Θαλής 1998 Β Γυµνασίου

Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές ρίζες της εξίσωσης 2 42 x + x= 2 x + x+ 1. Θαλής 1998 Α Λυκείου Έστω ότι για τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α+ β β+ γ γ + α αβ γ + βγ α + γα β = 0. 2 2 2 Να αποδείξετε ότι α = β = γ. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου 246

Πόσες πραγµατικές ρίζες έχει η εξίσωση 8 6 3 2x + 18x 64x + 81= 0; Θαλής 1998 Β Λυκείου Να υπολογισθεί το άθροισµα 3 5 7 2ν + 1 + + + + 1 2 2 3 3 4 ν ( ν + 1) όπου ν είναι θετικός ακέραιος. 2 2 2 2 2 2 2 2 Θαλής 1998 Β Λυκείου Αν α, β, γ είναι ρητοί θετικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει 1 + 1 + 1 = αβγ να αποδείξετε ότι ο α β γ αριθµός ( α 2 β 2 1)( β 2 γ 2 1)( γ 2 α 2 1) τετράγωνο ρητού αριθµού. + + + είναι τέλειο Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 247

Οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z ικανοποιούν τις ανισότητες x y+ z, y z+ x, z x+ y. Να δειχθεί ότι x+ y+ z= 0. Θαλής 1999 Β Λυκείου 4 2 2 ίνεται η εξίσωση x 2ax + x+ a a= 0, a R. Θεωρείστε στην εξίσωση το a ως άγνωστο, το x ως παράµετρο και βρείτε τις ρίζες της συναρτήσει του x. Βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης µε άγνωστο το x συναρτήσει της παραµέτρου a. Θαλής 1999 Γ Λυκείου 248

Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, z ισχύουν x yz= y zx= z xy. Να αποδείξετε ότι ( x y)( y z)( z x) = 0. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς a, x, y ισχύουν a 2, 1 x a και 1 y a, να αποδείξετε ότι ( x y) 4 + 1 1 + x y ( a+ 1) 2 a. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου 249

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y που ικανοποιούν την εξίσωση: 5 2 3 x y + 100x = 200. Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου 2 2 x y x y 2 2 Να αποδείξετε ότι 2 + 5 + + 6 0 y x y x για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς x, y µε xy 0. Ευκλείδης 1999 Β Λυκείου 250

Ο εξαψήφιος αριθµός α2000β είναι πολλαπλάσιο του 99. Να βρεθούν τα ψηφία α και β. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου Οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z ικανοποιούν την ισότητα 2 2 2 2 x + 2 y + z = (2 / 5) a, a> 0. Να δείξετε ότι x y+ z a. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου Το τριπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 18 ισούται µε το τετράγωνο του αριθµού. Να βρεθεί ο αριθµός. Θαλής 2000 Α Λυκείου 251

2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + x= 2ν+ 1, ν N, έχει πραγµατικές ρίζες. Είναι δυνατόν οι ρίζες της εξίσωσης αυτής να είναι ακέραιοι αριθµοί; Θαλής 2000 Β Λυκείου Αν α και x είναι πραγµατικοί αριθµοί και α 1, να αποδείξετε ότι: 2 x + α 2 2 x + α 1 Πότε ισχύει η ισότητα; Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 252

4 4 (α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση x + 4y. (β) Αν οι αριθµοί x, y είναι θετικοί ακέραιοι και 4 4 y 2 να αποδείξετε ότι ο αριθµός x + 4y είναι σύνθετος. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου Για όλους τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς x, y, z να αποδείξετε ότι: (α) 3 3 x + y x + xy+ y 2 2 x+ y 3 3 3 x y z (β). f( x, yz, ) = + + x+ y+ z 2 2 2 2 2 2 x + xy+ y y + yz+ z z + zx+ x Ευκλείδης 2000 B Λυκείου 253

Για κάθε x,y,z>0 να αποδείξετε ότι: 3 3 x + y x+ y (α) 2 2 x + xy+ y 3 3 3 3 x y z x+ y+ z (β) f( x, yz, ) = + + 2 2 2 2 2 2 x + xy+ y y + yz+ z z + zx+ x 3 Πότε ισχύει η ισότητα; Ευκλείδης 2000 Γ Λυκείου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y,z ισχύει ότι xyz= 1, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 1 1 1 K= + +. y z x y+ 1 z+ 1 x+ 1 x+ 1 y+ 1 z+ 1 Θαλής 2001 Α Λυκείου 254

Να λυθεί η εξίσωση 2 4 2 2 5 4 3 2 3(1+ a + a )x = (1+ a+ a ) x+ a + a + a a a 1 ως προς x, θεωρώντας το a ως παράµετρο. Θαλής 2001 Α Λυκείου Να προσδιορίσετε το µεγαλύτερο θετικό ακέραιο ν 2 που είναι τέτοιος ώστε ο αριθµός ν + 2004ν να είναι τέλειο τετράγωνο. Θαλής 2001 Β Λυκείου 255

