ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Μαθήµατα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως είναι Εγκάρσιο Κύµα! Αυτό που πραγµατικά βλέπουµε µε τα µάτια µας ή ανιχνεύουµε µε αισθητήρες δεν είναι το φως, ως µια ηλεκτροµαγνητική διαταραχή υψηλής συχνότητας ή ως µια οµοβροντία από φωτόνια, αλλά είναι το αποτέλεσµα που προκύπτει όταν φως µε συγκεκριµένο χρώµα -είδος, ενέργεια φωτονίων- και συγκεκριµένη φωτεινή ένταση πλήθος φωτονίων- αλληλεπιδράσει µε το αισθητήριο όργανο. Έχουµε αναρωτηθεί ποτέ αν είχαµε µια διαφορετική ικανότητα να δούµε το φως πώς θα το βλέπαµε καθώς διαδίδεται; Τι είναι πράγµατι το φως; Στη Γεωµετρική Οπτική δεν χρειάζεται να αποφασίσουµε αν το φως είναι σωµατίδιο ή κύµα γιατί και οι δύο θεωρήσεις δίνουν τις ίδιες απαντήσεις. Σε άλλα φαινόµενα, όπως τη Συµβολή και την Περίθλαση, η κυµατική θεώρηση επικρατεί, ενώ σε άλλα, όπως αυτά που σχετίζονται µε το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, είναι η φωτονική φύση του φωτός που δίνει τις σωστές απαντήσεις. Η Πόλωση µπορεί να περιγραφεί είτε µε την κυµατική είτε µε τη φωτονική φύση του φωτός. Πιο συγκεκριµένα, το φωτεινό κύµα θεωρείται ότι αποτελείται από εγκάρσιες διαταραχές των ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων, είναι ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα δηλαδή, και η πόλωση καθορίζεται από τη σταθερότητα ή µη του προσανατολισµού του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου. Σε σχέση µε τη φωτονική θεώρηση, η Πόλωση σχετίζεται µε τη σταθερότητα ή µη της ιδιοστροφορµής (spin) της φωτονικής κατάστασης. Ωστόσο, έχει επικρατήσει η ανάλυση να γίνεται µε βάση την εικόνα του διανυσµατικού ηλεκτροµαγνητικού πεδίου, και αυτή θα ακολουθήσουµε στην ανάλυσή µας. Τα φαινόµενα που σχετίζονται µε την πόλωση επηρεάζουν άµεσα µια µεγάλη ποικιλία φαινοµένων που απλώνονται από το µπλε χρώµα του ουρανού, το σχηµατισµό της εικόνας σε µια οθόνη υγρών κρυστάλλων, µέχρι το φαινόµενο της διπλοθλαστικότητας σε ορισµένους ανισότροπους κρυστάλλους. Στο τέλος θα µάθουµε αν αξίζει να φοράµε πολωτικά γυαλιά ηλίου ή όχι. Το ανθρώπινο µάτι δεν έχει τη δυνατότητα, από µόνο του, να διακρίνει αν είναι το φως πολωµένο ή όχι, αντίθετα µε τα αισθητήρια όργανα όρασης κάποιων εντόµων, για τα οποία η φύση παρέχει µία άλλη τάξη χρωµάτων -η αντίληψη των χρωµάτων δεν είναι, ασφαλώς, ίδια για το καθένα ον-. Έτσι, επανερχόµενοι στο αρχικό ερώτηµα: Παρά το ότι το µάτι µας δεν µπορεί να δει το πεδίο, να παρακολουθήσει δηλαδή το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου, όπως ταλαντώνεται στο χρόνο και διαδίδεται στο χώρο, αν είχαµε µια ξεχωριστή ικανότητα να κινηµατογραφήσουµε το φωτεινό κύµα, πώς θα το βλέπαµε να εξελίσσεται;
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 3.1. Ο ιανυσµατικός Χαρακτήρας του Φωτός Το φως µπορεί να θεωρηθεί ως ένα εγκάρσιο ΗλεκτροΜαγνητικό κύµα. Ως κύµα θεωρούµε ( 1..) τη διάδοση µιας διαταραχής ενός φυσικού µεγέθους. Στο φως το διαταρασσόµενο φυσικό µέγεθος είναι τα -αµοιβαία εξαρτώµεναδιανυσµατικά πεδία, το ηλεκτρικό και το µαγνητικό. Η έννοια του εγκάρσιου σηµαίνει ότι τα διανύσµατα αυτά ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης έτσι, οι προβολές των διανυσµάτων Ε και Η κατά µήκος της διεύθυνσης διάδοσης είναι πάντα µηδενικές. Μια απλή κυµατική έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο είναι η : E = E cos 0 ( ω t k r + ϕ ) (3.1.1) Το κύµα είναι εγκάρσιο αν το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου E είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης r. Αντίστοιχη έκφραση υπάρχει για το µαγνητικό πεδίο H. Αυτό το επίπεδο αρµονικό κύµα είναι µη πεπερασµένο (δεν έχει αρχή ούτε τέλος), έχει κυκλική συχνότητα ω=π ν, αρχική φάση φ, και κυµατάνυσµα µε µέτρο που αντιστοιχεί στο αντίστροφο του µήκους κύµατός του (k =π/λ), και -για ισότροπο µέσο- διεύθυνση παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος (σχήµα 3-1-1). Η έκφραση (3.1.1) είναι µια βολική εξιδανίκευση: στην πραγµατικότητα κάθε φωτεινό κύµα, ένας φωτεινός παλµός, αποτελείται από άθροιση πολλών τέτοιων κυµάτων, µε διαφορετικές συχνότητες, φάσεις κλπ. Ωστόσο, αυτή η εξιδανίκευση µας επιτρέπει να µελετήσουµε τα χαρακτηριστικά πόλωσης του φωτός αν είναι δυνατό να προσδιορίσουµε τη διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου. Το ότι είναι εγκάρσιο το κύµα, αυτόµατα περιορίζει το επίπεδο που µπορεί να ταλαντώνεται το ηλεκτρικό πεδίο: το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου είναι πάντοτε κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Η ταλάντωσή του µπορεί να είναι σε οποιαδήποτε διεύθυνση, αρκεί να βρίσκεται σε επίπεδο που είναι κάθετο στο διεύθυνση διάδοσης. E H r E 0 r H 0 Σχήµα 3-1-1 : Απλό αρµονικό ηλεκτροµαγνητικό κύµα, ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο. Αντίστοιχος είναι και ο περιορισµός για το µαγνητικό πεδίο, όπου το διάνυσµά του είναι επίσης κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης και -επιπλέον- κάθετο στο ηλεκτρικό πεδίο. Με τη βοήθεια των θεµελιωδών εξισώσεων Ηλεκτροµαγνητισµού του Maxwell είναι δυνατόν, αν γνωρίζουµε τη χωρική και χρονική µεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου να βρούµε το µαγνητικό πεδίο και αντίστροφα. Μάλιστα από αυτές τις θεµελιώδεις εξισώσεις προκύπτει ότι αν µία από τις δύο συνιστώσες Σελίδα 3.
