ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 519.6 c Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈSS ÑÂÎÁÎÄÍÛÕ ÓËÜÒÐÀÔÈËÜÒÐÎÂ 1 Ðàññìàò èâà òñß êîíñò óêöèè, ñâßçàííûå ñ ï åäñòàâëåíèåì ñâîáîäíûõ σ-ìóëüòèïëèêàòèâíûõ óëüò àôèëüò îâ è îêî ïîíèìàåìûõ èçìå èìûõ ï îñò àíñòâ. Â îñíîâå ïîñò îåíèé íàõîäßòñß ï åäñòàâëåíèß, ñâßçàííûå ñ ï èìåíåíèåì îòê ûòûõ óëüò àôèëüò îâ â ñëó àßõ êîôèíèòíîé è êîñ åòíîé òîïîëîãèé. Òàêèå óëüò àôèëüò û ñîõ àíß òñß êàê ìàêñèìàëüíûå ôèëüò û ï è çàìåíå òîïîëîãèé ñîîòâåòñòâåííî àëãåá îé è σ-àëãåá îé, ïî îæäåííûõ óïîìßíóòûìè òîïîëîãèßìè. Â îñíîâíîì ñëó àå êîñ åòíîé òîïîëîãèè óñòàíàâëèâàåòñß åäèíñòâåííîñòü σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ñâîáîäíîãî óëüò àôèëüò à, ñîñòàâëåííîãî èç íåïóñòûõ îòê ûòûõ ìíîæåñòâ. Ïîêàçàíî, òî äàííîå ñâîéñòâî ñîõ àíßåòñßäëß σ-àëãåá, ñîäå æàùèõ êîñ åòíó òîïîëîãè. Óêàçàíû äâå òîïîëîãèè ï îñò àíñòâà îã àíè åííûõ êîíå íî-àääèòèâíûõ áî åëåâñêèõ ìå, äëß êîòî ûõ óëüò àôèëüò íåïóñòûõ îòê ûòûõ ìíîæåñòâ îï åäåëßåò îäíî ëåìåíòíûé íà îñò ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà ìå Äè àêà, âîçíèêà ùèé ï è ïîñò îåíèè çàìûêàíèß. Êë åâûå ñëîâà: àëãåá à ìíîæåñòâ, ìå à, òîïîëîãèß, óëüò àôèëüò. DOI: 10.20537/vm160305 Ââåäåíèå Îñíîâíîå ñîäå æàíèå àáîòû ñâßçàíî ñ èññëåäîâàíèåì ñâîáîäíûõ 1, àçäåë 3.6 óëüò àôèëüò îâ ó/ô è îêî ïîíèìàåìûõ èçìå èìûõ ï îñò àíñòâ ÈÏ. Áîëåå òîãî, àññìàò èâà òñß, êàê ï àâèëî, ñâîáîäíûå σ-ìóëüòèïëèêàòèâíûå çàìêíóòûå îòíîñèòåëüíî ñ åòíûõ ïå åñå åíèé ó/ô. Â òîì ñìûñëå àáîòà ßâëßåò ñß åñòåñòâåííûì ï îäîëæåíèåì 2, 3 ñì. òàêæå 4, ãë. 10. Â ò î æå â åìß ï èìåíßåìûå êîíñò óêöèè îêàçûâà òñß ñâßçàííûìè ñ íåêîòî ûìè òèïàìè îòê ûòûõ ó/ô èìååòñß â âèäó ó/ô òîïîëîãèé; â òîé ñâßçè ñì. 5. Ðàññìàò èâà òñß ñëó àè îñíàùåíèß ìíîæåñòâ êîôèíèòíîé è êîñ åòíîé òîïîëîãèßìè. Â ïîñëåäíåì ñëó àå äëß íåñ åòíîãî ìíîæåñòâà êîíñò óè óåòñß σ-àëãåá à áî åëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ ï/ì äàííîãî ìíîæåñòâà è äëß ïîëó à ùåãîñß ñòàíäà òíîãî ÈÏ óñòàíàâëèâàåòñß åäèíñòâåííîñòü σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ñâîáîäíîãî ó/ô, ñîñòîßùåãî èç íåïóñòûõ îòê ûòûõ â äàííîì êîñ åòíîì òîïîëîãè åñêîì ï îñò àíñòâå ÒÏ ìíîæåñòâ. Ïîëó à ùååñß ï è òîì ÈÏ îáëàäàåò ñóùåñòâåííîé îñîáåííîñòü : èçìå- èìûå âåùåñòâåííîçíà íûå â/ç ôóíêöèè íà òîì ï îñò àíñòâå ñîâïàäà ò êàæäàß ñ êîíñòàíòîé íà íåêîòî îì êîñ åòíîì ìíîæåñòâå íåï å ûâíûå â/ç ôóíêöèè èñ å ïûâà òñß â äàííîì ñëó àå êîíñòàíòàìè. Ïîêàçàíî òàêæå, òî ï è âûáî å σ-àëãåá û, ñîäå æàùåé âû åóïîìßíóòûå áî åëåâñêèå ìíîæåñòâà, ë áîé σ-ìóëüòèïëèêòèâíûé ñâîáîäíûé ó/ô äàííîé σ-àëãåá û ßâëßåòñß ï îäîëæåíèåì ó/ô êîñ åòíûõ ìíîæåñòâ òî åñòü ó/ô, ñîñòàâëåííîãî èç íåïóñòûõ îòê ûòûõ ìíîæåñòâ. Ñàìî æå ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäíåãî èìååò íåïîñ åäñòâåííîå îòíî åíèå ê âîï îñó î ñâîéñòâàõ ÈÏ, äîïóñêà ùèõ íåäè àêîâñêó ñ åòíî-àääèòèâíó ñ.-à. íî ìè îâàííó 0, 1-ìå ó. Äàííûé âîï îñ äåòàëüíî èññëåäîâàëñß â 2, 3, à òàêæå â 4, ãë. 10. Â 3 óêàçàíû äâå õà àêòå íûå òîïîëîãèè ï îñò àíñòâà îã àíè åííûõ êîíå íî-àääèòèâíûõ ê.-à. ìå, îï åäåëåííûõ íà σ-àëãåá å ìíîæåñòâ, äëß êîòî ûõ ìíîæåñòâî ìå Äè àêà îêàçûâàåòñß ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòûì, à íåäè àêîâñêèå ñ.-à. íî ìè îâàííûå 0, 1-ìå û îá àçó òâ ñâîåé ñîâîêóïíîñòè íà îñò, âîçíèêà ùèé ï è ïîñò îåíèè çàìûêàíèß óïîìßíóòîãî äè àêîâñêîãî ìíîæåñòâà. Òàêèì îá àçîì, â àññìàò èâàåìîì ñëó àå ñòàíäà òíîãî ÈÏ, ïî îæäåííîãî êîñ åòíîé òîïîëîãèåé, óïîìßíóòûé íà îñò ßâëßåòñß ñèíãëåòîíîì. 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå ÐÔÔÈ ï îåêòû 16 01 00649, 16 01 00505.
