ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. Α. Ένας οριζόντιος δίσκος είναι αρχικά ακίνητος και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Τη χρονική στιγμή ο δίσκος αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν τη χρονική στιγμή το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου είναι, τότε τη χρονική στιγμή το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας θα είναι ίσο με: α) β) γ) δ) Α. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής: α) είναι πάντα μηδενική, όταν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος. β) εξαρτάται από την κατανομή της μάζας του σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής. γ) είναι διανυσματικό μέγεθος. δ) είναι ανεξάρτητη από θέση του άξονα περιστροφής. Α3. Η μονάδα μέτρησης στο S.I. του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής ενός σώματος είναι: α) β) γ) δ) Α4. Μία αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον εαυτό της με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Αν η αθλήτρια ανοίξει τα χέρια της: α) η ροπή αδράνειας της θα μειωθεί. β) η στροφορμή της θα μειωθεί. γ) η γωνιακή της ταχύτητα θα μειωθεί. δ) η γωνιακή της ταχύτητα θα αυξηθεί. Σελίδα από
Α5. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη. α) Αν σε ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί δύναμη ο φορέας της οποίας δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε το σώμα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση (μεταφορική και περιστροφική κίνηση ταυτόχρονα). β) Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων εξαρτάται από το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζεται. γ) Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης έχουν πάντα την ίδια φορά. δ) Το μέτρο της στροφορμής ενός υλικού σημείου μάζας που κινείται σε περιφέρεια οριζόντιου κύκλου ακτίνας με γωνιακή ταχύτητα μέτρου είναι ίσο με. ε) Η στατική τριβή που δέχεται ένα σώμα το οποίο κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει παράγει έργο. Α. γ Α. β Α3. δ Α4. γ Α5. α) Σ, β) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R είναι ακίνητος πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Στο αυλάκι του κυλίνδρου έχουμε τυλίξει ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. Τη χρονική στιγμή αρχίζει να ενεργεί στο ελεύθερο άκρο του νήματος μία σταθερή κατακόρυφη δύναμη, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, οπότε ο δίσκος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. F R Αν η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι:, και το μέτρο της δύναμης είναι, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης που αποκτά ο δίσκος είναι: α) β) γ) Σελίδα από
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Β. Σωστή απάντηση είναι η β. (Μονάδες ) (Μονάδες 9) Αφού το νήμα είναι αβαρές ισχύει:. F T T N F R w Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής έχουμε: ή (). Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης έχουμε: ή T ή ( ) (). Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () προκύπτει: ή ή (3). Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου είναι: ή. Β. Ένας ομογενής δίσκος και ένας λεπτός ομογενής δακτύλιος που έχουν την ίδια μάζα Μ και την ίδια ακτίνα R μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από ακλόνητους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Τη χρονική στιγμή, κατά την οποία τα δύο σώματα είναι ακίνητα, αρχίζει να ενεργεί εφαπτομενικά στην περιφέρεια του κάθε σώματος η ίδια οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. M F F M R R Αν το μέτρο της στροφορμής του δίσκου τη χρονική στιγμή t είναι ίσο με και το μέτρο της στροφορμής του δακτυλίου την ίδια χρονική στιγμή είναι ίσο με, τότε ισχύει ότι: α). β). γ). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Σελίδα 3 από
