מבוא לאלגברה ליניארית

BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה ליניארית לתלמידי הנדסה באוניברסיטת בן גוריון היקף החומר מותאם לקורס של סמסטר אחד (של 12 שבועות), שבו יש 5 שעות הרצאה בשבוע בקורסים מצומצמים יותר רצוי לדלג על חלק מהנושאים, או על חלק מן ההוכחות החומר כולל פתרון מערכות משוואות ליניאריות, מרחבים וקטוריים, חשבון מטריצות, טרנספורמציות ליניאריות, ליכסון אופרטורים ומרחבי מכפלה פנימית החומר מוגש בצורה מדוייקת מבחינה מתמטית, ורוב המשפטים מוכחים יוצא דופן הוא הטיפול בדטרמיננטות, שם דילגתי על ההוכחות (מקוצר זמן) והסתפקתי בהפנייה לספרים אחרים בכל פרק משולבות דוגמאות רבות החוברת מיועדת להפצה בחינם דרך הרשת, בפורמט pdf הניתן לקריאה בתוכנת Adobe Acrobat התנאי להפצה הוא שהחוברת תישמר בשלמותה וללא שינויים ניתן להוריד את הקובץ מהאתר שלי: http://wwwmathbguacil/ amyekut הערות, תיקונים והצעות לשיפור יתקבלו בברכה החוברת מבוססת על רשימות בכתב יד שהכנתי בעת שלימדתי את הקורס בשנים 1999 22 בהכנת הרשימות נעזרתי ברשימותיו של עידו אפרת, ושאלתי מהן הרבה מן החומר התאורטי, הסימונים והדוגמאות המספריות ברצוני להודות לעידו אפרת על הסכמתו לשימוש ברשימותיו במהדורה הרביעית נוסף הפרק על מרחבי מכפלה פנימית, וכן נעשו שיפורים רבים בטקסט ברצוני להודות לאנדריי מלניקוב על העבודה המסורה בהכנת גירסת ה LaTeX הראשונה תודה לרמה פורת ואמנון בסר על הסיוע הטכני ב LaTeX בעברית תוכן העניינים 3 שדות א 11 משוואות ליניאריות ב 25 מרחבים וקטוריים ג 47 חשבון מטריצות ד 59 דטרמיננטות ה 65 טרנספורמציות ליניאריות ו 8 ערכים עצמיים וליכסון אופרטורים ז 98 מרחבי מכפלה פנימית ח מהדורה חמישית 211211 c כל הזכויות שמורות לאמנון יקותיאלי 1

הקדמה נקודת המוצא של הקורס היא פתרון מערכת של משוואות ליניאריות, כלומר משוואות ממעלה ראשונה במספר נעלמים כולנו יודעים לפתור מערכת כדוגמת אולם נשאלות השאלות הבאות: 2x + 4y = 5x + 12y = 8 כיצד פותרים מערכת שבה הרבה נעלמים? כיצד פותרים מערכת שבה הרבה משוואות? האם בכלל קיימים פתרונות למערכת המשוואות? אם כן אז כמה? במהלך הדיון בכיתה במערכות משוואות ליניאריות יופיעו באופן טבעי המושגים מרחב וקטורי ו מטריצה אלו נושאים חשובים בפני עצמם המרחב הווקטורי הוא מושג מרכזי בגיאומטריה, בפיסיקה (למשל המרחב הווקטורי R, 3 שהוא המרחב של המכניקה הניוטונית), בתורת הפונקציות (מרחבי הילברט) ובתורת ההצפנות (מרחבים וקטוריים מעל שדות סופיים) חשבון מטריצות משמש בין היתר לטרנספורם פורייה מהיר,(FFT) טכניקה נפוצה בעיבוד אותות ליכסון מטריצות חשוב מאוד להרבה מטרות, למשל לפתרון משוואות דיפרנציאליות או לניתוח תהליכי מרקוב ספרים נוספים לעיון ותירגול: Hoffman and Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall 1971 1 2 ברמן וקון, אלגברה ליניארית, הוצאת בק 1999 3 ליפשוץ, אלגברה ליניארית, סדרת שאום 1991; מהדורה עברית 1993 4 עמיצור, אלגברה א, הוצאת אקדמון 197 5 גולן, יסודות האלגברה הליניארית, הוצאת דקל 2 2

א שדות במשוואות שלנו יופיעו מספרים מסוגים שונים, ונתחיל את הקורס בנושא זה ראשית הנה רשימה של כמה קבוצות מספרים וסימוליהן המקובלים (1 המספרים הטבעיים } 3, {, 1, 2, = N (2 המספרים השלמים } 2, 1,, 1, 2,, { = Z Q = { m n (3 המספרים הרציונליים } = m, n Z; n 4) המספרים הממשיים R נזכיר שכל מספר ממשי אי שלילי a ניתן לייצוג ע י פיתוח עשרוני a = d n d 1 d d 1 d 2 d n, d 1, d, d 1, d 2, {, 1,, 9} כאשר n מספר טבעי ו הן הספרות העשרוניות הפיתוח העשרוני הוא יחיד, מלבד האפסים שניתן לכתוב מצד שמאל, ומלבד המקרה של 9 במחזור, כמו למשל 999 = 1 a = lim j a j a j := d n d 1 d d 1 d 2 d j = המשמעות של הפיתוח העשרוני היא ש n d k 1 k k= j כאשר a j הוא המספר הרציונלי,lim אפשר לדלג על תאור זה של המספרים הממשיים j הערה אם אינכם מכירים עדיין את מושג הגבול a j כעת נגדיר קבוצה חדשה של מספרים הגדרה 1 מספר מרוכב הינו זוג (b,a) של מספרים ממשיים נסמן ב C את קבוצת המספרים המרוכבים, כלומר {זוגות סדורים של מספרים ממשיים} = 2 C = R R = R נגדיר פעולות חיבור וכפל על הקבוצה C חיבור: (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) := (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ) כפל: נשים לב כי שני מספרים מרוכבים ) 1 z 1 = (a 1, b ו ) 2 z 2 = (a 2, b הם שווים אם ם a 1 = a 2 ו b 1 = b 2 יהיו a 1 ו a 2 מספרים ממשיים נתבונן במספרים המרוכבים ) (a 1, ו ) (a 2, רואים כי (a 1, ) + (a 2, ) = (a 1 + a 2, ) (a 1, ) (a 2, ) = (a 1 a 2, ) ו 3

זאת אומרת שההתאמה (,a) a שומרת על פעולות החיבור והכפל כמו כן לכל מספר מרוכב z מתקיים z + (, ) = z ו z (1, ) = z משום כך נזהה את המספר הממשי a עם המספר המרוכב ),(a, ובצורה, n 1 זו נקבל הכלה R C תהליך זיהוי זה דומה לאופן שבו מזהים את המספר השלם n עם המספר הרציונלי ואשר באמצעותו מקבלים את ההכלה Z Q בתור תת קבוצה של המספרים המרוכבים, המספרים הממשיים הם בדיוק המספרים b) z = (a, כך ש = b הגדרה 2 המספר המרוכב (1,) יסומן באות i התכונה המיוחדת של המספר i היא i 2 = i i = (, 1) (, 1) = ( 1 1, 1 + 1 ) = ( 1, ) = 1 כפי שנהוג עבור מספרים ממשיים גם כאן המוסכמה היא שפעולת הכפל קודמת לחיבור, ולכן ניתן להשמיט סוגריים לפעמים; למשל ) 3 z 1 + z 2 z 3 := z 1 + (z 2 z חישוב קצר עבור,a b R מראה ש a + b i = (a, ) + (b, ) (, 1) = (a, ) + (b 1, b 1 + ) = (a, ) + (, b) = (a, b) לכן נהוג לכתוב מספר מרוכב z =,a) (b C גם בצורה הבאה: z = a + b i בסימון זה פעולות החשבון הן (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) i (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i עבור a 1, b 1, a 2, b 2 R הגדרה 3 יהי z = (a, b) = a + b i מספר מרוכב החלק הממשי של z הוא Re(z) := a ו החלק המדומה של z הוא Im(z) := b z = Re(z) + Im(z) i לכל מספר מרוכב z מתקיים השוויון נשים לב כי Im(z) הוא מספר ממשי מאחר שכל מספר מרוכב הוא זוג מספרים ממשיים, הרי כל מספר מרוכב מייצג נקודה במישור לכן משתמשים בביטוי המישור המרוכב, וזה התיאור הגיאומטרי של C (אנו נימנע בדרך כלל משימוש בתיאור גיאומטרי זה) טענה 1 לכל ארבעה מספרים מרוכבים z, z 1, z 2, z 3 מתקיימות התכונות הבאות 1 קומוטטיביות החיבור: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 2 אסוציאטיביות החיבור: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 3 תכונת האפס: z + = z 4 קיום הופכי חיבורי: קיים w C כך ש = w z + 5 קומוטטיביות הכפל: z 1 z 2 = z 2 z 1 6 אסוציאטיביות הכפל: z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 7 תכונת האחד: z 1 = z 8 דיסטריבוטיביות: ) 3 z 1 (z 2 + z 3 ) = (z 1 z 2 ) + (z 1 z 9 קיום הופכי כפלי: אם = z אז קיים w C כך ש = 1 w z נשים לב כי בטענה איננו מניחים שהמספרים,z z 1, z 2, z 3 שונים זה מזה הוכחה חלקית נרשום z n = a n + b n i עבור = 1, 2, 3,n וכן z = a + b i 4

z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) הגדרת החיבור ב (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) i C = קומוטטיביות החיבור ב (a 2 + a 1 ) + (b 2 + b 1 ) i R = הגדרת החיבור ב (a 2 + b 2 i) + (a 1 + b 1 i) C = = z 2 + z 1 z + = (a + b i) + ( + i) הגדרת החיבור ב (a + ) + (b + ) i C = תכונת האפס ב = a + b i R = z תכונה 1 תכונה 3 תכונה 4 ניקח w =: (a ) + (b ) i אנו משתמשים כאן בתכונת קיום הופכי חיבורי ב R אז z + w = (a + b i) + (( a) + ( b) i) הגדרת החיבור ב (a + ( a)) + (b + ( b)) i C = = + i = התכונות 7,6,5,2 ו 8 מוכחות באופן דומה תכונה 9 מאחר ש = z הרי > 2,a 2 + b ובפרט = a 2 + b 2 נגדיר w := a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 i C ( a z w = (a + b i) a 2 + b 2 + b ) a 2 + b 2 i = a2 + b 2 ab + ba a 2 + + b2 a 2 + b 2 i = 1 אז נשים לב כי המספר w בתכונה 9 הוא יחיד, שהרי אם גם המספר v מקיים = 1 v z, אז מש ל w = 1 w = (z v) w = v (z w) = v 1 = v בדומה מראים כי המספר w בתכונה 4 הוא יחיד זה מאפשר את ההגדרה הבאה הגדרה 4 א יהי z מספר מרוכב ההפכי החיבורי של z הוא המספר המרוכב היחיד w כך ש = w z, + והוא יסומן ע י z ב יהי z מספר מרוכב שונה מ ההפכי הכפלי של z הוא המספר המרוכב היחיד w כך ש = 1 w z, z או 1 1 z והוא יסומן ע י 2 5 + 1 5 דוגמה 1 א ההפכי הכפלי של + i 2 הוא i 5

