ΥΛΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΚΥΚΛΟ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ

ΥΛΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΚΥΚΛΟ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ Αρετή Ευσταθίου, Αθανασία Ιγγλέζου, Βασίλειος Καραγιάννης, Διονυσία Μπακογιάννη, Χρυσή Παπαδάκη, Ευαγγελία Χλέτσου Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών ma7888th@yahoo.gr, igglezou88@yahoo.com, vasilis_karagiannis@yahoo.gr, dbakogianni@math.uoa.gr, evichletsou@hotmail.com, chrissapap88@hotmail.com Ο Στατιστικός Κύκλος Έρευνας (ΣΚΕ) αποτελεί ένα ιδιαίτερα σημαντικό διδακτικό εργαλείο στη διδασκαλία της Στατιστικής και μπορεί να λειτουργήσει ως μια υψηλών γνωστικών απαιτήσεων δραστηριότητα για την τάξη των μαθηματικών. Παρόλα αυτά, η υλοποίηση του ΣΚΕ φαίνεται να αποτελεί πρόκληση για τον καθηγητή των μαθηματικών. Η παρούσα μελέτη προσπαθεί να εμβαθύνει στα χαρακτηριστικά και τις γνωστικές απαιτήσεις μιας δραστηριότητας που εμπλέκει τους μαθητές με το ΣΚΕ, καθώς επίσης και να διερευνήσει διαφοροποιήσεις αυτών ανάμεσα στο σχεδιασμό και την υλοποίηση. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια η ανάπτυξη στατιστικού τρόπου σκέψης αποτελεί βασική επιδίωξη στη σύγχρονη μαθηματική εκπαίδευση (π.χ NCTM, 2000). Ο στατιστικός τρόπος σκέψης συνίσταται στην ικανότητα αναγνώρισης της ανάγκης για δεδομένα και στη σημασία παραγωγής τους, καθώς και στη συνειδητοποίηση της πανταχού παρουσίας της μεταβλητότητας και στην ανάγκη ποσοτικοποίησης, ελέγχου και περιορισμού της (Moore, 1997). Πολλές μελέτες έχουν δείξει ότι προκειμένου οι μαθητές να αναπτύξουν στατιστικό τρόπο σκέψης είναι ανάγκη να αντιμετωπίσουν πραγματικά δεδομένα, να κληθούν να απαντήσουν σε ερωτήματα βασιζόμενοι σε δεδομένα και να είναι σε θέση να αξιολογούν και να επικοινωνούν τα αποτελέσματα μιας στατιστικής έρευνας (Gal, 2002). Στην κατεύθυνση αυτή θεωρείται σημαντικό οι μαθητές να εμπλακούν σε έναν στατιστικό κύκλο έρευνας (ΣΚΕ) και να μάθουν μέσα σε ένα πραγματικό πλαίσιο (Wild & Pfannkuch, 1999). Παρά τις νέες κατευθύνσεις που δίνονται από τα αναμορφωμένα προγράμματα σπουδών για εμπλοκή των μαθητών με το ΣΚΕ, η στατιστική στο σχολείο εξακολουθεί να αντιμετωπίζεται με φορμαλιστικό τρόπο. Δίνεται έμφαση κυρίως σε υπολογισμούς, σε διαδικασίες και σε διαγράμματα (Makar, 2008). Η βιβλιογραφία έχει αναδείξει δυσκολίες σε σχέση με την εφαρμογή του ΣΚΕ στην τάξη των μαθηματικών, όπως η ελλιπής κατάρτιση των εκπαιδευτικών στο περιεχόμενο της στατιστικής, η περιορισμένη εμπειρία τους στη διδασκαλία της στατιστικής, η διαφορετική διδακτική

προσέγγιση που απαιτείται σε σχέση με τα υπόλοιπα μαθηματικά και η δυσκολία διαχείρισης μη αναμενόμενων αποτελεσμάτων (π.χ. Heaton & Mickelson, 2002). Παρά τις δυσκολίες που έχουν αναδειχθεί σε σχέση με την εφαρμογή του ΣΚΕ στην τάξη των μαθηματικών, υπάρχει ένα κενό στην έρευνα σχετικά με τη διαδικασία της μετάβασης από το σχεδιασμό μιας δραστηριότητας που εμπλέκει τους μαθητές στον ΣΚΕ, στην υλοποίησή της μέσα στην τάξη. Η παρούσα έρευνα διεξήχθη από πέντε εκπαιδευτικούς και έναν ερευνητή (βλ. συγγραφική ομάδα), οι οποίοι σχεδίασαν και υλοποίησαν τον ΣΚΕ στην τάξη των μαθηματικών. Κοιτώντας από τη σκοπιά του εκπαιδευτικού, στόχος μας είναι να διερευνήσουμε τα χαρακτηριστικά και τις γνωστικές απαιτήσεις ενός ΣΚΕ και να προσδιορίσουμε πιθανές διαφοροποιήσεις αυτών κατά την διαδικασία της υλοποίησης. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Οι Wild και Pfannkuch (1999) περιγράφουν τις φάσεις του ΣΚΕ (βλ. Εικόνα 1.) και αναλύουν τύπους συλλογισμού που αναπτύσσονται μέσα από την υλοποίηση του ΣΚΕ: τύποι γενικοί (ανάπτυξη στρατηγικών, αναζήτηση εξηγήσεων, μοντελοποίηση, εφαρμογή τεχνικών), αλλά και ειδικοί που συνδέονται με το στατιστικό τρόπο σκέψης (αναγνώριση της ανάγκης για δεδομένα, μετα-αρίθμηση (transnumeration), αναγνώριση της διακύμανσης, αιτιολόγηση με στατιστικά μοντέλα, ενσωμάτωση του πλαισίου). Μια επιπλέον διάσταση, σχετική με την υλοποίηση του ΣΚΕ, είναι ο συνεχής προβληματισμός μέσα από την αναζήτηση, την ερμηνεία, την κριτική αντιμετώπιση και τη λήψη αποφάσεων. Εικόνα 1: Οι φάσεις του στατιστικού κύκλου έρευνας (μετ. Wild & Pfannkuch, 1999) Όμως, ο ΣΚΕ δεν έχει αποκλειστικό στόχο την εννοιολογική κατανόηση στατιστικών εργαλείων και μεθόδων αλλά και τη σύνδεση με τη θεωρία πιθανοτήτων. Οι πιθανότητες και η στατιστική είναι στενά συνδεδεμένοι τομείς. Για να εξάγει κανείς ένα συμπέρασμα από τα παρατηρούμενα δεδομένα χρειάζεται να χρησιμοποιήσει μοντέλα πιθανοτήτων. Προκειμένου λοιπόν ο μαθητής να εξάγει συμπεράσματα από τα

δεδομένα, χρειάζεται πρώτα να αντιληφθεί τη σχέση ανάμεσα στις πιθανότητες και τη στατιστική συμπερασματολογία. Ο στόχος αυτός μπορεί να υποστηριχθεί μέσω της προσομοίωσης και της προσπάθειας γενίκευσης των αποτελεσμάτων (Pfannkuch, 2005). Σύμφωνα με τα παραπάνω, μια δραστηριότητα που εμπλέκει τους μαθητές με το ΣΚΕ μπορεί να αποτελέσει μια υψηλού γνωστικού επιπέδου δραστηριότητα (Stein & Lane, 1996). Οι Stein και Lane διακρίνουν δύο διαστάσεις σε μια μαθηματική δραστηριότητα: τα χαρακτηριστικά (χρήση πολλαπλών στρατηγικών επίλυσης, χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων, απαίτηση αιτιολογήσεων) και τις γνωστικές απαιτήσεις (η χρήση σύνθετου και μη αλγοριθμικού τρόπου σκέψης, η χρήση των μαθηματικών με σκοπό την επίλυσης ενός προβλήματος και η προσπάθεια σύνδεσης των διαδικασιών με μαθηματικές έννοιες και ιδέες). Για δραστηριότητες που αφορούν τον ΣΚΕ, η βιβλιογραφία (π.χ. Wild & Phannkuch 1999) έχει αναδείξει και κάποια επιπλέον χαρακτηριστικά και γνωστικές απαιτήσεις. Έτσι, στη μελέτη μας λαμβάνουμε υπόψη και την ενεργή εμπλοκή των μαθητών στα διάφορα στάδιά του. Δηλαδή επιχειρούμε να διερευνήσουμε σε ποιο βαθμό απαιτείται από τους μαθητές εξερεύνηση των δεδομένων και ερμηνεία των αποτελεσμάτων και σε ποιο βαθμό οι μαθητές αυτενεργούν και λαμβάνουν αποφάσεις, χαρακτηριστικά με αυξημένη βαρύτητα για την περίπτωση του ΣΚΕ. Επίσης, μια ιδιαίτερα σημαντική γνωστική απαίτηση είναι η αναγνώριση των χαρακτηριστικών του στοχαστικού πλαισίου και η σύνδεση με το πλαίσιο του προβλήματος. Η χρήση σύνθετου και μη αλγοριθμικού τρόπου σκέψης που αναφέρουν οι Stein & Lane (1996), στην περίπτωση του ΣΚΕ αφορά στη χρήση στατιστικού τρόπου σκέψης, ενώ η