درس تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها دکتر منصور زینلی
فصل اول سیگنال: نشانه یا عالمت هر کمیت فیزیکی) قابل اندازه گیری ) است. انواع سیگنال : سیگنالپیوستهدرزمانکهبهصورت x(t) نشان داده میشود و t یک متغیر مستقل و یک عدد طبیعی است. x(t) = sin t )مثال 2 سیگنالگسستهبهصورت[ n ] x نشان داده می شود و n یک عدد صحیح است. n = 0, ±, ± 2, سیگنال های انرژی و توان برای مقاومت داریم )مثال P = R.i 2 = v 2 R E = P(t) dt = R.i 2 dt = v 2 R dt T] به صورت زیر است:, T2 انرژی یک سیگنال در فاصله ی زمانی ] E = T x(t) 2 dt T 2 x(t) = A+jB = x(t) e j x(t) 2
x(t) = A 2 + B 2 x(t) =tan A B Ae jφ(t) = Acos φ(t) + ja sin φ(t) x(t) = cos t + jsin 2 t )مثال x(t) = cos 2 t + sin 2 2t sin 2t x(t) = tan cos t j x(t) x * (t)= A jb = x(t) e x(t). x(t) * = A 2 + B 2 = x(t) 2 مثال : انرژی کل سیگنال های زیر را به دست آورید ( x(t)= 3 e 2jt E = 9 dt = 9t = 2( x (t) = { E = 0 e 4t t 0 e 3t e 2t t<0 + e 6t 0 = 4 e4t 0-6 e 6t 0 = 0 24 انرژی کل یک سیگنال گسسته چنین تعریف می شود E = x[n] 2 n= 3
)مثال ( 3 )n n 0 x [n] = { 0 else E =+ 9 + 8 + 27 2 +... = 9 = 9 8 فرمول های مهم : ) n n=0 N = 2) n = N+ n=0 N 2 ) n = N N 2+ n=n, < )مثال ( x[n] = { 3 )n 5 n 3 0 else E = ( 9 )5 ( 9 )4 9 اگر انرژی یک سیگنال محدود شود به آن سیگنال انرژی میگویند 4
توان یک سیگنال در بازه ی زمانی [T2 T], چنین است : T P = x(t) 2 dt T T 2 T 2 P = N 2 N 2 N 2 + + x[n] 2 n=n توان متوسط یک سیگنال به صورت زیر است : P = lim P = lim N T T 2T x(t) 2 dt T N 2N + x[n] 2 n= N مثال ) توان متوسط سیگنال های زیر را به دست آورید: ) x(t)= t lim T T 2T T2 dt T = lim T 2T t3 3 T T = lim T 2T 2T3 3 = 2 ) x(t) = e 3t P = lim T T 2T e 6t dt = T lim T 2T [e 6T e 6T ] = lim T e 6T 2T = 5
e 3t t 0 3 ) x(t) = { 0 else P = lim T T 2T e 6t dt = lim 0 T 2T ( e 6t ) = 0 P = lim N N 2N + 4 = n=0 lim N 4(N + ) 2N + = 2 سیگنال های متناوب (t) x یک سیگنال پیوسته ی متناوب با دوره تناوب T0 است اگر : x (t)= x (t+t0), for All t اگر T0 کوچکترین عددی باشد که رابطه ی فوق برای آن برقرار است T0 را دوره ی تناوب اصلی می نامند 4π, x (t) = cos t, T0= ±2π, ± )مثال 2π x (t) = cos ω0 =)مثال ω 0 t, T0 x )مثال (t) = cos 2 ω 0 t = + cos 2ω 0 t T 0 = π ω 0 x (t) = cos t + cos 2t )مثال + sin t 3 5 T2=3π, T3= 0πT =2π, T0 =30π که T کل از ک.م.م Tها به دست می آید x (t) =cos t. cos 2t )مثال 6
x (t) = cos 3t + cos t 2 2 2π T = 3, T2 = 2π T0 = 2π x[n] یک سیگنال متناوب است اکر x [n] = x [n+n0] for All n x[n]= cos n 3 )مثال N 0 = 2π 3 =6π x [n] = cos [ πn 2 ] x[n]= x[n+n 0 ] cos π(n+n 0 ) 2 cos π n 2 =cos (πn 2 + 2nN 0 π + πn 0 2 =cos (πn 2 + πn 0 2 ) _ cos(θ)= cos(θ+2kπ) πn 0 2 =2k, k=±, ±2, N 0 = 2 7
سیگنال های زوج )even( و فرد )odd( یک سیگنال زوج است اگر : x (t) = x(-t) x [t] = x [-n] و فرد است اگر: x (t) =- x(-t) x (-t) = -x(t) x[n]= -x[-n] قسمت های زوج و فرد یک سیگنال چنین تعریف میشود : x e (t) = Ev{x(t)} = x o = Odd{x(t)} = x(t) + x( t) 2 x(t) x( t) 2 8
مثال( قسمت های زوج و فرد سیگنال های زیر را محاسبه کنید: ) x(t) = e jω 0t x e (t) = ejtω 0 + e jtω 0 2 x o (t) = ejtω 0 e jtω 0 2 = cos tω 0 = j sin tω 0 2) t > 0 t < t < 0 3)x (t)= { } t + 2 2 < t < 0 t > 2 9
