Ηλεκτρική ροή Θα εξετάσουμε πρώτα την ένοια της ροής (π.χ. σωματιδίων) από μια S ταχύτητα σωματιδίων υ πιφάνεια S κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Η ένταση J της ακτινοβολίας σωματιδίων ΔΝ ανά χρόνο Δt και ΔS ταχύτητα σωματιδίων υ J = ΔN ΔS Δt Ο συνολικός αριθμός σωματιδίων Ν που διέρχεταιρέει από την S κ σε χρόνο Δt είναι N = J S κ θ Η ένταση J της ακτινοβολίας όμως είναι διάνυσμα παράλληλο της ταχύτητας υ Γιατί J = υ n Απόδειξη: Συγκέντρωση των σωματιδίων είναι: Κάθε σωματίδιο που διαπεράσει τη σφαίρα θα διαπεράσει και την ασκοειδή J n=δν/δv=δn/(δs Δx) υ n = ΔN/(ΔS Δx) = (Δx/Δt) ΔN/(ΔS Δx) = ΔN/(ΔS Δt) = J πιφάνεια S σχηματίζει γωνία θ με την κάθετη S κ Ο συνολικός αριθμός σωματιδίων Ν που διέρχεταιρέει, δηλ η ροή Φ, από την πλάγια S σε χρόνο Δt είναι και πάλι Ν N = J S κ S S Αλλά διάνυσμα είναι και η S και η κάθετη S Κ που ορίζονται να είναι πάντα κάθετη S και S κ κροή σωματιδίων από κάποιο κέντρο Ο θ S κ Και όχι N = J S J. S = J S cosθ= J S Κ = Ν πομένως η συνολική ροή Φ των σωματιδίων Ν (που είναι μονόμετρο μέγεθος) θα είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων J επί S θ S κ S κ Ο J() Πηγή σωματιδίων εκπέμπει αυτά τα σωματίδια ακτινικά και ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις και διαπερνά οποιαδήποτε κλειστή, όπως σφαίρα ή ασκοειδής κλειστή (σακούλι κλειστό). J() = Ν/(Δt) S ακτίνας 0 συνολικός αριθμός σωματιδίων Ν που εκπέμπονται ανά μονάδα χρόνου από ένα κέντρο (πηγή σωματιδίων) ακτινικά και ομοιόμορφα προς όλες διευθύνσεις θα διαπεράσει οποιαδήποτε κλειστή, όπως σφαίρα ή ασκοειδής κλειστή (σακούλι κλειστό). Ασκοειδής κλειστή J() = Ν Αφού η συνολική ροή Φ των σωματιδίων που θα διαπεράσουν οποιαδήποτε κλειστή που περικλείει τη πηγή των σωματιδίων είναι σταθερή ίση με το συνολικό αριθμό εκπεμπόμενων σωματιδίων ανά μονάδα χρονου, τα παρπάνω ολοκληρώματα της Φ δεν χρειάζεται να τα υπολογίσουμε γιατί όλα δίνουν τον αριθμό Ν. J() = J() S = Ν Η ένταση της ακτινοβολίας στη της ακτίνας. J() Στοιχειώδης φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα
Το ηλεκτρικό πεδίο E σημειακού θετικού φορτίου σε απόσταση......είναι ακτινικό από το φορτίο προς τη περιφέρεια σφαίρα ακτίνας o () () = Η σταθερά του Coulomb Κ 4π Μπορεί να γραφεί στη μορφή () = 4π 2 2 o Μοναδιαίο διάνυσμα o () 4π 2 = Η S σφ της ακτίνας είναι 4π 2 o = () 4π 2 = () S Σφαίρας = () = Φ Αυτό το γινόμενο μπορεί να προκύψει από το κλειστό ολοκλήρωμα του στην της ακτίνας Άρα η συνολική ηλεκτρική Φ είναι () = J() = Ν Το ρόλο της έντασης J() της ακτινοβολίας παίζει η ένταση () του ηλεκτρικού πεδίου. Αφου () = 4π 2 () = Τυχαία κλειστή H συνολική ηλεκτρική ροή Φ είναι σταθερά ανεξάρτητη της ακτίνας της Το Φ είναι η συνολική ηλεκτρική