סטטיסטיקה והסתברות קומבינטוריקה D(,k) + k + k k k! בלי חשיבות k!( k)! לסדר הערה: מס האפשרויות לסדר k עצמים ב תאים.D(,k) זהויות קומבינטוריות 0 r + r +...+ r 0 התלפגות בינומית- מס ההצלחות בסדרת ניסויים ב ת - מס ניסויים, - מס הצלחות..(a + b) הבינוםשלניוטון k a k b k דף נוסחאות תרמודינמיקה- הוכן ע י אמיר כהנא וחרות אוזן פונ אופיינית - התמרת פורייה ההפוכה של פונ ההתפלגות.f(x) < x > ϕ(t) קבלת מומנטים i t t0 משפט הגבול המרכזי: עבור משתנים אקראיים ב ת עם ממוצע µ x i σ סופיים, כאשר גדול אז Χ מתפלג גאוסיאנית ושונות. G(µ,σ ) < x > x i P(x i ) i0 תוחלת של x Var(A) < A > < A > שונות של A עבור משתנים ב ת מאותה התפלגות < Χ > < x i > Var(Χ) Var(x i ) g(x) תוחלת בגבול הרצף: p(x)g(x)dx! ( k)! עם חזרה בלי חזרה k0 + m r k m k k k k m k0 m עם חשיבות לסדר distrubtio pdf mea var cf biomial P( ) p ( p) p p( p) ϕ(t) ( p + pe it ) uiform f (x) b a ormal f (x) gamma f (x) x e λx λ Γ() a < x < b (a + b) (b e itb e ita a) it(b a) (x µ) πσ e σ µ σ ϕ(t) e x 0,λ > 0 exp f (x) λe λx λ poissio loretzia cauchy P() λ! e λ λ iµt ( σt) λ ϕ(t) λ λ it ϕ(t) λ λ λ it λ λ ϕ(t) e λ (eit ) f (x) b m ϕ(t) e mit b t π (x m) + b התפלגות אקס היא המקרה הפרטי של גמא עם. התנועה הבראונית מהלך אקראי (שיכור) של חלקיקים בנוזל. מש מסטר - מש רקורסיבית שמתארת את הסיכוי למציאת החלקיק באתר m בזמן (בדיד). מש מסטר בנוכחות כח חיצוני P + (m) p P (m ) + q P (m +) p- סיכוי ללכת ימינה, q ללכת שמאלה. א. אין ש מ- קיימת תלות בזמן. מהלך אקראי בהעדר כוחות חיצוניים (pq/) שמקורה בהתנגשות בין החלקיקים: יחס איינשטין הראשון: > s, D < τ D- קבוע דיפוזיה, s- גודל הצעד, - τ זמן ממוצע בין ההתנגשויות. t-, t זמן כולל עד למדידה. מס הצעדים הכולל - < τ > הסיכוי להיות באתר m בזמן : מהלך אקראי בהפעלת כח קבוע עם התנגשויות בין החלקיקים: יחס איינשטין השני: µ, µ D -מוביליות. k B T, < m > מיקום ממוצע בזמן p q בגבול הרצף a,xma גודל הצעד. נשים לב שלm ול אותה זוגיות. בש מ המהירות הממוצעת < v > µf < x > µft P (x) k התפלגות של x אחרי צעדים π!f e i k x dk ב. ש מ תרמי- מצב שאינו משתנה בזמן ואינו תלוי בתנאי ההתחלה. במצב זה מיקום החליקיקים מתפלג לפי התפלגות בולצמן:, P eq (x) e U (x) k B T e U (x) k B T dx -U(x) אנ פוטנציאלית. בכח קבוע U(x) Fx ואז. < x > eq k T B F m(q p). P eq ג. ש מ בדיד (קיר)- מעבר למרחב בדיד. (m) e P (m) m!! + m p! +m m q
