Gruppentheorie. Vorlesung im Wintersemester 1992/93. B. Külshammer. Ausarbeitung: Markus Deiml

Gruppentheorie Vorlesung im Wintersemester 1992/93 B. Külshammer Ausarbeitung: Markus Deiml

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Halbgruppen 3 Kapitel 2. Gruppen 5 Kapitel 3. Normalteiler und Faktorgruppen 11 Kapitel 4. Normalreihen und Gruppen mit Operatoren 15 Kapitel 5. Direkte Summen und Produkte 18 Kapitel 6. Direkte Zerlegungen 21 Kapitel 7. Kommutatoren 25 Kapitel 8. Auflösbare und nilpotente Gruppen 28 Kapitel 9. Sylowgruppen 32 Kapitel 10. Einfache Anwendungen der Sylow-Sätze 35 Kapitel 11. Die Frattinigruppe 39 Kapitel 12. Gruppenerweiterungen 42 Kapitel 13. Erweiterungen mit abelschem Kern 50 Kapitel 14. Erweiterungen mit nichtabelschem Kern 54 Kapitel 15. Freie Gruppen 61 Kapitel 16. Endliche p-gruppen 64 Kapitel 17. Permutationsgruppen 68 Kapitel 18. Die Verlagerung 71 Kapitel 19. Endliche p-nilpotente Gruppen 75 Index 79 1

KAPITEL 1 Halbgruppen 1.1. Definition. Eine (innere) Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung M M M. Das Bild von (a, b) M M schreibt man häufig in der Form a b, a b, a + b, ab. Beispiel. (i) Addition, Multiplikation, Subtraktion in Z, R, C. (ii) Durchschnitt und Vereinigung auf der Potenzmenge P(X), der Menge aller Teilmengen der Menge X. (iii) ggt und kgv in N. (iv) Komposition von Abbildungen auf der Menge Abb(X) aller Abbildungen X X. Bemerkung. Verknüpfungen auf kleinen Mengen kann man oft durch ihre Verknüpfungstafel angeben: b.. a ab.. z.b. w f w w f f f f 1.2. Definition. Gegeben sei eine Verknüpfung auf einer Menge M. Ein Element e M mit ae = a (bzw. ea = a) für alle a M heißt rechtsneutral (bzw. linksneutral). Ist e rechtsneutral und linksneutral, so nennt man e neutral. Bemerkung. Ist e M linksneutral und f M rechtsneutral, so ist e = ef = f; insbesondere enthält M höchstens ein neutrales Element. Beispiel. 0 ist neutral in (Z, +), 1 in (Z, ). 1.3. Definition. Gegeben sei eine Verknüpfung auf einer Menge M. Zwei Elemente a, b M mit ab = ba nennt man vertauschbar. Sind je zwei Elemente in M vertauschbar, so nennt man M kommutativ oder abelsch. Man nennt M eine Halbgruppe, falls alle a, b, c M das Assoziativgesetz erfüllen: (ab)c = a(bc). Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man Monoid. Beispiel. (i) (N, +) ist abelsche Halbgruppe, (N 0, +) ist abelsches Monoid. (ii) Für jede Menge X ist Abb(X) ein Monoid mit neutralem Element id X ; dabei ist id X : X X, x x die identische Abbildung auf X. (iii) A sei eine nichtleere Menge und W die Menge aller endlichen Folgen (a 1,..., a m ) von Elementen a 1,..., a m A (m N). Für (a 1,..., a m ), (b 1,..., b n ) W definiert man (a 1,..., a m )(b 1,..., b n ) := (a 1,..., a m, b 1,..., b n ). Auf diese Weise wird W zu einer Halbgruppe. Man nennt W die freie Halbgruppe über dem Alphabet A. Die Elemente in W nennt man auch Wörter in A, die in A Buchstaben. Statt (a 1,..., a m ) schreibt man kurz a 1... a m. Nimmt man zu W das leere Wort ε = () hinzu, so erhält man das freie Monoid W 0 über A. Bemerkung. Das neutrale Element bezeichnen wir oft mit 1 (oder 0, falls wir + als Bezeichnung für die Verknüpfung wählen). 3

4 1. HALBGRUPPEN 1.4. Definition. Gegeben sei ein Monoid M und ein Element a M. Ein Element b M mit ab = 1 (bzw. ba = 1) heißt rechtsinvers (bzw. linksinvers) zu a. Ist b rechtsinvers und linksinvers zu a, so nennt man b invers zu a. Man nennt a dann auch rechtsinvertierbar bzw. linksinvertierbar bzw. invertierbar. Bemerkung. Ist b M rechtsinvers zu a und c M linksinvers zu a, so ist b = 1b = (ca)b = c(ab) = c1 = c; insbesondere besitzt a höchstens ein inverses Element. Dieses bezeichnet man mit a 1 (bzw. mit a, falls man + für die Verknüpfung schreibt). Mit a ist auch a 1 invertierbar, und (a 1 ) 1 = a. Sind a, b M invertierbar, so auch ab, und (ab) 1 = b 1 a 1. 1.5. Definition. In einer Halbgruppe H definiert man für a H und n N die n-te Potenz von a durch a n := a... a (n Faktoren). Ist H Monoid, so definiert man außerdem a 0 := 1. Ist a invertierbar, so setzt man a n := (a 1 ) n für n N. Bemerkung. Wie üblich ist dann jeweils a m a n = a m+n und (a m ) n = a mn. Sind a, b H vertauschbar, so ist auch (ab) n = a n b n.

KAPITEL 2 Gruppen 2.1. Definition. Eine Gruppe ist eine Halbgruppe G mit einem linksneutralen Element e, in der zu jedem g G ein h G existiert mit hg = e. Bemerkung. Daraus folgt leicht, daß e neutrales Element und jedes Element in G invertierbar ist. Die Anzahl der Elemente in G bezeichnet man als Ordnung G von G. Beispiel. (i) (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) sind abelsche Gruppen, jedoch nicht (N, +). (ii) (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ), (C \ {0}, ), (]0, [, ) sind abelsche Gruppen, nicht jedoch (Z \ {0}, ) oder (Q, ). (iii) {1} ist Gruppe bzgl., {0} Gruppe bzgl. +. (iv) Für jede Menge X bilden die Bijektionen X X eine Gruppe Sym(X) bzgl. der Komposition von Abbildungen. Man nennt Sym(X) die symmetrische Gruppe auf X und ihre Elemente Permutationen. Ist X = n <, so ist Sym(X) = n!. Wir schreiben Sym(n) = Sym({1,..., n}) und sprechen von der symmetrischen Gruppe des Grades n. Die Elemente in Sym(n) schreiben wir in der Form f = ( ) 1 2 n f(1) f(2) f(n), z.b. ( 1 2 3 3 2 1 ). Dann ist f 1 = ( ) f(1) f(2) f(n) 1 2 n. (v) Für n N und jeden Körper K (stets kommutativ) bilden die invertierbaren n n-matrizen mit Koeffizienten in K eine Gruppe bzgl., die allgemeine lineare Gruppe GL(n, K) des Grades n über K. (vi) Für jede nichtleere Familie von Gruppen (G i ) i I ist ihr direktes Produkt G i := G i = {(g i ) i I : g i G i für i I} i I i I eine Gruppe, wenn man definiert: (g i ) i I (h i ) i I := (g i h i ) i I für (g i ) i I, (h i ) i I i I G i. Im Fall n I = {1,..., n} für ein n N schreibt man auch G i = n i=1 G i = G 1... G n statt G i und (g 1,..., g n ) statt (g i ) i I. 2.2. Definition. Eine Abbildung f einer Gruppe G in eine Gruppe H nennt man (i) Homomorphismus, falls f(ab) = f(a)f(b) für a, b G ist. (ii) Monomorphismus, falls f ein injektiver Homomorphismus ist. (iii) Epimorphismus, falls f ein surjektiver Homomorphismus ist. (iv) Isomorphismus, falls f ein bijektiver Homomorphismus ist. (v) Endomorphismus, falls f ein Homomorphismus und G = H ist. (vi) Automorphismus, falls f ein bijektiver Endomorphismus ist. Bemerkung. Für jeden Homomorphismus f : G H ist f(1 G ) = 1 H und f(g 1 ) = f(g) 1 (g G). Für Gruppen G, H, K und Homomorphismen f : G H, g : H K ist auch g f : G K ein Homomorphismus. Ist f ein Isomorphismus, so auch f 1 : H G. Wir setzen i=1 Hom(G, H) := {f : G H : f Homomorphismus} End(G) := Hom(G, G) Aut(G) := {f End(G) : f bijektiv} i I 5

