Σειώσεις Μαθατικών 3 Σφαιρικ Τριγωνομετρία Ραφαλ Φάνης Μαθατικός 1
Κεφάλαιο 1 Στερεομετρία 1.1 Γωνία στο χώρο Ορισμός 1. Τρίεδρη ονομάζεται η στερεά γωνία που έχει ακριβώς τρείς ακμές, σχατίζεται δηλαδ από τρία τεμνόμενα επίπεδα στον χώρο. Η Τρίεδρη γωνία ονομάζεται Ο.Α 1 Α Α 3 όπου 1. Ο η κορυφ της. ΟΑ 1, ΟΑ, ΟΑ 3 οι ακμές της. Οι γωνίες που σχατίζουν οι ακμές μιας τρίεδρης γωνίας ονομάζονται έδρες της γωνίας δηλαδ : Α 1 ΟΑ = α 3, Α ΟΑ 3 = α 1, Α 1 ΟΑ 3 = α Ορισμός 1. Μια τρίεδρη γωνία λέγεται Ισοσκελς όταν έχει δύο έδρες ίσες.. Μια τρίεδρη γωνία είναι Ισοεδρικ όταν όλες οι έδρες της είναι ίσες. 3. Μια τρίεδρη γωνία λέγεται Δισορθογώνια όταν δύο έδρες της είναι ορθές. 4. Μια τρίεδρη γωνία λέγεται Τρισορθογώνια όταν και οι τρείς έδρες της είναι ορθές. Δισορθογώνια Τρισορθογώνια
1. Σφαίρα Σφαιρικές Γωνίες Ορισμός 1 Σφαίρα ονομάζεται το σύνολο των σείων του χώρου πουα απέχουν απο το κέντρο της Ο σταθερ απόσταση ίση με την ακτίνα R. Ορισμός Χορδ μιας σφαίρας ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμμα που ενώνει δύο σεία της. Αν μια χορδ περνα από το κέντρο της σφαίρας τότε ονομέζεται Διάμετρος=δ. Ισχύει ότι δ=r. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδ της σφαίρας. Τα ακρα μιας διαμέτρου ονομάζονται Αντιδιαμετρικά Σεία. 3
Ορισμός 3 Κάθε κύκλος που προκύπτει από την τομ μιας σφαίρας με ένα επίπεδο που διέρχεται απο το κέντρο της ονομάζεται Μέγιστος κύκλος. Δύο μέγιστοι κύκλοι είναι πάντα ίσοι και τέμνονται σε δύο αντιδιαμετρικά σεία. Από δύο μη αντιδιαμετρικά σεία διέρχεται μοναδικός μέγιστος κύκλος. Ορισμός 4 Απόσταση δύο σείων μιας σφαίρας ονομάζουμε το μικρότερο από τα δύο τόξα του μέγιστου κύκλου που διέρχεται απο αυτά. Ορισμός 5 Κάθε κύκλος που προκύπτει από την τομ μιας σφαίρας με ένα επίπεδο που δεν διέρχεται απο το κέντρο της ονομάζεται Μικρός κύκλος. Δύο μικροί κύκλοι είναι ίσοι όταν ισαπέχουν από το κέντρο της και άνισοι όταν οι αποστάσεις είναι αντίστροφα άνισες. Δύο κύκλοι ονομάζονται παράλληλοι όταν τα επίπεδα τους είναι παράλληλα. Ορισμός 6 Η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου και είναι κάθετη στο επιπεδό του καλείται άξονας του κύκλου. Τα σεία που ο άξονας τέμνει τη σφαίρα 4