יסודות התרמודינמיקה חוקי היסוד של התרמו ש מ תרמו - מצב בו הגדלים המקרוסקופיים (P,V,T) של המע המבודדת אינם תלויים בזמן. מע תרמו - מע מקרוסקופית מבודדת עם מס חלקיקים קבוע. מע מבודדת- אינה מחליפה אנרגיה וחום עם סביבתה. חוק ה 0 : מע בש מ תרמי עם מע שלישית יהיו בש מ זו עם זו. החוק ה : חוק שימור אנרגיה. du dq dw dq PdV החוק ה : מע בש מ מוגדרת ע י אנטרופיה כך שבמצב ש מ הגדלים התרמו ממקסמים את האנטרופיה בהסרת האילוצים 0 ΔS. החוק ה 3 : בטמפ שואפות ל 0 האנטרופיה שואפת לקבוע. גז אידאלי (ג א) גז בו אין אינטרקציה בין החלקיקים.. PV k B מש המצב T RT האנרגיה של חלקיק f-, f דרגות חופש. k BT גז אידאלי מונואטומי בתלת מימד. S(U,V, ) S 0 + k B l U c V אנטרופיה: c במונואטומי- 3/c, בדיאטומי 5/c וכו f ( r,! v)! e k B T התפלגות בולצמן-מקסוול H- המילטוניאן. עבור מקרים בהם ניתן להפריד אנ פוטנציאלית וקינטית נוכל לקבל התפלגויות נפרדות עבור המיקום והמהירות. (התפלגות המהירות בלבד- התפלגות מקסוול). בג א התפלגות הערך המוחלט של המהירות 3 m f (v) πk B T 4πv e mv k B T טמפ היא מדד סטט להתפלגות האנ של המע (במקרה הפרטי של מקסוול הטמפ היא מדד סטט להתפלגות מהירות החלקיקים). עקומות ותהליכים תרמו תהליך איזותרמי- טמפ קבועה 0 dt. תהליך איזוברי- לחץ קבוע 0 ΔP. תהליך איזוכורי- נפח קבוע 0 ΔV. תהליך איזואנתלפי - אנתלפיה קבועה 0 ΔH. תהליך אדיאבטי- ללא מעבר חום 0 Q. PV γ cost TV γ cost γ בג א > dq 0 du PdV C v קבלת מש האדיאבטה: dt נציב dt ממש המצב. תהליכים קווזי-סטטי (ק ז)- תהליך איטי כך שכל רכיב במע הוא בש מ, בתהליכים אלה. dq TdS תהליך הפיך: כל המע בש מ כל הזמן 0 ΔS (סימטרי בזמן) תהליך לא הפיך: סך המע לא בש מ > 0 ΔS (לא סימטרי בזמן) תהליכים לא קווזי-סטטים-. dq < TdS קיבול חום- כמות החום הדרושה כדי להעלות את הטמפ של מע במעלה אחת. dq dt V U T C dq dt dq P V + U H dt P בתהליכים קווזי-סטטים T. C p C v בג א + R γ הגדרה: המשוואות היסודיות ומש המצב גודל אקסטנסיבי - ערכו שווה לסכום ערכי המרכיבים. S(λU,λV,λ) λs(u,v, ) גודל אינטנסיבי - לא תלוי בגודל המע S(λU,λV,λ) S(U,V, ) כאשר מחברים מע לא זהות: הגדלים האקס במע החדשה הם סכום הערכים שלהם בתת המערכות והגדלים האינ בד כ יהיו ממוצע משוקלל בין ערכי התת מערכות. מש מצב - מתארת את הקשרים בין הגדלים התרמו של המע. המש היסודית של התרמו בהצגת האנרגיה ( U U(S,V, du T du du P µ ds V, dv S, d S,V S S(U,V, ) U V, T המש היסודית של התרמו בהצגת האנטרופיה הנחות על S: () רציפה וגזירה. () אקסטנסיבית. (3) עולה מונוטונית עם האנ. (4) מתאפסת בטמפ 0. V U, P