Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Transcript

1 Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση ( ) ( λ + λ x+ λ 4) y + λ( λ+ ) = 0 i. Να παριστάνει ευθεία ii. Να είναι παράλληλη στη x x iii. Να είναι παράλληλη στον y y iv. Να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Θέµα ο A. Αν β 0 και α = α + α µε α //β και α β αποδείξτε ότι αβ αβ α = β και α = α β. β β B. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις : ( ε ): αx + βy = και ( ε ): βx ( α -β) y = - + µε α,β R και β 0, α β. i. Βρείτε σχέση µεταξύ των α, β ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. ii. Υπάρχουν τιµές των α, β ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; iii. Στην περίπτωση που οι ευθείες τέµνονται να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής τους κινείται σε σταθερή ευθεία. Θέµα 3 ο A. Τα διανύσµατα α, β, γ του επιπέδου, επαληθεύουν την σχέση ( α x) β= γ + x (). i. Να αποδείξετε ότι: ( βα )( αx ) = γ α ii. Εάν β α, να εκφράσετε το x ως συνάρτηση των α, β, γ. B. Να βρείτε ένα σηµείο Μ της έλλειψης c: + =, τέτοιο ώστε να ισχύει o Ε ME =

2 8. Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα Θέµα 4 ο A. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι κορυφές είναι Α0, ( ), Β, ( ) και Γ3 ( + 3,3+ 3). Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. B. Μεταβλητά σηµεία Α και Β ολισθαίνουν πάνω στους άξονες x x και y y αντίστοιχα έτσι ώστε + = λ, µε λ σταθερό και λ R *. Nα δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται ( OA) ( OB) από σταθερό σηµείο. Θέµα 5 ο Α. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ και ισχύει ( + κ) ΑΒ+ ΑΓ+ ( κ λ) ΒΓ= 0, υπολογίστε τους πραγµατικούς κ, λ. Β. Βρείτε την υπερβολή µε εστίες στον y y,όταν διέρχεται από το σηµείο Μ( 4, ) και έχει ασύµπτωτες τις ευθείες y = x και y = x. 4 4 Α. Αν ρ =, q = Β. ίνεται η ευθεία παραβολή C :y κύκλου C :( x+ ) + y =. Θέµα 6 ο o και η γωνία ( ρ,q) = 45, να βρείτε τη γωνία ρ q,q. ε:4k x 4ky + 30 = 0. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ( ) * k R εφάπτεται στην = 30x, κατόπιν να βρεθούν οι κοινές εφαπτοµένες της C και του Θέµα 7 ο Ενός τετραγώνου ΑΒΓ µια πλευρά βρίσκεται στην ευθεία ε:x y+ = 0, το κέντρο του Κ είναι το σηµείο (, ) και µια κορυφή του είναι η Λ( 4,8 ). Να βρεθούν οι άλλες κορυφές του. Θέµα 8 ο π Α. Αν α =, β = 3, γ = και ( α,β) = ( β, γ) =, να βρεθεί το µέτρο του α + 3β+ γ. 4 Β. Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που εφάπτεται στην ευθεία c:x y + = 0 και έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη + =. 5 6 Θέµα 9 ο Α. Αν α = β = γ = και α+ β+ γ = 0, να βρεθεί το µέτρο του α + 3β+ γ. Β. Να αποδειχθεί ότι ο λόγος των αποστάσεων τυχαίου σηµείου Μ της έλλειψης α C: = από την εστία Ε και την ευθεία δ:x= είναι ίσος µε γ α β γ α.

