هندسه تحلیلی و جبر خطی ( خط و صفحه )

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) z معادالت متقارن ) : خط ( معادله برداری - معادله پارامتری P فرض کنید e معادلهی خطی باشد که از نقطه ی P به مازات بردار ( c L ) a b رسم شده باشد اگر ( z P ) x y l L نقطهی دلخاهی اقع بر خط l باشد باید مازی L باشد y یعنی : L x ) x - x y - y z- z ( = t ) a b c ( معادله برداری : معادله پارامتری : ( معادالت مختصات نقاط اقع بر خط ) e x = a t y = b t z = c t + + + x y z معادالت متقارن : دقت می کنیم که یک نقطه ثابت است L را بردار هادی خط مینامند. ) بگذرد با بردار ( - ) = L مثال : معادالت پارامتری متقارن خطی را بنیسید که از نقطه ( - مازی باشد. P نکته : هر مضربی از L نیز بردار هادی است لی هر مضرب نمیتاند نقطه ثابت باشد. نکته : کسینسهای هادی هر خط مختصات بردار یکه آن خط هستند. مثال : معادلهی خطی را بنیسید که از نقطه ( ) A بگذرد با د محر ox oy به ترتیب زایای بسازد.

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) : B = ) x y z ( A = ) x y z معادله خط گذرا از نقاط ( AB در نظر میگیریم بنابراین معادالت پارامتری متقارن خط را میتان به صرت مقابل A B = ) x x y y z z ( بردار هادی خط مرد نظر را بردار B نشت : A معادالت متقارن : l خط : x = )x - y = )y - z = )z - x y z ( t ( t ( t + + + x y z معادالت پارامتری : B ) - ( مثال : معادالت خطی را بنیسید که از نقاط ( ) A میگذرد. ( یکی از نقاط A یا B را به دلخاه نقطهی ثابت میگیریم ) تست : از نقاط ری خط گذرا از نقطهی ( ) A مازی با بردار ( ) کدامیک از مبداء به فاصلهی است ) ( ) ( ) ( ) (

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) BAC R C ) B ) - ( مثال : نقاط ( ) A ( - در فضای رئس مثلث هستند معادالت خطی را بنیسید که از نقطهی C به مازات AM رسم میشد. نکته : اگر خطی بر د محر از سه محر عمد باشد ( عمد بر صفحه محرها ) معادالت متقارن آن : x = y = x y عمد بر صفحهی ( хy یعنی y x ثابت هستند ) y = z = y z عمد بر صفحهی ( yz یعنی z y ثابت هستند ) x = z = x z عمد بر محر ( xz یعنی z x ثابت هستند ) تست : کدامیک از نقاط زیر ری خط گذرا از نقاط ( ) B به فاصله از نقطه A ) ( ( ) C میباشد ) ( ) ( ) ( ) (

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) ضعیت نسبی د خط در فضا : )( اگر هادیهای د خط مازی باشند در اینصرت خطط مازیند. ( در حالت خاص اگر یک نقطه مشترک داشته باشند د خط منطبقند. ) )( اگر د خط فقط دارای یک نقطه مشترک باشند متقاطع خاهند بد. )( اگر د خط نه مازی باشند نه متقاطع متنافر خاهند بد. نکته : حالت عمد بدن هم به هنگام تقاطع هم به هنگام تنافر امکانپذیر است. نکته : برای یافتن نقطه تقاطع د خط باید معادالت پارامتری یکی از آنها را در دیگری قرار دهیم دقت میکنیم که اگر پس از قرار دادن معادله پارامتری یک خط درن معادله متقارن خط دیگر یک مقدار مشترک برای t بدست آید نقطه تقاطع جد دارد لی اگر t متفات باشد نقطه تقاطع جد ندارد. مثال : اضاع نسبی خطط زیر را بررسی کنید. ( در صرت متقاطع بدن مختصات نقطه تقاطع را بیابید. ) )( )( نکته : برای محاسبه بردار هادی باید ضریب متغیرهای صرت یک باشد. مثال : بردار هادی نقطه ثابت خط مقابل را بدست آرید. =

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) نکته : شرط الزم کافی برای آنکه د خط مازی باشند آن است که : l مازی باشند b a + کدام است l تست : اگر د خط b )( )( ) ( بر هم نکته : شرط الزم کافی برای اینکه د خط عمد باشند این است که : ' a a )ضرب درنی( + b b ' + c c ' = بر هم عمد باشند m کدام است تست : اگر د خط : )( )( ) ( بر هم منطبق باشند + b + c a کدام است : تست : اگر د خط )( )( )(

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) z P D فاصله یک نقطه از یک خط : l فرض کنید l خطی باشد که با بردار L مازی است P θ را نقطهای میگیریم که خارج e قرار دارد ثابت میکنیم که L P فاصلهی P از خط l عبارت است از : y که P نقطهی دلخاهی اقع بر خط است. x ) ( ) ( بیابید. p ) مثال : فاصلهی نقطهی ( - را از خط y - = z تست : فاصله مبداء مختصات از خط به معادالت x + = z کدام است ) ( ) ( )( ) ( 6

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) x = y = z ) تست : فاصلهی نقطهی ( از خط کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' D کدام است ( تست : کتاهترین فاصله بین د خط به معادالت ( = y = x D : ) )( )( )( : l داریم : خطهای خاص : اگر معادله خط در حالت کلی به صرت یا )خط گذرا از مبداء ) ( ) ) ( l ox a = l : ) ( l oy b = l : 7

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) ) ( l oz c = l : ) ( l ox b c = l : ) ( l oy a c = l : ) ( l oz a b = l : ) 8( l = ox b c = l : ) 9( l = oy a c = l : ) ( l = oz a b = l : مثال : 8

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) Γ نکته : صفحهای که از نقطه داده شده بگذرد بر خط مفرضی عمد باشد یکتاست. N p p معادله صفحه : P ) x ) ( y P P z فرض کنید بخاهیم معادله صفحهای را بنیسیم که بر بردار ( c N = ) a b عمد باشد از نقطهی ( N به فرض ( z P ) x y نقطهی دلخاهی از صفحهی مرد نظر باشد در این صرت بگذرد P P = ) x - x y - y z- z ( ) ( P P. N = a ) x - x ( + b ) y y ( + c ) z z معادله صفحه: ( ax + by + cz = ax + by + cz ax + by + cz = معادله صفحه: d d P N نکته : را بردار نرمال صفحه را نقطه ثابت صفحه گیند. N = ) P = ) تست : معادلهی صفحهای که از نقطهی ) - بگذرد بر راستای ) - عمد باشد کدام است x - y = - x - y = )( x - y = )( x - y = - )( x + = y - = z + تست : صفحهی گذرانده از خط به معادلهی نقطهی به مختصات ) - ) از کدام نقطه میگذرد ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( تست : صفحه عمدمنصف پاره خط اصل بین د نقطه ) ) محر x ها را با کدام طل قطع میکند 9

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) / )( )( / )( نکته : یکی از رشهای بدست آردن نرمال صفحه ضرب خارجی د بردار غیر مازی در صفحه است. = P ) - ( P = ) - ( P تست : معادلهی صفحهی گذرا از سه نقطهی ) ) = کدام است x + y - z = )( x y - z = )( x + y + z = x y + z = )( C = ) γ( B = ) β ( A = ) α ( نکته : معادله صفحه گذرا از نقاط به صرت مقابل است : α β γ z C AB = ) -α β ( AC = ) -α γ( اثبات : y N = AB AC = ) β γ α γ α β ( P ) α ( A B β γ x + α γ y + α β z = α β γ γ

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) х z تست : چند نقطه با مختصات صحیح نامنفی بر ری شکل زیر جد دارد )( )( )( y х ضعیت نسبی خط صفحه : )( تازی : اگر هادی خط بر نرمال صفحه عمد باشد خط صفحه مازیند در حالت خاص اگر یک نقطه مشترک نیز داشته باشند خط بر صفحه منطبق است. )( تقاطع : اگر هادی خط بر نرمال صفحه عمد نباشد خط صفحه متقاطعند. که برای بدست آردن نقطه تقاطع معادالت پارامتری خط را در صفحه قرار میدهیم. دقت میکنیم که در حالت خاصی که هادی خط با نرمال صفحه مازی باشد خط بر صفحه عمد است. مثال : خط صفحه مثال : خط صفحه

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) تست : خط به معادله х = y - = z با صفحهای به معادلهی = z х - y + کدام ضع را دارد )( عمد )( خط در صفحه قرار دارد مازی مایل )( = х مازی بده محر عرضها را در نقطه y = z х تست : معادلهی صفحهای که با د خط = y = z ای به عرض قطع کند کدام است x - y + z = )( x + y + z = - )( - x - y + z = - -x y + z = )( х = y + z = A = ) تست : از نقطهی ( - صفحهای بر خط D به معادلهی عمد شده است مختصات پای قائم کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( a x + b y+ c z = d a x + b y+ c z = d ضعیت نسبی د صفحه : د صفحه مازیند. N اگر N یعنی ) ( د صفحه بر هم منطبق میشند. که در حالت خاص اگر :

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) N ( ) اگر N باید د صفحه متقاطع خاهند بد. که فصل مشترک آنها یک خط خاهد بد برای بدست آردن معادله آن کافیست حاصلضرب خارجی نرمالهای د صفحه را بدست آریم دقت میکنیم که اگر د صفحه بر هم عمد باشند a a + b b + c c = : P ' P P ' تست : د صفحه متقاطع P بر صفحه سمی عمدند فصل مشترک آن د صفحه با خط عمد بر صفحه سم کدام ضع را دارد )( عمد )( متنافر مازی نامشخص )( + x کدام است y - z = x - تست : معادلهی فصل مشترک د صفحهی = z y + ) ( ) ( ) ( ) ( x + m y + z = - x + تست : د صفحه به معادالت = + z y + بر هم عمدند m کدام است - - )( - )( - )( ) ( تست : صفحهی عمد منصف پاره خط اصل بین د نقطه ( - ) مازی کدام است х oz صفحه صفحه хoy )( )( محر oz )( محر oy

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) ( نکته : ) زایه بین د خط زایه بین بردارهای هادی آنها است. ( ) زایه بین یک خط یک صفحه متمم زایه بین بردار هادی خط بردار نرمال صفحه است. ( ) زایه بین د صفحه زایه بین نرمالهای آنها است. در هر سه مرد زایه حاده مد نظر خاهد بد مگر در حالت خاص کدام است تست : زایه بین د خط )( )( ) ( با صفحه - = z x y - کدام است تست : زایه بین خط 9 )( )( )( تست : زایه بین د صفحهی = z y + = + z x کدام است 9 )( )( )(

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) مثال : مجمع سن علی رضا محمد برابر 8 است اگر سن فعلی علی نصف سن پارسال رضا ثلث سن پارسال محمد باشد رضا چند ساله است فاصله یک نقطه از صفحه : P فرض کنید N بردار نرمال صفحه Γ بده P نظر بگیریم فاصلهی نقطهی نقطهای دلخاه از صفحه باشد اگر از صفحه Γ بصرت زیر محاسبه میشد. را نقطهای دلخاه خارج از صفحه در P N P θ θ P H D = P P cos θ )( Γ θ α P P θ H D = P P cos θ = P P cos )π-θ ( = Γ - P P cos θ )( N > θ π

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) )( ( ) D = P P cos θ : از طرفی دیگر N. P P = N P P ocs θ D تست : فاصلهی مرکز مکعب شکل زیر از صفحهی هاشر خرده کدام است ) ( ) ( )( ) ( x کدام است P ) تست : فاصلهی نقطهی ( - از صفحهی = z y + ) ( ) ( ) ( ) ( دسته صفحه معادله آن : 6

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) باشد معادلهی صفحه کدام : l صفحهای مرر میدهیم که از مبداء مختصات به فاصله تست : بر خط است x + y + z + = )( -x + y + z + = )( - x + y + z - = x + y + z + = )( х = تست : معادلهی مکان هندسی نقاطی که از د صفحه y = х به یک فاصلهاند کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( P ) х y z ( فاصله د صفحه مازی : H Г ax + by + cz = d Г D Г ' ax + by + cz = d ' H ' Г ' 7

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) نکته : میتان یک نقطهی دلخاه در یکی از د صفحه اختیار کرد فاصلهی آن را از صفحهی دیگر محاسبه کرد. ( رش دم ) = z x + y + کدام است تست : فاصله ی د صفحه به معادالت = z x + y + )( )( ) ( معادالت صفحه در حاالت خاص : Г oх a = Г : by + cz = d Г oy b = Г : aх + cz = d Г oz c = Г : aх + by = d Г oх Г yoz صفحه b c = aх + d = Г oy Г хoz صفحه a c = by + d = Г oz Г хoy صفحه a b = cz + d = Г : ax + by + cz = صفحهای که از مبداء میگذرد Г : Г : Г : by + cz = ax + cz = ax + by = صفحهای که بر oх میگذرد صفحهای که بر oy میگذرد صفحهای که بر oz میگذرد 8

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) y ± х ± х ± z = z = y = صفحات نیمساز فرجه oх صفحات نیمساز فرجه oy صفحات نیمساز فرجه oz х = y = z = معادله صفحه yoz معادله صفحه хoz معادله صفحه хoy ) A بگذرد. - ( مثال : معادلهی صفحهای را بنیسید که شامل محر х ها بده از نقطه مثال : ضعیت هر یک از صفحات زیر را نسبت به یکی از محرها مشخص کنید. )( )( ) ( х + y = х + z = х = - بسازد این صفحه : تست : معادلهی صفحهای را بنیسید که شامل محر х ها باشد با صفحه хoy زایه y + z = y + z = )( y + z = )( y + z = )( هادی L A ) نکته : محاسبهی طل عمد مشترک ( رش دم l هادی L l B 9

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) فاصله د خط متنافر : ابتدا معادله د صفحه مازی را پیدا میکنیم بطریکه این د خط بر ری آنها اقع باشند فاصلهی د صفحه ( طل عمد مشرک ) فاصلهی همان د خط متنافر است دقت میکنیم که برای بدست آردن نرمال آن د صفحه کافیست ضرب خارجی هادیهای آن د خط را محاسبه کنیم. کدام است تست : طل عمد مشترک د خط ) ( ) ( ) ( ) ( نکته : برای نشتن معادله عمد مشترک د خط متنافر نقطهی M را بر خط l نقطهی N را بر خط انتخاب کرده شرط عمد بدن M N را بر د خط l ' l ' l ( بصرت پارامتری ). مینیسیم تا دستگاهی بدست آید معادلهی M N را بتان نشت : ' l کدام است : l تست : معادالت عمد مشترک د خط متنافر )( ) ( ) ( تست : معادلهی صفحهای که شامل خط بده بر صفحه = y х + عمد باشد کدام است - - ) ( ) ( ) ( ) (

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) : Γ عمد باشند کدام است : D بر صفحهی a х تست : اگر خط )( )( )( حاالت خاص در مرد یافتن تصایر نقاط بر خط صفحه : : تصیر نقطهی ( z ) х y بر ( х ) است. ( y ) است. ( z ) است. محر oх نقطهی محر oy نقطهی محر oz نقطهی )( )( )( صفحهی хoy نقطهی ( y ) х است. )( صفحهی yoz نقطهی ( z y ) است. )( صفحهی zoх نقطهی ( z ) х است. ) است. z )( صفحهی نیمساز y = х نقطهی ( y ) است. )8( صفحهی نیمساز х = z نقطهی (

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) ) است. х )9( صفحهی نیمساز y = z نقطهی ( حاالت خاص در مرد یافتن قرینه نقطه نسبت به مبداء محرها صفحات : قرینهی نقطهی ( z ) х y نسبت به : -х -y -z ) است. )( مبداء مختصات نقطهی ( ) х -y -z است. نقطهی ( )( محر oх -х y -z ) است. نقطهی ( )( محر oy -х -y ) است. نقطهی ( z محر oz ) х y -z است. نقطهی ( )( صفحه oxy نقطهی ( z -х y ) است. )( صفحه yoz ) х -y است. نقطهی ( z )( صفحه zoх نقطهی ( z ) y х است. )8( صفحه y = х -y ) است. نقطهی ( z -х y = - )9( صفحه х نقطهی ( х )z y است. )( صفحه х = z -z y -х ) است. نقطهی ( х = - )( صفحه z نقطهی ( y )х z است. )( صفحه y = z х ) است. نقطهی ( -y -z )( صفحه y = - z تست : معادلهی قرینهی خط х = y = z نسبت به صفحهی хoz کدام است х = - y = z - х = y = z )( х = y z = )( х = z y = )(

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) х = A ) تست : از نقطه ( - صفحهای بر خط D به معادلهی = z y + عمد شده است مختصات پای قائم کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( D ' : ) z کدام است تست : کتاهترین فاصله بین د خط به معادالت ( ) : D ( )( )( )( х - y = х + y = ) تست : فاصله نقطه به مختصات ( از فصل مشترک د صفحه به معادالت کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( y = t z = t - ) عمد بر خط به معادالت تست : صفحهی گذرنده از نقطهی ( - + t х = از کدام نقطه زیر میگذرد ) ( ) ( ) ( ) (

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) تست : حجم محدد به صفحه به معادله = z х + y + صفحات مختصات کدام است 8 9 )( )( ) ( ( ) نسبت به هم کدام ضعیت را دارند تست : د خط )( متنافر )( متقاطع مازی عمد )( ( ) محر х ها را با کدام طل تست : صفحهی شامل د خط مازی قطع میکند )( )( )( ) اقع است د تایی مرتب ) ( A ) تست : نقطهی ( b a بر ری خط گذرنده بر د نقطهی ( - ) کدام است a b( ) ( ) ( ) ( ) (

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) ) ( ) مازی محر х ها کدام است تست : معادلهی صفحهی گذرنده بر نقطهی ( - х - y + z = -х + y = )( y + z = )( х + z = )( ) ( ) - ( تست : فاصلهی مبداء مختصات از صفحهی عمد منصف پاره خط اصل بین د نقطهی کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( متقاطعند تست : بازای کدام مقدار a د خط به معادالت )( - )( - )( تست : نقطهی M اقع بر خط به معادلهی = y برابر باشد ارتفاع مثبت نقطه M کدام است + z х = است اگر فاصلهی M از صفحهی به معادله = z х + y - )( )( )(

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) B ) - ( تست : خط گذرا از د نقطهی ( - ) A از کدام نقطه به مختصات زیر میگذرد ) ( ) ( ) ( ) ( ) عمد بر خط - z х = y = تست : معادله صفحه گذرا از نقطه ( - از کدام نقطه به مختصات زیر میگذرد ) ( ) ( ) ( ) ( بر صفحهای به معادلهی اقع شد دتایی مرتب ( b ) a تست : اگر خط به معادلهی کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( ) х = y -z = ( تست : طل عمد مشترک د خط به معادالت ( = z ) х = کدام است ) ( ) ( ) ( ) ( 6

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) х + z = х - y + z = A ) تست : صفحه گذرا از نقطه ( - فصل مشترک د صفحه به معادالت با محر х ها کدام ضع را دارد منطبق مازی عمد متقاطع )( )( )( 7

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) 8

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه ) 9

هندسه تحلیلی جبر خطی ( خط صفحه )