Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων
Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m 1 uu 1 cc m 2 uu 2 Επιλογή 1 Επιλογή 2 δδrr cc = xx 1 xx 2 ff cc = cc uu 1 uu 2 = cc xx 1 xx 2 δδrr cc = xx 2 xx 1 ff cc = cc uu 2 uu 1 = cc xx 2 xx 1 m 1 ff cc ff cc ff cc ff cc ff cc ff m m cc 1 1 2 2 1 2 cc cc ff cc ff cc m 2 9 3
Μοντελοποίηση Μηχανικών, Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων 4
Μηχανικά Συστήματα (Μεταφορική Κίνηση) Μεταβλητές ισχύος PP = EE = FF uu Δύναμη FF, ταχύτητα uu = xx Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Μάζα mm: FF = mm uu EE(uu) = TT = 1 2 LL(uu)TT uu = 1 2 mm uu 2 Ελαστικότητα (γραμμική) kk: FF = kk xx EE(FF) = VV = 1 2 FF(xx)TT xx = 1 2 kk xx 2 = 1 2 kk 1 FF 2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Απόσβεση (γραμμική) cc FF = cc uu 11 5
Μηχανικά Συστήματα (Περιστροφική Κίνηση) Μεταβλητές ισχύος PP = EE = Τ ωω Ροπή Τ, γωνιακή ταχύτητα ωω = θθ Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Ροπή αδράνειας Ι: Τ = Ι ω EE(ωω) = TT = 1 2 HH(ωω) ωω = 1 2 Ι ω2 Ελαστικότητα (γραμμική)kk TT : Τ = kk TT θθ Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Απόσβεση (γραμμική) cc TT EE(Τ) = VV = 1 2 TT(θθ) θθ = 1 2 kk TT θθ 2 = 1 2 kk TT 1 TT 2 TT = cc TT ωω 12 6
Ηλεκτρικά Συστήματα Μεταβλητές ισχύος PP = EE = i VV Διαφορά τάσης V, ένταση ρεύματος i = qq Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Eπαγωγέας (πηνίο) L: V = L i EE(ii) = 1 2 L i2 Πυκνωτής CC: VV = CC 1 qq EE VV = 1 2 CC 1 qq 2 = 1 2 CC VV2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Αντίσταση RR VV = RR ii 13 7
Υδραυλικά Συστήματα Μεταβλητές ισχύος PP = EE = Q PP Διαφορά πίεσης P, παροχή Q = VV Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Αδράνεια L: P = L Q EE(QQ) = 1 2 L Q2 Πυκνωτής CC: PP = CC 1 VV EE PP = 1 2 CC 1 VV 2 = 1 2 CC PP2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Αντίσταση RR PP = RR QQ 14 8
Σύγκριση Απλών Συστημάτων Μηχανικό σύστημα Κοινή ταχύτητα uu Ισορροπία δυνάμεων: FF tt = FF kk + FF mm + FF cc Ηλεκτρικό σύστημα Κοινό ρεύμα ii Νόμος Kirchoff: VV tt = VV CC + VV LL + VV RR Υδραυλικό σύστημα Κοινή παροχή Q Πτώση πίεσης: PP pppppppp tt = PP CC + PP LL + PP RR 15 9