3 Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα 9. A. Έστω α = Θέµα 0 ο ο, β = 3 και ( α,β) = 60. Προσδιορίστε το x R στις παρακάτω περιπτώσεις. α+ 3β α xβ = α+ 3β α xβ i. Αν ( )( ) B. ίνεται η εξίσωση ( ) λ( ) 3x 5y 0 και ii. Αν ( ) ( ) κ =, κ,λ R. α. Να δειχθεί, ότι παριστάνει ευθεία για κάθε κ,λ R. β. Να δειχθεί ότι όλες οι ευθείες της παραπάνω µορφής διέρχονται από σταθερό σηµείο. Θέµα ο A. Για τα διανύσµατα α, β, γ του επιπέδου ισχύουν α+ β+ γ = 0 και 3 α = 4β = γ, να αποδειχθεί ότι: i. α β και ii. β γ. B. Οι κορυφές Α, Γ τετραγώνου ΟΑΒΓ βρίσκονται αντίστοιχα στους άξονας x x και y y συστήµατος συντεταγµένων xoy και η διαγώνιος ΑΓ περνά από το σηµείο Ρ (,). Υπολογίστε τις συντεταγµένες των κορυφών του τετραγώνου. A. Έστω x,x,y, y B. ίνεται η εξίσωση Θέµα ο R µε x 5y+ = 0 και x 5y 5 = 0, να αποδειχθεί ότι: ( x x ) + ( y y ) 4 x y 4λ y-λx-3λ = 0, λ R α. είξτε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ( ) και ( ) ε ε κάθετες µεταξύ τους για κάθε λ R. β. Αν Β και Γ σηµεία των ευθειών ε και ε αντίστοιχα µε τετµηµένη λ +,δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και έχει σταθερό εµβαδόν, για κάθε λ R. γ. Για κάθε λ R δείξτε ότι το Α κινείται σε σταθερή ευθεία. Θέµα 3 ο ίνεται η εξίσωση C : + =. λ + 4 λ + 5 α. Για ποιές τιµές των λ R η παραπάνω εξίσωση παριστάνει υπερβολή; β. Για τις παραπάνω τιµές των λ να βρεθούν οι εστίες της. Θέµα 4 ο Α. Αν για τα διανύσµατα α, β, γ ισχύει α β γ =, να αποδείξετε ότι α + β + γ 3. Β. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες ε :x λy = 0 και ε :x+ y = 0 είναι ίσος µε.

4 0. Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα Θέµα 5 ο Α.Στο σύστηµα αναφοράς Οxy θεωρούµε τα σηµεία A ( 3,), B (,0) και Γ ( 0,4). Η ΑΓ τέ- µνει τον Ox στο και η ΑΒ τον Oy στο Ε. α. Να βρείτε την τετµηµένη του και την τεταγµένη του Ε. β. Αν Ι το µέσο του ΟΑ, Μ το µέσο του ΒΓ και Κ το µέσο του Ε, να δείξετε ότι τα σηµεία Ι, Μ, Κ είναι συνευθειακά. Β. Μια µεταβλητή ευθεία y = λx + β τέµνει την παραβολή C:y = 4x στα σηµεία Α, Β. λβ Να δειχθεί ότι οι συνεταγµένες του µέσου Μ της ΑΒ είναι,. Κατόπιν να λ λ βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Μ στις παρακάτω περιπτώσεις : * i. όταν είναι λ = και β R και ii. όταν β = 0 και λ R. Θέµα 6 ο Α. Έστω τα σηµεία Α( 3, 4), Β,, Γ 0,,, i. Να δείξετε ότι ΑΒ // Γ ii. Να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου Ε, ώστε το ΟΒΑΕ να είναι παραλληλόγραµµο. 