T U, µ T U TS PV + µ S T U + P T V µ T מש אוילר d µ T Ud T + Vd P T מש גיבס-דוהם מש גיבס-דוהם המולרית dµ sdt + vdp קבלת המש היסודית כדי לקבל את המש היסודית נזדקק ל- משוואת לקבלת המש היסודית עד כדי קבוע. כדי לעבור לפונ ב- משתנים נעדיף לעבוד בהצגה המולרית ולהוסיף את התלות ב בסוף. מש יסודית אנטרופיה: מש גיבס דוהם-> אוילר. נביע את u,v ע י (P/T),(/T) ונציב במש גיבס-דוהם. I..(P/T),(/T) במפורש נגזור את dt,dp לקבלת המש במונחי.II µ.iii נפתור את המד ר לקבלת ונציב במש אוילר. T מש יסודית אנרגיה: מש גיבס-דוהם המולרית->אוילר. נביע את u,v ע י T,P ונציב במש גיבס-דוהם המולרית. I.. µ לקבלת הנגזרות החלקיות של dµ נציב ב.II. µ(s,v) נבצע אינטגרציה של הנגזרות החלקיות ונקבל את.III.IV נציב במש אוילר המתאימה. החוק הראשון והשני-> נגזרות חלקיות 3..(ds (או du Tds Pdv נכתוב.I.s,v ע י P,T מהמש הנתונות בשאלה נביע את.II s). (או u במפרוש את הנגזרות החלקיות של ונכתוב נציב בdu.III S). (או U נבצע אינטגרציה של הנגזרות החלקיות ונקבל את.IV U 3 k BT 5 k B 3 k B κ T P F F k B T 0 T l 0 RT 0 T 0 f ( v)! m k B Tπ 3 e m! k B T H 3 V V 0 α T 0 v f (! r ) e U (! r ) k B T
ש מ בין מערכות ds T T du + P P T T dv µ µ T T d 0 התנאים לש מ du (בניגוד. מחיצה דיאתרמית- מאפשרת העברת חום, 0. T T למחיצה אדיאבטית) ולכן בש מ. P P dv ולכן בש מ. מחיצה ניידת - 0. µ µ d ולכן בש מ 3. מחיצה מעבירת חלקיקים- 0 מכניקה סטט Ω(E) - מס המצבים המיקרוסקופיים של מע מקרוסקופית. בגבול הרצף Ω(E) היא צפיפות המצבים באנרגיה E כך ש Ω(E)dE יהיה מס המצבים. הנחת הסיכויים השווים- בהינתן מע בעלת אנ E, הסיכוי להימצא בכל. P(E i אחד מהמצבים הוא זהה כך ש ) Ω(E i ). S k B l P i k B האנטרופיה של בולצמן lω(e) E. אינדקס של מצבים מיקרו עם אנרגיה i- ספירת מצבים במע רציפה במרחב הפאזה p,r φ(e) כאשר גבולות האינטגרציה הן העקומה d 3 rd 3 p p(r) בE נתון, כלומר φ(e) - מס המצבים עד אנרגיה E (השטח הכלוא). (לדוג חלקיק חופשי, אוסילטור הרמוני וכו ).. Ω(E) φ E במציאת פונ צפיפות הסתברות f (x)dx f (x(ϕ)) x dϕ f (ϕ)dϕ ϕ הסיכוי להימצא בסביבת P(r 0 < r < r 0 + dr) Ω(E,r < r < r + dr) 0 0 Ω(E) דרך נוספת לחישוב P(r), P(r)dr dt P(r) A dt dr A v(r) את v(r) ניתן לחלץ מהאנ הנתונה ואת A נמצא ע י נירמול. הפוטנציאלים התרמודינמיים גדלים פיזיקאליים בעלי ממדים של אנרגיה שמשמשים לתיאור מערכות תרמודינמיות בתנאים שונים, בהתאם לזהות המשתנים הנשלטים של המערכת. הפונקציה אילוצים dw עבודה כללית ' dw dw, dw PdV + עבודה