ονομάζονται Πόλοι του κύκλου. Κάθε σείο ενός κύκλου ισαπέχει από τους πόλους του. Το τόξο που συνδεέι σείο κύκλου με τον κοντινότερο πόλο του ονομάζεται σφαιρικ ακτίνα του κύκλου. Η σφαρικ ακτίνα μεγίστου κύκλου είναι 90 0. Ορισμός 7 Το μέρος της σφαίρας μεταξύ δύο τεμνόμενων τόξων μεγίστων κύκλων ονομάζεται σφαιρικ γωνία. Τα τόξα αυτά ονομάζονται πλευρές της γωνίας και το σείο τομς κορυφ της. Κάθε σφαιρικ γωνία με κορυφ Ρ έχει μέτρο ίσο με το μέτρο της γωνίας xρy όπου Ρx και Ρy οι εφαπτομένες της σφαίρας στορ. θ = xρy = AOB 1.3 Σφαιρικά τρίγωνα Ορισμός 1 Σφαιρικό Τρίγωνο ονομάζεται το μέρος της επιφάνειας της σφαίρας που περικλείεται μεταξύ τριων τεμνόμενων αν δύο, τόξων μεγίστων κύκλων. Κάθε σφαιρικό τρίγωνο αντιστοιχεί στην Τριεδρη γωνία Ο.ΑΒΓ Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ τα τρία τόξα ονομάζονται πλευρές του τριγώνου και είναι ισα με τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες τους : ΑΒ = γ = ΑΟΒ, ΑΓ = β = ΑΟΓ, ΒΓ = α = ΒΟΓ Κάθε πλευρά ενός τριγώνου ίση με α rad εχει μκος : S=α R Οι σφαιρικές γωνίες Α, Β,Γ κάθε σφαιρικού τριγώνου ονομάζονται γωνίες του τριγώνου. 5
Ορισμός Πολικό τρίγωνο Α Β Γ σφαιρικού τριγώνου ΑΒΓ ονομάζεται το σφαιρικό τρίγωνο που έχει κορυφές τους πόλους των μεγίστων κύκλων των τόξων των πλευρών του ΑΒΓ με Α ο πόλος του ΒΓ που βρίσκεται στο ίδιο ισφαίριο με το Α. Ισχύει ότι : 1. Αν το Α Β Γ πολικό του ΑΒΓ τότε και το ΑΒΓ πολικό του Α Β Γ.. Κάθε πλευρά α=βγ είναι παραπληρωματικ της Σφαιρικς γωνίας Α του πολικού δηλαδ : α+α =β+β =γ+γ =180 0 Α+α =Β+β =Γ+γ =180 0 3. Αν Α, Β, Γ οι γωνίες σφαιρικού τριγώνου σε μέρη ορθς, R η ακτίνα της σφαίρας και (ΑΒΓ) το εμβαδό του τότε η διαφορά Α+Β+Γ-=S ονομάζεται σφαιρικ υπεροχ και: (ΑΒΓ) = S 1 8 Ε όπου Ε το εμβαδό επιφάνειας σφαίρας με Ε = 4πR. 6
1.4 Επίλυση Σφαιρικών Τριγώνων Επίλυση σφαιρικού τριγώνου ονομάζουμε τη διαδικασία εύρεσης όλων των στοιχείων του (Πλευρές Γωνίες ) όταν μας δίνονται 3 στοιχεία του. Για τη διαδικασία αυτ χρησιμοποιούμε κάποιους τριγωνομετρικούς τύπους καθώς και τους πίνακες του Norie s. 1. Τύποι Συνιτόνων (1 ος Θεμελιώδης) Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : συνα = συνβ συνγ + β γ συνα συνβ = συνα συνγ + α γ συνβ συνγ = συνα συνβ + α β συνγ Με τους τύπους αυτούς βρίσκουμε τη πλευρά ενός σφαιρικού τριγώνου όταν γνωρίζουμε δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία (ΠΓΠ).. Τύποι Ημιτόνων ( ος Θεμελιώδης) Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α Α = β Β = γ Γ Με τους τύπους αυτούς επιλύουμε σφαιρικό τρίγωνο όταν μας δίνουν μια πλευρά και την απένατι γωνία και ένα ακόμα στοιχείο (ΠΠΓ, ΓΓΠ) Πχ1. Σε τρίγωνο ΠΑΒ, Π ο Βόρειος Πόλος και Α, Β δύο σεία της σφαίρας