3 iii. Να δείξετε ότι το σηµείο Ζ, βρίσκεται πάνω στην ευθεία Γ. 5 5 Β. Βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, όταν A( 4, ) και ένα ύψος του και µια 3 διάµεσός του έχουν εξισώσεις y = x και y= x+ αντίστοιχα. Θέµα 7 ο Α. Αν ν = i + 3 j, ν = i 5 j, ν 3 = 5 i j να βρεθούν : i. Oι συνεταγµένες, τα µέτρα και οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσµάτων: ii. Tο µέτρο = v+ 3v w, w + w 3 w. = v 3v3 w, 3 = v3 + 3v w. Β. Ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ ( o  = 90 ) είναι εγγεγραµµένο στην παραβολή C:y = px, p > 0. Αν η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (, p ) να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΑΒ. Θέµα 8 ο Α. Έστω παρ/µο ΑΒΓ. Στις απέναντι πλευρές του Α και ΒΓ παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα τέτοια ώστε : ΑΕ = Α και = ΒΓ 3 3 βρεθούν οι συντεταγµένες του ΑΡ, όταν ΕΡ = ΡΖ. ΑΒ = ΒΖ. Αν Α = ( 3,0) και (,4), να

5 Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα. Β. ίνονται οι ευθείες: ( ε ): x + y 3 = 0, ( ε ): 3x y = 0 και ( ε 3 ): ( µ ) x + ( µ ) y + µ = 0 α. Να βρεθεί το µ R, ώστε οι τρείς ευθείες να διέρχονται από το ίδιο σηµείο. β. Από όλες τις ευθείες του επιπέδου, που διέρχονται από το παραπάνω σηµείο, να βρεθούν εκείνες που σχηµατίζουν µε τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. Θέµα 9 ο Α. Το διάνυσµα α έχει το ίδιο µήκος µε το διάνυσµα β = ( 8, 6) γ = (, 3). Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του. και την διεύθυνση του Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + y + xy 3x 3y + = 0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να βρείτε το εµβαδόν του τραπεζίου που σχηµατίζουν οι ευθείες αυτές µε τους άξονες. Θέµα 0 ο 7 Α. Έστω σηµεία Α και Β της ευθείας x y = µε x A = και x B =. Να βρεθεί ση- 3 3 µείο Μ τέτοιο ώστε MA+ 3MB = 4AB. Β. Ορθογώνιο ΟΑΒΓ έχει σταθερή περίµετρο κ και τις κορυφές του Α, Γ στους θετικούς ηµιάξονες Οx, Οy αντίστοιχα. είξτε ότι η κάθετος από το Β στη διαγώνιο ΑΓ περνά από σταθερό σηµείο. Θέµα ο Α. Να αποδείξετε ότι το σηµείο M( x,y ) µε x = 3+ συνθ και y= + συνθ, θ R βρίσκεται για κάθε θ R πάνω σε ευθειά. Β. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M( x 0,y 0) των οποίων η απόσταση από τον y y ισούται µε το µήκος της εφαπτόµενης ΜΑ στον κύκλο C: ( x ) + y =. Θέµα ο Α. ίδονται τα σηµεία Α (,3) και Β(, 4). Βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ = 5. Β. α. Η προβολή της αρχής των αξόνων στην ευθεία (ε), είναι το σηµείο (,3 ). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. β. ίνεται η ευθεία (ε) y= x+ και το σηµείο A3,. ( ) Να βρείτε τις συντεταγµένες του συµµετρικού του Α ως προς την ευθεία (ε).

