ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες, Α =2Α l c = N. με Ν=0, ± 1, ± 2, ± 3... 2 Δεσμοί, ακίνητα l σημεία Α =0 c = (2N + 1) με Ν=0, ± 1, ± 2, ± 3.. 4 Συνθήκη σχηματισμού l στάσιμου κύματος σε d = (2k + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ταχύτητα διάδοσης Συχνότητα Εξισώσεις του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου x c = = t 8, c=λ.f, c<c o,στο κενό (αέρα) co 3.10 / t x t x E = Eohm 2 p ( m ) και Β=Βοhm 2 p ( m ) T l T l Σχέση των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου c o, για το κενό (αέρα) E E E E = = co = = B B B B o o o m s Συντονισμός στα Η/Μ fh /Η/Μ Mέ = fd kth και Τ έ= Η/Μ T d kth, οπότε Τ κύματα με δέκτη κύκλωμα = 2 p L. C L-C ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ Σχέση γωνίας πρόσπτωσης και q = q ανάκλασης Δείκτης διάθλασης οπτικού μέσου Νόμος του Snell a c o n = c p λ ο, n= λ hmq. n = hmq. n p 1 d 2 Κρίσιμη ή οριακή γωνία hmq crit n 1 = με n1 < n2, για τον αέρα hmqcrit = n2 1 n Αριθμός μηκών κύματος d d. n N = =, όπου d το μήκος του οπτικού μέσου l l o,και n ο δείκτης διάθλασης 1
ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ - ΔΙΑΘΛΑΣΗ 1. Πάνω σε μία χορδή που το ένα άκρο της είναι ελεύθερο, κοιλία με χ=0, και το άλλο στερεωμένο, έχει σχηματιστεί ένα στάσιμο κύμα. Τα κύματα που συμβάλλουν για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα είναι της μορφής : y 1 =0.3 ημ2π(4t-x/8) (S.I) και y 2 (S.I) α. Να βρείτε την εξίσωση του δευτέρου κύματος και την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β. Να προσδιορίσετε την απόσταση του τρίτου δεσμού από την ελεύθερη άκρη της χορδής. γ. Με πόση ταχύτητα ταλαντώνεται το σημείο Μ με χ Μ = 11 m τη χρονική στιγμή t 1 =1/48 s; δ. Να βρείτε το μήκος της χορδής, αν το στάσιμο έχει συνολικά 6 δεσμούς, και τον αριθμό και τις θέσεις των κοιλιών σε όλη τη χορδή. ε. Να κάνετε το στιγμιότυπο τις χρονικές στιγμές t 1 =1/48 s, t 2 = 3/16 s. στ. Να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση μεταξύ του 1 ου δεσμού και της 3 ης κοιλίας ( y = 0, 6 συνπx/4 ημ8πt, 10m, -1,2π 6 m/s, 22 m) 2. Μια οριζόντια ελαστική χορδή ΚΛ μήκους L=3 m εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα χ Oχ. Τα άκρα Κ και Λ της χορδής είναι στερεωμένα ακλόνητα. Με κατάλληλη διαδικασία δημιουργείται στη χορδή στάσιμο κύμα με 5 συνολικά κοιλίες. Στο μέσον Ο της χορδής που βρίσκεται στη θέση χ= 0 εμφανίζεται κοιλία. Τη χρονική στιγμή t= 0 το σημείο Ο έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Ο είναι Α = 0,02 m Ένα υλικό σημείο Σ της χορδής βρίσκεται στο θετικό μέρος του άξονα Οχ, και απέχει απόσταση, κατά μήκος του άξονα, d=1,1 m από το άκρο της. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ έχει μέτρο υ max = 0,2π m/s. α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων, από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα. β) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στασίμου κύματος τη χρονική στιγμή T/4, όπου Τ η περίοδος του κύματος.. ε) Αν υποδιπλασιάσουμε το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα στη χορδή, ώστε στο μέσο Ο να εμφανίζεται κοιλία ; Τι μορφής στάσιμο κύμα μπορεί να εμφανιστεί στη χορδή μας ; (1,2 m, 12 m/s, 0,02συν5πχ/3.ημ20πt, -0.01 ημ20πt ) 3. Σε οριζόντιο γραμμικό ελαστικό μέσο ΟΒ μήκους L=10 cm το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση ενός άξονα Οχ, δημιουργείται στάσιμο κύμα, έτσι ώστε το ένα άκρο Ο να είναι κοιλία ενώ το άλλο άκρο Β είναι διαρκώς ακίνητο. Τα σημεία του μέσου που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος κινούνται κατακόρυφα μεταξύ δύο θέσεων που απέχουν 8 cm και ο ελάχιστος χρόνος κίνησής τους από την ανώτερη στην κατώτερη θέση τους είναι ίσος με 0,1 s. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων που παραμένουν διαρκώς ακίνητα είναι ίση με 4 cm. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος και να βρεθεί ο αριθμός των κοιλιών β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t 1 όπου τα σημεία του μέσου βρίσκονται σε ακραία θέση για πρώτη φορά. και να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t=t 1 +0, 05 s και t = t 1 +0, 1 s. γ) 1) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης των σημείων Μ και Ν που βρίσκονται στις θέσεις χ Μ = 1 cm και x N =3 cm αντίστοιχα, και να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης τους. 2) Να παραστήσετε γραφικά το πλάτος και την απομάκρυνση των σημείων Μ και Ν σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα, ώστε κατά μήκος της χορδής να σχηματίζονται 2 περισσότερες κοιλίες, χωρίς να αλλάξει η κινητική κατάσταση του άκρου Ο της χορδής. (4συνπχ/4.ημ10πt, 0.05 s, 2 2 ημ10πt, -2 2 ημ10πt, π rad, 40/9cm ) 2
4. *Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση: y=2aσυν(5πχ).ημ(8πt) (S.I). Το υλικό σημείο Γ, χ Γ = 7/15 m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A Γ =0,5 m. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υλικού σημείου Γ, τη στιγμή που το Ο (χ=0)βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση. γ) Υλικό σημείο Δ του θετικού ημιάξονα έχει εξίσωση ταχύτητας : υ Δ = - 4 2π.συν(8πt) (S.I). Αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ της 6 ης κοιλίας και του 6 ου δεσμού του θετικού ημιάξονα, να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη της θέσης του Δ. δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΟΔ της χορδής, τα οποία κάθε χρονική στιγμή έχουν ίση απομάκρυνση και ίση ταχύτητα με το Δ. ε) Να βρείτε τη διαφορά φάσης των σημείων Γ και ενός σημείου Κ με χ Κ =2/3 m. στ) Να κάνετε το διάγραμμα της ταχύτητας συναρτήσει της θέσης χ των σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t=0,5 s μεταξύ των θέσεων 0 χ 7λ/4. 5. Το στιγμιότυπο το σχήματος παριστάνει στάσιμο κύμα μια χρονική στιγμή t 1, που τα υλικά σημεία του νήματος είναι στιγμιαία ακίνητα. Η περίοδος των κυμάτων που συμβάλλουν και δημιουργούν το στάσιμο κύμα είναι ίση με Τ = 4 s. Το σημείο Ο που βρίσκεται στη θέση χ =0 του άξονα είναι κοιλία και ταλαντώνεται χωρίς αρχική φάση. α) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος μεταξύ των θέσεων χ=0 και χ=50 cm τη χρονική στιγμή t=t 1 + 2 s. Στο στιγμιότυπο αυτό να σχεδιάσετε τη φορά της επιτάχυνσης των σημείων Β και Γ. β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή κατά την οποία κάθε υλικό σημείο του νήματος έχει κινητική ενέργεια Κ =3E/4, όπου Ε η ολική ενέργεια της ταλάντωσής του, για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t 1. Στο στιγμιότυπο αυτό να σχεδιάσετε τη φορά κίνησης των σημείων Β και Γ γ) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα του σημείου Β και τη μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Γ. ε) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου Β όταν η απομάκρυνσή του είναι ίση με τα 3/5 της μέγιστης απομάκρυνσής του. Θεωρήστε στις πράξεις σας π 2 =10. (80συνπχ/20.ημπt/2, 20π 2 cm/s, 2 m/s 2, 16π 2 cm/s ) 6. *Δύο κύματα που διαδίδονται σε μία χορδή έχουν εξισώσεις: y 1 = 20ημ(πt πχ/12 ) και y 2 = 20ημ(πt + πχ/12 ),(t σε s και χ, y σε cm). α. Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από τη συμβολή των δύο κυμάτων. β. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου Μ που απέχει από την αρχή απόσταση d = 21 cm. γ. Σε πόση απόσταση από το Μ βρίσκονται τα δύο πλησιέστερα σημεία που έχουν ίδιο πλάτος με αυτό; δ. Σε πόση απόσταση από το Μ βρίσκεται η πλησιέστερη κοιλία και σε πόση ο πλησιέστερος δεσμός; ε. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη στιγμή 3Τ/4, αν το μήκος της χορδής είναι χ=54 cm. στ. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου της χορδής που απέχει απόσταση λ/3 από τον πλησιέστερο δεσμό. (40συνπχ/12.ημπt, 20 2cm, 6cm, 3cm, 20 3 cm ) 3
7. Δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής η οποία έχει τη διεύθυνση του άξονα των χ. Από τη συμβολή των δύο κυμάτων προκύπτει στάσιμο κύμα. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη στιγμή κατά την οποία όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται στις θέσεις της μέγιστης απομάκρυνσής τους. Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν για να δώσουν το στάσιμο είναι f=40 Hz. Θεωρούμε ότι τη στιγμή t=0 για χ=0 είναι y=0. α) Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ της χορδής του οποίου η τετμημένη είναι χ Κ =50 cm. γ) Να βρεθεί η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σημείου Κ της χορδής τη στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα του ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της. δ) Πόσο είναι το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης του σημείου Κ αυτή τη στιγμή ; ε) Έστω Λ το σημείο της χορδής το οποίο είναι το πλησιέστερο σημείο προς τα αριστερά του Κ και ταλαντώνεται με πλάτος ίσο με το πλάτος καθενός από τα δύο κύματα που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων Λ και Κ τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο σημεία κινούνται με τη μέγιστη ταχύτητα τους; (10συνπχ/40.ημ80πt, 5 2 cm, ±2.5 6 cm, 3, x Λ =80/3 cm, ΚΛ=70/3 cm) 8. *Σε χορδή μεγάλου μήκους που ταυτίζεται με τον άξονα χ Οχ έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με κοιλία στο σημείο Ο( χ= 0), εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων που διαδίδονται στη χορδή και έχουν εξισώσεις y 1 = Α ημ(ωt kx) και y 2 = Α ημ(ωt+ kx), με k> 0. Σημείο Ζ (χ Ζ = + 0,25 m) της χορδής είναι δεσμός και στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΖ έχουν δημιουργηθεί άλλοι δύο δεσμοί, ενώ ένα άλλο σημείο Λ(χ Λ = + 0,625 m) της χορδής ταλαντώνεται με πλάτος 0,1 2 m. Όλα τα σημεία της χορδής ευθυγραμμίζονται κάθε 0,2 s. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης των κυμάτων που συμβάλλοντας δημιουργούν το στάσιμο κύμα. β) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα και την εξίσωση του στάσιμου κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος στο θετικό ημιάξονα Οχ μια στιγμή που το σημείο Ο φτάνει στην ακραία αρνητική του απομάκρυνση και μέχρι τον 6 ο δεσμό. δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ (χ Μ = + 13/30 m) μια χρονική στιγμή που το σημείο Ο περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. ε) Να κάνετε το διάγραμμα των φάσεων όλων των υλικών σημείων της χορδής μέχρι τον 6 ο δεσμό, σε συνάρτηση με τη θέση τους χ. (0,5 m/s, 0.1 ημ(5πt-10πχ), 0,2συν10πχημ5πt, 0.5π m/s) 9. *Κατά μήκος ελαστικής χορδής μήκους L=27 m, της οποίας το ένα άκρο είναι στερεωμένο, σχηματίζεται στάσιμο κύμα. Η ταχύτητα ταλάντωσης των υλικών σημείων της χορδής pc περιγράφεται από την εξίσωση : u = 0,8. p. sun. sun10 pt (S.I) 6 α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που σχηματίζουν το στάσιμο κύμα