346 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ 1. Îáîçíà åíèß è îï åäåëåíèß îáùåãî õà àêòå à Èñïîëüçóåì ñòàíäà òíó òåî åòèêî-ìíîæåñòâåííó ñèìâîëèêó êâàíòî û, ñâßçêè è ò.ï.; å åç îáîçíà àåì ïóñòîå ìíîæåñòâî, = μ àâåíñòâî ïî îï åäåëåíè,! çàìåíßåò ô àçó ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Ñåìåéñòâîì íàçûâàåì ìíîæåñòâî, âñå ëåìåíòû êîòî îãî ñàìè ßâëß òñß ìíîæåñòâàìè. Ï èíèìàåì àêñèîìó âûáî à. Åñëè a è b μ îáúåêòû, òî å åç a; b îáîçíà àåì åäèíñòâåííîå ìíîæåñòâî, ñîäå æàùåå a, b è íå ñîäå æàùåå íèêàêèõ ä óãèõ ëåìåíòîâ. Åñëè s μ îáúåêò, òîs = s; s åñòü ñèíãëåòîí, ñîäå æàùèé s. å åç PH îáîçíà àåì ñåìåéñòâî âñåõ ï/ì ìíîæåñòâà H; P H = PH \, à FinH åñòü def ñåìåéñòâî âñåõ êîíå íûõ ìíîæåñòâ èç P H, òî åñòü ñåìåéñòâî âñåõ íåïóñòûõ êîíå íûõ ï/ì H; FINH =FinH. Åñëè H P PH, òî C H H = H \H : H H P PH åñòü ñåìåéñòâî, äâîéñòâåííîå ê H â êà åñòâå H îáû íî èñïîëüçóåì òîïîëîãè H, ëèáî ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ. Â ñëó àå, êîãäà X μ íåïóñòîå ñåìåéñòâî, à Y μ ìíîæåñòâî, â âèäå X Y = X Y : X X P PY èìååì ñëåä X íà Y. Åñëè A è B μìíîæåñòâà, òî å åç B A îáîçíà àåì ìíîæåñòâî âñåõ îòîá àæåíèé èç A â B ï è f B A è a A å åç fa îáîçíà àåì, êàê îáû íî, çíà åíèå f âòî êå a, fa B, ï è g B A è C PA å åç g 1 C îáîçíà àåì îá àç C ï è äåéñòâèè g : g 1 C = gx : x C; äëß çàïèñè îòîá àæåíèé â àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïîëüçóåì èíäåêñíó ôî ìó çàïèñè: åñëè A è y x B ï è x A, òî y =y x x A B A òàêîâî, òî yh =y h h A. Ðàññìîò èì íåêîòî ûå ñïåöèàëüíûå òèïû ñåìåéñòâ, ôèêñè óß äî êîíöà ñòàòüè íåïóñòîå ìíîæåñòâî E. Òîãäà πe = E P PE E&E E&A B E A E B E 1.1 åñòü ñåìåéñòâî âñåõ π-ñèñòåì 6, c. 14 ï/ì E ñ íóëåì è åäèíèöåé ; alge = L πe E \ L L L L, 1.2 tope = τ πe G τ G P τ. G G 1.3 Â1.2 îï åäåëåíû àëãåá û ï/ì E, àâ1.3 μ òîïîëîãèè íà E. Åñëè H, τ åñòü êàêîå-ëèáî ÒÏ, òî å åç cla, τ îáîçíà àåì çàìûêàíèå ï îèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà A PH â äàííîì ÒÏ; τ densh = B PH H =clb,τ, ïîëó àåì ñåìåéñòâî âñåõ âñ äó ïëîòíûõ â H, τ ï/ì H. å åç R îáîçíà àåì âåùåñòâåííó ï ßìó, N = 1; 2;... P R. Ï è p N è q N p, q = s N p s &s q; m, = k N m k m N. Åñëè S μ íåïóñòîå ìíîæåñòâî, òî counts = g 1 N : g S N åñòü ñåìåéñòâî âñåõ íå áîëåå åì ñ åòíûõ, íåïóñòûõ ï/ì S. Ôèëüò û è óëüò àôèëüò û π-ñèñòåì. Äî êîíöà íàñòîßùåãî àçäåëà ôèêñè óåì π- ñèñòåìó E πe. Òîãäà CenE = C P E Z K Z K FinC åñòü ñåìåéñòâî âñåõ íåïóñòûõ öåíò è îâàííûõ ïîäñåìåéñòâ E. Ñ ä óãîé ñòî îíû, 1.4 F E = F P E\ A B F A F B F& & F F Σ E F Σ Σ F 1.5
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 347 åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ôèëüò îâ ïîíèìàåìîãî àñ è èòåëüíî ÈÏ E,E. Ï è ââåäåíèè ó/ô ÈÏ E,E ï åäñòàâëåíèß 1.4 è1.5 óäàåòñß ñîñò ûêîâàòü : F o E = U F E F F E U F U = F = = U F E Σ E Σ U U U Σ U = = U CenE C CenE U C= U = C 1.6 åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ó/ô ÈÏ E,E. Èòàê, ó/ô π-ñèñòåìû E μ ñóòü ìàêñèìàëüíûå öåíò è îâàííûå ïîäñåìåéñòâà E è òîëüêî îíè. Îòìåòèì, òî 7, c. 29 F F E U F o E : F U. Ïî òîìó F o E â ñàìîì äåëå, E F E èìîæíî ï èìåíèòü ïîñëåäíåå ñâîéñòâî. SSñíî, òî E trivx = Σ E x Σ F E x E; 1.7 â1.7 îï åäåëåí ò èâèàëüíûé ôèëüò, ñâßçàííûé ñ ôèêñè îâàííîé òî êîé E. Ïîëó àåì, òî F o,t E = E trivx : x E P F E ìíîæåñòâî âñåõ ò èâèàëüíûõ E-ôèëüò îâ, àòîãäà F o,f E = U F o E U = = F o E \ F o,t E åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ñâîáîäíûõ ó/ô ÈÏ E,E. Ââåäåì, ê îìå òîãî, F o,σ E = U F o E Σ i U Σ i U, N U U ïîëó àß ìíîæåñòâî âñåõ σ-ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ó/ô ÈÏ E,E. Ïóñòü Φ E Σ = U F oe Σ U Σ E, 1.8 íåïóñòîå ñåìåéñòâî UFE; E = Φ E Σ : Σ Eåñòü áàçà T 2 -òîïîëîãèè T E E = G P F o E U G U U:Φ E U G 1.9 ìíîæåñòâà F o E; ï è òîì UFE; E T E E C F o E T E E, à ïîòîìó õàóñäî ôîâî ÒÏ F o E, T E E 1.10 íóëüìå íî 1, àçäåë 6.2. Îòìåòèì íåêîòî ûå àñòíûå ñëó àè ñîãëàñíî 1.2, 1.3 â êà åñòâå E ìîãóòèñïîëüçîâàòüñß àëãåá à ï/ì E è òîïîëîãèß íà E. Ï è òîì â ñëó àå, êîãäà E alge, ÒÏ 1.10 μ íóëüìå íûé êîìïàêò. Åñëè æå E tope, ò î1.10 åñò ü êñò åìàëüíî íåñâßçíûé 1, c. 540 êîìïàêò: ïîñëåäíåå óñòàíîâëåíî â 8,9. Â çàêë åíèå àçäåëà ñîâñåì ê àòêî êîñíåìñß ñëó àß E = PE, îã àíè èâàßñü àññìîò åíèåì ìíîæåñòâà F PE. Ââåäåì BASE = B P PE E = B B B & B 1 B B 2 B x B 1 B 2 B 3 B:x B 3 &B 3 B 1 B 2 ; ëåìåíòû 1.11 μ áàçû òîïîëîãèé è òîëüêî îíè. Åñëè B BASE, òî 1.11 B = G PE x G B B:x B &B G tope 1.12 ââåäåíà òîïîëîãèß íà E, ïî îæäåííàß áàçîé B. Îòìåòèì îäíî ñâîéñòâî, ñâßçàííîå ñ ï åäñòàâëåíèåì 3, çàìå àíèå 7.1.
348 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ Ï åæäå âñåãî çàìåòèì, òî ñì. 1.5 F PE BASE, à ïîòîìó ï è F F PE îï åäåëåíà 3, c. 241 òîïîëîãèß F tope, ïî îæäåííàß ôèëüò îì F. Ëåãêî âèäåòü ñì. 1.12, òî F =F F F PE. 1.13 Ðàññìàò èâàåìûå íèæå êîôèíèòíàß è êîñ åòíàß òîïîëîãèè èìå ò âèä 1.13 ï è ñîîòâåòñòâó- ùåì âûáî å ôèëüò à. Èç 1.3, 1.6 è1.13 âûò åêàåò, òî F F o F F F PE. 1.14 Êîíñò óêöèß íà îñíîâå 1.13, 1.14 ïîäîáíà ïîñò îåíèßì 4, ãë. 10, êàñà ùèìñß ï èìåíåíèß ÈÏ ñì. 4, 10.14.8, 10.14.14. 2. Îòê ûòûå óëüò àôèëüò û îáùèå ñâåäåíèß Â íàñòîßùåì àçäåëå ôèêñè óåì íåïóñòîå ìíîæåñòâî E è òîïîëîãè τ tope. Êàê óæå îòìå àëîñü ñì. 1.3, τ ìîæåòèñïîëüçîâàòüñß â êà åñòâå π-ñèñòåìû E ï åäûäóùåãî àçäåëà, à F o τ, T τ E 2.1 åñòü íåïóñòîé êñò åìàëüíî íåñâßçíûé êîìïàêò. Åñëè G Pτ, òî ïîëàãàåì F o τ G = U F o τ G U. SSñíî, òî Nτ o x =τ trivx F τ 2.2 ôèëüò îòê ûòûõ îê åñòíîñòåé x â ÒÏE,τ. Ëåãêî âèäåòü òàêæå, òî F o τ N o τ x C F o τ T τ E \ x E. 2.3 Èòàê, â 2.3 îï åäåëåíû íåïóñòûå çàìêíóòûå â ÒÏ 2.1 ï/ì F oτ; êàæäîå èç òèõ ìíîæåñòâ ï èâßçàíî ê ôèêñè îâàííîé òî êå E. Â òîé ñâßçè ñîâñåì ê àòêî íàïîìíèì ïîíßòèå ñõîäèìîñòè áàçû ôèëüò à ÁÔ ìíîæåñòâà E; èòàê, β o E = B P P E B 1 B B 2 B B 3 B: B 3 B 1 B 2 åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ÁÔ E; ñì. 10, ãë. I. Åñëè B β o E, òî FB = Σ PE B B: B Σ F PE íàïîìíèì, òî PE πe, à ïîòîìó äëß òîãî ñëó àß ìîãóò èñïîëüçîâàòüñß ïîíßòèß, ââåäåííûå â àçäåëå 1. Â àñòíîñòè ñì. 2.2, ï è x E èìååì N o τ x β o E, à N τ x = FN o τ x F PE ñîîòâåòñòâóåò 10, ãë. I ôèëüò îê åñòíîñòåé x âòïe,τ. Åñëè B β o E è x E, òî 10, ãë. I B τ x def N τ x FB. 2.4 Ï è òîì F oτ F τ β o E, à ïîòîìó 2.4 ï èìåíèìî ê ñëó à B = U F oτ. Ï åäëîæåíèå 2.1. Åñëè x E, òî F o τ N o τ x = U F oτ U τ x. Ìû îïóñòèì äîñòàòî íî ï îñòîå äîêàçàòåëüñòâî ï åäëîæåíèß 2.1. Ëåãêî âèäåòü, òî τ AbsE = x E F o τ N o τ x P F oτ
