Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc tou metasqhmatismoô Laplace O metasqhmatismìc Laplace apoteleð genðkeush tou metasqhmatismoô Fourier gia ta s mata suneqoôc qrìnou. O metasqhmatismìc Laplace tou suneqoôc s matoc x(t) orðzetai wc ex c X(s) = x(t)e st dt, ìpou s eðnai migadik metablht. Eˆn jèsoume s = iω, dhlad eˆn periorisjoôme sto fantastikì ˆxona, lambˆnoume to metasqhmatismì Fourier tou s matoc. To sônolo twn tim n thc metablht c s gia tic opoðec to olokl rwma upˆrqei, onomˆzetai perioq sôgklishc. Prìkeitai gia to sônolo twn tim n thc metablht c s gia tic opoðec upˆrqei to akìloujo olokl rwma x(t) e R[s]t dt < Epomènwc h perioq sôgklishc orðzetai sto migadikì epðpedo me lwrðdec parˆllhlec sto fantastikì ˆxona. Gia s mata peperasmènhc diˆrkeiac kai apìluta oloklhr sima h perioq sôgklishc eðnai olìklhro to migadikì epðpedo. Gia aitiatˆ s mata, h perioq sôgklishc eðnai èna dexiì hmiepðpedo orizìmeno apì R[s] > γ. Ikan sunj kh gi' autì eðnai x(t) µe γt, t 0. Parˆdeigma 8... Eˆn x(t) = e iω 0t u(t), tìte x(t), t 0. 'Ara upˆrqei to parapˆnw olokl rwma gia R[s] > 0. Eˆn ìmwc x(t) = e iω 0t, t, tìte to olokl rwma den upˆrqei, afoô ja apaitoôntan gia th sôgklish gia t < 0 na eðnai R[s] < 0. Den mporeð epomènwc na sugklðnei tautìqrona gia t 0 kai t < 0. O metasqhmatismìc Laplace ja mporoôse na sundejeð kai me to metasqhmatismì Z mèsw thc apeikìnishc z = e s, pou apeikonðzei eujeðec parˆllhlec sto fantastikì ˆxona apì to epðpedo s se kôklouc me kèntro thn arq sto epðpedo z. O Ðdioc o fantastikìc ˆxonac apeikonðzetai sto monadiaðo kôklo tou epipèdou z. O antðstrofoc metasqhmatismìc Laplace dðdei to arqikì s ma x(t) = i2π σ+i σ i X(s)e st ds, 60

ìpou h olokl rwsh gðnetai pˆnw se mia eujeða parˆllhlh sto fantastikì ˆxona pou an kei sthn perioq sôgklishc. O metasqhmatismìc Laplace tou kroustikoô s matoc δ(t) orðzetai se ìlo to migadikì epðpedo kai eðnai. Parˆdeigma 8..2. Ac jewr soume to s ma O metasqhmatismìc Laplace ja eðnai X(s) = x(t) = e αt u(t). 0 e αt e st dt = s + α, me perioq sôgklishc R[s] > α. Eˆn jèsoume α = 0 lambˆnoume to metasqhmatismì Laplace tou bhmatikoô s matoc Parˆdeigma 8..3. Ac jewr soume to s ma O metasqhmatismìc Laplace ja eðnai me perioq sôgklishc R[s] < α. X(s) =, R[s] > 0. s x(t) = e αt u( t). 0 X(s) = e αt e st dt = Parˆdeigma 8..3. Ac eðnai o metasqhmatismìc Laplace X(s) = 0 (s + α)(s + β), me α > β. MporoÔme na analôsoume se klˆsmata wc ex c X(s) = ( β α s + α ). s + β e (α+s)t dt = s + α, Eˆn R[s] > β, Eˆn β > R[s] > α, Eˆn R[s] < α, x(t) = e αt e βt u(t). β α x(t) = β α (e αt u(t) + e βt u( t)). x(t) = e βt e αt u( t). β α 6

