ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1

2

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου αυτού. Η γωνία α (rad) μετατρέπεται σε μοίρες και αντιστρόφως σύμφωνα με τον τύπο: ρ rad ρ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες: ρ ημ συν ημ συν συν ημ ημ συν εφ ημ σφ εφ εφ εφ σφ εφ σφ συν ημ συν εφ Χρήσιμος πίνακας: Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών. μοίρες rad ημ συν εφ σφ Δεν ορίζεται π 5 9 Δεν ορίζεται

4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Ο τριγωνομετρικός κύκλος: ημ Τριγωνομετρικός κύκλος ονομάζεται ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο (, ) ενός συστήματος αξόνων και ακτίνα ρ =. Ο οριζόντιος άξονας ονομάζεται άξονας συνημιτόνων και ο κατακόρυφος, άξονας ημιτόνων. Επομένως: και - Σχόλιο: Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε εύκολα να βρούμε το πρόσημο όλων των τριγωνομετρικών αριθμών σε οποιοδήποτε τεταρτημόριο αλλά και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς πολλών ακόμη χαρακτηριστικών γωνιών. συν - Παραδείγματα: Α) Στο πρώτο τεταρτημόριο τα ημ, συν, εφ και σφ είναι θετικά, ενώ στο δεύτερο τα ημ είναι θετικά και τα συν, εφ, σφ είναι αρνητικά. Β),, Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο: Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μη βασικών γωνιών, γίνεται με τη βοήθεια των παρακάτω κανόνων. Κανόνας ος: Οι παραπληρωματικές γωνίες (άθροισμα ) έχουν το ίδιο ημ και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ημω ημ π ω! Παραδείγματα: Α) Β),,

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Κανόνας ος: Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συν και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ημ ω ημω! Παραδείγματα: Α), Β), Κανόνας ος: Στις συμπληρωματικές γωνίες (άθροισμα 9 ) το ημ καθεμιάς ισούται με το συν της άλλης και η εφ καθεμιάς ισούται με τη σφ της άλλης (και το αντίστροφο). π ημω συν ω Παραδείγματα: Α) Β),, Κανόνας ος: Στις γωνίες μεγαλύτερες των ο δεν μας απασχολεί πόσους πλήρεις κύκλους έχουμε διαγράψει. ημ κ ω εφ κ ω συν κ ω σφ κ ω, Παραδείγματα: Α) 9 Β) , 5, 5 5

6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κανόνας 5ος: Αν η γωνία είναι της μορφής ή, τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός παραμένει ίδιος και αλλάζει από ημ σε συν, από εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία είναι της μορφής ή. ΠΡΟΣΟΧΗ: Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία του αρχικού τριγωνομετρικού αριθμού. Παραδείγματα: Α) Β) Γ) Δ)

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > τέτοιος, ώστε για κάθε Α να ισχύει: i) + T A, T A και ii) f T f T f Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση ημίτονο είναι η συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε αριθμό στο ημ ( rad) και συμβολίζεται με ημ. f :, με f Η συνάρτηση ημίτονο έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. (Μονοτονία) Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, και, και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. (Ακρότατα) Παρουσιάζει μέγιστο για, το f και ελάχιστο για, το f (Συμμετρίες) Είναι περιττή, δηλ. έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο O,. Τα προηγούμενα συμπεράσματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: ημ (ma) π (min) - π π/ π y - π/ π/ - 7 π

8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η συνάρτηση συνημίτονο Η συνάρτηση συνημίτονο είναι η συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε αριθμό στο συν ( rad) και συμβολίζεται με συν. f :, με f Η συνάρτηση συνημίτονο έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. (Μονοτονία) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. (Ακρότατα) Παρουσιάζει μέγιστο για ή, το f f και ελάχιστο για, το f (Συμμετρίες) Είναι άρτια, δηλ. έχει άξονα συμμετρίας τον y y. Τα προηγούμενα συμπεράσματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: π (ma) συν π (ma) (min) - y - π/ π/ π π/ π - Σχόλιο: Σε μία συνάρτηση της μορφής: f, όπου ρ, ω > Το ρ καθορίζει τη μέγιστη (ρ) και την ελάχιστη τιμή (- ρ) της συνάρτησης και ονομάζεται πλάτος. Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης T. Τα ίδια ισχύουν και για μία συνάρτηση της μορφής: f, όπου ρ, ω >

