פרק : אפנון על ידי צורת גל אחת מרצה: אריה רייכמן כתבו וערכו: ענבי תמיר זלמה טל תוכן עניינים מבוא.... הגדרת אפנון עם צורת גל אחת.... מיפוי (Mapping)... 3.. סוגי מיפויים עבור אפנון בצורת גל אחת... 4.. 7... Offse QPSK.3. 8...π/4-QPSK.4.... M-QAM.5. צפיפות ספקטרום הספק האות המשודר... 5..6 מסנן מתואם... 6 3. תכונות המסנן המתואם... 8.3. תכונה : הגדרת המסנן המתואם... 8.3.. תכונה :מקסימום יחס אות לרעש SNR))... 8.3.. תכונה : 3 אוטוקורלציה....3..3 תכונה :4 מסנן מתואם כקורלטור....3..4 תכונה : 5 ממשיות האות בנקודות הדגימה....3..5 תכונה : 6 מניעת הפרעה בין סימנית ISI Iner.3..6...symbol inerference תכונה :7 הסתברות שגיאה מינימלית לאחר מעבר סף... 5.3..7 סיכום התכונות... 7 3..8. מקלט עבור אפנון בצורת גל אחת... 7.3. מעגל ההחלטה... 8 3.3. הסתברות שגיאה... 9 3.4. הסתברות שגיאה במיפויM-QAM... 3.3.5 ביבליוגרפיה... 3 4. נספח : חזרה על עוטפת קומפלקסית envelope))...complex 3
. מבוא במערכות תקשורת ספרתית מועבר מידע ספרתי בין משדר למקלט. בכדי לאפשר עבודה בין שתי המערכות עליהן "להבין" האחת את השניה, ה"שפה" דרכן מתקשרות המערכות הינה האפנון והמיפוי של האותות אשר מהווה את הבסיס לתקשורת. במשדר קיים אפנן אשר מעביר את המידע הספרתי לתצורה אותה ניתן יהיה לגלות במקלט. האפנן הינו היחידה בה ממירים את המידע על ידי מיפוי מתאים לצורת הגל הרצויה בפס בסיס - Band Base והכפלה בגל נושא הממיר את אות ה- Base Band לאות בתדר רדיו,.RF לאחר אפנון האות ניתן לשדר את המידע המאופנן דרך האנטנה. בפרק זה נסקור שיטות מיפוי שונות המתאימות לאפנון ספרתי בעזרת צורת גל אחת, יתוארו המשדר והמקלט של שיטה זו ויוסברו המונחים הבסיסיים אותם יש להכיר בעבודה עם מערכת תקשורת ספרתית.. הגדרת אפנון עם צורת גל אחת צורת גל ידועה ויחידה ( )p משמשת לאפנון. היא מופיעה בצורה מחזורית כל התלוי במידע ויוצר את האות המאופנן בעל עוטפת קומפלקסית ()s הנתון על ידי: s ( ) = a p( i ) i i - מקדם קומפלקסי נושא מידע R = - זמן סימבול מידע, כלומר p() ( i ) - צורת הגל p - סימבול ערוץ i משדר אשר מבצע אפנון עם צורת גל אחת הינו מהצורה הבאה: הינו קצב הופעת סימבולי ערוץ.ומוכפלת באיבר בסדרת מידע S P m Mapping p() s( ) מיפוי - Mapping אשר ממיר את המידע ל- δ ( i ) מעבר אות רציף ב- band ע"י מסנן אשר תגובתו להלם הינה - Base p( ) על ידי מיפוי מתאים המעביר את המידע לייצוג של אמפליטודת האות, המידע מועבר להצגה בתצורת ()p תתקבל רכבת צורות הגל לאחר מכן מוכפל המידע ברכבת הלמים ) i, δ ( כך שביציאת המסנן מוכפלות במקדמים
