6η Εργαστηριακή Άσκηση Μέτρηση διηλεκτρικής σταθεράς σε κύκλωµα RLC Θεωρητικό µέρος Αν µεταξύ δύο αρχικά αφόρτιστων αγωγών εφαρµοστεί µία συνεχής διαφορά δυναµικού ή τάση V, τότε στις επιφάνειές τους θα αναπτυχθεί καθαρό (πλεόνασµα) θετικό και αρνητικό φορτίο +Q και -Q. Το φορτίο Q είναι ανάλογο προς την εφαρµοσµένη τάση V. Κάθε τέτοιο ζεύγος αγωγών λέγεται πυκνωτής και ο συντελεστής αναλογίας C µεταξύ Q και V λέγεται χωρητικότητα του πυκνωτή. 'Eχουµε δηλαδή (1) ' Ο πυκνωτής είναι µια ηλεκτρική διάταξη που αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο σε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα. Έχει δε την ικανότητα να αντιδρά στις µεταβολές του ηλεκτρικού ρεύµατος στο κύκλωµα, συσσωρεύοντας ηλεκτρικό φορτίο ώστε να µην καταστρέφεται το υπόλοιπο µέρος του κυκλώµατος ακόµα και µε αλλαγή της συχνότητας του ηλεκτρικού σήµατος. Η δυνατότητα αυτή, έχει µονοσήµαντη αντιστοιχία µε ένα χαρακτηριστικό µέγεθος του κάθε πυκνωτή, που λέγεται χωρητικότητα C. Η πρότυπη διάταξη πυκνωτή αποτελείται από δύο µεταλλικές επιφάνειες που µεταξύ τους παρεµβάλλεται µονωτικό υλικό. Οι µεταλλικές επιφάνειες λέγονται «οπλισµοί» και απέχουν ελάχιστα µεταξύ των. Χωρητικότητα είναι η ιδιότητα ενός στοιχείου να αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο. Στον ηλεκτρισµό η χωρητικότητα ενός ηλεκτρικού στοιχείου περιγράφει την ικανότητα του να αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο σε σχέση µε την διαφορά δυναµικού που εφαρµόζεται ή εµφανίζεται µεταξύ των ακροδεκτών του. Ενα συνηθισµένο τύπο πυκνωτή αποτελούν δύο όµοιες παράλληλες µεταλλικές πλάκες που ονοµάζονται οπλισµοί του πυκνωτή. Μεταξύ των οπλισµών αυτού του πυκνωτή το ηλεκτρικό πεδίο έχει τη µορφή που φαίνεται στο Σχήµα 1.α. Αν αγνοήσουµε τι συµβαίνει στα άκρα και στο εξωτερικό του (Σχήµα 1.β), το πεδίο στο χώρο µεταξύ των οπλισµών µπορεί να θεωρηθεί οµογενές και, αν δεν
παρεµβάλλεται κάποιο υλικό, τότε η χωρητικότητα του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση (2) όπου S το εµβαδό των µεταλλικών πλακών, d η απόσταση µεταξύ των δύο οπλισµών και ε 0 µία φυσική σταθερά, η διηλεκτρική σταθερά του κενού. Στο σύστηµα µονάδων S.I., όπου µονάδα φορτίου είναι το C(=Coulomb) και τάσης το V(=Volt), η µονάδα χωρητικότητας είναι το F(=Farad), F=C/V. Η τιµή της σταθεράς ε 0 είναι 8,85 10-12 C/V m=8,85pf/m. Για την περίπτωση παραλλήλων κυκλικών πλακών ακτίνας R η διόρθωση από την ύπαρξη των φαινοµένων στα άκρα µπορεί να εκφραστεί µε έναν παράγοντα f (3) που εξαρτάται από το λόγο d/r. 'Οταν µεταξύ των οπλισµών ενός πυκνωτή παρεµβάλλεται ένα µη αγώγιµο ή µονωτικό υλικό, τότε η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξάνεται. Αν C 0 είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή στο κενό και C η χωρητικότητα µε µονωτικό υλικό µεταξύ των οπλισµών, ο λόγος (4) ονοµάζεται σχετική διηλεκτρική σταθερά του υλικού και χαρακτηρίζει τη συµπεριφορά του υλικού µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο. Η σχετική διηλεκτρική σταθερά είναι αδιάστατο µέγεθος. Για τον αέρα είναι ε r 1 ενώ για το νερό ε r 80.
