Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Τοµέας Αστροφυσικής Αστρονοµίας Μηχανικής Εργαστηριακές Ασκήσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ (Α' Μέρος) Αθήνα 2010 1

Πρόλογος Το παρόν είναι αποτέλεσµα µιας σειράς προηγουµένων εκδόσεων για τις «Εργαστηριακές Ασκήσεις» που συνοδεύουν το µάθηµα της Παρατηρησιακής Αστροφυσικής. Το µάθηµα είναι υποχρεωτικό για τους φοιτητές που έχουν επιλέξει ως κατεύθυνση την Αστροφυσική Αστρονοµία & Μηχανική, ενώ είναι µάθηµα επιλογής για τους φοιτητές των άλλων Τοµέων του Τµήµατος Φυσικής. Οι Εργαστηριακές Ασκήσεις που συµπεριλαµβάνονται στην παρούσα έκδοση είτε έχουν γραφεί εξ ολοκλήρου από την κ., ή είναι ασκήσεις που έχουν προταθεί από διακεκριµένους αστρονόµους της αλλοδαπής και βρίσκονται σε διάφορα βιβλία. Στη δεύτερη αυτή περίπτωση αναφέρεται η πηγή τους. Η παρούσα έκδοση περιλαµβάνει σε Παράρτηµα όπως και οι προηγούµενες τα ονόµατα των αστερισµών, Πίνακες αστέρων και χάρτες του ουρανού. Στο Παράρτηµα περιγράφονται επίσης ο γνώµονας καθώς τα ηλιακά ωρολόγια και ο τρόπος κατασκευής τους. Ο γνώµονας συµπεριελήφθη για πρώτη φορά στην έκδοση του Ακαδηµαϊκού έτους 2003-04, ενώ τα ηλιακά ωρολόγια σ αυτήν του 2004-05. Αυτό έγινε µετά από συζητήσεις µε πολλούς φοιτητές, οπότε διαπιστώθηκε η σχεδόν πλήρης άγνοιά τους για το τί µπορεί να υπολογισθεί µε τη βοήθεια ενός απλού γνώµονα και για το πως κατασκευάζεται ένα ηλιακό ωρολόγιο. Στο Παράρτηµα δίνεται και Πίνακας µε τις Αστρονοµικές σταθερές. Αθήνα 2010 2

Περιεχόµενα Σελ. Πρόλογος 2 Περιεχόµενα 3 Συστήµατα Συντεταγµένων 4 Τίτλος Άσκησης Άσκηση 1 η : Ηµερησία Φαινοµένη Κίνηση Αστέρα 5 Άσκηση 2 η : Επιλογή Χρόνου και Εποχής Παρατήρησης Αστέρα 6 Α Χάρτης του ουρανού (Επιπεδόσφαιρο) 8 Β Χάρτης του ουρανού (Επιπεδόσφαιρο) 9 Άσκηση 3 η : Ίδιες Κινήσεις των Αστέρων (Α Μέρος) 10 Ίδιες Κινήσεις των Αστέρων (Β Μέρος) 13 Άσκηση 4 η : Τηλεσκόπια 15 Άσκηση 5 η : υναµικές Παραλλάξεις ιπλών Αστέρων 16 Άσκηση 6 η : ιαστολή του Σύµπαντος 18 Άσκηση 7 η : Κατασκευή ιαγράµµατος H-R για Αστέρες µε Μεγάλη Παράλλαξη 21 Άσκηση 8 η : Φασµατοφωτοµετρία των Αστέρων στο Εγγύς Υπέρυθρο 25 Άσκηση 9 η : Κατασκευή ιαγραµµάτων H-R 29 Άσκηση 10 η : ιάγραµµα H-R ενός Αστρικού Σµήνους 32 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Ι: Ονόµατα Αστερισµών 35 ΙΙ: Γνώµονας: Το πιο απλό αστρονοµικό όργανο 37 ΙΙΙ: Ηλιακά Ωρολόγια 40 IV: ιάφορες Σταθερές 43 V: Χρήσιµες Πληροφορίες 44 Όψεις Ουράνιας Σφαίρας (Για παρατηρητή στο Βόρειο ηµισφαίριο) 47 Όψεις Ουράνιας Σφαίρας (Για παρατηρητή στο Νότιο ηµισφαίριο) 49 Όψεις του νυκτερινού ουρανού (αστέρες µε δ 50 ) 52 3

4

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΤΕΡΑ Σκοπός της άσκησης: Η άσκηση αυτή έχει σκοπό: 1) την αναγνώριση κάποιου αστέρα κατά τη διάβασή του από τον µεσηµβρινό ενός τόπου Τ. 2) εάν ο αστέρας είναι αµφιφανής να προσδιορίσει τα σηµεία ανατολής και δύσης στον τόπο παρατήρησής του και να υπολογίσει τους αντίστοιχους χρόνους. Υλικό άσκησης: Χάρτης αστέρων και µια αστρονοµική εφηµερίδα. Σχετική θεωρία: Φαινόµενη ηµερήσια τροχιά αστέρα, χρόνος. Άσκηση Από τον Αστρονοµικό Σταθµό Κρυονερίου Κορινθίας, (φ=37 50, λ= 1 h 27 m ), παρατηρούνται την / / δύο αστέρες κατά τη διάβασή τους από το µεσηµβρινό του τόπου (άνω µεσουράνηση των αστέρων). Εάν ο ένας αστέρας, Σ 1, µεσουρανεί άνω προς Νότο και ο άλλος, Σ 2, προς Βορρά του Ζενίθ του τόπου, ο παγκόσµιος χρόνος τη στιγµή της παρατήρησης είναι U.T. = h m s επιλέξτε κατάλληλα µεσηµβρινά ύψη υ Σ1, υ Σ2 για τους δύο αστέρες ώστε να είναι αµφιφανείς: υ Σ1 = ( ο ) και υ Σ2 = ( ο ) Βήµατα Άσκησης α) Υπολογίστε τον τοπικό αστρικό χρόνο παρατήρησης t. (Με την βοήθεια γνωστών τύπων υποθέτοντας ότι δεν διαθέτετε χρονόµετρο αστρικού χρόνου). β) Βρείτε τις ουρανογραφικές συντεταγµένες των αγνώστων αστέρων Σ 1 (α 1, δ 1 ) και Σ 2 (α 2, δ 2 ). γ) Με βάση τα δεδοµένα και τα στοιχεία που υπολογίσατε φτιάξτε την ουράνια σφαίρα του τόπου παρατήρησης και τις φαινόµενες ηµερήσιες τροχιές των αστέρων Σ 1 και Σ 2. δ) Από ποιό µεσηµβρινό ύψος ο αστέρας Σ 2 είναι αειφανής; ε) Από ποιό µεσηµβρινό ύψος ο αστέρας Σ 1 είναι αφανής; στ) Υπολογίστε τους τοπικούς αστρικούς χρόνους ανατολής και δύσης των αστέρων. ζ) Πού βρίσκεται το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ τη στιγµή της παρατήρησης; η) Βρείτε ποιοι ήταν οι αστέρες που παρατηρήθηκαν. (Με τη βοήθεια χάρτη ή οµοιώµατος της ουράνιας σφαίρας). θ) Υπολογίστε τα αζιµούθια της Ανατολής και ύσης του αστέρα Σ 1 στον τόπο, (άνω µεσουράνηση προς Νότο του Ζενίθ του τόπου). ι) Υπάρχει κατά τη διάρκεια του έτους ηµεροµηνία κατά την οποία ο(οι) αστέρας(ες) ανατέλλει(ουν) την ίδια ώρα µε τον Ήλιο; ικαιολογήστε την απάντησή σας. 5

ΑΣΚΗΣΗ 2η ΕΠΙΛΟΓΗ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΟΧΗΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ ΑΣΤΕΡΑ Σκοπός της άσκησης: Προσδιορισµός του κατάλληλου χρόνου παρατήρησης ενός γνωστού αστέρα Σ(α,δ) από κάποιο τόπο Τ(φ,λ). Υλικό άσκησης: Ένας κατάλογος αστέρων, µια αστρονοµική εφηµερίδα και ένας (περιστροφικός) χάρτης του ουρανού. Σχετική θεωρία: Χρόνος φαινόµενη ηµερήσια τροχιά αστέρα. εδοµένα Άσκησης: Έστω ο λαµπρός αστέρας Σ (α 1950 =, δ 1950 = ) (Επιλογή από τον παρακάτω κατάλογο) Ερωτήµατα Άσκησης: 1) Σε ποιό τµήµα του ουρανού ( υτικό ή Ανατολικό) θα εµφανισθεί και ποιά θα είναι η ωριαία γωνία του όταν το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ µεσουρανεί α) άνω και β) κάτω στην Αθήνα; Οι γεωγραφικές συντεταγµένες της Αθήνας είναι: φ=37 ο 58, λ= 1 h 31 m. 2) Βρείτε τη ζενιθιακή απόσταση z και το Αζιµούθιο Α του ίδιου αστέρα σήµερα τη στιγµή που ο τοπικός αστρικός χρόνος είναι t= h m s. 3) Αν θέλετε να παρατηρήσετε τον αστέρα από τον Αστρονοµικό Σταθµό Κρυονερίου Κορινθίας (φ=37 ο 50, λ= 1 h 27 m ), ποιά είναι η πιο κατάλληλη εποχή παρατήρησής του; Βήµατα για απάντηση ερωτηµάτων β 1 ) Για το 1 ο ερώτηµα πρέπει να φτιάξετε την ουράνια σφαίρα για την Αθήνα και να τοποθετήσετε το γ και τον αστέρα σ αυτήν. β 2 ) Για το 2 ο ερώτηµα πρέπει να επιλύσετε το τρίγωνο θέσης ΠΖΣ του αστέρα. β 3 ) Για το 3 ο ερώτηµα: 1) Από τον κατάλογο των αστέρων βρείτε τα στοιχεία του αστέρα που θέλετε να παρατηρήσετε και από την ιδία του κίνηση υπολογίστε τις σηµερινές ουρανογραφικές του συντεταγµένες. 2) Υπολογίστε τις χρονικές στιγµές (τοπικού αστρικού χρόνου) ανατολής, t A, και δύσης, t, του αστέρα στον τόπο παρατήρησής του, Τ(φ,λ). 3) Βρείτε την κατάλληλη εποχή παρατήρησης του αστέρα, (από τον τόπο παρατήρησής του, Τ(φ,λ)). 6