()s, באופן הפעולה המתואר: ~ כדי לשדר את האות יש להכפילו בגל נושא לקבלת אות ה- RF s () מתוך I() cos( ω ) s () Q() ~ s () sin( ω ) ~ () = () cos( ω ) + () sin ( ω ). s I Q כך שמתקבל: מיפוי j = i.( אם המתאים (כאשר מתקיים d j ל- תפקיד המיפוי( Mapping ) הינו המרת המידע הבינארי m המידע המיוצג על ידי הינו בייצוג בינארי האפנון נקרא, M-ary כאשר M הינו מספר הערכים הניתנים d j. לייצוג על ידי.. מאחר והמידע המקורי בעל הייצוג בינארי, לייצוג- : קיים קשר בין טווח הערכים M למספר הביטים m הנדרשים M m = m = log M לדוגמא, אם נרצה לייצג שני ערכי מידע בלבד: = ± נשתמש בביט אחד בלבד לייצוג המידע, כלומר: הינם "" ו-" " ולכן יש לקבוע מראש את המיפוי הרצוי, d i a i d i =m,,=m אך ערכים בינארים של המידע למשל: את המיפוי ניתן להציג על מערכת צירים קומפלכסית, הצגה זו הינה קונסטלצית המיפוי, עבור הדוגמא לעיל מתקבלת הקונסטלציה הבאה: - הנקודות המסומנות הם המקומות בהם המידע המאופנן = ± יכול להמצא. 3
השיטה המוצגת לעיל נקראת.BPSK קונסטלציה: אוסף הנקודות במישור הקומפלקסי. בצורה דומה, אם נרצה לייצג ארבעה ערכים נשתמש בשני ביטים לייצוג המידע, כלומר: =m,,4=m לשם הדוגמא, נניח כי ערכי הינם מהצורה: ± ± j d i בעל שתי הסיביות, כלומר ארבעה ערכים הממוקמים על מעגל היחידה עבור המידע = מהווים קונסטלציה עבור שני ביטי מידע, להלן הקונסטלציה של האפנון המתואר: במקרה זה ניתן לקבוע: d i ai + j "" j "" + j "" j "" השיטה המוצגת לעיל נקראת.QPSK... סוגי מיפויים עבור אפנון בצורת גל אחת המתאים וכל מיפוי ניתן להציג בצורה d i ל- עבור כל שיטת אפנון קיים מיפוי הממיר את המידע הבינארי גראפית לקבלת קונסטלצית המיפוי. קיימות שלוש משפחות עיקריות M-PSK:. M-QAM, M-PAM, כאשר בכל אחת מהשיטות M הינו מספר הערכים הניתנים לייצוג על ידי m הביטים, כזכור מתקיים: m M = m = log M במשפחת (Pulse Ampliude Modulaion) M-PAM מתקבלת קונסטלציה בה ממוקמים הערכים הניתנים לייצוג לאורך הציר הממשי: 4
M-ASK (Ampliude shif Keying) -M/.. - -.. M/ במשפחת (Phase Shif Keying) M-PSK מתקבלת קונסטלציה בה ממוקמים הערכים הניתנים לייצוג לאורך מעגל הממוקם סביב הראשית, לדוגמא עבור 4=M מתקבל: במשפחת Quadreure )מתקבלת Ampliude Modulaion) M-QAM קונסטלציה בה ממוקמים הערכים הניתנים לייצוג בנקודות מוגדרות בכל המרחב, עבור מספר ביטים m זוגי מתקבלת קונסטלציה ריבועית, לדוגמא עבור 4=m: עבור m אי-זוגי מתקבלת קוסטלציה בצורת צלב, לדוגמא עבור 5=m : 5
ריכוז הקונסטלציות (Consellaions) התוצאות עבור m עולה החל מ- =m ועד 6=m : 6
Offse QPSK..3 מיפוי QPSK גורם מעבר דרך הראשית ZC) (Zero Crossing של העוטפת הקומפלקסית כאשר משתנה מופע האות ב-, 8 תכונה זו בעייתית במקלטים לא ליניאריים בגלל תחום הגדול של עוצמת ה אות (התחום הדינמי). דוגמא למעברים דרך הראשית: כדי לטפל בבעיית חציית הראשית (ZC) מוצעת שיטת OQPSK אשר יוצרת הזזה בין המרכיב הממשי של האות I() למרכיב המדומה Q(), ההזזה הינה של חצי זמן סימבול (/) כך שמעבר של 8 כאשר קורה מבוצע בשני שלבים של 9 כל אחד, דוגמא של אות להמחשת המיפוי: ( ) = ( ) s a p i i i בניגוד ל QAM אשר עבורו מתקיים: Q כאשר מרוכב מוגדר על ידי החלק הממשי I והמדומה באופן הבא: 7
