Οριζόντια βολή κυκλική κίνηση Ορμή-Κρούσεις

4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Οριζόντια βολή κυκλική κίνηση Ορμή-Κρούσεις ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Είναι κάθε ευθύγραμμη κίνηση στην οποία το διάνυσμα της ταχύτητας υ παραμένει σταθερό. Ισχύει: Δχ υ=. ή χ=υ.t και ΣF=0 Δt Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: Είναι κάθε ευθύγραμμη κίνηση στην οποία το διάνυσμα της επιτάχυνσης α παραμένει σταθερό. Ισχύουν: a, t 1 2 2. t, Δχ=υ ο.t α.t και ΣF=m.α Ελεύθερη πτώση: Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα μόνο με την επίδραση του βάρους 1 2 του. Ισχύουν: a g ό., υ=g.t και h=. g. t 2 Νόμοι του Νεύτωνα 1 ος Νόμος: Όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι μηδέν ΣF=0, τότε το σώμα είτε είναι ακίνητο, ισορροπεί, είτε κινείται ευθύγραμμα ομαλά. 2 oς Νόμος: Η επιτάχυνση α ενός σώματος είναι ανάλογη της συνισταμένης δύναμης ΣF που ασκείται στο σώμα και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας m του σώματος. ΣF ΣF=m.α ή α=, Στατική τριβή Τ στ μ.ν Τριβή ολίσθησης : Τ ολ=μ.ν m (Η κάθετη αντίδραση υπολογίζεται από τη ΣF y=0) Κινητική ενέργεια: Μονόμετρο μέγεθος με μονάδα μέτρησης το 1 Joule και δίνεται από τη σχέση : 1 2 K =.m.υ 2 Θ.Μ.Κ.Ε K τελ αρχ W F Με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας μπορούμε κύρια να υπολογίζουμε: 1) την κινητική ενέργεια ή την ταχύτητα ενός σώματος. 2) το έργο μίας άγνωστης δύναμης ή μίας μεταβλητής δύναμης, 3) τη μετατόπιση Εφαρμόζεται σε ένα σώμα, όταν ενεργούν συντηρητικές και μη συντηρητικές δυνάμεις, σταθερές ή μεταβαλλόμενες. Έργο σταθερής δύναμης : W F=F.x.συνφ διαγράμματος F(x)). Έργο μεταβλητής δύναμης Π.χ F=2x (Από εμβαδό ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Είναι μονόμετρο μέγεθος με μονάδα μέτρησης το 1 Joule και δίνεται από τη σχέση : Βαρυτική: U = m.g.h, όπου h η κατακόρυφη απόσταση από το επίπεδο όπου U=0. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αποτελεί το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ενός σώματος. U Αν ένα σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του η μηχανική του ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή. 1

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Εξισώσεις κίνησης Ταχύτητα Χρόνος κίνησης Βεληνεκές υ= υ +υ 2 2 χ y υ y 2.h εφθ= t= υ x g x υ. ο 2h g Εξίσωση τροχιάς g.x 2 y= 2.υ 2 ο 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΖΌΝΤΙΑΣ ΒΟΛΗΣ 1. Ένας αστροναύτης, προκειμένου να προσδιορίσει την επιτάχυνση της βαρύτητας στον πλανήτη στον οποίο προσγειώθηκε, ρίχνει οριζόντια από ύψος h = 12 m μια μικρή πέτρα. Μ ένα χρονόμετρο μετρά τον χρόνο που χρειάζεται η πέτρα για να φτάσει στο έδαφος. Αν ο χρόνος πτώσης είναι t= 2 s, να βρείτε: 1) την επιτάχυνση της βαρύτητας στον πλανήτη αυτό, 2) την αρχική ταχύτητα της πέτρας αν η μέγιστη οριζόντια μετατόπισή της είναι 32 m, 3) την ταχύτητα με την οποία η πέτρα χτυπά στο έδαφος. (6 m/s 2, 16 m/s, 20m/s) 2. Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια από ύψος 125 m 1. Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να φτάσει στο έδαφος; 2. Αν η οριζόντια απόσταση που διήνυσε είναι 50 m, με πόση ταχύτητα το πετάξαμε; 3.Πόσο οριζόντιο διάστημα διήνυσε κατά το 1 o δευτερόλεπτο; 4. Πόσο κατακόρυφο διάστημα διήνυσε κατά το 4 ο δευτερόλεπτο; Δίνεται ότι g= 10 m/s 2 (5 s, 10 m/s, 10 m, 35 m) 3. Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ ο. Πέφτει στο έδαφος μετά από χρόνο t= 2 sec έχοντας διανύσει οριζόντια απόσταση χ = 20 m. 1. Με πόση ταχύτητα υ ο το είχαμε εκτοξεύσει; 2. Από πόσο ύψος το εκτοξεύσαμε; 3. Πόση είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας με την οποία πέφτει στο έδαφος; Δίνεται ότι g= 10 m/s 2 4. Ένα σώμα ρίχνεται οριζόντια από ύψος 320 m από το έδαφος με ταχύτητα υ ο=60 m/s. Να βρείτε για το σώμα : Α) τον χρόνο κίνησης μέχρι να χτυπήσει στο έδαφος. Β) το βεληνεκές του Γ) την ταχύτητα όταν χτυπά στο έδαφος Δ) τη χρονική στιγμή που η οριζόντια μετατόπιση είναι ίση με την κατακόρυφη μετατόπιση (χ=ψ) Ε) τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος είναι υ=60 2 m/s. Δίνεται: g=10 m/s 2 (8 s, 480 m, 100 m/s ) 5. Ένα σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ 0, από ορισμένο ύψος και μετά από λίγο βρίσκεται σε σημείο Α με συντεταγμένες Α(20m, 5m). 1. Ποια η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ 0; 2. Βρείτε την ταχύτητα του σώματος στο σημείο Α. 3. Ποια γωνία μεταξύ επιτάχυνσης και ταχύτητας στο Α; 4. Τη στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος η ταχύτητά του σχηματίζει γωνία 45 με τον ορίζοντα. Από ποιο ύψος έγινε η εκτόξευση του σώματος; Δίνεται g=10m/s 2. (20 m/s, 10 5 m/s, 20 m) 3