6 2. GRUPPEN Beispiel. (i) Für n Z ist die Abbildung (Z, +) (Z, +), z nz ein Homomorphismus. (ii) Für n N ist der alternierende Charakter sgn : Sym(n) ({1, 1}, ), g i,j N 1 i<j n g(i) g(j) i j ein Homomorphismus. Für g Sym(n) nennt man sgn(g) das Vorzeichen oder Signum von g. Ist sgn(g) = 1, so nennt man g gerade, sonst ungerade. (iii) Für n N und jeden Körper K ist die Determinante det : GL(n, K) (K \ {0}, ) ein Homomorphismus. (iv) Für jede Gruppe G und jedes Element a G ist die Abbildung f a : G G, g aga 1 ein Automorphismus von G. Man nennt f a den von a induzierten inneren Automorphismus von G. 2.3. Definition. Man nennt zwei Gruppen G, H isomorph und schreibt G = H, falls es einen Isomorphismus f : G H gibt. Bemerkung. Die Isomorphie von Gruppen ist eine Äquivalenzrelation, d.h. es gilt: (i) G = G (Reflexivität). (ii) G = H H = G (Symmetrie). (iii) G = H H = K G = K (Transitivität). Beispiel. Für jeden Körper K und jeden K-Vektorraum V bilden die linearen Bijektionen f : V V bzgl. der Komposition von Abbildungen eine Gruppe GL(V ), die allgemeine lineare Gruppe von V. Im Fall dim V = n < ist bekanntlich GL(V ) = GL(n, K). 2.4. Definition. Eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe G mit ab 1 H für a, b H nennt man eine Untergruppe von G. Bemerkung. In diesem Fall ist 1 G H, und H wird mit der entsprechend eingeschränkten Verknüpfung selbst zu einer Gruppe. Wir schreiben H G (bzw. H < G im Fall H G). Beispiel. (i) In jeder Gruppe G sind {1} und G Untergruppen. Wir schreiben 1 statt {1} und nennen 1 die triviale Untergruppe von G. Untergruppen H von G mit H G nennen wir echte Untergruppen von G. Eine echte Untergruppe M von G nennt man maximale Untergruppe von G, falls keine Untergruppe H von G mit M < H < G existiert. Eine nichttriviale Untergruppe N von G nennt man minimale Untergruppe von G, falls keine Untergruppe H von G mit 1 < H < N existiert. Es gibt Gruppen, die weder minimale noch maximale Untergruppen enthalten. (ii) Für jede nichtleere Familie (H i ) i I von Untergruppen einer Gruppe G ist i I H i G. Insbesondere ist für jede Teilmenge X von G der Durchschnitt aller Untergruppen H von G mit X H eine Untergruppe X von G. Man nennt X die von X erzeugte Untergruppe von G. Sie besteht aus allen Elementen der Form x ε1 1... xεn n mit n N 0, x 1,..., x n X, ε 1,..., ε n {±1}. (Im Fall n = 0 muß man das Produkt als 1 interpretieren). Im Fall X = {a 1,..., a n } schreibt man auch a 1,..., a n statt X. Ist G = X, so nennt man X ein Erzeugendensystem von G. Besitzt G ein endliches Erzeugendensystem, so nennt man G endlich erzeugt. Ist G = a für ein a G, so nennt man G zyklisch. (iii) Für jede nichtleere Familie (G i ) i I von Gruppen bilden die Elemente (g i ) i I i I G i mit {i I : g i 1} < eine Untergruppe i I G i von i I G i, die man das eingeschränkte direkte Produkt von (G i ) i I nennt. (iv) Für jede Gruppe G ist Aut(G) Sym(G). Man nennt Aut(G) die Automorphismengruppe von G. (v) (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +), (Q \ {0}, ) (R \ {0}, ) (C \ {0}, ).

2. GRUPPEN 7 (vi) Für jeden Homomorphismus von Gruppen f : G H und beliebige Untergruppen U G, V H ist f(u) H und f 1 (V ) G; insbesondere ist Bild(f) := f(g) H und Ker(f) := f 1 ({1 H }) = {g G : f(g) = 1} G. Man nennt Bild(f) das Bild und Ker(f) den Kern von f. Genau dann ist f injektiv, wenn Ker(f) = {1 G } ist. (vii) Für n N nennt man den Kern Alt(n) von sgn : Sym(n) {±1} die alternierende Gruppe des Grades n, und für jeden Körper K nennt man den Kern SL(n, K) von det : GL(n, K) K \ {0} die spezielle lineare Gruppe des Grades n über K. Für n N 0 ist das Bild nz von Z Z, z nz eine Untergruppe von Z. Man zeigt leicht, daß man auf diese Weise alle Untergruppen von Z erhält. (viii) Ist G eine Gruppe und f a der von a G induzierte innere Automorphismus von G, so ist die Abbildung F : G Aut(G), a f a ein Homomorphismus. Sein Bild Inn(G) ist eine Untergruppe von Aut(G), sein Kern Z(G) eine Untergruppe von G. Offensichtlich ist Z(G) = {a G : aga 1 = g für g G} = {a G : ag = ga für g G}. Man nennt Inn(G) die innere Automorphismengruppe und Z(G) das Zentrum von G. 2.5. Definition. Für Teilmengen X, Y einer Gruppe G setzt man XY := {xy : x X, y Y } und X 1 := {x 1 : x X}. Bemerkung. Dann ist (X 1 ) 1 = X, (XY ) 1 = Y 1 X 1 und X(Y Z) = (XY )Z für X, Y, Z G, und es gilt: X G X und XX 1 X. Satz. Für Untergruppen U, V, W einer Gruppe G gilt: (i) U V G U V oder V U. (ii) UV G UV = V U. (iii) U W UV W = U(V W ) (Dedekind-Identität). Beweis. Algebra. 2.6. Definition. Eine Operation (action) einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω ist eine Abbildung G Ω Ω, (g, ω) g ω mit folgenden Eigenschaften: (i) 1 ω = ω. (ii) a ( b ω) = ab ω für a, b G, ω Ω. Man sagt auch: G operiert auf Ω oder Ω ist eine G-Menge. Bemerkung. (i) In diesem Fall erhält man eine Äquivalenzrelation auf Ω, wenn man für α, β Ω definiert: α β : g α = β für ein g G. Die Äquivalenzklassen bzgl. nennt man die Bahnen (orbits) von Ω unter G. Für ω Ω bezeichne Orb G (ω) := { g ω : g G} die Bahn von ω unter G. Man bezeichnet Orb G (ω) auch als Länge der Bahn von ω. Gibt es nur eine einzige Bahn, so nennt man die Operation transitiv. (ii) Für jede Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω und jedes Element g G ist die Abbildung τ g : Ω Ω, ω g ω bijektiv. Ferner ist die Abbildung τ : G Sym(Ω), g τ g ein Homomorphismus. Man bezeichnet Ker(τ) auch als Kern der Operation. Im Fall Ker(τ) = 1 (bzw. Ker(τ) = G) nennt man die Operation treu (bzw. trivial). (iii) Umgekehrt liefert jeder Homomorphismus ρ einer Gruppe G in eine symmetrische Gruppe Sym(Ω) eine Operation von G auf Ω, indem man für g G und ω Ω definiert: g ω := (ρ(g))(ω). (iv) Für jede Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω und jedes Element ω Ω ist der Stabilisator Stb G (ω) := {g G : g ω = ω} von ω in G eine Untergruppe von G. Auf diese Weise verschafft man sich häufig Untergruppen einer vorgegebenen Gruppe. Für g G und ω Ω gilt: Stb G ( g ω) = g Stb G (ω)g 1. Sind ( i ) i I die Bahnen von Ω unter G, so hat man die triviale, aber nützliche Bahnengleichung: Ω = i. i I