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Η συνάρτηση εφαπτομένη Η συνάρτηση εφαπτομένη συμβολίζεται με εφ και ορίζεται ως εξής: f : / με f, Η συνάρτηση εφαπτομένη έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. (Μονοτονία) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. (Ασύμπτωτες) Οι ευθείες και λέγονται κατακόρυφες ασύμπτωτες. (Συμμετρίες) Είναι περιττή, δηλ. έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο O,. Η συνάρτηση συνεφαπτομένη Η συνάρτηση συνεφαπτομένη συμβολίζεται με σφ και ορίζεται ως εξής: f : / με f, Η συνάρτηση συνεφαπτομένη έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. (Μονοτονία) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. (Ασύμπτωτες) Οι ευθείες και λέγονται κατακόρυφες ασύμπτωτες. (Συμμετρίες) Είναι περιττή, δηλ. έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο O,. Γραφική παράσταση της f -π - π/ π/ Γραφική παράσταση της f π -π 9 - π/ π/ π

10 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ποια είναι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή των παρακάτω παραστάσεων; Ποια είναι η περίοδος των παρακάτω παραστάσεων; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. i.f() = ημ ii.f() =,ημ iii.f() = -ημ iv.f() = ημ v.f() = ημ vi.f() = ημ vii.f() = ημ viii.f() = -ημ i.f() = -ημ.f() = ημ + i.f() = ημ ii.f() = -ημ + iii.f() = -ημ iv.f() = ημ + v.f() = -ημ + vi.f() = ημ vii.f() = ημ viii.f() = ημ +. Ποια είναι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή των παρακάτω παραστάσεων; Ποια είναι η περίοδος των παρακάτω παραστάσεων; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. i.f() = συν ii.f() =,7συν iii.f() = -συν iv.f() = συν v.f() = συν vi.f() = συν vii.f() = συν viii.f() = -συν i.f() = -συν.f() = συν + i.f() = συν ii.f() = -συν + iii.f() = -συν iv.f() = συν + v.f() = -συν + vi.f() = συν vii.f() = συν viii.f() = συν. Ποια είναι η περίοδος των παρακάτω παραστάσεων; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. i.f() = + εφ ii.f() = εφ iii.f() = - + εφ iv.f() = - εφ v.f() = -εφ vi.f() = εφ vii.f() = εφ viii.f() = + σφ i.f() = σφ.f() =- + σφ i.f() = - σφ ii.f() = -σφ iii.f() = -σφ iv.f() = σφ v.f() = εφ vi.f() = σφ vii.f() = σφ viii.f() = εφ. Έστω η συνάρτηση f() = (α+)συν(βπ), όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. Αν η μέγιστη τιμή της f() είναι και η περίοδός της είναι, να αποδείξετε ότι α = και β=. (Πανελλήνιες)

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 5. Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπύλων. i. ii.π/,π/,π/,π/ iii. iv. 9 v. vi.

12 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να βρείτε τις εξισώσεις των συνημιτονοειδών καμπύλων. i. ii. iii. π/,π/,π/,π/ iv.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ή,,,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Για να λύσουμε μία τριγωνομετρική εξίσωση πρέπει να τη μετασχηματίσουμε κατάλληλα έτσι, ώστε να έχουμε ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων υπολογίζουμε τον άγνωστο. Απαραίτητα, πρέπει να θυμόμαστε: Α) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των βασικών γωνιών Β) τους γνωστούς, από την Α Λυκείου, τύπους: και και Γ) τους γνωστούς τύπους για τις αντίθετες γωνίες:!

