תורת התורים תור שרת יחיד, תורים במקביל ובטור, רשתות תורים

הרצאה : תור תורת התורים תור שרת יחיד, תורים במקביל ובטור, רשתות תורים ) W t n t n : M/G/ נחשב את זמן השהיה הממוצע בתור צרכן שמגיע ברגע רואה לפניו את נניח שהשרות הוא שם אחר הוא FIFO first in first out אז זהו זמן ההמתנה שלו, T FCFS זמן ההמתנה הממוצע: עבור גדולים מקבלים T V = Vn = W tn) = W t) dt n= n= PASTA T 0 נסתכל בתמונה ונראה כי: T W t) dt = VnSn + Sn ) 0 n= לכן נקבל: נוסחת חינצ'ין פולטשק T V = W t) dt VnSn Sn ) T = 0 T + n= + c = λ Vm + E S )) = λ Vm + m s ) + c = V + m s ) + c V = m s זמן שהיה ממוצע: + c W = m s + m + c E Q ) s V = λv = מספר צרכנים ממוצע בתור ממתינים) לפי ליטל

ומספר צרכנים ממוצע במערכת, לפי ליטל n במערכת + c E Q) = W = V + = s + λ λ טרנספורם לפלאס: אין לנו נוסחה עבור ההתפלגות של המשתנה הרציף שהוא התפלגות זמן ההמתנה של הצרכן ה M/G/ במצב יציב, אבל יש נוסחה מפורשת לטרנספורם לפלאס שלה: sx sx Ψ X s) = E e ) = e f X x) dx 0 µ x sx µ x µ X exp µ ), f X x) = µ e, Ψ X s) = e µ e dx = 0 µ + s נוסחת חינצ'ין פולטשק עבור טרנספורם לפלאס של זמן ההמתנה בתור: Vn : Ψ V s) = n s λ + λ Ψ S n s) זה מאפשר לחשב נומרית כל הסתברות שרוצים עבור התור M/G/ תור GI/M/ זמני השרות אכספוננציאליים חסרי זכרון הזמנים הבין מופעיים הם בלתי תלויים שוי התפלגות מהתפלגות H עם צפיפות h אורך התור וכמות העבודה כבר אינם תהליכי מרקוב אבל ניתן להסתכל על התהליך ברגעי ההגעה של הצרכנים, ואז לפי חוסר הזכרון התהליך ברגעים אלה הוא כן מרקובי זה נקרא תהליך מרקוב משוכן process) embedded Markov n מספר הצרכנים לפני רגע ההגעה של הצרכן ה Qn = Q tn נגדיר: אז Q n הוא שרשרת מרקוב בזמן בדיד נגדיר: ν k µ t) µ t k = P Qn+ = i + k Qn = i) = e h t) dt 0 k! ν ν 0 ν ν ν 0 ν P = ν0 ν k ν אז מטריצת המעבר עבור התהליך Q n היא מכאן מקבלים כי ההתפלגות הסטציונרית של מספר הצרכנים שרואה צרכן שמגיע היא גאומטרית עם:

k P Qn = k) = uk = α ) α, α = ΨT µ α )) < למשואה עבור α יש פתרון יחיד בין 0 ל אם ורק אם למערכת קיים ההתפלגות הסטציונרית של אורך התור בזמן כלשהו לא רק ברגע הגעה) היא: π0 = P Q t) = k) = k πk = α ) α k =,, תור GI/G/ לתור GI/G/ אין נוסחאות מפורשות לשום מדד של ביצועי התור פתרון משואות מסובכות או על ידי קירובים כל חישוב דורש הערכה נומרית על ידי c a h נניח כי קצב המופע הוא λ והזמן הבינמופעי מתפלג H עם צפיפות ומקדם השתנות ריבועי c s g נניח כי קצב השרות הוא µ וזמן השרות מתפלג G עם צפיפות ומקדם השתנות ריבועי חסם קינגמן וקירוב במצב של : heavy traffic ca + c V = m s שימו לב לתור GI/G/ בעומס כבד זמן ההמתנה הוא בקירוב: 3

