Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης. Συστήματος με το Περιβάλλον του

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης 3 4 Συστήματος με το Περιβάλλον του

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Δύο Τρόποι Περιγραφής της Αλληλεπίδρασης Συστήματος- Περιβάλλοντος 1. Εξωτερικές Διεγέρσεις Ορισμός, είδη 2. Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος Φυσικό Νόημα Μοντελοποίηση Παραδείγματα Μοντελοποίηση Εξωτερικών Διεγέρσεων Κρουστική, Βηματική, Διέγερση Ράμπα Αρμονική Διέγερση, Τυχαία Διέγερση Μοντελοποίηση που εστιάζει στα μεγέθη που ελέγχονται από το περιβάλλο Μοντελοποίηση που εστιάζει στην ανταλλαγή ισχύος ενός συστήματος με το περιβάλλον του Πως μοντελοποιείται το χρονικό προφίλ μιας εξωτερικής διέγερσης

4 Εξωτερικές Διεγέρσεις

5 Εξωτερικές Διεγέρσεις Μεταβλητές του συστήματος που θεωρείται ότι καθορίζονται από το περιβάλλον του συστήματος Είτε μεταβλητές «σθένους» είτε μεταβλητές «ροής» Σε κάθε σημείο διεπαφής συστήματος-περιβάλλοντος: Το περιβάλλον καθορίζει μια από τις μεταβλητές ισχύος (F ή U) Το σύστημα καθορίζει την άλλη μεταβλητή ισχύος

6 Είδη Εξωτερικών Διεγέρσεων Διέγερση «Σθένους» Δυνάμεις/ροπές που ασκούνται εξωτερικά σε ένα μηχανικό σύστημα τ motor (t) Διέγερση «Ροής» Κινηματική διέγερση (προκαθορισμένη κίνηση σε κάποιο σημείο του συστήματος) z 0 (t)

7 Οι εξωτερικές διεγέρσεις Εξωτερικές Διεγέρσεις Περιγράφουν πως το σύστημα αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του Δεν περιγράφουν την φορά της μεταφοροράς ισχύος Δεν περιγράφουν την δυναμική του περιβάλλοντος Δεν περιγράφουν πως η κατάσταση του συστήματος επιδρά στο περιβάλλον

8 Mοντελοποιώντας την ανταλλαγή ισχύος ενός συστήματος με το περιβάλλον του Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος

9 Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος Πηγές: Παρέχουν ισχύ στο σύστημα Eξωτερικές διεγέρσεις από αλληλεπιδρώντα συστήματα (P > 0) Καταβόθρες: Καταναλώνουν ισχύ από το σύστημα Αποσβέσεις, εξωτερικές διεγέρσεις από αλληλεπιδρώντα συστήματα (P < 0)

10 Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος: Παραδείγματα Μετάδοση ισχύος στα Υποσυστήματα Ανεμογεννήτριας Φυσική Υλοποίηση Ανάλυση σε Υποσυστήματα και Ροής Ισχύος Ανεμογεννήτρια Παροχή αέρα Προπέλα Μετάδοσης κίνησης Γεννήτρια Ρεύμα

11 Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος: Παραδείγματα Μετάδοση ισχύος στην Μετάδοση Κίνησης Αυτοκινήτου Φυσική Υλοποίηση Ανάλυση σε Υποσυστήματα και Ροής Ισχύος Ανεμογεννήτρια Κινητήρας Συμπλέκτης Μειωτήρας Άτρακτος μετάδοσης Τροχοί

12 Ισχύς Παρεχόμενη από Πηγή Έστω μια πηγή που παρέχει ροπή τ σε άτρακτο που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. H ισχύς που παρέχει στο σύστημα είναι: P = τ ω Κάθε πραγματική πηγή έχει πεπερασμένη ικανότητα παροχής ισχύος Καθώς αυξάνεται η μεταβλητή ροής U (π.χ. u, ω), μειώνεται η μεταβλητή σθένους F (αντίστοιχα f, τ) που μπορεί να παρέχει η πηγή. Και ανάποδα.. H σχέση F(U) είναι η χαρακτηριστική καμπύλη της πηγής F Καμπύλες σταθερής ισχύος F(U) U

13 Ισχύς Παρεχόμενη από Πηγή Παράδειγμα: Χαρακτηριστική Καμπύλη Κινητήρα Εσωτερικής Καύσης