6. Από ένα σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h=80m από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια ένα σώμα Α, με αρχική ταχύτητα υ 0=30m/s, ενώ ταυτόχρονα αφήνεται να πέσει (από το Ο) ένα δεύτερο σώμα Β. i) Πού βρίσκονται τα δύο σώματα μετά από 2s; ii) Σε πόσο χρόνο κάθε σώμα θα φτάσει στο έδαφος; iii) Σε ποιο σημείο το σώμα Α θα πέσει στο έδαφος και ποια η ταχύτητά του, την στιγμή εκείνη; iv) Να βρεθεί η απόσταση S μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης του σώματος Α, μέχρι να φτάσει στο έδαφος. Δίνεται g=10m/s 2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. 7. Από την ταράτσα ενός κτηρίου βάλλεται μια μπάλα με ταχύτητα 10 m/s προς ένα σκουπιδοτενεκέ και πέφτει 20 m πίσω του. Μια άλλη βάλλεται με ταχύτητα 20 m/s και πέφτει 20m μπροστά του. Ποιο είναι το ύψος του κτηρίου; Με ποια ταχύτητα πρέπει να βληθεί η μπάλα ώστε να χτυπήσει τον ντενεκέ; 8. Ένα σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ 0, από ύψος h=80 m με εξισώσεις κίνησης, για τον άξονα χ χ, χ=30t (S.I), και για τον άξονα y y, y=5t 2 (S.I). Α) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς Β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που φθάνει στο έδαφος και την ταχύτητα με την οποία φθάνει στο έδαφος Γ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή (αν υπάρχει) όπου η ταχύτητα υ ο είναι ίση με την ταχύτητα υ y Δ) Να υπολογίσετε το βεληνεκές του σώματος. Ε) Να βρείτε τη χρονική στιγμή(αν υπάρχει) όπου ισχύει χ=y. 9. Η επιφάνεια ενός τραπεζιού έχει ύψος Η = 0,8 m από το έδαφος. Το σώμα του σχήματος εκτοξεύεται κατά μήκος του τραπεζιού, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ= 0,2 με αρχική ταχύτητα μέτρου υ =10 m/s. Η κίνηση του σώματος μέχρι την άκρη του τραπεζιού διαρκεί Δt = 2 s και το σώμα συνεχίζει την κίνησή του μέχρι την προσεδάφιση. Να υπολογίσετε: Α. το μέτρο της επιβράδυνσης του σώματος όταν ολισθαίνει στο τραπέζι Β. την αρχική ταχύτητα της οριζόντιας βολής Γ. το διάστημα της κίνησης πάνω στο τραπέζι Δ. τη διάρκεια Δt της οριζόντιας βολής Ε. τη συνολική οριζόντια μετατόπιση του σώματος μέχρι τη στιγμή της προσεδάφισης. Δίνεται g=10 m/s 2 ( 2m/s, 6 m/s, 16 m, 0.4 s) 4

