. חלק : 1 תחשיב הפסוקים. 1) פסוקים. משתנים פסוקיים. ערכי האמת. בדיבור יום-יומי אנו משתמשים במשפטים שונים. לדוגמא: " יורם סטודנט ", "בישראל בקיץ חם.", "מה השעה?", "דג כרפיון עף בשמיים.", "לך הביתה!", "פרות וירקות.", "מספר 2 189027 1- ראשוני." וכ''ו. מעניין לקבל תשובה "כן" או "לא" על השאלה: האם המשפט הנתון נכון? ברור שהמשפט "בישראל בקיץ חם." נכון והמשפט "דג כרפיון עף בשמיים." לא נכון. תשובה "כן" או "לא" על המשפט " יורם סטודנט " תלויה בעובדה מיהו יורם. אנו עכשיו עוד לא יודעים אם מספר 2 198789027 1- ראשוני או לא אך זאת הבעיה טכנית: אפשרויות לקבל תשובה תליה ברמת ההתפתחות של מחשבים. אבל בעיקרון אי אפשר להגיד האם נכונים או לא המשפטים "מה השעה?", "לך הביתה!", "פרות וירקות.". הגדרה. על המשפט של דיבור אמרים שהוא לא נכון. פסוק אם בעיקרון ניתן להגיד אם הוא נכון או ב לא משתמשים כרגיל במשפטים שאינם פסוקים אנו משתמשים באלגברה ובחדו''א במשתנים מספריים. את המשתנים האלה אנו מסמנים באותיות ומניחים שניתן להציב במקומם המספרים המתאימים הנקראים ערכי משתנים. באופן דומה בלוגיקה מגדירים משתנים פסוקיים (או משתנים לוגיים). הגדרה...., q, p אותיות נקראות משתנים (או פסוקיים משתנים לוגיים) אם הן מציגות פסוקים. במילים אחרות ניתן להציב פסוקים במקום האותיות האלה. אם בהצבת פסוק למשתנה פסוקי p קיבלנו תענה נכונה אומרים שהמשתנה קיבל "אמת". אם קיבלנו תענה לא נכונה אומרים שהמשתנה קיבל ערך אמת "שקר". ערך האמת (2 בבעיות לוגיות כרגיל לא חשובה משמעות ספציפית של הפסוק אך ערך האמת שלו. לכן, במקום להציב טענות מלאות במקום המשתנים הפסוקיים נציב רק את הערכים "אמת" או "שקר". במקום המילים "אמת" או "שקר" משתמשים באותיות ו- (באנגלית truth אמת, false שקר ( פעולות על הפסוקים (קשרים). נוסחאות לוגיות (פסוקים). טבלאות האמת. נניח כי q, p מציגים פסוקים. מגדירים עכשיו פעולות על הפסוקים. נסמן ב- את הטענה p " ". אינו נכון p הטענה הזו נקראת p שלילת ברור שאם ערך האמת של p הוא אז ערך האמת של p הוא ולהפך. " יורם סטודנט" p p אם לדוגמא, מציג פסוק אז - "יורם אינו סטודנט" נסמן ב- p q את הטענה "או p או q (או שניים)". הטענה הזו נקראת דיסיונקציה של p ו-. q לפי הגדרה p q שקרי רק במקרה כאשר גם p גם q שקרים. 1
לדוגמא, אם - p " מספר 6 מתחלק ב- "3 ו- - q " מספר 6 מתחלק ב- "5 אז p q מציג את הפסוק "או מספר 6 מתחלק ב- 3 או הוא מתחלק ב- 5 ".הפסוק הזה הוא אמיתי. בזאת יתכן כי מספר a מתחלק גם ב- 3 גם ב- 5. תענה "או מספר a מתחלק ב- 3 או הוא מתחלק ב- 5" לא נכונה (שקרי) רק כאשר מספר a לא מתחלק גם ב- 3 גם ב- 5. נסמן ב- p q (או ( p & q את הטענה "גם p וגם " q. הטענה הזו נקראת קוניונקציה של p ו-. q לפי הגדרה p q אמיתי רק במקרה כאשר גם p גם q אמיתיים לדוגמא, אם - p " מספר 6 מתחלק ב- "3 ו- - q " מספר 6 מתחלק ב- "5 אז p q מציג את הפסוק "מספר 6 מתחלק ב- 3 וב- 5". הפסוק הזה הוא שקרי. התענה " מספר a מתחלק ב- 3 וב- 5" נכונה (אמיתי) רק כאשר מספר a מתחלק גם ב- 3 גם ב- 5. q את הטענה לפי הגדרה "אם p נכון אז q נכון". הטענה הזו נקראת גרירה מ- p p q שקרי רק במקרה כאשר p אמיתי אך q שקרי. ל- נסמן ב- p q (או אימפליקציה). לדוגמא, אם - p " מספר 6 מתחלק ב- "2 ו- - q " מספר 6 מתחלק ב- "4 אז p q מציג את הפסוק "אם מספר 6 מתחלק ב- 2 אז הוא מתחלק ב- 4 ". ". הפסוק הזה הוא שקרי p שקילות " p נכון אם ורק אם q נכון". הטענה הזו נקראת את הטענה p q נסמן ב- p וגם q אמיתיים או גם אמיתי במקרים כאשר או גם p q בין p ובין. q לפי הגדרה וגם q שקרים. לדוגמא, אם - p " מספר 30 מתחלק ב- "15 ו- - q " מספר 30 מתחלק ב- "3 אז p q את הפסוק "מספר מתחלק ב- 15 אם ורק אם הוא מתחלק ב- 3". הפסוק הזה הוא אמיתי. מציג פועלות מינוח:,,,, קשרים. יקראו ממשתנים פסוקיים נבנה בעזרת הקשרים. נוסחאות לוגיות - נוסחאות, (( p q) q) (( p) q), ( p) q, ( p q) q q - p לא נוסחאות. q, ( p q), p q דוגמאות: אם נציב לנוסחה לוגית במקום כל משתנה פסוקי איזהו פסוק קונקרטי אז נקבל פסוק חדש. לכן נשתמש במילה "פסוק" גם כנוסחה לוגית. בפרט, אם A ו- B פסוקים (כנוסחאות לוגיות) B) ( A B), ( A גם פסוקים. אז ( A B), ( A B), A, 5 לחילופין: פסוק מתקבל מהמשתנים הפסוקיים בעזרת בעזרתכן. פעולות,,,, ורק על מנת למעיט בכתיבת סוגריים נקבע קדימות : קודם ל-,,,Λ. V, (! ( p q) כ- (לא ( p) q מבינים כ- p q ( p q) q מבינים כ- p q q דוגמאות. את הצבת ערכי האמת של משתנים פסוקיים לפסוק הנתון אפשר להציג כפונקציה מקבוצת המשתנים הפסוקיים של הפסוק לקבוצה {,}. 2
הגדרה. השׂמה (לפסוק נתון) וטווחה }.{, היינה פונקציה שתחומה קבוצת המשתנים הפסוקיים שבפסוק. Val(A,g) g A יהא סימון: A פסוק ו- g השמה ל- A. ערך האמת של בהשמה יסומן. g(p)=g(q)=, g(r)=, g :{ p, q, r} {,}, A = ( p q) r Val ( A, g) = ( ) = דוגמא. אם להתבונן בכל ההשמות לפסוק הנתון אז נקבל טבלת האמת לפסוק. : טבלת האמת לפסוק x x x. x y, x y, x y, x y טבלאות האמת לפסוקים : x y xλy xvy x y x y 3) טאוטולוגיות וסתירות. שקילות לוגית. גרירות לוגית. הגדרה. פסוק A יקרא טאוטולוגיה אם לכל השמה g ל- A מתקיים Val(A,g)= פסוק A יקרא פסוק שקרי (או סתירה) אם לכל השמה g ל- A מתקיים Val(A,g)= היינו טאוטולוגיה. אם g(p)= אז Val(p,g)= g(p)= אז Val(p,g)= ו-. Val( p,g)= לכן תמיד הפסוק p) A = ( p ו-.Val( p,g)= אם. Val(A,g)= דוגמאות..1 q) A = ((( p הוא טאוטולוגיה. כאן יש 4 השמות. הכי קל p) הפסוק q) לבדוק את זה בעזרת טבלת האמת שבה כל שורה מייצגת השמה..2 = A הוא שקרי..3 הפסוק p) p p ( p q) A = ( p אינו טאוטולוגיה ואינו סתירה..4 הפסוק p q B ו- A הגדרה. ו- B נניח ש- A טאוטולוגיה. פסוקים. נאמר כי שקולים לוגית אם הפסוק A B היינו סימון: A B לא לבלבל בין ל-, כל הטאוטולוגיות שקולות לוגית, כל הסתירות שקולות לוגית. הערות. 1..2.3 3