ב ההפכי הכפלי של i הוא i כנהוג, לעתים נשמיט את סימן הכפל, ונרשום z 1 z 2 במקום z 1 z 2 בשל תכונות האסוציאטיביות מותר במקרים מסוימים להשמיט סוגריים, למשל z 1 z 2 z 3 := (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) z 1 z 2 עוד סימונים נוחים הם ) 2 z 1 z 2 := z 1 + ( z ו := z 1 z2 1 בהנתן מספר ממשי אי שלילי a נסמן ב a = a 1/2 את השורש הריבועי האי שלילי של a הגדרה 5 א הצמוד של המספר המרוכב z = a + bi הוא המספר המרוכב z := a bi ב הערך המוחלט של z = a + bi הוא המספר הממשי z := a 2 + b 2 נשים לב כי 2,a 2 + b ולכן z מוגדר ו z טענה 2 יהי z מספר מרוכב z אם ם = z = 1 z = z z 2 1 z = z 3 אם = z הרי z 2 מש ל הוכחה נרשום z = a + bi a 2 + b 2 אם ם >,a 2 + b 2 אם ם >,b וגם = a אם ם = z = 1 z z = (a + bi)(a bi) = (a 2 + b 2 ) + ( ab + ba)i = a 2 + b 2 2 נחשב: עתה נוציא שורש ונקבל z z z = 3 לפי חלקים 1 ו 2 ידוע כי > 2 z z z = ניקח z/ z 2 w := אז zw = z z z z = z z 1 z z = 1 טענה 3 הנה כמה תכונות של הצמוד z 1 + z 2 = z 1 + z 2 1 z 1 z 2 = z 1 z 2 2 z = z 3 z R אם ם z = z 4 5 אם z = bi כאשר,b R אז z = z הוכחה חלקית נוכיח את תכונה 2 נרשום z n = a n + b n i עבור = 1, 2 n מקבלים z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i 6

איור 1: ההצגה הפולרית של מספר מרוכב z z 1 z 2 = (a 1 b 1 i) (a 2 b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 b 1 a 2 ) i = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i ו מש ל טענה 4 יהי z = a + bi מספר מרוכב שונה מאפס אז ישנם מספרים ממשיים יחידים r ו θ כך ש < r, θ < 2π ו z = r (cos(θ) + sin(θ) i ) זוהי ההצגה הפולרית (או הקוטבית) של z הוכחה יהי z r =: תהי θ הזוית (ברדיאנים, נגד כוון השעון) בין הקרן היוצאת מהראשית (,) לכוון הנקודה ),(1, לבין הקרן היוצאת מהראשית לכוון הנקודה b) (a, אז cos(θ) a = r ו sin(θ) b = r מש ל היחידות של זוג המספרים (θ,r) ברורה משפט 1 (נוסחת דה מואבר) יהי ) i z = r (cos(θ) + sin(θ) מספר מרוכב בהצגה פולרית, ויהי n מספר שלם חיובי אז z n = r n (cos(nθ) + sin(nθ) i ) 7

הוכחה ניקח תחילה שני מספרים ממשיים θ ו η לפי הזהויות הטריגונמטריות מקבלים ( cos(θ) + sin(θ) i ) ( cos(η) + sin(η) i ) = ( cos(θ) cos(η) sin(θ) sin(η) ) + ( cos(θ) sin(η) + sin(θ) cos(η) ) i = cos(θ + η) + sin(θ + η) i עתה נשתמש באינדוקציה להוכחת הנוסחה עבור = 1 n אין מה להוכיח נניח כי הנוסחה נכונה ל n, ונוכיח עבור + 1 n נסמן η =: n θ אז, בעזרת החישוב שעשינו בפיסקה הקודמת, מקבלים מש ל z n+1 = r n+1 (cos(θ) + sin(θ) i ) n+1 = r n+1 (cos(θ) + sin(θ) i ) (cos(θ) + sin(θ) i ) n = r n+1 (cos(θ) + sin(θ) i ) (cos(nθ) + sin(nθ) i ) = r n+1 (cos((n + 1) θ) + sin((n + 1) θ) i ) לשם מה יש לנו צורך במספרים מרוכבים? נתבונן במשוואה x 2 + 2 = אין לה פתרון ב R אולם אם נעבור למשוואה השקולה 2 = 2 x רואים שיש פתרונות מרוכבים x =: 2 i ו x =: 2 i בדומה קל לראות שלכל משוואה ריבועית x 2 + a 1 x + a = עם מקדמים ממשיים יש פתרונות מרוכבים x := a 1 ± a 2 1 4a 2 למעשה קיים משפט כללי (אשר לא נוכיח בקורס שלנו): משפט 2 (המשפט היסודי של האלגברה) בהנתן פולינום f (x) = x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a ממעלה n 1 עם מקדמים מרוכבים n 1,a,, a קיים למשוואה = (x) f פתרון מרוכב כדי לתת מושג על ההוכחה של המשפט נדון במקרה פרטי נניח כי n מספר איזוגי וכל המקדמים a i הם ממשיים מקבלים הפונקציה רציפה, f : R R והגבולות = (x) lim x f ו = (x) lim x f קיימים משפט ערך הביניים אומר שישנה נקודה b R כך ש = (b) f אנו נכליל את המושג מספר במקום מספרים נעבוד עם סקלרים, שהם איברים בשדה הפעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק תהיינה מוגדרות עבור סקלרים היתרון במושג הכללי של שדה הוא שהתוצאות שנוכיח (למשל לגבי פתרון משוואות ליניאריות) ינוסחו עבור שדה כלשהו; וכך בבת אחת נקבל תוצאות התקפות הן עבור משוואות עם מקדמים מרוכבים, הן עבור משוואות עם מקדמים רציונליים, והן עבור כל שדה אחר שאנו עשויים להתקל בו 8

הגדרה 6 שדה הינו מערכת מתמטית (1,,,+,F) שבה F קבוצה, + ו הן פעולות דו מקומיות על הקבוצה,a,b c F התכונות הבאות צריכות להתקיים לכל שלושה איברים F ו ו 1 הם שני איברים ב F, 1 קומוטטיביות החיבור: a + b = b + a 2 אסוציאטיביות החיבור: a + (b + c) = (a + b) + c 3 תכונת האפס: a + = a 4 קיום הפכי חיבורי: קיים d ב F כך ש = d a + 5 קומוטטיביות הכפל: a b = b a 6 אסוציאטיביות הכפל: a (b c) = (a b) c 7 תכונת האחד: a 1 = a 8 דיסטריבוטיביות: a (b + c) = a b + a c 9 קיום הפכי כפלי: אם = a אז קיים d ב F כך ש = 1 d a = 1 1 לרוב נאמר בקיצור יהי F שדה במקום יהי (1,,,+,F) שדה גם בשדה F נשתמש במוסכמות הרגילות לגבי השמטת סוגריים וסימן הכפל טענה 5 יהי F שדה 1 ההפכי החיבורי בתכונה 4 הוא יחיד 2 ההפכי הכפלי בתכונה 9 הוא יחיד הוכחה א יהי a F ונניח כי b 1 ו b 2 מקיימים a + b 1 = = a + b 2 אז b 2 = b 2 + תכונת האפס ) 1 = b 2 + (a + b נתון (b 2 + a) + b 1 = אסוציאטיביות החיבור (a + b 2 ) + b 1 = קומוטטיביות החיבור + b 1 = נתון = b 1 + קומוטטיביות החיבור = b 1 תכונת האפס כלומר b 1 = b 2 ב נניח = a ו ab 1 = 1 = ab 2 בדומה למה שעשינו למעלה, אבל תוך שימוש בתכונת האחד במקום בתכונת מש ל האפס, מקבלים ש b 1 = b 2 דוגמה 2 הקבוצות R Q, ו C עם פעולות החשבון הרגילות הן שדות דוגמה 3 המערכת (1,,,+,N) איננה שדה כדי להראות זאת די למצוא דוגמה נגדית לאחת התכונות ניקח את המספר הטבעי 3 לא קיים ל 3 הפכי חיבורי לכן תכונה 4 איננה מתקיימת דוגמה 4 המערכת (1,,,+,Z) איננה שדה דוגמה נגדית לתכונה 9: לא קיים הפכי כפלי למספר השלם 3 דוגמה 5 ישנם גם שדות סופיים לכל מספר ראשוני p ומספר שלם חיובי n ישנו שדה (יחיד) F p n שבו p n איברים עבור = 1 n המערכת F p קלה לתיאור הקבוצה F p היא קבוצת הסימנים {[], [1], [2],, [p 1]} 9

פעולות החשבון מוגדרות כך יהיו i ו j שני מספרים מבין 1 p,,1, החיבור מוגדר ע י [i] + [j] := [k] כאשר k היא השארית של i + j אחרי חלוקה ב p הכפל מוגדר ע י [i] [j] := [l] כאשר l היא השארית של i j אחרי חלוקה ב p מסתבר שהמערכת [1]) [],, +,, p (F היא שדה במקרה = 3 p טבלאות החיבור והכפל נראות כך: + [] [1] [2] [] [] [1] [2] [1] [1] [2] [] [2] [2] [] [1] [] [1] [2] [] [] [] [] [1] [] [1] [2] [2] [] [2] [1] אנו רואים שב F 3 מתקיים [1] = [2],[2] ולכן [2] = 1 [2] בדומה [] = [1] +,[2] ולכן [1] = [2] טענה 6 יהי F שדה ו,a b איברים א = a ב a ( 1) = a ג אם = ab ו = a אז = b הוכחה א =, + לכן בעזרת הדיסטריבוטיביות נקבל a = a ( + ) = a + a תכונת ההפכי החיבורי ותכונת האפס נותנות לנו = (a ) + a = (a ) + a + a = + a = a a + a ( 1) = a 1 + a ( 1) = a (1 + ( 1)) ב תכונת האחד והדיסטריבוטיביות נותנות a (1 + ( 1)) = a = על פי חלק א ידוע ש ג נתון כי = a, ולכן קיים 1 a בעזרת חלק א מקבלים = a 1 = a 1 (a b) = (a 1 a) b = 1 b = b מש ל 1