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 349 àíàëîã àáñîë òà 5. Îòìåòèì, òî G τ \ U F oτ: G U. Êàê ñëåäñòâèå U F oτ τ AbsE =U U = τ \. 2.5 Âìåñòå ñ òåì ñ ó åòîì ïîëîæåíèé 9 èìååì, òî U F oτ τ AbsE =U F o τ =U. Ñ ó åòîì 2.5 ïîëó àåì òàêæå, òî U F oτ F o τ =U U = τ \. 2.6 Ñâîéñòâà 2.5, 2.6 õà àêòå èçó ò íåêèé âû îæäåííûé ñëó àé îòê ûòîãî ó/ô, ê áîëåå ïîä îáíîìó àññìîò åíè êîòî îãî ìû ïå åõîäèì â ñëåäó ùåì àçäåëå. 3.Òîïîëîãèß Çà èññêîãî è ñâîéñòâî åäèíñòâåííîñòè îòê ûòîãî óëüò àôèëüò à Âñ äó â äàëüíåé åì ï åäïîëàãàåòñß, òî E μ áåñêîíå íîå ìíîæåñòâî. Óñëîâèìñß, ê îìå òîãî, å åç P E îáîçíà àòü ñåìåéñòâî âñåõ áåñêîíå íûõ ï/ì E,P E P E. SSñíî, òî PK FINE K FINE. Ê îìå òîãî, âîîáùå P E =P E \ FINE. Ï è òîì E \ K P E K FINE; 3.1 cofe = C E FINE tope 3.2 åñòü èçâåñòíàß òîïîëîãèß Çà èññêîãî êîôèíèòíàß òîïîëîãèß 11, c. 11. Îòìåòèì ï îñòåé èå ñâîéñòâà ÒÏ E,cofE. 3.3 Ï åæäå âñåãî, ñåìåéñòâî âñåõ çàìêíóòûõ â ÒÏ 3.3 ìíîæåñòâ èìååòâèä C E cofe = FINE E. 3.4 Ðàçóìååòñß, cofe \ P E. Ï è òîì cl A, cofe = E A P E. Ëåãêî âèäåòü, òî 3.3 åñòü T 1 -, íî íå T 2 -ï îñò àíñòâî. Ï è òîì N o cofe x =N cofex x E. 3.5 Ëåãêî âèäåòü, òî cofe åñòü íàèìåíü àß ïî âêë åíè T 1 -òîïîëîãèß íà ìíîæåñòâå E. Îòìåòèì, òî â ñèëó 3.2 cofe \ = C E FINE F o cofe 3.6 ñì. â òîé ñâßçè 2.6. Áîëåå òîãî, ìíîæåñòâî F o cofe îäíî ëåìåíòíî: F o cofe = cofe \ = CE FINE. 3.7 Êàê ñëåäñòâèå ïîëó àåì, òî F o cofe N o cofe x = cofe\ x E. Ïî òîìó ñì. ï åäëîæåíèå 2.1 cofe \ cofe = x x E. 3.8 Èòàê, îòê ûòûé ó/ô 3.6 ñõîäèòñß ê ë áîé òî êå áåñêîíå íîãî ìíîæåñòâà E. Äàííûé ó/ô ßâëßåòñß ñâîáîäíûì, òî åñòü èìååò ïóñòîå ïå åñå åíèå âñåõ ñâîèõ ìíîæåñòâ: cofe \ F o,f cofe. 3.9
350 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ Ââåäåì â àññìîò åíèå àëãåá ó A ï/ì E, ïî îæäåííó òîïîëîãèåé cofe. Èòàê, A alge òàêîâà, òî cofe A & L alge cofe L = A L ; E,A åñòü ÈÏ ñ àëãåá îé ìíîæåñòâ. Ëåãêî âèäåòü, òî A =cofe C E cofe. 3.10 Ï è òîì, êàê ëåãêî ï îâå èòü, èìååò ìåñòî àíàëîã 3.9: cofe \ F o,f A. 3.11 Îòìåòèì, òî â âèäå F o A, T AE 3.12 åàëèçóåòñß ï îñò àíñòâî Ñòîóíà íóëüìå íûé êîìïàêò. Ñîãëàñíî 3.4 è3.10 x A x E. Òîãäà FinE A. Åñëè U F o A, òî U FinE = x E : U =A trivx. 3.13 Ï åäëîæåíèå 3.1. Ñï àâåäëèâî àâåíñòâî F o,f A = cofe \. Ä î ê à ç à òå ë ü ñ òâ î. Â ñèëó 3.11 äîñòàòî íî óñòàíîâèòü âëîæåíèå F o,f A cofe \. 3.14 Âûáå åì ï îèçâîëüíî V F o,f A, ïîëó àß, â àñòíîñòè, òî V cofe C E cofe. Â ñèëó 3.13 L/ FinE L V. 3.15 Ôèêñè óåì V V è â ñèëó 3.15 èìååì, òî V / FinE. Åñëè V C E cofe \, òî ñîãëàñíî 3.4 V = E cofe. Ñ ó åòîì 3.10 ïîëó àåì, òî V cofe \. Â ñèëó ìàêñèìàëüíîñòè V èìååì àâåíñòâî V =cofe \, åì çàâå àåòñß ï îâå êà 3.14. Ëåãêî âèäåòüòàêæå, òî F o,f cofe = cofe\. Îòìåòèì, íàêîíåö, òî, ïîñêîëüêó A ñîäå æèò ñèíãëåòîíû âñåõ òî åê èç E, îòîá àæåíèå A triv = A trivx x E 3.16 åñòü ãîìåîìî ôèçì äèñê åòà E,PE íà F o,t A, T A E F o,t A. Áîëåå òîãî, ñï àâåäëèâà Òåî åìà 3.1. Îòîá àæåíèå 3.16 îï åäåëßåò àñ è åíèå äèñê åòà E,PE äî ï îñò àíñòâà Ñòîóíà ñ îäíî ëåìåíòíûì íà îñòîì: A triv åñòü ãîìåîìî ôíîå âëîæåíèå E,PE âêîìïàêò F o A, T A E ââèäå F o,ta =A triv 1 E =A trivx : x E T AE densf oa. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç óïîìßíóòîãî ñâîéñòâà ãîìåîìî ôíîñòè îïå àòî à 3.16 è ñâîéñòâ ïëîòíîñòè 12, 1.19 1.21 ñì. òàêæå ï åäëîæåíèå 3.1. Â çàêë åíèå àçäåëà îòìåòèì â ñâßçè ñ 1.13 è1.14, òî cofe \ = C E FINE F PE.
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 351 4. Êîñ åòíàß òîïîëîãèß è îòê ûòûå óëüò àôèëüò û Âíàñòîßùåì àçäåëå ïîëàãàåì, òî E μ íåñ åòíîå ìíîæåñòâî: òîãäà E è E/ counte, ãäå counte =f 1 N : f E N. Ï è òîì ωe =counte P PE åñòü ñåìåéñòâî âñåõ íå áîëåå åì ñ åòíûõ ï/ì E, FINE ωe. SSñíî, â àñòíîñòè, òî E μ áåñêîíå íîå ìíîæåñòâî. å åç P uc E îáîçíà àåì ñåìåéñòâî âñåõ íåñ åòíûõ ï/ì E, òîåñòü P uc E = P E \ counte =P E \ ωe; P uc E P E. Ï è òîì E \ C P uc E C ωe. Ñåìåéñòâî ïî îæäàåò ñëåäó ùó òîïîëîãè íà ìíîæåñòâå E: C E ωe = E \ C : C ωe P PE 4.1 coce = C E ωe tope; 4.2 óñëîâèìñß èìåíîâàòü òîïîëîãè 4.2 êîñ åòíîé, cofe coce. Ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ âòï E,cocE 4.3 ìíîæåñòâ èìååòñëåäó ùèé âèä: C E coce = ωe E. 4.4 Èç 4.4 âûòåêàåò, òî cl H, coce =E H P uc E. Îòìåòèì, òî èç 4.1 è 4.2 ëåãêî ñëåäóåò, òîcoce åñòü σ-ìóëüòèïëèêàòèâíàß òîïîëîãèß: G i coce G i coce N ; èòàê, 4.3 åñòü P -ï îñò àíñòâî. Çàìåòèì òàêæå, òî coce\ = C E ωe Puc E. Èòàê, âòï4.3 âñå íåïóñòûå îòê ûòûå ìíîæåñòâà íåñ åòíû. Ñàìî ÒÏ 4.3 ßâëßåòñß T 1 -, íî íå T 2 - ï îñò àíñòâîì. Ï è òîì, êàê ëåãêî âèäåòü, C E ωe =coce \ F o coce 4.5 è, áîëåå òîãî, ñï àâåäëèâà öåïî êà àâåíñòâ Â ñâî î å åäü, èç 2.3 è4.6 âûòåêàåò, òî F o coce = CE ωe = coce \. 4.6 F o coce N o coce x = C E ωe = coce \ x E. Ñ ó åòîì ï åäëîæåíèß 2.1 ïîëó àåì, òî Ñâîéñòâî 4.7 àíàëîãè íî 3.8. Âïîëíå î åâèäíî ñëåäó ùåå coce \ coce = x x E. 4.7 Ï åäëîæåíèå 4.1. Â âèäå 4.5 èìååì ñâîáîäíûé îòê ûòûé ó/ô: coce \ F o,f coce.
