דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא

המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט אוניברסיטת ירושלים הנושא: אינדוקציה מתמטית - אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה הוכן ע"י: נצה מובשוביץ-הדר, המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, הטכניון, חיפה. תקציר: במאמר מוצגות עשר משימות המתמקדות בהיבטים השונים של האינדוקציה המתמטית. רבות מהמשימות הן משימות של פיענוח שגיאות. הרעיון העומד מאחורי בחירת המשימות הוא, ששילובן של משימות אלה בשלבים שונים של לימוד הנושא, עשוי להביא את התלמידים להבנה עמוקה יותר של תהליך ההוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית ולטיפול פחות מכני בהוכחות בשיטת האינדוקציה. כמו כן מובא במאמר רקע מתמטי ומוצג דיון בחשיבותו של עיקרון האינדוקציה המתמטית. בסוף מובאת התייחסותו של עופר ליבה למאמר זה, שהופיעה בעל"ה, 5 עמוד 89. מילות מפתח: אלגברה, אינדוקציה, היסטוריה של המתמטיקה, פיאנו, הוראת המתמטיקה, שגיאות, תפיסות מוטעות, חידות, חידת המטבע המזוייפת. החומר פורסם במסגרת: על"ה 3, אלול תשנ"ג, ספטמבר 993, עמודים 57-66. החומר מכיל בנוסף לעמוד הפתיחה: 4 עמודים.

אינדוקציה מתמטית - אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה מבוא במאמר זה מוצגות עשר משימות המתמקדות בהיבטים המושגיים של אינדוקציה מתמטית. רבות מהמשימות הן משימות של פענוח שגיאות. חלק מהשגיאות נובעות מהדימוי שיש לתלמידים על האינדוקציה המתמטית. שגיאות אחרות נובעות פשוט מיישום מוטעה של עיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה. שילובן של משימות אלו בשלבים שונים של הלימוד עשוי להביא את התלמידים להבנה עמוקה יותר של תהליך ההוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית ולטיפול פחות מכני בהוכחות בשיטה זאת. המשימות יכולות לעורר דיון בשאלות רחבות יותר, עשויים למצוא בהן עניין,...3.4.5 כגון: האם ניתן לקבוע באופן יחיד איברים ראשונים של הסדרה? את האיבר הכללי של סדרה, האם כל השערה אינדוקטיבית שנראית סבירה היא אכן תקפה? איך ניתן להוכיח בעזרת אינדוקציה שלמה כי טענה מסוימת אינה נכונה? שהתלמידים כאשר נתון מספר סופי של מהו התפקיד שממלא המשתנה הטבעי בהוכחות בעזרת אינדוקציה שלמה? כיצד מאתרים בבעיה משתנה שעליו ניתן לבצע את תהליך הוכחה באינדוקציה? האם הבדיקה עבור = היא חלק הכרחי של ההוכחה באינדוקציה?.6 האם הבדיקה עבור =.7 מה קורה כאשר המעבר מ- = היא תמיד קלה ופשוטה? ל- =.8 האם יותר בטוח לבדוק את ההשערה גם עבור אינו אפשרי? =.9.0 האם איננו מניחים, בעצם, את מה שאנחנו רוצים להוכיח? בנוסף לבדיקתה עבור ל- =? האם אפשר להשתמש באינדוקציה מתמטית שלמה להוכחת טענות כדי להוכיח טענות יותר מסובכות הנוגעות למספרים הטבעיים? רקע מתמטי בסוף המאה ה- 9 ניסו המתמטיקאים לתת לאלגברה בסיס מוצק מבחינה מתמטית. המספרים המרוכבים הוגדרו במונחים של מספרים ממשיים, והממשיים התבססו על ההגדרה של המספרים הרציונליים. המספרים הרציונליים הוגדרו כזוגות סדורים של מספרים שלמים והמספרים השלמים הוגדרו על ידי קבוצת מספרים יסודית יותר קבוצת המספרים הטבעיים N, אותם המספרים שכל ילד לומד כחלק טבעי של שפת אמו. היה אם כן צורך לבסס מבחינה מתמטית את המספרים הטבעיים. המתמטיקאי האיטלקי ג'וספה פיאנו (858-93 Peao, (Giuseppe נחשב, בדרך-כלל, לראשון אשר נתן להישג הנזכר של המאה ה- 9, ביסוס אקסיומטי למערכת המספרים הטבעיים,,N ותרם בכך הישג שנתן למתמטיקאים תחושה רבה של בטחון בנוגע לעקביות מאמר זה הוכן על פי מאמר באנגלית שהופיע בשם: N. Movshovitz-Hadar (993): Mathematical Iductio - a Focus o the Coceptual Framework, School Sciece ad Mathematics. Vol. 93, o. 8, pp. 408-47. תודתי נתונה לד"ר אורית זסלבסקי, לגב' מרים עמית, למר אלכס קופרמן, לגב' בת-שבע שכטר ולד"ר אלה שמוקלר על הערותיהם המאירות. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

של המתמטיקה, המודרני היא זאת:.(Eves, 983, p. 40). אם. שייך ל- N. שייך ל-, N אזי S() גם הוא שייך ל- N, המערכת של חמש (כאשר S. (S(x) = x+ לא קיים 3. 3. S() = כך ש- N השייך ל- ו- m לכל.4 השייכים ל- N השוויון S() = S(m) האקסיומות היא פונקצית העוקב: גורר בהכרח ש-. = m.5 A אזי של פיאנו בניסוחן אם A היא קבוצה חלקית של N המכילה את, ולכל השייך ל- A גם S() שייך ל- A, מתלכדת עם N. האקסיומה החמישית ידועה כעיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה. ראוי לשים לב לכך שהיא עוסקת בתת-קבוצות של קבוצת המספרים הטבעיים. בספרי לימוד רבים מוצג עיקרון האינדוקציה השלמה (עא"ש) המתמטית (עא"מ) בדרך שונה, תוך שימוש בלשון של פסוקי אמת וטענות הנוגעות למספרים הטבעיים, למשל כך: הטענה "לכל טבעי "P() (כאשר P() היא תבנית פסוק במשתנה יחיד ) היא משפט, אם מתקיימים שני התנאים: א. ב. הטענה נכונה עבור. = מההנחה שהטענה נכונה עבור k), = k מסוים כלשהו), נובע כי הטענה נכונה גם עבור. = k + הלוגיקן האמריקאי בן זמננו ליאון הנקין Heki) (Leo גורס כי לניסוח הקבוצתי של עיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה, במונחים של תורת הקבוצות, יש יתרונות רבים מבחינה פדגוגית.(Heki,96) למרות זאת, רבים משתמשים בניסוח הפסוקי של עיקרון האינדוקציה, שמטבעו הינו יותר פרוצדוראלי ולכן נראה, כביכול, נוח יותר ליישום עיקרון האינדוקציה למטרות של הוכחת טענות. בהתאם לכך, כדי להוכיח את המשפט: לכל,P() א. ב. צריך: להראות כי P() הוא פסוק אמת. (כלומר, שייך לקבוצת האמת של.(P() טבעי נכונה הטענה להוכיח כי לכל מספר טבעי מסוים k, אם P(k) הוא פסוק אמת אז בהכרח גם ( + P(k הוא פסוק אמת. (כלומר, אם k שייך לקבוצת האמת של P() אז גם + k שייך אליה). השלב הראשון ידוע כשלב הבדיקה והשני כ שלב המעבר. לאחר השלמת שני השלבים האלה בהצלחה ניתן להסיק, לאמיתו של דבר, בהסתמך על עא"ש, כי הטענה P() נכונה לכל טבעי. הסקה זאת היא, יישום שרשרתי אינסופי של עיקרון ההיסק היסודי הידוע בשם: Modus Poes (אורח החשיבה, אז A "אם בלטינית). כלל היסק זה מאפשר להסיק את B מתוך משפט התנאי ()P מתוך "אם ()P בצורה זו מסיקים את נכונותה של הטענה A. כאשר נתון B", 3 לפי הגדרות אחרות של קבוצת הטבעיים למשל זו של,Cator גם 0 נחשב למספר טבעי. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

