فصل اول حرکت شناسی در دو بعد گالیلئوگالیله: در سال 1581 میالدی به دانشگاه پیزا وارد شد اما در سال 1585 قبل از آن که مدرکی بگیرد از آنجا بیرون آمد. پیش خودش به مطالعه آثار اقلیدس و ارشمیدس پرداخت و به زودی آن قدر یادگرفت که توانست در فلورانس به دانشجویان درس بدهد. در سال 1586 رساله کوتاهی با عنوان ترازوی کوچک نوشت و در آن همان استداللی را بازسازی کرد که معتقد بود ارشمیدس با استفاده از آن توانسته است بفهمد که زرگر سازنده تاج شاهی هرون در ساخت آن فلزی سبک تر از طال را هم به کار برده است. در سال 1589 به استادی ریاضیات در دانشگاه پیزا منصوب شد. در فاصله سال های 1589 تا 159 به باالی برج پیزا رفت و به منظور مردود کردن نظریات ارسطو نشان داد که اجسامی با وزن های مختلف همه با هم به زمین سقوط می کنند. گالیله در سال 159 به استادی کرسی ریاضیات دانشگاه پادوا منصوب شد و در سال 1597 اولین نشانه های دل سپردگی او به نظریه کوپرنیک دیده می شود. در حدود سال 160 گالیله شروع به آزمایش های سقوط اجسام کرد و در سال 1609 موفق به ساخت تلسکوپی با بزرگنمایی 9 برابر شد. ادامه زندگی نامه گالیله را در CD ضمیمه کتاب ببینید. 1
هدف های آموزشی فصل انتظار می رود دانش آموزان با مطالعه این فصل مفاهیم زیر را فرا بگیرند: چگونه حرکت بر خط راست بر حسب سرعت متوسط سرعت لحظه ای شتاب متوسط و شتاب لحظه ای توصیف می شود. نمودارهای مکان بر حسب زمان سرعت برحسب زمان و شتاب بر حسب زمان چگونه تفسیر می شوند. وقتی شتاب ثابت نیست حرکت بر خط راست چگونه تحلیل می شود. مکان جسم در یک بعد و دو بعد چگونه با استفاده از بردار مکان نمایش داده می شود. چگونه با دانستن مسیر جسم سرعت برداری آن تعیین می شود. شتاب برداری چگونه محاسبه می شود. مسیر خمیده یک پرتابه چگونه توصیف می شود. 1 ١ حرکت در یک بعد راهنمای تدریس: دانش آموزان در فیزیک و آزمایشگاه تا حدود زیادی با تحلیل حرکت جسم در یک بعد و معادله های مربوط به آن آشنا شده اند. آنچه این بخش را نسبت به دانسته های قبلی دانش آموزان متمایز می سازد سازوکار برداری است که برای توصیف حرکت به کار رفته است. دانش آموزان باید توجه کنند که گزینش جهت محور مختصات اختیاری است و هنگامی که این گزینش را انجام دادند هنگام تعبیر عالمت کمیت های مختلف حرکت باید به آن نظر داشته باشند. برای آن که بین دانسته های قبلی دانش آموزان و مفاهیم این بخش ارتباط معنی داری برقرار کنید مثال های زیر یا هر مثال دیگری را که مناسب می دانید مطرح کنید. مثال پیشنهادی معادله حرکت جسمی روی خط راست در SI با رابطه زیر بیان میشود: x = t - 4t + 1 الف( بردار مکان جسم را در لحظههای = 0 1,, 3, t ثانیه روی محور x نمایش دهید. ب( نمودار مکان زمان )t x( - آن را رسم کنید.
حل: الف( با توجه به معادله حرکت جسم جدول زیر را کامل می کنیم. t(s) 0 1 3 1 1 1 7 از مقادیر به دست آمده در جدول باال بردار مکان جسم در لحظه های مورد نظر در شکل های الف ب پ و ت رسم شده است. 1 0 1 3 4 5 6 7 )الف( 1 0 1 3 4 5 6 7 )ب( 1 0 1 3 4 5 6 7 )پ( 1 0 1 3 4 5 6 7 )ت( شکل 1 ب( با توجه به مقادیر به دست آمده در جدول نمودار مکان زمان جسم در شکل رسم شده است. 7 6 5 4 3 1 0 1 1 3 t(s) شکل مثال پیشنهادی 3 حل: مسیر حرکت جسم را در مثال باال رسم کنید. با توجه به مقادیر به دست آمده در جدول مثال باال مسیر حرکت جسم در شکل 3 رسم شده است. 1 0 1 3 4 5 6 7 شکل 3 توجه کنید که در شکل ٣ باید مسیر روی محور x رسم شود ولی برای نمایش بهتر مسیر آن را به صورتی که در شکل با نقطه چین نشان داده شده است رسم کرده ایم.