ב משוואות ליניאריות בפרק זה אנו נעסוק במשוואות ליניאריות מעל שדה כלשהו F בדוגמאות מספריות בדרך כלל השדה יהיה C או R,Q { 2x 1 x 2 + 3 2 x 3 = 9 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 5 דוגמה 1 הינה מערכת של שתי משוואות ליניאריות בשלושה נעלמים מעל השדה Q הגדרה 1 מערכת של m משוואות ליניאריות ב n משתנים מעל השדה F היא מערכת משוואות מהצורה הבאה a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 ( ) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m כאן a 11,, a mn הינם סקלרים ב F שיקראו המקדמים של המערכת; x 1,, x n הם המשתנים (או הנעלמים) ו b 1,, b m הינם סקלרים ב F שיקראו הקבועים בדוגמה 1 המקדמים היו = 2 11 a 12 = 1,a וכו ; והקבועים היו = 9 1 b ו = 5 2 b הגדרה 2 פתרון של המערכת ( ) הינו סדרת סקלרים ) n (c 1,, c ב,F כך שבהצבת (1) x 1 := c 1, x 2 := c 2,, x n := c n a 11 c 1 + a 12 c 2 + + a 1n c n = b 1 a 21 c 1 + a 22 c 2 + + a 2n c n = b 2 a m1 c 1 + a m2 c 2 + + a mn c n = b m במערכת המשוואות מתקיימים כל השוויונות: בשדה F (c 1, c 2, c 3 ) = ( 32 7, 1 7, ) דוגמה 2 בדוגמה 1 אחד הפתרונות הוא הערה המשתנים x 1,, x n אינם איברים בשדה F, אלא רק סימנים תחביריים אחרי ההצבה (1) מקבלים, לכל,i איבר a i1 c 1 + + a in c n ב F 11

נשאלות השאלות הבאות: האם תמיד קיים פתרון? האם הפתרון יחיד? כיצד נמצא את הפתרונות? מה מבנה קבוצת הפתרונות? דוגמה 3 נסתכל בדוגמה נוספת כאן השדה הוא F =: R { 2x ( ) 1 x 2 + x 3 = x 1 + 3x 2 + 4x 3 = במצב בו הקבועים כולם קוראים למערכת המשוואות מערכת הומוגנית ניתן לגשת לפתרון המערכת הזו בצורה נאיבית תחילה נחסר כפולה מתאימה של משוואה אחת מהשניה 2x 1 x 2 +x 3 = 2( x 1 +3x 2 +4x 3 = ) 7x 2 7x 3 = וע י פישוט ונקבל את המשוואה x 2 = x 3 נציב זאת באחת המשוואות המקוריות ונקבל x 1 = x 3 כעת רואים שהמערכת ( ) שקולה למערכת המשוואות { x ( ) 2 = x 3 x 1 = x 3 לכן כל פתרון הוא מהצורה (c,c ),c כאשר c סקלר כלשהו ב R קבוצת הפתרונות היא {( c, c, c) c R} נסכם את מה שעשינו: באמצעות פעולות פשוטות על המשוואות קיבלנו מערכת משוואות חדשה, שקולה למערכת המשוואות המקורית, אשר אותה ניתן לפתור בהתבוננות המטרה בשיעורים הקרובים היא ללמוד שיטה לפתרון משוואות אשר מבוססת על הרעיון הזה תחילה נכניס סימנים יעילים יותר לכתיבת מערכת המשוואות בהגדרה הבאה מטריצה היא מלה נרדפת ל טבלה ו וקטור היא מלה נרדפת ל עמודה הגדרה 3 בהנתנן מערכת משוואות ( ) כמו בהגדרה 1 נרשום את המקדמים ב מטריצת המקדמים: a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b 1 = B מערכת המשוואות ( ) תסומן בקיצור = X, ו וקטור הקבועים הוא וקטור הנעלמים הוא b m x n כך: AX = B מערכת הומוגנית תסומן ע י,AX = O כאשר O הוא הוקטור בהמשך הקורס, כאשר נלמד חשבון מטריצות, הסימון AX = B יקבל משמעות נוספת 12 x 1

בדרך כלל, כאשר נרצה להתייחס למטריצה A בגודל,m n שרכיביה הם,a 11,, a mn נרשום ] ij A = [a האינדקס הראשון, i, מציין את מספר השורה; והאינדקס השני, j, מציין את מספר העמודה (בהתאם לנוהג לא רושמים פסיק בין האינדקסים של רכיבי המטריצה) מטריצה תמיד תהיה בגודל חיובי, כלומר 1 n,m עבור וקטור B שרכיביו הם b 1,, b m נרשום ] i B = [b הגדרה 4 תהי ] ij A = [a מטריצה בגודל m n עם רכיבים בשדה F נסמן ב L 1,, L m את שורות A, להלן שלושה סוגי פעולות על שורות המטריצה A = L i = [a i1 ו המטריצה,A כלומר ] in a L m הנקראות פעולות שורה אלמנטריות 1 הפעולה :cl i L i כופלים את השורה L i בסקלר c כאן c =,c F 2 הפעולה :L i + cl j L i מוסיפים לשורה L i את המכפלה של השורה L j בסקלר c השורה L j נותרת ללא שינוי כאן c F ו i = j 3 הפעולה :L i L j מחליפים את השורות L i ו L j כאן i = j L 1 דוגמה 4 ניקח את מערכת המשוואות ( ) שבדוגמה 3 נרשום את מטריצת המקדמים A ונפעיל עליה סדרת פעולות שורה אלמנטריות 2 1 1 L A = 1 L 2 1 3 4 L 2 2L 1 L 2 1 3 4 1 3 4 2 1 1 7 7 1 7 L 2 L 2 1 3 4 L 1 3L 2 L 1 1 1 1 1 1 1 המטריצה האחרונה מייצגת את מערכת המשוואות { x 2 + x 3 = x 1 + x 3 = בהעברת המשתנה x 3 לאגף ימין נקבל את מערכת המשוואות { x ( ) 2 = x 3 x 1 = x 3 אשר אותה כזכור אנו יכולים לפתור בהתבוננות עבור השיטה הכללית נרצה לדעת כי פעולות שורה אלמנטריות אינן משנות את קבוצת הפתרונות של המערכת בטענה הבאה A היא מטריצה, e היא פעולת שורה אלמנטרית, ו e(a) היא המטריצה המתקבלת כתוצאה מהפעלת e על A טענה 1 תהי e פעולת שורה אלמנטרית ו A מטריצה אז קיימת פעולת שורה אלמנטרית f יחידה כך ש f (e(a)) = A ו e( f (A)) = A הוכחה 1 אם ) i e = (cl i L אז ניקח ) i f := ( 1 c L i L 2 אם ) i e = (L i + cl j L אז ניקח ) i f := (L i cl j L 3 אם ) j e = (L i L אז ניקח f := e מש ל 13

משפט 1 תהי A מטריצה בגודל m n עם ערכים בשדה F אם המטריצה A מתקבלת מהמטריצה A ע י הפעלת סדרה סופית של פעולות שורה אלמנטריות, הרי למערכות המשוואות ההומוגניות AX = O ו A X = O יש בדיוק אותם פתרונות הוכחה תהיינה e 1,, e r פעולות שורה אלמנטריות כך שהפעלתן בזו אחר זו נותנת e A = A 1 e 2 e A1 3 e A2 r Ar = A נסמן ב W k את קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות A k X = O כדי להוכיח ש W, r = W מספיק להוכיח כי k 1 W k = W לכל k מ 1 עד r מאחר ש ) k 1,A k = e k (A אנו מסיקים שמספיק להוכיח את המקרה = 1,r כלומר את המקרה בו e(a) A = לאיזו פעולת שורה אלמנטרית e נרשום ] ij A = [a שלב א תחילה נניח כי ) n (d 1,, d פתרון של המערכת,AX = O ונראה כי זה גם פתרון של A X = O נבחין בין שלושה מקרים אפשריים 1 הפעולה e היא cl i L i משוואה מס i במערכת AX = O היא a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n נתון ש ) n (d 1,, d פתרון של,AX = O כלומר יש שוויון a i1 d 1 + a i2 d 2 + + a in d n = ca i1 d 1 + ca i2 d 2 + + ca in d n =, ca i1 x 1 + ca i2 x 2 + + ca in x n = בשדה F ע י כפל שני אגפי השוויון ב c נקבל לכן ) n (d 1,, d פתרון של המשוואה שהיא משוואה מס i במערכת A X = O יתר המשוואות הן ללא שינוי 2 הפעולה e היא,L i + cl j L i כאשר i = j נתון כי a i1 d 1 + + a in d n = a j1 d 1 + + a jn d n = (a i1 + ca j1 )d 1 + + (a in + ca jn )d n =, (a i1 + ca j1 )x 1 + + (a in + ca jn )x n = ו לכן מתקיים השוויון ב F כלומר ) n (d 1,, d פתרון של המשוואה שהי משוואה מס i במערכת A X = O יתר המשוואות נותרות ללא שינוי 3 כעת e היא הפעולה,L i L j כאשר i = j כאן המשוואות במערכת AX = O הן אותן משוואות כמו ב A X = O היא פתרון של (d 1,, d n ) רק בסדר אחר לכן הסדרה,A X = O שלב ב כעת נניח כי ) n (d 1,, d פתרון של A X = O ע פ טענה 1 ישנה פעולת שורה אלמנטריות f כך ש ) (A A = f ההוכחה שבשלב א (תוך חילוף תפקידים בין A ו (A מראה כי הסדרה ) n (d 1,, d היא מש ל פתרון גם של המערכת AX = O הגדרה 5 שתי מטריצות A ו A מאותו גודל עם רכיבים בשדה F תקראנה שקולות שורה אם ניתן לעבור מ A ל A ע י סדרה סופית של פעולות שורה אלמנטריות e A = A 1 e 2 e A1 3 e A2 r Ar = A 14

