Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και εφαρμογές σε ηλεκτρικά συστήματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί Ενότητας Πεδίο χρόνου και πεδίο συχνότητας: Έννοιες (Αρμονική) Συνάρτηση Μεταφοράς συστήματος Μετασχηματισμός (και πεδίο) Laplace: Χρήση στην αναπαράσταση συστημάτων; 4

5 Περιεχόμενα Ενότητας Μαθηματική εξομοίωση στο πεδίο συχνότητας Τυπική συμπεριφορά ηλεκτρικών στοιχείων σε ημιτονοειδή είσοδο i(t)=sin(ω t) Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος Συμπεράσματα Παρατηρήσεις 5

6 Περιεχόμενα Ενότητας (2) Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace Μετασχηματισμοί Laplace βασικών Συναρτήσεων Συμπεράσματα Εφαρμογή σε ηλεκτρικά συστήματα 6

7 Μαθηματική εξομοίωση στο πεδίο συχνότητας 7

8 Μαθηματική εξομοίωση στο πεδίο συχνότητας (1) Αντιστοιχεί σε σειρά πειραμάτων ημιτονοειδών εισόδων σε σύστημα Βολική μαθηματική περιγραφή της σχέσης εισόδου-εξόδου συστήματος Παράδειγμα συμπεριφοράς που αντιστοιχεί στη σειρά πειραμάτων με ημιτονοειδείς εισόδους: Σλάλομ με όχημα, κρατώντας σταθερή την ταχύτητα κίνηση και στρίβοντας δεξιά-αριστερά όλο και πιο απότομα 8

9 Μαθηματική εξομοίωση στο πεδίο συχνότητας (2) Έστω σύστημα G, όπως παρακάτω, περιγραφόμενο από γραμμική Δ.Ε. u(t)=u 0 sin(ω t) y(t)=y 0 sin(ω t + φ) G Τροφοδοτείται με είσοδο u(t)=u 0 sin(ω t) (με κάποια κυκλική συχνότητα ω) Τότε η απόκριση αυτού y(t)=y 0 sin(ω t+ φ) όπου τόσο το πλάτος Y 0 όσο και η φάση φ έχουν μέγεθος που εξαρτάται από το ω. 9

10 Μαθηματική εξομοίωση στο πεδίο συχνότητας (2) Έστω σύστημα G, όπως παρακάτω, περιγραφόμενο από γραμμική Δ.Ε. u(t)=u 0 sin(ω t) y(t)=y 0 sin(ω t + φ) G Τροφοδοτείται με είσοδο u(t)=u 0 sin(ω t) (με κάποια κυκλική συχνότητα ω) Τότε η απόκριση αυτού y(t)=y 0 sin(ω t+ φ) όπου τόσο το πλάτος Y 0 όσο και η φάση φ έχουν μέγεθος που εξαρτάται από το ω. Ερώτηση: Πώς αντιλαμβάνεστε την εξάρτηση του πλάτους Y o και (γωνίας) φάσης φ από την κυκλική συχνότητα της ημιτονοειδούς εισόδου ω; 10

11 Τυπική συμπεριφορά ηλεκτρικών στοιχείων σε ημιτονοειδή είσοδο i(t)=sin(ω t) 11

12 Τυπική συμπεριφορά ηλεκτρικών στοιχείων σε ημιτονοειδή είσοδο i(t)=sin(ωt) G R u ( t ) = R i( t ) = R sin( ω t ) R G L di( t ) π u L ( t ) = L = ω L cos( ω t ) = ω L sin( ω t + ) dt 2 G C π u C ( t ) = idt cos( t ) sin( t ) C = ω = ω ω C ω C 2 Μπορούμε να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας ee jj ωω tt αντί των cos(ω t) και sin(ω t); (ΓΙΑΤΙ; Δοκιμάστε να υπολογίσετε παραγώγους των cos(ω t) και sin(ω t) και κατόπιν αυτή του ee jj ωω tt. Η τελευταία «δουλεύεται» πιο εύκολα!) 12

13 j ω t Έστω λοιπόν i( t ) = I sin( ω t ) ή I( j ) = I e (Δηλαδή;) 0 ω 0 TOTE uu RR tt = RR ii tt => U RR jjjj = RR II jjωω = RR II 0 ee jj ωω tt = = RR II 0 cos (ωω tt) + jj RR II 0 sin (ωω tt) 13

