רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F לכל b] x [, מתקיים f(x).f (x) = משפט 1.1. (עם הוכחה) יהי f : [, b] R פונקציה ופונקציות F, G הן קדומות של f אזי קיים C R כך ש G(x) = F (x) + C = {F (x) f קדומה של F } הגדרה 1.2. (אינטגרל לא מסויים) יהי f : [, b] R פונקציה. = F (x) + C או אחרת כאשר F אחת מהקדומות של f. משפט 1.2. (אריטמתיקה של אינטגרלים) (עם הוכחה) יהי,f g :,] [b R פונקציות ול f ו g קיימות קדומות אזי קיימות קדומות גם ל cf ו f + g ומתקיים (f(x) + g(x))dx = + g(x)dx c = c משפט 1.3. (אינטגרציה בחלקים) (עם הוכחה) יהי,u v :,] [b R פונקציות גזירות ול u v קיימת קדומה אזי קיימות קדומות גם ל uv ומתקיים u vdx = uv uv dx משפט 1.4. (הצבה) (עם הוכחה) יהי φ(t) פונקציות גזירות ול f קיימת קדומה (x) F בתווח של φ(t) אזי f(φ(t))φ (t)dt = F (φ(t)) + C 1

2 אינטגרל מסויים הגדרה 2.1. (חלוקה) קבוצה סופית } n T = {x 0, x 1,..., x היא חלוקה של קטע b] [, אם = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b x i = x i x i 1 λ(t ) = mx 1 i n x i אורך של תת-קטע ה- i [x i 1, x i ] נסמן קוטר של חלוקה הוא הגדרה 2.2. (סכום רימן) יהי f : [, b] R פונקציה ו } n T = {x 0,..., x חלוקה של b] [, נבחר בכל תת-קטע ] i [x i 1, x נקודה ξ i אזי סכום רימן הוא n S T (f, ξ) = f(ξ i ) x i i=1 הגדרה 2.3. (אינטגרביליות) פונקציה f :,] [b R נקרת אינתגרבילית רימן אם קיים מספר I כך שלכל > 0 ε קיים > 0 δ שעבור כל חלוקה T וכל נקודות נבחרות ξ i מתקיים λ(t ) < δ S T (f, ξ) I < ε I = המספר I נקרא את האנטגרל המסויים של פונקציה f בקטע [b,] ונסמן אוסף כל פונקציות אינטגרביליות בקטע [b,] נסמן [b.r[, משפט 2.1. (עם הוכחה) אם פונקציה f : [, b] R אינטגרבילית אזי היא חסומה ב b].[, הגדרה 2.4. (סכומי דרבו) לפונקציה f : [, b] R וחלוקה T נסמן M i = sup f(x), m i = inf f(x) x [x i 1,x i] x [x i 1,x i ] ונגדיר S T (f) S T (f, ξ) S T (f) סחום דרבו עליון S T (f) = n M i x i i=1 סחום דרבו תחתון S T (f) = n m i x i i=1 תוצעה 2.1. (עם הוכחה) לכל פונקציה חסומה f : [, b] R ε > 0 T S T (f) S T (f) < ε משפט 2.2. (קריטריון אינטגרביליות) יהי פונקציה f :,] [b R חסומה אזי היא אינטגרבילית אם ורק אם משפט 2.3. (עם הוכחה) אם פונקציה f : [, b] R מונוטונית אזי היא אינטגרבילית ב b].[, 2

משפט 2.4. אם פונקציה f : [, b] R רציפה אזי היא אינטגרבילית ב b].[, משפט 2.5. (עם הוכחה) אם פונקציה f :,] [b R חסומה בקטע [b,] ורציפה בקטע [b,] חוץ מכמות סופית של נקודות אזי היא אינטגרבילית ב [b,]. משפט 2.6. (אדיטיוויות) (עם הוכחה) יהי פונקציה f : [, b] R אינטגרבילית בקטעים c] [b, ו b] [, אזי היא אינטגרבילית בקטע c] [, ו c = c + b משפט 2.7. (ליניאריות) (עם הוכחה) יהי פונקציות f, g : [, b] R אינטגרביליות בקטע b] [, אזי פונקציות f + g ו cf גם אינטגרביליות בקטע b] [, ו c = c, (f(x) + g(x))dx = + g(x)dx משפט 2.8. (מונוטוניות) (עם הוכחה) יהי פונקציות f, g : [, b] R אינטגרביליות בקטע b] [, וגם g(x) f(x) בקטע b] [, אזי g(x)dx משפט 2.9. (עם הוכחה) יהי פונקציות f, g : [, b] R אינטגרביליות בקטע b] [, אזי f ו f g אינטגרביליות ו = F (x) m b f(x) dx משפט 2.10. (ניוטון - ליבניץ) (עם הוכחה) יהי פונקציה f : [, b] R רציפה בקטע b] [, ו (x) F קדומה של f אזי b = F (b) F () משפט 2.11. (ערך ביניים) (עם הוכחה) יהי פונקציה f : [, b] R אינטגרבילית בקטע b] [, ו m f(x) M אזי M b 3 אינטגרל לא אמיתי הגדרה 3.1. (אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון) יהי.f : [, ) R ולכל ) [, b מתקיים f R[, b] I = lim b קיים גבול 3

