Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

¾ ý ý ý ý º ¾º½ ¾º½º½ ¾º½ ¹ ½º ô ÇÜÝ º ý ÇÜ Å = tan º ¾º½ ¹ ½µº ¾º½ ¹ ½º ý Å 1 (Ü 1 Ý 1 ) Å 2 (Ü 2 Ý 2 ) = Ý 2 Ý 1 Ü 2 Ü 1 ¾º½ ¹ ½µ ý º ý ÃÅ 1 Å 2 tan = (ÃÅ 2) (Å 1 Ã) = Ý 2 Ý 1 Ü 2 Ü 1 ½

¾ ý º ýº y M 2 M 1 K O M ¾º½ ¹ ½ º ý ¾º½ ¹ ¾ Å (Ü 0 Ý 0 ) ¾º½ ¹ ½ Ý Ý 0 = (Ü Ü 0 ) ¾º½ ¹ ¾µ ý ÇÜ = 0 ÇÜ + º º ¾º½ ¹ º ý ( 1 2 ) ÇÝ = 2 1 º ¾º½ ¹ º ô 1 2 1 2 º µ 1 = 2 µ 1 2 = 1º

z M N x O y ¾º½ ¹ ¾ ¾º½ ¹ ¾º º º º ¾º½º¾ ô Å º ¾º½ ¹ ¾µº ý Ö 1 Å Æ Ö ¾º½ ¹ ½ Ø µ = Ø º ý Ö = Ö 1 + Ö = Ö 1 + Ø ¾º½ ¹ µ

ý º ýº ý ô = ( 1 2 3 ) (Ü 1 Ý 1 Þ 1 )º (2 1 3) Ü Ü 1 1 = Ý Ý 1 2 = Þ Þ 1 ¾º½ ¹ µ 3 ý ø Ü Ü 1 1 = Ý Ý 1 2 Ü Ý 1 Ü 1 Ý 1 1 1 2 1 = 0 ¾º½ ¹ µ ¾º½º ô 1 2 Ö 1 = Ü 1 Ý 1 Þ 1 Ö 2 = Ü 2 Ý 2 Þ 2 Å Ö = Ü Ý Þ º ¾º½º¾ = Ö 2 Ö 1 Ö = Ö 1 + Ø(Ö 2 Ö 1 ) ¾º½ ¹ µ (2 1 6) Ö 1 = Ü 1 +Ý 1 +Þ 1 Ö 2 = Ü 2 +Ý 2 +Þ 2 ¾º½ ¹ ½ Ö(Ø) = Ü(Ø) +Ý(Ø) +Þ(Ø) = [ØÜ 2 +(1 Ø)Ü 1 ] +[ØÝ 2 +(1 Ø)Ý 1 ] +[ØÞ 2 +(1 Ø)Þ 1 ] Ø R ¾º½ ¹ µ ø Ø [¼ ½] (2 1 7) 1 2 º ¾º½ ¹ µº

¾º½ ¹ ¹ ý ô 1 (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) 2 (Ü 2 Ý 2 Þ 2 )º (2 1 7) ý Ü Ü 1 Ü 2 Ü 1 = Ý Ý 1 Ý 2 Ý 1 = Þ Þ 1 Þ 2 Þ 1 ¾º½ ¹ µ ø Ü Ü 1 Ü 2 Ü 1 = Ý Ý 1 Ý 2 Ý 1 Ü Ý 1 Ü 1 Ý 1 1 Ü 2 Ý 2 1 = 0 ¾º½ ¹ µ ¾º½º ý ¾º½ ¹ º ýü+þý + = 0 ¾º½ ¹ ½¼µ