تمرین 1 1 حل: الف( با توجه به معادله حرکت جسم جدول زیر را کامل می کنیم. t(s) 0 1 3 8 3 0 1 با توجه به مقادیر به دست آمده در جدول نمودار مکان زمان جسم در شکل 4 رسم شده است. 8 6 4 0 1 3 t(s) 4 6 8 شکل 4 ب( با توجه به مقادیر به دست آمده در جدول باال بردار مکان جسم در لحظه های مورد نظر در شکل های 5 الف ب و پ رسم شده است. 8 6 4 0 4 6 )الف( 8 6 4 0 4 6 )ب( 8 6 4 0 4 6 )پ( شکل 5 4
x سرعت متوسط راهنمای تدریس: پس از بررسی مفهوم سرعت متوسط خوب است توجه دانش آموزان را به چند قاعده ساده در خصوص سرعت متوسط در امتداد محور x جلب نمایید: هرگاه x مثبت و روبه افزایش باشد یا منفی بوده و در حال کمتر منفی بودن باشد ذره در جهت x+ در حرکت است و vx مثبت است. هرگاه x مثبت و رو به کاهش باشد یا منفی بوده و در حال بیشتر منفی بودن باشد ذره در جهت x- در حرکت است و v منفی است. مثال پیشنهادی و معادله مکان زمان جسمی که روی خط راست حرکت می کند در SI به صورت زیر بیان می شود. x = t 3-4 t + سرعت متوسط متحرک را در 4 ثانیه اول حرکت حساب کنید. حل: مکان متحرک در لحظههای = 0 1 t و 4 = t ثانیه به ترتیب برابر است با: x 1 = * 0-4 * 0 + = m x = * 4 3-4 * 4 + = 114 m در این صورت جابه جایی متحرک در بازه زمانی Δt = 5 s برابر است با: Δx = x -x 1 =114-=11m به این ترتیب سرعت متوسط متحرک برابر است با: v x x 11 = = = 8 ms t 4 تمرین پیشنهادی اتومبیلی روی یک خط راست در راستای جاده ای حرکت می کند. فاصله اتومبیل از یک عالمت توقف در جاده به صورت تابعی از زمان با معادله زیر داده می شود. x (t) = αt - βt 3 که در آن α 1/5= m / s و β 0/05= m / s 3 است. سرعت متوسط اتومبیل را در هریک از بازه های زمانی زیر محاسبه کنید. الف( از = 0 t تا.t = s ب( از = 0 t تا.t = 4 s پ( از t = s تا.t = 4 s پاسخ: الف(.+/8 m/s ب(.+5/ m/s پ(.+7/6 m/s 5
سرعت لحظه ای راهنمای تدریس: نکته مهمی که در این قسمت دانش آموزان باید به آن توجه کنند این است که واژه لحظه در فیزیک با تعریف محاوره ای آن قدری متفاوت است. ممکن است عبارت»تنها یک لحظه طول می کشد«را در مواردی به کار بریم که در واقع منظور یک بازه زمانی کوتاه است. ولی در فیزیک لحظه به هیچ وجه طول نمی کشد و لحظه به یک تک مقدار از زمان اشاره دارد. یافتن سرعت لحظه ای از نمودارt x: - در اینجا فرصتی است تا این موضوع با مثال های بیشتری برای دانش آموزان تبیین گردد. همانطور که در کتاب درسی نیز اشاره شده است در نمودار مکان زمان برای حرکت راست خط سرعت لحظه ای x در هر نقطه با شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه برابر است. بسته به این که شیب خط مماس به چه نحوی باشد سرعت لحظه ای می تواند مثبت منفی یا صفر باشد. شکل 6 این سه امکان مختلف را نشان می دهد. در شکل 6 حرکت یک ذره در واقع به دو شیوه ترسیم شده است: )الف( در نمودار x - t و )ب( در نمودار حرکت. نمودار حرکت مکان ذره در زمان های مختلف را همراه با پیکان هایی که نشان دهنده سرعت ذره در هر لحظه اند نشان می دهد. شیب صفر = 0 x v الف( نمودار x - t شیب منفی ب( حرکت ذره ذره در 0< x است و در جهت x+ حرکت می کند. از t A تا t B بر سرعت خود می افزاید. v x > 0 و از t B تا t C از سرعت خود می کاهد. سپس در t C به طور لحظه ای می ایستد. شیب مثبت v x < 0 هر چه شیب نمودار x - t یک جسم )چه مثبت چه منفی( بیشتر باشد. بزرگی سرعت آن در جهت x مثبت یا منفی بیشتر خواهد بود. از t C تا t D در جهت x- بر سرعت خود می افزاید. و از t D تا t E در جهت x- از سرعت خود می کاهد. شکل 6 6
پرسش پیشنهادی شکل 7 نمودار x - t حرکت ذره ای را در امتداد خط راست نشان می دهد. الف( مقدارهای سرعت ذره v x را در نقطه های R Q P و S از مثبت ترین تا منفی ترین مرتب کنید. ب( در چه نقطه هایی v x مثبت است پ( در چه نقطه هایی v x منفی است ت( در چه نقطه هایی v x صفر است ث( بزرگی سرعت ذره را در نقطه های R Q P و S از سریع ترین تا کند ترین مرتب کنید. شکل 7 پاسخ: الف( S Q P و.R ب( درنقاطی که شیب نمودار مثبت است. پ( در نقاطی که شیب نمودار منفی است. ت( در نقاطی که شیب نمودار صفر است. ث( Q P R و S در جایی که نمودار تندترین شیب )چه مثبت چه منفی( را دارد مقدار سرعت بیشترین و هر جا شیب صفر باشد سرعت صفر است. 7