t < 0 t < t < 0 x(-t)={ } t + 2 0 < t < 0 t < 2 xe(t)= { 2 t+3 2 t 2 t < 2 2 < t < < t < 0 } مثال( قسمت های زوج و فرد سیگنال های زیر را محاسبه کنید: x e [ 3] = x[ 3] + x[3] 2 x e [ 2] = 0 = x e [2] x e [ ] = 0 = x e [] x e [0] = 0 xe[n] = 2 = x e[3] n[x] x o [ 3] = 2 x o[ 2] = x o [ ] = x o [0] = 0x o [n] تبدیل های متغیر مستقل:
سیگنال x(t-t0) از انتقال سیگنال x(t) در حوضه ی زمان به اندازه ی > 0 0 t ایجاد میشود اگر > 0 0 t شیفت به راست و اگر < 0 0 t به چپ شیفت پیدا می کند که داریم: سیگنال x( t) از تغییر مقیاس x(t) در حوضه ی زمان به اندازه ی اگر > باشد سیگنال فشرده و در غیر این صورت باز می شود ایجاد میشود. )مثال ( 2( -سیگنال( β x(αt + از انتقال سیگنال x(t) به اندازه یβ و تغییر مقیاس عرضی β وتغییر افقی مقیاس سیگنال به اندازه ی α حاصل میشود. x( 5 2 مثال ) اگر ( x(tبه صورت زیر باشد مطلوب است: ( + t
)حل سیگنال های پله ی واحد و ضربه و پله گسسته یک سیگنال ضربه ی واحد گسسته این چنین تعریف می شود: δ[n] = { n = 0 0 n 0 ] 0 δ[n n )مثال 2
خاصیت غربالی سیگنال ضربه: x[n 0 ] n = n 0 x[n]. δ[n n 0 ] = x[n 0 ]. δ[n n 0 ] = { 0 n n 0 )مثال cos n2 π 4 δ[n 3] = cos 9π 4 2 δ[n 3] = δ[n 3] 2 )مثال 3 x[n] = ( ) k δ[n k] = ( )δ[n + 3] + δ[n + 2] + ( )δ[n + ] + δ[n] + k 3 +( )δ[n ] + δ[n 2] + ( )δ[n 3] )مثال x[n] = δ[n 2k] = + δ[n + 4] + δ[n + 2] + δ[n] + k= سیگنال پله ی واحد گسسته چنین تعریف می شود: 3
n 0 u[n] = { 0 n < 0 : بر حسب ضربه u[n] = δ[n] + δ[n ] + = δ[n k] = δ[m] (m = n k) k=0 m= : تابع ضربه ی پله δ[n] = u[n] u[n ] تمرین : سیگنال های زیر را رسم کنید. ) x[n] = u[n + 3] u[n 3] 2) x[n] = u[3 n] u[n + 4] 3) x[n] = cos πn 2 δ[n k] 4 k= 6 4) x[n] = u[n + 0] u[0 n] 4
3 5) x[n] = ( ) k u[n k] k= 3 سیگنال های پله و ضربه ی واحد سیگنال واحد پله و ضربه ی واحد چنین تعریف میشود: t > 0 u(t) = { 0 t < 0 مثال ) سیگنال های زیر را رسم کنید : ) x(t) = u(t 0) u(t + 0) 2) x(t) = u( t + 3) u(t + 3) 5
3) x(t) = u(t 3). u(t+3) سیگنال ضربه ی واحد پیوسته این سیگنال چنین تعریف میشود: t = 0 δ(t) = { 0 t 0 δ(t)dt = روابط بین تابع ضربه و تابع پله به این شکل است: u(t) = δ(t )dt δ(t) = du(t) dt خاصیت غربالی سیگنال ضربه x(t) δ(t t 0 ) = x(t 0 ) δ(t t 0 ) )مثال ) sin t. δ(t) = 0. δ(t) = 0 6
2) sin t. δ (t π 2 ) = δ (t π 2 ) سیگنال های نمایی پیوسته یک سیگنال نمایی پیوسته به یکی از سه حالت زیر میباشد: )x(t) = ce αt,c α دوعدد حقیقی اند 2)x(t) = ce jω 0t x(t) = c { x(t) = ω 0 t x R (t) = c cos ω 0 t { x I (t) = c sin ω 0 t 3)x(t) = ce αt e jω 0t x(t) = c { x(t) = ω 0 t x R (t) = c e αt cos ω 0 t { x I (t) = c e αt sin ω 0 t سیستم و خواص آن 7
یک سیستم فرآیندی است که یک یا چند ورودی را به یک یا چند خروجی تبدیل میکند y(t)=t{x(t)} خواص سیستم ها: ( حافطه دار بودن: سیستم بودن حافظه سیستمی است که خروجی آن در هر لحظه به مقدار خروجی وابسته باشد ( به گذشته وابسته نباشد ) سلف و خازن جزء سیستم های حافظه دارند ولی مقاوت یک سیستم بدون حافظه است سلف v(t) = Ri(t) { مقاومت y(t) = Rx(t) { y(t) = l du(t) dt v(t) = t c i(t )dt خازن y(t) = t { c x(t )dt v(t) = l di(t) dt = l lim 0 x(t) x(t ) مثال یک سیستم حافظه دار: 8
