο των Elwood & Moehle (2003). -347-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 9.4 Πειραµατικό Πλαίσιο El-Attar et al. (1991) 9.4.1 Περιγραφή πλαισίου Οι El-Attar et al (1991, 1997) εξέτασαν τη συµπεριφορά µιας διώροφης δίστυλης κατασκευής από οπλισµένο σκυρόδεµα σε κλίµακα 1:6 (Σχήµα 9.30α). Στόχος της συγκεκριµένης ερευνητικής προσπάθειας ήταν η µελέτη της σεισµικής συµπεριφοράς κτιρίων Ο/Σ που σχεδιάστηκαν µόνον για κατακόρυφα φορτία, χωρίς καµία πρόνοια για πλευρικές φορτίσεις, όπως ο σεισµός και ο άνεµος. Η γενική όπλιση της κατασκευής που χρησιµοποιήθηκε ως πρότυπο από τους συγκεκριµένους ερευνητές προέκυψε από τις τυπικές κατασκευαστικές διατάξεις που εφαρµόστηκαν στα κτίρια γραφείων από οπλισµένο σκυρόδεµα στις κεντρικές και ανατολικές Ηνωµένες Πολιτείες της Αµερικής τη δεκαετία περίπου του 1950. Χαρακτηριστικές κατασκευαστικές αδυναµίες αυτών των κτιρίων είναι το χαµηλό ποσοστό του διαµήκους οπλισµού των υποστυλωµάτων, η ανεπαρκής αγκύρωση του οπλισµού της κάτω παρειάς των δοκών, η ασθενής περίσφιξη των κρίσιµων περιοχών και των κόµβων καθώς και τα µατίσµατα αµέσως πάνω από τις στάθµες των ορόφων. Σηµειώνεται εδώ ότι αντίστοιχα προβλήµατα παρουσιάζονται και στα ελληνικά κτίρια από Ο/Σ µέχρι και τη δεκαετία του 1970. Η συγκεκριµένη κατασκευή διαµορφωνόταν από δύο όµοια, διώροφα δίστυλα πλαίσια, που ήταν παράλληλα µεταξύ τους κατά τη φορά της σεισµικής διέγερσης. Οι διαστάσεις της ιδεατής κατασκευής που τοποθετήθηκε τελικά στην σεισµική τράπεζα προέκυψαν µε τον απευθείας πολλαπλασιασµό των διαστάσεων της πρωτότυπης κατασκευής µε το συντελεστή S L =0.167(=1/6). Στα Σχήµατα (9.30β-γ) παρουσιάζεται η γεωµετρία της πρωτότυπης κατασκευής και (εντός παρενθέσεων) οι διαστάσεις της υπό κλίµακα ιδεατής κατασκευής. Η αντοχή του σκυροδέµατος της πρωτότυπης κατασκευής ήταν ίση µε 27.6MPa (4ksi) και αναπτυσσόταν σε παραµόρφωση περίπου ίση µε 0.2%. Η µικρή κλίµακα που χρησιµοποιήθηκε (1:6) οδήγησε σε κατασκευαστικές δυσκολίες αναφορικά µε την ορθή προσοµοίωση της συµπεριφοράς του σκυροδέµατος της πρωτότυπης κατασκευής. Τελικά το µικρο-σκυρόδεµα που χρησιµοποιήθηκε στην υπό κλίµακα κατασκευή είχε αντοχή 32.3MPa (4.7ksi) που αναπτυσσόταν σε παραµόρφωση 0.3% (Σχήµα 9.31α). Η διαφοροποίηση αυτή οδήγησε στην αλλοίωση του αρχικού σχεδιασµού µε συντελεστή τάσης S f =27.6/32.3=0.854 και παραµόρφωσης S e =0.2/0.3=0.667. Η αντοχή του χάλυβα της πρωτότυπης κατασκευής ήταν ίση µε 276MPa (40ksi). Προκειµένου να διατηρηθεί ο ίδιος συντελεστής παραµόρφωσης µε το σκυρόδεµα (S e =0.667), χρησιµοποιήθηκε στην ιδεατή κατασκευή χάλυβας µε αντοχή διαρροής 276/S e =414MPa (60ksi), όπως φαίνεται και στο Σχήµα (9.31β). Η παραµόρφωση του χάλυβα από την οποία αρχίζει η ζώνη κράτυνσης ήταν περίπου ίση µε 0.3%, ενώ η παραµόρφωση αστοχίας ήταν της τάξης του 