2 ίνεται η εξίσωση µx + βx+ ν= 0,όπου µ, ν είναι πρώτοι φυσικοί αριθµοί µε 3 < µ < ν και ο β είναι ακέραιος. Να προσδιορίσετε τον ακέραιο β συναρτήσει των φυσικών µ, ν έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει µία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. Θαλής 2001 Γ Λυκείου Να προσδιορίσετε το γινόµενο των ν διαδοχικών όρων a 1,a 2,...,a ν γεωµετρικής προόδου, αν είναι γνωστό, ότι ο φυσικός αριθµός ν είναι άρτιος και 1 1 1 a1+ a 2+... + a ν = κ, + +... = λ, a a a 1 2 ν όπου οι κ,λ είναι δεδοµένοι πραγµατικοί αριθµοί. Θαλής 2001 Γ Λυκείου 256

Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση ( ) 2 2 3 3 Α= 1+ x x + x + x. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου Έστω Α= 1 +, 2( x+ 1) Β= 2 x + 2x+ 1. 2 9x 6x 1 Να βρείτε όλες τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες η 2Α+Β αριθµητική τιµή της παράστασης Γ= είναι ακέραιος 3 αριθµός. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 257

Να βρείτε όλες τις τιµές του a R για τις οποίες το σύστηµα 2 2 x + y + 2x 1 x y + a = 0 έχει µοναδική λύση. Για τις τιµές του a που θα βρείτε, να προσδιορίσετε την αντίστοιχη λύση. Θαλής 2002 Β Γυµνασίου Να προσδιορίσετε όλες τις τιµές των πραγµατικών παραµέτρων α και β για τις οποίες οι ρίζες των εξισώσεων 2 2 x αx 1= 0 και x βx 1= 0 σχηµατίζουν µε κατάλληλη διάταξη µία αριθµητική πρόοδο µε 4 όρους. Ευκλείδης 2001 Γ Λυκείου 258

ίνεται το πολυώνυµο 2 2 2 2 Ρ ( x, yz, ) = x yz+ 3x y+ 3xz+ 6x + 11xyz + 22xz+ 33xy+ 66x α) Να γράψετε το Ρ ( x, y, z) ως γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων. β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθµών ( x, y, z ) ισχύει ότι Ρ ( x, y, z) = 2002; Ευκλείδης 2002 Β Γυµνασίου Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ µε βγ 0 ισχύει 2 1 γ ότι βγ 0. Να αποδείξετε ότι 2 2 2 3 10( α β γ βγ ) 2 5 + + αβ+ αγ. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 259

Οι αριθµοί x, y, z, w έχουν την ιδιότητα: Αν προσθέσουµε τρεις οποιουσδήποτε από αυτούς και από το άθροισµά που θα προκύψει αφαιρέσουµε τον αριθµό 5 προκύπτει πάντοτε ο αριθµός 2002. Να υπολογίσετε το άθροισµα x+ y+ z+ w. Θαλής 2002 Α Λυκείου 2 Αν η εξίσωση αx 4βx+ 4γ = 0, α > 0 έχει δύο ρίζες στο διάστηµα [2,3], να αποδείξετε ότι I. α β γ < α+ β α β γ II. + >. α+ γ β + α γ + β Θαλής 2002 Β Λυκείου 260

Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί x, y που ικανοποιούν την εξίσωση 2 2 x + y 2x 2y 2 2002 + = συν[ π ( x+ y)]. Θαλής 2002 Γ Λυκείου Να επιλύσετε ως προς x την εξίσωση 2 3a+ 1 a 1 2 a( a 1) =, a R. 2 2 a+ x a x x a Για ποιες θετικές ακέραιες τιµές του a οι ρίζες της εξίσωσης είναι αριθµοί πρώτοι; Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 261

(α) Αν a είναι πραγµατική παράµετρος και 2a Α Β =, για κάθε 2 2 { } x a x a x+ a x R a, a, να βρείτε τους αριθµούς Α και Β. (β) Αν είναι m m 10, 9, 1, 0,1,,9,10, να αποδείξετε ότι 2 4 6 20 2 2 2 2 x 1 x 4 x 9 + x 100 = x, όπου { } 1 1 1 11 + + +. ( x 1)( x + 10) ( x 2)( x + 9) ( x 10)( x + 1) Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου Αν οι x, y, z είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να αποδείξετε ότι 1 1 1 1 + +. 3 3 3 3 3 3 x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 262

Για τους ακέραιους α, β δίνεται ότι 2 4αβ ( α β ) = (1). α+ β 1 α) Να αποδείξετε ότι ο α+ β είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να βρείτε τα ζεύγη ( α, β ) των ακέραιων που ικανοποιούν την ισότητα (1). Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου Αν είναι 8 2α 2α + α =, να αποδείξετε ότι α > 1. 2 6 4 2 3 Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου 263

Αν abcd,,, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και 3 3 a b 3ab c d 1 3 3 3 3 + + = + =, να αποδείξετε ότι 1 1 1 1 125 a+ + b+ + c+ + d+. a b c d 2 Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι Να λύσετε στους πραγµατικούς αριθµούς το σύστηµα: 2 2 x + y z( x+ y) = 2 + ( + ) = 4 2 2 y z x y z + ( + ) = 8 2 2 z x y z x Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι 264