με Α=68 0, ΑΒ=ρ=60 0 30, Π=80 0 16. Να βρεθεί το πλάτος του Β. (Β σείο του βόρειου ισφαιρίου) Το πλάτος το Β είναι ίσο με το τόξο ΕΒ στο σχμα. Θα επιλύσουμε το τρίγωνο ΠΒΑ για να βρούμε τη πλευρά ΠΒ=α χρησιμοποιώντας το νόμο ιτόνων έχουμε : α Α = β Β = ρ Π 1 Π =στεμπ 1 α = ρ Α Π α = ρ Α στεμπ (1) Λογαριθμίζουμε την (1) και έχουμε : logα = logρ + logα + logστεμπ 7
Από τους πίνακες βρίσκουμε : logρ = log(60 0 30 ) = 9,93970 logα = (+) { loga = log(68 0 ) = 9,96717 logα = 19,91317 logστεμπ = logστεμ(80 0 16 ) = 0,00630 Από τους πίνακες διαπιστώνουμε ότι : α=54 0 58 α=15 0 0 Όμως το Β ανκει στο Βόρειο ισφαίριο άρα α=54 0 58. Το πλάτος του Β είναι : ΕΒ = 90 0 α = 90 0 54 0 58 = 35 0 0 3. Πολικοί Τύποι Θεμελιωδών Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : συνα = συνα Β Γ συνβ συνγ συνβ = συνβ Α Γ συνα συνγ συνγ = συνγ Β Α συνβ συνα 4. Τύποι μισών Γωνιών Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ορίζουμε : τότε ισχύει : τ = α + β + γ (τ α) (τ β) (τ γ) και κ = τ εφ Α = κ (τ α) εφ Β = κ (τ β) εφ Γ = κ (τ γ) 5. Τύποι μισών πλευρών Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ορίζουμε : 8 Τ = Α + Β + Γ συν(τ Α) συν(τ Β) συν(τ Γ) και Κ = συντ τότε ισχύει : σφ α = Κ συν(τ Α) σφ β = Κ συν(τ Β) σφ γ = Κ συν(τ Γ) 6. Τύποι Gauss Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : Α + Β συν Γ = συν α β συν γ και Α Β συν Γ = α β γ
Α + Β α + β συν συν Γ = συν γ 7. Τύποι Napier Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : Α Β α β εφ σφ Γ = α + β Α + Β α β εφ συν σφ Γ = α + β συν και και και Α Β συν Γ = α β εφ εφ γ = α + β εφ εφ γ = α + β γ Α Β Α + Β Α Β συν συν Α + Β Τους παραπάνω τύπους τους χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε πλευρές και την περιεχόμενη γωνία (ΠΓΠ) γωνίες και την προσκείμενη πλευρά (ΓΠΓ). 8. Τύποι των 4 συνεχών στοιχείων Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : σφα στεμβ = στεμγ σφα + σφγ σφβ σφα στεμγ = στεμβ σφα + σφβ σφγ σφβ στεμγ = στεμα σφβ + σφα σφγ σφβ στεμα = στεμγ σφβ + σφγ σφα σφγ στεμα = στεμβ σφγ + σφβ σφα σφγ στεμβ = στεμα σφγ + σφα σφβ Οι παραπάνω τύποι χρησιμοποιούνται στην επίλυση του τριγώνου θέσεως. 1.5 Παρίτονα Ημιπαρίτονα Ορισμός Παρίτονο μιας γωνίας ω (Versine) ονομάζουμε τη διαφορά : verω = πρμω = 1 συνω Ημιπαρίτονο μιας γωνίας ω (Haversine) ονομάζουμε τη διαφορά : havω = πρω = 1 συνω Ισχύει ότι : πρω>0. Τύποι ιπαριτόνων Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : α) Γωνιών : πρα = (τ β) (τ γ) στεμβ στεμγ πρβ = (τ α) (τ γ) στεμα στεμγ πργ = (τ β) (τ α) στεμβ στεμα β) Πλευρών : πρα = πρ(β γ) + β γ πρα πρβ = πρ(α γ) + α γ πρβ πργ = πρ(β α) + β α πργ 9