m y[n] = [n k] m + k=0 = (x[n] + x[n ] + + x[n m]) m + *اگر داخل پرانتز ها ویا کروشه ها عملیات ریاضی انجام شده باشد سیستم حافظه دار است. 2( عل ی بودن: سیستم علی سیستمی است که خروجی آن در هر لحظه فقط وابسته به مقادیر حال و گذشته ی ورودی باشد و به آینده وابسته نباشد )در واقعیت هیچ سیستمی به آینده وابسته نیست( کلیه ی سیستم های بدون حافظه علی اند مثال برای سیستم غیر علی: y[n] = m x[n k] = (x[n + m] + ) 2m + 2m + 3( وارون پذیری : سیستمی که بتوان از خروجی آن ورودی را به طور یکتا تعیین کرد. مثال( ) y(t) = c x(t )d t وارون x(t ) = c dy(t) dt 9
2) y(t) = l dx(t) dt x(t) = t c y(t )dt x(t) = t c y(t )dt وارون پذیر وارون پذیر نیست + C 3)y[n] = x 2 [n] x[n] = ± y[n] : مثال نقض x [n] = y [n] = x 2 [n] = y 2 [n] = 4) y(t) = sin x(t) x(t) = sin y(t) + 2kπ y(t) = 0 x(t) = 0 ± π, ±2π 4( پایدار بودن: سیستمی پایدار است که از ورودی ها با دامنه ی محدود خروجی با دامنه ی محدود تولید کند. x(t) < B x y(t) < B y B x و B y دو عدد محدود )y(t) = t c x(t )dt c x(t) = y(t) = مثال نقض t dt 2) y(t) = dx(t) مثال نقض x(t) = u(t) y(t) = δ(t) dt مثال( 5( تغییر پذیری با زمان: سیستمی است که به ازای ورودی های یکسان در زمان های مختلف خروجی های یکسان در زمان های مختلف تولید کند. x(t) y(t) x 2 (t) = x(t t 0 y 2 (t) = y(t t 0 ) 2
t ) y(t) = x(t )dt t x 2 (t) = x(t t 0 ) y 2 (t) = x 2 (t )dt t t 0 y(t t 0 ) = x(t )dt = t" = t + t 0 t مثال( تغییر پذیری یا نا پذیری سیستم های زیر را بررسی کنید. t = x 2 (t t 0 )dt x( t" t 0 )dt" = y 2 (t) 2) y(t) = dx(t) dt x 2 (t) = x(t t 0 )y 2 (t) = dx 2(t) dt y(t t 0 ) = dx(t t 0) dt y(t) = x(2t) = y 2 (t) = dx(t t 0) dt تمرین( تغییر پذیری یا ناپذیری سیستم زیر را بررسی کنید. 2
6( خطی بودن : یک سیستم خطی است اگر سیستم همگن و جمع پذیر باشد: x (t) y (t) x 2 (t) y 2 (t) x (t) + x 2 (t) y (t) + y 2 (t) ax (t) ay (t) ax (t) + bx 2 (t) ay (t) + by 2 (t) مثال( خطی بودن سیستم های زیر را بررسی کنید: ) y[n] = n 2 x[n] x [n] y = n 2 x [n] x 2 [n] y = n 2 x 2 [n] x 3 [n] = ax [n] + bx 2 [n] y 3 = n 2 x 3 [n] خطی است 2) y(t) = x 2 (t) x (t) = y (t) = x 2 (t) = 3x (t) y 2 (t) = 9 همگن نیست 3) y(t) = Re{x(t)} x(t) = y(t) = x 2 (t) = j. x(t) y 2 (t) = 0 همگن نیست 22
تمرین( خطی بودن سیستم های زیر را بررسی کنید: )y(t) = x(t) + 2)y(t) = log 0 x(t) 23
فصل دوم سیستم های LTI قضیه ی کانولوشن: هر سیگنال گسسته را می توان برحسب مجموع توابع ضربه نوشت. برای مثال سیگنال زیر رل در نظر بگیرید: x[n] = + δ[n + 2] + 2δ[n + ] δ[n] + δ[n 2] + = 2 x[ 2]δ[n + 2] + x[ ]δ[n + ] + x[0]δ[n] + x[]δ[n ] + = x[k] δ[n k] k= خروجی k] δ[n h[n k] خروجی k] x[k] δ[n x[k] h[n k] x[n] = x[k] δ[n k] x[n] h[n k] = y[n] k= h[n] y[n] جمع کانولوشن k= 24
مثال( کانولوشن زیر را حساب کنید: )حل y[ 3] = x[k]h[ 3 k] = 0 k= h[ 2 k] y[ 2] = 0 h[ ] = y[0] = h[-k] y[-k] y[]=2 25