Αν x, y, ab, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε x y, x 2 y, y 2 xa, ± 3b και 2 x y 2 y x = = λ, a+ 3b a 3b να αποδείξετε ότι: α) x+ y= 2λa και x y= 2λb β) x + y x y 2 2 1 2 2. Θαλής 2003 Α Λυκείου ίνονται οι παραστάσεις 2 2 Α= x kx+ m, Β= x + mx k, µε k,m R και k+ m 0. Αν είναι 2 2 Γ= m x +(k 1) x+ k, 2 2 2 Α +Β +Γ =ΑΒ+ΒΓ+ΓΑ, να βρείτε την τιµή του x, την µέγιστη τιµή του k και την τιµή του m που αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του k. Θαλής 2003 B Λυκείου 265

Από τους αριθµούς x, y, z R δύο είναι αρνητικοί και ένας είναι θετικός. Να αποδείξετε ότι: 2 2 2 2 2 2 ( x y)( x xy ) ( y z)( y yz ) ( z x)( z zx ) + + 3( x y)( y z)( z x) yz zx xy Θαλής 2003 B Λυκείου (α) Αν για τους ακέραιους a, b αληθεύει η ισότητα 2 4 2 4 a+ a + a = b+ b + b, τότε να αποδείξετε ότι a= b. 2 4 (β) Αφού επαληθεύσετε ότι η εξίσωση x+ x + x = 22 έχει ως λύση τον ακέραιο αριθµό 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν µπορεί να έχει άλλη ακέραια λύση. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου 266

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y για τους 2 2 οποίους ο αριθµός Α= x + y + 1 2xy+ x y είναι τέλειο τετράγωνο και επιπλέον ισχύει 2 2 x + y < 12. Θαλής 2004 Β Λυκείου Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y για τους οποίους ισχύει ότι 9 x 2 + y 2 + 10xy= 177+ x 2 y 2 ( ) Θαλής 2004 Γ Λυκείου Να απλοποιηθεί η παράσταση 13+ 30 2+ 9+ 4 2 Θαλής 2005 Α Λυκείου 267

Β.. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΙΟΥ Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός 3 3 2003 2005 2004 2002, είναι κύβος ακεραίου αριθµού. Θαλής 2005 Α Λυκείου Αν α και β είναι πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε να ισχύει να αποδειχθεί ότι α+β= 0 2 2 ( )( ) α+ α + 1 β+ β + 1 = 1 Θαλής 2005 Β Λυκείου 268

Να εξετασθεί αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί x τέτοιοι ώστε να ισχύει ( ) ( ) 3 4 2 4 4 1+ x + 1+ x = 2x Θαλής 2005 Β Λυκείου 269

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ =ΑΓ) µε περίκεντρο Ο και έγκεντρο Ι. Αν είναι ένα σηµείο της ΒΓ τέτοιο ώστε η Ο να είναι κάθετος επί της ΒΓ, να αποδειχθεί ότι Γ = Ι. Θαλής 1998 Γ Λυκείου Θεωρούµε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 2 και τετράγωνο ΟΑΒΓ. Αν το τετράγωνο και ο κύκλος έχουν κοινό µέρος 3 εµβαδού ίσο µε τα του εµβαδού του τετραγώνου, να 5 υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου. Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 270

Από το βαρύκεντρο Θ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε ευθεία τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία Κ, Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι 4 4 BK ΓΛ 1 +. AK ΛA 8 Ευκλείδης 1998 Β Λυκείου Μια σκάλα ακουµπά στο έδαφος και στον τοίχο. Το σηµείο επαφής Α στον τοίχο βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Επιπλέον υπάρχει ένα σηµείο της σκάλας που απέχει ίση απόσταση x από τον τοίχο και το έδαφος. Να βρείτε το µήκος της σκάλας συναρτήσει των h και x. Θαλής 1999 Α Λυκείου 271

Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ, εγγεγραµµένο σε κύκλο. Έστω το µέσο του τόξου ΒΓ, που περιέχει την κορυφή Αρχιµήδης Αν Ε είναι το ίχνος της κάθετης από το προς τη ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΒ+ΑΕ=ΕΓ. Θαλής 1999 Β Λυκείου Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο µε Α= ˆ 90 ο. Σχηµατίζουµε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΒΓ Ε και φέρουµε την εσωτερική διχοτόµο της γωνίας ˆΑ. Να αποδειχθεί ότι αυτή χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισεµβαδικά τραπέζια. Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 272

υο αµβλείες γωνίες είναι τοποθετηµένες έτσι, ώστε το ένα ζεύγος των πλευρών τους να είναι ηµιευθείες αντικείµενες, ενώ το άλλο ζεύγος είναι κάθετες ηµιευθείες. Να υπολογίσετε το άθροισµα των δύο γωνιών. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου Στο διπλανό σχήµα τα τετράπλευρα ΑΒΓ και ΓΕΖΗ είναι τετράγωνα και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι τους τέµνονται στα Γ και Μ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα σηµεία, Μ και Η είναι συνευθειακά. β. Τα σηµεία Μ, Β και Ε είναι συνευθειακά. Ευκλείδης 1999 Β Λυκείου 273

ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Σηµείο Μ κινείται στο τόξο ΑΒ που περιέχει τα Γ και. Να αποδείξετε ότι ο λόγος ΜΑ+ΜΒ είναι σταθερός, δηλαδή ΜΓ+Μ ανεξάρτητος από τη θέση του Μ στο τόξο ΑΒ. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούµε τα ύψη Α και ΒΕ, στα οποία παίρνουµε σηµεία Μ, Ν αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΒΜΓ=ΑΝΓ= ˆ ˆ 90 ο. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΜΝ είναι ισοσκελές. β) Αν επιπλέον είναι ΜΝ= 4+ 2 3 και ΜΓΝ= ˆ 30 ο, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΓΝ. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου 274

α) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός ο τετραπλεύρου είναι 360. β) Τετραπλεύρου ΑΒΓ οι εξωτερικές γωνίες Αˆ, Βˆ, Γˆ, ˆ είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 6, 8, εξ εξ εξ εξ 10 και 12, αντίστοιχα. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου. Θαλής 2000 Α Λυκείου Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε την υποτείνουσα ΒΓ κατά τµήµα Γ = ΑΓ. Η διχοτόµος της γωνίας Β τέµνει την Α στο Ευκλείδης Ο κύκλος γ κέντρου Α και ακτίνας ΑΕ τέµνει την ΒΕ, εκτός του Ε, και στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η χορδή ΖΕ χωρίζει τον κύκλο γ σε δύο τόξα από τα οποία το ένα είναι τριπλάσιο του άλλου. Θαλής 2000 Β Λυκείου 275

Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ= 2cm. Προς τα ίδιο µέρος της ΑΒ θεωρούµε τα ισοσκελή τρίγωνα ΓΑΒ, ΑΒ, ΖΑΒ µε ΓΑ=ΓΒ, Α= Β και ΖΑ=ΖΒ, έτσι ώστε 2 2 2 Ε ( ΓΑΒ) = 1 cm, Ε ( ΑΒ) = 2 cm, Ε ( ΖΑΒ) = 3 cm. Να αποδείξετε ότι: ˆ ˆ π Α Β+ΑΖΒ=. 2 Θαλής 2000 Β Λυκείου Ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ ) οι πλευρές ΒΓ= α και ΑΓ= β ικανοποιούν τη σχέση α = 10. Να αποδείξετε β 5 ότι είναι µ β µ γ, όπου µ β και µ γ είναι οι διάµεσοι από τις κορυφές Β και Γ. Θαλής 2000 Γ Λυκείου 276

Τα σηµεία Κ, Λ βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ και είναι τέτοια ώστε να ισχύουν: (ΑΒΚ)=(ΑΓΚ)=(ΒΚΛ)=(ΓΚΛ)=ΒΛΓ). α) Να αποδείξετε ότι τα Κ, Λ ανήκουν στη διάµεσο Α του τριγώνου ΑΒΓ. β) Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθεί ΚΘ ο λόγος ΘΛ. Θαλής 2000 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Οι Β, ΓΕ είναι οι διχοτόµοι των Β και Γ και η Ε τέµνει το τόξο ΑΒ, που δεν περιέχει το Γ, στο σηµείο Κ. Αν είναι ΚΑ1 ΒΓ, ΚΒ1 ΑΓ, ΚΓ1 ΑΒ, και το σηµείο απέχει από τις πλευρές ΒΑ και ΒΓ απόσταση ίση µε x, ενώ το Ε απέχει από τις πλευρές ΓΑ, ΒΓ απόσταση ίση µε y, τότε: Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι 277

Α.. Β. ΓΙΙΑ. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΙΟΥ ΛΥΚΕΙΙΟΥ α) να εκφράσετε τα µήκη των τµηµάτων ΚΑ1, ΚΒ1, ΚΓ 1 Κ συναρτήσει των x, y και του λόγου λ=. Ε β) να αποδείξετε ότι 1 1 1 = + ΚΒ ΚΑ ΚΓ. Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι Θεωρούµε τις κάθετες ηµιευθείες Ot, Os, το σηµείο Α της Ot µε ΟΑ=x και το σηµείο Β της Os µε ΟΒ=y και y<x. Κατασκευάζουµε το τετράγωνο ΑΒΓ µέσα στη γωνία tos. Από την κορυφή φέρουµε ευθεία ε κάθετη στη διχοτόµο Οδ της γωνίας tos η οποία τέµνει την Os στο Ε και την Ot στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: (α) ΑΖ=x+y και ΒΕ=2x (β) Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 278

ίνεται κύκλος (O,R), µια διάµετρος ΑΒ αυτού και ένα σηµείο Γ διαφορετικό των Α, Β. Θεωρούµε τις εφαπτόµενες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ, αντιστοίχως, οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Ρ. Η κάθετος από το Γ προς τη διάµετρο ΑΒ την τέµνει στο, ενώ η ευθεία Γ στο Ευκλείδης Να υπολογίσετε το λόγο ΓΕ Γ. Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκους 3α και κατασκευάζουµε τετράγωνα ΒΓ Ε και ΒΖΗΘ εκατέρωθεν του ΑΒ, όπου τα σηµεία Γ και Θ ανήκουν στο ΑΒ και είναι τέτοια ώστε ΒΓ=α, ΒΘ=2α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΒ, Ζ και ΕΗ περνάνε από το ίδιο σηµείο. Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου 279

ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ. Ένας κύκλος που έχει χορδή τη ΒΓ τέµνει τη πλευρά ΑΒ στο µέσο της και την πλευρά ΑΓ στο σηµείο Ευκλείδης Γράφουµε και το κύκλο γ που έχει χορδή τη ΓΕ και εφάπτεται της ΒΓ στο Γ. Η Ε προεκτεινόµενη τέµνει την ευθεία ΒΓ στο Ζ και τον κύκλο γ στο Η. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΖΑ, ΒΕ και ΓΗ περνάνε από το ίδιο σηµείο. Ευκλείδης 2000 Γ Λυκείου Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ και σηµείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουµε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓΕ προς το ίδιο µέρος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΓ. Αν οι ΑΕ και Γ τέµνονται στο Ζ, να βρείτε τη γωνία ΑΖ ˆ. Αρχιµήδης 1999 Μικροί 280

Ορθογώνιο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ=α και ΒΓ=β. Θεωρούµε σηµεία Ε και Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ και Γ, αντιστοίχως, έτσι ώστε η περίµετρος του τριγώνου ΕΓΖ να είναι ίση προς α+β και η ΑΖ να είναι διχοτόµος της γωνίας ΖΕ ˆ. α) Να αποδείξετε ότι α, β. β) Να βρείτε τη γωνία ˆ ΕΑΖ. Θαλής 2001 Β Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ > 45 ο και ˆΒ > 45 ο. Στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τρίγωνο ΑΒ ορθογώνιο και ισοσκελές µε ˆ = 90. Στη συνέχεια, εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε ορθογώνια ισοσκελή ο τρίγωνα ΒΓΕ και ΑΓΖ µε E = 90, ο Z = 90.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΖ είναι παραλληλόγραµµο. Θαλής 2001 Β Λυκείου 281

Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=1 και ˆΒ = 120 ο υπάρχει σηµείο πάνω στη πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε να είναι ΑΒ ˆ = 90 και Γ=ΑΒ. Να βρείτε το µήκος του τµήµατος Α. Θαλής 2001 Γ Λυκείου Από το µέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ µε ˆΑ = 90 και ΑΒ>ΑΓ φέρουµε κάθετη προς τη ΒΓ, η οποία τέµνει την πλευρά ΑΒ στο σηµείο. Αν τα τρίγωνα ΜΒ και ΑΓ είναι ίσα, να βρείτε τις γωνίες ˆΒ και ˆΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 282

Από σηµείο της πλευράς ΑΒ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε ˆΑ = 90, φέρουµε δύο ευθείες που χωρίζουν το τρίγωνο ΑΒΓ σε τρία τρίγωνα ίσα µεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι: α) Το σηµείο είναι εσωτερικό σηµείο της πλευράς ΑΒ, δηλαδή δεν είναι ένα από τα άκρα του. β) ˆΒ = 30 ο. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ < 90. Φέρουµε ευθύγραµµο τµήµα Α κάθετο και ίσο προς τη πλευρά ΑΒ καθώς και ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ κάθετο και ίσο προς τη πλευρά ΑΓ, έτσι ώστε ΑΕ ˆ < 90. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το Α και το µέσο της ΒΕ είναι κάθετη προς την ευθεία Γ. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου 283

ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο, µε ΑΒ2, ΑΓ=2, ΒΓ=3 και σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε Β =2 Γ. Στο σηµείο φέρουµε ευθεία κάθετη προς την Α η οποία τέµνει το τόξο ΑΒΜ στο σηµείο Μ. Να υπολογίσετε την περίµετρο του τετραπλεύρου ΑΒΜΓ συναρτήσει του ΑΜ = κ. Ευκλείδης 2001 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ> ˆ 10 ο και Β=Γ+ ˆ ˆ 10 ο. Θεωρούµε σηµείο Ε της πλευράς ΑΒ, έτσι ώστε ΑΓΕ= ˆ 10 ο, και σηµείο της πλευράς ΑΓ, έτσι ώστε ΒΑ= ˆ 15 ο. Έστω Ζ Α είναι σηµείο τοµής των περιγεγραµµένων κύκλων των τριγώνων ΑΒ και ΑΕΓ. Να αποδείξετε ότι ΖΒΑ>ΖΓΑ ˆ ˆ. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 284

Στο διπλανό σχήµα φαίνεται οικόπεδο ΑΒΓ σχήµατος ορθογωνίου µε πλευρές ΑΒ = α και ΒΓ = β. Από το οικόπεδο θα κοπούν δύο δρόµοι ΕΖΗΘ και ΑΙΚΛ. Ο δρόµος ΕΖΗΘ σχήµατος ορθογωνίου έχει πλάτος ΖΗ=y, ενώ ο δρόµος ΑΙΚΛ σχήµατος παραλληλογράµµου έχει πλευρά ΑΙ=x. α) Να εκφράσετε το εµβαδόν του οικοπέδου που αποµένει µετά την αποκοπή των δύο δρόµων ως συνάρτηση των α, β, x και y. β) Να εκφράσετε το πλάτος d του δρόµου ΑΙΚΛ ως συνάρτηση του x, αν είναι γνωστό ότι ΑΛ= ˆ 30 o. Θαλής 2002 Α Λυκείου 285

Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α. Αν η ΑΓ τέµνει τη ΒΕ στο σηµείο Ζ, να αποδείξετε ότι η Ζ περνάει από το µέσον της ΒΓ. Θαλής 2002 Β Λυκείου ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ. Τα σηµεία Ε, Ζ κινούνται πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΕΑΖ= ˆ 45 ο. Οι ΑΕ και ΑΖ τέµνουν τη Β στα σηµεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Οι ΕΛ και ΖΚ τέµνονται στο Η και η ΑΗ τέµνει τη ΖΕ στο Μ. Να αποδείξετε ότι: I) Η ευθεία ΑΜ είναι κάθετος προς τη ΖΕυκλείδης II) Η γωνία ΒΜ ˆ είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των Ε, Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ, αντίστοιχα. Θαλής 2002 Β Λυκείου 286

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ΑΒΓ Α= 90 ) θεωρούµε το ύψος Α και τη διχοτόµο ΓΕ που τέµνονται στο Ζ. Αν Η είναι το σηµείο τοµής των Ε και ΒΖ να αποδείξετε ότι: (i) AB A = AB AZ+ AE A (ii)(aehz) = (BH ) Θαλής 2002 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Β= ˆ 120 ο. Αν Α, ΒΕ και ΓΖ είναι οι διχοτόµοι των γωνιών του, να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ ˆ. Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 287

ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ˆΑ = 90. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΓ και ΑΓΕυκλείδης Αν Μ είναι το µέσο της ΑΒ και Μ =u, ΜΕ=v, να υπολογίσετε το µήκος της ΑΒ, ως συνάρτηση των u, v. Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου ίνεται κύκλος C κέντρου Κ και ακτίνας r, σηµείο Α πάνω στο κύκλο και σηµείο Ρ στο εξωτερικό του κύκλου C. Από το σηµείο Ρ θεωρούµε µεταβλητή ευθεία ε η οποία τέµνει τον κύκλο C στα Β και Γ. Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Τ του επιπέδου του κύκλου C τέτοιο ώστε το άθροισµα 2 2 ΗΑ +ΗΤ να είναι σταθερό (ανεξάρτητο από τη θέση της ευθείας ε). Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι 288

Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του Α και την εξωτερική διχοτόµο της γωνίας Α η οποία τέµνει την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο Ε. Φέρουµε τη ΒΖ κάθετη προς την ΑΕ και την ΕΗ κάθετη προς την ΑΓ. (α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία, Ζ και Η είναι συνευθειακά. (β) Αν είναι Β=Γ+30, να βρείτε τη γωνία ΑΗ. Θαλής 2004 Β Λυκείου Να αποδειχθεί ότι αν η ευθεία που ενώνει τα µέσα των δύο απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετραπλεύρου διαιρεί το τετράπλευρο σε δύο ισεµβαδικά τετράπλευρα, τότε το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Θαλής 2005 Α Λυκείου 289

Έστω ΑΒΓ ένα σκαληνό τρίγωνο. Πόσα σηµεία υπάρχουν στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ, να έχει άξονα συµµετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου; Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου Οι κορυφές Α, Β, Γ,, Ε µιας τεθλασµένης γραµµής βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο όπως στο σχήµα και οι γωνίες ΑΒΓ, ΒΓ, Γ Ε έχουν µέτρο 45. Να αποδειχθεί ότι 2 2 2 2 AB +Γ =ΒΓ + Ε. Ευκλείδης 2005 Β Λυκείου 290

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί ν για τους οποίους ο 2 αριθµός 2ν + 1 διαιρεί τον αριθµό ν + ν 2. Θαλής 1998 Α Λυκείου Για ποιους θετικούς ακέραιους m και n µεγαλύτερους του 1 ισχύει 1999 1999 n 2 + 3 = m ; Θαλής 1998 Γ Λυκείου 291

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθµοί ν για τους οποίους ο 3 ν + 5 αριθµός είναι ακέραιος. 2 ν + 7 Θαλής 1998 Β Λυκείου Αν α περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθµός 4 2 α + 6α 7 είναι πολλαπλάσιο του 128. Θαλής 1999 Α Λυκείου 292

ίνεται η εξίσωση 2 2 x (4a 7) x+ 3a 17a+ 10= 0, a Z, a 1. I. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών της είναι περιττός ακέραιος. II. Να υπολογιστεί η τιµή του a έτσι, ώστε η µεγαλύτερη ρίζα να είναι τετραπλάσια της µικρότερης. Θαλής 1999 Β Λυκείου Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x, y, z τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την ισότητα 2 2 x + y 8z= 6. Θαλής 2000 Γ Λυκείου 293

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α, β τέτοιοι ώστε το γινόµενο (15α+β)(α+15β) να είναι µία δύναµη µε βάση το 3 και εκθέτη ακέραιο. Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι Τριψήφιος αριθµός είναι µεγαλύτερος του 610, µικρότερος του 650 και διαιρούµενος µε το 7 δίνει υπόλοιπο 3. Να βρεθεί ο αριθµός, αν είναι γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του 5. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 294

Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθµούς που είναι ίσοι µε το γινόµενο που προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουµε τα ψηφία τους αυξηµένα κατά 2. Θαλής 2002 Β Λυκείου Έστω x, y δύο διψήφιοι αριθµοί µε x< y. Το γινόµενο xy είναι τετραψήφιος αριθµός που αρχίζει από 2. Αν διαγράψουµε το 2, τότε ο αριθµός που µένει ισούται µε x+ y. Ένα τέτοιο ζεύγος αριθµών είναι οι x= 30, y= 70, γιατί xy = 2100 και 100= 30+ 70. Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη ( x, y ) µε την ιδιότητα αυτή Αρχιµήδης 2002 Μικροί 295

Ο πενταψήφιος αριθµός Α= xxxxx 1 2 3 4 5 (στο δεκαδικό σύστηµα) έχει ψηφία x 1, x 2, x 3, x 4 και x 5, τέτοια ώστε x 3 > 1, x 4 > 1, x 5 > 1 και x1+ xx 1 2+ xxx 1 2 3+ xxxx 1 2 3 4+ xxxxx 1 2 3 4 5 = 121. Να βρεθεί ο αριθµός Αρχιµήδης Αν ο αριθµός αβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) είναι πρώτος, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 αx βx γ 0 + + = δεν έχει ρητή ρίζα. Ευκλείδης 2002 Γ Λυκείου Αν ο αριθµός αβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) είναι πρώτος, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα. 2 αx βx γ 0 + + = δεν έχει ρητή Ευκλείδης 2002 Γ Λυκείου 296

Αν x, y, z είναι θετικοί ακέραιοι µε ΜΚ ( x, y, z ) = 1 και 1 1 1 + =, να αποδείξετε ότι ο αριθµός x+ y είναι τέλειο x y z τετράγωνο. Θαλής 2003 Γ Λυκείου Να βρεθούν οι ακέραιοι α, β για τους οποίους ισχύει η ισότητα 2 2 αβ + 2αβ+ α= 2β + 4β+ 3. Θαλής 2003 Α Λυκείου Για ακεραίους m και n, να αποδειχθεί ότι αν ο αριθµός 2 2 m + 28mn+ n διαιρείται δια του 13, τότε και ο αριθµός 3 3 m + n διαιρείται δια του 13. Θαλής 2005 Γ Λυκείου 297

Είκοσι κληρονόµοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να µοιράσουν την κληρονοµιά τους. Συµφωνούν να τη µοιράσουν µε τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήµατα όσα είναι ο µέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η µοιρασιά; Θαλής 1998 Γ Λυκείου Να εξετάσετε αν υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθµοί, τέτοιοι ώστε το άθροισµα δύο οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι δύναµη του 5. Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 298

Το άθροισµα δύο ακέραιων αριθµών είναι 26, ενώ αν διαιρέσουµε το µεγαλύτερο µε το µικρότερο βρίσκουµε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1. Να βρεθούν οι αριθµοί. Θαλής 1999 Α Λυκείου Σε µια πρόσφατη έκλειψη Ηλίου στη χώρα µας ο δίσκος της Σελήνης κάλυπτε το δίσκο του Ήλιου έτσι ώστε η καλυπτόµενη επιφάνεια να µεγαλώνει σιγάσιγά. Το σχήµα µας δείχνει µια φάση της κάλυψης αυτής. Να αποδείξετε ότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή του φαινοµένου, η διαφορά µεταξύ των µη επικαλυπτοµένων επιφανειών Η0 Σ 0 παρέµενε σταθερή. Θαλής 1999 Α Λυκείου 299

Σε µια τάξη Λυκείου διοργανώθηκε πρωτάθληµα σκακιού. Την πρώτη ηµέρα έγιναν µόνο κάποιοι αγώνες στους οποίους οι δύο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς τις πρώτης ηµέρας πήραν µέρος τα 3 4 του αριθµού των αγοριών της τάξης και τα 2 3 του αριθµού των κοριτσιών της τάξης. Αν η τάξη έχει συνολικά 34 παιδιά να βρείτε: a. πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη. b. Πόσα παιδιά δεν πήραν µέρος την πρώτη ηµέρα στους αγώνες. Θαλής 2000 Α Λυκείου 300

Οι δύο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι x και y. Αν αυξήσουµε τη µια διάσταση κατά 1 και την άλλη διάσταση κατά 2, τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εµβαδόν διπλάσιο του εµβαδού του αρχικού ορθογωνίου. Να βρεθούν οι διαστάσεις x και y. Θαλής 2000 Α Λυκείου Να βρεθεί η µέγιστη τιµή του θετικού ακέραιου x για την οποία ο 13 x διαιρεί τον αριθµό 500! [ ίνεται ότι: 500! = 1 2 3 500 ] Θαλής 2000 Β Λυκείου 301