a = a + j a I Q i i i באופן כללי יותר מQPSK, עבור Offse QAM,QAM מתקיים : I Q s() = ai p( i) + j ai p i i π/4-qpsk..4 מיפוי זה אף הוא מציע פתרון לחציית הראשית (ZC) על כך שהוא בעל קונסטלציה "מסתובבת", קונסטלצית המיפוי משתנה בזווית של 9 בין סימבול לסימבול כך שלא ניתן במיפוי זה לבצע מעבר דרך הראשית, במיפוי זה הקונסטלציות המתקבלות הינן: בתרשים (a) ו- (b) מתוארים שני המצבים האפשריים בעת המיפוי, מצבים אלה מאפשרים מעברים בין סימבול וסימבול בצורה הבאה בלבד: ניתן להבחין כי בשום מעבר מצב אין מעבר דרך ראשית הצירים, ולכן מיפוי זה ניתן לשימוש במגברים לא לינאריים. 8
a e i π j i 4 p הייצוג המתמטי של המיפוי הינו: ) i ( כאשר מתקבל על ידי המפוי של QPSK רגיל i s() = bi ( j) g( ) i=..5 אפנון Minimum Shif Keying - MSK הגדרה - סוג ראשון של MSK צורת האות בפס בסיס: כאשר g() הוא הפולס הבסיסי המוגדר באחת משתי הצורות: π g() = cos ( ) π g() = sin () אות ה RF בתדר fc הוא j f { } c s %() =Re se () π π π s% () = bicos π fc bi+ sin sinπ fc i= i s () = bi ( j) g ( i) i= j f { } c s %() =Re se () π הגדרת סוג שני של MSK צורת האות בפס בסיס: אות ה RF בתדר f c הוא π π s% () = bicos π fc+ bi+ sin sinπ fc i= צורות הגל, האוטוקורולציה והספקטרום נתונים בציורים הבאים עבור MSK QPSK,BPSK עם אותו קצב מידע כאשר הפולסים של QPSK וBPSK מלבניים: 9
g() BPSK MSK QPSK -/ / R(τ) BPSK R() τ = g() g ( τ) d MSK QPSK
S(f) השוואה בין הספקטרומים השוניםנתונה בטבלה: BPSK QPSK MSK Firs Null / / 3/4 Second Null / / 5/4 Peak Level Relaive o BPSK db.db 3dB Noise Equivalen Bandwidh / / 67/ Firs Sidelobe Level Relaive o Peak -3dB -3dB -4dB Sidelobe Level Decreasing Rae f f f 4
משדר :MSK D = i = i+ D Cos(π/) Sin(π/) Cosπf -sin πf LO מקלט : MSK D k d (k ) Cosπf -sin πf LO Cos(π/) Sin(π/) Compare o D *(-) i D ( k+ ) d (k ) = k s () = A cos( π f + θ ) i i c i.6. דוגמאות אפנון M-QAM בשיטה זאת האות נראה כך:
θ i כאשר A היא האמפליטודה ו היא הפאזה של האות, כאשר משתמשים בצורת פולסים האות יראה כך : s () = A p()cos( π f + θ ) i i c i [, ] s () = A p()cos π f A p()sin π f i i c i c A A = A cosθ = A sinθ i i i i i i A = A + A i i i p() פולסים המוגדרים בתחום כאשר האמפליטודה מוגדרת כך: וגודלה φ (), φ () ולכן ניתן לתארו כך: אות QAM ניתן לבטא כצירוף ליניארי של שני פונקציות אורתוגונאליות s () = s φ () + s φ () i i i φ () = p()cos π fc E p φ() = p()sin π fc E p Ep Ep si = Ai = Aicosθi Ep Ep si = Ai = Aicosθi.φ () φ () ו E p ],.[ ו p() הוא האנרגיה של בתחום הוא גורם מנרמל בפונקציות E p מיפוי ריבועי של (square consellaion) -QAM כמו שביצענו עבור מיפוי PAM את המיפוי הריבועי של QAM נבצע ע"י קוד גריי, רק שכעת המיפוי הוא דו מימדי י על שני הצירים, על ציר I (ממשי) ועל ציר Q (מדומה). ב M-ary כל ביטים ממופים לאות, לדוגמא, עבור 6=m, כלומר 64QAM (לא לפי גריי): m= log M ( ) a = 4b + b + b + j(4b + b + b ) n mn mn+ mn+ mn+ 3 mn+ 4 mn+ 5 4= log 6 דוגמא עבור 6 QAM (לפי גריי):: ביטים ראשונים ממשי. 3