8 2. GRUPPEN Beispiel. (i) Jede Untergruppe H einer Gruppe G operiert auf G durch Linksmultiplikation: h g := hg (h H, g G). In diesem Fall ist Orb H (g) = {hg : h H} =: Hg. Man bezeichnet Hg als Rechtsnebenklasse von g nach H und setzt H\G := {Hg : g G}. Ferner bezeichnet man G : H := H\G als Index von H nach G. Für g G ist die Abbildung H Hg, h hg bijektiv; insbesondere ist Hg = H. Die Bahnengleichung liefert also: G = G : H H (Satz von Lagrange). Im Fall G < sind insbesondere H und G : H Teiler von G. (ii) Analog operiert jede Untergruppe H einer Gruppe G auf G durch Rechtsmultiplikation: h g := gh 1 (h H, g G). In diesem Fall erhält man als Bahnen die Linksnebenklassen gh := {gh : h H} und setzt G/H := {gh : g G}. Die Abbildung G/H H \G, gh Hg 1 = (gh) 1 ist bijektiv; insbesondere ist G/H = G : H. (iii) Jede Gruppe G operiert auf P(G) durch Konjugation: g X := gxg 1 = {gxg 1 : x X} (g G, X G). Man nennt Orb G (X) = {gxg 1 : g G} die Konjugationsklasse von X in G. Teilmengen in der gleichen Bahn nennt man konjugiert (unter G). Für X G nennt man Stb G (X) = {g G : gxg 1 = X} =: N G (X) den Normalisator von X in G. Im Fall X G ist X N G (X) wegen xxx 1 X = x } x 1 {{ Xx } x 1 xxx 1 für x X. X (iv) Jede Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation: g x = gxg 1 (g, x G). Man nennt Orb G (x) = {gxg 1 : g G} die Konjugationsklasse von x G in G. Elemente in der gleichen Konjugationsklasse nennt man auch konjugiert (in G). Die Anzahl der Konjugationsklassen von G bezeichnet man als Klassenzahl von G. Für x G nennt man Stb G (x) = {g G : gxg 1 = x} = {g G : gx = xg} =: C G (x) den Zentralisator von x in G. Für X G nennt man C G (X) := x X C G(x) = {g G : gx = xg für x X} den Zentralisator von X in G. Offenbar ist C G (X) N G (X) und C G (G) = Z(G). (v) Jede Gruppe G operiert auf G/H für jede Untergruppe H von G durch Linksmultiplikation: g (xh) = gxh (g, x G). Diese Operation ist transitiv mit Kern {g G : gxh = xh für x G} = {g G : x 1 gxh = H für x G} = {g G : x 1 gx H für x G} = {g G : g xhx 1 für x G} = xhx 1 =: Core G (H). Man bezeichnet Core G (H) als Kern von H in G. (vi) Für Untergruppen H, K einer Gruppe G operiert H K auf G: (h,k) g := hgk 1 (g G, h H, k K). Die Bahn eines Elements g G ist dann die Doppelnebenklasse HgK = {hgk : h H, k K}. Wir setzen H \G/K = {HgK : g G}. Im allgemeinen sind weder HgK noch H \G/K Teiler von G (im Fall G < ). Für h H und g G ist hgk HgK. Für h, h H und g G gilt ferner: x G hgk = h gk g 1 h 1 h gk = K g 1 h 1 h g K h 1 h gkg 1 h 1 h H gkg 1 h 1 h (H gkg 1 ) = H gkg 1 h (H gkg 1 ) = h(h gkg 1 ). Daher ist jede Doppelklasse HgK disjunkte Vereinigung von H : H gkg 1 Linksnebenklassen nach K und analog disjunkte Vereinigung von K : K g 1 Hg Rechtsnebenklassen nach H; insbesondere ist HgK = H : H gkg 1 K = K : K g 1 Hg H. 2.7. Satz. Für Untergruppen H, K einer Gruppe G gilt:

2. GRUPPEN 9 (i) K H G : K = G : H H : K (Lagrange). Insbesondere sind G : H und H : K im Fall G : K < Teiler von G : K. (ii) HK ist disjunkte Vereinigung von H : H K Linksnebenklassen nach K und disjunkte Vereinigung von K : H K Rechtsnebenklassen nach H. (iii) HK = H : H K K = K : H K H. (iv) H : H K G : K. (v) H : H K = G : K < G = HK = KH. (vi) G : H K G : H G : K. (vii) G : H K = G : H G : K < G = HK = KH. (viii) G : H, G : K endlich und teilerfremd G : H K = G : H G : K. Beweis. (i) Wir schreiben G = r R rh und H = s S sk. Dann ist G = r R, s S rsk, also G : K = R S = G : H H : K. (ii),(iii) Setze g := 1 in Beispiel 2.6(vi). (iv) folgt aus (ii) wegen HK G. (v) Im Fall H : H K = G : K < folgt aus (ii): G = HK. Mit Satz 2.5(ii) ergibt sich G = KH. (vi) Nach (i) und (iv) ist G : H K = G : H H : H K G : H G : K. (vii) Im Fall G : H K = G : H G : K < zeigt die Argumentation in (vi): H : H K = G : K. Mit (v) folgt G = HK = KH. (viii) Nach (i) und (iv) ist G : H H : H K = G : H K = G : K K : H K G : K G : H <. Sind G : H und G : K teilerfremd, so ist G : K Teiler von H : H K. Aus (iv) folgt daher G : K = H : H K, und man hat G : H K = G : H G : K. 2.8. Satz. Für jede Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω und jedes ω Ω ist die Abbildung G/ Stb G (ω) Orb G (ω), g Stb G (ω) g ω wohldefiniert und bijektiv; insbesondere ist Orb G (ω) = G : Stb G (ω), und dies teilt G im Fall G <. Beweis. Algebra. Bemerkung. Sind i (i I) die Bahnen von Ω unter G und wählt man aus jedem i ein Element ω i, so kann man also die Bahnengleichung auch in der Form Ω = i I G : Stb G (ω i ) schreiben. Beispiel. Jede Teilmenge X einer Gruppe G besitzt genau G : N G (X) Konjugierte in G. Analog enthält die Konjugationsklasse eines Elementes x G genau G : C G (x) Elemente. Die Bahnengleichung wird in diesem Fall zur Klassengleichung: G = i I G : C G (x i ). Dabei ist (x i ) i I ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen von G. 2.9. Definition. Für jedes Element g einer Gruppe G bezeichnet man g als Ordnung von g. Elemente der Ordnung 2 nennt man Involutionen. Ist g < und π eine Menge von Primzahlen, die alle Primteiler von g enthält, so nennt man g ein π-element. Ist jedes Element in G ein π-element, so nennt man G eine π-gruppe. Besteht π aus genau einer Primzahl p, so spricht man kürzer von p-elementen und p-gruppen. Bemerkung.

10 2. GRUPPEN (i) In der Algebra wurde gezeigt, daß für ein Element g unendlicher Ordnung die Potenzen g n (n Z) paarweise verschieden sind. Für ein Element g der endlichen Ordnung k und für m, n Z gilt dagegen: g m = g n m n (mod k) ( : k teilt m n). Insbesondere gilt: g m = 1 m = 0 (mod k) k teilt m : k m. Daher gilt stets: g = inf{n N : g n = 1}, und im Fall G < folgt der Satz von Fermat: g G = 1. k ggt(k,l) hat. Ferner folgt leicht, daß g l für l Z die Ordnung (ii) Haben alle Element in G außer 1 unendliche Ordnung, so nennt man G torsionsfrei. Haben alle Elemente in G endliche Ordnung, so nennt man G eine Torsionsgruppe. Sind zusätzlich die Ordnungen der Elemente in G beschränkt, so nennt man G periodisch. In diesem Fall bezeichnet man die kleinste natürliche Zahl e mit g e = 1 für alle g G als Exponenten von G und schreibt e = exp(g). (iii) In einer Gruppe G seien vertauschbare Elemente g, h der endlichen Ordnungen k bzw. l gegeben. Dann ist (gh) kl = g kl h kl = 1 l 1 k = 1, also ist gh kl. Sei jetzt zusätzlich ggt(k, l) = 1. Ist n Z mit 1 = (gh) n = g n h n, so ist g n = h n g h. Wegen g h g und g h h ist aber g h ggt(k, l) = 1, also g n = 1 = h n und damit k n, l n. Insgesamt ist dann kl n, d.h. gh = g h. Dieses Ergebnis läßt sich durch Induktion auf Produkte von endlich vielen paarweise vertauschbaren Elementen endlicher paarweise teilerfremder Ordnungen ausdehnen. (iv) Gegeben sei ein Element g der endlichen Ordnung k in einer Gruppe G. Die eindeutige Primfaktorzerlegung von k sei k = p a1 1... par r. Dann sind q 1 := k/p a1 1,..., q r := k/p ar r teilerfremd. Daher existieren b 1,..., b r Z mit b 1 q 1 +... + b r q r = 1. Folglich ist g = g 1 = g b1q1+...+brqr = g b1q1... g brqr. Für i = 1,..., r ist (g biqi ) pa i i = g kbi = 1 bi = 1, also g biqi p ai i. Wegen g = k = pa1 1... par r folgt aus (iii) sogar: g biqi = p ai i. Daher läßt sich g als Produkt von Elementen g 1,..., g r schreiben, die die Ordnungen p a1 1,..., par r haben und Potenzen von g sind; insbesondere sind g 1,..., g r paarweise vertauschbar. Diese Schreibweise ist in folgendem Sinne eindeutig: Ist auch g = h 1... h r mit paarweise vertauschbaren Elementen h 1,..., h r G der Ordnungen p a1 1,..., par r, so ist g i = h i für i = 1,..., r. Die Elemente h 1,..., h r sind nämlich mit g und daher mit g i für i = 1,..., r vertauschbar. Aus g 1... g r = h 1... h r folgt also: g1 1 h 1 = g 2... g r h 1 r... h 1 2 = g 2 h 1 2... g r h 1 r, wobei g1 1 h 1 p 2a 1 1 und g 2 h 1 2... g r h 1 r p 2a 2 2... p 2ar r nach (iii). Wegen ggt(p 2a1 1, p 2a2 2... p 2ar r ) = 1 folgt also: g1 1 h 1 = 1, d.h. h 1 = g 1. Analog ist g i = h i für i = 2,..., r. Man nennt die Zerlegung g = g 1... g r auch die Primfaktorzerlegung von g, und für i = 1,..., r nennt man g i auch den p i -Faktor von g. Häufige Schreibweise: g pi statt g i. Allgemeiner definiert man für jede Primzahlenmenge π den π-faktor g π von g durch g π := p k, p π g p. 2.10. Satz (Frattini-Argument). Gegeben sei eine transitive Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω. Operiert eine Untergruppe H von G auch transitiv auf Ω, so ist G = Stb G (ω)h für ω Ω. Beweis. Sei H transitiv auf Ω und ω Ω. Für g G existiert dann ein h H mit h ( g ω) = ω. Folglich ist hg Stb G (ω) und g = h 1 (hg) H Stb G (ω). Daher ist G = H Stb G (ω) = Stb G (ω)h. 2.11. Satz (Burnsides Lemma). Gegeben sei eine Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω. Die Anzahl der Bahnen von G auf Ω sei n, und für g G sei f(g) die Anzahl der Fixpunkte von g auf Ω, d.h. f(g) = {ω Ω : g ω = ω}. Dann gilt: G n = g G f(g). Beweis. Offenbar ist g G f(g) = {(g, ω) G Ω : g ω = ω} = ω Ω Stb G(ω). Auf jeder Bahn ist Stb G (ω) konstant nach Bemerkung 2.6(iv), und die Bahn eines ω Ω enthält genau G : Stb G (ω) Elemente. Mit Lagrange ergibt sich: ω Ω Stb G(ω) = n G.