תהליך הדרוג נתחיל בשתי דוגמאות שימחישו כיצד פעולות שורה אלמנטריות מפשטות את מערכת המשוואות דוגמה 5 ניקח את השדה F =: Q ואת מערכת המשוואות ההומוגנית 2x 1 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = x 1 + 4x 2 x 4 = 2x 1 + 6x 2 x 3 + 5x 4 = 2 1 3 2 1 4 1 2 6 1 5 L 1 L 2 L 3 2L 1 L 3 L 2 L 3 2 15 L 3 L 3 L 1 +2L 3 L 1 A := 2 1 3 2 1 4 1 2 6 1 5 מטריצת המקדמים היא נפעיל על A את הפעולות הבאות 1 4 1 1 4 1 2 1 3 2 L 2 2L 1 L 2 9 3 4 2 6 1 5 2 6 1 5 1 4 1 1 4 1 2 1 9 3 4 L 3 L 3 9 3 4 1 2 1 7 1 2 7 2 1 4 1 1 4 1 1 1 2 7 L 3 +9L 2 L 3 2 1 1 2 7 2 15 9 3 4 2 55 2 1 4 1 1 2 13 1 1 2 7 L 1 4L 2 L 1 2 1 1 1 11 2 7 2 3 1 11 3 17 17 1 3 1 1 1 2 7 L 2 2 1 2 L 3 L 2 3 1 5 1 11 3 3 1 11 3 מערכת המשוואות שמתאימה למטריצה האחרונה היא: x 1 + 17 3 x 4 = x 2 5 3 x 4 = x 3 11 3 x 4 = אחרי העברת המשתנה x 4 לאגף ימין נקבל מערכת שקולה x 1 = 17 3 x 4 x 2 = 5 3 x 4 x 3 = 11 3 x 4 מייד רואים כי אין כל הגבלה על הערכים שמציבים במקום המשתנה החופשי x; 4 ואחרי שהצבנו x, 4 =: c := 11 3 x לכן קבוצת 3 c ו x 2 := 5 3 c,x 1 := 17 המשתנים התלויים x 2,x 1 ו x 3 חייבים לקבל את הערכים 3 c הפתרונות היא {( 17 3 c, 5 11 3c, 3 c, c) c Q} 15

דוגמה 6 כעת ניקח את השדה F =: C ואת מערכת המשוואות x 1 + ix 2 = ix 1 + 3x 2 = x 1 + 2x 2 = A = 1 i i 3 1 2 L 1 L 3 L 3 +L 1 L 3 L 3 (2+i)L 2 L 3 A := 1 i i 3 1 2 מטריצת המקדמים היא נפעיל על A סדרה של פעולות שורה אלמנטריות 1 2 L i 3 2 +il 1 L 2 1 2 3 + 2i 1 i 1 i 1 2 1 3+2i 3 + 2i L 2 L 2 1 2 1 2 + i 2 + i 1 2 L 1 1 2L 2 L 1 1 1 = A x 1 = x 2 = = מערכת המשוואות שקיבלנו A X = O היא הפתרון היחיד למערכת המשוואות הוא (,) פתרון זה נקרא הפתרון הטריוויאלי תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי למערכת משוואות הומוגנית אחרי שראינו כמה דוגמאות נתחיל בלימוד השיטה לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות כאשר אנו מדברים על מטריצה בגודל m n הכוונה היא תמיד ש 1 n,m הגדרה 6 מטריצה A מעל השדה F תקרא מטריצה מדורגת אם מתקיימים ארבעת התנאים הבאים א בכל שורה שאיננה כולה הרכיב הראשון השונה מ הוא 1 רכיב זה נקרא ה 1 המוביל של השורה ב השורות שכולן מופיעות אחרי השורות שאינן כולן אז k i ג יהי r מספר השורות ב A שאינן כולן, ונניח שבשורה ה i ה 1 המוביל הוא במקום k 1 < k 2 < < k r ד עבור כל i מ 1 עד r הרכיב היחיד בעמודה k i השונה מ נמצא בשורה i (רכיב זה הוא כמובן ה 1 המוביל של שורה i) באיור 2 ישנו תרשים של מטריצה מדורגת ננסה לתת תיאור מילולי של תנאים ב ד בהגדרה: בכל מלבן שהפינה העליונה ימנית שלו היא איזה 1 מוביל, כל יתר הרכיבים הם כמו כן מעל כל 1 מוביל, כל יתר הרכיבים בעמודה הם הערה יש ספרים שמבחינים בין מטריצה מדורגת לבין מטריצה מדורגת קאנונית אנו לא נעשה הבחנה זו 16

1 2 r r + 1 m 1 1 1 1 k 1 k 2 k r n איור 2: תרשים של מטריצה מדורגת בגודל m n הסימן מייצג סקלר כלשהו (שיכול להיות שונה ברכיבים שונים של המטריצה) דוגמה 7 השדה בדוגמה זו הוא Q 1 2 7 3 5 היא מדורגת כאן = 2 r 1 א המטריצה 4 1 2 1 איננה מדורגת (תנאי ד אינו מתקיים) 7 2 ב המטריצה 1 1 1 1 3 איננה מדורגת (תנאי א אינו מתקיים) ג המטריצה 1 2 1 3 איננה מדורגת (תנאי ב אינו מתקיים) ד המטריצה 1 1 ה מטריצת היחידה בגודל n, n אשר נסמן ע י I, n n היא מדורגת 1 1 I n n := 1 1 ו מטריצת האפס בגודל m, n אשר נסמן ע י O, m n היא מדורגת O m n := במטריצה זו = r, ואין אף 1 מוביל ראינו בדוגמאות 5 ו 6 כי את מערכת המשוואות ההומוגנית AX = O ניתן לפתור באמצעות הבאת מטריצת המקדמים A לצורה מדורגת זה נכון באופן כללי תחילה נראה כי כל מטריצה ניתנת לדרוג 17

משפט 2 (תהליך הדרוג של גאוס ז ורדן) תהי A מטריצה מעל השדה F אז ישנה מטריצה מדורגת A אשר הינה שקולת שורה ל A הוכחה נאמר כי המטריצה ] ij A = a] היא בגודל m n אנו נוכיח את המשפט באינדוקציה על m (מספר השורות ב A) התחלת האינדוקציה: כאן = 1 m אם A = O 1 n אז היא כבר מדורגת, וניקח A := A אחרת יהי k 1 ( 1 := e אז המטריצה e(a) A := היא מדורגת המספר המזערי כך ש = a k1 1 תהי ) 1 a k1 1 L 1 L השלב האינדוקטיבי: כאן 2 m, ומניחים שכל מטריצה B שמספר השורות בה הוא 1 m ניתנת לדרוג כלומר ישנה מטריצה B מדורגת ושקולת שורה ל B אם A = O m n אז היא כבר מדורגת, וניקח A := A אחרת (אם (A = O m n נעשה חמישה צעדים כדי למצוא את A בכל צעד ניקח מטריצה A ונפעיל עליה כמה פעולות שורה אלמנטריות למטריצה החדשה שנקבל בתום הצעד נקרא בשם A (זה יחסוך סימונים מסורבלים) כלומר בכל צעד המטריצה A תשתפר, עד שבסוף היא תהיה מדורגת, ונקרא לה A צעד 1 יהי k 1 המספר המזערי כך שעמודה מספר k 1 במטריצה A איננה כולה יהי i המספר המזערי כך ש = a ik1 אם = 1 i לא נשנה את A אם > 1 i תהי ) i,e := (L 1 L ונגדיר את המטריצה A החדשה להיות e(a) ( 1 =: e, ונקבל מטריצה A חדשה, שבה בשורה a 1k1 צעד 2 כעת = a 1k1 נבצע את פעולת השורה ) 1 L 1 L הראשונה יש 1 מוביל במקום k 1 השורה הזאת נראית כך: L 1 = [ 1 ] k 1 כמטריצה בגודל L 1 1, n היא מטריצה מדורגת צעד 3 לכל i מ 2 עד m נבצע את הפעולה ) i,e i := (L i a ik1 L 1 L לאיפוס עמודה מס k 1 מתחת ל 1 המוביל של השורה הראשונה בסוף השלב הזה המטריצה A נראית כך: 1 A = k 1 צעד 4 תהי B המטריצה המתקבלת מ A ע י השמטת השורה הראשונה שלה זאת אומרת ש L1, A = B כאשר L 1 היא השורה הראשונה של A כעת B היא מטריצה בגודל m), (1 n ולפי הנחת האינדוקציה ישנה מטריצה B מדורגת ושקולת שורה ל B נגדיר מטריצה A L1 := B מאחר שב B היו רק אפסים בעמודות, k 1,2,1, הרי זה המצב גם במטריצה B המטריצה A נראית כמו המטריצה A בסוף הצעד הקודם (כלומר בעמודות, k 1,2,1 הכל, מלבד ה 1 המוביל של השורה הראשונה) נתבונן בשורות של המטריצה A לכל שורה של A שאיננה כולה יש 1 מוביל; השורה הראשונה בגלל צעד 2, והאחרות כי הן שורות של המטריצה המדורגת B השורות של A שכולן מופיעות אחרי השורות 18

k i את מקומו של ה 1 המוביל שאינן כולן, כי השורה הראשונה שונה מ, ו B היא מדורגת נסמן ב k i+1 > k i בשורה i של A אז k 2 > k 1 ;k 1 = k 1 משום שבמטריצה B יש רק בעמודות, k 1 2, ;1, ו ל 2 i כי B מדורגת לכן < 2 k 1 < k אנו רואים כי המטריצה A מקיימת את התנאים א, ב ו ג בהגדרה 6 תהיינה e 1,, e s פעולות שורה אלמנטריות המעבירות מהמטריצה B למטריצה B אז אותה סדרת פעולות, אך בהוספת 1 לאינדקסים של השורות, היא סדרת פעולות שורה אלמנטריות המעבירה מהמטריצה A למטריצה A =: A הן שקולות שורה לסיום צעד זה נגדיר A ו A לכן A צעד 5 המטריצה A מקיימת את התנאים א, ב ו ג בהגדרה 6, אבל יתכן שאיננה מקיימת את תנאי ד : בשורה L 1 עלולים להיות רכיבים שונים מ מעל ה 1 המובילים של השורות, 3 L 2, L עלינו לאפס את הרכיבים הללו נניח כי במטריצה A יש r שורות שאינן כולן, ובשורה L i ה 1 המוביל הוא במקום k i לכל,(1, k i ) פעולה זו תאפס את הרכיב במקום e i := (L 1 a 1ki L i L 1 ) נבצע את פעולת השורה r מ 2 עד i אולם לא תשנה את הרכיבים במקומות ) j,1) k עבור j, = i בגלל ש = ikj a למטריצה שמקבלים נקרא בשם A זוהי מטריצה מדורגת מש ל הגדרה 7 תהי A מטריצה מדורגת עם ערכים בשדה F מספר השורות שאינן כולן ב A, אשר מסומן בדרך כלל באות r, נקרא הדרגה של A הערה תהי A מטריצה כלשהי, ותהיינה A ו A מטריצות מדורגות ושקולות שורה ל A ניתן להוכיח כי A A; = אולם אנו לא נזדקק לכך פתרון מערכת משוואות הומוגנית הגדרה 8 תהי A מטריצה מדורגת בגודל m n ומדרגה r נניח כי בשורה L i ה 1 המוביל הוא במקום k i המשתנים x k1, x k2,, x kr נקראים המשתנים התלויים של מערכת המשוואות A X = O יתר המשתנים נקראים המשתנים החופשיים, והם יסומנו,x l1, x l2,, x ln r כאשר l 1 < l 2 < < l n r A := 1 3 1 1 2 דוגמה 8 ניקח F := R ו זוהי מטריצה מדורגת הדרגה היא = 2 r העמודות שבהן יש 1 ים מובילים הן =: 2 1 k ו =: 4 2 k המשתנים התלויים הם x 2 ו x 4 המשתנים החופשיים הם x 3,x 1 ו x 5 מערכת המשוואות A X = O היא { x 2 3x 3 + 1 2 x 5 = x 4 + 2x 5 = אחרי העברת המשתנים החופשיים לאגף ימין מקבלים { x 2 = ( 3x 3 + 1 2 x 5) x 4 = (2x 5 ) רואים שקבוצת הפתרונות היא { (c 1, 3c 2 1 2 c 3, c 2, 2c 3, c 3 ) c 1, c 3, c 3 R } 19

