υσαριθµησία: Συνδυαστική θεωρητική προσέγγιση και καθορισµός µεθοδολογικού πλαισίου ανάπτυξης εκπαιδευτικού παιχνιδιού

Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τµήµα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστηµάτων υσαριθµησία: Συνδυαστική θεωρητική προσέγγιση και καθορισµός µεθοδολογικού πλαισίου ανάπτυξης εκπαιδευτικού παιχνιδιού ιπλωµατική εργασία Κωνσταντίνας Κορναράκη Επιβλέπων καθηγητής: Βασίλης Παπακωστόπουλος Μέλη επιτροπής: Σπύρος Βοσινάκης Τζένη αρζέντα Σύρος, Οκτώβρης 2008

1 Ευχαριστίες Ευχαριστώ την οικογένειά µου και τους φίλους µου...! Ειδικότερα, ευχαριστώ τον πατέρα µου Γιάννη Κορναράκη ο οποίος µε βοήθησε πολύ µε τις παρατηρήσεις του και την υποστήριξή του. Σύµφωνα µε τον Ουµπέρτο Έκο («Πώς γίνεται µια διπλωµατική εργασία», 1977), δεν πρέπει να συµπεριλαµβάνει κανείς τον επιβλέποντα καθηγητή στις «Ευχαριστίες», µιας και είναι ούτως ή άλλως υποχρεωµένος να επιβλέπει τον φοιτητή. Κατά τη διάρκεια όµως της ενασχόλησή µου µε την εργασία αυτή είχα την ευκαιρία να συνεργαστώ µε πολλούς καθηγητές του τµήµατος οι οποίοι µε βοήθησαν µε το ενδιαφέρον και την υποστήριξή τους χωρίς να είναι υποχρεωµένοι γι αυτό. Γι αυτό λοιπόν, ευχαριστώ θερµά τον ηµήτρη Ναθαναήλ για την σηµαντική υποστήριξη, το µεγάλο ενδιαφέρον καθώς και για την εν γένει ανθρώπινη συµβολή του στην προσπάθειά µου πολύ πριν αναλάβει ως επιβλέπων αυτή τη διπλωµατική καθώς και µετά την παράδωση της σκυτάλης στον Βασίλη Παπακωστόπουλο. Ευχαριστώ θερµά τον επιβλέποντα καθηγητή µου Βασίλη Παπακωστόπουλο για τις πολύτιµες παρατηρήσεις και το ενδιαφέρον του προτού αναλάβει αυτή τη διπλωµατική. Ευχαριστώ τέλος θερµά τους Γιάννη Γαβιώτη και Σπύρο Βοσινάκη για την υποστήριξη, τις συµβουλές και την βοήθειά τους από την αρχή της ενασχόλησής µου µε τη διπλωµατική εργασία, καθώς και την Τζένη αρζέντα διότι η εργασία µου στα πλαίσια του µαθήµατός της και η συνεργασία µαζί της µου έδωσαν τα πρώτα εναύσµατα για την επιλογή του θέµατος αυτού. Ευχαριστώ θερµά την Χριστίνα Π. Φίλη, καθηγήτρια Ε.Μ.Π., για τις πολύτιµες παρατηρήσεις της και το ενδιαφέρον της. Πολλά ευχαριστώ στην Ειρήνη Καγιαβά, από την Βιβλιοθήκη του τµήµατος για το µεγάλο ενδιαφέρον της ως προς την εύρεση άρθρων από άλλες βιβλιοθήκες εσωτερικού και εξωτερικού. Τέλος, ευχαριστώ το τµήµα µου για το ευρύ φάσµα γνωστικών πεδίων που µου προσέφερε, τη Σύρο, η οποία µε το πολιτισµικό και ανθρώπινο περιβάλλον που ιστορικά έχει διαµορφώσει µε έκανε να νιώσω όλα αυτά τα χρόνια «σαν στο σπίτι µου» και τους συµφοιτητές µου γιατί είναι υπέροχα παιδιά!

2 Περιεχόµενα 1. Εισαγωγή...5 1.1 Προεπισκόπιση του προβλήµατος...5 1.2 Σκοπός της µελέτης...6 1.3 Μεθοδολογία...6 1.3 οµή της µελέτης...7 Επεξήγηση όρων 1 ου Κεφαλαίου:...8 1 ο ΜΕΡΟΣ...9 2. Αριθµητική Αντίληψη...9 2.1 Ιστορική εξέλιξη των αριθµών...9 2.2 Ανάπτυξη αριθµητικών δεξιοτήτων στα µικρά παιδιά... 15 2.3 Νους και αριθµητική εκπαίδευση... 18 2.4 Αριθµητική και εγκέφαλος... 19 Επεξήγηση όρων 2 ου Κεφαλαίου:... 20 3. Αριθµητικές ιαταραχές... 24 3.1 Έρευνα στο πεδίο των αριθµητικών διαταραχών... 24 3.2 Γνωστική νευροψυχολογική προσέγγιση... 25 3.2.1 Μοντέλο αριθµητικής επεξεργασίας και υπολογισµών... 27 3.2.2 Θεωρία σύνθετης κωδικοποίησης... 33 3.2.3 Μοντέλο τριπλού κώδικα... 33 3.3 Συµπεράσµατα... 36 Επεξήγηση όρων 3 ου Κεφαλαίου:... 37 4. Αναπτυξιακή υσαριθµησία... 38 4.1 Χαρακτηριστικά των παιδιών µε αναπτυξιακή δυσαριθµησία... 38 4.2 Νευροψυχολογική προσέγγιση Υποτύποι... 39 4.3 ιάγνωση και αποκατάσταση... 43 Επεξήγηση όρων 4 ου Κεφαλαίου:... 44 2 ο ΜΕΡΟΣ... 45

3 5. Θεωρίες µάθησης... 45 5.1 Εισαγωγή στις θεωρίες µάθησης... 45 5.2 Από τον Συµπεριφορισµό στο Γνωστικισµό... 45 5.3 Κονστρουκτιβισµός... 46 5.4 Η Ζώνη Επικείµενης Ανάπτυξης του Vygotsky... 47 5.5 Ο Κονστρουκτιβισµός του Bruner Η «Ανακαλυπτική µάθηση»... 49 5.6 Συσχετισµός αναπαραστάσεων Bruner και «τριπλού κώδικα»... 51 Επεξήγηση όρων 5 ου Κεφαλαίου:... 54 6. Παιχνίδι... 55 6.1 Εισαγωγή στο «Εκπαιδευτικό παιχνίδι»... 55 6.2 Γνωστικά εργαλεία και παιχνίδια... 56 6.3 Ο ρόλος του παιχνιδιού στην ανάπτυξη των αριθµητικών δεξιοτήτων και εννοιών... 58 6.4 Τύποι παιχνιδιών και βελτίωση δεξιοτήτων... 60 6.5 Παιχνίδια «Περιπέτειας» - Μοντέλα ενσωµάτωσης εκπαιδευτικού περιεχοµένου... 62 6.6 Συµπεράσµατα... 66 7. Εφαρµογή Θεωριών Μάθησης... 69 7.1 Η Εφαρµογή του Συµπεριφορισµού και του Γνωστικισµού... 69 7.2 Κονστρουκτιβιστικά περιβάλλοντα... 69 7.3 Η Θεωρία της ραστηριότητας... 70 7.4 Συµπεράσµατα... 73 3 ο ΜΕΡΟΣ... 77 8. υσαριθµησία και Computer Games... 77 8.1 Εισαγωγή... 77 8.2 Παιχνίδια για αποκατάσταση της δυσαριθµησίας... 77 8.2 Πώς πρέπει να αξιολογείται ένα παιχνίδι... 83 8.3 Σχολιασµός των λογισµικών... 83 8.4 Εναλλακτικό παράδειγµα - Σχολιασµός... 85 Επεξήγηση όρων 8 ου Κεφαλαίου:... 88

4 9. Μεθοδολογικό πλαίσιο ανάπτυξης παιχνιδιού... 89 9.1 ιατύπωση προδιαγραφών... 89 9.2 Καθορισµός µεθοδολογικού πλαισίου ανάπτυξης... 91 9.3 Παράδειγµα εφαρµογής... 98 9.4 Συµπεράσµατα... 105 Επίλογος... 107 Αναφορές... 110