8.2 Idiìthtec tou metasqhmatismoô Laplace Ac èljoume t ra se merikèc idiìthtec tou metasqhmatismoô Laplace.. Grammikìthta Eˆn X (s) eðnai o metasqhmatismìc Laplace tou s matoc x (t) me perioq sôgklishc R kai X 2 (s) eðnai o metasqhmatismìc Laplace tou s matoc x 2 (t) me perioq sôgklishc R 2, tìte o metasqhmatismìc Laplace enìc grammikoô sunduasmoô twn dôo a x (t) + a 2 x 2 (t) eðnai a X (s) + a 2 X 2 (s) me perioq sôgklishc pou egkleðei thn tom R R2. 2. Qronik metatìpish me thn Ðdia perioq sôgklishc. x(t t 0 )e st dt = e st 0 X(s), 3. Antistrof qrìnou An X(s) eðnai o metasqhmatismìc Laplace tou s matoc x(t) me perioq sôgklishc R +, tìte o metasqhmatismìc Laplace tou s matoc x( t) eðnai X( s), me perioq sôgklishc thn antðjeth thc arqik c, pou sumbolðzoume R. Eˆn èna s ma eðnai ˆrtio, x(t) = x( t), tìte X(s) = X( s). Eˆn èna s ma eðnai perittì, x(t) = x( t), tìte X(s) = X( s). Kai stic dôo peript seic h perioq sôgklishc ja eðnai R + R. 4. Allag klðmakac qrìnou An X(s) eðnai o metasqhmatismìc Laplace tou s matoc x(t), tìte o metasqhmatismìc Laplace tou s matoc x(at) eðnai a X( s ), me perioq sôgklishc ste to s a a na an kei sthn perioq sôgklishc tou X(s). 5. Metatìpish sto migadikì epðpedo e s 0t x(t)e st dt = X(s s 0 ), me perioq sôgklishc ste to s s 0 na an kei sthn perioq sôgklishc tou X(s). 6. Sunèlixh O metasqhmatismìc Laplace thc y(t), pou prokôptei wc sunèlixh thc h(t) me th x(t) èqei wc ex c Y (s) = H(s)X(s) ìpou H(s) eðnai o metasqhmatismìc Laplace thc h(t). Eˆn h(t) eðnai h kroustik apìkrish enìc sust matoc, h H(s) onomˆzetai sunˆrthsh metaforˆc tou sust matoc. H perioq sôgklishc tou metasqhmatismoô Y (s) egkleðei thn tom, R R2, twn perioq n sôgklishc twn dôo mel n thc sunèlixhc. 7. Parag gish sto qrìno IsqÔei ìti dx(t) e st dt = sx(s). dt 62

8. Parag gish sto migadikì epðpedo IsqÔei ìti 9. Olokl rwsh sto qrìno IsqÔei ìti tx(t)e st dt = dx(s). ds ( t ) x(τ)dτ e st dt = X(s). s Parˆdeigma 8.2.. Ac jewr soume to s ma (Sq ma 4.2) O metasqhmatismìc Laplace ja eðnai x(t) = e α t = e αt u(t) + e αt u( t). X(s) = s + α + s + α = 2α α 2 s 2, me perioq sôgklishc α > R[s] > α. 'Ara ja prèpei na eðnai α > 0. Parˆdeigma 8.2.2. Ac jewr soume to s ma x(t) = cos(ω 0 t)u(t) = 2 ( e iω 0 t + e iω 0t ) u(t). O metasqhmatismìc Laplace me perioq sôgklishc R[s] > 0 ja eðnai X(s) = ( ) s + = 2 s iω 0 s + iω 0 s 2 + ω0 2. Parˆdeigma 8.2.3. Ac jewr soume to s ma x(t) = sin(ω 0 t)u(t) = 2i ( e iω 0 t e iω 0t ) u(t). O metasqhmatismìc Laplace me perioq sôgklishc R[s] > 0 ja eðnai X(s) = ( ) = ω 0 2i s iω 0 s + iω 0 s 2 + ω0 2. Parˆdeigma 8.2.4. Ac jewr soume to s ma (Sq ma 2.6(a)) x(t) = e αt cos(ω 0 t)u(t) = 2 ( e α+iω 0 t + e α iω 0t ) u(t). O metasqhmatismìc Laplace me perioq sôgklishc R[s] > α ja eðnai X(s) = ( ) s + α + = 2 s + α iω 0 s + α + iω 0 (s + α) 2 + ω0 2. 63

