Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας
|
|
- Αἰκατερίνη Αγγελίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας
2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
3 Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας 1. Μοντελοποίηση Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Επιλογή βαθμών ελευθερίας 2. Υπολογισμός κινηματικών παραμέτρων Θέσεις & διευθύνσεις Γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες 3. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων 3
4 I) Μοντελοποίηση 4
5 Μοντελοποίηση Συστημάτων με Πολλούς Β.Ε. Το ίδιο σύστημα μπορεί να περιγραφεί με πολλά μοντέλα Συνήθως επιλέγεται το πιο απλό μοντέλο που μπορεί να περιέχει/περιγράψει την αναγκαία πληροφορία Ν=1 Ν=2 Ν=4 5
6 Μοντελοποίηση 1. Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Αδράνεια, δυσκαμψία, απόσβεση, εξωτερικές δυνάμεις 2. Επιλογή βαθμών ελευθερίας qq Περιγράφουν πλήρως την κινηματική του συστήματος Στρατηγική επιλογή Αναγνώριση και απαληφή περιορισμών 6
7 II) Κινηματική 7
8 Κινηματική 1. Υπολογισμός συντεταγμένων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των Β.Ε. qq Σημειακή μάζα Θέση rr (qq) Στερεό σώμα (2D κίνηση) Κέντρο βάρους rr GG (qq), Διεύθυνση θθ qq Ελατήρια/αποσβεστήρες Σχετική θέση δδrr (qq) των δύο ακροδεκτών κάθε στοιχείου Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές Θέση rr FF (qq) όπου ασκείται η εξωτερική δύναμη FF Διεύθυνση θθ TTTT qq του σώματος όπου ασκείται η ροπή TT 8
9 Κινηματική 2. Υπολογισμός των γραμμικών/γωνιακών ταχυτήτων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των qq και qq Η ταχύτητα uu (qq, qq ) της θέσης rr (qq) μπορεί να γραφεί μέσω ενός Ιακωβιανoύ πινάκων JJ (qq): uu = ddrr (qq) dddd = JJ (qq) qq όπου JJ qq = ddrr (qq) ddqq Ιακωβιανός πίνακας της θέσης rr (qq) ως προς τους Β.Ε. qq 9
10 Κινηματική 2. Ιακωβιανοί πίνακες ενδιαφέροντος Ταχύτητα θέσης i: uu = ddrr dddd = JJ (qq) qq Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 3 διαστάσεις: Γωνιακή ταχύτητα ωω δεν είναι παράγωγος κάποιας γωνίας! ωω = JJ ω (qq) qq Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 2 διαστάσεις: ωω = θθ = JJ θ (qq) qq 10
11 Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m 1 uu 1 cc m 2 uu 2 Επιλογή 1 Επιλογή 2 δδrr cc = xx 1 xx 2 ff cc = cc uu 1 uu 2 = cc xx 1 xx 2 δδrr cc = xx 2 xx 1 ff cc = cc uu 2 uu 1 = cc xx 2 xx 1 m 1 ff cc ff cc ff cc ff cc ff cc ff m m cc cc cc ff cc ff cc m 2 11
12 III) Μέθοδος Lagrange 12
13 Μέθοδος Lagrange (κλασσική) Η δυναμική εξίσωση για τον j-οστό Β.Ε. προκύπτει ως: dd dddd TT qq, qq qq jj TT qq, qq qq jj + VV qq qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN TT(qq, qq ) VV qq Κινητική ενέργεια συστήματος Δυναμική ενέργεια συστήματος γενικευμένη δύναμη Β.Ε. j NN FFFFFFFFFF ξξ jj = ( rr FF ) TT FF qq jj =1 NN TTTTTTTTTTTT + ( ωω ) TT ΤΤ qq jj =1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού JJ F (qq) της θέσης rr FF (qq) όπου ασκείται η δύναμη FF ως προς τους Β.Ε. qq j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα JJ ωω (qq) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή ΤΤ 13