καθώς και την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου Μ που απέχει από την αρχή απόσταση d M =19 m. γ) Να βρείτε το πλήθος των δεσμών και των κοιλιών του στασίμου κύματος που δημιουργούνται στη χορδή και να κάνετε το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t 1 =3/20 sec. δ) Σε πόση απόσταση από το σημείο Μ βρίσκονται τα δύο πλησιέστερα σημεία με το ίδιο πλάτος; ε) Σε πόση απόσταση από το Μ βρίσκεται η πλησιέστερη κοιλία και σε πόση ο πλησιέστερος δεσμός; στ) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του πλησιέστερου δεσμού από το σημείο Κ με χ Κ = 8 m. ζ) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου της χορδής που απέχει απόσταση λ/6 από την πλησιέστερη κοιλία. (0.08συνπχ/6.ημ10πt, 0.04 3 m, 5, 4 m, 2 m, 1m, 2m, 0.04 3 m) 4
10. *Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t=1/720 s.δίνεται η συχνότητα του στάσιμου κύματος f=60 Hz. Υποθέτουμε ότι η αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ=0) το σημείο Ο, είναι μια κοιλία και ότι η αρχή των χρόνων (t=0) είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία η φάση του κύματος του σημείου Ο είναι μηδέν. Α. Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος Β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σημείου Β της χορδής. Γ. Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου Β της χορδής όταν η απομάκρυνσή του είναι y B =5.10-3 m. Δ. Να βρεθεί η θέση του πλησιέστερου από τα δεξιά στον πρώτο δεσμό, σημείου που έχει ενέργεια ίση με τα 75% της ενέργειας ταλάντωσης μιας κοιλίας. Να θεωρηθεί ότι όλα τα σημεία της χορδής έχουν την ίδια μάζα. (2συνπχ/30.ημ120πt (x,y cm, t s ), y B =-1.ημ(120πt), ±60π 3 cm/s, 25 cm) 11. Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος σε μια χρονική στιγμή t 1 στιγμιαίας ακινητοποίησης των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου. Το υλικό σημείο Ζ (χ 1 = + 4 cm) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t 1 αφού περάσει χρόνος Δt= 0,1 s από τη στιγμή t 1. α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης των δυο τρέχοντων κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα. β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t 2 = t 1 + 0,1 s και t 3 = t 1 + 0,2 s. Ποια είναι η κατεύθυνση κίνησης του Ζ τη χρονική στιγμή t 2 ; Ποια άλλα σημεία έχουν την ίδια τότε ταχύτητα ; γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου Ζ τη στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της. δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη κινητική ενέργεια του υλικού σημείου Ζ, αν δίνεται ότι η μάζα του ισούται με m = 0,2 g. Θεωρήστε για τις πράξεις: π 2 = 10. (0,04m, 0,1m/s, 0,05 3π m/s, 10-5 J) 12. Σε μια χορδή μήκους L= 2,1 m έχει δημιουργηθεί στάσιμο εγκάρσιο αρμονικό κύμα του οποίου το ένα στιγμιότυπο φαίνεται στο σχήμα, που στο ελεύθερο άκρο της χορδής σχηματίζεται κοιλία, ενώ στο άλλο δεσμός. Α. Κάποια από τις δύο παρακάτω εξισώσεις περιγράφει το στάσιμο κύμα στη χορδή: 5pc a) y = 0.08 sun. hm70 pt (S.I), 3 10pc β) y = 0.08 sun. hm70 pt (S.I) 3 Α1 Να βρείτε ποια εξίσωση είναι αυτή και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α2. Να βρείτε το πλάτος, τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων που συμβάλλουν για τη δημιουργία του στάσιμου κύματος. Β. Το μέσο Μ της χορδής κάποια στιγμή έχει απομάκρυνση y M = 0,04 m. Να βρείτε την επιτάχυνσή του και την ταχύτητά του εκείνη τη στιγμή. Γ. Έστω ότι τα κύματα που συμβάλλουν έχουν το ίδιο πλάτος αλλά διαφορετική συχνότητα f = 75 Ηz. Να εξηγήσετε γιατί δημιουργείται ξανά στάσιμο κύμα στη χορδή και να βρείτε τον αριθμό των δεσμών που σχηματίζονται. (α, 0,04 m, 35 Hz, 42 m/s, 0.04 2 m,1960 m/s 2, 2.8 π m/s, 8 δεσμοί) 5