לא מכנית (חשמלית, כימית, מגנטית וכו ). בתהליך כלשהו ' dw du TdS + PdV (בהפיך יתקבל שוויון). דיפרנציאלים du Tds PdV + µd קשרי מקסוול f מתקבלים מחוק הנגזרות המעורבות, x y f y x כלומר כל קשר נוצר מגזירה רצופה של אחד הפוטנציאלים התרמו. H P T V P S P ריבוע הקסם עבודה מכנית תנאי לש מ מינ U מקס S מינ F מינ G מינ H du<0 ds>0 df<0 dg<0 dh<0 Q-W בקווזי-סטטי dudq-dw TdsdQ df-dw dg-dw dhdq-dw U V T P V S V G P T V P T דוגמא S,V U,V T,V T,P S,P U S FU-TS GU-TS+PV HU+PV df SdT PdV + µd dg SdT + VdP + µd dh TdS + VdP + µd F T V V T P r 0 h 0 3 צבר מיקרו-קנוני: מע בהן האנרגיה קבועה וההסתברות מחושבת ע י ספירת מצבים. צבר קנוני: מע המצומדות לאמבט חום. קומפרסביליות (דחיסות) איזותרמית ישתנה הנפח בהפעלת כח (לחץ). κ T מתאר בכמה V V P T V מקדם התפשטות תרמית בשינוי הטמפ בלחץ קבוע. מתאר בכמה משתנה הנפח הסבר מילולי: נסתכל על אחד הפוטנציאלים כצלע הבסיס ואז קשר מקסוול יתקבל ע י- (up left) (ear left) ear right (up right) (ear right) ear left α V הסימן נקבע לפי החץ (עם החץ- פלוס, נגד החץ- מינוס).
משימוש בחוקי מקסוול ובחירה של המשתנים התרמו נקבל את הזהויות: גז ואן דר-ואלס משוואת מצב P RT v b a v [a]- מייצג את מידת המשיכה בין החלקיקים. [b]- m3 מייצג את הנפח שתופס כל חלקיק. mol גז ואן דר ואלס אידאלי: T cr u + a v אנטרופיה מקשרים אילו ניתן להגיע למש המצב עבור גז אידאלי כאשר ומונאטומי כאשר 3/c. זהויות לגז ואן דר ואלס-אידאלי v b מש האדיאבטה. v 0 b T c 0 T R(V b)v (V b) V α(t,v ) κ RTV 3 a(v b) T (T,V ) RTV 3 a(v b) ומכאן ניתן לקבל בקלות את Cp(T,V) מנועים ומכונות חום אמבט חום- מאגר אנרגיה אינסופי בש מ עם טמפ T כך שאם נלקח ממנו חום Q האמבט לא משתנה. מכונה (חיובית)- מכשיר הפועל בצורה מחזוריות ומייצר עבודה. מכונת חום- מכשיר המצומד לאמבט חום ומפיק ממנו עבודה. מכונה מחזורית מכילה 3 מרכיבים: המע התרמודינמית, אמבטי חום בעלי,Th,Tc יציאה של עבודה. ΔU 0 W Q h Q l נצילות של מנוע- יחס בין העבודה לחום שהוכנס η W Q h Q l לא ניתן להמיר את כל החום לעבודה משום שבתהלך זה מתקבלת הסתירה - ΔS res ניסוח קלווין לחוק השני. הבאה לחוק השני: > 0 Q T res מנוע קרנו - מנוע הפיך ואוניברסלי מנוע קרנו משיג את הנצילות המקס האפשרית. 