برای محاسبه ی کانولوشن میتوان مراحل زیر را طی نمود: [k] x و[ h[k رارسم می کنیم. [k-] h را رسم نموده وبه اندازه ی د شیفت میدهیم تا h[n-k] به دست آید. - -2 3-[k] x و h[n-k] را در هم ضرب کرده و مجموع حاصلضرب را به دست می آوریم تا y[n] به دست آید مثال( کانولوشن های زیر را محاسبه کنید: ) y[n] = x[n] δ[n 2] y[n] = x[k] h[n k] = x[k] h[n k 2] = x[n 2] h[n k] k= k= k= = x[n 2] h[n k] = x[n 2] k= x[n] δ[n n 0 ] = x[n n 0 ] 2) x[n] = ( 2 )n u[n] x[n] = ( 3 )n u[n] y[n] = 0 n y[0] = y[] = 2 + 3 y[2] = 4 + 2 + 3 + 9 y[n] = ( 2 )k u[k] ( 3 )n k u[n k] k= ( 3 )n ( 3 2 )k u[k], n 0 k= 26
n ( 3 )n ( 3 2 )k k=0 3) x[n] = ( 2 )n u[n] h[n] = 3 n u[ n] n < 0 y[n] = = 3 n ( 6 )k k= ( 2 )k u[k]3 n k u[ n + k] k= n 0 3 n ( 6 )k = 3 n 6 k=n تمرین ) کانولوشن های زیر را محاسبه کنید: ) x[n] = ( 2 )n u[n] h[n] = u[n + 0] u[n 0] 2) x[n] = u[n] u[n 40] h[n] = u[n + 0] + u[n 0] 27
28
قضیه ی کانولوشن برای سیگنال های پیوسته: هر سیگنال پیوسته برحسب تابع ضربه بصورت زیر قابل نمایش است. کانولوشن های زیر را محاسبه کنید: x(t) = x(τ) δ(t τ)dτ x(t) LTI سیستم y(t) y(t) = x(τ) h(t τ)dτ = x(t) h(t) ) x(t) = e 2t u(t) h(t) = e 3t u(t) (حل h(τ) و( x(τ را رسم می کنیم ( h(τرا نسبت به محور عمودی قرینه کرده و به ازای t شیفت می دهیم تا (τ h(t به دست - -2 آید. x(τ)-3 و (τ h(tرا در هم ضرب کرده و از حاصلضرب انتگرال بگیرید تا y(t) به دست آید y(t) = e 2τ u(τ)e 3(t τ) u(t τ)dτ 29
تمرین ) x(t) = 2[u(t) u(t 2)] h(t) = e t u( t) 3
خواص کانولوشن: ( جابجایی: x(t) h(t) = h(t) x(t) x(τ) h(t τ)dτ = x(t τ) h(τ)dτ 2( شرکت پذیری: x(t) [h (t) h 2 (t)] = [x(t) h (t)] h 2 (t) 3( توزیع پذیری: x[n] h i {h [n] + h 2 [n]} = x[n] h [n] + x[n] h 2 [n] 3
خواص سیستم های LTI ( حافظه دار بودن y[n] = x[n k] h[k] = k= = + x[n 2] h[2] + x[n ] h[] + x[n] h[0] + x[n + ] h[ ] + x[n + 2] h[ 2] + : سیستم بدون حافظه 0 n 0 y[n] = Ax[n] h[n] { A n = 0 h[n] = Aδ[n] { h(t) = aδ(t) 2( علی بودن: سیستمی که خروجی آن به ورودی وابسته نباشد )ضریب مولفه ها آینده ی آن صفر باشد(. h[n] = 0 n < 0 { h(t) = 0 t < 0 )مثال h[n] = u[n ] n 3( پایداری: سیستمی پایدار است که در آن x[n] < B x y[n] < B y y[n] = x[n k] h[k] x[n k] h[k] k= k= B x k= h[k] B y h[n] < B y ا k= B x 32
شرط الزم و کافی یک سیستم LTI آن است که پاسخ ضربه ی آن مطلقا جمع پذیر )انتگرال پذیر( h[n] k= < m, h(t) dt < m باشد. )مثال h[n] = u[n ] n h[n] = + 2 + 3 + n= ناپایدار h(t = t(u(t + 2)) t u(t + 2 dt 0 = tdt 2 + tdt 0 تابع دوپلت و سایر توابع ویژه: تابع دوپلت مشتق تابع ضربه است u (t) dδ(t) dt x(t) u (t) = x(t) dδ(t) dt u k (t) dk δ(t) dt k = d dt δ(t) u(t) x(t) δ(t) = dx(t) dt 33
)مثال x(t) = cos u(t), h(t) = u(t) y(t) = u(t) h(t) =? y(t) = d [ sin tu(t) + cos t δ(t)] dt y(t) = sinδ(t) cos t u(t) + u(t) u(t) u (t) = u 2 = t t δ(τ)dτ u(τ)dτ = t u(t) 34
فصل سوم سری فوریه سیگنال های LTIبیان ورودی برحسب یک سری از توابع پایه با ویژگی های زیر می تواند سودمند باشد. دسته ی بزرگی از سیگنال ها را می توان برحسب این توابع نوشت. خروجی این سیستم به سادگی به دست می آید. - - یک دسته از این توابع پایه سیگنال های نمایی هستند. برای مثال سیگنال های زیر را در نظر بگیرید. x(t) = e jωt y(t) = x(t τ) h(τ)dτ = = x(t)h(jω 0 ) e jωt h(τ)dτ = تبدیل فوریه پیوسته H(jω) e jωt h(τ)dτ e jωt e jωt h(τ)dτ x[n] = z 0 n یک عدد مختلط دلخواه z 0 y[n] = x[n k] h[k] = H[z] x(t) = k= h[k] k= z k n k z 0 h[k] = z n 0 h[k] z k 0 = x[n] H[z 0 ] k= تبدیل z k بنابرین میتوان x(t) را به صورت مجموع یک سری از توابع نمایی بصورت زیر نوشت: سری فوریه پیوسته a k e jω0t k= 35
