Θετικού Προσανατολισμού.

Θέματα Φυσικής Πανελλαδικών εξετάσεων 07 Θετικού Προσανατολισμού. Στις ερωτήσεις Α- Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων ισχύει ότι: α) η μηχανική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων παραμένει σταθερή β) η μηχανική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων αυξάνεται γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων παραμένει σταθερή δ) η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων παραμένει σταθερή. Μονάδες 5 (Σελίδα 56, σχολικού εγχειριδίου) A. Σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Παρατηρείται ότι για δύο διαφορετικές συχνότητες f και f του διεγέρτη με f<f το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίδιο. Για την ιδιοσυχνότητα f0 του συστήματος ισχύει: α) f0<f

β) f0>f γ) f<f0<f δ) f=f0. Μονάδες 5 (Σελίδα, σχολικού εγχειριδίου) Από το διάγραμμα πλάτους συχνότητας, παρατηρούμε ότι για τις δύο διαφορετικές τιμές συχνότητας f και f του διεγέρτη το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι ίση με Α. Οπότε όταν η συχνότητα γίνεται ίση με την ιδιοσυχνότητα fo το πλάτος γίνεται μέγιστο Αmax. (Συντονισμός). A3. Σε μία φλέβα ρέει ιδανικό ρευστό. Όταν σε μια περιοχή του υγρού οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν, τότε: α) η ταχύτητα ροής αυξάνεται και η πίεση ελαττώνεται β) η παροχή της φλέβας αυξάνεται και η πίεση αυξάνεται γ) η παροχή της φλέβας ελαττώνεται και η πίεση ελαττώνεται δ) η ταχύτητα ροής αυξάνεται και η πίεση αυξάνεται. Μονάδες 5 (Σελίδα 96-97, σχολικού εγχειριδίου)

A4. Διακρότημα δημιουργείται μετά από σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, όταν οι ταλαντώσεις έχουν α) ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες β) διαφορετικά πλάτη και ίσες συχνότητες γ) διαφορετικά πλάτη και διαφορετικές συχνότητες δ) ίσα πλάτη και συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Μονάδες 5 (Σελίδα 6, σχολικού εγχειριδίου) Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση της συνέχειας είναι άμεση συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ιδανικών ρευστών. Λ β) Η ροπή μιας δύναμη ς ως προς άξονα περιστροφής είναι μηδέν, όταν ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής. Σ γ) Σε μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας, ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός. Σ 3

δ) Η κίνηση ενός τροχού που κυλίεται είναι αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής και μιας στροφικής κίνησης. Σ ε) Σε ένα στάσιμο κύμα, που έχει δημιουργηθεί σε ένα ελαστικό μέσο, η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών είναι ίση με ένα μήκος κύματος λ. Λ Μονάδες 5 α) (Σελίδα 94, σχολικού εγχειριδίου) β) (Σελίδα 3, σχολικού εγχειριδίου) Όπως φαίνεται και στο σχήμα που ακολουθεί, αναλύοντας τη δύναμη F σε δύο συνιστώσες δεν προκαλεί ροπή η δύναμη που είναι παράλληλη στον άξονα περιστροφής του στερεού. γ) (Σελίδα 9, σχολικού εγχειριδίου) δ) (Σελίδα 0, σχολικού εγχειριδίου) ε) (Σελίδα 6, σχολικού εγχειριδίου) 4

Β. Ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k έχει το άνω άκρο του στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο και βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου και ενώ αυτό βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους, στερεώνεται μάζα m. Από τη θέση αυτή το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σώματος είναι ίση με : i. m g k ii. m g k iii. m g k α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 7 Σωστή η (iii) Στο σχήμα που ακολουθεί, το σώμα μάζας m στερεώνεται στο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, όταν αυτό βρίσκεται στη Θέση Φυσικού Μήκους του. Aπό τη θέση αυτή, το σώμα αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα, οπότε αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, από την πάνω ακραία θέση της ταλάντωσής του. Στη θέση ισορροπίας ισχύει: Σ F = 0 Fελ,ο = w k Δl = mg Δl = mg ( ) k 5