אזי אם I מספר סופי נאמר שאינטגרל לא אמיתי מתכנס ו = lim b אחרת נאמר שאינטגרל לא אמיתי מתבדר. הגדרה 3.2. (אינטגרל לא אמיתי מסוג שני) יהי.f : [, c) R ולכל c) b [, מתקיים c = lim b c I = lim b c.f R[, b] קיים גבול c מתכנס ו אזי אם I מספר סופי נאמר שאינטגרל לא אמיתי אחרת נאמר שאינטגרל לא אמיתי מתבדר. הגדרה 3.3. (התכנסות בהחלט) נאמר שאינטגרל לא אמיתי של פונקציה f מתכנס בהחלט אם מתכנס אינטגרל לא אמיתי של פונקציה f. מתכנס g(x)dx מתבדר מתכנס g(x)dx מתכנס מתבדר g(x)dx משפט 3.1. (השוואה) (עם הוכחה) אם g(x) f(x) 0 משפט 3.2. (שקילות) (עם הוכחה) f(x) lim אזי x g(x) אם g(x) f(x), 0 ו 0 p = מתכנס משפט 3.3. אם אינטגרל מתכנס בהחלט אזי הוא מתכנס. משפט 3.4. (משפט אבל) יהי f, g : [, ) R וגם f - מונוטונית, גזירה ברציפות וחסומה. g - רציפה ואינתגרל g(x)dx מתכנס. אזי אינתגרל f(x)g(x)dx מתכנס. משפט 3.5. (משפט דיריכלה) יהי f, g : [, ) R וגם. lim f(x) מונוטונית, גזירה ברציפות ו = 0 - f x g - רציפה וקדומה שלה חסומה. מתכנס. אזי אינתגרל f(x)g(x)dx 4

4 טורים n הגדרה 4.1. (טור) יהי ) n ) סדרת מספרים ממשיים. ביטוי נקרא טור מספרי. סדרה ) n S) מוגדרת באופן הבא S n = n k = 1 + 2 +... + n k=1 S = lim n S n n = S נקראת סדרת סכומים חלקיים. אם קיים גבול אז נאמר שטור מתכנס, סכום שלו S ונכתוב אחרת נאמר שטור מתבדר. הגדרה 4.2. (התכנסות בהחלט) מתכנס. נאמר שטור n מתכנס בהחלט אם טור n משפט 4.1. (תנאי הכרחי) (עם הוכחה). lim אם טור n מתכנס אזי = 0 n n משפט 4.2. (קריטריון לטור אי-שלילי) יהי 0 n לכל n (ממקום מסויים) אזי טור n מתכנס אם ורק אם סדרת סכומים חלקיים שלו ) n S) חסומה. מתכנס n b מתכנס n מתבדר n מתבדר n b 5 משפט 4.3. (השוואה) אם 0 n n b (ממקום מסויים) אזי משפט 4.4. (מבחן קושי) (עם הוכחה) n יהי n טור ו lim n = q אזי n - מתכנס בהחלט. - מתבדר. אם < 1 q אז n אם > 1 q אז n אם = 1 q אז לא ידוע. משפט 4.5. (מבחן דלמבר) (עם הוכחה) יהי n טור ו lim = q אזי n+1 n n - מתכנס בהחלט. - מתבדר. אם < 1 q אז n אם > 1 q אז n