בניסוח המשפט הבא נזדקק למושג תבנית ליניארית הומוגנית במשתנים x, 1,, x n עם מקדמים ב F זה ביטוי מהצורה n f (x 1,, x n ) = d 1 x 1 + + d n x n = d i x i i=1 כאשר d 1,, d n F בהנתן סדרת סקלרים ) n (c 1,, c ניתן להציב x i := c i ולקבל ערך f (c 1,, c n ) := d 1 c 1 + + d n c n = n d i c i F i=1 משפט 3 תהי A מטריצה בגודל m n עם ערכים בשדה F הפתרונות של מערכת המשוואות AX = O A = [a מטריצה מדורגת שקולת שורה ל A יהיו x k1,, x kr המשתנים ניתנים לתיאור באופן הבא תהי ] ij התלויים במערכת המשוואות,A X = O ויהיו x l1,, x ln r המשתנים החופשיים לכל i מ 1 עד r נגדיר תבנית ליניארית הומוגנית n r f i (x l1,, x ln r ) := a il j x j j=1 בהנתן סדרה כלשהי ) n r (c 1,, c של סקלרים ב F ישנו פתרון יחיד למערכת המשוואות,AX = O שבו ההצבות למשתנים הן x l1 := c 1 x k1 := f 1 (c 1,, c n r ) x ln r := c n r x kr := f r (c 1,, c n r ) אלו הם כל הפתרונות של מערכת המשוואות AX = O הוכחה ע פ משפט 1 למערכות המשוואות AX = O ו A X = O יש בדיוק אותם פתרונות אנו נמצא את הפתרונות למערכת המשוואות השנייה מערכת המשוואות A X = O נראית כך אם i r אז משוואה מס i היא a i1 x 1 + + a in x n = a ik i (זהו ה 1 המוביל של שורה i), ומאחר שהמקדמים של יתר המשתנים התלויים הם כולם מאחר ש = 1 (בגלל תנאי ד של הגדרה 6), הרי המשוואה נראית כך: x ki = n r x ki + j=1 a il j x j נעביר את המשתנים החופשיים לאגף ימין ונקבל משוואה שקולה n r a il j x lj = f i (x l1,, x ln r ) j=1 עבור i > r משוואה מס i במערכת A X = O היא =, ולכן ניתן להתעלם ממנה ולכן המערכת A X = O שקולה למערכת המשוואות x k1 = f 1 (x l1,, x ln r ) ( ) x kr = f r (x l1,, x ln r ) בהנתן סדרה כלשהי ) n r (c 1,, c של סקלרים, ההצבות x lj := c j למשתנים החופשיים ו ) n r x ki := f i (c 1,, c למשתנים התלויים מהוות פתרון של מערכת המשוואות ( ) ולהפך, ברור שכל מש ל פתרון של מערכת המשוואות ( ) חייב להיות מהצורה הזו 2

פתרון מערכת משוואות לא הומוגנית נחזור למקרה של מערכת משוואות לא הומוגנית AX = B תחילה נשים לב שלא תמיד יש פתרון למערכת כזו דוגמה 9 ניקח את השדה F =: Q ואת מערכת המשוואות { x 1 + x 2 = 9 2x 1 + 2x 2 = 2 למערכת זו אין אף פתרון! למערכת המשוואות הלא הומוגנית AX = B מתאימה מערכת משוואות הומוגנית,AX = O ויש קשר הדוק בין הפתרונות שלהן, כפי שהמשפט הבא מראה משפט 4 תהי AX = B מערכת משוואות לא הומוגנית עם m משוואות ו n משתנים, ונניח כי ) n (d 1,, d פתרון של מערכת משוואות זו תהי ) n (c 1,, c סדרה כלשהי של סקלרים אז ) n (c 1,, c פתרון של מערכת המשוואות ההומוגנית AX = O אם ם הסדרה ) n (c 1 + d 1,, c n + d היא פתרון של מערכת המשוואות AX = B a i1 d 1 + + a in d n = b i a i1 c 1 + + a in c n =, a i1 (c 1 + d 1 ) + + a in (c n + d n ) = b i + = b i הוכחה נסתכל על משוואה מס i נתון כי אם ) n (c 1,, c פתרון של המערכת ההומוגנית הרי נחבר את השוויונות ונקבל כלומר ) n (c 1 + d 1,, c n + d פתרון של משוואה מס i במערכת המשוואות AX = B לכוון ההפוך ההוכחה מש ל היא ע י חיסור המשוואות אנו רואים שהעניין העיקרי בפתרון מערכת משוואות לא הומוגנית AX = B הוא למצוא פתרון מסוים שלה שאר הפתרונות הם סכומים של פתרון מסוים זה והפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה הגדרה 9 תהי AX = B מערכת של m משוואות ב n משתנים המטריצה המורחבת של מערכת המשוואות m (n + 1) היא המטריצה בגודל AX = B a 11 a 1n b 1 [A B] := a m1 a mn b m הקו האנכי אמור להזכיר לנו שזו מטריצה מורחבת פעולות השורה האלמנטריות פועלות כמובן גם המטריצה המורחבת, ואם ] B A] מתקבלת מ [A B] ע י פעולות שורה הרי יש מערכת משוואות לא הומוגנית מתאימה A X = B משפט 5 אם המטריצות המורחבות [A B] ו ] B A] הן שקולות שורה אז למערכות המשוואות AX = B ו B A X = יש אותם פתרונות הוכחה כמו בהוכחה של משפט 1 די להוכיח את המקרה שבו e([a B]) A] B ] = כאשר e פעולת שורה אלמנטרית 21

שלב א תחילה נניח כי ) n (d 1,, d פתרון של המערכת,AX = B ונראה כי זה גם פתרון של B A X = נבחין בין שלושה מקרים אפשריים 1 הפעולה e היא cl i L i משוואה מס i במערכת AX = B היא a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i a i1 d 1 + a i2 d 2 + + a in d n = b i ca i1 d 1 + ca i2 d 2 + + ca in d n = cb i, ca i1 x 1 + ca i2 x 2 + + ca in x n = cb i נתון ש ) n (d 1,, d פתרון של,AX = B כלומר ע י כפל שני הצדדים בשוויון ב c נקבל לכן ) n (d 1,, d פתרון של המשוואה שהיא משוואה מס i במערכת B A X = יתר המשוואות הן ללא שינוי וכך הלאה: כמו במקרה ההומוגני (משפט 1) עוברים על שני סוגי הפעולות האלמנטריות הנוספים, ואח כ מש ל בשלב ב משתמשים בפעולת השורה f ההפכית ל e דוגמה 1 השדה הוא F =: Q ומערכת המשוואות היא x 1 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 5x 2 x 3 = 3 נבצע דירוג של [A B] 1 2 1 1 1 2 1 1 [A B] = 2 1 1 2 5 1 5 1 3 5 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 5 1 1 1 5 3 1 3 3 1 5 1 1 1 1 5 5 1 1 5 = [A B ] 1 1 x 1 + 3 5 x 3 = x 2 1 5 x 3 = = 1 מערכת המשוואות החדשה B A X = היא ואין לה אף פתרון 22

דוגמה 11 נשנה את המשוואה השלישית במערכת המשוואות בדוגמה הקודמת ל = 3 5x 2 x ונקבל: 1 2 1 1 1 2 1 1 [A B] = 2 1 1 2 5 1 5 1 5 1 1 2 1 1 1 2 1 1 5 1 1 1 5 3 1 5 1 1 1 5 = [A B ] { x 1 + 3 5 x 3 = 1 x 2 1 5 x 3 = { x 1 = 1 3 5 x 3 x 2 = 1 5 x 3 מערכת המשוואות B A X = היא ע י העברת המשתנה החופשי לאגף ימין נקבל {(1 3 5 c, 1 5c, c) c Q} קבוצת הפתרונות היא הקבוצה האינסופית נשים לב כי אם המטריצה ] B A] מדורגת אז גם A מדורגת (השמטת עמודות מצד ימין של המטריצה לא מקלקלת תכונה זו) משפט 6 נתונה מערכת משוואות ליניאריות AX = B תהי [A B] המטריצה המורחבת של המערכת,AX = B ותהי ] B A] מטריצה מדורגת שקולת שורה ל [A B] אז התנאים הבאים שקולים א הדרגה של המטריצה ] B A] שווה לדרגה של המטריצה A ב קיים פתרון למערכת המשוואות AX = B הוכחה תחילה נוכיח כי אם תנאי א איננו מתקיים אז גם תנאי ב איננו מתקיים נניח שהדרגה של ] B A] גדולה מזו של A אז בהכרח יש 1 מוביל בעמודה B לכן השורה האחרונה השונה מ במטריצה ] B A] היא [1 ] שורה זו מתאימה למשוואה x 1 + + x n = 1 אשר אין לה פתרון לכן למערכת המשוואות B A X = אין פתרון ע פ משפט 5 למערכת המשוואות AX = B אין פתרון כעת נוכיח שקיום תנאי א גורר קיום תנאי ב אם הדרגות של ] B A] ו A שוות אז כל ה 1 המובילים במטריצה ] B [A הם בהכרח במטריצה A נניח שהדרגה היא r יהיו x k1,, x kr המשתנים התלויים של b הקבועים המופיעים בעמודה המערכת,A X = O ויהיו x l1,, x ln r המשתנים החופשיים יהיו, b m, 1 B אז מערכת המשוואות B A X = היא x k1 f 1 (x l1,, x ln r ) = b 1 x kr f r (x l1,, x ln r ) = b r 23