352 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñêîëüêó FINE ωe, òî C E FINE CE ωe, à òîãäà èç 3.6 è 3.9 èìååì, òî ïå åñå åíèå âñåõ ìíîæåñòâ èç ó/ô 4.5 ïóñòî, òî è ò åáîâàëîñü äîêàçàòü. Ñëåäñòâèå 4.1. Ñåìåéñòâî F o,f coce îäíî ëåìåíòíî: F o,f coce = coce \. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåòèç 4.6, ï åäëîæåíèß 4.1 è âëîæåíèß F o,f coce F o coce. Òàêèì îá àçîì, F o,f coce = F o coce = CE ωe = coce \. 4.8 Èòàê, îòê ûòûé â ÒÏ 4.3 ó/ô ßâëßåòñß åäèíñòâåííûì è ï èòîì ñâîáîäíûì. å åç σ alge óñëîâèìñß îáîçíà àòü ìíîæåñòâî âñåõ σ-àëãåá ï/ì E: σ alge = L alge L i L L i L N = = L alge L i L L i L. N 4.9 Ââåäåì â àññìîò åíèå σ-àëãåá ó E ï/ì E, ïî îæäåííó òîïîëîãèåé coce : E σ alge, ï è åì coce E & L σ alge coce L = E L. 4.10 Èòàê, E åñòü σ-àëãåá à áî åëåâñêèõ ìíîæåñòâ, îòâå à ùàß ÒÏ 4.3. Ï åäëîæåíèå 4.2. Ñï àâåäëèâî àâåíñòâî E =coce C E coce. Äîêàçàòåëüñòâî ï åäëîæåíèß îïóñòèì, òàê êàê îíî ëåãêî èçâëåêàåòñß èç ïîëîæåíèé çàêë - èòåëüíîé àñòè àáîòû 3 ñì., ê îìå òîãî, 2 â áîëåå ê àòêîì èçëîæåíèè, à òàêæå 4, 10.14. Îòìåòèì çäåñü æå, èìåß â âèäó 1.13 è1.14, òîò ëåãêîï îâå ßåìûé ôàêò, ò î coce \ = C E ωe F PE. Ï åäëîæåíèå 4.3. Ñåìåéñòâî coce \ ßâëßåòñß ñâîáîäíûì ó/ô ÈÏ E,E: coce \ F o,f E. 4.11 Ä î ê à ç à òå ë ü ñ òâ î. Èç ï åäëîæåíèß 4.1 è4.10 ñëåäóåò, òîcoce\ åñòü íåïóñòîå ïîäñåìåéñòâî E \, òî åñòü coce \ P E \ ñì. 1.5, 1.6, ï è åì ñì. ï åäëîæåíèå 4.1 ñï àâåäëèâî àâåíñòâî G =. 4.12 Ñ ó åòîì 1.5, 1.6 è4.5 èìååì, òî G coce\ A B coce \ A coce \ B coce \. 4.13 Ïóñòü G coce\, à Λ E òàêîâî, òî G Λ. Ñ ó åòîì 4.5 ïîëó àåì, òî G C E ωe, àòîãäà äëß íåêîòî îãî ìíîæåñòâà C ωe èìååì àâåíñòâî G = E \ C. Ï è òîì E \ Λ E \ G = E \ E \ C =C,
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 353 à ïîòîìó E \ Λ ωe è, ñòàëî áûòü, Λ=E \ E \ Λ C E ωe, ò î åñò ü Λ coce \. Óñòàíîâèëè èìïëèêàöè G Λ = Λ coce \. Ïîñêîëüêó âûáî G è Λ áûë ï îèçâîëüíûì, óñòàíîâëåíî, òî G coce \ Σ E G Σ = Σ coce \. Ñ ó åòîì 1.5 è 4.13 ïîëó àåì, òî coce \ F E. Ïîêàæåì, òî äàííûé ôèëüò ìàêñèìàëåí. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü F F E îáëàäàåòñâîéñòâîì coce \ F. Òîãäà ñì. 4.5 C E ωe F. 4.14 Ïîêàæåì, òî C E ωe = F. Â ñàìîì äåëå, äîïóñòèì ï îòèâíîå. Òîãäà â ñèëó 4.14 F \C E ωe. 4.15 Ïóñòü F F\C E ωe. Òîãäà, â àñòíîñòè, F E è F / CE ωe ; ïî òîìó F / coce\. Èç 1.5 èìååì ïî âûáî ó F, òî F. Ïî òîìó F /, è, ñòàëî áûòü, F / coce \ ; òîãäà F / coce íàïîìíèì, òî coce ñîãëàñíî 4.2. Ïî òîìó F E \ coce, à ò îãäà èç ï åäëîæåíèß 4.2 ñëåäóåò, ò î F C E coce. Èç 4.4 ïîëó àåì, òî F ωe F = E. Íî E = E \ C E ωe, à ïîòîìó F E íàïîìíèì, òî F / C E ωe. Èòàê, F ωe. Òîãäà E \ F C E ωe è, êàê ñëåäñòâèå, ñì. 4.14 E \ F F. Ïî òîìó, ñîãëàñíî 1.5, èìååì ïî âûáî ó F, òî F E \ F F. Íî F E \ F = / F ñì.1.5. Ïîëó åííîå ï è óñëîâèè 4.15 ï îòèâî å èå ïîêàçûâàåò, òî ñàìî 4.15 íåâîçìîæíî è F C E ωe, à òîãäà ñì. 4.14 F = CE ωe = =coce \. Èòàê, coce \ F = coce \ = F. 4.16 Ïîñêîëüêó âûáî F áûë ï îèçâîëüíûì, óñòàíîâëåíî, òî F F E coce \ F = coce \ = F, îòêóäà â ñèëó 1.6 âûòåêàåò, òî coce \ F oe. Ñ ó åòîì 4.12 ïîëó àåì ò åáóåìîå ñâîéñòâî 4.11. Ï åäëîæåíèå 4.4. Èìååò ìåñòî ñëåäó ùåå ñâîéñòâî σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè óëüò àôèëüò à coce \ : Σ i coce \ Σ i coce \ N.
354 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü G i coce \ N. Òîãäà G i : N G E ωe. Ýòî îçíà àåò, òî j N C ωe : G j = E \ C. Èíûìè ñëîâàìè, Êàê ñëåäñòâèå ïîëó àåì òîãäà, òî à ïîòîìó èìååì ñ î åâèäíîñòü, òî E \ G j ωe j N. E \ G i ωe, E E \ G i C E ωe. 4.17 Íî ïî ôî ìóëàì äâîéñòâåííîñòè ïîëó àåì öåïî êó àâåíñòâ E E \ G i = E \ E \ G i = G i. Èç 4.5 è4.17 ïîëó àåì òåïå ü, òî G i coce \. Ïîñêîëüêó âûáî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè G i áûë ï îèçâîëüíûì, ï åäëîæåíèå äîêàçàíî. Èòàê, C E ωe =coce \ åñòü σ-ìóëüòèïëèêàòèâíûé ñâîáîäíûé ó/ô ÈÏ E,E. Íàïîìíèì, òî F o,σe = U F oe Σ i U Σ i U. N 4.18 Òîãäà èç ï åäëîæåíèé 4.3 è 4.4 èìååì, òî coce \ = C E ωe F o,f E F o,σ E. 4.19 Ï åäëîæåíèå 4.5. Ñï àâåäëèâî àâåíñòâî F o,f E F o,σe = coce \. 4.20 Äîêàçàòåëüñòâî. Èç4.19 èìååì î åâèäíîå âëîæåíèå coce \ F o,f E F o,σ E. 4.21 Ïóñòü Y F o,f E F o,σ E. Òîãäà, â àñòíîñòè, Y F o E, à ïîòîìó Σ E Σ Y E \ Σ Y 4.22 â ñâßçè ñ 4.22 íàïîìíèì, òî E alge; ñì. òàêæå 7, 2.2.59. Ê îìå òîãî, èìååì, òî ñì. 4.18 L = & Σ i Y Σ i Y. N 4.23 L Y Ïîêàæåì, òî C/ Y C ωe. Â ñàìîì äåëå, äîïóñòèì ï îòèâíîå: äëß íåêîòî îãî ìíîæåñòâà C ωe èìååì, òî C Y. Ïîñêîëüêó / Y, òî C. Òîãäà C counte è äëß íåêîòî îé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x i : N E
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 355 ñï àâåäëèâî àâåíñòâî C = x i : i N ï è ϕ =x i èìååì, òî ϕ 1 N =x i : i N. Äîïóñòèì, òî x j / Y j N. Ïîñêîëüêó x j FINE, òî x j ωe ï è j N; â àñòíîñòè, x j C E coce. Â èòîãå à ïîòîìó ñîãëàñíî 4.22 ïîëó àåì, òî x i : N E, E \x j Y j N. 4.24 Íî â òîì ñëó àå â ñèëó σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè Y èìååì èç 4.24, òî E \ C = E \x i : i N = E x i = E \x i Y, àòîãäà C E \ C ñì. 1.5, òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ï è íà åì óñëîâèè C Y ñâîéñòâî x j / Y j N íåâîçìîæíî; ïî òîìó äëß íåêîòî îãî ν N èìååòìåñòî x ν Y, îòêóäà ëåãêî ñëåäóåò, òî Y =E trivx ν F o,te, òî òàêæå íåâîçìîæíî, òàê êàê Y F o,f E ñì. àçäåë 1. Ï îòèâî å èå äîêàçûâàåòñâîéñòâî C/ Y C ωe. Ïóñòü U Y. Òîãäà, êàê óæå óñòàíîâëåíî, U E \ ωe. Ï è òîì U = E = U coce \. 4.25 Ïóñòü U E. Òîãäà â ñèëó 4.4 ïîëó àåì, òî U / C E coce è, êîëü ñêî î U E, èìååì èç ï åäëîæåíèß 4.2, òî U coce. Êîëü ñêî î U ñì. 1.5, ïîëó àåì, òî U coce \, åì çàâå àåòñß ï îâå êà èñòèííîñòè èìïëèêàöèè U E = U coce \. Ñ ó åòîì 4.25 ïîëó àåì, òî U coce \ âî âñåõ âîçìîæíûõ ñëó àßõ. Èòàê, óñòàíîâëåíî, òî Y coce \, îòêóäà â ñèëó ìàêñèìàëüíîñòè Y èìååì ñì. 1.6, ï åäëîæåíèå 4.3, òî Y =coce \. Ïîñêîëüêó âûáî Y áûë ï îèçâîëüíûì, óñòàíîâëåíî, òî F o,f E F o,σe coce \, åì è çàâå àåòñß ñì. 4.21 ï îâå êà 4.20. Â çàêë åíèå àçäåëà îòìåòèì, òî N coce x =NcocE o x ïîäîáíî 3.5. x E. Äàííîå ñâîéñòâî 5.Ðàñ è åíèå íåñ åòíîãî äèñê åòà ñ èñïîëüçîâàíèå êîñ åòíîé òîïîëîãèè Â íàñòîßùåì ê àòêîì àçäåëå, êàê è â ï åäûäóùåì, ïîëàãàåì, òî E μ íåñ åòíîå ìíîæåñòâî; àññìàò èâàåì ÒÏ 4.3, à òàêæå ÈÏ E,E, ãäå E σ alge åñòü σ-àëãåá à áî åëåâñêèõ ìíîæåñòâ, îòâå à ùàß òîïîëîãèè coce. Ñ ó åòîì 4.4 è ï åäëîæåíèß 4.2 èìååì, òî ωe E è, â àñòíîñòè, FINE E. Òîãäà x E x E. 5.1
356 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ Èç 5.1 ñëåäóåò, â àñòíîñòè, òî E trivx F oe îòîá àæåíèå x E. Ïîäîáíî 3.16 îï åäåëßåì E triv = E trivx x E F o EE. 5.2 Ñ ä óãîé ñòî îíû, èìååì â âèäå êîíê åòèçàöèè 1.11 íåïóñòîé íóëüìå íûé êîìïàêò F o E, T E E, 5.3 ï è åì èç 5.1 ëåãêî ñëåäóåò, òî Â àñòíîñòè, F o,t E T E E. Ñ ó åòîì 5.4 ïîëó àåì, òî P F o,te T E E. 5.4 T E E F o,t E = P F o,te. Â êà åñòâå âåñüìà î åâèäíîãî ñëåäñòâèß èìååì, òî E triv åñòü ãîìåîìî ôèçì íåñ åòíîãî äèñê åòà E,PE íà F o,t E, T E E F o,t E, ãäå F o,te T EE densf oe. Òåî åìà 5.1. Îòîá àæåíèå 5.2 îï åäåëßåò àñ è åíèå äèñê åòà E,PE äî ï îñò àíñòâà Ñòîóíà 5.3: E triv åñòü ãîìåîìî ôíîå âëîæåíèå E,PE â êîìïàêò 5.3 â âèäå F o,t E =E triv 1 E =E trivx : x E T E E densf o E. 6. Äîáàâëåíèå, 1 ñâîéñòâà ìå Â íàñòîßùåì àçäåëå àññìàò èâà òñß ñòàíäà òíîå ÈÏ E,E àçäåëà 4 è ìå û íà äàííîì ÈÏ, âêë àß ìå û êîíå íî-àääèòèâíûå ê.-à.. Îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëßåòñß íî ìè îâàííûì 0, 1-ìå àì. Ââåäåì íåêîòî ûå îáîçíà åíèß, ïîëàãàß, òî E íåñ åòíî. Â âèäå adde = μ R E Σ 1 E Σ 2 E Σ 1 Σ 2 = = μσ 1 Σ 2 = = μσ 1 +μσ 2 èìååì ëèíåéíîå ï îñò àíñòâî â/ç ê.-à. ìå íà E ñêîíóñîì add + E = μ adde 0 μσ Σ E íåîò èöàòåëüíûõ ïîòî å íî ëåìåíòîâ. å åç σ adde è σ add + E îáîçíà àåì ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà âñåõ â/ç ñ åòíî-àääèòèâíûõ ñ.-à. è âñåõ â/ç íåîò èöàòåëüíûõ ñ.-à. ìå íà E ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëàãàåì PE = μ add + E μe =1 è P σ E = μ σ add + E μe =1 ï è μ P σ E â âèäå E,E,μ èìååì âå îßòíîñòíîå ï îñò àíñòâî. Íàêîíåö, ïóñòü TE = μ PE Σ E μσ = 0 μσ = 1, T σ E = μ P σ E Σ E μσ = 0 μσ = 1 P TE. 6.1 Ê îìå òîãî, â âèäå AE = μ adde c 0, : μσ c Σ E 6.2 èìååì òàêæå ìíîæåñòâî âñåõ â/ç ê.-à. ìå îã àíè åííîé âà èàöèè, îï åäåëåííûõ íà E ñì. 13, 2.2.8, 4.11.6. Ðàçóìååòñß, σ adde è AE μ ñóòü ëèíåéíûå ï îñò àíñòâà. Åñëè x E, òî å åçδ x T σ E îáîçíà àåì ìå ó Äè àêà, ñîñ åäîòî åííó â òî êå x: ï è Σ E èìååì δ x Σ =1, åñëè x Σ, è δ x Σ =0, åñëè x/ Σ. Òîãäà DE = δ x : x E P T σ E.
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 357 Ó èòûâàß 13, òåî åìà 2.8.1, ïîëó àåì, òî ï è BE = g R E a 0, : gx a x E BE,E = f BE f 1,c E c R 6.3 åñòü îäíîâ åìåííî ìíîæåñòâî âñåõ ß óñíûõ îòíîñèòåëüíî ÈÏ E,E â/ç ôóíêöèé íà E. Åñëè f BE,E è μ AE, òî13, 3.3.11 îï åäåëåí μ-èíòåã àë f íà ìíîæåñòâå E: fdμ R. E Îòìåòèì, íàêîíåö, òî F o E è TE â îñíàùåíèè åñòåñòâåííûìè òîïîëîãèßìè èìå òñß â âèäó 5.3 è îòíîñèòåëüíàß -ñëàáàß òîïîëîãèß íà TE ñîîòâåòñòâåííî îòîæäåñòâèìû 14, ï åäëîæåíèå 4.2. Â òîé ñâßçè ââåäåì èíäèêàòî û ïîäñåìåéñòâ E: åñëè S PE, òî ïîëàãàåì, òî X S : E 0; 1 6.4 îï åäåëßåòñß ïîñ åäñòâîì ñëåäó ùåãî ï àâèëà XS S =1 S S & X S Σ =0 Σ E \S. 6.5 Ñõåìà 6.4, 6.5 ñîîòâåòñòâóåò 13, 10.4.7,10.4.8. Â êà åñòâå ñåìåéñòâà S â 6.4 ìîæåò èñïîëüçîâàòüñß ñì. 1.5, 1.6 ó/ô èç F o E. Ï è òîì 4, ï åäëîæåíèå 10.4.4 TE =X U : U F o E; áîëåå òîãî, îòîá àæåíèå U X U : F oe TE ßâëßåòñß áèåêöèåé äàæå ãîìåîìî ôèçìîì, ñì. 14, ï åäëîæåíèå 4.2. Ï è òîì 4, 10.7.26 T σ E =X U : U F o,σ E. 6.6 Ï åäëîæåíèå 6.1. Ñï àâåäëèâî àâåíñòâî T σ E \ DE =X U : U F o,f E F o,σe. 6.7 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà èì å åç X ìíîæåñòâî â ï àâîé àñòè 6.7. Ïîêàæåì, òî T σ E \ DE =X. Ïóñòü η T σ E \ DE. Òîãäà èç 6.6 ñëåäóåò, òî äëß íåêîòî îãî ó/ô Y F o,σ E 6.8 ñï àâåäëèâî àâåíñòâî η = X Y. Ïî òîìó ñì. 6.4, 6.5 ηu =1 U Y & ησ = 0 Σ E \ Y. 6.9 Ïîêàæåì, òî Y F o,f E. Â ñàìîì äåëå, äîïóñòèì ï îòèâíîå. Òîãäà ïîñêîëüêó ñì. 4.18, 6.8 Y F o E, èìååì, òî U. 6.10 U Y Ïóñòü ñì. 6.10 x μ ëåìåíò ïå åñå åíèß âñåõ ìíîæåñòâ èç Y, òî åñòü x U U Y. Òîãäà â ñèëó 1.7 Y E trivx, îòêóäà â ñèëó ìàêñèìàëüíîñòè Y âûòåêàåò àâåíñòâî Y =E trivx. 6.11 Íî òîãäà ñì. 1.7, 6.8 η = δ x äåéñòâèòåëüíî, èç 1.7, 6.9 è6.11 ñëåäóåò, òî ηl =1 x L, ãäå L E, à ïîòîìó η DE, òî íåâîçìîæíî. Ïîëó åííîå ï îòèâî å èå äîêàçûâàåò, òî Y F o,f E. Êàê ñëåäñòâèå ñì. 6.8 Y F o,f E F o,σe,
358 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ àòîãäà η X, åì è çàâå àåòñß ï îâå êà âëîæåíèß Âûáå åì ï îèçâîëüíî ζ X. Òîãäà äëß íåêîòî îãî ó/ô T σ E \ DE X. 6.12 V F o,f E F o,σ E 6.13 èìååì àâåíñòâî ζ = X V. Ýòî îçíà àåò ñì. 6.5, òî ζv =1 V V & ζσ = 0 Σ E \V. 6.14 Â ñèëó 6.6 è6.13 èìååì ñ î åâèäíîñòü âêë åíèå ζ T σ E. 6.15 Ñ ä óãîé ñòî îíû, èç 6.13 âûòåêàåò, â àñòíîñòè, òî ñì. àçäåë 1 V =. V V Ýòî îçíà àåò, òî x E V V: x/ V. Â ñèëó 1.7 ïîëó àåì, òî Ñ ó åòîì 6.14 è6.16 ïîëó àåì ïîñêîëüêó V E, òî V E trivx x E. 6.16 x E V E :x/ V & ζv =1 ; 6.17 6.17 îçíà àåò, òîζ δ x x E. Òîãäà ζ/ DE è, ñòàëî áûòü ñì. 6.15, ζ T σ E \ DE, åì çàâå àåòñß ï îâå êà âëîæåíèß X T σ E \ DE. Ñ ó åòîì 6.12 ïîëó àåì àâåíñòâî T σ E \ DE =X, òî è ò åáîâàëîñü äîêàçàòü. Â ñèëó ï åäëîæåíèé 4.5 è 6.1 ïîëó àåì àâåíñòâî T σ E \ DE =X coce\. 6.18 Ââåäåì òåïå ü, ñëåäóß 2, â àññìîò åíèå äâå òîïîëîãèè íà ìíîæåñòâå AE 6.2. Äëß òîãî ïîò åáó òñß íåêîòî ûå âñïîìîãàòåëüíûå îáîçíà åíèß. Ïóñòü T E μ, H = ν AE hdμ = hdν h H μ AE H P BE,E. 6.19 E E Ñ èñïîëüçîâàíèåì 6.19 îï åäåëßåì ñïåöèàëüíûå ñåìåéñòâà ï/ì AE. Èòàê, ïóñòü T E μ = TE μ, K : K Fin BE,E μ AE. 6.20 Â òå ìèíàõ 6.20 êîíñò óè óåòñß íóæíàß òîïîëîãèß AE: Υ o E = G P AE μ G Γ T E μ : Γ G = = G PAE μ G K Fin BE,E : TE μ, K G. 6.21 SSñíî, òî ï è μ AE ñåìåéñòâî T E μ 6.20 åñòüëîêàëüíàß áàçà ÒÏ AE, Υo E 6.22
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 359 âòî êå μ, ï è åì ñì. 6.19 âñå ìíîæåñòâà ñåìåéñòâ 6.20 îòê ûòî-çàìêíóòû â ñìûñëå 6.22. Ïîëàãàß òåïå ü T E = T E μ, 6.23 μ AE èìååì â âèäå 6.23 áàçó ÒÏ 6.22, ñîñòîßùó èç îòê ûòî-çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ. Êàê ñëåäñòâèå ïîëó àåì, òî 6.22 åñòü íóëüìå íîå T 2 -ï îñò àíñòâî. Óñëîâèìñß î ñëåäó ùåì ò àäèöèîííîì ñîãëà åíèè: åñëè X, τ åñòü ÒÏ, X, x i X N è x X, òî τ xi x def H N τ x m N : x j H j m,. Äàëåå, åñëè X, τ μòï,x, è A PX, òî ïîëàãàåì seq cla; τ = x X a i A N τ :a i x, 6.24 ïîëó àß ñåêâåíöèàëüíîå çàìûêàíèå A â X, τ; åñëè seq cla; τ =A, òî íàçûâàåì A ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòûì â X, τ. Âîçâ àùàßñü ê 6.22, îòìåòèì, òî ñì. 2, 3 T σ E \ DE =cl DE, Υ o E \seq clde; Υ o E, 6.25 ï è åì ìíîæåñòâî DE ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòî â ÒÏ 6.22. Èç 6.18 è6.25 âûòåêàåòñëåäó- ùåå óòâå æäåíèå îá îäíî ëåìåíòíîñòè íà îñòà çàìûêàíèß ïî îòíî åíè ê ñåêâåíöèàëüíîìó çàìûêàíè. Òåî åìà 6.1. Ñï àâåäëèâà öåïî êà àâåíñòâ T σ E\DE =cl DE, Υ o E \seq clde; Υ o E = cl DE, Υ o E \DE = X coce\. Èòàê, ìû ïîëó èëè, òî ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòîå ìíîæåñòâî DE P AE ï è çàìûêàíèè â ÒÏ6.22 îáëàäàåòîäíî ëåìåíòíûì íà îñòîì, îï åäåëßåìûì â âèäå σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ñâîáîäíîãî îòê ûòîãî ó/ô 4.19. Â çàêë åíèå àññìîò èì åùå îäèí âà èàíòêîíñò óêöèè íà îñíîâå 6.19. Èòàê, ââåäåì âìåñòî 6.20 ñåìåéñòâà T o E μ = T E μ, C : C countbe,e μ AE. 6.26 Â òå ìèíàõ 6.26 îï åäåëßåòñß ñëåäó ùàß òîïîëîãèß AE: Υ o E = G P AE μ G C countbe,e : TE μ, C G = = G P AE μ G Γ T E o μ : Γ G. 6.27 SSñíî, òî Υ o E Υ o E. Ðàçóìååòñß, 6.26 îï åäåëßåòâñßêèé àç ëîêàëüíó áàçó òîïîëîãèè 6.27 â ñîîòâåòñòâó ùåé òî êå AE; ìíîæåñòâà èç ñåìåéñòâà 6.26 ßâëß òñß âñßêèé àç îòê ûòî-çàìêíóòûìè. Ëåãêî âèäåòü òàêæå, òî AE, Υo E 6.28 ßâëßåòñß íóëüìå íûì T 2 -ï îñò àíñòâîì. Ìû çàìåòèì ñì. 2, òî T σ E \ DE =cl DE, Υ o E \seq clde; Υ o E, ï è åì DE ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòî â ÒÏ 6.28. Ñíîâà ó èòûâàß 6.18, ïîëó àåì, òî ñï àâåäëèâà ñëåäó ùàß Òåî åìà 6.2. Ìå à X coce\ èñ å ïûâàåò íà îñò ñåêâåíöèàëüíî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà DE ï è ïîñò îåíèè åãî çàìûêàíèß â ÒÏ6.28: T σ E\DE =cl DE, Υ o E \seq clde; Υ o E = cl DE, Υ o E \DE =X coce\. Â çàêë åíèå àçäåëà îòìåòèì, òî ñì. 2 T σ E =cl DE, Υ o E =cl DE, Υ o E.
360 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ 7. Äîáàâëåíèå, 2 ß óñíûå è íåï å ûâíûå ôóíêöèè Â íàñòîßùåì àçäåëå àññìàò èâà òñß êîíê åòèçàöèè äâóõ âàæíûõ êëàññîâ â/ç ôóíêöèé íà íåñ åòíîì ìíîæåñòâå E, à èìåííî: èçìå èìûõ è íåï å ûâíûõ ôóíêöèé. Â òîé ñâßçè îòìåòèì, òî ïîñêîëüêó T σ E \ DE, òîñì.4, ï åäëîæåíèå 10.9.2 èìååì ñëåäó ùåå ñâîéñòâî: C countbe,e H P uc E : fx 1 =fx 2 f C x 1 H x 2 H. 7.1 Îòìåòèì çäåñü æå î åâèäíîå ñëåäñòâèå 7.1, ñâßçàííîå ñ ìíîæåñòâîì íåï å ûâíûõ ôóíêöèé C E,cocE = f R E f 1 G coce G τ R, 7.2 ãäå τ R μ îáû íàß òîïîëîãèß R, ïî îæäåííàß ìåò èêîé-ìîäóëåì. Â ñàìîì äåëå, C E,cocE BE BE,E ñì. 6.3, 7.2: âñßêàß îã àíè åííàß íåï å ûâíàß ôóíêöèß ßâëßåòñß áî åëåâñêîé. Ïî òîìó èç 7.1 èìååì C count C E,cocE BE H P uc E : fx 1 =fx 2 f C x 1 H x 2 H. 7.3 Ñâîéñòâà 7.2, 7.3 äîïóñêà òóòî íåíèå ñì. 4, 10.9.64. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó 4.4 E =coce C E coce = CE ωe CE coce = CE ωe CE coce, òàê êàê ωe è ωe C E coce. Ïî òîìó E = C E ωe ωe E =ωe CE ωe, 7.4 òàê êàê E C E ωe ñì. 4.5. Ñëåäîâàòåëüíî, σ-àëãåá à E ñîâïàäàåò ñ σ-àëãåá îé 4, 10.9.63 íàïîìíèì òàêæå, òî â íà èõ ïîñò îåíèßõ, êàê è â 4, 10.9.55, E/ ωe, à ïîòîìó â ñèëó 4, 10.9.64 BE,E =f BE C ωe : fx 1 =fx 2 x 1 E \ C x 2 E \ C. 7.5 Ïîñêîëüêó ñåìåéñòâî ωe çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî êîíå íûõ è ñ åòíûõ îáúåäèíåíèé, ïîëó àåì èç 7.5, òî C countbe,e C ωe : fx 1 =fx 2 f C x 1 E \ C x 2 E \ C. 7.6 Â 7.5 è 7.6 åàëèçó òñß íóæíûå óòî íåíèß. Â ñâî î å åäü, 7.6 äîïóñêàåò äàëüíåé åå àçâèòèå. Äëß åàëèçàöèè òîé öåëè ââåäåì MeasE; E = f R E f 1,c E c R, 7.7 òîãäà BE,E = MeasE; E BE. Êàê îáû íî, ï è f R E è g R E f g = sup fx; gx RE & f g = inf fx; gx RE. x E x E Òîãäà, â àñòíîñòè, èìååì, òî f MeasE; E g MeasE; E f g MeasE; E &f g MeasE; E. 7.8 å åç I îáîçíà èì â/ç ôóíêöè íà E, òîæäåñòâåííî àâíó åäèíèöå: I R E, ï è åì Ix = 1 x E. Òîãäà èç 7.8 âûòåêàåò, òî f MeasE; E c R f ci MeasE; E & f ci MeasE; E 7.9 â 7.9 èìå òñß â âèäó ñ åçêè f êîíñòàíòîé c. Ñ ó åòîì 7.6, 7.9 ëåãêî ñëåäóåò, ò î f MeasE; E C ωe : fx 1 =fx 2 x 1 E \ C x 2 E \ C. 7.10 Çàìåòèì, òî C E,cocE MeasE; E, à ïîòîìó èç 7.10 èìååì, òî f C E,cocE C ωe : fx 1 =fx 2 x 1 E \ C x 2 E \ C. 7.11 Ï åäëîæåíèå 7.1. Åñëè f C E,cocE, òî c R : f = ci.
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 361 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ C E,cocE. Ñ ó åòîì 7.11 ïîäáå åì Ω ωe òàêîå, òî ϕx 1 =ϕx 2 x 1 E \ Ω x 2 E \ Ω. 7.12 SSñíî, òî E \ Ω ; âûáå åì x E \ Ω è ïîëàãàåì α = ϕx, α R. Â ñèëó íåï å ûâíîñòè ϕ èìååì, òî Γ = x E ϕx α = ϕ 1,α ϕ 1 α, coce. 7.13 Òîãäà ñ ó åòîì 4.2 è7.13 ïîëó àåì, òî Γ CE ωe Γ =. 7.14 Äîïóñòèì, òî Γ C E ωe. Òîãäà äëß íåêîòî îãî Λ ωe èìååì àâåíñòâî Γ=E \ Λ, ãäå îäíàêî E \ Λ P uc E â ñèëó íåñ åòíîñòè E. Òîãäà Γ P uc E è, êàê ñëåäñòâèå, Γ / ωe. 7.15 Ïî âûáî ó x è îï åäåëåíè α èìååì, îäíàêî, âëîæåíèå Γ Ω ñì. 7.12, 7.13, à òîãäà Γ ωe, òî ï îòèâî å èò 7.15. Ïîëó åííîå ï îòèâî å èå ïîêàçûâàåò, òî Γ / C E ωe, à òîãäà èç 7.14 ñëåäóåò, òî Γ=. Â ñèëó 7.14 ïîëó àåì, òî ϕx =α x E. Ýòî îçíà àåò, òîϕ = αi, òî è ò åáîâàëîñü äîêàçàòü. Âêà åñòâå î åâèäíîãî ñëåäñòâèß ï åäëîæåíèß 7.1 ïîëó àåì àâåíñòâî C E,cocE = ci : c R, òî åñòü íåï å ûâíûìè â íà åì ñëó àå îêàçûâà òñß ôóíêöèè-êîíñòàíòû è òîëüêî îíè. Âîçâ àùàßñü ê 7.10, îòìåòèì åùå îäíî î åâèäíîå ñëåäñòâèå, à èìåííî: C count MeasE; E C ωe : fx 1 =fx 2 f C x 1 E \ C x 2 E \ C. 8. Äîáàâëåíèå 3: íåêîòî ûå âîï îñû, ñâßçàííûå ñ ï îäîëæåíèßìè îòê ûòîãî ñâîáîäíîãî σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîãî óëüò àôèëüò à Íàïîìíèì 5.1 è ïîïûòàåìñß àññìàò èâàòü ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ σ-ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ó/ô íà ä óãèõ σ-àëãåá àõ ï/ì íåñ åòíîãî ìíîæåñòâà E ñ ïîäîáíûì ñâîéñòâîì. Â íàñòîßùåì àçäåëå ôèêñè óåì σ-àëãåá ó L σ alge, äëß êîòî îé ïîäîáíî 5.1 x L x E. 8.1 Ëåãêî âèäåòü, òî E L. Íàñ áóäóò èíòå åñîâàòü ñâîéñòâà ó/ô èç ìíîæåñòâà F o,f L F o,σ L; ñëó àé ïóñòîòû ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà íå èñêë àåòñß. Îòìåòèì, òî èç 8.1 ëåãêî ñëåäóåòâëîæåíèå ωe L. Ï åäëîæåíèå 8.1. Åñëè U F o,f L F o,σ L, òî ñï àâåäëèâî àâåíñòâî Ä î ê à ç à òå ë ü ñ òâ î. Çàìåòèì ï åæäå âñåãî, òî U E =coce \. 8.2 ωe U=. 8.3 Â ñàìîì äåëå, äîïóñòèì ï îòèâíîå: ωe U. Ïóñòü Ω ωe U. SSñíî, òî â òîì ñëó àå Ω counte ñì. 1.5. Ïóñòü ϕ E N åàëèçóåò Ω â âèäå îá àçà: Ω=ϕj : j N = ϕ 1 N = j Nϕj.
362 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ Ïîñêîëüêó U μ ñâîáîäíûé ó/ô, òî ϕj / U j N. Â òîìñëó àå E \ϕj U j N ñâîéñòâî ó/ô àëãåá û ìíîæåñòâ è, â ñèëó σ-ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè U, E ϕj = j NE \ϕj U, j N òî åñòü E \ Ω U. Ïîëó èëè, òî Ω U è E \ Ω U, òî íåâîçìîæíî ñì. 1.5. Ïîëó åííîå ï îòèâî å èå äîêàçûâàåòñï àâåäëèâîñòü 8.3. Èòàê, C/ U C ωe. Êàê ñëåäñòâèå E \C U C ωe. Èíûìè ñëîâàìè ñì. 4.1, 4.5, coce \ = C E ωe U. 8.4 Îòìåòèì, òî U E F E; ñì. 7, 2.4.5. Èç 8.4 èìååì ñ ó åòîì ï åäëîæåíèß 4.3, òî coce \ U E, îòêóäà, â ñèëó ìàêñèìàëüíîñòè ó/ô coce \, ñëåäóåò àâåíñòâî 8.2. Ï åäëîæåíèå 8.2. Åñëè U F o,f L F o,σl, òî U P uc E. Äîêàçàòåëüñòâî.Ôèêñè óåì U F o,f L F o,σl. Òîãäà òàê æå, êàê è â ï åäëîæåíèè 8.1, óñòàíàâëèâàåòñß, òî ωe U=. Ïî òîìó U / ωe U U. Âìåñòå ñ òåì U P E â ñèëó 1.5, 1.6. Ñòàëî áûòü, U P E\ωE, à ïîòîìó ñì. îáîçíà åíèß â íà àëå àçäåëà 4 U P uc E, òî è ò åáîâàëîñü äîêàçàòü. Èòàê, èìååì â àññìàò èâàåìîì ñëó àå ñòàíäà òíîãî ÈÏ E,L ñî ñâîéñòâîì 8.1, òî êàæäûé σ-ìóëüòèïëèêàòèâíûé ñâîáîäíûé ó/ô σ-àëãåá û L ñîñòîèò òîëüêî èç íåñ åòíûõ ï/ì E. Çàìå àíèå 8.1. Ðàññìîò èì êîíê åòíûé ï èìå íåñ åòíîãî ìíîæåñòâà E, σ-àëãåá û L σ alge ñî ñâîéñòâîì 8.1, äëß êîòî ûõ L E & F o,f L F o,σl. 8.5 Èòàê, ïîëàãàåì â äàííîì çàìå àíèè, òî E =0, 1, σ-àëãåá ó E ï/ì E ïîíèìàåì â ñìûñëå àçäåëà 4 ñì. ï åäëîæåíèå 4.2. å åç L îáîçíà èì ñåìåéñòâî âñåõ ï/ì E =0, 1, èçìå èìûõ ïî Ëåáåãó ñì. L b a 4, 8.5.9 ï è a =0, b =1. Ïóñòü λ åñòü def ñëåä ìå û Ëåáåãà íàl λ åñòü ìå à λ b a 4, 8.5.11 ï è óñëîâèè, òî a =0 è b =1. Âî âñßêîì ñëó àå λ σ add + L. 8.6 Ñëåäóß 4, 10.14.1, ââåäåì â àññìîò åíèå ñåìåéñòâà N λ = L L λl =0 è F λ = CE N λ =E \ N : N N λ. 8.7 Òîãäà λf =λe =1 F F λ. Íàïîìíèì, òî 4, 10.14.6 F λ F L. Ïîñêîëüêó L σ alge ñì. 4, 8.5.10 ï è a =0è b =1, òîñì.8.6, ñîãëàñíî 4, 10.3.6, 10.3.10, èìååì ïîäîáíî 4.18, òî F λ σ FL, ãäå σ FL îï åäåëßåòñß â4, 10.3.10: σ FL = H P L / H& H i H H i H N & & H H L L :H L = L H. 8.8
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 363 å åç L îáîçíà àåì äàëåå σ-àëãåá ó ï/ì E =0, 1, ïî îæäåííó ñåìåéñòâîì F λ ï/ì E. Òîãäà 4, 10.14.13 L = F λ C E F λ =F λ N λ ; 8.9 L σ alge. Îòìåòèì, òî L L è, ñîãëàñíî 4, 10.14.14, F λ F o,σl 8.10 ó èòûâàåì òî, òî F λ L. Çàìåòèì, òî ïî âûáî ó λ èìååì ñâîéñòâî λx =λx, x = 0 x E. Êàê ñëåäñòâèå ïîëó àåì, òî x N λ x E. 8.11 Ïî òîìó ñ ó åòîì 8.9 èìååì, òî σ-àëãåá à L îáëàäàåò ñâîéñòâîì 8.1, òî åñòü x L ï è x E. Ï è òîì 11, c. 31 êàíòî îâî ìíîæåñòâî K L îáëàäàåòñâîéñòâîì λk =0. Ïî òîìó K N λ ; âìåñòå ñ òåì K P uc E. Èç 8.9 èìååì, òî K L. Ï è òîì, îäíàêî, K / ωe è, êàê ñëåäñòâèå, K / C E coce ñì. 4.4. Ê îìå òîãî, E \ K L è λe \ K =1. Ïîñêîëüêó, êàê ëåãêî âèäåòü, ωe N λ, òî E \ K / ωe. Ñ ä óãîé ñòî îíû, â ñèëó 4.2 K coce = K = E \ K ωe. 8.12 Ïîñêîëüêó K è E \ K / ωe, èìååì èç 8.12, òî K / coce. Ïî òîìó K / coce & K / CE coce. Â ñèëó ï åäëîæåíèß 4.2, ï èìåíßåìîãî â ñëó àå E =0, 1, ïîëó àåì, ñëåäîâàòåëüíî, òî K / E. Ñòàëî áûòü K L\E. 8.13 Ïî òîìó ñì. 8.13 L\E. Âìåñòå ñ òåì, ïîñêîëüêó L îáëàäàåòñâîéñòâîì 8.1, òî E L. Çàìåòèì, òî â ñèëó 8.7, 8.10 è8.11 íåï åìåííî x / F λ x E. Òîãäà ïå åñå åíèå âñåõ ìíîæåñòâ èç F λ ïóñòî. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü x F F λ F. Òîãäà F λ L trivx, à â ñèëó 1.7 è ìàêñèìàëüíîñòè F λ, èìååì àâåíñòâî F λ =L trivx ; ïî òîìó ñì. 8.1 x F λ, òî íåâîçìîæíî. Ïîëó åííîå ï îòèâî å èå äîêàçûâàåò ò åáóåìîå ñâîéñòâî ïóñòîòû ïå åñå åíèß âñåõ ìíîæåñòâ èç F λ, à ïîòîìó F λ F o,f L. Ñ ó åòîì 8.10 èìååì, òî F λ F o,f L F o,σl; 8.14 â ñèëó ï åäëîæåíèß 8.1 è8.14 èìååì, òî F λ E =coce \. Ò åáóåìîå ñâîéñòâî 8.5 óñòàíîâëåíî. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ýíãåëüêèíã Ð. Îáùàß òîïîëîãèß. Ì.: Ìè, 1986. 751 ñ. 2. åíöîâ À.Ã. Îá èçìå èìûõ ï îñò àíñòâàõ, äîïóñêà ùèõ íåäè àêîâñêèå ñ åòíî-àääèòèâíûå 0, 1- ìå û // Äîêëàäû ÐÀÍ. 2002. Ò. 384. 5. Ñ. 607 610. 3. åíöîâ À.Ã. Ñò óêòó à ñ åòíî-àääèòèâíûõ íåäè àêîâñêèõ 0, 1-ìå // Ìàòåìàòè åñêèé è ï èêëàäíîé àíàëèç: ñáî íèê íàó íûõ ò óäîâ. Âûï. 1. Ò ìåíü: Èçäàòåëüñòâî Ò ìåíñêîãî ãîñ. óí-òà. 2003. Ñ. 218 243. 4. åíöîâ À.Ã. Ýëåìåíòû êîíå íî-àääèòèâíîé òåî èè ìå û, II. Åêàòå èíáó ã: ÓÃÒÓ ÓÏÈ. 2010. 542 ñ. 5. Èëèàäèñ Ñ.Ä., Ôîìèí Ñ.Â. Ìåòîä öåíò è îâàííûõ ñèñòåì â òåî èè òîïîëîãè åñêèõ ï îñò àíñòâ // Óñïåõè ìàòåìàòè åñêèõ íàóê. 1966. Ò. 21. 4. C. 47 76. 6. Áóëèíñêèé À.Â., è ßåâ À.Í. Òåî èß ñëó àéíûõ ï îöåññîâ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. 402 ñ.