3,k = אז ()P", שנכונותה מובטחת משלב המעבר עבור נכונותה של ()P. מכיוון ששלב הבדיקה מבטיח את בהמשך מסיקים את (3)P מתוך ()P, שהוסקה קודם, ומתוך "אם ()P אז (3)P", מובטחת על ידי שלב המעבר עבור שנכונותה (3)P ומ- "אם (3)P מ- (4)P באופן דומה מסיקים את k. = אז (4)P" וכו'. תהליך זה ניתן לדמות לטור של אבני דומינו העומדות זו לאחר זו. אם האבן הראשונה תיפול ואם המרווחים בין כל שתי אבנים סמוכות יהיו קטנים יותר מאורך האבן, אז מובטח שכל אבן תפיל את האבן הבאה אחריה. ההבדל הוא, כמובן, ששרשרת ההיסקים, שלא כמו שורת אבני הדומינו, היא שרשרת אינסופית. התהליך מתואר באופן סכמאטי בשרטוט. P() P() P() P() P() P(3) P(3) P(3) P(4) P(4) M P( k) P( k) P( k+ ) M לכל P(), שרטוט מס' : אינדוקציה מתמטית - שרשרת אינסופית של מודוס פוננס Poes) (Modus כל עוד אנו עוסקים בהוכחת טענות הקשורות לסדרות וטורים פשוטים, לא מתגלים קשיים מיוחדים בתהליך הביצוע של שני שלבי ההוכחה ההכרחיים לשם יישום עיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה. תהליך הביצוע נעשה יותר קשה ומסובך ככל שהטענה שייכת לתחום מתקדם יותר או כאשר היא פחות סטנדרטית. הדבר נובע מכך, שמבחינה מושגית, אינדוקציה מתמטית היא נושא מורכב, אשר רק לעיתים רחוקות משקיעים בו מחשבה ומקדישים זמן להרהר בו לאחר ההוצאה לפועל של שני השלבים ההכרחיים. חוקרים רבים דנו בהרחבה בקשיים הכרוכים בשיטת הוכחה זאת: Dubisky (986, 990), Erest (984), Heki (960), Fischbei ad Agel. (989), Lowethal ad Eiseberg (99) נסתפק כאן באזכור של שלוש עובדות שתורמות לקשיים:. הטענה P() היא בדרך כלל בעצמה משפט תנאי, ולכן השלב השני של האינדוקציה המתמטית (שלב המעבר) מורכב מבחינה לוגית מטיפול במשפטי-תנאי בשתי רמות, המקננות זו בזו. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

4 קיים דמיון רב בין ההנחה הכלולה במשפט התנאי שבשלב השני של האינדוקציה P(k)) הוא פסוק אמת), לבין הטענה הכללית P()) נכונה לכל ). כתוצאה מכך אצל תלמידים רבים מתקבל הרושם של מעגליות בהוכחה. טענה ניתנת להוכחה באינדוקציה רק אם היא בעלת הצורה: "לכל,"P(), כלומר רק אם היא מכילה בגוף הטענה את המשתנה. לעיתים קרובות די קשה לזהות את המשתנה שעליו יש ליישם את האינדוקציה, מפני שהטענה מנוסחת בצורה שאיננה מוליכה לכך ישירות. (ר' למשל משימה 4)...3 עשר המשימות שלוש המשימות הראשונות נועדו להביא את התלמידים להתעמקות באופי הדדוקטיבי של עיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה, ולהבחנה בינו לבין השיטה האינדוקטיבית שעליה מבוססים מדעי הטבע. משימה שאלה לדיון: האם ניתן לקבוע באופן יחיד את האיבר הכללי של סדרה, כאשר נתון מספר סופי של איברים ראשונים של הסדרה? בעיה לפתרון: א. ב. חמשת האיברים הראשונים של סדרה עליך למצוא ביטוי עבור האיבר הכללי a נתונים כדלקמן: a =, a = 4, a 3 = 8, a 4 = 6, a 5 = 3. a עליך למצוא ביטוי נוסף עבור האיבר הכללי, a הנה שלושה כללים שונים לבניית הסדרה הנתונה : a = ( )( )( 3)( 4)( 5) + שונה מזה שמצאת בסעיף א'. a = ( )( 4)( 9)( 6)( 5) + a = si (π) + למעשה, בכל מקרה ניתן למצוא יותר מתבנית אחת לאיבר הכללי של סדרה סופית, כאשר נתונים רק איברים ראשונים אחדים. מומלץ, לכן, שכאשר נותנים לתלמידים לפתור בעיה בנוסח של "יש להמשיך את הסדרה...", שקיים יותר מפתרון אחד. כל פתרון ייבדק בקפידה ותשומת ליבם של התלמידים תופנה לכך כל השערה לגבי האיבר הכללי היא נכונה, הנתונים כראשונים מספקים אותה כמקרים פרטיים. אם האיברים כמובן, נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