כאשר ) ln r f i (x l1,, x הן התבניות הליניאריות ההומוגניות שהופיעו במשפט 3 (השמטנו את m r המשוואות האחרונות שכולן = ) בתור פתרון ל B A, X = ולכן גם ל,AX = B ניתן לבחור את ההצבה מש ל x l1 := x ln r := x k1 := b 1 x kr := b r 24

ג מרחבים וקטוריים במהלך הפרק F הינו שדה כלשהו (בדוגמאות F יהיה R Q, או C) נתחיל באזכור כמה מושגים לגבי קבוצות תהי V קבוצה ויהי n מספר טבעי n יה של איברים ב V היא סדרה ) n v) 1,, v של איברים V (מקור המילה: זוג, שלישיה, רביעיה,, n יה) חשוב לזכור שבסדרה סדר האיברים משמעותי; כלומר שתי n יות ) n (v 1,, v ו ) n (w 1,, w הן שוות אם ם v i = w i לכל i בכך הסדרה ) n (v 1,, v נבדלת מהקבוצה } n {v 1,, v בהנתן קבוצות,V 1,, V n המכפלה הקרטזית שלהן היא הקבוצה V 1 V n := {(v 1,, v n ) v i V i } V n := V V }{{} n כאשר V 1 = = V n = V כותבים בקיצור זאת אומרת שהאיברים של הקבוצה V n הם ה n יות של אברים ב V דוגמה 1 פעולת החיבור בשדה היא פונקציה F 2 F המתאימה לזוג הסדור,a) (b F 2 את האיבר (a, b) a + b מקובל לכתוב זאת כך: a + b F הגדרה 1 מרחב וקטורי מעל השדה F הינו מערכת (,,+,V) שבה V קבוצה שאיבריה נקראים וקטורים; + היא פעולה דו מקומית V V V, (v, w) v + w הנקראת חיבור; היא פעולה דו מקומית F V V, (a, v) a v הנקראת כפל בסקלר; ו הוא איבר מיוחד ב V הנקרא וקטור האפס התכונות הבאות חייבות להתקיים לכל a, b F ו u, v, w V 1 קומוטטיביות החיבור: u + v = v + u 2 אסוציאטיביות החיבור: w) (u + v) + w = u + (v + 3 תכונת האפס: v + = v 4 קיום הפכי חיבורי: קיים v V כך ש = v v + 5 תכונת האחד: v = v 1 6 אסוציאטיביות הכפל בסקלר: v) (a b) v = a (b 7 דיסטריבוטיביות מימין: w) a (v + w) = (a v) + (a 8 דיסטריבוטיביות משמאל: v) (a + b) v = (a v) + (b דוגמה 2 יהי n מספר שלם חיובי מרחב ה n יות הוא הקבוצה F n = {(a 1,, a n ) a i F}, (a 1,, a n ) + (b 1,, b n ) := (a 1 + b 1,, a n + b n ) a (b 1,, b n ) := (a b 1,, a b n ) עם פעולת החיבור עם פעולת הכפל בסקלר 25

:= (,, ) ועם איבר האפס נבדוק את קיום כמה מן התכונות ניקח את תכונה מס 1 (קומוטטיביות החיבור) ) n (a 1,, a n ) + (b 1,, b n ) = (a 1 + b 1,, a n + b הגדרת החיבור (b 1 + a 1,, b n + a n ) = קומוטטיביות החיבור ב F ) n (b 1,, b n ) + (a 1,, a = הגדרת החיבור נבדוק את קיום תכונה 3 (תכונת האפס) ) + n (a 1,, a n ) + (,, ) = (a 1 +,, a הגדרת החיבור (a 1,, a n ) = תכונת האפס ב F בצורה דומה רואים שכל יתר התכונות של מרחב וקטורי מתקיימות עבור המערכת (,,+, n F), בשל קיום התכונות המקבילות בשדה F לבסוף נציין שגם עבור = n המרחב F מוגדר הקבוצה F מכילה איבר יחיד; זוהי הסדרה הריקה (), שהיא הסדרה היחידה באורך בהכרח מגדירים () := הפעולות הן כמובן := + ו := a כל תכונות המרחב הוקטורי מתקיימות גם במקרה זה דוגמה 3 יהיו m ו n שני מספרים שלמים חיוביים נסמן ב (F) M m n את קבוצת המטריצות בגודל m n עם רכיבים ב F הפעולות מוגדרות כך a 11 a 1n b 11 b 1n a 11 + b 11 a 1n + b 1n + := a m1 a mn b m1 b mn a m1 + b m1 a mn + b mn b 11 b 1n ab 11 ab 1n a := b m1 b mn ab m1 ab mn := O m n = ו איבר האפס הוא בדומה לבדיקה שעשינו בדוגמה 2 רואים שגם כאן מתקיימות כל התכונות של מרחב וקטורי בעצם אם ניקח מטריצה (F) A M m n ונסדר את שורותיה זו אחר זו נקבל שורה אחת באורך,mn כלומר איבר ב F mn רואים בקלות שפעולות החיבור והכפל בסקלר ב (F) M m n מתאימות לפעולות החיבור והכפל בסקלר במרחב F, mn ואיברי האפס מתאימים בשני המרחבים לכן כמרחבים וקטוריים אין הבדל של ממש בין (F) M m n ו F; mn ההבדל היחיד הוא צורת כתיבת האיברים דוגמה 4 ניקח את השדה F =: R ואת מרחב הזוגות V = R 2 למרחב R 2 יש פירוש הגיאומטרי: זהו המישור הממשי פעולת החיבור היא ע י כלל המקבילית, וכפל בסקלר הוא מתיחה (ראה איור 3) טענה 1 ההפכי החיבורי הוא יחיד הוכחה בהנתן וקטור v V נניח שהוקטורים w 1, w 2 V מקיימים v + w 1 = v + w 2 = 26

איור 3: חיבור וקטורים ב R 2 לפי כלל המקבילית w 1 + (v + w 2 ) = w 1 + = w 1 אז w 1 + (v + w 2 ) = (w 1 + v) + w 2 = (v + w 1 ) + w 2 = + w 2 = w 2 + = w 2 וגם רואים ש w 1 = w 2 מש ל טענה 2 יהי V מרחב וקטורי מעל F א לכל v V מתקיים = v ב לכל a F מתקיים = a ג יהיו a F ו v V אם = v a ו = a אז = v ד לכל a F ו v V מתקיים (a v) = ( a) v הוכחה א = + בשדה, לכן v = ( + ) v = ( v) + ( v) ע י חיבור (v ) לשני האגפים נקבל = v + ( ( v)) = ( v) + ( v) + ( ( v)) = v ב מתכונת האפס נובע = + מדיסטריבוטיביות מימין מקבלים a = a ( + ) = (a ) + (a ) 27

כעת נוסיף ( a) לשני האגפים במשוואה ונקבל = (a ) + ( (a )) = (a ) + (a ) + ( (a )) = a = a 1 מחלק ב נתון v) = a 1 (a אסוציאטיביות (a 1 a) v = v 1 = הגדרת 1 a = v תכונת ה 1 ג מאחר ש = a קיים a 1 F (a v) + (( a) v) = (a + ( a)) v דיסטריבוטיביות משמאל v = הגדרת a ד נעשה את החישוב הבא: חלק א = מש ל לכן v) ( a) v = (a כמו בפעולות חשבון בין סקלרים, גם במקרה של וקטורים נהוג לקצר לדוגמה כותבים av במקום a, v וכן משמיטים סוגריים היכן שניתן תת מרחבים הגדרה 2 יהי V מרחב וקטורי מעל F תת קבוצה W של V תקרא תת מרחב אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים א וקטור האפס: W ב סגירות תחת חיבור: לכל v, w W מתקיים v + w W ג סגירות תחת כפל בסקלרים: לכל v W ו a F מתקיים a v W טענה 3 יהי V מרחב וקטורי מעל F ו W V תת מרחב אז המערכת (,,+,W) היא מרחב וקטורי הוכחה נשים לב תחילה כי הוא איבר ב W, והפעולות + ו הן אכן פעולות על W כל התכונות בהגדרה 1 מתקיימות באופן אוטומטי עבור המערכת (,,+,W), מלבד תכונה 4 אותה יש צורך להוכיח יהי w W וקטור כלשהו; עלינו להוכיח כי w W אולם זה נובע מחלק ד של טענה 2, שהרי w = (1 w) = ( 1) w W לפי תכונה ג מש ל דוגמה 5 ניקח V := Q 2,F := Q ו W := {(, a) a Q} Q 2 28

זהו תת מרחב W := {(a, b) a Q, b R} V דוגמה 6 ניקח V := R 2,F := R ו האם W תת מרחב של V? נבדוק א W ) (, = ; בסדר ב W סגור תחת חיבור; בסדר ג ניקח a := 2 R ו v := (1, ) W אז a v = ( 2, ) / W תכונה ג איננה מתקיימת אם כן W איננו תת מרחב של V דוגמה 7 כאן F =: R ו V =: R 2 הנה כמה סוגי תת מרחבים: הראשית {(,)}; ישר דרך הראשית; המישור כולו בהמשך נוכיח שאלו כל האפשרויות דוגמה 8 שוב F := R ו V := R 2 הקבוצות הבאות אינן תת מרחבים של :V W := {(a, b) a 2 + b 2 1} W := {(a, b) b a} טענה 4 נתונה מערכת משוואות הומוגנית AX = O ב n משתנים עם מקדמים בשדה F ניקח V =: F n ו W := {AX = O הפתרונות של {קבוצת F n אז W תת מרחב של V הוכחה א W זהו הפתרון הטריוויאלי ב יהיו ) n (c 1,, c ו ) n (d 1,, d שני פתרונות כלומר לכל משוואה i מתקיים a i1 c 1 + + a in c n = a i1 d 1 + + a in d n = ו נחבר את השוויונות ונקבל a i1 (c 1 + d 1 ) + + a in (c n + d n ) = + = לכן גם ) n (c 1 + d 1,, c n + d פתרון ג יהי ) n (c 1,, c פתרון ויהי d סקלר ע י כפל שוויון מס i ב d מקבלים a i1 dc 1 + + a in dc n = d = מש ל ולכן גם ) n (dc 1,, dc הוא פתרון 29