ý º ýº º ýü+þý + = 0 µ ý ý 0 þ = 0 (2 1 10) Ü = ý ( ý Ý) Çݺ ý = 0 Çݺ µ ý ý = 0 þ 0 (2 1 10) Ý = þ (Ü þ) Çܺ ý = 0 Çܺ µ ý = 0 (2 1 10) º Úµ ý ý þ 0 (2 1 10) Ü ý Ý þ = 1 Ü + Ý = 1 ¾º½ ¹ ½½µ = ý = þ (2 1 10)º ¾º½ ¹ º ô 1 2 3 1 Ü+ 1 Ý + 1 = 0 2 Ü+ 2 Ý + 2 = 0 3 Ü+ 3 Ý + 3 = 0 1 1 1 2 2 2 = 0 ¾º½ ¹ ½¾µ 3 3 3

y P 0 P 1 O ¾º½ ¹ ¾º½º ý ô Ü+ Ý+ = 0 È 0 (Ü 0 Ý 0 )º È 0 º ¾º½ ¹ µ (È 0 ) = Ü 0 + Ý 0 + 2 + 2 ¾º½ ¹ ½ µ Å ÌÀ Å ÌÁ Ë ÓÛ Ö Ô Ä Ò ßßÜ ½ Ý ½Ð ßÜ ¾ Ý ¾ÐÐ ¾º¾ ¾º¾º½ ô (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 ) º ¾º¾ ¹ ½µº

ý º ýº z M M 1 O y x ¾º¾ ¹ ½ ½ Ù Ú Å 1 2 = Ù +Ú Ö Ö 1 = Ù +Úº Ö = Ö 1 + Ù +Ú ¾º¾ ¹ ½µ ý (2 2 1) Ü +Ý +Þ = (Ü 1 + Ù 1 + Ú 1 ) +(Ý 1 + Ù 2 + Ú 2 ) +(Þ 1 + Ù 3 + Ú 3 ) Ü = Ü 1 + Ù 1 + Ú 1 Ý = Ý 1 + Ù 2 + Ú 2 Þ = Þ 1 + Ù 3 + Ú 3 ½ þ ýº ¾ º ½º

Ü Ý Þ 1 Ü Ü 1 Ý Ý 1 Þ Þ 1 Ü 1 Ý 1 Þ 1 1 1 2 3 = 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 = 0 ¾º¾ ¹ ¾µ ¾º¾º¾ ô 1 (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) 2 (Ü 2 Ý 2 Þ 2 ) = 1 2 3 º ¾º¾º½ = 1 2 = Ö 2 Ö 1 Ö 1 Ö 2 1 2 º Ö = Ö 1 + Ù(Ö 2 Ö 1 )+Ú ¾º¾ ¹ µ ý ø (2 2 3) Å(Ü Ý Þ) Ü Ý = Ü 1 + Ù(Ü 2 Ü 1 )+Ú 1 = Ý 1 + Ù(Ý 2 Ý 1 )+Ú 2 Þ = Þ 1 + Ù(Þ 2 Þ 1 )+Ú 3 Ü Ü 1 Ý Ý 1 Þ Þ 1 Ü 2 Ü 1 Ý 2 Ý 1 Þ 2 Þ 1 1 2 3 = Ü Ý Þ 1 Ü 1 Ý 1 Þ 1 1 Ü 2 Ý 2 Þ 2 1 1 2 3 1 = 0 ¾º¾ ¹ µ

½¼ ý º ýº ¾º¾º ô 1 (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) 2 (Ü 2 Ý 2 Þ 2 ) 3 (Ü 3 Ý 3 Þ 3 )º ¾º¾º½ = 1 2 = Ö 2 Ö 1 = 1 3 = Ö 3 Ö 1 Ö 1 Ö 2 Ö 3 1 2 3 º Ö = Ö 1 + Ù(Ö 2 Ö 1 )+Ú(Ö 3 Ö 1 ) ¾º¾ ¹ µ ý ø Å Ü = Ü 1 + Ù(Ü 2 Ü 1 )+Ú(Ü 3 Ü 1 ) Ý = Ý 1 + Ù(Ý 2 Ý 1 )+Ú(Ý 3 Ý 1 ) Þ = Þ 1 + Ù(Þ 2 Þ 1 )+Ú(Þ 3 Þ 1 ) Ü Ü 1 Ý Ý 1 Þ Þ 1 Ü 2 Ü 1 Ý 2 Ý 1 Þ 2 Þ 1 = Ü 3 Ü 1 Ý 3 Ý 1 Þ 3 Þ 1 Ü Ý Þ 1 Ü 1 Ý 1 Þ 1 1 Ü 2 Ý 2 Þ 2 1 Ü 3 Ý 3 Þ 3 1 = 0 ¾º¾ ¹ µ ¾º¾º ý ¾º¾ ¹ ½º ýü+þý + Þ + = 0 ¾º¾ ¹ µ º