مثال پیشنهادی معادله مکان زمان متحرکی در SI به صورت x = 8 t - t است. الف( نمودار x - t این متحرک را بین = 0 t و t = 5 s رسم کنید. ب( به کمک نمودار x - t سرعت متوسط متحرک را در این بازه زمانی به دست آورید. پ( سرعت متحرک در لحظه t = s چقدر است حل: الف( نمودار مکان زمان متحرک با استفاده از نقطه یابی در شکل 1 9 رسم شده است. ب( با توجه به نمودار شکل 8 شیب خط OA برابر سرعت متوسط است. به این ترتیب داریم: v x x 10 = = = ms t 5 پ( به دو روش می توان سرعت متحرک را در لحظه t = s به دست آورد. با توجه به نمودار x - t در شکل 8 شیب خط مماس بر منحنی در لحظه t = s صفر است. در نتیجه سرعت متحرک در این لحظه صفر است. روش دوم با استفاده از معادله سرعت متحرک است. در این صورت داریم: v x dx = = 8 4 t dt v x = 8-4 * =0 در نتیجه در لحظه t = s داریم: t(s) 0 0 8 vx 8 4 0 1 6 6 8 4 3 6 4 0 5 10 0 4 6 1 3 4 5 x t(s) 8 10 t A شکل 8 8
تمرین های پیشنهادی اتومبیلی در پشت چراغ راهنمایی ایستاده است. پس از سبز شدن چراغ در راستای جاده مستقیمی به حرکت درمیآید بهطوری که فاصله آن از چراغ با معادل ه x = bt + ct 3 داده میشود که در آن b = /4 m/s و c =0/1 m/s 3 است. الف( سرعت متوسط اتومبیل را در بازه زمانی از = 0 t تا t = 10 s محاسبه کنید. ب( سرعت لحظهای اتومبیل را در = 0 t t = 5 s و t = 10 s محاسبه کنید. پ( این اتومبیل چه مدت پس از شروع حرکت دوباره میایستد پاسخ: الف( 1. m/s ب( ٠ m/s m/s 15 و.1 m/s پ(.13/3 s شخصی از خانه خود خارج شده و در امتداد خط راست شروع به پیادهروی میکند. پس از 5 دقیقه باران شروع به باریدن میکند و شخص به خانه باز میگردد. فاصله شخص از خانهاش به صورت تابعی از زمان در شکل 9 نشان داده شده است. در کدامیک از نقطههای نشان داده شده سرعت شخص الف( صفر است ب( ثابت و مثبت است پ( ثابت و منفی است ت( بزرگی آن رو به افزایش است ث( بزرگی آن رو به کاهش است پاسخ: الف( نقطه.IV ب( نقطه I. پ( نقطه V. ت( نقطه.II و ث( نقطه.III شکل 9 توپی روی خط راستی )محورx ( حرکت می کند. نمودار شکل 10 سرعت این توپ را به صورت تابعی از زمان نشان می دهد. 9
الف( بزرگی سرعت متوسط )مسافت پیموده شده بر زمان( و سرعت متوسط توپ در طی 3 ثانیه نخست چقدر است ب( فرض کنید که توپ به گونه ای حرکت می کرد که آن بخش از نمودار که مربوط به بعد از s است به جای 3+ m/s برابر 3- m/s می بود. بزرگی سرعت متوسط و سرعت متوسط توپ را در این مورد حساب کنید. شکل ١٠ پاسخ: الف( /33 m/s و./33 m/s ب( /33 m/s و.0/33 m/s پرسش پیشنهادی شکل 11 نموداری از مکان ذره روی محور x بر حسب زمان است. الف( در زمان 0= t عالمت مکان ذره چیست ب( آیا سرعت ذره در هر یک از لحظه های t = s t = 1 s و t = 3 s مثبت است یا منفی یا صفر است پ( این ذره چند بار از نقطه 0= x عبور می کند شکل 11 10
تمرین پیشنهادی مکان ذره ای که در راستای محور x حرکت می کند برحسب cm با x = 9/75 + 1/50 t 3 داده شده است که در آن t برحسب ثانیه است. مطلوب است محاسبه : الف( سرعت متوسط درحین بازه زمانی t = s تا.t = 3 s ب( سرعت لحظه ای در t. = s پ( سرعت لحظه ای در t. = 3 s ت( سرعت لحظه ای در t. = /5 s ث( سرعت لحظه ای هنگامی که ذره وسط مکان های خود در t = s و t = 3 s قرار دارد. پاسخ: الف( /85 cm/s ب( 18/0 cm/s پ( 40/5 cm/s ت( 8/1 cm/s و ث(.30/3 cm/s شتاب متوسط و شتاب لحظه ای راهنمای تدریس: یکی از مشکالتی که از نظر درک مفهومی دانش آموزان معموال با آن مواجه اند اشتباه گرفتن مفهوم شتاب و سرعت به جای یکدیگر است. دانش آموزان باید توجه کنند که: سرعت توصیف می کند که مکان یک جسم با زمان چگونه تغییر می کند. همچنین می گوید که جسم چقدر سریع و در چه جهتی حرکت می کند. در حالی که شتاب توصیف می کند که سرعت چگونه با زمان تغییر می کند. همچنین می گوید که جهت حرکت و بزرگی سرعت چگونه تغییر می کند. به خاطر سپردن این گزاره می تواند برای دانش آموزان سودمند باشد که»ارتباط شتاب با سرعت همانند ارتباط سرعت با مکان است.«همچنین گزاره»همان گونه که سرعت آهنگ تغییر مکان با زمان را توصیف می کند شتاب نیز آهنگ تغییر سرعت با زمان را به دست می دهد.«بیانی دیگر از ارتباط این کمیت ها نسبت به یکدیگر است. نمودار شکل 1 نمودار مفیدی برای نشان دادن شتاب های متوسط و لحظه ای است که خالصه ای از مطالب این بخش را در بردارد. 11