ΠΟΛΩΣΗ (Ηλεκτρικό ή Μαγνητικό πεδίο) έχει κυµατικό χαρακτήρα, τότε τον ίδιο ακριβώς χαρακτήρα θα έχει και η άλλη. Έτσι, σε ό,τι αφορά στις ιδιότητες πόλωσης, θα περιοριστούµε στο να περιγράψουµε µόνο το ηλεκτρικό πεδίο. Ασφαλώς, στα ίδια συµπεράσµατα θα καταλήγαµε αν περιγράφαµε µόνο το µαγνητικό πεδίο. Το αντίστροφο πρόβληµα τώρα: ποια θα είναι η κυµατική έκφραση µιας φωτεινής δέσµης που διαδίδεται στη διεύθυνση r; Υπάρχει ένας µη πεπερασµένος αριθµός εκφράσεων, αρκεί το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου για κάθε µία έκφραση να ταλαντώνεται σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Κάθε περιστροφή της έκφρασης όπως στο Σχ. 3-1-1 ως προς την κατεύθυνση διάδοσης είναι µια αποδεκτή λύση. Στο σχήµα 3-1- όλες οι εκφράσεις που απεικονίζονται (µε πλάτη Ε 01,... Ε 0Ν ) και κάθε γραµµικός τους συνδυασµός διαδίδονται ακριβώς όπως και το κύµα του Σχ. 3-1-1. Υπάρχουν δηλαδή άπειροι προσανατολισµοί του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου που είναι συµβατοί µε αυτή τη φωτεινή δέσµη. Το ηλεκτρικό πεδίο µπορεί να µεταβάλλεται µε το χρόνο µε εντελώς τυχαίο τρόπο, τόσο κατά µέτρο, όσο και κατά διεύθυνση, αλλά πρέπει αυτή η διεύθυνση ταλάντωσής του να βρίσκεται πάντοτε πάνω σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσής του. E 01 E 0N r Σχήµα 3-1- : Το ηλεκτρικό πεδίο ενός ΗΜ κύµατος που διαδίδεται στη διεύθυνση r έχει πολλούς πιθανούς προσανατολισµούς αλλά βρίσκεται πάντα σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Τέτοιο είναι φως που παίρνουµε από όλες σχεδόν τις συνηθισµένες φωτεινές πηγές όπως τον Ήλιο, τις λάµπες πυράκτωσης, ή φασµατικές λυχνίες. Το φως αυτό λέγεται φυσικό φως, ακόµα και αν προέρχεται από τεχνητές πηγές, όπως πηγές laser. Φυσικό φως : Φυσικό φως έχουµε όταν η διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου µεταβάλλεται τυχαία µε το χώρο και µε το χρόνο πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Ας φανταστούµε τη στιγµή που φως µε συγκεκριµένη διεύθυνση διάδοσης δηµιουργείται από κάποια πηγή. Όποιος και να είναι ο µηχανισµός εκποµπής (εκτός από πολύ συγκεκριµένες περιπτώσεις, π.χ. εξαναγκασµένη εκποµπή ακτινοβολίας σε laser, 7.), θα εκπεµφθεί ένας κυµατοπαλµός που, εκτός από µικρή χρονική διάρκεια, έχει τυχαίο προσανατολισµό του ηλεκτρικού του πεδίου και τυχαία αρχική φάση. Το φως της πηγής για µια µεγάλη σχετικά χρονική διάρκεια παρατήρησης θα Σελίδα 3.3
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ προέρχεται από πάρα πολλούς τέτοιους κυµατοσυρµούς. Έτσι, η διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου µπορεί να µεταβάλλεται µε τυχαίο τρόπο, πάντοτε όµως βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσής του. Αν ωστόσο έχουµε ένα τρόπο να περιορίσουµε τη διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου σε µία µόνο διεύθυνση, έτσι ώστε ο προσανατολισµός του να είναι σταθερός σε έναν άξονα σε όλα τα σηµεία του χώρου και σε κάθε χρονική στιγµή τότε το φωτεινό κύµα ονοµάζεται γραµµικά ή επίπεδα πολωµένο φως (linearly ή plane polarized light). Γραµµικά Πολωµένο φως : Γραµµικά Πολωµένο φως έχουµε όταν το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο ταλαντώνονται σε ένα µόνο ζεύγος κάθετων µεταξύ τους αξόνων που είναι κάθετοι στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος σε όλα τα σηµεία του χώρου και σε κάθε χρονική στιγµή. Το επίπεδο που ορίζουν οι διευθύνσεις των δύο διανυσµάτων k και E 0 ονοµάζεται επίπεδο πόλωσης του φωτός. Η γενική έκφραση του ηλεκτρικού πεδίου ενός γραµµικά πολωµένου φωτεινού κύµατος που διαδίδεται στη διεύθυνση z είναι : E= E xˆ + E yˆ cos ω t kz+ ϕ (3.1.) ( ox o oy o ) ( ) Το πλάτος του πεδίου είναι το σταθερό κατά διεύθυνση διάνυσµα ˆ ˆ, το οποίο σχηµατίζει µε τον άξονα x µια γωνία α : E = E x + E y 0 0x 0 0y 0 Eoy tan a = (3.1.3) E ox E o y E 0y a z x E 0x Σχήµα 3-1-3 : Ανάλυση γραµµικά πολωµένου φωτός σε δύο συνιστώσες κατά µήκος ορθογωνίων αξόνων. Κάθε γραµµικά πολωµένο κύµα µπορεί να αναλυθεί σε δύο γραµµικά πολωµένες συνιστώσες σε κατάλληλα επιλεγµένους ορθογώνιους άξονες, σύµφωνα µε τις σχέσεις (3.1.) και (3.1.3). Οι δύο αυτές συνιστώσες διαδίδονται κατά την ίδια διεύθυνση, έχουν ίδια συχνότητα και µήκος κύµατος µε το αρχικό κύµα, και σταθερή Σελίδα 3.4
ΠΟΛΩΣΗ διαφορά φάσης 0 ή ακέραιο πολλαπλάσιο του π rad. Τα πλάτη αυτών των συνιστωσών σχηµατίζουν πυθαγόρειο τρίγωνο µε το πλάτος του αρχικού κύµατος. Η σύνθεση δύο ορθογωνίων γραµµικά πολωµένων κυµάτων µπορεί να οδηγήσει επίσης σε ένα γραµµικά πολωµένο κύµα. Ας θεωρήσουµε τα κύµατα : E ˆ 0 0 cos( ) ( 0cos ) ˆ x = E xx ω t kz + ϕx = E a xo cos( ωt kz + ϕx) (3.1.4) E = E yˆ cos ω t kz+ ϕ = E sin a yˆ cos ωt kz+ ϕ (3.1.5) ( ) ( ) ( ) y 0y 0 y 0 0 y Για να προκύψει γραµµικά πολωµένο κύµα από τις δύο αυτές συνιστώσες θα πρέπει η διαφορά φάσης τους φ = (φ y φ x ) να είναι σταθερή και ίση µε 0 ή ακέραιο πολλαπλάσιο του π rad. Τα περιττά πολλαπλάσια των π αντιστοιχούν απλώς σε αντεστραµµένη φορά ταλάντωσης της αντίστοιχης συνιστώσας. Σε κάθε περίπτωση, ο άξονας ταλάντωσης του συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου βρίσκεται κατά µήκος µιας ευθείας, της υποτείνουσας του τριγώνου σύνθεσης των Ε x και E y. á E 0x E 0y Σχήµα 3-1-4 : Σύνθεση γραµµικά πολωµένου φωτός από δύο ορθογώνιες συνιστώσες µε µηδενική διαφορά φάσης. y E x E o x y E y E o x E y E 0 y E o x E o y E y x E y =0 E x =0.5 E x =-1 E E E x =1 x =0 E y =1 x E y =1 E y =1 Σχήµα 3-1-5 : Συνδυασµοί Εx και Ey µε µηδενική διαφορά φάσης παράγουν γραµµικά πολωµένο φως. Στην περίπτωση του φυσικού φωτός που διαδίδεται προς κάποια διεύθυνση δεν µπορεί να προσδιοριστεί ένας συγκεκριµένος άξονας ταλάντωσης για το ηλεκτρικό πεδίο, υπάρχει µόνο ένα συγκεκριµένο επίπεδο ταλάντωσης. Αν µπορούσαµε να E x Σελίδα 3.5
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ κινηµατογραφήσουµε διάφορα στιγµιότυπα του ηλεκτρικού πεδίου µιας δέσµης φυσικού φωτός τότε θα βλέπαµε το διάνυσµα Ε να πάλλεται σε ένα επίπεδο κάθετο προς την κατεύθυνση διάδοσης (π.χ. επίπεδο x-y αν η διεύθυνση διάδοσης είναι η z), αλλά χωρίς συγκεκριµένο προσανατολισµό (σχήµα 3-1-6). εν είναι δυνατό να εντοπίσουµε τη διεύθυνση ταλάντωσης επειδή η διεύθυνση αυτή µεταβάλλεται ταχύτατα και χωρίς κάποιο κανόνα. Αν προσπαθήσουµε να ανιχνεύσουµε το διάνυσµα του φωτός σε ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων, τότε, λόγω της πλήρως τυχαίας φύσης του, σε κάθε στιγµή και σε κάθε σηµείο θα βρούµε ίσες ποσότητες σε κάθε άξονα. E 0?? r Σχήµα 3-1-6 : Σε φυσικό φως µε συγκεκριµένη διεύθυνση διάδοσης το ηλεκτρικό πεδίο ταλαντώνεται οπουδήποτε πάνω σε ένα συγκεκριµένο επίπεδο, κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης ωστόσο, πάνω σε αυτό το επίπεδο δεν µπορούµε να προσδιορίσουµε τον άξονα ταλάντωσης,και άρα κάποιο άξονα πόλωσης. Μια πραγµατική φωτεινή δέσµη µπορεί να µην είναι καθαρά φυσικό φως, να έχει δηλαδή µια προτιµητέα διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου, αλλά όχι αποκλειστικά αυτή. Πρόκειται δηλαδή για ένα µείγµα φυσικού και πολωµένου φωτός, και µιλάµε για µερικά πολωµένο φως. Για την εκτίµηση της κατάστασης πόλωσης µιας οποιασδήποτε δέσµης φωτός ορίζουµε ένα συντελεστή, το βαθµό πόλωσης της δέσµης, ο οποίος ορίζεται ως ο λόγος της φωτεινής έντασης της γραµµικά πολωµένης συνιστώσας (Ι Π ) προς τη συνολική φωτεινή ένταση (Ι ΟΛ ). Έτσι, αν Ι Π και Ι Φ είναι οι φωτεινές εντάσεις της γραµµικά πολωµένης και της φυσικής συνιστώσας της δέσµης αντίστοιχα, ο βαθµός πόλωσης δίνεται από τη σχέση : βαθµός πόλωσης IΠ IΠ p = = I I + I ΟΛ Π Φ (3.1.6) Ο βαθµός πόλωσης είναι αδιάστατο φυσικό µέγεθος µε τιµές από 0 µέχρι 1. Αν ο βαθµός πόλωσης έχει µηδενική τιµή, το φως είναι φυσικό. Αντίθετα, για πλήρως γραµµικά πολωµένο φως έχουµε p = 1. Στη γενική περίπτωση έχουµε 0<p<1, δηλαδή το φως είναι µερικά πολωµένο. Σελίδα 3.6
