Κεφάλαιο 9 Γραµµική Ορµή little knowledge is a dangerous thing, so is a lot. lbert Einstein
Περιεχόµενα Κεφαλαίου 9 Σχέση Ορµής και Δύναµης Διατήρηση της ορµής Κρούση και Ώθηση Διατήρηση ενέργειας και ορµής στις κρούσεις Ελαστικές κρούσεις σε µία διάσταση Ανελαστικές Κρούσεις Κρούσεις σε πολλές διαστάσεις Το κέντρο µάζας Μεταφορική Κίνηση και το Κέντρο Μάζας
9-1 Σχέση Ορµής και Δύναµης Η ορµή είναι διάνυσµα που ορίζεται από τη σχέση Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής µας δίνει τη δύναµη: Η απόδειξη της σχέσης βασίζεται στο 2 ο Νόµο του Νεύτωνα.
Ένας καλός παίχτης του τένις µπορεί να σερβίρει τη µπάλα µε ταχύτητα 55 /s (200k/h). Εάν η µπάλα ζυγίζει 0.060 kg και παραµένει σε επαφή µε την ρακέτα για 4 s (4 x 10-3 s), βρείτε τη µέση δύναµη που ασκείται στη µπάλα. Είναι αρκετή η δύναµη αυτή να σηκώσει ένα άτοµο 60-kg ; ΛΥΣΗ
Η παροχή νερού είναι 1.5 kg/s και η ταχύτητα ροής 20 /s. Πόση δύναµη ασκεί το νερό πάνω στο αυτοκίνητο; (αγνοούµε το «πιτσίλισµα») ΛΥΣΗ
9-2 Διατήρηση της Ορµής Οι µετρήσεις (πειράµατα) δείχνουν ότι κατά τη διάρκεια µιας κρούσης η ορµή δεν µεταβάλλεται.
9-2 Διατήρηση της Ορµής Εάν εφαρµόσουµε το νόµο του Νεύτωνα περί δράσης και αντίδρασης, βλέπουµε ότι εφόσον ο «χρόνος» της κρούσης είναι πολύ µικρός ώστε να MHN έχουµε τη δράση εξωτερικής δύναµης, για κάθε δύναµη υπάρχει η «αντίδρασή της» και εποµένως η ορµή διατηρείται
9-2 Διατήρηση της Ορµής Για πολλά αντικείµενα (>2), Όπου F i είναι η συνολική εξωτερική δύναµη στο αντικείµενο i Όπου F ext είναι η συνολική εξωτερική δύναµη στο σύστηµα
Αρχή διατήρησης της ορµής: Όταν η συνολική εξωτερική δύναµη που ασκείται σε ένα σύστηµα είναι µηδέν, η συνολική ορµή παραµένει σταθερή. ή, 9-2 Διατήρηση της Ορµής Η συνολική ορµή ενός αποµονωµένου συστήµατος παραµένει σταθερή.
Ένα βαγόνι τραίνου 10,000-kg,, κινείται µε ταχύτητα 24.0 /s και συγκρούεται µε ένα πανοµοιότυπο βαγόνι, B, που είναι ακίνητο. Εφόσον τα βαγόνια «κλειδώσουν» ποια είναι η ταχύτητά τους µετά την κρούση; ΛΥΣΗ
Υπολογίστε την ανάκρουση ενός όπλου που ζυγίζει 5.0kg και εκτοξεύει τη σφαίρα µάζας 0.020kg µε ταχύτητα 620 /s. ΛΥΣΗ
(α) Η Μαρία φοράει πέδιλα πάγου και αρχικά είναι ακίνητη πάνω στον πάγο. Πιάνεται από ένα έλκηθρο που κινείται πάνω σε πάγο µε µηδενική τριβή, και αρχίζει να κινείται µαζί του. Η ταχύτητα του έλκηθρου αυξάνεται, µειώνεται ή παραµένει σταθερή; Η ταχύτητα µειώνεται διότι η µάζα του έλκηθρου είναι τώρα µεγαλύτερη και προκειµένου να διατηρηθεί η ορµή πρέπει να µειωθεί η ταχύτητα M 0 + EvE < + ( ) E M + E v v ve v ve E M < 1 (β) Εάν η Μαρία µετά από λίγο αφήσει το έλκηθρο τι θα συµβεί; Η Μαρία πρέπει να διατηρήσει την ορµή της, όπως επίσης και το έλκηθρο, εποµένως έχουµε: ( ) M + E v M vm + EvE v vm ve
9-3 Κρούσεις και Ώθηση Κατά τις κρούσεις τα αντικείµενα παραµορφώνονται λόγω των µεγάλων δυνάµεων που αναπτύσσονται
9-3 Κρούσεις και Ώθηση Ορίζουµε την Ώθηση, J: Στην ουσία βλέπουµε ότι η ώθηση είναι η µεταβολή της ορµής:
9-3 Κρούσεις και Ώθηση Ο χρόνος της κρούσης είναι γενικά µικρός, και εποµένως µπορούµε κατά προσέγγιση να χρησιµοποιήσιµε τη µέση δύναµη δηλ.