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΣΤΕΡΩΝ Όνοµα Αστέρα α 1950 δ 1950 M Φ.Τ µ α µ δ 1. Λαµπαδίας (α Ταύρου) 04 h 34 m 34.9 s +16 27 37 1,1 Κ5 0,005 0,003 2. Μπέτελγκεζ (α Ωρίωνα) 05 h 53 m 54.6 s +7 24 01 0 M0 0,004 0,003 3. Σείριος (α Μεγ.Κυνός) 06 h 44 m 7.1 s 16 40 46-1,6 A0 0,007 0,006 4. Βασιλίσκος (α Λέοντα) 10 h 07 m 7.9 s +12 4 34 1,3 B8 0,003 0,003 5. Στάχυς (α Παρθένου) 13 h 23 m 57.7 s -11 2 16 1,2 B2 0,002 0,004 6. Αρκτούρος (α Βοώτου) 14 h 14 m 35.7 s +19 17 51 0,2 K0 0,004 0,005 7. Αντάρης 16 h 27 m 58.6 s M0-26 22 42 1,2 (α Σκορπίου) A3 0,005 0,004 8. Βέγας (α Λύρας) 18 h 36 m 8.5 s +38 45 27 0,1 A0 0,003-0,002 9. Αλτάιρ 19 h 49 m 38.6 s 0,003 +8 48 14 0,9 A5 0,002 (α Αετού) 10. 0 h 07 m 17.9 s A0p +28 58 28 2,1 (α Ανδροµέδας) 0,003 0,001 11. (γ Ωρίωνα) 05 h 24 m 0.2 s +06 19 54 1,7 Β2 0,004-0,001 12. (δ Μεγ. Κυνός) 07 h 07 m 33.2 s -26 21 33 2,0 F8p 0,003 0,001 13. 14. 15. (β Ταύρου) (β Λέοντα ) (β Παρθένου) 05 h 24 m 57.8 s +28 35 27 1,8 Β8 0,005 0,002 11 h 47 m 59.3 s +14 41 22 2,2 A2 0,003-0,002 11 h 49 m 36.0 s +1 52 59 0,9 F8 0,002 0,001 7

8

9

ΑΣΚΗΣΗ 3 η Ι ΙΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ Σκοπός: α) Αλλαγή µορφής των αστερισµών λόγω ιδίας κίνησης των αστέρων τους. β) Εύρεση απόστασης κινούµενου σµήνους αστέρων. Υλικό άσκησης: Θέσεις των πιο λαµπρών αστέρων ενός αστερισµού, (π.χ. Ωρίωνα), Χάρτης του σµήνους των Υάδων, στοιχεία για µερικούς αστέρες του σµήνους. Σχετική θεωρία: Ιδία κίνηση αστέρα (proper motion). Ιδία Κίνηση Αστέρα Οι αστέρες κινούνται στο χώρο και η κίνησή τους εξετάζεται σε σχέση µε την κίνηση του Ήλιου, Η, από την περιοχή του οποίου τους παρατηρούµε. Έστω αστέρας Σ 1 (Σχήµα 1) σε απόσταση ΗΣ 1 =r(km) που κινείται µε σχετική ταχύτητα V(Km/sec). Αν σε διάστηµα ενός έτους διανύσει την απόσταση Σ 1 Σ 2 η γωνιώδης απόσταση των δύο αυτών σηµείων εκφράζει την ιδία κίνηση του αστέρα. Ας αναλύσουµε το άνυσµα V της ταχύτητας (space velocity) του αστέρα σε δύο συνιστώσες (ακτινική V A και επιτρόχιο V E ): V 2 =V A 2 +V E 2 (1) Η ακτινική συνιστώσα προσδιορίζεται από τη µετατόπιση των φασµατικών γραµµών (φαινόµενο Doppler), από τη σχέση: (V A /c)=( λ/λ) (2) Και από το σχήµα 1: V A = V. συνθ & V Ε = V. ηµθ Σχήµα 1: Ιδία κίνηση αστέρα Σχήµα 2 10

Από το σχήµα 2, η επιτρόχιος συνιστώσα V Ε είναι προφανώς: V E t= χ, ενώ η χ: χ=r θ rad Οπότε καταλήγουµε στη σχέση: V E. t=r θ (3) Κι αν θεωρήσουµε την κίνηση του αστέρα σε ένα χρόνο, η (3) γράφεται: V E. E=r. µ (4) όπου µ η ιδία κίνηση του αστέρα και Ε ένα έτος. Από τη σχέση (4) προκύπτει η απόσταση r του αστέρα: r=206265(v E. E/µ) (5) Επιπλέον γνωρίζουµε ότι η παράλλαξη π του αστέρα είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασής του, αν η τελευταία µετράται σε pc. Είναι δηλαδή: π =1/r(pc), όπου 1pc=206.265 A.U. και 1A.U.=1,5x10 8 Km. Αν επιπλέον λάβουµε υπόψη ότι 1Ε=3,16x10 7 sec, καταλήγουµε στις σχέσεις: V E (Km/sec)=4,74 µ( /y)/r(pc) & r(pc)=0,21[v E (Km/sec)/µ( /y)] (6) από την οποία είναι δυνατόν να υπολογισθεί η απόσταση του αστέρα, αν γνωρίζουµε την ιδία του κίνηση και την επιτρόχιο συνιστώσα της ταχύτητάς του στο χώρο. Η ιδία κίνηση των αστέρων είναι πολύ µικρή και εκφράζεται σε /y. Παρά ταύτα µεταβάλλει τις ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων και διακρίνεται σε ιδία κίνηση κατ ορθή αναφορά, µ α, και κατ απόκλιση, µ δ. Επιπλέον, επειδή οι ταχύτητες των αστέρων έχουν διαφορετικές διευθύνσεις στο χώρο, µε την πάροδο εκατοµµυρίων ετών η ιδία κίνηση των αστέρων έχει ως από-τέλεσµα τη µεταβολή της µορφής των αστερισµών. Α Τµήµα Άσκησης Πίνακας Λαµπρότεροι Αστέρες στον αστερισµό του Ωρίωνα Αστέρας α δ µ α µ δ Φάσµα α 5 h 54 m +7 24 0,007 --- M2 β 5 13-8 14-0,001 0,000 Β8 γ 5 24 +6 19-0,001-0,014 Β2 δ 5 30-0 19 0,001-0,001 Β0 ε 5 35-1 13 0,000 0,000 Β0 ζ 5 39-1 57 0,004-0,002 Β0 κ 5 46-9 41 0,004-0,002 Β0 ι 5 34-5 56 0,003 0,004 Ο8 θ 5 34-5 25 0,003 0,003 Ο5 11

Με βάση τα δεδοµένα του Πίνακα: α 1 : Φτιάξτε τη σηµερινή µορφή του αστερισµού. α 2 : Τη µορφή του µετά από 1 εκατοµµύριο χρόνια. α 3 : Τη µορφή του πριν από 1 εκατοµµύριο χρόνια. Για διευκόλυνσή σας, δίνονται: 1) Η περιοχή του ουρανού που βρίσκονται οι πιο λαµπροί αστέρες του αστερισµού. 2) Κλίµακα αποστάσεων (σε δευτερόλεπτα τόξου). Κλίµακα αποστάσεων Περιοχή του αστερισµού του Ωρίωνα 12

Β Τµήµα Άσκησης Προσδιορισµός Απόστασης Κινουµένου Σµήνους Αστέρων (Από το βιβλίο Exercises in Astronomy, Kleczek J., σελ.223) Σκοπός: Προσδιορισµός της απόστασης του κινούµενου σµήνους των Υάδων. Υλικό άσκησης: Χάρτης του σµήνους των Υάδων, στοιχεία για µερικούς αστέρες του σµήνους. Κινούµενο Σµήνος Αστέρων (Υάδες) ίνεται σµήνος αστέρων (Υάδες), όπου τα βέλη (ανύσµατα) δηλώνουν τις ταχύτητες των αστέρων του σµήνους στο χώρο. Τα ανύσµατα αυτά συγκλίνουν σε κάποιο σηµείο, έστω ΣΣ. Βήµατα Άσκησης α) Προεκτείνετε τα ανύσµατα των αστέρων του σµήνους, ώστε να προσδιορίσετε το σηµείο σύγκλισής τους. (Επειδή οι αστέρες του σµήνους περιφέρονται και γύρω από το κοινό κέντρο µάζας τους, το σηµείο ΣΣ δεν προσδιορίζεται µε µεγάλη ακρίβεια). β) Επιλέξτε το σηµείο ΣΣ (αυτό που θεωρείται πιο πιθανό) και προσδιορίστε τις ουρανογραφικές του συντεταγµένες. γ) Από τα δεδοµένα για 8 αστέρες του σµήνους, συµπληρώστε τα υπόλοιπα στοιχεία τους. γ1: Αναγνωρίστε τους 8 αστέρες (από τις συντεταγµένες και το µέγεθός τους). γ2: Μετρείστε την απόσταση κάθε αστέρα από το σηµείο ΣΣ και µετατρέψτε την σε γωνία. (Ένας απλός και πρόχειρος τρόπος είναι µέσω του άξονα των αποκλίσεων) γ3: Υπολογίστε την ιδία κίνηση µ και την επιτρόχιο συνιστώσα της ταχύτητας, V E. (µ= (µ α 2 cos 2 δ + µδ 2 ) = (µsinθ +µcosθ) και V E =V sinθ & V E = 4,74 µ/r ) δ) Βρείτε την απόσταση του σµήνους (µέσος όρος των αποστάσεων των 8 αστέρων). ε) Είναι δυνατόν να προσδιορίσετε τις αποστάσεις των µελών του σµήνους από τις τριγωνοµετρικές τους παραλλάξεις; ( ικαιολογήστε την απάντησή σας). 13

Το κινούµενο σµήνος των Υάδων εδοµένα 8 αστέρων του σµήνους των Υάδων (Συµπληρώστε τις κενές στήλες του Πίνακα) α.α. α δ m V µ α cosδ 0, 001/α µ δ 0, 001/α 6 3 h 50 m 15 s 17 10 47 5,96 149±2-28±2 31,6±0,6 14 4 8 40 5 23 40 5,71 152±2 10±2 35,8±2,6 33 4 17 46 14 58 38 5,27 112±2-23±2 36,1±0,8 74 4 25 55 17 10 35 8,20 106±5-46±6 40,5±1,4 104 4 35 22 12 24 44 4,30 103±3-11±2 44,4±2,1 112 4 43 15 11 36 57 5,43 74±4-4±3 38,2±1,4 129 5 0 6 21 31 13 4,70 68±1-42±1 42,5±1,4 131 5 6 37 27 58 7 6,10 62±4-70±3 41,3±0,9 V A Km/s µ θ V E r 14

ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΑ Σκοπός: Εξοικείωση µε τα οπτικά τηλεσκόπια και την παρατήρηση απλών και διπλών αστέρων. Σχετική Θεωρία: Περί οπτικών τηλεσκοπίων & σχετικοί τύποι, µεγέθη & λαµπρότητες αστέρων. Γενικά Για την εκτέλεση της άσκησης εκτός από τους γνωστούς ορισµούς της µεγέθυνσης, της διακριτικής ικανότητας κλπ. χρειάζεται να ορίσουµε την κλίµακα µιας φωτογρα- φικής πλάκας, K, που είναι ο λόγος της γωνιώδους προς τη γραµµική απόσταση. ηλαδή της γωνιώδους απόστασης ω δύο σηµείων ενός ουρανίου σώµατος π.χ. κέντρο, περιφέρεια ή δύο ουρανίων σωµάτων όπως αυτά φαίνονται στον ουρανό προς τη γραµµική τους απόσταση d, όπως αποτυπώνεται στη φωτογραφική πλάκα. Εποµένως είναι: Κ= ω /d (mm). Επιπλέον, αν F είναι η εστιακή απόσταση του τηλεσκοπίου µε το οποίο έγινε η φωτογράφηση, αυτή συνδέεται µε την Κ µε τον τύπο: F = 206.265/K. Βήµατα Άσκησης 1. Αποδώστε σχηµατικά την αρχή λειτουργίας ενός διοπτρικού τηλεσκοπίου. 2. Τα τηλεσκόπια στους Αστρονοµικούς Σταθµούς Αθηνών, Πεντέλης, Κρυονερίου, Σκίνακα και Χελµού έχουν, αντίστοιχα, διαµέτρους: D Α =40cm, D Π =25inch, D Κρ =1,20m, D Σκ =1,30m & D Χ =2,30m. 2α) Να βρεθούν τα µεγέθη των πιο αµυδρών αστέρων που µπορούν να παρατηρηθούν µε τα τηλεσκόπια αυτά. 2β) Ποία η διακριτική ικανότητα των τηλεσκοπίων αυτών; 3. Πώς φαίνονται τα παρακάτω ζεύγη αστέρων µε τηλεσκόπιο εστιακής απόστασης F=1,5m και εστιακού λόγου Ν/6; Ζεύγος Μέγεθος Μέγεθος Γωνιώδης 1 ου αστέρα 2 ου αστέρα Απόσταση( ) α m 1 =8 m 2 =9 α=0,30 β m 1 =15 m 2 =16 α=0,25 γ m 1 =13 m 2 =12 α=0,63 δ m 1 =14 m 2 =17 α=0,50 ε m 1 =16 m 2 =13 α=0,40 στ m 1 =9 m 2 =15 α=0,18 όπου m 1, m 2 τα φαινόµενα µεγέθη των δύο αστέρων του ζεύγους αντίστοιχα και α η γωνιώδης τους απόσταση σε δευτερόλεπτα τόξου. 4. Να βρεθεί η εστιακή απόσταση ενός αστρογράφου αν σε φωτογραφική πλάκα που πήραµε µε αυτόν η απόσταση δύο ουρανίων σωµάτων µετρήθηκε ίση προς 5cm, ενώ η γωνιώδης τους απόσταση είναι 0,5. 15

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΑΞΕΙΣ ΙΠΛΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ (Από το βιβλίο Exercises in Astronomy, Kleczek J., σελ. 272) Σκοπός της άσκησης: Προσδιορισµός παράλλαξης (δηλαδή απόστασης) ενός ζεύγους αστέρων µε απλό µαθηµατικό τρόπο. Υλικό άσκησης: Στοιχεία του ζεύγους και γνωστοί πίνακες αναγωγών. Γενική εισαγωγή Η παράλλαξη (και κατ επέκταση η απόσταση) ενός ζεύγους αστέρων µπορεί να βρεθεί µε εφαρµογή του νόµου του Νεύτωνα. Για το λόγο αυτό οι παραλλάξεις που προσδιορίζονται µε τον τρόπο αυτό ονοµάζονται δυναµικές. Έστω ζεύγος αστέρων µε µάζες των δύο µελών του Μ 1 και Μ 2 (εκπεφρασµένες σε ηλιακές). Εάν π είναι η παράλλαξη (σε arcsec, ), Ρ η περίοδος περιφοράς του ζεύγους (σε έτη) και α ο µεγάλος ηµιάξονας της σχετικής του τροχιάς, από το νόµο του Νεύτωνα έχουµε ότι: Μ 1 + Μ 2 = α 3 /(Ρ 2 π 3 ) (1) Αν επιπλέον Μ και m είναι το απόλυτο και το φαινόµενο µέγεθος του ζεύγους, τότε: Μ v = m v + 5 + 5logπ (2) Για την άσκηση χρειάζονται ακόµη η σχέση µάζας-λαµπρότητας: log(l/l ) = 3,5log(M/M ) Και η βολοµετρική διόρθωση (bolometric correction): B.C. = M v M Bol. Άσκηση: Να υπολογισθούν οι τριγωνοµετρικές παραλλάξεις των παρακάτω ζευγών αστέρων, (Πίνακας 1). Πίνακας 1 Όνοµα Φαιν. Οπτικό Περίοδος Ηµιάξονας Φάσµατα Τριγων. Αστέρα Μέγεθος Ρ (έτη) α Παραλ. m 1 m 2 ( ) ( ) α Cen -0,04 1,38 79,9 17,58 G2 K5 0,751 η Cas 3,47 7,22 480,0 11,99 G0 M0 0,176 ε Hyd 3,70 4,80 15,0 0,21 G0? 0,014 Βήµατα άσκησης 1) Υπολογίστε τις (δυναµικές) παραλλάξεις των ζευγών, µε τη βοήθεια της εξίσωσης (1) και υποθέτοντας ότι Μ 1 = Μ 2 = 1 Μ. 2) Βρήτε τα απόλυτα µεγέθη Μ v1 & Μ v2 των ζευγών από τη σχέση (2). 3) Βρήτε τα αντίστοιχα βολοµετρικά µεγέθη των ζευγών. (Mε τη βοήθεια των δεδοµένων του Πίνακα 2). 16

4 α ) Από τη χέση µάζας-λαµπρότητας προσδιορίστε νέες τιµές των µαζών Μ 1 & Μ 2. ή 4 β ) Βρήτε τις νέες αυτές τιµές των Μ 1 & Μ 2 απ ευθείας µε τη βοήθεια των δεδοµένων του Πίνακα 3. 5) Επαναλάβετε τα προηγούµενα βήµατα µε τις νέες τιµές και συνεχίστε έως ότου καταλήξετε σε σύγκλιση. ( ηλαδή όταν τα αποτελέσµατα του νιοστού υπολογισµού δεν διαφέρουν σηµαντικά από αυτά του ν-1). 6) Συγκρίνετε τις τιµές των (δυναµικών) παραλλάξεων που υπολογίσατε προς αυτές των τριγωνοµετρικών όπως δίδονται στον Πίνακα 1. 7) Για να δείτε πόσο γρήγορα συγκλίνει η µέθοδος, αντί για Μ 1 = Μ 2 = 1 Μ, ξεκινήστε υποθέτοντας ότι Μ 1 = Μ 2 = 10 Μ. Πίνακας 2 Βολοµετρική ιόρθωση και Αστρικές Θερµοκρασίες (C.W. ALLEN: 1963, Astrophysical Quantities, p.201) Spectrum (class V) B.C. T e (K) O5 4,6 35000 B0 3,0 21000 B5 1,6 13500 A0 0,68 9700 A5 0,30 8100 F0 0,10 7200 F5 0,00 6500 G0 0,03 6000 G5 0,10 5400 K0 0,20 4700 K5 0,58 4000 M0 1,20 3300 M5 2,1 2600 Πίνακας 3 Η σχέση Μάζας-Λαµπρότητας (C.W. ALLEN: 1963, Astrophysical Quantities, p.203) logμ Μ Βol M ν -1,0 +11,3 +14,8-0,8 +10,3 +13,7-0,6 +9,4 +12,4-0,4 +8,1 +10,6-0,2 +6,6 +7,8 0,0 +4,7 +4,8 +0,2 +2,7 +2,8 +0,4 +0,8 +1,2 +0,6-0,9-0,1 +0,8-2,4-1,2 +1,0-3,9-2,5 +1,2-5,4-3,7 +1,4-6,8-4,8 +1,6-8,1-5,9 +1,8-9,5-7,0 17

ΑΣΚΗΣΗ 6 η ΙΑΣΤΟΛΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Σκοπός: ιαστολή του Σύµπαντος, από µετρήσεις της µετατόπισης προς το ερυθρό (red shift) των γραµµών απορρόφησης σε φάσµατα γαλαξιών. Υλικό: Φάσµατα κάποιων γαλαξιών. Γενικά Η διαστολή του Σύµπαντος εκφράζεται από τη σχέση: V α =H. r (1) που είναι γνωστή ως νόµος του Hubble, επειδή προτάθηκε από αυτόν το 1929. Στη σχέση (1) η V α είναι η ακτινική ταχύτητα (σε Km/sec), r η απόσταση του γαλαξία και H η σταθερά του Hubble. Σχήµα 1 Η σχέση (1) που δηλώνει ότι η ταχύτητα αποµάκρυνσης ενός γαλαξία είναι ανάλογη προς την απόστασή του, αποδίδεται γραφικά στο σχήµα 1. Η τιµή της σταθεράς του Hubble προσδιορίζεται από παρατηρήσεις, αλλά ο προσδιορισµός της είναι αρκετά δύσκολος. Η τιµή της κυµαίνεται από (30 75) Km/sec ανά 1.000.000 pc, (1Μpc), και η µέση και κοινά αποδεκτή τιµή της σήµερα είναι τα 50 Km/sec ανά εκατοµµύριο parsec. Επειδή και οι γαλαξίες παρουσιάζουν ίδιες κινήσεις, δεν είναι εύκολο για γαλαξίες που βρίσκονται σχετικά κοντά µας να ξεχωρίσουµε το ποσοστό που προέρχεται από την ιδία τους κίνηση και αυτό που οφείλεται στην αποµάκρυνσή τους. Έτσι η αποµάκρυνση των γαλαξιών παρατηρείται σε αποστάσεις µεγαλύτερες από 35 εκατοµµύρια έτη φωτός (35x10 6 ly). Η σχέση (1) γράφεται και ως: c. z = H. r (2) αν z είναι η σχετική µετατόπιση ενός γαλαξία προς το ερυθρό (δηλαδή z = λ/λ) και c η ταχύτητα του φωτός. Για κανονικές τιµές του z ισχύει ο νόµος του Doppler: V α = λ (3) c λ Για πολύ µεγάλες τιµές του z δηλαδή πολύ µεγάλη µετατόπιση, άρα και µεγάλες ταχύτητες ισχύει: V α = (1+z) 2-1 (4) c (1+z) 2 +1 18