ב( 2002 השקילויות הלוגיות הבסיסיים ( A B) A B A A ( A B) A B A B ( A B) A B B A ( A B) C A ( B C) ( A B) C ( A C) ( B C) A A A A B A B A B A B A B ( A B) A B B A ( A B) C A ( B C) ( A B) C ( A C) ( B C) A A A A B B A A B ( A B) A B ( A B) ( B A) B A הגדרה. ו- B נניח ש- A טאוטולוגיה. פסוקים. נאמר כי גורר לוגית את אם הפסוק A B היינו סימון: A B B גוררת לוגית את S פסוק. נאמר כי B קבוצת פסוקים ויהא S המוגדרת על כל המשתנים הפסוקיים המופיעים ב- S g אם לכל השמה, S B. Val(B,g) = בהכרח A כאשר מקיימת Val(A,g) = לכל S תהא הגדרה. ונסמן וב- B מההגדרה נובע כאם } n S={A 1,A 2,..,A אז... A ( A אותו דבר. An ) B ו- S B 1 2 אם הערה. {A} S = נכתיב.({ A} B (ולא A B.{ p q r, p, q} דוגמא. p r תהא g השמה ל-,p,q r כך ש- Val ( p q r, g) =, Val ( p, g) =, Val ( q, g) = Val ( r p, g) אז. g(p) =, g(q) = לכן.g(r) = מכאן רואים ש- = 4) הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של פסוק.. תהיה נתון פסוק A במשתנים הפסוקיים. p 1, p 2 p,..., n נוכל למצוא פסוק B כך ש-, A B B היינו דיסיונקציה של קוניונקציות של משתנים פסוקיים או שלילותיהם. (א) ( במקרה הזה פסוק B נקרא צורה דיסיונקטיבית נורמלית של פסוק A. מהווה q) B = ( p צורה דיסיונקטיבית נורמלית של ( p q) דוגמה. הפסוק q) p (. A = ( p q) הפסוק q) p ( p 1, p 2,...,p n משפט. לכל פסוק A במשתנים הפסוקיים קיימת צורה דיסיונקטיבית נורמלית. ללא הוכחה. 4
איך בפרקטיקה למצוא לפסוק הנתון את הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית שלו? בשביל זה יש כמה שיטות. אחת מהן היינה הרכבת טבלת האמת לפסוק הנתון.. A = ( p ( q p)) q מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית לפסוק דוגמא : נרכיב טבלת האמת לפסוק הנתון: פתרון. p q p qλ p p ( qλ p) A "" של הפסוק, A זאת אומרת שורות לוקחים בטבלה כל השורות המתאימות לערך האמת. g(p) =, g(q) = להשמה הזו מתאימה שנייה ושלישית. לשורה השנייה מתאימה השמה p q. אז צורה באופן דומה לשורה השלישית מתאימה קוניונקציה. p q קוניונקציה. ( p q) דיסיונקטיבית נורמלית לפסוק הנתון היא q) p (. דואליות (5 V, Λ, V ו-. נתבונן בנוסחאות הכוללות רק הקשרים, Λ הקשרים נקראים דואליים. הגדרה. תהי A נוסחה. נוסחה חדשה *A נקראת דואלית לנוסחה A אם היא מתקבלת מהנוסחה A בהחלפת כל הקוניונקציות בדיסיונקציות וכל הדיסיונקציות בקוניונקציות. A * = ( p q) ( r p) q, A = ( p q) ( r p) דוגמא. q יהא A דואלית נוסחה (פסוק) התלויה במשתנים p 1, p 2,..., p n ו- g השמה ל-. A אומרים שההשמה g* להשמה g אם לכל משתנה ערכי האמת שלו בהשמות g ו- *g הם נגדיים. p i. Val(A, g) g ערך האמת של A בהשמה יסומן g* A* יהא *A נוסחה הדואלית ל- A ו- *g יסומן g*). Val(A*, השמה דואלית ל-* A. ערך האמת של בהשמה. Val ( A *, g*) = אם ורק אם Val ( A, g) = A משפט. g לכל השמה לנוסחה מתקיים ללא הוכחה.. A * = ( p q) q, A = ( p q) דוגמא. q בונים טבלאות האמת ל- A ול-* A. השמות g 1 g 2 g 3 g 4 p q (p Λ q) A 5