9-4 Διατήρηση ενέργειας και Ορµής κατά τις κρούσεις ***Η ορµή διατηρείται για όλες τις µορφές κρούσεων*** Κρούσεις κατά τις οποίες διατηρείται η Κινητική Ενέργεια (Κ.Ε.) ονοµάζονται Ελαστικές. Όταν η Κ.Ε. αλλάζει έχουµε ανελαστικές κρούσεις. Στην περίπτωση που έχουµε νέες µάζες (άλλα αντικείµενα µετά την κρούση) τότε έχουµε κρούσεις που οδηγούν σε χηµικές αντιδράσεις.
Για ελαστική κρούση δύο γνωστών µαζών 1 και 2, µε γνωστές ταχύτητες v Α και v B, µπορούµε να υπολογίσουµε τις τελικές ταχύτητες v Α και v B, από τις δύο σχέσεις της διατήρησης της ενέργειας και της ορµής
Η µπάλα µε µάζα κινείται µε ταχύτητα v και συγκρούεται «κατακέφαλα» µε τη B ίσης µάζας. Εάν υποθέσουµε ότι έχουµε ελαστική κρούση βρείτε τις τελικές ταχύτητες όταν (α) και οι δύο µπάλες αρχικά κινούνται µε ταχύτητες (v και v B ), (β) όταν v B 0 ΛΥΣΗ
Ένα πρωτόνιο (p) µάζας 1.01 u (unified atoic ass units) κινείται µε ταχύτητα 3.60 x 10 4 /s και συγκρούεται (κατακέφαλα) µε ένα πυρήνα Ηλίου (He) ( He 4.00 u) αρχικά ακίνητο. Ποιες είναι οι τελικές ταχύτητες των σωµατιδίων; Υποθέτουµε ότι οι κρούσεις γίνονται στο κενό. ΛΥΣΗ
9-6 Ανελαστικές Κρούσεις Με ανελαστικές κρούσεις τµήµα της αρχικής ενέργειας των «αντιδρώντων» χάνεται σε άλλες µορφές ενέργειας όπως δυναµική ή κινητική ενέργεια. Αυτό µπορεί να συµβεί όταν τα συγκρουόµενα σωµατίδια δεν είναι ασυµπίεστες σφαίρες (π.χ. µόρια αντί για άτοµα) αλλά έχουν εσωτερικούς βαθµούς ελευθερίας. Μια εντελώς ανελαστική κρούση έχουµε όταν τα δύο συγκρουόµενα σωµατίδια µετά τη σύγκρουση κολλήσουν και γίνουν ένα.
Το βαλλιστικό εκκρεµές είναι ένα όργανο µε το οποίο µπορούµε να µετρήσουµε την ταχύτητα µιας σφαίρας. Η σφαίρα µάζας, καρφώνεται σε ένα όγκο µάζας M, που αποτελεί ένα εκκρεµές. Σαν αποτέλεσµα το σύστηµα όγκος και σφαίρα, µετατοπίζονται σε ύψος, h, από το οποίο προσδιορίζουµε την ταχύτητα της σφαίρας ΛΥΣΗ
9-7 Κρούσεις σε 2 και 3 διαστάσεις Η διατήρηση της ενέργειας και της ορµής µπορεί να αξιοποιηθεί για την επίλυση προβληµάτων κρούσεων σε 2 ή 3 διαστάσεις. Τις περισσότερες φορές όµως η πολυπλοκότητα του προβλήµατος το καθιστά πολύ δύσκολο για να επιλυθεί επακριβώς. Στην εικόνα π.χ. γνώση των µαζών και των µέτρων των ταχυτήτων δεν επαρκή. Πρέπει να γνωρίζουµε τις γωνίες
Η µπάλα που κινείται µε ταχύτητα v 3.0 /s στη διεύθυνση +x χτυπά την πανοµοιότυπη µπάλα B (ακίνητη αρχικώς). Μετά την κρούση οι µπάλες ακολουθούν τις πορείες του σχήµατος. Βρείτε την τελική ταχύτητα της κάθε µπάλας µετά την κρούση. ΛΥΣΗ
Πως λύνουµε προβλήµατα κρούσης: 1. Διαλέγουµε το σύστηµα. Εάν είναι πολύπλοκο θεωρούµε υποσύνολα του συστήµατος και εφαρµόζουµε σε αυτά τους νόµους διατήρηση ενέργειας και ορµής. 2. Υπάρχει εξωτερική δύναµη; Εάν ο χρόνος αλληλεπίδρασης είναι µικρός τότε µπορούµε να την αγνοήσουµε. 3. Σχεδιάζουµε διαγράµµατα αρχικών και τελικών ταχυτήτων. 4. Διαλέγουµε σύστηµα συντεταγµένων.
