Προσομοίωση Μηχανολογικών συστημάτων Σχήμα 2.71 Σχήμα 2.72

Προσομοίωση Μηχανολογικών συστημάτων Ας δούμε πρώτα τις βιβλιοθήκες που σχετίζονται με τα μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς. Στο σχήμα 2.71 βλέπουμε τις βιβλιοθήκες αυτές Translational elements Rotational elements Mechanical sensors Mechanisms Σχήμα 2.71 Προσομοίωση 1 F(t) Μ1 Κ Β X(t) Σχήμα 2.72 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 180

Θα προσομοιώσουμε τώρα το μηχανολογικό σύστημα του σχήματος 2/72 Ανοίγουμε το SIMULINK και δημιουργούμε ένα νέο παράθυρο. Από τη βιβλιοθήκη Mechanical elements επιλέγουμε και μεταφέρουμε στο παράθυρό μας τα στοιχεία του συστήματος μας, δηλαδή μία Μάζα, ένα Ελατήριο και έναν Αποσβεστήρα. Με διπλό κλίκ πάνω στο κάθε στοιχείο βλέπουμε την ρύθμιση των μονάδων. Στη μάζα καθορίζουμε την μάζα Μ σε Kg, στο ελατήριο τον συντελεστή ελαστικότητας Κ σε Ν/m (Newton ανά μέτρο) και στον αποσβεστήρα τον συντελεστή Β σε Ν/(m/s) (Newton ανά μέτρο ανά δευτερόλεπτο). Στη μάζα μπορούμε ακόμα να δώσουμε αρχική ταχύτητα αν υπάρχει, το ίδιο και στο ελατήριο αρχική μετατόπιση αν υπάρχει. Στο σύστημα μας ακόμα μεταφέρουμε το σημείο αναφοράς. Ας δούμε τώρα πως θα συνδέσουμε τα στοιχεία έτσι ώστε να δημιουργήσουμε μια προσομοίωση για το σύστημα του σχήματος 2.72 Η μάζα έχει ένα σημείο σύνδεσης, ενώ το ελατήριο και ο αποσβεστήρας έχουν δύο σημεία σύνδεσης τα οποία αναφέρονται σαν R και C. Πρέπει να τονίσουμε εδώ τη φορά των δυνάμεων και των μετατοπίσεων. Η φορά κίνησης της μάζας είναι θετική όταν η δύναμη δρα από την είσοδο της μάζας προς το σημείο αναφοράς. Στο ελατήριο και στον αποσβεστήρα η φορά είναι θετική όταν η δύναμη δρα από το σημείο R προς το σημείο C. Σχήμα 2.73 Στη συνέχεια συνδέουμε τα στοιχεία του μηχανολογικού συστήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.73 Στη συνέχεια θα πρέπει να τοποθετήσουμε την δύναμη της εισόδου F και τα αισθητήρια εξόδου, έτσι ώστε να δούμε τις εξόδους σε παλμογράφημα. Από την βιβλιοθήκη Mechanical sensors and sources επιλέγουμε το ideal force source και το Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 181

μεταφέρουμε στο μοντέλο μας. Το μπλόκ έχει εισόδους R, C και S. Η δύναμη εφαρμόζεται στις εισόδους R και C ενώ στην είσοδο S θα εφαρμόσουμε τον γνωστό μας από τα ηλεκτρολογικά κυκλώματα μπλόκ S PS το οποίο συνδέει τα μαθηματικά μοντέλα του simulink με το φυσικό μηχανολογικό συστήματα. Η φορά της δύναμης εισόδου είναι θετική κατά την κατεύθυνση C προς το R. Αυτό φαίνεται και από το βέλος το οποίο έχει σαν σχέδιο πάνω του το μπλόκ. Συνδέουμε λοιπόν το σημείο R στο σημείο εφαρμογής της δύναμης. ΠΡΟΣΟΧΗ το σημείο C του μπλόκ πρέπει να το συνδέσουμε στο σημείο αναφοράς. Σχήμα 2.74 Στη συνέχεια επιλέγουμε από τη βιβλιοθήκη Mechanical sensors and sources το αισθητήριο Ideal Translational Motion Sensor. Το μπλόκ αυτό έχει τις εισόδους R και C τις οποίες συνδέουμε στο σημείο στο οποίο θέλουμε να ανιχνεύσουμε την κίνηση. Η θετική φορά είναι από το σημείο R προς το σημείο C. Συνδέουμε λοιπόν την είσοδο R στο σημείο όπου θέλουμε να δούμε την κίνηση της μάζας Μ. Προσοχή και στο αισθητήριο αυτό το C πρέπει να συνδεθεί στο σημείο αναφοράς. Οι έξοδοι P και V μας δίνουν την μετατόπιση (position) και το V την ταχύτητα (velocity). Στις εξόδους αυτές πρέπει να συνδέσουμε τους μετατροπείς PS S, οι οποίοι μετατρέπουν τα φυσικά σήματα σε μαθηματικά σου simulink. Ολοκληρώνουμε το μοντέλο μας όπως κάναμε και στο ηλεκτρολογικό κύκλωμα, δηλαδή τοποθετούμε τους μετατροπείς σημάτων και στη συνέχεια την πηγή σήματος και τον παλμογράφο. Πρέπει επίσης να τοποθετήσουμε τον system solver και να ρυθμίσουμε τις configuration parameters όπως ακριβώς και στο ηλεκτρολογικό Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 182

