Ασκήσεις υναµικής 7 η ενότητα: Eπίπεδη κίνηση στερεών σωµάτων: Eνεργειακές µέθοδοι θεώρηµα ώθησης-ορµής 1. To κέντρο µάζας G της ρόδας µάζας 3 kg και ακτίνας R=180 mm βρίσκεται σε απόσταση r = 60 mm από το γεωµετρικό της κέντρο C. Η ακτίνα αδρανείας της ρόδας είναι k = 90 mm. Η ρόδα περιστρέφεται χωρίς ολίσθηση µε µεταβαλλόµενη γωνιακή ταχύτητα. Εάν ω = 8 rad/s για τη θέση που φαίνεται στο σχήµα, υπολογίστε α) την γωνιακή ταχύτητα της ρόδας όταν το σηµείο G βρίσκεται ακριβώς πάνω από το σηµείο C, β) την αντίδραση του δαπέδου για την ίδια στιγµή. 1. H κίνηση της λεπτής ράβδου ΑΒ µάζας 3 kg κατευθύνεται από αβαρή κολλάρα που ολισθαίνουν ελεύθερα στην κάθετη και οριζόντια δοκό όπως φαίνεται στο σχήµα. Γνωρίζοντας ότι η ράβδος ξεκινά να κινείται από κατάσταση ηρεµίας στη θέση θ= 15 ο, βρείτε την ταχύτητα τον κολλάρων όταν θ = 60 0.
2. Η ρόδα Α µάζας 7 kg, έχει ακτίνα αδρανείας 150 mm και περιστρέφεται χωρίς ολίσθηση στην οριζόντια επιφάνεια. Κάθε µία απο της οµοιόµορφες ράβδους ΑΒ και BC έχουν µήκος 500 mm και µάζα 4 kg. Eάν το σηµείο Α κινηθεί ελάχιστα προς τα αριστερά και µετά αφεθεί ελεύθερο, υπολογίστε την ταχύτητα του σηµείου Α όταν η ράβδος ΒC περνά από οριζόντια θέση. 3. Tρείς άξονες και τέσσερα γρανάζια αποτελούν ένα σύστηµα µετάδοσης που µεταδίδει 7.5 kw από την µηχανή Α στο εργαλείο F. Γνωρίζοντας ότι η συχνότητα της µηχανής είναι 30 Ηz, βρείτε το µέγεθος του ζεύγους των δυνάµεων που ασκείται στους άξονες ΑΒ, CD και ΕF. (1Hz = 2π rad/s)
4. Η µαγνητοταινία κινείται ανάµεσα στις δύο τροχαλίες του σχήµατος. Η τροχαλία Α έχει µάζα 0.6 kg και ακτίνα περιστροφής 19 mm ενώ η τροχαλία Β έχει µάζα 1.6 kg και ακτίνα περιστροφής 31 mm. Στο κάτω µέρος της ταινίας η τάση Τ που ασκείται είναι σταθερή και ίση µε Τ Α = 3.8 Ν. Εάν η ταινία αρχικά ηρεµεί υπολογίστε α) την απαιτούµενη σταθερή τάση έτσι ώστε η ταχύτητα της ταινίας να είναι v = 3 m/s µετά από 0.24 s, β) την τάση που θα ασκείται στο τµήµα της ταινίας που βρίσκεται ανάµεσα στις τροχαλίες. 5. Ο σωλήνας ΑΒ µάζας 1.6 kg µπορεί να ολισθαίνει ελεύθερα πάνω στη ράβδο DE η οποία µε τη σειρά της µπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα στο οριζόντιο επίπεδο. Αρχικά όλη η κατασκευή περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω = 5 rad/s και ο κύλινδρος κρατιέται σταθερός µε ένα νήµα. Η ροπή αδράνειας της ράβδου και του πλαισίου στον κάθετο άξονα είναι 0.30 kgr m 2 ενώ του κυλίνδρου ως προς τον