פרישה הגדרה 3 יהי V מרחב וקטורי מעל השדה F ותהי ) n v = (v 1,, v סדרה סופית של אברי V צרוף ליניארי (או קומבינציה ליניארית) של הסדרה v הוא וקטור v במרחב V מהצורה, v = a 1 v 1 + + a n v n עבור סקלרים a 1,, a n F כלשהם כאשר = n מדובר בסדרה הריקה () =,v ועל פי הגדרה הצרוף הליניארי היחיד של הסדרה () הוא הוקטור קבוצת כל הצרופים הליניאריים של הסדרה v נקראת מרחב הפרישה של v, והיא מסומנת ע י Sp(v) Sp(v) = {a 1 v 1 + + a n v n a 1,, a n F} דרך אחרת לבטא זאת היא טענה 5 תהי ) n v = (v 1,, v סדרה סופית של וקטורים במרחב V אז הקבוצה Sp(v) היא תת מרחב של V הוכחה אם = n, כלומר v היא הסדרה הריקה, הרי לפי הגדרה { } =,Sp(v) וזהו תת מרחב נניח עתה כי > n, ונעבור על שלושת התכונות מהגדרה 3 א ניקח := n,a 1,, a ואז Sp(v) = v 1 + + v n ב נתונים שני וקטורים Sp(v) ;v, w צריך להוכיח כי Sp(v) v + w מאחר ש Sp(v),v הרי ישנה סדרת סקלרים ) n (a 1,, a ב F כך ש a 1 v 1 + + a n v n = v נקרא לסדרת הסקלרים ) n (a 1,, a עדות לכך ש Sp(v) v בדומה ישנה סדרת סקלרים ) n (b 1,, b אשר מהווה עדות לכך ש Sp(v) w אבל אז, v + w = ( n ) ( n ) a i v i + b i v i = i=1 i=1 n i=1 (a i + b i )v i ולכן הסדרה ) n (a 1 + b 1,, a n + b היא עדות לכך ש Sp(v) v + w ג ניקח Sp(v) v ו a F צריך להוכיח ש Sp(v) av תהי ) n (a 1,, a עדות לכך ש Sp(v) v מש ל אז ) n (aa 1,, aa היא עדות לכך ש Sp(v) av הגדרה 4 יהי V מרחב וקטורי מעל F ותהי S תת קבוצה של V מרחב הפרישה של S הוא קבוצת כל הצרופים הליניאריים של סדרות סופיות ב S הסימון הוא Sp(S) במלים אחרות, וקטור v מקיים Sp(S) v אם ם ישנה סדרה סופית ) n v = (v 1,, v של איברי,S כך ש Sp(v) v סדרה כזאת v תיקרא עדות לכך ש Sp(v) v נשים לב כי הסדרה הריקה היא אחת מן הסדרות הסופיות של אברי S טענה 6 יהי V מרחב וקטורי ו S V תת קבוצה אז Sp(S) הוא תת מרחב של V הוכחה נעבור על שלושת התכונות מהגדרה 3 א הסדרה הריקה () = v היא עדות לכך ש Sp(S) ב יהיו Sp(S) v, w ישנן סדרות ) m v = (v 1,, v ו ) n w = (w 1,, w של איברים בקבוצה,S המהוות עדויות לכך ש Sp(S) v ו Sp(S) w בהתאמה ישנן סדרות סקלרים ) m (a 1,, a ו ) n (b 1,, b כך 3

, v + w = ( m ) ( n ) a i v i + b i w i i=1 i=1 ש v = m i=1 a iv i ו w = n i=1 b iw i מקבלים (v, w) := (v 1,, v m, w 1,, w n ) ולכן הסדרה המשורשרת היא עדות לכך ש Sp(S) v + w ג יהיו Sp(S) v ו a F תהי v סדרה שהיא עדות לכך ש Sp(S) v אז v מהווה גם עדות לכך ש מש ל av Sp(S) דוגמה 9 נתבונן במרחב V := F 2 ובקבוצה 1)} {(1, := S יהיו v 1,, v n S אז 1) (1, = i,v ולכן לכל n יה של סקלרים ) n (a 1,, a מקבלים, a 1 v 1 + + a n v n = (a 1 + + a n ) (1, 1) = (a, a) Sp(S) = {(a, a) a F} כאשר a := a 1 + + a n ז א S := {(,, 1), (, 1, ), (1,, )} Sp(S) = {(a 1, a 2, a 3 ) a 1, a 2, a 3 F} = F 3 דוגמה 1 כאן V = F 3 ו אז טענה 7 יהי V מרחב וקטורי, יהי W תת מרחב של V, ותהי S תת קבוצה של V אז S W אם ם Sp(S) W הוכחה תחילה נניח ש Sp(S) W יהי v S אז Sp(S),v = 1 v ולכן v W אנו רואים ש S W עכשיו נניח כי S W יהי Sp(S) v ע פ הגדרה ישנם v 1,, v m S ו a 1,, a m F כך ש v = a 1 v 1 + + a m v m מההנחה נובע כי v i W לכל i מאחר ש W תת מרחב הרי גם מש ל Sp(S) W הראינו ש v W ו לכן,a 1 v 1 + + a m v m W מסקנה 1 תהיינה S ו T תת קבוצות של V אז Sp(T) Sp(S) = אם ם Sp(T) S ו Sp(S) T הוכחה נשתמש בטענה פעם עם Sp(S) W =: ופעם עם Sp(T) W =: מש ל דוגמה 11 ניקח,V := Q 3,F := Q S := {(1,, 1), (, 1, 1)} T := {(1, 1, 2), (1, 1, )} ו 31

(1,, 1) = 1 2 (1, 1, 2) + 1 2 (1, 1, ) (, 1, 1) = 1 2 (1, 1, 2) 1 2 (1, 1, ) (1, 1, 2) = (1,, 1) + (, 1, 1) (1, 1, ) = (1,, 1) (, 1, 1) החישובים מראים כי Sp(T) S מצד שני החישובים מראים כי Sp(S) T לכן Sp(T) Sp(S) = הגדרה 5 יהי V מרחב וקטורי 1 סדרה v של אברי V תיקרא סדרה פורשת של V אם Sp(v) V = 2 תת קבוצה S V תיקרא קבוצה פורשת של V אם Sp(S) V = הגדרה 6 מרחב וקטורי V יקרא מרחב נפרש סופית אם יש לו קבוצה פורשת סופית דוגמה 12 יהי V := F n לכל i מ 1 עד n נגדיר וקטור e i := (,, 1,, ) i v = a 1 e 1 + + a n e n בהנתן וקטור v = (a 1,, a n ) V מתקיים לכן ) n,f n = Sp( e 1,, e ובפרט F n מרחב וקטורי נפרש סופית מרחב הפולינומים F[x] הגדרה 7 פולינום במשתנה אחד עם מקדמים בשדה F הוא סדרה ), 2 v = (a, a 1, a של איברים ב,F שבה i פרט למספר סופי של אינדקסים a i = הגדרה 8 יהיו ), 1 v = (a, a ו ), 1 w = (b, b שני פולינומים, ויהי a F נגדיר v + w := (a + b, a 1 + b 1, ) a v := (aa, aa 1, ) := (,, ) נשים לב כי הסדרות v + w ו a v הן פולינומים, כלומר מלבד מספר סופי כל רכיביהן הם טענה 8 תהי V קבוצת הפולינומים במשתנה אחד עם מקדמים ב F המערכת (,,+,V) הינה מרחב וקטורי מעל השדה F 32

ההוכחה כמעט זהה למקרה של F; n ראה דוגמה 2 הגדרה 9 יהי ), 1 v = (a, a פולינום השונה מ המעלה של v מוגדרת להיות deg(v) := max{i a i = } המעלה של הפולינום מוגדרת להיות 1 =: deg( ), x n := (,,,, 1,,, ) הגדרה 1 עבור n נגדיר הסדרה שבה 1 מופיע במקום ה n זאת אומרת ), (1,, =,x 1 = (, 1,, ),x וכולי הביטוי x נקרא משתנה, והביטוי x n נקרא מונום במקום x נרשום לעתים 1 בהנתן פולינום ), 1 v = (a, a ממעלה n מתקיים השוויון v = n a i x i i= במרחב הוקטורי V יתר על כן, כתיבה זו הינה יחידה: יש בדיוק דרך אחת לבטא את v כצרוף ליניארי של תת סדרה סופית של סדרת המונומים (, 1 x),, x אם נדרוש שהמקדמים יהיו שונים מ מטעמי נוחות אנו נעדיף מעתה והלאה להשתמש בהצגה הזו של הפולינומים כלומר בדרך כלל נסמן פולינום ע י ביטוי כמו f או (x) f אם deg( f (x)) n אז נתאר את (x) f כסכום f (x) = n a i x i i= עם מקדמים a i F כמו כן נסמן מעתה ב F[x] את מרחב הפולינומים הערה שימו לב לדמיון לאופן שבו אנו כותבים מספר מרוכב כ a + bi עם,a b R טענה 9 F[x] איננו מרחב וקטורי נפרש סופית V n := { f F[x] deg( f ) n} הוכחה נשים לב כי לכל מספר טבעי n הקבוצה היא תת מרחב של F[x] נניח בשלילה כי ישנה קבוצה פורשת סופית } m S = { f 1,, f של F[x] ניקח n מספיק גדול כך ש deg( f i ) n לכל i m 1 לכן f 1,, f m V n ע פ טענה 7 מקבלים מש ל,F[x] = Sp(S) V n כלומר F[x] V n = אבל,x n+1 V n וזו סתירה 33

