Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Σχετικά έγγραφα
Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

ΑΘΗΝΑ Phone : , Fax: Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

ΦΥΕ14 - ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Προθεσμία αποστολής: 4/7/2006

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3.

ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 5 Απρίλη 2015 Φως - Ατοµικά Φαινόµενα - Ακτίνες Χ

ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΩΝ 2005

Θεωρία Υλικών, 11/2/2011

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. m 2 s. Kg s m

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

Σ Α Β Β Α Ϊ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η. ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρ. Σµύρνης 3, Πλ. Νέου Παγκρατίου τηλ:210/ /

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÈÅÌÅËÉÏ

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

Περι-Φυσικής. Βαθµολογία % E = E max ηµπ(10 15 t 2x )

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µιας από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο = = 3.

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Περι-Φυσικής. Θέµα Α. Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης - Επαναληπτικό ΙΙ. Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % (α) η ϑερµοκρασία του παραµένει σταθερή.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Ξ. Ασλάνογλου Τμήμα Φυσικής Ακαδ. Έτος ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΤΕΣΤ 17. η ελάχιστη δυνατή συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε τα κύµατα να συµβάλλουν ενισχυτικά στο σηµείο Σ και f

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 29 ΜΑΪOY 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

Μονάδες 5 2. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται το

Περι - Φυσικής. ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 5 Απρίλη 2015 Φως - Ατοµικά Φαινόµενα - Ακτίνες Χ. Θέµα Α. Ενδεικτικές Λύσεις

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

α) 0,1 cm/s. β) 1 cm/s. γ) 2 cm/s.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α : α V/m β V/m γ V/m δ V/m

Αγωγιμότητα στα μέταλλα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΘΕΜΑΤΑ Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι δεκτή

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις

ΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης

5ο ιαγώνισµα - Επαναληπτικό ΙΙ. Θέµα Α

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 21 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ÄÉÁÍüÇÓÇ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Transcript:

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 57 80 ATHENS - GREECE ΑΘΗΝΑ 57 80 Phone : +30 20 772-3023, Fax: +30 20 772-3025 Τηλ : 20 772-3023, Fax: 20 772-3025 html://www.physics.ntua.g Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος" Μέρος Ι - Πέµπτη 8/0/07 0:00, ιάρκεια 2 /2 ώρες Θέµα. (α Να γραφτούν οι ιδιοτιµές ενέργειας του τρισδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις για τη ϑεµελιώδη και την πρώτη διεγερµένη στάθµη Ποιός είναι ο εκφυλισµός της πρώτης διεγερµένης στάθµης και ποιές είναι οι δυνατές τιµές του L z για την κάθε ιδιοκατάσταση ; Χρησιµοποιήστε σφαιρικές συντεταγµένες. (ϐ Θεωρήστε µια κατάσταση, η οποία κατά τη χρονική στιγµή t = 0 είναι γραµµικός συνδυασµός της ϑεµελιώδους κατάστασης και της πρώτης διεγερµένης µε L z = 0 του τρισδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή, έτσι ώστε η κάθε µία από αυτές τις καταστάσεις να συµµετέχει εξ ίσου. Ποια είναι η αναµενόµενη τιµή του τελεστή ϑέσης z στην κατάσταση αυτή ως συνάρτηση του χρόνου ; Οι ορθογώνιες συντεταγµένες είναι πιο εύχρηστες σ αυτό το ερώτηµα. Υπόδειξη : Ιδιοσυναρτήσεις του µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή a ψ 0 (x = π exp ( a2 x 2 a, ψ (x = 2 2 2ax exp ( a2 x 2 µω, a π 2 h Θέµα 2. Θεωρήστε µία διηλεκτρική σφαίρα ακτίνας R και απειροστού πάχους, στην οποία έχει κατανεµηθεί ηλεκτρικό ϕορτίο µε επιφανειακή πυκνότητα σ = A cos θ, όπου A σταθερά. (α Γράψετε τη χωρική πυκνότητα ϕορτίου της διηλεκτρικής σφαίρας σε σφαιρικές συντεταγµένες χρησιµοποιώντας την συνάρτηση δέλτα του Diac. (ϐ Υπολογίστε τη σταθερά A έτσι ώστε η ηλεκτρική διπολική ϱοπή της κατανοµής ϕορτίου να ισούται µε p. (γ Προσδιορίστε το ηλεκτρικό δυναµικό και το ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο. Πώς ερµηνεύεται το ηλεκτρικό πεδίο που προσδιορίσατε; (δ Αν η διηλεκτρική σφαίρα περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = ωẑ, υπολογίστε την πυκνότητα ηλεκτρικού ϱεύµατος και το µαγνητικό πεδίο, B, στο εσωτερικό της σφαίρας. Συµπληρωµατικές πληροφορίες Το ϑέµα µπορεί να απαντηθεί µε πολλούς τρόπους. Ολες οι αιτιολογηµένες απαντήσεις ϑα ϑεωρηθούν σωστές. Για διευκόλυνση παρέχονται τα ακόλουθα δεδοµένα: Η γενική λύση της µερικής διαφορικής εξίσωσης Laplace παρουσία αζιµουθιακής συµµετρίας είναι Φ(, θ = [a l l + b l (l+ ]P l (cos θ l=0 P 0 (cos θ =, P (cos θ = cos θ, P 2 (cos θ = 2 (3 cos2 θ, P l (xp l(xdx = 2 2l+ δ l l