Αν µεταξύ των οπλισµών επιπέδου πυκνωτή υπάρχει διηλεκτρικό υλικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε r, τότε η εξίσωση (2) γίνεται: (5) όπου το µέγεθος ε=ε r ε 0 ονοµάζεται διηλεκτρική σταθερά του υλικού και έχει τις διαστάσεις του ε 0 (F/m). ιηλεκτρικές ιδιότητες Τα διηλεκτρικά υλικά έχουν µεγάλο ενεργειακό χάσµα µεταξύ της ζώνης σθένους και της ζώνης αγωγιµότητας. Συνεπώς αυτά τα υλικά έχουν υψηλή ειδική αντίσταση. Τα διηλεκτρικά υλικά χρησιµοποιούνται σα µονωτικά στοιχεία και σα πυκνωτές. Τα µονωτικά στοιχεία χρησιµοποιούνται για να εµποδίζουν τη µεταφορά του ηλεκτρικού φορτίου σε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα. Οι πυκνωτές επίσης χρησιµοποιούνται για να αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο. Σε όλα τα διηλεκτρικά υλικά, η εφαρµογή ενός ηλεκτρικού πεδίου είναι η αιτία της δηµιουργίας και της κίνησης δίπολων. Αυτά τα δίπολα είναι άτοµα ή οµάδες ατόµων οι οποίες έχουν ένα ηλεκτρικό φορτίο σε κατάσταση µη ισορροπίας. Υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου, τα δίπολα ευθυγραµµίζονται µέσα στο διηλεκτρικό υλικό που έχει σαν αποτέλεσµα την εµφάνιση του φαινοµένου της πολωσιµότητας. Η πολωσιµότητα P (c/m 2 ) σε ένα διηλεκτρικό υλικό δίνεται από την ακόλουθη σχέση : P = Z*q*d όπου Ζ είναι ο αριθµός των φορτίων που µετατοπίζονται ανά κυβικό µέτρο, q είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου και d είναι η απόσταση µεταξύ του θετικού και αρνητικού φορτίου στο δίπολο. Τα διηλεκτρικά υλικά πολλές φορές χρησιµοποιούνται σα στοιχεία σε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα εναλλασσόµενου ρεύµατος. Όταν η συχνότητα του κυκλώµατος αλλάζει, τα δίπολα του υλικού αλλάζουν διευθύνσεις για να λειτουργήσει ικανοποιητικά το όλο κύκλωµα.
Η επίδραση της συχνότητας στη πολωσιµότητα διάφορων υλικών εξαρτάται από τη φύση των υλικών αυτών. Άµορφα πολυµερή και κεραµικά υλικά εµφανίζουν πολωσιµότητα σε υψηλότερες συχνότητες από όταν τα υλικά αυτά είναι κρυσταλλικά. Επίσης, όταν η θερµοκρασία ενός διηλεκτρικού υλικού αυξάνει, τότε τα δίπολα του υλικού αποκτούν µεγαλύτερη ευκινησία και αποκτούν πολωσιµότητα ευκολότερα. Όµως η υπέρµετρη αύξηση της θερµοκρασίας µπορεί να οδηγήσει στη καταστροφή του διηλεκτρικού υλικού. Θα πρέπει να σηµειωθεί, ότι στην τιµή της χωρητικότητας του πυκνωτή επιδρούν πολλοί παράγοντες, όπως η υγρασία (η οποία αλλάζει τα χαρακτηριστικά του διηλεκτρικού) και ιδιαίτερα η συχνότητα του εναλλασσόµενου ρεύµατος. Με την αύξηση της συχνότητας µεγαλώνουν οι απώλειες ισχύος στο διηλεκτρικό υλικό, γεγονός το οποίο οφείλεται στην εντατικοποίηση της πόλωσης. Οι απώλειες ισχύος χαρακτηρίζονται µε τον συντελεστή απωλειών tanδ : tanδ = R ω C, όπου : ω είναι η γωνιακή συχνότητα λειτουργίας, C η χωρητικότητα του πυκνωτή χωρίς απώλειες και R η αντίσταση που χαρακτηρίζει το µέγεθος των απωλειών. Η εµπέδηση του πυκνωτή, Ζ χ, ισούται µε : Ζ χ = κ ( ε + i ε ) = κ 2 2 ε + ε e iθ όπου θ = tan 1 ε'', δηλαδή tanθ = ε / ε και ε' κ : σταθερά κανονικοποίησης µε µονάδες σε Ohm. ιηλεκτρικά σε εναλλασόµενα πεδία Όταν ένα διηλεκτρικό υποβάλλεται σε εναλλασσόµενο πεδίο η πόλωση του τείνει να ακολουθεί τις εναλλαγές της πολικότητας του πεδίου. Σε πολύ χαµηλές συχνότητες (< 10 6 Hz) τα δίπολα του υλικού θα ακολουθούν τις εναλλαγές του πεδίου και συνεπώς η διηλεκτρική σταθερά θα είναι ανεξάρτητη από τη συχνότητα.