ΠΟΛΩΣΗ 3.. Επεµβάσεις στο Φως: από Φυσικό σε Γραµµικά Πολωµένο Το να επεµβούµε στο ελεύθερα διαδιδόµενο φως και να υποχρεώσουµε το ηλεκτρικό του πεδίο να ταλαντωθεί σε µια συγκεκριµένη διεύθυνση που εµείς επιλέξαµε είναι πολύ δύσκολο. Ωστόσο, είναι σχετικά εύκολο να επιλέξουµε από όλες τις διευθύνσεις ταλάντωσης, µία συγκεκριµένη, και να επιτρέψουµε διάδοση του φωτός που πάλλεται ακριβώς σε αυτή τη διεύθυνση. Έτσι µπορούµε να δηµιουργήσουµε, µέσω επιλογής, γραµµικά πολωµένο φως! Μπορούµε να φανταστούµε µια τέτοια διάταξη, που λέγεται γραµµικός πολωτής, σαν ένα σύστηµα από πολλές παράλληλες σιδερένιες µπάρες. Μόνο ταλαντώσεις µε διεύθυνση παράλληλη προς τις µπάρες µπορούν να διαδοθούν µέσα από τη διάταξη αυτή, ενώ ταλαντώσεις µε κάθετη διεύθυνση προς τις µπάρες αποκόβονται εντελώς. Σχήµα 3--1 : Λειτουργία γραµµικού πολωτή (α) πλήρης διέλευση (β) πλήρης αποκοπή. Στην πράξη, η αρχή λειτουργίας του συνηθισµένου γραµµικού πολωτή (Polaroid) βασίζεται στο ότι τα προσανατολισµένα µόριά του απορροφούν επιλεκτικά τις συνιστώσες εκείνες του φωτός που η πόλωσή τους έχει συγκεκριµένη διεύθυνση. Αυτή η ανισοτροπική οπτική απορρόφηση λέγεται διχροϊσµός. Ανεξάρτητα από το ποια είναι η αρχή λειτουργίας του, δεχόµαστε ότι αν σε ένα γραµµικό πολωτή πέσει τυχαίο φως τότε µόνο µια συγκεκριµένη διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου θα περάσει ενώ η κάθετη σ αυτήν θα αποκοπεί εντελώς. Η χαρακτηριστική αυτή διεύθυνση λέγεται άξονας πόλωσης. Το φως µετά την έξοδό του από τον πολωτή θα είναι γραµµικά πολωµένο µε επίπεδο πόλωσης που καθορίζεται από τον άξονα πόλωσης και τη διεύθυνση διάδοσης. Έτσι το φυσικό φως µετατρέπεται σε γραµµικά πολωµένο. Öõóéêü Öùò îïíáò Ðüëùóçò ÃÐ êýìá E 0 Ãñáììéêüò ÐïëùôÞò äéåýèõíóç äéüäïóçò Σχήµα 3-- : Μετατροπή από φυσικό φως σε γραµµικά πολωµένο. Αν στρέψουµε τον άξονα πόλωσης κατά γωνία θ τότε το φως που θα περάσει από τον πολωτή θα έχει άξονα πόλωσης στραµµένο κατά την ίδια γωνία. Όπως Σελίδα 3.7
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ απεικονίζεται στο σχήµα 3--3, η στροφή του επίπεδου πόλωσης θα ακολουθήσει ακριβώς τη στροφή του γραµµικού πολωτή. Öõóéêü Öùò è îïíáò Ðüëùóçò ÃÐ êýìá è E 0 Ãñáììéêüò ÐïëùôÞò äéåýèõíóç äéüäïóçò Σχήµα 3--3 : Στροφή επιπέδου πόλωσης µε στροφή του γραµµικού πολωτή. Πως µπορούµε να το διαπιστώσουµε αυτό; Η δυσκολία στην ανίχνευση πολωµένου φωτός προκύπτει από το ότι το αισθητήριο όργανο της όρασης, αλλά και οι διάφοροι ανιχνευτές φωτός -φωτοευαίσθητες επιφάνειες- δεν αλληλεπιδρούν µε το ηλεκτρικό πεδίο, αλλά µε την ενέργεια που φέρει το φως. Η φωτεινή ένταση Ι του φωτός (Παράρτηµα 1.1) αντιστοιχεί στη µέση χρονική τιµή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε. Είναι µονόµετρο µέγεθος και όχι διανυσµατικό, και, επιπλέον, αν λάβουµε υπ όψη ότι το ηλεκτρικό πεδίο πάλλεται µε συχνότητες τάξης µεγέθους 10 14 s, αντιλαµβανόµαστε ότι δεν είναι δυνατό µε το µάτι ή ένα ανιχνευτή να καταγράψουµε το στιγµιαίο προσανατολισµό του ηλεκτρικού πεδίου, και άρα την κατάσταση πόλωσης του φωτός. Έτσι δεν µπορούµε να διαπιστώσουµε παρατηρώντας µε το µάτι µας ή µετρώντας τη φωτεινή ένταση της διερχόµενης δέσµης αν η κατάσταση πόλωσης του φωτός έχει στραφεί! Πόσο µάλλον αν η µέση τιµή της φωτεινής έντασης δεν αλλάζει καθώς περιστρέφουµε τον πολωτή. Ας υποθέσουµε ότι το προσπίπτον φυσικό φως έχει 100 µονάδες φωτεινής έντασης. Πόση από αυτή αντιστοιχεί σε µια συγκεκριµένη διεύθυνση, παράλληλη στον άξονα πόλωσης του πολωτή; Η τυχαία φύση του φυσικού φωτός πιθανό να µας οδηγήσει στο συµπέρασµα ότι οι πιθανότητες ο άξονας ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου σε µια συγκεκριµένη στιγµή να είναι παράλληλος στον άξονα πόλωσης είναι ελάχιστες, άρα µάλλον η διερχόµενη δέσµη θα είναι πολύ αµυδρή. Αυτό δεν συµβαίνει έτσι η διερχόµενη δέσµη έχει αρκετή ένταση, περίπου το µισό της αρχικής προσπίπτουσας. Αυτό εξηγείται ως εξής: µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το φυσικό φως συντίθεται από δυο ορθογώνια γραµµικά πολωµένα αρµονικά κύµατα φωτεινής έντασης 50 µονάδων το καθένα, των οποίων όµως η διαφορά φάσης τους φ µεταβάλλεται ακαριαία και µε τυχαίο τρόπο µε τον χρόνο. Έτσι κάθε φορά, από οποιοδήποτε άξονα πόλωσης, µπορεί να περάσει ένταση που αντιστοιχεί στο 50% του φυσικού φωτός. Πώς µπορούµε να διαπιστώσουµε αν το φως που πέρασε από ένα πολωτή είναι γραµµικά πολωµένο και πώς µπορούµε να βρούµε το επίπεδο πόλωσής του; Είδαµε ότι µετρώντας τη φωτεινή ένταση της δέσµης δεν µπορούµε να το διαπιστώσουµε. Αν όµως το γραµµικά πολωµένο φως περάσει άλλη µια φορά µέσα από ένα δεύτερο Σελίδα 3.8
ΠΟΛΩΣΗ πολωτή -αυτός συνήθως λέγεται αναλυτής (analyzer)-, τότε η φωτεινή ένταση του φωτός µετά τον αναλυτή µπορεί να µας δώσει τις απαντήσεις στα δυο παραπάνω ερωτήµατα. Θα ξεκινήσουµε µελετώντας τις δύο πιο ακραίες περιπτώσεις : Περίπτωση πρώτη: Οι πολωτές είναι παράλληλοι µεταξύ τους, και ας θεωρήσουµε ότι και οι δύο έχουν προσανατολισµένο τον άξονά τους κατακόρυφα (σχήµα 3--4α). Φυσικό φως περνώντας από τον γραµµικό πολωτή γίνεται κατακόρυφα ΓΠ. Αυτό το ΓΠ φως συναντά το δεύτερο πολωτή, τον αναλυτή δηλαδή, και διέρχεται χωρίς καµία επιπλέον µεταβολή: είναι ήδη πολωµένο όπως ακριβώς επιθυµει ο δεύτερος πολωτής, δηλαδή κατακόρυφα ΓΠ, και έτσι ακριβώς διέρχεται, χωρίς καµία απώλεια έντασης. Έχουµε δηλαδή έχουµε µέγιστη διέλευση. Öõóéêü Öùò ÃÐ êýìá ÁíáëõôÞò ÌÝãéóôç äéýëåõóç Ãñáììéêüò ÐïëùôÞò Σχήµα 3--4α : Ανίχνευση γραµµικά πολωµένου φωτός, συνθήκη µέγιστης έντασης. Περίπτωση δεύτερη: Οι πολωτές είναι κάθετοι µεταξύ τους (ή διασταυρωµένοι (crossed), και ας θεωρήσουµε ότι ο πρώτος έχει προσανατολισµένο τον άξονά του κατακόρυφα και ο δεύτερος οριζόντια (σχήµα 3--4β). Βρίσκονται δηλαδή σε σχετική γωνία 90. Το φως που περνά από τον πρώτο πολωτή εξακολουθεί και είναι κατακόρυφα ΓΠ. Αυτό ακριβώς το φως αποκόπτεται πλήρως από τον αναλυτή. Έχουµε δηλαδή µηδενική διέλευση. Öõóéêü Öùò ÃÐ êýìá ÁíáëõôÞò Ãñáììéêüò ÐïëùôÞò ÅëÜ éóôç äéýëåõóç Σχήµα 3--4β : Ανίχνευση γραµµικά πολωµένου φωτός, συνθήκη απόσβεσης. Αν περιστρέψουµε τον αναλυτή κατά ένα πλήρη κύκλο, τότε αυτός θα βρεθεί δύο φορές παράλληλος µε τον πολωτή, οπότε θα περάσει όλη η ένταση του ΓΠ φωτός, και δύο φορές κάθετος µε τον πολωτή, και θα έχουµε πλήρη απόσβεση. Οι θέσεις αυτές εναλλάσσονται ανά 90. Ποια θα είναι όµως η ένταση του διερχόµενου φωτός στις ενδιάµεσες γωνίες; Η ένταση του διερχόµενου φωτός θα εξαρτάται από τη σχετική γωνία θ που Σελίδα 3.9