5 משימה שאלה לדיון: בעיה לפתרון: א. ב. ג. ד. ו. ז. האם כל השערה אינדוקטיבית שנראית סבירה היא אכן תקפה? מהו הערך של הביטוי שקיבלת? 3 + 3 + 3 איזו השערה עולה מהתוצאות של חלק א'? עבור האם השערתך נכונה גם עבור שבעה המקרים הבאים : האם קיימת דוגמה נגדית להשערתך בין המקרים הבאים:? =,,3,...,7 ה. מה הרגשתך? האם ההשערה שניסחת נכונה לכל טבעי?? = 8,9,0,...,4? = 5,...,0 מהו המשותף לתוצאות למען הביטחון, לפני שניגש להוכחת ההשערה, כדאי לבדוק גם עבור = ו- =. מה דעתך על התוצאות שהתקבלו לששת הסעיפים הקודמים? נכונות מתמטית מבוססת על פתרון לוגי ולא מ- על בדיקה אמפירית של מספר סופי של מקרים פרטיים. הביטוי האלגברי המופיע במשימה זאת נותן מספרים ראשוניים עבור הצבה של ערכי ועד, אבל הוא לא מייצר מספרים ראשוניים בלבד, כפי שאולי מתפתים לשער. עבור = מתקבל מספר פריק: 3. + 3. + 3 = 3. (66+) לבנטל ואייזנברג (99) מצטטים מתוך הספרות דוגמה מפתיעה עוד יותר האומרת כך: הטענה: "המספר 4 + שהיא נכונה לכל טבעי מ- עד הנתון הוא מספר שלם, אינו שלם עבור כל,0 5 הוא (על פי :(Davis, 98 97 397 08 טבעי", אינה נכונה, על-אף העובדה כולל. המספר הטבעי הראשון שעבורו השורש הריבועי 30 693 385 3 765 657 אף כי קשה להפוך דוגמה זו למשימת גילוי, הדוגמה מעניינת וכדאי להציגה בפני התלמידים לאחר העבודה על משימה מס'. משימה 3 שאלה לדיון: איך ניתן להוכיח בעזרת אינדוקציה מתמטית שלמה כי טענה מסוימת אינה נכונה? בעיה לפתרון: להלן שני פתרונות הסותרים זה את זה לשאלה הבאה: האם לכל טבעי נכון האי-שוויון הבא: 3 5 K 4 6 K ( ) ( ) עליך לקרוא בעיון את שני הפתרונות ולהחליט האם אחד מהפתרונות נכון, ואם כן איזה? נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

6 הפתרון של תלמיד "א" כדי להוכיח את הטענה מספיק להוכיח את האי-שוויון החזק יותר 35 ( ) 4 6 + נוכיח אי-שוויון זה באינדוקציה על א) עבור = אגף שמאל שווה ל- ואגף ימין שווה ל-. 3 נניח שהטענה נכונה עבור = k (k מסוים כלשהו) כלומר 35 ( k ) 4 6 k k + הפתרון של תלמיד "ב" עבור = אגף שמאל שווה ל- ואגף ימין שווה ל - לכן האי-שוויון מתקיים < נניח שהטענה נכונה עבור = k (k מסוים כלשהו) כלומר 35 ( k ) 4 6 k k ( ) צריך להוכיח שעבור + k = מתקיים 35 ( k )( k + ) 4 6 k k + k + ( ) על פי ההנחה נובע כי: 35 ( k )( k + ) k + = 4 6 k ( k + ) k ( k + ) ( k + ) = = k(k + ) ( k + ) 4k + 4k + = > 4k + 4k ( k + ) ( k + ) תוצאה זאת עומדת בסתירה לטענה שאותה צריך להוכיח, מכאן שהטענה אינה נכונה. ( ) צריך להוכיח שעבור + k = מתקיים 35 ( k )( k + ) 4 6 k ( k + ) k + 3 על פי ההנחה נובע כי: 35 ( k )( k + ) 4 6 k ( k + ) k + = k + k + ( ) k + k + = = < ( ( k + )) 4k + 8k + 4 k + < = 4k + 8k + 3 k + = = (k + )(k + 3) k + 3 לכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל הפתרון של תלמיד "ב" הוא לא רק טיפול לא עקבי באי-שוויונים. הוא מעלה גם שאלה חשובה לגבי ההוכחה בעזרת אינדוקציה מתמטית ומבליט את ההבדל בין הוכחת נכונותה של טענה לבין הפרכתה בעזרת אינדוקציה מתמטית. בעזרת אינדוקציה מתמטית ניתן להוכיח כי טענה מסוימת נכונה לכל טבעי. כדי להפריך טענה מסוימת, כלומר, כדי להוכיח כי לא לכל טבעי טענה מסוימת היא נכונה, יש למצוא דוגמה נגדית, או להוכיח זאת בדרך אחרת. אינדוקציה מתמטית נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

ל( 7 יכולה לסייע לכך רק במקרים נדירים. מסוימת אינה נכונה, אך זו, בעזרת אינדוקציה ניתן להוכיח כי לכל טבעי טענה כמובן, טענה חזקה יותר מאשר "לא לכל טבעי הטענה נכונה". מה היה קורה אם תלמיד "ב" היה מצליח להוכיח בדרך נכונה שאכן P(k) גורר את השלילה של ( + P(k? במקרה כזה נכון היה להסיק שלא לכל טבעי הטענה P() נכונה. יש אולי ערכים של שעבורם הטענה נכונה, אך הדבר אינו הכרחי כי יש אולי ערכים אחרים שעבורם היא לא נכונה. (לדוגמה, פרוט נוסף ר' הטענה: כי לכל טבעי 5 +.(Movshovitz-Hadar (99) מתחלק ב- 3 ). כדאי לשים לב גם לכך שבעזרת אינדוקציה מתמטית קשה להוכיח ישירות את הטענה המקורית, אך ניתן להוכיח בקלות טענה חזקה יותר! (הפתרון של תלמיד "א"). קופרמן (990) מסביר עובדה פרדוקסאלית זו בכך שהאי-שוויון המקורי "נושא פחות אינפורמציה" מאשר האי-השוויון החזק יותר. כאשר מוכיחים את הטענה עבור + k = מסתמכים על ההנחה שהטענה נכונה עבור k. אם טענה זו "חלשה מדי", היא לא מספיקה כדי לאפשר את המעבר משלב מביא עוד דוגמה נוספת מאותו סוג: קל להוכיח בעזרת אינדוקציה שלמה כי לכל טבעי מתקיים: k לשלב +.k קופרמן + + + K + 3 אבל אי אפשר להוכיח באינדוקציה את הטענה החלשה יותר (הנובעת, כמובן, מהקודמת) כי לכל + + + K + 3 < טבעי שתי המשימות הבאות - משימות 5, 4, מיועדות לבדוק את יכולתם של התלמידים ליישם את עיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה בפתרון בעיות בלתי-שגרתיות. משמשת גם רקע למשימה 0 שבהמשך. משימה 4 שאלה לדיון: העבודה על משימה 4 מהו התפקיד שממלא המשתנה הטבעי בהוכחות בעזרת אינדוקציה שלמה? כיצד מאתרים בבעיה משתנה שעליו ניתן לבצע את תהליך ההוכחה באינדוקציה? בעיה לפתרון: א. ידוע כי בין מטבעות שנראות זהות, יש אחת מזויפת (קלה יותר). מהו המספר הקטן ביותר של שקילות במאזניים שמאפשר להבטיח את גילויה של המטבע המזויפת? ב. כדאי לך בשלב זה לחקור את הבעיה באופן אינדוקטיבי, על ידי סדרת מקרים פרטיים. ג. איך אפשר להכליל את התוצאות של חלקים א' ו- ב' למספר כלשהו m מקיים: 3 - <m 3 כאשר 3,... =,,. של מטבעות, אשר נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

