ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΝΕΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΘΕΤΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΣΗΣ

Developing new representations and models in a dynamic learning environment. In A. Gagatsis (Ed.) Representations and Geometry (269-284), Nicosia: Intercollege Press (In Greek). ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΝΕΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΘΕΤΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΣΗΣ Νίκος Μουσουλίδης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται µερικά αποτελέσµατα από ένα ερευνητικό πρόγραµµα, το οποίο συνδυάζει ένα µικρόκοσµο προγραµµατισµού µαζί µε το διαδίκτυο, για να αναπτύξει ένα σύνθετο και δυναµικό περιβάλλον µάθησης. Οι µαθητές µε τη χρήση εργαλείων προγραµµατισµού και σε αλληλεπίδραση µε συµµαθητές και συνεργάτες, αναπτύσσουν νέες αναπαραστάσεις και οικοδοµούν µαθηµατικές γνώσεις ενεργητικά και κατασκευαστικά. Σε ένα νέο και δυναµικό πλαίσιο εργασίας, οι µαθητές διατυπώνουν και ελέγχουν υποθέσεις, σχεδιάζουν και κατασκευάζουν σειρές αριθµών και µέσω του διαδικτύου αλληλεπιδρούν µε µαθητές από άλλες χώρες, αναθεωρώντας τις κατασκευές τους και κάνοντας εισηγήσεις για βελτίωση των κατασκευών των εξ αποστάσεως συµµαθητών τους. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των µαθητών, οι οποίοι εργάστηκαν σε έργα κατασκευής αριθµητικών µοτίβων και ειδικά στην κατασκευή της ακολουθίας Fibonacci. Τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι η δυναµική αλληλεπίδραση τόσο µεταξύ των µαθητών, όσο και µεταξύ των µαθητών και του περιβάλλοντος βοήθησαν τους µαθητές να αναπτύξουν νέες αναπαραστάσεις και να κατασκευάσουν µοντέλα για την επίλυση και κατασκευή προβλήµατος, αναπτύσσοντας παράλληλα τη δηµιουργικότητά τους. Εισαγωγή Ο σχεδιασµός και εφαρµογή µικρόκοσµων για τη διδασκαλία µαθηµατικών εννοιών έχει απασχολήσει σε µεγάλο βαθµό την έρευνα στη µαθηµατική παιδεία (Papert, 1991: Hoyles & Noss, 1996: Clements & Sarama, 1995). Κατά το σχεδιασµό των µικρόκοσµων δίνεται ιδιαίτερη έµφαση στη λειτουργική ενσωµάτωση εναλλακτικών µορφών αναπαράστασης, οι οποίες προσφέρουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα, χωρίς να απουσιάζουν παντελώς κάποια µειονεκτήµατα, για την απόκτηση των απαραίτητων µαθηµατικών εννοιών (Hoyles & Noss, 1996: Noss, Hoyles & Healy, 1997). Οι µικρόκοσµοι και γενικότερα τα δυναµικά περιβάλλοντα διδασκαλίας και αλληλεπίδρασης που βασίζονται στις νέες τεχνολογίες, υπερβαίνουν την υπάρχουσα δυναµική ανάµεσα σε µαθητές, εκπαιδευτικούς και εργαλεία, ενώ ταυτόχρονα καταργούν τα στενά όρια της σχολικής τάξης (Noss,

Ν. Μουσουλίδης Hoyles & Healy, 1997). Στο πλαίσιο του ερευνητικού προγράµµατος Weblabs: New Representational Infrastructures for E-Learning, έχουµε δηµιουργήσει ένα περιβάλλον όπου οι µαθητές παίζοντας και αλληλεπιδρώντας µε ένα µικρόκοσµο προγραµµατισµού και µε το περιβάλλον του ιστοτόπου του προγράµµατος µελετούν και διερευνούν µαθηµατικές έννοιες και διαδικασίες. Για τις ανάγκες του προγράµµατος χρησιµοποιείται το ToonTalk, ένα εξειδικευµένο λογισµικό οπτικού προγραµµατισµού µε κινούµενο κώδικα, το οποίο είναι σχεδιασµένο για χρήση από µαθητές (Kahn, 1999). Το λογισµικό αυτό, παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία στους µαθητές για να κατασκευάσουν διάφορα µικρά προγράµµατα και έτσι να διερευνήσουν συγκεκριµένες µαθηµατικές έννοιες, όπως για παράδειγµα αριθµητικά µοτίβα και ακολουθίες αριθµών. Οι µαθητές έχουν τη δυνατότητα να δηµιουργούν διάφορες κατασκευές, να τις αναδιαµορφώνουν και να τις βελτιώνουν. Μέσα από τη χρήση του ιστοτόπου του ερευνητικού προγράµµατος, αυτές οι κατασκευές παρουσιάζονται σε άλλους µαθητές, συζητούνται και αξιολογούνται. Σκοπό της παρούσας εργασίας αποτελεί η διερεύνηση και αξιολόγηση του περιβάλλοντος που δηµιουργείται για τη µελέτη αριθµητικών µοτίβων. Συγκεκριµένα, θα αξιολογηθεί η αποτελεσµατικότητα του περιβάλλοντος ως µέσου για ανάπτυξη της δηµιουργικότητας και κατανόησης µαθηµατικών εννοιών. Θεωρητικό Υπόβαθρο Νέες Τεχνολογίες και Μαθηµατικά Αρκετοί ερευνητές της µαθηµατικής παιδείας συµφωνούν σε ένα κοινό όραµα που αναφέρεται στο αναλυτικό πρόγραµµα των µαθηµατικών. Στο πλαίσιο γίνεται αποδεκτό ότι οι µαθητές αναπτύσσουν ευκολότερα µαθηµατικό νόηµα µέσα από ποσοτικά και ποιοτικά µοντέλα, που βασίζονται στη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας, για τα να διερευνούν και αναλύσουν µαθηµατικές έννοιες και διαδικασίες (Hoyles, Noss & Pozzi, 2001: Kaput, 1999: disessa, 2000). Οι σύγχρονες τεχνολογίες προσφέρουν στους µαθητές δυνατότητες για µάθηση µέσα από ένα παιγνιώδη τρόπο. Μπορούν ταυτόχρονα να βοηθήσουν τους µαθητές να αναπτύξουν ανώτερη µαθηµατική σκέψη (NCTM, 2000), αφού τους παρέχουν την ευκαιρία να διερευνήσουν, να κάνουν εικασίες, να αναπτύξουν την ικανότητα αιτιολόγησης και να κάνουν γενικεύσεις (Papert, 