Επομένως, το πλάτος της ταλάντωσης είναι: Α = Δl = mg k ( 3 ) Όταν λοιπόν το σώμα θα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης, παρατηρούμε ότι η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ίση με: Δl max = A = mg k (4 ) Οπότε η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με: U ελ,max = kδl = max k mg k U ελ,max = m g k Β. Ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο με κατακόρυφα τοιχώματα περιέχει νερό μέχρι ύψους Η. Από τον πυθμένα του πλευρικού τοιχώματος του δοχείου εξέρχεται λεπτός κυλινδρικός σωλήνας σταθερής διατομής. Ο σωλήνας είναι αρχικά οριζόντιος και στη συνέχεια κάμπτεται, ώστε να γίνει κατακόρυφος προς τα πάνω. Το άνοιγμα του σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h=h/5 πάνω από το επίπεδο του πυθμένα του δοχείου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να θεωρήσετε ότι: 6

η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του νερού στο ανοιχτό δοχείο είναι αμελητέα. το νερό συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. η ατμοσφαιρική πίεση παραμένει σταθερή. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία ρέει το νερό στο σημείο Α του οριζόντιου σωλήνα είναι ίσο με : i. gh ii. 0 gh iii. gh α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 7 Σωστή η (iii) Στο σχήμα που ακολουθεί, εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Κ και Λ μιας ρευματικής γραμμής. pκ + ρuk + ρ gh = pλ + ρuλ + ρ gh ( ) όμως, pk=pλ=patm, uk=0, οπότε η σχέση () γίνεται: ( ) ρ gh = ρuλ + ρ gh gh = uλ + gh g H h = uλ ( ) ( ) uλ = g 5h h uλ = 4 gh uλ = gh ( ) Όμως επειδή ο οριζόντιος σωλήνας έχει την ίδια διατομή Α και η παροχή του είναι σταθερή θα ισχύει: 7

Π Α = Π Λ Α ua = Α uλ ua = uλ uα = gh Β3. Οι παρατηρητές Α και Β κινούνται στην ίδια οριζόντια κατεύθυνση με ταχύτητες μέτρου u=uηχ/5 και u=uηχ/0 αντίστοιχα. Στην πλάτη του παρατηρητή Α είναι στερεωμένη ηχητική πηγή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ηχητική πηγή εκπέμπει συνεχώς ήχο σταθερής συχνότητας, ο οποίος διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα. Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται τον ήχο της ηχητικής πηγής με συχνότητα ίση με i. 9 f s ii. f s iii. f 8 s α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6 Σωστή η (ii) Σύμφωνα με το σχήμα, η συχνότητα fb με την οποία ο ήχος γίνεται αντιληπτός στην παρατηρητή Β είναι: fb = uηχ + u uηχ + u fs = uηχ + uηχ + uηχ uηχ 5 5 0 f = 0 f f = f B uηχ S 6uηχ S S 8

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας σε γραμμικό ελαστικό μέσο ( χορδή) που ταυτίζεται με τον ημιάξονα Οx, προς τη θετική κατεύθυνση. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στο άκρο Ο (x=0) του ημιάξονα Οx του ελαστικού μέσου. Η πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης y=aημωt. Στοιχειώδης μάζα Δm=0-6kg του ελαστικού μέσου έχει ενέργεια ταλάντωσης ΕΤ=5π.0-7J. Το ελάχιστο χρονικό διάστημα για την απευθείας μετάβαση της στοιχειώδους μάζας Δm του ελαστικού μέσου από την κάτω ακραία θέση ταλάντωσής της μέχρι την επάνω ακραία θέση ταλάντωσής της είναι Δt=0,4s. Στο ίδιο χρονικό διάστημα το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση Δx=4cm. Γ. Να υπολογίσετε την περίοδο του κύματος (μονάδες ), το μήκος κύματος του κύματος (μονάδες ) και το πλάτος ταλάντωσης της στοιχειώδους μάζας Δm (μονάδες 3). Μονάδες 7 Γ. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος (μονάδες ) και να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=,4s (μονάδες 4 ). Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της στοιχειώδους μάζας Δm, όταν η απομάκρυνσή της από τη θέση ισορροπίας της είναι y=0,m. Μονάδες 6 Δύο σημεία Ρ και Σ της χορδής έχουν διαφορά φάσης φρ-φσ =3π/ rad. Γ4. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Σ, όταν η απομάκρυνση του σημείου Ρ από τη θέση ισορροπίας του είναι yρ=0,4m. Μονάδες 6 Όπου εμφανίζεται το π να μη γίνει αριθμητική αντικατάσταση. Γ. Το χρονικό διάστημα μετάβασης της στοιχειώδους μάζας από τη μια ακραία θέση της ταλάντωσης στην άλλη ισούται με Τ/, οπότε: Δt = T T = Δt T = 0,8s Οπότε και η συχνότητα του κύματος είναι: f= f =,5Hz T 9

Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης της στοιχειώδους μάζας είναι: ω = π Τ ω =,5π r / s Γνωρίζουμε ότι σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου Τ, το αρμονικό κύμα διαδίδεται σε απόσταση που είναι ίση με το μήκος λ του κύματος. Οπότε στο παραπάνω χρονικό διάστημα Δt=T/ θα έχει διαδοθεί σε απόσταση Δx=λ/ οπότε: λ = Δx λ = 8 0 m Από την ενέργεια Ε Τ ταλάντωσης της στοιχειώδους μάζας Δm υπολογίζουμε το πλάτος ταλάντωσης του κύματος: Ε Τ = DA A = E T D = E T Δm ω A = 0,4m Γ. Η εξίσωση του αρμονικού κύματος περιγράφεται από τη σχέση: y = Aηµπ ft x λ Αντικαθιστώντας τα μεγέθη f, A και λ, καταλήγουμε στη σχέση: y = 0,4ηµπ (,5t,5 x) ( S.I.) Για να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t =,4s, αντικαθιστούμε αυτή τη χρονική στιγμή στην εξίσωση του κύματος οπότε καταλήγουμε στη σχέση: y = 0,4ηµπ (,5,4,5 x) y = 0,4ηµπ (,75,5 x)( S.I.) Από τη σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε την τετμημένη του σημείου του άξονα που αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη χρονική στιγμή t, αρκεί να μηδενίσουμε τη φάση στην παραπάνω εξίσωση: ( ) π (,75,5 x) = 0,75,5 x = 0 x = 0,4m ϕ = π,75,5 x Όμως, το σημείο αυτό αντιστοιχεί με: Δx λ = Δt Δt,4 Δx = λ Δx = λ Δx =,75 λ T T 0,8 Οπότε σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο που ακολουθεί: 0

Γ3. Εφαρμόζοντας της Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Ταλάντωσης για τη στοιχειώδη μάζα, έχουμε: A ΕΤ = Κ +UT ΕΤ = Κ + Dy ΕΤ = Κ + D ΕΤ = Κ + ΕΤ 4 4 3 K = ΕΤ ΕΤ K = ΕΤ K = 3,75 π 0 7 J 4 4 Γ4. Έχουμε δύο τρόπους να απαντήσουμε: ο τρόπος: Επειδή γνωρίζουμε τη διαφορά φάσης των δύο σημείων Ρ και Σ, μπορούμε να υπολογίσουμε και την απόσταση Δx μεταξύ τους: Δ x Δϕ Δϕ 3 = Δx = λ Δx = λ λ π π 4 Η παραπάνω σχέση δεν χρειάζεται κάποια ιδιαίτερη απόδειξη αφού προκύπτει από τον ορισμό του μήκους κύματος. Δύο σημεία σε μια ευθεία διάδοσης του κύματος που απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ εμφανίζουν διαφορά φάσης π, οπότε όταν θα απέχουν απόσταση Δx θα εμφανίζουν διαφορά φάσης Δφ. Σχεδιάζουμε ένα στιγμιότυπο και αποτυπώνουμε σε αυτό τα δύο σημεία. Το Ρ βρίσκεται στην ακραία θέση y=+a της ταλάντωσης, οπότε το σημείο Σ θα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα αρνητικά!

Οπότε η ταχύτητά του είναι ίση με: u Σ = ωα u Σ = π m / s ο τρόπος: Αφού το σημείο Ρ βρίσκεται σε απομάκρυνση y=+a, ισχύει: y Ρ = Αηµϕ Ρ Α = Αηµϕ Ρ ηµϕ Ρ = ηµϕ Ρ = ηµ π ϕ Ρ = κπ + π () Όμως, ισχύει: ϕ Ρ ϕ Σ = 3π ϕ Σ =ϕ Ρ 3π ( ) Από (), (): ϕ Σ = κπ + π 3π ϕ = κπ π ( 3 ) Σ Οπότε από την εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης του σημείου Σ προκύπτει: y Σ = Αηµϕ Σ = Αηµ κπ π και από την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης: u Σ = ωασυνϕ Σ = ωασυν κπ π ( ) = Αηµ ( κπ π ) = Αηµ( π ) y Σ = 0 ( ) = ωασυν ( π ) u Σ = ωα u Σ = π m / s Μία ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΓ σταθερής διατομής έχει μάζα Μ=4Kg. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το άκρο της Α συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος ΓΔ με τον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ. Γύρω από ένα λεπτό ομογενή δίσκο κέντρου Κ, μάζας m=kg και ακτίνας R=0,m είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα λεπτό μη εκτατό αβαρές νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος έχει στερεωθεί στο άκρο Γ της ράβδου ΑΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί και το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει. Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου, καθώς αυτός κατέρχεται. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος ΑΓ στο άκρο της Γ από το νήμα ΓΔ, όταν ο δίσκος κατέρχεται.