½½ ý ½º µ 3 5 µ 4 = (1 3) µ Ü Ý = 7 Ü+2Ý = 5 2Ü 5Ý +3 = 0 Úµ (1 1) 3 Ü 7Ý +5 = 0º ¾º 2Ü Ý = 4 3Ü+Ý = 1º º ô (1 2) (3 4) ( 2 3)º µ µ º º Ü+Ý+1 = 0 2Ü Ý + 1 = 0 Ü Ý +5 = 0º º (1 1) 3Ü 5Ý+2 = 0 2Ü+3Þ+1 = 0º º ô 2Ü+3Ý+4Þ 6 = 0 4Ü+6Ý+8Þ+24 = 0º µ µ º ¾º ¾º º½ ¾º ¹ ½º

½¾ ý º ýº Ç º ʺ ô Ç ÇÜݺ Å(Ü Ý) Ü 2 + Ý 2 = Ê 2 ¾º ¹ ½µ ( ) (Ü ) 2 +(Ý ) 2 = Ê 2 ¾º ¹ ¾µ (2 3 1) (2 3 2) Ü 2 + Ý 2 + ýü+þý + = 0 ¾º ¹ µ ( ý 2 þ 2) Ê = ( ý 2 + þ 2 4 ) 1 2 º ý (2 3 3) º (2 3 3) (2 3 4) ( Ü+ ý 2 ) 2 + ( Ý + þ 2 ) 2 = ý2 + þ 2 4Γ ¾º ¹ µ 4 ¹ ý 2 +þ 2 4 0 ( ý 2 þ 2) Ê = ý 2 + þ 2 4Γ 2º µº ¹ ý ý 2 +þ 2 4 0 (2 3 3)º º ¾º ¹ ½º Ü 2 + Ý 2 + ýü + þý + = 0 ý 2 + þ 2 4 0º (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ü 0 )(Ü )+(Ý Ý 0 )(Ý ) = Ê 2 ¾º ¹ µ

½ y M t K O x ¾º ¹ ½ ô Ç º Å(Ü Ý) Ö = Ü +Ý ¾º ¹ µ Ü = Ü(Ø) = Êcos Ø Ý = Ý(Ø) = Êsin Ø Ø [0 2 ) ¾º ¹ µ ( ) º ¾º ¹ ½µ Ø º Ü = Ü(Ø) = + Êcos Ø Ý = Ý(Ø) = + Êsin Ø Ø [0 2 ) ¾º ¹ µ ý ½º

½ ý º ýº µ Ü 2 + Ý 2 +4Ü+4Ý +9 = 0 µ Ü 2 + Ý 2 6Ü+10Ý = 0º ¾º µ (1 2) Ü 2Ý+5 = 0 µ (3 2) (1 2) ( 1 2) µ (3 1) ( 1 3) 3Ü 2Ý 2 = 0 Úµ (1 2) (2 3) (4 1)º ¾º º¾ ô ¾º ¹ ¾º ÐÐ Ô µ Å 1 2 ÓÙ µ º ¾º ¹ ¾µº ¾º ¹ ¾ 1 Å + 2 Å = 2 º ÇÜÝ Ç 1 2 Ü 1 2 Ý 1 2 Ǻ ô 1 2 = 2º Å(Ü Ý) (+Ü) 2 + Ý 2 + ( Ü) 2 + Ý 2 = 2 Ü 2 2 + Ý2 2 = 1 2 = 2 2 ¾º ¹ µ