5. Εφαρµόζουµε το νόµο διατήρηση της ορµής σε κάθε διάσταση. 6. Για ελαστικές κρούσεις έχουµε ΚΑΙ διατήρηση της κινητικής ενέργειας. 7. Λύνουµε. 8. Μονάδες και τάξη µεγέθους.
9-8 Κέντρο Μάζας (Κ.Μ.) Στη εικόνα (α), κίνηση του δύτη είναι αποκλειστικά µεταφορική. Στην εικόνα (β) έχουµε µεταφορική αλλά και περιστροφική κίνηση. Υπάρχει όµως ένα σηµείο που και στις δύο περιπτώσεις ακολουθεί την ίδια τροχιά. Το σηµείο αυτό ονοµάζεται ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ (ΚΜ).
9-8 Center of Mass (CM) Η γενική κίνηση ενός αντικειµένου µπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισµα της µεταφορικής κίνησης του ΚΜ συν περιστροφική και δονητική πέριξ του ΚΜ
Για δύο σωµατίδια το ΚΜ είναι πλησιέστερα στο αντικείµενο µε τη µεγαλύτερη µάζα: όπου M είναι η συνολική µάζα.
Τρία άτοµα µε περίπου την ίδια µάζα κάθονται πάνω σε φουσκωτό σκάφος αναψυχής στις θέσεις x 1.0, x B 5.0, και x C 6.0, κατά µήκος του άξονα x. Βρείτε την θέση του ΚΜ ΛΥΣΗ
Βρείτε το ΚΜ του συστήµατος ΛΥΣΗ
Για ογκώδη συµπαγή αντικείµενα, µπορούµε να φανταστούµε ότι αποτελούνται από µικρά αντικείµενα (άτοµα!) και το άθροισµα του γινοµένου (θέση x µάζα) κάθε αντικειµένου δια τη συνολική µάζα θα µας έδινε το ΚΜ. Η στο όριο όπου τα αντικείµενα γίνονται απειροελάχιστα έχουµε :
Το Κέντρο Βάρους (center of gravity) είναι το σηµείο εκείνο στο οποίο µπορούµε να υποθέσουµε ότι δρα η βαρυτική δύναµη. Ταυτίζεται µε το ΚΜ εφόσον η βαρυτική δύναµη δεν µεταβάλλεται στις διαστάσεις του αντικειµένου
9-8 Center of Mass (CM) Το κέντρο βάρους µπορεί να προσδιοριστεί πειραµατικά µέσω αιώρησης του αντικειµένου από διάφορα σηµεία. Το ΚΜ δεν βρίσκεται κατ ανάγκη µέσα στο αντικείµενο, π.χ. ένας λουκουµάς τύπου doughnut s έχει το ΚΜ στο κέντρο της κεντρικής του τρύπας.
9-9 ΚΜ και µεταφορική Κίνηση Η συνολική ορµή ενός συστήµατος σωµατιδίων (π.χ. ενός µορίου) ισούται µε το γινόµενο της συνολικής µάζας µε την ταχύτητα του ΚΜ. Το άθροισµα όλων των δυνάµεων που δρουν πάνω στο σύστηµα ισούται µε το γινόµενο της συνολικής µάζας επί την επιτάχυνση του ΚΜ.: Βλέπουµε δηλ. ότι το ΚΜ ενός συστήµατος σωµατιδίων συµπεριφέρεται σαν αντικείµενο µε µάζα M πάνω στο οποίο δρα η συνολική δύναµη.