5 1. Εισαγωγή 1.1 Προεπισκόπιση του προβλήµατος Παρά το γεγονός ότι τα αριθµητικά ελλείµατα είναι τόσο συχνά απαντώµενα όσο και τα γλωσσικά ελλείµµατα, η έρευνα στις βασικές αριθµητικές δεξιότητες µένει σηµαντικά πίσω σε σχέση µε τις επιτυχηµένες µελέτες που αναγνωρίζουν ελλείµµατα στην δυσλεξία (Ansari & Karmiloff-Smith, 2002). Τα τελευταία χρόνια το πρόβληµα της δυσαριθµησίας, ή της δυσκολίας µε τον αριθµητικό και µαθηµατικό υπολογισµό, έχει γίνει ένα επίκαιρο θέµα ανησυχίας (Dehaene, 2003). Υπάρχει η αναγνώριση ότι τα µαθηµατικά δεν είναι ακριβώς ένα µάθηµα που το µισούν τα παιδιά αλλά ότι η όποια δυσαρέσκεια µπορεί να προκαλείται από τις πραγµατικές δυσκολίες που συναντούν στους αριθµούς. Τα δύο σηµαντικότερα προγράµµατα ταξινόµησης ψυχιατρικών διαταραχών, το ICD-10 1 και το DSM-IV 2, συµφωνούν στον ορισµό τους για τις διαταραχές των αριθµητικών δεξιοτήτων στο εξής: ότι οι αριθµητικές ικανότητες των ατόµων µε αυτές τις διαταραχές είναι σηµαντικά κατώτερες της γενικής τους νοηµοσύνης και συνεπώς αυτό επηρρεάζει την σχολική τους επίδοση (Neumärker, 2000). Πιθανή συνέπεια αυτού είναι να αποκλείονται στην τάξη από τους καθηγητές και τους συµµαθητές τους. Πολλά παιδιά φτάνουν σε σηµείο να παραδέχονται ότι αισθάνονται ηλίθια. Οι µακροπρόθεσµες συνέπειες είναι ότι πρέπει να κουβαλούν ένα πρόβληµα που θα τους εµποδίζει σε όλη τους τη ζωή. Η δυσαριθµησία είναι καθαρά ένα πρόβληµα του εγκεφάλου, όπως και η δυσλεξία. Προκαλείται από µια αδυναµία στις διαδροµές και τα µονοπάτια (αυλάκια) των νευρώνων που αποτελούν τη βάση για την κατανόηση των αριθµών, η οποία για ένα κανονικό µυαλό µοιάζει τόσο ενστικτώδης. Ωστόσο, η αναµφισβήτητη κατάταξη της δυσαριθµησίας σαν ένα «εγκεφαλικό πρόβληµα» προσφέρει την ελπίδα για ειδική εκπαίδευση αποκατάστασης (Dehaene, 2003). Υπάρχει η άποψη (η οποία έχει σχεδόν εδραιωθεί τελευταία) ότι η δυσλεξία και η δυσαριθµησία είναι δύο τελείως ξεχωριστά προβλήµατα που εµπλέκουν διαφορετικές περιοχές εγκεφαλικής δυσλειτουργίας. Έρευνες στη Μεγάλη Βρετανία έδειξαν ότι τα παιδιά των οποίων οι επιδόσεις έδειξαν µαθηµατικές ανικανότητες, δεν είχαν αντίστοιχες αδυναµίες γλωσσικές (ανάγνωσης, γραφής κτλ.) (Butterworth, 2003). Ωστόσο υπάρχουν περιπτώσεις ατόµων τα οποία παρουσιάζουν και τις δύο αδυναµίες. Η δυσαριθµησία δεν συνεπάγεται πρόβληµα στις γλωσσικές δεξιότητες, όµως τα άτοµα µε δυσλεξία µπορεί να έχουν πρόβληµα στις µαθηµατικές δεξιότητες: στην εκτέλεση των πράξεων, σύγχυση των αριθµών και των συµβόλων, δυσκολία στην επίλυση προβληµάτων (διότι λόγω της αναποτελεσµατικής αποκωδικοποίησης, τα παιδιά µε δυσλεξία παρουσιάζουν δυσκολίες στην κατανόηση των κειµένων.) Ουσιαστικά οι µαθηµατικές δυσκολίες των παιδιών µε δυσλεξία πηγάζουν από τις ίδιες θεµελιώδεις γνωστικές αδυναµίες από τις οποίες προκύπτουν και οι δυσκολίες τους µε το συµβολικό σύστηµα των γραµµάτων (Dehaene, 2003). Παράλληλα, τις τελευταίες δύο δεκαετίες υπάρχει ο προβληµατισµός ότι το παιχνίδι των παιδιών τείνει να αντικατασταθεί από άλλες δραστηριότητες όπως τα

6 παιχνίδια υπολογιστών µέχρι διάφορα είδη εκπαιδευτικού λογισµικού (Verenikina, Harris & Lysaght, 2003). Από την πλευρά του εκπαιδευτικού λογισµικού έχουν γίνει κάποιες προσπάθειες για την ενίσχυση των µαθητών µε µαθησιακές δυσκολίες. Ειδικότερα, για το πρόβληµα της δυσαριθµησίας, έχουν πρόσφατα δηµιουργηθεί κάποια προγράµµατα-παιχνίδια µε στόχο την ενίσχυση των µαθητών και µακροπρόθεσµα την αποκατάσταση του προβλήµατος (Pareto, 2005, Wilson et al., 2006). Οι θεωρίες του παιχνιδιού έχουν αναγνωρίσει πολλούς τρόπους µε τους οποίους το παιχνίδι µπορεί να προάγει την γνωστική, κοινωνική και συναισθηµατική ανάπτυξη του παιδιού. Οπότε, αν δεχθούµε ότι τα παιχνίδια υπολογιστών έχουν γίνει µέρος της ζωής των παιδιών πρέπει να τα σχεδιάζουµε, να τα µελετάµε και να τα αξιολογούµε εστιάζοντας στην αναπτυξιακή τους αξία αναλογιζόµενοι την σηµαντικότητα του «παίζειν» στην ανάπτυξη του παιδιού (Verenikina, Harris & Lysaght, 2003). 1.2 Σκοπός της µελέτης Σκοπός της εργασίας είναι ο καθορισµός προδιαγραφών και ενός µεθοδολογικού πλαισίου ανάπτυξης παιχνιδιών για την βελτίωση των αριθµητικών δεξιοτήτων. Η µελέτη αυτή εστιάζει στα παιδιά της προσχολικής ηλικίας και των πρώτων σχολικών τάξεων, στο ξεκίνηµα δηλαδή της επαφής τους µε τον αριθµητικό συµβολισµό. Λαµβάνει υπ όψη τα προβλήµατα τα οποία αντιµετωπίζουν τα µικρά παιδιά στην αριθµητική επεξεργασία και τον υπολογισµό καθώς και την ειδική περίπτωση της αναπτυξιακής δυσαριθµησίας. 1.3 Μεθοδολογία Γίνεται πρώτα µια διερεύνυση γύρω από τη φύση των προβληµάτων που σχετίζονται µε την αριθµητική και ειδικότερα του προβλήµατος της δυσαριθµησίας. Γίνεται επίσης µια µελέτη των γνωστικών νευροψυχολογικών µοντέλων που έχουν προταθεί για την ερµηνεία του φαινοµένου. Στην συνέχεια, γίνεται µια επισκόπιση των θεωριών της µάθησης, των θεωριών που σχετίζονται µε το παιχνίδι και των τύπων ηλεκρονικού παιχνιδιού. Επίσης, µελετάµε πώς εφαρµόζονται οι θεωρίες µάθησης στον σχεδιασµό εκπαιδευτικών ηλεκτρονικών παιχνιδιών. Αφού έχουν εξαχθεί τα κατάλληλα συµπεράσµατα, γίνεται ένας σχολιασµός στις προσεγγίσεις αποκατάστασης της δυσαριθµησίας µέσω ηλεκτρονικών παιχνιδιών. Τέλος καταλήγουµε σε προδιαγραφές και σε ένα µεθοδολογικό πλαίσιο ανάπτυξης παιχνιδιών για τη βελτίωση των αριθµητικών δεξιοτήτων. Οι προδιαγραφές και το µεθοδολογικό πλαισίο ανάπτυξης προκύπτουν µέσα από τη συνδιαστική θεώρηση των µοντέλων που έχουν προταθεί για την ερµηνεία του φαινοµένου της δυσαριθµησίας (µοντέλα για την γνωστική ανάλυση τις επεξεργασίας των αριθµών και των υπολογισµών), των αναπτυξιακών θεωριών της µάθησης και τις θεωρίες του παιχνιδιού.

7 1.3 οµή της µελέτης Η εργασία χωρίζεται σε τρία µέρη. Στο πρώτο µελετάµε το πρόβληµα το οποίο θα επιχειρήσουµε να αντιµετωπίσουµε. Το δεύτερο µέρος είναι αφιερωµένο στο παιχνίδι και στη µάθηση. Στο τρίτο µέρος συνδυάζουµε τα συµπεράσµατα από το δύο πρώτα µέρη εξειδικεύοντάς τα έτσι ώστε να αξιοποιηθούν στην ανάπτυξη των κατάλληλων προδιαγραφών για το σχεδιασµό βοηθηµάτων - παιχνιδιών για την ενίσχυση των αριθµητικών δεξιοτήτων. Πιο αναλυτικά, το πρώτο µέρος περιέχει τρία κεφάλαια. Στο πρώτο, «Αριθµητική Αντίληψη», ξεκινάµε από το τι είναι «αριθµός», ποια ήταν η ιστορική εξέλιξή του, ποια είναι η ανάπτυξη των αριθµητικών δεξιοτήτων στα µικρά παιδιά και πώς έχει µέχρι τώρα συνδεθεί η αριθµητική µε συγκεκριµένες περιοχές του εγκεφάλου. Στην συνέχεια, στο κεφάλαιο των «Αριθµητικών ιαταραχών», κάνουµε µία ανασκόπιση στις έρευνες γύρω από τις αριθµητικές διαταραχές και τα γνωστικά νευροψυχολογικά µοντέλα που εχουν προταθεί για το αριθµητικό µας σύστηµα. Στο κεφάλαιο «Αναπτυξιακή υσαριθµησία» µελετάµε τα χαρακτηριστικά των παιδιών µε αναπτυξιακή δυσαριθµησία, τους τύπους της, καθώς και τις γνωστικές νευροψυχολογικές προσεγγίσεις για την ερµηνεία του φαινοµένου. Το δεύτερο µέρος αποτελείται από τρία κεφάλαια. Στο πρώτο, «Θεωρίες µάθησης», γίνεται µια επισκόπηση των θεωριών της µάθησης. Το δεύτερο κεφάλαιο, «Παιχνίδι», είναι µια πραγµατεία γύρω από το παιχνίδι και το ρόλο που αυτό παίζει στην γνωστική ανάπτυξη των παιδιών και ειδικότερα γύρω από το ηλεκτρονικό παιχνίδι, τα είδη του και τα οφέλη του. Στο τρίτο κεφάλαιο µελετάµε την εφαρµογή των παραπάνω θεωριών στο ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό παιχνίδι. Τα συµπεράσµατα στο τέλος του κεφαλαίου αυτού καθώς και τα συµπεράσµατα από το πρώτο µέρος θα είναι καθοριστικά για το περιεχόµενο του τρίτου µέρους. Στο τρίτο µέρος µελετάµε τα παιχνίδια που έχουν υλοποιηθεί ή προταθεί για την περίπτωση των παιδιών µε δυσαριθµησία, εξετάζουµε την µεθοδολογία τους, τις θεωρίες στις οποίες βασίστηκαν και την αποτελεσµατικότητά τους. Στη συνέχεια επιχειρούµε να αναπτύξουµε ένα πλαίσιο στο οποίο θα συνδυάσουµε τα συµπεράσµατα που έχουµε ήδη αντλήσει από τα δύο προηγούµενα µέρη. Πιο συγκεκριµένα, θα αναλύσουµε τους στόχους που θέλουµε να επιτύχουµε, οι οποίοι έχουν σκιαγραφηθεί στο πρώτο µέρος της εργασίας, και θα τους αναπτύξουµε βασιζόµενοι στα συµπεράσµατά µας από το δεύτερο µέρος. Θα ορίσουµε λοιπόν, κάποιες προδιαγραφές οι οποίες θα είναι εφαρµόσιµες σε µια µορφή παιχνιδιού που τελικό στόχο έχει την εκµάθηση της αριθµητικής σε παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας (4-8 ετών) εστιάζοντας στα παιδιά αυτά τα οποία πιθανόν παρουσιάζουν πρόβληµα δυσαριθµησίας. Οι προδιαγραφές θα προκύψουν µέσα από συνδιαστική θεώρηση των µοντέλων που έχουν προταθεί για την ερµηνεία του φαινοµένου της δυσαριθµησίας (µοντέλα για την γνωστική ανάλυση τις επεξεργασίας των αριθµών και των υπολογισµών), των αναπτυξιακών θεωριών της µάθησης και τις θεωρίες του παιχνιδιού.