10. Πάνω σε ένα τραπέζι έχουμε τοποθετήσει ένα κεκλιμένο επίπεδο. Στο έδαφος και σε οριζόντια απόσταση d=40cm, από την άκρη του τραπεζιού, τοποθετούμε ένα μικρό πλαστικό ποτήρι. Αφήνουμε μια μικρή μπίλια σε ένα σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου, το οποίο απέχει s 1=9cm από την κορυφή Ο του επιπέδου, η οποία αφού κινηθεί χωρίς τριβές φτάνει στην άκρη του τραπεζιού και πέφτει σε απόσταση 10cm πριν το ποτήρι, όπως στο σχήμα. Σε πόση απόσταση από το σημείο Α, θα πρέπει να αφήσουμε την μπίλια, επαναλαμβάνοντας το πείραμα, ώστε η μπίλια να πέσει μέσα στο ποτήρι; Οι τριβές και η αντίσταση του αέρα θεωρούνται αμελητέες. (16cm) 11. Ένα Μirage 2000 πετάει οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ o = 200 m/s σε ύψος h = 405 m από το έδαφος. Ο κυβερνήτης του αεροπλάνου θέλει να αφήσει μια βόμβα για να χτυπήσει όχημα, που κινείται στο έδαφος οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ = 30 m/s και ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα του αεροπλάνου. Να υπολογίσετε ποια οριζόντια απόσταση πρέπει να απέχει το αεροπλάνο από το όχημα τη στιγμή που ο κυβερνήτης αφήνει τη βόμβα έτσι ώστε να χτυπηθεί το όχημα. Να κάνετε ακριβώς το ίδιο και στην περίπτωση που το όχημα κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 30 m/s αλλά αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα του αεροπλάνου. Οι διαστάσεις του οχήματος να θεωρηθούν αμελητέες. Δίνεται g=10 m/s 2 12. Ένα σώμα εκτοξεύεται οριζόντια από ορισμένο ύψος με ταχύτητα 2m/s και μετά από 1sec φτάνει στο έδαφος. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος. α) Η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. β) Το σώμα κατά την κίνησή του έχει σταθερή επιτάχυνση. γ) Η τροχιά είναι μια παραβολή και η επιτάχυνση είναι συνεχώς κάθετη στην ταχύτητα. δ) Το σώμα φτάνει στο έδαφος με κατακόρυφη συνιστώσα ταχύτητας μέτρου 10m/s. ε) Στον οριζόντιο άξονα το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. στ) Στον κατακόρυφο άξονα η κίνηση είναι ελεύθερη πτώση και το ύψος εκτόξευσης δίνεται από την σχέση x= ½ gt 2 =5m. ζ) Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος την στιγμή που φτάνει στο έδαφος είναι μεγαλύτερο από 2m/s. Δίνεται g=10m/s 2. 5