השמות * g 1 * g 2 * g 3 * g 4 p q (p V q) A* קל לראות כאם הפסוק הנתון A הוא טאוטולוגיה אז פסוק דואלי *A לדוגמא, מהטאוטולוגיה A A נובע סתירה. A A היינו סתירה (ולהפך). A* B* משפט. (עיקרון הדואליות). A B אם אז ללא הוכחה. בעזרת עיקרון הדואליות ניתן למצוא לפי השקילויות הידועות את השקילויות החדשות.. A לדוגמא, מהנוסחה A A A מיד מקבלים את הנוסחה A A קודם פגשנו את הנוסחאות הדואליות הבאות : ( A B) A B A B ( A B) A B B A ( A B) C A ( B C) ( A B) C ( A C) ( B C) ( A B) A B A B ( A B) A B B A ( A B) C A ( B C) ( A B) C ( A C) ( B C) 6) שלמות הקשרים נשים לב על השקילויות הבאות: (המבטא קוניונקציה דרך דיסיונקציה ושלילה ( A B ( A B) (המבטא אימפליקציה דרך דיסיונקציה ושלילה ( A B A B (המבטא שקילות דרך דיסיונקציה ושלילה) (המבטא דיסיונקציה דרך קוניונקציה ושלילה) (המבטא אימפליקציה דרך קוניונקציה ושלילה) A B ( ( A B) ( B A)) A B ( A B) A B ( A B) B) A B ( A (המבטא שקילות דרך קוניונקציה ושלילה ( ( B A) (המבטא קוניונקציה דרך אימפליקציה ושלילה) (המבטא דיסיונקציה דרך אימפליקציה ושלילה) A B ( A B) A B A B B) A B (( A (המבטא שקילות דרך אימפליקציה ושלילה ( ( B A)) מהנוסחאות האלה נראה ככל הקשרים ניתן לבטא דרך דיסיונקציה ושלילה או דרך קוניונקציה ושלילה או דרך אימפליקציה ושלילה. לכן אומרים שקשרים ו- V (או ו- Λ או ו- ( מהווים מערכת שלמה של הקשרים הלוגיים. 6
ניתן להראות כאי אפשר לבטא כל הפסוקים דרך מערכת הפעולות לא כוללת שלילה. ברור שאם נוסחה ) n A(p 1 p, 2 p..., לא כוללת שלילה אז ערך האמת שלה בהשמה (pλ p לכן אי אפשר לבטא נוסחה שקרית (למשל. תמיד שווה ל- p 1 = p 2 =...= p n = דרך הקשרים ללא שלילה. 7) נכונות שיקולים ( A1 נקרא שיקול. A2... יהיו A 1, A 2,...,A n, B פסוקים. פסוק An ) B הפסוקים A 1, A 2,...,A n היינם הנחות והפסוק B הוא מסקנה. ( 1 2 A A... An ) B ( A 1 A2... שיקול An ) B הוא טאוטולוגיה. הגדרה. אם פסוק נכון נקרא... A ( A נכון כאשר } n S={A 1,A 2,..,A גוררת לוגית An ) B 1 2 במילים אחרות שיקול. ( A1 A2... An ) B כלומר את. B צריך להעיר כאמיתיות של המסקנה B לא מהווה תנאי הכרחי או מספיק של נכונות הניסוח. = A " מספר a הוא ראשוני ", = B " מספר a אי זוגי ". יהיו טענות: דוגמה 1. = A B " אם מספר a ראשוני אז הוא אי זוגי ". אז אימפליקציה נתבונן בשיקול: a ראשוני אז הוא אי זוגי. מספר a אי זוגי. (B )) A = " אם מספר B) A לכן מספר a הוא ראשוני." בשביל זה נבנה טבלת האמת. נבדוק אם השיקול נכון או לו נכון. A B A B (A B)ΛB ((A B)ΛB) A אינה טאוטולוגיה. אז השיקול (( A B) B) מהטבלה ברור כי הנוסחה A לא נכון. באותו זמן המסקנה A אמיתית. כמו בדוגמא הקודמת יהיו : A = " מספר a הוא ראשוני ", = B " מספר a אי זוגי ". אימפליקציה = A B " אם מספר a ראשוני אז הוא אי זוגי ". נתבונן בשיקול: (B )) A = " אם מספר a ראשוני אז הוא אי זוגי. מספר 5 A) B לכן מספר a אי זוגי." טבלת האמת היא דוגמה 2. ראשוני. A B A B (A B)ΛA ((A B)ΛA) B A) (( A B) נכון. B קיבלנו טאוטולוגיה. לכן השיקול 7