y(t) = a k H(jkω)e jktω 0 k= برای محاسبه ی ضرایب سری فوریه موقعی که سیگنال به صورت مجموعی از سیگنال ها است از روابط cos θ = eθj + e θj x(t) = 3 + 2 sin t 4 cos 3t + cos(5t + 45 ) 8 T 0 = 2π ω 0 = 2π T 0 = 2 sin θ = eθj + e θj 2j 3 + 4j ejω 4j e jω 8 e 3jω + 6 ej45. e j5t + 6 e j45. e j5t = a k k= e jkt 3 = a ke jkt k = 0, a 0 = 3 a = 4j a 3 = a 3 = 8 a 5 = 6 ej45 a 5 = 6 e j45 زیر استفاده می کنیم: مثال ) سیگنال زیر را در نظر بگیرید: در حالت کلی ضرایب سری فوریه یک سیگنال متناوب از رابطه ی زیر به دست می آید: a k T 0 x(t)e jkω 0t dt T 0 مثال( ضرایب سری فوریه قطار پالس زیر را محاسبه کنید. 36
a k T 0 x(t)e jkω 0t dt T 0 a k T ()e jkω0t dt T 0 T a k =. T T 0 jkω. e jkω0t T = jk 2π T 0 T. 2j sin kω 0T sin k 2π T 0 T kπ 2T T 0. 2T = 2T T 0 T 0 sinc ( 2Tk T 0 ) x(t) u (t) = t x(τ)dτ شرایط همگرایی سری فوریه )شرایط دریکله(: (t) xدر یک دوره ی متناوب مطلقا انتگرال پذیر باشد. - 2- مقدار min, max در یک دوره ی تناوب محدود باشد. 3- تعداد ناپیوستگی x(t) در یک دوره ی تناوب محدود باشد. 37
خواص سری فوریه ( خطی بودن x (t) F s a k, T 0 x 2 (t) F s b k, T 0 αx (t) + βx 2 (t) F s α a k + βb k, T 0 2( انتقال زمانی x(t) F s a k x(t t 0 ) F s b k = a k e jkω 0t 0 b k = T 0 x(t t 0 ) T 0 e jkω 0t dt, t = t t 0 = T 0 x(t ) T 0 e jkω 0t dt = e jkω 0t 0. x(t ) e jkω0t dt T 0 T 0 مثال( x(t) = cos 3t = 2 e3jω + 2 e 3j, a = a = 2 x(t 2) = cos 3(t 2) = cos(3t 6) = 2 e3jω. e 6j + 2 e 3jt. e 6j b = 2. e 6j, b = 2. e6j b = a k e kj6 b = a e j6 b = a e j6 38
تمرین ) ضرایب سری فوریه سیگنال زیر را حساب کنید. 39
3( وارون پذیری زمانی: x(t) F s a k x( t) F s b k = a k اگر x(t) زوج باشد : x(t) = x( t) F s a k = a k اگر x(t) فرد باشد : x(t) = x( t) F s a k = a k 4( تغییر مقیاس در حوزه ی زمان : x(αt) F s b k = a k, ω = αω 0 x(αt) = a k. e kjω 0tα = a k. e kjω t x(t) = cos t F s a = a = 2, ω 0 = x(5t) = cos 5t F s a = a = 2, ω 0 = 5 5( مزدوج گیری x (t) F s a k a k = 2T sinc ( 2kT ) T 0 T 0 x(t) = x (t) = a k = a k 2T T 0 sinc ( 2kT ) = 2T sinc 2kt T 0 T 0 T 0 اگر x(t) زوج باشد : a k a k a k = a k = a k = a k در این صورت ضرایب سری فوریه حقیقی و زوج میشوند 4
اگر x(t) فرد باشد: a k = a k a k = a k a k = a k در این صورت ضرایب سری فوریه موهومی خالص و فرد هستند. x(t) = A sin ω 0 t a = a = A 2j 6( قضیه ی توان پارسوال : F = T 0 x(t) 2 T 0 dt = a k 2 k= 4
X(jω) x(t)e jωt dt x(t) 2π X(jω) e jωt dt )x(t) = e at u(t), a > 0 فصل چهارم تبدیل فوریه پیوسته تبدیل فوریه ی یک سیگنال پیوسته و عکس آن چنین تعریف میشود: مثال( تبدیل فوریه ی سیگنال های زیر را به دست آورید : X(jω) = e at e jωt dt X(jω = a 2 + ω 2 0 = a + jω e (a+jω)t = a + jω 0 X(jω) = 2 2 X(jω) max a 2 + ω = 2 2 2a X(jω) = tan ω a 2) x(t) = δ(t) X(jω) = δ(t) e jωt dt = 42
تمرین ) تبدیل فوریه سیگنال های زیر را به دست آورید: x(t) = e a t, a > 0 x(t) = { t < T 0 t > T 43