8 Επεξήγηση όρων 1 ου Κεφαλαίου: 1. ICD-10 (International Statistical Classification of Diseases and Related Health Problems, 10th Version) ιεθνής Στατιστική Κατάταξη των Ασθενειών και των Προβληµάτων που σχετίζονται µε την Υγεία, 1 0η έκδοση. Από τον Παγκόσµιο Οργανισµό Υγείας. Είναι µια κωδικοποίηση των ασθενειών και των ενδείξεων, των συµπτωµάτων, των µηφυσιολογικών ευρηµάτων, των παθήσεων, των κοινωνικών συνθηκών και των εξωτερικών αιτιών τραυµατισµού ή ασθενειών. Ορίζει την αριθµητική διαταραχή σαν: «Ειδική διαταραχή αριθµητικών δεξιοτήτων» (Specific disorder of arithmetic skills) 2. DSM-IV (Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders 4th ed.) ιαγνωστικό και στατιστικό εγχειρίδιο των Νοητικών ιαταραχών, 4 η έκδοση. Από την Αµερικανική Ψυχιατρική Ένωση. Ορίζει την αριθµητική διαταραχή σαν: «Μαθηµατική ιαταραχή» (Mathematics disorder).

9 1 ο ΜΕΡΟΣ 2. Αριθµητική Αντίληψη 2.1 Ιστορική εξέλιξη των αριθµών Τα πρώτα στάδια (προϊστορία) Ένας αριθµός είναι µια αφηρηµένη έννοια χρησιµοποιούµενη στον υπολογισµό και τη µέτρηση. Ένα σύµβολο που αντιπροσωπεύει έναν αριθµό καλείται αριθµητικό, αλλά στην κοινή χρήση η λέξη «αριθµός» χρησιµοποιείται και για την ιδέα και για το σύµβολο. Στον πρωτόγονο άνθρωπο, η αφηρηµένη έννοια του αριθµού δεν υπήρχε και οι αριθµητικές του δυνατότητες περιορίζονταν στη διαισθητική αντίληψη της ποσότητας (Ifrah, 2000). Αντιλαµβανόταν π.χ. πόσα ήταν τα θηράµατα που είχε σκοτώσει ή την ποσότητα των αντικειµένων που χρησιµοποιούσε για το κυνήγι. Είχε επίσης κάποια ικανότητα αντίληψης των χωρικών σχέσεων. Η ικανότητά του να συσχετίζει µεταξύ τους τα δεδοµένα της αντίληψής του ήταν η αφετηρία για τη δηµιουργία της έννοιας του αριθµού. Η ιστορία των µαθηµατικών αρχίζει µε τη σύλληψη της έννοιας του αφηρηµένου αριθµού, λόγω της ανάγκης του ανθρώπου να αριθµήσει και να υπολογίσει. Για να το πετύχει αυτό ο άνθρωπος χρειαζόταν µια σειρά λέξεων ικανών να παραστήσουν τα στοιχεία της φυσικής σειράς. Η πρώτη αρίθµηση παρουσιάζεται σαν αντιστοίχιση µεταξύ αντικειµένων ενός δεδοµένου συνόλου και ενός προκαθορισµένου, χρησιµοποιούµενου ως πρότυπο. Αρχικά, αντί να κατασκευάσουν νέες λέξεις, χρησιµοποίησαν ονόµατα αντικειµένων που είχαν κάποια αµυδρή συγγένεια µε αυτά τα στοιχεία: εγώ-ένα, φτερούγες-δύο, χέριπέντε (Loria, 1971). Αυτός ο τρόπος προφανώς δεν αρκούσε για το ατελείωτο πλήθος των αριθµών. Για τον παραµερισµό αυτού του εµποδίου ήδη οι πρωτόγονοι άνθρωποι καθόρισαν, στην οµογενή σειρά των αριθµών, µερικά άτοµα (που µπορούν να ονοµασθούν «θεµελιώδεις αριθµοί») σε σταθερές διαδοχικές αποστάσεις, τα οποία θα έπαιζαν το ρόλο σταδιοµετρικών λίθων και θα επέτρεπαν στη σκέψη να εκτιµήσει την πορεία που είχε να διανύσει για να φτάσει ένα άλλο τυχόν στοιχείο της σειράς. Έτσι, για να χαρακτηρίσουν το εν λόγω στοιχείο, θα µπορούσαν να δηλώσουν πόσο απέχει αυτό από τον αµέσως µικρότερό του αριθµό. Η ανωτέρω ιδέα αποτελεί κατά κάποιο τρόπο το νωτιαίο µυελό όλων των συστηµάτων αρίθµησης, που διαφέρουν µεταξύ τους µόνο ως προς το µέγεθος του επιλεγόµενου διαστήµατος µεταξύ των θεµελιωδών αριθµών. Εκτός σπανίων εξαιρέσεων, το διάστηµα αυτό είναι δέκα. Η παρουσία του αριθµού δέκα διαπιστώθηκε σε συστήµατα αρίθµησης πρωτόγονων λαών τόσο της προκολοµβιανής Αµερικής, όσο και αγρίων φυλών σε δασώδεις εκτάσεις της νότιας Αµερικής, της Αφρικής και της Πολυνησίας. Σε ορισµένους πολιτισµούς, τα αριθµητικά συστήµατα βασίστηκαν στις τιµές πέντε (π.χ. η γλώσσα Khmer), είκοσι (π.χ. γλώσσα των Mayas) ή εξήντα (π.χ. γλώσσα Βαβυλωνίων).

10 Το σύστηµα αρίθµησης των Maya ήταν ένα µικτό σύστηµα, όπως ακριβώς των Βαβυλωνίων. Είχε βάση το είκοσι όµως για την παράσταση των αριθµών µικρότερων του είκοσι χρησιµοποιούσαν σύστηµα µε βάση το πέντε. Οι Mayas χρησιµοποιούσαν δύο σύµβολα για να απεικονίσουν αριθµούς: µία τελεία (.) για το ένα και µια γραµµή (-) για το πέντε. Είχαν το «ο» µε το οποίο συµβόλιζαν την «κενή θέση». Η αρίθµηση των Mayas γραφόταν κάθετα και η µικρότερη τιµή ετίθετο στην κορυφή. Οι Incas αν και δεν είχαν γραπτή γλώσσα, είχαν ένα σύστηµα αρίθµησης φτιαγµένο µε κόµπους σε σχοινιά (quipus) (Ascher M. & Ascher R., 1997). Με αυτό οι ηγήτορες έστελναν µηνύµατα (για φόρους που χρωστούσαν, αριθµό εργατών που χρειάζονταν κ.α.) τα οποία τα έστελναν µε δροµείς και φυσικά ήταν κωδικοποιηµένα. Οι κατασκευείς των «quipu» σπούδαζαν κρυφά στην πρωτεύουσα. Είχαν αναπτύξει πολύ το σύστηµα αρίθµησης και έχει ανακαλυφεί πως ο µεγαλύτερος καταγεγραµένος αριθµός µε το σύστηµα αυτό ήταν το 97.357. Το µηδέν το παριστούσαν µε µία ιδιαίτερα πλατειά θέση στα σχοινάκια. Οι πρωτόγονες φυλές της Αυστραλίας δεν είχαν αριθµό πάνω από τρία (Eyre, 1845). Ακόµα, στα νησιά Murray, στα στενά του Torres, οι ιθαγενείς χρησιµοποιούσαν τους αριθµούς netat = ένα και neis = δύο. Μετά αναδιπλασίαζαν π.χ. neis netat = τρία, δηλ. ύο - ένα για το τρία, neis-i- neis = τέσσερα, δύο δύο για το τέσσερα κτλ., ή αναφέρονται σε κάποιο µέρος του σώµατος, έτσι µπορούσαν να µετρήσουν µέχρι το 31. Ξεκινούσαν από το µικρό δάχτυλο του αριστερού χεριού, µετά στα άλλα δάχτυλα, τον καρπό, τον αγκώνα, τη µασχάλη, τον ώµο, το θώρακα και µετά κατά την ανάδροµη φορά µέχρι το µικρό δάχτυλο του δεξιού χεριού, αυτό δίνει µέτρηση ως το είκοσι-ένα. Μετρώντας και τα δάχτυλα των ποδιών είχαν ακόµα δέκα (Hunt, 1899). Στην Πολυνησία χρησιµοποιούσαν αριθµούς υπονοώντας πως πρόκειται για ζεύγη και όχι για αντικείµενα, Hokorua (20) σηµαίνει 40, δηλαδή είκοσι ζευγάρια (Codrington, 1885). Παρά τους διαφορετικούς πολιτισµούς, τα αναπτυξιακά στάδια και τις θρησκείες τους, οι βασικές δοµές των αριθµητικών συστηµάτων όλων αυτών των λαών οµοιάζουν. Το γεγονός αυτό είναι αξιοσηµείωτο, σχολιάστηκε από αρχαιοτάτων χρόνων και ο Αριστοτέλης το απέδωσε στο ότι τα χέρια του ανθρώπου, που αποτελούν φυσικό βοήθηµα στους αριθµητικούς υπολογισµούς, έχουν συνολικά δέκα δάχτυλα (Loria, 1971). Την ίδια εξήγηση έχει η παρουσία των αριθµών πέντε και είκοσι. Ο Karl von Steinen µελέτησε τη φυλή Bakaϊtis (von Steinen, 1892) και απέδειξε τη χρήση των δαχτύλων για τον λογισµό και γνώση των αριθµών (von Steinen, 1887). Η κίνηση των δακτύλων µε σταθερό τρόπο επεµβαίνει στον λογισµό των Bakaϊtis. Η παλαιότερη ένδειξη αριθµητικής καταγραφής βρέθηκε στη Νότια Αφρική και είναι µια περόνη µπαµπουίνου µε 29 εµφανείς εγκοπές που χρονολογείται περί το 37.000 π.χ. Η πρώτη αυτή µορφή καταγραφής αριθµών εξελίχτηκε στους ρωµαϊκούς και αιγυπτιακούς πολιτισµούς σε ένα συµβολικό σύστηµα µε το οποίο οποιοσδήποτε φυσικός αριθµός θα µπορούσε να απεικονιστεί. Σε αυτά τα συστήµατα, ένα νέο σύµβολο έπρεπε να χρησιµοποιηθεί για κάθε νέα δεκαδική ποσότητα. Σε άλλους λαούς, όπως οι Κινέζοι, οι Σουµέριοι και οι Ινδοί, µια άλλη µέθοδος αναπτύχθηκε, στην οποία η θέση ενός αριθµού καθόρισε της δεκαδική