14 j ω t Έστω λοιπόν i( t ) = I sin( ω t ) ή I( j ) = I e (Δηλαδή;) 0 ω 0 TOTE uu RR tt = RR ii tt => U RR jjjj = RR II jjωω = RR II 0 ee jj ωω tt = = RR II 0 cos (ωω tt) + jj RR II 0 sin (ωω tt) uu LL tt = LL dd dddd ii tt => U LL jjjj = LL dd dddd II jjωω = jj ωω LL II 0 ee jj ωω tt = = ωω LL II 0 sin ωω tt + jj ωω LL II 0 cos(ωω tt) ωω LL II 0 sin(ωω tt + ππ 2 ) 14

15 j ω t Έστω λοιπόν i( t ) = I sin( ω t ) ή I( j ) = I e (Δηλαδή;) 0 ω 0 TOTE uu cc tt = 1 CC iiiiii => UU cc jjjj = 1 II jj ωω CC 0 ee jj ωω tt = 1 II jjjj = jj ωω CC = ΙΙ 0 sin ωω tt jj ΙΙ 0 cos ωω tt ωω CC ωω CC Άρα: ΙΙ 0 ωω CC ssssss(ωω tt ππ 2 ) Με χρήση (jω) επιτυγχάνεται η ίδια συμπεριφορά στα στοιχεία που εξετάσαμε! 15

16 Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος 16

17 Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος (1) Έστω το κύκλωμα RL με διαφορική εξίσωση RR ii tt + LL dd ii tt = ee tt dddd και ee tt = ΕΕ 0 sin(ωω tt) ή EE jjωω = ΕΕ 0 ee jj ωω tt Έστω ότι λαμβάνουμε ΙΙ jjωω = II 0 ee jj ωω tt (δεν ξέρουμε κάτι για το Ι 0!) 17

18 Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος (2) Από Δ.Ε. => RR II jjωω + LL dd II jjωω =Ε(jω) => dddd RR II 0 ee jj ωω tt +j I 0 ω L ee jj ωω tt = ΕΕ 0 ee jj ωω tt => RR II 0 +j I 0 ω L= ΕΕ 0 (1) Άρα: Με χρήση (jω) (=αναπαράσταση στο μιγαδικό επίπεδο) η Δ.Ε. έγινε αλγεβρική! 18

19 Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος (3) Από (1) => ΙΙ 0 = ΕΕ RR jj ωω LL 0 RR+jj ωωll RR jj ωω LL = ΕΕ 0 RR 2 +ωω 2 LL 2 ΕΕ 0 RR 2 +ωω 2 LL 2 eejj φφ, φφ = tan 1 ( ωω LL ) RR RR jj ωω LL Δηλαδή το Ι 0, που ήταν άγνωστο, καταλήγει ως μέγεθος με πλάτος ΕΕ 0 ωωll ~ωω και με φάση φφ = RR 2 +ωω 2 tttttt 1 LL2 RR ~ωω 19

20 Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος (4) Έτσι: ΙΙ jjωω = ΙΙ 0 ee jj ωω tt = ΕΕ 0 RR 2 +ωω 2 LL 2 eejj(ωω tt+φφ) Οπότε και το παραγόμενο ii tt = Im I jω = ΕΕ 0 sin ωω tt + φφ RR 2 +ωω 2 LL2 Όπως και (άλλωστε) περιμέναμε αφού «το κύκλωμα RL οδηγούμενο από ημιτονοειδή συνάρτηση θα δίνει ημιτονοειδή απόκριση με πλάτος και φάση που εξαρτώνται από τη συχνότητα διέγερσης ω» 20

21 Παράδειγμα ηλεκτρικού συστήματος (5) Παρατηρήσατε επίσης ότι: ΕΕ 0 ΙΙ jjωω = RR 2 + ωω 2 LL 2 eejj ωω tt ee jj φφ = EE(jjjj) RR 2 + ωω 2 LL 2 eejj φφ => => Έξξξξξξξξξξ ΕΕιισσσσσσσσσσ = II(jjωω) ΕΕ(jjωω) = 1 RR 2 + ωω 2 LL 2 eejj φφ = 1 RR + jj ωω LL eejj φφ Δηλαδή: Η σχέση εξόδου προς είσοδο εξαρτάται μόνο από τα δομικά συστατικά του κυκλώματος L και R (και βέβαια τη συχνότητα διέγερσης). Η σχέση εξόδου προς είσοδο όπως προκύπτει κατόπιν της εφαρμογής ημιτονοειδών σημάτων ονομάζεται αρμονική συνάρτηση μεταφοράς. 21