יהיו : A = " יורם הוא ספורטאי ", = B " יורם תמיד בריא. ". אימפליקציה = A B " אם יורם ספורטאי אז הוא תמיד בריא ". נתבונן בשיקול: (B )) A = " אם יורם ספורטאי אז הוא תמיד בריא. יורם B) A לא תמיד בריא. לכן הוא לא ספורטאי." טבלת האמת היא A B A B (A B)Λ B ((A B)Λ B) A B) (( A B) נכון. A שוב קיבלנו טאוטולוגיה. לכן גם השיקול דוגמה 3. חלק : 2 תחשיב היחסים. (פר די קטים) תחשיב הפסוקים היינו עיון לוגי המוגבל מאוד. יש הרבה שיקולים לוגיים שאי אפשר לתאר אותם במסגרת תחשיב הפסוקים. דוגמאות: שלומה אינו חבר של שאול. לכן שלומה אינו כל חברו של דוד היינו חבר של שאול. 1. חבר של דוד. 2. מספר ראשוני 2 היינו זוגי. לכן קיימים מספרים ראשוניים זוגיים. "כל" נכונות של השיקולים האלה מבוססת במבנה הפנימי של המשפטים ובמשמעות של המילים כמתים. n מקומיים. ו- "קיימים". 1). יחסים (פרדיקטים) הנחנו כ- x הוא פשוט איזהו " x מספר זוגי " קודם, בתחשיב הפסוקים, כאשר כתבנו לדוגמה עכשיו נתבונן במשפטים התלויים בפרמטרים ז''א נניח כאותיות מספר קונקרטי לא ידוע לנו. לדוגמא נבין במילים אחרות במקום האותיות ניתן להציב ערכים שלהן. מציגים משתנים. " x קטן מ- " y, " נקודות B, A ו- C נמצאות באותו ישר " " x מספר זוגי ", כבמשפטים אם במקום x בדוגמא הראשונה לקחת איזהו מספר שלם אותיות C B,, A, y, x הן משתנים. " x אם 2=x אז פסוק קונקרטי אז אנו נקבל פסוק ואפשר להגיד אם הוא אמיתי או שקרי. 3=x הוא שקרי. אם מספר זוגי " אמיתי, נראה כאת המשפטים התלויים בפרמטרים ניתן להבין כיחסים.. A A בתורת הקבוצות הגדרנו יחס על הקבוצה A נכליל את המושג. כתת-קבוצה של מכפלה קרטזית עכשיו הגדרה. יחס n -מקומי על קבוצה A היינו תת קבוצה של במילים אחרות,. A A... A n פעמים יחס חד מקומי הוא תת קבוצה של קבוצה A עצמה, יחס דו מקומי הוא קבוצת זוגות סדירים של איברים מ-, A יחס תלת מקומי הוא קבוצת שלשית סדירים של איברים מ-, A וכ''ו..( <,=, + את היחסים מסמנים כרגיל באותיות לועזיות גדולות (או בסימונים מיוחדים כמו 8
, E( = { x Z 2 מתחלק ב x} : Z מספר זוגי " הוא יחס חד-מקומי על x " < ( = { < y > R R y קטן מ x} : R היינו יחס דו-מקומי על " y קטן מ- x " " נקודות B, A ו- C נמצאות באותו ישר " הוא יחס תלת-מקומי על : R 2 2 L ( A, B, C) = { < A, B, {נקודה C שייכת לישר AB) C > R ( אז > x < x 1, x,..., במקום 2 n R ו- C נמצאות באותו ישר ניתן אם יחס n -מקומי מסומן לדוגמה באות R אז ניתן לרשום B, A למשל את העובדה כשלוש נקודות. R(x 1,x 2,...,x n ) < A, B, לרשום C > L x = y,, < וכו' >,, ליחסים המוכרים כמו = במקום =( x < y, במקום <( משתמשים בסימונים רגילים, וכו', ז''א כותבים. A ל- A A... A n פעמים הגדרה. פעולה n -מקומית על קבוצה A היינה פונקציה מ-, R פעולה חד-מקומית על - x, R פעולה דו-מקומית על - + R דוגמאות:.1.2 < x, x,..., 1 2 xn > A... A n פעמים כשנתון יחס R על הקבוצה A לאיבר שרירותי תענה x2,..., < x1, ושקרית xn > R היינה אמיתית כאשר " R שייך ליחס < x 1, x2,..., xn > " < x <,x1 x,...,. לכן את כל יחס ניתן להבין כפונקציה לוגית 2 n במקרה R x2,..., < x1, וערך אמיתי x > n R כש- " המקבלת ערך אמיתי R : A... A {, } n פעמים < x <,x1 x,...,. במשמעות הזו קוראים ליחס n -מקומי גם פרדיקט n -מקומי. 