ב א ג לימודי מוסמך בלוגיסטיקה + c V = m s + V = m = a c לבין מופעי אכספוננציאלי) בתור M/G/ בתור זמן המתנה הוא ) M/M/ זמן המתנה הוא = s c לשרות אכספוננציאלי) תרגיל : חישוב תוחלות של זמן המתנה וזמן שהיה חשב את זמן ההמתנה הממוצע ואת זמן השהיה הממוצע בתור M/M/ עם = 05 µ =, λ = 05, חזור על החישוב עבור תור M/D/ עם אותם פרמטרים, ועבור תור חזור על החישוב של א) כאשר זמן השרות נותר כשהיה, וקצב המופעים גדל ל ולתור /M/ E M/E / = 5, 8, 9, 95, 99 חשב זמן המתנה ממוצע וזמן שהיה ממוצע מקורבים לתור D/M/ וכמו כן לתור D/D/ ולתור E /E / עם = 08, 09, 095, 099 µ =, קירובי נוזלים וקירובי דיפוזיה אם נסתכל בתהליך ההגעות t )A ונסתכל על הזמן ביחידות של ונספור את מספר המגיעים ביחידות A t) = A t) λt של אז לפי חוק המספרים הגדולים נקבל בקירוב כי: באותו אופן, אם השרת עובד ברציפות במשך זמן t שרות שנסמנו ב אז כאשר סופרים זמן ביחידות של ואנחנו סופרים את מספר הצרכנים המצטבר שיקבלו וצרכנים ביחידות של מקבלים: S t) A t) = λ t, S t) = µ t S t) = S t) µ t קירוב הנוזלים של תהליך ההגעות ותהליך השרותים הוא: אם מתחילים עם כמות נוזלים התחלתית 0)Q אז קירוב נוזלים של התור הוא : ) λ µ ) + + Q t) = Q0) + A t) S t) = Q0) + ) t 4

קירוב הנוזלים מבוסס על החוק החזק של המספרים הגדולים ומתעלם לגמרי מהאקראיות שימוש במשפט הגבול המרכזי נותן לנו קירוב לסטיות האקראיות מקירוב הנוזלים אם נסתכל בתהליך ההגעות ביחידות זמן של ונחסיר ממנו את קירוב הנוזלים ונחלק בשורש של נקבל לפי משפט הגבול המרכזי הגירסה הפונקציונלית) כי: ˆ A t) A t) A t) = BM t), BM t) 0, λcat) λc a כאשר t) BM הוא תנועה בראונית עם ממוצע 0 ועם פרמטר דיפוזיה ˆ S t) S t) S t) = BM t), BM t) 0, µ cst) באותו אופן לתהליך השרות λ =, µ אז ההפרש בין ) = d אם קצב המופע וקצב השרות קרובים מאוד זה לזה כך ש מספר המופעים ומספר השרותים הוא בקירוב: ˆ ˆ ) ) ˆ Z t = A t S t) BM t), BM t) dt, λcat) אבל חלק מהזמן התור ריק ואז לא עוזבים צרכנים ˆ התהליך t Z הוא אורך תור אם עובדים כל הזמן קירוב דיפוזיה של תור כאשר קצב מופע קרוב מאוד לקצב השרות הוא: ˆ ) ˆ ) ˆ Q t = Z t + Y t) 0, ˆ Y 0) = 0, ˆ ), ˆ ) ˆ Y t Y t increases only when Q t) = 0 5