ביטים נוספים - מדומה. מיפוי הביטים(טבלת המיפוי לפי קוד גריי): -3-3 סכמת המיפוי תראה כך: 4 = m b = = 8µ sec 5kbps נתון מידע (משמאל לימין):,, b (-3+3j), (--j), (-j) קצב המידע: = 5kbps המיפוי יראה כך: 4
I() s() - 8 Q() -3-3 s() 3π/4 - - -3π/4 -π/4 איור ב איור א איור א: המיפוי של הסימבולים ע"י קוד גריי, והחלוקה לפי ציר ממשי I וציר מדומה Q. איור ב: החלק העליון האמפליטודה של הסימבול ובחלק התחתון הפאזה..7. צפיפות ספקטרום הספק האות המשודר כאמור, עבור אות מאופנן בעזרת צורת גל אחת ניתן על ידי : s ( ) = a p( i ) i i { } = σ ושונות המידע הינה E{ תוחלת המידע הינה } חוסר תלות בין איברי המידע, E באם תוחלת המידע שווה לאפס ומתקיים i j E כאשר { } = E { a } = j, כלומר: אזי מתקבלת צפיפות הספקטרום Densiy) (Specrum על ידי הביטוי: Φ ss σ = P : ( f ) p( ) כאשר ) f P( הינו התמרת פורייה של הפולס 5
( ) = { ( )} P f F p p() לדוגמא, עבור מלבני () מתקבל P( f ) כפונקצית : sinc A F { p () } 3 3 f כלומר, מתמטית: σ sin ( π f ) Φ ss = P( f ) = A σ π f על ידי התבוננות בספקטרום האות לעיל, ניתן להבחין כי בתדרים התאפסות (Null) בתחום התדר. רוחב סרט האות של האונה הראשית הינו התחום שבין ) I שונה מאפס) מתקבלת נקודת i ל- BW null _ o _ null =, ולכן ( ).3.3. תהליך הקליטה מסנן מתואם p( ) מטרת המסנן המתואם הינה לסנן את האות לפני ההחלטה עבור "מידע" נקלט. למידע אשר נקלט במקלט נוסף רעש כתוצאה ממעבר האות נושא המידע בערוץ. בכדי לפענח את המידע הנקלט יש לקבוע האם האות הנקלט ()p ולכן במקלט ידועה מכיל פולס המייצג מידע ידוע. במשדר הועבר המידע דרך מסנן בעל תגובת הלם צורת הגל אשר מייצג המסנן. על ידי בדיקת ההתאמה (מידת הדמיון - קורלציה) בין האות הנקלט לפולס p ניתן לקבוע אם האות הנקלט אכן מכיל את המידע המיוצג על ידי הפולס. אופן בדיקת ההתאמה בין המידע הנקלט לפולס הינה בעזרת פעולת הקורלציה, כידוע קורלציה (מתאם) ()r לצורת הגל בין שני אותות מספקת את מידת הדמיון בין האותות. פעולת הקורלציה בין האות הנקלט הבסיסית p () הינה: () () ( ) { () ( )} R rp = E r p τ הפעולה המתוארת לעיל הינה קורלציה בין תגובת ההלם בה השתמשנו במשדר p לבין האות הנקלט r פעולה זו מספקת את מידת הדמיון בין האות הנקלט לתגובת הלם המסנן. ניתן להבחין כי הפעולה המוצגת 6