χρήση μαθηματικών για την επίλυση ενός προβλήματος αφορά στη χρήση στατιστικών εννοιών και διαδικασιών. Στην παρούσα μελέτη επιχειρούμε να απαντήσουμε σε δύο ερωτήματα: 1. Μέσα από ποια χαρακτηριστικά υποστηρίζεται ο ΣΚΕ και ποιες γνωστικές απαιτήσεις αναδεικνύονται; 2. Ποιές διαφοροποιήσεις παρατηρούνται στα χαρακτηριστικά και τις γνωστικές απαιτήσεις από τη φάση του σχεδιασμού στη φάση της υλοποίησης και που οφείλονται; ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η παρούσα μελέτη αποτελεί μέρος μιας ευρύτερης έρευνας. Για την έρευνα αυτή χρησιμοποιείται ως πλαίσιο μια ομάδα μελέτης (study group) (Arbaugh, 2003), η οποία διερευνά το περιεχόμενο και τη διδασκαλία της στατιστικής αλλά και την αποτελεσματική ενσωμάτωσή της στα σχολικά μαθηματικά. Η παρούσα μελέτη αφορά ένα μέρος αυτής της έρευνας όπου η ομάδα πειραματίστηκε με τον ΣΚΕ. Συμμετέχοντες. Στη μελέτη συμμετείχαν πέντε εκπαιδευτικοί (Ε1, Ε2,,Ε5), εκ των οποίων ο Ε1 υπηρετεί στη δημόσια εκπαίδευση, και μία ερευνήτρια της Διδακτικής των Μαθηματικών (βλ. συγγραφική ομάδα). Τρεις από τους εκπαιδευτικούς έχουν πτυχίο

Μαθηματικών και οι δύο είναι απόφοιτοι της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Όλοι οι εκπαιδευτικοί έχουν ολοκληρώσει μεταπτυχιακές σπουδές στη Διδακτική των Μαθηματικών. Η διδακτική τους εμπειρία και η εξοικείωσή τους με το περιεχόμενο της στατιστικής ποικίλει. Διαδικασία Συλλογής Δεδομένων. Η ομάδα δούλεψε πάνω σε τέσσερις άξονες: (α) Διερεύνηση του περιεχομένου της στατιστικής (3 δίωρες συναντήσεις). (β) Σχεδιασμός μιας δραστηριότητας με στόχο την εμπλοκή των μαθητών με το ΣΚΕ (7 δίωρες συναντήσεις) (γ) Πειραματισμός μέσα στην τάξη σε ένα τμήμα της Β Γυμνασίου (21 μαθητές) και σε ένα της Γ Γυμνασίου (18 μαθητές), στα οποία την αρμοδιότητα της διδασκαλίας των μαθηματικών είχε ο Ε1. Την εφαρμογή της δραστηριότητας στην τάξη την έκανε ο Ε1, ενώ τα άλλα μέλη της ομάδας ήταν παρατηρητές και κρατούσαν σημειώσεις πεδίου. (5 διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα) (δ) Αναστοχασμός (2 δίωρες συναντήσεις). Η δραστηριότητα. Στην Εικόνα 2 περιγράφονται οι στόχοι και τα βήματα της δραστηριότητας που σχεδίασε και υλοποίησε η ομάδα. Εικόνα 2: Τα βήματα και οι στόχοι της δραστηριότητας Μεταξύ των βημάτων (Δε) και (Α) παρενεβλήθη, διακόπτοντας τη ροή του ΣΚΕ, η ενασχόληση των μαθητών με τα ερωτήματα ενός φύλλου εργασίας, διάρκειας δύο διδακτικών ωρών. Στόχος της παρέμβασης ήταν οι μαθητές, μέσα από τη συζήτηση και τον πειραματισμό πάνω σ ένα μικρό πληθυσμό πέντε ατόμων, να προσεγγίσουν διαισθητικά τις έννοιες του μέσου όρου, του δείγματος, του τυπικού στατιστικού σφάλματος και του διαστήματος εμπιστοσύνης. Δεδομένα. Τα δεδομένα είναι οι μαγνητοφωνήσεις και βιντεοσκοπήσεις των 12 συναντήσεων της ομάδας, η ηχητική καταγραφή και οι σημειώσεις πεδίου από τον

