6 الباب السادس Chape Six القوة والحركة ( II oce and Moion ( II ) ( :1-6 مقدمة Inoducion درسنا في الفصل السابق قوانين نيوتن ودرسنا أيضا بعض التطبيقات على تلك القوانين من خالل دراستنا لديناميكا الحركة في خط مستقيم وقوة االحتكاك وحركة األجسام داخل المصعد. في هذا الباب سوف ندرس ثالثة مواضيع: ديناميكا الحركة الدائرية المنتظمة وديناميكا الحركة الدائرية الغير منتظمة وأخيرا سوف ندرس حركة األجسام في وسط يقاوم أو يعيق الحركة ( الوسط اللزج (. -6: ديناميكاا الحركاة الدايرياة الظنة ظاة Dynaics of Unifo Cicula Moion درسنا في البند السادس من الباب الرابع 6-4 أن الجسم المتحرك بسرعة منتظمة في مسار دائري نصف قطره يكتسب تسارعا مركزيا a اتجاهه نحو مركز المسار وعموديا على اتجاه السرعة وذلك نتيجة التغير المسرعة. وعرفنا أن مقدار هذا التسارع بحسب قانون نيوتن الثاني a a فإن أي جسم يسير بتسارع ال بد من وجود محصلة قوى تعمل عليه اتجاهها يكون باتجاه التسارع. وبناء على ذلك فإن جسما يتحرك بمسار دائري ال بد من وجود محصلة قوى تعمل عليه باتجاه عمودي على اتجاه سرعته لتكسبه تسارعا مركزيا. إن محصلة هذه القوى تسمى القوة المركزية cenipeal foce ونرمز لها بالرمز حيث إن الحرف السفلي جاء من adial diecion )الحركة الدايرية ال تةم إال إذا توفرت قوة مركزية(. إن مقدار محصلة هذه القوى يمكن حسابه من خالل قانون نيوتن الثاني. a... (6-1) 1
إن المعادلة 6-1 ليست قانونا للقوة المركزية ولكنها تطبيق لقانون نيوتن الثاني إليجاد مقدار واتجاه قوة موجودة أصال كما سنالحظ من خالل األمثلة واألشكال التي سنوردها بعد هذا التوضيح مثل قوة الشد في خيط أو قوة احتكاك أو قوة جاذبية. فوجود مثل هذه القوى يعمل على منع الجسم من التصرف حسب قانون نيوتن األول الحظ الشكل 6-1c. فأي جسم يميل ألن يبقى على الحالة التي هو فيها والحالة هذه هي السير بخط مستقيم باتجاه السرعة التي هو فيها ولكن وجود قوة سميناها قوة مركزية تمنعه من ذلك. إذن القوة المركزية هي وصف لقوة موجودة أصال تعمل باستمرار بشكل عمودي على اتجاه سرعته لتمنعه من أن يتصرف حسب قانون نيوتن األول فتبقيه في مساره الدائري من خالل التغير المستمر في اتجاه سرعته. القوة المركزية في حالة حركة األر حول الشم هي قوة الجاذبية بين األر والشم فالقوة المركزية هي وصف لهذه القوة الجاذبة بين األر والشم. القوة التي تمنع انزالق قطعة نقد موضوعة على قرص دوار هي قوة االحتكاك فقوة االحتكاك هنا هي القوة المركزية. الشكل 1-6 يبين كرة كتلتها بالخيط بشكل أفقي من نقطة تبعد مسافة مربوطة بطرف خيط يدورها شخص من خالل تلويحه عن نقطة ربط الكرة. إن القوة المركزية )قوة الشد في الخيط في المثال السابق( تعمل على تغيير اتجاه السرعة مسببة التسارع المركزي. فإذا انقطع الخيط فسوف تتالشى القوة المركزية فورا األمر الذي يجعل الكرة تسلك المسار عبر خط مستقيم وهو ما تميل إليه حسب قانون نيوتن األول. الخيط الشد في الخيط الخط األفقي T الشكل 6-1a : الوضع الطبيعي للحركة. الحظ ميالن الخيط بسبب وزن الكرة. T الخط األفقي الشكل 6-1 : الوضع التقريبي للحركة. الشد في الخيط هنا هو القوة المركزية.
