Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 17 1 1 3 7 1 : 5 1 7 14 7 6 3. Πρόβλημα Αν ο είναι πρώτος φυσικός αριθμός και το κλάσμα 10 παριστάνει φυσικό αριθμό, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης: :. 1 9 5 Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 3, 9, 11 αντίστοιχα. Αν πάρουμε τον αριθμό γ ως μειωτέο και τον αριθμό α ως αφαιρετέο, τότε προκύπτει διαφορά ίση με 56. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β και γ. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με και η διχοτόμος του. Προεκτείνουμε τη διχοτόμο ΑΔ κατά το ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ έτσι ώστε ΑΔ = ΔΗ. Από το σημείο Η φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ. 1. Να αποδείξετε ότι : ˆ 90.. Να βρείτε τη γωνία ˆ, αν γνωρίζετε ότι : ˆ ˆ 0 0.
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αν 1 3 5, 7 1 10 :10 10 :10 και 10 1000 να βρείτε την τιμή της παράστασης: 6 Πρόβλημα Να βρεθούν οι ακέραιοι που επαληθεύουν και τις δύο ανισώσεις: x 3 x x5 x9 και x. 4 4 8 Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων y 3 1 x, όπου, με εξίσωση y x Oxy δίνεται ότι η ευθεία με εξίσωση πραγματικοί αριθμοί, είναι παράλληλη με την ευθεία και περνάει από το σημείο,8 (α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και.. (β) Να επαληθεύσετε ότι τα σημεία 4, 4 και 1, ανήκουν στην ευθεία και να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ. Στο διπλανό σχήμα τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι τετράγωνα. Το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει πλευρές που εφάπτονται του κύκλου C, στα σημεία Α, Β, Γ και Δ. 1 (α) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων χωρίων που βρίσκονται εσωτερικά του κύκλου C, και εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. (β) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων χωρίων που βρίσκονται εσωτερικά του τετραγώνου ΕΖΗΘ και εξωτερικά του κύκλου C,. 1 4 (γ) Να αποδείξετε ότι. (Θεωρείστε ότι 3,1415). 3
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις του συστήματος: x10 x 7x10 0 x 1 x1 xx1. 5 Πρόβλημα Να απλοποιηθεί η παράσταση: x x x x 3x 1 4 3 3 3 1x 1x x 1x 1 1 x 1 1 (α) Αν ακέραιος, να λύσετε την εξίσωση: x x 3 x 1 x. 4 4 (β) Για ποιες τιμές του ακέραιου η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις; Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ ). Κύκλος με κέντρο την κορυφή Α και ακτίνα τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Δ, αντίστοιχα. Οι ευθείες ΒΔ, ΓΕ τέμνουν για δεύτερη φορά το κύκλο στα σημεία K, N αντίστοιχα. Αν T είναι το σημείο τομής των ΒΔ, ΓΕ και S το σημείο τομής των ΔΝ, ΕΚ, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,S και T βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία. 3
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Β ΛΥΚΕΙΟΥ (α) Να απλοποιήσετε την παράσταση: xx1 x1 x4 x, x x. (β) Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 014019009 006, 010 χωρίς την εκτέλεση των σημειούμενων πράξεων. Πρόβλημα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 1 1, x a xb c με άγνωστο το x, έχει ρίζες στο, για όλες τις τιμές των παραμέτρων abc,,, c 0. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: 3 3 3 y x x, z y y, x z z. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ< ΑΓ < ΒΓ, εγγεγραμμένο σε κύκλο c(o,r). Οι διχοτόμοι των γωνιών ˆΑ, ˆΒ και ˆΓ, τέμνουν το κύκλο c(o,r) στα σημεία Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα. Από το σημείο Ζ, θεωρούμε παράλληλη στην ΑΓ, που τέμνει την ΒΓ στο σημείο M. Από το σημείο Ε, θεωρούμε παράλληλη στην ΑΒ, που τέμνει την ΒΓ στο σημείο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τετράπλευρα ΒΜΟΖ και ΓΝΟ Ε είναι εγγράψιμα σε κύκλους, έστω (c 1) και (c ), αντίστοιχα. β) Το δεύτερο κοινό σημείο, έστω Κ, των κύκλων (c ) ανήκει στο κύκλο με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα ΔΙ, όπου Ι το έκκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση x 3x x x 16x 4 4 4. Πρόβλημα Να προσδιορίσετε την τιμή της παραμέτρου,, αν το σύστημα έχει λύση στο x y x y, x y ( Σ ), για κάθε τιμή της παραμέτρου. Η ακολουθία a, 0,1,,... είναι τέτοια ώστε η ακολουθία d, a a 1 με 1,,.3,... είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά a1 a0. 1. Να προσδιορίσετε, συναρτήσει των a, 0 και τον γενικό όρο a και το άθροισμα S 1 a 0 a 1 a.. Αν είναι a0 1 και a1 7, να προσδιορίσετε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο 3 3 για τον οποίο συναληθεύουν οι ανισώσεις: a 10 και 810. S 1 Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ< ΑΓ < ΒΓ, εγγεγραμμένο σε κύκλο (c) και Δ τυχόν σημείο της πλευράς ΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας ˆΒ, τέμνει τον κύκλο (c) στο σημείο Σ, τη διχοτόμο της γωνίας ΑΔΒ ˆ στο σημείο Κ και τη διχοτόμο της γωνίας ΑΔˆ Γ στο σημείο M. Η διχοτόμος της γωνίας ˆΓ, τέμνει τον κύκλο (c) στο σημείο Τ, τη διχοτόμο της γωνίας ΑΔΓ ˆ στο σημείο Λ και τη διχοτόμο της γωνίας ΑΔˆ Β στο σημείο N. Να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία Α,Ι,Λ,Μ και Α,Ι,Κ, Ν, όπου Ι το έκκεντρο του τριγώνου ΑΒ Γ, είναι ομοκυκλικά σε δύο διαφορετικούς κύκλους, έστω (c ), αντίστοιχα. β) Αν η ΑΔ ταυτιστεί με το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στη κορυφή Α, τότε οι κύκλοι (c ) είναι ίσοι μεταξύ τους.