ροή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σιαμέσου της Όπως στην ανάλογη περίπτωση της ακτινοβολίας σωματιδίων διαμέσου κλειστή ς που περικλύει τη πηγή των σωματιδίων Το ρόλο της συνολικής ροής Φ των σωματιδίων Ν παίζει ο σταθερός λόγος /. Τι μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι ρέει από το κέντρο της που είναι το σημειακού θετικού φορτίο στην περίπτωση του ηλεκτρικού πεδίου? που γράφεται Σε αναλογία με την J() Όπου Θεωρούμε ότι το /ε o παριστάνει αριθμητικά το σταθερό σύνολο των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών του ηλεκετρικού πεδίου που εκρρέουν από το φορτίο ανά σφαιρική. πομένως η συνολική ροή Φ παριστάνει το συνολικό αριθμό των δυναμικών γραμμών που πηγάζουν από το θετικό φορτίο που παριστάνεται αριθμητικά από το λόγο / και επομένως είναι ανάλογος Νόμος Gauss () = / S ακτίνας J() = Ν/(Δt) S ακτίνας () = Δηλ φαίνεται ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνολική ροή από σημειακό φορτίο της ποσότητας / δια τη σφαιρική που διαπερνά του φορτίου Άρα η πυκνότητα των δυναμικών γραμμών μπορεί έτσι να παριστάνει την ένταση του πομένως η συνολική ηλεκτρική ροή είναι σταθερή ανεξάρτητη της κλειστής ς φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 2
Στη περίπτωση αρνητικού σημειακού φορτίου Σε αυτή τη περίπτωση η οι δυναμικές γραμμές αντιστρέφονται και εκβάλουν στο αρνητικό φορτίο, το οποίο γίνεται καταβόθρα δυναμικών γραμμών. πομένως η συνολική ροή Φ παριστάνει το συνολικό αριθμό των δυναμικών γραμμών που εκβάλουν στο αρνητικό φορτίο που παριστάνεται αριθμιτικά από το λόγο / και επομένως είναι ανάλογος του φορτίου () = < 0 Φ ολ = () = = 0 Σχήμα Α Αν το θετικό φορτίο είναι περισσότερο από το αρνητικό τότε Αν Αν μεταφέρω και τοποθετήσω ίσο θετικό φορτίο στο εσωτερικό της με το αρνητικό φορτίο τότε η συνολική ηλεκτρική ροή γίνεται 0. αντισταθμίζεται πλήρως από το ηλεκτρικό πεδίο του Ο συνολικός αριθμός ηλεκτρ. δυν γραμμών που εκβάλουν στο iσούται με τον συνολικό αριθμό ηλεκτρ. δυν γραμμών που εκκρέουν από το. πομένως όταν το συνολικό φορτίο που περιέχεται στο εσωτερικό κλειστής ς είναι μηδέν, Σ=0, τότε η συνολική ηλεκτρ ροή είναι Φολ=0 Φ ολ = () = Τυχαία κλειστή Γενικά Η ηλεκτρική ροή διαμέσου οποιασδήποτε κλειστής μαθηματικής ς που περικλείει συνολικό φορτίο είναι: / q = 0 Αριθμός εισερχόμενων= Αριθμό εξερχόμενων ηλκτρ δυν. γραμμών n εισ n εξ = 0 cosθ = 0 Το ηλεκτρικό πεδίο του θετικού φορτίου Δυναμικές γραμμές που εξέρχονται (2/ ) Δυναμικές γραμμές που εξέρχονται (/ ) = / 2 = Φ ολ = () = Τυχαία κλειστή Το συνολικό εγκλεισμένο φορτίο στη κλειστή Σ εγκλεισμένο = cosθ = / Νόμος Gauss αυτό ισχύει για κάθε κατανομή φορτίου και κάθε κλειστή που περικλείει όλα τα φορτία q ι δεν περιέχει κανένα φορτίο φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 3