πειραματισμό μέσα στην τάξη, τα ημερολόγια που ενημέρωναν οι εκπαιδευτικοί μετά από κάθε συνάντηση και οι ατομικές αναφορές που συνέγραψαν μετά την ολοκλήρωση του πειραματισμού. Ανάλυση. Αρχικά, διερευνήσαμε ποια από τα χαρακτηριστικά και τις γνωστικές απαιτήσεις μιας υψηλού γνωστικού επιπέδου δραστηριότητας στο ΣΚΕ εμφανίζονται στο σχεδιασμό της εν λόγω δραστηριότητας και σε ποιο βαθμό υποστηρίζονται. Μελετώντας τα δεδομένα των συναντήσεων της ομάδας, διερευνήσαμε τους λόγους στους οποίους οφείλονται οι επιλογές της ομάδας κατά το σχεδιασμό. Καταγράψαμε τις διαφοροποιήσεις των χαρακτηριστικών και των γνωστικών απαιτήσεων κατά την υλοποίηση του ΣΚΕ στην τάξη και εντοπίσαμε τους παράγοντες στους οποίους φαίνεται να οφείλονται οι διαφοροποιήσεις αυτές. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στην εικόνα 3 παρουσιάζονται συνοπτικά τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την ανάλυση. Στην πρώτη στήλη φαίνονται τα χαρακτηριστικά και οι γνωστικές απαιτήσεις της δραστηριότητας. Η δεύτερη στήλη δείχνει κατά πόσο αυτά υποστηρίζονται από το σχεδιασμό της δραστηριότητας (τα Μ, m εκφράζουν αντίστοιχα μεγάλο ή μικρό βαθμό υποστήριξης), ενώ η τελευταία στήλη δείχνει τις διαφοροποιήσεις τους από το σχεδιασμό στη φάση υλοποίησης ( : δεν υπήρξε διαφοροποίηση, -: ο βαθμός απαίτησης μειώθηκε κατά την υλοποίηση, +: ενισχύθηκε κατά την υλοποίηση). Εικόνα 3: Τα χαρακτηριστικά και οι γνωστικές απαιτήσεις της δραστηριότητας στη φάση του σχεδιασμού και οι αντίστοιχες διαφοροποίηση στη φάση της υλοποίησης Τα χαρακτηριστικά της δραστηριότητας. Τα μέλη της ομάδας, αφού μελέτησαν ερευνητικά άρθρα σχετικά με τον ΣΚΕ, έθεσαν τους στόχους της δραστηριότητας και αποφάσισαν σε ποια βήματα και διαδικασίες θα δοθεί έμφαση. Πολλαπλές στρατηγικές. Απόφαση της ομάδας ήταν οι πολλαπλές στρατηγικές να μην αποτελέσουν άμεσο στόχο της δραστηριότητας. Στη λήψη αυτής της απόφασης

συνετέλεσαν δύο παράγοντες. Το ότι οι μαθητές δεν είχαν καμία προηγούμενη εμπειρία με το περιεχόμενο της στατιστικής και το ότι ο διαθέσιμος διδακτικός χρόνος για την υλοποίηση της δραστηριότητας ήταν αρκετά περιορισμένος. Χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων. Το χαρακτηριστικό αυτό ενθαρρύνθηκε κυρίως στο στάδιο (Α) του ΣΚΕ, και υποστηρίχθηκε στον ίδιο βαθμό και κατά την υλοποίηση. Επίσης, αποτέλεσε κυρίαρχο χαρακτηριστικό στο φύλλο εργασίας που δόθηκε στους μαθητές. Οι μαθητές χειρίστηκαν αριθμητικά δεδομένα, δημιούργησαν πίνακες, διάβασαν ραβδογράμματα και πειραματίστηκαν με τις κατανομές δειγμάτων μέσα από σημειογράμματα. Αιτιολογήσεις. Από τη διαπραγμάτευση μεταξύ των μελών της ομάδας για το βαθμό υποστήριξης αυτού του χαρακτηριστικού, φάνηκε να υπάρχει ένα αίσθημα ανασφάλειας ως προς τη διαχείρισή του. Το παρακάτω απόσπασμα δείχνει την ανάγκη που αισθάνονται κάποια μέλη της ομάδας να είναι αυστηρά καθορισμένη η ακολουθία των βημάτων, όχι μόνο για να βοηθηθούν οι μαθητές, αλλά και για να είναι πιο εύκολη η διαχείριση από τους ίδιους. Ε3: Εδώ όμως χρειάζεται πολύ καθοδήγηση. Δεν θα γράψουμε και τα ερωτήματα για κάθε βήμα; Ε4: Εντάξει εκεί θα το χειριστεί ο Ε1, δεν χρειάζεται να τα γράψουμε όλα. Ε2: Ας γράψουμε όμως τα βήματα για να βοηθηθούμε εμείς που θα είμαστε εκεί. Η αλληλεπίδραση και η αλληλοϋποστήριξη των μελών και το γεγονός ότι ο Ε1 είναι εξοικειωμένος με το περιεχόμενο της στατιστικής, λειτούργησε θετικά στη διατήρηση υψηλού βαθμού απαίτησης αιτιολογήσεων από τους μαθητές. Παρόλα αυτά, στα