2 n R כש- " " כך " x מספר זוגי " הוא פרדיקט חד-מקומי על Z המקבל ערך " כאשר במקום x מציבים מספר זוגי וערך " " כאשר במקום x מציבים מספר אי-זוגי. את הפסוקים הרגילים " 2 (כמו הוא מספר זוגי " מבינים (לפי הגדרה) כפרדיקטום 0 -מקומיים.,,. כתוצאה נקבל פרדיקטים,, על הפרדיקטים ניתן לבצע פעולות לוגיות : חדשים.. ( מתחלק ב 3 " = x ", E( מתחלק ב 2 " = " x יהיו דוגמא: E( ( מתחלק גם ב 2 גם ב "3 = אז " x E( ( מתחלק ב "3 = מתחלק ב 2 או x "או x. E( ( מתחלק ב "3 = מתחלק ב 2 אז x "אם x עכשיו נגדיר מושגים מיוחדים לתחשיב היחסים: כמתים. " " לכל איבר x של הקבוצה. A " " או ערך פרדיקט המקבל ערך יהיה x A ושקרי אם )P (x ) נבין כפסוק האמיתי כש- אמיתי לכל את הביטוי (x לסימון ( קוראים." x " לכל קוראים ( x ) את הביטוי. x A כמת הכל (או כמת כלילות). x A כך ש- אמיתי ושקרי (x ( נבין כפסוק האמיתי כשקיים את הביטוי (x לסימון ( קוראים " קיים x כך ש-." x ) ( קוראים במקרה הנגדי. את הביטוי (x 9
(או כמת קיים כמת קיימות). דוגמאות: 1. נרשום דרך סמנים לוגיים את המשפט: " לכל מספר רציונלי ריבוע שלו הוא מספר רציונלי ". מגדירים על קבוצת R את הפרדיקטים: ( - Q 1 מספר x רציונלי, ( - Q 2 מספר x 2 רציונלי ( Q ( ומקבלים : )) ( Q ( 1 2 x 2. נרשום דרך סמנים לוגיים את המשפט: " קיים מספר שלם המתחלק גם ב- 2 וגם ב- 3 ". מגדירים על קבוצת R את הפרדיקטים: ( - Q 1 מספר x שלם, ( - Q 2 מספר x מתחלק ב- 2, ( - Q 3 מספר x מתחלק ב- 3 ( Q ( ( Q ( ומקבלים : ))) ( Q ( 1 2 3 x 3. תרשמו דרך סמנים לוגיים את המשפט: - " לכל מספר ממשי הגדול או שווה לאפס קיים שורש ריבועי שלו ". 2). שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות. מבנים. אלף-בית של שפת תחשיב הפרדיקטים מורכב מ-.1 סוגריים ) (,,,,,,.2 הקשרים.3 הכמתים,,.4 אותיות שתקראנה משתנים ) x... u, z, y, (,.5 אותיות שיסמנו קבועים ) למשל, 0,Ø..., e,π,1 (, 6. אות שתייצג את סימן השוויון: =,.7 אותיות שמסמנים יחסים (פרדיקטים) : <, >, P..., R, תהיה הפרדה ברורה בין אותיות שמייצגות יחסים חד-מקומיים, דו-מקומיים וכו',.8 אותיות שמסמנים פעולות. ) +, : (...,. ביטוי המורכב מהסימונים 1.-8. של אלף-בית נקרא מילה בספת תחשיב הפרדיקטים. צריך לתאן שאנו מבינים מילה באופן פורמלי, משתנים, פרדיקטים ופעולות. אם לפני איזהו משתנה x אומד כמת או במקרה נגדי אומרים שמשתנה חופשי לא שמים לב על משמעות קונקרטית של אומרים שהמשתנה היינו קשור (בכמת). מילה נקראת נוסחה לוגית (או פשוט נוסחה) אם.1 ביטוי ) n x 1,x 2,...,x כאשר P סימן של פרדיקט, n x 1,x 2,...,x משתנים, הוא נוסחה. (נוסחה כזו נקראת נוסחה אתומית). 2. אם A נוסחה אז A גם נוסחה. 3. יהיו A ו- B נוסחאות ואין משתנים החופשיים בנוסחה אחת ובזמית קשורים B) ( A B), ( A גם נוסחאות. בכן בנוסחה אחרת. אז B) ( A B), ( A, משתנים החופשיים בנוסחאות A ו- B נשארים חופשיים ומשתנים הקשורים בנוסחאות A ו- B נשארים קשורים. 4. יהי A נוסחה הכוללת משתנה חופשי. x אז ביטויים ( A ו- ( A גם נוסחאות. משתנה x בן הוא קשור. משתנים החופשיים ב- A נשארים חופשיים גם הגדרה: 10