6 . Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα Θέµα 3 ο Α. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφή A, ( ) και οι εξισώσεις των δύο διαµέσων του είναι y = και y = x+. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του. 3 3 Β. Αν ο κύκλος ( ) ( ) c : x y 6 = ρ εφάπτεται στον κύκλο c που έχει κέντρο Ο( 0,0) και ακτίνα ρ, να βρείτε : α. Την ακτίνα ρ. β. Τα σηµεία της ευθείας y = x -5 απο τα οποία οι εφαπτόµενες προς τον κύκλο c είναι κάθετες. (Απ.: α. ρ = 5, β. (, 7)(, 5,5) ) Θέµα 4 ο Α. Οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ,λ,λ 3. Να αποδείξετε ότι λλ + λλ 3 + λλ 3 = 3. Β. Θεωρούµε την έλλειψη c: + = και έστω Μ ένα τυχαίο σηµείο της. Να δειχτεί 9 4 ότι ο γεωµετρικός τόπος ορθόκεντρων των τριγώνων AMA ( A,A είναι σηµεία τοµής της έλλειψης µε τον άξονα x x) είναι επίσης έλλειψη. Θέµα 5 ο Α. Αν Β,6 ( ) και οι εξισώσεις του ύψους και της διχοτόµου της γωνίας που φέρνουµε από 5 την ίδια κορυφή είναι αντίστοιχα y = x+ και y = 7x 5. Να βρείτε τις εξισώσεις 7 7 των πλευρών του τριγώνου. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής: y = px ( p > 0) που εφάπτεται στην ευθεία ε:3x y+ 3= 0. Θέµα 6 ο Α. Έστω M( α,β ) µε α, β 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και τέµνει τους άξονες σε σηµεία τα οποία ορίζουν ευθύγραµµο τµήµα που έχει µέσο το Μ.. Να βρεθούν τα σηµεία Μ( x,y ) που απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση και για τα οποία ισχύει 5 ( MK) + ( MΛ) = 8. Κατόπιν να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου που αυτά ορίζουν. Β. ίνονται τα σηµεία K( 7,0 ) και Λ( 7,0)

7 Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα 3. Θέµα 7 ο Α. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ, όταν A( 4, 5) και τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις y = x+ και Β. ίνεται η παραβολή C:y y = x = x και το σηµείο A( 4, ). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που περνάει από το Α και τέµνει τη C στα Β, Γ έτσι ώστε το Α να είναι µέσο του ΒΓ. Θέµα 8 ο Α. Βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ αν A, ( ) και οι εξισώσεις του ύψους και της διαµέσου που φέρνουµε από την ίδια κορυφή, είναι αντίστοιχα y = x + 4 και y = x+. Β. ίνονται οι ευθείες ε : λx + ( λ -) y + 3κ + = 0, ε : ( - λ) x ( λ + ) y + λ = 0. Να βρεθούν οι κ, λ R ώστε οι ευθείες ε και ε α. Να τέµνονται β. Να είναι παράλληλες. Θέµα 9 ο Α. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνάει από το Α3,0και ( ) η οποία τέµνει τις ευθείες µε εξισώσεις y = x και y = x 3 στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα, έτσι ώστε το Α να είναι µέσον του ΒΓ. Β. Έστω παραβολή C :y = px. Να βρεθεί ο τύπος που δίνει την απόσταση τυχαίου σηµείου Μ της παραβολής από τη εστία Ε. Κατόπιν να αποδειχθεί ότι, ο κύκλος µε διάµετρο τυχαία χορδή ΑΒ της παραβολής, που διέρχεται από την εστία, εφάπτεται της διευθετούσας. Θέµα 30 ο Α. Οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ,λ αντίστοιχα, τέµνουν την ευθεία () ε :y = α στα σηµεία Α και Β, αντίστοιχα. Οι κάθετες στις ( ε ) και ( ε ) στα Α και Β αντίστοιχα τέµνονται στο Γ. α( λ+ λ) α( λλ ) Να αποδείξετε ότι οι συντεταγµένες του Γ είναι, λλ λλ. Β. Έστω τρίγωνο ΑΟΒ ορθογώνιο (κορυφής Ο) και ισοσκελές. Αν το ΑΟΒ είναι εγγε- γραµµένο στην παραβολή C:y = x, να βρεθούν οι συντεταγµένες των Α και Β.