אם = 1 q אז לא ידוע. f(n) 1 ( 1) n n משפט 4.6. (מבחן אינטגרלי קושי) יהי 0 f(x) לכל > 0 x אזי מתכנס אם ורק אם מתכנס אינטגרל לא אמיתי משפט 4.7. (ליבניץ) אם ) n ) היא סדרה אי-שלילית ומונותונית שואפת ל 0 אזי טור מתכנס. 5 פונקציות בכמה משתנים הגדרה 5.1. (עיגול) עיגול פתוח בעל מרקז,) (b X ורדיוס r R הוא קבוצה הבאה B r (, b) = {(x, y) X (x ) 2 + (y b) 2 < r} הגדרה 5.2. (סביבה) יהי b) (, נקודה ב.R 2 קבוצה נקראת סביבה של b) (, אם קיים > 0 r כך ש.B r (, b) הגדרה 5.3. (קבוצה פתוחה) קבוצה A R 2 נקראת פתוחה אם לכל (, b) A קיים r R כך ש.B r (, b) A הגדרה 5.4. (קבוצה סגורה) קבוצה A X נקראת סגורה אם משלים שלה R 2 A\ היא קבוצה פתוחה. הגדרה 5.5. (חסימות) יהי A R 2 נאמר ש A היא חסומה אם קיים r R כך ש (0) r.a B lim f(x, y) = A (x,y) (,b) מתקיים הגדרה 5.6. (גבול של פונקציה לפי קושי) יהי f : R 2 R נאמר ש אם לכל > 0 ε קיים > 0 δ 0 < (x ) 2 + (y b) 2 < δ f(x) A < ε הגדרה 5.7. (רציפות) פונקציה f : R 2 R נקראת רציפה בנקודה (, b) R 2 אם lim (x,y) (,b) (רציפות בקבוצה) הגדרה 5.8. פונקציה f : R 2 R נקראת רציפה בקבוצה פתוחה אם היא רציפה בכל נקודה של. משפט 5.1. אם f, g : R 2 R הן רציפות בנקודה אזי פונקציות f + g, λf, f g הן רציפות ב ואם בנוסף 0 g() אזי גם f / g רציפה. משפט 5.2. (ויירשטראסס) פונקציה רציפה f המוגדרת בקבוצה סגורה וחסומה מקבלת ב מינימום ומקסימום. 6

6 חשבון דיפרנציאלי לפונקציות בכמה משתנים הגדרה 6.1. (נגזרות חלקיות) יהי R 2 קבוצה פתוחה (x 0, y 0 ) ו f : R פונקציה. הנגזרות החלקיות של f בנקודה ) 0 (x 0, y הן f x (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim h 0 h f (x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim h 0 h הגדרה 6.2. (דיפרנציאביליות) יהי R 2 קבוצה פתוחה (x, y) ו f : R פונקציה. נאמר ש f דיפרנציאבילית אם f(x + x, y + y) f(x, y) = A x + B y + ε x 2 + y 2, כאשר 0 ε אם 0 y. x, הגדרה 6.3. (דיפרנציאל) יהי R 2 קבוצה פתוחה (x 0, y 0 ) ו f : R דיפרנציאבית ב ) 0,(x 0, y אזי דיפרנציאל של f בנקודה ) 0 (x 0, y הוא df(x, y) = f x (x 0, y 0 )dx + f (x 0, y 0 )dy משפט 6.1. אם לפונקציה f : R 2 בסביבה של נקודה ) 0 (x 0, y קיימות נגזרות חלקיות רציפות אזי היא דפרנציאבילית ב ) 0.(x 0, y grd(f) = grd(f) = ( f x, f ) ( f x, f, f ) z אם f : R 2 R אזי אם f : R 3 R אזי 7 אקסטרמום של פונקציה הגדרה 7.1. (מינימום מקומי) יהי f מוגדרת בסביבה של נקודה ) 0.(x 0, y נקודה ) 0 (x 0, y נקראת נקודת מינימום מקונמי של f אם קיים > 0 r כך שלכל ) 0 (x, y) B r (x 0, y מתקיים f(x 0, y 0 ) f(x, y) ) 0 (x 0, y נקראת נקודת קיצון. הגדרה 7.2. (מקסימום מקומי) יהי f מוגדרת בסביבה של נקודה ) 0.(x 0, y נקודה ) 0 (x 0, y נקראת נקודת מקסימום מקונמי של f אם קיים > 0 r כך שלכל ) 0 (x, y) B r (x 0, y מתקיים f(x 0, y 0 ) f(x, y) ) 0 (x 0, y נקראת נקודת קיצון. משפט 7.1. (תנאי הכרחי) יהי פונקציה f מקבלת אקסטרמום בנקודה ) 0 x) 0, y ובנקודה הזאת קיימות שתי נגזרות חלקיות אזי f x (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ) = 0 משפט 7.2. (אקסטרמום מוחלט) יהי פונקציה f דיפרנציאבילית בתחום סגור וחסום אזי היא מקבלת אקסתרמום מוחלט או בנקודות אקסטרמום מקומי או בספה של התחום. 7