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ σχηµατίζει το επίπεδο πόλωσης της προσπίπτουσας δέσµης µε τον άξονα πόλωσης του αναλυτή (σχήµα 3--5). Συγκεκριµένα, από το δεύτερο πολωτή, θα διέλθει µόνο η προβολή της αρχικής έντασης πεδίου, η συνιστώσα εκείνη που είναι παράλληλη προς τον άξονα του αναλυτή. Έτσι τα πλάτη της προσπίπτουσας δέσµης Ε 0Π και της διερχόµενης Ε 0 θα συνδέονται µε τη σχέση : E0 = E0Πcosθ (3..1) Ãñáììéêüò ÐïëùôÞò ÃÐ êýìá Ýíôáóçò É Ð ÁíáëõôÞò è óå ó åôéêþ ãùíßá è ÃÐ êýìá Ýíôáóçò É Ä Üîïíáò ðüëùóçò óôñáììýíïò êáôü è Σχήµα 3--5 : Πολωτής και Αναλυτής σε σχετική γωνία θ. Οι φωτεινές εντάσεις είναι ανάλογες των τετραγώνων των πεδίων : I = I Π cos θ (3..) Η σχέση αυτή εκφράζει το νόµο του Malus όπως διατυπώθηκε το 1809 από τον Etienne Louis Malus : Νόµος του Malus : Η φωτεινή ένταση του φωτός που περνά από δύο πολωτές είναι ανάλογη του τετραγώνου του συνηµιτόνου της σχετικής γωνίας των αξόνων πόλωσής τους. Η έκφραση (3..) είναι πλήρως συµβατή µε τους µέχρι τώρα κανόνες, ότι δηλαδή, αν είναι θ=0 ή π θα είναι Ι = Ι Π (συνθήκη µέγιστης έντασης) ενώ αν είναι θ =π/ θα είναι Ι = 0 (συνθήκη απόσβεσης). 1.0 0.8 0.6 0.4 0. Σχετική Ένταση Σχετική Γωνία ( 0 ) 0.0 0 90 180 70 360 Σχήµα 3--6 : Θεωρητική καµπύλη µεταβολής σχετικής έντασης γραµµικά πολωµένου φωτός µε περιστροφή του αναλυτή ως προς τον πολωτή. Σελίδα 3.10
ΠΟΛΩΣΗ Αν σε µια διάταξη όπως αυτή του σχήµατος 3--5 κρατήσουµε σταθερό τον πολωτή και περιστρέφουµε κατά βήµατα τον αναλυτή µετρώντας ταυτόχρονα τη φωτεινή ένταση της διερχόµενης δέσµης σε σχέση µε την προσπίπτουσα, θα προκύψει µια καµπύλη όπως αυτή που απεικονίζεται στο γράφηµα 3--6. Το γράφηµα 3--6 περιγράφει τη θεωρητική καµπύλη µεταβολής της σχετικής έντασης µιας γραµµικά πολωµένης δέσµης µετά από τη διέλευσή της από ένα αναλυτή, σε σχέση µε τη σχετική γωνία των αξόνων πόλωσης και αναλυτή. Η µεταβολή ακολουθεί το νόµο cos θ, σύµφωνα µε το νόµο του Malus. Αν η δέσµη ήταν µερικά πολωµένη, µε βαθµό πόλωσης p, τότε η καµπύλη θα είχε ένα µη µηδενικό ελάχιστο. Ο βαθµός πόλωσης µπορεί να µετρηθεί µε τη βοήθεια ενός αναλυτή ως εξής: περιστρέφουµε τον αναλυτή και µετρούµε την µέγιστη και ελάχιστη παρατηρούµενη ένταση της φωτεινής δέσµης. Στη θέση του µέγιστου ο άξονας πόλωσης του αναλυτή είναι παράλληλος µε το επίπεδο πόλωσης της πολωµένης συνιστώσας της δέσµης, ενώ στη θέση του ελάχιστου είναι κάθετος σ αυτό. Η µέγιστη και η ελάχιστη φωτεινότητα εκφράζονται µε τις σχέσεις : Iϕ Iϕ IMAX = IΙΙ = + Iπ και IMIN = I = (3..3) και έτσι : I = I και I = I I π ΙΙ (3..4) ϕ Έτσι λοιπόν ο βαθµός πόλωσης (σχέση (3.1.6)) µιας µερικά πολωµένης δέσµης µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: I I ΙΙ p = (3..5) I ΙΙ + I Αν φυσικό φως προσπέσει πάνω σε ένα αναλυτή τότε ο νόµος του Malus προβλέπει ότι η σχετική φωτεινή ένταση που θα περάσει από τον αναλυτή για κάθε σχετική γωνία θ είναι η ποσότητα <cos θ>. Μπορούµε να αναλύσουµε τη σχέση αυτή τριγωνοµετρικά : 1 1 cos θ = + cos( θ ) (3..6) Βλέπουµε λοιπόν ότι η σχετική φωτεινή ένταση µεταβάλλεται από µηδέν µέχρι ένα για µια τυχαία τιµή της σχετικής γωνίας. Μιας και η γωνία θ για το φυσικό φως είναι τυχαία και µεταβάλλεται µε τυχαίο τρόπο σε πολύ µικρά χρονικά διαστήµατα, αυτό που θα παρατηρήσουµε είναι η η µέση τιµή της ποσότητα <cos θ>, που είναι σταθερή και ίση µε ½. Έτσι κάθε φορά, από οποιοδήποτε άξονα του πολωτή µπορεί να περάσει φωτεινή ένταση που αντιστοιχεί στο 50% του φυσικού φωτός. Σελίδα 3.11
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 3.3. Κυκλικά Πολωµένο Φως Το κυκλικά πολωµένο φως (circularly polarized) δεν συναντάται εύκολα στη φύση. ηµιουργείται µόνο όταν φως ανακλάται τουλάχιστο δύο φορές από συγκεκριµένα υλικά σε συγκεκριµένες γωνίες, εκτός από µια ιδιότυπη περίπτωση, σε µερικά έντοµα της οικογένειας των σκαραβαίων. Το ανακλώµενο φως από το κέλυφός τους είναι πλήρως αριστερόστροφα κυκλικά πολωµένο όποια κι αν είναι η κατάσταση πόλωσης του προσπίπτοντος σε αυτό φως. Αν είχαµε την ικανότητα να διακρίνουµε µόνο κυκλικά πολωµένο φως, οι σκαραβαίοι αυτοί θα ήταν οι µόνοι που θα ξεχώριζαν! 3.3.1. Κυκλικά Πολωµένο Φως: Σύνθεση ύο Γραµµικά Πολωµένων Κυµάτων Τί είναι άραγε αυτό το κυκλικά πολωµένο φως; Παρά το όνοµά του, το κυκλικά πολωµένο φως είναι κι αυτό µια ειδική περίπτωση που προκύπτει όταν προσθέτουµε δύο ορθογώνια γραµµικά πολωµένα κύµατα που έχουν ίσα πλάτη, δηλαδή Ε 0x = Ε 0y = Ε 0, και σταθερή διαφορά φάσης ±π/. Τα δύο κύµατα µπορούν να εκφραστούν ως : E ˆ x = E0x0 cos( ω t kz) (3.3.1)α E ˆ 0 0 ( ) ˆ y = E y cos ωt kz± π / = E0y0 sin ( ωt kz) (3.3.1)β Το αρνητικό πρόσηµο αντιστοιχεί όταν η y-συνιστώσα έχει διαφορά φάσης +π/, ενώ το θετικό σε διαφορά φάσης π/. Τα δύο κύµατα εξελίσσονται έτσι ώστε το ένα έχει µέγιστο όταν το άλλο παρουσιάζει ελάχιστο, δηλαδή η τιµή του ηλεκτρικού του πεδίου µηδενίζεται : Ex Ey Σχήµα 3-3-1 : Σύνθεση δύο ορθογωνίων ΓΠ κυµάτων µε διαφορά φάσης π/. Σε µια οποιαδήποτε χρονική στιγµή σε ένα οποιοδήποτε σηµείο υπάρχει µόνο ένα συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο. Το διάνυσµα του συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου είναι : E= E xˆ + E yˆ = E xˆ cos ωt kz E yˆ sin ωt kz (3.3.) ( ) ( ) 0 0 y 0 0 0 0 0 και έχει µέτρο Ε 0 = (Ε 0x + E 0y) 1/ = σταθερό. ηλαδή σε κάθε σηµείο του χώρου το συνιστάµενο διάνυσµα βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσής του και Σελίδα 3.1
ΠΟΛΩΣΗ διαγράφει µια περιφέρεια κύκλου µε ακτίνα Ε 0, περιστρεφόµενο µε γωνιακή ταχύτητα ω. Αυτό είναι το κυκλικά πολωµένο φως. Ey E 0 kz-ωt = 90 φ Ex E 0 kz-ωt = 0 Σχήµα 3-3- : Εξέλιξη του διανύσµατος Ε για κυκλικά πολωµένο φως στο χρόνο (α) και χώρο (β). Κυκλικά Πολωµένο φως : Κυκλικά πολωµένο φως έχουµε όταν συντίθενται δύο ορθογώνια γραµµικά πολωµένα κύµατα µε ίσα πλάτη και διαφορά φάσης ±π/. Το συνιστάµενο διάνυσµα βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσής του και διαγράφει µια περιφέρεια κύκλου. Η γωνία φ που σχηµατίζει σε κάθε χρονική στιγµή το συνιστάµενο διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου (σχήµα 3-3-) µε τον άξονα x σε ένα δεδοµένο σηµείο z µπορεί να υπολογιστεί από το τρίγωνο που σχηµατίζει το συνιστάµενο διάνυσµα τα επιµέρους διανύσµατα που το συνθέτουν : Ey tanϕ= = tan ( ωt kz) ή ϕ = ( ω t kz) (3.3.3) E x Για παρατήρηση σε συγκεκριµένο σηµείο (π.χ. z =0), όταν η y-συνιστώσα έχει διαφορά φάσης +π/, η γωνία φ του συνιστάµενου κύµατος ελαττώνεται µε το χρόνο. Άρα το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου για ένα συγκεκριµένο σηµείο στρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού και ονοµάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωµένο (clock-wise) ( ΚΠ) φως. Το βήµα της περιστροφής είναι ανάλογο της συχνότητας του φωτός. Όταν η y-συνιστώσα έχει διαφορά φάσης π/ τότε η γωνία φ αυξάνεται µε τον χρόνο και η στροφή του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται αντίθετα µε τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Το φως αυτό το ονοµάζουµε αριστερόστροφα κυκλικά πολωµένο ΑΚΠ (counter clock-wise), σχήµα 3-3-α. Για παρατήρηση σε συγκεκριµένο χρόνο (π.χ. t=0), αν πάρουµε ένα στιγµιότυπο του δεξιόστροφα κυκλικά πολωµένου φωτός, δηλαδή αν σχεδιάσουµε τη θέση του διανύσµατος Ε την ίδια χρονική στιγµή στα διάφορα σηµεία του άξονα z, τότε η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα Ε σε κάθε θέση θα αυξάνει γραµµικά κατά παράγοντα k=π/λ µε το z. Άρα τα άκρα του διανύσµατος Ε θα διαγράφουν µια έλικα, το βήµα της οποίας είναι αντίστροφα ανάλογο του µήκους κύµατος, και Σελίδα 3.13