στάδια (Α) και (Συ) της υλοποίησης, το χαρακτηριστικό αυτό δεν υποστηρίχθηκε σύμφωνα με το σχεδιασμό. Μια αιτία φαίνεται να είναι ο περιορισμένος διαθέσιμος διδακτικός χρόνος. Όμως η Ε5 στην αναφορά της λέει χαρακτηριστικά «Επομένως ένας εκπαιδευτικός είναι σημαντικό να είναι ικανός να ανασχηματίζει διαρκώς τους στόχους του και το πλάνο του στη διδασκαλία» και συνεχίζει «κάτι τέτοιο προϋποθέτει όχι μόνο γνώση αλλά και εμπειρία». Πιστεύουμε λοιπόν ότι, ακόμα και υπό τον περιορισμό του διδακτικού χρόνου, θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε καλύτερα το χαρακτηριστικό αυτό αν ήμασταν διδακτικά πιο έμπειροι σε δραστηριότητες στατιστικής τέτοιας φύσης. Ενεργή εμπλοκή. Δεδομένου ότι το αναλυτικό πρόγραμμα δεν υποστηρίζει τη διδασκαλία της στατιστικής, που συνεπάγεται ότι οι μαθητές δεν έχουν το απαραίτητο υπόβαθρο σε στατιστικές έννοιες και διαδικασίες, το χαρακτηριστικό αυτό ήταν δύσκολο να απαιτηθεί σε υψηλό βαθμό κατά το σχεδιασμό της δραστηριότητας. Έτσι, συχνά χρειάστηκε κάποιες αποφάσεις να ληφθούν από την ομάδα χωρίς τη συμμετοχή των μαθητών (π.χ. ποια μεταβλητή θα μελετηθεί και πως). Παρόλα αυτά, στο στάδιο (Δε), όπου οι μαθητές διενήργησαν απογραφή χωρίς την επίβλεψη του διδάσκοντα, φάνηκε να αυτενεργούν λαμβάνοντας την πρωτοβουλία καθαρισμού των δεδομένων.

Για παράδειγμα, στην απάντηση 80 καταχώρησαν την τιμή 0,8, ενώ την απάντηση 100000 δεν την καταχώρησαν καθόλου. Στα στάδια (Α) και (Συ) του σχεδιασμού, αν και είχαμε την πρόθεση ο βαθμός εμπλοκής των μαθητών να είναι υψηλός, τελικά ήταν περιορισμένος λόγω έλλειψης δυνατότητας πρόσβασης σε αίθουσα με Η/Υ. Στην υλοποίηση, αν και υποστηρίχθηκε η εμπλοκή των μαθητών μέσα από ερωτήσεις, δεν υπήρχε επαρκής διδακτικός χρόνος ώστε οι μαθητές να εμβαθύνουν και να ερμηνεύσουν, με αποτέλεσμα ο βαθμός εμπλοκής τους στα στάδια αυτά να είναι χαμηλότερος από αυτόν που σχεδιάσαμε. Οι γνωστικές απαιτήσεις της δραστηριότητας. Όπως παρατηρούμε και από τον πίνακα οι γνωστικές απαιτήσεις υποστηρίχθηκαν σε υψηλό επίπεδο στη φάση του σχεδιασμού. Χρήση των στατιστικών εννοιών και διαδικασιών με σκοπό την επίλυσης ενός προβλήματος. Η χρήση στατιστικών εννοιών και διαδικασιών για την επίλυση του προβλήματος, αλλά και η σύνδεση με την έννοια της πιθανότητας, ήταν πολύ υψηλά στους στόχους της ομάδας. Στο απόσπασμα που ακολουθεί, φαίνεται ο προβληματισμός των μελών της ομάδας σχετικά με την υποστήριξη αυτών των απαιτήσεων. Ε1: Ωραία, τα κάνουμε εμείς αυτά όλα. Η δυσκολία είναι τι μαθηματικά θα κάνουμε εμείς εκεί πέρα. Πώς θα καταλάβουν γιατί πέφτουμε από τόσο έως τόσο μέσα; Ε2: Αυτό είναι ανάγκη να το καταλάβουν; Ε1: Ε βέβαια, αλλιώς τι; Αλλιώς είναι μαύρο κουτί. Σύνδεση των διαδικασιών με μαθηματικές έννοιες και ιδέες. Για να προσεγγίσουν οι μαθητές τις έννοιες του τυπικού στατιστικού σφάλματος και του διαστήματος εμπιστοσύνης, θα έπρεπε να δουν την κατανομή όλων των δυνατών συνδυασμών του πληθυσμού. Όμως, για τον πληθυσμό των 315 ατόμων του σχολείου αυτό ήταν ανέφικτο χωρίς τη χρήση Η/Υ. Γι αυτό κρίναμε αναγκαίο να διακόψουμε τη ροή του ΣΚΕ, πραγματοποιώντας μια παρέμβαση με τη βοήθεια ενός φύλλου εργασίας, πριν το στάδιο (Α). Στην παρέμβαση οι μαθητές θα πειραματιζόταν με μικρό πληθυσμό ώστε να μπορούν να εντοπίσουν και να διαχειριστούν τους δυνατούς συνδυασμούς των δειγμάτων. Προβληματισμός υπήρξε για το πόσο ομαλά θα γίνει η σύνδεση του προβλήματος με το φύλλο εργασίας της παρέμβασης. Διαπιστώσαμε ότι μαθητές ανταποκρίθηκαν καλά στο φύλλο εργασίας και στη συνέχεια συμμετείχαν ενεργά στο στάδιο (Α). Όμως, στο στάδιο (Συ) όπου το πλαίσιο άλλαξε και δεν ήταν πια μαθηματικό, δυσκολεύτηκαν να κάνουν τις απαραίτητες συνδέσεις με τις μαθηματικές έννοιες. Αναγνώριση των χαρακτηριστικών του στοχαστικού πλαισίου. Ο σχεδιασμός της δραστηριότητας υποστήριξε σε μεγάλο βαθμό την αναγνώριση των χαρακτηριστικών του στοχαστικού πλαισίου μέσα από ερωτήματα όπως: «Ποιες θα μπορούσαν να είναι οι πιθανές αιτίες σφαλμάτων σε μια στατιστική έρευνα?», «Πως μπορείτε να κρίνετε αν μια

δειγματοληψία είναι καλή ή κακή?» κ.α. Κατά την υλοποίηση, οι μαθητές, αν και δεν είχαν διδαχθεί τα κεφάλαια της στατιστικής και των πιθανοτήτων, φάνηκε να είναι εξοικειωμένοι με το στοχαστικό πλαίσιο. Οι απαντήσεις τους στα σχετικά ερωτήματα ήταν ιδιαίτερα εύστοχες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε την απάντηση ενός μαθητή για τις πιθανές αιτίες σφαλμάτων σε μια έρευνα: «μπορεί να ρωτάς διαφορετικά άτομα ή περισσότερα άτομα». Ο μαθητής αυτός φαίνεται να διακρίνει ποιοτικές αλλά και ποσοτικές παραμέτρους που επηρεάζουν τα αποτελέσματα μιας στατιστικής έρευνας. Σύνδεση με το πλαίσιο του προβλήματος. Στο σχεδιασμό, επιδιώξαμε σε μεγάλο βαθμό τη σύνδεση με το πλαίσιο του προβλήματος. Πρόθεσή μας ήταν οι αριθμοί να αποκτήσουν νόημα μέσα στο συγκεκριμένο πλαίσιο ώστε οι μαθητές να προχωρήσουν σε ερμηνεία και όχι απλή ανάγνωση της στατιστικής πληροφορίας. Παρόλα αυτά, κατά την υλοποίηση υπήρχε μια δυσκολία διατήρησης του υψηλού επιπέδου σύνδεσης με το πλαίσιο του προβλήματος. Στο στάδιο (Α) δινόταν έμφαση σε μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες και συχνά η σύνδεση με το πλαίσιο του προβλήματος δεν ήταν ισχυρή. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα οι μαθητές, να λειτουργούν διαδικαστικά αναζητώντας «τη σωστή απάντηση» ή απλά να εκτελούν τα βήματα του αλγορίθμου. Στο στάδιο (Συ) οι μαθητές φάνηκε να δυσκολεύονται να συνδέσουν τις έννοιες και τις διαδικασίες που είχαν εστιάσει σε προηγούμενα στάδια, με το πλαίσιο του προβλήματος. Γενικά, η συνεχής σύνδεση με το πλαίσιο του προβλήματος, καθώς πραγματοποιούνται τα βήματα του ΣΚΕ, φάνηκε να έχει αυξημένη δυσκολία στην πράξη και αποτελεί ένα σημείο που χρειάζεται εμπειρία στη διαχείριση. Χρήση στατιστικού τρόπου σκέψης. Η χρήση στατιστικού τρόπου σκέψης ήταν επίσης πολύ ψηλά στις επιδιώξεις μας. Όμως, για να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές στατιστικό τρόπο σκέψης χρειάζεται να πειραματιστούν οι ίδιοι με τα δεδομένα, να παρατηρήσουν σχέσεις και μεταβολές και να κάνουν εικασίες. Εξαιτίας της αδυναμίας πρόσβασης σε αίθουσα με Η/Υ, η εμπλοκή των μαθητών στα στάδια (Α) και (Συ) ήταν περιορισμένη εμποδίζοντας την απαίτηση χρήσης στατιστικού τρόπου σκέψης σε υψηλό βαθμό. Κατά την υλοποίηση, υπήρξε επιπλέον δυσκολία