17%. -348-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ (α) A 1.88m (0.32m) 3.66m (0.61m) 1.88m (0.32m) Φορά σεισµικής διέγερσης 5.18m (0.86m) A (β) -349-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Συνολική µάζα 133.1kN (3.65kN) 2.74m (0.46m) Συνολική µάζα 196.2kN (5.38kN) 5.18m (0.86m) 0.92m (0.15m) 2.74m (0.46m) (γ) Σχήµα 9.30: α) Εικόνα πλαισιακής κατασκευής υπό κλίµακα στη σεισµική τράπεζα, β) γενική κάτοψη, γ) τοµή Α-Α εξεταζόµενου πλαισίου της πειραµατικής κατασκευής των El-Attar et al. (1991). Σκυρόδεµα µοντέλου Χάλυβας µοντέλου Τάση (ksi) Σκυρόδεµα πραγµατικής κατασκευής Τάση (ksi) Χάλυβας πραγµατικής κατασκευής Παραµόρφωση ( ) Παραµόρφωση ( ) (α) (β) Σχήµα 9.31: α) Σχέση τάσης-παραµόρφωσης σκυροδέµατος πραγµατικής και υπό κλίµακα κατασκευής, β) σχέση τάσης-παραµόρφωσης χάλυβα οπλισµού πραγµατικής και υπό κλίµακα κατασκευής των El-Attar et al. (1991). Στο Σχήµα (9.32α) παρουσιάζεται η όπλιση ενός τυπικού κόµβου της πρωτότυπης κατασκευής. Όλα τα υποστυλώµατα έχουν την ίδια όπλιση, που αποτελείται από 4 διαµήκεις ράβδους Ø22.2 (7/8in.) και από συνδετήρες Ø9.4 ανά 208mm. Ο εγκάρσιος οπλισµός των υποστυλωµάτων δεν συνεχίζεται στις περιοχές των κόµβων, ούτε στη θεµελίωση. Οι δοκοί του πρώτου και του δεύτερου ορόφου έχουν επίσης τον ίδιο οπλισµό, που αποτελείται από δύο διαµήκεις ράβδους Ø22.2 στην κάτω παρειά και από -350-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ δύο διαµήκεις ράβδους Ø19.1 στην άνω παρειά. Οι ράβδοι της άνω παρειάς αγκυρώνονται κανονικά στους ακραίους κόµβους, ενώ οι ράβδοι της κάτω παρειάς αγκυρώνονται ευθύγραµµα στους ακραίους κόµβους µε µήκος αγκύρωσης µόνο 0.15m ( 8Ø). Ο εγκάρσιος οπλισµός των δοκών αποτελείται από δίτµητους συνδετήρες Ø9.4 ανά 305mm και δεν συνεχίζεται στην περιοχή των κόµβων. Για την ορθή προσοµοίωση της σεισµικής συµπεριφοράς της πρωτότυπης κατασκευής, ο διαµήκης οπλισµός του υπό κλίµακα δοκιµίου προέκυψε από τη Σχέση (9.4.1), όπου A s,model είναι η διατοµή του διαµήκη οπλισµού υπό κλίµακα και A s,prot είναι η διατοµή του διαµήκη οπλισµού της πρωτότυπης κατασκευής. Για τον εγκάρσιο οπλισµό των υποστυλωµάτων στην υπό κλίµακα κατασκευή χρησιµοποιήθηκε καλώδιο διαµέτρου 1.3mm ανά 33.8mm και για τον εγκάρσιο οπλισµό των δοκών καλώδιο διαµέτρου 1.3mm ανά 50.8mm. Στα Σχήµατα (9.32β) και (9.32γ) παρουσιάζεται η τυπική διατοµή των υποστυλωµάτων και των δοκών αντίστοιχα της εξεταζόµενης κατασκευής. Εκτός παρενθέσεων δίνονται τα στοιχεία της πρωτότυπης και εντός παρενθέσεων τα δεδοµένα της υπό κλίµακα κατασκευής. Se As,mod el = A 2 s, prot = 0.0217As, prot (9.4.1) S S f L Στην υπό κλίµακα κατασκευή τοποθετήθηκε συνολική µάζα 5.38kN (1.21kips) στον πρώτο όροφο και συνολική µάζα 3.65kN (0.82kips) στο δεύτερο όροφο. Η µάζα αυτή τοποθετήθηκε κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να εφαρµόζεται µέσω δύο σηµειακών