11 αξία. Λέγεται µάλιστα πως στην Ινδία δηµιουργήθηκε το σύµβολο και ο αριθµός για το «µηδέν». Στη γραπτή αρίθµηση, οι αριθµοί που περιέχουν µονάδες διαφόρων τάξεων, διαδέχονται αλλήλους σε φθίνουσα σειρά, ωστε να µένουν τελευταίες οι απλές µονάδες. Το σύστηµα αυτό χαρακτηρίζεται ως «νόµος του Hankel», από το όνοµα εκείνου, ο οποίος πρώτος σηµείωσε και διατύπωσε ρητά την παραπάνω βασική αρχή της αριθµογραφίας (Loria, 1971). Με την εµφάνιση των αριθµητικών συστηµάτων παρουσιάστηκαν και οι πρώτοι αριθµητικοί κανόνες. Η ανάγκη για τη θέσπιση ενός παγκοσµίως εφαρµόσιµου µέτρου προσδιορισµού της ποσότητας προέκυψε αρχικά µε την εµφάνιση της γεωργίας και της εκτροφής ζώων (Lévy- Bruhl, 1910). Οι Ασσυρο-Βαβυλώνιοι Από τα πινακίδια του Σενκερέχ (2300-1600 π.χ.) συνάγεται ότι η βαβυλωνιακή αριθµητική χρησιµοποιούσε σφηνοειδείς χαρακτήρες (, -, <) και είχε δύο βάσεις, το δέκα και το εξήντα. ( =1, <=10, -=100, < -=1000, << - =10000, <<<< -=100000) (Loria, 1971). Επαναλαµβάνοντας κάθε ένα από αυτά, όχι περισσότερο από εννιά φορές, µπορούµε προφανώς να παραστήσουµε όλους τους µικρότερους του εκατοµυρίου αριθµούς. Με αυτό τον τρόπο προκύπτει ένα σύµβολο αποτελούµενο από κάποιο αριθµό µονάδων, ένα σύµβολο δεκάδων κλπ., τα οποία διαδέχονται το ένα το άλλο κατά τάξη σύµφωνη µε το νόµο του Hankel. Η ύπαρξη του δεύτερου θεµελιώδους αριθµού εξήντα πιστοποιείται από τα ειδικά ονόµατα (Soss, Ner, Sar) µε τα οποία οι Βαβυλώνιοι παριστούσαν τους αριθµούς 60, 600, 3600 και από τη χρήση κλασµάτων µε παρονοµαστή τις διαδοχικές δυνάµεις του 60. αυτά τα κλάσµατα βρήκαν εφαρµογή στην Ελληνική Αστρονοµία και ίχνη αυτών βρίσκουµε στη διατηρηθείσα συνήθεια να διαιρούµε τη µοίρα και την ώρα σε εξήντα πρώτα λεπτά και το πρώτο λεπτό σε εξήντα δεύτερα λεπτά. Υπάρχουν ενδείξεις, αλλά όχι σαφής βεβαιότητα, ότι οι Βαβυλώνιοι προηγήθηκαν των Ινδών στη διατύπωση ενός συµβόλου ανάλογο του µηδενός. Σίγουρο όµως είναι ότι γνώριζαν τον πολλαπλασιασµό (και µάλιστα µε τους πολλαπλασιαζόµενους αριθµούς σε στήλη, όπως έκαναν το Μεσαίωνα οι Ιταλοί (λογιστές) αββακιστές και οι διάδοχοί τους), τη διαίρεση, τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθµών (από 1 έως 60 και από 1 έως 30 αντίστοιχα) και τις αντίστροφες πράξεις εξαγωγής τετραγωνικής και κυβικής ρίζας. Σηµαντικό επίσης είναι ότι χρησιµοποιούσαν την αφαιρετική µέθοδο στην γραφική και φωνητική αναπαράσταση των αριθµών, όπως µεταγενέστερα οι Ρωµαίοι (π.χ. όπως το λατινικό ΧΙΧ=19). Οι Αιγύπτιοι Αρχικά οι Αιγύπτιοι για να γράψουν έναν αριθµό, επαναλάµβαναν το ίδιο σηµείο που εικόνιζε συµβατικά τη µονάδα. Αργότερα εξέφραζαν τους αριθµούς µε ονόµατα. Τελικά επινόησαν ένα σύστηµα αρίθµησης µε βάση τον αριθµό δέκα. Επινόησαν δε ιδιαίτερα σύµβολα για την παράσταση των µονάδων διαφόρων τάξεων, δηλαδή των αριθµών 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, 10.000.000, µε τη συµφωνία να επαναλαµβάνονται τα σύµβολα αυτά όσες φορές χρειαζόταν. Και για ευκολία έγραψαν τα σύµβολα αυτά κατά οµάδες, η καθεµία των οποίων να µη περιέχει περισσότερα από τέσσερα σύµβολα. Η σειρά διαδοχής

12 των διαφόρων οµάδων ακολουθούσε το νόµο του Hankel, δηλαδή ήταν φθίνουσα από αριστερά προς δεξιά. Ειδικές συντοµογραφίες δήλωναν την πρόσθεση και την αφαίρεση, η δε εκτέλεση αυτών των πράξεων γινόταν µε την επανάληψη της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης της µονάδας τόσες φορές όσες δήλωνε ο άλλος αριθµός των προσθετέων ή ο αφαιρετέος. Επίσης γνώριζαν τον πολλαπλασιασµό και τη διαίρεση και χρησιµοποιούσαν για αυτές τις πράξεις ειδικές µεθόδους (Loria, 1971). Ιδιότυπη είναι η θεωρία των κλασµάτων, όπου χρησιµοποιούσαν αποκλειστικά κλάσµατα µε αριθµητή τη µονάδα (µε εξαίρεση το 2/3), τα οποία θεωρούµε ως «θεµελιώδη κλάσµατα», και ανέλυαν τα υπόλοιπα κλάσµατα ως άθροισµα «θεµελιωδών κλασµάτων». Οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι λοιπόν καλλιέργησαν την Αριθµητική καθώς και τη Γεωµετρία για την εξυπηρέτηση πρακτικών αναγκών του Αστρολόγου και του Μηχανικού, αλλά δε κατόρθωσαν να δώσουν ζωή σε µαθηµατική θεωρία, πράγµα που έκαναν οι Έλληνες. Οι Έλληνες Ο Πυθαγόρας δηµιούργησε ένα φιλοσοφικό σύστηµα, στο οποίο το πρωταρχικό στοιχείο της δηµιουργίας είναι µια οντότητα πνευµατική, Ο ΑΡΙΘΜΟΣ, θεωρούµενος ως η ίδια η ουσία των όντων («Αριθµόν είναι την ουσίαν απάντων»). Οι Έλληνες χρησιµοποίησαν ένα σύστηµα αρίθµησης µε βάση τον αριθµό δέκα, στον οποίο, καθώς και στον αριθµό είκοσι, έδωσαν διακεκριµένη θέση και όνοµα. Οι δέκα πρώτοι αριθµοί είχαν ειδικά ονόµατα, µε τη βοήθεια των οποίων, κατά παράθεση, σχηµατίζονταν τα ονόµατα των αριθµών 11, 12,..., 19, καθώς και των αριθµών 21, 22,..., 29. Έτσι, δίνοντας νέα ονόµατα στους αριθµούς 30, 40 κλπ. Έφθασαν µέχρι το 99. αφού κατασκεύασαν έπειτα ονόµατα για τους αριθµούς 100, 1.000, 10.000 µπόρεσαν να ονοµάσουν όλους τους αριθµούς που ήταν πρακτικά χρήσιµοι. Έτσι µπόρεσαν να κάνουν τις πρώτες αριθµητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµό) είτε από µνήµης είτε βοηθούµενοι από τα δάχτυλα, από πεσσούς, χαλίκια και ένα τύπο άβακα, είτε τέλος και σηµαντικότερο δια της γραφής. Αρχικά παρίσταναν τους αριθµούς µε την επανάληψη της µονάδας. Αργότερα το σύστηµα αυτό εγκαταλείφθηκε για να εφαρµοστεί ένα άλλο, που περιέγραψε ο Ηρωδιανός (170-240 µ.χ.), του οποίου φέρει ακόµα το όνοµα. Κατά το σύστηµα αυτό οι αριθµοί 1, 5, 10, 100, 1.000 και 10.000 παριστάνονται αντίστοιχα µε τα γράµµατα Ι, Π,, Η, Χ και Μ. Τοποθετώντας µετά ένα από τα γράµµατα, Η, Χ και Μ µεταξύ των σκελών του Π, έδωσαν σύµβολα για τους αριθµούς 50, 500, 5.000 και 50.000. οι ενδιάµεσοι ακέραιοι µπορούσαν πλέον να παρασταθούν µε την παράθεση και επανάληψη µερικών από αυτά τα σύµβολα κατάλληλα επιλεγµένα. Με την πάροδο του χρόνου αποκαλυπτόταν η ανεπάρκεια και αυτού του συστήµατος, του οποίου παρέµενε η χρήση µόνο στις επιγραφές (Loria, 1971). Για τις καθηµερινές ανάγκες από τον 3 ο αιώνα άρχισε να γίνεται χρήση µιας άλλης γραπτής αρίθµησης, στην οποία τα 21 γράµµατα του Ιωνικού αλφαβήτου εµπλουτισµένα µε άλλα τρία σύµβολα (s =6, κ =90, π=900) χρησιµοποιούνταν για τη γραφή των αριθµών 1, 2,..., 9, 10, 20, 90, 100, 200,..., 900. µε την