Εφαρµογή Άσκηση (Από το βιβλίο των Holzinger J.R. & Seeds M.A., σελ. 255) ίνονται τα φάσµατα πέντε γαλαξιών που είναι µέλη διαφορετικών σµηνών, των οποίων γνωρίζουµε τις αποστάσεις. Από την παρατηρούµενη µετατόπιση των φασµατικών γραµµών του ιονισµένου ασβεστίου, CaII, προς το ερυθρό να υπολογισθούν οι ταχύτητες αποµάκρυνσης των γαλαξιών. Στα φάσµατα, τα λευκά οριζόντια βέλη δείχνουν την µετατόπιση των φασµατικών γραµµών Η (λ=3933,67 Å) & Κ (λ=3968,47 Å) του ασβεστίου. Το κατακόρυφο βέλος στο πρώτο φάσµα δείχνει την αρχική θέση των γραµµών του ιονισµένου ασβεστίου. Η µαύρη οριζόντια γραµµή πάνω από τα φάσµατα δηλώνει µια απόσταση 1.000 Å (κλίµακα). 19

Βήµατα της Άσκησης 1) Μετρήστε το µήκος του µαύρου οριζόντιου βέλους, µε τη µεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, και χρησιµοποιείστε το ως µέτρο σύγκρισης (κλίµακα για τις µετατοπίσεις των φασµατικών γραµµών). 2) Φτιάξτε ένα Πίνακα για τις µετρήσεις σας, όπως π.χ. ο Πίνακας που ακολουθεί: Πίνακας Μετρήσεων Σµήνος γαλαξιών r (Mpc) Παρθένου 24 Μεγάλης Άρκτου 310 Β. Στεφάνου 430 Βοώτη 770 Ύδρας 1200 Μετατόπιση d (mm) λ Å V α Km/sec 3) Μετρείστε τη µετατόπιση Doppler σε mm -και µε τη βοήθεια της κλίµακας- µετατρέψτε τα mm σε Å. 4) Υπολογίστε την ακτινική ταχύτητα του κάθε γαλαξία, από τη σχέση (3), λαµβάνοντας ως λ τη µέση τιµή των µηκών κύµατων των δύο φασµατικών γραµµών του ιονισµένου ασβεστίου Η & Κ, (λ=3951 Å). 5) Από τις τιµές των αποστάσεων και των ακτινικών ταχυτήτων για τους 5 γαλαξίες, φτιάξτε ένα διάγραµµα παρόµοιο προς το Σχήµα 1. Για διευκόλυνσή σας χρησιµοποιείστε το παρακάτω πλαίσιο. 20

6) Χαράξτε µια ευθεία που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και όσο πιο κοντά γίνεται από τα 5 σηµεία. Η κλίση της είναι η τιµή της σταθεράς Η του Hubble. Συγκρίνατε την τιµή που βρήκατε προς αυτήν από τη βιβλιογραφία. 7) Γιατί η ευθεία πρέπει να διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 8) Σε κάποιο σµήνος γαλαξιών οι γραµµές Η & Κ του ιονισµένου ασβεστίου είναι µετατοπισµένες κατά 430 Å. Ποία είναι η εκτίµησή σας για την απόστασή του; 9) Στον ηµι-αστέρα (quasi-stellar-object, quasar) PHL 1127, η γραµµή Lyman-α του υδρογόνου, L α, που κανονικά βρίσκεται στα 1216 Å, βρέθηκε µετατοπι-σµένη στα 3648 Å. Υπολογίστε την ακτινική του ταχύτητα µε τον κλασικό και τον ρελατιβιστικό νόµο του Doppler και εξηγήστε τα αποτελέσµατά σας. 10) Εφαρµόστε το ρελατιβιστικό τύπο για τα σµήνη γαλαξιών στην Παρθένο και την Ύδρα. Συγκρίνετε τα αποτελέσµατά σας µε αυτά που έχετε ήδη υπολογίσει µε τον κλασικό νόµο. Σε τί συµπέρασµα καταλήγετε; 11) Η ευθεία του διαγράµµατος που φτιάξατε, δίνει τη σχέση (1). Αν την γράψουµε ως: 1 = r H V α Τότε το 1/Η έχει µονάδες χρόνου. Ο χρόνος αυτός είναι περίπου η ηλικία του Σύµπαντος. Υπολογίστε την ηλικία του Σύµπαντος χρησιµοποιώντας για το Η τη µέση τιµή Η=50 (Km/sec)/Mpc. 12) Αποδείξτε ότι οι τύποι: V α = (1+z) 2 1 & λ = 1+(V α /c) _ 1 c (1+z) 2 +1 λ 1 ( V α /c) 2 είναι ισοδύναµοι. 13) είξτε ότι όταν η ακτινική ταχύτητα είναι πολύ µικρότερη από την ταχύτητα του φωτός (V α <<c), ο κλασικός τύπος του Doppler µπορεί να προέλθει από τον ρελατιβιστικό. 14) είξτε ότι το σφάλµα στον υπολογισµό της ακτινικής ταχύτητας µε τον κλασικό τύπο είναι 5%,εάν λ/λ =0,1. 21

ΑΣΚΗΣΗ 7 η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η-R ΓΙΑ ΑΣΤΕΡΕΣ ΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΠΑΡΑΛΛΑΞΗ (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Practical Work in Elementary Astronomy» του Minnaert M.G.J, σ. 187, µε τίτλο «The nearest Stars», δηλαδή «Οι πλησιέστεροι Αστέρες») Σκοπός: Η άσκηση έχει ως στόχο να κατασκευάσει το διάγραµµα H-R και να υπολογίσει τα βασικά στοιχεία των πιο κοντινών µας αστέρων, (όπως ΜBol, Τ, R). Υλικό: Κάποια παρατηρησιακά στοιχεία των πιο κοντινών µας αστέρων (Πίνακας 1), καθώς και Πίνακας βολοµετρικών διορθώσεων θερµοκρασιών (Πίνακας 2). Βήµατα της Άσκησης 1) Βρήτε τις αποστάσεις r των αστέρων, από τις παραλλάξεις τους, π. 2) Υπολογίστε τα απόλυτα οπτικά µεγέθη Μ v των αστέρων, από τα φαινόµενα και τις παραλλάξεις τους, µε τη βοήθεια του τύπου: Μ v = m v + 5 + 5logπ (1) 3) Βρήτε τα βολοµετρικά µεγέθη των αστέρων. Με βάση το φασµατικό τους τύπο και τη βοήθεια του Πίνακα 2, από τη γνωστή σχέση: Μ Bol = Μ v B.C. (2) 4) Υπολογίστε τις ακτίνες των αστέρων (σε ηλιακές), µε τη βοήθεια των σχέσεων: (I /I ) Bol = (R/R ) 2 (T/T ) 4 5) Κατασκευάστε το διάγραµµα H-R για τους δοθέντες αστέρες. Στον άξονα των Υ βάλτε (ως συνήθως) το απόλυτο οπτικό µέγεθος. Στον άξονα των Χ µην βάλετε τους φασµατικούς τύπους, αλλά τον logt. 6) Πόσο διαφορετικό είναι το διάγραµµα που κατασκευάσατε από αυτό που βρίσκετε στα βιβλία; 7) Πώς κατανέµονται οι διάµετροι των αστέρων στο διάγραµµα; Μπορείτε να φέρετε γραµµές ίσων διαµέτρων; 8) Ποιά είναι κατά την εκτίµησή σας η µέση απόσταση δύο γειτονικών αστέρων στο διάγραµµα; Ποιό είναι το ποσοστό των διπλών αστέρων και των λευκών νάνων; Πίνακας Μετρήσεων α.α r=1/π Μ v B.C. Μ Bol T 10logT M+10logT (M+10logT)/5 log(r/r ) R 22

Πίνακας 1 The Nearest Stars (After W. GLIESE: 1963, IN Landolt-Börnstein, VI, Bd. 1, 598.) Nr. Name α 1950 δ 1950 π" µ ("/a) * U r (km/sec) 1 Sun -26 m.73 G 2 V 2 6 ) Proxima Cen 14 h 26 m.3-62 28 0".762 3".85 282 10.68 M 5 e α Cen A B 14 36.2-60 38 0.751 3.68 281-25 - 21 0.02 1.35 G 2 V K 5 V 3 2 ) Barnard s Star 17 55.4 + 4 33 0.545 10.34 356-108 9.54 M 5 V 4 6 ) Wolf 359 10 54.1 + 7 19 0.427 4.71 235 + 13 13.66 dm 6 e 5 2 ) BD+36 2147 11 0.6 +36 18 0.396 4.78 187-86 7.47 M 2 V 6 ) α CMa A B 6 42.9-16 39 0.375 1.32 204-8 - 1.47 8.67 A 1 V DA 7 ) L 726-8A B 1 36.4-18 13 0.371 3.36 80 + 29 12.45 12.95 dm 6 e dm 6 e 8 6 ) Ross 154 18 46.7-23 53 0.340 0.72 104-4 10.6 dm 4 e 9 Ross 248 23 39.4 +43 55 0.316 1.60 176-81 12.24 dm 6 e 10 ε Eri 3 30.6-9 38 0.303 0.98 271 + 15 3.73 K 2 V 11 Ross 128 11 45.1 + 1 6 0.298 1.40 153-13 11.13 dm 5 12 L789-6 22 35.8-15 36 0.298 3.25 45-60 12.58 dm 6 e 13 2 ) 61 Cyg A B 21 4.7 +38 30 0.292 5.22 52-64 - 64 5.19 6.02 14 α Cmi A 7 36.7 + 5 21 0.287 1.25 214-3 0.34 6 ) B 10.7 15 ε Ind 21 59.6-57 0 0.285 4.69 123-40 4.73 K 5 V 16 1 ) BD+43 44 A 0 15.5 +43 44 0.278 2.90 82 + 14 8.07 M 1 V B + 21 11.04 M 6 V m v Sp K 5 V K 7 V F 5 IV-V DF 17 BD+59 1915 A B 18 42.2 +59 33 0.278 2.29 325 + 1 + 14 8.90 9.69 dm 4 dm 5 18 τ Cet 1 41.7-16 12 0.275 1.92 297-16 3.50 G 8 Vp 19 CD-36 15 693 23 2.6-36 9 0.273 6.90 79 + 10 7.39 M 2 V 20 BD+5 1668 7 24.7 + 5 23 0.266 3.73 171 + 26 9.82 dm 4 21 CD-39 14 192 21 14.3-39 4 0.255 3.47 251 + 21 6.72 M 0 V 22 5 ) CD-45 1841 5 9.7-45 0 0.251 8.72 131 +242 8.8 sdm 0 23 3 ) Krüger 60 A 22 26.2 +57 27 0.249 0.87 245-24 9.82 M 4 V 6 ) B - 28 11.4 M 6 V e 24 Ross 614 A 6 26.8-2 46 0.248 1.00 131 + 24 11.2 dm 4 e B 14.8 (M) 25 1 ) BD-12 4523 16 27.5-12 32 0.244 1.18 183-13 10.13 dm 4 26 4 ) van Maanen s 0 46.5 + 5 9 0.236 2.98 155? 12.36 DG Star 27 Wolf 424 A B 12 30.9 + 9 18 0.228 1.78 280-5 12.7 12.7 dm 7 e dm 7 e 28 BD+50 1725 10 8.3 +49 42 0.222 1.45 249-27 6.59 dm 0 29 CD-37 15 492 0 2.5-37 36 0.219 6.11 112 + 24 8.59 dm 3 30 2 ) 6 ) BD+20 2465 10 16.9 +20 7 0.213 0.49 264 + 10 9.43 M 4 5 Ve 31 CD-46 11 540 17 24.9-46 51 0.213 1.06 147 9.34 M 4 32 CD-44 11 909 17 33.5-44 17 0.209 1.15 217 11.2 M 5 33 CD-49 13 515 21 30.2-49 13 0.209 0.81 184 + 18 8.9 M 3 34 BD-15 6290 22 50.6-14 31 0.206 1.12 124 + 9 10.17 dm 5 35 BD+68 946 17 36.7 +68 23 0.205 1.31 196-17 9.15 M 3.5 V 36 6 ) L 145-141 11 43.0-64 34 0.203 2.68 97 11.47 DC 37 4 ) ο 2 Eri A B C 4 13.0-7 44 0.202 4.08 213-42 - 42-45 4.48 9.50 11.1 K 1 V DA dm 4 e 38 BD+15 2630 13 43.2 +15 10 0.202 2.30 129 + 15 8.47 M 4 V 39 α Aql 19 48.3 + 8 44 0.198 0.66 54-26 0.78 A 7 IV,V 40 6 ) BD+43 4305 22 44.7 +44 5 0.197 0.83 237-2 10.05 dm 5 e 41 5 ) AC+79 3888 11 44.6 +78 58 0.196 0.87 57-119 10.9 sdm 4 23