T الوضع الذي تميل إلية الكرة لتكون فيه حسب قانون نيوتن األول. هل تستطيع تفسير ظاهرة الطرد المركزي اعتمادا على هذه الفكرة. الوضع الذي فيه الكرة بسبب قوة الشد في الخيط )القوة المركزية( وهذه القوة هي السبب في تغير اتجاه السرعة. T الشكل 1c-6 : منظر علوي للشكل 6-1a. قوة الشد في الخيط هنا تمثل القوة المركزية فتعمل هذه القوة على منع الكرة من أن تسلك المسار على خط مستقيم فتجبرها على تغيير اتجاه سرعتها باستمرار عند كل لحظة زمنية. )لقد تم اختيار نقطتين متباعدتين فقط للتوضيح (. T T T الشكل 1d-6 : منظر علوي مصغر للشكل 6-1a. قوة الشد في الخيط هنا تمثل القوة المركزية فتعمل على المحافظة على مسار الكرة الدائري ولكن عند انقطاع الخيط تختفي القوة المركزية فتسير الكرة في خط مستقيم ماس للدائرة عند تلك اللحظة. 3
خالصة الموضوع أن الحركة الدائرية ال تتم إال إذا توفرت قوة نسميها القوة المركزية تعمل على الجسم المتحرك باستمرار باتجاه عمودي على اتجاه سرعته وهذه القوة قد تكون قوة الجاذبية أو قوة االحتكاك أو قوة شد في خيط. وي حسب مقدارها من خالل المعادلة 6-1. وتاليا بعض األمثلة لتوضيح الفكرة. Exaples 1 A peson exe a foce on a sin aached o a 0.3 k all o ake he all eole unifoly in a hoizonal cicle of adius 40c as in i (6-1). ind he ension in he sin if he all akes wo eoluions pe second. مثال 1 أثر شخص بقوة على خيط من أجل أن ي د و ر بمسار دائري أفقي كرة كتلتها 0.3 k مربوطة بطرف الخيط اآلخر الشكل (1-6). أوجد قوة الشد في الخيط إذا كان نصف قطر المسار 40c والكرة تدور دورتين في الثانية. الحل: مخطط الجسم الحر للكرة مبين في الشكل 6-1. قوة الشد في الخيط التي يؤثر بها الخيط على الكرة باتجاه إصبع اليد مركز المسار الدائري تساوي في المقدار وتعاك في االتجاه القوة التي يؤثر بها الشخص على الخيط. القوة المركزية التي تسبب الحركة الدائرية هي قوة الشد في الخيط. مقدار الكتلة موجود ومقدار نصف القطر موجود أما السرعة فنحسبها من العالقة حيث زمن دورة واحدة ويساوي و التردد أو عدد الدورات في الثانية. 4
Exaples In exaple 1, (a) ind he ension in he sin if he speed of he all is 7/s () if he sin can wihsand a axiu ension of 60 N, wha is axiu speed he all can hae efoe he sin eaks. مثال في المثال األول )أ( أحسب الشد في الخيط إذا كانت سرعة الكرة 7/s )ب( إذا كان الخيط يتحمل قوة شد 60 N دون أن ينقطع ما هي أقصى سرعة تدور بها الكرة دون أن يسبب ذلك انقطاع في الخيط. الحل: )أ( قوة الشد في الخيط هي القوة المركزية التي تسبب الحركة الدائرية ومقدارها هو )ب( قوة الشد في الخيط هي القوة المركزية التي تسبب الحركة الدائرية ومقدارها هو مقدار الكتلة موجود ومقدار نصف القطر موجود أما السرعة فتساوي 5
ولظزيد من الةوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية األولى لهذا الباب. البرمجية األولى: ديناميكا الحركة الدايرية الظنة ظة Moion. Dynaics of Unifo Cicula صورة عن واجهة البرمجية األولى للباب السادس وهي بعنوان ديناميكا الحركة الدايرية الظنة ظة Moion. Dynaics of Unifo Cicula هذه صورة عن واجهة البرمجية األولى. الستعمال البرمجية الفعلية ما عليك فعله هو اختيار السرعة من خالل النقر على الزر Speed 1 أو Speed أو Speed 3 ثم مراقبة