הינה קונוולוציה עם מסנן r() (, p ( ולכן בכדי לבצע קורלציה בין אות נקלט p( ) מספיק לבצע קונוולוציה בין האות הנקלט r( ) לתגובת הלם משוקפת. p ( ) לתגובת הלם רצוייה על ידי העברת האות דרך מסנן בעל תגובת הלם משוקפת. מבוצעת למעשה פעולת קורלציה בין האות למסנן, המסנן בעל תגובת ההלם המשוקפת הינו המסנן המתואם ולכן נקרא לעיתים המסנן המתואם קורלטור. דוגמה לפעולת המסנן המתואם עבור אות נקלט מהצורה הבאה: אם נרצה למצוא את קטע האות מהראשית עד לנקודה המסנן המתואם יהיה מהצורה: נתאים מסנן משוקף עבור קטע האות, תגובת הלם בהעברת אות המידע דרך המסנן המתואם יתקבל אות המוצא הבא: ( ) מתקבל מתאם מירבי בין האות הנקלט לבין תגובת הלם המסנן, ולכן, ע"י משמעות התוצאה היא שבנקודה דגימת מוצא המסנן המתואם בנקודה זו ניתן יהיה לקבוע על ידי סף (hreshold) אם ההתאמה מספיק גבוהה כך שהגל הנקלט תואם את הגל הנוצר על ידי. p 7
.3..3.. תכונות המסנן המתואם תכונה : הגדרת המסנן המתואם ()p התגובה להלם של המסנן המתואם הינה ) ( p τ הגדרה: עבור אות מהאות לתגובת ההלם של המסנן המתואם כולל: שיקוף, צימוד והשהיה. נבחן מקרים פרטיים: ()p ממשי המסנן המתואם הינו:. עבור. p( τ ) עבור. p ( ) המסנן המתואם הינו: τ =.3 דוגמא: תגובת ההלם במקרה של אות מוגבל בזמן, יש לבחור p() המוגבלת בזמן: p ( ) τ = על מנת לקבל מסנן סיבתי. כאשר τ הינו פרמטר המעבר - לאחר ביצוע שיקוף מתקבל: p( ) - לאחר ביצוע השהיה ב- המסנן המתקבל יהיה סיבתי: p ( ) - (SNR).3.. תכונה : מקסימום יחס אות לרעש בדגימת מוצא המסנן המתואם בנקודת הזמן = τ כמתואר: 8
y = SNR. מונה הביטוי הינו הספק האות ללא רעש E ( τ ) n() { } מתקבל מכסימום ביחס אות לרעש המוגדר: ומכנה הביטוי הינו שונות הרעש ללא האות. הוכחה p()+n() () p y p ( ) ( τ ) τ y ( ) = τ h() =τ יחס אות לרעש בזמן = מוגדר כך: S y( τ ) = N τ σ = ( ) ( ) ( ) j π y = H f P f e f df כאשר N σ = H () d E jπ fτ H( f) P( f) e df H ( f) df P( f) df S = N τ N N H ( f ) df H ( f ) df S E N N τ ספקטרום הרעש הוא: לכן לפי אי שוויון :Schwarz 64748 ומכאן יחס אות לרעש בזמן הדגימה: שוויון יתקיים עבור המקרה: 9
H f = kp f e π τ ( ) *( ) j f או במישור הזמן: h () = kp *( τ ) ואז מתקבל : S E = N N τ 3..3. תכונה 3: אוטוקורלציה מוצא המסנן המתואם לאות כאשר נכנס האות ללא רעש היא האוטוקורלציה של האות. כאשר הגדרת האוטוקורלציה של ( )p היא: () = ( ) x R τ p R ( ) ( ) ( ) p τ = p λ p λ δ dλ מוצא המסנן בנקודת הדגימה τ מניב: y () = R( τ ) = R() p = τ p כלומר נקודת השיא של האות. p ( ) p() לדוגמא, עבור מלבני מהצורה: - יתואם מסנן מלבני מהצורה:
p ( ) - ובהעברת האות דרך המסנן המתואם תתקבל קונוולוצית האות עם המסנן: -. R p ניתן להבחין כי ברגע = מתקבל ערך המקסימום, ערך זה הינו ( ( הוכחה: מוצא המסנן המתואם (לפני הדוגם) לp( ) * x() = p() p( ) = p( ) p ( ) d τ λ τ λ λ = p p d = R = R * ( λ) ( λ ( τ)) λ p( τ τ) p() = τ : ובזמן = * ( ) = ( ) ( ) = max( R( ) ) R R R תכונות האוטוקורלציה: 3..4. תכונה 4: מסנן מתואם כקורלטור מסנן מתואם דגום ניתן למימוש בעזרת קורולטורץ הפעולות המתוארות במערכות בציור שוות ערך.