13. Οριζόντια χορδή μήκους L = 2 m έχει ελεύθερα τα δυο άκρα της. Αναγκάζουμε το αριστερό άκρο της χορδής να εκτελεί απλά αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=5 cm σε διεύθυνση κάθετη στη χορδή. Τη χρονική στιγμή t=0 το αριστερό άκρο της χορδής που το θεωρούμε αρχή του άξονα (x = 0) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενο με θετική ταχύτητα. Το παραγόμενο κύμα διαδίδεται στη χορδή με ταχύτητα υ = 20 cm/s ανακλάται στο άλλο άκρο της χορδής και συμβάλλει με το προσπίπτον κύμα δημιουργώντας στάσιμο κύμα για το οποίο το αριστερό άκρο και το δεξιό της χορδής είναι κοιλία. Το πλήθος των σχηματιζόμενων ατράκτων του στάσιμου κύματος στη χορδή είναι 10. α. Να βρείτε το μήκος κύματος καθενός από τα δύο τρέχοντα κύματα στη χορδή. β. Να γράψετε τις εξισώσεις του καθενός από τα τρέχοντα κύματα και του στάσιμου κύματος. γ. Να βρείτε την εξίσωση ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Κ της χορδής με θέση χ Κ =20 cm. δ. Να βρείτε τις θέσεις των σημείων της χορδής ανάμεσα στον 3ο δεσμό και την 4η κοιλία που λόγω του στάσιμου κύματος ταλαντώνονται με πλάτος 5 2 cm. ε. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τρέχοντος κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά της χορδής τη χρονική στιγμή t=3,5 s. (40 cm, 10συνπχ/20.ημπt, 50 cm, 60 cm, 55 cm ) 14. *Τα άκρα Α και Β μιας οριζόντιας χορδής είναι ακλόνητα στερεωμένα. Στο μέσο Μ της χορδής προκαλούμε διαταραχή της μορφής : y=0.05 ημ20πt ( S.I) Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης υ = 4 m/s και μετά την ανάκλασή τους στα άκρα Α και Β συμβάλλουν δημιουργώντας ένα στάσιμο κύμα με 6 δεσμούς (μαζί με τα Α και Β). Σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ = 0) να θεωρήσετε μια κοιλία του στάσιμου κύματος στο μέσο Μ, η οποία την αρχή μέτρησης των χρόνων ( t= 0) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της με ταχύτητα υ> 0. Α. Να υπολογίσετε το μήκος L της χορδής. Β. Να γράψετε τις εξισώσεις: 1. του στάσιμου κύματος, 2. της ταχύτητας, σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημείο Σ της χορδής στη θέση χ Σ =+ 0,2 m. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Σ, όταν η απομάκρυνσή του είναι 0,06 m; Γ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή t=1/40 sec. Δ. Αντικαθιστούμε τη χορδή με άλλη ίδιου μήκους αλλά από διαφορετικό υλικό. Προκαλούμε στο μέσο της, διαταραχή της μορφής: y= 0,05ημ18πt (S.I) Τα παραγόμενα κύματα φτάνουν στα άκρα Α και Β σε χρονικό διάστημα Δt = 0,25 s. Να υπολογίσετε τον αριθμό των δεσμών του νέου στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθούν στη χορδή. ( 1 m, 0.1 συν5πχ.ημ20πt, -2πσυν20πt, 1.6 π m/s, 10 ) 15. Ένα σκοινί ΚΛ διατηρείται οριζόντιο και καλά τεντωμένο. Το ένα άκρο του Κ παραμένει διαρκώς ακίνητο. 'Ένας μηχανισμός αναγκάζει το άλλο άκρο του Λ να εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις με εξισώσεις απομάκρυνσης : y1 2 ( t ) και y2 2 3 ( t ) 6 3 6 6 (χ, ψ σε cm, t σε sec). Μετά από λίγο εμφανίζεται στη χορδή στάσιμο κύμα. Διαπιστώνουμε ότι δύο σημεία που πάλλονται ως κοιλίες απέχουν μεταξύ τους 1,2 m, ενώ ανάμεσά τους παρεμβάλλονται δύο δεσμοί. α. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή; β. Ποια είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σημείου Ρ του σχοινιού, που βρίσκεται μεταξύ της πρώτης κοιλίας και του πρώτου δεσμού και απέχει απόσταση 0,l m από το σημείο του σκοινιού που παραμένει διαρκώς ακίνητο; (Το άκρο Λ να θεωρηθεί κοιλία) γ. Ποια σημεία ταλαντώνονται έχοντας ενέργεια ίση με το 50% της μέγιστης ενέργειας μιας κοιλίας και βρίσκονται μεταξύ του 1 ου δεσμού και της 2 ης κοιλίας ; δ. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας ενός σημείου στη θέση χ=0,6 m, όταν η απομάκρυνσή του είναι y= 15 cm ; Δίνεται :π 2 =10 (0,1 m/s, 0,04ημ(π/6t), 0,45 m, 7π/6 cm/s ) 6
16. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός άξονα χ Οχ. Τη χρονική στιγμή t=0, στο σημείο Ο που βρίσκεται στη θέση χ= 0, η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου έχει τιμή ίση με μηδέν, ενώ τη χρονική στιγμή Τ/4=10-8 /12 sec έχει τιμή ίση με Ε=3.10-2 V/m. Σε χρονικό διάστημα Δt =T το κύμα διαδίδεται σε απόσταση 1m κατά μήκος του ημιάξονα Οx. Στο σημείο Ο η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου έχει τιμή που μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση Ε = Ε max ημωt. α) Να δείξετε ότι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στον αέρα. β) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου Β του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. γ) Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα πέφτει κάθετα στην επίπεδη επιφάνεια ενός υλικού που παρεμβάλλεται στην πορεία του. Κατά τη διάδοσή του στο υλικό η ταχύτητά του μειώνεται κατά 50%. 1. Να γραφεί η εξίσωση της φάσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος μέσα στο υλικό. 2. Αν το υλικό έχει πάχος d=1,5 m, να υπολογίσετε τη χρονική καθυστέρηση που προκαλεί η παρουσία του στη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στον αέρα c o =3.10 8 m/s. (10-10 ημ2π(3.10 8 t-x), 2π(3.10 8 t-2x), 5 nsec ) 17. Δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται βρίσκονται σε δοχείο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, με το υγρό (1) να έχει ύψος h 1 = 40 3 cm και το υγρό (2) να έχει ύψος h 2 = 30 cm. Το υγρό ( 1 ) έχει δείκτη διάθλασης n 1 = 2, ενώ το υγρό (2) έχει δείκτη διάθλασης n 2 = 3. Μονοχρωματική δέσμη φωτός δημιουργείται από μια πηγή φωτός που βρίσκεται στο υγρό (1) στη θέση Α. Η γωνία πρόσπτωσης της δέσμης στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών ισούται με 60. α) Να υπολογίσετε τη γωνία διάθλασης κατά τη διέλευση της ακτίνας από το υγρό (1) στο υγρό (2). β) Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση του σημείου Ζ από την αριστερή πλευρά του δοχείου. γ) Με κάποιο τρόπο αυξάνουμε το δείκτη διάθλασης του υγρού (1) και παρατηρούμε ότι για την ίδια γωνία πρόσπτωσης το σημείο Ζ μετατοπίζεται κατά Δχ = 10 cm. Να υπολογίσετε το νέο δείκτη διάθλασης του υγρού ( 1 ). (45 o, 150 cm, 1,6 ) 18. Κυβικό κομμάτι γυαλιού με μήκος έδρας α = 2 m βρίσκεται στον αέρα και στο κέντρο Ζ της μιας του έδρας προσπίπτει μονοχρωματική ακτινοβολία υπό γωνία 45 o σε σχέση με την επιφάνεια του γυαλιού. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάθετη τομή ΑΒΓΔ του κομματιού γυαλιού η οποία διέρχεται από το σημείο Ζ. Η ακτινοβολία εισέρχεται διαθλώμενη στο γυαλί έχοντας υποστεί εκτροπή κατά γωνία 15 o από την αρχική της διεύθυνση. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο γυαλί. β) Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας στο γυαλί μέχρι το σημείο Μ όπου εξέρχεται από αυτό. γ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το σημείο Γ. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας στον αέρα ίση με c=3.10 8 m/s και n αέρα =1 και 3=1,7. (1,5 2.10 8 m/s, 0,1 3 m) 7