Αφού το συνολικό φορτίο στο σύμπαν είναι Συμπαντος = Σ() Σ() = 0 τότε Πως δημιουργείται ηλεκτρικό πεδίο Έστω ότι έχω τα δύο ίσα και αντίθετα φορτία Αν μετακινήσω τα 2 φορτία ώστε να ταυτίζονται, τότε τα 2 ηλεκτρικά πεδία τους αντισταθμίζονται και έχω =0 Έστω ότι τα παραπάνω ταυτιζόμανα φορτία τα τοποθετώ μέσα σε κλειστή Προφανώς η ηλκετρική ροή διαμέσου της κλειστής ς είναι Φ=0...αν μετατοπίσω το ένα φορτίο ως προς το άλλο, τότε......αν μετατοπίσω ακόμα πιο μακρυά το ένα φορτίο ως προς το άλλο, τότε... Έτσι το ηλεκτρικό πεδίο γύρω από το θετικό και αυτό γύρω από το αρνητικό φορτίο είναι τα γνωστά μας ακτινικά πεδία του θετικού και αρνητικού φορτίου, όμως κάθε γαρμμή του θετικού φορτίου θα καταλήξει στο αρνητικό φορτίο...τότι δυναμικές γραμμές που πηγάζουν από το θετικό φορτίο απλώνονται περισσότερο...τότε σαν σύνολο ο αριθμός των ηλεκτρ δυν. γραμμών που στο χώρο και τελικά κατλήγουν στο αρνητικό φορτίο. Έτσι το σύνολο ο αριθμός των ηλεκτρ τυχόν διαπερνούν προς τα έξω από την κλειστή δυν. γραμμών που τυχόν διαπερνούν προς τα έξω κάθε κλειστή που περιβάλλει που περιβάλλει και τα 2 φορτία ισούται με αυτές που και τα 2 φορτία ισούται με αυτές που διαπερνούν προς τα μέσα ώστε η συνολική Φ=0. διαπερνούν προς τα μέσα ώστε η συνολική Φ=0. Αυτό επιβάλει ότι οι δυν. γραμμές πηγάζουν από το θετικό φορτίο θα πρέπει να καταλήγουν οποσδήποτε στο αρνητικό φορτίο Το παρπάνω σενάριο στη πραγματικότητα συμβαίνει στα ηλεκτρικά ουδέτερα άτομα, όπως στο απλούστερο άτομο του υδρογόνου Που περιέχει το πρωτόνιο φορτίου =e Με το ακτινικό το ηλεκτρικό πεδίο του σημειακού φορτίου e..και το ηλεκτρόνιο φορτίου q=e στο σφαιρικό τροχιακό του Στο άτομο του υδρογώνου το κέντρο του θετικού φορτίου (πρωτόνιο) συμπίπτει με το κέντρο του αρνητικού φορτίου (ηλεκτρόνιο). Έτσι το άτομο είναι ηλεκτρικό ουδέτερο, δηλ το ηλεκτρικό πεδίο είναι =0 στο γύρω χώρο γιατί ηλεκτρ πεδίο του πρωτονίου αντισταθμίζεται από το ηλεκτρ πεδίο του ηλεκτρονίιου. Το ηλεκτρόνιο δημιουργεί στο χώρο γύρω του έξω από το σφαίρικό τροχιακό του, ηλεκτρικό πεδίο ίδιο με σημειακού αρνητικού φορτίου e τοποθετημένο στο κέντρο της Αν όμως ιονίσουμε το ηλεκτρόνιο Με το διαχωρισμό αυτό των φορτίων δημιουργούνται φορτία και όλα τα φαινόμενα του ηλεκτρισμού Τότε τα φορτία θα διαχωριστούν και θα δημιουργηθεί στο χώρο ηλεκτρικό ππεδίο ενός θετικού (πρωτόνιο) και ενός αρνητικού φορτίου (ηλεκτρόνιο) φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 4