14 Δ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ τους γνωστούς τύπους για τις συμπληρωματικές γωνίες: ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ξεχνώ να πάρω περιορισμούς. Όταν εμφανίζεται f, πρέπει: f Όταν εμφανίζεται f, πρέπει: f Στο τέλος, πρέπει να ελέγξουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή όχι. Σχόλιο: Αν η άσκηση μας ζητά να λύσουμε μία εξίσωση σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, πρέπει επιπλέον να υπολογίσουμε ποια ες από τις ακέραιες τιμές επιτρέπεται να πάρει το κ.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημ = ii.ημ = iii.ημ = iv.ημ =. Να λύσετε τις εξισώσεις i.συν = ii.συν =. Να λύσετε τις εξισώσεις i.εφ = ii.εφ = - iii.ημ = iv.ημ = iii.εφ = iv.εφ = - iii.σφ = iv.σφ = -. Να λύσετε τις εξισώσεις i.σφ = ii.σφ = - 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i.(συν )( + ημ) = iii.( + σφ)( + εφ) = ii.(ημ )(συν ) = iv.(σφ )(συν )εφ =. Να λύσετε τις εξισώσεις i.συν5 = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις i. ii. iii. 5 ii. iii.. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημ ημ + = iii.εφ + εφ = ii.συν + = -συν iv.εφ εφ + = 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημ + συν = iii.ημ = ( συν) ii.ημ + συν = iv. + συν + ημ = (Πανελλήνιες). Να βρείτε για ποιες τιμές του, καθεμιά απο τις επόμενες συναρτήσεις έχει μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: i.f() = ημ ii.g() = συν, < π, < π 5

16 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η ημερήσια ένταση του ρεύματος σε ένα κύκλωμα (σε Αμπέρ) δίνεται από τον τύπο h Ι = + ημ, όπου h ο χρόνος σε ώρες και h = αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα : με :. α)να βρείτε ποιες ώρες η ένταση του ρεύματος φτάνει στα Αμπέρ. β)να βρείτε ποια ώρα η ένταση του ρεύματος γίνεται μέγιστη και πόσα αμπέρ είναι αυτή.. Να λύσετε τις εξισώσεις i.συν ημ iii.σφ+εφ ii.συν + ημ = iv.εφ σφ. Να λύσετε τις εξισώσεις i. συν ημ = (Πανελλήνιες.) ii. ημ + συν =. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημσυν = ημ ii.ημσυν = συν iii. συν + ημσυν = iv.ημ = ημ v.συν = συν vi.ημ = ημ vii.σφσυν + = συν + σφ viii.εφσυν + = συν + εφ i.ημσυν + ημ συν =.ημσυν + ημ = ημ + συν i.ημσυν συν ημ + = ii.ημσυν ημ συν + = 5. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης συν = στο διάστημα (π, π).. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης συν ημ = στο διάστημα (, π). (Πανελλήνιες) 7. Να λύσετε την εξίσωση εφσφ = στο διάστημα [, π).. Να λύσετε την εξίσωση ημ = -συν στο διάστημα [, π). 9. Να λύσετε τις εξισώσεις π ημ - ημ ii. ( ) ( ) i.ημ ημ = ημ iii. iv.συν συν + =

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημ + συν5 = iii.σφ = συν v.συν + ημ = vii.ημ συν = i.ημεφ = i.εφ σφ = iii. + = εφ + σφ v.ημ ( + )ημσυν +. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημ + συν = ii.συν + συν = iv. εφ = ημ vi.ημ ημ = viii.ημ συν = ημ. εφ = ii.εφ + σφ = iv.ημ ημ συν + 9 = συν = vi. = ημ ii.σφ + =. Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστημα [, π]. i.εφ + = ii.. Να δείξετε ότι η εξίσωση συνω + συνω = έχει διπλή ρίζα. Να βρεθεί ο ωî(, π) ώστε η ρίζα να είναι το ρ =.. Δίνεται η εξίσωση ημ εφωσυν = ημσυν, ωî[, π] με ω Αν μία ρίζα της εξίσωσης ειναι ρ = π, να βρεθεί ο ω. 5. Να λύσετε την εξίσωση ημ + συν = στο διάστημα [, π). 7 και ω.