στη χρήση στατιστικού τρόπου σκέψης από τους μαθητές, λόγω του περιορισμένου χρόνου που αφιερώθηκε στα στάδια αυτά, αλλά και λόγω έλλειψης εμπειρίας στη διδασκαλία της στατιστικής. Για παράδειγμα, η χρήση αναλογικού τρόπου σκέψης από τους μαθητές ήταν κυρίαρχη σε πολλά σημεία. Οι μαθητές μετά από τον πειραματισμό τους με δείγματα 3 ατόμων από το μικρό πληθυσμό μεγέθους 5 ατόμων, συμπέραναν σκεπτόμενοι αναλογικά, ότι για πληθυσμό 500 ατόμων χρειαζόμαστε δείγμα 300 ατόμων. Κατά το σχεδιασμό προβλέψαμε τη λανθασμένη χρήση της αναλογίας (Rubin et.al., 1991) και προσπαθήσαμε να την ανατρέψουμε μέσα από κατάλληλα ερωτήματα και συζήτηση. Όμως, μόλις οι μαθητές απέρριπταν τη χρήση της αναλογίας, απαντούσαν με τυχαίο τρόπο χωρίς να φαίνεται να υπάρχει κάποιο σκεπτικό πίσω από τις απαντήσεις τους.

ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Η παρούσα μελέτη επιχείρησε να φωτίσει τη διαδικασία σχεδιασμού και υλοποίησης ενός ΣΚΕ στην τάξη. Οι καθηγητές μαθηματικών δεν είναι εξοικειωμένοι με το περιεχόμενο της στατιστικής, δεν έχουν εμπειρία στη διδασκαλία της, ενώ η γνώση τους για τους μαθητές είναι κυρίως διαισθητική, γεγονός που επιβεβαιώνεται και στην παρούσα μελέτη. Παρόλα αυτά, τα αποτελέσματα δείχνουν ότι ο σχεδιασμός και η υλοποίηση μιας δραστηριότητας που εμπλέκει τους μαθητές στο ΣΚΕ, μπορεί να επηρεαστεί θετικά από δύο παράγοντες. Πρώτον, από την ενίσχυση του υπόβαθρου των διδασκόντων σε θέματα περιεχομένου και διδασκαλίας της στατιστικής και από την επαφή τους με την έρευνα. Δεύτερον, η αλληλεπίδραση μεταξύ των εκπαιδευτικών και η δράση τους μέσα στο πλαίσιο μιας ομάδας φάνηκε να αποτελεί επίσης σημαντικό παράγοντα. Από την άλλη, αναδείχθηκαν τέσσερις παράγοντες που επηρεάζουν αρνητικά το βαθμό υποστήριξης των χαρακτηριστικών και των γνωστικών απαιτήσεων: η ελλιπής υποστήριξη της διδασκαλίας της στατιστικής από το αναλυτικό πρόγραμμα, ο περιορισμένος χρόνος που μπορεί να αφιερωθεί σε μια τέτοια δραστηριότητα, η ανασφάλεια του διδάσκοντα να διαχειριστεί μια συζήτηση γύρω από στατιστικές έννοιες και διαδικασίες και η αδυναμία πρόσβασης σε αίθουσα με Η/Υ. Η υλοποίηση ενός ΣΚΕ μέσα στην τάξη φάνηκε να είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα και πλούσια δραστηριότητα για τους μαθητές. Το ότι μελέτησαν ένα πρόβλημα που τους ενδιέφερε, τους κινητοποίησε. Διαπιστώσαμε ότι μπορεί κανείς να δουλέψει, ακόμα και με μαθητές Γυμνασίου, αρκετά προχωρημένες έννοιες της στατιστικής όπως το διάστημα εμπιστοσύνης, όχι με τυπικό τρόπο αλλά ενθαρρύνοντας μια άτυπη συμπερασματολογία. Ο ΣΚΕ δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να συνδέσουν μαθηματικές έννοιες που έχουν διδαχθεί, με πραγματικές καταστάσεις (Wild & Pfannkuch, 1999). Για την αποτελεσματική υλοποίηση ενός ΣΚΕ χρειάζεται εξοικείωση με τις στατιστικές έννοιες και διαδικασίες, τόσο από την πλευρά των μαθητών όσο και από την πλευρά του διδάσκοντα. Η σύνδεση μεταξύ των διαφόρων σταδίων του ΣΚΕ, η διατύπωση κατάλληλων ερωτημάτων, η σωστή διαχείριση του χρόνου και η αποτελεσματική διαχείριση της τάξης στο πλαίσιο συζήτησης και διερεύνησης, απαιτούν εμπειρία από το διδάσκοντα και μπορούν να