Πχ. Σε τρίγωνο ΠΖΧ δίνονται Π=50 0, x=6 0 10, z=70 0 45. Να υπολογισθεί η πλευρά ρ και η γωνία Ζ. Για την πλευρά ρ θα χρησιμοποισουμε τον τύπο ιπαριτόνου για την πλευρά ρ δηλαδ: πρρ = πρ(z x) + z x πρπ Για ευκολία στους υπολογισμούς θέτουμε : πρκ = z x πρπ Λογαριθμίζοντας έχουμε : logπρκ = logz + logx + logπρπ Από τους πίνακες έχουμε : logπρκ = (+) { logz = log(70 0 45 ) = 9,97501 logx = log(6 0 10 ) = 9,94660 logπρπ = logπρ(50 0 ) = 9,5190 logπρκ = 9,17351 Άρα πρκ = 0,14911 και πρ(z x) = πρ(8 0 35 ) = 0,00560 Οπότε πρρ = 0,14911 + 0,00560 = 0,15471 άρα ρ=46 0 19,5. Για την γωνία Ζ έχουμε τον τύπο Γωνιών ιπαριτόνων δηλαδ : πρζ = (τ x) (τ ρ) στεμx στεμρ x + z + ρ τ = = 89 0 37,5 και τ x = 7 0 7,5, τ ρ = 43 0 17,75 οπότε λογαριθμίζοντας έχουμε : logπρζ = log(τ x) + log(τ ρ) + logστεμx + logστεμρ Από τους πίνακες έχουμε : log(τ x) = log7 0 7,5 = 9,66374 log(τ ρ) = log43 0 17,75 = 9,83618 logπρζ = logστεμx = logστεμ6 0 logπρζ = 19,6940 10 = 0,05340 { logστεμρ = logστεμ46 0 19,5 = 0,14070 Από τους πίνακες έχουμε Ζ=89 0 1,3. Ασκηση Να επιλυθεί το σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ αν α=103 0 30, β=4 0 40, Γ=48 0 0. 10
1.6 Επίλυση Ορθογωνίων και Ορθόπλευρων Σφαιρικών Τριγώνων Για την επίλυση των ορθογωνίων σφαιρικών τριγώνων, χρησιμοποιούμε τον Mνονικό κανόνα του Napier και τα Θεωρματα των Τεταρτορίων. Θεωρματα των Τεταρτορίων 1 ο Θεώρα Σε κάθε ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο μια γωνία (εκτός της ορθς) και η απέναντι πλευρά της ανκουν στο ίδιο τεταρτόριο. Δηλαδ είναι και οι δύο οξείες και οι δύο αμβλείες. ο Θεώρα α) Αν η υποτείνουσα ενος ορθογωνίου σφαιρικού τριγώνου ανκει στο πρώτο τεταρτόριο (οξεία) τότε οι δύο άλλες πλευρές και οι δύο γωνίες (εκτός της ορθς) ανκούν στο ίδιο τεταρτόριο (και οι δύο οξείες και οι δύο αμβλείες). ΒΓ<90 0 ΑΓ,ΑΒ,Β,Γ<90 0 ΒΓ<90 0 ΑΓ,ΑΒ,Β,Γ>90 0 β) Αν η υποτείνουσα ενος ορθογωνίου σφαιρικού τριγώνου ανκει στο δεύτερο τεταρτόριο (αμβλεία) τότε οι δύο άλλες πλευρές και οι δύο γωνίες (εκτός της ορθς) ανκούν σε διαφορετικά τεταρτόρια (μια οξεία η άλλη αμβλεία). ΒΓ>90 0 ΑΓ, Β <90 0 και ΑΒ, Γ>90 0 ΒΓ>90 0 ΑΓ, Β >90 0 και ΑΒ, Γ<90 0 Τα δύο αυτά θεωρματα μας βοηθούν να επιλέξουμε τη σωστ γωνία από τους πίνακες όταν ξέρουμε κάποιον τριγονωμετρικό αριθμό της. Τύποι και Μνονικός Κανόνας Napier Τύποι Napier Σε κάθε ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 ισχύει : 1. β = α Β 6. β = εφγ σφγ. γ = α Γ 7. γ = εφβ σφβ 3. συνα = συνβ συνγ 8. συνα = σφβ σφγ 4. συνγ = συνγ Β 9. συνγ = εφβ σφα 5. συνβ = συνβ Γ 10. συνβ = εφγ σφα 11