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ µάλιστα αριστερόστροφη (σχήµα 3-3-β). Στην περίπτωση που έχουµε αριστερόστροφα κυκλικά πολωµένο φως, η αντίστοιχη έλικα θα είναι δεξιόστροφη. Τι θα προκύψει όµως αν δεν ήµασταν τόσο αυστηροί στις προϋποθέσεις µας για το κυκλικά πολωµένο φως; ηλαδή τι προκύπτει στη γενική περίπτωση σύνθεσης δύο κυµάτων που είναι ορθογώνια γραµµικά πολωµένα, αλλά τα πλάτη τους δεν είναι ίσα Ε 0x E 0y και η διαφορά φάσης φ τους µπορεί να έχει οποιαδήποτε τιµή; Όπως αποδεικνύεται στο Παράρτηµα 3.1., το διάνυσµα του συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου διαγράφει µια έλλειψη (σχήµα 3-3-3) πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Ey E A ψ Ex A 1 Σχήµα 3-3-3 : Συνιστάµενο διάνυσµα ηλεκτρικού πεδίου για ελλειπτικά πολωµένο φως. Ο µεγάλος άξονας της έλλειψης σχηµατίζει µε τον άξονα x γωνία ψ που προσδιορίζεται από τη σχέση : E0xE0y tan ψ = cosϕ (3.3.4) E E 0x 0y Ο λόγος των µηκών Α 1 και Α των αξόνων της έλλειψης (ελλειπτικότητα), προσδιορίζεται από τη σχέση : A E 1 0xE 0y tan χ = όπου χ = sin ( sinϕ ) (3.3.5) A1 E0x E0y Σε αντιστοιχία µε το κυκλικά πολωµένο φως, το συνιστάµενο διάνυσµα E = Ex xˆ0+ Ey yˆ0 σε κάθε σηµείο του χώρου βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσής του και πάνω σε αυτό το επίπεδο διαγράφει µια έλλειψη, περιστρεφόµενο µε γωνιακή ταχύτητα ω. Το φως αυτό το ονοµάζουµε ελλειπτικά πολωµένο (elliptically polarized). Ανάλογα µε την τιµή της γωνίας φ το διάνυσµα θα στρέφεται είτε κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, όταν 0<φ<π rad, οπότε λέγεται δεξιόστροφα ελλειπτικά πολωµένο ( ΕΠ), ή αντίθετα µε τη φορά των δεικτών όταν π<φ<π rad, οπότε λέγεται αριστερόστροφα ελλειπτικά πολωµένο (ΑΕΠ). Η αντίστοιχη έλικα στον χώρο είναι αριστερόστροφη για το πρώτο και δεξιόστροφη για το δεύτερο. Αν στρέψουµε το σύστηµα αναφοράς έτσι ώστε οι άξονες x και y να συµπέσουν µε τους κύριους άξονες της έλλειψης, τότε βλέπουµε ότι αν και τα αντίστοιχα πλάτη είναι διαφορετικά, η διαφορά φάσης µεταξύ των συνιστωσών είναι ακριβώς π/ rad! Η ίδια ακριβώς έλλειψη είναι δυνατό, µε κατάλληλη περιστροφή, να περιγραφεί µε δύο άξονες τέτοιους ώστε τα αντίστοιχα πλάτη να είναι ίσα. Τότε Σελίδα 3.14
ΠΟΛΩΣΗ όµως η διαφορά φάσης µεταξύ των δύο συνιστωσών είναι διαφορετική του π/ rad. ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι το ελλειπτικά πολωµένο φως είναι µια εννοιολογική γενίκευση του κυκλικά πολωµένου φωτός. Αντίστοιχα, τόσο τα γραµµικά όσο και το κυκλικά πολωµένο φως είναι ειδικές περιπτώσεις του ελλειπτικά πολωµένου φωτός. Ελλειπτικά Πολωµένο φως : Ελλειπτικά πολωµένο φως έχουµε όταν συντίθενται δύο ορθογώνια γραµµικά πολωµένα κύµατα µε ίσα πλάτη και διαφορά φάσης π/ ή διαφορετικά πλάτη και διαφορά φάσης ± π/ Το συνιστάµενο διάνυσµα βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσής του και διαγράφει µια έλλειψη πάνω σε αυτό. Έτσι, κρατώντας σταθερή την παράµετρο πλάτους (E 0x = E 0y ), περιγράφουµε στο σχήµα 3-3-4 τη διαδοχή της κατάστασης πόλωσης που προκύπτει αν συνθέσουµε δύο ορθογώνια γραµµικά πολωµένα φωτεινά κύµατα µε ίσου πλάτους αλλά µε ελεύθερη παράµετρο τις διάφορες τιµές της διαφοράς φάσης : εξιά ΚΠ εξιά ΕΠ π/ εξιά ΕΠ -45 0 Γραµµικά Π. π φ 0 45 0 Γραµµικά Π. Αριστερά ΕΠ 3π/ Αριστερά ΕΠ Αριστερά ΚΠ Σχήµα 3-3-4 : Εξέλιξη µορφής πόλωσης για διαφορετικές διαφορές φάσης σε ΓΠ κύµατα ίσου πλάτους. Η διαφορά φάσης απεικονίζεται στον εσωτερικό κύκλο. Είναι ενδιαφέρον να ασχοληθούµε µε τα αποτελέσµατα που µπορούν να προκύψουν µε συνδυασµούς γραµµικής σύνθεσης διαφόρων κυµάτων σαν κι αυτά του παραπάνω σχήµατος. Για παράδειγµα, αν συνθέσουµε τα δύο ορθογώνια γραµµικά πολωµένα κύµατα (µε +45 και 45 ) θα προκύψει κυκλικά πολωµένο φως, γιατί η διαφορά φάσης τους είναι 90 (π/ rad). Ασφαλώς ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ένα κυκλικά πολωµένο κύµα µπορεί να αναλυθεί σε ορθογώνια γραµµικά πολωµένα κύµατα ίσου πλάτους και διαφοράς φάσης ±π/ rad. Αφήνουµε στην αναζήτηση του αναγνώστη να βρει ποια κατάσταση πόλωσης θα προκύψει αν προσθέσουµε δύο άλλα αντιδιαµετρικά σηµεία, π.χ. το εξιά ΚΠ µε το Αριστερά ΚΠ κύµα. Σελίδα 3.15
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 3.3.. Και Εγένετο Κυκλικά Πολωµένο Φως Είδαµε ότι το κυκλικά πολωµένο φως προκύπτει από σύνθεση δύο ίσου πλάτους ορθογώνιων πολωµένων φωτεινών κυµάτων που έχουν διαφορά φάσης φ=±π/. Άρα, για να συνθέσουµε κυκλικά πολωµένο φως χρειαζόµαστε αυτά ακριβώς τα δοµικά υλικά. Ας ξεκινήσουµε από φυσικό φως. Γνωρίζουµε ότι για να το µετατρέψουµε σε γραµµικά πολωµένο (σχήµα 3--) θα χρειαστούµε ένα γραµµικό πολωτή. Τώρα πρέπει να διαχωρίσουµε αυτό το γραµµικά πολωµένο κύµα σε δύο τέτοια αµοιβαία ορθογώνιες συνιστώσες ίσου πλάτους και επιπλέον πρέπει να εισαγάγουµε ανάµεσα στις δύο αυτές συνιστώσες µια διαφορά φάσης ±π/, δηλαδή ένα τέταρτο του µήκους κύµατος (λ/4). Η διάταξη που το πετυχαίνει αυτό είναι το πλακίδιο λ/4 (quarter-wave plate). Η αρχή λειτουργίας του πλακιδίου λ/4 βασίζεται στη διπλοθλαστικότητα, που θα εξεταστεί στο 3.5. Το πλακίδιο έχει δύο χαρακτηριστικές διευθύνσεις -άξονες, σε κάθε µία από τις οποίες επιτρέπεται η διάδοση µίας µόνο ιδιοκατάστασης πόλωσης. ηλαδή οποιαδήποτε και αν είναι η κατάσταση του προσπίπτοντος φωτός αυτό θα αναλυθεί σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες -ιδιοκαταστάσεις πόλωσης- του πλακιδίου. Ονοµάζουµε τους άξονες αυτούς ταχύ (F), και βραδύ (S) θα εξηγήσουµε την ονοµατολογία αυτή σύντοµα. Ασφαλώς και οι δύο διευθύνσεις στις οποίες αναλύεται το προσπίπτον φως είναι κάθετες προς τη διεύθυνση διάδοσης του αρχικού κύµατος. Για παράδειγµα, αν ένα γραµµικά πολωµένο φωτεινό κύµα πλάτους Ε 0 µε άξονα πόλωσης που σχηµατίζει σχετική γωνία θ ως προς το σύστηµα αξόνων του πλακιδίου (έστω ως προς τον άξονα F) προσπέσει σε πλακίδιο λ/4 τότε αναλύεται στο εσωτερικό του πλακιδίου σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες κατά τις δυο χαρακτηριστικές του διευθύνσεις F και S µε πλάτη Ε 0 cosθ και Ε 0 sinθ, αντίστοιχα. Για να είναι τα δύο αυτά πλάτη ίσα πρέπει η σχετική γωνία θ να είναι 45. Είναι απαραίτητος αυτός ο σχετικός προσανατολισµός! Θέλουµε επίσης στην έξοδο το ένα από τα δύο ΓΠ κύµατα να προπορεύεται κατά λ/4 από το άλλο. Για να γίνει αυτό πρέπει η µία από τις δύο συνιστώσες να διαδίδεται ταχύτερα από την άλλη (άρα το υλικό του πλακιδίου είναι ανισότροπο!). Έτσι ονοµάζουµε τη διεύθυνση του πλακιδίου που αντιστοιχεί στην πόλωση που διαδίδεται ταχύτερα ταχύ άξονα (Fast axis), ενώ την άλλη διεύθυνση βραδύ άξονα (Slow axis). Το κύµα που η πόλωσή του είναι παράλληλη µε το βραδύ άξονα θα συναντήσει ένα αυξηµένο δείκτη διάθλασης (n S ), και θα έχει µια µικρότερη -φασικήταχύτητα, ενώ το κύµα που η πόλωσή του είναι παράλληλη µε τον ταχύ άξονα θα συναντήσει ένα µειωµένο δείκτη διάθλασης (n F ) και θα έχει µεγαλύτερη -φασικήταχύτητα. Έτσι το κύµα µε πόλωση παράλληλη προς το βραδύ άξονα θα καθυστερεί σε σχέση µε το άλλο που η πόλωσή του είναι παράλληλη στον ταχύ άξονα. Υπενθυµίζουµε (.1.1) ότι η συχνότητα ενός κύµατος δεν επηρεάζεται από όποιες αλλαγές στην ταχύτητα διάδοσης αυτό που αλλάζει είναι το µήκος κύµατος που µεταβάλλεται. ηλαδή θα έχουµε λ S = λ 0 /n S και λ F = λ 0 /n F όπου λ 0 η τιµή του µήκους κύµατος που αντιστοιχεί στη διάδοση στο κενό. Αντίστοιχες σχέσεις συνδέουν τα µέτρα των κυµατοδιανύσµατων k S και k F των δυο συνιστωσών. Μέσα Σελίδα 3.16