() r p ( τ ) τ y ( ) = τ r () d r() האיור העליון מתאר מסנן מתואם בו המוצא מתקבל על ידי קונוולוציה בין האות הנקלט לתגובת ההלם p*( ) p*( ) של המסנן, האיור התחתון מתאר קורלטור בו מוכפל האות הנקלט באות יחוס השווה ל והתוצאה המתקבלת עוברת דרך אינטגרטור. במערכת עם פולס סופי ניתן להקטין את זמן האינטגרציה למשך זמן הפולס. תכונה 5: ממשיות האות בנקודות הדגימה ברגע הדגימה במוצא המסנן המתואם ללא רעש המתח ממשי, זאת אומרת אין מרכיב מדומה של האות, וזה נכון גם עבור אות קומפלקסי..3..5 תכונה 6: מניעת הפרעה בין סימנית מוצא המסנן המתואם נדגם בכל i שניות כמתואר:.3..6 ap ( τ ) i p*( τ ) = τ, τ+, τ+,... = τ+ i כדי למנוע הפרעה בין סימנית ISI Iner symbol inerference ז"א כאשר פולס נדגם הפולסים האחרים לא מפריעים, נדרוש מהאות לקיים את הדרישה: i = x( τ + i) = i כאשר מוגדר: x() = p() p*( τ )
במילים אחרות צורת הקורלציה חייבת להתאפס כל, כדי לא ליצור הפרעה. משפט: למניעת ISI חייב להתקיים: i= X( f i ) = התנאי לעיל הינו דרישת Nyquis בתדר, בהמרת הדרישה לזמן מתקבלת הדרישה עבור האות: R R p p ( ) = x( ) = ( i ) = x( i ) = sinc דוגמא לאות המקיים את הדרישה לעיל הינו אשר מתואר בציור: 3 3 sinc אך הינו אות אינסופי ולכן לא ניתן ליישמו, על כן מבוצע שימוש באות סופי המתקבל על ידי קיטוע בזמן וקבלת אות מקורב המקיים בקרוב את הדרישה, אות זה שייך למשפחה רחבה יותר המכונה.(RC) Raised Cosine בעל צורה בתדר מלבנית עם החלקה, האות הינו מהצורה: f הגדרתו המתמטית של האות הינה: 3
f ( α) R π f α X ( f) = + cos ( α) R f ( α) R α R ( α) R f המקדם α הינו מקדם העגלת האות,(roll-off) עבור = α מתקבל sinc (כלומר sinc הינו מקרה פרטי של Raised Cosine כאשר = R.( פרמטרי האות: R ( α ) R R ( + α ) f () () x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p = x n δ n = x δ n = x d n= n= ( ) = δ ( ) d n D f f nr ( ) = δ ( ) X p f X f D f X f kr ( ) = ( ) ( ) = ( ) x () = δ () p X ( ) p f = הוכחת המשפט נגדיר כאשר: והתמרת פוריה שלה: לכן ההתמרה היא: אבל לפי דרישת :Nyquis כלומר: 4
= X f kr ( ) ולכן: נסכם את התכונות הספקטרליות בנקודות השונות במערכת: במישור התדר במישור הזמן האות ) p ( הפולס המשודר k) ap ( האות המשודר * ) x() p( ) p ( הפולס במוצא המסנן המתואם k σ התמרת פוריה : ) f P( σ P f X f ( ) = ( ) ( ) התמרת פוריה : f X = ספקטרום : תכונה 7: הסתברות שגיאה מינימלית לאחר מעבר סף קביעת המידע על ידי מתח סף (hreshold) במקרה בינארי במשדר מוסיפים מידע בינארי לפולס, כלומר "" a. במקלט מוסיפים מעגל החלטה לוגי שמחליט אם שודר "" או "" מעגל "" a ו- קיימות שתי רמות ההחלטה הוא בעצם השוואה מול סף מסוים. On-Off Keying a = a, a כאשר = = "", a "" עבור המקרה האנטיפודלי =.(OOK) ו- משפט: המסנן המתואם נותן הסתברות שגיאה מינימלית עבור מעגל הסף. עבור המתחים המייצגים את המידע ו- האפנון מכונה "" a המוצא בנקודות הדגימה ללא רעש: a "".3..7 a p() p( τ ) = v a p() p( τ ) = v "" = τ "" = τ עבור הסתברות שווה של המידע (כאשר (.5=()p()=p נקבע את מתח הסף בין שני ערכי המתח המיצגים את המידע: v h v = + v אם המידע מכיל יותר אפסים (כאשר (p()>p() יש לקבוע את הסף קרוב יותר למתח המייצג את אפס ולהפך. מבנה מעגל ההחלטה במקרה הבינארי נתון כאשר MF מסמן מסנן מתואם: 5