Μνονικός Κανόνας Napier Ο Napier διατύπωσε δύο μνονικούς κανόνες με τη βοθεια των οποίων βρίσκουμε όποιον τύπο απο τους παραπάνω δέκα χρειαζόμαστε. Για να τους χρησιμοποισουμε αρχικά κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 και έναν κυκλικό δίσκο χωρισμένο σε πέντε κυκλικούς τομείς. Στη συνέχεια ονομάζουμε τα στοιχεία του σφαιρικού τριγώνου αλλάζοντας την πλευρά α σε 90 0 -α και τις γωνίες Β, Γ σε 90 0 -Β και 90 0 -Γ αντίστοιχα. 90 0 -Β γ 90 0 -α 90 0 -Γ β Ξεκινώντας από ένα κυκλικό τομέα στον κύκλο μεταφέρουμε τα στοιχεία από το τρίγωνο στον κυκλικό δίσκο κυκλικά και αριστερόστροφα εκτός της ορθς Α : β γ 90 0 -Γ 90 0 -Β 90 0 -α Κάθε στοιχείο στον κυκλικό δίσκο έχει δύο γειτονικά προσκείμενα στοιχεία. Πχ. το 90 0 -α έχει προσκείμενα τα 90 0 -Γ και 90 0 -Β. Κάθε στοιχείο στον κυκλικό δίσκο έχει δύο απέναντι στοιχεία. Πχ. το 90 0 -α έχει απέναντι τα β, γ. 1
1 ος Μνονικός Κανόνας Το ίτονο κάθε στοιχείου στον κυκλικό δίσκο είναι ίσο με το γινόμενο των εφαπτομένων των προσκείμενων στοιχείων του. Π.χ (90 0 Β) = εφ(90 0 α) εφγ Όμως (90 0 -Β)=συνΒ και εφ(90 0 -α)=σφα άρα τελικά έχουμε : συνβ = σφα εφγ Δηλαδ προέκυψε ο τύπος 10 στον πίνακα. ος Μνονικός Κανόνας Το ίτονο κάθε στοιχείου στον κυκλικό δίσκο είναι ίσο με το γινόμενο των συνιμητόνων των απέναντι στοιχείων του. Πχ. (90 0 Β) = συν(90 0 Γ) συνβ Οπότε : συνβ = Γ συνβ Δηλαδ προέκυψε ο τύπος 5 στον πίνακα. Για να επιλύσουμε ένα ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο διαλέγουμε 3 από τους 10 τύπους με τη βοθεια του κυκλικού δίσκου, έτσι ώστε να περιέχεται ένα άγνωστο και δύο γνωστά στοιχεία. Δεν χρησιμοποιούμε στοιχείο που βρκαμε για τον υπολογισμό ενός άλλου στοιχείου. Χρησιμοποιούμε τα θεωρματα των τεταρτορίων για να διαλέξουμε σωστ γωνία από τους πίνακες. Τέλος επιλέγουμε έναν τύπο που συνδυάζει τα τρία στοιχεία που βρκαμε και κάνουμε επαλθευση (Τύπος επαλθευσης) Πχ3. Να επιλυθεί το ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 με α=96 0 και β=97 0. Υπολογισμός της Β Θα πρέπει να συνδυάσουμε την β, 90 0 -α και 90 0 -Β. Η β έχει β γ απέναντι τις 90 0 -α και 90 0 -Β άρα : β = συν(90 0 α) συν(90 0 Β) 