22 Γενικά: Προφανώς η αρμονική συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να ληφθεί για Δ.Ε. οποιασδήποτε τάξεως (όχι μόνο 1 ης, όπως στην περίπτωση του RL). Αν G σύστημα με Δ.Ε. n-οστής τάξης τότε Δ.Ε. n-οστής τάξης: dd nn ddtt nn yy tt + αα nn 1 dd nn 1 ddtt nn 1 yy tt + + αα 1 dd ddtt yy tt + αα dd 0yy tt = bb 0 uu tt + bb 1 dddd uu tt + + bb mm dd mm uu tt ddttmm και U(jω)=ee jj ωω tt άρα Y(jω)= YY 0 ee jj (ωω tt+φφ) 22

23 dd 2 dd ddtt yy tt = jj ωω YY(jjωω) ddtt 2 yy tt = (jj ωω)2 YY(jjωω) dd nn ddtt nn yy tt = (jj ωω)nn YY(jjωω) και dd mm dd ddtt uu tt = jj ωω UU(jjωω) ddtt mm uu tt = (jj ωω)mm UU(jjωω) Άρα με εφαρμογή στην Δ.Ε.: jj ωω nn + αα nn 1 jj ωω nn αα 0 YY jjωω = [bb mm jj ωω mm + + bb 1 jj ωω + bb 0 ] UU(jjjj) 23

24 και: YY(jjωω) UU(jjωω) = bb mm jj ωω mm +bb mm 1 jj ωω mm 1 + bb 1 jj ωω + bb 0 jj ωω nn + αα nn 1 jj ωω nn αα 1 (jj ωω) + αα 0 = GG jjωω (2) όμως αφού Υ(jω)=Υ 0 e j (ω t+φ) και U(jω)=e j ω t τότε YY(jjωω) UU(jjωω) = YY 0 ee jj (ωω tt+φφ ωω tt) = YY 0 ee jj φφ (3) Συγκρίνοντας (2) και (3) => YY 0 = G(jω) και φ=<g(jω) Άρα: Απλός τρόπος να ληφθεί η G(jω) από την Δ.Ε.? 24

25 Συμπεράσματα 25

26 Συμπεράσματα - 1 Όταν ένα γραμμικό σύστημα (δηλαδή σύστημα περιγραφόμενο από γραμμική Δ.Ε) διεγερθεί με ημιτονοειδές σήμα συγκεκριμένης συχνότητας ω, αποκρίνεται με επίσης ημιτονοειδές σήμα ίδιας συχνότητας ω, αλλά πλάτους και φάσης που εξαρτάται από τη συχνότητα αυτή. 26

27 Συμπεράσματα - 2 Όταν ένα γραμμικό σύστημα (δηλαδή σύστημα περιγραφόμενο από γραμμική Δ.Ε) διεγερθεί με ημιτονοειδές σήμα συγκεκριμένης συχνότητας ω, αποκρίνεται με επίσης ημιτονοειδές σήμα ίδιας συχνότητας ω, αλλά πλάτους και φάσης που εξαρτάται από τη συχνότητα αυτή. Στις περιπτώσεις ημιτονοειδούς διέγερσης συστήματος, μπορούμε μέσω της χρήσης των σημάτων (jω) [δηλαδή το μετασχηματισμό/ απεικόνιση τους στο μιγαδικό επίπεδο] να σχηματίσουμε τη σχέση εξόδου προς είσοδο που εξαρτάται μόνο από τα δομικά χαρακτηριστικά του συστήματος (και τη συχνότητα διέγερσης ω). Η σχέση αυτή ονομάζεται αρμονική συνάρτηση μεταφοράς. 27