Καθώς η συχνότητα του πεδίου αυξάνεται, τα δίπολα λόγω αδράνειας δεν ακολουθούν τον προσανατολισµό του πεδίου µε αποτέλεσµα την ελάττωση της πόλωσης του υλικού που εκδηλώνεται µε ελάττωση της διηλεκτρικής σταθεράς. Πάνω από µία χαρακτηριστική συχνότητα τα δίπολα λόγω αδράνειας δεν παρουσιάζουν καµιά τάση προσανατολισµού και εποµένως το πεδίο δεν προκαλεί πόλωση του διηλεκτρικού. Η κατάσταση αυτή χαρακτηρίζεται κατάσταση ηρεµίας και η συχνότητα πέραν της οποίας τα δίπολα δεν επηρεάζονται από το πεδίο ονοµάζεται συχνότητα ηρεµίας (frequency relaxation). Η κατάσταση ηρεµίας είναι αποτέλεσµα της αδράνειας των φορτίων που απαρτίζουν τα δίπολα. Σε πολλές περιπτώσεις αναπτύσσεται επίσης µια δύναµη επαναφοράς (restoring force) η οποία επιδρά στα φορτία και αντιστρατεύεται τη δύναµη που οφείλεται στο ηλεκτρικό πεδίο. Στα συστήµατα φορτίων, κατ' αναλογία µε τα µηχανικά συστήµατα, ο συνδυασµός αδράνειας και δυνάµεων επαναφοράς έχει ως αποτέλεσµα την πιθανή ανάπτυξη φαινοµένων συντονισµού. Συγκεκριµένα, συντονισµός (resonance) ονοµάζεται η κατάσταση κατά την οποία ένα ηλεκτρονικό σύστηµα απορροφάει τη µέγιστη ποσότητα ενέργειας από το εφαρµοζόµενο πεδίο. Η διηλεκτρική σταθερά περιγράφεται από τη µιγαδική σχέση ως: ε r = ε -iε όπου ε r : η σύνθετη διηλεκτρική σταθερά ιδανικού διηλεκτρικού µε πραγµατική διηλεκτρική σταθερά ε', και ε' : η διηλεκτρική σταθερά σε εναλλασσόµενο πεδίο. Το φανταστικό µέρος ε" της παραπάνω σχέσης ονοµάζεται σχετικός συντελεστής απώλειας η δείκτης απώλειας (relative loss index or loss index). Επίσης, ορίζεται η χαρακτηριστική ποσότητα : εφ δ = ε ε που ονοµάζεται εφαπτοµένη απωλειών ή διηλεκτρική απώλεια (loss tangent).
Η εφδ είναι χαρακτηριστικό µέγεθος και εκφράζει την απορρόφηση ή απώλεια ενέργειας από ένα διηλεκτρικό σε δεδοµένες συνθήκες θερµοκρασίας τάσης και συχνότητας. Η ποσότητα Q = 1/εφδ ονοµάζεται παράγοντας ποιότητας (quality factor) του διηλεκτρικού. Τέλος, η απώλεια ενέργειας ανά µονάδα όγκου του υλικού σε watts/m 3 ονοµάζεται ειδική διηλεκτρική απώλεια (specific dielectric loss) και δίνεται από τη σχέση: W = ω Ε 2 2 o ε 0 ε'εφδ = ωε 0 ε"ε o όπου Ε 0 : η µέγιστη ένταση του πεδίου που εφαρµόζεται (V/m) ε' : η διηλεκτρική σταθερά του υλικού ε" : δείκτης απώλειας του διηλεκτρικού ε 0 : η διηλεκτρική σταθερά του κενού ω : η γωνιακή ταχύτητα του εναλλασσόµενου πεδίου. Οι απώλειες ενέργειας του διηλεκτρικού για δεδοµένες συνθήκες χρησιµοποίησης εξαρτώνται από το µέγεθος της εφδ και εκδηλώνονται µε θέρµανση του υλικού. Η θέρµανση µπορεί να οδηγήσει σε διάσπαση του διηλεκτρικού. Πειραµατικό µέρος Σε ένα κύκλωµα RLC (R, L γνωστά) εφαρµόζεται σταθερή ηµιτονοειδής τάση. Ως πυκνωτής χρησιµοποιείται υλικό από βαρίστορ, δηλαδή δύο κυκλικές πλάκες από αλουµίνιο µε διηλεκτρικό ηµιαγώγιµο υλικό από οξείδιο του ψευδαργύρου. 1. Να υπολογιστεί η χωρητικότητα του πυκνωτή και η εµπέδηση του κυκλώµατος για διαφορετιµές τιµές συχνότητας. Για τις τιµές αυτές να υπολογιστεί η σχετική διηλεκτρική σταθερά του υλικού. 2. Να γίνουν τα διαγράµµατα διηλεκτρικής σταθεράς συχνότητας για διαφορετικές τιµές θερµοκρασίες.
3. Να γίνουν τα διαγράµµατα διηλεκτρικής σταθεράς θερµοκρασίας για διαφορετικές τιµές συχνότητας. Τι παρατηρείτε σε σχέση µε το ερώτηµα 2; 4. Να γίνει η καµπύλη συντονισµού (Ι=F(f)) του κυκλώµατος. Η ύπαρξη φαινοµένων στα άκρα λόγω κυκλικής διατοµής των οπλισµών του πυκνωτή αγνοείται. Τα χαρακτηριστικά µεγέθη των οπλισµών (απόσταση µεταξύ των διάµετρος) θεωρούνται γνωστά.