Ένας πύραυλος εκτοξεύεται στο αέρα. Στο µέγιστο ύψος και σε οριζόντια απόσταση d από το σηµείο εκτόξευσης µια έκρηξη µοιράζει τον πύραυλο σε δύο και ίσα µέρη, έτσι ώστε το κοµµάτι Ι, πέφτει κατακόρυφα στην γη. Που θα πέσει το κοµµάτι ΙΙ; Υποθέστε ότι g σταθερό. ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Διάσπαση Μορίων (Χηµική Δυναµική) Διατοµικά Μόρια Όταν σπάει ένα διατοµικό µόριο, η διαθέσιµη ενέργεια Ε α µοιράζεται µεταξύ των ατοµικών θραυσµάτων µε βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας και της ορµής: v E a B v 1 2 + + v v 2 B B B 0 1 + 2 B v B 2 v B
a B a B B M B B KE B B a E M KE E M KE KE v v v E + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 v v B
v v B 2 a B a B E KE KE E M KE 0 + >> B a a a B B KE E E E KE Δύο ακραίες περιπτώσεις
Η ενέργεια του δεσµού του Ι 2 είναι D 0 1,54eV (1eV1,6x10-19 J). Πόση είναι η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα των ατόµων του ιωδίου εάν το µόριο του ιωδίου διεγερθεί µε ακτινοβολία ενέργειας E4,00 ev. ( I 127 au ή u). http://en.wikipedia.org/wiki/toic_ass_unit KE I B KE 4,00 1,54 2 I E 2 a E D 2 ev 1,23eV 0 KE v I I I 1,23eV 1,97 10 127 127 1,66 10 2KE 1,37 10 I I 3 / s 19 J 27 2 1,97 10 2,11 10 kg 25 19 J kg 2,11 10 25 kg
Η ενέργεια του δεσµού του HI είναι D 0 3,05eV (1eV1,6x10-19 J). Πόση είναι η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα των ατόµων του υδρογόνου και του ιωδίου εάν το µόριο του υδροϊωδίου διεγερθεί µε ακτινοβολία ενέργειας E6,00 ev. ( I 127 au, H 1 au ) (http://en.wikipedia.org/wiki/toic_ass_unit ) KE KE H I H I + + H H I 4,68 10 3,69 10 I ( E D ) ( 6,00 3,05) 19 J o ( E D ) ( 6,00 3,05) 21 o 127 128 1 128 J 0,04 10 19 J 1,6 10 1,6 10 19 19 J J
v I 2KE I 25 I 2,11 10 1,8 10 2 / s 21 2 3,69 10 J kg v H 2KE I 27 I 1,66 10 2,37 10 4 / s 19 2 4,68 10 J kg
Διάσπαση Μορίων (Χηµική Δυναµική) Εσωτερική ενέργεια θραυσµάτων-πολυατοµικά Σε ορισµένες περιπτώσεις ακόµα και για άτοµα, τα «θραύσµατα» µπορεί να έχουν πέραν της µεταφορικής (κινητική) ενέργειας και εσωτερική ενέργεια (ηλεκτρονική, δονητική και περιστροφική). Στην περίπτωση που έχουµε δύο θραύσµατα (δύο προϊόντα) οι σχέσεις που δείξαµε επίσης ισχύουν, µε τη µόνη διαφορά ότι στον υπολογισµό της διαθέσιµης ενέργειας (Ε α ) αφαιρούµε την εσωτερική ενεργεία (ΕΕ). v B v E a KE + KE B EE EE B
Η ενέργεια του δεσµού του H3C-Br είναι D 0 2,97eV (1eV1,6x10-19 J). Διεγείρεται µε ακτινοβολία ενέργειας Ε5,45 ev και σπάει σε µεθύλιο και βρώµιο. Εάν η εσωτερική ενέργεια τις ρίζας του µεθυλίου που παράγεται είναι 0,75 ev, βρείτε τις ταχύτητες των θραυσµάτων. ( Br 80 au, H 1 au, C 12 au ) (1 au 1u) KE KE Br CH3 CH3 + CH3 15 15 + 80 0,44 10 CH3 Br + 80 95 2,33 10 Br ( E D 0,75eV ) ( 5,45 2,97 0,75) 19 Br J ( E D 0,75eV ) ( 5,45 2,97 0,75) 19 J o o CH Br CH + 3 1,6 10 1,6 10 3 19 J 19 J v v CH3 Br Br 2KE 19 Br 27 Br 80 1,66 10 8,14 10 2KE 2 / s / s 2 0,44 10 2 2,33 10 19 CH3 27 CH3 15 1,66 10 4,33 10 3 J kg J kg