28 Συμπεράσματα - 3 Όταν ένα γραμμικό σύστημα (δηλαδή σύστημα περιγραφόμενο από γραμμική Δ.Ε) διεγερθεί με ημιτονοειδές σήμα συγκεκριμένης συχνότητας ω, αποκρίνεται με επίσης ημιτονοειδές σήμα ίδιας συχνότητας ω, αλλά πλάτους και φάσης που εξαρτάται από τη συχνότητα αυτή Στις περιπτώσεις ημιτονοειδούς διέγερσης συστήματος, μπορούμε μέσω της χρήσης των σημάτων (jω) [δηλαδή το μετασχηματισμό/ απεικόνιση τους στο μιγαδικό επίπεδο] να σχηματίσουμε τη σχέση εξόδου προς είσοδο που εξαρτάται μόνο από τα δομικά χαρακτηριστικά του συστήματος (και τη συχνότητα διέγερσης ω). Η σχέση αυτή ονομάζεται αρμονική συνάρτηση μεταφοράς. Όπως δείξαμε, η αρμονική συνάρτηση μεταφοράς υπολογίζεται αν αντί της κάθε παραγώγου κ-τάξης, αντικαταστήσουμε στην Δ.Ε. τον παράγοντα (jω) κ και λύσουμε ως προς. 28

29 Παρατηρήσεις Παρατήρηση 1 29

30 Παρατήρηση 1-1 Αν αντί ημιτόνου έχουμε ως είσοδο μια οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση? 30

31 Παρατήρηση 1-2 Αν αντί ημιτόνου έχουμε ως είσοδο μια οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση? Έστω, λοιπόν ότι η είσοδος f(t)=f(t+t) δηλ. επαναληψιµότητα καθε Τ και αρα ω = 1 Τ 31

32 Παρατήρηση 1-3 Αν αντί ημιτόνου έχουμε ως είσοδο μια οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση? Έστω, λοιπόν ότι η είσοδος f(t)=f(t+t) δηλ. επαναληψιµότητα καθε Τ και αρα ω = 1 Τ Κατά Fourier, η συνάρτηση καταλήγει να αναλύεται σε βασικές ημιτονοειδείς ω, 2ω,...όπως φαίνεται στην ακολουθία (εκθετικής μορφής) ff tt = FF 0 + FF 1 ee jj ωω tt + FF 2 ee 2 jj ωω tt + + FF 1 ee jj ωω tt + FF 2 ee 2 jj ωω tt + όπου FF nn = 1 2ππ 2ππ 0 ff(tt)ee jj nn ωω tt dd(ωω tt) 32

33 Παρατήρηση 1-4 Οπότε σχηματικά τι θα κάναμε; Εργαζόμαστε για κάθε ένα ημιτονικό σήμα εισόδου συχνότητας ω, 2ω,..., σχηματίζουμε την αρμονική συνάρτηση μεταφοράς, και τελικά υπολογίζουμε την απόκριση που αντιστοιχεί σε αυτή τη συχνότητα. Η ολική απόκριση λαμβάνεται, κατόπιν, ως αποτέλεσμα επαλληλίας. 33

34 Παρατηρήσεις Παρατήρηση 2 34

35 Παρατήρηση 2-1 Αν, αντί περιοδικής, έχουμε ως είσοδο οποιαδήποτε συνάρτηση f(t); Έστω μια συνάρτηση εισόδου όχι απαραίτητα περιοδική. Όπως στο μετασχηματισμό Fourier που αναλύει την περιοδική συνάρτηση εισόδου συχνότητας ω σε βασικά ημιτονοειδή με συχνότητες ω, 2ω, χρησιμοποιούμε μετασχηματισμό Laplace για την f(t): L[f(t)]=F(s)= 0 ff tt ee ss tt dddd Όπου τώρα αντί για ω t s t με s=σ+j ω μιγαδικό αριθμό. 35

36 Παρατήρηση 2-2 Παρατηρήσατε την ομοιότητα της έκφρασης του μετ/μού Laplace με αυτόν του Fourier; Πριν με Fourier Βάση: ee jj ωω tt = cos ωω tt + jj sin(ωω tt) Τώρα με Laplace Βάση: ee ss tt = ee (σσ+jj ωω) tt =ee σσ tt (cos ωω tt + jj ssssss ωω tt ) 36

37 Παρατήρηση 2-3 Παρατηρήσατε την ομοιότητα της έκφρασης του μετ/μού Laplace με αυτόν του Fourier; Πριν με Fourier Βάση: ee jj ωω tt = cos ωω tt + jj sin(ωω tt) ω t Βάση: Τώρα με Laplace ee ss tt = ee (σσ+jj ωω) tt =ee σσ tt (cos ωω tt + jj ssssss ωω tt ) e -σ t σ>0 ω t 37