8 4. Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα Θέµα 3 ο Α. Οι δύο πλευρές ενός παραλληλογράµµου έχουν εξισώσεις: y = x + 5 και y = x+. Το δε σηµείο τοµής των διαγωνίων του έχει συντεταγµένες (, 4 ). Να βρείτε: α. Τις εξισώσεις των άλλων πλευρών και των διαγωνίων. β. Τις εξισώσεις των υψών του. Β. Έστω C:y = px και A( x,y ), B( x,y ) σηµεία της. Να αποδειχθεί ότι η ΑΒ περνά από την εστία Ε της C αν και µόνο αν ισχύει γινόµενο x x. Θέµα 3 ο yy = p. Κατόπιν να υπολογισθεί το Α. Οι συντεταγµένες των σηµείων A( α, ), Ββ,3 ( ) και Γ( γ, ) µε την σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. Να τοποθετήσετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερό τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΑΒ, ΓΒ και ΑΓ. Β. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και τον περιγεγραµµένο κύκλο του µε κέντρο Ο και ακτίνα R. Να 3 αποδείξετε ότι συνα + συνβ + συνγ. Θέµα 33 ο Α. Θεωρούµε τα σηµεία B( α,β ) και Γ( γ,β ) µε α, β, γ ακέραιους και γ > α. Αν Α( κ,λ) είναι σηµείο του καρτεσιανού επιπέδου, τέτοιο ώστε ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ, να αποδείξετε ότι οι κ και λ δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα ακέραιοι. Β. Έστω η παραβολή C:y = 4x και A( x,y ), B( x,y ) σηµεία της για τα οποία ισχύει 4 3 y+ y =. Να δειχθεί ότι η ΑΒ σχηµατίζει σταθερή γωνία µε τον x x και να βρεθεί 3 ο γεωµετρικός τόπος του µέσου Μ της ΑΒ. Θέµα 34 ο Α. Να βρείτε για τις διάφορες τιµές του κ R τις σχετικές θέσεις των ευθειών: ε :x+ y =, ε :x+ y = κ, ε 3 :κx+ y =. Β. Στην έλλειψη x + 5y = 0, να βρείτε σηµεία της Μ τέτοια ώστε: MΕ ME όπου Ε και Ε είναι οι εστίες της έλλειψης. Θέµα 35 ο Α. Για ποια τιµή του κ R οι ευθείες: ε :κx+ y + = 0, ε :x+ κy + = 0, ε 3 :x+ y + κ = 0 διέρχονται από το ίδιο σηµείο.

9 Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα 5. i. Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών: ε :λx ( λ+ ) y = 0 και ε :x y + λ = 0 για τις διάφορες τιµές του λ R. ii. Αν οι ευθείες ε και ε τέµνονται, να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής της Α κινείται σε σταθερή ευθεία. Β. Να δειχθεί ότι η εξίσωση λx λy + ( λ ) xy -( λ + ) x + ( λ -) y + = 0 παριστάνει δύο κάθετες µεταξύ τους ευθείες,για κάθε λ R. Θέµα 36 ο Α. Να βρείτε τις τιµές των λ,µ R για τις οποίες οι ευθείες: ε :x + µy + = 0 και ε :µx+ y + λ = 0 είναι παράλληλες και η απόστασή τους είναι ίση µε. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής = που έχει κορυφές τις ευθείες της α β έλλειψης c: + = και έχει εστίες τις κορυφές της έλλειψης. 5 9 Θέµα 37 ο Α. ίνονται τα σηµεία Α( 4, ) και Β3, ( 5) και η ευθεία ε:7x+ y 3= 0. Να βρεθεί σηµείο Μ της ε ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. Β. Έστω α =, β = 5 π και ( α,β) =. Αν δ= 5α+ 4β να υπολογιστεί το δ. 3 Θέµα 38 ο Α. Οι ευθείες ε ( ) ( ) : ηµα x συνα y + = 0, ε ( ) : συνα x+ ( ηµα) y = 0, ε 3 :x+ y = και π ε 4 : κx + λy = κσυνα + ηµα, α 0, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Να βρεθεί ποιά π γραµµή διαγράφει το σηµείο (κ, λ), όπου ταν α 0,. Β. ίνεται η παραβολή C:y = 4x και η ευθεία ε:4x 3y 6= 0. Να βρεθεί το σηµείο της παραβολής που έχει τη µικρότερη απόσταση από την ευθεία. Θέµα 39 ο Α. ίνονται οι ηµιευθείες y = λx και y = λx µε 0 < λ < και x > 0 και η ευθεία (ε) τις τέµνει στο σηµείο Α και Β. Να βρεθούν οι συντεταγµένες των Α και Β συναρτήσει των συντεταγµένων ( x, y ) του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ.