Επεξηγήσεις συµβόλων Πίνακα 1: * Γωνία θέσεως του ανύσµατος της ιδίας κίνησης (position angle of proper motion vector). 1) Φασµατοσκοπικά διπλός αστέρας (Spectroscopic binary). 2) Κοντινός συνοδός που µετρήθηκε από το βαρυτικό του πεδίο (Near companion measured by gravitation). 3) Πιθανόν αόρατος κοντινός συνοδός, 4) Λευκός νάνος (White dwarf), 5) Υπονάνος (Subdwarf), 6) Αστέρας αναλάµψεων (Flare star), Nr. 7 B = UV Cet; Nr. 23 B = BD Cep; Nr. 30 = AD Leo; Nr. 40 = EV Lac. Πίνακας 2 (Βολοµετρικές διορθώσεις Θερµοκρασίες) (C.W. ALLEN: 1963, Astrophysical Quantities, p.201) Spectrum (class V) B.C. T e (K) O5 4,6 35000 B0 3,0 21000 B5 1,6 13500 A0 0,68 9700 A5 0,30 8100 F0 0,10 7200 F5 0,00 6500 G0 0,03 6000 G5 0,10 5400 K0 0,20 4700 K5 0,58 4000 M0 1,20 3300 M5 2,1 2600 24

ΑΣΚΗΣΗ 8 η ΦΑΣΜΑΤΟΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ ΣΤΟ ΕΓΓΥΣ ΥΠΕΡΥΘΡΟ (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Exercises in Astronomy» του Kleczek J., σ. 181) Σκοπός: Η άσκηση έχει ως στόχο την αναγωγή των παρατηρήσεων. Υλικό: Κάποια φάσµατα (Εργαστηριακά και από παρατηρήσεις). Γενική Εισαγωγή Σε κάθε φασµατοφωτοµετρική παρατήρηση -π.χ. για να προσδιορίσουµε τη φασµατική κατανοµή της ενέργειας ενός αστέρα- είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε την καµπύλη απόκρισης (response curve), S(λ), του συστήµατος µε το οποίο κάναµε την παρατήρηση. ηλαδή τη σχέση µεταξύ της ροής ακτινοβολίας του αστέρα, F(λ) και του λαµβανοµένου σήµατος D(λ): D(λ) = S(λ)F(λ) Η καµπύλη απόκρισης του συστήµατος είναι το αποτέλεσµα µεταβολών που εξαρτώνται από την ικανότητα «διέλευσης» της ακτινοβολίας µέσα από τους φακούς, (transmissivity), από την ανακλαστική ικανότητα των κατόπτρων, (reflectivity), την απόδοση του φασµατογράφου καθώς και τη µεταβολή της κβαντικής απόδοσης του δέκτη µε το µήκος κύµατος λ. Μέσω εργαστηριακών πειραµάτων προσπαθούµε να βρούµε τη συµβολή καθενός από τα οπτικά συστήµατα που χρησιµοποιούµε για την εν λόγω παρατήρηση και να µετρήσουµε ξεχωριστά την κβαντική απόδοση του δέκτη συναρτήσει του µήκους κύµατος. Η S(λ) είναι το τελικό αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού όλων των επι-µέρους συναρτήσεων. Αλλά είναι προτιµότερο να υπολογίσουµε την S(λ) µε µία µόνο µέτρηση. Αυτό το πετυχένουµε µε την παρατήρηση ενός ή περισσοτέρων σταθερών αστέρων (standard stars), δηλαδή αστέρων των οποίων η κατανοµή της ενέργειάς των είναι µε µεγάλη ακρίβεια γνωστή. Μερικές φορές η S(λ) προσδιορίζεται από ένα ειδικό λαµπτήρα (λαµπτήρας ταινίας λευκού µετάλλου, tungsten ribbon lamp). Άσκηση ίνονται τα 4 φάσµατα (Εικόνες 1, 2, 3 & 4). Το υπ. αρ. 3 δίνεται συναρτήσει του λ, ενώ τα άλλα τρία είναι συναρτήσει του αριθµού των pixels. Βήµατα της Άσκησης Α) Εύρεση του νόµου της διασποράς ηλαδή της σχέσης µεταξύ της γραµµικής κλίµακας των φασµάτων στις εικόνες 1, 2 & 4 και αυτής της εικόνας 3. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της εικόνας 2 και του Πίνακα 1, ως εξής: Α1) Ταυτοποιείστε µερικές γραµµές του φάσµατος της εικόνας 2 και αφού βρήτε την έντασή τους φτιάξτε έναν Πίνακα µηκών κύµατος εντάσεων. 25

Μήκος Κύµατος λ Πίνακας Ένταση Α2) Στον Πίνακα προσθέστε και τις 3 γραµµές του ουδέτερου ηλίου, (Ηe I), από την εικόνα 3. Α3) Από τα δεδοµένα του Πίνακα που φτιάξατε κατασκευάστε ένα διάγραµµα εντάσεων (ε) µηκών κύµατος (λ). Α4) Με τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων βρήτε τη σχέση µεταξύ εντάσεως και µήκους κύµατος: ε = ε 0 + β λ. Α5) Αντιστρέφοντας την παραπάνω σχέση έχετε: λ = λ 0 + β ε όπου λ 0 = (ε 0 /β) και β =1/β, η οποία αποτελεί τον ζητούµενο νόµο διασποράς. Πίνακας 1 Μήκη κύµατος µερικών γραµµών ουδέτερου Νέου & Αργού καθώς ουδέτερου υδρογόνου της σειράς Paschen (Wavelength of a few times of NeI and ArI and of the Paschen series of HI) Neon Argon Hydrogen (Paschent series) 6929,5 7635,1 P 7 10049,4 7032,4 7948,2 P 8 9546,0 7245,2 8115,3 P 9 9229,0 8377,6 8264,5 P10 9014,9 8495,4 9123,0 P11 8862,8 8780,6 9224,5 P12 8750,5 9657,8 P13 8665,0 P14 8598,4 P15 8545,4 P16 8502,5 - - - - - - P 8203,6 (Από: MOORE C.E.: 1945, A Multiplet Table of Astrophysical Interest,MSRDS-NBS40). Β) Προσδιορισµός της καµπύλης απόκρισης Για να βρούµε την S(λ) αρκεί να υπολογίσουµε τις D(λ) & F(λ). Ο Πίνακας 2 δίνει τις τιµές των απολύτων µεγεθών του Βέγα σε διάφορα µήκη κύµατος. 26