38 Παρατήρηση 2-4 Για να επανέρθουμε στο επίπεδο του χρόνου: Αντίστροφος Laplace: L 1 FF ss = ff tt = 1 σσ+jjωω 2ππ FF(ss) eessss dddd σσ jjωω Γενικά όμως έχουμε ΠΙΝΑΚΕΣ που δίνουν τη μετάβαση f(t) F(s) Για πολλές βασικές και χρήσιμες συναρτήσεις. 38

39 Μετασχηματισμος Laplace Ιδιότητες Μετασχηματισμού 39

40 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace 40

41 Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμοί Laplace βασικών Συναρτήσεων 41

42 Μετασχηματισμοί Laplace βασικών Συναρτήσεων 42

43 Συμπεράσματα 43

44 Συμπεράσματα - 1 Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για συνάρτηση εισόδου γενικής μορφής και υπολογίζεται είτε από το ολοκλήρωμα (σπάνια) είτε από τους ΠΙΝΑΚΕΣ μετατροπών (συχνότατα). 44

45 Συμπεράσματα - 2 Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για συνάρτηση εισόδου γενικής μορφής και υπολογίζεται είτε από το ολοκλήρωμα (σπάνια) είτε από τους ΠΙΝΑΚΕΣ μετατροπών (συχνότατα). Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace παρατηρούμε ότι οι παράγωγοι k-τάξης σήματος x(t) σε μια γραμμική Δ.Ε. μετατρέπονται σε s k X(s) για μηδενικές αρχικές συνθήκες όπου Χ(s) το σήμα στο πεδίο Laplace. Ακριβώς όπως για ημιτονοειδή διέγερση, όπου η παράγωγος ddkk ddtt kk xx tt jj ωω kk xx(jjωω) 45

46 Συμπεράσματα - 3 Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για συνάρτηση εισόδου γενικής μορφής και υπολογίζεται είτε από το ολοκλήρωμα (σπάνια) είτε από τους ΠΙΝΑΚΕΣ μετατροπών (συχνότατα). Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace παρατηρούμε ότι οι παράγωγοι k-τάξης σήματος x(t) σε μια γραμμική Δ.Ε. μετατρέπονται σε s k X(s) για μηδενικές αρχικές συνθήκες όπου Χ(s) το σήμα στο πεδίο Laplace. Ακριβώς όπως για ημιτονοειδή διέγερση, όπου η παράγωγος ddkk ddtt kk xx tt jj ωω kk xx(jjωω) Άρα με χρήση μετασχηματισμού Laplace μια Δ.Ε. γίνεται αλγεβρική σχέση (στο πεδίο Laplace), όπως ακριβώς συμβαίνει όταν χρησιμοποιούμε την περιγραφή Χ(jω) για το x(t) στην περίπτωση περιοδικών συναρτήσεων. 46

47 Εφαρμογή σε Ηλεκτρικά Κυκλώματα - 1 Ηλεκτρικό Στοιχείο G με είσοδο ρεύμα ii(tt) L II(ss) GG RR => UU RR tt = RR ii(tt) L UU RR ss = RR II(ss) GG LL => UU LL tt = LL dd dddd ii tt L UULL ss = LL ss II ss, για ii 0 = 0 GG CC => UU CC tt = 1 CC iiiiii => UU CC ss = 1 CC SS II ss, για ii 0 = 0 47

48 Εφαρμογή σε Ηλεκτρικά Κυκλώματα - 2 Ηλεκτρικό Στοιχείο G με είσοδο ρεύμα ii(tt) L II(ss) GG RR => UU RR tt = RR ii(tt) L UU RR ss = RR II(ss) GG LL => UU LL tt = LL dd dddd ii tt L UULL ss = LL ss II ss, για ii 0 = 0 GG CC => UU CC tt = 1 CC iiiiii => UU CC ss = 1 CC ss και για το κύκλωμα RL II ss, για ii 0 = 0 R i(t)+l dd ii tt = ee(tt)=> R I(s)+L s I(s)=E(s) dddd =>I(s)= 1 RR+ss LL EE(ss) => i(t)= L-1 [I(s)] Συγκρίνατε με την αντίστοιχη σχέση για ημιτονοειδή e(t) 48

49 Τέλος Ενότητας