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Περίοδος Δt N 1 Τ= Συχνότητα f = και f = N Δt T Γραμμική ταχύτητα Δs υ= και είναι σταθερή ως προς το μέτρο!! Δt 2π.R υ= T Γωνιακή ταχύτητα Δθ θ 2π ω = ή ω = και ω = ή ω = 2π.f Δt t Τ Σχέση γραμμικής - γωνιακής ταχύτητας υ = ω.r Κεντρομόλος επιτάχυνση α = κ 2 υ R Κεντρομόλος δύναμη Iσχύει : F m.a και k k m.υ F k = R 2 Αριθμός περιστροφών Ν ) 1 περιστροφή 2π γωνία θ Ν περιστροφές θ γωνία άρα Ν= 2π ) 1 περιστροφή σε 1 Τ περίοδο t Ν περιστροφές σε χρόνο t Άρα : Ν= T )1 περιστροφή σε τόξο 2πR Δs N περιστροφές σε τόξο Δs Άρα : Ν= 2πR 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1. Υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=30m, με γωνιακή ταχύτητα ω=π rad/sec. Να βρείτε α) τη συχνότητα και την περίοδο περιστροφής του. β) την γραμμική ταχύτητα του γ) το χρόνο που θα περάσει για να εκτελέσει το σώμα μισή περιστροφή. δ) τη γωνία που θα διαγράψει σε χρόνο 5 s. ε) τον αριθμό των περιστροφών σε χρόνο 10 s. 2. Κινητό κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας 40m με ταχύτητα μέτρου 4m/s. α) Ποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητά του; β) Πόσο είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει σε 20s και πόση είναι η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία σε rad ; ( 20πs, 2rad) 3. Τα σημεία της περιφέρειας ενός τροχού που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση έχουν γραμμική ταχύτητα u=4π m/sec ενώ η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του είναι ω=2π rad/sec. α) Να βρείτε την ακτίνα του καθώς και την συχνότητα και την περίοδο περιστροφής του. β) Να βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου που βρίσκεται στο μέσο της ακτίνας του τροχού. γ) Ένα υλικό σημείο μάζας m=100 g βρίσκεται στην περιφέρεια του τροχού. Να βρείτε την κεντρομόλο δύναμη που ασκείται στο υλικό σημείο. 4. Δύο κινητά κινούνται ομαλά πάνω στην ίδια περιφέρεια κύκλου με αντίστοιχες περιόδους Τ 1=5s και Τ 2= 10 s. Κάποια στιγμή τα δύο κινητά περνούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο της περιφέρειας. α) Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν ξανά, όταν κινούνται αντίρροπα; β) Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για δεύτερη φορά όταν κινούνται ομόρροπα; 5. Δυο τροχοί ακτίνων R 1=40cm και R 2=10cm συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται ο μεν πρώτος με συχνότητα f 1=4Hz, ο δε δεύτερος με συχνότητα f 2. Να βρεθεί η συχνότητα περιστροφής και ο αριθμός των στροφών που θα κάνει ο δεύτερος τροχός σε χρόνο t=20sec. ( 16Hz, 320 περ.) 6. Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα u=72km/h. Η διάμετρος των τροχών του είναι 50cm. Να βρεθούν: α) ο αριθμός των περιστροφών που θα εκτελέσει ένας τροχός σε χρόνο t=20π sec β) η γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας των τροχών. γ) η γωνία και το τόξο που διαγράφει το μέσο της ακτίνας του τροχού σε χρόνο 40π sec. 7. Δυο δρομείς, Α και Β, βρίσκονται στο ίδιο σημείο μιας κυκλικής τροχιάς και κινούνται με την ίδια φορά περιστροφής. Αν η περίοδος κίνησης του Α είναι Τ A=2min και του Β είναι Τ B=4min, να βρεθεί πότε θα συναντηθούν για δεύτερη φορά. ( 8 min) 7

8. Δυο τροχοί συνδέονται με ιμάντα του οποίου τα σημεία κινούνται με σταθερή ταχύτητα u=10m/sec. Αν οι ακτίνες των τροχών είναι R 1=10cm και R 2=30cm, να βρεθούν: α) οι συχνότητες περιστροφής των τροχών β) ο αριθμός των περιστροφών που θα κάνει ο κάθε τροχός σε χρόνο 25sec. 9. Δυο δρομείς τη χρονική στιγμή t=0, διέρχονται από το ίδιο σημείο Α μιας κυκλικής τροχιάς ακτίνας R=20m, με ταχύτητες u 1=0,5m/sec και ω 2=0,075rad/sec. Α) Να βρεθεί πότε θα συναντηθούν για πρώτη φορά αν: α) κινούνται με την ίδια φορά περιστροφής, β) κινούνται με αντίθετες φορές περιστροφής. Β) Να βρείτε το μήκος του τόξου που θα διαγράψει ο κάθε δρομέας, καθώς και την αντίστοιχη γωνία σε κάθε περίπτωση. 10. Δύο κινητά Α και Β εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=1m και την t=0 περνούν από τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, κινούμενα όπως στο σχήμα. Την χρονική στιγμή t=2s τα δύο κινητά διασταυρώνονται στο σημείο Γ, για πρώτη φορά. Α) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας κάθε κινητού. Β) Να βρεθεί πότε θα διασταυρωθούν ξανά Γ) Να βρείτε το μήκος του τόξου καθώς και την αντίστοιχη γωνία που θα διαγράψει το κάθε κινητό από την t=0 μέχρι να διασταυρωθούν ξανά. ( π/6 m/s, π/4 m/s, 6,8s) 11. Ένα σώμα μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l=1m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο. Όταν το νήμα σχηματίζει γωνία θ=60 με την κατακόρυφο, το σώμα έχει ταχύτητα 2m/s. Για την θέση αυτή: α) Ποια η κεντρομόλος επιτάχυνση; β) Ποιο το μέτρο της τάσης του νήματος; Δίνεται g=10m/s 2. ( 4m/s, 18Ν) 12. Ένα σώμα μάζας 4kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο δεμένο στο άκρο νήματος μήκους 2m. Τη στιγμή που περνάει από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του, έχει ταχύτητα μέτρου 5m/s. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα στη θέση αυτή και να υπολογίσετε τα μέτρα τους. Δίνεται g=10m/s 2. ( 40Ν, 90Ν) 13. Δύο δρομείς τρέχουν σε κυκλικό στίβο ακτίνας R=400/π (m) Οι δρομείς έχουν γραμμικές ταχύτητες με μέτρα υ 1= 4 m/s και υ 2 = 3 m/s. Κάποια στιγμή, οι δύο δρομείς βρίσκονται σε αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου. Να βρείτε πόσος χρόνος χρειάζεται, για να βρεθούν oι δύο δρομείς ο ένας δίπλα στον άλλον. 14. Δύο κινητά κινούνται ομαλά πάνω στην ίδια περιφέρεια κύκλου ακτίνας, R= 100 m και η διαφορά των περιόδων τους είναι 15 s. Κάποια στιγμή περνούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο Α της περιφέρειας. Αν ο λόγος των συχνοτήτων τους είναι f 1/f 2=1/4, να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για πρώτη φορά, αν κινούνται: Α. ομόρροπα Β. αντίρροπα. 8