κύκλωμα. Μετά και από αυτές τις ρυθμίσεις είμαστε έτοιμοι να τρέξουμε την προσομοίωση μας. Ρύθμιση Σχήμα 2.75 Στο σχήμα 2.75 φαίνεται το τελικό μοντέλο μας, η ρύθμιση στην καρτέλα Configuration parameters και το παλμογράφημα της προσομοίωσης. Βλέπουμε την μεταβολή της ταχύτητας σε m/s και την μετατόπιση σε m. Αν θέλουμε να δούμε διαφορετικά το παλμογράφημα θα βάλουμε ένα συντελεστή ενίσχυσης στο σήμα (10 φορές αρκεί και ίσως θα πρέπει να μειώσουμε και το χρόνο προσομοίωσης από 10 στα 3 για να δούμε μεγαλύτερες λεπτομέρειες Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 183

Ενισχυτής Σχήμα 2.76 Μέχρι τώρα αφήσαμε τις τιμές των τριών στοιχείων (μάζα, ελατήριο και απόσβεση τις εξ ορισμού τιμές τους δηλαδή: Μάζα (Μ)= 1 kg Συντελεστής ελαστικότητας (K)=1000 Ν/m Συντελεστής αποσβεστήρα (B)= 100 N/(m/s)A Aν πειραματιστούμε με τις τιμές των στοιχείων θα δούμε γνωστές καταστάσεις να συμβαίνουν Στο παλμογράφημα του σχήματος. Έχουμε αλλάξει την τιμή Β σε 10Ν/(m/s). Στο δε παλμογράφημα Σχ. 2,76 Έχουμε αλλάξει και την τιμή του ελατηρίου σε 100 N/m Προσοχή: τι γίνεται αν αναστρέψουμε την φορά της δύναμης Αν αναστρέψουμε τη φορά της δύναμης όπως φαίνεται στο σχήμα 2,77 τότε το μοντέλο μας το MATLAB γίνεται όπως φαίνεται στο σχήμα 2.77β Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 184

F(t) Μ1 Κ Β X(t) Σχήμα 2.77 Σχήμα 2.77β Αν τρέξουμε την προσομοίωση και πάρουμε το παλμογράφημα βλέπουμε ότι είναι ακριβώς το προηγούμενο με αντίθετη φορά, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.78 Κ Β Μ1 X(t) F(t) Σχήμα 2.78 Αν βέβαια θεωρήσουμε θετική φορά για την μετατόπιση X(t) την ίδια με αυτή της δύναμης F, τότε τα παλμογραφήματα της εξόδου είναι ακριβώς όπως και τα προηγούμενα. Αυτό σημαίνει ότι για το σύστημα του σχήματος 2.78 το μοντέλο στο MATLAB είναι ακριβώς ίδιο με αυτό που ήδη έχουμε φτιάξει. Προσομοίωση 2 Θα προσπαθήσουμε να προσομοιώσουμε τώρα το σύστημα που είχαμε μελετήσει στην παράγραφο και το οποίο φαίνεται στο σχήμα 2.79 Θα επιχειρήσουμε και πάλι να το σχεδιάσουμε στο MATLAB βήμα προς βήμα. Ξεκινάμε λοιπόν ανοίγοντας ένα νέο μοντέλο στο simulink και φέρνοντας μέσα 2 μάζες, 3 ελατήρια και έναν αποσβεστήρα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 185