() (2) Ο νόμος Gauss χρησιμοποιείται στον υπολογισμό του κατανομής φορτίων με υψηλό βαθμό συμμετρίας Στρατηγική Τα βήματα Νόμος Gauss. Προσδιορίζεται η φορά του από τη συμμετρία που καθορίζεται από την κατανομή του φορτίου. Δηλ. ψάχνω να βρώ τα σημεία του χώρου όπου είναι σταθερό 2. πιλέγεται η κατάλληλη Gauss που αποτελείται από τις S καθ ή/και S π. 3. Υπολογίζεται το από το νόμο του Gauss Φ ολ = () = Τυχαία κλειστή Gauss Σq i = εγκλεισμένο Αφού αυτός ισχύει για κάθε κλειστή Gauss που περικλείει όλα τα φορτία Σq I = εγκλ Προσπαθώ να επιλέξω μια κατάλληλη συγκεκριμένη κλειστή Gauss η οποία να περιέχει 2 ειδών επιφάνειες: επιφάνειες S καθ όπου το ηλεκτρικό πεδίο από συμμετρία είναι σταθερό E() = E και κάθετο στην E = E και επιφάνειες S π όπου το ηλεκτρικό πεδίο είναι ή 0 ή ενώ δεν είναι 0 και μπορεί να αλλάζει, αλλά είναι παράλληλο στις επιφάνειες αυτές έτσι ώστε: () = 0 πομένως : Φ καθ = () = E() = E = E S καθ S καθ Φ π = () = 0 S π Λύνωντας ως προς Φ ολ = εγκλ / Φ ολ = Φ καθ Φ π E S Καθ 0 = εγκλ / = το πρσδιορίζω S καθ S καθ εγκλ S Καθ Γενικά : Υπάρχουν ηλεκτρικά πεδία με 3 ειδών συμμετρίες. Σφαιρική συμμετρία όπου το ηλεκτρικό πεδίο () είναι σταθερό σε μέτρο επάνω σε σφαιρική. 2. Κυλινδρική συμμετρία όπου το ηλεκτρικό πεδίο () είναι σταθερό σε μέτρο επάνω σε κυλινδρική. 3. πιφανειακή συμμετρία όπου το ηλεκτρικό πεδίο () είναι σταθερό σε μέτρο επάνω σε επίπεδη. φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 5
φαρμoγές του νόμου του Gauss Αν υποθέσουμε πως δεν γνωρίζαμε το νόμο του Coulomb, και έτσι δεν γνωρίζαμε πόσο είναι το ηλεκτρικό πεδίο σημειακού φορτίου. Όμως είχαμε επιβεβαιώσει πειραματικά ότι ισχύει ο νόμος του Gauss. Ποιό είναι το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου σημειακού φορτίου? ο βήμα Έστω ένα τυχαίο σημείο Α και θέλω να μαντέψωπρσδιορίσω τη διεύθυνση του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου Έστω ότι έχω ένα σημειακό φορτίο Προσδιορίζεται η φορά του από τη συμμετρία που καθορίζεται από την κατανομή του φορτίου. Απ όλες τις πιθανές διευθύνσεις καμμία δεν έχει κάποιο ιδιαίτερο λόγο να υπερτερεί. B Μόνο η ακτινική διεύθυνση φαίνεται να είναι μόνη κυρίαρχη και πιό πιθανή διεύθυνση να ευρίσκεται το Το ίδιο συμβαίνει και σε κάθε άλλο σημείο Β και μάλιστα αν η απόσταση είναι σταθερή το μέτρο του πρέπει να ίδιο (γιιατί δεν έχει κάποιο λόγο να είναι διαφορετικό) πομένως το ηλεκτρικό πεδίο σημειακού φορτίου έχει σφαιρική συμμετρία και το ηλεκτρικό πεδίο είναι ακτινικό με κέντρο το φορτίο. 2ο βήμα πιλέγεται η κατάλληλη Gauss που αποτελείται από τις S καθ, S π () Η κατάλληλη Gauss όπου το μπορεί να είναι κάθετο είναι σφαίρα ακτίνας. 3ο βήμα Υπολογίζεται το από το νόμο του Gauss () cosθ = () 2 = = () 4π = / () 4π 2 = / 4π 2 () = (/4π ) / 2 πάντα Σφαίρα Σφαίρα Σφαίρα Συμπέρασμα O νόμος του Coulomb είναι συνέπεια του νόμου του Gauss Δηλ. ο νόμος του Coulomb περιέχεται στο νόμο του Gauss Γιαυτό ο νόμος του Gauss είναι στις εξισώσεις του Maxwell και όχι ο Νόμος του Coulomb φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 6