(Μονάδες ) Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 9) Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή η ροπή που ασκείται σε κάθε σώμα είναι σταθερή ως προς τον άξονα περιστροφής του, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κάθε σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του θα είναι σταθερός. Συνεπώς για το δίσκο ισχύει: ή ή ή (). Για το δακτύλιο ισχύει: ή ή ή (). Από τις σχέσεις () και () προκύπτει:. Β3. Μια ομογενής ράβδος ΑΓ μήκος και βάρος μέτρου w ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια δύο υποστηριγμάτων () και () που τοποθετούνται στα σημεία της Κ και Λ αντίστοιχα. Το σημείο Κ απέχει απόσταση d από το άκρο Α της ράβδου, ενώ το 6 σημείο Λ απέχει απόσταση d από το άλλο άκρο της Γ. 3 6 3 Γ Α. Το πηλίκο του μέτρου της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα () προς το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα () ισούται με: α) β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες ) (Μονάδες 3) Β. Αν στο άκρο Γ της ράβδου τοποθετήσουμε ένα σώμα βάρος μέτρου w, αμελητέων διαστάσεων, η ράβδος: α) θα παραμείνει οριζόντια. β) θα ανατραπεί. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες ) (Μονάδες 3) Σελίδα 4 από
Β3. Α. Σωστή απάντηση είναι η β. Έστω και δυνάμεις που δέχεται η ράβδος από τα υποστηρίγματα και αντίστοιχα. F F 6 Κ w Λ 3 Γ + Επειδή η ράβδος ισορροπεί ισχύει: ( ) ή ( ) ( ) ή () και ή ή ή (). Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων και προκύπτει:. Β. Σωστή απάντηση είναι η β. F F x 3 Κ w Λ w Γ + Έστω x η μέγιστη απόσταση από το σημείο Λ της ράβδου που μπορούμε να τοποθετήσουμε το σώμα, ώστε η ράβδος να μην ανατραπεί. Στην περίπτωση αυτή το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα είναι:. Ισχύει: ( ) ή ( ) ή ή. Συνεπώς αν το σώμα τοποθετηθεί στο άκρο Γ της ράβδου, η ράβδος θα ανατραπεί. Σελίδα 5 από
ΘΕΜΑ Γ Ο ομογενής δίσκος του παρακάτω σχήματος έχει μάζα και ακτίνα. Στο αυλάκι του δίσκου έχουμε τυλίξει πολλές φορές ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. Το ελεύθερο άκρο Α του νήματος το κρατάμε ακίνητο και το νήμα είναι τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο να κινηθεί προς τα κάτω, οπότε το νήμα ξετυλίγεται και ο δίσκος περιστρέφεται γύρω από νοητό άξονα διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του δίσκου το νήμα παραμένει κατακόρυφο και τεντωμένο και δεν ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου. που K R Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου. (Μονάδες 6) Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του δίσκου ως προς τον άξονα τη χρονική στιγμή κατά την οποία έχει ξετυλιχθεί από το δίσκο νήμα μήκους. (Μονάδες 6) Γ3. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του δίσκου τη χρονική στιγμή. Από τη χρονική στιγμή και μετά αρχίζουμε να μετακινούμε το χέρι μας κατακόρυφα προς τα πάνω ασκώντας στο ελεύθερο άκρο Α του νήματος σταθερή κατακόρυφη δύναμη με αποτέλεσμα ο δίσκος από τη χρονική στιγμή και μετά να συνεχίζει να κατεβαίνει διατηρώντας τη ταχύτητα του κέντρου μάζας του σταθερή. Γ4. Να υπολογίσετε το έργο της ροπής της τάσης του νήματος που δέχεται ο δίσκος από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή, αν είναι γνωστό ότι από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή το κέντρο μάζας του δίσκου έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα προς τα κάτω κατά. (Μονάδες 8) Σελίδα 6 από
Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι:. και Γ. Οι δυνάμεις που δέχεται ο δίσκος, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, είναι το βάρος του και η τάση του νήματος. T Έστω cm το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το κέντρο μάζας του δίσκου. Από το θεμελιώση νόμο της μηχανικής για τη μεταφορική κίνηση του δίσκου έχουμε: ή ή (). Από το θεμελειώδη νόμο της στροφικής κίνησης έχουμε: ή ή (). Επειδή ισχύει:, η σχέση () γράφεται: ή (3). Από τις σχέσεις () και (3) προκύπτει: ή ή ή. Γ. Το μήκος του νήματος που ξετυλίγεται από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή είναι ίσο με τη κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου στο ίδιο χρονικό διάστημα. Συνεπώς ισχύει: ή ή. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου είναι: ή. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη χρονική στιγμή είναι: ή. Το μέτρο της στροφορμής του δίσκου τη χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή. Γ3. Η κινητική ενέργεια Κ του δίσκου τη χρονική στιγμή λόγω της σύνθετης κίνησης του είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής του ενέργειας λόγω της w Σελίδα 7 από