½ ¾º ¹ ¾ µ (2 3 9) (Ü Ý) ( Ü Ý) (Ü Ý) ( Ü Ý) ÇÜ ÇÝ Çº µ ý (2 3 9) Ý 2 2 = 1 Ü 2 2 0 Ü º ø Ý º Ü = ± Ý = ± º þ ¹ º ( 0) ( 0) º Ñ ÓÖ Ü µ 2 º ÇÜ Ç º ÇÝ (0 ) (0 ) º Ñ ÒÓÖ Ü µ º Ç = Ç =

½ ý º ýº º ¹ ÒØÖ Øݵ = 1º ý (Ü 0 Ý 0 ) ÜÜ 0 2 + ÝÝ 0 2 = 1 ¾º ¹ ½¼µ ø (2 3 6) Ü = Ü(Ø) = cos Ø Ý = Ý(Ø) = sin Ø Ø [0 2 ) ¾º ¹ ½½µ Ø º Å ÌÀ Å ÌÁ Ë ÓÛ Ö Ô ÖÐ ßÜ ¼ Ý ¼Ð Ö (Ü 0 Ý 0 ) Ö Ë ÓÛ Ö Ô ÖÐ ßÜ ¼ Ý ¼Ð ß Ð º ý ½º µ = 3 5 µ 8 = 11 12º

½ ¾º (2 1) Ü 2 + 9Ý 2 = 9º º º ô Ü 2 2 + Ý 2 2 = 1º Ü = ± 2 Ö ØÖ µ º µ µ º ¾º º ¾º ¹ º ÝÔ Ö ÓÐ µ Å 1 2 º ¾º ¹ µº ô 2 Å 1 Å = 2 º ø ÇÜÝ Ç 1 2 Ü Å(Ü Ý) (+Ü) 2 + Ý 2 (Ü ) 2 + Ý 2 = 2 Ü 2 2 Ý2 2 = 1 2 = 2 2 ¾º ¹ ½¾µ µ (2 3 12) ( Ü Ý) (Ü Ý) ( Ü Ý) ÓÒ¹ ÖÙ Òص ÇÜ ÇÝ º

½ ý º ýº y M E A O A E x ¾º ¹ µ ý (2 3 12) Ý 2 2 = Ü 2 2 1 0 Ü º Ü = Ü = º Ü = Ü = º þ ¹ ÇÜ Ñ ÓÖ Ü µº º ( ) º ÇÝ Ñ ÒÓÖ Ü µ Ç º ý ÇÝ (0 ) (0 ) ( ) º ¹ = 1º

½ ý (Ü 0 Ý 0 ) ÜÜ 0 2 ÝÝ 0 2 = 1 ¾º ¹ ½ µ ô ÇÜ Ü 2 2 Ý2 2 = 1 ¾º ¹ ½ µ ý (2 3 14) ÇÝ Ü 2 2 Ý2 2 = 1 ¾º ¹ ½ µ (2 3 14) (2 3 15) ÓÒ Ù Ø ÝÔ Ö ÓÐ µº ý ý (2 3 12) Ý = ± Ü 1 2 Ü 2 Ü Ý Ý Ü Ý = Ü Ý = Ü ¾º ¹ ½ µ (2 3 16) Ü ± º ÝÑÔØÓØ µ º

¾¼ ý º ýº ¾º ¹ º ý Ü 2 Ý 2 = 2 ¾º ¹ ½ µ º ø Ü = Ü(Ø) = cosh Ø Ý = Ý(Ø) = sinh Ø ¾º ¹ ½ µ Ø R º ý ½º µ = 5 4 µ Ý = ±4Ü 3 20º ¾º = 1 5º º ô 9Ü 2 4Ý 2 = 36º 9Ü+2Ý 24 = 0º º º º ô Ü 2 2 Ý 2 2 = 1º Ü = ± 2 º