Αντιστοιχία Συστημάτων Mηχανικό σύστημα Ηλεκτρικό σύστημα Υδραυλικό σύστημα Β. Ε. Θέση xx Φορτίο qq Όγκος VV «Ροή» Ταχύτητα uu = xx Ένταση i = qq Παροχή Q = VV «Σθένος» Δύναμη FF Διαφορά Διαφορά πίεσης P δυναμικού V Στοιχείο Αδράνειας / «Κινητική ενέργεια» Στοιχείο Ελαστικότητας / «Δυναμική ενέργεια» Στοιχείο Απόσβεσης Μάζα mm FF = mm uu EE(uu) = 1 mm uu 2 2 Γραμμικό ελατήριο kk FF = kk (xx 1 xx 2 ) EE(FF) = 1 kk xx 2 2 Γραμμικός αποσβεστ. cc FF = cc (uu 11 uu 22 ) Επαγωγέας L V = LL ii EE(ii) = 1 2 L i2 Πυκνωτής CC VV = CC 1 ii EE qq = 1 2 CC 1 qq 2 Aντίσταση R V = RR ii Aδράνεια L P = LL QQ EE(QQ) = 1 2 L Q2 Πυκνωτής CC PP = CC 1 QQ EE VV = 1 2 CC 1 VV 2 Aντίσταση R P = RR QQ 10
«Τετράεδρα Κατάστασης» Σχηματοποίηση κάθε επιμέρους υποσυστήματος (μηχανικό, ηλεκτρικό, υδραυλικό) ενός συστήματος F Ορμή LL dd dddd Σθένος FF Αδράνεια mm Απόσβεση cc Ελαστικότητα kk Ροή u dd dddd Μετατόπιση x u 17 11
Μετασχηματιστές & Αναστροφείς Στοιχεία που ενώνουν διαφορετικά υποσυστήματα Περιγράφουν αλληλεπιδράσεις υποσυστημάτων Αντιστοιχούν σε περιορισμούς μεταξύ των μεταβλητών ισχύος των υποσυστημάτων Μετασχηματιστής Σύστημα 1 F 1 F 2 u 1 Τ u 2 Σύστημα 2 Αναστροφέας Σύστημα 1 F 1 F 2 Σύστημα u 1 G u 2 2 18 12
Μετασχηματιστές & Αναστροφείς Ιδανικοί μετασχηματιστές & αναστροφείς: όχι απώλεια ισχύος Μετασχηματιστής F 2 u 2 = TT 0 0 TT 1 F 1 u 1 Σύστημα 1 F 1 F 2 u 1 Τ u 2 Σύστημα 2 Σταθερά μεταχηματιστή Αναστροφέας F 2 u 2 = 0 GG GG 1 0 F 1 u 1 Σύστημα 1 F 1 F 2 u 1 G u 2 Σύστημα 2 Σταθερά αναστροφέα 19 13
Μετασχηματιστές: Παραδείγματα Κύληση τροχού χωρίς όλίσθηση (Γραμ. Μηχ Περ. Μηχ.) θθ R R xx GG F xx GG = RR 1 0 0 RR TT θθ Γρανάζια σε επαφή (Περ. Μηχ. Περ. Μηχ) R 1 R 1 θθ 1 R 2 R 2 T 1 θθ 2 T 2 TT 2 θθ 2 = RR 2 RR 1 0 0 RR 1 RR 2 TT 1 θθ 1 20 14
Μετασχηματιστές: Παραδείγματα Υδραυλικό έμβολο/αντλία θετικής μετατόπισης (Υδραυλικό Γραμ. Μηχ) QQ PP Α xx FF F xx = AA 0 0 AA 1 PP QQ Ηλεκτρικός μετασχηματιστής (Ηλεκτρικό Ηλεκτρικό) + + V 1 i 1 i 2 V 2 VV 2 = TT 0 ii2 0 TT 1 VV 1 ii1 21 15
Αναστροφείς: Παραδείγματα Αντλία/υδροστρόβιλος (Υδραυλικό Περιστρ. Μηχ) + PP QQ θθ T Τ θθ = 0 KK KK 1 0 P QQ Ηλεκτροκινητήρας/γεννήτρια (Ηλεκτρικό Περιστρ. Μηχ) + VV ii θθ T Τ θθ = 0 kk TT 1 kk TT 0 V ii 22 16
Γενικευμένες Εξισώσεις Lagrange Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων σε συστήματα που περιέχουν μηχανικά,ηλεκτρικά&υδραυλικά υποσυστήματα dd dddd TT ssssssssssss qq jj TT ssssssssssss qq jj + VV ssssssssssss qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN Χρήση γενικευμένης κινητικής και δυναμικής ενέργειας TT ssssssssssss = TT mmmmmmm + TT eeeeeeeeeeee + TT hyyyyyy = 1 2 mm xx 2 + 1 2 L qq 2 + 1 2 L VV 2 VV ssssssssssss = VV mmmmmmm + VV eeeeeeeeeeee + VV hyyyyyy = 1 2 kk xx2 + 1 2 CC 1 qq 2 + 1 2 CC 1 VV 2 Βαθμοί ελευθερίας μπορεί να είναι θέσεις/γωνίες (μηχανικά συστήματα), ηλεκτρικά φορτία (ηλεκτρικά συστήματα), ή όγκοι (υδραυλικά συστήματα). 23 17