פרישה ומשוואות לא הומוגניות מעתה ואילך הסימן F n יציין את מרחב העמודות בגובה n, כלומר a 1 F n := { a 1,, a n F} a n נתבונן במערכת משוואות ליניאריות לא הומוגנית,AX = B כאשר ] ij A = [a מטריצה בגודל m n על פי המוסכמה החדשה שאימצנו העמודה B היא וקטור ב F m תהיינה C 1,, C n F m העמודות של הוא פתרון של AX = B הרי = j C אם הוקטור d n d 1 a 1j a mj a 11 d 1 + + a 1n d n = b 1 המטריצה,A כלומר ] n A = [C 1,, C ו a m1 d 1 + + a mn d n = b m d 1 a 11 a 1n b 1 + + d n = a m1 a mn b m d 1 C 1 + + d n C n = B או בצורה שקולה ז א הוקטור B הוא צרוף ליניארי של :C 1,, C n גם ההפך נכון הוכחנו את התוצאה הבאה: משפט 1 תהי AX = B מערכת משוואות ליניאריות לא הומוגנית עם m משוואות ו n משתנים למערכת A הן העמודות של המטריצה C 1,, C n F m כאשר,B Sp(C 1,, C n ) קיים פתרון אם ם AX = B תלות ליניארית הגדרה 11 יהי V מרחב וקטורי מעל השדה,F יהי 1 n ותהי ) n v = (v 1,, v סדרה באורך n של וקטורים ב V אם קיימים סקלרים c 1,, c n F שאינם כולם, כך ש, c 1 v 1 + + c n v n = אז אומרים כי הסדרה v היא תלויה ליניארית אחרת אומרים כי הסדרה v היא בלתי תלויה ליניארית עבור = n הסדרה הריקה () = v היא בלתי תלויה ליניארית דרך אחרת לבטא את מושג התלות הליניארית מופיעה בטענה הבאה (אשר ההוכחה שלה היא מיידית) טענה 1 תהי ) n v = (v 1,, v סדרת וקטורים במרחב V הסדרה v היא בלתי תלויה ליניארית אם ם הפתרון היחיד ב F למשוואה x 1 v 1 + x n v n = 34

הוא הפתרון הטריוויאלי := n x 1 = = x דוגמה 13 השדה הוא F := Q והמרחב הוא V := Q 2 v 1 := [ [ [ 1 1, v 1] 2 :=, v 2] 3 := 1] א הסדרה ) 3 (v 1, v 2, v כאשר v 1 v 2 + v 3 = היא תלויה ליניארית, משום ש v 1 := [ [ 1 1, v ] 2 := 2] ב הסדרה ) 2,(v 1, v כאשר היא בת ל, שהרי הפתרון היחיד למשוואה [ [ [ 1 1 x 1 + x ] 2 = 2] ] v 1 := [ [ 1 2, v ] 2 := ] v 1 1 2 v 2 = הוא := 2 x 1 = x ג ניקח את הסדרה ) 2 (v 1, v כאשר אז ולכן הסדרה תלויה ליניארית אנו רואים שסדרה עם חזרות, או סדרה שיש בה וקטורים פרופורציונליים זה לזה, תמיד תהיה תלויה ליניארית כיצד לבדוק אם סדרת וקטורים v במרחב F m היא בלתי תלויה ליניארית? נניח שנתונים וקטורים a 11 v 1 =,, v n = a m1 a mn הסדרה ) n v := (v 1,, v בלתי תלויה ליניארית אם ם הפתרון היחיד ב F למשוואה x 1 v 1 + + x n v n = הוא הפתרון הטריוויאלי := n x 1,, x תהי A המטריצה ] ij A = [a בגודל m n כפי שראינו כבר, אנו שואלים האם יש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית AX = O זאת נבדוק ע י דירוג A דוגמה 14 ניקח F := R ו V := R 3 נגדיר וקטורים v 1 := 1 2, v 2 := 1 1, v 3 := 2 3, v 4 := 2 2 3 1 1 35 a 1n

האם הסדרה ) 4 v := (v 1, v 2, v 3, v בלתי תלויה ליניארית? נגדיר ] 4,A := [v 1 v 2 v 3 v שהיא מטריצה בגודל 4 3 נתבונן במערכת המשוואות AX = O שבה 3 משוואות ו 4 נעלמים במערכת זו יש לכל היותר 3 משתנים תלויים, ולכן לפחות משתנה חופשי אחד משום כך ישנם פתרונות לא טריוויאליים, והסדרה v הינה תלויה ליניארית (טענה 9) חדי העין הבחינו שיש בדוגמה האחרונה רמז לתוצאה כללית: כל סדרה של וקטורים ב F m שאורכה יותר מ m היא תלויה ליניארית בהמשך נוכיח תוצאה יותר מלאה משפט 2 יהי V מרחב וקטורי ותהי ) n v = (v 1,, v סדרת וקטורים ב V באורך 1 לפחות אז התנאים הבאים שקולים: 1 הסדרה v תלויה ליניארית 2 לפחות אחד מבין הוקטורים v 1,, v n הוא צירוף ליניארי של קודמיו 3 לפחות אחד מבין הוקטורים v 1,, v n הוא צירוף ליניארי של הוקטורים האחרים בסדרה הוכחה נראה כי 1 3 2 1 2 :1 נתון שיש סקלרים a 1,, a n לא כולם כך ש a 1 v 1 + + a n v n = יהי i המספר המקסימלי כך ש = a i לכן a 1 v 1 + + a i v i = ע י העברת אגף נקבל a 1 v 1 + + a i 1 v i 1 = a i v i 1 a נותן i כפל בסקלר a 1 a i v 1 a i 1 a i v i 1 = v i נשים לב שאם = 1 i מקבלים = 1 v v i = 3 :2 מיידי 1 :3 נניח כי v i צירוף ליניארי של הוקטורים v 1,, v i 1, v i+1,, v n ז א a j v j = a 1 v 1 + + a i 1 v i 1 + a i+1 v i+1 + + a n v n j=1,,i 1,i+1,,n לסקלרים מסויימים a 1,, a i 1, a i+1,, a n נגדיר 1 := i,a ואז a 1 v 1 + + a i v i + + a n v n = מש ל רואים שהסדרה ) n (v 1,, v תלויה ליניארית דוגמה 15 ניקח F := R ו V := R 2 יהי ) 2 v = (v 1, v זוג וקטורים ב V ננסה לראות מהו תת המרחב Sp(v) יש שלושה מקרים א הסדרה v בלתי תלויה ליניארית תהי A המטריצה ] 2 v], 1 v ותהי A מטריצה מדורגת שקולת שורה ל A מאחר שהפתרון היחיד למערכת המשוואות AX = O הוא הפתרון הטריוויאלי הרי בהכרח A = 1 1 כעת ניקח וקטור w R 2 כלשהו המטריצה המורחבת של ] מערכת [ המשוואות AX = w היא,[A w] w [A w 1 המסקנה היא ] = 1 וע י אותו תהליך דרוג שעשינו קודם מקבלים מטריצה שקולת שורה 1 w 2 שקיים פתרון (יחיד) למערכת המשוואות,AX = w ולכן Sp(v) w לסיכום, במקרה זה Sp(v) = R 2 36

איור 4: המרחב Sp(w) בדוגמה 15 ב המקרה השני הוא ש v תלויה ליניארית, אולם (, ) = v אז הוקטורים v 1 ו v 2 פרופורציוניים זה לזה; כלומר יש סקלרים a 1, a 2 ווקטור = w כך ש v 1 = a 1 w ו,v 2 = a 2 w אבל ) (, = ) 2 (a 1, a אם כן במקרה זה Sp(v) = Sp(w) = {aw a R} שהוא הישר העובר דרך הראשית והוקטור w (ראה איור 4) ג המקרה השלישי הוא ש (, ) = v, ואז { } = Sp(v) בסיס של מרחב וקטורי משפט 3 יהי V מרחב וקטורי מעל השדה F ותהי v סדרה סופית של וקטורים ב V אז קיימת תת סדרה v של v אשר הינה בלתי תלויה ליניארית ומקיימת Sp(v) Sp(v ) = הוכחה נתבונן באוסף תת הסדרות v של v אשר מקיימות Sp(v) Sp(v ) = זהו אוסף לא ריק, משום שהוא כולל את v עצמה תהי v סדרה באוסף זה בעלת אורך מינימלי אנו נוכיח כי v היא בת ל נניח על דרך השלילה כי v תלויה ליניארית נסמן ) n,v = (v 1,, v כאשר 1 n ע פ משפט 2 ישנו וקטור v i בסדרה שהוא צרוף ליניארי של האחרים נגדיר v := (v 1,, v i 1, v i+1,, v n ) כלומר v היא תת הסדרה של v המתקבלת ע י השמטת v i מאחר ש ) Sp(v v i הרי Sp(v ) = Sp(v ) = Sp(v) אבל אורך הסדרה v קטן מאשר אורכה של v, וזו סתירה למינימליות של v מש ל 37

הגדרה 12 יהי V מרחב וקטורי בסיס של V הוא סדרה פורשת בלתי תלויה ליניארית ב V מסקנה 2 יהי V מרחב וקטורי נפרש סופית אז ל V יש בסיס הוכחה על פי הגדרה ישנה קבוצה פורשת סופית S של V יהי ) n v = (v 1,, v סידור כלשהו של S לפי משפט 3 ישנה תת סדרה v של v אשר הינה בת ל ומקיימת Sp(v ) = Sp(v) = V הסדרה v היא בסיס מש ל של V הערה הגדרה 12 מתאימה רק למרחב וקטורי נפרש סופית אנו לא נעסוק בבסיסים של מרחבים וקטוריים שאינם נפרשים סופית ישנם ספרים אשר מבחינים בין בסיס ל בסיס סדור המושג בסיס סדור בספרים אלו מתאים למושג בסיס בספר שלנו דוגמה 16 יהי F שדה כלשהן ניקח 1 n ו V := F n נגדיר 1 e 1 :=, e 1 2 :=,, e n := 1 ראינו כבר שהסדרה ) n e := ( e 1,, e פורשת את F n מאחר שהפתרון היחיד ב F למשוואה x 1 e 1 + + x n e n = הוא := n,x 1,, x הרי הסדרה e היא בסיס, הנקרא הבסיס הסטנדרטי דוגמה 17 יהי n מספר טבעי ויהי V מרחב הפולינומים ממעלה n מעל השדה F במשתנה x הסדרה V היא בסיס של (1, x,, x n ) [ 1 := 1 v ו 1] דוגמה 18 השדה הוא F := R והמרחב הוא V := R 2 נתבונן בסדרה ) 2 v = (v 1, v כאשר [ 1?V בסיס של v האם v 2 := 2] א ] האם [ v בלתי תלויה ליניארית? כלומר האם יש פתרון לא טריוויאלי למשוואה AX = O כאשר 1 1 :A נדרג את A := 1 2 1 1 1 2 1 1 הדרגה היא 2 לכן אין פתרון לא טריוויאלי, ו v בת ל ב ] האם [ v פורשת את V? כלומר האם בהנתן וקטור w R 2 יש פתרון למשוואה?AX = w נרשום b1 :[A w] ונדרג את המטריצה המורחבת w = b 2 1 1 b1 1 1 b1 1 2b1 b 2 = [A 1 2 b 2 1 b 2 b 1 1 b 2 b w ] 1 יש פתרון יחיד והוא x 2 := b 2 b 1,x 1 := 2b 1 b 2 זאת אומרת ש w = (2b 1 b 2 )v 1 + (b 2 b 1 )v 2 38