4 השלבים של המנוע: התפשטות איזותרמית->התשפטות אדיאבטית->התווכצות איזותרמית->התכווצות אדיאבטית. בג א η T l נצילות T h הפיתוח הויראלי של מש המצב: טור טיילור אינסופי של Z PV RT כאשר Z הוא גורם הדחיסה- עוזר למדוד את הסטייה של גז כלשהוא לעומת גז אידיאלי (Z). ניתן לפתח סביב: Z + B - כך ש ρ ρ (T )ρ + C ρ (T )ρ.... הצפיפות V Z + B P (T )P +. הלחץ: (T )P קשר בין המקדמים בשני הפיתוחים: B p (T ) B (T ) ρ RT C p (T ) C (T ) B ρ ρ (T ) (RT ) A D Q h T l T h Q h + Q l W T RT h l V B V A + RT l l V D V C B C W R( T h T c )l V B V A Tds dt + T P dv dt T V dp du ( PVα )dt + V ( κ T P αt )dp dh dt + V ( αt )dp df ( PVα + S)dT + PVκ T dp C p T V c P Tv α + α P T T P H P T V( Tα ) v s P Tvα c P a,b 0 P V T Tvα κ T c v v T T α T κ T v H G T G T G T T V H T κ T + Vα Pa m6 mol S S 0 + Rl (v b) u + a v du crdt + a v dv c cr P J m3 mol
אנטלפיה מע שנמצאת במגע עם אמבט לחץ (לחץ קבוע) תגיע לש מ באנטלפיה מינ. תהליך ג אול תומספון גליל מבודד ) 0 ΔQ ( ובו מחיצה קבועה במקום המאפשרת מעבר חלקיקים. ב- הצדדים מוצבות בוכנות ששומרות על לחץ קבוע (אמבטי, P i הפרש לחצים זה גורם לחליקיקים לעבור מהצד > P f לחץ) כך ש השמאלי (לחץ גבוה) לצד הימני (לחץ נמוך). E f + P f V f E i + P i V i H i H f חוק שימור האנטלפיה- עבור אנטלפיה קבועה ניתן לשרטט עקומה המגדירה מתי התהליך יהווה קירור או חימום של הגז. נק ההיפוך- נק המקס של העקומה במרחב P-T המפרידה בין איזור החימום (מימין) לקירור (משמאל). µ dt V(αT ) מקדם ג אול-תומפסון: שיפוע העקומה dp H עקום האינברסיה מתקבל ע י אוסף הנק בהן 0 µ, טמפ האינברסיה מתקבלת כאשר αt בג א T(P)cost מכניקה סטטיסטית: צבר מיקרוקנוני - מע מבודדת - T system צבר קנוני - מע מצומדת לאמבט חום cost תהליך אקראי ארגודי תהליך אקראי שבו כל פונקציה זמנית, הפועלת על מדגם ארוך מספיק, דומה לפונקציה המתאימה על הסטטיסטיקה של התהליך והשווין מתקיים בגבול עבור דגם אינסופי. חוק החלוקה השווה -(נכון רק במקרים קלאסיים) קובע כי האנרגיה הפנימית במערכת מתחלקת באופן שווה בין כל דרגות החופש הריבועיות. אנרגיה ממצועת לכל דרגת חופש : U. K B T דרגת חופש ריבועית היא דרגה שבה האנרגיה תלויה בגודל המשתנה בריבוע (לדוג אנ פוטנציאלית של קפיץ, אנרגיה קינטית של גוף התלויה במהירות שלו באחד הצירים). משפט הוויראליות: מערכת שתנועתה סופית (בזמן אינסופי המרחק בין הגופים סופי) ושהאנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית מסדר k של הקורדינאטות אזי:. T k U הנחת בולצמן: התסברות למצוא את המערכת במצב i, בעל אנרגיה E: ללא ניוון- פו החלוקה מגיעה מנרמול: U system cost Z P i e βe i (i) Z i e βe(i) β K B T עם ניוון - במידה ולכל אנרגיה Es מתאימים כמה סידורים ב ת שונים: P s (E