مثال ) عکس تبدیل فوریه ی سیگنال های زیر را محاسبه کنید: ω < ω C X(jω) = { 0 ω > ω C ω c x(t) = 2π ejωt dω = ω c 2πjt ejωt = sin ω ct ω πt c ω c تبدیل فوریه ی سیگنال های متناوب: فرض کنید ) 0 X(jω) = 2πδ(ω ω x(t) = 2π 2πδ(ω ω 0)e jωt dω = e jω 0t e jω 0t 2πδ(ω ω 0 ) e jω 0t 2πδ(ω ω 0 ) a k e jkω 0t 2a k πδ(ω kω 0 ) a k e jkω 0t a k 2πδ(ω kω 0 ) k= k= x(t) = δ(t kt 0 ) = T 0 e jkω 0t k= k= X(jω) = 2π δ(ω kω T 0 ), ω 0 = 2π 0 T k= مثال( تبدیل فوریه ی سیگنال زیر حساب کنید: 44
خواص تبدیل فوریه ی پیوسته: ( خطی بودن: x (t) x 2 (t) F F X (jω) X 2 (jω) ax (t) + bx 2 (t) F s ax (jω) + bx 2 (jω) 2( انتقال زمانی: x(t t 0 ) F e jω. X(jω) مثال ) تبدیل فوریه ی سیگنال زیر را به دست آورید: x(t) = x (t) + x 2 (t) y(jω) = 2 sin ωt ω x (t) = y (t 3 2 ), T = 3 2 X (ωj) = e 3 2 jω y(jω) X (ωj) = e 3 2 jω sin 3 2 ω ω 45
x 2 (t) = y(t 2.5), T = 2 X 2 (ωj) = 2e 2.5jω sin 2 ω ω 3( وارون سازی زمانی: x( t) F X( jω) 4( تغییر مقیاس در حوزه زمان: x(αt) F α. X(αjω) ( x(t (مثال = e t F u(t) X(jω) = jω + x(6t) = e 6t F u(6t) X(jω) = jω + 6 5( مزدوج گیری : x (t) F X ( jω) اگر x(t) حقیقی باشد: x(t) = x (t) F X(jω) = X ( jω) اگر سیگنال زوج باشد: X(jω) = X( jω) و اگر فرد باشد: X(jω) = X( jω) x(t) = x e (t) +x o (t) F X(jω) = X R (jω) + jx I (jω) x e (t) F X R (jω) 46
x o (t) F jx I (jω) )مثال x(t) = e at F u(t) X(jω) = jω + a x e (t) = e at u(t) + e at u( t) 2 F X R (jω) = a ) 6 مشتق و انتگرال گیری: a 2 + ω 2 dx(t) dt F v(t) = L di(t) dt t x(τ)dτ jωx(jω) F F v(jω) = jωli(jω) X(jω) jω + π. X(0). δ(ω) تمرین( تبدیل فوریه ی سیگنال های زیر را حساب کنید: x(t) = t [u(t + T) u(t T)] T 47
7( قضیه ی انرزی پارسوال: E = x(t) 2 dt = 2π X(jω) 2 dω مثال ) برای سیگنال های زیر مطلوب است: E i = x(t) 2 dt E = 2π X (jω) 2 dω E 2 = 2π. 2π = x(t) = 2π dx(t) dt D = 0 D 2 = 2π X(jω)ejωt dω = 2π jω. X(jω)ejωt dω. 2 jω dω = j π 2 = 2π. 2 (π 2 + 4. π 2 ) = 5 8, D i = dx i(t) dt t = 0 8( قضیه ی کانولوشن: y(t) = x(t) h(t) Y(jω) = X(jω). H(jω) پاسخ فرکانس سیستم Y(jω) H(jω) = X(jω) 48
تابع تبدیل شبکه Y(s) H(s) = X(s) مثال( کانولوشن زیر ر ا حساب کنید: x(t) = sin ω t πt, h(t) = sin ω 2t πt ω < W X(jω) = { 0 ω < W ω < W 2 H(jω) = { 0 ω < W 2 ω < W 3 Y(jω) = X(jω). H(jω) = { 0 ω < W 3 W 3 = min(w, W 2 ) 49
9( ضرب دو سیگنال: r(t) = x(t). s(t) F R(jω) = 2π X(jω) s(jω) مثال ) با توجه به سیگنال X(jω) R(jω). را رسم کنید. R(jω) = X(jω) [π δ(ω 0π) + π δ[ω + 0π)] 2π R(jω) = 2π X(j(ω 0π)) + X(j(ω + 0π) 2 5
فصل 9 تبدیل الپالس یک سیگنال چنین تعریف میشود: تبدیل الپالس X(s) = x(t)e st dt, s = σ + jω )مثال x(t) = e at u( t) X(s) = e at e st dt = 0 s + a e (a+s)t s + a )مثال, Re[s + a] < 0 e t u(t) L s + 3j, Re[s + 3j] > 0, Re[s] > )مثال x(t) = δ(t) X(s) = δ(t)e st dt = for alls خواص ناحیه ی همگرایی: ( Rocبه صورت نوار هایی موازی محور jω باشدکه شامل هیچ قطبی نیست اگر Roc طول محدود و انتگرال پذیر باشد ( x(tدارای کل صفحه ی s است. )2 5