8 את החקירה של מקרים פרטיים בחלק ב', אפשר להתחיל במספר קטן מאוד של מטבעות. למשל, כאשר יש שלוש מטבעות מספיקה שקילת מאזניים אחת. שמים מטבע אחת על כל כף ורואים, אם הכפות מאוזנות, אזי המטבע המזויפת היא השלישית. ואם לא, אז הקלה מבין השתיים היא המזויפת. עבור ארבע מטבעות נחוצות שתי שקילות, וכך גם עבור כל מספר של מטבעות עד תשע, כולל. כדי להיווכח בכך, צריך לחלק את המטבעות לשלוש קבוצות כך שבשתיים מהן יש מספר שווה של מטבעות, ומספר המטבעות בשלישית שונה לכל היותר באחד. חלוקה כזאת אפשרית לכל מספר של מטבעות (מדוע?). שמים את שתי הקבוצות שוות המספר על שתי כפות המאזניים ורואים: אם הן מתאזנות, המטבע המזויפת נמצאת בקבוצה השלישית. ואם לא, המטבע המזויפת נמצאת בקבוצה הקלה יותר. בכל מקרה מספר המטבעות בכל קבוצה הוא שלוש או פחות, ולכן שקילה אחת נוספת תגלה את המטבע המזויפת. לעשר עד עשרים ושבע מטבעות נחוצות שלוש שקילות. השיטה היא דומה ונשענת באופן רקורסיבי על המקרה הקודם של ארבע עד תשע מטבעות. המחקר האינדוקטיבי מוביל להשערה שמספיקות בדיוק שקילות כדי לגלות מטבע מזויפת בין m מטבעות כאשר m הוא מספר טבעי המקיים: 3. - 3 m> כדי להוכיח זאת, משתמשים בעיקרון האינדוקציה המתמטית השלמה. שלב הבדיקה כבר בוצע בחלק א'. שלב המעבר אומר: נניח ש- k שקילות מספיקות לגילוי המטבע המזויפת מבין m מטבעות באשר 3 k- < m < 3 k ונוכיח ש- k+ שקילות מספיקות אם k+. 3 k < m < 3 מובן מאליו שהוכחת עובדה זאת היא הרבה יותר תובענית מבחינת המאמץ הקוגניטיבי מאשר הוכחה של טענה פשוטה, משום שמעורבים בה שני סוגים של מספרים טבעיים: (או k) ו- m. משימה 5 שאלה לדיון: האם הבדיקה עבור = היא חלק הכרחי של ההוכחה באינדוקציה? בעיה לפתרון: ג. א. הטענה: נסמן ב- P() את תבנית הפסוק " 7 עבור, = k אזי היא נכונה עבור + k. = ב. האם ניתן להסיק מחלק א' כי לכל טבעי 7 מה דעתך על התוצאות של חלקים א' ו-ב'? 0 מתחלק ב- ". 9 הוכח, כי אם P() נכונה 0 מתחלק ב- 9? תלמידים אשר ייגשו ישירות להוכחת הטענה המופיעה בחלק א' יצליחו בכך כי הטענה אכן נכונה לכל שכן: 0 k+ 7 = 0 0 k 7 = ( + 9)0 k 7 = (0 k 7) + 9 מאידך, אם הם ינסו לבדוק את נכונות הטענה בשביל = או בשביל כל ערך אחר של, הם יקבלו ש- 7 0 אינו מתחלק ב- 9. בעיה זו מדגישה את תפקידו המכריע של שלב הבדיקה בתהליך ההוכחה באינדוקציה מתמטית. בהוכחת משפט התנאי של שלב המעבר? מה קורה כאשר משמיטים את שלב הבדיקה ומתרכזים רק מבחינה לוגית משפט התנאי מ אז (הנחה) ה "אם (מסקנה)" יכול להיות נכון, גם אם ההנחה שלו אינה נכונה. זהו הרעיון הקשה והחשוב של משפט שהוא נכון באופן ריק. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

9 רעיון זה ניתן להמחיש בעזרת הדימוי של טור אבני דומינו, המסודרות כך שהרווחים בין כל שתי אבני דומינו סמוכות הם מספיק קטנים. במצב זה מובטח שכל אבן תיפול רק אם האבן שקדמה לה נפלה. אך יתכן בהחלט שאף אבן לא תיפול, פשוט מפני שהאבן הראשונה בטור זה לא הופלה מסיבה כלשהי. רוס (990 (Ross הציג משימה דומה, שגם בה טענה שנכונה באופן ריק ממלאת תפקיד מרכזי: נסמן ב- P() את הטענה: +5+ הוא מספר זוגי. קל להוכיח שאם טענה זו נכונה עבור כלשהו אזי היא נכונה גם עבור + (איך?) עבור אלו ערכים של הטענה נכונה? מה הלקח שאפשר ללמוד כאן? משימה 6 = שאלה לדיון: האם הבדיקה עבור היא תמיד קלה ופשוטה? טבעי מתקיים השוויון: 3 + + + = 3 ( ) בעיה לפתרון: א. האם לכל ב. האם הטענה נכונה עבור = 6? ג. מהי חוות דעתך מה דעתך על התוצאות שקיבלת בחלקים א' ו- ב'? משימה זו נבנתה בהשראת. Kuth (986) תלמידים שמנסים להוכיח את הטענה בחלק א' באמצעות אינדוקציה מתמטית שלמה, עלולים בהחלט לשגות ולעשות זאת כך: עבור אולם הבדיקה עבור ואילו: 3 = = בהנחה שהטענה נכונה עבור מכאן נובע שהטענה נכונה, = k נבדוק עתה את נכונותה עבור : = k+ + + + + = 3 ( k ) k k( k+ ) 3 3 + = + = k k( k+ ) k k k+ 3 k + לכל = 6 טבעי. (המבוקשת בחלק ב') 30 5 6 מראה מצד אחד: + 6 + + 0 + = נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