Πηγές/Καταβόθρες Ενέργειας 24 18
Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος Κάθε υποσύστημα έχει σημεία εισόδου/παροχης ισχύος (πηγές) και εξόδου/κατανάλωσης ισχύος (καταβόθρα) Μηχανικά υποσυστήματα Θερμικές μηχανές, ηλεκτρικοί κινητήρες, στρόβιλοι, υδραυλικά έμβολα Μηχανικά φορτία, αντλίες/συμπιεστές, γεννήτριες Ηλεκτρικά υποσυστήματα Μπαταρίες, ηλεκτρικές γεννήτριες Ηλεκτρικοί κινητήρες, μπαταρίες Υδραυλικά υποσυστήματα Αντλίες, συμπιεστές Στρόβιλοι, υδραυλικοί κύλινδροι 25 19
Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος Toyota Hybrid System (Hybrid Synergy Drive) 26 20
Πηγές Ισχύος Πηγές περιγράφονται από «χαρακτηριστική καμπύλη» που περιγράφει σχέση μεταξύ μεταβλητών ισχύος Κάθε πηγή μπορεί να παρέχει πεπερασμένη ισχύς Καμπύλη ροπής-στροφών ηλεκτροκινητήρα συνεχούς Καμπύλη ροπής-στροφών μονοφασικού ηλεκτροκινητήρα εναλλασόμενου 27 21
Πηγές Ισχύος Πηγές περιγράφονται από «χαρακτηριστική καμπύλη» που περιγράφει σχέση μεταξύ μεταβλητών ισχύος Κάθε πηγή μπορεί να παρέχει πεπερασμένη ισχύς Καμπύλη ροπής-στροφών κινητήρα diesel Καμπύλη πίεσηςπαροχής αντλίας 28 22
Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος Αναλυτικά μοντέλα που μοντελοποιούν την συμπεριφορά πηγών ισχύος 1. Μοντέλο Thevenin Ιδανική πηγή σθένους σε σειρά με αντίσταση 2. Μοντέλο Norton Ιδανική πηγή ροής παράλληλα με αντίσταση VV AAAA ii = VV ttt RR ttt i ii AAAA VV = ii NNNN RR 1 NNNN VV 29 23
Εφαρμογή: Copenhagen Wheel 30 24
Εξαρτήματα 31 25
Ροπόμετρο (torque sensor) Ένα στρεπτικό ελατήριο σταθεράς k. Στρεπτικό ανάλογο του strain gauge Δύο άτρακτοι συνδέονται σε κάθε άκρο του Η ροπή Τ που περνά διαμέσω του ελατηρίου εκτιμάται μέσω της γωνιακής παραμόρφωσης δθ του ροπόμετρου Τ = k δδδδ 32 26
Άξονας Περιστρεφόμενος άξονας Ρόδα Γρανάζι πεταλιού Μη περιστρεφόμενος άξονας Έδρανο Κινητήρας Έδρανο Αισθητήρας ροπής 33 27
Πηγές ισχύος στην άτρακτο Ροπές στην Άτρακτο Ροπή T pppppppppp που παρέχει ο ποδηλάτης (ευθεία κίνηση καστάνιας) Ροπή T mm που παρέχει ο κινητήρας (όταν ενεργοποιηθεί) Καταβόθρες ισχύος από την άτρακτο Ροπή φορτίου T wwwwwwwww = RR wwwwwwwww FF wwwwwwwww λόγω της δύναμης FF wwwwwwwww που ασκείται από το έδαφος στο λάστιχο (μέσω τριβής) FF wwwwwwwww ισούται με την απαιτούμενη δύναμη για: Υπερνίκηση αντιστάσεων (ροπή κύληση, αεροδυναμική αντίσταση) Αδρανειακών δυνάμεων (επιτάχυνση) 34 28