13 παράθεση των µονάδων στις δεκάδες και των δεκάδων στις εκατοντάδες παράγονταν όλοι οι αριθµοί κάτω του 1.000, σε εφαρµογή του νόµου του Hankel. Τοποθετώντας µία κεραία προς τα κάτω και αριστερά στα ανωτέρω σύµβολα, συµβόλιζαν τις χιλιάδες (,α=1.000,,β=2.000 κλπ.), µέχρι το εκατοµµύριο. Ο Αρχιµήδης υπέδειξε τρόπο συµβολισµού σχεδόν απείρων αριθµών. Οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν επίσης τα κλάσµατα καθώς και τα «εξηκονταδικά» κλάσµατα (α/60). Επίσης εκτελούσαν τις πράξεις µε τρόπους όµοιους µε τους σηµερινούς. Οι Ρωµαίοι Οι Ρωµαίοι, όπως όλοι οι λαοί που βγήκαν από το στάδιο της βαρβαρότητας, πιεσµένοι από την ανάγκη να αριθµούν και να υπολογίζουν, δηµιούργησαν µια πρακτική αριθµητική και έδωσαν ονόµατα και σύµβολα, µε τη φωνή και το χέρι, στους αριθµούς της φυσικής σειράς. Υιοθέτησαν ένα σύστηµα µε βάση το 10, όπου και το 20 είχε σηµαντική θέση. (1=Ι, 5=V, 10=X, 100=C, 500=D, 1.000=M). Ένα ειδικό σύµβολο στη µορφή παύλας τοποθετούνταν πάνω στα παραπάνω γράµµατα το οποίο σήµαινε τον πολλαπλασιασµό αυτών επί χίλια. Με τέτοια σύµβολα, κατάλληλα τοποθετηµένα και επαναλαµβανόµενα κατά σειρά σύµφωνη µε το νόµο του Hankel, µπορούσαν προφανώς να παραστήσουν κάθε ακέραιο αριθµό. Για απλοποίηση όµως της γραφής προτάθηκε το τέχνασµα της «αφαιρετικής µεθόδου», το οποίο είχαν ήδη χρησιµοποιήσει οι Ασύρριοι, µε το οποίο θεωρούσαν έναν αριθµό σαν διαφορά δύο άλλων (π.χ. 9=ΙΧ αντί VIIII). Κατά τη µετάβαση από τους ακεραίους στα κλάσµατα, εγκατέλειψαν τη βάση «δέκα», γιατί δεν µπόρεσαν να συλλάβουν την έννοια των νέων αυτών οντοτήτων στη γενικότητά τους, λόγω της περιορισµένης επιστηµονικής νοοτροπίας τους. Περιορίστηκαν λοιπόν στα µέρη των εν χρήση µετρητικών µονάδων, τις οποίες θεωρούσαν διηρηµένες σε 12, 144, 288 κλπ. ίσα µέρη. Για τους δύσκολους υπολογισµούς µε αριθµούς αποτελούµενους από ακεραίους και δωδεκαδικούς, κυκλοφορούσαν µεταξύ των εφοριακών και των άλλων υπαλλήλων του ρωµαϊκού κράτους, «πίνακες έτοιµων υπολογισµών» (Loria, 1971). Επίσης χρησιµοποιούσαν όργανα (άβακες) διαφόρων τύπων. Στην αναγεννησιακή Ιταλία, όταν οι έµποροι και οι τραπεζίτες κατάλαβαν ότι η ρωµαϊκή αρίθµηση µπορούσε εύκολα να παραποιηθεί από από τους βοηθούς και τους υπαλλήλους τους, τότε υιοθέτησαν τους αραβικούς αριθµούς (Van Egmond, 1976). Μεσαίωνας Το 476 µ.χ. είναι η χρονιά όπου επίσηµα καταλύεται η δυτική ρωµαϊκή αυτοκρατορία, αρχή της εποχής των βαρβάρων, σκοταδισµός. Παρόλο το σκοταδιστικό κλίµα υπήρξαν προσωπικότητες που είτε µεταφράζοντας είτε αντιγράφοντας συντηρούν κάπιους σπινθήρες γνώσης. Το έργο «Μαθήµατα αριθµητικής» του Βοήθιου (~480-524 µ.χ.), είναι µια ανακτασκευή του έργου του Νικόµαχου, στο τέλος όµως του πρώτου βιβλίου περιέχεται µια σελίδα, η οποία, αν είναι αυθεντική, µπορεί να αναγάγει την επινόηση των συµβόλων που χρησιµοποιούνται σήµερα για τη γραφή των αριθµών 1, 2, 3,..., 9, στους µαθητές του Πυθαγόρα. Ακόµα έχουµε µερικές σηµαντικές µεταφράσεις από τα Αραβικά µέσω Ισπανίας (περίπου 1100). Στην ίδια εποχή ανάγεται και η ίδρυση των πρώτων Πανεπιστηµίων, τα οποία ξεκίνησαν σαν συντεχνίες οικονοµικού χαρακτήρα µεταξύ

14 δασκάλων και µαθητών της ίδιας πόλης. Εν τέλει η εµφάνιση των Πανεπιστηµίων αποτελεί τη σηµαντικότερη συµβολή του Μεσαίωνα στην πρόοδο και την πνευµατική ανάπτυξη της ανθρωπότητας (Loria, 1971). Οι Κινέζοι Τα περισσότερα θέµατα γύρω από τις πρωτότυπες γνώσεις των Κινέζων στα µαθηµατικά είναι αµφισβητίσιµα λόγω της ασαφούς χρονολογίας των πονηµάτων και άρα της µη επαρκούς γνώσης των επιρροών τους από άλλους λαούς (Loria, 1971). Πάντως σίγουρα είχαν, όπως και οι περισσότεροι άλλοι λαοί, ένα δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης, µε τα γνωστά χαρακτηριστικά και νόµους. Οι πέντε πρώτοι αριθµοί δηλώνονταν µε ισάριθµες κατακόρυφες γραµµές, οι δε τέσσεροις επόµενοι µε τα όµοια σύµβολα που έφεραν όµως οριζόντια επιγραµµή (Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙΙΙΙ, ΙΙΙΙΙ). οι ίδιοι χαρακτήρες στρεφόµενοι πλαγίως σε ορθή γωνία παρίσταναν αντίστοιχα τους αριθµούς 10, 20,..., 90 (π.χ. =). Οι Ινδοί Στον Ινδικό λαό αποδίδεται η επινόηση του δικού µας δεκαδικού συστήµατος, το οποίο στηρίζεται στη χρήση των αριθµών 1, 2,..., 9 και του 0, οντότητα η οποία, παρά το ότι στερείται αριθµητικής αξίας, αποτελεί την σπονδυλική στήλη της λεγόµενης αριθµογραφίας θέσης. Το σύστηµα αυτό ήρθε στην Ευρώπη µέσω των Αράβων. Ήδη στο έργο Aryabhatiyam του Aryabhata (γεννήθηκε το 475 µ.χ.) εκτίθεται το αριθµητικό µας σύστηµα. Ο Bhascara στο έργο Lilavati (~1150) αναφέρεται στην πρόσθεση, σε άλλες είκοσι πράξεις και οκτώ προσδιορισµούς: πράξεις: 1. πρόσθεση, 2. αφαίρεση, 3. πολλαπλασιασµός, 4. διαίρεση, 5. ύψωση στο τετράγωνο, 6. εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας, 7. ύψωση στον κύβο, 8. εξαγωγή κυβικής ρίζας, (9-14) πράξεις επί των κλασµάτων, (15-19) αναλογίες µε τρεις, πέντε, επτά και έντεκα όρους, 20. ανταλλαγές. Προσδιορισµοί: 1. µίξη, 2. πρόοδοι, 3. επίπεδα σχήµατα, 4. ορύγµατα, 5. σωροί, 6. στέγες, 7. επιχώµατα, 8. σκιές. Επίσης ο Bhascara εισάγει στην θεωρητική αριθµητική τους αριθµούς 0 και άπειρο. Οι Ινδοί µαθηµατικοί δεν ξεπέρασαν τους έλληνες σε αλγεβρική δεξιότητα, µπορούσαν όµως, χάρη στον αποτελεσµατικό συµβολισµό, να υπερνικήσουν τις δυσκολίες του αλγεβρικού λογισµού (Loria, 1971). Οι Άραβες Οι Άραβες εµφανίστηκαν ξαφνικά µεταξύ VI και VII αιώνα, κυριάρχησαν στρατιωτικά και πνευµατικά για µερικούς αιώνες, στο νότιο τόξο της Μεσογείου. Επέβαλαν τη γλώσσα τους αλλά µελέτησαν και αφοµοίωσαν τα πνευµατικά έργα άλλων πιο προηγµένων πολιτισµών. Οι ηγεµόνες τους αναδείχτηκαν προστάτες των επιστηµών και των τεχνών. Η Βαγδάτη έγινε σηµείο συµβολής δύο µεγάλων πολιτισµών, του ελληνικού και του ινδικού. Έτσι οι Άραβες διέδωσαν στον τότε κόσµο µιαν ασφαλή επιστήµη, εµπλουτισµένη µάλιστα µε δικές τους βελτιώσεις αναµφισβήτητης αξίας. Μέσω των Σταυροφοριών και κυρίως της Ισπανίας (λατινικές µεταφράσεις των σηµαντικότερων αραβικών έργων), οι Άραβες επανέφεραν τους Ευρωπαίους στις καθαρές πηγές γνώσης, εγκαινιάζοντας µε αυτόν τον τρόπο την χειραφέτηση των διανοουµένων της ύσης από την ταπεινωτική υποτέλεια του σκοταδιστικού µεσαίωνα.