1996). Οι νέες τεχνολογίες δίνουν ευκαιρίες στους µαθητές να καλλιεργήσουν τη φαντασία τους, τη συνεργασία µε άλλους µαθητές και εκπαιδευτικούς, χωρίς, ωστόσο, να αποκλείουν την ευγενή άµιλλα (Hoyles & Noss, 1996). Φυσικά, αξίζει να σηµειωθεί ότι σε αυτό το νέο περιβάλλον οι µαθητές συνήθως καλούνται να εργαστούν σε ένα έτοιµο περιβάλλον, να χειριστούν διατάξεις και κατασκευές, που έχουν σχεδιαστεί από άλλους, µε αποτέλεσµα η ανάληψη χειριστικού µόνο ρόλου να περιορίζει τη δυνατότητα τους να εµβαθύνουν στον τρόπο λειτουργίας των κατασκευών (Noss et al., 1997). Το ενδιαφέρον εστιάζεται στους νέους τρόπους έκφρασης και καθορισµού των µαθηµατικών σχέσεων µεταξύ των διαφόρων αντικειµένων του περιβάλλοντος. Στο πλαίσιο αυτό, η καινοτοµία του προγράµµατος έγκειται στη χρησιµοποίηση του προγραµµατισµού, ο οποίος έχει παρουσιάσει µια εξέλιξη από το γραπτό κώδικα, στον 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον οπτικό κώδικα και στον κινούµενο κώδικα, όπως συµβαίνει µε το λογισµικό ToonTalk που χρησιµοποιείται στο πρόγραµµα. Αν σε πρώτη ανάγνωση φανεί ότι το πρόγραµµα αυτό έχει µικρή σχέση µε τα µαθηµατικά, πρέπει να τονιστεί ότι η ερµηνεία κανόνων και η κατασκευή µοντέλων µε βάση τους κανόνες αυτούς είναι κεντρικός στόχος της µαθηµατικής σκέψης στη σύγχρονη εποχή (Noss et al., 1997: Papert, 1996). Η ανάπτυξη κατάλληλων διδακτικών δραστηριοτήτων σε ένα ενεργητικό διερευνητικό περιβάλλον µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές να κινηθούν από τον επαγωγικό χαρακτήρα του λογισµικού στον παραγωγικό χαρακτήρα της διαδικασίας της µαθηµατικής απόδειξης, µε τη κατάλληλη αξιοποίηση των εργαλείων προγραµµατισµού και τη δυνατότητα για διερεύνηση, επιβεβαίωση και επαλήθευση για µετάβαση στην τυπική µαθηµατική απόδειξη (Noss et al., 1997). Μικρόκοσµοι Η Hoyles (1993), όρισε τον µικρόκοσµο, σε ένα πλαίσιο τεχνητής νοηµοσύνης, ως µια απλή και καθορισµένη πτυχή του πραγµατικού κόσµου για ένα γνωστικό πεδίο. Σε συµφωνία µε την άποψη αυτή, ο Edwards (1995), αναφέρει ότι οι µικρόκοσµοι αναπαριστούν µια ιδέα µέσα από µια λειτουργική αφαίρεση. Συγκεκριµένα, ο µικρόκοσµος αποτελεί δοµηµένη ενσωµάτωση µαθηµατικών εννοιών και δοµών σε ένα λειτουργικό περιβάλλον, όπου τα υφιστάµενα εργαλεία µπορούν να κατασκευάσουν νέα αντικείµενα και δοµές. Οι δοµές αυτές είναι διάφανες και έτσι ενισχύουν τις πολλαπλές αναπαραστάσεις του µαθητή για µια έννοια και κατ επέκταση την καλύτερη κατανόησή της (Edwards, 1995). Τα εργαλεία και οι δοµές που αποτελούν ένα µικρόκοσµο είναι ελεύθερα για αναθεώρηση και βελτίωση. Με αυτή την έννοια, οι µαθητές έχουν άµεσο έλεγχο και µπορούν να καθορίσουν τη λειτουργία του µικρόκοσµου. Για την επίλυση ενός συγκεκριµένου προβλήµατος, οι µαθητές µπορούν να χρησιµοποιήσουν τα υφιστάµενα εργαλεία, µε ή χωρίς τροποποιήσεις, ή ακόµη και να κατασκευάσουν τα δικά τους εργαλεία που θα εξυπηρετούν καλύτερα στις ανάγκες τους. Αυτός ο διττός ρόλος των µαθητών, ως χρηστών και ως κατασκευαστών εργαλείων του µικρόκοσµου, παραπέµπει άµεσα στην ιδέα του οικοδοµισµού και της αποτελεσµατικής µάθησης. Σύµφωνα µε τον Papert (1991), η αποτελεσµατική µάθηση επιτυγχάνεται, όχι µε την παροχή στον εκπαιδευτικό καλύτερων µεθόδων διδασκαλίας, αλλά µε την παροχή στους µαθητές καλύτερων δυνατοτήτων να οικοδοµήσουν τις γνώσεις τους. Σύµφωνα µε τους Hoyles και Noss (1996) οι µαθητές αλληλεπιδρούν στο περιβάλλον του µικρόκοσµου µε ένα πλήθος στρατηγικών. Η χρήση των στρατηγικών αυτών προωθεί τον αναστοχασµό πάνω στα αποτελέσµατα και τη συζήτηση µεταξύ των µαθητών για τη διατύπωση προβλέψεων και την ερµηνεία αποτελεσµάτων. Ο αναστοχασµός γίνεται µε τη χρήση πολλαπλών µορφών αναπαράστασης, τη διασύνδεση µεταξύ των µορφών αυτών, την πρόκληση κοινωνικό γνωστικής σύγκρουσης και ενθάρρυνση για υπέρβασή της. Σηµαντικό πλεονέκτηµα αποτελεί η δυνατότητα που έχουν οι µαθητές να αναλαµβάνουν το ρόλο του κατασκευαστή. Με τον τρόπο αυτό οι µαθητές έρχονται σε άµεση επαφή µε τους κανόνες που διέπουν τη χρήση και λειτουργία ενός µικρόκοσµου και στη συνέχεια καθορίζουν οι ίδιοι τις δικές τους αρχές και κανόνες για να κατασκευάσουν τους δικούς τους µικρόκοσµους. Σύµφωνα µε την Harel (1988), οι µαθητές αποκτούν µια βαθύτερη και ουσιαστική κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών, όταν κατασκευάζουν και