14 Μέθοδος Lagrange: Μεθοδολογία dd dddd TT qq, qq qq jj TT qq, qq qq jj + VV qq qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN 1. Υπολογισμός κινητικής ενεργείας TT qq, qq, δυναμικής ενέργειας V qq, και Ιακωβιανών JJ (qq) για τις εξωτερικές δυνάμεις Με βάση τη κινητική/κινηματική του συστήματος 2. Για κάθε βαθμό ελευθερίας qq jj : 1. Πρώτος όρος: παραγώγηση TT qq, qq ως προς qq jj. Παραγώγηση αποτελέσματος ως προς χρόνο t. 2. Δεύτερος όρος: παραγώγηση TT qq, qq ως προς qq jj. 3. Τρίτος όρος: παραγώγηση V qq ως προς qq jj. 4. Τέταρτος όρος: άθροισμα εσωτερικών γινόμένων των j-ιοστών στήλων των Ιακωβιανών JJ FF (qq) με τις FF και των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών JJ ωωi (qq) με τις ΤΤ. 14
15 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή) Αντί παραγώγισης ως προς κάθε Β.Ε. qq jj ξεχωριστά, παραγώγιση ως προς το διάνυσμα qq των Β.Ε. dd dddd TT qq TT qq + qq = ξξ dd dddd dd dddd TT qq 1 TT qq Ν TT qq 1 TT qq Ν VV qq 1 VV qq Ν ξξ 1 ξξ NN Δυνάμεις αδράνειας Μη γραμμικές δυνάμεις Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Δυνάμεις απόσβεσης Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές 15
16 Κινητική Ενέργεια Η κινητική ενέργεια Τ qq, qq ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών Τ qq, qq όλων των στοιχείων αδράνειας Τ qq, qq = Τ(qq, qq ) Κινητική ενέργεια i-ιοστού στοιχείου αδράνειας (3D): Τ = 1 2 mm TT uu GG uugg + ωω TT II ωω = = 1 2 qq TT mm TT JJ GG JJGG TT + JJ ωω II JJ ωω qq Σε 2D κίνηση: ΜΜ qq Τ = 1 2 qq TT mm TT JJ GG JJGG + II TT JJ θθ JJθθ qq 16
17 Μητρώο Μάζας Η κινητική ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως Τ qq, qq = 1 2 qq TT ΜΜ(qq) qq ο συμμετρικός θετικά ορισμένος Ν Ν πίνακας ΜΜ(qq) είναι το μητρώο μάζας και υπολογίζεται αναλυτικά ως: Τ qq, qq = Τ = 1 2 qq TT { mm TT JJ GG JJGG + TT JJ TT II JJ TT } Μητρώο μάζας ΜΜ(qq) ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων μάζας MM(qq) κάθε στοιχείου αδράνειας qq ΜΜ qq ΜΜ qq = MM(qq) MM(qq) = mm TT JJ GG JJGG TT + JJ TT II JJ TT 17
18 Δυναμική Ενέργεια Η Δυναμική ενέργεια VV qq ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών V qq όλων των στοιχείων ελαστικότητας/δυσκαμψίας VV qq = VV llllllllllll qq +VV gggggggggggggg qq Δυναμική ενέργεια λόγω γραμμικών ελατηρίων VV llllllllllll qq = { VVllllllllllll(qq)} Δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας VV gggggggggggggg qq = { VVgggggggggggggg(qq)} VV llllllllllll (qq) = 1 2 ( kk TT δδrr kk δδrr kk ) VVgggggggggggggg (qq) = mm gg zz (qq) 18
19 Μητρώο Ελαστικότητας Η δυναμική ενέργεια V llllllllllll (qq) λόγω γραμμικών ελατηρίων συνήθως μπορεί να γραφεί ως: ο συμμετρικός θετικά ημιορισμένος Ν Ν πίνακας KK είναι το μητρώο ελαστικότητας και υπολογίζεται ως εξής: VV llllllllllll qq = Vllllllllllll VV llllllllllll qq = 1 2 qqtt KK qq = 1 2 kk TT δδrr kk δδrr kk = 1 2 qqtt kk Μητρώο ΚΚ ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων ελαστικότητας ΚΚ γραμμικών στοιχείων ελαστικότητας TT JJ δr JJ δδrr ΚΚ qq KK = KK KK = kk TT JJ δr JJ δδrr 19
20 Γενικευμένες Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας λόγω δυναμικής ενέργειας βαρύτητας V gggggggggggggg (qq): ξξ gggggggggggggg = VV gggggggggggggg qq qq Ισούται με άθροισμα γενικευμένων δυνάμεων σε κάθε στοιχείου μάζας ξξ gggggggggggggg = VVgggggggggggggg qq qq = ξξgggggggggggggg ξξ gggggggggggggg = mm gg zz qq qq = mm TT gg JJ zz Ιακωβιανός πίνακας της z συντεταγμένης του Κ.Β. της μάζας i ως προς τους Β.Ε. qq 20