الحركة والحسابات والتحقق منها. ولظزيد من الةوضيح حول مثال, 3 ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية الثانية. البرمجية الثانية بعنوان: البندول الظخروطي. The Conical Pendulu صورة عن واجهة البرمجية الثانية للباب السادس وهي بعنوان البندول الظخروطي. The Conical Pendulu هذه صورة عن واجهة البرمجية الثانية. الستعمال البرمجية الفعلية ما عليك فعله هو اختيار السرعة من خالل النقر على الزر Speed 1 أو Speed ثم مراقبة الحركة والحسابات والتحقق منها. 6
Exaples 3 The Conical Pendulu: A sall all of ass is suspended fo a sin of lenh L akes an anle wih he eical. The all is eoles in a hoizonal cicle of adius. ind he speed of he all in e of L, and. مثال 3 البندول المخروطي: كرة صغيرة كتلتها معلقة من طرف خيط طوله ويميل الخيط عن الخط العمودي L زاوية. الكرة تدور في مسار دائري أفقي بسرعة ثابتة. أوجد سرعة الكرة بداللة كل من. و و L T أما المركبة األفقية فهي المسؤولة عن التسارع المركزي وبالتالي فهي القوة المركزية cos T T sin T sin a an an T sin...)( بقسمة معادلة )( على معادلة )1( نحصل على: فإن السرعة sin L وبما إن تكتب كما هو مطلوب L sin an الحل: من خالل تحليل قوة الشد إلى مركبتين أفقية ورأسية باإلضافة إلى النظر في حركة الكرة نجد أن الكرة ال تتحرك بشكل رأسي وإنما بشكل أفقي وبالتالي فإن مركبة قوة الشد الرأسية تساوي وزن الكرة الشكل (-6) T cos...)1( 7
Exaples 4 The Cued Road-1: A ca of ass 1600k ound a cue on a fla oad of adius as in i (6-3). ind he axiu speed he ca can hae in ode o ake he un wihou skiddin if he adius of he cue and he coefficien of saic ficion eween he ies and he paeen is: (a) () (c) 10 and 0. s 65. 50 and 0. s 65. 50 0. paeen is icy like). f f s N ( he f مثال 4 الطريق المنحني- 1 : سيارة كتلتها تسير على طريق 1600k منحني مستوي نصف قطره كما في. أوجد أقصى سرعة يمكن الشكل (3-6) أن تسير بها السيارة على المسار المنحني دون أن تنزلق إذا نصف قطر المنحني ومعامل االحتكاك السكوني بين والطريق المزفلت على الترتيب. )أ( اإلطارات s و 0.65 s و 0.65 s و 0.0 10 )الطريق جاف( )ب( 50 )الطريق جاف( )ج( 50 )حالة شبه انجماد على الطريق( الحل: القوة التي ستقي السيارة في المسار المنحني وتعمل على تغيير اتجاه السرعة هي القوة المركزية وهي هنا قوة االحتكاك السكوني. ويجب أن تكون قوة االحتكاك تساوي على األقل / وإال فإن السيارة ستنزلق )ستسير على الخط المستقيم المنقط ولن تستطيع قوة االحتكاك تغيير اتجاه السرعة(. sf أقصى سرعة للسيارة لتبقى في المسار المنحني الشكل (3-6) f sf ax ax sf sf s sf s N N وبالتالي فإن ax 8 s ولكن قوة االحتكاك السكوني تساوي وبما إن السيارة متزنة رأسيا فإن