ΠΟΛΩΣΗ στο πάχος d του πλακιδίου κατά µήκος του οποίου διαδίδεται το φως αναπτύσσεται διαφορά οπτικού δρόµου ανάµεσα στα δύο ορθογώνια κύµατα που είναι : διαφορά οπτικού δρόµου ( ) = n n d (3.3.6)α Αντίστοιχα, η διαφορά φάσης που εισάγει το πλακίδιο µεταξύ των δύο ορθογωνίων συνιστωσών θα είναι : π ϕ = kd S kd F = ( ns nf) d (3.3.6)β λ ôá ýò Üîïíáò ë F ο d S F áñãüò Üîïíáò ë S äéáöïñü ïðôéêïý äñüìïõ Σχήµα 3-3-5 : ιαφορά φάσης π/ που προκαλείται από διαφορά οπτικού δρόµου λ/4. Στο Σχ. 3-3-5 απεικονίζεται ένα παράδειγµα ανάπτυξης διαφοράς φάσης από ένα αργό (κάτω) και ένα γρήγορο (πάνω) κύµα µέσα σε ένα πλακίδιο λ/4. Στο απλοποιηµένο αυτό παράδειγµα, το αργό κύµα φθάνει στην έξοδο του πλακιδίου έχοντας εκτελέσει τέσσερις και ένα τέταρτο κύκλους ταλάντωσης, ενώ το γρήγορο έχει εκτελέσει, στην ίδια απόσταση, τέσσερις µόνο κύκλους ταλάντωσης. Αυτό γιατί το γρήγορο κύµα έχει µεγαλύτερο µήκος κύµατος λ F, οπότε η ίδια απόσταση d αντιστοιχεί σε λιγότερα µήκη κύµατος. Έχει αναπτυχθεί έτσι µια διαφορά οπτικού δρόµου κατά ένα τέταρτο του µήκους κύµατος ανάµεσα στις δύο συνιστώσες πόλωσης ή ισοδύναµα, διαφορά φάσης π/ rad. Το ποιες είναι ακριβώς οι τιµές των δύο δεικτών διάθλασης κατά µήκος του αργού και γρήγορου άξονα εξαρτάται από το υλικό του πλακιδίου αλλά και το µήκος κύµατος, και είναι µετρήσιµες ποσότητες. Έτσι µπορούµε να κατασκευάσουµε πλακίδια µε κατάλληλο πάχος, ώστε η διαφορά οπτικού δρόµου (n S n F ) d να είναι ίση µε λ 0 /4 ή λ 0 / κτλ. και θα ονοµάζονται πλακίδια λ/4, πλακίδια λ/ κοκ. Τα πλακίδια αυτά θα εισάγουν αντίστοιχα διαφορά φάσης φ=π/ ή π rad κτλ. Αντιλαµβανόµαστε ότι ένα πλακίδιο που είναι λ/4 για ένα συγκεκριµένο εύρος ακτινοβολίας γύρω από µια τιµή λ 0 (π.χ. κόκκινο) µπορεί να είναι λ/ για ένα άλλο εύρος ακτινοβολίας λ 0 =λ 0 / (π.χ ιώδες). Συγκεκριµένα, ένα πλακίδιο που είναι λ/4 για το κόκκινο (λ 800 nm) θα εισαγάγει διαφορά οπτικού δρόµου 00 nm. Αυτή η διαφορά οπτικού δρόµου θα είναι περίπου ίση µε το µισό του µήκους κύµατος για ιώδη ακτινοβολία (λ 400 nm). Το ίδιο ακριβώς πλακίδιο θα είναι πλακίδιο λ/ για το ιώδες! Ο όρος λοιπόν πλακίδιο λ/4 ισχύει για συγκεκριµένη περιοχή µηκών κυµάτων κάθε φορά. Στο σχήµα απεικονίζεται ένα παράδειγµα δηµιουργίας κυκλικά πολωµένου φωτός από ΓΠ φως. Στο πλακίδιο λ/4 προσπίπτει µια γραµµικά πολωµένη φωτεινή Σελίδα 3.17
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ δέσµη µε άξονα πόλωσης σε γωνία 45 µε τον ταχύ και βραδύ άξονα του πλακιδίου. Το κύµα αυτό αναλύεται σε δυο συνιστώσες κατά τους άξονες του πλακιδίου που έχουν ίσα πλάτη Ε 0F =Ε 0S =Ε 0 cos45 και διαφορά φάσης φ =φ F -φ S =0. Βαθµιαία όµως µέσα στο πλακίδιο η παράλληλη µε το βραδύ άξονα συνιστώσα πόλωσης καθυστερεί και αναπτύσσεται διαφορά φάσης ανάµεσα στις δύο συνιστώσες. [Στο σχήµα 3-3-6 οι δύο αυτές δράσεις του πλακιδίου φαίνονται ξεχωριστά, για εποπτικούς λόγους.] Στην έξοδο του πλακιδίου τα πλάτη είναι πάλι ίσα -αποδεχόµαστε ελάχιστη και ισότροπη απορρόφηση- αλλά έχει αναπτυχθεί διαφορά φάσης φ=φ F -φ S =π/. Έτσι το φως που αναδύεται από το πλακίδιο λ/4 είναι κυκλικά πολωµένο. ΓΠ κύµα E 0S E 0 E 0F Ανάλυση σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες ίσου πλάτους Εισαγωγή διαφοράς φάσης ανάµεσα σε Ε 0S και Ε 0F ΚΠ κύµα Ey E 0 Ex Πλακίδιο λ/4 Σχήµα 3-3-6 : ράση πλακιδίου λ/4 σε ΓΠ φως: (α) ανάλυση σε δύο συνιστώσες ίσου πλάτους, και (β) εισαγωγή διαφοράς φάσης ανάµεσα στις δύο συνιστώσες. Αν η σχετική γωνία θ µεταξύ του άξονα πόλωσης του αρχικού ΓΠ κύµατος και τον ταχύ άξονα είναι διαφορετική των 45 τότε οι δυο ορθογώνιες συνιστώσες που προκύπτουν από το πλακίδιο θα δεν θα έχουν ίσα πλάτη (π.χ Ε 0F =Ε 0 cosθ και Ε 0S =Ε 0 sinθ). Το πλακίδιο θα εισαγάγει διαφορά φάσης φ = φ F -φ S =π/ ανεξάρτητα από τις σχετικές εντάσεις των δύο συνιστωσών. Άρα για διαφορετική σχετική γωνία το φως που αναδύεται από το πλακίδιο λ/4 θα είναι ελλειπτικά πολωµένο. Είναι ενδιαφέρον να αναρωτηθούµε ποια θα είναι η κατάσταση πόλωσης του φωτός που θα προκύψει αν φωτίσουµε ένα πλακίδιο λ/4 µε φυσικό, µονοχρωµατικό φως. Η παράλειψη του γραµµικού πολωτή µπορεί να είναι σηµαντική! Επίσης αφήνουµε στην αναζήτηση του αναγνώστη να βρει ποια θα είναι η κατάσταση πόλωσης αν το αρχικά γραµµικά πολωµένο φως προσπέσει σε µια σειρά από πολωτικά στοιχεία, π.χ. δύο συνεχόµενα πλακίδια λ/4, τρία πλακίδια, τέσσερα, κοκ. Σελίδα 3.18
ΠΟΛΩΣΗ 3.4. Πόλωση και Φυσικά Φαινόµενα Η πόλωση υπάρχει στη φύση! Αν φοράµε πολωτικά γυαλιά, γυαλιά ηλίου δηλαδή που έχουν ενσωµατωµένο ένα γραµµικό πολωτή, τότε τα φρούτα στην αγορά σε µια ηλιόλουστη µέρα φαίνονται λιγότερο γυαλιστερά, ο ουρανός πιο µπλε, και απαλλασσόµαστε από ορισµένες ενοχλητικές ανακλάσεις από τα τζάµια. Μάλιστα, αν οδηγούµε κάποιο από τα σύγχρονα αυτοκίνητα πιθανόν να µην µπορούµε να διαβάσουµε κάποιες από τις ηλεκτρονικές ενδείξεις του µέσα από πολωτικά γυαλιά! Η πόλωση υπάρχει στη φύση επειδή υπάρχουν ορισµένα φυσικά φαινόµενα στα οποία το φως του Ήλιου, που είναι φυσικό φως, µετατρέπεται σε µερικά ή ολικά πολωµένο. Θα περιγράψουµε τέτοια φαινόµενα και θα ερµηνεύσουµε τη διαδικασία µε την οποία συµβαίνει η µετατροπή του φυσικού φωτός σε πολωµένο. Επίσης θα δούµε πώς ακριβώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα φαινόµενα αυτά για την κατασκευή πολωτών και διατάξεων πλακιδίων λ/4. 3.4.1. Πόλωση από Σκέδαση το Μπλε Χρώµα του Ουρανού. Παρατηρούµε φως στον -καθαρό- ουρανό έχοντας τον Ήλιο στην πλάτη µας. Έχουµε ποτέ αναρωτηθεί γιατί συµβαίνει αυτό; Αυτό το φως είναι κυρίως µπλε, και, µάλιστα, πολωµένο. Αν δεν υπήρχε ατµόσφαιρα, ο ουρανός στη Γη θα φαινόταν ακριβώς όπως είδαν οι αστροναύτες του Apollo 11 τον ουρανό της Σελήνης, δηλαδή µαύρος. Συµπεραίνοµε λοιπόν ότι το φως του ουρανού οφείλεται σε κάποιο µηχανισµό επανεκποµπής από τα µόρια της ατµόσφαιρας. Η επανεκποµπή φωτός λέγεται γενικά σκέδαση (scattering). Αν η ενέργεια του σκεδαζόµενου φωτός είναι ίση µε αυτή του προσπίπτοντος, και η επανεκποµπή γίνει χωρίς αισθητή καθυστέρηση, τότε έχουµε ελαστική σκέδαση. Αν επιπλέον τα σκεδάζοντα σωµατίδια είναι πολύ µικρά (< λ/10, κάτι που ισχύει για τα µόρια της ατµόσφαιρας, κυρίως N και Ο, διαµέτρου d 0. nm, πολύ µικρότερα από το µέσο µήκος κύµατος του ορατού 0.5 µm), τότε η σκέδαση λέγεται ελαστική σκέδαση Rayleigh, όπως περιγράφηκε από τον John William Strutt Lord Rayleigh το 1873. Αυτό είναι το κυρίαρχο φαινόµενο που εξηγεί το φως του ουρανού. Όπως παρουσιάζεται αναλυτικά στο Παράρτηµα 3.., για γωνία παρατήρησης θ και µήκος κύµατος λ, η φωτεινή ένταση της σκεδαζόµενης ακτινοβολίας σε απόσταση r από ένα σκεδαστή είναι (3.7.) : 1 sin θ I( θ, r, λ) (3.4.1) 4 r λ Τα συµπεράσµατα που εξάγουµε είναι τα εξής : Η ένταση της ορατής σκεδαζόµενης ακτινοβολίας που αντιστοιχεί στο µπλε είναι πολύ µεγαλύτερη από την αντίστοιχη σκεδαζόµενη ακτινοβολία που αντιστοιχεί στο κόκκινο, γιατί έχοντας περίπου το διπλάσιο µήκος κύµατος από το µπλε, σκεδάζεται κατά παράγοντα 1/16! ηλαδή η σκέδαση από τα µόρια της ατµόσφαιρας αναπαράγει φως µε δραστικά διαφορετική φασµατική κατανοµή Σελίδα 3.19