. משתנים הקשורים ב- A נשארים קשורים גם ב- ( A ב- ( A וב- A ( וב- A (. A נוסחה ( A בנוסחה. ( A נקראת. ( הגדרה. בנוסחה A ( נוסחה נקראת תחום של כמת תחום של כמת,x - )P נוסחה אתומית. P סימון של פרדיקט תלת מקומי. כל המשתנים y, z) y, z חופשיים. ( ( - נוסחה. x ו- y משתנים קשורים, y, z) ( u) z ו- u משתנים חופשיים..1.2.3.4 דוגמאות: (y )(x ( - אינו נוסחה כי משתנה x הוא קשור z) ביטוי (y. (y אך הוא חופשי ב- ( )(x (y ב- (z ( ( - הוא נוסחה. x ו- y משתנים קשורים, ( z) ביטוי ((y )P ( מציג פרדיקט תלת-מקומי. z) ((y משתנה חופשי. הביטוי z m משתנים צריך לשים לב שאם אנו ניתן משמעות קונקרטית לכל הסימונים בנוסחה הכוללת בפרט אם בנוסחה הנתונה אין משתנים חופשיים אז נקבל חופשיים אז נקבל פרדיקט m -מקומי. A הוא מערכת של מבנה > f M = <,M של הנוסחה מבנה. פסוק. כך אנו מגיעים למושג f היא שיטה להענקת משמעות קונקרטית לסימונים. f ההתאמה M והתאמה קבוצה לא ריקה בנוסחה. ( ( (. ניתן לתת ל- ול- משמעויות יהי נוסחה ((y שונות. למשל א) " x גדול או שווה ל- x ", = " y קטן או שווה ל- = " y, כאשר y Z. ב) " xy גדול מ- " 10 = x+ y ", קטן מ- " 2 = כאשר y N במקרה א) קבלנו פסוק אמיתי " לכל מספר שלם x קיים מספר שלם y כך ש- x גדול או שווה ל- y ו- x קטן או שווה ל- " y, במקרה ב) קבלנו פסוק שקרי " לכל מספר טבעי x קיים מספר טבעי y כך ש- xy גדול מ- 10 ו- +x y קטן מ- " 2. דוגמה. מהדוגמה נראה כבדרך כלל אמיתיות של הנוסחה תלויה במבנה. אם במבנה הנתון > f M = <,M הנוסחה הנתונה A אמיתית אז אומרים שהמבנה מספק את הנוסחה או שנוסחה )(x ( מסתפקת במבנה א) ( מסתפקת במבנה. בדוגמה הקודמת הנוסחה ((y אך היא לא מסתפקת במבנה ב). יש לטעון שקיימות נוסחאות שאמיתיות שלהן לא תלויה במבנה. לדוגמה הנוסחה ( x )( ( ((y תמיד אמיתית והנוסחה ( )(x y )( ) תמיד שקרית. נוסחה A נקראת אמיתית לוגית אם היא אמיתית בכל מבנה. לדוגמה הנוסחה ( x )( ( היינה אמיתית לוגית. ) מושג של נוסחה האמיתית לוגית היינו הכללה של טאוטולוגיה בתחשיב הפסוקים. 3). שקילות של נוסחאות. פעולות על נוסחאות עם כמתים. יהיו ו- G נוסחאות שיש בן אותם משתנים חופשיים (עולי קבוצה ריקה). הגדרה 1. נוסחאות ו- G נקראות שקולות במבנה הנתון > f M = <,M אם לכל הערכים 11