18 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Στην παράγραφο αυτή, συναντάμε κυρίως αποδεικτικές ασκήσεις. Για να αποδείξουμε μία ισότητα, ακολουθούμε μία από τις παρακάτω μεθόδους: Ξεκινάμε από το ένα μέλος (συνήθως εκείνο με τις περισσότερες πράξεις) και με διαδοχικές ισότητες καταλήγουμε στο άλλο. Ξεκινάμε πρώτα από το ένα μέλος, με διαδοχικές ισότητες καταλήγουμε σε μία παράσταση και στη συνέχεια με αφετηρία το άλλο μέλος καταλήγουμε και πάλι στην ίδια παράσταση. Ξεκινάμε από την ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε και με διαδοχικές ισοδυναμίες καταλήγουμε σε έναν ισχυρισμό, ο οποίος γνωρίζουμε ότι ισχύει (π.χ. ή μία δεδομένη σχέση που πιθανόν να δίνει η άσκηση). Ξεκινάμε από έναν ισχυρισμό, ο οποίος γνωρίζουμε ότι ισχύει: (π.χ. ή μία δεδομένη σχέση που πιθανόν να δίνει η άσκηση) και με διαδοχικές ισοδυναμίες καταλήγουμε στην ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε. Σχόλιο: Αν η άσκηση αναφέρεται σε γωνίες τριγώνου, συνήθως ξεκινάμε από τη γνωστή σχέση:.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε, χωρίς υπολογιστή τσέπης, την τιμή των παραστάσεων. 5 5 i.συν7 συν7 - ημ7 ημ7 ii.συν συν ημ ημ iii.ημ5 ημ7 - συν5 συν7 iv. ημ ημ συν συν v.συν συν + ημ ημ vii.συν συν συν57 ημ vi.συν55 συν + ημ55 ημ. Να υπολογίσετε, χωρίς υπολογιστή τσέπης, την τιμή των παραστάσεων. i.ημ7 συν + συν7 ημ ii.ημ iii.ημ75 συν5 συν75 ημ5 iv.ημ συν συν - συν + συν ημ ημ. Να υπολογίσετε, χωρίς υπολογιστή τσέπης, την τιμή των παραστάσεων. 7 i. 7 iii. ii iv. 7 v vi Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις. i.συν(α + )συνα + ημ(α + )ημα iii.ημ(α + β)συνα - ημασυν(α + β) a v. a 5. Να αποδείξετε ότι i.ημ( + ii.συν(ω + ) - ημ( - ) - συν(ω - )= ii.συνσυν - ημημ iv.ημ5ασυνα + συν5αημα vi. ημσυν ) = - ημω 9 5 5