Κ1 Μ1 X1(t) Κ2 Β Κ3 Μ2 X2(t) Σχήμα 2.79 F(t) Ας προσέξουμε τώρα πως θα κάνουμε τις συνδέσεις των στοιχείων του συστήματος. Ξεκινάμε πρώτα από τη μάζα Μ1 η οποία βρίσκεται συνδεδεμένη στον σταθερό σημείο. Στη μάζα Μ1 συνδέουμε το R του ελατηρίου Κ1, την είσοδο C του ιδίους ελατηρίου το συνδέουμε στο σταθερό σημείο. Στη συνέχεια στη μάζα Μ1 συνδέσουμε τις εισόδους C του ελατηρίου Κ2 και του αποσβεστήρα. Οι είσοδοι R του ελατηρίου Κ2 και αποσβεστήρα συνδέονται στη μάζα Μ2, όπου συνδέεται και το R του ελατηρίου Κ3. Το C του ελατηρίου το συνδέουμε στο σταθερό σημείο. Συστήματα Σχήμα 2.80 Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 186

Τοποθετούμε τα αισθητήρια για να δούμε το Χ1(t) και Χ2(t) καθώς και για την τοποθέτηση της εισόδου. Έτσι λαμβάνουμε το μοντέλο που φαίνεται στο σχήμα 2.80 Δεν πρέπει να ξεχάσουμε τον solver και τις ρυθμίσεις του configuration properties. Σαν είσοδο τοποθετούμε μια βηματική συνάρτηση. Θέτουμε στα στοιχεία τις παρακάτω τιμές: K1=K2-K3=10 N/m B=100 N/(m/s) M1=1 kg και Μ2=10 kg Αν κάνουμε την προσομοίωση θα δούμε τα παρακάτω παλμογραφήματα Σχήμα 2.81 Με την ίδια μέθοδο που έχουμε δει στα ηλεκτρολογικά κυκλώματα μπορούμε να δούμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο την δύναμη F και έξοδο την μετατόπιση Χ1(t). Στο σχήμα φαίνεται η συνάρτηση μεταφοράς που μας δίνει το MATLAB Σχήμα 2.82 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 187

Προσομοίωση 3 K M x(t) F(t) Σχήμα 2.83 B Ας δούμε στη συνέχεια πως θα προσομοιώσουμε το παραπάνω σύστημα. Η διαφορά από το παράδειγμα 1 που είδαμε παραπάνω είναι ότι δεν έχουμε αποσβεστήρα, αλλά δύναμη τριβής η οποία αναπτύσσεται μεταξύ των δυο σωμάτων τα οποία ολισθαίνουν. Η δύναμη της τριβής Θεωρητικά όταν μελετήσαμε πως υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς αντιμετωπίσαμε την τριβή και τον αποσβεστήρα με τον ίδιο τρόπο. Θυμίζουμε ότι δεχθήκαμε πως η δύναμη που αναπτύσσεται στον αποσβεστήρα και στην τριβή είναι ανάλογη με την ταχύτητα, δηλαδή: F ( t) ( t) T Η ταχύτητα () t είναι η σχετική ταχύτητα κίνησης των δύο σωμάτων όταν πρόκειται για τριβή. Όταν πρόκειται για τον αποσβεστήρα η ταχύτητα είναι η διαφορά της ταχύτητας των δύο άκρων του. Επί της ουσία μιλάμε για την σχετική ταχύτητα και στην τριβή και στον αποσβεστήρα. Στην πράξη αν και η προσέγγιση του αποσβεστήρα είναι κοντά στην πραγματικότητα δεν ισχύει το ίδιο όταν μιλάμε για την τριβή. Στην τριβή η δύναμη η οποία είναι ανάλογη με την ταχύτητα είναι μόνο η μία συνιστώσα της δύναμης τριβής και λέγεται Τριβή ολίσθησης (viscous friction). Το Matalab προσομοιώνει την τριβή έτσι ώστε να είναι πολύ πιο κοντά στην πραγματικότητα. Στο σχήμα 2.85. Βλέπουμε το διάγραμμα δύναμης τριβής με ταχύτητα. Η δύναμη τριβής αποτελείται από τις εξής συνιστώσες: Τριβή ολίσθησης (Viscous friction) η οποία είναι: F ( t) ( t) V Τριβή Coulomb η οποία έχει σταθερή τιμή ανεξάρτητη από την ταχύτητα: F () C t Τριβή Εκκίνησης (Break friction). Πρόκειται για την δύναμη η οποία πρέπει να υπερνικηθεί για να ξεκινήσει το σώμα : F () t BRK Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 188