21 Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων/ροπών: NN FFFFFFFFFF ξξ = JJ FF TT FF =1 NN TTTTTTTTTTTT + JJ ωω, TT ΤΤ =1 Ιακωβιανός πίνακας της θέσης rr F όπου ασκείται η δύναμη FF Ιακωβιανός πίνακας της γωνιακής ταχύτητας του σώματος όπου ασκείται η ροπή ΤΤ Στην ειδική περίπτωση εξωτερικών δυνάμεων που αντιστοιχούν σε γραμμικά στοιχεία αποσβεσης, οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις υπολογίζονται μέσω του μητρώου απόσβωσης 21
22 Δυνάμεις Απόσβεσης Δύναμη σε γραμμικό αποσβεστήρα uu 1 uu 2 uu 1 uu 2 m 1 m 2 m 1 ff cc ff cc m 2 cc ff cc = cc uu 1 uu 2 cc = cc δδrrcc = cc JJ δδrr (qq) qq Αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις ξξ cc = JJ TT 1 ( ff cc ) + JJ TT 2 ff cc = (JJ TT 1 JJ TT cc 2 ) cc JJ δδrr (qq) qq cc ξξ cc = JJ δδrr (qq) TT cc cc JJ δδrr (qq) qq 22
23 Μητρώο Απόσβεσης Γενικευμένες δυνάμεις λόγω γραμμικών αποσβεστήρων: ξξ dddddddd qq, qq = ξξ cc όπου ο συμμετρικός Ν Ν πίνακας CC(qq) είναι το μητρώο απόσβεσης Ν dddddddd CC qq = CC(qq) =1 Ν dddddddd =1 Ν dddddddd = { JJ δrr =1 = CC(qq) qq TT cc JJ δrr } Το μητρώο απόσβεσης CC ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων απόσβεσης CC κάθε γραμμικού στοιχείου απόσβεσης 23
24 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) dd dddd TT qq TT qq + qq = ξξ dd dddd TT qq = dd dddd ΜΜ qq qq = ΜΜ qq qq + dd dddd ΜΜ qq qq TT qq = 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) 2 qq VV qq qq = VV llllllllllll qq qq + VV gggggggggggggg qq qq = KK qq ξξ gggggggggggggg NN FFFFFFFFFF ξξ = CC qq + JJ TT FF =1 NN TTTTTTTTTTTT + JJ TT, TT ΤΤ =1 24
25 Μη Γραμμικές Δυνάμεις Πρώτος και ο δεύτερος όρος συνεισφέρουν μη γραμμικές αδρανειακές δυνάμεις (φυγοκεντικές, Coriolis) ξξ nnnnnnnnnnnn qq, qq ddμμ qq = dddd qq + 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) 2 qq όπου ddμμ qq dddd 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) 2 qq qq = ( NN JJ=1 { MM qq qq jj }) qq jj = 1 2 qq TT ΜΜ qq 1 qq 1 2 qq TT ΜΜ qq NN qq TT ΜΜ qq jj = Μ 11 qq Μ 1NN qq qq jj qq jj Μ NN1 qq Μ NNNN qq qq jj qq jj 25
26 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) Συνολικά (Ν βαθμοί ελευθερίας) NN FFFFFFFFFF ΜΜ qq qq + CC qq qq + KK qq = ξξ ggggggvv + ξξ nnnnnnnnnnnn + JJ TT FF =1 NN TTTTTTTTTTTT + JJ TT, TT ΤΤ =1 Δυνάμεις αδράνειας Δυνάμεις απόσβεσης Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Μη γραμμικές δυνάμεις Εξωτερικές δυνάμεις Εξωτερικές ροπές Στην περίπτωση συστήματος 1 Β.Ε. η αντίστοιχη δυναμική εξίσωση είναι: mm xx + cc xx + kk xx = mmmm + ff tt 26
27 Παράδειγμα 1: Ταλαντώσεις στο φορτίο γερανογέφυρας λόγω της κίνησης της γερανογέφυρας 27
28 Παράδειγμα 1: Μοντελοποίηση Πλάγια όψη xx F(tt) g Μ cc cc TT θθ L m qq = xx θθ 28
29 Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος MM = Θέση x Κ.Β. 0 Τ μάζας Μ rr GG mm rr GG = Θέση xx + Κ.Β. LL ssμάζας θθ LL m cc Τ θθ cc TT L mm = z συντεταγμένη xx + LL ss θθ LL θέσης cc Τ θθ Κ.Β. μάζας m zz GG δδrr cc = Σχετική xx θέση ακροδεκτών c 1 δθ cccc = Σχετική 2 θθ ccτ γωνία θθ ccτ ακροδεκτών = θθ c Τ rr FF = Θέση xx όπου ασκείται η δύναμη F 0 Τ ZZ xx F(tt) g Μ cc XX θθ m qq = xx θθ 29
30 Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας MM rr GG = x 0 Τ mm rr GG = xx + LL ss θθ LL cc Τ θθ mm zz GG = LL cc θθ δδrr cc = xx δθ cccc = 2 θθ ccτ 1 θθ ccτ = θθ ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m qq = xx θθ rr FF = xx 0 Τ ss θθ sin (θθ) cc θθ cos (θθ) 30
31 Παράδειγμα 1: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος MM JJ GG = mm JJ GG = 1 LL cc θθ 0 LL ss θθ mm JJ zz = 0 LL ss θθ ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m cc JJ δδrr = 1 0 cccc = 0 1 JJ δδθ JJ FF = qq = xx θθ 31