20 iii.συν( + α) - ημ( ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - α) = iv.(συνα - ημα) (συνβ - ημβ) = συν(α - β) - ημ(α + β) v.ημ(α + β). ημ(α β) = ημα ημβ vi.συν(α + β). συν(α β) = συνα συνβ vii.ημ(α β)συνβ + ημβσυν(α β) = ημα viii.ημ( α) συν( + α) + ημ( + α)συν( α) = i.συν( α) συν( + α) + συν(5 α) συν(5 + α) = συνα.συν(5 α) συν(5 β) ημ(5 α) ημ(5 β) = ημ(α + β) i.(συν + ημ)(εφ(5 - ) = συν ημ ii.συν + συν( + ) + συν( + ) = iii.συν(α + β)ημ(α β) = συναημα συνβημβ iv.συν(α + β) + ημ(α β) = (συνα + ημα)(συνβ ημβ). Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τους τριγωνικούς αριθμούς των 75 και. 7. Να αποδείξετε ότι ( ) i. ii. ( ) ( ) (a ) ( ) ( ) ( ) iii. iv. ( ) ( ) v. ( ) ( ). Να υπολογίσετε τους τριγωνικούς αριθμούς της γωνίας α + β, αν: 5 i.ημα = -, συνβ =, < α < π και < β < 5 ii.ημα = -, συνβ = -, π < α < και <β<π Αν για τις οξείες γωνίες α, β ισχύει ότι συνα = και ημβ =, τότε: α) να υπολογίσετε το συν(α β) β) να αποδείξετε ότι συν(α β) + ημ(α β) = (Πανελλήνιες). Αν για τις οξείες γωνίες α, β ισχύει ότι εφα = και εφβ =, τότε: α) να υπολογίσετε το εφ(α β) β) να αποδείξετε ότι εφ(α + β) = γ) να αποδείξετε ότι οι γωνίες α και β είναι συμπληρωματικές. (Πανελλήνιες)

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο. Αν α + β = και εφα =. Αν y = και εφy = να βρείτε την εφβ. να βρείτε την εφ. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i.ημ = συν( iii.εφ εφ( - ) = iv.εφ( v.εφ( + α) = 7, όταν εφα = vii.ημ + εφ συν - ) εφ( i.ημ( )= = viii.συν( + συν + ημ( + ). ημ( ) + ) = - vi.ημ( α) + ημ( + α) =, αν εφα = - i.ημ( + ) = συν( + ) + συν( - ).ημ( + ii. ημ = συν( - ) + ) + ημ( ) + συν( )= - ), με [, π) ). ημ( ) =. Δίνεται η εξίσωση συν ημ = α)να λύσετε τη εξίσωση στο β)ποιες από τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα (, π). (Πανελλήνιες) 5. i.να αποδείξετε ότι εφ( ) + εφ( + ii.να λύσετε την εξίσωση εφ( )= ) + εφ( +. ) = - (Πανελλήνιες). Να λύσετε τις εξισώσεις i. ημ + συν = iii.ημ + συν = v.ημ + συν = ii.ημ συν = iv.ημ συν = vi.ημ5 + συν5 = 7. Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ + συν. i.να μετατρέψετε τη συνάρτηση f στη μορφή ρημ( + φ), όπου ρ και φ πραγματικοί αριθμοί και ρ >. ii.να αποδείξετε ότι f(-) + f( ) = συν( - iii.να λύσετε την εξίσωση f() + f( ) =. ).

22 . Αν α β = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ να δείξετε ότι ( σφβ)( σφα) = 9. Αν α β = να δείξετε ότι (συνα + συνβ) + (ημα + ημβ) =. Αν α + β = να δείξετε ότι (σφβ + )(σφα ) = -. Αν α + β = 5 να δείξετε ότι ( + σφβ)( + σφα) = σφα. σφβ. Αν ημβ = ημ(α + β), να αποδείξετε ότι εφ(α + β) = εφα.. Αν ημβ = ημ(α + β), να αποδείξετε ότι εφ(α + β) = εφα.. Αν συν(α+β) = συνα. συνβ, να δείξετε ότι ημ(α+β) = (ημα + ημβ) 5. Αν είναι συνα =, συν(α β) = και < α <, < β < π, να υπολογιστεί το συνβ. 7. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφα + εφβ + εφγ = εφα εφβ εφγ. 7. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημαημ(β + Γ) ημβημ(γ Α) + ημγημ(α Β) =.. Αν Α, Β, Γ γωνίες μη ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) 9. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ). Αν α + β = γ, να αποδείξετε ότι εφγ εφα εφβ = εφα. εφβ. εφγ. Αν α + β + γ = 9 να αποδείξετε ότι α)εφαεφβ + εφβεφγ + εφγεφα = β)σφα + σφβ + σφγ = σφασφβσφγ. Αν < <,<y<, εφ = και εφy =, να αποδείξετε ότι y =.. Έστω ημ + συνy = κ και συν + συνy = λ. i.να αποδείξετε ότι συν( y) = ii.να υπολογίσετε τη διαφορά y για κ = - και λ =.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Σχόλια: i) Οι παραπάνω τύποι δεν μετατρέπουν μόνο τη γωνία α σε α, αλλά οποιαδήποτε γωνία στο μισό της π.χ., κ. ο. κ.. Παραδείγματα:, ii) Εφαρμόζοντας τους παραπάνω τύπους προς την αντίθετη κατεύθυνση, μπορούμε να μετατρέψουμε οποιαδήποτε γωνία στο διπλάσιό της. Σχόλια: i) Οι παραπάνω τύποι δεν μετατρέπουν μόνο τη γωνία α σε α, αλλά οποιαδήποτε γωνία στο διπλάσιό της π.χ., κ. ο. κ.. Παραδείγματα:, ii) Εφαρμόζοντας τους παραπάνω τύπους προς την αντίθετη κατεύθυνση, μπορούμε να μετατρέψουμε οποιαδήποτε γωνία στο μισό της. Άλλοι χρήσιμοι τύποι:

