Σύνθεση Ταλαντώσεων Σύνθετη ταλάντωση Αρχή της επαλληλίας Το αποτέλεσµα αυτής της σύνθεσης εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά των συνιστωσών αρµονικών ταλαντώσεων, δηλαδή τις διευθύνσεις τους τις συχνότητές τους τα πλάτη τους και τις αρχικές φάσεις τους.
Αρχή της Ανεξαρτησίας ( ή Αρχή της Επαλληλίας ) των κινήσεων. Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε µία από αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό µετά από χρόνο t, είναι ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t η κάθε µία.
Α. Σύνθεση δύο ΑΑΤ της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο στην ίδια διεύθυνση α ταλάντωση: x 1 =A 1 ηµωt β ταλάντωση: x =A ηµ(ωt+φ) } x= A 1 ηµωt+ A ηµ(ωt+φ) αρχή της επαλληλίας: x=x 1 +x Όπου Α= A + A+ A A συνφ 1 1 x=aηµ(ωt+θ) εφθ= Α ηµφ Α +Α συνφ 1
Έτσι: x=aηµ(ωt+θ) Όπου Α= A + A+ A A συνφ 1 1 Α ηµφ εφθ= Α +Α συνφ 1 Τι είδους κίνηση περιγράφεται µε αυτές τις εξισώσεις; η σύνθετη κίνηση είναι ΓΑΤ Ειδικές περιπτώσεις: 1. Αν: φ=0 τότε ποια είναι τα Α και θ? A A=A 1 +A θ=0 A A 1 t
x=aηµ(ωt+θ) Α Α= A + A+ A A συνφ εφθ= ηµφ 1 1 Α +Α συνφ 1. Αν φ=180 0 τότε ποια είναι τα Α, θ? x A= A 1 -A θ=0 ή θ=180 0 A 1 A ηλαδή αν Α 1 >Α τότε θ=0 A t
3. Αν φ=180 0 τότε; x A A A 1 ηλαδή αν Α 1 <Α τότε θ=180 0 t
3. Αν φ τυχαίο τότε; x A A A 1 t Ερωτήσεις: 1.5 Ασκήσεις: 1.33, 1.34, 1.35 Προβλήµατα: 1.45
Ας θυµιθούµε αν ένα σηµειακό αντικείµενο βρίσκεται σε οµαλή κυκλική κίνηση µε περίοδο Τ, η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚHΠΡΟΒΟΛΗ ΤΟΥ σε οποιονδήποτε άξονα θα εκτελεί ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ µε περίοδο Τ Για να συνθέσω λοιπόν δύο ταλαντώσεις x 1 = A 1 ηµ(ωt+φ) σχεδιάζω ένα διάνυσµα µέτρου Α 1 και x = A ηµωt σχεδιάζω και ένα διάνυσµα µέτρου Α έτσι ώστε η µεταξύ τους γωνία να είναι φ Βάζω αυτό που αντιστοιχεί στη µεγαλύτερη φάση έτσι ώστε να προηγείται κατά τη φορά της περιστροφής και προσδιορίζω τη συνισταµένη τους Α το µέτρο της θα είναι το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης η δε γωνία θ των διανυσµάτων Α και Α 1 θα είναι η διαφορά φάσης της σύνθετης από την πρώτη εφθ = ( Γ) (ΟΒ) + (ΒΓ) = Α x = Aηµ(ωt+θ) 1 A ηµφ +Α συνφ Α= Ε O Α A + A+ A A συνφ 1 1 Α φ θ Α 1 B φ Γ
B. Σύνθεση δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο µε το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες α ταλάντωση: x 1 =Aηµω 1 t ω β ταλάντωση: x =Aηµω t x=aσυν 1 ω t ηµ ω1+ ω t αρχή της επαλληλίας: x=x 1 +x Συµπέρασµα: κίνηση πολύπλοκη ηµα + ηµβ = ηµ ( Α+Β )/ συν (Α-Β)/ Αν όµως ω 1 ω (ω 1 +ω )/=ω τότε: x=a ηµ t και πλάτος Α ω1 ω όπου Α =Aσυν t ω ιακρότηµα
ιακρότηµα περίοδος διακροτήµατος; ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του πλάτους Το πλάτος Α µηδενίζεται όταν: συνω1 ω t=0 ω 1 ω (k 1) t= + π όπου k ℵ για δύο διαδοχικές στιγµές που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης η διαφορά: π t -t 1 = =Τ δ είναι η περίοδος του διακροτήµατος ω ω 1 η συχνότητα του διακροτήµατος; f δ = f 1 -f
x ω A 1 ω ω = συν t x A 1 ω = συν t Παρατήρηση: στα διακροτήµατα έχουµε τις εξής περιόδους(και τις αντίστοιχες κυκλικές συχνότητες και συχνότητες): Τη περίοδο της πρώτης συνιστώσας ταλάντωσης: Τ 1 Τη περίοδο της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης: Τ Τη περίοδοτου διακροτήµατος: Τ δ =1/ f 1 -f T1 T Τη περίοδο της συνισταµένης ταλάντωσης: Τ= T 1 + T Ερωτήσεις: 1.6 Ασκήσεις: 1.36