32 Παράδειγμα 1: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων MMMM qq = Μ ΜJJ TT GG Μ JJ GG = MM 0 0 ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT L g XX mm MM qq = m mjj TT GG m JJ GG = mm 1 LL cc θθ LL 2 θθ m Μητρώο αδράνειας συστήματος qq = xx θθ MM qq = mm MM qq + MM MM qq = MM + mm mm LL cc θθ mm LL 2 32
33 Παράδειγμα 1: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων ZZ xx F(tt) Μ g Το σύστημα δεν έχει γραμμικά στοιχεία ελαστικότητας! cc cc TT L XX Μητρώοελαστικότητας συστήματος θθ m KK = 00 qq = xx θθ 33
34 Παράδειγμα 1: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας mmξξ gggggggggggggg = mm gg mmjj TT zz = mm gg 0 LL ss θθ Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m ξξ gggggggggggggg = mmξξ gggggggggggggg = 0 mm gg LL ss θθ qq = xx θθ 34
35 Παράδειγμα 1: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων cc CC = ccjj TT δrr cc cc JJ δrr = cc cccc CC = cccc TT JJ δrr cctt cccc JJ δrr = cc TT ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m Μητρώο απόσβεσης συστήματος qq = xx θθ CC = cc CC + cccc CC = cc 0 0 cc TT 35
36 Παράδειγμα 1: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές Γενικευμένες δυνάμεις λόγω εξωτερικών δυνάμεων/ροπών ZZ xx F(tt) Μ g ξξ = MMJJ TT F FF = FF 0 = FF 0 cc cc TT θθ L m XX H F ασκείται κατά τον άξονα x qq = xx θθ 36
37 Παράδειγμα 1: Μη γραμμικές δυνάμεις MM qq = MM + mm mm LL cc θθ mm LL 2 ZZ xx F(tt) Μ g cc cc TT θθ XX L m ddμμ qq ξξ nnnnnnnnnnnn qq, qq = dddd = mm LL ss 2 θθ θθ 0 qq qq TT ΜΜ qq qq qq qq = xx θθ 37
38 Παράδειγμα 1: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: ZZ xx F(tt) g Ροπή αδράνειας μάζας m σε απόσταση L MM + mm mm LL cc θθ xx mm LL 2 θθ = + cc 0 cc TT xx θθ 0 mm gg LL ss θθ + mm LL ss θθ θθ FF(tt) 0 cc cc TT Μ XX L θθ m qq = xx θθ Δύναμη επαναφοράς εκκρεμούς 38
39 Παράδειγμα 2: Ταλάντωση στην κεφαλή σκληρού δίσκου 39
40 Παράδειγμα 2: Μοντελοποίηση κάτοψη TT(tt) II L k θθ δδ cc TT qq = θθ δδ Η ελαστικότητα στην κεφαλή (μάζα m, μήκος L) μοντελοποιείται σαν καμπτικό ελατήριο k. Η μάζα της κεφαλής μοντελοποιείται ως δύο σημειακές μάζας m/2. Η πρώτη βρίσκεται επί τον άξονα περιστροφής και συνεισφέρει στην αδράνεια Ι επί του άξονα περιστροφής. Η δεύτερη σημειακή μάζα θεωρείται ότι βρίσκεται σε απόσταση L από τον άξονα. Η στροφική απόκριση c T είναι λόγω τριβών κατά την περιστροφή του άξονα. Η εξωτερική ροπή T(t) ασκείται από τον κινητήρα που ελέγχει την κεφαλή 40
41 Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος II θθ = Διεύθυνση θθ αδράνειας Ι mm rr GG = LL cc θθ δδ ss θθ Θέση Κ.Β. μάζας m LL ss θθ + δδ cc θθ TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ δδrr kk = Σχετική δδ θέση ακροδεκτών k δθ cccc = 2 1 Σχετική θθ ccτ γωνία θθ ccτ ακροδεκτών = θθ c Τ θθ Τ = Διεύθυνση θθ στερεού σώματος (αδράνειας Ι) όπου ασκείται η ροπή Τ 41
42 Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας Ι θθ = θθ mm rr GG = LL cc θθ δδ ss θθ LL ss θθ + δδ cc θθ TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ δδrr kk = δδ δθ 2 1 cccc = θθ ccτ θθ ccτ = θθ θθ Τ = θθ ss θθ sin (θθ) cc θθ cos (θθ) 42
43 Παράδειγμα 2: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος II JJ θ = 1 0 TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ mm JJ GG = LL ss θθ δ cc θθ ss θθ LL cc θθ δ ss θθ cc θθ kk JJ δr = 0 1 cccc JJ δθ = 1 0 JJ TT =