14 Ισχύς Παρεχόμενη από Πηγή Παράδειγμα: Χαρακτηριστική Καμπύλη σε Ηλεκτρικούς Κινητήρες Κινητήρας Συνεχούς Ρεύματος Μόνιμου Μαγνήτη Κινητήρας Εναλλασσόμενου Ρεύματος

15 Μοντελοποίηση Πηγών Η χαρακτηριστική καμπύλη είναι συνήθως μια πολύπλοκη συνάρτηση F(U) Απλοποίηση μέσω απλών μοντέλων Αναλυτικά μοντέλα μοντελοποίησης πηγών μέσω επαλληλίας γραμμικών στοιχείων F Μοντέλο Norton F U = F 0 R U F 0 F(U) Μοντέλο Thevenin F F(U) U U F = U 0 1 R F U 0 U

16 Καταβόθρες Ισχύος Περιγράφουν την Κατανάλωση Ισχύος από: Κάποιο σύστημα που αλληλεπιδρά με το σύστημα ενδιαφέροντος Κάποιο στοιχείο απόσβεσης Ανεμογεννήτρια Παροχή αέρα Πηγή Προπέλα Μετάδοσης κίνησης Καταβόθρα Γεννήτρια Ρεύμα

17 Μοντελοποίηση Καταβοθρών Μια καταβόθρα περιγράφεται από μια χαρακτηριστική καμπύλη F U Στις καταβόθρες δεν υπάρχει συνήθως ζήτημα περιορισμένης ισχύος. Καθώς αυξάνεται η μεταβλητή ροής U αυξάνεται και το σθένος που καταναλώνει η καταβόθρα F Αναλυτικά μοντέλα Μοντέλο Norton F U = F 0 + R U F F 0 F(U) U Μοντέλο Thevenin F F(U) U F = U R F U 0 U

18 Παράδειγμα: Πηγές & Καταβόθρες Ισχύος Toyota Hybrid System (Hybrid Synergy Drive) Έξυπνα ηλεκτρονικά και ένας πλανητικός μειωτήρας (power split device) επιτρέπουν μεταφορά ισχύος (τουλάχιστον) με 3 τρόπους 1) Κίνηση από μπαταρία Μπαταρία Ηλεκτροκινητήρας πλαν. μειωτήρας ρόδες 2) Κίνηση από ΜΕΚ Καύσιμο ΜΕΚ πλαν. μειωτήρας ρόδες 3) Αναγέννηση Ενέργειας Ρόδες πλαν. μειωτήρας γεννήτρια μπαταρία 18

19 Πηγές & Καταβόθρες Ισχύος Τα μοντέλα πηγών και καταβοθρών Περιγράφουν την αλληλεπίδραση ενός συστήματος με το περιβάλλον Περιγράφουν την παροχή και κατανάλωση ισχύος Περιγράφουν ένα τρόπο που η κατάσταση του συστήματος επιδρά στο περιβάλλον Αμελούν την δυναμική των πηγών και των καταβοθρών

20 Πως μοντελοποιείται το χρονικό προφίλ μιας εξωτερικής διέγερσης Μοντελοποίηση Εξωτερικών Διεγέρσεων

21 Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Σε κάθε φυσικό σύστημα, ασκούνται εξωτερικές διεγέρσεις διαφορετικού χρονικού προφίλ Περιγράφονται από διαφορετικά μαθηματικές συναρτήσεις-μοντέλα Προφίλ του δρόμου Δύναμη αντίδρασης από καρφί στο σφυρί Δύναμη αζυγοσταθμίας σε περιστρεφόμενη στροβιλομηχανή Δύναμη αέρα στο πανί

22 Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Μαθηματικά μοντέλα εξωτερικών διεγέρσεων Κρουστική Διέγερση Βηματική Διέγερση Διέγερση Ράμπα Αρμονική Διέγερση Τυχαία Διέγερση Σύνθετες διεγέρσεις

23 Κρουστική Διέγερση Περιγράφεται μαθηματικά από την συνάρτηση Dirac δ t δ t t 0 = t = t 0 0 t t 0 Περιγράφει διεγέρσεις που διαρκούν πολύ σύντομο διάστημα Το τι σημαίνει «σύντομο» εξαρτάται από το σύστημα.. Θα αναλυθεί σε παρακάτω διαλέξεις Παράδειγμα: δύναμη που ασκείται σε μια κατασκευή από ένα σφυρί