15. Οι μπροστινοί τροχοί ενός τρακτέρ έχουν ακτίνα R 1 = 0.2 m και οι πίσω ακτίνα R 2 = 0,5m. Το τρακτέρ κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 10 m/s. α) Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα κάθε τροχού. β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών του κάθε τροχού του τρακτέρ σε χρόνο Δt = 50 s. (50 r/s, 20 r/s) 16. Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους l=1,25m (θέση Α), το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε ύψους Η=2,5m από το έδαφος. Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Β, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο κόβεται, οπότε τελικά η σφαίρα φτάνει στο έδαφος στο σημείο Δ. i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας και η τάση του νήματος αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί (θέση Β). ii) Σε μια στιγμή το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30 με την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή; iii) Να βρεθεί η απόσταση (ΚΔ) του σημείου πρόσδεσης του νήματος και του σημείου πρόσπτωσης της σφαίρας στο έδαφος. Δίνεται g=10m/s 2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. (10 m/s 2, T=0, 3 N, 2,5 2 m) 17. Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται γύρω από το κέντρο του με συχνότητα f=0,2ηz. Ένα σώμα Α μάζας 0,5kg παρουσιάζει με την επιφάνεια του δίσκου συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ s=0,4. i) Τοποθετούμε το σώμα Α σε απόσταση R=1m από το κέντρο του δίσκου. Πόση είναι η τριβή που δέχεται; ii) Έχοντας τοποθετήσει πάνω στο δίσκο το σώμα Α, αυξάνουμε πολύ αργά την συχνότητα περιστροφής του δίσκου. Ποια η μέγιστη συχνότητα περιστροφής που μπορεί να αποκτήσει ο δίσκος, χωρίς να ολισθήσει το σώμα Α; Δίνονται: g=10m/s 2 ενώ π 2 =10. (0.8 N, 1/π Ηz) 18. Ένα σώμα μάζας 0,2kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο, κέντρου Ο, δεμένο στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους L=1m, όπως στο σχήμα. Το σώμα έχει ταχύτητα υ 1=4m/s στο ανώτερο σημείο Α της τροχιάς του. i) Να βρεθεί η τάση του νήματος στη θέση Α. ii) Να βρεθεί επίσης η τάση του νήματος: α) στην οριζόντια θέση Β και β) στο κατώτερο σημείο Γ. Δίνεται g=10m/s 2. 9

19. Μια μικρή σφαίρα, μάζας m=2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα περνά από τη θέση Α, ενώ φτάνει για πρώτη φορά στη θέση Β τη χρονική στιγμή t 1=0,35s, όπου οι σημειωμένες γωνίες είναι φ 1=φ 2= 30. i) Ποια η γωνιακή ταχύτητα και ποια η περίοδος περιστροφής του σώματος; ii) Ποια χρονική στιγμή η σφαίρα περνά από το σημείο Γ για τέταρτη φορά; iii) Να υπολογιστεί το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που ασκείται στη σφαίρα, καθώς και το έργο της στο χρονικό διάστημα 0-t 1. 20. Λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης ενός ρολογιού συμπίπτουν δείχνοντας 12 ώρα ακριβώς. Ύστερα από πόσο χρόνο οι δύο δείκτες : α) θα συναντηθούν για πρώτη φορά β) θα σχηματίζουν γωνία π/6. 10