κάθετο άξονα του είναι 0.0025 kgr m 2. Eάν το νήµα ξαφνικά σπάσει υπολογίστε α) την γωνιακή ταχύτητα ολόκληρης της κατασκευής όταν ο σωλήνας έχει µετακινηθεί στο σηµείο Ε και β) την ενέργεια που χάθηκε κατά την πλαστική κρούση στο σηµείο Ε. 6. Η λεπτή ράβδος ΑΒ του σχήµατος µήκους L και µάζας m ξεκινά από κατάσταση ηρεµίας και χτυπά στο σηµείο D. Υποθέτοντας τέλεια πλαστική κρούση στο D και για b = 0.6L βρείτε α) την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την κρούση και β) και την µέγιστη γωνία µε την οποία θα περιστραφεί η ράβδος µετά την κρούση. 7. Η ράβδος ΑΒ, µάζας 1.5 kg και µήκους L= 0.5 m κρέµεται από τον πείρο Α και µπορεί να κινείται ελεύθερα όπως δείχνει το σχήµα. Αν µια ώθηση Q t =1.8 Νs εφαρµοστεί στο σηµείο Β, καθορίστε τη µέγιστη γωνία θ m κατά την οποία η ράβδος θα στραφεί κατά την κίνησή της.
8. Η σφαίρα µάζας m του σχήµατος αφήνεται να πέσει στην άκρη µιας ράβδου ΒD µήκους L και µάζας 2m. Η ράβδος συνδέεται µε πείρο στο σηµείο C το οποίο και απέχει ¼ L από το Β. Θεωρώντας v 1 την ταχύτητα της σφαίρας τη στιγµή λίγο πριν χτυπήσει τη ράβδο και υποθέτοντας πλήρως ελαστική κρούση, καθορίστε τη στιγµή αµέσως µετά την κρούση, α) την ταχύτητα της σφαίρας, β) τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. 9. Στο παιχνίδι του µπιλιάρδου, η µπάλα Α περιστρέφεται χωρίς ολίσθηση µε µια ταχύτητα v o όταν χτυπά υπό γωνία τη µπάλα Β η οποία βρίσκεται σε ακινησία. Θεωρώντας r την ακτίνα της κάθε µπάλας, µ κ το συντελεστή τριβής ολίσθησης µεταξύ µπάλας και τραπεζιού, αµελώντας την τριβή µεταξύ των Α και Β και υποθέτοντας πλήρως ελαστική κρούση (e=1) καθορίστε, α) την οριζόντια και γωνιακή ταχύτητα κάθε σφαίρας αµέσως µετά την κρούση, β) την ταχύτητα της µπάλας Β αφότου έχει ξεκινήσει να ολισθαίνει οµοιόµορφα.
10. Ένα βλήµα µάζας 25 gr βάλλεται µε µια οριζόντια ταχύτητα ταχύτητα 400 m/s στην κάτω γωνία ενός αναρτώµενου τετράγωνου πλαισίου 3kg και πλευράς b=500 mm. Το πλαίσιο αναρτάται από δυο σχοινιά όπως φαίνεται στο σχήµα. Να καθοριστεί αµέσως µετά την ενσωµάτωση του βλήµατος στο πλαίσιο, α) την ταχύτητα του κέντρου µάζας G, β) τη γωνιακή ταχύτητα του πλασίου. 11. Μια οµοιόµορφη σφαίρα ακτίνας R κυλά προς τα δεξιά χωρίς να ολισθαίνει σε µια οριζόντια επιφάνεια και χτυπά ένα σκαλοπάτι ύψους ½ R. Υποθέτοντας ότι η κρούση είναι πλαστική και ότι δεν παρατηρείται ολίσθηση, µεταξύ της σφαίρας και της γωνίας του σκαλοπατιού, να καθοριστεί, α) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας και η ταχύτητα του κέντρου της αµέσως µετά την κρούση, β) η µικρότερη στιγµιαία ταχύτητα u 1 για την οποία η σφαίρα θα ανέβει το σκαλοπάτι.