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ από αυτή του προσπίπτοντος ηλιακού φωτός, που -ως ένα µέλαν σώµα θερµοκρασίας 5,780 K, ( 1.3.)-, έχει ένα µέγιστο φασµατικής κατανοµής ακτινοβολίας στα 550 nm, δηλαδή στο κίτρινο. Ό,τι δεν σκεδαστεί διέρχεται κατά την ίδια διεύθυνση της διαδιδόµενης ακτινοβολίας έτσι κατά το ηλιοβασίλεµα ή την ανατολή το φως του Ήλιου είναι κυρίως κόκκινο. Η µέγιστη ένταση της σκεδαζόµενης ακτινοβολίας παρουσιάζεται για γωνίες παρατήρησης θ=90 σε σχέση µε την πρόσπτωση. Άρα αν παρατηρήσουµε τον ουρανό σε διευθύνσεις σχεδόν κάθετες προς τις ακτίνες του προσπίπτοντος ηλιακού φωτός τότε θα δούµε το πιο έντονο χρώµα του ουρανού. Το φως αυτό είναι πολωµένο. Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε παρατηρώντας τον ουρανό έχοντας τον Ήλιο σε 90 -δηλαδή σε διευθύνσεις κάθετες προς τις ακτίνες του προσπίπτοντος ηλιακού φωτός, και είτε φορώντας πολωτικά γυαλιά είτε µε ένα απλό γραµµικό πολωτή, θα παρατηρήσουµε έντονες διακυµάνσεις της φωτεινής έντασης. Σχήµα 3-4-1 : Τα χρώµατα του ουρανού προκύπτουν από σκέδαση Rayleigh. Στο Παράρτηµα 3.. δείχνεται ότι ακριβώς αυτές οι διευθύνσεις εµφανίζουν ολική γραµµική πόλωση για το σκεδαζόµενο φως. Σε κάθε άλλη διεύθυνση το σκεδαζόµενο φως είναι µερικά γραµµικά πολωµένο. Ο µηχανισµός της σκέδασης συνοψίζεται ως εξής: ένα ΗΜ κύµα κατάλληλης συχνότητας προσπίπτει σε σωµάτια ενός αερίου και προκαλεί µετατοπίσεις του ηλεκτρονικού νέφους. Οι µετατοπίσεις ακολουθούν τις διακυµάνσεις του ηλεκτρικού πεδίου, και έτσι το ηλεκτρονικό νέφος τίθεται σε ταλάντωση. Αυτή η κλασική µετάδοση ενέργειας αντιστοιχεί σε µη συντονισµένη απορρόφηση ( 1.5). ηµιουργείται έτσι ένα ταλαντούµενο δίπολο, το οποίο είναι µια στοιχειώδης µονάδα εκποµπής ΗΜ κύµατος, δηλαδή επανεκπέµπει την ενέργεια που απορρόφησε προς όλες τις διευθύνσεις στη συχνότητα ταλάντωσης του αρχικού κύµατος. ìç óõíôïíéóìýíç áðïññüöçóç ôáëüíôùóç çëåêôñïíßïõ åðáíåêðïìðþ hí 1 hí 1 Σχήµα 3-4- : Μηχανισµός ελαστικής σκέδασης. Σελίδα 3.0
ΠΟΛΩΣΗ Ας δούµε αναλυτικά αυτή τη βασική υπόθεση που θα χρησιµοποιήσουµε και εδώ αλλά και στο κεφάλαιο του ιασκεδασµού. Τα µόρια ή τα άτοµα ενός υλικού - π.χ. αερίου ή γυαλιού- µπορούν να θεωρηθούν ότι αποτελούνται από µια συµµετρική κατανοµή του ηλεκτρονικού νέφους γύρω από τον πυρήνα (σχήµα 3-4-3α). Τα ηλεκτρόνια θεωρούνται δέσµια αν µπορούµε να πούµε ότι ανήκουν σε ένα άτοµο, δηλαδή δέχονται την επίδραση ενός µόνο συστήµατος θετικών φορτίων, τα οποία βρίσκονται στον πυρήνα. Είναι δυνατό να υπολογίσουµε τις µέσες κατανοµές των θετικών και αρνητικών φορτίων όταν το άτοµο δεν δέχεται καµία επίδραση. Αν αυτά τα κέντρα µάζας των φορτίων δεν απέχουν κάποια απόσταση, δηλαδή συµπίπτουν, τότε το µόριο ή άτοµο λέγεται µη-πολικό, ενώ αν απέχουν κάποια χρονικά σταθερή απόσταση τότε έχουµε ένα πολικό µόριο ή άτοµο. Θα δεχθούµε ότι το υλικό µας είναι µη-πολικό. Αν σε ένα τέτοιο υλικό επιδράσει εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο τότε είναι δυνατό να εµφανιστεί µια µετατόπιση των κέντρων των θετικών και αρνητικών φορτίων. Μάλιστα, µιας και ο πυρήνας είναι αρκετά πιο αδρανής από το ευκίνητο ηλεκτρονικό νέφος, µπορούµε να θεωρήσουµε τα αρνητικά φορτία µόνο, και τότε δηµιουργείται επαγόµενη πόλωση, εµφανίζεται δηλαδή µια µετατόπιση των αρνητικών φορτίων ως προς το κέντρο, τον πυρήνα. Έτσι προκύπτει ένας διαχωρισµός φορτίων, ένα ηλεκτρικό δίπολο. Σχήµα 3-4-3 : Εµφάνιση ηλεκτρικής διπολικής ροπής σε άτοµο µε επίδραση ηλεκτρικού πεδίου. Αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι ταλαντούµενο µε συχνότητα ω, -η οποία δεν πρέπει να αντιστοιχεί σε κάποια ιδιοσυχνότητα απορρόφησης του υλικού 4.1.1- όπως είναι το ηλεκτρικό πεδίο από ένα προσπίπτον φωτεινό κύµα, τότε µπορεί να θέσει σε ταλάντωση το ηλεκτρικό δίπολο µε αυτή ακριβώς τη συχνότητα και διεύθυνση ταλάντωσης την ίδια ακριβώς µε αυτή που ταλαντώνεται το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου. Αυτό το ηλεκτρικό δίπολο µοιάζει µε ένα ταλαντούµενο κύκλωµα L-C. Η θεωρία του ηλεκτροµαγνητισµού προβλέπει ότι ένα τέτοιο ταλαντούµενο κύκλωµα µπορεί να εκπέµψει ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία µε τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά συχνότητας και διεύθυνσης ταλάντωσης του διεγείροντος ηλεκτρικού πεδίου: δηµιουργείται δηλαδή µια στοιχειώδης µονάδα επανεκποµπής του φωτός προς όλες τις διευθύνσεις. Έτσι λοιπόν θεωρούµε φυσικό φως από τον Ήλιο, µε τους άξονες ταλάντωσης του ηλεκτρικού του πεδίου να βρίσκονται πάνω σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση πρόσπτωσης z (σχήµα 3-4-4). Τα δίπολα προκύπτουν από τα µόρια της ατµόσφαιρας. Το επίπεδο ταλάντωσης των διπόλων, και άρα το επίπεδο ταλάντωσης του Σελίδα 3.1
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ επανεκπεµπόµενου φωτός είναι κάθετο στην αρχική διεύθυνση πρόσπτωσης υπάρχει δηλαδή συγκεκριµένος περιορισµός στον προσανατολισµό του επίπεδου ταλάντωσης του πεδίου για το επανεκπεµπόµενο φως. Αυτό το επανεκπεµπόµενο φως λέγεται σκεδαζόµενο, και αµέσως τώρα θα δούµε πώς αυτός ο περιορισµός επηρεάζει την κατάσταση πόλωσης του σκεδαζόµενου φωτός. Συγκεκριµένα, το φως είναι πάντοτε εγκάρσιο κύµα. Άρα, οποιαδήποτε κι αν είναι η διεύθυνση διάδοσής του, το επίπεδο ταλάντωσης του ηλεκτρικού του πεδίου πρέπει να είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Αυτές όµως οι διευθύνσεις ταλάντωσης είναι προκαθορισµένες! Για παρατήρηση σε διεύθυνση παράλληλη µε αυτή της πρόσπτωσης (παρατηρητής Α) το επανεκπεµπόµενο -σκεδαζόµενο- φως έχει ηλεκτρικό πεδίο που εξακολουθεί να διατηρεί όλες τις αρχικές δυνατές διευθύνσεις ταλάντωσης, οι οποίες είναι -πάντα- κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης. Έτσι, αν προσπέσει φυσικό φως, το σκεδαζόµενο φως προς τέτοιες διευθύνσεις θα είναι επίσης φυσικό. Äéåýèõíóç Ðñüóðôùóçò Öõóéêü Öùò áðü ôïí ¹ëéï ÃñáììéêÜ ÐïëùìÝíï Öùò Öõóéêü Öùò Σχήµα 3-4-4 : Μηχανισµός πόλωσης του ηλιακού φωτός από σκέδαση από τα µόρια της ατµόσφαιρας. Για παρατήρηση σε διεύθυνση κάθετη µε αυτή της πρόσπτωσης (παρατηρητής Β), οι διευθύνσεις ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου που εξακολουθούν να είναι κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης περιορίζονται. Συγκεκριµένα, οι διευθύνσεις αυτές προκύπτουν από το επίπεδο ταλάντωσης του διπόλου: είναι η προβολή του επίπεδου επανεκποµπής πάνω στο επίπεδο που είναι κάθετο προς τη διεύθυνση διάδοσης. Για τον παρατηρητή Β π.χ. προκύπτει µια µόνο τέτοια διεύθυνση. Έτσι, προς τέτοιες διευθύνσεις το φως που σκεδάζεται είναι γραµµικά πολωµένο. Είναι ενδιαφέρον να αναρωτηθούµε τί φως θα διαδοθεί προς τις κατευθύνσεις των παρατηρητών Α και Β αν κατά την ίδια ακριβώς διεύθυνση πρόσπτωσης το φως Σελίδα 3.