φορτίων στα τρίτα του ζυγώµατος (Σχήµα 9.30γ). Η πειραµατική κατασκευή υποβλήθηκε στη σεισµική συνιστώσα Taft S69E του 1952 σε σταδιακά αυξανόµενη ένταση µέχρι και την πλήρη αποδιοργάνωσή της. Η πραγµατική διέγερση συµπτύχθηκε στo πεδίο του χρόνου µε το συντελεστή S L 1/2 προκειµένου να ληφθεί υπόψη η κλίµακα της εξεταζόµενης κατασκευής. Το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσµα τη µετακίνηση του φάσµατος της πραγµατικής διέγερσης προς τα αριστερά. Στο Σχήµα (9.33) παρουσιάζεται το φάσµα επιταχύνσεων της σεισµικής διέγερσης πριν και µετά τη σύµπτυξη στο πεδίο του χρόνου. Στην υπό κλίµακα πλαισιακή κατασκευή εφαρµόστηκε η συµπτυγµένη σεισµική διέγερση µε σταδιακά αυξανόµενη µέγιστη εδαφική επιτάχυνση. Στην αρχή χρησιµοποιήθηκαν δύο αλλεπάλληλες διεγέρσεις µε την ίδια µέγιστη εδαφική επιτάχυνση 0.26g. Στη συνέχεια εφαρµόστηκε µια σεισµική διέγερση µε µέγιστη επιτάχυνση 0.36g και ακολούθως µια ακόµη ισχυρότερη µε επιτάχυνση 0.45g. Στο τέλος εφαρµόστηκαν στην κατασκευή δύο σεισµικές διεγέρσεις µε την ίδια µέγιστη εδαφική επιτάχυνση 0.75g. Πριν και µετά από την επιβολή κάθε σεισµικής διέγερσης, λάµβανε χώρα δοκιµή ελεύθερης ταλάντωσης για τον προσδιορισµό των ιδιοµορφικών µεγεθών της κατασκευής και του τρόπου µεταβολής τους. -351-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 0.305m D9.4/208 4D22.2 0.203m 2D19.1 D9.4/305 0.15m 0.305m 0.406m 4D22.2 2D22.2 0.203m D9.4/208 (α) 2D19.1 (2D2.8) 4D22.2 (4D3.3) 102 (17)mm 203 (34)mm 305 (51)mm D9.4/203 (D1.3/33.8) 305 (51)mm D9.4/305 (D1.3/51) 406 (68)mm 203 (34)mm 2D22.2 (2D3.3) (β) (γ) Σχήµα 9.32: α) Όπλιση τυπικού κόµβου πρωτότυπης κατασκευής, β) τυπική διατοµή υποστυλώµατος πρωτότυπης και (υπό κλίµακα) κατασκευής, γ) τυπική διατοµή δοκού πρωτότυπης και (υπό κλίµακα) κατασκευής των El-Attar et al. (1991). -352-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ ΦΑΣΜΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Πριν τη σύµπτυξη Μετά τη σύµπτυξη Sa/g Περίοδος (sec) Σχήµα 9.33: Φάσµα επιταχύνσεων σεισµικής διέγερσης Taft S69E 1952 πριν και µετά τη σύµπτυξη στο πεδίο του χρόνου για το πειραµατικό δοκίµιο των El-Attar et al. (1991). 9.4.2 Ανάλυση πλαισιακού φορέα 9.4.2.1 Περιγραφή αναλυτικού προσοµοιώµατος Το πλαίσιο αναλύθηκε µε τη βοήθεια του υπολογιστικού προσοµοιώµατος του Σχήµατος (9.34α). Όπως φαίνεται στο συγκεκριµένο σχήµα, χρησιµοποιήθηκαν 4 πεπερασµένα στοιχεία για τα υποστυλώµατα και έξι πεπερασµένα στοιχεία για τις δοκούς του πλαισίου. εδοµένου ότι δεν έχει γίνει πρόβλεψη στο προτεινόµενο µοντέλο για συγκεντρωµένα φορτία στο εσωτερικό του µέλους, επιλέχθηκε να γίνει διακριτοποίηση των δοκών στις θέσεις επιβολής των µοναχικών φορτίων, ώστε τα συγκεκριµένα φορτία να µετατραπούν σε επικόµβια. Στις περιοχές των κόµβων τοποθετήθηκαν άκαµπτοι βραχίονες. Για λόγους συµµετρίας