15 Αρχικά οι Άραβες (όπως και οι Έλληνες και οι Εβραίοι κ.α.) χρησιµοποίησαν τα πρώτα γράµµατα του αλφαβήτου τους για να γράψουν τους ακέραιους αριθµούς και τα δάχτυλα των δύο σε συνδυασµό µε διάφορα τεχνάσµατα για την εκτέλεση των πιο απλών αριθµητικών πράξεων. Αφού ήρθαν σε επαφή όµως µε τους Ινδούς, αντιλήφθηκαν την υπεροχή του αριθµητικού συστήµατος των εννέα ψηφίων και του µηδενός, το υιοθέτησαν άµεσα και το διέδωσαν σε όλες τις κατακτηµένες χώρες. Για τους Άραβες τα κλάσµατα µε αριθµητή τη µονάδα και παρονοµαστές 2, 3,..., 9 κατείχαν προνοµιούχο θέση στο σύνολο των κλασµατικών αριθµών και ονοµάζονταν όπως και σήµερα «µισό», «τρίτο», κλπ., ενώ τα υπόλοιπα κλάσµατα ονοµάζονταν περιφραστικά. Εγκαινίασαν την αλγεβρική φιλολογία και από το όνοµα του σηµαντικού µαθηµατικού συγγραφέα Al Khowarismi κατάγεται ο όρος αλγόριθµος (Loria, 1971). Η ιστορική αυτή επισκόπιση είναι χρήσιµη ως προς την παρατήρηση των διαφορετικών τρόπων αρίθµησης και συµβολισµού στους διάφορους πολιτισµούς αλλά και των βασικών οµοιοτήτων τους. Σηµαντικό επίσης είναι να παρατηρήσουµε το πώς ο άνθρωπος άρχισε να εµπλέκεται µε αριθµητικά δεδοµένα και υπολογισµούς και το πώς στην συνέχεια εξέλιξε τον αριθµητικό συµβολισµό. Στην αρχή έκανε µια καθαρά ποσοτική αναπαράσταση, δηµιουργώντας π.χ. εγκοπές σε ξύλινες ράβδους ή κόµπους σε σχοινιά. Τέτοιες αναπαραστάσεις διευκολύνουν την µετατροπή από τον φυσικό στο συµβολικό πεδίο και αντίστροφα καθώς και τη διεξαγωγή απλών αλγεβρικών πράξεων. Στη συνέχεια χρησιµοποίησε διάφορους τύπους συµβολισµών διατηρώντας όµως πάλι µια σχέση µε την ποσότητα που αναπαριστούσε µέχρι να οδηγηθεί σε τελείως αφηρηµένα συµβολικά συστήµατα αρίθµησης. Αυτά τα εξελιγµένα συστήµατα απαιτούν πολύ µεγαλύτερη προσπάθεια για την εκµάθησή τους αλλά προσφέρουν ασύγκριτα περισσότερες δυνατότητες σύνθετων αλγεβρικών πράξεων. Με µια µικρή δόση αυθαιρεσίας µπορούµε να πούµε ότι η ιστορική εξέλιξη του αριθµητικού συµβολισµού δείχνει σε ανθρωπολογική κλίµακα τα στάδια ανάπτυξης των αριθµητικών δεξιοτήτων και εννοιών στα παιδιά. 2.2 Ανάπτυξη αριθµητικών δεξιοτήτων στα µικρά παιδιά Η εµφανιζόµενη σύνδεση µεταξύ αριθµών-λέξεων και ποσοτήτων αντικειµένων για την κατανόηση των αριθµητικών πράξεων υπήρξε τόσο εµπόδιο εως τώρα όσο και η ιδέα ότι οι λέξεις θα µπορούσαν να αναφέρονται σε αντικείµενα σε έναν «πραγµατικό» κόσµο ανεξάρτητο από το χρήστη (von Glasersfeld, 1982). Η φύση της κατανόησης της αριθµητικής και των µαθηµατικών από τα παιδιά και οι µηχανισµοί που αποτελούν τη βάση της ανάπτυξης αυτής της γνώσης βρίσκονται στο επίκεντρο µιας πληθώρας επιστηµονικών, πολιτικών και εκπαιδευτικών µελετών (Geary, 2006a). Η γνώση σχετικά µε την ανάπτυξη των αριθµητικών δεξιοτήτων στα µικρά παιδιά πηγάζει από διάφορα συγγενικά µεταξύ τους πεδία, συµπεριλαµβανοµένων της νευρολογίας, της ψυχολογίας, της κοινωνιολογίας και της παιδαγωγικής.

16 Ας κάνουµε όµως ένα διαχωρισµό ανάµεσα στα µαθηµατικά και την αριθµητική. Τα µαθηµατικά από µόνα τους επικαλούνται γνωστικές δεξιότητες που συµπεριλαµβάνουν επιδέξιο χειρισµό µαθηµατικών πράξεων και µια εννοιολογική αντίληψη για την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων. Τα µαθηµατικά είναι µια µελέτη λογικά ακολούθων τυπολογικών δοµών βασισµένων σε ακριβείς κανόνες που προέρχονται από λογικά κατάλληλα σύνολα αξιωµάτων. Η αριθµητική από την άλλη, προϋποθέτει µια κατανόηση των αριθµητικών πράξεων, υπολογισµών, ταξινόµισης αριθµών σε σειρές, µια «µαεστρία» στις αριθµητικές ποσότητες, την ανάγνωση και τον χειρισµό των συµβόλων και γνώση των κανόνων που κυριαρχούν στις τέσσερις βασικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης. Στην αριθµητική ένας αριθµός διακριτών πράξεων πρέπει να φτάσει εις πέρας µε τη σωστή σειρά (αλληλουχία πράξεων). Αρκετή έρευνα στην ανάπτυξη των µαθηµατικών δεξιοτήτων έχει στραφεί προς σχετικά βασικές αριθµητικές δεξιότητες, όπως η επεξεργασία των αριθµών ή οι υπολογισµοί. Ακόµη και σε αυτά τα πρόωρα στάδια αποδείχθηκε ότι περιλαµβάνονται πολλές σύνθετες δεξιότητες. Αυτές, µεταξύ άλλων, αφορούν τη διασύνδεση µεταξύ των προφορικών λέξεων των αριθµών και των αραβικών αριθµών, συνδέοντας αυτούς µε τις σηµασιολογικές αντιπροσωπεύσεις καθορισµένων µεγεθών («numerosity», «αριθµητότητα») (Landerl, Bevan & Butterworth, 1993). Οι παράγοντες που καθορίζουν την ανάπτυξη των αριθµητικών δεξιοτήτων στα µικρά παιδιά είναι πολλών ειδών: νευροβιολογικοί, ιατρικοί, ψυχολογικοί, πολιτισµικοί, εκπαιδευτικοί (Geary, 1993; Haskell, 2000). Σύµφωνα µε τον διαχωρισµό που έχει κάνει ο Haskell (Haskell, 2000) οι καθοριστικοί παράγοντες για την ανάπτυξη των δεξιοτήτων αυτών από νευροβιολογικής πλευράς είναι οι γενετικές επιρροές, οι έµφυτες αριθµητικές ικανότητες, οι έµφυτες αυτο-ρυθµιζόµενες ικανότητες και η «ειδική-σοφή» αριθµητική ικανότητα (savant arithmetic ability 1 ). Από την πλευρά των ιατρικών παθήσεων-διαταραχών που σχετίζονται µε δυσκολίες στην αριθµητική, ο Haskell αναφέρεται στο σύνδροµο Gerstmann 2, σε νευρολογικές παθήσεις, στην επιληψία, σε διάφορα ελλείµµατα όπως µεταβολικό, προσοχής, χρωµοσωµάτων, σε παιδιά που κάνουν θεραπεία για φαινυλκετονουρία, σε κορίτσια µε σύνδροµο Turner 3 και σε παιδιά µε νοητική υστέρηση. Οι ψυχολογικοί παράγοντες περιλαµβάνουν συσχετιζόµενα προβλήµατα γλωσσικά, µνήµης και προσοχής, συσχετιζόµενες αισθητηριακές και κινητικές διαταραχές, συσχετιζόµενες συναισθηµατικές διαταραχές, όπως άγχος και φόβος, και διαταραχές της συµπεριφοράς καθώς και τις πρώιµες και προσχολικές εµπειρίες, όπως π.χ. το παιχνίδι. Από άποψη κουλτούρας και εκπαιδευτικών πρακτικών η ανάπτυξη των αριθµητικών δεξιοτήτων επηρεάζεται-καθορίζεται από το στυλ της εκπαίδευσης, την παρουσία στο σχολείο και από τις διαπολιτισµικές σπουδές (Haskell, 2000). Ενδείξεις σχετικές µε τα νευρολογικά και βιολογικά υποστρώµατα της εγκεφαλικής εµπλοκής έχουν αποδειχεί από τα ευρήµατα µελετών µαγνητικής τοµογραφίας (MRI 4 ). Ο Geary µάλιστα υποστηρίζει ότι τα ανθρώπινα βρέφη καθώς και πολλά άλλα είδη είναι εξοπλισµένα µε ένα έµφυτο σύνολο από θεµελιώδεις