Parˆdeigma 8.2.5. Ac jewr soume to s ma x(t) = e αt sin(ω 0 t)u(t) = 2i ( e α+iω 0 t e α iω 0t ) u(t). O metasqhmatismìc Laplace me perioq sôgklishc R[s] > α ja eðnai X(s) = ( ) ω 0 = 2i s + α iω 0 s + α + iω 0 (s + α) 2 + ω0 2. Parˆdeigma 8.2.6. Ac jewr soume to s ma x(t) = e αt u(t). O metasqhmatismìc Laplace tou y(t) = tx(t) ja eðnai Y (s) = O metasqhmatismìc Laplace tou t n x(t) ja eðnai (s + α) 2. n! (s + α) n+. 8.3 Metasqhmatismìc Laplace kai grammikˆ qronikˆ ametˆblhta sust mata Ac jewr soume t ra ta aitiatˆ sust mata me ˆpeirh kroustik apìkrish, pou dðdontai apì mða diaforik exðswsh N a(k) dk y(t) M = b(k) dk x(t). dt dt k=0 Efarmìzontac thn idiìthta thc parag gishc sto qrìno gia to metasqhmatismì Laplace prokôptei ìti h sunˆrthsh metaforˆc autoô tou sust matoc eðnai Ðsh me to lìgo dôo poluwnômwn thc migadik c metablht c s, k=0 H(s) = Y (s) X(s) = B(s) A(s) = M k=0 b(k)sk N k=0 a(k)sk Oi rðzec tou B(s) onomˆzontai mhdenikˆ tou sust matoc, en oi rðzec tou poluwnômou tou paranomast onomˆzontai pìloi tou sust matoc. Parˆdeigma 8.3.. Ac jewr soume th diaforik exðswsh dy(t) dt = αy(t) + u(t), t 0, y(0) = 0, α > 0. Qrhsimopoi ntac to metasqhmatismì Laplace brðskoume sy (s) = αy (s) + s, 64

( exp( t)) Heaviside(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 3 4 5 t Sq ma 8.: H bhmatik apìkrish tou sust matoc pr thc tˆxhc tou ParadeÐgmatoc 8.3.. 'Ara h apìkrish ja eðnai Y (s) = s(s + α) = ( α s ). s + α y(t) = α ( e αt )u(t). Parˆdeigma 8.3.2. To sôsthma me sunˆrthsh metaforˆc ω 0 H(s) = (s + α) 2 + ω0 2 èqei dôo pìlouc: α + iω 0, α iω 0. = ω 0 (s + α + iω 0 )(s + α iω 0 ), Pole Zero Map 3 2 Imaginary Axis 0 2 3 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Real Axis Sq ma 8.2: Oi pìloi tou sust matoc deôterhc tˆxhc tou ParadeÐgmatoc 8.3.2. Ikan kai anagkaða sunj kh gia thn eustˆjeia enìc sust matoc eðnai h Ôparxh tou metasqhmatismoô Laplace pˆnw sto fantastikì ˆxona, h(t) dt <. 'Ara ja prèpei h perioq sôgklishc tou metasqhmatismoô Laplace thc kroustik c apìkrishc tou sust matoc na perilambˆnei to fantastikì ˆxona. EÐnai fanerì apì ton orismì thc 65

eustˆjeiac, ìti ìla ta sust mata me peperasmènh kroustik apìkrish eðnai eustaj. Opìte, gia ta sust mata pou orðzontai mèsw miac diaforik c exðswshc, h sunj kh eustˆjeiac mporeð na ekfrasjeð me bˆsh th jèsh twn riz n tou poluwnômou A(s). 'Ena fðltro me sunˆrthsh metaforˆc ìpwc parapˆnw eðnai eustajèc, eˆn, kai mìno eˆn, A(s) 0 gia R[s] 0, dhlad eˆn ìloi oi pìloi èqoun arnhtikì pragmatikì mèroc. Gia èna sôsthma pr thc tˆxhc (Parˆdeigma 8.3.) h sunj kh thc eustˆjeiac eðnai α < 0. Gia èna sôsthma deôterhc tˆxhc me dôo migadikèc rðzec, ìpwc autì tou ParadeÐgmatoc 8.3.2, h sunj kh thc eustˆjeiac eðnai epðshc α < 0. 66

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί..

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Γιώργος Τζιρίτας. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς. Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση:.0. Ηράκλειο/Ρέθυμνο 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy25/