Β1) Από τα απόλυτα µεγέθη υπολογίζουµε τα F(λ), από τις σχέσεις: Μ v = 2,5λογ F ν F λ = cλ 2 F ν, όπου c η ταχύτητα του φωτός. Β2) Βρείτε την D(λ). (Κατ ευθείαν από το φάσµα του Βέγα, µε τη βοήθεια του νόµου της διασποράς που έχετε ήδη υπολογίσει). Β3) Προσδιορίστε την S(λ) από τη σχέση: S(λ) = D(λ)/F(λ). Β4) Οµαλοποιείστε τα αποτελέσµατά σας, έτσι ώστε η S(λ=7821 Å)=50 (ή 100). Β5) Γράψτε τα αποτελέσµατά σας σε Πίνακα. Β6) Αποδώστε τα αποτελέσµατά σας γραφικά. Πίνακας 2 Κατανοµή του ενεργειακού φάσµατος του Βέγα Energy distribution in the spectrum of Vega (α Lyrae) (M ν versus wavelength) λ Μ ν λ Μ ν λ Μ ν λ Μ ν λ Μ ν 7380.0 0,330 7401.0 0,332 7422.0 0,334 7443.0 0,338 7464.0 0,342 7485.0 0,346 7506.0 0,351 7527.0 0,355 7548.0 0,359 7569.0 0,363 7590.0 0,368 7611.0 0,371 7632.0 0,373 7653.0 0,375 7674.0 0,379 7695.0 0,381 7716.0 0,383 7737.0 0,386 7758.0 0,390 7779.0 0,392 7800.0 0,394 7821.0 0,399 7842.0 0,401 7863.0 0,403 7884.0 0,405 7905.0 0,408 7926.0 0,412 7947.0 0,409 7968.0 0,415 7989.0 0,418 8010.0 0,421 8031.0 0,426 8052.0 0,430 8073.0 0,432 8094.0 0,434 8115.0 0,438 8136.0 0,441 8157.0 0,443 8178.0 0,445 8199.0 0,449 8220.0 0,449 8241.0 0,445 8262.0 0,448 8283.0 0,454 8304.0 0,460 8325.0 0,472 8346.0 0,477 8367.0 0,481 8388.0 0,486 8409.0 0,494 8430.0 0,503 8451.0 0,502 8472.0 0,502 8493.0 0,501 8514.0 0,501 8535.0 0,500 8556.0 0,497 8577.0 0,498 8598.0 0,490 8619.0 0,460 8640.0 0,503 8661.0 0,511 8682.0 0,470 8703.0 0,424 8724.0 0,477 8745.0 0,526 8766.0 0,448 8787.0 0,396 8808.0 0,400 8829.0 0,469 8850.0 0,564 8871.0 0,546 8892.0 0,431 8913.0 0,400 8934.0 0,413 8955.0 0,454 8976.0 0,532 8997.0 0,658 9018.0 0,614 9039.0 0,520 9060.0 0,454 9081.0 0,427 9102.0 0,413 9123.0 0,409 9144.0 0,417 9165.0 0,450 9186.0 0,524 9207.0 0,633 9228.0 0,722 9249.0 0,551 9270.0 0,512 9291.0 0,485 9312.0 0,469 9333.0 0,461 9354.0 0,453 9375.0 0,449 9396.0 0,454 9417.0 0,456 9438.0 0,469 9459.0 0,495 9480.0 0,538 9501.0 0,614 9522.0 0,734 9543.0 0,786 9564.0 0,666 9585.0 0,580 9606.0 0,565 9627.0 0,537 9648.0 0,506 9669.0 0,497 9690.0 0,488 9711.0 0,481 9732.0 0,476 9753.0 0,474 9774.0 0,474 9795.0 0,478 9816.0 0,482 9837.0 0,489 9858.0 0,498 9879.0 0,506 9900.0 0,519 9921.0 0,537 9942.0 0,550 9963.0 0,561 9984.0 0,578 10005.0 0,603 10026.0 0,637 10047.0 0,972 10068.0 0,736 10089.0 0,632 10110.0 0,596 10131.0 0,587 10152.0 0,584 10173.0 0,580 10194.0 0,577 10215.0 0,577 10236.0 0,577 (Από: Cochran A.I. & Barnes III T.G.: 1981, ApJSS 45, 73). Προσοχή 1) εν µπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα δεδοµένα του Πίνακα 2. 2) Πρέπει να αποφύγετε τις έντονες περιοχές στο φάσµα της ατµόσφαιρας, (εικόνα 3). 3) Πρέπει να αποφύγετε επίσης τις γραµµές έντονης αστρικής απορρόφησης (σειρά Raschen του ουδέτερου υδρογόνου, Η Ι). 27

28

ΑΣΚΗΣΗ 9 η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ H-R (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Laboratory Exercises in Astronomy» των Holzinger H.R. & Seeds M.A., σελ. 193) Σκοπός: Κατασκευή διαγράµµατος H-R. Υλικό: Πίνακες µε φασµατικούς τύπους και απόλυτα µεγέθη αστέρων. Βήµατα της Άσκησης Α. ίνονται οι Πίνακες 1 & 2 µε στοιχεία για αστέρες της κύριας ακολουθίας & για γίγαντες αστέρες, αντίστοιχα. Α1: Με βάση τους φασµατικούς τύπους και τα απόλυτα µεγέθη των αστέρων φτιάξτε ένα διάγραµµα H-R. Α2: Τί συµβαίνει µε τους αστέρες του Πίνακα 2; Πού βρίσκονται στο διάγραµµα H-R; Β. οθέντος ότι ο Ήλιος είναι φασµατικού τύπου G2 V και η Capella (Αίγα, α Ηνιόχου, α Aur) G2 III, απαντήστε στις ερωτήσεις: Β1: Πόσα µεγέθη λαµπρότερη είναι η Capella από τον Ήλιο; Β2: Πόσες φορές πιο λαµπρή είναι η Capella από τον Ήλιο; Β3: Πόσο µεγαλύτερη είναι η επιφάνεια της Capella από τον Ήλιο; Β4: Συγκρίνατε την ακτίνα του Ήλιου προς αυτήν της Capella. Γ. Ο Πίνακας 3 αναφέρεται στους πιο λαµπρούς αστέρες. Παρατηρήστε τον και απαντήστε τις ερωτήσεις: Γ1: Πιο είναι το πιο κοινό είδος ενός λαµπρού αστέρα; (θερµός ή ψυχρός;) Γ2: Πιο είναι κατά την εκτίµησή σας, το µέσο φαινόµενο µέγεθος των αστέρων του Πίνακα 3; Γ3: Κοιτάζοντας στον ουρανό ένα λαµπρό αστέρα πρώτου µεγέθους, τί φασµατικού τύπου αστέρα, κατά πάσα πιθανότητα, παρατηρείτε; Γ4: Φτιάξτε το διάγραµµα H-R των πιο λαµπρών αστέρων.. Ο Πίνακας 4 αναφέρεται στους πλησιέστερους προς τον Ήλιο αστέρες. Παρατηρήστε τον και απαντήστε τις ερωτήσεις: 1: Πιο είναι το πιο κοινό είδος ενός γειτονικού προς τον Ήλιο αστέρα; (θερµός ή ψυχρός;) 2: Υπολογίστε το µέσο φαινόµενο µέγεθος των αστέρων του Πίνακα 4. Ε: Πώς θα ήταν ο ουρανός, αν όλοι οι αστέρες του Γαλαξία µας είχαν το ίδιο απόλυτο µέγεθος και αυτό ήταν ίσο προς αυτό του Ήλιου µας; 29

Πίνακας 1 (Αστέρες της κύριας ακολουθίας) Αστέρας Φάσµα Μ v Ήλιος G2 +4,8 σ Per A B0 3,7 γ Cet A2 +2,0 α Hyi F0 +2,9 Kruger 60B M6 +13,2 Procyon F5 +2,7 61 Cyg A K5 +7,5 τ Cet G8 +5,7 α Cru B5 +0,3 Kapteyn s Star M0 +10,8 Πίνακας 3 (Οι πιο λαµπροί αστέρες) Όνοµα Αστέρα m v M v Φασµ. Τύπος Sirius 1,4 1,5 AIV Canopus 0,7 4,0 F0Ib Rigil Kentaurus 0,3 4,4 G2V Arcturus 0,1 0,3 K2III Vega 0,0 0,5 A0V Capella 0,1 0,0 G2III Rigel 0,1 7,1 B8Ia Procyon 0,4 2,7 F5IV-V Betelgeuse 0,4 5,6 M2Ia Achernar 0,5 3,0 B5IV Hadar 0,6 3,0 BIII Altair 0,8 2,3 A7IV-V Acrux 0,8 3,9 BIIV Aldebaran 0,9 0,7 K5III Antares 0,9 3,0 M1Ib Spica 0,9 2,0 B1V Pollux 1,2 1,0 K0III Fomalhaut 1,2 2,0 A3V Deneb 1,3 7,1 A2Ia β Crucis 1,3 4,6 B0III Regulus 1,4 0,6 B7V Adhara 1,5 5,1 B2II Castor 1,6 0,9 A1V Shaula 1,6 3,3 B1V Bellatrix 1,6 2,0 B2III Elnath 1,7 3,2 B7III Miaplacidus 1,7 0,4 A0III Alnilam 1,7 6,8 B0Ia 30

Ως γνωστόν οι αστέρες κατατάσσονται σε 5 κατηγορίες ή τάξεις, ανάλογα µε τη λαµπρότητά τους. Οι αστέρες της κύριας ακολουθίας ανήκουν στην κατηγορία V, στην IV οι υπογίγαντες, στην III οι γίγαντες, στην II οι λαµπροί γίγαντες και στις Ia & Ib οι υπερ-γίγαντες. Πίνακας 2 (Αστέρες Γίγαντες) Αστέρας Φάσµα Μ v Αρκτούρος Κ2 0,3 Καπέλλα G2 +0,0 Αλντεµπαράν K5 0,7 Πολλικός K0 +1,0 Πίνακας 4 (Οι πιο κοντινοί µας αστέρες) Αστέρας m v M v Φάσµα Sun 26,8 4,8 G2 Proxima Centauri 0,1 15,4 M5 α Centauri A 1,5 4,4 G2 α Centauri B 11,0 5,8 K5 Barnard s Star 9,5 13,2 M5 Wolf 359 13,5 16,7 M6 Lalande 21185 7,5 10,5 M2 Sirius A 1,4 1,5 A1 Sirius B 7,2 10,1 wd Luyten 726-8A 12,5 15,3 M6 Luyten 726-8B 13,0 15,8 M6 Ross 154 10,6 13,3 M5 ε Eridani 3,7 6,1 K2 Luyten 789-6 12,2 14,6 M6 Ross 128 11,1 13,5 M5 61 Cygni A 5,2 7,5 K5 61 Cygni B 6,0 8,3 K7 ε Indi 4,7 7,0 K5 Procyon A 0,3 2,7 F5 Procyon B 10,8 13,1 wd Cincinnati 2456A 8,9 11,2 M4 Cincinnati 2456B 9,7 12,0 M4 Groombridge 34A 8,1 10,4 M1 Groombridge 34B 11,0 13,3 M6 Lacaille 9352 7,4 9,6 M2 τ Ceti 3,5 5,7 G8 Luyten s Star 9,8 11,9 M4 Lacaille 8760 6,7 8,8 M1 Kapteyn s Star 8,8 10,8 M0 Kruger 60A 9,7 11,7 M4 Kruger 60B 11,2 13,2 M6 31

ΑΣΚΗΣΗ 10 η ΙΑΓΡΑΜΜΑ H-R ΕΝΟΣ ΑΣΤΡΙΚΟΥ ΣΜΗΝΟΥΣ (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Laboratory Exercises in Astronomy» των Holzinger H.R. & Seeds M.A., σελ. 201) Σκοπός: Κατασκευή διαγράµµατος H-R ενός αστρικού σµήνους και εύρεση απόστασης και ηλικίας του. Υλικό: Φωτογραφία του σµήνους NGC 6819 και Πίνακας µε διάφορα στοιχεία των αστέρων του σµήνους. Γενικά Σε ένα σµήνος θεωρούµε ότι όλοι οι αστέρες του βρίσκονται στην ίδια περίπου απόσταση από εµάς. Θεωρούµε επίσης ότι δηµιουργήθηκαν από το ίδιο υλικό και την ίδια εποχή και εποµένως έχουν την ίδια ηλικία. Φωτογραφία του σµήνους NGC 6819 Στην παραπάνω φωτογραφία οι αστέρες του σµήνους εµφανίζονται ως µαύροι κύκλοι σε λευκό φόντο (ουρανός). Με τη βοήθεια ενός χάρακα ή της παρακάτω (φωτοµετρικής) σφήνας µπορείτε να βρείτε τη διάµετρο των αστέρων του σµήνους. Φωτοµετρική Σφήνα 32