s ) Ω (E s s )e βe s,z Ω s e βe s (i) Z i הנחת בולצמן בגבול הרצף: צפיפות ההסתברות שהמערכת תימצא במצב i בעל אנרגיה E: PDF(r, p) e βe(r,p) β Z K B T פונקציית החלוקה הנובעת מנרמול - Z כאשר r,p הם אנלוגיים למס קוונטיים. e βe d 3 rd 3 P 3 h 0 בהינתן מע מרובת חלקיקים ניתן לחשב את פונ החלוקה עבור חלקיק. Z Z בודד ולטעון שמתקיים : Z Z! בחלקיקים שאינם ברי הבחנה: כדי למצוא את טמפ הקיצון נפתח את הביטוי של עקומת האינרסיה בפיתוח טיילור סביב 0P, את האיבר המשמעותי הראשון נציב במש המצב ונקבל טמפ שהן Tmax וTmi. vp a עקומת האינברסיה של גז וד ו - b 3b a P עבור טמפ האינברסיה המקסימלית מתקבל: PvRT ומכאן ש: T max a br אלגוריתם פתרון בשאלות צבר: - מציאת E של המערכת והמצבים האפשריים בכל E - מציאת Z וממנה את שאר הגדלים. מידע הנגזר מפונקציית החלוקה: אנרגיה ממוצעת: פלקטואציות בE (שונות): אנטרופיה: לחץ: E E i P i i β l(z) Var(E) ΔE E E β (l Z) K BT C V F K B האנ החופשית של הלמהולץ: l(z) T µ F פוטנציאל כימי: T,V β (l(z)) חום סגולי (מדד הפלקטואציות של אנרגיית המערכת): E T β T β (l(z)) S F T V, E T + K β BT l(z) T β P F V T, l(z) β β V (l(z)) V,
חוק קירי - סוספטביליות מגנטית של חומר פאראמגנטי נמצאת ביחס הפוך לטמפרטורה:, C H כלומר χ כאשר χ היא H T T הסוספטביליות המגנטית. (נכון רק בטמפרטורה גבוהה או שדה מגנטי חלש) - מגנטיזציה. - H שדה מגנטי - T טמפ - C קבוע קירי יחודי לכל חומר. פרדוקס גיבס - סתירה לכאורה, הנוצרת כאשר האנטרופיה במערכת מחושבת ללא התייחסות לתמורות של סידורים שונים ברמות אנרגיה זהות. האנטרופיה בחישוב זה אינה אקסטנסיבית וזוהי סתירה לחוק השני. פתרון לסתירה: (מס מצבים עבור חלקיקים ניתנים לזיהוי) /! מס מצבים עבור חלקיקים זהים. - מס החלקיקים. מכאן מתקבל - עיקרון אי הוודאות:! ΔxΔp הגבול העליות בו נבחין בתופעות קלאסיות הוא, λ R - λ אורך הגל, R- מרחק בין חלקיקים בחומר. מקרי קצה: בטמפ נמוכות האיבר המשמעותי הוא מצב היסוד עם תיקונים. ω! K B תופעות קוונטיות יגיעו כאשר: T ω! K B תתקבל התנהגות קלאסית כאשר: T חום סגולי של מוצקים מודל איינשטיין הוא מודל מקורב של תנודות האטומים במצב מוצק המאפשר לחשב את הגדלים התרמו' הקשורים בתנודות אלו. המודל מבוסס על שתי הנחות:.כל אטום במוצק הוא מתנד הרמוני תלת ממדי עצמאי..כל האטומים מתנדנדים באותה התדירות. הבסיס להנחות אלו היה העובדה כי למוצק אופני תנודה עצמיים, שהן גלי הקול, או פונונים. ביטויים לאנרגיה של מערכות H! P המילטונייאן במכניקה קלאסית: m + E P! H! P אוס ה קלאסי: m + mω x אנ של גז יחסותי בו החלקיקים שונים: E "! p c - ω E תדירות עצמית אוס ה קוונטי : + ω!