εξετάζεται µόνον το ένα πλαίσιο της κατασκευής. Η οριζόντια µετακίνηση της συνολικής κατασκευής θα είναι η ίδια µε τη µετακίνηση του πλαισίου, ενώ η συνολική τέµνουσα κάθε ορόφου της κατασκευής θα είναι η διπλάσια της αντίστοιχης τέµνουσας του πλαισίου. Με βάση και τις λεπτοµέρειες όπλισης της προηγούµενης παραγράφου, θεωρήθηκαν έξι συνολικά κατηγορίες διατοµών στα πέρατα των µελών του πλαισίου, οι οποίες και φαίνονται στο Σχήµα (9.34β). Στους Πίνακες (9.12), (9.13) και (9.14) παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα του υπολογισµού των χαρακτηριστικών σηµείων της καµπτικής, της αρχικής διατµητικής, και της ολισθητικής, περιβάλλουσας καµπύλης για κάθε µία από τις χαρακτηριστικές κατηγορίες διατοµών του πλαισίου. Για την καµπτική και την ολισθητική περιβάλλουσα οι τιµές των πινάκων αναφέρονται στις εξιδανικευµένες διγραµµικές περιβάλλουσες καµπύλες. Η µέγιστη διατµητική αντοχή προσδιορίστηκε για γωνία της κρίσιµης -353-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ διατµητικής ρωγµής θ=30 ο. Η παραδοχή για τη γωνία θ ελάχιστα επηρέασε τα αποτελέσµατα του προτεινόµενου αναλυτικού µοντέλου. Οι διατοµές των υποστυλωµάτων είναι συµµετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, ενώ οι διατοµές των δοκών δεν είναι συµµετρικές λόγω της µη-συµµετρικής όπλισης, του διαφορετικού τρόπου αγκύρωσης, αλλά και των συνθηκών συνάφειας που επικρατούν στην πάνω και κάτω παρειά. Από την ανάλυση της διατοµής της δοκού σε θετική ροπή προέκυψε ότι η κρίσιµη µορφή αστοχίας είναι η εξόλκευση της αγκύρωσης, που αναπτύσσεται πριν ακόµα διαρρεύσει ο κάτω οπλισµός της. Σε αυτήν την περίπτωση η θ uf,sl δεν µπορεί να υπολογιστεί και τίθεται ίση µε την θ ub,sl. Αξίζει τέλος να σηµειωθεί ότι στην κατηγορία διατοµής 6 η τοπική στροφή ολίσθησης λαµβάνεται µηδενική, αφού ο οπλισµός της συγκεκριµένης διατοµής δεν αγκυρώνεται σε παρακείµενο κόµβο. BEM4 BEM5 BEM6 5 5 6 6 4 4 COL1 COL2 COL3 COL4 BEM1 BEM2 BEM3 3 3 5 5 6 6 2 2 1 1 (α) (β) Σχήµα 9.34: α) Υπολογιστικό προσοµοίωµα και αρίθµηση πεπερασµένων στοιχείων, β) κατηγοριοποίηση ακραίων διατοµών µελών πλαισίου El-Attar et al. (1991). Πίνακας 9.12: Χαρακτηριστικά σηµεία καµπτικής περιβάλλουσας για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου El-Attar et al. (1991). ιατοµή φ y M y φ u M u (mrad/m) (knm) (mrad/m) (knm) 1 117.5 0.37 627.5 0.42 2 117.5 0.37 627.5 0.42 3 81.0 0.37 627.5 0.38 4 81.0 0.37 627.5 0.38 5 κάτω 50.5 0.44 1331.9 0.45 5 άνω 44.0 0.34 2588.2 0.40 6 κάτω 50.5 0.44 1331.9 0.45 6 άνω 44.0 0.34 2588.2 0.40-354-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Πίνακας 9.13: Χαρακτηριστικά σηµεία αρχικής διατµητικής περιβάλλουσας για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου El-Attar et al. (1991). ιατοµή γ cr V cr γ yw V uo γ u (%) (kn) (%) (kn) (%) 1 0.006 0.95 0.29 4.62 1.01 2 