90 0 -Γ 90 0 1 -Β β = α Β Β = β α Β = β στεμα 90 0 -α Λογαριθμίζοντας έχουμε : logβ = log97 0 + logστεμ96 0 logβ = log83 0 + logστεμ84 0 logβ = 9,99675 + 0,0039 = 9,99914 Από τους πίνακες Β=86 0 4 Β=93 0 36. Όμως αφού η β αμβλεία και η Β αμβλεία άρα τελικά Β=93 0 36. Υπολογισμός της γ Θα πρέπει να συνδυάσουμε την γ, 90 0 -α και β. Η 90 0 -α έχει απέναντι τις γ, β άρα : (90 0 α) = συνγ συνβ συνα = συνγ συνβ 13
1 συνγ = συνα συνγ = συνα τεμβ συνβ logσυνγ = logσυνα + logτεμβ logσυνγ = logσυν84 0 + logτεμ83 0 = 9,0194 + 0,91411 = 9,93335 Από τους πίνακες γ=30 0 55 γ=149 0 05. Η υποτείνουσα α είναι αμβλεία άρα αφού β αμβλεία η γ οξεία οπότε γ=30 0 55. Υπολογισμός της Γ Θα πρέπει να συνδυάσουμε την 90 0 -Γ, 90 0 -α και β. Η 90 0 -Γ έχει προσκείμενες τις 90 0 -α, β άρα : (90 0 Γ) = εφ(90 0 α) εφβ συνγ = σφα εφβ logσυνγ = logσφ84 0 + logεφ83 0 = 9,016 + 0,91086 = 9,9348 Άρα Γ=31 0 08 Γ=148 0 5 όμως γ οξεία άρα Γ=31 0 08. Τύπος επαλθευσης Θα πρέπει να συνδυάσουμε την 90 0 -Γ, γ και 90 0 -Β. Η 90 0 -Γ έχει απέναντι τις 90 0 -Β, γ άρα : (90 0 Γ) = συν(90 0 Β) συνγ συνγ = Βσυνγ logσυν(31 0 08 ) = log(93 0 36 ) + logσυν(30 0 55 ) 9,935 = 9,99914 + 9,93337 με στρογγυλοποίηση στο χιλιοστό 9,93 = 9,93 Αληθς Πχ4. Να επιλυθεί το ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0, Β=65 0 και Γ=118 0. Υπολογισμός της α Θα πρέπει να συνδυάσουμε την 90 0 -Γ, 90 0 -α και 90 0 -Β. Η 90 0 -α β γ έχει προσκείμενες τις 90 0 -Γ και 90 0 -Β άρα : (90 0 α) = εφ(90 0 Γ) εφ(90 0 Β) 90 0 -Γ 90 0 -Β συνα = σφβ σφγ Λογαριθμίζοντας έχουμε : logσυνα = logσφ65 0 + logσφ118 0 90 0 -α logσυνα = 9,66867 + 9,7567 = 19,39434 Από τους πίνακες α=75 0 49 α=104 0 1. Όμως αφού η Γ αμβλεία και η Β οξεία η α>90 0 άρα τελικά α=104 0 1. Υπολογισμός της γ Θα πρέπει να συνδυάσουμε την γ, 90 0 -Β και 90 0 -Γ. Η 90 0 -Γ έχει απέναντι τις γ, 90 0 -Β άρα : (90 0 Γ) = συνγ συν(90 0 Β) συνγ = συνγ Β 1 συνγ = συνγ συνγ = συνγ στεμβ Β logσυνγ = logσυνγ + logστεμβ logσυνγ = logσυν118 0 + logστεμ65 0 = 9,67161 + 0,047 = 9,71433 Από τους πίνακες γ=58 0 48 γ=11 0 1. Η Γ>90 0 άρα γ=11 0 1. Υπολογισμός της β Θα πρέπει να συνδυάσουμε την β, 90 0 -Γ, 90 0 -Β και. Η 90 0 -Β έχει απέναντι τις 90 0 -Γ, β άρα : (90 0 Β) = συν(90 0 Γ) συνβ συνβ = συνβ Γ συνβ = συνβ στεμγ logσυνβ = logσυν65 0 + logστεμ118 0 = 9,6595 + 0,0,05407 = 9,6800 14