شتاب متوسط x یک جسم در جابه جایی در راستای محور x برابر است با شیب خطی که نقطه های متناظر روی نمودار سرعتx ( v av ) برحسب زمان )t( را به هم متصل می کند. شیب مماس بر منحنی v x - t در یک نقطۀ معین برابر شتاب لحظه ای x در آن نقطه است. شیب = شتاب متوسط شکل 1 a x و :v x عالمت جبری هشدار در خصوص عالمت های a x به تنهایی درباره اینکه سرعت جسم رو به افزایش است یا a x را با هم باید کاهش اطالعی به ما نمی دهد. عالمت های v x و مقایسه کرد. هرگاه v x و a x هم عالمت باشند سرعت جسم رو به افزایش است. اگر هر دو مثبت باشند جسم با سرعت رو به افزایش در جهت مثبت x در حرکت است. اگر هر دو منفی باشند جسم با سرعت v x که منفی تر و منفی تر می شود در جهت منفی x در حرکت است و باز هم بزرگی سرعت آن رو به افزایش است. a x دارای عالمت های مخالف هم باشند سرعت اگر v x و a x منفی باشد جسم با جسم رو به کاهش است. اگر v x مثبت و سرعت رو به کاهش در جهت مثبت حرکت می کند. اگر v x منفی a x مثبت باشد جسم در جهت منفی x با سرعت v x که کمتر و و کمتر منفی می شود در حرکت است و باز هم بزرگی سرعت آن رو به کاهش است.برخی از این وضعیت در شکل 13 نشان داده شده اند. )الف( نمودار v x - t ذره ای که روی محور x حرکت می کند. شیب صفر: = 0 x a شکل 13 الف هر چه شیب نمودار v x - t یک جسم تندتر باشد )مثبت یا منفی( شتاب جسم در جهت x مثبت یا منفی بیشتر است. a x شیب مثبت: 0> شیب منفی: >0 x a 1
)ب( مکان سرعت و شتاب ذره روی محورx جسم در 0< x و در حرکت در جهت ( v x 0> ) - x و در حال کاستن از سرعت خود است ( x v و a x دارای عالمت مخالف(. جسم در 0< x بهطور لحظهای ساکن است ) 0= x v) و در آستانۀ حرکت در جهت +x است <0( x.) a جسم در 0> x و در حرکت در جهت v) x 0< ) + x است و سرعت آن بهطور لحظهای بدون تغییر است )0= x (. a جسم در 0> x بهطور لحظهای ساکن است ) 0= x v) و در آستانۀ حرکت در جهت -x است >0( x.) a جسم در 0> x و در حرکت در جهت ( v x 0> ) - x و در حال افزایش سرعت است ( x v و a x هم عالمتاند(. شکل 13 ب )الف( نمودار x - t شیب صفر: =0 x v انحنا به طرف پایین: 0< x a شیب منفی: 0> x v انحنا به طرف باال: 0> x a همچنین در شکل 14 نمودار x - t متحرکی نشان داده شده است که در امتداد محور x در حرکت است. شیب مثبت: >0 x v a x انحنا صفر: 0= شیب مثبت: >0 x v انحنا به طرف باال: 0> x a شیب منفی: <0 x v انحنا صفر: =0 x a شکل 14 الف جسم در 0< x در حال حرکت در جهت v) x 0< ) + x با سرعت رو به افزایش ( x v و a x هم عالمت(. جسم در = 0 x در حال حرکت در جهت v) x 0< ) + x سرعت بهطور لحظهای بدون تغییر) 0 =.) a x جسم در < 0 x بهطور لحظهای ساکن ) 0= x v) و در آستانۀ حرکت در جهت.)a x >0( - x جسم در < 0 x در حال حرکت در جهت v x 0> ) - x ) سرعت بهطور لحظهای بدون تغییر) 0 = x.) a )ب( حرکت جسم 13 جسم در < 0 x در حال حرکت در جهت ( v x 0> ) - x با سرعت رو به کاهش) v x و a x با عالمت های مخالف (. شکل 14 ب
ساده ترین نوع حرکت شتابدار که دانش آموزان در فیزیک )( و آزمایشگاه با برخی از جوانب آن آشنا شدند حرکت راست خط با شتاب است. نمودار شکل 15 می تواند مرور مناسبی باشد بر مفاهیم این حرکت. این شکل نمودار حرکتی است که مکان سرعت و شتاب را برای ذره ای که با شتاب ثابت حرکت می کند نشان می دهد. اگر ذرهای با شتاب a x x ثابت بر یک خط راست حرکت کند. سرعت x آن در بازههای زمانی مساوی به مقدار یکسان تغییر میکند. ولی مکان در بازههای زمانی مساوی به مقدارهای متفاوت تغییر میکند زیرا سرعت در حال تغییر است. شکل 15 تمرین 1 ٢ پاسخ: با توجه به این که شیب خط مماس بر منحنی سرعت زمان برابر شتاب لحظه ای متحرک t( 4 مقدار شتاب t 3 و )t 1 و) است در بازه های زمانی ) 0 و لحظه ای مثبت و در نتیجه بردار شتاب متحرک در t( 3 بردار شتاب t 1 تا جهت محورx است. در بازه زمانی ( متحرک در خالف جهت محورx است. تمرین پیشنهادی شکل 16 نمودار تغییرات شتاب نسبت به زمان یک هواپیما را پیش از برخاستن از روی زمین نشان می دهد. همان طور که دیده می شود شتاب هواپیما در این بازه زمانی چندان ثابت نیست. با این حال می توان فرض کرد که در بازه زمانی صفر تا 18/4 s شتاب آن ثابت و برابر a x = 4/3 m/s ٢ است. الف( سرعت هواپیما در لحظه t = 18/4 s چقدر است )سرعت اولیه هواپیما را صفر بگیرید.( ب( در این بازه زمانی هواپیما چه مسافتی را طی می کند 14