10 6. Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα Β. Αν η ευθεία (ε) κινείται έτσι ώστε να ισχύει : OA OB = λ, να δείξετε ότι το σηµείο Μ γράφει τον κλάδο µιας υπερβολής. Θέµα 40 ο Κάθε χρονική στιγµή t 0 δύο πλοία Π, Π βρίσκονται στις θέσεις Π ( t, t + 4 ) και Π ( - t, t + ) αντίστοιχα. α. Υπάρχει περίπτωση τα πλοία να συγκρουσθούν; β. Να βρεθεί η εξίσωση της πορείας κάθε πλοίου. γ. Να βρεθεί η απόσταση των πλοίων την στιγµή που ξεκίνησαν και την χρονική στιγµή t =. δ. Οι πορείες των πλοίων συναντώνται; Θέµα 4 ο Α. ίδονται τα σηµεία A( 3, ), B(, ). Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M ( x, y) του επιπέδου ώστε MA MB = OA OB. Β. Να βρεθεί η αµβλεία γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες: x 7xy + 3y = 0. Θέµα 4 ο Α. ίδονται τα σηµεία Α( 3, 4) και Β( 5, ). Βρείτε σηµείο ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές µε εµβαδόν 0 τµ. Β. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α (, ). Αν οι ευθείες ( ε ): x y = 0 και ( ε ): 3x + y + 5 = 0, είναι οι µεσοκάθετες των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, να βρεθούν οι κορυφές Β και Γ. Θέµα 43 ο Α. ίνονται οι ευθείες ( ε ): λx + ( λ -) y - λ = 0 και ( ε ): λx + λy - λ - = 0. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου τοµής τους. Β. i. Να βρεθεί µ R τέτοιο ώστε οι ευθείες µε εξισώσεις ( ε ): ( µ + 3) x µy + µ 3 = 0 και ( ε ): ( µ + ) x + ( 3µ + 4) y - 7µ -0 = 0, µ R να είναι κάθετο. ii. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε και ε διέρχονται από το ίδιο σταθερό σηµείο. Θέµα 44 ο Ένα εκπαιδευόµενος πιλότος Α κινείται µε το αεροσκάφος του σε τροχιά ως προς ένα καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς ώστε κάθε χρονική στιγµή η θέση του να δίνεται από το σηµείο ( λ,λ) M, λ R Α. i. Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του. ii. Ένας άλλος πιλότος Β κινείται στην ίδια τροχιά έτσι ώστε το άθροισµα των τεταγ- µένων των θέσεων του Α και του Β να είναι ίσο µε 3 4. Να δειχθεί ότι η ευθεία που διέρχεται από τις θέσεις τους κάθε χρονική στιγµή σχηµατίζει σταθερή γωνία µε τον άξονα xx.