0 ולכן לא לכל טבעי הטענה נכונה. 3 6 = 4 3 התוצאות הסותרות של חלק א' וחלק ב' מעוררות את הצורך ללבן את הקונפליקט וליישב את הסתירה, על ידי מציאת השגיאה. תלמידים, שיעבדו על כך, יכולים לגלות כי את הבדיקה יש לבצע עבור =, שכן עבור = 3 השוויון אינו מוגדר. יתרה מזו, עבור = אגף ימין שווה ל- = ואגף שמאל שווה ל-. מכאן נובע שהשלב הבסיסי של ההוכחה באינדוקציה אינו נכון. במקרה זה ראוי לציין כי הבחירה של הערך = 6 בחלק ב' היא שרירותית, ובאותה מידה אפשר היה לבדוק את השוויון עבור כל ערך אחר של. משימות 5,6 התמקדו בחשיבותו של שלב הבדיקה באינדוקציה שלמה. הצביעה על דרך אחרת כדי להדגיש עובדה זו: בת-שבע שכטר (990) קיימות טענות רבות אשר הן נכונות עבור כל המספרים הזוגיים ואילו עבור כל המספרים האי- זוגיים הן אינן נכונות. כדי להוכיח שהטענה נכונה לכל למשל, a b מתחלק ב-,a + b היא טענה כזאת. זוגי, בודקים תחילה את נכונותה עבור המעבר מוכיחים שאם הטענה נכונה עבור (k = k כלשהו) לחילופין אפשר להוכיח את המעבר מ- k. = ל- (+k) k עבור כל בשלב השני אזי היא נכונה עבור (+k). = (זוגי או אי-זוגי) ואז לעורר את השאלה של נקודת המוצא. למרות העובדה שהמעבר משלב k לשלב +k הוא נכון לכל k (זוגי או אי-זוגי), הצעד הבסיסי של האינדוקציה אינו מתקיים עבור באינדוקציה את נכונותה של הטענה עבור המספרים האי-זוגיים. הטענה נכונה ולכן, יחד עם שלב המעבר, מסיקים כי נקודת המוצא היא זאת שקובעת, אם כן, שהטענה נכונה. = ולכן לא ניתן להוכיח לעומת זאת, עבור = a + b מתחלק ב- a b זוגי. לכל משימות 9 8, 7, מדגישות את האופי הכוללני של השלב השני (שלב המעבר) בהוכחה באינדוקציה. המעבר חייב להתקיים לכל ממשפטי התנאי במקום משימה 7 k מסוים שאלה לדיון: מה קורה כאשר המעבר מ- בעיה לפתרון: ללא יוצא מן הכלל, וההוכחה כולה "נופלת". ל- = שאם לא כן = אינו אפשרי? "נשברת" שרשרת ההיסקים א. עליך להוכיח (באינדוקציה מתמטית שלמה) את הטענה: "לכל מספר טבעי אם המקסימום של שני מספרים טבעיים שווה ל- אזי מספרים אלה שווים זה לזה". ב. נניח שהטענה בחלק א' אומנם נכונה. איך אפשר להסיק ממנה שכל המספרים הטבעיים שווים זה לזה? ג. מה דעתך על התוצאות של חלקים א' ו- ב'? נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

משימה זו הוכנה בהשראת (988) Ramsamajh. הוא כתב: "ברשימה זו אוכיח כי כל שני מספרים שלמים חיוביים שווים זה לזה. מכאן נובע מיד כי כל המספרים השלמים החיוביים שווים זה לזה. ברור כי ההוכחה שגויה, אך הטעות מסתתרת כל כך יפה, שגילוי מקומה בהוכחה מהווה אתגר של ממש. תהי P() הטענה הבאה: "אם המקסימום של שני מספרים שלמים חיוביים הוא אזי המספרים האלה שווים זה לזה". נוכיח שהטענה P() נכונה לכל שלם חיובי: עבור = הטענה נכונה, כי אם המקסימום של שני מספרים שלמים חיוביים הוא, אזי הם חייבים שניהם להיות שווים ל -, כלומר הם שווים זה לזה. נניח כי הטענה P() נכונה. יהיו v, u שני מספרים שלמים חיוביים שהמקסימום u = v u שלהם הוא +. אזי המקסימום של ו- הוא. לפי ההנחה ולכן u. = v לפיכך, הטענה P() שעבורו נכונה לכל ערך של P(+), v נכונה. ()P נכונה גם כן, ולכן P() נכונה לכל. כעת ניקח שני מספרים שלמים חיוביים כלשהם y, x ויהי המקסימום שלהם. ( P(היא טענת אמת ולכן. x = y כך הוכחנו כי כל המספרים הטבעיים שווים זה לזה. היכן השגיאה?" יש לשער שתלמידים רבים ייבנו את ההוכחה בצורה דומה. לאחרים אפשר לתת את ההוכחה של ראמסאמאז'. בכל מקרה האתגר הוא למצוא את השגיאה. משימה זו מדגישה את חשיבותו של השלב השני של האינדוקציה - שלב המעבר: אם P(k) אז.P(k+) מעבר זה חייב להיות נכון לכל k טבעי, בלי יוצא מן הכלל. תקלה באחד הערכים מביאה לשבירת השרשרת האינסופית של יישום כלל ההיסק למשפטי התנאי. במשימה 7 שבירת השרשרת מתרחשת במעבר מ- = k ל- k+. = למשל מ- = k ל- =.k על פי שלב המעבר, אנו מניחים ש- ()P נכונה, דבר שגם נבדק בשלב הבדיקה. בהמשך שלב המעבר אנו לוקחים שני מספרים שלמים חיוביים u, v שהמקסימום שלהם הוא, ומתבוננים u = = max(u,v) יתכן שאחד מהם שווה ל-.v וב- ב- u הואיל ו- והשני ל- ואז המספר אפס אינו שלם חיובי ולכן לא נוכל להפעיל את ()P כדי להסיק את ()P.v =, 0 u, v אבל לא רק במקרה זה יש בעיה במעבר, k, אלא לכל אם שני מספרים הם כאלה. שהמכסימום שלהם הוא +k הרי אחת האפשרויות היא ש- = u v = +k, ואז v u, הם זוג מספרים שהנחת האינדוקציה אינה תופסת לגביהם, אף כי המכסימום שלהם הוא k, שכן u אינו מספר חיובי אלא אפס. כאן שבירת השרשרת נובעת לא מכך שמשפט-התנאי אינו נכון k אלא מכך שלא לכל k מתקיים המעבר משלב לשלב k+. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