44 Παράδειγμα 2: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων ΙMM qq = Ι Ι TT JJ θ Ι JJθθ = II 0 0 mm MM qq = m mjj TT GG m JJ GG = mm LL2 + δδ 2 LL 1 TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Μητρώο αδράνειας συστήματος MM qq = mm MM qq + Ι MM qq = Ι + mm (LL2 + δδ 2 ) mm LL m 44
45 Παράδειγμα 2: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων kk KK = kk kk TT JJ δr kk JJ δδrr = 0 0 kk TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Μητρώο ελαστικότητας συστήματος KK = kk KK = 0 0 kk 45
46 Παράδειγμα 2: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας Στο σύστημα η βαρύτητα δεν επιδρά στις δυναμικές εξισώσεις επειδή καμία μάζα δεν κινείται κατά τον άξονα της βαρύτητας z TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος ξξ gggggggggggggg = 00 46
47 Παράδειγμα 2: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων cccc CC = cccc TT JJ δrr cctt cccc JJ δrr = cc TT TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Μητρώο απόσβεσης συστήματος CC = cccc CC = cc TT
48 Παράδειγμα 2: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές II TT 1 ξξ = JJ θ Τ = 0 Τ = Τ 0 TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ 48
49 Παράδειγμα 2: Μη γραμμικές δυνάμεις MM qq = Ι + mm (LL2 + δδ 2 ) mm LL m TT(tt) YY II cc TT L k θθ δδ XX qq = θθ δδ ddμμ qq ξξ nnnnnnnnnnnn qq, qq = qq + 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) dddd 2 qq = 2 μμ δδ θθ δδ mm δδ θθ 2 49
50 Παράδειγμα 2: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Ι + mm (LL 2 + δδ 2 ) θθ kk δδ mm LL m θθ δδ + cc TT 0 0 = 2 mm δδ θθ δδ mm δδ θθ 2 θθ δδ + TT(tt) 0 50
51 Παράρτημα 51
52 Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Παράγωγος ενός NN 1 διανύσματος rr ως προς MM 1 διάνυσμα qq είναι ο NN MM πίνακας JJ (Ιακωβιανός) Τα στοιχεία του rr είναι συνάρτηση του qq Το στοιχείο JJ(, jj) είναι η μερική παράγωγος του i-οστού στοιχείου του rr ως προς το j-οστό στοιχείο του qq rr qq = rr 1 qq ff NN qq rr 1 (qq) qq 1 rr 1 (qq) qq MM qq = qq 1 qq MM JJ = ddrr(qq) ddqq = rr NN (qq) qq 1 rr (qq) qq jj rr NN (qq) qq MM 52
53 Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Στην δυναμική μηχανικών συστημάτων: rr είναι η θέση rr ενός σημείου ενδιαφέροντος i και qq είναι οι Β.Ε. Η αντίστοιχη ταχύτητα rr μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του qq με μέσω του JJ (κανόνας αλυσίδας) uu = rr = ddrr (qq) dddd = rr (qq) qq ddqq dddd = JJ (qq) qq O Ιακωβιανός πίνακας JJ (qq) περιγράφει πως η ταχύτητα rr της θέσης i εξαρτάται από την χρονική μεταβολή των Β.Ε. qq. 53
54 Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων του καθ. Ιωάννη
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών
Διαβάστε περισσότεραΠροσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Αρμονική Διέγερση
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓενικευμένες συντεταγμένες
Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 9: Στροφορμή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 9: Στροφορμή Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια της στροφορμής Διαφοροποίηση υλικού σημείου από στερεό σώμα Εναλλακτικοί
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική
Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα
Διαβάστε περισσότεραυναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων
υναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η υναµική u Ροµποτική υναµική q, q& Ροµποτική Κινηµατική Περιβάλλον Θέση, Προσανατολισµός & και αλληλε ίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΦυσική IΙ. Ενότητα 5: Ηλεκτρικό δυναμικό στις 3 διαστάσεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική IΙ Ενότητα 5: Ηλεκτρικό δυναμικό στις 3 διαστάσεις Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ορισμός και ερμηνεία του ηλεκτρικού δυναμικού στις 3 διαστάσεις μέσω:
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Επανάληψη θεωρίας διανυσμάτων Εξοικείωση με τη χρήση τους στην περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος
Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή
Διαβάστε περισσότερα3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ
3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α. β Α. γ Α3. γ Α4. γ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α5. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. β. Άπο τη
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 5: Ορμή Ώθηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 5: Ορμή Ώθηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση της έννοιας της ορμής και της μεταβολής της Κατανόηση της έννοιας της ώθησης Σύνδεση
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 3: Μηχανικές δυνάμεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 3: Μηχανικές δυνάμεις Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Περιγραφή και παρουσίαση μηχανικών δυνάμεων Βαρύτητα Τριβή (στατική και ολίσθησης) Τάση
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση
Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55
ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 8 : Περιστροφική κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 8 : Περιστροφική κίνηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή και ερμηνεία της περιστροφής στερεού και των σχετιζόμενων μεγεθών Ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 11: Ταλαντώσεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 11: Ταλαντώσεις Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή και ερμηνεία των ταλαντώσεων Διαφορική εξίσωση κι η λύση της στην περίπτωση του απλού
Διαβάστε περισσότεραΤο ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.
1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος
Διαβάστε περισσότεραΠάμε Ολυμπιάδα Φυσικής!
Πάμε Ολυμπιάδα Φυσικής! Α ΤΕΥΧΟΣ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Δάτης Καλάλη Επιμέλεια: Στυλιανός Φωτιάδης 1 Πρόλογος Η Φυσική, μία από τις παλαιότερες επιστήμες που υπάρχουν σήμερα, η ιστορία της οποίας ξεκίνησε
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Θέματα Εξετάσεων Ασκήσεις στο Mάθημα: "ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Ι: ΑΝΑΛΥΣΗ, ΕΛΕΓΧΟΣ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ" 1 η Σειρά Θεμάτων Θέμα 1-1 Έστω ρομποτικός
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
Διαβάστε περισσότεραΦυσική IΙ. Ενότητα 1: Ηλεκτρικό φορτίο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική IΙ Ενότητα 1: Ηλεκτρικό φορτίο Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις έννοιες του φορτίου και της φόρτισης Θετικοί και αρνητικοί φορείς φορτίου.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότερα9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.