Ν. Μουσουλίδης χειρίζονται οι ίδιοι αναπαραστάσεις και όταν µε τη χρήση των αναπαραστάσεων αυτών κατασκευάζουν προβλήµατα για άλλους µαθητές. Ένας αποτελεσµατικός µικρόκοσµος πρέπει να συνδυάζει τα χαρακτηριστικά αυτά µαζί µε ένα ενδιαφέρον και ελκυστικό περιβάλλον. Ταυτόχρονα, πρέπει να δίνει τη δυνατότητα τους µαθητές να εργάζονται µε ευχαρίστηση για να είναι πιο αποτελεσµατικοί (Piaget, 1951). Οι µαθητές πρέπει να γνωρίσουν τους κανόνες λειτουργίας του µικρόκοσµου και να αντιληφθούν ότι οι κανόνες αυτοί δεν είναι απόλυτοι, αλλά µπορούν να αναθεωρηθούν και να βελτιωθούν, σύµφωνα µε τις ανάγκες της εργασίας τους. Αυτή η σχέση µε το περιβάλλον του µικρόκοσµου, θα βοηθήσει τη σκέψη των µαθητών να µετακινηθεί από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο και µέσα από την αλληλεπίδραση οι µαθητές να οδηγηθούν από το ατοµικό στο κοινωνικό πλαίσιο (Vygotsky, 1978). Το χαρακτηριστικό εκείνο που παρέχει τη δυνατότητα στους µαθητές να γνωρίσουν τις δοµές και τους κανόνες του µικρόκοσµου και έτσι να µπορέσουν να εµπλακούν σε µια ενεργητική µάθηση είναι ο προγραµµατισµός (Noss, 1998). Προγραµµατισµός και Μικρόκοσµοι Ο προγραµµατισµός µπορεί να λειτουργήσει ως µια ευχάριστη διαδικασία διδασκαλίας µάθησης που να γίνεται αποδεκτή από το παιδί ως παιγνιώδης δηµιουργικότητα. Ως αποτέλεσµα, βασική προϋπόθεση των µικρόκοσµων πρέπει να είναι η παροχή ευκαιριών στους µαθητές να ασχοληθούν µε µια µορφή προγραµµατισµού, προσαρµοσµένη, φυσικά µε το αναπτυξιακό επίπεδο των παιδιών και µε δραστηριότητες κατάλληλες για την ηλικία και τις ανάγκες τους. Αναµένεται ότι µε τη χρήση του προγραµµατισµού, οι µαθητές θα έχουν την ευκαιρία να γνωρίσουν τις δοµές και τη λειτουργία του µικρόκοσµου και στη συνέχεια θα µπορέσουν αποτελεσµατικά να αναδοµήσουν τις σχέσεις αυτές για να προχωρήσουν στην επίλυση προβλήµατος (Papert, 1996). Η ενασχόληση των µαθητών µε τα εργαλεία είναι διαθέσιµα στο µικρόκοσµο δεν µπορεί να αποτελεί το µοναδικό στόχο της ενσωµάτωσης των µικρόκοσµων στη διδασκαλία των µαθηµατικών, καθώς η απλή χρήση και εφαρµογή εργαλείων δεν δίνει τις ευκαιρίες στους µαθητές για αποτελεσµατική µάθηση. Αντίθετα, ο προγραµµατισµός δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση, ανακάλυψη και κατασκευή της µαθηµατικής γνώσης (Edwards, 1995; Kalas, 1997). Ο προγραµµατισµός αποτελεί το πρωτοτυπικό εργαλείο της οικοδοµιστικής προσέγγισης στη διδασκαλία και µάθηση των µαθηµατικών. Σε περίπτωση που ένα µικρόκοσµος δεν παρέχει την ευκαιρία προγραµµατισµού, υπάρχει ο κίνδυνος ουσιαστικής αποδυνάµωσής του (Hoyles & Noss, 1996), αφού στερεί ουσιαστικά στο µαθητή τη δυνατότητα να παρεµβαίνει δηµιουργικά και να σχεδιάζει τις δικές του λύσεις. Συγκεκριµένα, ο προγραµµατισµός επιτρέπει στους µαθητές να κατασκευάζουν δικά τους εργαλεία και να δοµούν τα κατάλληλα µοντέλα για την κατανόηση µαθηµατικών ιδεών και διαδικασιών. Παράλληλα, µπορούν να αναδοµούν και να αναδιατάξουν τα εργαλεία και µοντέλα αυτά, για να έχουν καλύτερα αποτελέσµατα στην επίλυση προβλήµατος. Στην περίπτωση της µελέτης των αριθµητικών µοτίβων, παρατηρείται συχνά ότι οι µαθητές αδυνατούν να κατανοήσουν τους κανόνες και τις αρχές πάνω στις οποίες στηρίζονται οι ακολουθίες και τα µοτίβα αριθµών. Καθώς οι µαθητές δεν έχουν πρόσβαση στις αρχές σχεδιασµού των ακολουθιών αυτών, αδυνατούν να παρατηρήσουν σχέσεις χρησιµοποιώντας µόνο τα αποτελέσµατα της διαδικασίας αυτής. Με άλλα λόγια, 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον από τα στιγµή που οι µαθητές είναι αποµονωµένοι από τη διαδικασία παραγωγής των αριθµητικών ακολουθιών και καλούνται να αλληλεπιδράσουν µόνο µε τα αποτελέσµατα της διαδικασίας αυτής, οι δυνατότητές τους είναι περιορισµένες. Βασική αφετηρία της µάθησης στα µαθηµατικά είναι η εµπλοκή των µαθητών µε τη διαδικασία κατασκευής και γενικότερα µε το «γιατί» ενός αποτελέσµατος αποτελεί (Healy & Hoyles, 1999). Ο µικρόκοσµος προγραµµατισµού ToonTalk Το λογισµικό ToonTalk που έχει χρησιµοποιηθεί για τις ανάγκες του ερευνητικού προγράµµατος βασίζεται σε µια µεταφορά ενός παιχνιδιού στον ηλεκτρονικού υπολογιστή. Κεντρικό ρόλο στο παιγνίδι αυτό διαδραµατίζει η κινούµενη αναπαράσταση του κώδικα προγραµµατισµού (animated source code). Οι βασικές αρχές σχεδιασµού του προγράµµατος είναι η παροχή δυναµικών και πολυδύναµων εργαλείων για την κατασκευή προγραµµάτων και στο επίπεδο της αλληλεπίδρασης µε τους µαθητές, η παροχή οικείων εργαλείων και λειτουργιών (Kahn, 1999). Ο σχεδιασµός του µικρόκοσµου ToonTalk βασίζεται στη χρησιµοποίηση κινούµενου κώδικα προγραµµατισµού, στοιχείο από το οποίο προέκυψε και το όνοµα του προγράµµατος - ο µαθητής επικοινωνεί, «µιλά (talking)» σε κινούµενα σχέδια (cartoons). Η κίνηση (animation) αποκτά λειτουργικό χαρακτήρα, καθώς αποτελεί το µέσο επικοινωνίας τόσο µεταξύ των µαθητών και του λογισµικού, όσο και µεταξύ των διαφόρων στοιχείων του λογισµικού. Ο µικρόκοσµος του ToonTalk περιλαµβάνει µια πόλη, µε σπίτια, ελικόπτερα, φορτηγά αυτοκίνητα, δρόµους και ροµπότ. Τα ροµπότ είναι το µέσο αλληλεπίδρασης και παρέµβασης του µαθητή στις λειτουργίες του µικρόκοσµου, καθώς τα ροµπότ αποτελούν προγράµµατα που µπορεί να κατασκευάσει ο µαθητής και µε αυτά να αναδιοργανώσει τη λειτουργία του µικρόκοσµου. Τα ροµπότ αυτά µπορούν να έχουν ονόµατα, εκπαιδεύονται καθώς ο µαθητής «εισέρχεται» στην σκέψη τους και τους δείχνει τι πρέπει να κάνουν, δίνοντάς τους ένα παράδειγµα (Kahn, 1999; Cypher, 1993). Στην Εικόνα 1 παρουσιάζεται ένα ροµπότ, το οποίο έχει εκπαιδευτεί να κατασκευάζει τους φυσικούς αριθµούς.