پ( نمودارهای شتاب زمان سرعت زمان و مکان زمان هواپیما را رسم کنید. شکل 16 اطالعات شتاب یک هواپیما پیش از برخاستن پاسخ: الف(.Δ x ~ 78 m ب(.v x ~ 79m/s پ( شکل 17 نمودارهای شتاب سرعت و مکان هواپیما را برحسب زمان نشان میدهد. شکل 17 فعالیت 1 ١ الف( مثبت منفی کندشونده منفی. ب( منفی منفی تندشونده مثبت. پ( منفی مثبت کندشونده منفی. 15
تمرین های پیشنهادی شکل 18 یک ماشین مسابقهای را در حین کاهش سرعت نشان میدهد. اگر کاهش سرعت با شتاب ثابت باشد با توجه به اطالعات روی شکل مطلوب است. الف( شتاب ماشین. ب( جابهجایی ماشین در این بازه زمانی. پ( نوع حرکت ماشین. پاسخ: الف( -5 m/s. ب(. 61/5 m شکل 18 پ( کندشونده. شکل 19 یک قایق تندرو را نشان میدهد که با شتاب ثابت m/s سرعت خود را افزایش میدهد. با توجه به اطالعات روی شکل مطلوب است: الف( سرعت قایق در لحظه t. = 8 s ب( جابهجایی قایق در بازه زمانی )8 و 0 (. پ( نوع حرکت قایق. پاسخ: الف(. m/s ب( + 110 m پ( تندشونده. شکل 19 شکل 0 شکل 1 شکل 0 هواپیمایی را در حال سرعت گرفتن برای بلند شدن از عرشه یک ناوجنگی نشان می دهد. با توجه به اطالعات روی شکل حداقل طول عرشه این ناوجنگی چقدر باید باشد پاسخ: 6 m شکل 1 حرکت موتور سواری را در امتداد مسیری x 1 برابر مستقیم نشان میدهد که شتاب آن در حین جابهجایی +/6 m/s و در حین جابهجایی x برابر -1/5 m/s است. با توجه به اطالعات روی شکل مطلوب است: الف( جابهجایی x ب( نوع حرکت موتور سوار در هریک از جابهجاییهای. x و x 1 پاسخ: الف( 160+. m ب( تندشونده کند شونده. 16
حرکت سقوط آزاد راهنمای تدریس: از آنجا که دانش آموزان در سال دوم با حرکت سقوط آزاد بدون سرعت اولیه آشنا شده اند ضمن یادآوری فرض هایی که الزم است در نظر بگیریم تا حرکتی را بتوان سقوط آزاد نامید با حل چند مثال مختلف به بررسی جسم در حال سقوط آزاد بپردازید. آزمایش نشان می دهد که اگر بتوان اثرهای مقاومت هوارا نادیده گرفت همه جسم ها در یک مکان خاص بدون توجه به اندازه یا وزن آن ها با شتاب تقریبا ثابتی که جهت آن روبه پایین است سقوط می کنند. اگر عالوه بر این مسافت سقوط در مقایسه با شعاع زمین کوچک باشد و اگر اثرهای اندک ناشی از چرخش زمین را نادیده بگیریم شتاب سقوط جسم ثابت است. حرکت آرمانی ای که با فرض های باال نتیجه می شود با آنکه عالوه بر سقوط شامل باال رفتن نیز می شود سقوط آزاد خوانده می شود. تمرین های پیشنهادی سکه ای را با سرعت اولیه 5 m/s روبه باال در امتداد قائم پرتاپ می کنیم. سرعت آن در فاصله 1/04 m از نقط ه پرتاپ چقدر است )شکل ( پاسخ: در مسیر رفت + /15 m/s و در مسیر برگشت. -/15 m/s 17 شکل ٢
توپی را از بام ساختمان بلندی به طور قائم روبه باال پرتاپ میکنید. توپ در نقطهای لب نردههای پشت بام با سرعت روبه باالیی به بزرگی 15 m/s از دست شما رها میشود از آن پس توپ در حال سقوط آزاد است. در راه پایین آمدن توپ درست از کنار نردهها میگذرد. در مکان ساختمان g = 9/8 m/s است. الف( مکان و سرعت توپ را 1s و 4s پس از رها شدن از دستان خود پیدا کنید. ب( سرعت توپ وقتی به فاصله 5 m باالی نردهها میرسد چقدر است پ( ارتفاع بیشینه و زمانی را که توپ به آن ارتفاع میرسد به دست آورید. ت( شتاب توپ در بیشینه ارتفاع چقدر است پاسخ: ابتدا تصویری مطابق شکل 3 )که نمودار حرکت توپ نیز هست( رسم کنید. الف( y = -18/4m و. v y = -4/m/s ب( v y = ± 11/3 m/s عالمت مثبت مربوط به مسیر باال رفتن و عالمت منفی مربوط به مسیر بازگشت است. پ( t = 1/53s و.y = + 11/5 m ت( این یک تصویر نادرست متداول است که حرکت سقوط آزاد در باالترین نقطه سرعت صفر و شتاب هم صفر است. اگر این طور میبود هنگامی که توپ به باالترین نقطه میرسد باید همان جا در میان هوا معلق بماند. از آنجا که شتاب آهنگ تغییر سرعت است اگر در باالترین نقطه شتاب صفر میبود سرعت توپ دیگر تغییری نمیکرد. به این ترتیب شتاب در باالترین نقطه کماکان همان a y = g- = 9/8- m/s است که توپ به هنگام باال رفتن یا پایین آمدن داشته است. شکل 3 مکان و سرعت توپی که بهطور قائم پرتاپ شده است. به منظور روشنی بیشتر مسیر به طرف پایین توپ اندکی از جای واقعی آن به راست جابهجا شده است. نمودارهای مکان و سرعت بر حسب زمان تمرین قبل را رسم کنید. پاسخ: شکل 4 الف نمودار مکان زمان و شکل 4 ب نمودار سرعت زمان را نشان می دهد. 18