Αν µετρήσουµε την περίοδο της µιας ταλάντωσης θα βρούµε 0,0 s, άρα η συχνότητα θα είναι f 1 = 50Hz Αν µετρήσουµε την περίοδο της άλλης ταλάντωσης θα βρούµε 0,01667 s, άρα η συχνότητα θα είναι f = 60 Hz Αν µετρήσουµε την περίοδο του ΙΑΚΡΟΤΗΜΑΤΟΣ θα βρούµε 0,1 s, άρα η συχνότητα θα είναι f διακ = 10 Hz Επιβεβαιώνεται δηλαδή από τις µετρήσεις ότι είναι ίση µε τη διαφορά f -f 1
Ταλάντωση πολλών εκκρεµών µαζί ιακρότηµα Σιτσανλή
Εφαρµογές 15
Μελέτη γραφικής παράστασης Στο παραπάνω σχήµα µπορούµε να µετρήσουµε 5 ταλαντώσεις σε χρόνο 1s. Έτσι, f1 + f f = = 5Hz Επίσης, υπάρχουν διακροτήµατα σε χρόνο 1s. Άρα, f = f 1 - f δ = Hz 16
1. ιακρότηµα δηµιουργείται κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων οι οποίες πραγµατοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι δύο ταλαντώσεις έχουν α. ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες. β. άνισα πλάτη και ίσες συχνότητες. γ. ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες. δ. ίσα πλάτη και συχνότητες εκ των οποίων η µια είναι πολλαπλάσια της άλλης. 17
. Σώµα συµµετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις που περιγράφονται από τις σχέσεις x 1 =Αηµω 1 t και x =Aηµω t, των οποίων οι συχνότητες ω 1 και ω διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. Η συνισταµένη ταλάντωση έχει α. συχνότητα (ω 1 ω ). β. συχνότητα ω 1 +ω. γ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και Α. δ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδένκαι Α. 18
3. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο, προκύπτει απλή αρµονική ταλάντωση σταθερού πλάτους, µόνο όταν οι επιµέρους ταλαντώσεις έχουν α. ίσες συχνότητες. β. παραπλήσιες συχνότητες. γ. διαφορετικές συχνότητες. δ. συχνότητες που η µια είναι ακέραιο πολλαπλάσιο άλλης. 19
4. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο, µε το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες f 1 και f που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους α. το µέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι Α. β. όλα τα σηµεία ταλαντώνονται µε το ίδιο πλάτος. γ. ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του 1 πλάτους είναιτ= f 1 + f δ. Ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του 1 πλάτους είναιτ= f 1 - f 0
5. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε εξισώσεις x 1 =A 1 ηµωt και x =A ηµ(ωt+π) που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σηµείο, µε A > A 1. Η σύνθετη ταλάντωση που προκύπτει έχει φάση αποµάκρυνσης α. ωt καιπλάτος A A 1. β. ωt+π καιπλάτος A A 1. γ. ωt και πλάτος A 1 +A. A δ. ωt+π και πλάτος 1 + A.. 1
6. Στο διάγραµµα του διπλανού σχήµατος φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των αποµακρύνσεων δύο Α.Α.Τ.µεπλάτη Α 1 και Α,καθώςκαιη σύνθεσή τους. α. Οι συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν τηνίδιασυχνότητα. ( ) Σ β. Ηδιαφοράφάσηςανάµεσαστιςδύο συνιστώσες ταλαντώσεις είναι π. ( ) Σ γ. Το πλάτος Α της συνισταµένης ταλάντωσης είναι ίσο µε Α=Α 1 -Α. ( ) Σ δ. Η συνισταµένη ταλάντωση είναι συµφασική της ταλάντωσης µεπλάτος Α. ( ) Λ