Ν. Μουσουλίδης Εικόνα 1:Η σειρά των φυσικών αριθµών Η συµπεριφορά των διαφόρων αντικειµένων του προγράµµατος µπορεί να ρυθµιστεί µε τη χρήση διαφόρων αισθητήρων (για το µέγεθος, το σχήµα, την ταχύτητα), αλλά και µε τη χρήση ροµπότ, τα οποία ατοµικά ή σε οµάδες µπορούν να τοποθετηθούν πίσω από διάφορα αντικείµενα και να καθορίσουν τη συµπεριφορά τους (Kahn, 1999). Τα ροµπότ εργάζονται ταυτόχρονα και επικοινωνούν µεταξύ τους µε τα πουλιά. Τα πουλιά λαµβάνουν αντικείµενα, τα µεταφέρουν στη φωλιά τους και επαναλαµβάνουν τη διαδικασία αυτή. Ο µικρόκοσµος ToonTalk παρέχει ένα σύνολο δυναµικών εργαλείων και µεταφορών, τα οποία είναι εκφραστικά και µπορούν να γίνουν εύκολα κατανοητά από τους µαθητές. Ταυτόχρονα, το παιγνιώδες περιβάλλον του προγράµµατος προσφέρει ευχάριστη ενασχόληση µε ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι. Η ουσιαστική όµως συνεισφορά του µικρόκοσµου ToonTalk είναι η παροχή της δυνατότητας στους µαθητές να κατασκευάζουν τους κανόνες και τις αρχές λειτουργίας του µικρόκοσµου, χρησιµοποιώντας οπτικά, κινούµενα εργαλεία και έτσι να οδηγούνται µε δηµιουργικό τρόπο στην κατανόηση των κανόνων και σχέσεων που διέπουν τις µαθηµατικές έννοιες (Healy & Hoyles, 1999). Ο µικρόκοσµος ToonTalk παρουσιάζει αρκετά κοινά µε τη γλώσσα προγραµµατισµού Logo και τους µικρόκοσµους που έχουν κατασκευαστεί µε βάση τη γλώσσα αυτή. Συγκρίνοντας το περιβάλλον του ToonTalk µε αυτό της Logo, προκύπτουν µερικές διαφορές, ειδικότερα, όσο αφορά την έννοια της µεταβλητής. Στο περιβάλλον της Logo ο µαθητής χρειάζεται να γνωρίζει από πριν τι είναι µεταβλητή, ή τι αντιπροσωπεύει η έννοια αυτή. Στο περιβάλλον του µικρόκοσµου ToonTalk, η εισαγωγή στην έννοια της µεταβλητής γίνεται µε µια καινούρια οπτική µεταφορά, καθώς ο µαθητής δηµιουργεί µια µεταβλητή, διαγράφοντας (χρησιµοποιώντας µια µικρή ηλεκτρική σκούπα) απλώς ένα αριθµό (ή µια εικόνα). Στην Εικόνα 2 ο µαθητής είναι έτοιµος να διαγράψει τον αριθµό 3 από το κουτί µε το οποίο εργάζεται το ροµπότ, έτσι ώστε αυτό να εργάζεται µε κάθε αριθµό που βρίσκεται στη θέση αυτή. Η µεταφορά αυτή είναι άµεση και πιο κατανοητή 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον στους µαθητές και αποτελεί σηµαντικό χαρακτηριστικό των µικρόκοσµων (Hoyles & Noss, 1996). Εικόνα 2:Οπτική µεταφορά της έννοιας της µεταβλητής Η παρούσα εργασία Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περιγραφή µιας προσπάθειας δηµιουργίας ενός δυναµικού και αλληλεπιδραστικού περιβάλλοντος για τη διδασκαλία µαθηµατικών εννοιών και διαδικασιών. Ο µικρόκοσµος ToonTalk έχει χρησιµοποιηθεί ως ένα µέρος του περιβάλλοντος αυτού, το οποίο χαρακτηρίζεται από ευελιξία και βασίζεται σε ένα µεγάλο βαθµό στην αλληλεπίδραση των µαθητών µε το εργαλείο. Συγκεκριµένα, µε τη χρήση του ιστοτόπου του προγράµµατος οι µαθητές έχουν την ευκαιρία να επικοινωνούν µε ερευνητές και µαθητές από άλλες χώρες που συµµετέχουν στο πρόγραµµα. Στο πλαίσιο τη επικοινωνίας αυτής αναπτύχθηκε ένα παιχνίδι, το οποίο ονοµάστηκε «Μάντεψε το ροµπότ µου» (Guess my Robot). Ένας µαθητής κατασκευάζει ένα ροµπότ το οποίο έχει προγραµµατιστεί να δηµιουργεί µια σειρά αριθµών. Στη συνέχεια ο µαθητής δηµοσιεύει µια σελίδα µε τη σειρά αριθµών που έχει κατασκευάσει και «προκαλεί» συµµαθητές από το πρόγραµµα να εκπαιδεύσουν ένα ροµπότ που να µπορεί να κατασκευάσει την ίδια σειρά αριθµών. Σκοπός της συγκεκριµένης δραστηριότητας είναι να δώσει τη δυνατότητα στους µαθητές όχι µόνο να κατασκευάσουν προβλήµατα µε σειρές αριθµών, να τροποποιήσουν και να υιοθετήσουν κανόνες και στη συνέχεια να συνεργαστούν µε άλλους µαθητές για να κατασκευάσουν κάποια µοντέλα, αλλά επίσης να κατανοήσουν τις έννοιες της αιτιότητας και της εξάρτησης σε ένα σύστηµα µαθηµατικών εννοιών (Papert, 1998). Μεθοδολογία Στο ερευνητικό πρόγραµµα συµµετέχουν µαθητές και ερευνητές από έξι ευρωπαϊκές χώρες. Στην περίπτωση της Κύπρου, έχει συσταθεί όµιλος για τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας στα µαθηµατικά και σε αυτόν συµµετέχουν είκοσι µαθητές ηλικίας 13 χρόνων. Οι συναντήσεις του οµίλου, που είναι διάρκειας µιας ώρας, πραγµατοποιούνται δύο φορές την εβδοµάδα στο εργαστήριο ιδακτικής των Μαθηµατικών του Τµήµατος,

Ν. Μουσουλίδης το οποίο είναι εφοδιασµένο µε ηλεκτρονικούς υπολογιστές, οι οποίοι διαθέτουν τον µικρόκοσµο και πρόσβαση στο διαδίκτυο. Παράλληλα, ο µικρόκοσµος ToonTalk έχει παραχωρηθεί στους µαθητές, για να µπορούν να εργάζονται και από το σπίτι τους και να επικοινωνούν τόσο µεταξύ τους όσο και µε τους ερευνητές µε τη χρήση εσωτερικού ηλεκτρονικού ταχυδροµείου, το οποίο βρίσκεται στον ιστότοπο του ερευνητικού προγράµµατος. Οι περισσότερες συναντήσεις βιντεοσκοπούνται ή ηχογραφούνται για την καλύτερη ανάλυση των αποτελεσµάτων του ερευνητικού προγράµµατος. Στη συνέχεια παρουσιάζονται δύο ενδεικτικά παραδείγµατα από την εργασία των µαθητών του οµίλου. Το πρώτο αναφέρεται στο παιχνίδι «Μάντεψε το ροµπότ µου» και το δεύτερο στην κατασκευή της ακολουθίας Fibonacci στο περιβάλλον του µικρόκοσµου ToonTalk. «Μάντεψε το Ροµπότ µου» Αποτελέσµατα Το παιχνίδι αυτό συνίσταται στην κοινοποίηση ενός αποτελέσµατος και η πρόκληση προς τους συµµετέχοντες να µαντέψουν µε ποιο ροµπότ κατασκευάστηκε αυτό το αποτέλεσµα. Στη συνέχεια παρατίθεται µια ακολουθία που προτάθηκε από µια µαθήτρια και η συζήτηση που ακολούθησε ανάµεσα στη µαθήτρια και άλλους µαθητές και ερευνητές που συµµετέχουν στο πρόγραµµα. Συγκεκριµένα, η Ρίτα δηµοσίευσε την ακολουθία των αριθµών (δείτε Εικόνα 3) και ζήτησε από άλλους µαθητές που συµµετείχαν στο πρόγραµµα να