Βήµατα της Άσκησης 1. Μετρήστε τη διάµετρο των 49 αστέρων του σµήνους και τοποθετήστε τις µετρήσεις σας στην αντίστοιχη στήλη, (2 η ), του Πίνακα 1. Στον Πίνακα 1 για 8 αστέρες (αστέρες standards) του σµήνους δίνονται τα φαινόµενα µεγέθη τους. Με τη βοήθειά τους µπορείτε να κατασκευάσετε την καµπύλη αναγωγής (που δεν είναι παρά η οµαλή καµπύλη που διέρχεται από τα σηµεία θέσης των 8 αυτών αστέρων) στο διάγραµµα Μέγεθος- ιάµετρος. ιάγραµµα Μεγέθους- ιαµέτρου 2. Φτιάξτε την καµπύλη αναγωγής στο διάγραµµα Μεγέθους- ιαµέτρου. 3. Με τη βοήθεια της καµπύλης αναγωγής υπολογίστε τα µεγέθη των υπολοίπων 41 αστέρων του σµήνους NGC 6819 και συµπληρώστε την 3 η στήλη του Πίνακα 1. 4. Φτιάξτε το διάγραµµα Μεγέθους-Χρώµατος του σµήνους, συµπεριλαµβάνοντας όλους τους αστέρες του. (Είναι προφανές ότι στο διάγραµµα Μεγέθους-Χρώµατος θα υπάρχει η κ.α. καθώς και κάποιοι γίγαντες αστέρες). ιάγραµµα Μεγέθους-Χρώµατος ίνεται ο Πίνακας 2, του οποίου οι δύο πρώτες στήλες βασίζονται σε δεδοµένα του σµήνους των Υάδων, στον αστερισµό του Ταύρου. Πίνακας 2 (Φωτοµετρικά στοιχεία των αστέρων του σµήνους των Υάδων) B-V M V m v (cluster) m V -M V (distance modulus) 0,00 1,50 0,20 2,50 0,40 3,60 0,60 4,80 0,80 5,90 5. Συµπληρώστε τις στήλες 3 & 4 του Πίνακα 2, για τους αστέρες της κύριας ακολουθίας του σµήνους NGC 6819 και βρείτε τη µέση τιµή της απόστασής του, (modulus). 6. Από τη σχέση m v M V = 5 logr 5 υπολογίστε την απόσταση r του σµήνους NGC 6819 σε parsecs. 7. Από το σχήµα 1 µε τα θεωρητικά σηµεία εκτροπών από την κύρια ακολουθία για σµήνη διαφόρων ηλικιών, εκτιµήστε την ηλικία του σµήνους NGC 6819. 8. Αν ο Ήλιος µας, (Μ = 4,79 & Β-V = 0,62), ήταν µέλος του σµήνους, τοποθετήστε τον στο διάγραµµα Χρώµατος-Μεγέθους, λαµβάνοντας υπόψη την απόσταση του σµήνους. 33

Πίνακας 1 (Φωτοµετρικά στοιχεία των αστέρων του σµήνους NGC 6819) Αστέρας ιάµετρος m v B-V Αστέρας ιάµετρος m v B-V 1 0,58 25 0,90 2 0,77 26 0,77 3 0,59 27 17,90 1,10 4 1,21 28 0,87 5 17,06 0,98 29 6 15,97 0,62 30 0,64 7 0,66 31 16,69 0,74 8 1,16 32 0,62 9 1,37 33 0,46 10 15,03 0,58 34 0,69 11 13,97 1,12 35 0,62 12 0,73 36 0,55 13 13,29 1,25 37 1,09 14 0,46 38 0,98 15 0,73 39 1,05 16 0,49 40 0,65 17 41 1,02 18 0,54 42 0,59 19 0,70 43 0,50 20 0,55 44 0,67 21 12,87 0,11 45 1,05 22 0,70 47 0,48 23 0,50 48 0,59 24 0,67 49 0,49 Σχήµα 1: Τα σηµεία εκτροπής σµηνών διαφόρων ηλικιών 34

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΟΝΟΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ Andromeda And Ανδροµέδα Antlia Ant Αντλία Apus Aps Πτηνό Aquarius Aqr Υδροχόος Aquila Aql Αετός Ara Ara Βωµός Aries Ari Κριός Auriga Aur Ηνίοχος Bootes Boo Βοώτης Caelum Cae Γλυφείο Camelopardalis Cam Καµηλοπάρδαλης Cancer Cnc Καρκίνος Canes Venatici CVn Θηρευτικοί Κύνες Canis Major CMa Μέγας Κύων Canis Minor CMi Μικρός Κύων Capricornus Cap Αιγόκερως Carina Car Τρόπις Cassiopeia Cas Κασσιόπη Centaurus Cen Κένταυρος Cepheus Cep Κηφεύς Cetus Cet Κήτος Chamaeleon Cha Χαµαιλέων Cirninus Cir ιαβήτης Columba Col Περιστερά Coma Berenices Com Κόµη Βερενίκης Corona Australis CrA Νότιος Στέφανος Corona Borealis CrB Βόρειος Στέφανος Corvus Crv Κόραξ Crater Crt Κρατήρας Crux Cru Νότιος Σταυρός Cygnus Cyg Κύκνος Delphinus Del ελφίν Dorato Dor οράς Draco Dra ράκων Equuleus Equ Ιππάριον Eridanus Eri Ηριδανός Formax For Κάµινος Gemini Gem ίδυµοι Grus Gru Γερανός Hercules Her Ηρακλής Horologium Hor Ωρολόγιον Hydra Hya Υδρα Hydrus Hyi Υδρος 35

Indus Ind Ινδός Lacerta Lac Σαύρα Leo Leo Λέων Leo Minor LMi Μικρός Λέων Lepus Lep Λαγωός Libra Lib Ζυγός Lupus Lup Λύκος Lynx Lyn Λύγξ Lyra Lyr Λύρα Mensa Men Τράπεζα Microscopium Mic Μικροσκόπιο Monoceros Mon Μονόκερος Musca Mus Μυϊα Norma Nor Γνώµων Octans Oct Οκτάς Ophiuchus Oph Οφιούχος Orion Ori Ορίων Pavo Pav Ταώς Pegasus Peg Πήγασος Perseus Per Περσεύς Phoenix Phe Φοίνιξ Pictor Pic Ζωγράφος Pisces Psc Ιχθύες Piscis Austrinus PsA Νότιος Ιχθύς Puppis Pup Πρύµνη Pyxis Pyx Πυξίς Recticulum Ret ίκτυο Sagitta Sge Βέλος Sagittarius Sgr Τοξότης Scorpio Sco Σκορπιός Sculptor Scl Γλύπτης Scutum Sct Ασπίς Serpens Ser Όφις Sextans Sex Εξάς Taurus Tau Ταύρος Telescopium Tel Τηλεσκόπιο Triangulum Tri Τρίγωνο Triangulum Australe TrA Νότιο Τρίγωνο Tucana Tuc Τουκάνα Ursa Major UMa Μεγάλη Αρκτος Ursa Minor UMi Μικρά Αρκτος Vela Vel Ιστία Virgo Vir Παρθένος Volans Vol Ιπτάµενος Ιχθύς Vulpecula Vul Αλώπηξ 36

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙI ΓΝΩΜΟΝΑΣ: Το πιο απλό αστρονοµικό όργανο Ο γνώµονας δεν είναι παρά όπως κατακόρυφος στύλος, κάθετος στο επίπεδο του ορίζοντα όπως τόπου. Κατέχει δηλαδή το ρόλο όπως κατακορύφου του τόπου. Παρά την απλούστατη κατασκευή του ο γνώµονας έχει προσφέρει πολλά, γιατί µε τη βοήθειά του, µε απλή παρατήρηση του µήκους και όπως διεύθυνσης όπως σκιάς του, οι αρχαίοι λαοί προσδιόριζαν διάφορα στοιχεία µε επαρκή για την εποχή όπως- ακρίβεια. Τα στοιχεία που µπορεί κάποιος να υπολογίσει µε τη βοήθεια όπως γνώµονα είναι: η διεύθυνση Βορράς-Νότος (µεσηµβρινή γραµµή) όπως ισηµερίες και όπως τροπές (και εποµένως τη διάρκεια του τροπικού έτους) το γεωγραφικό πλάτος όπως Τόπου, Όπως(φ) την τιµή όπως λόξωσης όπως εκλειπτικής την απόκλιση του Ήλιου τον αληθή ηλιακό χρόνο Όπως δούµε πόσο απλά µπορούν να προσδιορισθούν τα στοιχεία αυτά. Προσδιορισµός ιεύθυνσης Βορρά-Νότου Για να προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια όπως γνώµονα τη διεύθυνση Βορρά-Νότου και να ορίσουµε έτσι τη µεσηµβρινή γραµµή σ ένα τόπο, αρκεί να χαράξουµε πάνω στο οριζόντιο επίπεδο τη διεύθυνση όπως σκιάς του κατακόρυφου στύλου κάποια τυχαία χρονική στιγµή, πριν από το µεσηµέρι και µε κέντρο το σηµείο που ο κατακόρυφος είναι καρφωµένος στο έδαφος- φτιάχνουµε ένα κύκλο µε ακτίνα όση το µήκος όπως σκιάς. Επειδή οι σκιές του γνώµονα έχουν το ίδιο µήκος όταν ο Ήλιος έχει το ίδιο ύψος (Ανατολικά & υτικά του µεσηµβρινού του τόπου), παρατηρούµε πότε το άκρο όπως σκιάς θα «πέσει» πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, οπότε και χαράζουµε τη διεύθυνση όπως όπως όπως σκιάς. Η διχοτόµος όπως γωνίας που σχηµατίζουν οι δύο διευθύνσεις των σκιών (πριν και µετά την άνω µεσουράνηση του Ήλιου) θα είναι η διεύθυνση Βορράς-Νότος. Βέβαια, επειδή ο Ήλιος δεν είναι ένα απλό φωτεινό σηµείο, τα άκρα όπως σκιάς του γνώµονα δεν είναι τελείως σαφή και ιδιαίτερα εάν ο γνώµονας έχει µεγάλο ύψος. Για το λόγο αυτό αντί µιας σκιάς, πριν το µεσηµέρι, χαράσσονται περισσότερες. Και στη συνέχεια λαµβάνονται οι συµµετρικές όπως µετά το µεσηµέρι. Οπότε η διεύθυνση Βορράς-Νότος προσδιορίζεται από την κοινή διχοτόµο όλων των επιµέρους γωνιών. Προσδιορισµός των Τροπών και των Ισηµεριών Ο προσδιορισµός των τροπών (ηλιοστασίων) και των ισηµεριών είναι εύκολο να γίνει µε απλή παρατήρηση όπως µεταβολής στα µήκη όπως σκιάς του γνώµονα κατά τη διάρκεια του έτους, δεδοµένου ότι το µήκος αυτό µεταβάλλεται όχι µόνο κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας, αλλά και από ηµέρα σε ηµέρα. Κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα γίνεται ελάχιστο, (µεσηµβρινό µήκος), όταν ο Ήλιος µεσουρανεί άνω στον τόπο, (αληθής µεσηµβρία). Κατά 37