ΟΡΜΗ- ΚΡΟΥΣΕΙΣ 1) Ορμή : ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ p=m.υ Α.Δ.Ορμής : p αρχ =pτελ 2) Μεταβολή της ορμής Ισχύει : Δp=p τελ p αρχ 3) Ρυθμός μεταβολής της ορμής (Δύναμη κατά την κρούση) F p t 4) Αρχή διατήρησης της ορμής p p p p 1( ) 2( ) 2( ) 1(αρχ) (Οι ταχύτητες ή οι ορμές με το πρόσημό τους!!) P αρχ = P τελ ΚΡΟΥΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ Α.Δ.Ο Καρχ=ΚΤΕΛ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ Α.Δ.Ο Καρχ > ΚΤΕΛ κ Πλαστική κρούση συσσωμάτωμα : Α.Δ.Ο : pαρχ =p τελ m1. 1 m2. 2 ( m1 m2 ). 5) Απώλειες ενέργειας κατά την ανελαστική κρούση (θερμική ενέργεια) ΠΛΑΣΤΙΚΗ (συσσωμάτωμα) Α.Δ.Ο Καρχ > ΚΤΕΛ Ε = Κ - Κ Επειδή Κ > Κ τότε Ε > 0. απώλ πριν μετά πριν μετά απώλ Αν βρώ Ε = ΔK = Κ - Κ τότε Ε < 0. απώλ μετά πριν απώλ 6) Ποσοστό απώλειας κατά την ανελαστική (πλαστική) κρούση Κ μετά - Κ πριν 100% Κ πριν 11

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΜΗΣ-ΚΡΟΥΣΕΩΝ 1. Ξύλινος κύβος έχει μάζα M = 9 kg και ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m = 1 kg, που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 100 m/s, σφηνώνεται ακαριαία στον κύβο. α. Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση; β. Πόσο είναι το επί τοις % ποσοστό της κινητικής ενέργειας που έχασε το σύστημα κατά την κρούση; γ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου και επιπέδου είναι μ = 0,5, να βρείτε πόσο διάστημα θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. [ (α) 10 m/s, (β) 90%, (γ) 10 m] 2. Ένα βλήμα μάζας m=0,1kg κινείται με ταχύτητα υ=100m/s και σφηνώνεται σε ακίνητο σώμα Α μάζας Μ=1,9kg. Το συσσωμάτωμα κινείται στο οριζόντιο επίπεδο και σταματά αφού μετατοπισθεί κατά x=10m. Α) Ποια η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση; Β) Βρείτε την τριβή που ασκήθηκε στο συσσωμάτωμα. Γ) Πόσο χρόνο διαρκεί η κίνηση μετά την κρούση; Δίνεται g=10m/s 2. 3. Το σώμα μάζας m 1=2 kg του παρακάτω σχήματος βάλλεται με αρχική ταχύτητα μέτρου υ ο=10 m/s πάνω σε οριζόντιο δάπεδο που παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,2. Αφού διανύσει απόσταση s=9 m συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας m 2=3 kg που είναι αρχικά ακίνητο. Να βρείτε: α) την ταχύτητα του σώματος μάζας m 1 λίγο πριν την κρούση. β) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της ενέργειας του σώματος m 1 που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση. δ) το διάστημα d που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s 2. (8 m/s, 16/5 m/s, 60%, 2.56 m) 4. Ξύλινος κύβος μάζας Μ=5 Kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. 'Ένα βλήμα μάζας m=50 g κινείται προς τον κύβο με ταχύτητα μέτρου υ 1=400 m/s, τον διαπερνά ακαριαία και βγαίνει απ' αυτόν με ταχύτητα μέτρου υ 2=100 m/ s. Αν o συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κύβου και του επιπέδου είναι μ=0,1, να βρείτε : α. Το μέτρο της ταχύτητας του κύβου αμέσως μετά την κρούση. β. Το διάστημα που θα διανύσει ο κύβος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει. Δίνεται: g = 10 m/s 2 (3m/s, 4,5 m) 12