0.006 0.95 0.29 4.62 1.01 3 0.005 0.85 0.29 4.40 1.12 4 0.005 0.85 0.29 4.40 1.12 5 0.003 0.74 0.25 5.16 0.62 6 0.003 0.74 0.25 5.16 0.62 Πίνακας 9.14: Χαρακτηριστικά σηµεία ολισθητικής περιβάλλουσας για τις κατηγορίες διατοµών του πλαισίου El-Attar et al. (1991). ιατοµή θ y,sl M y,sl θ uf,sl M u θ ub,sl (mrad) (knm) (mrad) (knm) (mrad) 1 6.0 0.37 25.5 0.42 234.2 2 0.1 0.20 0.7 0.30 0.7 3 0.3 0.2 0.6 0.30 0.60 4 2.0 0.37 30.0 0.38 295.4 5 κάτω 0.15 0.13 0.24 0.19 0.24 5 πάνω 0.38 0.34 172.2 0.40 189.8 6 κάτω - - - - - 6 πάνω - - - - - 9.4.2.2 Αποτελέσµατα ιδιοµορφικής ανάλυσης πλαισίου Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ιδιοµορφικής ανάλυσης του εξεταζόµενου πειραµατικού πλαισίου. Για τον συγκεκριµένο τύπο ανάλυσης αλλά και για τις αναλύσεις που παρουσιάζονται στις επόµενες παραγράφους εφαρµόστηκαν και πάλι τα τέσσερα διαφορετικά αναλυτικά µοντέλα που περιγράφονται στην 9.2.2.2 της παρούσας διατριβής. Για την ιδιοµορφική ανάλυση µπορεί να θεωρηθεί ότι το εξεταζόµενο πλαίσιο έχει δύο βασικές ιδιοµορφές, οι οποίες είναι αυτές που αντιστοιχούν στους οριζόντιους βαθµούς ελευθερίας των δύο ορόφων του πλαισίου. Οι ιδιοπερίοδοι αυτών των ιδιοµορφών για κάθε εξεταζόµενο µοντέλο παρουσιάζονται στον Πίνακα (9.15). -355-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Πίνακας 9.15: Ιδιοπερίοδος πλαισίου El-Attar et al. (1991) από τα τέσσερα µοντέλα προσοµοίωσης. Μοντέλο F FB FS FSB Πείραµα Ιδιοπερίοδος 1 ης ιδιοµορφής (sec) 0.228 0.254 0.229 0.256 0.245 Ιδιοπερίοδος 2 ης ιδιοµορφής (sec) 0.080 0.086 0.080 0.086 0.083 Ποσοστό συµµετοχής 1 ης ιδιοµορφής 92.2% 93.6% 92.2% 93.5% - Στο συγκεκριµένο πίνακα φαίνεται ότι το πλέον δύσκαµπτο µοντέλο είναι το F µε ιδιοπερίοδο 0.228sec. Η επιρροή της ολίσθησης της αγκύρωσης οδηγεί σε σχετικά µικρή αύξηση της ιδιοπεριόδου από 0.228sec σε 0.254sec γεγονός που σηµαίνει ότι η κάµψη αποτελεί τον βασικό µηχανισµό παραµόρφωσης στο συγκεκριµένο πλαίσιο. Η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων οδηγεί (και εδώ, όπως και στα άλλα πλαίσια που αναλύθηκαν) σε αµελητέα αύξηση της ιδιοπεριόδου από 0.228sec σε 0.229sec στο FS µοντέλο και από 0.254sec σε 0.256sec στο FSB αναλυτικό µοντέλο. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην µεγάλη τιµή της αρχικής-αρηγµάτωτης δυστµησίας GA o που επηρεάζει µε αµελητέο τρόπο την οιονεί ελαστική ευκαµψία των στοιχείων του πλαισίου. Στον ίδιο πίνακα παρουσιάζονται οι ιδιοπερίοδοι των δύο ιδιοµορφών του πλαισίου, όπως προέκυψαν από τις δοκιµές ελεύθερης ταλάντωσης (free vibration tests) κατά την πειραµατική διαδικασία και µετά την εφαρµογή της σεισµικής διέγερσης µε επιτάχυνση βάσης 0.26g που οδήγησε στην αρχική ρηγµάτωση του πλαισίου. Από την σύγκριση των τιµών προκύπτει ότι οι προβλέψεις των αναλυτικών µοντέλων είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικές, µε