Σφαιρικές αρµονικές / x x = 4π Σειρά Fouie µε σφαιρικές αρµονικές l l=0 m= l Y 00 = 4π 3 Y = 8π 3 Y 0 = cos θ 4π 2l + Y lm(θ, φ Y lm (θ, φ l < l+ > 5 sin θeiφ Y 22 = 4 2π sin2 θe 2iφ 5 Y 2 = sin θ cos θeiφ 8π ( Y 20 = 3 2 cos2 θ 2 g(θ, φ = 5 4π l l=0 m= l [ A = ê sin θ θ (sin θa φ A ] [ θ + ê θ φ A lm Y lm (θ, φ A lm = dωylm (θ, φg(θ, φ dωy l m (θ, φy lm (θ, φ = δ l lδ m m Φ Φ = ê + ê Φ θ θ + ê Φ φ sin θ φ sin θ A φ ] [ (A φ (Aθ + ê φ A ] θ Θέµα 3. (α Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας a χωρίς τριβή (σφαιρικό εκκρεµές. Βρείτε τις εξισώσεις του Hamilton για τις γνωστές σφαιρικές συντεταγµένες (θ, φ µε τον z άξονα κατακόρυφο και µε ϑετική ϕορά προς τα κάτω. Να ϐρείτε τη σχέση µεταξύ των θ, θ = d 2 θ/dt 2 όπου υπεισέρχονται και διάφορες σταθερές. Να λάβετε υπόψην σας τη ϐαρύτητα. (ϐ Με χρήση της ϑεωρίας των Hamilton-Jacobi, ϐρείτε την κίνηση µηχανικού συστήµατος που έχει χαµιλτονιανή την H = p 2 q Υπενθύµιση : Η εξίσωση των Hamilton-Jacobi για ένα δυναµικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη χαµιλτονιανή H(q, p, t, είναι : [ ] S(q, t S(q, t H q, + = 0 q t Η εξέταση πραγµατοποιείται µε κλειστά ϐιβλία/σηµειώσεις. Κάθε ϑέµα να γραφτεί σε διαφορετική κόλλα χαρτί. Τα 3 ϑέµατα είναι ισοδύναµα. Καλή επιτυχία.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 57 80 ATHENS - GREECE ΑΘΗΝΑ 57 80 Phone : +30 20 772-3023, Fax: +30 20 772-3025 Τηλ : 20 772-3023, Fax: 20 772-3025 html://www.physics.ntua.g Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος" Μέρος ΙΙ - Πέµπτη 8/0/07 4:00, ιάρκεια 2 /2 ώρες Θέµα. Η Χαµιλτονιανή ενός συµπαγούς περιστροφέα µέσα σε µαγνητικό πεδίο κάθετο στον άξονα των x έχει τη µορφή AL 2 + BL z + CL y. ( Εχουµε παραλείψει έναν όρο που περιλαµβάνει το τετράγωνο του πεδίου. (α Να υπολογιστούν οι ακριβείς ιδιοτιµές της ενέργειας γι αυτή τη Χαµιλτονιανή. (ϐ Υποθέστε τώρα ότι B >> C και χρησιµοποιήστε ϑεωρία διαταραχών δεύτερης τάξης για να ϐρείτε προσεγγιστικές ιδιοτιµές της ενέργειας. Συγκρίνετε µε το ακριβές αποτέλεσµα του πρώτου ερωτήµατος. Υπόδειξη : E (2 n = m n < ψ 0 m H ψ 0 n > 2 E 0 n E 0 m L 2 l, m >= l(l + h 2 l, m >, L z l, m >= m h l, m >, L ± l, m >= h l(l + m(m ± l, m ± > Θέµα 2. Το ηλεκτρικό δίπολο του σχήµατος αποτελείται από 2 µικροσκοπικές σφαίρες µε ϕορτία q(t = ±q 0 cos(ωt σε απόσταση d, που συνδέονται µε αγώγιµο σύρµα. (α Επιβεβαιώστε ότι τα καθυστερηµένα δυναµικά (ϐαθµωτό και διανυσ- µατικό σε µεγάλη απόσταση από το ταλαντούµενο αυτό δίπολο (στη Ϲώνη ακτινοβολίας δίδονται από τις σχέσεις ( cos θ και V (, θ, t = p 0ω 4πɛ 0 c A(, θ, t = µ 0p 0 ω 4π ( cos θ sin [ω(t /c] sin [ω(t /c]ẑẑẑ (ϐ Να αποδείξετε ότι τα πεδία ακτινοβολίας (d << λ << αυτού του δίπολου δίδονται από τις σχέσεις ( sin θ E = µ 0p 0 ω 2 4π B = µ 0p 0 ω 2 4πc ( sin θ cos [ω(t /c] ˆθ cos [ω(t /c] ˆφ