εκπαιδεύσουν ένα ροµπότ που να µπορεί να κατασκευάσει την ακολουθία αυτή. Στην «πρόκληση» της Ρίτας ανταποκρίθηκε ο Νάσκο (από την οµάδα της Βουλγαρίας), ο οποίος πρότεινε ένα ροµπότ το οποίο µπορούσε να κατασκευάσει την ακολουθία, χωρίς να είναι ακριβώς το ίδιο µε εκείνο της Ρίτας. Το ροµπότ του Νάσκο εύρισκε τον επόµενο όρο πολλαπλασιάζοντας τον προηγούµενο µε 4 και στη προσθέτοντας στο γινόµενο 8, ενώ το ροµπότ που τη Ρίτας πρόσθετε 2 στον προηγούµενο όρο και στη συνέχεια πολλαπλασίαζε το άθροισµα µε τον αριθµό 4. Ακολούθως ο Νάσκο παρουσίασε µια νέα σειρά αριθµών στη Ρίτα, και ζητούσε από αυτήν να ανακαλύψει ποιος ήταν ο πρώτος όρος της σειράς και να ελέγχει αν το δικό της ροµπότ µπορούσε να κατασκευάσει την σειρά αυτή (Εικόνα 4). Εικόνα 3:Η σειρά αριθµών που δηµοσίευσε η Ρίτα 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον Εικόνα 4:Η σειρά αριθµών που παρουσίασε ο Νάσκο Η απάντηση του Νάσκο ενθουσίασε την Ρίτα. Χάρηκε ιδιαίτερα που κάποιος µαθητής από άλλη χώρα εργάστηκε για να κατασκευάσει την ακολουθία αριθµών που πρότεινε εκείνη. Η ακολουθία αριθµών που έστειλε ο Νάσκο της φάνηκε ενδιαφέρουσα, κυρίως γιατί περιελάµβανε δεκαδικούς αριθµούς. Στην επόµενη συνάντηση διεξήχθη η πιο κάτω συζήτηση ανάµεσα στη Ρίτα και τον ερευνητή σχετικά µε την ακολουθία του Νάσκο. Ερευνητής: Πώς σου φαίνεται η ακολουθία του Νάσκο; Ρίτα: Πιστεύω ότι είναι πιο δύσκολη από τη δική µου, γιατί περιέχει δεκαδικούς αριθµούς. Ερευνητής: Γιατί θεωρείς ότι οι δεκαδικοί αριθµοί την κάνουν πιο δύσκολη; Ρίτα: Είναι πιο δύσκολες οι πράξεις µε τους δεκαδικούς αριθµούς. Πρέπει να βρω ποιο δεκαδικό αριθµό πρέπει να προσθέτω κάθε φορά για να την κατασκευάσω. Ερευνητής: Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος για να σχηµατίσεις δεκαδικούς αριθµούς; Ρίτα: Όχι. Πώς µπορώ να κάνω δεκαδικούς αριθµούς µε άλλο τρόπο; Χρειάζεται να προσθέσω σε ένα ακέραιο ένα δεκαδικό ή σε ένα δεκαδικό ένα άλλο δεκαδικό. Ερευνητής: Μήπως θα µπορούσες να χρησιµοποιήσεις άλλη πράξη, εκτός από πρόσθεση και αφαίρεση; Ρίτα: Αν πολλαπλασιάσω το ίδιο είναι χρειάζοµαι πάλι δεκαδικό. Αν διαιρέσω µπορεί να πάρω ακέραιο ή µπορεί να πάρω δεκαδικό. Ερευνητής: Ωραία, θέλεις τώρα να α δοκιµάσεις να κατασκευάσεις την ακολουθία του Νάσκο; Ρίτα: Οι διαφορές µεταξύ των αριθµών στην ακολουθία αυτή συνεχώς γίνονται οι µισοί κάθε φορά η διαφορά είναι δια δύο. Ερευνητής: Πώς µπορείς να το λύσεις αυτό; Ρίτα: Θα βάλω δια δύο και θα διαιρώ τη διαφορά κάθε φορά µε το 2. Στη συνέχεια η Ρίτα κατασκεύασε ένα κουτί το οποίο περιείχε τον πρώτο όρο της ακολουθίας (αρχικός αριθµός), τη διαφορά µεταξύ του πρώτου και του δεύτερου όρου, την πράξη της διαίρεσης δια 2 και ένα πουλί. Στη συνέχεια εκπαίδευσε ένα ροµπότ να κάνει τα ακόλουθα βήµατα: να παίρνει τον πρώτο αριθµό και σε αυτόν να προσθέτει τη διαφορά. Στη συνέχεια να κάνει ένα αντίγραφο του αποτελέσµατος, να δίνει το αποτέλεσµα (όρος της ακολουθίας) στο πουλί και να τοποθετεί το αντίγραφο του αποτελέσµατος ως τον επόµενο αρχικό αριθµό. Τέλος να διαιρεί τη διαφορά δια 2 (Εικόνα 5).

Ν. Μουσουλίδης Εικόνα 5:Η Ρίτα εκπαιδεύει το ροµπότ για την κατασκευή της σειράς του Νάσκο Την ίδια µέρα απάντησε στην Ρίτα ακόµη ένας µαθητής από την Βουλγαρία, ο Ιβάν. Το ροµπότ όµως που έστειλε δεν µπορούσε να κατασκευάσει τη σειρά αριθµών και η Ρίτα του απάντησε ότι θα ήταν καλύτερα να προσπαθήσει ξανά. Προσπάθησε επίσης να τον βοηθήσει, λέγοντας του ότι έπρεπε να βρει ένα τρόπο να αλλάζει τη διαφορά µεταξύ των διαδοχικών όρων της σειράς. Στη συζήτηση συµµετείχε επίσης και ένας ερευνητής από την Αγγλία, ο οποίος πρότεινε στον Ιβάν να χρησιµοποιήσει ένα έτοιµο ροµπότ, το οποίο θα τον βοηθούσε να παρουσιάζει τα αποτελέσµατά του µε καλύτερο τρόπο. Στη συνέχεια της συζήτησης δηµοσιεύτηκε στο διαδίκτυο µια ερώτηση από µέλη της αγγλικής οµάδας που συµµετέχει στο πρόγραµµα, η οποία ζητούσε από την Ρίτα και τον Νάσκο να παρουσιάσουν αναλυτικά την εργασία τους στον ιστότοπο του προγράµµατος. Στην επόµενη συνάντηση η Ρίτα ετοίµασε µε λεπτοµερή τρόπο την εργασία της και τη δηµοσίευσε στον ιστότοπο του προγράµµατος. Στη συνέχεια η οµάδα της Αγγλίας επανήλθε, ρωτώντας τους µαθητές κατά πόσο είναι σίγουροι ότι τα ροµπότ που είχαν κατασκευάσει θα εξακολουθούσαν να κατασκευάζουν την ίδια σειρά για πάντα. Στη συνέχεια συνοψίζεται η σχετική συζήτηση ανάµεσα στον ερευνητή και στη Ρίτα. Ερευνητής: Πώς µπορείς να εργαστείς για να ελέγξεις αν τα δύο ροµπότ θα κατασκευάζουν συνεχώς την ίδια ακολουθία αριθµών; Ρίτα: Θα βάλω και τα δύο ροµπότ να δουλεύουν σε διαφορετικά σπίτια. Στη συνέχεια θα πάω και θα ελέγξω τα αποτελέσµατα των δύο ροµπότ. Αν είναι τα ίδια, τότε σηµαίνει ότι τα ροµπότ κατασκευάζουν τις ίδιες ακολουθίες αριθµών. Ερευνητής: Πολύ καλή η ιδέα σου. Μήπως υπάρχει και άλλος τρόπος για να κάνεις την σύγκριση αυτή; Ρίτα: εν ξέρω. Όχι. Εκτός αν κάνω και ένα άλλο ροµπότ να ελέγχει τις διαφορές αυτές. Πώς µπορώ να το κάνω αυτό; Ερευνητής: εν είναι ανάγκη να προγραµµατίσεις το ροµπότ τώρα. Μπορεί να ξεκινήσεις σχεδιάζοντας τη λύση σου στο χαρτί. 