¾½ B y M C O F A x ¾º ¹ µ µ µ º ¾º º ¾º ¹ º Ô Ö ÓÐ µ ÓÙ µ Ö ¹ ØÖ Üµ º ¾º ¹ µº ÇÜÝ Ç Ü º

¾¾ ý º ýº Å(Ü Ý) Å = Å Ô = Ü+ 1 Ô = Å ½µ 2 ý ( (Å ) 2 = Ý 2 + Ü 1 ) 2 2 Ô ¾µ ý ¾µ ½µ Ý 2 = 2ÔÜ ¾º ¹ ½ µ µ (2 3 19) (Ü Ý) (Ü Ý) Çܺ µ ý (2 3 19) Ý 2 = 2ÔÜ 0 Ü 0º Çݺ þ ÇÜ Ç Ô º ý (Ü 0 Ý 0 ) ÝÝ 0 = Ô(Ü+Ü 0 ) ¾º ¹ ¾¼µ ø Ü(Ø) = Ø Ý 2 (Ø) = 2 Ô Ø ¾º ¹ ¾½µ Ø R º

¾ ý ½º µ Ý +3 = 0 µ (5 7) Ý (0 0)º ¾º Ý 2 = 2Ü ( 4 1)º º ô Ý 2 = 2Ôܺ Ý = Ü+ º ¾º º ÓÒ Ø ÓÒ µ à º ¾º ¹ µº µ º ¾º ¹ µ º ¾º ¹ µ µ º ¾º ¹ µ µ º ¾º ¹ µº Ç Çº ¾º ¹ ¾º Ü 2 + Ý 2 + Ü+ Ý + = 0 + 0 ¾º ¹ ¾¾µ

¾ ý º ýº ¾º ¹

¾ º ý º ¾ (2 3 9) (2 3 12) (2 3 19) º ½º 0º (2 3 22) (Ü 2 + ) Ü + (Ý 2 + ) Ý + = 0 ( 1 Ü+ ) 2 + 1 ( Ý + ) 2 2 2 = 2 + 2 4 4 2 2 = ¾º ¹ ¾ µ º ½¹Áº ý 0 (2 3 23) ( 1 Ü+ ) 2 + 1 ( Ý + 2 = 1 ¾º ¹ ¾ µ 2 2 ) ½¹Á º ý 0 (2 3 24) ½¹Á º º (2 3 24) (2 3 22) = 0 º ½¹Á º º ý (2 3 24) º ½¹Á º ý 0 (2 3 24) (2 3 22) º ½¹ÁÁº ý = 0 (2 3 24) ( Ü+ 2 ) 2 ( + Ý + 2 ) 2 = 0 ¾º ¹ ¾ µ ¾ º

¾ ý º ýº ½¹ÁÁ º ý 0 (2 3 25) Ü = 2 Ý = 2 ½¹ÁÁ º ý 0 (2 3 25) Ü Ý (2 3 25) º ¾º ý = 0º ¾¹ º ý = 0 0 (2 3 22) ( Ý + ) 2 = Ü + 2 2 4 ¾¹Á º ý 0 (2 3 26) ( Ý + ) 2 = ( ) Ü+ 2 4 2 4 ¾º ¹ ¾ µ ¾º ¹ ¾ µ º ¾¹Á º ý = 0 (2 3 27) ( Ý + ) 2 = 2 4 2 4 ¾º ¹ ¾ µ ¾¹Á º º 2 4 0 (2 3 28) (2 3 22) ÇÜ ¾¹Á º º 2 4 = 0 (2 3 28) ÇÜ ¾¹Á º º 2 4 0 (2 3 28) º ¾¹ÁÁº ý 0 = 0 (2 3 22) ( Ü+ ) 2 = Ý + 2 2 4 ø (2 3 29) ¾º ¹ ¾ µ