ΠΟΛΩΣΗ δεν είναι πια φυσικό αλλά πολωµένο, π.χ. µε κατακόρυφη διεύθυνση ταλάντωσης πεδίου. Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ενώ ο παρατηρητής Α θα ανιχνεύσει κατακόρυφα γραµµικά πολωµένο φως ο παρατηρητής Β δεν θα ανιχνεύσει τίποτε! Έτσι λοιπόν το σκεδαζόµενο φως της ατµόσφαιρας παρουσιάζει µερική γραµµική πόλωση που εξαρτάται από τη διεύθυνση παρατήρησης. Αυτό µπορούµε να το δούµε αν παρατηρήσουµε µέσα από έναν αναλυτή την περιοχή του ουρανού σε διεύθυνση κάθετη στις ηλιακές ακτίνες. Στρέφοντας τον αναλυτή παρατηρούµε σε ένα σκοτείνιασµα, εξαιτίας της κατάσβεσης της γραµµικά πολωµένης συνιστώσας του σκεδαζόµενου φωτός που φθάνει στα µάτια µας από τη διεύθυνση αυτή. 3.4.. Πόλωση από Ανάκλαση και ιάθλαση Με τον ίδιο αναλυτή µπορούµε να παρατηρήσουµε φως που προέρχεται από ανάκλαση σε διάφορες επιφάνειες, όπως ένα τζάµι που καλύπτει µια φωτογραφία. Για µερικές γωνίες το ανακλώµενο φως είναι τόσο ενοχλητικό που δεν µπορούµε να διακρίνουµε τι υπάρχει πίσω από το τζάµι. Για µια συγκεκριµένη γωνία παρατήρησης βρίσκουµε ότι υπάρχει µια στροφή του αναλυτή που αποκόπτει πλήρως την ανακλώµενη ακτινοβολία: δηλαδή το φως από ανάκλαση στη γωνία αυτή είναι γραµµικά πολωµένο! Στη Γεωµετρική Οπτική δεν αναφερθήκαµε στις εντάσεις της ανακλώµενης και διαθλώµενης δέσµης, ούτε στην κατάσταση πόλωσης, παρά µόνο στην πορεία τους. Για την κατάσταση πόλωσης της ανακλώµενης δέσµης µπορούµε να έχουµε µια ποιοτική εκτίµηση παρόµοια µε αυτή που δόθηκε στο σκεδασµό από µόρια της ατµόσφαιρας. Η ανακλώµενη και διαθλώµενη δέσµη προκύπτουν πάλι από µη συντονισµένη απορρόφηση και επανεκποµπή ακτινοβολίας, αυτή τη φορά από ηλεκτρικά δίπολα µορίων επιφανείας που διεγέρθηκαν από την προσπίπτουσα ακτινοβολία, που τη θεωρούµε και πάλι φυσικό φως. Öõóéêü Öùò äéá ùñéóôéêþ åðéöüíåéá y 90 0 r è  è  ÃñáììéêÜ ÐïëùìÝíï Öùò z åðßðåäï ðñüóðôùóçò 90 0 r x Σχήµα 3-4-5 : Μηχανισµός πόλωσης του φωτός από ανάκλαση από µόρια της διαχωριστικής επιφάνειας. Θεωρούµε προσπίπτουσα ακτινοβολία που διαδίδεται σε µια διεύθυνση r. Το ηλεκτρικό της πεδίο ταλαντώνεται σε ένα εγκάρσιο επίπεδο. Περνώντας τη Σελίδα 3.3
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ διαχωριστική επιφάνεια (x-z), η διεύθυνση διάδοσης για τη διαθλώµενη στρέφεται σύµφωνα µε το νόµο της διάθλασης το επίπεδο ταλάντωσης του ηλεκτρικού του πεδίου υπόκειται στην ίδια ακριβώς στροφή επειδή να παραµένει κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης. Έτσι το επίπεδο ταλάντωσης των διπόλων είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης r µέσα στο υλικό. Για το επανεκπεµπόµενο φως, οι διευθύνσεις ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου -πάντοτε κάθετες προς τη διεύθυνση διάδοσης- είναι παράλληλες στο επίπεδο ταλάντωσης των διπόλων επιφανείας, όπως ακριβώς και στην περιγραφή της πόλωσης από σκέδαση. Για παρατήρηση στη διεύθυνση της διαθλώµενης µέσα στο υλικό το ηλεκτρικό πεδίο έχει όλες τις δυνατές διευθύνσεις ταλάντωσης και άρα δεν προκύπτει από εκεί γραµµική πόλωση. Ωστόσο, για παρατήρηση στη διεύθυνση της ανακλώµενης οι διευθύνσεις ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου που είναι κάθετες προς τη διεύθυνση διάδοσης και ταυτόχρονα παράλληλες προς το επίπεδο ταλάντωσης του διπόλου περιορίζονται. Για τυχαία γωνία ανάκλασης περιέχονται στην προβολή των επιπέδων επανεκποµπής στο επίπεδο που είναι κάθετο προς τη διεύθυνση διάδοσης της ανακλώµενης δέσµης. Έτσι το ανακλώµενο φως έχει περιορισµένη επιλογή ταλάντωσης ηλεκτρικών πεδίων, και µπορεί να είναι γραµµικά πολωµένο. Για µια συγκεκριµένη γωνία πρόσπτωσης θi τέτοια ώστε η ανακλώµενη και η διαθλώµενη δέσµη να είναι συµπληρωµατικές, οι διευθύνσεις ταλάντωσης του ανακλώµενου ηλεκτρικού πεδίου περιορίζονται µόνο σε µια ευθεία, κατά µήκος του άξονα τοµής της διαχωριστικής επιφάνειας και του επίπεδου ταλάντωσης των διπόλων, δηλαδή το ανακλώµενο φως είναι ολικά γραµµικά πολωµένο παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια και κάθετα στο επίπεδο πρόσπτωσης! Θεωρούµε µια διαχωριστική επιφάνεια ενός εξωτερικού µέσου n 1 και ενός διηλεκτρικού µε δείκτη διάθλασης n. Οι γωνίες πρόσπτωσης θi, ανάκλασης θr, και διάθλασης θt συνδέονται µε τις σχέσεις ανάκλασης και διάθλασης, θi = θr και n 1 sin(θi) = n sin(θt), αντίστοιχα. Έτσι προκύπτει : 1 B 0 ( θb) n sinθ = n sin 90 (3.4.) και η γωνία Brewster -προς τιµή του Sir David Brewster που µελέτησε το φαινόµενο το 1813 είναι η : Γωνία Brewster θ tan n 1 Β = n1 (3.4.3) Εκτός από την παραπάνω ποιοτική ανάλυση, µπορούµε να έχουµε µια πλήρη και ποσοτική διαπραγµάτευση του φαινοµένου. Στη γενική περίπτωση πρόσπτωσης έχουµε φυσικό φως που προσπίπτει σε µια διαχωριστική επιφάνεια. Θέλουµε να βρούµε ακριβώς πόσο ποσοστό από την προσπίπτουσα ακτινοβολία ανακλάται και πόσο διαθλάται για συγκεκριµένη γωνία πρόσπτωσης και κατάσταση πόλωσης. Αναζητάµε δηλαδή τις αναλυτικές εκφράσεις για το συντελεστή ανάκλασης ρ, το λόγο πλάτους του ανακλώµενου προς το πλάτος του προσπίπτοντος πεδίου, και διαπερατότητας τ, το λόγο πλάτους του διαθλώµενου προς το πλάτος πεδίου του Σελίδα 3.4