חשוב להבחין היטב בין הקושי הזה לבין הקושי הכרוך בטיפול במשפטי תנאי שנכונים באופן ריק, משום שההנחה שלהם שקרית. דבר זה הודגם במשימה 6. במשימה הנוכחית פשוט אין הנחה לגבי = 0, שהרי הטענה לא טוענת מאומה לגבי המקרה של שלמים לא-חיוביים. משימה 8?( = ל- (בנוסף = שאלה לדיון: האם יותר בטוח לבדוק את ההשערה גם עבור בעיה לפתרון: א. עליך להוכיח באינדוקציה מתמטית) את הטענה הבאה (באינדוקציה שלמה): יהי a מספר חיובי כלשהו, אזי לכל טבעי : = -. a ב. אם קשה לך להאמין שהמשפט שלעיל הוא נכון, מוכרחה להיות בהוכחה איזו שהיא טעות. מהי? ג. מה דעתך על התוצאות של חלקים א' ו- ב'? גם פיתוחה של משימה זו נעשה בהשראת (986).Kuth הוא כתב: "בהוכחה הבאה חייבת להיות שגיאה. היכן הטעות?". הנה "ההוכחה" שהוא מציג לטענה המופיעה בחלק א' של משימה :8 " עבור =, a - = a - = a 0 = נניח באינדוקציה כי הטענה נכונה עבור,...,,,3 אזי עבור + נקבל: a ( + ) a a = a = = = a ולכן הטענה נכונה עבור + ". מוקד הקושי דומה למוקד הקושי במשימה הקודמת. כאשר בודקים את המקרה הפרטי של שלב המעבר עבור המעבר מ- = ל- = מקבלים: a (+ ) a a = a 0 0, a - = הנחת האינדוקציה אינה מתייחסת ל- - a המופיע במכנה, ולכן אין להניח כי ואי אפשר להסיק שעבור = הטענה נכונה. אלכס קופרמן (990) הציע דוגמה אחרת לאינדוקציה שגויה עם מוקד קושי דומה. טענה: הנגזרת הראשונה של - f(x) = x שווה באופן זהותי לאפס לכל. הוכחה: כאשר = הטענה מתקיימת כי = 0 ( 0 x) ואכן הנגזרת של קבוע היא אפס. כעת נניח כי הטענה נכונה עבור +k,,k..., 3,, ונוכיח את נכונותה נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

3 עבור +k, כלומר עבור הנגזרת של שווה לאפס באופן זהותי. :x k+ כלומר יש להוכיח כי הנגזרת של x k- (x k+ ) = (x x k ) = x x k + x (x k ). (x k+ ) = 0 לפי ההנחה: = 0 x (x k ) = 0, ולכן היכן השגיאה? על המורים להיות מודעים לעובדה כי למידת יתר המדגישה שוב ושוב מוקד קושי זה, יכולה ליצור אצל תלמידים מסוימים את הרושם כי מקור הבעיה הוא תמיד במעבר מ- = ל- = ולכן למען הביטחון כדאי תמיד לבדוק לא רק את המקרה של = אלא גם את = ואולי לעוד ערכים אחדים. זוהי כמובן מסקנה מוטעית. משימה מס' 9 מהווה התנסות מצוינת להמחשת נקודה זו. בספרות המתמטית ניתן למצוא עוד דוגמאות נוספות רבות המציגות הוכחות באינדוקציה המבוססות על הפעלה שגויה של שלב המעבר (ר' למשל פרק מצוין על האינדוקציה המתמטית בספר של (990) Resek.(Fedel ad ברוב המקרים דנות משימות אלו בטענות שמלכתחילה ברור כי אינן נכונות. למשל, ההוכחה שאם בקבוצה כלשהי של נשים יש אשה אחת בהריון, אזי כולן בהריון. טענות אלו אינן דומות בדרך כלל לטענות מתמטיות אופייניות שמוכיחים אותן באינדוקציה. המשימות המוצגות לעיל נראות יותר טיפוסיות מבחינה מתמטית והן דומות בצורתן החיצונית לטענות שבדרך כלל מוכיחים באינדוקציה. משימה 9 שאלה לדיון: האם איננו מניחים, בעצם, את מה שאנחנו רוצים להוכיח? :(Austi 988) בעיה לפתרון: א. לפניך קטע מתוך מאמר של המתמטיקאי אוסטין "בעיה מוכרת מאד היא הבעיה לזהות מבין מטבעות ( ) שנראות זהות, מטבע אחת קלה יותר (מזויפת). לרשותך מאזניים פשוטים שבעזרתם אפשר להשוות משקלן של שתי קבוצות של מטבעות. הבעיה היא למצוא את המטבע המזויפת על ידי מספר שקילות מינימלי. אנשים מעטים יודעים כי ארבע שקילות בלבד, מספיקות לשם כך. נוכיח זאת באינדוקציה מתמטית. עבור = מספיקה שקילה אחת. כעת נניח כי עבור ( ( קיים תהליך של ארבע שקילות לכל היותר ב. ג. שבעזרתו ניתן לגלות בין מטבעות זהות את המטבע המזויפת. כעת נניח שנתונות + מטבעות שאחת מהן מזויפת. נוציא הצידה את אחת המטבעות, נשארו.... " עליך להשלים את הפתרון של אוסטין. האם התוצאה של חלק א' מתיישבת עם התוצאות של משימה 4? האם ההוכחה של אוסטין תופסת גם כדי להראות כי מספיקות 3 שקילות? נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