7. Υλικό σηµείο κάνει ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. µε την ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, ενώ περιγράφονται από τις εξισώσεις x1 =10ηµ 0πt και x=10ηµ 198πt (x 1,x σε cm και tσε s) α. Η γωνιακή συχνότητα της συνισταµένης κίνησης του υλικού rad σηµείουείναι ω= 00. ( ) Λ s β. Το πλάτος της συνισταµένης κίνησης είναι 0cm. ( ) Λ γ. Η περίοδος του διακροτήµατος είναι 0,5s. ( ) δ. Σε χρόνο ίσο µε την περίοδο του διακροτήµατος, η περιοδική κίνηση επαναλαµβάνεται 50 φορές. ( ) Σ Σ 3
8. ύο Α.Α.Τ. έχουν αποµακρύνσεις που περιγράφονται από τις εξισώσεις π π x 1 =A 1 ηµ(ωt- ) και x =A ηµ(ωt+ ) 6 π α. Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι. 6 π β. Ηαποµάκρυνση x προηγείταιφασικάτης x 1 κατά 3. π γ. Ηαποµάκρυνση x 1 προηγείταιφασικάτης x κατά. δ. εν µπορούµε να υπολογίσουµε τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων, γιατί οι αποµακρύνσεις τους περιγράφονται από διαφορετικές συναρτήσεις. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 4
9. Ένα υλικό σηµείο κάνει ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. που έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια περίοδο. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν πλάτη 3cm και 4cm, ενώ η συνισταµένη ταλάντωση έχει πλάτος 5cm. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης π π π α. µηδέν. β.. γ.. δ.. 4 3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 5
10. Σώµα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο, στην ίδια διεύθυνση, µε εξισώσεις: x 1 =5ηµ10t (SI)και x =8ηµ(10t+π) (SI) Η αποµάκρυνση του σώµατος κάθε χρονική στιγµή θα δίνεται από την εξίσωση α. x=3ηµ(10t+π). (SI) β. x=3ηµ10t. (SI) γ. x=11ηµ(10t+π). (SI) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6
11. Υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις σχέσεις: y 1 = Aηµ(ωt π + ) 3 y= 3Aηµ(ωt Αν Ε 1, Ε, Ε ολ είναι οι ενέργειες ταλάντωσης για την πρώτη, για τη δεύτερη και για τη συνισταµένη ταλάντωση, τότε ισχύει: - π 6 ) α. Ε ολ = E 1 E. β. Ε ολ = E 1 +E. γ. E ολ = Ε + Ε 1 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 7
1. Ένα υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις οι οποίες περιγράφονται από τις εξισώσεις: x = 0, 04ηµ(5t+ 1 π ) 6 (SI) και π x 1 = 004, 3ηµ(5t+ ) (SI) 3 Οι δύο ταλαντώσεις εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. α. Να βρεθεί το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης. β. Να γραφούν οι εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t) για τη συνισταµένη ταλάντωση. α. Α=8.10 - m β. x = 8. 10 ( 5t + π ), 3 υ = 4. 10 1 συν( 5t + π ) 3 8
13. Ένα διακρότηµα προκύπτει από τη σύνθεση δύο Α.Α.Τ., που έχουν την ίδια διεύθυνση, ίδιο πλάτος Α=10cmκαισυχνότητες f 1 =0Hzκαι f =00Hz. α. Να βρείτε την εξίσωση του πλάτους και την περίοδο του διακροτήµατος. β. Ποιο είναι το µέγιστο πλάτος και ποια η συχνότητα της συνισταµένης ταλάντωσης; ίνεται:π =10. α. Α = 0,συνπ συνπt (SI), T δ = 0,5 s. β. Α max = 0, m, f = 01 Hz. 9
14. ύο κιθαρίστες προσπαθούν να ρυθµίσουν τις ηλεκτρικές τους κιθάρες. Η κιθάρα του ενός εκπέµπει έναναπλόήχοµεσυχνότητα f=50hz,ενώηκιθάρα του άλλου εκπέµπει επίσης έναν απλό ήχο. Οι κιθαρίστες ακούνε µε αυτό τον τρόπο 5 διακροτήµατα σε χρόνο s. Ποιες µπορεί να είναι οι συχνότητες του απλού ήχου στις οποίες εκπέµπει η δεύτερη κιθάρα; f = 47,5 Hz, f = 5,5 Hz 30