19. Κολυμβητής βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια ήρεμης λίμνης και βλέπει την κορυφή στύλου της ΔΕΗ με γωνία θ 2 =30 ο με την κατακόρυφο. Αν ο δείκτης διάθλασης του νερού είναι n= 2, να υπολογιστεί το φαινόμενο ύψος του στύλου αν το πραγματικό του είναι h=4 3 m. (12m). 20. Στο σχήμα εικονίζεται γυάλινο ποτήρι που περιέχει υγρό σε ύψος d 2 = 3 3 cm. Μονοχρωματική ακτίνα προερχόμενη από τον αέρα προσπίπτει κάθετα στην έδρα ΑΒ του γυαλιού στο σημείο Ε και στη συνέχεια φτάνει στη διαχωριστική επιφάνεια ΑΔ μεταξύ γυαλιού και υγρού, στο σημείο Κ με γωνία πρόσπτωσης θ 1 =45 ο. Η κατακόρυφη απόσταση του σημείου εισόδου Ε της ακτίνας στο γυαλί από τον πυθμένα του ποτηριού είναι ίση με d 1 =5 cm. Η ακτίνα διαθλάται στο υγρό και προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ αέρα και υγρού στο σημείο Ν. Η κυματική εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου μέσα στο υγρό κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΝ που ανήκει σε άξονα χ Οχ, περιγράφεται από την εξίσωση: Β =Β max.ημ2π(6.10 14 t-4.10 6 x ) (S.Ι.). α) Να υπολογίσετε το δείκτη διάθλασης n 2 του υγρού β) Αν ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι n 1 = 2, να υπολογίσετε τη γωνία διάθλασης θ 2 της ακτίνας στο υγρό. γ) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ 1 της ακτίνας στο γυαλί. Η ακτίνα είναι ορατή; δ) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται για να διασχίσει η ακτίνα το υγρό και το πλήθος των μηκών κύματός της που περιλαμβάνονται στο τμήμα ΕΚ ε) Να δείξετε ότι ένα μέρος της ακτίνας, αμέσως μετά την πρόσπτωσή της στο σημείο Ν θα κινηθεί πάνω στην επιφάνεια του υγρού. στ) Αν Β max =2.10-2 T να βρείτε την εξίσωση του ηλεκτρικού κύματος μέσα στο υγρό. Θεωρήστε το δείκτη διάθλασης n a, του αέρα ίσο με 1, και η ταχύτητα c o =3.10 8 m/s. (2, 30 o, 2,5 2.10-7 m, ορατή, 4.10-10 s, 2.10 5 ) 21. Μία ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει από τον αέρα πλάγια σε σημείο Α πάνω σε γυάλινη σφαίρα ακτίνας R. Η ακτίνα εξέρχεται εφαπτομενικά από τη σφαίρα από σημείο Γ που απέχει απόσταση ΑΓ= R 3 από το σημείο εισόδου. α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας. β. Να υπολογίσετε το δείκτη διάθλασης της σφαίρας. γ. Να υπολογίσετε τη γωνία πρόσπτωσης της ακτίνας από τον αέρα στη γυάλινη σφαίρα. δ. Να υπολογίσετε το πηλίκο των χρόνων που χρειάζεται η παραπάνω ακτίνα να διαπεράσει τη σφαίρα κατά μήκος μιας διαμέτρου στις εξής δύο περιπτώσεις i. η σφαίρα να είναι συμπαγής ii η σφαίρα να παρουσιάζει ένα σφαιρικό κενό ακτίνας R/2 το οποίο είναι ομόκεντρο της γυάλινης σφαίρας ( 2, 90 ο, 4/3 ) 8
22. Μονοχρωματική ακτίνα συχνότητας f=5.10 14 Hz διαδίδεται στον αέρα. Η ακτίνα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια του αέρα με ένα πρίσμα που έχει δείκτη διάθλασης n. Η κάθετη τομή του πρίσματος είναι ορθογώνιο τρίγωνο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ακτίνα τη χρονική στιγμή t= 0 εισέρχεται στο πρίσμα από το μέσο Μ της πλευράς ΑΒ που έχει μήκος (ΑΒ)= 3 6 m και φτάνει στο μέσο Ν της πλευράς ΑΓ τη χρονική στιγμή t 1. Το μήκος κύματός της μέσα στο πρίσμα είναι λ= 300 2 nm. α) Να υπολογίσετε το δείκτη διάθλασης n του πρίσματος και να δείξετε ότι η ακτίνα δεν εξέρχεται στον αέρα από την πλευρά ΒΓ. β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t 1 καθώς και τον αριθμό των μηκών κύματος της ακτίνας που περιέχονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ. γ) Να υπολογίσετε τη γωνία εκτροπής της ακτίνας μετά από την πρόσπτωσή της στο σημείο Ν. δ) Να υπολογίσετε τη γωνία διάθλασης της ακτίνας καθώς εξέρχεται