משפט 7.3. (קריטריון סילבסטר) f אזי x (x 0, y 0 ) = f יהי פונקציה f דיפרנציאבילית פעמיים ברציפות בסביבה של נקודה ) 0 (x 0, y וגם = 0 ) 0 (x 0, y אם בנקודה ) 0 (x 0, y מתקיים > 0 xy f xx f yy f ו > 0 xx f אז פונקציה מקבלת מינימום מקומי ב ) 0.(x 0, y אם בנקודה ) 0 (x 0, y מתקיים > 0 xy f xx f yy f ו < 0 xx f אז פונקציה מקבלת מקסימום מקומי ב ) 0.(x 0, y אם בנקודה ) 0 (x 0, y מתקיים < 0 xy f xx f yy f אז פונקציה לא מקבלת אקסרמום מקומי ב ) 0.(x 0, y אם בנקודה ) 0 (x 0, y מתקיים = 0 xy f xx f yy f אז לא ידוע. 8 אינטגרל כפול הגדרה 8.1. (אינטגרל כפול) יהי (y f(x, פונקציה המוגדרת בתחום חסום וסגור. נפרק על-ידי קווים לכמות סופית של תחומים 1,..., n ונבחר בכל i נקודה.(ξ i, η i ) סכום אינטגראלי הוא ביטוי הבא n S T (f) = f(ξ i, η i ) i i=1 λ(t ) = mx נסמן קוטר של חלוקה. כאשר i הוא שטח של. i אוסף } n T = { 1,..., נקרא חלוקה של ודרך i) 1 i n dim( אם לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה T עם נקודות ) i (ξ i, η מתקיים λ(t ) < δ S T (f) I < ε אזי נאמר שפונקציה f אינטגרבילית ב ומספר I נקרא אינטגרל של f בתחום ונסמן I = f(x, y)dxdy משפט 8.1. כל פונקציה רציפה בתחום חסום וסגור היא אינטגרבילית. משפט 8.2. (ליניאריות) אם פונקציות,f g אינטגרביליות בתחום אזי f + g ו λf הן גם אינטגרבילית בתחום ו (f(x, y) + g(x, y))dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy λf(x, y)dxdy = λ f(x, y)dxdy משפט 8.3. (אדדיטיטביות) אם פונקציה f אינטגרבילית ב תחומים 1 ו 2 וגם = 2 1 אזי היא אינטגרבילית גם בתחום = 1 2 ו f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 1 φ(x 0 ) f(x 0, y)dy 2 משפט 8.4. (אינטגרל חוזר) יהי פונקציה (y f(x, אינטגרבילית בתחום וגם לכל b] x 0 [, קיים אינטגרל ψ(x 0 ) φ(x) f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy ψ(x) אזי 8

איור :1 4 y = φ(x) 3 2 1 y = ψ(x) 1 1 1 2 3 4 5 6 { ξ = ξ(x, y) η = η(x, y) { ξ = ξ(x, y) η = η(x, y) J(x, y) = J(ξ, η) = ξ x η x ξ η הגדרה 8.2. (העתקות) העתקה מ R 2 ל R 2 היא זוג פונקציות מתאימות לכל נקודה (x, y) את הנקודה η).(ξ, הגדרה 8.3. (יקוביאן) יקוביאן של ההעתקה מ R 2 ל R 2 בנקודה ) 0 (x 0, y הוא מספר ואם ההתקה היא הפיכה אזי אפשר להגדיר גם יקוביאן של ההאופכית שלה x x ξ η ξ η { x = r cos(t) y = r sin(t) = t) J(r, (עם הוכחה). { ξ = ξ(x, y) η = η(x, y) (x,y) (r,t) הגדרה 8.4. (קאורדינטות קוטביות) העתקה מ R 2 ל R 2 נקראת העתקה קוטבית. כל לראות ש = r משפט 8.5. יהי ההתקה מהתיקה תחום על תחום ויהי לפונקציות,ξ η קיימות נגזרות חלקיות רציפות ו x x ξ η J(ξ, η) = 0 ξ η f(x, y)dxdy = f(x(ξ, η), y(ξ, η)) J(ξ, η) dξdη אזי 9