تابع حل مثال رقم 4 الحظ إن السرعة ال تعتمد على الكتلة وتعتمد فقط على معامل االحتكاك ونصف قطر المسار المنحني. والطريق جاف )أ( عندما يكون نصف القطر )ب( عندما يكون نصف القطر والطريق جاف )ج( عندما يكون نصف القطر والطريق حالة شبه انجماد Exaples 5 The Cued Road-: When desinin a cued oad, i is no enouh o ely on ficion and ilload speed lii o ound he cue wihou skiddin, so he cued oad should e anked مثال 5 الطريق المنحني- : عند تصميم الطرق السريعة التي تحتوي على منحنيات ال يكفي االعتماد على قوة االحتكاك وإشارات تخفيف السرعة لكي تسير السيارة دون أن تنزلق. لذلك ت صمم الطريق بحيث تكون مائلة باتجاه مركز المنحني y an anle i (6-4). If الشكل( 4-6 ). إذا أصبحت زاوية ميالن, ind he axiu speed he ca can hae in ode o ake he un wihou skiddin if he adius of he cue and he coefficien of saic ficion eween he ies and he paeen is: and. الطريق السابق 0 أوجد أقصى سرعة يمكن أن تسير بها السيارة على المسار المنحني دون أن تنزلق إذا كان نصف قطر المنحني ومعامل االحتكاك السكوني بين اإلطارات والطريق المزفلت على الترتيب. )أ( 10 )الطريق جاف( s و 0.66 9
N cos N N sin cos sf s f sf sin الشكل (4-6) الحل: يجب أن تتوفر محصلة قوة تساوي مقدارا / لكي يبقى يتغير اتجاه سرعة السيارة. محصلة القوى التي ستقي السيارة في المسار المنحني هي المركبة األفقية لقوة االحتكاك السكوني زائدا المركبة األفقية للقوة العمودية على السيارة. ويجب أن تكون محصلة القوى تساوي على األقل / وإال فإن السيارة ستنزلق )ستسير على الخط المستقيم المنقط ولن تستطيع محصلة القوى تغيير اتجاه سرعة السيارة(. sf cos sf N cos sf sin أقصى سرعة للسيارة لتبقى في المسار المنحني s N N sin N cos sf sin N cos s N sin cos sin N s N N cos sin ax s ax...)1( ولكن قوة االحتكاك السكوني تساوي...)( وبما إن السيارة متزنة رأسيا فإن...)3( وبتعويض المعادلتين )( و )3( في )1( نحصل على cos sin s cos sin s وبتعويض المعطيات نحسب السرعة القصوى 39. 8/s 143 0k/h ax. 11
ولظزيد من الةوضيح حول الظثالين 4 و, 5 ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى الثالثة. البرمجية الثالثة بعنوان: الطريق الظنحني. Road The Cued البرمجية صورة عن واجهة البرمجية الثالثة للباب السادس وهي بعنوان الطريق الظنحني. The Cued Road هذه صورة عن واجهة البرمجية الثالثة. الستعمال البرمجية الفعلية ما عليك فعله هو اختيار السرعة من خالل النقر على الزر Speed 1 أو Speed ثم مراقبة الحركة والحسابات والتحقق منها. بإمكانك زيادة أو إنقاص زاوية ميالن الطريق المنحني بوضع الماوس على زر Incease Thea أو Decease Thea حالما تظهران. 11
3-6: ديناميكاااا الحركاااة الدايرياااة الغيااار الظنة ظاااة Dynaics of Nonunifo Cicula Moion عرفنا في البند الثاني أن الجسم يتحرك بمسار دائري بسرعة ثابتة عندما تكوون محصولة القوى المؤثرة عليه تعمل باتجاه مركز المسار الدائري. إذا كانت محصلة القوى المؤثرة عليوه ال تعمل باتجاه مركز المسار الودائري وإنموا تميول بزاويوة عون المركوز كموا فوي الشوكل (5-6) فإنوه يصبح للقوة مركبتين. مركبة باتجواه مركوز المسوار الودائري وهوي التوي تحوافظ علوى أن يبقوى الجسم يتحرك في المسار الدائري أي إنهوا القووة المركزيوة وهوي التوي تسوبب التسوارع المركوزي a(. ومركبة مماسية للمسار الدائري a )نرمز له أحيانا )نرمووز لووه أحيانووا a(. وحيووث إن محصوولة القوووى المووؤثرة علووى الجسووم الشكل 5a-6 فإن التسارع الناتج عن القوى مسؤولة عن التسارع المماسي a. a a a كمووا فووي a a a الشكل 5-6 :. إن مقوودار المركبووة المماسووية بالنسبة للزمن a للتسووارع a d d المركزيووة للتسووارع a يسوواوي معوودل تغيوور مقوودار السوورعة المتجهووة للجسووم واتجاه هذا التسارع يكون بموازاة اتجاه السرعة. بينما مقدار المركبة يسوواوي الودائري. وفوي كول األحووال فوإن a a و a واتجوواه هووذا التسووارع يكووون نحووو مركووز المسووار دائموا متعامودين ولوذلك يكوون مقودار التسوارع الكلوي 1