Άρα β=61 0 4 β=118 0 36 όμως Β οξεία άρα β=61 0 4. Τύπος επαλθευσης Θα πρέπει να συνδυάσουμε την 90 0 -α, γ και β. Η 90 0 -α έχει απέναντι τις β, γ άρα : (90 0 α) = συνβ συνγ συνα = συνβσυνγ logσυν(104 0 1 ) = logσυν(61 0 4 ) + logσυν(11 0 1 ) 9,39418 = 9,68006 + 9,71435 με στρογγυλοποίηση στο χιλιοστό 9,394 = 9,394 Αληθς Για να επίλυσουμε ένα ορθόπλευρο τρίγωνο βρίσκουμε πρώτα τα στοιχεία του πολικού του με τους τύπους α+α =β+β =γ+γ =180 0, Α+α =Β+β =Γ+γ =180 0. Το πολικό είναι ορθογώνιο άρα επιλύοντάς το μπορούμε με τους ίδιους τύπους να βρούμε τα στοιχεία του ορθόπλευρου. Πχ5. Να επιλυθεί το ορθόπλευρο σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με α=90 0, β=115 0, και γ=6 0 Βρίσκουμε τα στοιχεία του πολικού του Α Β Γ δηλαδ : β+β =180 0 Β =65 0 και γ+γ =180 0 Γ =118 0 Επιλύουμε το Α Β Γ που είναι ορθογώνιο με Α =90 0, Β =65 0, Γ =118 0. Απο το Πχ4. όμως α =104 0 1, β =61 0 4, γ =11 0 1 άρα Α+α =180 0 Α=75 0 39 Β+β =180 0 Β=118 0 36 Γ+γ =180 0 Γ=58 0 48 Ασκσεις Να επιλυθούν τα παρακάτω σφαιρικά τρίγωνα α. ΑΒΓ με Α=90 0, Β=36 0 14, γ=115 0 β. ΑΒΓ με Α=90 0, Β=156 0 17, α=7 0 1 γ. ΑΒΓ με α=90 0, β=115 0 4, γ=60 0 18 15
ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΥΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ 1. 3 Πλευρές (ΠΠΠ) Μισών Γωνιών Ημιπαριτόνων Νόμος Ημιτόνων. 3 Γωνίες (ΓΓΓ) Μισών Πλευρών Ημιπαριτόνων στο πολικό Νόμος Ημιτόνων 3. Πλευρές και η Περιεχόμενη Γωνία τους (ΠΓΠ) Napier Ημιπαριτόνων Gauss Νόμος Ημιτόνων 4. Γωνίες και η Προσκείμενη Πλευρά (ΓΠΓ) Napier 4 Συνεχών Στοιχείων Gauss Νόμος Ημιτόνων 5. Πλευρές και μια Απέναντι Γωνία (ΓΠΠ) Νομος Ημιτόνων και Napier Νόμος Ημιτόνων 6. Γωνίες και μια Απέναντι Πλευρά (ΠΓΓ) Napier Νόμος Ημιτόνων 16
Πχ. 6 Να επιλυθεί το σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΓ με Α=86 0, Γ=14 0, α=4 0. Είναι η Περίπτωση 6 (ΓΓΠ) Υπολογισμός γ Νόμος Ημιτόνων α Α = γ Γ γ = α 1 Α Γ γ = α στεμα Γ Λογαριθμίζοντας έχουμε logγ = log4 0 + logστεμ86 0 + log14 0 = 9,60931 + 0,00106 + 9,38368 = 18,99405 Από τους πίνακες έχουμε γ=5 0 39,6 γ=174 0 0,4. Αφού όμως Γ<Α θα είναι και γ<α άρα τελικά γ=5 0 39,6. Υπολογισμός β Napier α γ εφ εφ β Α Γ = εφ β Α + Γ logεφ β = logστεμ Α Γ = στεμ Α Γ α γ Α + Γ εφ α γ Α + Γ + logεφ + log logεφ β = 0,3078 + 9,0798 + 9,8845 = 19,3301 Από τους πίνακες β = 110 5,8 β = 3 0 45,6 Υπολογισμός Β Napier Α Γ α γ εφ σφ Β = α + γ σφ Β logεφ Β α γ = logστεμ = στεμ α γ Α Γ α + γ εφ Α Γ α + γ + logεφ + log logεφ Β = 0,79761 + 9,8615 + 9,40816 = 0,06703 Από τους πίνακες Β = 810 11,6 β = 3 0 45,6 17