Τριβή Stribeck. Για ένα μικρό διάστημα στις χαμηλές ταχύτητες η τριβή μειώνεται με την ταχύτητα αυτή η δύναμη τριβής ονομάζεται τριβή Stribeck: F () BRK t Στο διάγραμμα του σχήματος βλέπουμε την συνολική δύναμη τριβής, η οποία μαθηματικά είναι: F F F F e sign f ( ) ( ( ) C C BRK C ) ( ) Όπου C συντελεστής και f συντελεστής τριβής ολίσθησης (το αντίστοιχο του Β που αναφέραμε στη θεωρία) a c b Σχήμα 2.85 Σχήμα 2.85β Η καμπύλη του σχήματος 2.85β. Είναι ιδανική και παρουσιάζει μια απότομη μη γραμμικότητα. Αυτό στην πράξη δεν συμβαίνει έτσι ακριβώς και βέβαια είναι πού δύσκολο να το προσομοιώσουμε προγραμματιστικά. Στο σχήμα 2.85β φαίνεται η καμπύλη τριβής η οποία είναι πιο πραγματική. Βλέπουμε ότι για ένα μικρό διάστημα ταχυτήτων έχουμε μια γραμμική μεταβολή η οποία φθάνει ως την τιμή της τριβής εκκίνησης, στην συνέχεια έχουμε για άλλο ένα μικρό διάστημα την μείωση της δύναμης Stribeck και στην συνέχεια έχουμε το γνωστό γραμμικό μας σχήμα. Αυτή ακριβώς είναι η προσέγγιση που κάνει το MATLAB στην δύναμη της τριβής. Στο σχήμα 2.86 Φαίνεται το καρτελάκι των παραμέτρων του στοιχείου της τριβής. Ας τα δούμε αναλυτικά. Breakaway friction force = H τριβή εκκίνησης (το δείχνουμε με το a στο σχήμα 2.85β) Coulomb friction force = Η σταθερή τριβή Coulomb (το δείχνουμε με το b στο σχήμα2.85β) Viscous friction coefficient = Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης (αυτό που στη θεωρία έχουμε ονομάσει Β) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 189

Transition approximation coefficient = Είναι ο συντελεστής C o οποίος καθορίζει πως μεταβαίνουμε από την τριβή εκκίνησης στην σταθερή τριβή coulomb πέραν της οποίας πλέον αρχίζει να υπάρχει η γραμμική σχέση της τριβής ολίσθησης. Linear region velocity threshold = Πρόκειται για την τιμή της ταχύτητας πέραν της οποίας έχουμε την γραμμική σχέση της τιμής ολίσθησης (το δείχνουμε με το c στο σχήμα 2.85β) Προσοχή : H τριβή εκκίνησης πρέπει οπωσδήποτε να έχει τιμή μεγαλύτερη από την τριβή Coulomp Σχήμα 2.86 Στην καρτέλα του σχήματος 2.86 βρίσκουμε τις εξ ορισμού τιμές της τριβής. Αφού είδαμε πως θα χρησιμοποιούμε την τριβή προχωρούμε στην προσομοίωση στο MATLAB. Το στοιχεί της τριβής αντιμετωπίζεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζουμε την αποσβεστήρα. Στο σχήμα 2.87 βλέπουμε την προσομοίωση του συστήματος του παρόντος παραδείγματος. Στην τριβή αφήνουμε τις εξ ορισμού τιμές, στο ελατήριο βάζουμε 10.000 Ν/s και στην Μάζα αφήνουμε το 1 Kg. Στο σχήμα βλέπουμε το παλμογράφημα της εξόδου, το οποία μας δείχνει την μετατόπιση Χ(t). Ας αλλάξουμε τα στοιχεία της τριβής για να δούμε πως επηρεάζουν την έξοδο. Βάζουμε λοιπόν τριβή εκκίνησης 6 Ν και τριβή Coulomb 5. Αν τρέξουμε την προσομοίωση λαμβάνουμε το παλμογράφημα του σχήματος 2.87 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 190