. ولتوضيح كيف يمكن أن يكون لدينا تسوارع مماسوي ومركوزي دعنوا نأخوذ a a a المثال التالي: Exaples 6 A sall sphee of ass مثال 6 كرة صغيرة كتلتها مربوطة بطرف is aached o he end of cod which oaes in a eical cicle aou a fixed poin, as in i (6-6). (I) ind he ension a any poin in he cicle. (II) ind he iniu speed he sphee us hae a he op of he cicle pah so ha he sphee coninues oin in he cicle pah. حبل طوله وتدور بمسار دائري عمودي على المستوى األفقي مركزه نقطة ثابتة كما في الشكل (6-6). (I) أوجد الشد في الحبل عند أي نقطة على المسار الدائري. )II( أوجد أقل سرعة للكرة يجب أن تمتلكها عند أعلى قمة المسار الدائري بحيث تستمر في مسارها الدائري. (I) الحل: الحركة الدائرية هنا غير منتظمة بسبب الجاذبية. نصف القطر ثابت لكن السرعة متغيرة بسبب التسارع المماسي. عند النقطة التسارع المماسي يساوي صفر ألن وزن الكرة ال يكون له مركبة باتجاه المماس. لكن مع حركة الكرة يصبح للوزن مركبة مماسية وبالتالي يصبح للكرة تسارع مماسي فيتغير مقدار السرعة تبعا له. وبما إن السرعة تتغير فإن القوة المركزية تتغير أيضا. وبإمكاننا استنتاج ذلك بوضوح حيث إن القوة المركزية هي محصلة قوة الشد ومركبة الوزن العمودية على المماس. وتكون قوة الشد في الحبل ومقدارها وبما السرعة متغيرة وكذلك الزاوية فإن قوة الشد تتغير في المقدار واالتجاه. الحظ الرسومات في الشكل (6-6). 13
عند النقطة c الشكل (6-6) توضيح للمثال 6 يبين حركة كرة في مسار دائري عند النقطة a )II( من معادلة الشد عند النقطة c نستطيع أن نستنتج أن أقل سرعة للكرة يجب أن تمتلكها بحيث تستمر في مسارها الدائري تكون عندما يكون الشد يساوي صفر. 14
4-6: الحركة بوجود قوى معيقة معةظدة على السرعة Moion In The Pesence of Velociy-Dependen Resisie oces D عنودما يتحورك جسوم علوى سوطح صولب وخشون فوإن قووة االحتكواك الموؤثرة عليوه تكوون تقريبا ثابتة وغير معتمدة على سرعته. لكن عندما يسير الجسم وسط مائع ما مثل الهوواء أو المواء أو أي سائل آخور فوإن الجسوم يعواني مون قووة مقاوموة لحركتوه تسومى أحيانوا القووة المعيقوة للحركوة Da oce وهووذه القوووة تووزداد بازديوواد سوورعته وتقوول بنقصووان سوورعته أي إن مقودارها يعتمود علوى سورعة الجسوم بينموا اتجاههوا يوون دائموا باتجواه معواك التجواه السورعة. إن اعتماد القوة المعيقة على السرعة فيوه شويء مون التعقيود ويعتمود علوى عودة متغيورات مثول لزوجوة المائع وحجم الجسم وشكله لكن بشيء من التقريب نستطيع أن نقول أنه فوي الحواالت التوي يكوون فيها الجسم صغير ويتحورك بسورعة صوغيرة جودا فوإن مقودار القووة المعيقوة تقريبوا يتناسوب تناسوبا طرديا مع مقدار السرعة D... (6-6) حيث و D ثابت يعتمد على لزوجة المائع وحجم الجسم وشكله أما في الحاالت التي يتحرك فيها الجسم بسرعة كبيرة مثل حركة الطائرات واألجسام الساقطة في الهوواء وحركوة السويارات علوى الطورق السوريعة طرديا مع مربع مقدار السرعة D... (6-7) فوإن مقودار القووة المعيقوة تقريبوا يتناسوب تناسوبا D دعنا ندرس حركة كرة كتلتها تسقط سقوطا حرا من السكون في مائع بإهمال قوة الطفو )قوة أرخميدس(. كما في الشكل (7-6) أي إن القوى المؤثرة على الكرة هي وزن الكرة باالتجاه األسفل والقوة المعيقة المعتمدة على مقدار السرعة باالتجاه األعلى. 