11 Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα 7. B. i. Ο εκπαιδευτής τους κινείται έτσι ώστε να βρίσκεται στην ίδια ευθεία µε τους δύο πιλότους Α και Β και σε ίση απόσταση από αυτούς. Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του. ii. Τη χρονική στιγµή κατά την οποία η τεταγµένη του αεροσκάφους του πιλότου Α είναι, ο πιλότος εκτοξεύει ρουκέτα, µε σκοπό να πλήξει στόχο µε συντεταγµένες Σ(, 0). Αν θεωρηθεί ότι η τροχιά της ρουκέτας είναι ευθεία εφαπτόµενη στην τροχιά του αεροσκάφους εκείνη την χρονική στιγµή, να ελεγθεί αν ο πιλότος θα πλήξει το στόχο. Α. Έστω Α, Β σηµεία της παραβολής C:y Θέµα 45 ο = px µε A B και M( x,y ) το µέσον του 0 0 ΑΒ µε y0 0. Να δειχθεί ότι η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή κατεύθυνσης ίσο µε Β. Να βρεθεί η σχετική θέση των ευθειών : + ( λ - ) y = λ και ε : ( λ ) x - ( λ - ) y = λ ε : λx + p y. +, για τις διάφορες τιµές του λ R. Θέµα 46 ο Α. ίνονται οι ευθείες ( ε ): Αx + Βy + Γ = 0 και ( ε ): Α x Βy + Γ = 0 µνονται στο σηµείο Κ ( x, y ). Να δειχθεί ότι οι ευθείες : ( Α x + B y + Γ ) + µ ( Α x + B y + Γ ) 0, µε µ R * λ = + οι οποίες τέ- λ, διέρχονται από το σηµείο Κ. x συν y Β. Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις C: + = και C : + =, α > β έχουν τις ίδιες εστίες για κάθε λ R α β α + λ β + λ. Θέµα 47 ο β και ( y ) ( y ) i. ( x + x ) + β( y + y ) + γ 0 ii. ( x x ) α( y y ) 0 Αν ε : αx + βy + γ = 0 µε α 0 ή 0 Μ τυχαίο σηµείο του επιπέδου µε Μ το συµµετρικό του Μ ως προς την ευθεία ε να αποδειχθούν : α = Θέµα 48 ο β = Α. ίνονται οι ευθείες ε :λβx αy = λαβ και ε :βx+ λαy = αβ, όπου λ 0 και τα ση- µεία Κ( α β,0), Λ( α β,0), όπου 0 < β< α. Να δειχθεί ότι για το σηµείο τοµής Μ των ε,ε ισχύει ( ΜΚ) + ( ΜΛ) = α για κάθε λ R. Β. ίνεται η έλλειψη C: + = και το σηµείο Μ( x ) 0,y 0 που έχει µέσον το σηµείο Μ. α β Κατόπιν να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Μ αν η χορδή έχει σταθερό συντελεστή διεύθυνσης λ. * 0

12 8. Επαναληπτικά συνδυαστικά θέµατα Θέµα 49 ο u = Έστω α, β ακέραιοι τέτοιοι ώστε τα διανύσµατα (,-β) και είναι κάθετα. Να αποδείξετε ότι: α. Ο ακέραιος β είναι περιττός. * β. Αν δ Ζ + και τέτοιος ώστε να ισχύουν: δ / αν και δ / νβ + µε ν Ν * να δείξετε ότι δ = (Απ.: β = α + ) Θέµα 50 ο ίνεται η ευθεία ε: α x+ β y = 6αβ. Αν σχηµατίζει µε τους άξονες του ορθοκανονικού συστήµατος τρίγωνο µε εµβαδόν 8, να δείξετε ότι α // β. Θέµα 5 ο Να βρείτε σηµεία της ευθείας x - y + 4 = 0, µε συντεταγµένες ακέραιους αριθµούς, τα οποία να απέχουν από την ευθεία 3x - 4y + 4 = 0 απόσταση που είναι αριθµός ακέραιος. (Απ.: M( 5κ, 5κ+ 3 ), κ Ζ) Θέµα 5 ο 4ν + 9 ίνεται το κλάσµα µε ν θετικό ακέραιο. είξτε ότι οι τιµές του ν για τις οποίες το 3ν + 5 κλάσµα απλοποιείται είναι τεταγµένες σηµείων της ευθείας µε εξίσωση 7 x - y - 4 = 0. Θέµα 53 ο ( Απ. : ν = 7λ 4, λ Ν* ) Αν ( k,λ ) είναι σηµείο της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α ( 4,5) και ( 003,004) k,λ Ζ, τότε ο αριθµός k. λ είναι άρτιος. Θέµα 54 ο u = υ = είναι ακέραιος. ίνονται τα παράλληλα διανύσµατα ( µ, ν) και ( κ, λ), µε κ, λ, µ, ν θετικούς ακεραίους. Να αποδείξετε οτι ο αριθµός α β Β µε