KAPITEL 3 Normalteiler und Faktorgruppen 3.1. Satz. Für eine Untergruppe N einer Gruppe G sind äquivalent: (1) gng 1 N für g G. (2) gng 1 = N für g G. (3) gn = Ng für g G. (4) G/N ist Gruppe, wenn man definiert: (gn)(hn) := ghn für g, h G. (5) Es existieren eine Gruppe H und ein Homomorphismus f : G H mit N = Ker(f). Beweis. Algebra. Definition. Gegebenenfalls nennt man N eine normale Untergruppe oder einen Normalteiler von G, und man schreibt: N G (bzw. N G im Fall N G). Man bezeichnet G/N (= N \G) als Faktorgruppe von G nach N. Statt gn = hn schreibt man auch: g h (mod N). Bemerkung. Für jeden Normalteiler N von G ist die Abbildung f : G G/N, g gn ein Homomorphismus, den man den kanonischen oder den natürlichen Epimorphismus von G nach G/N nennt. Daher ist 1 G/N = f(1 G ) = 1 G N = N und (gn) 1 = g 1 N für g G. Beispiel. (i) Für jede Gruppe G sind 1 und G normal in G. Ist G 1 und sind 1 und G die einzigen Normalteiler von G, so nennt man G einfach. Nach dem Satz von Lagrange sind z.b. Gruppen von Primzahlordnung stets einfach und zyklisch. Die Bestimmung aller endlichen einfachen Gruppen war eines der bisher größten Projekte in der Mathematik. Beteiligt waren ca. 50 100 Mathematiker. Die entsprechenden Arbeiten haben einen Umfang von ca. 10000 Seiten. Das Projekt wurde ca. 1980 erfolgreich abgeschlossen. Zwei Bücher von D. Gorenstein informieren über die wichtigsten Schritte. (ii) In jeder Gruppe G ist jede Untergruppe von Z(G) normal wegen (3); insbesondere ist Z(G) G. Speziell in abelschen Gruppen ist jede Untergruppe normal. (iii) Ist G Gruppe und H G mit G : H = 2, so ist H G. (iv) Für jede Untergruppe H einer Gruppe G ist nach Definition stets H N G (H). (v) Für jede Teilmenge X einer Gruppe ist C G (X) N G (X); denn C G (X) ist der Kern der durch g x := gxg 1 für g N G (X) und x X definierten Operation von N G (X) auf X. (vi) Für jede Untergruppe H einer Gruppe G ist Core G (H) = g G ghg 1 als Kern einer Operation normal in G. Offenbar ist Core G (H) H, und für jeden Normalteiler N von G mit N H gilt: N = gng 1 ghg 1 = Core G (H). g G Daher ist Core G (H) der größte in H enthaltene Normalteiler in G. Analog ist ghg 1 : g G := ghg 1 G; g G g G für X := g G ghg 1 und x G ist nämlich: xxx 1 = xghg 1 x 1 = yhy 1 = X, g G 11 y G

12 3. NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN also auch x X x 1 = xxx 1 = X. Man nennt ghg 1 : g G den normalen Abschluß von H in G. Ist N G mit H N, so ist auch ghg 1 gng 1 = N für g G, also ghg 1 : g G N. Daher ist ghg 1 : g G der kleinste Normalteiler von G, der H enthält. (vii) Für n N und jeden Körper K ist SL(n, K) = Ker(det) GL(n, K) und Alt(n) = Ker(sgn) Sym(n). (viii) Für jeden Homomorphismus von Gruppen f : G H und jeden Normalteiler N von H ist f 1 (N) G. Umgekehrt gilt für jeden Normalteiler M von G f(m) f(g), aber nicht notwendig f(m) H. (ix) Ist G = Sym(3) und so ist H G wegen ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 H = 2 1 3 ) ( 1 2 3 2 1 3 ) ( 1 2 3 = { 1 2 3 ) ( 1 2 3 1 3 2 ) ( 1 2 3, 2 1 3 ) 1 = ( 1 2 3 3 ) }, ) H. (x) Für jede Familie (N i ) i I von Normalteilern einer Gruppe sind auch i I N i und N i : i I := i I N i normal in G. (xi) Für jede Gruppe G, jeden Automorphismus α von G und beliebige a, b G gilt: α(aα 1 (b)a 1 ) = α(a)α(α 1 (b))α(a) 1 = α(a)bα(a) 1. Bezeichnet man den von einem Element g G induzierten inneren Automorphismus von G mit f g, so ist also α f a α 1 = f α(a) Inn(G). Insbesondere ist Inn(G) Aut(G). Man nennt die Faktorgruppe Aut(G)/ Inn(G) =: Out(G) die äußere Automorphismengruppe von G. 3.2. Satz (Homomorphiesatz). Für jeden Homomorphismus von Gruppen f : G H ist die Abbildung F : G/ Ker(f) f(g), g Ker(f) f(g) wohldefiniert und ein Isomorphismus; insbesondere ist G/ Ker(f) = f(g) und G/ Ker(f) = f(g). Beweis. Algebra. Beispiel. Als leichte Anwendung erhält man: (i) Für jede zyklische Gruppe G = g = {g n : n Z} ist die Abbildung f : Z G, z g z ein Epimorphismus. Im Fall Ker(f) = 0 ist also G = Z, und im Fall Ker(f) = nz für ein n N ist G = Z/nZ. (ii) Für jede Untergruppe H einer Gruppe G induziert nach Beispiel 2.6(v) die Operation von G auf G/H durch Linksmultiplikation einen Homomorphismus f : G Sym(G/H) mit Kern Core G (H) (vgl. 2.6(ii)). Insbesondere ist G/ Core G (H) = f(g) Sym(G/H). Im Fall G : H < ist also G : H G : Core G (H) = f(g) Sym(G/H) = G : H! <. Im Fall H = 1 ist Core G (H) = 1, d.h. G ist zu einer Untergruppe von Sym(G) isomorph (Satz von Cayley). Ist G endlich und G : H der kleinste Primteiler p von G, so folgt: p G : Core G (H) ggt(p!, G ) = p, d.h. p = G : H = G : Core G (H) und damit H = Core G (H) G. (iii) Für n N mit n 2 ist sgn : Sym(n) {±1} ein Epimorphismus. Daher ist Sym(n) : Alt(n) = 2 und Alt(n) = n! 2. (iv) Für n N und jeden endlichen Körper K ist bekanntlich GL(n, K) = (q n 1)(q n q)... (q n q n 1 ) mit q := K. Da det : GL(n, K) K \{0} surjektiv ist, folgt: GL(n, K) : SL(n, K) = q 1 und SL(n, K) = (q n 1)(q n q)... (q n q n 1 ) / (q 1). (v) Für jede Untergruppe H einer Gruppe G operiert N G (H) auf H durch Konjugation (vgl. Beispiel 3.1(v)). Der Kern dieser Operation ist C G (H), und das Bild der zugehörigen Abbildung τ : N G (H) Sym(H) ist eine Untergruppe von Aut(H). Daher ist N G (H)/C G (H) zu einer Untergruppe von Aut(H) isomorph. Im Spezialfall H = G ist N G (H) = G, C G (H) = Z(G) und τ(g) = Inn(G). Daher ist G/Z(G) = Inn(G).

3. NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN 13 3.3. Satz (Erster Isomorphiesatz). Für jede Gruppe G, jede Untergruppe H von G und jeden Normalteiler N von G ist HN G, N HN, H N H und H/H N = HN/N. Beweis. Algebra. Bemerkung. Im Fall H G ist HN G. 3.4. Satz. Für jede Menge π von Primzahlen und jede Gruppe G gilt: (i) Ist G π-gruppe, so auch jede Untergruppe von G. (ii) Für jeden Normalteiler N von G gilt: G π-gruppe N, G/N π-gruppen. (iii) G, H π-gruppen G H π-gruppe. (iv) H π-untergruppe, N π-normalteiler von G HN π-untergruppe von G. (v) M, N π-normalteiler von G MN π-normalteiler von G. (vi) O π (G) := N : N π-normalteiler von G ist π-normalteiler von G. Beweis. (i) Trivial. (ii) : Für g G ist (gn) g = g g N = 1N = N, also gn g. : Für g G ist g gn N = (gn) gn = 1 G/N = N, also h := g gn N und g gn h = h h = 1. Daher ist g gn h. (iii) g G, h H (g, h) g h = (g g h, h g h ) = (1, 1) = 1 (g, h) g h. (iv) H π-untergruppe, N π-normalteiler von G HN/N 3.3 = H/H N π-gruppe nach (ii) (ii) HN π-gruppe. (v) Klar (auch für endlich viele Faktoren). (vi) Offenbar ist O π (G) G. Für g O π (G) existieren endlich viele π-normalteiler N 1,..., N r von G und Elemente g 1 N 1,..., g r N r mit g = g 1... g r N 1... N r. Nach (v) ist N 1... N r π-gruppe, also g π-element. Definition. Man nennt O π (G) den π-kern oder das π-radikal von G. 3.5. Satz (Zweiter Isomorphiesatz). Für jede Gruppe G und jeden Normalteiler N von G ist die Abbildung H H/N eine Bijektion zwischen der Menge aller Untergruppen von G, die N enthalten, und der Menge aller Untergruppen von G/N. Eine Untergruppe H von G, die N enthält, ist genau dann normal in G, wenn H/N normal in G/N ist. In diesem Fall ist (G/N)/(H/N) = G/H. Beweis. Algebra. Bemerkung. Als Anwendung erhält man: (i) In jeder unendlichen zyklischen Gruppe G = g existiert für n N genau eine Untergruppe vom Index n, und zwar g n. Auf diese Weise erhält man alle nichttrivialen Untergruppen von G. (ii) In jeder endlichen zyklischen Gruppe G = g existiert zu jedem Teiler n von G genau eine Untergruppe vom Index n, nämlich g n. 3.6. Satz (Dritter Isomorphiesatz, Zassenhaus). Für jede Gruppe G, beliebige Untergruppen U, V von G und beliebige Normalteiler U 0 von U, V 0 von V gilt: U 0 (U V 0 ) U 0 (U V ), V 0 (V U 0 ) V 0 (V U), (U 0 V )(V 0 U) U V und Beweis. Algebra. U 0 (U V )/U 0 (U V 0 ) = V 0 (V U)/V 0 (V U 0 ) = (U V )/(U 0 V )(V 0 U). 3.7. Bemerkung. Für jede Familie (N i ) i I von Normalteilern einer Gruppe G ist die Abbildung G (G/N i ), g (gn i ) i I ein Homomorphismus mit Kern i I N i; insbesondere ist die Abbildung i I G/ i I N i (G/N i ), g( i I N i) (gn i ) i I nach dem Homomorpiesatz ein Monomorphismus. i I

14 3. NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN Satz. Sind M, N Normalteiler einer Gruppe G mit M N = 1, so ist jedes Element in M mit jedem Element in N vertauschbar. Beweis. Nach der Bemerkung ist die Abbildung f : G G/M G/N, g (gm, gn) ein Monomorphismus. Für m M, n N gilt also: d.h. mn = nm. f(mn) = (mnm, mnn) = (Mmn, mn) = (Mn, mn) = (nm, Nm) = = (nm, N nm) = (nmm, nmn) = f(nm), 3.8. Bemerkung. Für jede Primzahlenmenge π, jede endliche Gruppe G und beliebige Normalteiler N 1,..., N r von G gilt nach 3.7 und 3.4: Ist G/N i π-gruppe für i = 1,..., r, so auch G/N 1... N r. Insbesondere ist der Durchschnitt aller Normalteiler N von G mit der Eigenschaft, daß G/N eine π- Gruppe ist, ein Normalteiler O π (G), und G/O π (G) eine π-gruppe. Man nennt O π (G) das π-residuum von G.

KAPITEL 4 Normalreihen und Gruppen mit Operatoren 4.1. Definition. Unter einer Subnormalreihe einer Gruppe G versteht man eine endliche Folge G = G 0 G 1 G 2... G l = 1 von Untergruppen von G mit G i G i 1 für i = 1,..., l. Ist sogar G i G für i = 1,..., l, so spricht man von einer Normalreihe von G. Die Faktorgruppen G i 1 /G i (i = 1,..., l) nennt man die Faktoren und ihre Anzahl l die Länge dieser (Sub-)Normalreihe. Ist G i 1 G i für i = 1,..., l, so spricht man von einer (Sub-)Normalreihe ohne Wiederholungen. Eine (Sub-)Normalreihe G = H 0 H 1... H m = 1 von G nennt man eine Verfeinerung der obigen (Sub-)Normalreihe, falls eine injektive Abbildung f : {1,..., l} {1,..., m} existiert mit G i = H f(i) für i = 1,..., l. Im Fall m > l spricht man von einer echten Verfeinerung. Beispiel. Sym(4) Alt(4) V 4 ( 1 2 3 4 2 1 4 3 ) 1 ist eine Subnormalreihe, wobei V 4 := ( 1 2 3 4 ( 1 3 2 4 3 1 4 2 ) die Kleinsche Vierergruppe ist. Diese Subnormalreihe ist wegen ( 1 2 3 4 2 1 4 3 Normalreihe. Dagegen ist Sym(4) Alt(4) V 4 1 eine Normalreihe. 2 1 4 3 ), ) Sym(4) keine 4.2. Definition. Zwei Subnormalreihen G = G 0 G 1... G l = 1 und G = H 0 H 1... H m = 1 nennt man isomorph, wenn l = m ist und ein f Sym(l) existiert mit G i 1 /G i = Hf(i) 1 /H f(i) für i = 1,..., l. Beispiel. Z/6Z hat isomorphe Subnormalreihen: Z/6Z 2Z/6Z 1 und Z/6Z 3Z/6Z 1. Satz (Verfeinerungssatz, Schreier). Je zwei Subnormalreihen einer Gruppe G besitzen isomorphe Verfeinerungen. Beweis. Algebra. 4.3. Definition. Eine Kompositionsreihe einer Gruppe G ist eine Subnormalreihe von G ohne Wiederholungen, die keine echte Verfeinerung ohne Wiederholungen besitzt. Beispiel. Z besitzt keine Kompositionsreihe; denn jede Subnormalreihe Z n 1 Z n 2 Z... n i Z 0 läßt sich zu Z n 1 Z... n i Z 2n i Z 0 verfeinern. Andrerseits besitzt jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe. Bemerkung. Nach dem 2. Isomorphiesatz ist eine Subnormalreihe genau dann eine Kompositionsreihe, wenn alle ihre Faktoren einfache Gruppen sind. Satz (Jordan-Hölder). Besitzt eine Gruppe G eine Kompositionsreihe, so sind je zwei Kompositionsreihen von G isomorph. Beweis. Algebra. 4.4. Definition. Die Faktoren einer Kompositionsreihe einer Gruppe G nennt man Kompositionsfaktoren von G und die Länge einer Kompositionsreihe die Kompositionslänge von G. Bemerkung. Nach Jordan-Hölder bestimmt eine Gruppe G ihre Kompositionslänge eindeutig und ihre Kompositionsfaktoren eindeutig bis auf Isomorphie. 15