μεταφορικής κίνησης και της κινητικής του ενέργειας λόγω της στροφικής του κίνησης. Συνεπώς ισχύει: ή ή ή ή ή. Γ4. Αφού ο κύλινδρος κινείται με σταθερή ταχύτητα ισχύει:. T ' F T w Η ροπή της τάσης Συνεπώς ισχύει: του νήματος συνεχίζει να επιταχύνει το κύλινδρο στροφικά.. Η μετατόπιση h του κυλίνδρου από τη χρονική στιγμή t έως τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) Η γωνία θ κατά την οποία έχει περιστραφεί ο δίσκος από τη χρονική στιγμή τη χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: έως ( ) ( ) ή. Επομένως το έργο της ροπής της τάσης του νήματος από τη χρονική στιγμή t έως τη χρονική στιγμή t είναι: ή. ΘΕΜΑ Δ Η διπλή τροχαλία του παρακάτω σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους () και () που έχουν μάζες και και ακτίνες και αντίστοιχα. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου () έχουμε τυλίξει πολλές φορές ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο Σελίδα 8 από
άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ μάζας. Γύρω από τον κύλινδρο () έχουμε τυλίξει ένα άλλο αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ μάζας. Η ράβδος ΑΓ, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, έχει μάζα και μήκος και ισορροπεί οριζόντια. Το ένα άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με το σώμα Σ μέσω ενός αβαρούς κατακόρυφου νήματος. () R R ( ) Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το νήμα και το μέτρο της δύναμης που δέχεται από την άρθρωση. Δ. Να δείξετε ότι η μάζα του σώματος Σ είναι. (Μονάδες 4) Στο άκρο Γ της ράβδου στερεώνουμε ένα πολύ μικρό σώμα μάζας και τη χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τη ράβδο με το σώμα Σ, οπότε η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση της και η διπλή τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα. Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. (Μονάδες 6) Δ4. Να υπολογίσετε την ολική κινητική ενέργεια του συστήματος της τροχαλίας και των σωμάτων Σ και Σ τη χρονική στιγμή. (Μονάδες 4) Δ5. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της τη χρονική στιγμή κατά την οποία έχει περιστραφεί κατά γωνία από την αρχική οριζόντια θέση της. (Μονάδες 6) Η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του δίνεται από τη σχέση, ενώ η ροπή αδράνειας της Σελίδα 9 από
ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή δίνεται από τη σχέση. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι:. Δ. Επειδή η ράβδος ισορροπεί ισχύει: ( ) ή ή ή ή. + F R T R K T w 3 T T F T 3 w T 3 w w Επειδή η ράβδος ισορροπεί ισχύει: ή ή ή. Δ. Επειδή τα νήματα είναι αβαρή ισχύει:, και. Για το σώμα μάζας που ισορροπεί ισχύει: ή ή ή. Επειδή η τροχαλία ισορροπεί ισχύει ( ) ή ή ή Δ3.. Επειδή το σώμα Σ ισορροπεί, ισχύει: ή ή R R F ' F K F F ' α w w Σελίδα 0 από
Η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι: Για το σώμα μάζας ( ) ισχύει: Για το σώμα μάζας ισχύει: ( ) (). Για τη τροχαλία ισχύει: Με αντικατάσταση των σχέσεων () και () στη σχέση (3) προκύπτει:. Δ4. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας τη χρονική στιγμή είναι: ή. Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος της τροχαλίας και των δύο σωμάτων υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή (). (3). ή ( ) ή. Δ5. Η ροπή αδράνειας Ι (Α) του συστήματος της ράβδου και του σώματος Σ ως προς τον άξονα περιστροφής της δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) ( ) (), όπου ( ) η ροπή αδράνειας της ράβδου και ( ) η ροπή αδράνειας του σώματος Σ. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται από τη σχέση: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Η ροπή αδράνειας του σώματος Σ ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου είναι:. Από τη σχέση () με αντικατάσταση των τιμών προκύπτει: ( ). Έστω ω το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος έχει περιστραφεί κατά γωνία 30 από την αρχική οριζόντια θέση της. Εφαρμόζουμε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για τις θέσεις () και (3) του συστήματος που φαίνονται στο σχήμα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή Α K Γ m Θέση () K h U βαρ = 0 h Θέση (3) m Γ Σελίδα από
Όμως ισχύει: ( ).. Επομένως από τη σχέση () με αντικατάσταση των τιμών προκύπτει:. Το μέτρο της στροφορμής του συστήματος της ράβδου και του σώματος Σ ως προς τον άξονα τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται από τη θέση (3) είναι: ( ). Σελίδα από