24 Βηματική Διέγερση Περιγράφεται μαθηματικά από την συνάρτηση Heavyside u s t t 0 = 1 t t 0 0 t < t 0 Η u s t t 0 είναι το ολοκλήρωμα της δ t t 0 : u s t t 0 = t δ τ t 0 δτ Περιγράφει μια διέγερση που ξεκινά την χρονική στιγμή t 0 και παραμένει σταθερή Παράδειγμα: η κινηματική διέγερση στην ανάρτηση όταν το αυτοκίνητο ανεβαίνει ένα πεζούλι

25 Διέγερση Ράμπα Περιγράφεται μαθηματικά από την συνάρτηση ράμπα: u r t t 0 = t t 0 t t 0 0 t < t 0 Η u r t t 0 είναι το ολοκλήρωμα της u s t t 0 : u r t t 0 = t u s τ t 0 δτ Περιγράφει μια διέγερση που ξεκινά την χρονική στιγμή t 0 και αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο u r t t 0 t 0 t

26 Αρμονική Διέγερση Περιγράφεται μαθηματικά: f t = A sin Ω t + φ 0 Όπου A είναι το εύρος, Ω η κυκλική συχνότητα, και φ 0 είναι η αρχική φάση της διέγερσης. Περιγράφει μια διέγερση που μεταβάλεται αρμονικά με τον χρόνο Συνδιασμός αρμονικών μπορεί να μοντελοποιήσει περιοδικές και τυχαίες διεγέρσεις (ανάλυση Fourier) Παράδειγμα: Διέγερση λόγω αζυγοσταθμίας

27 Μαθηματική Περιγραφή Διεγέρσεων Μέσω Εκθετικών Συναρτήσεων Η χρονική μορφή μερικών διέγερσεων μπορεί να μοντελοποιηθεί ως: f t = e Λt u s (t) όπου u s (t) είναι η συνάρτηση Heavyside Βηματική διέγερση: Όταν Λ = 0, τότε f t = u s (t) Εκθετική διέγερση: Όταν Λ = α R, τότε f t = e α t u s (t)

28 Μαθηματική Περιγραφή Διεγέρσεων Μέσω Εκθετικών Συναρτήσεων Όταν Λ = Ω j όπου Ω R, τότε f t = e j Ω t u s t = (cos Ω t + j sin(ω t)) u s t Αρμονική διέγερση: f t = cos Ω t u s t = 1 2 (ejωt + e jωt ) u s t Όταν Λ = α + Ω j όπου α, Ω R, τότε f t = e (α+ω j) t u s t = e α t (cos Ω t + j sin(ω t)) u s t Αποσβενόμενη αρμονική διέγερση: f t = e α t cos Ω t u s t = 1 2 (e(α+jω)t + e (α jω)t ) u s t

29 Τυχαία Διέγερση Δεν μπορεί να περιγραφεί αναλυτικά Περιγράφεται είτε στατιστικά είτε μέσω μ/χ Fourier Μ/χ Fourier: Μια τυχαία συνάρτηση περιγράφεται ως άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων Βλέπε διάλεξη στο μ/χ Fourier Ο υπολογισμός της απόκρισης σε τυχαία διέγερση βασίζεται στην απόκριση σε αρμονική διέγερση Παράδειγμα: Διέγερση λόγω αέρα στα πανιά ιστιοπλοϊκού

30 Σύνθετη Διέγερση Πολλές διεγέρσεις μπορούν να μοντελοποιηθούν μαθηματικά ως άθροισμα από στοιχειώδεις διεγέρσεις Παράδειγμα: Διέγερση παλμού διάρκειας T Εκφράζεται ως άθροισμα βηματικών διεγέρσεων f t = u p t = u s t u s t T Παράδειγμα: Η διέγερση f 2 t του διπλανού σχήματος εκφράζεται ως άθροισμα διεγέρσεων ράμπας f 2 t = u r t u r t T u r t 2T + u r t 3T u r t t 0 f 2 t t 0 t T 2T 3T t

31 Παραδείγματα Μοντελοποίησης Εξωτερικών Διεγέρσεων Ποιο μαθηματικό μοντέλο διέγερσης πιστεύετε ότι περιγράφει καλύτερα τις ακόλουθες διεγέρσεις? Ροπή στην κεφαλή του σκληρού δισκου κατά την κίνηση του Αεροδυναμική δύναμη σε ουρανοξύστη μια μέρα με πολύ αέρα Δύναμη στον αστράγαλο του αθλητή κατά το τρέξιμο Δύναμη στην χορδή όταν ο κιθαρίστας παίζεται μια νότα