Σε µια κατασκήνωση υπάρχουν 577 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Σε οποιαδήποτε οµάδα 9 παιδιών υπάρχουν 2 τουλάχιστον παιδιά µε το ίδιο ύψος. Να αποδείξετε ότι υπάρχει οµάδα 5 παιδιών από την ίδια χώρα που είναι του ίδιου φύλου και έχουν το ίδιο ύψος. Θαλής 2000 Γ Λυκείου Θεωρούµε 100 αριθµούς a1, a2,, a100 από τους οποίους οι 40 είναι ίσοι µε 1, οι 60 είναι ίσοι µε 2 και τους τοποθετούµε πάνω σε ένα κύκλο έτσι, ώστε να µην υπάρχουν τρεις ίσοι αριθµοί σε διαδοχικές θέσεις. Σχηµατίζονται έτσι 100 τριάδες Τ,i= 1,2,,100, αριθµών σε διαδοχικές θέσεις πάνω σε i κύκλο. Αν P i είναι το γινόµενο και S i είναι το άθροισµα των τριών αριθµών της τριάδας Τ i, i= 1,2,,100, να αποδείξετε ότι: (α) Pi = 2Si 6, για κάθε i= 1,2,,100 (β) P + P + + P = 360. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 302

ύο µαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Πάνω σε ένα κύκλο δίνονται 100 διαφορετικά σηµεία και οι µαθητές διαδοχικά ο ένας µετά τον άλλο γράφουν µια χορδή, διαφορετική κάθε φορά, µε άκρα δύο οποιαδήποτε από τα 100 δεδοµένα σηµεία. Το παιχνίδι τελειώνει όταν καθένα από τα 100 σηµεία χρησιµοποιηθεί ως άκρο χορδής µια τουλάχιστον φορά. Νικητής είναι ο µαθητής ο οποίος θα γράψει τη χορδή µε την οποία τελειώνει το παιχνίδι. Αν ο µαθητής Α αρχίσει πρώτος, ποιος από τους δύο µαθητές έχει στρατηγική νίκης; (δηλαδή, ποιος από τους δύο µαθητές µπορεί να παίξει έτσι, ώστε να νικήσει, ανεξαρτήτως του πως θα παίξει ο άλλος;); Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου 303

Οι µαθητές X και Y παίζουν ένα παιχνίδι ως εξής: Επιλέγουν εναλλάξ ο ένας µετά τον άλλον έναν από τους αριθµούς 1 και 2. Αρχίζει ο Χ επιλέγοντας τον αριθµό x 1 {1, 2} και συνεχίζει ο Y επιλέγοντας τον αριθµό y 1 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ1= x1+ y 1. Στη συνέχεια, ο X επιλέγει τον αριθµό x 2 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ2 = Σ1+ x 2, ενώ ο Y συνεχίζοντας επιλέγει τον αριθµό y 2 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ3 = Σ2+ y2 κ.ο.κ. Νικητής αναδεικνύεται ο µαθητής που θα καταγράψει σε µία επιλογή του ως άθροισµα τον αριθµό 200. Να εξηγήσετε γιατί ο µαθητής Χ έχει στρατηγική νίκης. Ισχύει το ίδιο, αν ο νικητής αναδεικνύεται όταν το άθροισµα γίνει 300; Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου 304

Στην Ε,Μ.Ε, γίνονται µαθήµατα προετοιµασίας για τις ιεθνείς Μαθηµατικές Ολυµπιάδες για τους 20 µαθητές που προκρίνονται στην τελική φάση. ιδάσκονται 4 µαθήµατα: Γεωµετρία, Θεωρία αριθµών, Συνδυαστική, Άλγεβρα. ήλωσαν συµµετοχή στη Γεωµετρία 15 µαθητές, στη Θεωρία αριθµών 13, στη Συνδυαστική 14 και στην Άλγεβρα 19 µαθητές. Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον µαθητής δήλωσε συµµετοχή και στα 4 µαθήµατα. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου Θεωρούµε τετράγωνο πλευράς α, µε α>1. Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατά 1 µικρότερη του α, έχει περίµετρο ίση αριθµητικά προς το εµβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Να βρεθεί η πλευρά α. Θαλής 2002 Α Λυκείου 305

Ένας φοιτητής του Ε. Μ. Πολυτεχνείου διάβαζε το περασµένο καλοκαίρι για τις επαναληπτικές εξετάσεις ενός µαθήµατος επί 37 µέρες, σύµφωνα µε τους εξής κανόνες: a. Κάθε µέρα διάβαζε µία τουλάχιστον ώρα. b. Κάθε µέρα διάβαζε ακέραιο αριθµό ωρών, χωρίς να ξεπερνάει τις 12 ώρες. c. Συνολικά έπρεπε να διαβάσει το πολύ 60 ώρες. Να αποδείξετε ότι υπήρξαν κάποιες διαδοχικές µέρες, κατά τη διάρκεια των οποίων διάβασε συνολικά 13 ώρες. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι Το τετράγωνο ενός αριθµού ισούται µε τον αριθµό αυξηµένο κατά 72. Επιπλέον, αν από το 60 αφαιρέσουµε το διπλάσιο του αριθµού λαµβάνουµε αριθµό µικρότερο του 52. Να βρεθεί ο αριθµός. Θαλής 2003 Α Λυκείου 306

Έστω ότι οι ακέραιοι αριθµοί α και α+ 2 είναι πρώτοι µε α> 3. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α+ 4 είναι σύνθετος. Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου Έστω Α και Β δύο µη κενά και ξένα µεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5}. Να αποδειχθεί ότι ένα τουλάχιστον από τα Α και Β περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του. Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου 307

Υπάρχει θετικός ακέραιος ν τέτοιος ώστε: Α) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη και ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη; Β) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη, ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη και ο 6ν τέλεια έκτη δύναµη; Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 308