(γ Να ϐρείτε τη σχέση για την ακτινοβολούµενη ισχύ αυτού του δίπολου και να εξηγήσετε γιατί το χρώµα του ουρανού την ηµέρα είναι γαλάζιο. Σχολιάστε την πόλωση αυτής της γαλάζιας ακτινοβολίας. ίδονται : p 0 = dq 0, [ A = ê sin θ θ (sin θa φ A θ φ Φ Φ = ê + ê Φ θ θ + ê φ sin θ ] [ A + ê θ sin θ φ Φ φ (A φ ] [ (Aθ + ê φ (A ] θ Θέµα 3. ίνονται δυο κλειστά συστήµατα A, A 2 αποτελούµενα από N ανεξάρτητα σωµάτια έκαστο. Τα σωµάτια στο A µπορούν να καταλάβουν µια από τις δυο µη εκφυλισµένες κβαντικές στάθµες ( ɛ, ɛ έκαστο. Τα σωµάτια στο A 2 είναι αρµονικοί ταλαντωτές µε hν = 2ɛ. ίνονται : E a = Nɛ/2 και E 2a = cnhν, µε c >>, δεδοµένο. (α Ζητούνται οι ϑερµοκρασίες T a, T 2a των συστηµάτων A, A 2 για τις δεδοµένες αρχικές ενέργειες E a και E 2a. (ϐ Στη συνέχεια ϕέρνουµε τα A, A 2 σε ϑερµική αλληλεπίδραση και Ϲητούνται : (ϐ Η ϑερµοκρασία T του συστήµατος A 2 των ϑερµικά πλέον αλληλεπιδρώντων συστηµάτων A, A 2, όταν επέλθει η ϑερµοδυναµική ισορροπία. Επίσης να συγκρίνετε την T µε την T 2a. (Ποια είναι µεγαλύτερη ;. (ϐ2 Η ενέργεια Ē που ανταλλάξανε τελικά τα ϑερµικά αλληλεπιδρώντα A, A 2. Επίσης να προσδιορίσετε τη µορφή και τη ϕορά ϱοής µεταξύ των A, A 2 της ενέργειας αυτής. ίνονται οι σχεσεις T vs E για τα A, A 2 : Συστηµα : Συστηµα 2: { [ Nɛ E kt = 2ɛ ln Nɛ + E kt 2 = hν { ln ]} [ ]} E2 + hνn/2 E 2 hνn/2 Υπόδειξη : Μπορείτε να αξιοποιήσετε το c >> για απλοποίηση των πράξεων. Η εξέταση πραγµατοποιείται µε κλειστά ϐιβλία/σηµειώσεις. Κάθε ϑέµα να γραφτεί σε διαφορετική κόλλα χαρτί. Τα 3 ϑέµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία 2