Σχήμα 2.87 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 191

Προσομοίωση 4 x1(t) x2(t) K3 B M2 K1 M1 K2 F(t) ` Σχήμα 2.88 Τριβή 1 Τριβή 2 Ας επιχειρήσουμε τώρα να δημιουργήσουμε την προσομοίωση ενός πιο πολύπλοκου μηχανολογικού συστήματος, όπως αυτό φαίνεται στο σχήμα 2.88 Οι τιμές που θα θέσουμε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : Μάζες Ελατήρια Τριβές Μ1 10 Kg 1 Κ1 1000 N/m 100000 Τριβή 1 10N/ 5N 1 N/(m/s) 10 s/m 0.0001 m/s Μ2 1 Kg 100 Κ2 1000 N/m 100000 Τριβή 2 25N/55 20N/50 100 N/(m/s) 10 s/m/5 0.0001 m/s Κ3 10000 N/m Αποσβεστήρας 10 Ν/(m/s) Πίνακα 11 Στο σχήμα 2.89 φαίνεται η προσομοίωση και το παλμογράφημα για τις παραπάνω τιμές. Το παλμογράφημα του σχήματος 2.89β λαμβάνεται αν θέσουμε στα στοιχεία τις τιμές που σημειώνουμε με κόκκινο χρώμα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 192

Σχήμα 2.89 Σχήμα 2.89β Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 193

Προσομοίωση Μηχανολογικών συστημάτων περιστροφής. Θα προσομοιώσουμε το παράδειγμα του σχήματος 2.90 Κσ2 = Ελλατήριο Θ1 = γωνία περιστροφής Βσ3 = Αποσβεστήρας J2 Θ1 = γωνία περιστροφής Κσ1 = Ελλατήριο J1 Βσ1 = Τριβή Βσ2 = Τριβή Σχήμα 2.90 Τ=ροπή Η προσομοίωση είναι ακριβώς ίδια με εκείνη των μηχανολογικών συστημάτων μεταφοράς. Τα στοιχεία βρίσκονται στη βιβλιοθήκη του Simulink στο simscape όπως φαίνεται στο σχήμα 2.91. Ροπή αδρανείας Σημείο αναφοράς περιστροφικού συστήματος Περιστροφικός αποσβεστήρας Περιστροφική τριβή Περιστροφικός τερματισμός Περιστροφικό ελατήριο Σχήμα 2.91 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 194

Στον πίνακα 12 στη συνέχεια δίνουμε τις μονάδες των μεγεθών που συναντάμε στα συστήματα περιστροφής. Συστήματα Περιστροφής Ροπή Τ N*m γωνία θ rad Γωνιακή ταχύτητα ω rad/sec Ροπή Αδρανείας J Kg*m^2 Γωνιακή επιτάχυνση ωγ rad/sec^2 Συντελεστής στροφικής ελαστικότητας Kσ N*m/rad Συντελεστής τριβής ολίσθησης Β N*m/(rad/sec) Πίνακας 12 Ας πάμε τώρα στην προσομοίωση μας. Οι τιμές που θα δώσουμε στα διάφορα στοιχεία δίνονται στον παρακάτω πίνακα 13 Ροπές Αδρανείας Στροφικά Ελατήρια Στροφικές Τριβές J1 0,01 Kg*m^2 Κσ1 1000 N*m/rad Τριβή 1 25N*m 20N*m 0,001 N*m/(rad/s) 10 s/rad 0.0001 rad/s s J2 0,1 Kg Kg*m^2 Κσ2 100 N*m/rad Τριβή 2 25N*m 20N*m 0,001 N*m/(rad/s) 10 s/rad 0.0001 rad/s Αποσβεστήρας 0,01 Ν*m/(rad/s) Πίνακας 13 Ο τρόπος ανάπτυξης του μοντέλου δεν διαφέρει από αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για την ανάπτυξη του μοντέλου μηχανολογικών συστημάτων μεταφοράς. Στην αρχή φέρουμε μέσα όλα τα στοιχεία που έχουμε στο σύστημα δηλαδή, 2 ροπές αδρανείας, 2 ελατήρια, 2 τριβές και ένα αποσβεστήρα. Για την σύνδεση πρέπει να προσέξουμε που συνδέεται το κάθε ένα άκρο (R και C) του κάθε στοιχείου. Στη συνέχεια τοποθετούμε την ροπή εισόδου και το αισθητήριο για την έξοδο. Δεν πρέπει να ξεχάσουμε τα στοιχεία μετατροπής των φυσικών σημάτων. Προσοχή θα πρέπει με Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 195

δοκιμές να βρούμε το απαιτούμενο χρόνο προσομοίωσης, και το συντελεστή του εξασθένητη που βάζουμε στις εισόδους του παλμογράφου για να μπορέσουμε να δούμε και την ταχύτητα και την γωνία περιστροφής στο σώμα J1. Στο σχήμα 2.92 Φαίνεται το μοντέλο και το παλμογράφημα όπου φαίνεται η γωνία θ1(t) και η γωνιακή ταχύτητα ω1(t) Σχήμα 2.92 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (θεωρία και εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 196