5. Σώμα μάζας m 1=5 kg κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ o =8 m /s. Μετά χρόνο t=2 s από τότε που ξεκίνησε, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα μάζας m 2=1 kg το οποίο κινείται αντίθετα με τη μισή ταχύτητα που έχει το m 1 τη στιγμή της κρούσης. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης ο συντελεστής τριβής είναι μ = 0,2. Να προσδιοριστεί: α. Το διάστημα που διένυσε το πρώτο σώμα μέχρι τη σύγκρουση και η ταχύτητά του κατά τη στιγμή της σύγκρουσης. β. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση γ. Το διάστημα που θα διατρέξει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. δ. Την απώλεια της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. ε. Η μέση δύναμη που δέχεται το σώμα m 1 από το σώμα m 2 κατά την διάρκεια της κρούσης αν αυτή διαρκεί Δt =0,01 s. (12 m, 4 m/s, 3m/s, -6 j 6. Σώμα μάζας m 1=2 kg βρίσκεται ακίνητο σε λείο κεκλιμένο m1=2kg επίπεδο και σε ύψος h=5m. Το σώμα αφού φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα υ κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,4. h=5m m2=1kg Το σώμα μάζας m 1 αφού διανύσει απόσταση χ=8 m, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα μάζας m 2=1 kg το οποίο είναι ακίνητο. Α) Να βρείτε την ταχύτητα υ του σώματος μάζας m 1 στην βάση του κεκλιμένου Β) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος μάζας m 1 λίγο πριν την κρούση Γ) Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση Δ) Να υπολογίσετε την απώλεια της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. Ε) Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του συσσωματώματος μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. Δίνεται g=10m/s 2 (10 m/s, 6m/s, 4 m/s, 12 j, 2 m ) 7. Δυο σώματα Α και Β τα οποία θεωρούνται υλικά σημεία, με μάζες m 1=1kg και m 2=2kg αντίστοιχα, βρίσκονται σε οριζόντιο επίπεδο και ηρεμούν. Μεταξύ των σωμάτων και του επιπέδου υπάρχει τριβή με συντελεστή μ=0,1. Την χρονική στιγμή t o=0 εκτοξεύουμε το σώμα Α προς το Β. Τα σώματα συγκρούονται μετωπικά ανελαστικά και μετά την κρούση, το σώμα Β αποκτά ταχύτητα υ 2 =4m/s. Αν η ταχύτητα του Α πριν την σύγκρουση ήταν υ 1=10m/s, α) να υπολογίσετε την ταχύτητα υ 1' του Α μετά την κρούση β) να υπολογίσετε την μεταβολή της ορμής του σώματος Α γ) αν η διάρκεια της κρούσης, (διάρκεια επαφής των σωμάτων), ήταν Δt=0.1s, να βρεθεί η δύναμη που δέχτηκε το σώμα Β από το Α. δ) Να βρεθεί πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τα σώματα όταν σταματήσουν να κινούνται μετά την κρούση. Δίνεται g=10m/s 2 13

8. Ένα βλήμα μάζας m=500g, κινείται με οριζόντια ταχύτητα u ο=100 m/s και διαπερνά ακίνητο κιβώτιο μάζας Μ=10 Kg, που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Αν το βλήμα βγαίνει από το κιβώτιο με ταχύτητα u=20m/s σε χρόνο Δt = 0,1 s, να βρείτε: α)την ταχύτητα που αποκτά το κιβώτιο αμέσως μετά την κρούση. M m u 0 u β)τη μεταβολή της ορμής του βλήματος και τη μέση δύναμη που δέχθηκε το βλήμα από το κιβώτιο. γ)τη μεταβολή της ορμής του κιβωτίου και τη μέση δύναμη που δέχθηκε το κιβώτιο από το βλήμα. δ) Την απόσταση που θα διανύσει το κιβώτιο μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g= 10 m/sec 2. Θεωρείστε θετική φορά τη φορά κίνησης του βλήματος (4 m/s, -40 kgm/s, -400N, +40 kgm/s, 400N, 1.6 m) 9. Σώμα μάζας m 1=2 kg αφήνεται να γλιστρήσει από απόσταση l=20 m από την κορυφή M λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο. Ταυτόχρονα δεύτερο σώμα Β μάζας m 2= m 1 βάλλεται με αρχική ταχύτητα υ o=10 m/s από τη βάση Γ του κεκλιμένου επιπέδου. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την κρούση. β) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) τη μεταβολή της ορμής του σώματος Α κατά τη διάρκεια της κρούσης. δ) την ταχύτητα με την οποία το συσσωμάτωμα θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας: g=10 m/s 2. (10 m/s, 0 m/s, 5 m/s, -10 kgm/s) 10. Από την κορυφή (A) ενός κεκλιμένου επιπέδου μεγάλου μήκους και γωνίας κλίσης θ αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ 1 μάζας m 1= 1 kg το οποίο εμφανίζει με το κεκλιμένο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Αφού διανύσει διάστημα ΑΓ=χ 1=4 m κινούμενο στο κεκλιμένο επίπεδο, συναντά ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m 1= 3 kg, με το οποίο συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά (σημείο Γ). Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση των δύο σωμάτων διανύει διάστημα χ 2=2 m και φτάνει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) τη συνολική θερμότητα λόγω τριβών που παράχθηκε από τη στιγμή που αφήσαμε ελεύθερο το σώμα μάζας m 1μέχρι τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έφτασε στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. γ) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο μαζών κατά τη κρούση. Δίνονται: ημθ=0,6, συνθ=0,8, και g=10 m/s 2. (1m/s, 48 j, 6 j) 14