)ب( شکل 4 )الف( فعالیت پیشنهادی اگر اثرهای مقاومت هوا که بر قطره های در حال سقوط باران عمل می کنند نادیده گرفته شوند آنگاه می توانیم قطره های باران را مانند جسم های در حال سقوط آزاد بدانیم. الف( ابرهای بارانی به طور نوعی حدود 1500 متر باالی زمین هستند. قطره های باران را به صورت جسم های در حال سقوط آزاد در نظر بگیرید و سرعت بر خورد آنها را با زمین تخمین بزنید. مقدار تخمینی خود را بر حسب m/s و km/ h ارائه کنید. ب( با توجه به مشاهدات شخصی خود از باران سرعت واقعی برخورد قطره های باران به زمین را تخمین بزنید. پ( بر اساس پاسخ هایی که به بخش های )الف( و )ب( داده اید آیا نادیده گرفتن اثرهای مقاومت هوا بر قطره های باران در حال سقوط تقریب خوبی است توضیح دهید. فعالیت 1 این فعالیت در واقع آزمایش ساده ای است که به کمک آن می توان زمان واکنش هر شخص را اندازه گیری کرد. چنانچه برای انجام این آزمایش خط کش بلندتری استفاده کنید انجام آن ساده تر است )شکل 5 (.در یک آزمایش نوعی مقدار h = 0 cm به دست آمده است. در نتیجه زمان واکنش برابر است با 19 1 1 y = y0 gt h = gt h 0 / m t = = = 0 / s g 9/ 8 m/s شکل 5
پرسش های پیشنهادی در حالیکه به نرده های یک پل تکیه داده اید در همان حال که توپی را )بدون سرعت اولیه( رها می کنید توپ دیگری را رو به پایین پرت می کنید. کدامیک از منحنی های شکل 6 سرعت v(t) را برای هریک از حالت های زیر درست نشان می دهد )منحنی های A وB موازی اند به همان ترتیب منحنی های D C و E با هم و منحنی های F و G نیز با هم موازی اند.( الف( توپ رها شده. ب( توپ پرت شده. شکل 6 در شکل 7 یک گلوله که به طور مستقیم روبه باال پرتاپ شده است از سه پنجره به ارتفاع یکسان که در فاصله مساوی از یکدیگر قرار گرفته اند عبور می کند. این پنجره ها را به گونه ای مرتب کنید که کمیت های زیر در ابتدا دارای بیشترین مقدار باشند. الف( بزرگی سرعت متوسط توپ به هنگام عبور از مقابل آنها. ب( زمانی که طول می کشد توپ از مقابل آنها عبور کند. پ( بزرگی شتاب توپ به هنگام عبور از مقابل آنها. شکل 7 0
تمرین پیشنهادی الف( یک توپ باید با چه سرعتی به طور قائم از سطح زمین پرتاپ شود تا به ارتفاع بیشینه 50 m برسد ب( توپ چه مدت در هوا حرکت خواهد کرد پ( نمودارهای v y و a را بر حسب زمان برای توپ رسم کنید.روی دو نمودار اول زمانی را که توپ به ارتفاع 50 m می رسد نشان دهید. پاسخ: الف( 31. m/s ب(.6/4 s 1 دانستنی زمان تعلیق: برخی ورزشکاران توانایی پرش زیادی دارند. چنان مستقیما باال می جهند که گویی با سرپیچی از گرانی»در هوا معلق«اند. اگر از دوستان خود بخواهید که»زمان تعلیق«ورزشکاران معروف را برآورد کنند شاید بگویند زمانی که ورزشکار در هواست و پاهایش از زمین فاصله دارند دو یا سه ثانیه است. اما شگفت آنکه زمان معلق بودن قهرمانان بزرگ همواره کمتر از 1 ثانیه بوده است! زمان طوالنی تر یکی از توهم های بی شمار ما از طبیعت است. توهم دیگر مربوط به ارتفاع عمودی است که یک انسان می تواند بپرد.اغلب همکالسی های شما احتماال نمی توانند بیش از 0/5 متر باال بپرند. آنها می توانند از حصار 0/5 متری بپرند اما برای این کار بدنشان فقط اندکی باال می رود. ارتفاع مانع با ارتفاع»گرانیگاه«کسی که می پرد تفاوت دارد.بسیاری از افراد می توانند از حصاری یک متری بپرند ولی به ندرت کسی می تواند»گرانیگاه«بدن خود را 1 متر باال ببرد.حتی مایکل جوردن Jordan( )Michael ستاره معروف بستکبال در اوج کار خود نمی توانست بدنش را 1/5 متر باال ببرد گرچه به راحتی می توانست به باالتر از ارتفاع 3 متری سبد برسد. بهترین شیوه اندازه گیری قابلیت پرش پرش عمودی ایستاده است. مقابل یک دیوار بایستید و پاهای خود را صاف روی زمین بگذارید و دست های خود را باال ببرید. باالترین نقطه ای را که می توانید به آن برسید عالمت گذاری کنید. سپس باال بپرید و در نقطه اوج خود عالمتی بگذارید. فاصله بین این دو عالمت جهش عمودی شما را نشان می دهد. اگر این مقدار بیش از 0/6 متر باشد استثنایی هستید.