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον Ρίτα: Ωραία. Τους αριθµούς από το κάθε ροµπότ θα τους στέλνω σε ένα άλλο σπίτι και εκεί θα γίνεται η σύγκριση. Αυτό µπορώ να το κάνω µε τη ζυγαριά. Αν δύο αριθµοί δεν είναι ίδιοι, τότε να µου δίνει ένα µήνυµα ότι έχει λάθος. Ερευνητής: Μπράβο! Ωραία. Ρίτα: Επίσης θα µπορούσε να προγραµµατίσω ένα ροµπότ να υπολογίζει τις διαφορές των δύο προηγούµενων ροµπότ και να φτιάχνει µια νέα σειρά αριθµών. Ερευνητής: Τι αριθµούς θα περιέχει η ακολουθία αυτή; Ρίτα: Κανονικά θα περιέχει µόνο 0. Μέχρι την επόµενη συνάντηση η Ρίτα είχε ετοιµάσει ένα ροµπότ το οποίο µπορούσε να βρίσκει τις διαφορές ανάµεσα στις δύο ακολουθίες, το δοκίµασε στο συγκεκριµένο ερώτηµα και συνέχεια δηµοσίευσε τα αποτελέσµατά της στον ιστότοπο. Σε ερώτηση του ερευνητή τι θα συµβεί αν πάρει µια ακολουθία αριθµών και δηµιουργήσει ένα αντίγραφο, από το οποίο θα απουσιάζει ο πρώτο όρος, η Ρίτα αφού το δοκίµασε απάντησε ότι θα πάρει µια νέα σειρά αριθµών. οκίµασε επίσης χρησιµοποιώντας µια ακολουθία αριθµών µε σταθερή διαφορά και κατέληξε ότι η νέα ακολουθία που προκύπτει αποτελείται από τους ίδιους αριθµούς που είναι η διαφορά µεταξύ των όρων των αρχικών σειρών. Σε ερώτηση ερευνητή από την Πορτογαλία, για το πόσο σίγουρη νιώθει για τα αποτελέσµατά της, η Ρίτα απάντησε ότι είναι 99% σίγουρη. Ο ίδιος ερευνητής διατύπωσε την ερώτηση: «Αν έχουµε δύο ροµπότ που κατασκευάζουν τους ίδιους αριθµούς για τους πρώτους 100,000 όρους µια ακολουθίας αριθµών, µπορούµε να είµαστε σίγουροι ότι και ο 100,001 όρος θα είναι ίδιος;» Η Ρίτα απάντησε ότι ευχόταν να είναι και οι υπόλοιποι όροι οι ίδιοι, γιατί διαφορετικά δεν θα είµαστε ποτέ σίγουροι. Ανάφερε επίσης ότι κάποιος µαθηµατικός πρέπει να έχει ασχοληθεί µε το θέµα αυτό! Ακολούθησε συζήτηση ανάµεσα στην Ρίτα και τους υπόλοιπους συµµαθητές της και τον ερευνητή. Ερευνητής: Θα ήθελα να συζητήσουµε λίγο για το θέµα που παρουσιάστηκε στην εργασία της Ρίτας. Ποια είναι η γνώµη σου Ρίτα; Ρίτα: Είναι δύσκολο να απαντήσω για το αν θα είναι σίγουρα οι ίδιοι οι επόµενοι όροι. Μαθητής 1: εν θα είναι πολύ παράξενο αν είναι τόσοι πολλοί όροι οι ίδιοι και µετά να είναι διαφορετικοί; Ρίτα: Θα είναι παράξενο. Για αυτό είπα ότι είµαι 99% σίγουρη. Μαθητής 1: Πρέπει να υπάρχει τρόπος να είµαστε εντελώς σίγουροι. Αλλά δεν µπορούµε να ελέγξουµε όλους τους αριθµούς. Είναι άπειροι. Ερευνητής: Θα µπορούσατε να σκεφτείτε ένα τρόπο να κάνουµε τον έλεγχο αυτό για να είµαστε σίγουροι; Μαθητής 1: Να το κάνουµε δηλαδή να γίνεται για κάθε αριθµό; Ρίτα: Όπως όταν σβήνουµε ένα αριθµό από την σκέψη του ροµπότ και εργάζεται για όλους τους αριθµούς; Είναι καλή ιδέα. Η συζήτηση οδήγησε τους µαθητές σε µια εµπειρική και διαισθητική διερεύνηση της έννοιας της µεταβλητής και πώς η έννοια αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εισαγωγή των µαθητών στη διαδικασία της απόδειξης. Φυσικά τα αποτελέσµατα της

Ν. Μουσουλίδης έρευνας αποτελούν µόνο ένα αρχικό στάδιο, αλλά φαίνεται ότι έγινε κατορθωτό να αντιληφθούν οι µαθητές την ανάγκη για απόδειξη, το πρώτο ίσως βήµα για τη τυπική µαθηµατική απόδειξη. Η ακολουθία των αριθµών Fibonacci Μετά από µια εισαγωγή στην ακολουθία Fibonacci, ζητήθηκε από τους µαθητές να προσπαθήσουν να την κατασκευάσουν στο περιβάλλον του µικρόκοσµου ToonTalk. Ακολουθεί η συζήτηση µεταξύ του ερευνητή και δύο από τους µαθητές που συµµετείχαν στο ερευνητικό πρόγραµµα. Ερευνητής: Θα ήθελα να συζητήσουµε λίγο για την ακολουθία Fibonacci. Πώς θα προχωρούσατε, αν σας ζητούσα να την κατασκευάσετε µε χαρτί και µολύβι; Μαθητής 1: Ναι. Παίρνω κάθε φορά τους δύο προηγούµενους αριθµούς και τους προσθέτω. Έτσι βρίσκω τον επόµενο αριθµό στην ακολουθία. Μαθητής 2: Είναι λίγο δύσκολο στη αρχή που έχουµε δύο φορές τον αριθµό 1. Αλλά η συνέχεια είναι όπως είπε ο συµµαθητής µου. Ερευνητής: Ας σκεφτούµε λίγο τη σειρά 1, 1, 2, 3, 5, 8. Μήπως θα µπορούσε ο δεύτερος όρος να προκύπτει από πρόσθεση δύο προηγούµενων όρων; Μαθητής 2: Αφού πριν υπάρχει µόνο ένας αριθµός. Μαθητής 1: Να φανταστούµε δηλαδή ότι υπάρχουν και άλλοι αριθµοί πιο πριν; Ερευνητής: Ακριβώς. Αν υπήρχε κάποιος αριθµός πριν από το 1, ποιος θα ήταν αυτός; Μαθητής 1: Ένα άλλο 1; Μαθητής 2: Όχι, αν ήταν 1, τότε ο επόµενος θα ήταν 2. Νοµίζω πως αν υπήρχε αριθµός πριν, αυτός θα ήταν το 0, έτσι ώστε 0 και 1 να δώσουν 1. Στη συνέχεια ζητήθηκε από τους µαθητές να εργαστούν στον µικρόκοσµο και να προσπαθήσουν να τροποποιήσουν ένα ροµπότ για να κατασκευάζει τη σειρά αυτή. Το αρχικό ροµπότ µε το οποίο έπρεπε να εργαστούν οι µαθητές ήταν εκπαιδευµένο να προσθέτει δύο αριθµούς και στη συνέχεια να δίνει το αποτέλεσµα σε ένα πουλί. Οι µαθητές ξεκίνησαν να εργάζονται µε χαρτί και µολύβι, σχεδιάζοντας τον προγραµµατισµό του ροµπότ στο µικρόκοσµο ToonTalk. Μαθητής 2: Το ροµπότ ξέρει πώς να προσθέτει τους δύο αριθµούς που βρίσκονται στο κουτί και να στέλνει το αποτέλεσµα µε το πουλί. Πώς θα το αλλάξουµε για να προσθέτει τους δύο προηγούµενους αριθµούς και να σχηµατίζει τον επόµενο; Μαθητής 1: Το αποτέλεσµα πρέπει να µπαίνει ξανά και σε αυτό να προσθέτουµε τον άλλο αριθµό. Μαθητής 2: ηλαδή; Μαθητής 1: Όταν σχηµατίζει το αποτέλεσµα δύο αριθµών, στη συνέχεια να το χρησιµοποιεί για να σχηµατίσει τον επόµενο αριθµό. Να ενώσουµε δύο ροµπότ. Ερευνητής: εν µπορείτε να το κάνετε αυτό µε ένα µόνο ροµπότ; Μαθητής 1: Ίσως, αν φέρουµε πίσω το αποτέλεσµα να αντιγράψουµε τη φωλιά. Μαθητής 2: Να χρησιµοποιήσουµε το µαγικό ραβδί (αντιγραφή αντικειµένων). 