17 ικανότητες από τη γέννησή τους (Geary, 1993). Tα µαθηµατικά, όπως και η γλώσσα, που θεωρείται έµφυτη ικανότητα στα βρέφη, έχουν παρόµοια νευροβιολογικά θεµέλια που έχουν γαλουχηθεί σε εµπλουτισµένα κοινωνικά περιβάλλοντα (Cobb, Yackel & Wood, 1992). Σχετικά µε τις έµφυτες αριθµητικές ικανότητες ο Haskell (2000) δανειζόµενος από τον Geary, υποστηρίζει πως οι γνωστικές λειτουργίες ειδικές στις αριθµητικές ικανότητες είναι διαθέσιµες στα βρέφη και στα µικρά παιδιά µόλις αυτά έχουν πρόσβαση σε υποτυπώδεις γραµµατικές δοµές και κανόνες. Αναφέρεται σε αυτή την επιδεξιότητα σαν «βιολογικά πρωταρχικές ικανότητες». Αυτές οι «ικανότητες» περιλαµβάνουν την επιδεξιότητα να εκτιµάς ποσότητες αντικειµένων ή γεγονότων µέχρι το τέσσερα χωρίς µέτρηµα. Περιλαµβάνουν επίσης µια κατανόηση της έννοιας του λιγότερου και περισσότερου χωρίς τη βοήθεια της γλώσσας των αριθµητικών λέξεων (ένα προλεκτικό αριθµητικό σύστηµα). Υποστηρίζεται ότι αυτές οι έµφυτες προλεκτικές δεξιότητες διαµορφώνουν τα θεµέλια για αξιόπιστες αριθµητικές ικανότητες κατά τη διάρκεια της βασικής εκπαίδευσης (ibid). Ο Haskell (ibid) για τις έµφυτες αυτο-ρυθµιζόµενες ικανότητες αναφέρεται και στον Piaget ο οποίος υποστήριξε ότι τα παιδιά κατέχουν µια έµφυτη ικανότητα να οργανώνουν το περιβάλλον τους µε ποσοτικούς τρόπους. Παιδιά από µια ποικιλία πολιτιστικής, κοινωνικο-οικονοµικής και εθνικής προέλευσης µετέχουν σε «άφθονη» συναλλαγή µε το περιβάλλον τους. Αυτές οι αλληλεπιδράσεις τα πληροφορούν σχετικά µε τα χαρακτηριστικά των αντικειµένων και των γεγονότων που συναντούν και έτσι αναπτύσσεται η αντίληψή τους για την άτυπη αριθµητική. Οι προσχολικές εµπειρίες, οι ευκαιρίες για κοινωνικότητα και παιχνίδι βοηθούν τα παιδιά να χειριστούν το στοιχειώδες µέτρηµα και τον υπολογισµό (Piaget, 1952; Vygotsky, 1978; Haskell, 2000). Η κοινωνικο-οικονοµική κατάσταση, το οικογενειακό περιβάλλον και η παρακίνηση από τους γονείς είναι καθοριστικές επιρροές για πρώιµη επιτυχία. Το παιχνίδι ειδικότερα, είναι κρίσιµο για την απόκτηση µιας σειράς δεξιοτήτων συµπεριλαµβανοµένης της αριθµητικής ικανότητας. Παρέχει στα παιδιά ευχάριστη δραστηριότητα και την ευκαιρία για αυθόρµητη ανακάλυψη των αριθµητικών χαρακτηριστικών και των διακριτικών γνωρισµάτων του περίγυρού τους (ibid). Παιδιά διαφόρων πολιτισµών εµπλέκονται σε µια ποικιλία παιχνιδιών που σχετίζονται µε την αριθµητική. Ο Haskell επίσης αναφέρει ότι, σύµφωνα µε τον Dutton W. H., τα παιδιά που έχουν πρόσβαση σε άφθονες εµπειρίες άτυπης αριθµητικής σε κοινωνικές καταστάσεις και σε καταστάσεις παιχνιδιού, είναι καλύτερα προετοιµασµένα για να επωφεληθούν από την «κανονική» διδασκαλία όταν εισάγονται στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση. Ο Piaget (1953) υποστήριξε µάλιστα ότι τα µικρά παιδιά είναι ανίκανα να σχηµατίσουν έννοιες των αντικειµένων αν δεν έχουν άφθονες ευκαιρίες να πραγµατοποιήσουν φυσικές δραστηριότητες µε αυτά. Για την συµβολή του παιχνιδιού στην ανάπτυξη των αριθµητικών δεξιοτήτων και την κατανόηση των αριθµητικών εννοιών θα αναφερθούµε εκτενέστερα στη συνέχεια.

18 2.3 Νους και αριθµητική εκπαίδευση Ο Cobb P. και οι συνεργάτες του (Cobb, Yackel & Wood, 1992) µελέτησαν τις διάφορες θεωρίες που υποστηρίζουν την αναπαραστατική εικόνα του νου στη µαθηµατική εκπαίδευση, αλλά και αυτές που έρχονται σε αντίθεση µε αυτήν. Οι θεωρίες που υποστηρίζουν την αναπαραστατική εικόνα χαρακτηρίζουν τη µάθηση σαν µια διαδικασία κατά την οποία οι µαθητές τροποποιούν τις εσωτερικές νοητικές αναπαραστάσεις τους για να κατασκευάσουν µαθηµατικές σχέσεις ή δοµές οι οποίες αντικατοπτρίζουν τις ενσωµατωµένες αυτές αναπαραστάσεις σε εξωτερικές διδακτικές αναπαραστάσεις. Υποστηρίζεται ότι, ψυχολογικά, αυτή η άποψη δεν ερµηνεύει το παράδοξο της µάθησης, ότι ανθρωπολογικά, αυτό εµπίπτει στο να αναλογιστει κανείς την κοινωνική και πολιτισµική φύση της µαθηµατικής δραστηριότητας και ότι, παιδαγωγικά, οδηγεί σε προτάσεις οι οποίες έρχονται σε αντίθεση µε τον υιοθετηµένο στόχο της ενίσχυσης της µάθησης µε την κατανόηση. Οι κονστρουκτιβιστικές προσεγγίσεις απορρίπτουν ότι το µαθηµατικό νόηµα είναι εγγενές (σύµφυτο) στις εξωτερικές αναπαραστάσεις και αντί για αυτό προτείνουν σαν βασική αρχή ότι τα µαθηµατικά νοήµατα που αποδίδονται σε αυτές τις αναπαραστάσεις είναι το προϊόν της ενδο-ερµηνευτικής δραστηριότητας των µαθητών. Για παράδειγµα ένα γράφηµα γίνεται µια «αναπαράσταση» µόνο όταν ένας µαθητής το χρησιµοποιεί για να εκφράσει µια έννοια. Μια τέτοια προσέγγιση έρχεται σε αντίθεση µε την κεντρική αρχή της αναπαραστατικής εικόνας του νου για την οποία οι Cobb P. και λοιποί αναφέρουν ότι σύµφωνα µε τον Rotry (1979) είναι: «Το να γνωρίζεις είναι το να αναπαριστάς ακριβώς ότι είναι εξωτερικά του νου έτσι το να κατανοείς την δυνατότητα και την φύση της γνώσης είναι να κατανοείς το τρόπο µε τον οποίο το µυαλό είναι ικανό να κατασκευάζει τέτοιες (εσωτερικές) αναπαραστάσεις». εδοµένου όµως ότι οι εκπαιδευτές των µαθηµατικών δέχονται σχεδόν διεθνώς ότι η µάθηση είναι µια κονστρουκτιβιστική διαδικασία είναι αµφίβολο αν κανείς παίρνει την αναπαραστατική άποψη «κατά γράµµα» και πιστεύει ότι η µάθηση είναι µια διεργασία «αγνής αντίληψης» (Cobb, Yackel & Wood, 1992). Το «παράδοξο της µάθησης» σύµφωνα µε τον Berieter (1985) εκφράζεται ως εξής: «αν κάποιος προσπαθεί να ερµηνεύσει τη µάθηση έχοντας κατά νου τους νοητικούς µηχανισµούς που εφαρµόζονται από τον µαθητευόµενο, τότε είναι απαραίτητο να αποδοθεί στον µαθητευόµενο µια πρότερη γνωστική δοµή η οποία είναι τόσο εξελιγµένη ή σύνθετη όσο αυτή που θα µαθευτεί... το παράδοξο της µάθησης εφαρµόζεται όταν οι µαθητές πρέπει να συλλάβουν έννοιες ή µεθόδους (κανόνες/ τύπους) πιο σύνθετες από αυτές που είναι ήδη διαθέσιµες για εφαρµογή». Για να αναγνωρίσουν λοιπόν οι µαθητές µαθηµατικές σχέσεις αναπτυξιακά πιο εξελιγµένες από τις προϋπάρχουσες εσωτερικές αναπαραστάσεις δε φτάνει απλά να αφεθούν στα δικά τους τεχνάσµατα να εξερευνήσουν τα υλικά που τους δίνονται αλλά χρειάζονται καθοδήγηση έτσι ώστε να κατασκευάσουν «αντίγραφα», από τις µαθηµατικές σχέσεις που τους παρουσιάζονται, σε µια πιο εύκολα αντιλήψιµη µορφή. Από την άλλη µεριά, όπως επισήµανε ο Steinbring (1989), προσεγγίσεις στις οποίες ο δάσκαλος απαιτείται να είναι σαφής σχετικά µε το τι είναι αυτό που οι µαθητές πρέπει να µαθουν µπορεί να οδηγήσουν σε υπέρµετρη αλγοριθµοποίηση των µαθηµατικών και σε υποβάθµιση της εννοιολογικής τους σηµασίας. Όπως αναφέρουν οι Cobb P. και λοιποί, ο Brousseau (1984) έδωσε έµφαση σε αυτό όταν

