ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα Πλευρές ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Γωνίες ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος ΑΖ ή υ α Από την κορυφή Α στο μέσο Μ της απέναντι πλευράς. Χωρίζει την γωνία Α σε δύο ίσες γωνίες ˆ ˆ 1 2. Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Το Ζ λέγεται προβολή του Α στη ΒΓ Το τμήμα ΖΒ λέγεται προβολή του ΑΒ στη ΒΓ Το ύψος ΑΖ στο ορθογώνιο τρίγωνο : Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Συμπίπτει με την πλευρά ΑΒ. Το ύψος ΑΖ στο αμβλυγώνιο τρίγωνο : Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Για να φέρουμε κάθετη, προεκτείνουμε την απέναντι πλευρά. Γραμματικόπουλος Χρήστος 1
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Π-Γ-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. 2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Γ-Π-Γ Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Π-Π-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΩ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ : Κάθε τρίγωνο έχει 6 κύρια στοιχεία, 3 πλευρές και 3 γωνίες. Για να είναι λοιπόν ίσα δύο τρίγωνα θα έπρεπε να έχουν και τα 6 αυτά στοιχεία τους ίσα ένα προς ένα. Όμως με τα κριτήρια ισότητας μπορούμε με 3 μόνο στοιχεία από κάθε τρίγωνο να λέμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Παράδειγμα : Πλευρές Γωνίες. ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ, ˆ, ˆ, ˆ Α Β, Α Γ, Β ' Γ ', ˆ ', ˆ ', ˆ ' και γράφουμε : ' '(...) Π-Γ-Π ' '(...) ' ' ' ˆ ˆ '(...) μέσα στις παρενθέσεις γράφουμε το λόγο για τον οποίο τα στοιχεία αυτά είναι ίσα επάνω στο βέλος γράφουμε ποιο κριτήριο χρησιμοποιούμε για να είναι τα τρίγωνα ίσα Λυμένο Παράδειγμα 1ο: Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν β = β, ˆ = ˆ ' και Να αποδείξετε ότι : i) ˆ = ˆ ' ii) α = α και γ = γ Απάντηση με μεθοδολογία: δα = δ α. Σχεδιάζω δύο τρίγωνα και σημειώνω στο σχήμα με ίδια σύμβολα τα ίσα στοιχεία, που μου δίνει η εκφώνηση. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΓ και Α Δ Γ «γιατί μου ζητήθηκε ( ˆ = ˆ ') που ανήκουν στα παραπάνω τρίγωνα και γιατί γνωρίζω αρκετά στοιχεία για τα τρίγωνα αυτά». '() Εκφώνηση Π-Γ-Π '() Εκφώνηση ΑΔΓ=Α'Δ'Γ' ˆ ˆ υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλ. ˆ ˆ 2 2 '() ˆ ˆ ως μισά ίσων γωνιών Γ = Γ δ, δ διχοτόμοι και ˆ= ˆ α α Α Α' Τέλος συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ '() ˆ ˆ '() ˆ ˆ '() Εκφώνηση Εκφώνηση προηγούμενο Γ-Π-Γ ˆ ˆ ΑΒΓ=Α'Β'Γ' α = α υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλ. γ = γ Γραμματικόπουλος Χρήστος 2
Λυμένο Παράδειγμα 2ο: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις της βάσης ΒΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ : ( Εκφώνηση ) Π-Γ-Π ( Εκφώνηση ) ΑΒΔ = ΑΓΕ ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές ) ίσων γωνιών Β ˆ = Γˆ υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή : ΑΔ = ΑΕ άρα το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΓ :...... (... )...... (... )........ (......) άρα τα τρίγωνα έχο υν και τα ΑΒΖ = ΑΕΓ υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Συγκρίνω τα τρίγωνα. και. :.................... (... ) (... ) (...... )... =.... άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =...... =...... =... άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελέ ς Γραμματικόπουλος Χρήστος 3
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΓΕΝΙΚΑ : Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν: μία πλευρά ίση και ένα οποιοδήποτε ακόμη στοιχείο τους (πλευρά γωνία) ένα προς ένα ίσο, τότε είναι ίσα. Λυμένο Παράδειγμα 1ο: Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών (ΑΒ= ΑΓ) ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν : α) από τη βάση ΒΓ β) από τις ίσες πλευρές του. α) Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΗΕ : ˆ ˆ ( Εκφώνηση ) Κρ.Ορθ.Τριγ. ΒΔΖ = ΓΕΗ α) β) ( ως μισά ίσων πλευρών ΑΒ=ΑΓ ) υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα β) Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΛ και ΑΕΚ : ˆ ˆ ( κοινή γωνία ) Κρ.Ορθ.Τριγ. ΑΔΛ = ΑΕΚ ( ως μισά ίσων πλευρών ΑΒ=ΑΓ ) υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή : δηλαδή : Δ Ζ = Ε Η Δ Λ = Ε Κ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. :...... (... )... =......... (...........) άρα τα τρίγωνα έχου ν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλα δή :... =...... Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές, είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. :...... (... )... =......... (...........) άρα τα τρίγωνα έχου ν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλα δή :... =...... Γραμματικόπουλος Χρήστος 4
Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα να αποδείξετε ότι και τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές, είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. :...... (....... (....... ) )... =... υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =....... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι : α) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου β) η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι α = α, υ α = υ α και μ α = μ α, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΜ και Α Δ Μ : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΜΓ και Α Μ Γ : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ : Μία μεγάλη άσκηση που για να λυθεί χρειάζεται να συγκρίνουμε 3 ζεύγη τριγώνων. Με κάθε σύγκριση κερδίζουμε νέα στοιχεία ώστε να συγκρίνουμε τα επόμενα ζεύγη τριγώνων. Γραμματικόπουλος Χρήστος 5
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η πρώτη δυσκολία που συναντούμε είναι η κατανόηση της άσκησης και η δημιουργία σχήματος. Η δυσκολία αυτή μπορεί να ξεπεραστεί διαβάζοντας όχι ολόκληρη την άσκηση, αλλά τμηματικά σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και μέρος του σχήματος. π.χ. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών (ΑΒ= ΑΓ) ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν : α) από τη βάση ΒΓ β) από τις ίσες πλευρές του. Διαβάζω : «ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ» και σχεδιάζω ισοσκελές τρίγωνο Διαβάζω : «ΑΒ = ΑΓ» και ονομάζω ΑΒ και ΑΓ τις ίσες πλευρές. Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών» και ονομάζω Δ το μέσο της ΑΒ και Ε το μέσο της ΑΓ Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν» και μεταφράζω «απέχουν ίσες αποστάσεις» Θυμάμαι ότι η έννοια της απόσταση σημείου από ευθεία σημαίνει την κάθετη από το σημείο προς την ευθεία. Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν α) από τη βάση ΒΓ» και σχεδιάζω τις καθέτους από τα Δ και Ε προς την ΒΓ Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν β) από τις ίσες πλευρές του» και σχεδιάζω τις καθέτους από τα Δ και Ε προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Αφού έχουμε ολοκληρώσει το σχήμα, είναι σημαντικό να σημειώσουμε επάνω του τα στοιχεία που δόθηκαν (άμεσα ή έμμεσα ) ότι είναι ίσα, χρησιμοποιώντας το ίδιο σύμβολο και να γράψουμε στη στήλη με τα δεδομένα μας αυτά που γνωρίζουμε. π.χ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Παρατηρείστε ότι στο σχήμα και τα δεδομένα έχουμε σημειώσει Β = Γ γιατί μας έδωσε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Πώς θα επιλέξουμε τα ζεύγη των τριγώνων που θα συγκρίνουμε. Η επιλογή μας γίνεται με δύο βασικά κριτήρια 1) το ζητούμενο της άσκησης και 2) τα στοιχεία που ήδη μας έχουν δώσει. π.χ. Στο προηγούμενο πρόβλημα: 1) Το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές ή ότι ΔΜ = ΜΕ. Ψάχνουμε λοιπόν ζεύγη τριγώνων που να έχουν πλευρές τις ΔΜ και ΜΕ, παρατηρείστε ότι αυτά είναι τα ΒΔΜ και ΓΕΜ. 2) Κοιτάζοντας στο σχήμα ποια τρίγωνα έχουν τα περισσότερα σύμβολα σημειωμένα επάνω στις πλευρές ή τις γωνίες τους ξεχωρίζουμε πάλι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ. Πώς θα κάνουμε την σύγκριση. Στη σύγκριση των δύο τριγώνων προσέχουμε : 1) Να χρησιμοποιήσουμε τρία στοιχεία από το πρώτο τρίγωνο που επιλέξαμε και να τα συγκρίνουμε με τρία στοιχεία του δεύτερου τριγώνου 2) Να δικαιολογούμε κάθε φορά γιατί τα στοιχεία αυτά είναι ίσα, σύμφωνα με αυτά που μας έχει δώσει η εκφώνηση και όχι επειδή φαίνονται ίσα. 3) Να ελέγχουμε σε ποιο κριτήριο ισότητας τριγώνων στηριζόμαστε, ώστε να απαντήσουμε «άρα τα τρίγωνα είναι ίσα». 4) Μην ξεχνάτε αποδεικνύοντας ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, θα έχετε και τα υπόλοιπα 3 στοιχεία τους ίσα. Γραμματικόπουλος Χρήστος 6