( ) חלקיק בשדה מגנטי:, Em mµh µ -מומנט מגנטי, H -שדה מגנטי חיצוני מגנטיזציה ממוצעת µ g(v x )dv x ( π RT ) e v x התפלגות בולצמן לגודל מהירות בחד מימד: m RT dv x ( πk B T ) v vg(v)dv v( π RT ) σ Var v v v rms v md 0 e mv x K T B dv x v x e RT dv 0 0 RT בתלת מימד: f 0 (v) 4π π RT v e v p v v rms RT 8RT π 3RT 3 v RT Z! Z! קבועים K B.38 0 3 JK R 8.3JK mol A 6.0 0 3 L 0 3 m 3 המרת גדלים Atm 0kP a
{ } mol e x 0 log( x) log(+ x) x x + x +!! + x 3 3! +... + x ( ) + x x x for x < 0 x x x3 3... x x + x3 3... (+ x) + x 8 x + 6 x3... (+ x) x + 3 8 x 5 6 x3 +... si x cos x sih x cosh x 0 0 ( ) x + ( +)! x x3 + x5! 4!... 0 0 ( ) x x x ()!! x + ( +)! x + x3 3! x x + ()!! + x4 4!... + x5 5! +... + x4 4! +... מול - מס אבוגדרו( A ) של חלקיקים. m[gr] -A, המסה האטומית. A A מתמטיקה שימושית קירוב סטרלינג נגזרת של פונ סתומה נגזרת שרשרת נגזרת הופכית זהות: S a סכום של סדרה הנדסית: q טריק שימושי - נגזרת לפי קבוע: כלל הגזירה של לייבניץ ().( f g) k f (k ) g ( k ) k0! Δf (x,y) f הדיפרנציאל השלם x Δx + f y Δy אינטגרלים זהויות טריגו טורי טיילור (+ x) a a x for all x < ad all complex a 0 יחידות {S} {K B } {C} J Pa * m3 K K J Pa * m3 {R gascost } K mol K mol {!} J * s Pa * m 3 * s {U} {W } {Q} {µ chimical pot } {F} {G} {H} J Pa * m 3 {P} Pa J m 3 0 5 atm {V} m 3 0 3 L {T } K 73+C {a vd v } J * m3 mol {b vd v } m3 mol {h 0 } {r * p} {α} K {K T } Pa pa * m6 mol!f (k) f (x)e ikx dx f (x) π!f (k)e ikx dx התמרת פורייה p p! π e 0 S a (q ) q ( l(!) l f dy x y dx f f y x y x f y z f x y p ( p p q ) + p ( e ax bx c 0 y x f z y z x z f x y f x z x p q ) p p ((p + q) ) p() p dx π (b 4ac) a e 4a x e ax dx! 0 0 y p q ) p p + p xsi(ax)dx si(ax) ax cos(ax) a x cos(ax)dx axsi(ax) + cos(ax) a x cos(ax)dx ( a x )si(ax) + ax cos(ax) a 3 x si(ax)dx ( a x )cos(ax) + axsi(ax) a 3 a + e x si(ax)dx e x ( si( ax) + acos(ax) ) + a x e ax a xe xa a + e xa a x e xa a dx x a x d acosh a ( dx cosh (x)) x x + du arsih( u a + u a ) + c a u du a ar coth( u a ) + c; u > a du a arsech( u u a u a ) du a ar csch( u u a + u a ) cos( α + β ) siα siβ cos α β cosα cosβ cos α β siα cosβ si α β si(α ± β) siα cosβ ± cosα siβ + si( α + β ) + cos( α + β ) cos(α ± β) cosα cosβ siα siβ