τη διάρκεια του έτους το µεσηµβρινό αυτό µήκος όπως σκιάς του γνώµονα (για παρατηρητή του Βορείου ηµισφαιρίου) γίνεται µέγιστο ή ελάχιστο, όταν ο Ήλιος έχει το µεγαλύτερο ή το µικρότερο µεσηµβρινό ύψος στον τόπο, (Σχ. 1). Αυτό συµβαίνει, ως γνωστό, όπως τροπές. Στη θερινή τροπή (21 η Ιουνίου) όταν ο Ήλιος έχει το µέγιστο µεσηµβρινό ύψος του (θέση Η ΘΤ, στο Σχ. 1), η σκιά του γνώµονα είναι ελάχιστη (ΚΗ min ). Ενώ στη χειµερινή τροπή (περί την 22 α εκεµβρίου) όταν ο Ήλιος έχει το ελάχιστο µεσηµβρινό ύψος του (θέση Η ΧΤ, στο Σχ. 1), η σκιά του γνώµονα είναι µέγιστη (KH max ). Σχήµα 1 Από το ύψος του γνώµονα KK και τα µήκη των σκιών όπως τροπές, όπου ως γνωστό η απόκλιση του Ηλίου δ ~23,5º είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι γωνίες ΚΚΉ min & ΚΚΉ max από όπως σχέσεις: εφ(κκή min )= ΚH min /ΚΚ & εφ(κκή max )= ΚΗ max /ΚΚ (1) από όπως οποίες προσδιορίζεται η γωνία ζ=(1/2)(κκή min + ΚΚΉ max ). Η γωνία αυτή δεν είναι παρά η ζενιθιακή απόσταση του Ήλιου, όταν όπως µεσουρανεί στον τόπο κατά όπως τροπές. (Επειδή τότε οι θέσεις του Ήλιου είναι συµµετρικές ως όπως τον ουράνιο ισηµερινό. Είναι δηλαδή Η ΘΤ Κ Ι=ΙΚ Η ΧΤ ). Όπως ισηµερίες ο Ήλιος διαγράφει τον ουράνιο ισηµερινό. Και το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα, έστω ΚΕ, µπορεί να υπολογισθεί από την επίλυση του ορθογωνίου τριγώνου ΚΚ Ε. Η διάρκεια του τροπικού έτους δηλαδή το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικές οµώνυµες ισηµερίες ή τροπές- προσδιορίζεται αµέσως. Προσδιορισµός του Γεωγραφικού Πλάτους Τόπου Η εύρεση του γεωγραφικού πλάτους όπως τόπου µε τη βοήθεια του γνώµονα γίνεται µε εφαρµογή όπως σχέσης: φ=δ±ζ (2) 38

που ισχύει στην άνω µεσουράνηση όπως αστέρα σε κάποιο τόπο γεωγραφικού πλάτους φ. Αρκεί δηλαδή να προσδιορισθούν η απόκλιση δ και η ζενιθιακή απόσταση ζ του αστέρα κατά την άνω µεσουράνησή του στον τόπο. Στη σχέση (2), ως γνωστό, το + ισχύει για αστέρες που µεσουρανούν άνω όπως Νότο του Ζενίθ του τόπου και το γι όπως που µεσουρανούν όπως Βορρά. Ειδικά για τα δικά όπως γεωγραφικά πλάτη ο Ήλιος µεσουρανεί άνω πάντα όπως Νότο του Ζενίθ και η παραπάνω σχέση είναι φ=δ+ζ. Επιπλέον η σχέση απλουστεύεται εάν δ =0, δηλαδή όπως ισηµερίες όταν ο Ήλιος διαγράφει τον ουράνιο ισηµερινό (φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του Ήλιου). Οπότε φ=ζ. ηλαδή αρκεί να προσδιορισθεί το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα, (ΚΕ στο Σχ. 1), κατά τη µεσηµβρία των ισηµεριών και να επιλυθεί το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΚ Ε, γνωστού όντος του ύψους του γνώµονα ΚΚ. Εάν έχουµε δύο τόπους Όπως(λ,φ) και Όπως (λ,φ ) µε το ίδιο γεωγραφικό µήκος λ (βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο µεσηµβρινό), είναι δυνατόν να προσδιορισθεί το µήκος όπως ακτίνας όπως Γης. Πράγµατι αυτή θα προκύψει από τη σχέση: R = α/(φ-φ ) (3) εάν α είναι η απόσταση των δύο τόπων και η Γη έχει θεωρηθεί σφαιρική. (Τον τρόπο αυτό χρησιµοποίησε ο Ερατοσθένης, το 250 π.χ.). Προσδιορισµός όπως Λόξωσης όπως Εκλειπτικής Η τιµή όπως λόξωσης όπως Εκλειπτικής, έστω ε, βρίσκεται εύκολα από όπως ζενιθιακές αποστάσεις του Ήλιου κατά την άνω µεσουράνησή του όπως τροπές (θέσεις Η ΘΤ & Η ΧΤ, στο Σχ. 1) και το ύψος του γνώµονα ΚΚ. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚΉ min & ΚΚ Η max έχουµε ότι: οπότε: ζ ΘΤ =ζ-ε & ζ ΧΤ = ζ+ε ε=(1/2)(ζ ΧΤ ζ ΘΤ ) (4) Όµοια είναι δυνατόν να υπολογισθεί και η απόκλιση δ του Ήλιου πολύ απλά. ηλαδή από τη σχέση φ=δ±ζ, εφόσον έχουµε προηγουµένως υπολογίσει το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου µε τον τρόπο που ήδη αναφέρθηκε. Τέλος, µε τον γνώµονα είναι δυνατός ο υπολογισµός του αληθούς ηλιακού χρόνου. Αλλά η χρήση του γνώµονα ως ωρολόγιο παρουσιάζει όπως δυσχέρειες λόγω µεταβολής όπως απόκλισης δ του Ήλιου από ηµέρα σε ηµέρα. Αυτό έχει ως συνέπεια την ίδια ώρα κάθε ηµέρας το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα να µην είναι το ίδιο. Έτσι ο γνώµονας τροποποιήθηκε κατάλληλα (αντί ο στύλος να είναι κατακόρυφος να έχει την κατεύθυνση του άξονα του κόσµου), που οδήγησε στην ανακάλυψη των ηλιακών ωρολογίων. Έστω γνώµονας γνωστού ύψους KK (Σχ. 1), που έχει τοποθετηθεί σε τόπο Όπως στον οποίο έχει ήδη προσδιορισθεί η διεύθυνση όπως µεσηµβρινής γραµµής. Από την ελάχιστη τιµή του µήκους όπως σκιάς του γνώµονα, έστω ΚΝ min, προσδιορίζεται η χρονική στιγµή όπως άνω µεσουράνησης του Ήλιου στον τόπο Τ. Και από το τρίγωνο ΚΚ Ν min η τιµή όπως γωνίας ΚΚ Ν min =φ. 39

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Ηλιακά Ωρολόγια Γενικά Θεωρία Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως ο υπολογισµός του αληθούς ηλιακού χρόνου είναι δυνατόν να γίνει µε τη βοήθεια του γνώµονα. Επειδή όπως η απόκλιση δ του Ήλιου δεν παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια όπως έτους, αλλά λαµβάνει τιµές στο διάστηµα: -23 27 δ +23 27, οι γραµµές που θα προσδιόριζαν τις ώρες ωρικές γραµµές- στο επίπεδο του ορίζοντα του τόπου θα έπρεπε να αλλάζουν συνεχώς. Αυτή η δυσκολία παρακάµπτεται εάν αντί όπως κάθετου στύλου χρησιµοποιήσουµε έναν πλάγιο (ως όπως τον ορίζοντα του τόπου), υπό γωνία όση το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου στον οποίο θα εγκαταστήσουµε το ηλιακό ωρολόγιο. Ένα ηλιακό ωρολόγιο είναι ένα απλό αστρονοµικό όργανο µε τη βοήθεια του οποίου προσδιορίζεται ο αληθής ηλιακός χρόνος όπως τόπου, ο οποίος ορίζεται ως: Α = Η Α + 12 h (1) Για να υπολογίσουµε τον πολιτικό χρόνο όπως τόπου, δηλαδή τον µέσο ηλιακό του τόπου, Μ = Η M + 12 h, θα πρέπει να γνωρίζουµε την εξίσωση του χρόνου Ε, δεδοµένου ότι : Ε = Α Μ = Η Α - Η M, oπότε: Μ = Α Ε Αν θέλουµε να βρούµε και τον επίσηµο χρόνο, Μ, όπως χώρας στην οποία ανήκει ο τόπος, αρκεί να γνωρίζουµε τη διαφορά του ν, (δηλαδή του αριθµού όπως ατράκτου στην οποία ανήκει η χώρα ή το µεγαλύτερο τµήµα όπως) από το γεωγραφικό µήκος λ του τόπου. Θα είναι δηλαδή: Μ = Α + (λ ν) Ε = Μ + (λ ν) (2) Στην παραπάνω σχέση (2) τα λ και ν είναι σταθερά, αλλά όχι και η εξίσωση του χρόνου Ε, η οποία ως γνωστόν µεταβάλλεται συνεχώς στη διάρκεια του έτους, (Σχ. Π2). Εποµένως κάθε ηλιακό ωρολόγιο πρέπει να συνοδεύεται από ένα Πίνακα διορθώσεων, (µε διορθώσεις τουλάχιστον ανά 10 ηµέρες). Στο σχήµα Π2 η καµπύλη όπως είναι η εξίσωση του χρόνου. Είναι το αποτέλεσµα του συνδυασµού των καµπύλων (a) & (b) που παριστάνουν την ετήσια µεταβολή όπως ταχύτητας όπως Γης & όπως λόξωσης όπως εκλειπτικής, αντίστοιχα. Σχήµα Π2 40