9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control)
Διαβάστε περισσότεραΣερβοκινητήρες πρόωσης σε συστήματα CNC
Σερβοκινητήρες πρόωσης σε συστήματα CNC τύπος DC μόνιμου μαγνήτη επίδραση ανάδρασης ταχογεννήτρια Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Σερβοκινητήρες πρόωσης σε συστήματα CNC Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης
Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ανάλυση σύνθετων κινήσεων (υλικών σημείων και σωμάτων) σε μεταφορική και περιστροφική Ορισμός
Διαβάστε περισσότεραp& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,
Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική IΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικό πεδίο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική IΙ Ενότητα 2: Ηλεκτρικό πεδίο Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια του ηλεκτρικού πεδίου Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένης πηγής Ορισμός έντασης
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση και ορισμός της έννοιας του έργου Κατανόηση της κινητικής ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 21 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών
Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 4: Μέθοδος Μικρών Μεταβολών Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΈνα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο
Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc) ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΣΕ60 Ακαδημαϊκό Έτος: 207-208 η Γραπτή Εργασία Επιβλέπων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις
Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΦυσική IΙ. Ενότητα 8: Μαγνητισμός. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική IΙ Ενότητα 8: Μαγνητισμός Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εξοικείωση με τις έννοιες του μαγνητισμού και του μαγνητικού πεδίου Κινούμενο φορτίο σε μαγνητικό
Διαβάστε περισσότερα3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική
3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική Στη δυναµική µας απασχολούν δύο ειδών προβλήµατα, το ευθύ δυναµικό πρόβληµα και το αντίστροφο δυναµικό πρόβληµα. Το αντίστροφο πρόβληµα αφορά στον προσδιορισµό των ροπών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 12&13: ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠρέσσες εκκέντρου. Κινηματική Δυνάμεις Έργο Εφαρμογές. Πρέσσες εκκέντρου. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ
Πρέσσες εκκέντρου Κινηματική Δυνάμεις Έργο Εφαρμογές Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Πρέσσες εκκέντρου Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin
Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΦυσική IΙ. Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική IΙ Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια της μαγνητικής ροής και ορισμός του μαθηματικού τύπου της
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΦυσική IΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική IΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ορισμός της ηλεκτρική δυναμικής ενέργειας. Σύγκριση με τη βαρυτική ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου
Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Αλληλεπίδρασης με το. Έλεγχος «Συμμόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Compliance Control)
Έλεγχος Αλληλεπίδρασης με το Περιβάλλον Έλεγχος «Συμμόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Compliance Control) Έλεγχος Εμπέδησης (Impeance Control) Αλληλεπίδραση με το περιβάλλον Η αλληλεπίδραση με το περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Οι βασικές έννοιες Η ταλαντωτική κίνηση είναι κίνηση που επαναλαμβάνεται στον χρόνο. Οι ταλαντώσεις ενός η περισσοτέρων μερών μιας μηχανής η ενός μηχανισμού
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 08 Δυναμική περιστροφικής κίνησης Ροπή Ροπή Αδρανείας ΦΥΣ102 1 Περιστροφική κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ 8. Μελέτη Ροπής Αδρανείας Στερεών Σωµάτων
ΠΕΙΡΑΜΑ 8 Μελέτη Ροπής Αδρανείας Στερεών Σωµάτων Σκοπός του πειράµατος Σκοπός του πειράµατος είναι η µελέτη της ροπής αδρανείας διαφόρων στερεών σωµάτων και των στροφικών ταλαντώσεων που εκτελούν γύρω
Διαβάστε περισσότεραΠρέσσες κοχλία. Κινηματική Δυνάμεις Έργο. Πρέσσες κοχλία. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ
Πρέσσες κοχλία Κινηματική Δυνάμεις Έργο Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Πρέσσες κοχλία Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο του Έργου των Ανοικτών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική εργαλειομηχανών
Δυναμική εργαλειομηχανών Θεωρία μηχανικών ταλαντώσεων Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Παραδείγματα στο φρεζάρισμα Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου
A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική του στερεού σώματος
Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:
ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 7: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 7: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης
Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 8: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 8: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι
Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Ι. Ενότητα 4: Νόμοι του Νεύτωνα. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Φυσική Ι Ενότητα 4: Νόμοι του Νεύτωνα Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Επανάληψη των 3 ων Νόμων του Νεύτωνα Αποσαφήνιση και ανάλυση των 3 Νόμων του Νεύτωνα Μελέτη
Διαβάστε περισσότερα