4 ד. מה עולה מהתוצאות של חלקים א' ו- ב'? מה המסקנה מהם ומחלק ג'? אוסטין ממשיך את פתרונו כך: "נפעיל את התהליך על המטבעות שנותרו, או שנמצא ביניהן את המטבע המזויפת או שלא. במקרה האחרון המסקנה היא שהמטבע המזויפת היא זאת שהוצאנו הצידה בהתחלה. התוצאה נובעת מאינדוקציה מתמטית". סביר מאוד להניח שתלמידים רבים יוכיחו את הטענה בצורה דומה לזאת של אוסטין. אחרי שיעברו על הסעיפים ב' ו- ג' של המשימה, הם יבינו כי חייבת להיות שגיאה בהוכחה, מפני שמצד אחד משימה 4 הבהירה שמספר השקילות הוא פונקציה של מספר המטבעות. מצד שני, ביצוע חלק ג' של המשימה הנוכחית יבהיר שההוכחה של אוסטין בעצם נכונה גם לשלוש שקילות, ואפילו לשתיים. בטענה האחרונה מספר השקילות אינו תלוי במספר המטבעות וכך ברור שחייבת להיות שגיאה בהוכחה של.Austi התלמידים עשויים להרגיש שבמעבר משלב לשלב + הסתמך Austi על ההנחה כי קיים תהליך מיון ל- מטבעות והרי זה בדיוק מה שצריך להוכיח, כלומר יש כאן מעגליות: מניחים מה שרוצים להוכיח. זוהי התקפה טיפוסית על העיקרון הלוגי עליו מבוססת האינדוקציה המתמטית, ואין צורך להוסיף כי התקפה זו חסרה כל בסיס. השגיאה היא אכן במעבר משלב לשלב +, אך להבדיל מהמשימה הקודמת, השגיאה אינה במקרה פרטי מסוים של שלב זה, אלא בשימוש בהנחת האינדוקציה באופן כללי, מבלי לבדוק כי ניתן להשתמש בה. לפי הנחת האינדוקציה קיים תהליך של ארבע שקילות לכל היותר לגילוי המטבע המזויפת הנמצאת בין כל מטבעות, במידה ויש כזאת. אך כאשר מוציאים מטבע אחת מ- + המטבעות ונשארים עם מטבעות, כבר לא ידוע אם המטבע המזויפת נמצאת עדיין בין המטבעות, ולכן לא ניתן להסתמך על הנחת האינדוקציה עבור מטבעות כדי להוכיח ל- +. כאשר עוברים משלב לשלב + יש לבדוק בקפדנות האם ניתן להסתמך על הנחת האינדוקציה, אחרת ניתן להגיע לתוצאות פרדוקסליות כמו זו של.Austi כדי להתגבר על הרושם כי בהוכחה אינדוקטיבית קיימת מעגליות מקובל לסמן את המשתנה הטבעי באות k ולהוכיח את השלב המעבר מ- = k לשלב +k. = ראוי להדגיש שוב בהקשר זה שטענה לא ניתנת להוכחה באינדוקציה אלא אם כן בגוף הטענה מופיע המשתנה. לעיתים טענה נראית כאילו היא ניתנת להוכחה באינדוקציה מפני שהיא פותחת במילים: "כל מספר טבעי". הנה למשל דוגמה שמבהירה את הסכנה שבדבר: טענה: "כל מספר טבעי הוא מעניין (מעניין פירושו שיש לו תכונה ייחודית שלו) הוכחה באינדוקציה: הוא בוודאי מספר מעניין. הוא המספר הטבעי הראשון, הוא הנייטרלי לכפל, הוא היחיד שיש לו בדיוק מחלק אחד ועוד. למרות שזה מיותר, כאמור, נבדוק את הטענה גם ל-. שהוא מעניין. זאת מפני שהוא הזוגי הראשון, הראשוני הראשון, הראשוני והזוגי היחיד, ועוד. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

5 עכשיו נניח שכל המספרים עד k הם מעניינים ונוכיח ש- +k הוא מעניין. ובכן, אם הוא מעניין - גמרנו, ואם הוא לא מעניין אז הוא הראשון והכי קטן שאינו מעניין וזה עושה אותו למעניין. מסקנה: כל המספרים הטבעיים הם מעניינים... בכך הושלמה הבדיקה של שתי ההנחות המאפשרת יישום של עקרון האינדוקציה השלמה והסקה בעזרת חוק ההיסק MP שאכן כל המספרים הטבעיים הם מעניינים... משימה 0 שאלה לדיון: האם אפשר להשתמש באינדוקציה מתמטית כדי להוכיח טענות מסובכות מאלה שהוכחנו עד כה, הנוגעות למספרים הטבעיים? בעיה לפתרון: א. נגדיר סדרה a באופן הבא: a a a = k + + a = = + a k טבעי קבוע כלשהו זוגי a אם אם a אי-זוגי האם נכון שלכל a, k שווה או מפרט, אולי, למספר סופי של איברים בראש הסדרה (מומלץ לבדוק מקרים פרטיים אחדים תחילה) ב. מהי חוות דעתך על התוצאות של חלק א'? בעיה זו מראה כי התכונה שמוכיחים לא חייבת להיות זה בכל המקרים. הסדרה הופכת להיות, בכל מקרה, אבל לא תמיד מאותו מקום. בכל זאת הטענה ניתנת להוכחה באינדוקציה. חשיבותו של עיקרון האינדוקציה המתמטית ההיבטים המושגיים של אינדוקציה מתמטית שהוצגו במשימות שלעיל יכולים לשמש מקור למחשבה עצמית ו/או לדיון קבוצתי על הלוגיקה שמונחת ביסודה של ההוכחה באינדוקציה. כידוע עיקרון האינדוקציה המתמטית מהווה חלק מתכניות לימוד בבתי-ספר תיכוניים ובמוסדות להשכלה גבוהה. לאור בעיות פילוסופיות ופדגוגיות המתעוררות בהוראת האינדוקציה המתמטית ערכו (99) Lowethal ad Eiseberg בדיקה חוזרת על מקומו של פרק זה בתכנית הלימודים, והטילו ספק בחשיבותו. ברצוני לסיים עבודה זו בציטוט מהנקין (96 (Heki, המתרכז בחשיבותה של האינדוקציה המתמטית. אני מקווה כי מילותיו של הלוגיקן הידוע הזה, שזכה ב- 990 בפרס של איגוד המתמטיקאים האמריקאי MAA עבור תרומתו לחינוך מתמטי, 4 יסייעו לשכנע את המורים ואת עורכי תוכניות הלימודים, שלא לנטוש את הוראת הנושא הזה, אלא להיאבק ולחפש דרכי הוראה שיביאו ללמידה משמעותית שלו, למרות הקשיים הכרוכים בכך. הנה דבריו: 4 פרטים נוספים על מפעלו של הנקין ניתן למצוא ב America Mathematical Mothly, vol. 97, Jauary 99 נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