19 υποστήριξε ότι: «όσο πιο κατηγορηµατικός είµαι σχετικά µε τη συµπεριφορά που θέλω να επιδείξουν οι µαθητές µου, τόσο πιο πιθανό είναι να επιδείξουν αυτή τη συµπεριφορά χωρίς προσφυγή στην κατανόηση την οποία η συµπεριφορά υποτίθεται ότι υποδηλώνει τόσο πιο πιθανό είναι να πάρουν τη συµπεριφορά που επιβάλλεται παρά την ουσία». Οι Cobb Yackel και Wood (2002) προσπάθησαν λοιπόν να σκιαγραφήσουν µια εναλλακτική προσέγγιση µε στόχο την υπέρβαση του «δυϊσµού» που υπάρχει ανάµεσα στα µαθηµατικά στα «κεφάλια» των παιδιών και στα µαθηµατικά στο περιβάλλον τους. Η εναλλακτική αυτή προσέγγιση µεταχειρίζεται τα µαθηµατικά σαν µια µεµονωµένη κονστρουκτιβιστική δραστηριότητα και σαν µια κοινοτική, κοινωνική πρακτική. Υποστηρίζουν ότι µε αυτή την προσέγγιση µπορεί να δοθεί εξήγηση για τον τρόπο µε τον οποίο οι µαθητές κατασκευάζουν µαθηµατικές έννοιες και µεθόδους, οι οποίες ιστορικά πήρε αρκετές χιλιάδες χρόνια να αναπτυχθούν, χωρίς να αποδίδεται στους µαθητές η δυνατότητα να «κρυφοκοιτάξουν» στις εσωτερικές τους αναπαραστάσεις και να «δουν» φευγαλέα ένα προ-δοµηµένο περιβάλλον. 2.4 Αριθµητική και εγκέφαλος Ο Dehaene το 1997 πρότεινε την υπόθεση ότι η «αριθµητική αίσθηση» είναι µια βασική ικανότητα του ανθρώπινου µυαλού: αφιερωµένες περιοχές στην περιφέρεια του εγκεφάλου, κληρονοµηµένες από την εξελικτική µας ιστορία είναι κατειληµµένες για την αναγνώριση της αριθµητότητας και µας παρέχουν µια βασική διαίσθηση η οποία καθοδηγεί την απόκτηση της συµβολικής αριθµητικής (Deheane, 1997). Το 2004 επαναξιολόγησε αυτή την υπόθεση υπό το φως των νέων ανακαλύψεων στη γνωστική νευροεπιστήµη (Deheane et al., 2004). Προτείνει ότι οι σχετιζόµενες µε την ποσότητα περιοχές του εγκεφάλου συµπεριλαµβανοµένης της ενδοτοιχωµατικής αυλάκωσης (IPS 5 ) εµφανίζονται νωρίς στην ανάπτυξη, προέρχονται από ένα εν µέρει γενετικό έλεγχο και παίζουν σηµαντικό ρόλο στην πρώιµη αριθµητική εξέλιξη, η δε αποδιοργάνωσή τους µπορεί να δηµιουργήσει µόνιµη βλάβη στην αριθµητική δεξιότητα (Deheane et al., 2004). Πρόσφατες έρευνες στις νευροεπιστήµες του ανθρώπου, στη νευροφυσιολογία των προτευόντων θηλαστικών (άνθρωποι και πίθηκοι) και στην αναπτυξιακή νευροψυχιατρική, δείχνουν ότι η ανθρώπινη ικανότητα για αριθµητική έχει ένα συγκεκριµένο (σαφές) εγκεφαλικό υπόστρωµα. Η ανθρώπινη «ενδοτοιχωµατική αυλάκωση» του εγκεφάλου (IPS 5 ) ενεργοποιείται συστηµατικά σε όλες τις αριθµητικές εργασίες και θα µπορούσε να φιλοξενεί µια κεντρική α- καταστασιακή αναπαράσταση της ποσότητας (Deheane et al., 2004). Ο νοερός υπολογισµός είναι µια σύνθετη γνωστική διεργασία, η οποία αποτελείται από ένα σύνολο λειτουργικών διαδικασιών. Όταν το υποκείµενο της έρευνας µετέχει σε νοερούς υπολογισµούς ενεργοποιούνται επίσης και περιοχές του προ-κενρικού και κατώτερου προ-εµπρόστιου φλοιού του εγκεφάλου (Deheane et al., 2004). Χρησιµοποιώντας τη µαγνητική λειτουργική συντονισµένη απεικόνιση (fmri 6 ), ο Gruber και οι συνεργάτες του (2001) χαρτογράφησαν τις εγκεφαλικές δραστηριότητες υγειών υποκειµένων κατά την εκτέλεση αριθµητικών εργασιών και

20 εργασιών ελέγχου (που προκαλούν ένα συγκρίσιµο φορτίο στις οπτικο-δοµικές, γλωσσικές, µνηµονικές λειτουργίες καθώς και στις λειτουργίες προσοχής). Κατα τη διάρκεια των υπολογισµών καθώς και των µη µαθηµατικών εργασιών, τα ανάλογα δίκτυα του φλοιού που συνίστανται στις αµφίπλευρες προµετωπικές, προκινιτικές και βρεγµατικές περιοχές, δραστηριοποιήθηκαν, υποδηλώνοντας ότι οι περισσότερες από αυτές τις περιοχές του φλοιού δεν συντελούν αποκλειστικά στους υπολογισµούς, αλλά στηρίζουν γενικότερες γνωστικές διεργασίες, οι οποίες είναι καθοριστικές αλλά όχι αποκλειστικές (εξειδικευµένες) για τη νοερή αριθµητική. Η µελέτη αυτή επιβεβαίωσε ότι ένα εκτεταµένο αµφίπλευρο προµετωπιαίοπροκινιτικό-βρεγµατικό δίκτυο εξυπηρετεί τους νοερούς υπολογισµούς. Όµως, όπως είπαµε και παραπάνω αυτές οι περιοχές του φλοιού δεν φαίνεται να εµπλέκονται αποκλειστικά σε αριθµητικές διαδικασίες, αλλά επίσης και σε άλλα γνωστικά πλαίσια που µεταβιβάζουν παρόµοιες λειτουργικές συνιστώσες, όπως η ενεργός µνήµη, η διαδικασία συµβολικής πληροφόρησης, οι νοητικοί µετασχηµατισµοί εικόνας και ο εσωτερικός λόγος. Αντίθετα αποδείχθηκε µια ιδιαίτερα λειτουργική συµβολή των πλευρικών (γωνιακών ελίκων) και µεσαίων βρεγµατικών φλοιών στη διαδικασία αναπαράστασης των αρθµών κατά τη διάρκεια υπολογισµών ακριβείας, περιλαµβανοµένης της ανάκτησης αριθµητικών δεδοµένων (Gruber et al., 2001). Τελικά, τα ευρήµατα του Gruber και των συνεργατών του υποδηλώνουν ότι η χρήση στρατηγικών αποδόµησης και αναδόµησης στα περισσότερα σύνθετα προβλήµατα υπολογισµών δεν τροφοδοτείται από νευρικές πηγές εξειδικευµένες στη νοητική αριθµητική, αλλά στρατολογεί και τις κατώτερες µετωπιαίες περιοχές που υποστηρίζουν τις γλωσσικές και µνηµονικές λειτουργίες. Επεξήγηση όρων 2 ου Κεφαλαίου: 1. Savant Numerical Ability/ Savants Αριθµητική ικανότητα του «Σοφού» Είναι ένα σπάνιο φαινόµενο που έχει αναφερθεί έλαχιστα στη βιβλιογραφία (έχουν αναφερθεί λιγότερο από εκατό περιπτώσεις). Πρόκειται για εξαιρετικές, ασυνήθιστες αριθµητικές ικανότητες κάποιων ατόµων. Έχει εκτιµηθεί ότι το ένα τρίτο αυτών των ατόµων είναι αυτιστικοί και ότι περίπου το 10% των αυτιστικών παρουσιάζουν κάποιες «σοφές» δεξιότητες (savant skills) (Anderson, 1999). Αρχικά είχε δοθεί ό όρος «Ηλίθιος Σοφός» (Idiot Savant) το 1887 από τον Langdon Down αλλά στη συνέχεια εγκαταλείφθηκε ο όρος ηλίθιος ως προσβλητικός και µη επιστηµονικός (Haskell, 2000). Αυτά τα άτοµα έχουν την ασυνήθιστη ικανότητα να µπορούν να ονοµάσουν την ακριβή ηµέρα της εβδοµάδας για οποιαδήποτε ηµεροµηνία τους παρουσιαστεί µέσα σε µερικά δευτερόλεπτα (Heavy, Pring & Hermelin, 1999, Anderson, 1999). Η αριθµητική ικανότητα του «Σοφού» περιλαµβάνει ασυνήθιστες δεξιότητες στην εφαρµογή αριθµητικών κανόνων κατά την επίλυση προβληµάτων.