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον Ερευνητής: Ωραία. Πού θα τοποθετηθεί το αντίγραφο του αποτελέσµατος, δηλαδή, της φωλιάς; Μαθητής 2: Σε ένα αριθµό. Εδώ (δείχνει τη θέση του πρώτου αριθµού). Μαθητής 1: Να τοποθετηθεί στη θέση του αριθµού που δεν χρειαζόµαστε. Έτσι ώστε να παραµείνουν οι δύο προηγούµενοι αριθµοί για να κάνουν τους αριθµούς Fibonacci. Στη συνέχεια οι µαθητές εργάστηκαν στο µικρόκοσµο ToonTalk για να προγραµµατίσουν το ροµπότ. Στην Εικόνα 6 παρουσιάζονται τα στάδια προγραµµατισµού του ροµπότ για την κατασκευή της ακολουθίας Fibonacci. Εικόνα 6:Το ροµπότ που κατασκευάζει τη σειρά αριθµών Fibonacci Τα αποτελέσµατα της δραστηριότητας αυτής δείχνουν ότι οι µαθητές απέκτησαν ευελιξία στην εκπαίδευση των ροµπότ για την κατασκευή αριθµών. Ιδιαίτερα σηµαντικό είναι το γεγονός ότι µε τη χρήση διαφορετικών µορφών αναπαραστάσεων και ειδικότερα αναπαραστάσεων που κατασκεύασαν από µόνοι τους τόσο στο χαρτί, όσο και στον µικρόκοσµο, κατάφεραν να λύσουν ένα αρκετά δύσκολο πρόβληµα. Συµπεράσµατα - Συζήτηση Στην παρούσα εργασία συνοψίστηκε το θεωρητικό πλαίσιο και κάποια αποτελέσµατα της χρήσης ενός δυναµικού περιβάλλοντος διδασκαλίας µαθηµατικών εννοιών, το οποίο περιλαµβάνει ένα µικρόκοσµο προγραµµατισµού κινούµενου κώδικα και τον ιστότοπο του ερευνητικού προγράµµατος. Οι δύο δραστηριότητες που παρουσιάστηκαν αποτελούν ενδεικτικά παραδείγµατα εποικοδοµητικής αξιοποίησης του περιβάλλοντος. Το ευρύτερο πλαίσιο του προγράµµατος έδωσε τη δυνατότητα τους µαθητές να διατυπώσουν υποθέσεις, να κατασκευάσουν οι ίδιοι προγράµµατα για έλεγχο των υποθέσεων αυτών, να αλληλεπιδράσουν µε µαθητές και ερευνητές από άλλες χώρες της Ευρώπης και να αποκτήσουν µια πιο ολοκληρωµένη κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών που συνδέονται µε τις ακολουθίες αριθµών.

Ν. Μουσουλίδης Το κεντρικό ερώτηµα παραµένει κατά πόσο η ενασχόληση των µαθητών µε δραστηριότητες σε παρόµοια περιβάλλοντα µπορεί να οδηγήσει σε κατανόηση µαθηµατικών εννοιών που δεν θα ήταν εφικτή µε την παραδοσιακή διδασκαλία και αν το νέο αυτό περιβάλλον µπορεί να προάγει τις ικανότητες των µαθητών για επίλυση και κατασκευή µαθηµατικού προβλήµατος. Η όλη συµµετοχή των µαθητών στις δραστηριότητες που έχουν παρουσιαστεί δείχνει ότι οι µαθητές εργάστηκαν µε τα προβλήµατα σε ένα σαφώς βελτιωµένο επίπεδο σε σχέση µε την παραδοσιακή διδασκαλία. Η επικοινωνία και αλληλεπίδραση µε µια πλειάδα συνεργατών, το πλούσιο περιβάλλον κατασκευών και διερεύνησης κανόνων και σχέσεων µεταξύ των στοιχείων του µικρόκοσµου έδωσε την ευκαιρία στους µαθητές να διατυπώσουν υποθέσεις, να τις επιβεβαιώσουν ή να τις απορρίψουν (Noss et al., 1997). Η γνωστική σύγκρουση που δηµιουργήθηκε σε συνάρτηση µε τη βοήθεια που παρείχε το περιβάλλον για υπέρβαση της σύγκρουσης αυτής, βοήθησε τους µαθητές να κατανοήσουν το «γιατί», δηλαδή, τη λειτουργία και την αιτία των διαφόρων µοντέλων αριθµητικών σειρών που κατασκευάστηκαν. Οι δραστηριότητες µε τις οποίες εργάστηκαν οι µαθητές, δείχνουν ότι το περιβάλλον εργασίας λειτούργησε καταλυτικά στην κατανόηση των µαθηµατικών ιδεών (Noss, 1998). Ένας από τους κεντρικούς στόχους της εργασίας είναι να παρουσιάσει τις δυνατότητες των νέων τεχνολογικών εργαλείων για κατασκευή και σύνδεση διαφόρων µορφών αναπαράστασης. Οι νέες αυτές αναπαραστατικές δοµές µπορούν να αποτελέσουν µια πηγή µαθηµατικής γνώσης, ενώ ταυτόχρονα θα είναι εύκολα προσπελάσιµες από τους µαθητές (Kaput, 2000). Η δυνατότητα που παρέχεται στους µαθητές να σχεδιάζουν και να κατασκευάζουν δικές τους αναπαραστάσεις ίσως αποτελέσει τον καταλύτη για την αποτελεσµατική σύζευξη των διαφόρων µορφών αναπαράστασης που θα οδηγήσει µε τη σειρά της σε ολοκληρωµένη κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών (Noss, 1998). Αυτό θα έχει ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη των µετα αναπαραστατικών ικανοτήτων των µαθητών και συνακόλουθα των µεταγνωστικών δεξιοτήτων τους (disessa, 2000). Το περιβάλλον εργασίας βοήθησε τους µαθητές να αναπτύξουν τις δεξιότητες σχεδιασµού και κατασκευής µοντέλων. Οι δραστηριότητες που παρουσιάστηκαν, µπορούν να θεωρηθούν ως ανοικτός µοντελισµός (open modelling). Ο όρος των ανοικτών µοντέλων περιγράφει το περιβάλλον και τις δραστηριότητες εκείνες που ενθαρρύνουν το µαθητή να αναδιαµορφώσει δηµιουργικά ένα υφιστάµενο πρόβληµα χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα και συµπεράσµατά του από τη χρήση των εργαλείων και κανόνων του µικρόκοσµου που χρησιµοποιείται για την κατασκευή µοντέλων. Σηµαντικό πλεονέκτηµα του προγράµµατος είναι η δυνατότητα που παρέχει στους µαθητές να επιβεβαιώσουν ή να απορρίψουν τα προτεινόµενα µοντέλα και στη συνέχεια να κάνουν τις απαραίτητες συνδέσεις µε το αρχικό πρόβληµα, χρησιµοποιώντας τις δυνατότητες προγραµµατισµού του µικρόκοσµου (Doerr, 1996: Matos, 1995). Η χρήση εργαλείων προγραµµατισµού είναι βασικό στοιχείο του ερευνητικού προγράµµατος, ενώ παράλληλα η ενσωµάτωση κινούµενου κώδικα αποτελεί καινοτόµο χαρακτηριστικό. Τα αποτελέσµατα της έρευνας φαίνεται να δείχνουν ότι ο µικρόκοσµος προγραµµατισµού που χρησιµοποιήθηκε σε συνάρτηση µε τις δυνατότητες διερεύνησης και πειραµατισµού βοήθησε τους µαθητές στην κατανόηση των κανόνων και των βασικών χαρακτηριστικών των σειρών αριθµών. Ειδικότερα, η οπτική αναπαράσταση της κατασκευής των κανόνων σχεδιασµού σειρών αριθµών (µικρά προγράµµατα) φαίνεται να οδήγησε τους µαθητές σε µια διερευνητική και δηµιουργική µέθοδο µελέτης και κατασκευής κανόνων (Noss & Hoyles, 1996). Η χρήση του µικρόκοσµου ToonTalk 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον έδωσε επίσης στους µαθητές τη δυνατότητα να προσεγγίσουν µε ένα βελτιωµένο τρόπο την έννοια της µεταβλητής και στη συνέχεια να τη χρησιµοποιήσουν στην κατασκευή των δικών τους προγραµµάτων. Η οπτική µεταφορά της έννοιας της µεταβλητής που χρησιµοποιείται από το πρόγραµµα και η οποία υλοποιήθηκε από τους µαθητές είναι πιο άµεση στις εµπειρίες και ικανότητες των µαθητών και φαίνεται να είναι πιο αποτελεσµατική στην κατανόηση της έννοιας. Το περιβάλλον τόσο του µικρόκοσµου ToonTalk, όσο και του προγράµµατος γενικότερα