Μοντέλο Kίνησης Ατράκτου θ 1 θ 2 T mm T wwwwwwwww T pppppppppp c Ι kk 1 1 Ι 2 c 2 qq = θ 1 θ 2 TT = 1 2 II 1θ 1 2 + 1 2 II 2θ 2 2 = 1 2 qq Τ II 1 0 0 II 2 qq MM = II 1 0 0 II 2 V = 1 2 kk(θθ 1 θθ 2 ) 2 = 1 2 qqτ kk kk kk kk kk kk qq KK = kk kk δw = δθθ 1 (TT mm TT wwwwwwwww cc 1 θθ 1) + δθθ 2 (TT pppppppppp cc 2 θθ 2) II 1 0 θθ 0 II 2 1 θθ 2 + kk kk kk kk θθ 1 θθ 2 = 1 0 TT mm TT wwwwwwwww cc 1 θθ 1 + 0 1 (TT pppppppppp cc 2 θθ 2) 35 29
Μοντέλο Kίνησης Ατράκτου θ 1 θ 2 T mm T wwwwwwwww T pppppppppp c Ι kk 1 1 Ι 2 c 2 II 1 0 θθ 0 II 2 1 θθ 2 + cc 1 0 θθ 0 cc 2 1 θθ 2 + kk kk kk kk θθ 1 θθ 2 = TT mm TT wwwwwwwww TT pppppppppp Εδώ η ροπή του κινητήρα Τ mm θεωρείται είσοδος στο μηχανικό περιστροφικό σύστημα της ατράκτου. H ροπή όμως αυτή εξαρτάται από το ρεύμα i που περνά από το ηλεκτρικό κύκλωμα του κινητήρα 36 30
Μοντέλο Κινητήρα T mm θθ 1 V iiii ee = k TT θθ Η τάση στους ακροδέκτες του κινητήρα V iiii ισούται με την πτώση τάσης στα πηνεία του κινητήρα λόγω αυτεπαγωγής VV LL, συν την πτώση τάσης VV RR λόγω ωμικών αντιστάσεων, στην την ΑΗΕΔ στον κινητήρα VV BBBBBBBB λόγω της περιστροφής της ατράκτου θθ 1 (νόμος Kirchoff) V iiii = VV RR + VV LL + VV BBBBBBF V iiii = RRRR + LL dddd dddd + VV BBBBBBBB Ο βαθμός ελευθερίας του συστήματος είναι το φορτίο q που μετατοπίζεται στο σύστημα ii = dddd V dddd iiii = RR dddd dddd + LL dd2 qq ddtt 2 + VV BBBBBBBB 37 31
Μοντέλο Κινητήρα T mm θθ 1 V iiii ee = k TT θθ H ΑΗΕΔ VV BBBBBBBB και η ροπή στην άτρακτο TT mm συνδέονται μέσω των εξισώσεων (αντιστροφέας) του κινητήρα TT mm θθ 1 = 0 kk TT 1 kk TT 0 VV BBBBBBBB ii 38 32
Συνολικό Ηλεκτρομηχανικό Σύστημα θ 1 θ 2 T mm T wwwwwwwww T pppppppppp T mm θθ 1 V iiii ee = k TT θθ c Ι kk 1 1 Ι 2 c 2 Φορτίο : ροπή λόγω αντίστασης στην κίνηση/επιτάχυνση ποδηλάτου II 1 II 2 LL θθ 1 θθ 2 qq + cc 1 kk TT cc 2 kk TT RR θθ 1 θθ 2 qq + kk kk kk kk θθ 1 θθ 2 qq = TT wwwwwwwww TT pppppppppp VV iiii Η ροπή που παρέχει ο ποδηλάτης. Ελέγχεται από τον ποδηλάτη Η τάση που ασκείται στους ακροδέκτες του κινητήρα. Καθορίζεται από τον υπολογιστή του συστήματος ως συνάρτηση της μέτρησης του ροπόμετρου (ανάλογη της θθ 1 θθ 2 ) και της ταχύτητας της ρόδας θθ 1 39 33
Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.