1 وبما إن سرعة الكرة تتجه نحو األسفل فدعنا نأخذ االتجاه األسفل هو االتجاه الموجب وبناء عليه نكتب محصلة القوى المؤثرة على الكرة باالتجاه العمودي. الشكل (7-6) حركة كرة في وعاء يحتوي مادة لزجة. 15
... (6-8) بتطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة العمودية للكرة d d... (6-9) وبما إن الحركة بخط مستقيم فإننا نستطيع كتابة المعادلة (6-9) على الصورة d d... (6-10) المعادلة (10-6) تسمى معادلة تفاضلية والطالب غير م عد حاليا لحل مثل هذه المعادالت. ولكن بشيء من التبسيط نستطيع أن نقول أنه في البداية تكون السرعة تساوي صفر وبالتالي تكون القوة المعيقة تساوي صفر ويكون تسارع الكرة االبتدائي هو تسارع السقوط الحر d. d 0 عند اللحظة 0 تكون والتسارع االبتدائي مع ازدياد سرعة الكرة تزداد القوة المعيقة وبالتالي يقل تسارع الكرة ومع استمرار ازدياد سرعة الكرة فإن الكرة تصل إلى سرعة تكون عندها القوة المعيقة المؤثرة عليها تساوي قوة الجاذبية وهذه السرعة تسمى السرعة الحدية einal elociy وعند تلك اللحظة فإن المعادلة (10-6) تصبح 0 16... (6-11) ومنها نستطيع أن نحسب السرعة الحدية وللحصول على حل شامل يتمثل في إيجاد السرعة بداللة الزمن عند أي لحظة نطبق حساب التفاضل والتكامل على المعادلة (10-6) مع إجراء بعض الترتيبات ومنها d d d d
17 وهو يئادتبلاا طرشلاب ذخلأا عم ةلداعملا يفرطل لماكتلا ةيلمع ءارجإبو 0 دنع 0 d d 0 0 0 0 ln اهنمو ln ln وأ ln وأ e ةعرسلا ىلع لصحن اهنمو e ةلداعملل يلاتلا لكشلا ىلع لصحن تابيترتلا ضعب ءارجإبو (6-11)... e e 1 1
63% من سرعتها الحدية ويطلق عليه τ حيث الالزم الزمن لكي تصل الكرة إلى ثابت الزمن. Exaples 7 A sall sphee of ass 5 is eleased fo es in a lae essel filled iscous liquid (lycein oil) eaches o einal elociy of 0. 163/s. (I) ind he consan. (II) ind he consan τ. ie 5 مثال 7 كرة صغيرة كتلتها أسقطت من السكون في وعاء طويل مملوء بسائل لزج )مثل زيت الجليسرين( ووصلت إلى سرعتها الحدية حيث كانت اوجد قيمة. τ (I). 0. 163/s الثابت (II). أوجد قيمة ثابت الزمن الحل: (I) من معادلة السرعة الحدية نحصل على 5 980c/s /s 300 16.3c/s ثابت الزمن τ 5 1610 3 s 16s 300 /s (II) 18
ولظزيد من الةوضيح حول هذا الظوضوع, ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية الرابعة. البرمجية الرابعة بعنوان: الحركة في مايع لزج. luid Moion in Viscous صورة عن واجهة البرمجية الثالثة للباب السادس وهي بعنوان الحركة في مايع لزج. Moion in Viscous luid هذه صورة عن واجهة البرمجية الثالثة. الستعمال البرمجية الفعلية ما عليك فعله هو - 1 اختيار نوع الحركة.. - اختيار قيمة كتلة الكرة. 3 - بدء الحركة. من خالل النقر على الزر sa. وفي ختام ما تم تقديمه في هذه الوحدة الدراسية ندعوك عزيزي الطالب للمشاركة من خالل تزويدنا باألسئلة والمالحظات لكي يصبح هذا المشروع ملبيا لحاجاتك التعليمية. أن النشر االلكتروني يتيح لنا التعديل في أي وقت فال تبخل علينا بمالحظاتك. 19