0 < t < T x(t) = { 0 else X(s) = e st dt 0 t = e st s X(0) = T 3( اگر ( x(tسمت راستی و( X(s گویا باشد Roc سمت راست راست ترین قطب قرار میگیرد. X(s) = a 0 + a s + a 2 s 2 + b 0 + b s + b 2 s 2 + اگر x(t) سمت چپی و X(s) گویا باشد Roc سمت چپ چپترین قطب قرار میگیرد. )4 Roc یا محدود به قطب ها شده یا اصال وجود ندارد. 5( اگر x(t) دو طرفه باشد )مثال x(t) = e at = e at u(t) + e at u( t) X(s) = s + a s a = 2a s 2 a 2 Re[s] > a, Re[s] < a a < Re[s] < a X(s) = *اگرمحور jω داخل Roc باشد میتوان تبدیل الپالس را به فوریه تبدیل کرد. مثال ) کلیه ی سیگنال هایی رامشخص کنید که تبدیل الپالس آنها به صورت زیر است: s (s 2 + ) 2 (s 3) = k s + j + k 2 (s + j) 2 + k 2 s j + k 22 (s j) 2 + k 3 s 3 k = k 2 k 22 = k 2 k 2 = (s + j) 2. s s = j k = d ds (s + j)2. s) s = j 52
خواص تبدیل الپالس: ( خطی بودن: L x(t) X(s), Roc: R L y(t) Y(s), Roc: R 2 L ax(t) + by(t) ax(s) + by(t), Roc: R R 2 X(s) = s + Y(s) = s + + s + 2, Re[s] >, Re[s] > X(s) = s + 2, 2 > Re[s] انتقال زمانی: 2 > Re[s] ) 2 x(t t 0 ). e st X(s), Roc: R 3( وارون سازی زمانی: x( t) L X( s) e 2t u(t) L e 2t u( t) L s + 2 s 2, Re[s] > 2, Re[s] < 2 4( تغییر مقیاس در حوزه ی زمان: x(at) L a X(s a ) x(at)e st dt = a s x(t)e a dt 53
مثال( L δ(t) 5 δ(t) = δ(5t) L u(t) L s 5, Re[s] > 0 5( مزدوج گیری: x (t) x (t) L L X (s) X ( jω) 6( مشتق گیری: L x (t) sx(s), Roc: R x(τ)dτ L X(s), Roc: R s Re[s] > 0 7( انتگرال گیری : x(t) F s a k dx(t) dt t F s (jkω 0 )a k a k x(τ)dτ F s jkω 0, a 0 = 0 مثال ) ضرایب سری فوریه ی سیگنال های زیر را محاسبه کنید: 54
y(t) = dx(t) dt F s b k = (jkω 0 ) 2T sinc ( 2kT ) T 0 T 0 b k = A+T 0 [δ(t + T) δ(t T)]e jkω0t dt T 0 A T δ(t + T)ejkω 0t dt δ(t T)]e jkω 0t dt 55
8( مشتق گیری در حوزه ی s )الپالس( tx(t) )مثال l dx(s) Roc: R و ds e at u(t) te at u(t) t n n! eat u(t) l l Re[s] > a و s a l Re[s] > a و (s a) 2 Re[s] > a و (s a) n+ 9( کانولوشن L y(t) = x(t) h(t) Y(s) = X(s)H(s), Roc: R R 2 تمرین : فرض کنید ورودی یک سیستم LTI به صورت u(t) x(t)=e t- و خروجی آن به صورت - y(t)=e _2t e 3t- باشد مطلوب است: پاسخ ضربه ی سیستم پاسخ ضربه ی سیستم وارون و معادله دیفرانسیل ارتباط دهنده ی ورودی و خروجی. 56
( قضایای مقادیر اولیه و نهایی x(0 + ) = lim s sx(s) x() = lim s 0 + sx(s) مثال( فرض کنید: X(s) = 2s2 + 5s + 2 (s 2 + 2s + 0), Re[s] > مطلوب است ) + x(0 و x() : x(0 + ) = lim s. x() = lim s. 2s 2 + 5s + 2 (s 2 + 2s + 0) = 2 2s 2 + 5s + 2 (s 2 + 2s + 0) = 0 خواص سیستم های LTI علی بودن: شرط علی بودن آن است که < 0 t h(t) = 0,. بنابرین اگر h(t) و ( H(sگویا ) علی باشد Roc آن سمت راستی است. 2( پایداری: شرط پایداری آن است که پاسخ ضربه ی آن مطلقا انتگرال پذیر باشد. بنابریندارای تبدیل فوریه است. پس شرط پایداری آن است که محور jω داخل Roc باشد. اگر H(s) گویا و h(t) علی باشد شرط پایداری آن است که کلیه ی قطب های H(s) سمت چپ محور jω قرار گیرند. مثال h(t) = e t u(t) + e 2t u(t) 57
H(s) = s + + s 2 h(t) dt e t dt 0 + e 2t dt 0 غیر علی و پایدار < 2 Re[s] h(t) = e t u(t) + e 2t u( t), < مثال ) فرض کنید اطالعات زیر در مورد یک سیستم LTI مشخص شده اند. تابع تبدیل آن را رسم کنید. سیستم علی است تابع تبدیل آن گویا بوده و فقط دو قطب در 2 = s s =, دارد ) )2 H(s) = p(s) Q(s) = خروجی at e H(a)e at p(s) (s )(s + 2) = e 0t H(0)e 0t = 0 H(0) = 0 p(s) = (s z )(s z 2 ) = s(s z 2)(s z 3 ) r(s) H(s) = s r(s) (s )(s + 2) اگر = x(t) باشد 0 = y(t) میشود h(0 + ) = 4 )3 )4 تمرین( یک سیستم علی و پایدار با پاسخ ضربه ی h(t) را در نظر بگیرید. فرض کنید H(s) گویا بوده و قطبی در 2-=s داشته و در مبدا صفر ندارد. صحت یا عدم صحت روابط زیر را تعیین کنید. الف( } 3t F{h(t)e همگرا است 58