16 4. NORMALREIHEN UND GRUPPEN MIT OPERATOREN 4.5. Definition. Gegeben sei eine Menge Ω. Eine Ω-Gruppe ist ein Paar, das aus einer Gruppe G und einer Abbildung Ω G G, (ω, g) ω g mit folgender Eigenschaft besteht: Für g, h G und ω Ω ist ω (gh) = ( ω g)( ω h). Die Elemente in Ω nennt man Operatoren für G, und man sagt kurz: G ist Ω-Gruppe. Bemerkung. Für ω Ω ist dann die Abbildung G G, g ω g ein Endomorphismus von G; dabei ist zugelassen, daß verschiedene Elemente in Ω den gleichen Endomorphismus liefern. Beispiel. (i) Jeder Vektorraum V über einem Körper Ω läßt sich als Ω-Gruppe mit ω v := ωv für ω Ω, v V auffassen. (ii) G beliebig, Ω = End(G), ω g := ω(g) für ω Ω, g G; analog für Ω = Aut(G) oder Ω = Inn(G). (iii) G beliebig, Ω G, ω g := ωgω 1 für ω Ω, g G. (iv) Für jede Familie (G i ) i I von Ω-Gruppen ist auch G i eine Ω-Gruppe, wenn man definiert: i I ω (g i ) i I := ( ω g i ) i I für ω Ω, (g i ) i I G i. i I 4.6. Definition. Gegeben seien eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G. Eine Untergruppe H von G mit ω h H für alle ω Ω, h H nennt man eine Ω-Untergruppe von G. Bemerkung. (i) In diesem Fall wird H selbst zu einer Ω-Gruppe. (ii) Ist G beliebig und Ω = End(G) wie oben, so nennt man Ω-Untergruppen auch vollinvariante Untergruppen von G. (iii) Ist G beliebig und Ω = Aut(G) wie oben, so nennt man Ω-Untergruppen auch charakteristische Untergruppen von G. (iv) Ist G beliebig und Ω = Inn(G) wie oben, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die Normalteiler von G. Beispiel. Für jede Gruppe G ist Z(G) charakteristisch, aber nicht notwendig vollinvariant in G. Satz. Für Untergruppen H, K einer Gruppe G mit K H G gilt: (i) K charakteristisch (vollinvariant) in H H charakteristisch (vollinvariant) in G K charakteristisch (vollinvariant) in G. (ii) K charakteristisch in H H G K G. Beweis. (i) Sei K charakteristisch in H, H charakteristisch in G und α Aut(G). Dann ist α(h) H = α(α 1 (H)) α(h), also α(h) = H. Daher ist die Einschränkung α von α ein Automorphismus von H. Folglich ist α(k) = α (K) K. Analog für vollinvariante Untergruppen. (ii) Sei K charakteristisch in H, H G und g G. Dann ist die Abbildung α : H H, h ghg 1 ein Automorphismus von H. Also ist gkg 1 = α(k) K. 4.7. Definition. Gegeben seien eine Menge Ω und Ω-Gruppen G, H. Einen Homomorphismus f : G H mit f( ω g) = ω f(g) für alle ω Ω, g G nennt man einen Ω-Homomorphismus. Wie üblich hat man auch die Begriffe Ω-Monomorphismus,..., Ω-isomorph und die Notationen = Ω, Hom Ω (G, H), End Ω (G), Aut Ω (G). Bemerkung. (i) Für jeden Ω-Normalteiler N von G (d.h. N ist Ω-Untergruppe von G und N G) wird G/N zu einer Ω-Gruppe, wenn man definiert: ω (gn) = ( ω g)n für ω Ω, g G; dies rechnet man leicht nach. Der kanonische Epimorphismus G G/N, g gn ist dann ein Ω-Epimorphismus.

4. NORMALREIHEN UND GRUPPEN MIT OPERATOREN 17 (ii) Bild und Kern von Ω-Homomorphismen sind Ω-Untergruppen, und jeder Ω-Homomorphismus f von einer Ω-Gruppe G in eine Ω-Gruppe H induziert einen Ω-Isomorphismus G/ Ker(f) f(g) (Homomorphiesatz für Ω-Gruppen); dies rechnet man leicht nach. Analog übertragen sich die anderen Isomorphiesätze auf Ω-Gruppen. Wir verwenden diese im folgenden ohne Kommentar. 4.8. Definition. Gegeben seien eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G 1. Man nennt G eine einfache Ω-Gruppe, wenn 1 und G die einzigen Ω-Normalteiler von G sind. Im Fall Ω = Aut(G) nennt man G charakteristisch einfach. Bemerkung. Es ist klar, wie man Ω-(Sub-)Normalreihen und Ω-Kompositionsreihen definiert. Die Sätze von Schreier und Jordan-Hölder übertragen sich. Im Fall Ω = Inn(G) spricht man von Hauptreihen und im Fall Ω = Aut(G) von charakteristischen Reihen statt von Ω-Kompositionsreihen. Die Faktoren einer Hauptreihe nennt man Hauptfaktoren. Nach Satz 4.6(ii) sind diese charakteristisch einfach. Satz. Gegeben sei eine Menge Ω, eine Ω-Gruppe G, eine Ω-Subnormalreihe G 0 G 1... G r von G und eine Ω-Untergruppe H von G. Setzt man H i := H G i für i = 0,..., r, so ist H 0 H 1... H r eine Ω-Subnormalreihe von H mit H i 1 /H i =Ω (H G i 1 )G i /G i G i 1 /G i für i = 1,..., r. Beweis. Für i = 1,..., r ist H i = H G i = (H G i 1 ) G i H G i 1 = H i 1 und H i 1 /H i = (H G i 1 )/(H G i 1 ) G i =Ω (H G i 1 )G i /G i nach dem 1. Isomorphiesatz. 4.9. Satz. Gegeben seien eine Menge Ω, eine Ω-Gruppe G und Ω-Normalteiler M, N von G. Besitzen G/M und G/N Ω-Kompositionsreihen, so auch G/M N, und jeder Ω-Kompositionsfaktor von G/M N ist zu einem Ω-Kompositionsfaktor von G/M oder G/N isomorph. Beweis. Wegen (G/M N)/(M/M N) = Ω G/M und (G/M N)/(N/M N) = Ω G/N kann man zu G/M N statt G übergehen und daher M N = 1 annehmen. Nach dem 1. Isomorphiesatz ist M/M N Ω- isomorph zu dem Ω-Normalteiler MN/N von G/N, besitzt also eine Ω-Kompositionsreihe, deren Faktoren zu Ω-Kompositionsfaktoren von G/N Ω-isomorph sind. Sind G/M = G 0 /M... G r /M = M/M und M = M 0... M s = 1 Ω-Kompositionsreihen von G/M bzw. M, so ist G 0... G r = M 0... M s G M M 1 eine Ω-Kompositionsreihe von G mit den gewünschten Eigenschaften.

KAPITEL 5 Direkte Summen und Produkte 5.1. Bemerkung. Es ist plausibel, daß man viele Eigenschaften eines direkten Produkts G 1... G n von Gruppen G i an den Eigenschaften der Faktoren G i ablesen kann. Es ist daher wichtig, bei einer vorgegebenen Gruppe G erkennen zu können, ob sie zu einem direkten Produkt G 1... G n isomorph ist. Definition. Gegeben sei eine Familie (G i ) i I von Normalteilern einer Gruppe G mit folgenden Eigenschaften: (i) G i : i I = G. (ii) G i G j : j I \ {i} = 1 für i I. Dann nennt man G eine direkte Summe der Familie (G i ) i I und schreibt: G = i I G i. 5.2. Bemerkung. (i) Die Gruppe G sei direkte Summe der Familie (G i ) i I von Normalteilern von G. Für verschiedene i, j I ist dann G i G j = 1 wegen (ii). Nach 3.7 ist also jedes Element in G i mit jedem Element in G j vertauschbar. Zu jedem g G existieren also nach (i) Elemente i 1,..., i n I, g i1 G i1,..., g in G in mit g = g i1... g in, wobei o.b.d.a. i 1,..., i n paarweise verschieden sind. Auf die Reihenfolge der Faktoren kommt es dabei nicht an. Wir setzen g i := 1 für i I \ {i 1,..., i n } und schreiben dieses Produkt dann auch in der Form g = i I g i. Hat man eine weitere Familie (h i ) i I von Elementen h i G i mit {i I : h i 1} < und g = i I h i, so ist g i = h i für i I; im Fall g j h j für ein j I wäre nämlich 1 g 1 j h j = i I\{j} g ih 1 i G j G i : i I \ {j} = 1. Widerspruch. Daher läßt sich jedes Element g G in der Form g = i I g i mit eindeutig bestimmten Elementen g i G i schreiben, von denen nur endlich viele von 1 verschieden sind. Es folgt leicht, daß die Abbildung i I G i G, (g i ) i I i I g i ein Isomorphismus ist. Man identifiziert daher häufig i I G i mit i I G i und schreibt z.b. im Fall I = {1,..., n} auch G 1... G n statt G 1... G n. (ii) Hat man umgekehrt eine Familie (G i ) i I von Gruppen vorgegeben und setzt man G := i I G i, Ĝ j := {(g i ) i I : g i = 1 für i j} für j I, so ist G = j I Ĝj, wie man leicht nachrechnet. 5.3. Satz. Gegeben seien Normalteiler G 1,..., G n einer Gruppe G mit G = G 1... G n und G i G 1... G i 1 = 1 für i = 2,..., n. Dann ist G = G 1... G n. Beweis. Sei i {1,..., n} und 1 g G i G 1,..., G i 1, G i+1,..., G n = G i G 1... G i 1 G i+1... G n. Dann existieren g 1 G 1,..., g n G n mit g 1 i = g = g 1... g i 1 g i+1... g n. Für j, k = 1,..., n mit j k ist G j G k = 1, also jedes Element in G j mit jedem Element in G k vertauschbar. Daher ist 1 = g 1... g i 1 g i g i+1... g n. Sei j {1,..., n} maximal mit g j 1. Dann ist 1 g 1 j = g 1... g j 1 G j G 1... G j 1 im Widerspruch zur Voraussetzung. 5.4. Satz. Gegeben seien Normalteiler G 1,..., G n einer endlichen Gruppe G mit G = G 1... G n und ggt( G i, G j ) = 1 für i j. Dann ist G = G 1... G n. Beweis. Wir zeigen durch Induktion nach i, daß G i G 1... G i 1 = 1 und G 1... G i = G 1... G i ist. Für i = 2 ist G 1 G 2 ggt( G 1, G 2 ) = 1, also G 1 G 2 = 1 und G 1 G 2 = G 1 G 2. Ist die Aussage für i bereits bewiesen, so ist G i+1 G 1... G i ggt( G i+1, G 1... G i ) = ggt( G i+1, G 1... G i ) = 1 18