από την έδρα ΑΓ του πρίσματος στον αέρα και την ολική εκτροπή της ακτίνας. ε) Ποιες τιμές θα έπρεπε να έχει ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος ώστε η ακτίνα να εξέρχεται στον αέρα από την πλευρά ΒΓ ; Η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας στον αέρα ίση με c=3.10 8 m/s και n αέρα =1. ( 2, 3.10-8 s, 15.10 6, 60 o, 45 ο, n>2 3/3 ) 23. Οι εξισώσεις της έντασης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου ενός Η/Μ κύματος στον αέρα είναι αντίστοιχα: 14 x -7 14 x E = 90 ημ2π(5.10 t - ) (S.I) και Β=3.10 ημ2π(5.10 t - ) (S.I) l l Α) 1) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του Η/Μ κύματος στον αέρα. 2) Να βρείτε τη συχνότητα και το μήκος κύματος στον αέρα. 3) Το Η/Μ κύμα ανήκει στην περιοχή του ορατού φάσματος; Β) Το Η/Μ κύμα προσπίπτει σε γυάλινη οριζόντια πλάκα πάχους d = 30 cm και δείκτη διάθλασης n = 3 με γωνία πρόσπτωσης 60 o. 1) Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας και να υπολογίσετε τη γωνία διάθλασης και τη γωνία εκτροπής της ακτίνας, όταν αυτή εξέλθει της πλάκας. 2) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του Η/Μ στην πλάκα. Άλλαξε το χρώμα της ακτινοβολίας; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 3) Να υπολογίσετε την % μεταβολή της ταχύτητας της ακτινοβολίας, καθώς εισέρχεται στη γυάλινη πλάκα. 4) Να υπολογίσετε το χρόνο εξόδου της ακτίνας από τη γυάλινη πλάκα. 5) Να υπολογίσετε τη χρονική καθυστέρηση για την ακτίνα. Δίνεται : 3 =1,7. (3.10 8 m/s, 600 nm, 30 ο, 0 ο, 340 nm, -70%, 2.10-9 s, 0 s) 9
24. Η κάθετη τομή ενός πρίσματος, που έχει δείκτη διάθλασης n=2 είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο πλευράς ΑΒ=ΑΓ= d=10 2cm. Μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος στο κενό λ ο =400 nm, προσπίπτει κάθετα στην πλευρά ΒΓ σε σημείο Κ που απέχει από το σημείο Β απόσταση ΒΚ=h=4 cm. Α. Να εξετάσετε από ποια πλευρά θα εξέλθει η ακτινοβολία και να σχεδιάσετε την πορεία της στο πρίσμα. Β. Να υπολογίσετε τη γωνιακή εκτροπή της ακτινοβολίας εξαιτίας της διέλευσης μέσα από το πρίσμα. Γ. Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου εξόδου της ακτινοβολίας από την κορυφή Γ. Δ. Να βρείτε το χρόνο διέλευσης της ακτινοβολίας μέσα από το πρίσμα και τον αριθμό μηκών κύματος που αντιστοιχούν σε αυτή τη διαδρομή. Δίνεται c o =3.10 8 m/s,και ότι το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα. ( ΒΓ, 180 ο, 4 cm, 4/3.10-9 sec, 10 6 ) 25. Κυλινδρική πισίνα ακτίνας R=3 m περιέχει νερό μέχρι ύψους h=1,5m.στο κέντρο του πυθμένα της πισίνας υπάρχει φωτεινή πηγή (Π) εκπομπής μονοχρωματικής ακτινοβολίας συχνότητας f=375 2.10 12 Ηz και για την οποία ο δείκτης διάθλασης του νερού είναι n = 2. Στην επιφάνεια του νερού επιπλέει αδιαφανές κυκλικό στρώμα ακτίνας r = 2m με το κέντρο του ακριβώς πάνω από τη φωτεινή πηγή. Α) Ποια είναι η κρίσιμη γωνία εξόδου μιας ακτίνας φωτός από το νερό στον αέρα; Β) Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακτίνες της ακτινοβολίας που να εξέρχονται στον αέρα. Γ) Αρχίζουμε να ρίχνουμε και άλλο νερό στην πισίνα. Να βρείτε: Γ.1. το ελάχιστο ύψος του νερού από το οποίο αρχίζει η έξοδος ακτίνων από το νερό. Γ.2. για ποιο ύψος νερού ύλες οι ακτίνες που προσπίπτουν πέραν του κυκλικού στρώματος θα εξέρχονται στον αέρα. Δ) Αν η μέγιστη ένταση του ηλεκτρικού πεδίου της ακτινοβολίας είναι Ε =1500 2 V/m, να γραφεί η εξίσωση Β(x,t ) της έντασης του μαγνητικού πεδίου της ακτινοβολίας στο νερό. Για τον αέρα θεωρείστε ότι ο δείκτης διάθλασης είναι n=1 και η ταχύτητα διάδοσης του φωτός c o =3.10 8 m/s. 10