של משתנים חופשיים הן מקבלות אותם ערכי האמת.. 2 נוסחאות ו- G נקראות שקולות בקבוצה M אם הן שקולות בכל מבנה.M על הקבוצה M = < M, f > 3. נוסחאות ו- G נקראות שקולות לוגית אם הן שקולות בכל קבוצה M. הגדרה הגדרה G את נוסחאות ו- G השקולות לוגית נסמן דוגמאות. M = < M, f > שקולות במבנה ( ( ) ו- ( ( נוסחאות.1 אך הנוסחאות האלה לא שקולות במבנה = " x 1" f : 2 = " x 1" M = N ו- כאשר = "1 x 2" f : = " x 3" M = N ו- כאשר > f M = < M, M כאשר בקבוצה M = < M, f > שקולות בכל מבנה ( ו- ( נוסחאות. 2 יש בדיוק איבר אחד. x )( ( שקולות בכל מבנה ) ו- ( ( ( נוסחאות )).3 > f, M = < M, ז''א הן שקולות לוגית. עכשיו נעבור לפעולות על נוסחאות עם כמתים. נתחיל ממקרה של פרדיקטים חד-מקומיים. U( מוגדר על קבוצה סופית } n A = {a 1, a 2,..., a אז נכון ש- אם פרדיקט ( U ( U ( a1) U ( a2)... U ( an ) U ( U ( a ) U ( a )... U ( a ) ( 1 2 n היינו הכללה של דיסיונקציה. היינו הכללה של קוניונקציה וכמת זאת אומרת כמת נרשום כמה שקילויות חשובות הנותנות לבצע פעולות על נוסחאות עם כמתים. מתקיים: משפט 1., (( x ) U ( ) ( ( U ( ) (1). (( U ( ) ( ( U ( ) (2) א'' הוכחה. נוכיח את השקילות הראשונה. x ז''א לא לכל ערך של, ( x ) U ( = אז. (( U ( ) = יהיה a) U (. לכן = אז. U ( a) = כך ש- a M אמיתי. לכן קיים U(. ( ( U ( ) a) U ( ז = כך ש- a M אז קיים. ( ( U ( ) להפך יהיה. (( x ) U ( ) = ו- ( x ) U ( = לכן. U ( a) = באופן דומה מוכיחים את השקילות השניה. משפט 2. מתקיים:, ( ( ) ( ( (3). ( ( ) ( ( (4) ללא הוכחה. נתקבל 12
ש-, ( ( ) ( (. ( ( ) ( (, ( ( ( ( ). ( ( ) ( ( הערה. בדרך כלל לא נכון (5) (6) (7) (8) נכון רק ש- (6)-(5) Q אם אחד מהפרדיקטים P ו- לא תלוי ב- x אז גם נכונות. פרדיקטים בקבוצה = = x ", מתחלק ב- " 2 " x מתחלק ב- " 3 דוגמאות: 1. יהיה (x ( שקרית אך הנוסחה ( הנוסחה. A = { 2, 3, 4, 6, 8, 9,... } ( ( אמיתית. ) פרדיקטים בקבוצה = = x ", מתחלק ב- " 2 " x מתחלק ב- " 3.2 יהיה ( ( ) אמיתית אך הנוסחה ( ( הנוסחה. B = { 2, 3 } שקרית. פרדיקטים בקבוצה =, " 6 מתחלק ב- " 2 = Q " x מתחלק ב- " 3.3 יהיה ( ( שקולות. Q) ( Q הנוסחאות. A = { 2, 3, 4, 6, 8, 9,... } נעבור לפרדיקטים דו-מקומיים. U( פרדיקט דו-מקומי כאשר L תכום של משתנה x ו- M תכום של משתנה y יהיה (במקרה M=L אומרים שהפרדיקט מוגדר בקבוצה ( M. בעזרת כמתים ניתן לבנות ארבעה פרדיקטים חד-מקומיים, P1 ( = (, P2 ( = (, Q1 ( = ( Q ( = ( ) 2 y ושמונה נוסחאות הבאות:, ( (, ( ( ( (, ( (, ( (, ( ( y ) ( (, ( ( ניתן להכליל למקרה של פרדיקטים דו-מקומיים. לדוגמה, (( ) (, (( y ) ) (, (( x )( ) ( (. (( ( ) ( ( את המשפטים 2-1 במילים: כדי למצוא שלילה של הנוסחה המתחילה בכמתים צריך להחליף כל כמת בכמת דואלי ) ז''א להחליף ב- ולהפך ( ולהעביר דרך הכמתים. 13
. ( ( ( דוגמה. למצוא שלילה של הנוסחה ((y (( ( ( )) ( ( ( ) ( ( ( ) פתרון:, ( ( ( ( אפשר להראות ש- (y, ( ( ( ( אבל לא נכון ש-, ( ( ( (. ( ( ( ( נכון רק ש-, ( ( ( (. ( ( ( ( דוגמה: ( ( יהיה " y U( = " x פרדיקט דו-מקומי המוגדר ב-. Z הנוסחה ( ( אמיתית אך שקרית. הנוסחה ( ( אמיתית אך הנוסחה (y ( ( שקרית. הנוסחה (y בסוף נטען כי נוסחאות של הסעיף ניתן להכליל גם למקרה של פרדיקטים n -מקומיים. 14