RBM reflected Brownian motion or ˆ לתהליך t Q קוראים תנועה בראונית משוקפת או מבוקרת regulated Brownian motion שרתים במקביל: שיתוף משאבים Resource Pooling נסתכל ב C תורים מסוג M/M/ עם קצב מופע λ וקצב שרות µ מופע Cλ ועם קצב שרות Cµ ונשוה אותם לתור יחיד עם קצב מספר הצרכנים בכל אחד מהתורים מתפלג גאומטרית כלומר בתור שמשרת את כל k P Q t) = k) = ), k = 0,, C הזרמים במשותף יש אותו מספר צרכנים כמו בכל אחד מ C מה שקורה זה שאנו רואים בדיוק העתק של כל אחד מהתורים אצל התור המשותף אבל הכל נע פי מהר זמן השהיה בתור המשותף עם השרת המהיר הוא התורים C W exp Cµ Cλ) שרות של הרבה צרכנים על ידי משאבים משותפים הוא הרבה הרבה יותר יעיל לא נחוץ למעשה שרת יחיד עם קצב מהיר פי C אם ניקח את להם תור משותף, אז בעומס כבד כאשר ולכן תהליך השרות המשותף שלהם יהיה בקירוב פואסון עם קצב Cµ זה נכון בדיוק ל M/M/ C השרתים שלכל אחד קצב µ ונשים יותר Cλ λ = = כל השרתים יהיו עסוקים כמעט כל הזמן, Cµ µ אבל תוצאות דומות מקבלים גם למופעים וזמני שרות כלליים יתר על כן, בעומס כבד אפילו המדיניות של תורים נפרדים אבל צרכנים בוחרים את התור הקצר ביותר, מביאה לשרות יעיל כמעט כאילו יש תור משותף עם שרת יעיל מהיר פי C ראה בטבלה: 6

זמני שהיה ממוצעים לשני תורים, תחת שיתוף משאבים מענין שניתן להשיג שיתוף פעולה בלי להשקיע במערכת שרות מהירה יותר! שרתים בטור, Tandem Queues יש לנו שרות בשני שלבים, צרכן מגיע, מחכה בתור הראשון, מקבל שרות ראשון, ואז מצטרף לתור השני כדי לקבל שרות שני נניח כי כל אחד מהתורים עם שרת /M/* וכי הצרכנים מגיעים בזרם פואסון משפט Burke בתור M/M/ במצב יציב זרם הצרכנים שעוזבים את התור הוא תהליך פואסון בקצב המופעים, ויתר על כן, מספר הצרכנים בתור בזמן t הוא בלתי תלוי בזמני העזיבות שלפני זמן t הוכחה: תור M/M/ הוא תהליך לידה ומוות, ולכן במצב יציב הוא הפיך בזמן נסתכל בתהליך בזמן הפןך: היציאות של התהליך הרגיל הן הכניסות של התהליך ההפוך ולכן לפי הפיכות בזמן הן תהליך פואסון בקצב המופעים יתר על כן, היצאות לפני זמן t של התהליך הרגיל הן הכניסות אחרי זמן t של התהליך ההפוך, והכניסות אחרי זמן t לא תלויות במצב התור בזמן t מפתיע: כשהשרת עובד הוא מוציא צרכנים בזרם פואסון עם קצב λ וכאשר הוא אינו עסוק אין יציאות אבל מסתבר שמה שרואים מהצרוף של שני אלו הוא תהליך פואסון כמו כן אם רואים הרבה יציאות או מעט יציאות זה לא אומר לנו כלום לגבי מה המצב בתור, האם השרת עסוק או פנוי, והאם יש תור קצר או ארוך מסקנה ממשפט : Burke במערכת של תורים בטור במצב יציב, כל אחד מהתורים מתנהג כמו תור M/M/, ומספרי הצרכנים בתורים השונים בזמן t הם משתנים מקריים בלתי תלויים 7

א ב ד ג לימודי מוסמך בלוגיסטיקה n ) =, ) =,, ) ) ) l = = l l l= התפלגות משותפת של אורכי התור: P Q t n Q t n Q t n תרגיל : צרכנים מגיעים למערכת שרות עם שלושה שרתים בטור בזרם פואסון עם קצב = 6 λ זמני µ µ µ השרות אכספוננציאליים, עם קצבים = 9 3 = 8, = 0, במצב יציב חשב את : תוחלת זמן השהיה, תוחלת מספר הצרכנים בכל אחד מהתורים כולל השרת) P Q t) = 4, Q t) = 3, Q3 t) = ) P Q t) + Q t) + Q3 t) 3),, = l היא תחנת שרות עם שרת יחיד אכספוננציאלי, רשתות : Jackson הרשת מורכבת מ צמתים, כאשר כל צומת שעובד בקצב µ l צרכנים מגיעים למערכת בזרמי פואסון בלתי תלויים, כאשר קצב ההגעה של צרכנים l k α l l =,, חדשים לצומת הוא כאשר צרכן מסיים שרות בצומת הוא עובר לצומת Pk, l l= בהסתברות P k, l ומצטרף שם לתור, או שהוא עוזב את המערכת בהסתברות כדי לנתח את המערכת אנו רוצים קודם כל לחשב כמה צרכנים יעברו דרך כל צומת משואות התנועה l = l + Pk, l k, l =,, k = λ α λ כאן λ k הוא קצב הכניסה במצב יציב שהוא שווה לקצב היציאה) לצומת k והוא מורכב מכניסות של צרכנים חדשים ומצרכנים שמגיעים לאחר שרות בצמתים אחרים בכתיב מטריצות, המשואות ופתרונן הם: 8