فیزیک مسئله بدین قرار است. وقتی باال می پرید نیروی پرش فقط وقتی اعمال می شود که پای شما با زمین در تماس باشد. هرچه این نیرو بزرگتر باشد اندازه سرعت پرتاپ شما بیشتر است و باالتر می پرید سرعت باالسوی شما بالفاصله با آهنگ ثابت g- یا - 10 m/s کاهش می یابد.اندازه سرعت باالسوی شما در نقطه اوج پرش صفر می شود. سپس شروع به افتادن می کنید و درست با همان آهنگ g شتاب می گیرید. اگر همانطور که باال رفتید ایستاده و با پاهای کشیده فرود بیایید زمان صعود شما با زمان سقوط برابر می شود زمان تعلیق زمان باال رفتن به عالوه زمان پایین آمدن است. وقتی در هوا هستید هیچ گونه باال و پایین بردن دست و پا یا حرکت های بدنی دیگر نمی تواند زمان تعلیق شما را تغییر دهد. رابطه بین زمان باال و پایین رفتن و ارتفاع عمودی به صورت زیر است: 1 d = gt اگر ارتفاع عمودی d را بدانیم می توانیم با تغییر ترتیب این عبارت آن را به صورت زیر درآوریم: d t = g اسپود وب Webb( )Spud ستاره بسکتبال امریکایی رکورددار پرش عمودی ایستاده 1/5 متر در سال 1986 است. 1 این ارتفاع در آن هنگام رکورد جهانی بود. بگذارید از ارتفاع 1/5 m برای d و مقدار دقیق تر 9/8 m/s برای g استفاده کنیم. باحل آن برای t نصف زمان تعلیق به دست می آوریم: d ( 1/ 5m) t = = = 0/ 50s g 9/ 8m/s این زمان را دو برابر کنید )زیرا فقط به یک طرف این رفت و برگشت به باال و پایین مربوط می شود( و مشاهده می کنیم که زمان تعلیق اسپود رکوردشکن 1 ثانیه می شود. در اینجا از حرکت عمودی صحبت می کنیم. اما پرش های در حین دویدن چطور زمان تعلیق فقط به سرعت عمودی شخص در آغاز پرش بستگی دارد. در حال پرواز اندازه سرعت افقی کسی که در حال پرش است ثابت می ماند در حالیکه اندازه سرعت عمودی او شتاب می گیرد. فیزیک هیجان انگیز! شکل 8 ١ مقدارm 1/5 برای d بیانگر بیشینه ارتفاع گرانیگاه قهرمان است نه ارتفاع میله. در تعیین قابلیت پرش ارتفاع گرانیگاه کسی که می پرد اهمیت دارد.
1 حرکت در دو بعد یا حرکت در صفحه راهنمای تدریس: بیشتر حرکت هایی که در پیرامون ما رخ می دهند یا دو بعدی اند و یا سه بعدی. پرواز پرندگان و هواپیماها حرکت توپ در فضا و حرکت بسیاری دیگر از این نمونه ها یا در دو بعد انجام می شوند و یا در سه بعد. در اینجا باید به دانش آموزان گوشزد نمود که برای بررسی این نوع حرکت ها نمی توان از همان روش هایی استفاده کنیم که برای اجسامی که تنها در راستای خط راست حرکت می کردند به کار بردیم. بلکه نیازمندیم که توصیف و بررسی حرکت را به دو و سه بعد تعمیم دهیم. از آنجا که دانش آموزان در فیزیک سال سوم به انداز ه کافی با بردارها و بردارهای یکه و نحوه کار با آنها آشنا شده اند منطقی به نظر می رسد که دانش آموزان بتوانند موضوع های مطرح شده را به خوبی دنبال کنند. مثال پیشنهادی معادله های حرکت متحرکی در امتداد محورهای x و y در SI به صورت زیر است: x = - t و + 1 y = 8 t الف( معادله مسیر این متحرک را به دست آورید. ب( مسیر این متحرک را در صفحه xy رسم کنید. حل: الف( با استفاده از معادله حرکت در امتداد محور x ها داریم: x t = 1 با جایگذاری t در معادله حرکت در امتداد محور y ها خواهیم داشت: 1 x y= 8( ) = x 4x+ ب( با نقطهیابی میتوان معادله مسیر را در صفحه xy رسم کرد. شکل 9 مسیر حرکت این متحرک را نشان میدهد. همانطور که دیده میشود این مسیر یک سهمی است که کمینه آن در x = 1 m قرار دارد. y(m) 0 1 شکل 9 3
مثال پیشنهادی معادلههای حرکت یک گوزن و یک یوزپلنگ )شکل 30 ( درصفحه افقی به ترتیب به صورت زیر است: )در ) SI x = t y = 8t با رسم مسیر این دو حیوان در یک صفحه مختصات نشان دهید آیا یوزپلنگ به گوزن می رسد شکل 30 حل: ابتدا معادله حرکت گوزن را به دست می آوریم: x x t = y = 8( ) = x به همین ترتیب معادله مسیر یوزپلنگ عبارت است از: x x t = y = 1( ) = 3x 4 4 4 / 5m y,y A شکل 31 مسیرهای گوزن )خط پر( و یوزپلنگ )خط چین( را نشان می دهد که به طریق نقطه یابی رسم شده است. همانطور که دیده می شود در نقطه A به مختصات ) 4/5 و 1/5( یوزپلنگ به گوزن می رسد. O شکل 31 1 / 5 m x,x 4
فعالیت 1 3 معادله مسیر خرگوش عبارت است از : 1 1 y = ( x) = x 5 10 0 در = 0 t داریم = 0 x و در t = 5 s داریم. x = 50 m به این ترتیب در بازه 0 تا 5 ثانیه داریم: 0 10 0 30 40 50 y(m) 0 5 0 45 80 15 مسیر حرکت این خرگوش در شکل 3 رسم شده است. شکل 3 مثال پیشنهادی در محوطه پارکینگی خرگوشی در حال دویدن است. مختصات خرگوش )به متر( برحسب تابع زمان t )به ثانیه( به صورت زیر داده شده است: x = 0/ 31t + 7 / t+ 8 y = 0/ t 9 / 1t + 30 r خرگوش برحسب نمادگذاری بردارهای یکه چگونه است الف( در t = 15 s بردار مکان ب( مسیر حرکت خرگوش را در بازه زمانی 0 تا 5 ثانیه رسم کنید. 5