MF = τ v h > < ( ) =v הסתברות השגיאה נתונה על ידי: y τ הוכחה אם נסמן את המתח הנדגם vh vh pe = p() p( v> vh ) + p() p( v< vh ) = p() f( vdv ) + p() f( vdv ) p() f ( v ) + p() f ( v ) = h f ( v ) = f ( v ) h f () v = e πσn f () v = πσn v h v = כדי לקבל מינימום יש לגזור ולהשוות לאפס מכאן: h h v h, p() = p() = עבור מתקבל: פילוגי המתח הנדגם עבור שדור "" ו- "" הינם: e + v ( v v ) σ n ( v v ) σ n () vh v v v pe = f v dv= Q = Q σ σ vh v = v v v pe = Q = Q σ σ והסף נתון על ידי : הסתברות השגיאה היא: כאשר האותות אנטיפודלים מתקיים: ואז הסתברות השגיאה הינה: 6
S E = N N τ כעת ניתן להציב את מתכונה ולקבל עבור אותות אנטיפודלים: E N E pe מאחר ו- = Q = Q N E = E b v v = h b v ומתח הסף הינו = עבור OOK מתקיים: ואז הסתברות השגיאה הינה: v E b pe = Q = Q = Q σ 4N N E מאחר ו- E E b =.3..8 עבור אות בכניסת p() התכונות ללא רעש סיכום התכונות תכונה : הגדרת המסנן p ( τ ) תכונה 3: מוצא המסנן המתואם ללא רעש הינו האוטוקורלציה של, p() ( ) ( ) * p = ) R τ p λ p λ δ dλ תכונה 4: מסנן מתואם ניתן למימוש על ידי קורלטור. תכונה 5: ממשיות האות במוצא המסנן בנקודות הדגימה. = τ.3.3 תכונה :6 מניעת הפרעה בין סימנית.ISI Iner symbol inerference התכונות עם רעש בכניסה: תכונה : מקסימום יחס אות לרעש,,SNR בנקודת הדגימה. תכונה 7: מינימום הסתברות שגיאה בהחלטה לגבי המידע על ידי השוואה לסף (hreshold) של המתח הנדגם במוצא המסנן המתואם. מקלט עבור אפנון בצורת גל אחת המקלט מקבל אות בעל גל נושא בתוספת רעש ולכן על מנת לפענח את האות (לאחר הסרת הגל הנושא) יש להעבירו דרך מסנן מתואם ל-(. )p על ידי דגימת האות המתקבל במרווחי זמן סימבול תתקבל קורלציית האות עם המסנן. על ידי מעגל החלטה ייבחר המידע הספרתי המיוצג על ידי האות האנלוגי. תיאור סכימתי של המקלט בשיטת אפנון עם צורת גל אחת: : 7
() n() r + ^ מעגל p( ) מידע מיפוי הפוך החלטה e jω מסנן מתואם אשר תגובתו להלם הינה p τ ( ) המרת למידע חזרה בוחר את הקרוב ביותר לאות הנקלט דגימה בנקודות τ + i 3.4. מעגל ההחלטה במוצא המסנן המתואם ניתן לקבוע את המידע המיוצג באמצעות האות, קביעה זו מבוצעת במעגל ההחלטה אשר כניסתו הינה מוצא המסנן המתואם ומוצאו הינו המידע הבינארי הספרתי. אם נניח כי *. a k ראינו ( ()p p ( τ אזי ללא רעש במוצא המסנן המתואם בנקודת הדגימה אנו מקבלים את = כי במקרה הבינארי של אותות אנטיפודלים ההחלטה נעשית על ידי השוואה לסף אפס. שיטת ההשוואה לעיל ניתנת להרחבה למקרים לא בינאריים, דוגמא למעגל החלטה במערכת מבוססת מיפוי 8PSK עבור המידע הנקלט r i יש לקבוע לאן שייך המידע הנקלט, לכן יש לחלק את המרחב לתחומים ולקבוע את שייכות המידע לתחום, לדוגמא ניתן לחלק את המרחב באופן הבא: מעגל ההחלטה מחלק לאזורים כך שאם נקלט r i (מסומן בשחור) בתחום הבא: 8