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 57 80 ATHENS - GREECE ΑΘΗΝΑ 57 80 Phone : +30 20 772-3023, Fax: +30 20 772-3025 Τηλ : 20 772-3023, Fax: 20 772-3025 html://www.physics.ntua.g Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος" Μέρος ΙΙΙ - Παρασκευή 9/0/07 0:00, ιάρκεια 3 ώρες Απαντήστε σε 3 από τα 6 ϑέµατα Θέµα. Ξεκινώντας από την εξίσωση Diac (iγ µ µ m ψ = 0 δείξτε ότι κάθε µια από τις 4 συνιστώσες του ψ υπακούουν την εξίσωση Klein-Godon ( µ µ + m 2 ψ i = 0, i =, 2, 3, 4 (Υπόδειξη : πολλαπλασιάστε µε γ ν ν Θέµα 2. Ξεκινώντας από την εξίσωση Klein-Godon ( µ µ + m 2 φ = 0, δείξτε ότι αν ορίσουµε ως ρ = i(φ φ t φ φ t, και j = i(φ φ φ φ τότε τα ρ και j πληρούν την εξίσωση συνέχειας ρ/ t + j = 0. Βρείτε τη µορφή των ρ και j για την περίπτωση ελεύθερου σωµατιδίου µε ενέργεια E και ορµή p. Θέµα 3. Ο πυρήνας 8 Li αποδιεγείρεται µε εκποµπή e προς την πρώτη διεγερµένη κατάσταση (E = 2, 9 MeV του 8 Be µε χρόνο ηµιζωής τ /2 = 0, 85 s. Στη συνέχεια η διεγερµένη κατάσταση του 8 Be αποδιεγείρεται σε δυο σωµατίδια-α µε χρόνο ηµιζωής τ /2 = 0 22 s (ϐλέπε σχήµα. (α Ποια είναι η οµοτιµία της διεγερµένης κατάστασης στα 2, 9 MeV του 8 Be. (Το σωµάτιο-α έχει J π = 0 +. J=2 8 Li τ /2 =0,855 s β - (00% 2,9 MeV (τ /2 =0-22 s 2α 0 MeV J=2 J=0 + 8 Be (ϐ Υπολογίστε την ενέργεια διαχωρισµού S n της διάσπασης 8 Li 7 Li + n. ίνονται : M( 8 Li = 8, 02508u, M( 7 Li = 7, 08223u, M(n =, 008920u και u = 93, 49 MeV. (γ Γιατί ο χρόνος ηµιζωής της στάθµης στα 2, 9 MeV είναι τόσο πολύ µικρότερος από το χρόνο ηµιζωής της ϑεµελιώδους κατάστασης του 8 Li;

Θέµα 4. Ακτίνες X µε µήκος κύµατος λ προσπίπτουν σε κρύσταλλο µε εδροκεντρωµένο κυβικό πλέγµα (fcc µε κατεύθυνση [ 0 ] και υφίστανται έντονη σκέδαση Bagg (συµβολή πρώτης τάξης στην κατεύθυνση [ 0 ]. Οι δείκτες Mille δίνονται ως προς το απλό κυβικό πλέγµα (sc (α Από ποια οικογένεια επιπέδων γίνεται η σκέδαση ; Να ϐρείτε τους δείκτες Mille αυτών των επιπέδων ως προς το απλό κυβικό πλέγµα (sc και ως προς το εδροκεντρωµένο κυβικό πλέγµα (fcc. Να σχεδιάσετε ένα τέτοιο επίπεδο. (ϐ Ποια είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων που ϐρήκατε στο (α; (γ Ποια είναι η απόσταση µεταξύ δύο πλησιέστερων γειτόνων στον κρύσταλλο αυτόν (ως συνάρτηση του λ; Θέµα 5. Ξεκινώντας από τη σχέση διασποράς για τη µονατοµική γραµµική αλυσίδα, να δείξετε ότι η πυκνότητα των κανονικών τρόπων ταλάντωσης D(ω είναι ανάλογη του (ω 2 max ω 2 /2. Πώς διαµορφώνεται αυτό το αποτέλεσµα στις τρεις διαστάσεις ; Θέµα 6. (α Ο συντελεστής απολαβής (ενίσχυσης ασθενούς σήµατος ενός ενισχυτή Lase Ρουµπινιού 5 cm µήκους είναι β = 2. Θεωρώντας αµελητέο τον κορεσµό της απολαβής (ενίσχυσης, υπολογίστε τον αντίστοιχο συντελεστή για µήκος κρυστάλλου L = 20 cm (40 ΜΟΝΑ ΕΣ. (ϐ Αυξάνοντας την απόσταση µεταξύ των δυο κατόπτρων ενός MODE LOCKED LASER (LASER µε ΕΓΚΛΕΙ- ΩΣΗ ΡΥΘΜΩΝ (ΤΡΟΠΩΝ τι ϑα συµβεί στις ποσότητες ; (i ιάρκεια παλµού, (ii Χρονική απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών παλµών, (iii Μέση ένταση της ακτινοβολίας κάθε παλµού και (iv ιαφορά συχνότητας µεταξύ δυο γειτονικών ϱυθµών (τρόπων. Εξηγήστε-αποδείξτε τις απαντήσεις σας (60 ΜΟΝΑ ΕΣ. ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΤΑΘΕΡΕΣ : β = exp[σ(n j N i L], G = R R 2 exp [2(β αl] Σταθερά Planck h = 6, 63 0 34 Js, ταχύτητα του ϕωτός στο c = 3, 00 0 8 m/s. Η εξέταση πραγµατοποιείται µε κλειστά ϐιβλία/σηµειώσεις. Κάθε ϑέµα να γραφτεί σε διαφορετική κόλλα χαρτί. Τα 6 ϑέµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία 2