x = )- 0/31( )15( + )7/( )15( + 8 = 66 m y = )0/( )15( - )9/1( )15( + 30 = - 57 m r = ( 66m) i ( 57 m) j حل: الف( در t = 15 s داریم: به این ترتیب از رابطه r (t) = x(t) i + y(t) j داریم: r داریم: این بردار در شکل 33 الف رسم شده است. برای به دست آوردن بزرگی و جهت r = x + y = ( 66m) + ( 57m) = 87 m 1y 1 57m θ= tan = tan ( ) = 41 x 66m و ب( چنانچه قسمت الف را برای مقادیر مختلف t تکرار کنیم آنگاه نتایج حاصل در بازه 0 تا 5 ثانیه مطابق شکل 33 ب خواهد بود. شکل 33 الف شکل ٣٣ ب فعالیت 1 4 همانطور که نمودار شکل 34 نشان می دهد در لحظه t = s دو خودرو با هم تالقی دارند. اگر در زمان یکسانی از نقطه )m 1( m 8 عبور نکنند بین آنها برخورد رخ نمی دهد. شکل 34 6
جابه جایی و سرعت متوسط راهنمای تدریس: در اینجا نیز جسم در واقع ذره ای است که روی مسیری در صفحه حرکت می کند. باید دانش آموزان به مسیر و تغییرات مؤلفه های x و y ذره هنگام حرکت توجه داشته باشند. چنانچه مسیری واقعی تر مطابق شکل 35 روی تابلوی کالس رسم کنید. به نظر می رسد درک آن ملموس تر باشد. در اینجا ماشین را نیز مانند یک ذره در نظر می گیریم. شکل 35 مثال پیشنهادی معادله های حرکت جسمی در امتداد محورهای x و y در SI با رابطه های زیر بیان شده است x = - 8 t +1 y = t -t الف( بردار مکان جسم را در لحظه های = 0 1 t و t = 3 s به دست آورید. ب( سرعت متوسط را در بازه زمانی صفر تا 3 s تعیین و بزرگی آن را حساب کنید. حل: الف( در لحظه = 0 1 t داریم: x = 1m,y = 0 r = i 1 1 1 x = 3m,y = 3m r = 3 i+ 3 j همچنین در لحظه t = 3 s داریم: ب( در بازه زمانی صفر تا 3 s یعنی Δt = 3 s داریم: Δx = x - x 1 = -3-1 = -4m 7
Δy = y - y 1 = 3-0 = 3m x y v = i + j t t 4 3 = i + j = 8 i + j 3 3 v = ( 8) + () 1 = 65 8m/s تمرین پیشنهادی بردار مکان ذرهای در ابتدا r1 = 5 i 6 j و 10 ثانیه بعد r = i + 8 j است )همه برحسب متر(. بردار سرعت متوسط این ذره در حین این 10 ثانیه برحسب نماد گذاری بردارهای یکه چگونه است پاسخ: پرسش 1 1 تمرین های پیشنهادی v = 07 / i + 14 / j از آنجا که Δt همواره کمیتی نرده ای و مثبت است تقسیم یک کمیت برداری بر Δt تغییری در جهت و ماهیت برداری بودن آن کمیت نمی دهد. خرگوشی در زمان = 0 1 t دارای مؤلفه های x و 3/4 m) y و )1/1 m و در زمان t = 3 s دارای مؤلفه های )m 0/5- و 5/3( m است. در این بازه زمانی مطلوب است: الف( مؤلفه های سرعت متوسط خرگوش. ب( بزرگی و جهت سرعت متوسط. شکل 36 شکل 36 مسیر حرکت خرگوش را نشان می دهد که در پی غذا از نقطه آغازین i به راه افتاده است. خرگوش برای رفتن از هر نقط ه مشخص شده به نقطه مشخص شده بعدی روی مسیر زمان یکسان T را طی می کند. نقطه های b a و c را بنا به بزرگی سرعت متوسط خرگوش برای رسیدن به آنها از نقطه آغازین i به گونه ای مرتب کنید که بیشترین مقدار در ابتدا باشد. 8
شکل 37 شکل 37 مسیر حرکت سنجابی را نشان می دهد که روی سطح زمین از نقطه A )در زمان = 0 t( به نقاط B )در زمان )t = 5 min و C )در زمان )t = 1 0 min و ( D در زمان )t = 15 min می رود. الف( بردار سرعت های متوسط سنجاب را از نقطه A به هر سه نقطه دیگر برحسب نمادگذاری بردارهای یکه بنویسید. ب( بزرگی سرعت های متوسط را پیدا کرده و از بیشترین تا کمترین مقدار به ترتیب بنویسید. 9 شکل 38 تمرین 1 3 پاسخ: بردار مکان ذره عبارت است از r = ( 10t) i + ( 5 t ) j r = 1 0 r = 0 i 0 j در = 0 1 t داریم: در t = s داریم: به این ترتیب خواهیم داشت. r = r r1= 0 i 0 j با توجه به تعریف سرعت متوسط داریم: r 0 i 0 j v = = = 10 i 10 j t بزرگی سرعت متوسط برابر است با: v= 10 + 10 = 10 14m/s سرعت لحظه ای راهنمای تدریس: در حرکت دوبعدی نیز مشابه حرکت یک بعدی سرعت لحظه ای برابر است با حد سرعت متوسط وقتی بازه زمانی به صفر میل می کند و برابر است با آهنگ لحظهای تغییر مکان با زمان. اختالف اساسی در آن است که در این جا هردو برداری اند. مکان r و سرعت لحظهای v دانش آموزان باید به خوبی درک کنند که وقتی t به صفر بر مسیر حرکت مماس می شود به این میل می کند بردار r