αυτές των µοντέλων FB και FSB να βρίσκονται πιο κοντά στις µετρηθείσες. Τέλος, στην τρίτη σειρά του Πίνακα (9.15) παρατίθενται τα ποσοστά συµµετοχής της 1 ης ιδιοµορφής στη συνολική απόκριση του κτιρίου, όπως προβλέπονται από τα 4 αναλυτικά µοντέλα που εξετάζονται στην παρούσα ενότητα. Για όλα τα αναλυτικά µοντέλα, το ποσοστό της 1 ης ιδιοµορφής υπερβαίνει το 90%. Η πρόβλεψη αυτή συµβαδίζει µε την πειραµατική παρατήρηση σύµφωνα µε την οποία η 1 η ιδιοµορφή υπήρξε καθοριστική στη σεισµική απόκριση της κατασκευής. 9.4.2.3 Αποτελέσµατα ανελαστικής επωθητικής ανάλυσης (pushover analysis) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανελαστικής επωθητικής (pushover) ανάλυσης του πλαισίου για τους τέσσερις διαφορετικούς τρόπους προσοµοίωσης. Στο Σχήµα (9.35) παρατίθενται οι καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου (V 1-1 ) του πλαισίου και στο Σχήµα (9.36) οι καµπύλες τέµνουσας µετακίνησης του 2 ου ορόφου (V 2-2 ), όπως αυτές προέκυψαν για τα διαφορετικά µοντέλα προσοµοίωσης. Στα ίδια σχήµατα παρατίθεται η αντίστοιχη σχέση, όπως καταγράφηκε πειραµατικά για επιβαλλοµένη σεισµική διέγερση µε µέγιστη εδαφική επιτάχυνση 0.45g. -356-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ 7.0 V 1 (kn) 0.0-20.0 0.0 20.0 MODEL Μοντέλο FSB MODEL Μοντέλο FB FB MODEL Μοντέλο FS FS MODEL Μοντέλο F F Experiment Πείραµα -7.0 1 (mm) Σχήµα 9.35: Καµπύλες τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου El-Attar et al. (1991) µε τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. 7.0 V 2 (kn) 0.0-20.0 0.0 20.0-7.0 MODEL Μοντέλο FSB MODEL Μοντέλο FB MODEL Μοντέλο FS MODEL Μοντέλο F Experiment Πείραµα 2 (mm) Σχήµα 9.36: Καµπύλες τέµνουσας δύναµης σχετικής µετακίνησης του 2 ου ορόφου από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου El-Attar et al. (1991) µε τα τέσσερα διαφορετικά µοντέλα και σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Σε αυτό το σηµείο σηµειώνεται ότι κατά την πειραµατική διαδικασία παρατηρήθηκε για αυτήν τη σεισµική διέγερση (0.45g) ανάπτυξη µεγάλων ρωγµών στις -357-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ περιοχές αγκύρωσης του θετικού οπλισµού των δοκών στις περιοχές των κόµβων (El- Attar et al. 1997) γεγονός που αποδόθηκε από τους συγκεκριµένους ερευνητές στην εξόλκευση των διαµήκων ράβδων. Παρόλο που η συγκεκριµένη πλαισιακή κατασκευή υποβλήθηκε στη συνέχεια σε ακόµη µεγαλύτερη σεισµική διέγερση, χωρίς να καταρρεύσει, η εξόλκευση των διαµήκων ράβδων των δοκών του πλαισίου λαµβάνεται συντηρητικά στην παρούσα διατριβή, ως η κατάσταση αστοχίας του εξεταζόµενου φορέα. Από τα Σχήµατα (9.35-9.36) γίνεται φανερό ότι οι καµπύλες V 1-1 και V 2-2 είναι δυνατόν να διαφέρουν σηµαντικά µεταξύ τους ανάλογα µε το υιοθετούµενο µοντέλο προσοµοίωσης της κατασκευής. Ωστόσο, η επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων για το συγκεκριµένο αναλυτικό µοντέλο µπορεί, χωρίς σηµαντική απόκλιση από την πραγµατικότητα, να θεωρηθεί αµελητέα. Η παρατήρηση αυτή µπορεί να προκύψει από τη σύγκριση των καµπυλών V- που προκύπτουν από τα µοντέλα F και FS και FB και FBS και οι οποίες είναι σχεδόν ταυτόσηµες µεταξύ τους και ερµηνεύεται από τη γεωµετρία των µελών του φορέα (λόγοι διάτµησης 4.5 για τα υποστυλώµατα και 6.3 για τις δοκούς). Από τα ίδια σχήµατα είναι σαφές ότι η καλύτερη πρόβλεψη της δυσκαµψίας του πλαισίου προέρχεται από τα αναλυτικά µοντέλα FB και FSB. Αντίθετα τα µοντέλα F και FS υπερεκτιµούν αξιοσηµείωτα τη δυσκαµψία και των δύο ορόφων του πλαισίου. Από τη σύγκριση αυτή προκύπτει το συµπέρασµα, ότι η προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης είναι σηµαντική για την ορθή προσοµοίωση της σεισµικής συµπεριφοράς του πλαισίου. Τα µοντέλα FΒ και FSB φαίνεται να υποεκτιµούν την µέγιστη τέµνουσα βάσης (4.0kN πρόβλεψη µοντέλου αντί για 5.0kN πειραµατική καταγραφή) και πλευρική µετακίνηση (7.2mm αναλυτικού µοντέλου αντί για10mm πειραµατικής καταγραφής) που αναπτύχθηκε στην οροφή του 1 ου ορόφου. Αντίθετα προβλέπουν µε καλή ακρίβεια τα αντίστοιχα µεγέθη (τέµνουσα ορόφου 2.3kN αντί για 2.5kN που καταγράφηκε πειραµατικά και µετακίνηση ορόφου 5.6mm αντί για 5mm που καταγράφηκε πειραµατικά) για τον 2 ο όροφο της πλαισιακής κατασκευής. Από την άλλη πλευρά, τα αναλυτικά µοντέλα F και FS φαίνεται να υπερεκτιµούν την ικανότητα ανάληψης οριζόντιας δύναµης και στους δύο ορόφους της πλαισιακής κατασκευής. Έτσι, για τον 1 ο όροφο προβλέπεται µέγιστη τέµνουσα δύναµη 5.7kN αντί για 5kN και για τον δεύτερο όροφο 3.3kN αντί για 2.5kN. Η µέγιστη µετακίνηση του 1 ου ορόφου που προκύπτει από τα συγκεκριµένα αναλυτικά µοντέλα είναι 8.7mm αντί για 10mm του πειράµατος και για τον 2 ο όροφο 7.8mm αντί για τα 5mm της πειραµατικής καταγραφής. Σε γενικές γραµµές µπορεί να λεχθεί ότι οι προβλέψεις που προκύπτουν από τα αναλυτικά µοντέλα F και FS δεν βρίσκονται προς την πλευρά της ασφάλειας αφού, όπως αναφέρεται και στη συνέχεια, δεν µπορούν να προβλέψουν την αστοχία των αγκυρώσεων των δοκών του δοκιµίου. Στο Σχήµα (9.37α) αποτυπώνεται η εικόνα αστοχίας της εξεταζόµενης πλαισιακής κατασκευής, όπως προβλέπεται από τα αναλυτικά µοντέλα FSB και FB, ενώ στο Σχήµα (9.37β) παρουσιάζεται η εικόνα αστοχίας που προβλέπουν τα µοντέλα F και FS (τα µοντέλα FB και F δεν είναι σε θέση να λάβουν υπόψη την ανάπτυξη της διατµητικής ρηγµάτωσης). Από το πρώτο σχήµα γίνεται φανερό ότι τα αναλυτικά µοντέλα F και FB προβλέπουν την πραγµατική εικόνα αστοχίας του πειραµατικού δοκιµίου, που προήλθε από την εξόλκευση του θετικού οπλισµού των δοκών στην περιοχή των κόµβων. -358-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ Αντίθετα, τα αναλυτικά µοντέλα F και FS προβλέπουν λανθασµένα ότι η πλαισιακή κατασκευή αστοχεί από την εξάντληση της καµπτικής αντοχής στην περιοχή του πόδα των υποστυλωµάτων του 1 ου ορόφου (βάση πλαισίου). Από τα προηγούµενα προκύπτει το σαφές συµπέρασµα ότι η προσοµοίωση της ολίσθησης της αγκύρωσης είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την ορθή αποτίµηση του εξεταζόµενου πλαισιακού φορέα. (α) Flexural Καµπτική Yielding διαρροή Flexural Καµπτική Failure αστοχία Shear ιατµητική Cracking ρηγµάτωση Shear ιατµητική Yielding διαρροή Shear ιατµητική Failureαστοχία Bond Αστοχία Failure αγκύρωσης (β) Flexural Καµπτική Yielding διαρροή Flexural Καµπτική Failure αστοχία Shear ιατµητική Cracking ρηγµάτωση Shear ιατµητική Yielding διαρροή Shear ιατµητική Failureαστοχία Bond Αστοχία Failure αγκύρωσης Σχήµα 9.37: Εικόνες αστοχίας από τη στατική ανελαστική ανάλυση του πλαισίου El-Attar et al. (1991) µε τα µοντέλα α) FSB και FB, β) F και FS. 9.4.2.4 Αποτελέσµατα ανελαστικής, δυναµικής ανάλυσης χρονοϊστορίας Τα αποτελέσµατα της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης χρονοϊστορίας του πλαισιακού φορέα που παρατίθενται στη συνέχεια προέκυψαν µε βήµα ανάλυσης ίσο µε 0.001sec, ενώ η ιξώδης απόσβεση ορίστηκε στο 2% της κρίσιµης τιµής της (για την πρώτη και δεύτερη ιδιοµορφή). Για την απόσβεση χρησιµοποιήθηκε το κλασικό µοντέλο Rayleigh (βλ. και 6.5.5). Σε συµφωνία µε τις παρατηρήσεις από την πειραµατική ακολουθία, το αναλυτικό µοντέλο FSB προέβλεψε για τη σεισµική διέγερση µε επιτάχυνση βάσης 0.45g την ανάπτυξη αστοχίας από εξόλκευση του κάτω οπλισµού της δοκού του 1 ου ορόφου τη -359-

9. Τεκµηρίωση Μοντέλου µε Πλαισιακούς Φορείς Ο/Σ χρονική στιγµή t=1.56sec. Μετά από αυτό το σηµείο η ανάλυση τερµατίστηκε, καθώς δεν έχει γίνει πρόβλεψη ακόµη στο προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο για τη συµπεριφορά µετά την αστοχία της αγκύρωσης. 7 V1 (kn) Μοντέλο FSB Πείραµα 0-20 0 20 Bond Εξόλκευση Failure -7 1 (mm) Σχήµα 9.38: Σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου από τη δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.45g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά. 7 V2 (kn) 0-20 Εξόλκευση 0 20-7 2 (mm) Σχήµα 9.39: Σχέση τέµνουσας δύναµης σχετικής µετακίνησης του 2 ου ορόφου από τη δυναµική ανάλυση χρονοϊστορίας του πλαισίου El-Attar et al. (1991) για επιτάχυνση βάσης ίσης µε 0.45g, όπως προέκυψε από το αναλυτικό µοντέλο FSB και όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Στο Σχήµα (9.38) παρατίθεται η σχέση τέµνουσας βάσης µετακίνησης του 1 ου ορόφου όπως προέκυψε από το προτεινόµενο αναλυτικό µοντέλο και όπως καταγράφηκε πειραµατικά. Οµοίως, στο Σχήµα (9.39) παρατίθενται οι αντίστοιχες σχέσεις για την τέµνουσα και τη σχετική µετακίνηση του 2 ου ορόφου. Το αναλυτικό µοντέλο FSB προβλέπει ικανοποιητικά την πειραµατική απόκριση του πλαισιακού -360-