¾ 0 = 0 ÇÝ º Ü 2 + ÜÝ + Ý 2 + Ü+ Ý + à = 0 ¾º ¹ ¼µ (2 3 30) º ý (2 3 30) º (2 3 30)º ý = 2 4 º µ 0 0 º (2 3 30) (1 1 3) ½ º (2 3 30) ( Ü ) 2 + Ü Ý + ( Ý ) 2 + = 0 tan = º ¾º ¹ ½µ ¾º ¹ ¾µ µ = 0 º (2 3 32)º ¾º ¹ ½ ÜÝ 2Ý 4Ü = 0 ½µ

¾ ý º ýº º 2 4 = 1 0 º ½µ (1 1 3) ½ Ü Ý +( 4)Ü +( 2)Ý + 2 4 = 0 4 = 0 2 = 0º = 4 = 2 (2 4)º ½µ Ü Ý = 8 ¾µ Ç Ü Ç Ý º ý (2 3 32) tan2 + = 4º (1 1 5) ½ Ü = 1 2 ( Ü Ý ) Ý = 1 2 ( Ü + Ý ) µ Ç Ü Ý º ¾µ µ ( Ü ) 2 ( Ý ) 2 = 16 º ¾º ¹ ¾ ø Ü 2 +2ÜÝ + Ý 2 +4Ü 10Ý +5 = 0 µ º 2 4 = 0 º (2 3 32) tan2 + = 4º ø (1 1 5) ½ Ü = 1 2 ( Ü Ý ) Ý = 1 2 ( Ü + Ý ) ÇÜ Ý º µ ( Ü 3 ) 2 2 = 7 ( Ý 11 ) 2 2 28 2 ( 3 2 2 11 28 2) ÇÝ º

¾ ý ½º µ Ý 2 +3Ü 4Ý +9 = 0 µ Ý 2 +4ÜÝ +4Ü 2 +2Ý +4Ü 36 = 0 µ 8Ý 2 +4ÜÝ +5Ü 2 +16Ý +4Ü 28 = 0 Úµ 2Ü 2 +3ÜÝ 2Ü 2 +5Ü+10Ý = 0º ¾º 4Ü 2 4ÜÝ+ Ý 2 +6Ü+1 = 0º Ý = Ü º ý º ýº º ¹Ñ Ð Ö Ø Ó Ø Ø º Ö ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØ Ø º Ö» Ö Ø Ó»

þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁË Æ ß ¼ß ½ß ß º ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁË Æ ¼ß ½ß ß» ß ¼ß ½ß ß º º ¾¼¼ µ ÁË Æ ¼ß ½ß ¼ ß º ¾¼¼ µ ÁË Æ ¼ß ß ß º ÒÒ Ý Êº ĺ ÓÖ ÒÓ º ʺ ¾¼¼ µ ý ÁË Æ ß ¼ß ¾ ß½ ß½º ÓÒ º Ë Ùѳ ÇÙØÐ Ò ß Å Ø Ñ Ø ¾¼¼ µ ÁË Æ ß ¼ß ½ß¼¼¼ß º Ä Ô ÙØÞ Ëº Ä Ô ÓÒ ÅºÄº ÁË Æ ¼ß ¼ ß¼ ß º ËÔ Ð Åº ÏÖ Êº ¾¼¼ µ ý ÁË Æ ¼ß ½ ß¼ ß º ËØÖ Ò º ¾¼¼ µ ÁË Æ ¼ß ¼ß ¼ß º ½

¾ ý º ýº ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»Å Ò È ØØÔ»» ÕÛÓÖÐ º ÔÑÒ ØºÖÙ» Ò Üº ØÑ ØØÔ»»Ñ Ø ÛÓÖÐ ºÛÓÐ Ö ÑºÓÑ» ØØÔ»» ÓѺ ÔÖ Ò Öº»

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ. Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2