Μονάδες 6 Τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας Κ του δίσκου έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h =0,3m το νήμα που συνδέει το δίσκο με τη ράβδο κόβεται. Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, μετά από χρονικό διάστημα Δt από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. Μονάδες 6 Δ4. Να υπολογίσετε το λόγο της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφικής κίνησης προς την κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης του δίσκου μετά από χρονικό διάστημα Δt =0,s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. Μονάδες 7 η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Ι CM =mr / ημφ=0,8 = συνφ=0,6 ο άξονας περιστροφής του δίσκου παραμένει συνεχώς οριζόντιος και κινείται σε κατακόρυφη τροχιά σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του. ο δίσκος δεν φτάνει στο έδαφος στη διάρκεια του φαινομένου. Δ. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο δίσκο κατά τη διάρκεια της κίνησής του, το βάρος του w και την τάση του νήματος Τ. Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου οπότε θα ισχύει ότι u cm =Rω και προκύπτει ότι α cm =Rα γων. Εφαρμόζουμε το Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής για τη μεταφορική και στροφική κίνησης του δίσκου: ΣF = ma cm mg T = ma cm () Στ = Ια γων Τ R = mr α γων Τ = mrα γων Τ = ma cm ( ) Από (), (): mg = 3 ma cm a cm = 0 3 m / s Μπορούμε να υπολογίσουμε και το μέτρο της τάσης του νήματος Τ: Τ = ma cm Τ = 0 3 Ν 3

Δ. Σχεδιάζουμε τις παρακάτω δυνάμεις στη ράβδο: Το βάρος της w ρ, την τάση Τ του νήματος (Τ=Τ =0/3Ν) και την τάση του νήματος Τ Ν, την οποία αναλύουμε σε δύο συνιστώσες Τ Ν,x και Τ N,y. Η δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση δεν προκαλεί ροπή ως προς το σημείο Α και δεν σχεδιάζεται. Επειδή η ράβδος 4

ισορροπεί: Στ ( Α ) = 0 w ρ l +T' l = T N,y l w ρ +T' = T N,y 0 + 0 3 = T N ηµϕ 80 3 = T N 0,8 Τ Ν = 00 3 Ν Δ3. Όταν ο δίσκος έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h =0,3m υπολογίζουμε το απαιτούμενο χρονικό διάστημα Δt=t : h = a cm Δt 0,3 = 0 3 t t = 0,3s και το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας τη χρονική στιγμή t : u cm = a cm t u cm = m / s Το μέτρο της στροφορμής του δίσκου είναι: L = Iω = mr ω = mr( Rω ) = mru L = cm 0,kgm / s Δ4. Αφού κόβεται το νήμα τη χρονική στιγμή t, παύει ο δίσκος να δέχεται την τάση του νήματος, οπότε δεν υπάρχει ροπή δύναμης, με αποτέλεσμα να κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του. Δηλαδή θα διατηρείται σταθερή η γωνιακή του ταχύτητα εκτελώντας ομαλή στροφική κίνηση, ενώ θα συνεχίσει να επιταχύνεται το κέντρο μάζας του με την επιτάχυνση της βαρύτητας! Οπότε μετά από Δt=0,s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα, το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του είναι: u' cm = u cm + gδt u' cm = +0 0, u' cm = 3m / s οπότε ο λόγος Κ στρ /Κ μετα ισούται με: Κ στρ Κ µετ = Ιω = mu' cm mr ω mu' cm = u cm u' = cm 4 9 Κ στρ Κ µετ = 9 Γρηγόρης Δρακόπουλος, Φυσικός email: greg.drakopoulos@yahoo.com 5