h z x cosθ = 0 πίπεδη (οριζόντια) γιατί Να εξαχθεί το που δημιουργείται από ένα πολύ μακρύ ράβδο φορτισμένη θετικά με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ C/m χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss Κύλινδρο Μόνο η κάθετη διεύθυνση στη ράβδο φαίνεται να είναι κυρίαρχη και η μόνη πιθανή διεύθυνση να ευρίσκεται το Η κατάλληλη Gauss όπου το μπορεί να είναι κάθετο είναι κύλινδρος ακτίνας x. cosθ γιατί = = κυλινδρική (2πxh) = / = λh/ = = (2πxh) 2πε o λ x λ=/h Άρα υπάρχει κυλινδρική συμμετρία και πρέπει το να είναι κάθετο στη S κυλινδρική και παράλληλο στην οριζόντια των 2 οριζόντιων ταπών. Να εξαχθεί το που δημιουργείται από ένα πολύ μεγάλο επίπεδο φύλλο που φέρει φορτίο σ C/m 2 χρησιμοποιόντας το νόμο του Gauss Μόνο η κάθετη διεύθυνση στο επίπεδο φαίνεται να είναι κυρίαρχη και η μόνη πιθανή διεύθυνση να ευρίσκεται το A z z Στη βάση cosθ = = 0 cosθ = 0 Στη καμπύλη 2Α = / = σα/ Άρα υπάρχει επίπεδη συμμετρία (δηλ το είναι σταθερό σε παράλληλη της φορτισμένης επειφάνειας) και πρέπει το να είναι κάθετο επίπεδη. Η κατάλληλη Gauss όπου το μπορεί να είναι κάθετο είναι κύλινδρος με κυλινδρική κάθετη στο επίπεδο όπου E eίναι κάθετο στο και 2 οριζόντιες τάπες όπου το είναι παράλληλο του. Ηλεκτρική ροή υπάρχει μόνο από τις οριζόντιες βάσεις του κυλίνδρου = (2Α) Δύο κυκλικές βάσεις (τάπες) Ανεξάρτητο του z = σ/2 επιφανειακή πυκνότητα σ=/α επάνω & κάτω από το επίπεδο φύλλο φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 7
Να εξαχθεί το που δημιουργείται από μία πολύ μεγάλη επίπεδη αγώγιμη που φέρει ομοιόμορφη επιφανειακή κατανομή φορτίου φορτίου σ (C/m 2 ). Από (επίπεδη) συμμετρία πρέπει το να είναι κάθετο στο επίπεδο φύλλο A 2z =0 θεωρώ κύλινδρο που τέμνει την με τη μία στο εξωτερικό και μία στο εσωτερικό της αγώγιμης πλάκας Στο εσωτερικό του αγωγού =0 cosθ = = = Α = q/ = σα/ Της άνω βάσης = σ/ Το πρωτόνιο είναι μία σφαίρα ακτίνας = x 0 5 m. Αν βρεθεί με ένα δεύτερο πρωτόνιο σε επαφή πόση θα είανι η απωστική δύναμη ; D = 2 = 4π q 2 όπως σε σημειακό φορτίο F = q E = 58 N ισοδυναμεί με βάρος 2 Κg!!! αντισταθμίζεται από της ισχυρά δύναμη που συγκρατεί τον πυρήνα φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 8
R ολ φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημμένο σε σφαίρα ακτίνας R. Να βρεθεί το στο εσωτερικό και εξωτερικό της. ρ = q/(4πr 3 /3) = 3q/4πR 3 Έχουμε σφαιρική συμμετρία Στη σφαίρα < R cosθ = = = (4π 2 ) = ρ(4π 3 /3) = q 3 /R 3 (4π 2 ) = (q/ ) 3 /R 3 = 4πε o = /ε o q R 3 Για < R /(4π ) ( ολ / 2 ) Για > R Για = R = (4π 2 ) = q/ 4πε o q R 2 /(4π ) ( ολ /2 2 ) = 4πε o ολ 2 R 2R 3R 4R Σφαιρικό κέλυφος E=0 q=0 στο εσωτερικό (κενός χώρος) q=0 σύμφωνα με το νόμο του Gauss Φ=0 άρα =0 γιατί? φαρμοσμένη Φυσική Κουνάβης 5η νότητα 9