11. Το σώμα του παρακάτω σχήματος έχει μάζα M= 0,98kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους l= 5m. Κάποια χρονική στιγμή βλήμα μάζας m= 0,02kg σφηνώνεται με ταχύτητα υ ο στο σώμα μάζας M και το συσσωμάτωμα που προκύπτει, εκτελώντας κυκλική κίνηση, φτάνει σε θέση όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία φ =90 ο και σταματά στιγμιαία. Να βρείτε : α) Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Την αρχική ταχύτητα του βλήματος. γ) Την τάση του νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση. ε) Τη μηχανική ενέργεια, που μετατράπηκε σε θερμότητα στην πλαστική κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. (10 m/s, 500m/s, 9.8 N, 30N, -2450 J) 12. Σώμα μάζας m 1=0.9 kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος μήκους L=2m, αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου υ 1=2 m/s και συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας m 2=0.1 kg και ταχύτητας μέτρου υ 2=48 m/s με φορά προς το σώμα. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: α) το ύψος από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας m 1. β) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση και την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση. γ) το ύψος h στο οποίο θα φτάσει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Σε τι μορφή ενέργειας μετατράπηκε αυτή; Δίνεται: g=10 m/s 2. (0,2 m, 3 m/s, 0.45 m, 112.5 j) 13. Ένα σώμα Α, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης F και τη στιγμή t 1=2s, συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β. Τη στιγμή της κρούσης, σταματά και η δράση της δύναμης F, ενώ η κρούση διαρκεί απειροελάχιστα. Στο διάγραμμα δίνεται η ορμή του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο. i) Για την κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων να βρεθούν: α) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Α. β) Η ορμή που απέκτησε το σώμα Β μετά την κρούση. ii) Να βρεθεί το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα Α από το επίπεδο. iii) Ποιο το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F; iv) Αν η μάζα του σώματος Α είναι m=2kg, να βρεθούν: α) Το έργο της τριβής στο χρονικό διάστημα από 2s-5s. β) Η ισχύς της δύναμης F τη χρονική στιγμή t 2=1s. (-18kgm/s, 2N, 8N,- 9 J, 24 w) 15

14. Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Α μάζας Μ=2kg. Ένα βλήμα μάζας m=0,1kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 0= 100m/s, συγκρούεται με το σώμα Α, το διαπερνά σε χρόνο Δt=0,2s και εξέρχεται με ταχύτητα υ 1=20m/s. i) Βρείτε την αρχική ορμή του βλήματος. ii) Υπολογίστε την ταχύτητα του σώματος Α μετά την κρούση. iii) Ποια η μεταβολή της ορμής του βλήματος; iv) Βρείτε την μέση δύναμη που δέχτηκε το βλήμα κατά το πέρασμά του μέσα από το σώμα Α. v) Σε μια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α είναι 50kgm/s 2, ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ορμής του βλήματος την ίδια χρονική στιγμή; vi) Αν το σώμα Α παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2, πόση απόσταση θα διανύσει το σώμα Α, μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει; Δίνεται g=10m/s 2. ( 4 m/s, -8kg.m/s, - 40N, 4m) 15. Πάνω σε όχημα με μάζα 800kg υπάρχει πυροβόλο που εκτοξεύει βλήμα μάζας 10kg, οριζόντια, με ταχύτητα 200m/s, προς τα δεξιά. Ποια είναι η ταχύτητα του οχήματος μετά την εκτόξευση αν: α) Το όχημα ήταν ακίνητο και β) αν είχε ταχύτητα 4m/s αντίθετης κατεύθυνσης από αυτήν του βλήματος. 16. Ένας ξύλινος κύβος μάζας Μ=4,5 kg είναι δεμένος στο άκρο ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L=0.2 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε οροφή. Ο κύβος ηρεμεί με το νήμα κατακόρυφο. Ένα βλήμα μάζας m=0.5 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο=20 m/s και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με τον κύβο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) το ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται κατά την κρούση των σωμάτων. γ) τη μέγιστη ανύψωση που επιτυγχάνει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση των σωμάτων. Δίνεται g=10 m/s 2. (2 m/s, 90 j, 0.2m, 150 N ) 16

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΘΕΜΑΤΑ 1. 2. 3. 17

4. 5. 6. 7. 18

8. 9. 10. 19

11. 12. 13. 14. 15. 20

16. 17. 18. 19. 20. 21

21. 22. 23. 24. 22

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Δ ΘΕΜΑΤΑ 1. 23

2. 24

3. 25

4. 26

5. 27