24 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Α) Τριγωνομετρικές εξισώσεις: Αρχικά, με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων, μετασχηματίζουμε την εξίσωση κατάλληλα έτσι, ώστε να έχουμε ίδιες γωνίες. Στη συνέχεια, αν είναι απαραίτητο, εμφανίζουμε ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς και υπολογίζουμε τον άγνωστο με τους τύπους της δεύτερης παραγράφου. Β) Αποδεικτικές ασκήσεις: Ακολουθούμε τη μεθοδολογία της προηγούμενης παραγράφου.

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων i.συν ii. ημ iii.ημ iv.συν5 - v.ημ5 συν5 vii. συν viii.ημ.ημ συν i. vi.ημ συν συν i.συν ημ ii Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις i.ημασυνα iii.συν( + ) ii. ημ( iv. 5a - ) 5a. Να αποδείξετε ότι i.συνα ημα = συνα v. + συνα + ημα = vii. i. i. iii. iii. v. i. i.συν ( συν) = + συν + ημ vii. ii. iv.ημαεφα + συνα = vi.ημα + ημα = ημα viii.. ii. iv. vi. viii (Πανελλήνιες) 5

26 ii. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Πανελλήνιες) (5 ) iv. (5 ) a v. vi.συν( α) ημ( α) = ημα vii.εφ(5 + α) εφ(5 α) = εφα viii.εφ(5 + α) εφ(5 α) = i..εφ(5 + α) εφ(5 α) = εφα i.εφ(α + ) εφ(α ) = ii.σφ(5 α) = = iii. = iv. iii.. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α, αν 5 i.ημα = -, < α < π ii.συνα = -, <α<π 7 a, αν ii.ημα =,<α< 5. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του i.συνα = -, <α<π 5. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παρακάτω γωνιών i. ii. 7. Αν εφα = -. Αν εφα = και π < α <, να βρεθεί η εφα. και εφβ =, να υπολογίσετε την εφ(α + β) Να λύσετε τις εξισώσεις i.συν + ημ = iii.συν ημ = v.συν + συν = vii.5συν + συν = - i.συν + συν = 5 i.συν + ημ + 5ημ = ii.συν + συν + = iv.συν = συν vi.ημ + συν = viii.συν + ημ =.συν + ημ = ii.συν = ημ