364 Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ 7. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht Boston London: Kluwer Academic Publishers, 2002. 408 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1527-0 8. åíöîâ À.Ã., Ïûòêååâ Å.Ã. Íåêîòî ûå òîïîëîãè åñêèå êîíñò óêöèè àñ è åíèé àáñò àêòíûõ çàäà î äîñòèæèìîñòè // Ò óäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Ó Î ÐÀÍ. 2014. Ò. 20. 4. C. 312 329. 9. Ïûòêååâ Å.Ã., åíöîâ À.Ã. Íåêîòî ûå ñâîéñòâà îòê ûòûõ óëüò àôèëüò îâ // Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ. 2015. Âûï. 2 46. C. 140 148. http://mi.mathnet.ru/iimi314 10. Áó áàêè Í. Îáùàß òîïîëîãèß. Îñíîâíûå ñò óêòó û. Ì.: Íàóêà, 1968. 272 ñ. 11. Àëåêñàíä ßí Ð.À., Ìè çàõàíßí Ý.À. Îáùàß òîïîëîãèß. Ì.: Âûñ àß êîëà, 1979. 336 ñ. 12. åíöîâ À.Ã. Ê âîï îñó î åàëèçàöèè ëåìåíòîâ ï èòßæåíèß â àáñò àêòíûõ çàäà àõ î äîñòèæèìîñòè // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè. 2015. T. 25. Âûï. 2. Ñ. 212 229. DOI: 10.20537/vm150206 13. åíöîâ À.Ã. Ýëåìåíòû êîíå íî-àääèòèâíîé òåî èè ìå û, I. Åêàòå èíáó ã: ÓÃÒÓ ÓÏÈ. 2009. 389 ñ. 14. åíöîâ À.Ã. Ê âîï îñó î ï åäñòàâëåíèè êîìïàêòîâ Ñòîóíà // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè. 2013. Âûï. 4. C. 156 174. DOI: 10.20537/vm130415 Ïîñòóïèëà â åäàêöè 01.07.2016 Ïûòêååâ Åâãåíèé Ãåî ãèåâè, ä. ô.-ì. í., âåäóùèé íàó íûé ñîò óäíèê, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èì. Í.Í. Ê àñîâñêîãî Ó Î ÐÀÍ, 620990, Ðîññèß, ã. Åêàòå èíáó ã, óë. Ñ. Êîâàëåâñêîé, 16; ï îôåññî, Ó àëüñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò, 620002, Ðîññèß, ã. Åêàòå èíáó ã, óë. Ìè à, 19. E-mail: pyt@imm.uran.ru åíöîâ Àëåêñàíä Ãåî ãèåâè, ä. ô.-ì. í., ëåí-êî åñïîíäåíò ÐÀÍ, ãëàâíûé íàó íûé ñîò óäíèê, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èì. Í.Í. Ê àñîâñêîãî Ó Î ÐÀÍ, 620990, Ðîññèß, ã. Åêàòå èíáó ã, óë. Ñ. Êîâàëåâñêîé, 16; ï îôåññî, Ó àëüñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò, 620002, Ðîññèß, ã. Åêàòå èíáó ã, óë. Ìè à, 19. E-mail: chentsov@imm.uran.ru E. G. Pytkeev, A. G. Chentsov Some representations of free ultrafilters Citation: Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp yuternye Nauki, 2016, vol. 26, no. 3, pp. 345 365 in Russian. Keywords: algebra of sets, measure, topology, ultrafilter. MSC2010: 28A33 DOI: 10.20537/vm160305 Constructions related to the representation of free σ-multiplicative ultrafilters of widely interpreted measurable spaces are considered. These constructions are based on the representations connected with the application of open ultrafilters for co-finite and co-countable topologies. Such ultrafilters are preserved as maximal filters under the replacement of topologies by algebra and σ-algebra generated by above-mentioned topologies, respectively. In general case of co-countable topology, uniqueness of σ-multiplicative free ultrafilter composed of nonempty open sets is established. It is demonstrated that the given property is preserved for σ-algebras containing co-countable topology. Two topologies of the space of bounded finitely additive Borel measures with the property of uniqueness of remainder for sequentially closed set of Dirac measures under the closure construction are stated. REFERENCES 1. Engelking R. Obshchaya topologiya General topology, Moscow: Mir, 1986, 751 p. 2. Chentsov A.G. On measurable spaces admitting non-dirac countably additive 0, 1-measure, Doklady Mathematics, 2002, vol. 65, no. 3, pp. 425 428.
Íåêîòî ûå ï åäñòàâëåíèß ñâîáîäíûõ óëüò àôèëüò îâ 365 3. Chentsov A.G. Structure of countably additive non-dirac 0, 1-measures, Matematicheskii i prikladnoi analiz: sbornik nauchnykh trudov, vyp. 1 Mathematical and applied analysis: Transactions, issue 1, Tyumen: Tyumen State University, 2003, pp. 218 243 in Russian. 4. Chentsov A.G. Elementy konechno-additivnoi teorii mery, II Elements of a finitely additive measure theory, II, Yekaterinburg: USTU UPI, 2010, 542 p. 5. Iliadis S., Fomin S. The method of centred systems in the theory of topological spaces, Russian Mathematical Surveys, 1966, vol. 21, no. 4, pp. 37 62. DOI: 10.1070/RM1966v021n04ABEH004165 6. Bulinskii A.V., Shiryaev A.N. Teoriya sluchainykh protsessov Theory of stochastic processes, Moscow: Fizmatlit, 2005, 402 p. 7. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations, Dordrecht Boston London: Kluwer Academic Publishers, 2002, 408 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1527-0 8. Chentsov A.G., Pytkeev E.G. Some topological structures of extensions of abstract reachability problems, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2016, vol. 292, suppl. 1, pp. 36 54. DOI: 10.1134/S0081543816020048 9. Pytkeev E.G., Chentsov A.G. Some properties of open ultrafilters, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2015, no. 2 46, pp. 140 148 in Russian. http://mi.mathnet.ru/iimi314 10. Burbaki N. Obshchaya topologiya General topology, Moscow: Nauka, 1968, 272 p. 11. Aleksandryan R.A., Mirzakhanyan E.A. Obshchaya topologiya General topology, Moscow: Vysshaya shkola, 1979, 336 p. 12. Chentsov A.G. To question about realization of attraction elements in abstract attainability problems, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp yut. Nauki, 2015, vol. 25, no. 2, pp. 212 229 in Russian. DOI: 10.20537/vm150206 13. Chentsov A.G. Elementy konechno-additivnoi teorii mery, I Elements of a finitely additive measure theory, II, Yekaterinburg: USTU UPI, 2009, 389 p. 14. Chentsov A.G. To question about representation of Stone compactums, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp yut. Nauki, 2013, no. 4, pp. 156 174 in Russian. DOI: 10.20537/vm130415 Received 01.07.2016 Pytkeev Evgenii Georgievich, Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia; Professor, Ural Federal University, ul. Mira, 19, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: pyt@imm.uran.ru Chentsov Aleksandr Georgievich, Doctor of Physics and Mathematics, Corresponding Member of the Russian Academy of Science, Main Researcher, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia; Professor, Ural Federal University, ul. Mira, 19, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: chentsov@imm.uran.ru