5. DIREKTE SUMMEN UND PRODUKTE 19 und G 1... G i G i+1 = G 1... G i G i+1 = G 1... G i G i+1. Schließlich ist G = G 1... G n = G 1... G n, also G = G 1... G n. Wende 5.3 an. 5.5. Definition. Ein minimaler (maximaler) Normalteiler einer Gruppe G ist ein Normalteiler N 1 (N G) von G mit der Eigenschaft, daß kein Normalteiler M von G existiert mit 1 M < N (N < M G). Satz. (i) Jede endliche charakteristisch einfache Gruppe G ist direkte Summe isomorpher einfacher Gruppen. (ii) Sind G 1,..., G n nichtabelsche einfache Normalteiler einer Gruppe G mit G = G 1... G n, so sind die Teilsummen G i1... G ik die einzigen Normalteiler von G, und zu jedem Normalteiler N von G exstiert ein Normalteiler M von G mit G = N M. (iii) Direkte Produkte von endlich vielen isomorphen einfachen Gruppen sind stets charakteristisch einfach. Beweis. (i) Sei G endlich und charakteristisch einfach und N ein minimaler Normalteiler von G. Für α Aut(G) ist dann auch α(n) ein minimaler Normalteiler von G. Wir wählen eine möglichst große Untergruppe M von G, die direkte Summe einiger α(n) ist. Offenbar ist M G. Annahme: β(n) M für ein β Aut(G). Dann ist M β(n) G und M β(n) < β(n), also M β(n) = 1 wegen der Minimalität von β(n). Folglich ist Mβ(N) = M β(n) im Widerspruch zur Wahl von M. Daher ist M = β(n) : β Aut(G) charakteristische Untergruppe von G, also M = G. Folglich existieren α 1,..., α n Aut(G) mit G = α 1 (N)... α n (N). Da für i j jedes Element in α i (N) mit jedem Element in α j (N) vertauschbar ist, ist für i = 1,..., n jeder Normalteiler K von α i (N) auch einer von G, also K {1, α i (N)} wegen der Minimalität von α i (N). Daher sind α 1 (N),..., α n (N) einfache Gruppen. (ii) Seien G 1,..., G n einfache nichtabelsche Normalteiler einer Gruppe G mit G = G 1... G n, sei N G und g N, g = g 1... g n mit g 1 G 1,..., g n G n. Es genügt zu zeigen: Ist i {1,..., n} mit g i 1, so ist G i N. Sei also i {1,..., n} und g i 1. Da G i einfach und nichtabelsch ist, ist Z(G i ) = 1; insbesondere ist g i Z(G i ). Also existiert ein h G i mit hg i g i h, d.h 1 hg i h 1 g 1 i G i {}}{ = h gh 1 g 1 G }{{} i N. N Folglich ist 1 G i N G i, also G i = G i N N. (iii) Sei H eine einfache Gruppe, n N und G := H n = H... H. }{{} Fall 1: H nichtabelsch. Dann ist G = H 1... H n, wobei i H i := 1... 1 H 1... 1 = H für i = 1,..., n. Jede charakteristische Untergruppe N 1 von G enthält nach (ii) ein H i. Für f Sym(n) ist aber die Abbildung α : G G, (g 1,..., g n ) (g f(1),..., g f(n) ) ein Automorphismus von G. Also ist α(h i ) N und H j N für j = 1,..., n, d.h. N = G. Fall 2: H abelsch, also H = Z/pZ für eine Primzahl p. Also ist G = (Z/pZ) n, o.b.d.a. G = (Z/pZ) n. Jeder Automorphismus des Z/pZ-Vektorraumes (Z/pZ) n ist auch ein Automorphismus der Gruppe (Z/pZ) n. Wie man in der Linearen Algebra zeigt, existiert für je zwei Elemente x, y G \ {1} ein Vektorraum-Automorphismus α von G mit α(x) = y. Folglich ist G charakteristisch einfach. n

20 5. DIREKTE SUMMEN UND PRODUKTE 5.6. Satz (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen). (i) Zu jeder endlich erzeugten abelschen Gruppe G existieren eindeutig bestimmte n 1,..., n r N 0 mit n 1 n 2... n r und G = Z/n 1 Z... Z/n r Z. (ii) Zu jeder endlich erzeugten abelschen Gruppe G existieren eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen q 1 = p a1 1,..., q s = p as s und ein eindeutig bestimmtes t N 0 mit G = Z/q 1 Z... Z/q s Z Z... Z. }{{} t Beweis. Algebra. 5.7. Definition. Einen Endomorphismus α einer Gruppe G mit α(xyx 1 ) = xα(y)x 1 für alle x, y G nennt man normal. Bemerkung. (i) Mit Ω := Inn(G) sind also die normalen Endomorphismen genau die Ω-Endomorphismen. (ii) Ist α normal, so ist x 1 α(x)α(y)α(x) 1 x = α(y) für x, y G, also x 1 α(x) C G (α(g)) für x G. Im Fall α Aut(G) ist also x 1 α(x) Z(G) für x G. Beispiel. Die Nullabbildung 0 = 0 G : G G, g 1 ist für jede Gruppe G ein normaler Endomorphismus. Satz (Schurs Lemma). Gegeben sei eine Menge Ω, eine einfache Ω-Gruppe G und ein normaler Ω- Endomorphismus α 0 von G. Dann ist α Aut Ω (G). Beweis. Offenbar ist α(g) ein Ω-Normalteiler von G. Wegen α 0 ist α(g) 1, also α(g) = G, d.h. α ist surjektiv. Analog ist Ker(α) ein Ω-Normalteiler von G mit Ker(α) G wegen α 0, also Ker(α) = 1, d.h. α ist injektiv. 5.8. Definition. Gegeben sei eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G. Man sagt, daß G die Minimalbedingung (bzw. Maximalbedingung) für Ω-Untergruppen erfüllt, falls jede nichtleere Menge M von Ω-Untergruppen von G ein minimales (bzw. maximales) Element M enthält, d.h. es existiert kein H M mit H < M (bzw. M < H). Satz (Fitting). Gegeben seien eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G mit Minimal- und Maximalbedingung für Ω-Untergruppen. Zu jedem normalen Ω-Endomorphismus α von G existiert dann ein k N mit: (i) G α(g) α 2 (G)... α k (G) = α k+1 (G) =... (ii) 1 Ker(α) Ker(α 2 )... Ker(α k ) = Ker(α k+1 ) =... Für jedes solche k ist G = Ker(α k ) α k (G). Beweis. (i) und (ii) folgen aus der Minimal- und Maximalbedingung. Offenbar sind Ker(α k ) und α k (G) Normalteiler von G. Für g Ker(α k ) α k (G) existiert ein h G mit g = α k (h), und es ist 1 = α k (g) = α 2k (h), also h Ker(α 2k ) = Ker(α k ). Damit ist g = α k (h) = 1. Für g G ist andrerseits α k (g) α k (G) = α 2k (G), also α k (g) = α 2k (h) für ein h G. Dann ist 1 = α k (g)α 2k (h) 1 = α k (gα k (h 1 )), also gα k (h 1 ) Ker(α k ) und g = gα k (h 1 )α k (h) Ker(α k )α k (G). Bemerkung. Im Fall Ker(α k ) = 1 ist also G = α k (G), d.h. α k und α sind bijektiv. Im Fall Ker(α k ) = G ist α k = 0, und man nennt α nilpotent. 5.9. Definition. Gegeben seien eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G 1. Man nennt G unzerlegbar, falls es keine echten Ω-Normalteiler M, N von G mit G = M N gibt. Bemerkung. Jeder normale Ω-Endomorphismus einer unzerlegbaren Ω-Gruppe mit Minimal- und Maximalbedingung für Ω-Untergruppen ist nach 5.8 entweder nilpotent oder bijektiv.