h(t)dt ب) = 0 ج( h(t) t پاسخ ضربه ی یک سیستم علی و پایدار است د( h(t) دارای طول محدود است dh(t) ه) dt و( H(s)=H(-s) 59
فصل تبدیل Z تبدیل z یک سیگنال گسسته چنین تعریف میشود. X(z) = x[n]z n, n= z = re jω اگر =r باشد تبدیل z گسسته است. مثال ) تبدیل z سیگنال های زیر را محاسبه کنید: )x(n) = a n u(n) X(z) = a n z n = az, az < z > a n=0 2)x[n] = a n u[ n ] X(z) = a n z n n= = a z a z = az = (a z) m = (a z) m m= m=0 تمرین ) تبدیل z سیگنال های زیر را محاسبه کنید: )x[n] = 2( 3 )n u[n] 4( 2) n u[n] 2)x[n] = ( 3 )n cos nπ 4 u[n] 6
خواص ناحیه همگرایی تبدیل z Roc به صورت دیسک هایی به مرکز مبدا مختصات است. Roc شامل هیچ قطبی از X(z) نیست. اگر x[n] دارای طول محدود باشد Roc کل صفحه ی z احتماال 0=z یا =z است. ) )2 )3 اگر x[n] سمت راستی و ( X(zگویا باشد Rocناحیه ی بیرونی خارجی ترین قطب است. اگر )4 x[n] علی باشد =z را شامل میشود. 5( اگر x[n] سمت چپی و( X(z گویا باشد Roc ناحیه ی داخلی داخلی ترین قطب است و اگر ضد علی باشد 0=z x[n] را نیز شامل میشود. 0 n x[n] = 0, ضد علی 6( اگر x[n] دو طرفه باشد Rocیا محدود به قطب ها شده یا اصال وجود ندارد. )مثال x[n] = a n = a n u[n] + a n u[ n ] X(z) = az a z z > a, z < a < z < a a مثال( کلیه ی سیگنال هایی را مشخص کنید که تبدیل z آنها به صورت زیر است. X(z) = k 2 z + k 2 + 3z k = ( 2 z )X(z) z = 2 = 7 6
k 2 = ( + 3z )X(z) z = 3 = 6 7 k 2 z k ( 2 )n u[n], z > 2 k ( 2 )n u[ n ], z < 2 k k 2 ( 3)n u[n], z > 3 2 + 3z k 2 ( 3) n u[ n ], z < 3 x[n] = k ( 2 )n u[n] + k 2 ( 3) n u[n], z > 3 x[n] = k ( 2 )n u[n] k 2 ( 3) n u[ n ], 2 < z < 3 x[n] = k ( 2 )n u[ n ] k 2 ( 3) n u[ n ], z < 2 مثال ) عکس تبدیل z سیگنالهای زیر را محاسبه کنید: ) X(z) = 5z 3 2z 3 + z 2 + 4z 5 X(z) = x[n]z n n= x[ 3] = 5 x[ ] = 2 x[0] = 3 x[2] = x[5] = 4 2) X(z) = ln( + az ), z < a ln( + V) = ( )n+ v n X(z) = n= n 62
( )n+ a n z n n= x[n] = ( )n+ a n n u[n ] خواص تبدیل z ( خطی بودن: ax [n] + bx 2 [n] z ax (z) + bx 2 (z) حداقل Roc R R 2 2( انتقال زمانی: x[n n 0 ] z z n 0X(z) 3( تغییر مقیاس در حوزه ی z z 0 n x[n] z X ( z z 0 ) 4( وارون سازی زمانی: x[ n] z X(z ) )5 کانولوشن : y[n] = x[n] h[n] z y(z). H(z) مثال( کانولوشن زیر را حساب کنید. x[n] = ( 3 )n u[n ] h[n] = u[n] y[n] = x[n] h[n] X(z) = z, H(z) = 3 z z z > 3 z > 63
Y(z) = z ( 3 z ) ( z ) = k z + k 2 3 z k, k 2 = 3 2 y[n] = 3 2 u[n] 3 2 ( 3 )n u[n] 6( مشتق گیری : nx[n] z z dx(z) dt )X(z) = a n u[n] z az ( az, z > a ) 2 na n u[n] z. z az, z > a az ( az, z > a ) 2 مثال ) عکس تبدیل z سیگنال زیر را به دست آورید 7( قضیه ی مقدار اولیه : x[0] = lim X(z), x[n] = 0, n < 0 z *شرط الزم و کافی برای پایداری یک سیستم LTI گسسته آن است که Roc شامل دایره ی واحد شود یا اگر h[n] علی و H(z) گویا باشد شرط پایداری آن است که کلیه قطب های H(z) در دایره ی واحد قرار گیرند. 64