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο iii.συν ( συν) = + συν v. + συν = συν vii.ημ + συν = i.ημ + ημ συν = i.ημ(5συν + ) = ημ iii.( + )ημ +.( )συν + ημ = iv.ημ + ημ = vi.ημ + συν = =..ημ + = ημ viiiσυν + συν ii.ημ ημ = ημ iv.εφ = ημ v.συν ημημ συν = vii.συν + ημ = i. ημ = ημ i. ημ = συν iii.συν ημ = v.ημ = εφ vii.ημ( + 5 ) ημ( 5 ) = vi.εφεφ = viii.ημ + συν = iv.συν + ημ = vi.συν = ημ + viii.ημ συν = (Πανελ.).συνημ + συν = ii. + συν = (συν + ημ) i.εφ ημ =. Αν συν + 5συν = και ημ >, να υπολογίσετε το ημ και το συν.. Για τη γωνία α ισχύει ότι 5συνα συνα 7 =. i.να αποδείξετε ότι συνα =. 5 ii.αν επιπλέον ισχύει π α, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημα, συνα και εφα. (Πανελλήνιες). i.για κάθε πραγματικό αριθμό να αποδείξετε ότι συν (ημ + ημ) = (συν + συν + )ημ ii.να βρείτε εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει συν + συν + = (Πανελλήνιες). Δίνεται η συνάρτηση f()=ημσυν ημ συν, όπου πραγματικός αριθμός. α)να μετατρέψετε τη συνάρτηση f στη μορφή f()=ρημ(+φ)+k, όπου ρ,φ,k πραγματικοί αριθμοί και ρ>. β)να βρείτε για ποιες τιμές του η συνάρτηση f παίρνει τη μέγιστη τιμή και ποια είναι αυτή. γ)να λύσετε την εξίσωση f() - f( + )= στο διάστημα [,π]. (Πανελλήνιες) 7

28 . Να αποδείξετε ότι 5 7 i.συν + συν = ii.ημ + ημ = iii.συν + ημ = iv.ημ συν = 5 7 v.ημ + ημ + ημ + ημ = 5 7 vi.συν + συν + συν + συν = 5 vii.εφ + εφ = 5. Να αποδείξετε ότι i.συν5α = συν5α συνα + 5συνα ii.ημ5α = ημ5α ημα + 5ημα. Να υπολογίσετε τα γινόμενα i.ημ. συν 7. Αν ημα + συνα = i.ημα ii.συν. συν. συν 7 και < α < να υπολο γίσετε ii.συνα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών μοίρες rad π ημ συν εφ σφ Δεν ορίζεται 5 9 Δεν ορίζεται Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Οι παραπληρωματικές γωνίες (άθροισμα ) έχουν ίσα ημ και αντίθετα συν, εφ και σφ. ημω ημ π ω! Οι αντίθετες γωνίες έχουν ίσα συν και αντίθετα ημ, εφ και σφ. ημ ω ημω! Στις συμπληρωματικές γωνίες (άθροισμα 9 ) το ημ καθεμιάς ισούται με το συν της άλλης και η εφ καθεμιάς ισούται με τη σφ της άλλης (και αντίστροφα). π ημω συν ω Στις γωνίες μεγαλύτερες των ο δεν μας απασχολεί πόσους πλήρεις κύκλους έχουμε διαγράψει. ημ κ ω εφ κ ω συν κ ω σφ κ ω 9,

30 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Λοιπές περιπτώσεις π ημ ω ; π ημ ω ; ημ π ω ; ημ π ω ; το πρόσημο του ημ στο τεταρτημόριο που ανήκει το πρόσημο του ημ στο τεταρτημόριο που ανήκει π η γωνία ω η γωνία π ω Παρατήρηση: Αντίστοιχοι τύποι ισχύουν και για τα συν, εφ και σφ. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ συν ημ συν συν ημ ημ συν εφ ημ εφ εφ σφ εφ σφ εφ σφ συν ημ συν εφ Τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων κπ θ ημ ημθ ή, κπ π θ συνθ κπ θ εφ εφθ κπ θ σφ σφθ κπ θ Τύποι αθροίσματος διαφοράς γωνιών ημ α β,

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Τύποι μετατροπής οποιασδήποτε γωνίας στο μισό της ημα ημα συνα Τύποι μετατροπής οποιασδήποτε γωνίας στο διπλάσιό της ημ Λοιποί τύποι ημα εφα εφ