µ l λ = α + P λ I P ) λ = α λ = I P ) α 3 = I + P + P + P + ) תנאי הכרחי ומספיק לכך שהמערכת תהיה יציבה הוא שלכל הצמתים קצב השרות עולה על קצב הכניסה α l = λl µ l l והיציאה λ l ואז העומס לצומת הוא Q t), Q נסמן ב t) t),, Q מהמצב את מספר הצרכנים בצמתים זהו תהליך מרקוב בזמן רציף: אפשר לעבור למצבים קרובים: או שצרכן מגיע l k Q t) = n, Q t) = n,, Q t) = n l לתור l המערכת או שצרכן מסיים שרות בתור מרחב המצבים הוא כל הוקטורים ועובר לתור או שצרכן מסיים שרות בתור ועוזב את S = { n,, nl ), nl = 0,, } למרבה הפלא ניתן לחשב את ההסתברויות הסטציונריות גם כאן: n ) =, ) =,, ) ) ) l = = l l l= P Q t n Q t n Q t n תור נראה כי מספרי הצרכנים בתורים השונים ברגע t הם בלתי תלויים הערה: תהליכי התורים הם כן תלויים, t s Ql והתור s) עבור הם תלויים אי תלות קיימת במצב יציב רק לגבי אורכי התור Qk t ) באותו זמן תרגיל : 3 עבור רשת ג'קסון שבציור פתור את משואות התנועה, חשב את מספר הצרכנים הממוצע ברשת וחשב את ההסתברות שבאף אחד מהתורים אין יותר מ 3 צרכנים 9

א ב ג א ב ג ד לימודי מוסמך בלוגיסטיקה סיכום התרגילים תרגיל : חישוב תוחלות של זמן המתנה וזמן שהיה חשב את זמן ההמתנה הממוצע ואת זמן השהיה הממוצע בתור M/M/ עם = 05 µ =, λ = 05, חזור על החישוב עבור תור M/D/ עם אותם פרמטרים, ועבור תור M/E / חזור על החישוב של א) כאשר זמן השרות נותר כשהיה, וקצב המופעים גדל ל ולתור /M/ E = 5, 8, 9, 95, 99 חשב זמן המתנה ממוצע וזמן שהיה ממוצע מקורבים לתור D/M/ וכמו כן לתור D/D/ ולתור E /E / עם µ =, = 08, 09, 095, 099 תרגיל : צרכנים מגיעים למערכת שרות עם שלושה שרתים בטור בזרם פואסון עם קצב השרות אכספוננציאליים, עם קצבים λ = 6 µ µ µ = 0, = 8, 3 = 9 תוחלת זמן השהיה, תוחלת מספר הצרכנים בכל אחד מהתורים כולל השרת) P Q t) = 4, Q t) = 3, Q3 t) = ) P Q t) + Q t) + Q3 t) 3) במצב יציב חשב את : זמני תרגיל : 3 עבור רשת ג'קסון שבציור פתור את משואות התנועה, חשב את מספר הצרכנים הממוצע ברשת וחשב את ההסתברות שבאף אחד מהתורים אין יותר מ צרכנים 3 מקורות: - תיאור הכי טוב של תורים בתור ורשתות ג'קסון הוא בפרק בספר של Kelly - פרק 8 בספר של קולקרני על תורים - רשימות מקורס קצר שהעברתי בתאילנד וסינגפור בדף הקורס באתר שלי - רשימות הרצאות של פרופסור משה חביב מירושלים, ב http://plutohujiacil/~haviv/book3pdf 0