6 Of what real good is this priciple ayhow? you may ask. Of course oe aswer is that it ca be used to establish may geeral statemets about positive itegers... But perhaps you are ot really iterested i geeral statemets about positive itegers. You have heard that mathematics ca be used to build bridges or guide rockets, ad you may woder if mathematical iductio ca be applied to problems i such domais. As a matter of fact there are very few direct applicatios of mathematical iductio to what we might call egieerig problems ; most of these arise i coectio with computatios i the elemetary theory of probability. But i spite of this, mathematical iductio is really of great importace to egieerig, for it eters ito the proofs of a great may of the fudametal theorems i the brach of mathematics we call aalysis - ad these theorems are used over ad over by egieers. Ad yet, to me, the true sigificace of mathematical iductio does ot lie i its importace for practical applicatios. Rather I see it as a creatio of ma's itellect which symbolizes his ability to trasced the cofies of his eviromet. After all, wherever we go, wherever we look i our uiverse, we see oly fiite sets: The eggs i a market, the people i a room, the leaves i a forest, the stars i a galaxy - all of these are fiite. But somehow ma has bee able to sed his imagiatio soarig beyod aythig he has ever see, to create the cocept of a ifiite set. Ad mathematical iductio is his most basic tool of discovery i this abstract ad distat realm. To me, this coceptio gives to mathematical study a sese of excitemet, ad I hope that some of you will carry your study of mathematics to the poit where you too ca experiece the uique excitemet which mathematics affords to its devoted studet." (p. 0). נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

7 רשימת מקורות Austi Keith (988): A Paradox - Four weighig suffice, The Mathematical Gazette, Note o. 7.5, Vol. 7, o. 460, p. 3. Erest, P. (984): Mathematical Iductio: A Pedagogical Discussio, Educatioal Studies i Mathematics, Vol. 5, pp. 73-79. Eves, H. (983): Great Momets i Mathematics After 650, MAA Dolciai Mathematical Expositios, Vol. 7, The Mathematical Associatio of America. Davis, P.J. (98): Are There Coicideces I Mathematics?, America Mathematical Mothly, Vol. 88, pp. 3-30. Dubisky, E. (986): Teachig Mathematical Iductio I, Joural of Mathematical Behavior, Vol. 5, pp. 305-37. Dubisky, E. (990): Teachig Mathematical Iductio II, Joural of Mathematical Behavior, Vol. 8, No. 3, pp. 85-304. Fedel, D. ad Resek, D. (990): Exploratio ad Proof, Addiso Wesley, S.F.(pp. 9-93). Fischbei, E., ad Egel, I. (989): Psychological Difficulties i Uderstadig the Priciple of Mathematical Iductio, i G. Vergeaud et als. (Eds.): Proceedigs of the 3th Iteratioal Coferece for the Psychology of Mathematics Educatio, Paris, Frace, pp. 76-8. Heki, L. (960): O Mathematical Iductio, America Mathematical Mothly, Vol. 67, o. 4, pp.33-338. Heki, L. (96): Mathematical Iductio, MAA film maual o., The Mathematical Associatio of America, Prited by Cushig Malloy, Ic., A-Arbor MI. Kuth, D. E. (986): The Art of Computer Programmig, Vol. : Fudametal algorithms, Addiso Wesley Publishig Compay. p. 8, Ex., 3. Lowethal, F. ad Eiseberg, T., (99): Mathematical Iductio i School: A Illusio of Rigor, School Sciece ad Mathematics, Vol. 9, o. 5, pp. 33-38. Movshovitz-Hadar, N. (99): The Falsifiability Criterio ad Refutatio by Mathematical Iductio, i: Furighetti Fulvia (ed.) Proceedigs of the 5th aual coferece of PME The Iteratioal Group o Psychology of Mathematics Educatio, Assisi, Italy, Vol. 3 pp. 4-48. Risig, G. R., Graham, J. H., Balzao, J. G., Burt, J. M., Kig, A.M. (985): Uified Mathematics Book 3, Houghto Miffli, Bosto. Ramsamujh, T.I.(988): A paradox - All positive itegers are equal, The Mathematical Gazette, Note o. 7.4, Vol. 7, o. 460, p. 3. Ross, K. A. (990): Elemetary Aalysis, Sprigler Verlag, N.Y. (p. 4). קופרמן, א. (990): הערות אחדות על המיסטיקה של אינדוקציה מתמטית, הטכניון - המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, חיפה. שכטר, ב. (990): התנסויות אישיות בהוראת אינדוקציה מתמטית בבית-ספר תיכון, הטכניון - המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, חיפה. נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה

8 תגובתו של עופר ליבה למאמר (על"ה 5, עמוד ( 89 נהניתי מאוד לקרוא את המאמר של פרופ' נצה מובשוביץ-הדר על האינדוקציה המתמטית (על"ה 3, עמ' 57-66). המסר העיקרי אשר משתקף ממנו הוא שצריך גם להבין את האינדוקציה ולא לבצע הוכחות באופן טכני, כפי שהדבר נעשה על-ידי רוב התלמידים (ואשר בא לידי ביטוי בין היתר בניסוחים כושלים). המשימות תורמות בהחלט לחידוד ההבנה, כפי שמבטיחה כותרת המשנה. ברצוני להעיר ולהאיר על נקודות במאמר: א. ב. בניסוח אקסיומות פיאנו, לא מקובל בספרות להגדיר את פונקציית העוקב כך: +,S() = מן הסיבה הפשוטה שרק לאחר שנבטיח את קיום קבוצת הטבעיים (באמצעות האקסיומות) נוכל לעבור להגדרתה של פעולת החיבור (ושל פעולות אחרות). הגדרת פעולת החיבור למשל נעשית ברקורסיה (לאחר ביסוס משפט הרקורסיה) באופן הבא: אם m מספר טבעי כלשהו m + = S(m) m + S() = S(m + ) (הגירסה הנ"ל היא כאשר הוא המספר הטבעי הראשון, שהרי במקומות מסוימים 0 נחשב לראשון). מגדירים באופן דומה את פעולת הכפל ופעולת החזקה במעריך טבעי. ראוי לציין שלאחר מכן מוכיחים את התכונות של הפעולות (קומוטטיביות וכו') באינדוקציה. אשר לדימוי (המצוין) של טור אבני הדומינו, הוא צריך לדעתי להיות מנוסח בצורה הבאה: * אם האבן הראשונה נופלת. * ואם (האבנים מסודרות בצורה כזו ש:) כאשר אבן כלשהי נופלת, היא מפילה את זו שעומדת אחריה. (בלשון האינדוקציה: אם האבן במקום k נופלת, היא מפילה את האבן במקום + k, וזאת בשביל k כלשהו) אזי כל האבנים יפלו. ברצוני להדגיש שכאשר הדימוי מוצג בצורה מדויקת, הוא מובן היטב לרוב התלמידים, וההקשר מקרב אותם להבנה טובה יותר של האינדוקציה. Ederto, Herbert. Elemets of Set Theory, p. 70-7, 79-80. Academic Press, 977. Ayres, Frak. Moder Algebra, p. 30-3. McGraw-Hill, 965. Halmos, Paul. Naive Set Theory, p. 46-5, Spriger-Verlag, 974. מקורות נ. מובשוביץ-הדר (993) אינדוקציה מתמטית אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה