אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק עם שברים. (ע"י ארגון איבר פותח להיות בעזרת חיבור שורה כפול קבוע. ( ( 3 7 4 3 3 ( ( 4 3 7 9 7 9 ב. פתרון: ישנם שני משתנים חופשיים. למשל, נסמן x. 3 =,s x 4 = t אז קב' הפתרונות היא +s+3t 3 9 7s t s : s,t R = 9 +s 7 +t : s,t R t { ג. = 7 x +x 3x 3 +x 4 x פתרון: כאן ישנם 4 משתנים חופשיים. למשל, ניקח את x להיות המשתנה התלוי. אז קב' הפתרונות היא,,} = j.{7 x +3x 3 x 4 +x,x,x 3,x 4,x : x j R 4 ד. פתרון: 4
אז קיים פתרון יחיד: (,,,. ה. פתרון: אפשר לפתור כרגיל. נלך בדרך קצת יותר ארוכה (נסתה קצת מהאלגוריתם של גאוס, אבל מבלי להיתעסק עם שברים. 3 3 3 3 9 4 3 4 R 3 3 R R 9 4 3 4 7 6 7 7 6 7. 3 4 3 7 8 6 4 3 4 3 7 6+8t 7 3t 7 6t 7 t 3 4 3 7 R R R 3,R 3 R 3 4R 3 7 6 אפשר להמשיך עוד קצת בדירוג, אך לא נעשה זאת. ישנומשתנהחופשיאחד. נסמןt.x 4 = אזקב'הפתרונותהיא : t R. x +x x 3 = א. 3 = 3 x 3x x +x +x 3 = פתרון: 3 3 3 3 3 3 4 +3 3 3 3 3 +3 +3 (+3 4 4. (+3 = ( +3 = ( (+ ( אם = או =, אז אין פתרון למע'. 3 ולקבל בה לחלק שורה אחרונה ב (., אז אפשר ( נניח (אחרי חישוב קצר. ( 4 ( (+
.( 3+ 6( 4 ( (+, ( 4(+3 ( (+, ( 4 אזסה"כבמקרהזהישפתרוןיחידוהוא( ( (+ 3 9 4 7 4 7 ויש 63 4 333 8 x 3x +9x 3 = 4 ב. = 7 3 7x +x +4x x +x +x 3 = פתרון: 7 4 7 3 9 4 = 4, אז המע' היא 4 4 נבדיל בין כמה מקרים: ( אם =, 4 כלומר לה פתרון יחיד. 7 4 4 R3 R 3 4 4 R 4 4, נמשיך בדירוג כך: ( אם 7 4 ( 4( 7 ( 4 = (3 7 ( 4 בחישוב פותחים סוגריים והרבה דברים מצטמצמים. (. אם = 7 3, כלומר כאן = 3, אז למע' אין פתרון. (. אם 3, אז אפשר מקבלים שלמע' יש פתרון יחיד. 4 3 b 4 3 לסיכום, אם = 3, למע' אין פתרון, ואם 3, למע' פתרון יחיד. x +4x +x 3 = ג. = 3 x +3x 3x bx 3 = פתרון: המערכת היא b 3 b 3 4 + b 3 3 3 3 3 3 b 3 ( 3 3 b 3 3 3 ( 3 (b אם,b אז למערכת 3 + b( 3 3(b = ( b b 6( 3 (b = b 6+3 b.( ( b b, b 6+3 (b, ( 3 b ( 3 b יש פתרון יחיד, שהוא אם =,b נביט בשני מקרים: 3
.{( +t 3, 3t א. אם בנוסף 3, אז למערכת אין פתרונות.. 3 3 ב. אם בנוסף = 3 (אז =,(b אז המע' היא 3 יש בה משתנה החופשי אחד ואינסוף פתרונות מהצורה {R (t, : t ( i b i ( i i, ויש לה b k k k ( i b i ( b i b k ( k k k ( k(+k k ( i i ib { ix y = ד. = bx+iy פתרון: המערכת היא אם =, b אז אין פתרון למערכת. אם,b אז המערכת היא.( b, i b פתרון יחיד שהוא kx+y +z =.3 א. = +z x+ky x+y +kz = פתרון: k k k k k = k k k k k ( k k ( k(+k k. ישלהאינסוףפתרונותוהםמהצורה אם =,k אזמקבליםמע'. s t s : s,t R t. k אם,k נחלק שורות ו 3 ב ( k והמע' היא: (+k - אם = k, אין פתרון למע'..( +k, +k, +k - אם k, ישנו פתרון יחיד והוא x+y +z = ב. x+by +cz = d x+b y +c z = d פתרון:
b c d b c d b c d (c (c b (d (d b c d b b (c (c b (d (d b b c d (b (b+ (c (c+ (d (d+ ( אם,b (. אם c = או c = b ו,d, d b אז למע' אין פתרון.. c d b b (. אם c = או c = b ו d = או,d = b אז המע' היא.( b d b + c b b t, d b c אז יש לה אינסוף פתרונות והם מהצורה (t b t, c b d b (d (d b (c (c b (d (c (d b c c d b (d (c d (b (c b (d (d b (c (c b c d (c (c b (d (d b d c b c (d (d b c (.3 אם,c, c b אז המע' היא (d (d b (c (c b (d (c d (b (c b (d (d b (c (c b ויש לה פתרון יחיד (שהוא עמודת הפתרונות. d ( אם,b = מקבלים c (d (d c c (. אם,c (.. אם d, d c אז למערכת אין פתרון. (.. אם d = או,d = c אז למערכת אינסוף פתרונות והם מהצורה t ( d (d (d b. d c,t, d c (. אם,c = המערכת היא (.. אם d, = אז למערכת אינסוף פתרונות והם מהצורה.( s t,s,t
(.. אם d, אז למערכת אין פתרון. לסיכום: אם,b b,c c (ז"א, שלושתםשונים זהמזה בזוגות, אז למערכת יש פתרון יחיד (ללא תלות ב d (.3. אם b וגם ] c = או c = b ו d = או,[d = b אז יש אינסוף פתרונות.(. אם c, = b וגם [אם d = או,[d = c אז יש אינסוף פתרונות.(.. אם,d = = b = c אז למערכת אינסוף פתרונות והם מהצורה( s t,s,t.(.. (או ש: שניים בדיוק מתוך,b,c שוים ו d שווה לאחד משניים מהם שלא שוים זה לזה, ואז יש משתנה חופשי אחד; או ש:כולם שוים, ואז יש שני משתנים חופשיים. אם b וגם ] c = או c = b ו,[d, d b אז אין פתרונות.(. אם c, = b וגם d, d c אז למערכת אין פתרונות.(.. אם,d = b = c אז אין פתרונות.(.. (או ש: בדיוק שניים מתוך,b,c שוים ו d לא שווה לאף אחד מהשניים ששונים זה מזה; או ש: שלושת,b,c שוים זה לזה אבל d שונה מהם. 4. תהי מערכת של m משוואות ב n משתנים המתוארת ע"י המטריצה,(A b כאשר A מטריצה עם m שורות ו n עמודות, ו b וקטור עמודה (עמודת הפתרונות בעל m שורות. פתרון למערכת יהיה מהצורה n.x = (x,x,,x הוכיחו / הפריכו: א. אם n x = (x,x,,x ו ( y = (y,y,,y n פתרונות של המערכת,(A b אז.(A b הוא גם פתרון של המערכת x+y = (x +y,x +y,,x n +y n פתרון: טענה זו נכונה עבור מע' הומוגנית בלבד (ראו סעיף ד.. עבור מע' לא הומוגניות היא בהכרח לא נכונה. לדוגמא, ניקח מע' = x, x+ ושני פתרונות שלה: (,,(,. אז הסכום הוא (3, והוא אינו פתרון של המערכת. ב. נניח ש n z = (z,z,,z הוא פתרון של המערכת (A b, כאשר n z,,z. C ונניח שהמקדמים של המערכת הם כולם ממשיים. (כלומר, המקדמים ממשיים, ויש בידינו z מרוכב שהוא פתרון של המערכת. אזי גם n Re(z = (Re(z,,Re(z ו n Im(z = (Im(z,,Im(z הם פתרונות של המערכת.(A b פתרון: נניח כי מקדמי המערכת הם ij A. = אנו יודעים שמתקיימת מערכת: z ++ n z n = b z ++ n z n = b m z ++ mn z n = b n נביט במשוואה הראשונה:. z + + n z n = b אפשר לכתוב אותה גם כך:. (Re(z +iim(z ++ n (Re(z n +iim(z n = b נפריד חלקים ממשיים ומדומים:.[ Re(z ++ n Re(z n ]+[ Im(z ++ n Im(z n ] = b (ונתון ש b ממשי. 6
אנו יודעים ששני מספרים מרוכבים שוים אם ורק אם החלקים הממשיים והמדומים שלהם שוים בהתאמה. לכן השוויון כאן מתקיים אם ורק אם. Im(z ++ n Im(z n וגם = Re(z ++ n Re(z n = b באותו אופן אפשר להסיק שוויונים כאלה מהמשוואות האחרות במערכת. אז הגענו לשתי מסקנות: עבור חלקים ממשיים: אם z הוא פתרון של המערכת,(A b אז מתקיים גם Re(z ++ n Re(z n = b Re(z ++ n Re(z n = b m Re(z ++ mn Re(z n = b n לכן (( n Re(z = (Re(z,,Re(z הוא פתרון של המערכת (הטענה נכונה עבור חלקים ממשיים. עבור חלקים מדומים: לפי האמור, רואים שכנראה לא בהכרח נכונה הטענה. ליתר דיוק, הטענה נכונה אם ורק אם = b. נארגן דוגמא נגדית למקרה שבו b: נביט במערכת שמורכבת ממשוואה אחת: =.z + z ניקח פתרון שלה: = z Im(z + ורואים שלא מתקיים ש Im(z = (, אז.(z,z = ( + i, i.im(z = (וכמו שהוכחנו, החלקים הממשיים כן מקיימים את המערכת. ג. אם n x = (x,x,,x ו ( y = (y,y,,y n פתרונות של המערכת,(A b אז n x y = (x y,x y,,x n y הוא גם פתרון של המערכת (A (המערכת ההומוגנית המתאימה. פתרון: נוכיח את הטענה. נניח ש x,y הם כמתואר. אז מתקיימים y ++ n y n = b x ++ n x n = b y ++ n y n = b x ++ n x n = b וגם m y ++ mn y n = b n m x ++ mn x n = b n נביט בהפרש מהצורה "משוואה i ממע' עם x פחות משוואה i ממערכת עם y". נקבל שמתקיים: (x y ++ n (x n y n = (x y ++ n (x n y n = m (x y ++ mn (x n y n = כלומר, n x y = (x y,,x n y הוא פתרון של המערכת.(A כדרוש. הוכחנו בכך שהפרש של שני פתרונות של מערכת (לא בהכרח הומוגנית (A b הוא פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימה ( A. ד. אם n x = (x,x,,x ו ( y = (y,y,,y n פתרונות של המערכת,(A אז.(A הוא גם פתרון של המערכת αx+βy = (αx +βy,αx +βy,,αx n +βy n פתרון: נוכיח את הטענה. כמו בסעיף הקודם, מתקיימות שתי מערכות משוואות: 7
y ++ n y n = x ++ n x n = y ++ n y n = x ++ n x n = ו m y ++ mn y n = m x ++ mn x n = נכפיל כל משוואה במערכת הראשונה ב α וכל משוואה במערכת השניה ב β ונקבל שמתקיימות שתי מערכות שבהן עמודת הפתרונות היא עדיין עמודת אפסים. נחבר משוואות באותן שורות של שתי המערכות ונקבל סה"כ: (αx +βy ++ n (αx n +βy n = (αx +βy ++ n (αx n +βy n = m (αx +βy ++ mn (αx n +βy n = כלומר n αx+βy = (αx +βy,,αx n +βy הוא גם פתרון של המערכת.(A הוכחנו בכך שקב' הפתרונות של מערכת הומוגנית ( mxn A היא תת מרחב של R, n כי הוא סגור לחיבור וקטורים וכפל בסקלאר ולא ריק (הפתרון הטריוויאלי שם. r s t.r,s,t R כאשר, r. א. פתרונות הם מהצורה s t ב. אפשר לפתור כרגיל. דרך שניה: ננחש פתרון פרטי של המע': r s t. + r s אזקב'הפתרונותשלהמערכתהיא.x = x = x 3 =, x 4 = t 6. הוכיחו כי דרך שתי נקודות שונות במישור עובר קו אחד ויחיד. הוכחה: קו ישר במישור הוא מהצורה = L+ Mx+Ny כאשר לפחות אחד מ M ו N הם לא אפס (אחרת אם שניהם אפס זה או כל המישור או קבוצה ריקה, תלוי האם L אפס. נשים לב ש = Mx+Ny+L ו = (λmx+(λny+(λl מתארים אותו ישר עבור λ. כלומר כפולה של כל המקדמים בקבוע שאינו אפס משאירה אותנו עם אותו ישר. נוכיח שדרך שתי נקודות שונות במישור עובר ישר אחד ויחיד. ניקח שתי נקודות שונות (c,d (,b, ונחפש ישר(ים עליו(הם נמצאות הנקודות. אנו צריכים קבועים M,N,L כך ש { M+Nb+L =. Mc+Nd+L = כאן,b,c,d הם קבועים(!(המקדמיםשל המערכתואנוצריכים לבחון האםישנםומה הם הפתרונות של המערכת, כאשר הנעלמים הם.M,N,L ז"א מסתכלים על המערכת: ( b. c d 8
נביט בכמה מקרים: ( ( b b c d d cb c אזנדרגאתהמערכת. ( ( b. c אז המע' היא,(d bc = d (ז"א cb (. אם = (.. אם = c ושניהם שונים מ (כי,( אז מתוך d = bc נובע ש,b = d כלומר לקחנו שתי נקודות זהות. זה לא ייתכן. (.. אז c ואז =,L ו = N,M + b כלומר.M = b N אז הפתרונות של b λ. אז קיבלנו את הישר(ים : = λx+λy. b אבל כאמור המערכת הם מהצורה λ כפולות בקבוע מתארות אותו ישר, אז כל אלה מתארים ישר אחד ויחיד y. = b x b d d bc λ c d bc λ (. אם,d bc אז המערכת ( היא ( b b d cb c d bc c ( ( b d b c d bc c d bc d bc.m = b d c כלומרקב'הפתרונותהיא. d bcl,n = ז"אהמשוואותהןL d bc λ כלאלהמתאריםישראחדויחיד(ניקחd bc.(b dx+(c y+(d bc=,(λ =. = ( (. אם c, אז פותרים באותה צורה כמו במקרה ( : מחליפים בתפקידים בין הנקודות. אז מגיעים שבכל המקרים ישנו ישר אחד ויחיד העובר דרך שתי הנקודות. ( b (. אם גם = c, זה אומר שיש לנו המערכת. לא ייתכן ש d = d b, = כי אז נקבל ששתי הנקודות הן הראשית. אז אחד מהם לא אפס. נניח בה"כ ש (,N =,L ואז יש לנו הפתרון =. b b (אחרת נחליף בסדר הנקודות. במקרה כזה, המע' היא d b M כלשהו. כלומר הפתרונות הם מהצורה λ. כל אלה מתארים ישר אחד ויחיד: ציר ה y : x. = (וזה הגיוני, כי זה המקרה שבו שתי הנקודות נמצאות על ציר ה y. (הערה. אפשר גם לפתור את התרגיל בהשתמש בתיאור אחר: כל ישר במישור הוא או מהצורה y = Mx+N או מהצורה x. = M אם הנקודות הן עם אותו שיעור x, זה ישר יחיד מהסוג השני (ולא יתכן שהסוג הראשון יתאים. אחרת זה יהיה ישר מהסוג הראשון. 9
7. נניח כי A ו B שתי מטריצות מאותו גודל, וידוע כי המערכות ההומוגניות המתאימות להן, ( B,( A, הן שקולות. הוכיחו כי אפשר לעבור מ A ל B בעזרת פעולות אלמנטריות. (כלומר, שאפשר לבצע פעולות אלמנטריות על A כך שתתקבל B. הבהרהלגבי שאלה 7 הכוונה היא: נניח ש A ו B מטריצות מאותו גודל בעלות אותה צורה מדורגת קנונית. יש להוכיח שבעזרת (מספר סופי של פעולות אלמנטריות שמבצעים על המטריצה A אפשר לקבל את המטריצה B. הוכחה: (נוכיח את הטענה המנוסחת בהבהרה לשאלה נסמן את הצורה הקנונית (המדורגת קנונית של A ב Ã. לפי הנתון זוהי גם הצורה הקנונית של B. כלומר, אנו יודעים שישנה סדרה סופית E E, E,, n של פעולות אלמנטריות שמעבירות את A ל Ã (אם מבצעים אותן אחת אחרי השניה על A מקבלים את Ã. באותו אופן, ישנה סדרה סופית G G, G,, m של פעולות אלמנטריות שמעבירות את B ל B. כעת נתאר בדיוק איך אפשר לעבור מ A ל B ע"י מספר סופי של פעולות אלמנטריות: נעבור תחילה מ A ל Ã ואז ממנה ל B. A Ã B נבצע על A את הפעולות E,E,,E n (הכוונה היא E ואז E וכו' ונקבל את.Ã אנו יודעים שכל פעולה אלמנטרית היא הפיכה והפעולה ההופכית של כל פעולה אלמנטרית היא גם אלמנטרית. נסמן את הפעולה ההופכית של פעולה E ע"י E. G. כתוצאה מכך נבצע על Ã את הפעולות G m ואז את m G וכו' עד שמגיעים ל נקבל ממנה חזרה אתהמטריצה B (כיבכיוון הרגיל היינו מקבלים מ B את Ã וכאן הולכים אחורה. E,E,,E n,g אז סה"כ אם מבצעים את סדרה הפעולות האלמנטריות G,, m G, m על המטריצה A מקבלים את המטריצה B. ½¼