KAPITEL 6 Direkte Zerlegungen 6.1. Definition. Zwei Endomorphismen α, β einer Gruppe G nennt man addierbar, falls die Abbildung G G, g α(g)β(g) ein Endomorphismus von G ist. Gegebenenfalls bezeichnet man diese Abbildung mit α + β. Satz. Zwei Endomorphismen α, β einer Gruppe G sind genau dann addierbar, wenn jedes Element in α(g) mit jedem Element in β(g) vertauschbar ist. In diesem Fall gilt also α + β = β + α. Beweis. : Sind α, β addierbar, so gilt für g, h G: α(g)β(g)α(h)β(h) = (α + β)(g)(α + β)(h) = (α + β)(gh) = α(gh)β(gh) = = α(g)α(h)β(g)β(h), also β(g)α(h) = α(h)β(g). : Für g, h G mit β(g)α(h) = α(h)β(g) ist α(g)β(g)α(h)β(h) = α(g)α(h)β(g)β(h) = α(gh)β(gh). Bemerkung. (i) Sind α, β End(G) addierbar, so auch α γ, β γ (bzw. γ α, γ β) für γ End(G), und es gilt: denn für g G gilt: (α + β) γ = α γ + β γ, γ (α + β) = γ α + γ β; ((α + β) γ)(g) = α(γ(g))β(γ(g)) = (α γ + β γ)(g) (γ (α + β))(g) = γ(α(g)β(g)) = γ(α(g))γ(β(g)) = (γ α + γ β)(g). (ii) Ist Ω eine Menge, G eine Ω-Gruppe und sind α, β End Ω (G) addierbar, so ist α + β End Ω (G); denn für ω Ω und g G gilt: ω ((α + β)(g)) = ω (α(g)β(g)) = ( ω α(g))( ω β(g)) = α( ω g)β( ω g) = (α + β)( ω g). (iii) Endomorphismen α 1,..., α n einer Gruppe G heißen paarweise addierbar, falls α i und α j für alle i, j = 1,..., n mit i j addierbar sind. In diesem Fall ist die Abbildung α 1 +... + α n : G G, g α 1 (g)... α n (g) ein Endomorphismus von G, und für m = 1,..., n 1 gilt: α 1 +... + α n = (α 1 +... + α m ) + (α m+1 +... + α n ). 6.2. Satz. Gegeben seien eine Menge Ω, eine unzerlegbare Ω-Gruppe G mit Minimal- und Maximalbedingung für Ω-Untergruppen und addierbare normale Ω-Endomorphismen α, β von G mit α + β Aut Ω (G). Dann ist α Aut Ω (G) oder β Aut Ω (G). Beweis. Nach 6.1 sind α := (α + β) 1 α, β := (α + β) 1 β End Ω (G) addierbar mit α + β = (α + β) 1 (α + β) = id G. Für g G ist also α (β (g)) = α (α (g 1 )α (g)β (g)) = α (α (g 1 )(α + β )(g)) = α (α (g 1 )g) = = α (α (g 1 ))α (g) = α (α (g 1 ))(α + β )(α (g)) = = α (α (g 1 ))α (α (g))β (α (g)) = β (α (g)). 21

22 6. DIREKTE ZERLEGUNGEN Im Fall α, β Aut Ω (G) wären beide nilpotent nach 5.8, also (α ) n = 0 = (β ) n für ein n N. Dann wäre id G = (α +β ) 2n = 2n ( 2n ) j=0 j (α ) j (β ) 2n j = 0 ein Widerspruch zu G 1. Daher ist α Aut Ω (G) oder β Aut Ω (G), also α Aut Ω (G) oder β Aut Ω (G). 6.3. Satz. Gegeben seien eine Menge Ω und Ω-Normalteiler G 1,..., G n einer Ω-Gruppe G mit G = G 1... G n. Für i = 1,..., n sei ε i : G G definiert durch ε i (g 1... g n ) := g i für g 1 G 1,..., g n G n. Dann sind ε 1,..., ε n paarweise addierbare normale Ω-Endomorphismen von G mit ε 2 i = ε i für i = 1,..., n, ε i ε j = 0 für i j und ε 1 +... + ε n = id G. Beweis. Für i = 1,..., n ist ε i nach Definition der direkten Summe wohldefiniert, und für Elemente g 1, h 1 G 1,..., g n, h n G n, ω Ω, g G gilt: ε i ((g 1... g n )(h 1... h n )) = ε i (g 1 h 1... g n h n ) = g i h i = ε i (g 1... g n )ε i (h 1... h n ), ε i ( ω (g 1... g n )) = ε i ( ω g 1... ω g n ) = ω g i = ω ε i (g 1... g n ), ε i (g(g 1... g n )g 1 ) = ε i ((gg 1 g 1 )... (gg n g 1 )) = gg i g 1 = gε i (g 1... g n )g 1. Wegen ε i (G) = G i für i = 1,..., n sind ε i und ε j für i j addierbar, und der Rest ist klar. 6.4. Satz. Gegeben seien eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G mit Minimalbedingung für Ω-Untergruppen. Ferner enthalte Ω alle inneren Automorphismen von G. Dann existieren endlich viele unzerlegbare Ω- Normalteiler G 1,..., G n von G mit G = G 1... G n. Beweis. Ist die Aussage falsch, so ist die Menge M aller Ω-Untergruppen von G, die sich nicht als direkte Summe von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G schreiben lassen, nichtleer und enthält daher ein minimales Element M. Dann ist M 1, und M ist selbst keine unzerlegbare Ω-Untergruppe von G. Daher existieren echte Ω-Untergruppen M 1, M 2 von M mit M = M 1 M 2. Nach Wahl von M sind M 1, M 2 beide direkte Summe von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G, also auch M. Widerspruch. 6.5. Satz (Krull-Remak-Schmidt). Gegeben seien eine Menge Ω und eine Ω-Gruppe G mit Minimal- und Maximalbedingung für Ω-Untergruppen. Ferner enthalte Ω alle inneren Automorphismen von G, und es sei G = G 1... G r = H 1... H s mit unzerlegbaren Ω-Untergruppen G 1,..., G r, H 1,..., H s von G. Dann ist r = s, nach geeigneter Umnumerierung von H 1,..., H s ist G = H 1... H i 1 G i... G r für i = 2,..., r, und es existiert ein Ω-Automorphismus α von G mit α(g i ) = H i für i = 1,..., r. Beweis. Wir konstruieren für i = 1,..., r + 1 einen Ω-Automorphismus α i von G mit α i (G 1 ) = H 1,..., α i (G i 1 ) = H i 1, α i (G i ) = G i,..., α i (G r ) = G r (bei geeigneter Numerierung von H 1,..., H s ). Für i = 1 setzt man α 1 := id G. Sei nun α i für ein i {1,..., r} schon definiert. Dann ist G = α i (G) = α i (G 1... G r ) = α i (G 1 )... α i (G r ) = = H 1... H i 1 G i... G r. Zu dieser Zerlegung hat man ε 1,..., ε r End Ω (G) wie in 6.3, und analog hat man η 1,..., η s End Ω (G) zur Zerlegung G = H 1... H s. Für i = 1,..., r ist s s ε i = ε i id G = ε i η j = ε i η j. Dabei ist η j (G) = H j für j = 1,..., s, also ε j η j = η j und ε i η j = 0 für j = 1,..., i 1. Daher ist ε i = s j=i ε i η j mit paarweise addierbaren Ω-Endomorphismen ε i η i,..., ε i η s. Für jeden Endomorphismus β von G mit β(g i ) G i sei β : G i G i die Einschränkung von β. Dann ist id Gi = ε i = s j=1 ε i η j. Da G i unzerlegbar ist, folgt aus 6.2, daß sich unter ε i η i,..., ε i η s ein Automorphismus von G i befindet. Nach Umnumerierung von H i,..., H s kann man ε i η i Aut Ω (G) annehmen. Beh.: H i = η i (G i ) (Ker(ε i ) H i ). Bew.: Da ε i und η i Ω-Homomorphismen sind und Ω alle inneren Automorphismen von G enthält, sind η i (G i ) und Ker(ε i ) H i Ω-Normalteiler von G. Für g G i mit 1 = ε i (η i (g)) = (ε i η i )(g) ist g = 1, also η i (g) = 1. Daher ist η i (G i ) Ker(ε i ) H i = 1. Für h H i ist ε i (h) G i = (ε i η i )(G i ) = ε i (η i (G i )), j=1 j=1