δεν ενίσχυσε µόνο τις νοητικές διεργασίες των µαθητών, αλλά τις αναδόµησε και τις βελτίωσε ουσιαστικά. Ιδιαίτερη σηµασία έχει το γεγονός ότι οι µαθητές δεν εργάστηκαν σε ένα έτοιµο-δοσµένο περιβάλλον. Αντίθετα, η ενεργητική εµπλοκή των µαθητών στις δραστηριότητες οδήγησε στη δηµιουργία ενός δυναµικού περιβάλλοντος το οποίο καθορίστηκε από τους ίδιους τους µαθητές, τις µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις και τις κατασκευές που οι ίδιοι σχεδίασαν. Με βάση τα στοιχεία αυτά, το περιβάλλον αυτό µπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα σύνθετο, δυναµικό οικοδοµιστικό περιβάλλον διδασκαλίας-µάθησης. Με τον όρο Σύνθετος υναµικός Οικοδοµισµός (Dynamic Complex Constructivism) εννοούµε τη θεωρία µάθησης όπου οι µαθητές καθορίζουν τα στοιχεία του περιβάλλοντος στο οποίο εργάζονται και τις σχέσεις - κανόνες µεταξύ των στοιχείων αυτών. Οι µαθητές έχουν επίσης κεντρικό ρόλο στον καθορισµό των καναλιών επικοινωνίας και αλληλεπίδρασης µεταξύ µαθητών, µεταξύ µαθητών και εκπαιδευτικών έµπειρων συνεργατών και µεταξύ µαθητών και κατασκευών που οικοδοµούν στο περιβάλλον αυτό. Ο απώτερος στόχος του ερευνητικού προγράµµατος ήταν να προκαλέσει τη µαθηµατική κοινότητα να εστιάσει την προσοχή της στη νέα δυναµική που αναπτύσσεται µε τη χρήση κατάλληλων εργαλείων και συγκεκριµένα στο σχεδιασµό και χρήση κατάλληλων δραστηριοτήτων που θα προάγουν τα µη στατικά συστήµατα αναπαράστασης, την κατασκευή και εφαρµογή µοντέλων και την κατανόηση της λειτουργίας και εφαρµογής κανόνων στις µαθηµατικές έννοιες. Το περιβάλλον του Σύνθετου υναµικού Οικοδοµισµού που δηµιουργήθηκε παρέχει τις προοπτικές για υλοποίηση του στόχου αυτού. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Didactique des Mathematiques 1970-1990. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Clements, D. H., & Sarama, J. (1995). Design of a Logo environment for elementary geometry. Journal of Mathematical Behavior, 14, 381-398. Cypher, A. (Ed.) (1993). Watch What I Do: Programming by demonstration. Cambridge, MA: MIT Press. DiSessa, A. (2000). Changing minds, computers, learning and literacy. Cambridge, MA: MIT Press.

Ν. Μουσουλίδης Doerr, H. (1996). Stella Ten Years Later: A Review of the Literature. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 1(2), 201-224. Edwards, L. D. (1995). Microworlds as Representations. In A. disessa, C. Hoyles & R. Noss (Eds.) Computers and Exploratory Learning, 127-154. Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag. Harel, I. (1988). Software design for learning: children s constructions of meanings for fractions and logo programming. Unpublished doctoral dissertation. Cambridge MA: MIT Laboratory. Healy, L., & Hoyles, C. (1999). Visual and Symbolic Reasoning in Mathematics: Making connections with computers? Mathematical Thinking and Learning, 1(1), 59-84. Hoyles, C. (1993). Microworlds/Schoolworlds: The Transformation of an Innovation. In C. Keitel & K. Ruthven (Eds.) Learning From Computers: Mathematics Education and Technology, 1-17. Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag. Hoyles, C., & Noss, R. (1996). Windows on Mathematical Meanings: Learning Cultures and Computers. Netherlands: Kluwer Academic Press. Hoyles, C., Noss, R., & Pozzi, S. (2001). Proportional reasoning in nursing practice. Journal for Research in Mathematics Education, 32(1), 42-58. Kahn, K. (1999). Helping children learn hard things: computer programming with familiar objects and activities. In A. Druin (Ed.) The design of children s technology, 223-241. San Francisco: Morgan Kaufman Publishers Inc. Kalas, I. (1997). Thomas the Clown. University of Comenius, Slovak Republic. Kaput, J. (1999). Algebra and technology: New semiotic continuities and referential connectivity. In F. Hitt, T. Rojano, & M. Santos (Eds.), Proceedings of the PME-NA XXI Annual Meeting, Cuernavaca, Mexico. Kaput, J. (2000). Implications of the shift from isolated, expensive technology to connected, inexpensive, ubiquitous, and diverse technologies. In M. O. Thomas (Ed.) TIME 2000: An international conference in Mathematics Education (1 25). University of Auckland, New Zealand. Matos, J. F. (1995). The Spreadsheet as a Tool for Mathematical Modeling: A Case Study. In A. disessa, C. Hoyles, R. Noss & L. Edwards (Eds.) Computers for Exploratory Learning. Berlin: Springer Verlag. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. Noss, R. (1998). New Numeracies for a technological culture. For the Learning of Mathematics, 18, 2, 2-12. Noss, R., & Hoyles, C. (1996). The visibility of meanings: modeling the mathematics of banking. International Journal of Computers for Mathematical Learning 1,1(17), 3 31. 5 ο Εντατικό Πρόγραµµα ιδακτικής των Μαθηµατικών

Αναπαραστάσεις και Μοντέλα σε ένα Σύνθετο υναµικό Περιβάλλον Noss, R., Hoyles, C. & Healy, L. (1997). The Construction of Mathematical Meanings: Connecting the Visual with the Symbolic. Educational Studies in Mathematics, 33, 2, 203-233. Papert, S. (1991). Situating Constructionism. In I. Harel & S. Papert (Eds.) Constructionism (1-12). New Jersey: Ablex Publishing Corporation. Papert, S. (1996). An exploration in the space of mathematics education. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 1, 95-123. Papert, S. (1998). Does easy do it? Children, games, and learning. Game Developer, 77-78. Piaget, J. (1951). Play, Dreams and Imitation in Childhood. Routledge. Vygotsky, L.S. (1978). Mind and Society. Cambridge, MA: Harvard University Press.