.3.5 מוצא מעגל ההחלטה יהיה. הסתברות שגיאה שגיאה במערכת תקשורת מתקבלת עקב פענוח לא נכון של המידע, לדוגמא כאשר שודר "" ופוענח "". ביצועי המערכת נמדדים על ידי הסתברות לשגיאה כתלות ב- E b N/ כאשר E b הינה אנרגית כל ביט משודר היינו הספק השידור לאורך שהוא זמן הסימבול, N הינה שונות הרעש המהווה מדד לעוצמת הרעש. במערכות תקשורת בעלות אפנון בצורת גל אחת כאשר מפוענח המידע נעשה שימוש בעוטפת האות לפענוח, לכן אם האות הנקלט בתוספת הרעש משנה את עוטפת האות יבוצע גילוי לא נכון של המידע. מאחר ובשיטת אפנון זו רעש גדול יכול לשנות את סימן האות הנקלט או להעלות את עוצמת האות הנקלט באותו סימן, מתקבל כי גבול הסתברות השגיאה עבור רעש חזק הינו.5= b P. להלן גרף המציג את הסתברות השגיאה במערכות בעלות מיפוי : M-PSK 9
k הינו מספר הביטים המייצגים את סימבול הסתברות שגיאה במיפוי M-QAM sj () si המרחק בין שני סימבולים () ו מוגדר כך:.3.6 i j = i j d s (), s () s () s () d () i si = a g () כאשר עבור QAM ולכן המרחק בין שני הסימבולים הוא: ( i) ( j) ( i) ( j) i(), j() = () () = g d s s a g a g d a a E g() האנרגיה של צורת הגל הבסיסית - E g Eg = g () d הסתברות השגיאה של הסימבול היא: 3
d min pe NdminQ N N d min d min כאשר הוא המרחק המינימאלי בין שני סימבולים ו סימבולים במרחק המינימאלי הוא מספר השכנים של אותם i, j; i j ( (), () ) min i j dmin = d s s המרחק בין שתי נקודות מוגדר כך: ( i) ( j) ( i) ( j) p, = d a a a a ניתן לבטא את הסתברות השגיאה של סימבול כפונקצית המרחק בין נקודות קונסטלציה pe NdminQ d pmin N E g N pd min d p min כאשר סימבולים במרחק המינימאלי הוא המרחק המינימאלי בין שני סימבולים ו הוא מספר השכנים של אותם min d d a a () i ( j) p min =, i, j; i j האנרגיה הממוצעת של הסימבול הוא: { } i E = E a E = a E () s g rms g, = () i Esav E a g() d אם מספר הנקודות בקונסטלציה של QAM הוא גדול, נדרש אותו מרחק מינימאלי לכן גם עליו להיות גדול. מהאנרגיה הממוצעת של הסימבול לשמור על 3
pe N Q d E min gav dmin armn ביבליוגרפיה קלסר הרצאות הקורס ד"ר אירה רייכמן Digial Communicaions Peyon Z. Peebles Jr. Prenice Hall Digial Communicaions SKLAR Prenice Hall נספח : חזרה על עוטפת קומפלקסית envelope) (Complex x () a( ) cos( ω + ϕ( ) ) = a()..3 עבור האות הבא: אמפליטודת האות מופע האות הינה עוטפת האות, דרכה ניתן יהיה להעביר את המידע. ( )x בצורה הבאה: ()ϕ אף הוא יכול להכיל ולהעביר מידע. על ידי זהויות טריגונומטריות ניתן להציג את האות ( ) = a( ) cos( ϕ( ) ) cos( ω ) a( ) sin( ϕ( ) ) ( ω ) x sin x,( )ϕ) על ידי הביטוי: בשלב זה נגדיר את העוטפת הקומפלקסית ב- Band :Base ( ) I( ) + j Q( ) a( ) ( ) = Re x( ) I Q ( ) = a( ) cos( ϕ( ) ) ( ) = a( ) sin( ϕ( ) ) כאשר: ( )I מוגדר ע"י הקשר: ( )Q מוגדר ע"י הקשר: מתוך ההגדרה ניתן לקבל את ייצוג האות (התלוי במידע- { } j ω e x ϕ לאחר פיתוח מתקבל המפוע על ידי הייצוג ( ( ( = )x ואמפליטודת אות המידע על ידי הייצוג () x( ) = a, ולכן אם נתייחם אל המידע כאל זוית ואורך של וקטור, נוכל להציג את הקשרים בין התצורות על ידי האיור הבא:..4.5 3
{ ( ) } Im x Q () a( ) ϕ( ) I( ) Re { x( ) } 33