ενισχύσουν σε μεγάλο βαθμό τους στόχους του ΣΚΕ. Τέλος, ο πειραματισμός των μαθητών με τα δεδομένα μέσω κατάλληλου λογισμικού, μπορεί να αποτελέσει χρήσιμο εργαλείο για την εννοιολογική κατασκευή του τυπικού στατιστικού σφάλματος και του διαστήματος εμπιστοσύνης. Το πλαίσιο των Stein και Lane (1996), αν και αποτελεί χρήσιμο εργαλείο για την ανάλυση δραστηριοτήτων υψηλών απαιτήσεων, χρειάζεται επέκταση προκειμένου να εφαρμοστεί στην περίπτωση του ΣΚΕ. Η παρούσα μελέτη έδειξε ότι τα διδακτικά μέσα και οι γνωστικές απαιτήσεις σε έναν ΣΚΕ, διαφέρουν σε σχέση με τις υψηλών απαιτήσεων δραστηριότητες σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Η επέκταση του

πλαισίου των Stein και Lane ήταν έξω από τους στόχους της έρευνάς μας. Παρόλα αυτά, ορισμένα χαρακτηριστικά όπως η λήψη αποφάσεων από τους μαθητές και η διαρκής σύνδεση με το πλαίσιο του προβλήματος, τα οποία δεν συμπεριλαμβάνονται στο πλαίσιο των Stein & Lane, φαίνεται να παίζουν καθοριστικό ρόλο για τον ΣΚΕ. Μια πιο συστηματική έρευνα σε αυτήν την κατεύθυνση ενδέχεται να αναδείξει επιπλέον στοιχεία ή διαφοροποιήσεις. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Arbaugh, F. (2003). Study groups as a form of professional development for secondary mathematics teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 6(2), 139-163 Finzer, W., Erickson, T., & Binker, J. (2000). Fathom: Reference manual and learning guide. Key Curriculum Press Gal, I. (2002). Adults statistical literacy: Meanings, components, responsibilities. International Statistical Review, 70(1), 1-51 Heaton, R. M. & Mickelson, W. T. (2002). The learning and teaching of statistical investigation in teaching and teacher education. Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 35-59 Makar, K. (2008). A model of learning to teach statistical inquiry. Paper presented at the Joint ICMI/IASE Study, Statistics Education in School Mathematics: Challenges for Teaching and Teacher Education, Monterrey, Mexico, 30 June-4 July 2008 Moore, D. (1997). New Pedagogy and New Content: The Case of Statistics. International Statistical Review, 65, 123-165 National Council of Teachers of Mathematics. (NCTM). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM, 2000 Pfannkuch, M. (2005). Probability and statistical inference: How can teachers enable learners to make the connection? In G. Jones (Ed.), Exploring probability in school: Challenges for teaching and learning (pp. 267-294). New York: Springer Rubin, A., Bruce, B., & Tenney, Y. (1991). Learning about sampling: Trouble at the core of statistics. In D. Vere-Jones (Ed.), Proceedings of the Third International Conference on Teaching Statistics. v.1. School and General Issues (pp. 314-319). Voorburg, The Netherlands: International Statistical Institute Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity to think and reason: An analysis of the relationship between teaching and learning in a reform mathematics project. Educational Research and Evaluation, 2(1), 50 80 Wild, C. J., & Pfannkuch, M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry. International Statistical Review, 67(3), 223 265